Tanda tolak memberi tanda tolak. Tindakan tolak

rumah / cinta

1) Mengapakah tolak satu didarab dengan tolak satu sama dengan tambah satu?
2) Mengapakah tolak satu didarab dengan tambah satu sama dengan tolak satu?

"Musuh musuh saya ialah kawan saya."

Jawapan paling mudah ialah: "Kerana ini adalah peraturan untuk menangani nombor negatif." Peraturan yang kita ajar di sekolah dan diterapkan sepanjang hidup kita. Walau bagaimanapun, buku teks tidak menjelaskan mengapa peraturannya betul-betul seperti ini. Kami mula-mula akan cuba memahami ini berdasarkan sejarah perkembangan aritmetik, dan kemudian kami akan menjawab soalan ini dari sudut pandangan matematik moden.

Dahulu kala, hanya nombor semula jadi yang diketahui orang: 1, 2, 3, ... Ia digunakan untuk mengira perkakas, mangsa, musuh, dll. Tetapi nombor dengan sendirinya agak tidak berguna - anda perlu tahu cara mengendalikan mereka. Penambahan adalah visual dan boleh difahami, selain itu, jumlah dua nombor asli juga merupakan nombor asli (ahli matematik akan mengatakan bahawa set nombor asli ditutup berkenaan dengan operasi tambah). Pendaraban pada dasarnya adalah penambahan yang sama jika kita bercakap tentang nombor asli. Dalam kehidupan, kita sering melakukan tindakan yang berkaitan dengan kedua-dua operasi ini (contohnya, semasa membeli-belah, kita menambah dan mendarab), dan adalah pelik untuk berfikir bahawa nenek moyang kita jarang menemuinya - penambahan dan pendaraban telah dikuasai oleh manusia dalam masa yang sangat lama. lalu. Selalunya adalah perlu untuk membahagikan beberapa kuantiti dengan yang lain, tetapi di sini hasilnya tidak selalu dinyatakan sebagai nombor asli - ini adalah bagaimana nombor pecahan muncul.

Dalam dokumen India, nombor negatif muncul sejak abad ke-7 Masihi; orang Cina nampaknya mula menggunakannya sedikit lebih awal. Ia digunakan untuk mengakaunkan hutang atau dalam pengiraan perantaraan untuk memudahkan penyelesaian persamaan - ia hanya alat untuk mendapatkan jawapan yang positif. Hakikat bahawa nombor negatif, tidak seperti nombor positif, tidak menyatakan kehadiran mana-mana entiti, menimbulkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang dalam erti kata literal mengelakkan nombor negatif: jika masalah mendapat jawapan negatif, mereka percaya bahawa tiada jawapan sama sekali. Ketidakpercayaan ini berterusan untuk masa yang sangat lama, malah Descartes - salah seorang "pengasas" matematik moden - memanggil mereka "palsu" (pada abad ke-17!).

Pertimbangkan, sebagai contoh, persamaan 7x - 17 = 2x - 2... Ia boleh diselesaikan seperti ini: gerakkan ahli dengan yang tidak diketahui ke sebelah kiri, dan selebihnya ke kanan, ia akan berubah. 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3... Dengan penyelesaian ini, kami tidak menemui nombor negatif.

Tetapi seseorang secara tidak sengaja boleh melakukannya dengan cara lain: pindahkan syarat dengan yang tidak diketahui ke sebelah kanan dan dapatkan 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5) x... Untuk mencari yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan satu nombor negatif dengan yang lain: x = (-15) / (- 5)... Tetapi jawapan yang betul diketahui, dan masih perlu menyimpulkannya (-15)/(-5) = 3 .

Apakah yang ditunjukkan oleh contoh mudah ini? Pertama, logik menjadi jelas, yang menentukan peraturan untuk tindakan pada nombor negatif: keputusan tindakan ini mesti sepadan dengan jawapan yang diperoleh dengan cara yang berbeza, tanpa nombor negatif... Kedua, dengan membenarkan penggunaan nombor negatif, kita menyingkirkan yang membosankan (jika persamaan ternyata menjadi lebih rumit, dengan sejumlah besar istilah) mencari jalan penyelesaian di mana semua tindakan dilakukan hanya pada nombor asli. Lebih-lebih lagi, kita tidak boleh lagi berfikir setiap kali tentang kebermaknaan nilai yang ditukar - dan ini sudah menjadi satu langkah ke arah transformasi matematik menjadi sains abstrak.

Peraturan untuk tindakan pada nombor negatif tidak dibentuk serta-merta, tetapi menjadi generalisasi bagi banyak contoh yang timbul semasa menyelesaikan masalah yang digunakan. Secara umum, perkembangan matematik boleh dibahagikan secara bersyarat kepada peringkat: setiap peringkat seterusnya berbeza dari yang sebelumnya dengan tahap abstraksi baru dalam kajian objek. Jadi, pada abad ke-19, ahli matematik menyedari bahawa integer dan polinomial, untuk semua ketidaksamaan luarannya, mempunyai banyak persamaan: kedua-duanya boleh ditambah, ditolak dan didarab. Operasi ini mematuhi undang-undang yang sama - dalam kes nombor dan dalam kes polinomial. Tetapi membahagikan integer dengan satu sama lain, supaya hasilnya menjadi integer sekali lagi, mungkin tidak selalu. Ia sama dengan polinomial.

Kemudian set objek matematik lain ditemui, di mana operasi sedemikian boleh dilakukan: siri kuasa formal, fungsi berterusan ... untuk semua matematik moden).

Akibatnya, konsep baru muncul: cincin... Ini hanyalah satu set elemen ditambah dengan tindakan yang boleh dilakukan ke atasnya. Peraturan adalah asas di sini (ia dipanggil aksiom), yang mematuhi tindakan, dan bukan sifat unsur-unsur set (ini adalah, tahap abstraksi baru!). Ingin menekankan bahawa ia adalah struktur yang timbul selepas pengenalan aksiom adalah penting, ahli matematik berkata: gelang integer, gelang polinomial, dll. Bermula dari aksiom, seseorang boleh menyimpulkan sifat gelang yang lain.

