Bagaimana untuk mencari sifar fungsi dalam pecahan. Bagaimana untuk mencari sifar fungsi

Fungsi sifar ialah nilai hujah di mana fungsinya sama dengan sifar.

Untuk mencari sifar bagi fungsi yang diberikan oleh formula y=f(x), anda perlu menyelesaikan persamaan f(x)=0.

Jika persamaan tidak mempunyai punca, fungsi itu tidak mempunyai sifar.

Contoh.

1) Cari sifar bagi fungsi linear y=3x+15.

Untuk mencari sifar fungsi, selesaikan persamaan 3x+15=0.

Oleh itu, sifar bagi fungsi y=3x+15 ialah x= -5.

Jawapan: x= -5.

2) Cari sifar bagi fungsi kuadratik f(x)=x²-7x+12.

Untuk mencari sifar fungsi, selesaikan persamaan kuadratik

Puncanya x1=3 dan x2=4 ialah sifar bagi fungsi ini.

Jawapan: x=3; x=4.

Arahan

1. Sifar fungsi ialah nilai argumen x di mana nilai fungsi itu sama dengan sifar. Walau bagaimanapun, hanya hujah yang berada dalam skop definisi fungsi yang dikaji boleh menjadi sifar. Iaitu, terdapat banyak nilai yang mana fungsi f(x) berguna. 2. Tuliskan fungsi yang diberi dan samakannya dengan sifar, katakan f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Selesaikan persamaan yang terhasil dan cari punca sebenarnya. Punca-punca persamaan kuadratik dikira dengan sokongan untuk mencari diskriminasi. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0.5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2 Oleh itu, dalam kes ini, dua punca persamaan kuadratik diperolehi, sepadan dengan hujah bagi fungsi awal f(x). 3. Semak semua nilai x yang dikesan untuk kepunyaan domain definisi fungsi yang diberikan. Ketahui OOF, untuk melakukan ini, semak ungkapan awal untuk kehadiran punca genap bagi bentuk?f (x), untuk kehadiran pecahan dalam fungsi dengan argumen dalam penyebut, untuk kehadiran logaritma atau trigonometri. ungkapan. 4. Apabila mempertimbangkan fungsi dengan ungkapan di bawah akar darjah genap, ambil sebagai domain definisi semua hujah x, yang nilainya tidak mengubah ungkapan radikal menjadi nombor negatif (sebaliknya, fungsi itu tidak tidak masuk akal). Semak sama ada sifar fungsi yang dikesan berada dalam julat tertentu nilai x yang boleh diterima. 5. Penyebut pecahan tidak boleh pergi ke sifar oleh itu, kecualikan hujah x yang membawa kepada keputusan sedemikian. Untuk kuantiti logaritma, hanya nilai hujah yang harus dipertimbangkan yang ungkapan itu sendiri lebih besar daripada sifar. Sifar bagi fungsi yang menukar ungkapan sublogaritma kepada sifar atau nombor negatif mesti dibuang daripada hasil akhir. Catatan! Apabila mencari punca persamaan, punca tambahan mungkin muncul. Ini mudah untuk diperiksa: hanya gantikan nilai argumen yang terhasil ke dalam fungsi dan pastikan sama ada fungsi bertukar kepada sifar. Nasihat yang berguna Kadangkala fungsi tidak dinyatakan dengan cara yang jelas melalui hujahnya, maka mudah untuk mengetahui apakah fungsi ini. Contohnya ialah persamaan bulatan.

Fungsi sifar Nilai absis di mana nilai fungsi bersamaan dengan sifar dipanggil.

Jika fungsi diberikan oleh persamaannya, maka sifar fungsi tersebut akan menjadi penyelesaian kepada persamaan tersebut. Jika graf fungsi diberikan, maka sifar bagi fungsi tersebut ialah nilai di mana graf itu bersilang dengan paksi-x.

