Formula untuk isipadu jasad geometri. Isipadu angka
Untuk menyelesaikan masalah dalam geometri, anda perlu mengetahui formula - seperti luas segi tiga atau luas segi empat selari - serta helah mudah yang akan kita bicarakan.
Mula-mula, mari kita pelajari formula untuk kawasan rajah. Kami telah mengumpulnya secara khas dalam meja yang selesa. Cetak, Belajar & Memohon!
Sudah tentu, tidak semua formula geometri ada dalam jadual kami. Sebagai contoh, untuk menyelesaikan masalah dalam geometri dan stereometri dalam bahagian kedua profil USE dalam matematik, formula lain untuk luas segi tiga juga digunakan. Kami pasti akan memberitahu anda tentang mereka.
Tetapi bagaimana jika anda perlu mencari bukan kawasan trapezoid atau segitiga, tetapi kawasan beberapa angka kompleks? Terdapat cara universal! Mari tunjukkan kepada mereka dengan contoh daripada bank kerja FIPI.
1. Bagaimana untuk mencari luas bentuk yang tidak standard? Sebagai contoh, segi empat sewenang-wenangnya? Helah mudah adalah untuk memecahkan angka ini kepada yang kita semua tahu, dan mencari luasnya - sebagai jumlah kawasan angka ini.
Bahagikan segiempat ini dengan garis melintang kepada dua segi tiga dengan tapak sepunya sama dengan. Ketinggian segi tiga ini adalah sama dengan dan. Maka luas segiempat sama dengan jumlah luas dua segi tiga:.
Jawapan: .
2. Dalam sesetengah kes, luas sesuatu rajah boleh diwakili sebagai perbezaan antara beberapa kawasan.
Tidak begitu mudah untuk mengira berapa tapak dan ketinggian dalam segi tiga ini sama dengan! Tetapi kita boleh mengatakan bahawa luasnya adalah sama dengan perbezaan antara luas segi empat sama dengan sisi dan tiga segi tiga bersudut tepat. Adakah anda melihat mereka dalam gambar? Kita mendapatkan:.
Jawapan: .
3. Kadang-kadang dalam tugas itu adalah perlu untuk mencari kawasan bukan dari keseluruhan angka, tetapi sebahagiannya. Biasanya kita bercakap tentang luas sektor - sebahagian daripada bulatan. Cari luas sektor bulatan jejari, panjang lengkoknya.
Dalam gambar ini, kita melihat sebahagian daripada bulatan. Luas seluruh bulatan adalah sama sejak itu. Ia kekal untuk mengetahui bahagian bulatan yang digambarkan. Oleh kerana panjang keseluruhan bulatan adalah sama (sejak), dan panjang lengkok sektor ini adalah, oleh itu, panjang lengkok adalah satu kali kurang daripada panjang keseluruhan bulatan. Sudut di mana lengkok ini terletak juga kurang satu kali ganda daripada bulatan penuh (iaitu, darjah). Ini bermakna bahawa kawasan sektor akan menjadi satu kali kurang daripada luas keseluruhan bulatan.
Dan orang Mesir kuno menggunakan kaedah untuk mengira kawasan pelbagai bentuk, sama dengan kaedah kami.
Dalam buku mereka "Permulaan" ahli matematik Yunani kuno yang terkenal Euclid menerangkan sejumlah besar kaedah untuk mengira luas banyak angka geometri. Manuskrip pertama di Rusia, yang mengandungi maklumat geometri, ditulis pada abad $ XVI $. Mereka menerangkan peraturan untuk mencari kawasan rajah pelbagai bentuk.
Hari ini, menggunakan kaedah moden, anda boleh mencari kawasan dalam bentuk apa pun dengan ketepatan yang tinggi.
Pertimbangkan salah satu bentuk paling mudah - segi empat tepat - dan formula untuk mencari luasnya.
Formula untuk luas segi empat tepat
Pertimbangkan angka (Rajah 1), yang terdiri daripada $ 8 $ segi empat sama dengan sisi $ 1 $ cm Luas satu persegi dengan sisi $ 1 $ cm dipanggil sentimeter persegi dan ditulis sebagai $ 1 \ cm ^ 2 $.