Kami akan merumuskan aksiom cincin (yang, tentu saja, serupa dengan peraturan untuk berurusan dengan integer), dan kemudian kami akan membuktikan bahawa dalam mana-mana cincin, mendarabkan tolak dengan tolak menghasilkan tambah.

cincin dipanggil set dengan dua operasi binari (iaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen cincin), yang secara tradisinya dipanggil penambahan dan pendaraban, dan aksiom berikut:

penambahan elemen gelang mematuhi anjakan ( A + B = B + A untuk sebarang elemen A dan B) dan gabungan ( A + (B + C) = (A + B) + C) undang-undang; dalam gelang terdapat unsur khas 0 (unsur neutral untuk penambahan) sedemikian rupa A + 0 = A, dan untuk sebarang elemen A ialah unsur yang bertentangan (ditandakan (-A)), apa A + (-A) = 0 ;
pendaraban mematuhi undang-undang gabungan: A (B C) = (A B) C ;
penambahan dan pendaraban dikaitkan dengan peraturan berikut untuk mengembangkan kurungan: (A + B) C = A C + B C dan A (B + C) = A B + A C .

Ambil perhatian bahawa cincin, dalam pembinaannya yang paling umum, tidak memerlukan kebolehubahan pendaraban, mahupun keterbalikannya (iaitu, tidak selalu mungkin untuk dibahagi), mahupun kewujudan unit - unsur neutral dalam pendaraban. Jika kita memperkenalkan aksiom ini, maka kita mendapat struktur algebra yang lain, tetapi di dalamnya semua teorem yang dibuktikan untuk cincin adalah benar.

Sekarang mari kita buktikan bahawa untuk mana-mana elemen A dan B cincin sewenang-wenangnya adalah benar, pertama, (-A) B = - (A B), dan kedua (- (- A)) = A... Pernyataan tentang unit dengan mudah mengikuti daripada ini: (-1) 1 = - (1 1) = -1 dan (-1) (-1) = - ((- 1) 1) = - (- 1) = 1 .

Untuk melakukan ini, kita perlu mewujudkan beberapa fakta. Pertama, mari kita buktikan bahawa setiap elemen hanya boleh mempunyai satu lawan. Sesungguhnya, biarkan elemen A terdapat dua yang bertentangan: B dan DENGAN... Itu dia A + B = 0 = A + C... Pertimbangkan jumlahnya A + B + C... Dengan menggunakan undang-undang gabungan dan anjakan dan harta sifar, kita memperoleh bahawa, dalam satu pihak, jumlahnya adalah sama dengan B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, dan sebaliknya, ia adalah sama dengan C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C... Bermaksud, B = C .

Perhatikan sekarang bahawa dan A, dan (- (- A)) adalah bertentangan dengan unsur yang sama (-A) jadi mereka mesti sama.

Fakta pertama ternyata seperti ini: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, itu dia (-A) B bertentangan dengan A B jadi ia sama dengan - (A B) .

Untuk menjadi teliti secara matematik, mari kita terangkan sebabnya 0 B = 0 untuk sebarang elemen B... Sesungguhnya, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B... Iaitu, penambahan 0 B tidak mengubah jumlah. Oleh itu, produk ini sama dengan sifar.

Dan hakikat bahawa terdapat betul-betul satu sifar dalam cincin (selepas semua, aksiom mengatakan bahawa unsur sedemikian wujud, tetapi tiada apa yang dikatakan tentang keunikannya!), Kami akan menyerahkan kepada pembaca sebagai latihan mudah.

Evgeny Epifanov, Bumi (Sol III).

Tolak dan tambah ialah tanda nombor negatif dan positif dalam matematik. Mereka berinteraksi dengan diri mereka sendiri dengan cara yang berbeza, jadi apabila melakukan sebarang tindakan dengan nombor, contohnya, pembahagian, pendaraban, penolakan, penambahan, dll., anda mesti mengambil kira peraturan tanda... Tanpa peraturan ini, anda tidak akan dapat menyelesaikan walaupun masalah algebra atau geometri yang paling mudah. Tanpa mengetahui peraturan ini, anda tidak akan dapat belajar bukan sahaja matematik, tetapi juga fizik, kimia, biologi, dan juga geografi.

Mari kita lihat dengan lebih dekat peraturan asas tanda.

Bahagian.

Jika kita membahagikan "tambah" dengan "tolak", maka kita sentiasa mendapat "tolak". Jika kita membahagikan "tolak" dengan "tambah", maka kita sentiasa mendapat "tolak" juga. Jika kita bahagi tambah dengan tambah, kita dapat tambah. Jika kita membahagikan "tolak" dengan "tolak", maka kita mendapat, anehnya, juga "tambah".

Pendaraban.

Jika kita darab "tolak" dengan "tambah", maka kita sentiasa mendapat "tolak". Jika kita darab "tambah" dengan "tolak", maka kita sentiasa mendapat "tolak" juga. Jika kita mendarabkan "tambah" dengan "tambah", maka kita mendapat nombor positif, iaitu, "tambah". Perkara yang sama berlaku untuk dua nombor negatif. Jika kita darab tolak dengan tolak, kita mendapat tambah.

Penolakan dan penambahan.

Mereka sudah berdasarkan prinsip lain. Jika nombor negatif lebih besar dalam nilai mutlak daripada nombor positif kita, maka hasilnya, sudah tentu, akan menjadi negatif. Sudah tentu, anda tertanya-tanya apakah modul itu dan mengapa ia ada di sini sama sekali. Semuanya sangat mudah. Modulus ialah nilai nombor, tetapi tidak ditandatangani. Sebagai contoh -7 dan 3. Modulo -7 akan menjadi hanya 7, dan 3 akan kekal 3. Akibatnya, kita melihat bahawa 7 lebih besar, iaitu, ternyata nombor negatif kita lebih besar. Jadi ia akan keluar -7 + 3 = -4. Ia boleh dibuat lebih mudah. Letakkan nombor positif di tempat pertama, dan ia akan keluar 3-7 = -4, mungkin ia lebih mudah difahami untuk seseorang. Penolakan berfungsi sepenuhnya berdasarkan prinsip yang sama.