Fungsi merupakan salah satu konsep matematik yang paling penting. Fungsi - pergantungan berubah-ubah di daripada pembolehubah x, jika setiap nilai X sepadan dengan satu nilai di. Pembolehubah X dipanggil pembolehubah bebas atau hujah. Pembolehubah di dipanggil pembolehubah bersandar. Semua nilai pembolehubah bebas (pembolehubah x) membentuk domain takrifan fungsi. Semua nilai yang diambil oleh pembolehubah bersandar (pembolehubah y), membentuk julat nilai fungsi.

Graf fungsi panggil set semua titik satah koordinat, abscissas yang sama dengan nilai hujah, dan ordinat adalah sama dengan nilai fungsi yang sepadan, iaitu nilai pembolehubah diplot sepanjang paksi absis x, dan nilai pembolehubah diplot di sepanjang paksi ordinat y. Untuk membuat graf fungsi, anda perlu mengetahui sifat-sifat fungsi tersebut. Sifat utama fungsi akan dibincangkan di bawah!

Untuk membina graf fungsi, kami mengesyorkan menggunakan program kami - Fungsi grafik dalam talian. Jika anda mempunyai sebarang soalan semasa mengkaji bahan di halaman ini, anda sentiasa boleh bertanya kepada mereka di forum kami. Juga di forum mereka akan membantu anda menyelesaikan masalah dalam matematik, kimia, geometri, teori kebarangkalian dan banyak mata pelajaran lain!

Sifat asas fungsi.

1) Domain fungsi dan julat fungsi.

Domain fungsi ialah set semua nilai argumen yang sah x(pembolehubah x), yang mana fungsinya y = f(x) ditentukan.
Julat fungsi ialah set semua nilai sebenar y, yang diterima oleh fungsi.

Dalam matematik asas, fungsi dikaji hanya pada set nombor nyata.

2) Fungsi sifar.

Fungsi sifar ialah nilai hujah di mana nilai fungsi adalah sama dengan sifar.

3) Selang tanda malar bagi sesuatu fungsi.

Selang tanda malar bagi sesuatu fungsi ialah set nilai hujah di mana nilai fungsi hanya positif atau negatif sahaja.

4) Kemonotonan fungsi.

Fungsi yang meningkat (dalam selang tertentu) ialah fungsi di mana nilai hujah yang lebih besar daripada selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Fungsi menurun (dalam selang tertentu) ialah fungsi di mana nilai hujah yang lebih besar daripada selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

5) Fungsi genap (ganjil)..

Fungsi genap ialah fungsi yang domain definisinya adalah simetri berkenaan dengan asalan dan untuk mana-mana X daripada domain takrifan persamaan f(-x) = f(x). Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang ordinat.

Fungsi ganjil ialah fungsi yang domain definisinya adalah simetri berkenaan dengan asalan dan untuk mana-mana X dari domain takrifan persamaan adalah benar f(-x) = - f(x). Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan.

6) Fungsi terhad dan tidak terhad.

Sesuatu fungsi dipanggil bersempadan jika terdapat nombor positif M sehingga |f(x)| ≤ M untuk semua nilai x. Jika nombor sedemikian tidak wujud, maka fungsi itu tidak terhad.

7) Keberkalaan fungsi.

Fungsi f(x) adalah berkala jika terdapat nombor bukan sifar T supaya bagi sebarang x f(x+T) = f(x). Nombor terkecil ini dipanggil tempoh fungsi. Semua fungsi trigonometri adalah berkala. (Rumus trigonometri).

Setelah mempelajari sifat fungsi ini, anda boleh meneroka fungsi dengan mudah dan, menggunakan sifat fungsi tersebut, anda boleh membina graf fungsi. Juga lihat bahan tentang jadual kebenaran, jadual darab, jadual berkala, jadual terbitan dan jadual kamiran.

Fungsi sifar

Apakah fungsi sifar? Bagaimana untuk menentukan sifar fungsi secara analitikal dan grafik?

Fungsi sifar- ini adalah nilai hujah di mana fungsinya sama dengan sifar.

Untuk mencari sifar bagi fungsi yang diberikan oleh formula y=f(x), anda perlu menyelesaikan persamaan f(x)=0.

Jika persamaan tidak mempunyai punca, fungsi itu tidak mempunyai sifar.