Luas angka ini (Rajah 1) akan bersamaan dengan $ 8 \ cm ^ 2 $.
Luas rajah, yang boleh dibahagikan kepada beberapa segi empat sama dengan sisi $ 1 \ cm $ (contohnya, $ p $), akan sama dengan $ p \ cm ^ 2 $.
Dalam erti kata lain, luas angka itu akan sama dengan sebanyak $ cm ^ 2 $, ke dalam berapa banyak petak dengan sisi $ 1 \ cm $ angka ini boleh dipecahkan.
Pertimbangkan segi empat tepat (Rajah 2), yang terdiri daripada $ 3 $ jalur, setiap satunya dibahagikan kepada $ 5 $ segi empat sama dengan sisi $ 1 \ cm $. keseluruhan segi empat tepat terdiri daripada $ 5 \ cdot 3 = 15 $ segi empat sama tersebut, dan luasnya ialah $ 15 \ cm ^ 2 $.
Gambar 1.
Rajah 2.
Kawasan angka biasanya dilambangkan dengan huruf $ S $.
Untuk mencari luas segi empat tepat, anda perlu mendarab panjangnya dengan lebarnya.
Jika kita menyatakan panjangnya dengan huruf $ a $, dan lebar dengan huruf $ b $, maka formula untuk luas segi empat tepat akan kelihatan seperti ini:
Definisi 1
Angka-angka itu dipanggil sama, jika, apabila ditindih antara satu sama lain, bentuknya bertepatan. Bentuk yang sama mempunyai luas yang sama dan perimeter yang sama.
Luas suatu rajah boleh didapati sebagai jumlah luas bahagian-bahagiannya.
Contoh 1
Sebagai contoh, dalam Rajah $ 3 $, segi empat tepat $ ABCD $ dipecahkan kepada dua bahagian dengan garis $ KLMN $. Luas satu bahagian ialah $ 12 \ cm ^ 2 $, dan satu lagi ialah $ 9 \ cm ^ 2 $. Maka luas segi empat tepat $ ABCD $ akan sama dengan $ 12 \ cm ^ 2 + 9 \ cm ^ 2 = 21 \ cm ^ 2 $. Mari cari luas segi empat tepat dengan formula:
Seperti yang anda lihat, kawasan yang ditemui oleh kedua-dua kaedah adalah sama.
Rajah 3.
Rajah 4.
Segmen $ AC $ membahagikan segi empat tepat kepada dua segi tiga sama: $ ABC $ dan $ ADC $. Ini bermakna bahawa luas setiap segi tiga adalah sama dengan separuh luas keseluruhan segi empat tepat.
Definisi 2
Segi empat tepat dengan sisi yang sama dipanggil segi empat sama.
Jika kita menetapkan sisi segi empat sama dengan huruf $ a $, maka luas segi empat itu akan ditemui dengan formula:
Oleh itu, nama kuasa dua nombor $ a $.
Contoh 2
Sebagai contoh, jika sisi segi empat sama ialah $ 5 $ cm, maka luasnya ialah:
Jilid
Dengan perkembangan perdagangan dan pembinaan pada zaman tamadun purba, ia menjadi perlu untuk mencari jilid. Dalam matematik, terdapat bahagian geometri yang berkaitan dengan kajian angka ruang, dipanggil stereometri. Sebutan mengenai bidang matematik yang berasingan ini telah ditemui pada abad $ IV $ SM.
Ahli matematik purba membangunkan kaedah untuk mengira isipadu angka mudah - kubus dan selari. Semua struktur pada masa itu adalah betul-betul bentuk ini. Tetapi kemudian, kaedah telah dijumpai untuk mengira isipadu angka bentuk yang lebih kompleks.
Isipadu paip selari segi empat tepat
Jika anda mengisi acuan dengan pasir basah dan kemudian membalikkannya, kami mendapat angka volumetrik, yang dicirikan oleh kelantangan. Jika anda membuat beberapa angka sedemikian menggunakan acuan yang sama, anda akan mendapat angka yang mempunyai isipadu yang sama. Jika anda mengisi acuan dengan air, maka isipadu air dan isipadu angka pasir juga akan sama.