Dua negatif membuat afirmatif- ini adalah peraturan yang kita pelajari di sekolah dan gunakan sepanjang hidup kita. Siapa di antara kita yang tertanya-tanya mengapa? Sudah tentu, lebih mudah untuk mengingati kenyataan ini tanpa soalan yang tidak perlu dan tidak menyelidiki secara mendalam intipati isu tersebut. Kini sudah cukup maklumat yang perlu "dicerna". Tetapi bagi mereka yang masih berminat dengan soalan ini, kami akan cuba memberikan penjelasan tentang fenomena matematik ini.

Sejak zaman purba, orang telah menggunakan nombor semula jadi positif: 1, 2, 3, 4, 5, ... Nombor itu digunakan untuk mengira ternakan, tanaman, musuh, dll. Apabila menambah dan mendarab dua nombor positif, mereka sentiasa mendapat nombor positif, apabila membahagikan beberapa nilai dengan yang lain, mereka tidak selalu mendapat nombor asli - ini adalah bagaimana nombor pecahan muncul. Bagaimana dengan penolakan? Dari zaman kanak-kanak, kita tahu bahawa adalah lebih baik untuk menambah kurang kepada yang lebih besar dan menolak yang lebih kecil daripada yang lebih besar, manakala sekali lagi kita tidak menggunakan nombor negatif. Ternyata jika saya mempunyai 10 epal, saya hanya boleh memberi seseorang kurang daripada 10 atau 10. Saya tidak boleh memberikan 13 epal kerana saya tidak memilikinya. Tidak ada keperluan untuk nombor negatif untuk masa yang lama.

Hanya dari abad ke-7 M. nombor negatif telah digunakan dalam beberapa sistem pengiraan sebagai nilai tambahan yang memungkinkan untuk mendapatkan nombor positif dalam jawapan.

Mari kita pertimbangkan satu contoh, 6x - 30 = 3x - 9. Untuk mencari jawapannya, perlu meninggalkan istilah dengan tidak diketahui di sebelah kiri, dan selebihnya - di sebelah kanan: 6x - 3x = 30 - 9, 3x = 21, x = 7. Apabila menyelesaikan persamaan ini, kita malah tiada nombor negatif ditemui. Kita boleh mengalihkan istilah dengan tidak diketahui ke sebelah kanan, dan tanpa tidak diketahui - ke kiri: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x). Apabila membahagikan nombor negatif dengan negatif, kita mendapat jawapan positif: x = 7.

Apa yang kita nampak?

Tindakan dengan nombor negatif harus membawa kita kepada jawapan yang sama seperti tindakan dengan hanya nombor positif. Kita tidak boleh lagi memikirkan tentang ketiadaan praktikal dan kebermaknaan tindakan - ia membantu kita menyelesaikan masalah dengan lebih cepat, tanpa mengurangkan persamaan kepada bentuk dengan hanya nombor positif. Dalam contoh kami, kami tidak menggunakan pengiraan yang rumit, tetapi dengan sejumlah besar istilah, pengiraan dengan nombor negatif boleh menjadikan kerja kami lebih mudah.

Dari masa ke masa, selepas eksperimen dan pengiraan jangka panjang, adalah mungkin untuk mengenal pasti peraturan yang mematuhi semua nombor dan tindakan pada mereka (dalam matematik, mereka dipanggil aksiom). Dari sini datang aksiom yang menyatakan bahawa apabila dua nombor negatif didarab, kita mendapat positif.

www.site, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Apabila mendengar guru matematik, kebanyakan pelajar mengambil bahan tersebut sebagai aksiom. Pada masa yang sama, beberapa orang cuba untuk sampai ke bahagian bawahnya dan memikirkan mengapa "tolak" dengan "tambah" memberikan tanda "tolak", dan apabila dua nombor negatif didarab, yang positif akan keluar.

Undang-undang Matematik

Kebanyakan orang dewasa tidak dapat menjelaskan kepada diri mereka sendiri atau kepada anak-anak mereka mengapa ini berlaku. Mereka dengan tegas mempelajari bahan ini di sekolah, tetapi tidak cuba untuk mengetahui dari mana asal peraturan ini. Tetapi sia-sia. Selalunya, kanak-kanak moden tidak begitu percaya, mereka perlu memahami perkara itu dan memahami, katakan, mengapa "tambah" untuk "tolak" memberikan "tolak". Dan kadang-kadang tomboi secara khusus bertanya soalan rumit untuk menikmati saat orang dewasa tidak dapat memberikan jawapan yang boleh difahami. Dan ia benar-benar bencana jika seorang guru muda mendapat masalah ...

Dengan cara ini, perlu diperhatikan bahawa peraturan di atas adalah sah untuk pendaraban dan pembahagian. Hasil darab nombor negatif dan positif hanya akan memberikan "tolak". Jika kita bercakap tentang dua digit dengan tanda "-", maka hasilnya akan menjadi nombor positif. Begitu juga dengan pembahagian. Jika salah satu nombor adalah negatif, maka hasil bagi juga akan dengan tanda "-".

Untuk menerangkan ketepatan undang-undang matematik ini, adalah perlu untuk merumuskan aksiom cincin. Tetapi pertama-tama anda perlu memahami apa itu. Dalam matematik, cincin biasanya dipanggil set di mana dua operasi dengan dua elemen terlibat. Tetapi lebih baik untuk menangani ini dengan contoh.

Aksiom cincin

Terdapat beberapa undang-undang matematik.