1) Cari sifar bagi fungsi linear y=3x+15.

Untuk mencari sifar fungsi, selesaikan persamaan 3x+15 =0.

Oleh itu, sifar fungsi ialah y=3x+15 - x= -5.

2) Cari sifar bagi fungsi kuadratik f(x)=x²-7x+12.

Untuk mencari sifar fungsi, selesaikan persamaan kuadratik

Puncanya x1=3 dan x2=4 ialah sifar bagi fungsi ini.

3) Cari sifar bagi fungsi tersebut

Pecahan masuk akal jika penyebutnya bukan sifar. Oleh itu, x²-1≠0, x² ≠ 1, x ≠±1. Iaitu, domain takrifan fungsi tertentu (DO)

Daripada punca-punca persamaan x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4, hanya x=-4 termasuk dalam domain takrifan.

Untuk mencari sifar bagi fungsi yang diberikan secara grafik, anda perlu mencari titik persilangan graf fungsi dengan paksi absis.

Jika graf tidak bersilang dengan paksi-Ox, fungsi itu tidak mempunyai sifar.

fungsi yang grafnya ditunjukkan dalam rajah mempunyai empat sifar -

Dalam algebra, masalah mencari sifar fungsi berlaku sebagai tugas bebas dan apabila menyelesaikan masalah lain, contohnya, semasa mengkaji fungsi, menyelesaikan ketaksamaan, dsb.

www.algebraclass.ru

Peraturan sifar fungsi

Konsep asas dan sifat fungsi

peraturan (undang-undang) surat-menyurat. Fungsi monotonik .

Fungsi terhad dan tidak terhad. Berterusan dan

fungsi terputus . Fungsi genap dan ganjil.

Fungsi berkala. Tempoh fungsi.

Fungsi sifar . Asimtot .

Domain definisi dan julat nilai sesuatu fungsi. Dalam matematik asas, fungsi dikaji hanya pada set nombor nyata R . Ini bermakna hujah fungsi hanya boleh mengambil nilai sebenar yang fungsinya ditakrifkan, i.e. ia juga hanya menerima nilai sebenar. Sekumpulan X semua nilai hujah yang sah yang sah x, yang mana fungsi y = f (x) ditakrifkan, dipanggil domain fungsi. Sekumpulan Y semua nilai sebenar y, yang diterima oleh fungsi, dipanggil julat fungsi. Sekarang kita boleh memberikan definisi fungsi yang lebih tepat: peraturan (undang-undang) surat-menyurat antara set X Dan Y , mengikut mana bagi setiap elemen daripada set X anda boleh mencari satu dan hanya satu elemen daripada set Y, dipanggil fungsi .

Daripada takrifan ini, sesuatu fungsi dianggap ditakrifkan jika:

— domain takrifan fungsi ditentukan X ;

— julat fungsi ditentukan Y ;

— peraturan (undang-undang) surat-menyurat diketahui, dan sedemikian rupa untuk setiap

nilai argumen, hanya satu nilai fungsi boleh ditemui.

Keperluan keunikan fungsi ini adalah wajib.

Fungsi monotonik. Jika untuk mana-mana dua nilai hujah x 1 dan x 2 daripada syarat x 2 > x 1 mengikuti f (x 2) > f (x 1), kemudian fungsi f (x) dipanggil semakin meningkat; jika ada x 1 dan x 2 daripada syarat x 2 > x 1 mengikuti f (x 2)

Fungsi yang ditunjukkan dalam Rajah 3 adalah terhad, tetapi tidak monotonik. Fungsi dalam Rajah 4 adalah sebaliknya, monotonik, tetapi tidak terhad. (Tolong jelaskan ini!).

Fungsi berterusan dan tidak berterusan. Fungsi y = f (x) dipanggil berterusan pada titik x = a, Jika:

1) fungsi ditakrifkan apabila x = a, iaitu f (a) wujud;

2) wujud terhingga had lim f (x) ;

Jika sekurang-kurangnya satu daripada syarat ini tidak dipenuhi, maka fungsi itu dipanggil bahan letupan pada titik x = a .