Rajah 5.
Anda boleh membandingkan isipadu dua bekas dengan mengisi satu dengan air dan menuangkannya ke dalam bekas kedua. Jika bekas kedua diisi sepenuhnya, maka vesel mempunyai jumlah yang sama. Jika, pada masa yang sama, air kekal dalam yang pertama, maka isipadu bekas pertama lebih besar daripada isipadu kedua. Jika, apabila menuang air dari bekas pertama, tidak mungkin untuk mengisi sepenuhnya bekas kedua, maka isipadu bekas pertama adalah kurang daripada isipadu kedua.
Isipadu diukur menggunakan unit berikut:
$ mm ^ 3 $ - milimeter padu,
$ cm ^ 3 $ - sentimeter padu,
$ dm ^ 3 $ - desimeter padu,
$ m ^ 3 $ - meter padu,
$ km ^ 3 $ - kilometer padu.
Kajian umum. Formula stereometry!
Hello kawan-kawan yang dikasihi! Dalam artikel ini, saya memutuskan untuk membuat gambaran umum tentang tugasan dalam stereometri yang akan dijalankan Peperiksaan Negeri Bersatu dalam ahli matematik e. Saya mesti mengatakan bahawa tugas dari kumpulan ini agak pelbagai, tetapi tidak sukar. Ini adalah tugas untuk mencari kuantiti geometri: panjang, sudut, kawasan, isipadu.
Dianggap: kubus, selari segi empat tepat, prisma, piramid, polihedron kompaun, silinder, kon, bola. Sungguh menyedihkan hakikat bahawa sesetengah graduan tidak menghadapi masalah sedemikian semasa peperiksaan, walaupun lebih daripada 50% daripadanya diselesaikan secara asas, hampir secara lisan.
Selebihnya memerlukan sedikit usaha, pengetahuan dan teknik khas. Dalam artikel akan datang, kami akan mempertimbangkan tugas-tugas ini, jangan ketinggalan, melanggan kemas kini blog.
Untuk menyelesaikannya, anda perlu tahu formula untuk luas permukaan dan isipadu selari, piramid, prisma, silinder, kon dan bola. Tiada tugas yang sukar, semuanya diselesaikan dalam 2-3 langkah, adalah penting untuk "melihat" formula mana yang perlu digunakan.
Semua formula yang diperlukan dibentangkan di bawah:
Bola atau sfera. Permukaan sfera atau sfera (kadang-kadang hanya sfera) ialah lokus titik dalam ruang yang sama jaraknya dari satu titik - pusat bola.
Isipadu bola adalah sama dengan isipadu piramid, tapaknya mempunyai luas yang sama dengan permukaan bola, dan ketinggiannya ialah jejari bola itu.
Isipadu sfera adalah satu setengah kali kurang daripada isipadu silinder yang diterangkan di sekelilingnya.
Kon bulat boleh diperolehi dengan memutarkan segitiga segi empat tepat di sekeliling salah satu kakinya, oleh itu kon bulat juga dipanggil kon revolusi. Lihat juga Luas permukaan kon bulat
Isipadu kon bulat adalah sama dengan satu pertiga daripada hasil darab tapak S dengan ketinggian H:
(H ialah ketinggian tepi kubus)
Parallelepiped ialah prisma yang tapaknya ialah segiempat selari. Parallelepiped mempunyai enam muka, dan kesemuanya ialah segiempat selari. Paip selari, empat sisi mukanya adalah segi empat tepat, dipanggil lurus. Segi empat selari dengan keenam-enam sisi segi empat tepat dipanggil segi empat tepat.
Isipadu paip selari segi empat tepat adalah sama dengan hasil darab luas tapak dengan ketinggian:
(S ialah luas tapak piramid, h ialah ketinggian piramid)
Piramid ialah polihedron dengan satu muka - pangkal piramid - poligon sewenang-wenangnya, dan selebihnya - muka sisi - segi tiga dengan bucu biasa, dipanggil bahagian atas piramid.