Yang pertama daripada mereka boleh disesarkan, menurutnya, C + V = V + C.
Yang kedua dipanggil gabungan (V + C) + D = V + (C + D).

Mereka juga tertakluk kepada pendaraban (V x C) x D = V x (C x D).

Tiada siapa yang membatalkan peraturan yang membuka kurungan (V + C) x D = V x D + C x D, juga benar bahawa C x (V + D) = C x V + C x D.

Di samping itu, telah ditetapkan bahawa unsur khas, tambahan neutral boleh dimasukkan ke dalam gelang, apabila digunakan, perkara berikut akan menjadi benar: C + 0 = C. Di samping itu, untuk setiap C terdapat unsur bertentangan, yang boleh dilambangkan sebagai (-C). Dalam kes ini, C + (-C) = 0.

Terbitan aksiom untuk nombor negatif

Setelah menerima kenyataan di atas, seseorang boleh menjawab soalan: "Apakah tanda" tambah "untuk" tolak "? Mengetahui aksiom tentang pendaraban nombor negatif, adalah perlu untuk mengesahkan bahawa memang (-C) x V = - (C x V). Dan juga bahawa kesamaan berikut adalah benar: (- (- C)) = C.

Untuk melakukan ini, anda perlu terlebih dahulu membuktikan bahawa setiap elemen hanya mempunyai satu "saudara" yang bertentangan. Pertimbangkan contoh bukti berikut. Cuba kita bayangkan bahawa untuk C dua nombor adalah bertentangan - V dan D. Ia berikutan bahawa C + V = 0 dan C + D = 0, iaitu, C + V = 0 = C + D. Mengingati undang-undang sesaran dan tentang sifat-sifat nombor 0, kita boleh mempertimbangkan jumlah ketiga-tiga nombor: C, V dan D. Mari kita cuba memikirkan nilai V. Adalah logik bahawa V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, kerana nilai C + D, seperti yang diterima di atas, sama dengan 0. Oleh itu, V = V + C + D.

Nilai untuk D dipaparkan dengan cara yang sama: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Berdasarkan ini, menjadi jelas bahawa V = D.

Untuk memahami mengapa, bagaimanapun, "tambah" untuk "tolak" memberikan "tolak", adalah perlu untuk memahami perkara berikut. Jadi, untuk unsur (-C), C dan (- (- C)) adalah bertentangan, iaitu, ia adalah sama antara satu sama lain.

Maka jelaslah bahawa 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Ia berikutan bahawa C x V adalah bertentangan dengan (-) C x V, jadi (- C) x V = - (C x V).

Untuk ketelitian matematik yang lengkap, ia juga perlu untuk mengesahkan bahawa 0 x V = 0 untuk sebarang elemen. Jika anda mengikut logik, maka 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Ini bermakna penambahan produk 0 x V tidak mengubah jumlah yang ditetapkan dalam apa jua cara. Lagipun, produk ini sama dengan sifar.

Mengetahui semua aksiom ini, seseorang boleh menyimpulkan bukan sahaja berapa banyak "tambah" dan "tolak" yang diberikan, tetapi juga apa yang diperoleh dengan mendarabkan nombor negatif.

Pendaraban dan pembahagian dua nombor dengan "-"

Jika anda tidak menyelidiki nuansa matematik, maka anda boleh mencuba dengan cara yang lebih mudah untuk menerangkan peraturan tindakan dengan nombor negatif.

Katakan bahawa C - (-V) = D, berdasarkan ini, C = D + (-V), iaitu, C = D - V. Kami memindahkan V dan kami mendapat bahawa C + V = D. Iaitu, C + V = C - (-V). Contoh ini menerangkan sebab dalam ungkapan yang terdapat dua "tolak" berturut-turut, tanda yang disebutkan harus ditukar kepada "tambah". Sekarang mari kita berurusan dengan pendaraban.

(-C) x (-V) = D, anda boleh menambah dan menolak dua produk yang sama kepada ungkapan, yang tidak akan mengubah nilainya: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Mengimbas kembali peraturan untuk bekerja dengan kurungan, kami mendapat:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Ia berikutan daripada ini bahawa C x V = (-C) x (-V).

Begitu juga, anda boleh membuktikan bahawa membahagi dua nombor negatif akan menghasilkan nombor positif.

Peraturan matematik am

Sudah tentu, penjelasan sedemikian tidak akan berkesan untuk pelajar sekolah rendah yang baru mula belajar nombor negatif abstrak. Adalah lebih baik bagi mereka untuk menerangkan pada objek yang boleh dilihat, memanipulasi istilah biasa melalui kaca yang kelihatan. Sebagai contoh, mainan ciptaan, tetapi bukan mainan sedia ada terdapat di sana. Mereka boleh dipaparkan dengan tanda "-". Pendaraban dua objek seperti cermin memindahkannya ke dunia lain, yang disamakan dengan masa kini, iaitu, sebagai hasilnya, kita mempunyai nombor positif. Tetapi pendaraban nombor negatif abstrak dengan nombor positif hanya memberikan hasil yang biasa kepada semua orang. Lagipun "tambah" didarab dengan "tolak" memberikan "tolak". Benar, kanak-kanak tidak berusaha terlalu keras untuk menyelidiki semua nuansa matematik.

Walaupun, jika anda menghadapi kebenaran, bagi ramai orang, walaupun dengan pendidikan tinggi, banyak peraturan masih menjadi misteri. Setiap orang mengambil mudah apa yang diajar oleh guru kepada mereka, tidak teragak-agak untuk menyelidiki semua kesulitan yang dihadapi oleh matematik. "Tolak" untuk "tolak" memberikan "tambah" - semua orang, tanpa pengecualian, tahu mengenainya. Ini benar untuk kedua-dua nombor bulat dan pecahan.

Undang-undang Matematik

Aksiom cincin

Terdapat beberapa undang-undang matematik.

Yang pertama daripada mereka boleh disesarkan, menurutnya, C + V = V + C.
Yang kedua dipanggil gabungan (V + C) + D = V + (C + D).

Mereka juga tertakluk kepada pendaraban (V x C) x D = V x (C x D).

Tiada siapa yang membatalkan peraturan yang membuka kurungan (V + C) x D = V x D + C x D, juga benar bahawa C x (V + D) = C x V + C x D.

Terbitan aksiom untuk nombor negatif

Nilai untuk D dipaparkan dengan cara yang sama: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Berdasarkan ini, menjadi jelas bahawa V = D.

Maka jelaslah bahawa 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Ia berikutan bahawa C x V adalah bertentangan dengan (-) C x V, jadi (- C) x V = - (C x V).

Mengetahui semua aksiom ini, seseorang boleh menyimpulkan bukan sahaja berapa banyak "tambah" dan "tolak" yang diberikan, tetapi juga apa yang diperoleh dengan mendarabkan nombor negatif.

Pendaraban dan pembahagian dua nombor dengan "-"

Jika anda tidak menyelidiki nuansa matematik, maka anda boleh mencuba dengan cara yang lebih mudah untuk menerangkan peraturan tindakan dengan nombor negatif.

(-C) x (-V) = D, anda boleh menambah dan menolak dua produk yang sama kepada ungkapan, yang tidak akan mengubah nilainya: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Mengimbas kembali peraturan untuk bekerja dengan kurungan, kami mendapat:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Ia berikutan daripada ini bahawa C x V = (-C) x (-V).

Begitu juga, anda boleh membuktikan bahawa membahagi dua nombor negatif akan menghasilkan nombor positif.

Peraturan matematik am

Adakah kita memahami pendaraban dengan betul?

"- A dan B duduk atas paip. A jatuh, B hilang, apa yang tinggal kat paip tu?"
- Surat awak saya kekal."

(Daripada filem "Teens in the Universe")

Mengapakah ia sifar apabila mendarab nombor dengan sifar?

7 * 0 = 0

Mengapakah nombor positif apabila anda mendarab dua nombor negatif?

7 * (-3) = + 21

Apa yang guru tidak kemukakan untuk memberikan jawapan kepada dua soalan ini.

Tetapi tiada siapa yang berani mengakui bahawa terdapat tiga kesalahan semantik dalam rumusan pendaraban!

Adakah ralat dalam aritmetik asas mungkin? Lagipun, matematik meletakkan dirinya sebagai sains tepat ...

Buku teks matematik sekolah tidak memberikan jawapan kepada soalan-soalan ini, menggantikan penjelasan dengan satu set peraturan yang perlu diingati. Mungkin mereka mendapati topik ini sukar untuk dijelaskan di sekolah menengah? Mari cuba memahami isu-isu ini.

7 - berganda. 3 adalah faktor. 21- kerja.

Menurut kata-kata rasmi:

mendarab nombor dengan nombor lain bermakna menambah seberapa banyak pendarab seperti yang ditetapkan oleh pengganda.

Menurut rumusan yang diterima, faktor 3 memberitahu kita bahawa harus ada tiga tujuh di sebelah kanan kesamaan.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Tetapi rumusan pendaraban ini tidak dapat menjelaskan persoalan di atas.

Betulkan kata gandaan

Biasanya dalam matematik mereka sangat bermakna, tetapi mereka tidak bercakap mengenainya atau menulisnya.

Ini merujuk kepada tanda tambah di hadapan tujuh yang pertama di sebelah kanan kesamaan. Mari kita tulis tambah ini.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Tetapi yang tujuh yang pertama ditambah. Ini bermakna bahawa kepada sifar, sudah tentu. Mari kita tulis dan sifar.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Bagaimana jika kita darab dengan tiga tolak tujuh?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Kami sedang menulis penambahan pengganda -7, sebenarnya, kami sedang melakukan penolakan berbilang daripada sifar. Mari kembangkan kurungan.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Sekarang kita boleh memberikan rumusan pendaraban yang lebih tepat.

Pendaraban ialah penambahan gandaan kepada sifar (atau penolakan daripada sifar) bagi pendarab (-7) seberapa banyak kali yang ditunjukkan oleh pengganda. Faktor (3) dan tandanya (+ atau -) menunjukkan bilangan penambahan kepada sifar atau penolakan daripada sifar.

Rumusan pendaraban yang diperhalusi dan agak diubah suai ini menerangkan dengan mudah "peraturan tanda" dalam pendaraban apabila pengganda adalah negatif.

7 * (-3) - mesti ada tiga tanda tolak selepas sifar = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - sekali lagi harus ada tiga tanda tolak selepas sifar =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Pendaraban dengan sifar

7 * 0 = 0 + ... tiada operasi tambah sifar.

Jika pendaraban menambah kepada sifar, dan pengganda menunjukkan bilangan operasi untuk ditambah kepada sifar, maka sifar pengganda menunjukkan bahawa tiada apa yang ditambah kepada sifar. Oleh itu, sifar kekal.

Jadi, dalam rumusan pendaraban sedia ada, kami mendapati tiga ralat semantik yang menghalang pemahaman dua "peraturan tanda" (apabila faktornya negatif) dan pendaraban nombor dengan sifar.

Anda tidak perlu menambah pengganda, tetapi tambahkannya kepada sifar.
Pendaraban bukan sahaja menambah kepada sifar, tetapi menolak daripada sifar.
Faktor dan tandanya tidak menunjukkan bilangan sebutan, tetapi bilangan tanda tambah atau tolak dalam pengembangan pendaraban kepada sebutan (atau ditolak).

Setelah sedikit menjelaskan rumusan, kami dapat menerangkan peraturan tanda apabila mendarab dan mendarab nombor dengan sifar tanpa bantuan undang-undang pendaraban transposable, tanpa undang-undang taburan, tanpa melukis analogi dengan garis nombor, tanpa persamaan, tanpa bukti dari sebaliknya, dsb.