Bahagian yang selari dengan dasar piramid membahagikan piramid kepada dua bahagian. Bahagian piramid di antara pangkalannya dan bahagian ini ialah piramid terpotong.
Isipadu piramid terpotong sama dengan satu pertiga daripada hasil darab ketinggian h (OS) untuk jumlah kawasan pangkalan atas S1 (abcde), pangkal bawah piramid terpotong S2 (ABCDE) dan purata perkadaran antara mereka.
| 1. | V= |
n - bilangan sisi poligon sekata - tapak piramid sekata
a - sisi poligon sekata - tapak piramid sekata
h - ketinggian piramid biasa
Piramid segi tiga sekata ialah polihedron di mana satu muka - pangkal piramid - ialah segi tiga sekata, dan selebihnya - muka sisi - adalah segi tiga sama dengan bucu sepunya. Ketinggian jatuh ke tengah pangkal dari atas.
Isipadu piramid segi tiga sekata adalah sama dengan satu pertiga daripada hasil darab kawasan segi tiga sekata, iaitu tapak S (ABC) kepada ketinggian h (OS)
a - sisi segi tiga sekata - tapak piramid segi tiga sekata
h - ketinggian piramid segi tiga sekata
Terbitan formula untuk isipadu tetrahedron
Isipadu tetrahedron dikira menggunakan formula klasik untuk isipadu piramid. Ia adalah perlu untuk menggantikan ketinggian tetrahedron dan kawasan segi tiga biasa (sama sisi) ke dalamnya.
Isipadu Tetrahedron- sama dengan pecahan dalam pengangka yang punca kuasa dua dua dalam penyebutnya ialah dua belas, didarab dengan kubus panjang tepi tetrahedron
(h ialah panjang sisi rombus)
Ukur lilit hlm adalah lebih kurang tiga keseluruhan dan satu pertujuh panjang diameter bulatan. Nisbah tepat lilitan bulatan kepada diameternya ditunjukkan oleh huruf Yunani π
Akibatnya, perimeter bulatan atau lilitan bulatan dikira dengan formula
| π r n |
(r ialah jejari lengkok, n ialah sudut pusat lengkok dalam darjah.)
Ukur semua jarak yang diperlukan dalam meter. Isipadu banyak bentuk tiga dimensi boleh dikira dengan mudah menggunakan formula yang sesuai. Walau bagaimanapun, semua nilai yang dimasukkan dalam formula mesti diukur dalam meter. Oleh itu, sebelum menggantikan nilai dalam formula, pastikan semuanya diukur dalam meter, atau anda telah menukar unit lain kepada meter.
- 1 mm = 0.001 m
- 1 cm = 0.01 m
- 1 km = 1000 m
Untuk mengira isipadu bentuk segi empat tepat (parallelepiped segi empat tepat, kubus) gunakan formula: isipadu = L × W × H(panjang kali lebar kali tinggi). Formula ini boleh dilihat sebagai hasil darab luas permukaan salah satu muka rajah dengan tepi berserenjang dengan muka ini.
- Sebagai contoh, mari kita mengira isipadu bilik 4 m panjang, 3 m lebar dan 2.5 m tinggi. Untuk melakukan ini, hanya darabkan panjang dengan lebar dan dengan ketinggian:
- 4 × 3 × 2.5
- = 12 × 2.5
- = 30. Isipadu bilik ini ialah 30 m 3.
- Kubus ialah rajah tiga dimensi di mana semua sisi adalah sama. Oleh itu, formula untuk mengira isipadu kubus boleh ditulis dalam bentuk: isipadu = L 3 (atau W 3, atau H 3).
Untuk mengira isipadu bentuk silinder, gunakan formula: pi× R 2 × H. Mengira isipadu silinder dikurangkan kepada mendarab luas tapak bulat dengan ketinggian (atau panjang) silinder. Cari luas tapak bulat dengan mendarab pi (3.14) dengan kuasa dua jejari bulatan (R) (jejari ialah jarak dari pusat bulatan ke mana-mana titik pada bulatan itu). Kemudian darabkan hasil anda dengan ketinggian silinder (H) untuk mencari isipadu silinder itu. Semua nilai diukur dalam meter.