Peraturan tanda untuk rumusan halus pendaraban boleh disimpulkan dengan mudah.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Pengganda dan tandanya (+3 atau -3) menunjukkan bilangan tanda "+" atau "-" di sebelah kanan persamaan.

Formulasi pendaraban yang diubah suai sepadan dengan operasi menaikkan nombor kepada kuasa.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 = 1 (seseorang tidak boleh didarab atau dibahagi dengan apa-apa, jadi ia kekal satu)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Ahli matematik bersetuju bahawa menaikkan nombor kepada eksponen positif ialah pendaraban berganda bagi satu. Menaikkan nombor kepada kuasa negatif ialah pembahagian berbilang satu.

Operasi darab hendaklah serupa dengan operasi eksponen.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 = 0 (tiada apa-apa yang ditambah kepada sifar dan tiada apa-apa yang ditolak daripada sifar)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Rumusan pendaraban yang diubah suai tidak mengubah apa-apa dalam matematik, tetapi ia mengembalikan maksud asal operasi pendaraban, menerangkan "peraturan tanda", mendarab nombor dengan sifar, dan menyelaraskan pendaraban dengan eksponen.

Mari kita semak sama ada rumusan pendaraban kita konsisten dengan operasi bahagi.

15: 5 = 3 (operasi pendaraban songsang 5 * 3 = 15)

Hasil bagi (3) sepadan dengan bilangan operasi tambah kepada sifar (+3) dalam pendaraban.

Membahagi 15 dengan 5 bermakna mencari berapa kali anda perlu menolak 5 daripada 15. Ini dilakukan dengan penolakan berturut-turut sehingga keputusan sifar diperoleh.

Untuk mencari hasil pembahagian, anda perlu mengira bilangan tanda tolak. Terdapat tiga daripada mereka.

15: 5 = 3 operasi tolak lima daripada 15 untuk mendapatkan sifar.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (bahagian 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (daraban 5 * 3)

Bahagian dengan baki.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 dan 2 baki

Jika terdapat pembahagian dengan baki, mengapa tidak pendaraban dengan lampiran?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Lihat perbezaan antara perkataan pada kalkulator

Rumusan pendaraban sedia ada (tiga sebutan).

10 + 10 + 10 = 30

Perkataan darab yang diperbetulkan (tiga operasi tambah kepada sifar).

0 + 10 = = = 30

(Tekan "sama dengan" tiga kali.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Pengganda 3 menunjukkan bahawa pengganda 10 mesti ditambah kepada sifar tiga kali.

Cuba pendaraban (-10) * (-3) dengan menambah sebutan (-10) tolak tiga kali!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Apakah maksud tanda tolak dalam ketiga-tiganya? Mungkin begitu?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Op ... saya tidak boleh menguraikan produk kepada jumlah (atau perbezaan) syarat (-10).

Dengan perkataan yang disemak, ini dilakukan dengan betul.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Pengganda (-3) menunjukkan bahawa pengganda (-10) mesti ditolak daripada sifar tiga kali.

Tandatangani peraturan untuk tambah dan tolak

Di atas, cara mudah untuk mendapatkan peraturan tanda untuk pendaraban ditunjukkan, dengan menukar maksud rumusan pendaraban.

Tetapi untuk terbitan, kami menggunakan peraturan tanda untuk penambahan dan penolakan. Mereka hampir sama dengan pendaraban. Mari kita buat visualisasi peraturan tanda untuk penambahan dan penolakan, supaya pelajar darjah satu dapat memahaminya.

Apakah "tolak", "negatif"?

Tidak ada sifat negatif. Tiada suhu negatif, tiada arah negatif, tiada jisim negatif, tiada caj negatif ... Malah sinus dengan sifatnya hanya boleh positif.

Tetapi ahli matematik telah menghasilkan nombor negatif. Untuk apa? Apakah maksud "tolak"?

Minus bermaksud arah yang bertentangan. Kiri kanan. Atas bawah. Arah jam - lawan jam. Balik-balik. Sejuk panas. Berat ringan. Perlahan - cepat. Jika anda memikirkannya, terdapat banyak contoh lain di mana nilai negatif adalah mudah.

Dalam dunia yang kita tahu, infiniti bermula dari sifar dan pergi ke tambah infiniti.

"Minus infiniti" tidak wujud di dunia nyata. Ini adalah konvensyen matematik yang sama dengan konsep "tolak".

Jadi, "tolak" bermaksud arah yang bertentangan: pergerakan, putaran, proses, pendaraban, penambahan. Mari kita menganalisis arah yang berbeza apabila menambah dan menolak nombor positif dan negatif (meningkat ke arah lain).

Kerumitan memahami peraturan tanda tambah dan tolak adalah disebabkan oleh fakta bahawa biasanya peraturan ini cuba dijelaskan pada garis nombor. Pada garis nombor, tiga komponen berbeza bercampur, dari mana peraturan diperoleh. Dan kerana percampuran, kerana penggumpalan konsep yang berbeza menjadi satu timbunan, kesukaran untuk memahami tercipta.

Untuk memahami peraturan, kita perlu memisahkan:

sebutan pertama dan jumlah (ia akan berada pada paksi mendatar);
sebutan kedua (ia akan berada pada paksi menegak);
arah operasi tambah dan tolak.

Pembahagian ini jelas ditunjukkan dalam rajah. Bayangkan bahawa paksi menegak boleh berputar bertindih dengan paksi mendatar.

Operasi tambah sentiasa dilakukan dengan memutarkan paksi menegak mengikut arah jam (tanda tambah). Penolakan sentiasa dilakukan dengan memutarkan paksi menegak mengikut arah lawan jam (tanda tolak).

Contoh. Gambar rajah di sudut kanan bawah.

Dapat dilihat bahawa dua tanda tolak bersebelahan (tanda operasi tolak dan tanda nombor 3) mempunyai makna yang berbeza. Tolak pertama menunjukkan arah penolakan. Tolak kedua ialah tanda nombor pada paksi menegak.

Cari sebutan pertama (-2) pada paksi mengufuk. Cari sebutan kedua (-3) pada paksi mencancang. Putar secara mental paksi menegak mengikut lawan jam sehingga ia menjajarkan (-3) dengan nombor (+1) pada paksi mendatar. Nombor (+1) ialah hasil penambahan.

Operasi tolak

memberikan hasil yang sama seperti operasi tambah dalam rajah di sudut kanan atas.

Oleh itu, dua tanda tolak bersebelahan boleh digantikan dengan satu tanda tambah.

Kita semua sudah biasa menggunakan peraturan aritmetik yang sudah siap tanpa memikirkan maksudnya. Oleh itu, kita sering tidak perasan bagaimana peraturan tanda untuk penambahan (tolak) berbeza daripada peraturan tanda untuk pendaraban (bahagi). Adakah mereka kelihatan sama? Hampir ... Sedikit perbezaan dapat dilihat dalam ilustrasi berikut.

Kami kini mempunyai semua yang kami perlukan untuk menyimpulkan peraturan tanda untuk pendaraban. Urutan keluaran adalah seperti berikut.

Kami menunjukkan dengan jelas bagaimana peraturan tanda untuk penambahan dan penolakan diperolehi.
Kami membuat perubahan semantik kepada rumusan pendaraban sedia ada.
Berdasarkan rumusan pendaraban yang diubah suai dan peraturan tanda untuk penambahan, kami memperoleh peraturan tanda untuk pendaraban.

Catatan.

Di bawah ditulis n Tandatangani peraturan untuk tambah dan tolak diperoleh daripada visualisasi. Dan dalam warna merah, sebagai perbandingan, peraturan tanda yang sama dari buku teks matematik. Tambah kelabu dalam kurungan ialah tambah tidak kelihatan, yang tidak ditulis untuk nombor positif.

Sentiasa terdapat dua tanda antara istilah: tanda operasi dan tanda nombor (kami tidak menulis tambah, tetapi kami maksudkan). Peraturan tanda menetapkan penggantian sepasang tanda untuk pasangan lain tanpa mengubah hasil penambahan (tolak). Sebenarnya, hanya ada dua peraturan.

Peraturan 1 dan 3 (untuk visualisasi) - peraturan pendua 4 dan 2 .. Peraturan 1 dan 3 dalam tafsiran sekolah tidak bertepatan dengan skema visual, oleh itu, mereka tidak terpakai kepada peraturan tanda apabila menambah. Ini adalah beberapa peraturan lain ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok

Peraturan Sekolah 1 (merah) membenarkan dua tambah berturut-turut digantikan dengan satu tambah. Peraturan ini tidak terpakai untuk penggantian tanda tambah dan tolak.

Peraturan Sekolah 3. (merah) membenarkan tidak menulis tanda tambah pada nombor positif selepas operasi tolak. Peraturan ini tidak terpakai untuk penggantian tanda tambah dan tolak.

Maksud peraturan tanda semasa penambahan ialah penggantian satu PASANGAN tanda dengan PASANGAN tanda yang lain tanpa mengubah hasil penambahan.

Ahli metodologi sekolah telah mencampurkan dua peraturan dalam satu peraturan:

Dua peraturan tanda apabila menambah dan menolak nombor positif dan negatif (menggantikan sepasang aksara dengan sepasang aksara lain);

Dua peraturan yang mana anda tidak boleh menulis tanda tambah untuk nombor positif.

Dua peraturan berbeza bercampur menjadi satu adalah seperti peraturan untuk tanda dalam pendaraban, di mana dua tanda diikuti oleh yang ketiga. Serupa satu dengan satu.

sangat keliru! Perkara yang sama sekali lagi, untuk pembongkaran yang lebih baik. Mari kita serlahkan tanda-tanda operasi dalam warna merah untuk membezakannya daripada tanda-tanda nombor.

1. Penambahan dan penolakan. Dua peraturan tanda, mengikut mana pasangan tanda antara istilah ditukar ganti. Tanda operasi dan tanda nombor.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Dua peraturan mengikut mana tanda tambah untuk nombor positif dibenarkan untuk tidak menulis. Ini adalah peraturan borang penyertaan. Penambahan tidak terpakai. Untuk nombor positif, hanya tanda operasi direkodkan.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Empat peraturan tanda untuk pendaraban. Apabila tanda ketiga produk mengikuti dari dua tanda pengganda. Dalam peraturan tanda untuk pendaraban, hanya tanda nombor.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Memandangkan kita telah memisahkan peraturan tatatanda, harus jelas bahawa peraturan tanda untuk penambahan dan penolakan sama sekali tidak seperti peraturan tanda untuk pendaraban.

V.Kozarenko

Memang kenapa? Jawapan paling mudah ialah: "Kerana ini adalah peraturan untuk menangani nombor negatif." Peraturan yang kita ajar di sekolah dan diterapkan sepanjang hidup kita. Walau bagaimanapun, buku teks tidak menjelaskan mengapa peraturannya betul-betul seperti ini. Kami ingat bahawa ini adalah cara kami tidak lagi bertanya kepada diri sendiri.

Jom tanya diri kita...

Penolakan, tentu saja, juga sangat diperlukan. Tetapi dalam amalan, kita cenderung untuk menolak yang lebih kecil daripada nombor yang lebih besar, dan tidak perlu menggunakan nombor negatif. (Jika saya mempunyai 5 gula-gula dan saya memberi adik saya 3, maka saya akan mempunyai 5 - 3 = 2 gula-gula, tetapi saya tidak boleh memberinya 7 gula-gula dengan semua keinginan saya.) Ini boleh menjelaskan mengapa orang tidak menggunakan nombor negatif untuk masa yang lama.