- Sebagai contoh, mari kita mengira isipadu telaga dengan diameter 1.5 m dan kedalaman 10 m. Bahagikan diameter dengan 2 untuk mendapatkan jejari: 1.5 / 2 = 0.75 m.
- (3.14) × 0.75 2 × 10
- = (3.14) × 0.5625 × 10
- = 17.66. Isipadu perigi ialah 17.66 m 3.
Untuk mengira isipadu bola, gunakan formula: 4/3 x pi× R 3. Iaitu, anda hanya perlu mengetahui jejari (R) bola.
- Sebagai contoh, mari kita mengira isipadu belon dengan diameter 10 m. Bahagikan diameter dengan 2 untuk mendapatkan jejari: 10/2 = 5 m.
- 4/3 x pi × (5) 3
- = 4/3 x (3.14) × 125
- = 4.189 × 125
- = 523.6. Isipadu belon itu ialah 523.6 m 3.
Untuk mengira isipadu bentuk berbentuk kon, gunakan formula: 1/3 x pi× R 2 × H. Isipadu kon adalah sama dengan 1/3 daripada isipadu silinder, yang mempunyai ketinggian dan jejari yang sama.
- Sebagai contoh, mari kita hitung isipadu kon ais krim dengan jejari 3 cm dan ketinggian 15 cm. Menukar kepada meter, kita dapat: 0.03 m dan 0.15 m, masing-masing.
- 1/3 x (3.14) x 0.03 2 x 0.15
- = 1/3 x (3.14) × 0.0009 × 0.15
- = 1/3 × 0.0004239
- = 0.000141. Isipadu kon aiskrim itu ialah 0.000141 m 3.
Gunakan beberapa formula untuk mengira isipadu bentuk tidak sekata. Untuk melakukan ini, cuba pecahkan bentuk kepada beberapa bentuk biasa. Kemudian cari isipadu setiap bentuk tersebut dan tambahkan hasilnya.
- Sebagai contoh, mari kita mengira isipadu jelapang kecil. Storan mempunyai badan silinder 12 m tinggi dan jejari 1.5 m. Storan itu juga mempunyai bumbung kon setinggi 1 m. Mengira secara berasingan isipadu bumbung dan secara berasingan isipadu badan, kita boleh mencari jumlah isipadu jelapang:
- pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
- (3.14) x 1.5 2 x 12 + 1/3 x (3.14) x 1.5 2 x 1
- = (3.14) x 2.25 x 12 + 1/3 x (3.14) x 2.25 x 1
- = (3.14) x 27 + 1/3 x (3.14) x 2.25
- = 84,822 + 2,356
- = 87.178. Isipadu simpanan bijirin ialah 87.178 m 3.
Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang diperlukan untuk berjaya lulus peperiksaan dalam matematik pada 60-65 mata. Selesaikan semua tugasan 1-13 Peperiksaan Negeri Bersepadu Profil dalam Matematik. Juga sesuai untuk lulus peperiksaan Asas dalam matematik. Jika anda ingin lulus peperiksaan untuk 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam 30 minit dan tanpa kesilapan!
Kursus persediaan untuk peperiksaan untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan bahagian 1 peperiksaan dalam matematik (12 masalah pertama) dan masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada peperiksaan, dan pelajar seratus mata mahupun pelajar kemanusiaan tidak boleh melakukannya tanpanya.
Semua teori yang anda perlukan. Penyelesaian pantas, perangkap dan rahsia peperiksaan. Membongkar semua tugas yang berkaitan bahagian 1 daripada Bank tugas FIPI. Kursus ini memenuhi sepenuhnya keperluan peperiksaan-2018.
Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, mudah dan terus terang.
Beratus-ratus tugasan peperiksaan. Masalah perkataan dan teori kebarangkalian. Algoritma yang ringkas dan mudah diingati untuk menyelesaikan masalah. Geometri. Teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugasan USE. Stereometri. Penyelesaian rumit, helaian curang yang berguna, membangunkan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal kepada masalah 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan visual tentang konsep yang kompleks. Algebra. Akar, darjah dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk menyelesaikan masalah kompleks bahagian ke-2 peperiksaan.