Dalam dokumen India, nombor negatif muncul sejak abad ke-7 Masihi; orang Cina nampaknya mula menggunakannya sedikit lebih awal. Ia digunakan untuk mengakaunkan hutang atau dalam pengiraan perantaraan untuk memudahkan penyelesaian persamaan - ia hanya alat untuk mendapatkan jawapan yang positif. Hakikat bahawa nombor negatif, tidak seperti nombor positif, tidak menyatakan kehadiran mana-mana entiti, menimbulkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang dalam erti kata literal mengelakkan nombor negatif: jika masalah mendapat jawapan negatif, mereka percaya bahawa tiada jawapan sama sekali. Ketidakpercayaan ini berterusan untuk masa yang sangat lama, malah Descartes - salah seorang "pengasas" matematik moden - memanggil mereka "palsu" (pada abad ke-17!).

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan 7x - 17 = 2x - 2. Ia boleh diselesaikan seperti berikut: gerakkan istilah dengan yang tidak diketahui ke sebelah kiri, dan selebihnya ke kanan, anda mendapat 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Dengan penyelesaian ini, kita tidak menemui nombor negatif pun.

Tetapi adalah mungkin untuk melakukannya secara berbeza secara tidak sengaja: pindahkan istilah dengan yang tidak diketahui ke sebelah kanan dan dapatkan 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5) x. Untuk mencari yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan satu nombor negatif dengan yang lain: x = (-15) / (- 5). Tetapi jawapan yang betul diketahui, dan masih perlu membuat kesimpulan bahawa (-15) / (- 5) = 3.

Apakah yang ditunjukkan oleh contoh mudah ini? Pertama, menjadi jelas logik yang mentakrifkan peraturan untuk tindakan pada nombor negatif: keputusan tindakan ini mesti bertepatan dengan jawapan yang diperoleh dengan cara yang berbeza, tanpa nombor negatif. Kedua, dengan membenarkan penggunaan nombor negatif, kita menyingkirkan yang membosankan (jika persamaan ternyata menjadi lebih rumit, dengan sejumlah besar istilah) mencari jalan penyelesaian di mana semua tindakan dilakukan hanya pada nombor asli. Lebih-lebih lagi, kita tidak boleh lagi berfikir setiap kali tentang kebermaknaan nilai yang ditukar - dan ini sudah menjadi satu langkah ke arah transformasi matematik menjadi sains abstrak.

Kemudian set objek matematik lain ditemui, di mana operasi sedemikian boleh dilakukan: siri kuasa formal, fungsi berterusan ... untuk semua matematik moden).

Akibatnya, konsep baru muncul: cincin. Ini hanyalah satu set elemen ditambah dengan tindakan yang boleh dilakukan ke atasnya. Asas di sini hanyalah peraturan (ia dipanggil aksiom), yang mematuhi tindakan, dan bukan sifat unsur-unsur set (ini adalah, tahap abstraksi baru!). Ingin menekankan bahawa ia adalah struktur yang timbul selepas pengenalan aksiom adalah penting, ahli matematik berkata: gelang integer, gelang polinomial, dll. Bermula dari aksiom, seseorang boleh menyimpulkan sifat gelang yang lain.

Cincin ialah satu set dengan dua operasi binari (iaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen cincin), yang secara tradisinya dipanggil penambahan dan pendaraban, dan aksiom berikut:

Penambahan unsur gelang mematuhi undang-undang sesaran (A + B = B + A bagi mana-mana unsur A dan B) dan gabungan (A + (B + C) = (A + B) + C); cincin itu mengandungi unsur khas 0 (elemen neutral untuk penambahan) supaya A + 0 = A, dan bagi mana-mana unsur A terdapat unsur bertentangan (ditandakan dengan (-A)) supaya A + (-A) = 0 ;
- pendaraban mematuhi hukum gabungan: A · (B · C) = (A · B) · C;
penambahan dan pendaraban dikaitkan dengan peraturan pengembangan kurungan berikut: (A + B) C = A C + B C dan A (B + C) = A B + A C.

Sekarang mari kita buktikan bahawa untuk mana-mana unsur A dan B bagi gelang sewenang-wenangnya, pertama, (-A) B = - (A B), dan kedua, (- (- A)) = A. Ini dengan mudah membayangkan pernyataan tentang unit: ( -1) 1 = - (1 1) = -1 dan (-1) (-1) = - ((- 1) 1) = - (- 1) = 1.

Untuk melakukan ini, kita perlu mewujudkan beberapa fakta. Pertama, mari kita buktikan bahawa setiap elemen hanya boleh mempunyai satu lawan. Sesungguhnya, biarkan unsur A mempunyai dua bertentangan: B dan C. Iaitu, A + B = 0 = A + C. Pertimbangkan jumlah A + B + C. Dengan menggunakan undang-undang gabungan dan transposisi dan sifat sifar, kita memperoleh bahawa , dengan di satu pihak, jumlahnya ialah B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, dan sebaliknya, ia ialah C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Jadi B = C.

Perhatikan sekarang bahawa kedua-dua A dan (- (- A)) adalah bertentangan dengan unsur yang sama (-A), jadi ia mestilah sama.

Fakta pertama diperolehi seperti berikut: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, iaitu (-A) B bertentangan dengan A B, jadi ia sama dengan - (AB).

Untuk menjadi teliti secara matematik, mari jelaskan mengapa 0 · B = 0 untuk mana-mana unsur B. Sesungguhnya, 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. Iaitu, menambah 0 · B tidak mengubah jumlah. Oleh itu, produk ini sama dengan sifar.

Evgeny Epifanov

Bahagian.

Pendaraban.

Penolakan dan penambahan.

Undang-undang Matematik

Aksiom cincin

Terbitan aksiom untuk nombor negatif

Pendaraban dan pembahagian dua nombor dengan "-"

Peraturan matematik am

Undang-undang Matematik

Aksiom cincin

Terbitan aksiom untuk nombor negatif

Pendaraban dan pembahagian dua nombor dengan "-"

Peraturan matematik am

Pilihan Editor