Jika fungsi berterusan semasa semua orang titik domain definisinya, maka ia dipanggil fungsi berterusan.

Fungsi genap dan ganjil. Jika untuk mana-mana x dari domain takrifan fungsi yang berikut memegang: f (— x) = f (x), maka fungsi itu dipanggil malah; jika ia berlaku: f (— x) = — f (x), maka fungsi itu dipanggil ganjil. Graf fungsi genap simetri tentang paksi Y(Gamb. 5), graf bagi fungsi ganjil Sim metrik berkenaan dengan asal usul(Gamb. 6).

Fungsi berkala. Fungsi f (x) — berkala, jika perkara sedemikian wujud bukan sifar nombor T untuk apa mana-mana x dari domain takrifan fungsi yang berikut memegang: f (x + T) = f (x). ini paling kurang nombor itu dipanggil tempoh fungsi. Semua fungsi trigonometri adalah berkala.

Contoh 1. Buktikan dosa itu x mempunyai tempoh 2.

Penyelesaian: Kita tahu bahawa dosa ( x+ 2 n) = dosa x, Di mana n= 0, ± 1, ± 2, …

Oleh itu penambahan 2 n bukan kepada hujah sinus

berubah nilainya e. Adakah terdapat nombor lain dengan ini

Mari kita berpura-pura itu P– nombor sedemikian, i.e. kesaksamaan:

sah untuk sebarang nilai x. Tetapi kemudian ia telah

tempat dan di x= / 2, i.e.

dosa(/2 + P) = dosa / 2 = 1.

Tetapi mengikut formula pengurangan sin (/ 2 + P) = cos P. Kemudian

daripada dua kesamaan terakhir ia mengikuti bahawa cos P= 1, tetapi kita

kita tahu bahawa ini adalah benar hanya apabila P = 2 n. Sejak kecil

nombor bukan sifar daripada 2 n ialah 2, maka nombor ini

dan ada dosa tempoh x. Ia boleh dibuktikan dengan cara yang sama seperti 2

juga merupakan tempoh untuk cos x .

Buktikan bahawa fungsi tan x dan katil bayi x mempunyai haid.

Contoh 2. Apakah nombor tempoh bagi fungsi sin 2 x ?

Penyelesaian: Pertimbangkan dosa 2 x= dosa(2 x+ 2 n) = dosa [ 2 ( x + n) ] .

Kami melihat penambahan itu n kepada hujah x, tidak berubah

nilai fungsi. Nombor bukan sifar terkecil

daripada n ialah , jadi ini adalah tempoh dosa 2 x .

Fungsi sifar. Nilai hujah di mana fungsi bersamaan dengan 0 dipanggil sifar ( akar) fungsi. Suatu fungsi mungkin mempunyai berbilang sifar. Sebagai contoh, fungsi y = x (x + 1) (x- 3) mempunyai tiga sifar: x = 0, x = — 1, x= 3. Secara geometri fungsi null – ini ialah absis titik persilangan graf fungsi dengan paksi X .

Rajah 7 menunjukkan graf fungsi dengan sifar: x = a , x = b Dan x = c .

Asimtot. Jika graf fungsi menghampiri garis tertentu secara tidak tentu apabila ia bergerak dari asal, maka garis ini dipanggil asimtot.

Topik 6. "Kaedah selang."

Jika f (x) f (x 0) untuk x x 0, maka fungsi f (x) dipanggil berterusan pada titik x 0.

Jika suatu fungsi adalah selanjar pada setiap titik selang I, maka ia dipanggil berterusan pada selang waktu I (selang I dipanggil selang kesinambungan fungsi). Graf fungsi pada selang ini ialah garis berterusan, yang mereka katakan boleh "dilukis tanpa mengangkat pensel dari kertas."

Sifat fungsi berterusan.

Jika pada selang (a ; b) fungsi f adalah berterusan dan tidak lenyap, maka ia mengekalkan tanda malar pada selang ini.

Kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan satu pembolehubah, kaedah selang, adalah berdasarkan sifat ini. Biarkan fungsi f(x) selanjar pada selang I dan lenyap pada bilangan titik terhingga dalam selang ini. Dengan sifat fungsi selanjar, titik ini membahagikan I kepada selang, di mana setiap satunya fungsi selanjar f(x) c mengekalkan tanda malar. Untuk menentukan tanda ini, sudah cukup untuk mengira nilai fungsi f(x) pada mana-mana satu titik dari setiap selang tersebut. Berdasarkan ini, kami memperoleh algoritma berikut untuk menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang.

Kaedah selang untuk ketaksamaan bentuk

Kaedah selang waktu. Tahap purata.

Adakah anda ingin menguji kekuatan anda dan mengetahui keputusan sejauh manakah anda bersedia untuk Peperiksaan Negeri Bersatu atau Peperiksaan Negeri Bersepadu?

Fungsi linear

Fungsi bentuk dipanggil linear. Mari kita ambil fungsi sebagai contoh. Ia positif pada 3″> dan negatif pada. Titik ialah sifar bagi fungsi (). Mari tunjukkan tanda-tanda fungsi ini pada paksi nombor:

Kami mengatakan bahawa "fungsi menukar tanda apabila melalui titik".

Ia boleh dilihat bahawa tanda-tanda fungsi sepadan dengan kedudukan graf fungsi: jika graf berada di atas paksi, tandanya ialah “ ”, jika di bawahnya ialah “ ”.

Jika kita umumkan peraturan yang terhasil kepada fungsi linear arbitrari, kita memperoleh algoritma berikut:

Fungsi kuadratik

Saya harap anda ingat bagaimana untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik? Jika tidak, baca topik "Ketaksamaan Kuadratik." Biar saya ingatkan anda tentang bentuk umum fungsi kuadratik: .

Sekarang mari kita ingat apakah tanda-tanda yang diambil oleh fungsi kuadratik. Grafnya ialah parabola, dan fungsi itu mengambil tanda " " bagi mereka yang parabola berada di atas paksi, dan " " - jika parabola berada di bawah paksi:

Jika fungsi mempunyai sifar (nilai di mana), parabola memotong paksi pada dua titik - punca persamaan kuadratik yang sepadan. Oleh itu, paksi dibahagikan kepada tiga selang, dan tanda-tanda fungsi berubah secara bergantian apabila melalui setiap akar.

Adakah mungkin untuk menentukan tanda-tanda tanpa melukis parabola setiap kali?

Ingat bahawa trinomial segi empat sama boleh difaktorkan:

Mari tandakan akar pada paksi:

Kami ingat bahawa tanda fungsi hanya boleh berubah apabila melalui akar. Mari kita gunakan fakta ini: untuk setiap satu daripada tiga selang di mana paksi dibahagikan dengan akar, cukup untuk menentukan tanda fungsi pada hanya satu titik yang dipilih secara sewenang-wenangnya: pada titik baki selang tanda akan sama. .

Dalam contoh kami: pada 3″> kedua-dua ungkapan dalam kurungan adalah positif (pengganti, sebagai contoh: 0″>). Kami meletakkan tanda " " pada paksi:

Nah, apabila (pengganti, sebagai contoh), kedua-dua kurungan adalah negatif, yang bermaksud produk adalah positif:

Itulah yang berlaku kaedah selang waktu: mengetahui tanda-tanda faktor pada setiap selang, kami menentukan tanda keseluruhan produk.

Mari kita pertimbangkan juga kes apabila fungsi tidak mempunyai sifar, atau hanya satu.

Jika mereka tidak ada, maka tidak ada akar. Ini bermakna bahawa tidak akan ada "melewati akar". Ini bermakna fungsi itu hanya mengambil satu tanda pada keseluruhan garis nombor. Ia boleh ditentukan dengan mudah dengan menggantikannya ke dalam fungsi.

Jika hanya terdapat satu punca, parabola menyentuh paksi, jadi tanda fungsi tidak berubah apabila melalui akar. Apakah peraturan yang boleh kita buat untuk situasi sedemikian?

Jika anda memfaktorkan fungsi sedemikian, anda mendapat dua faktor yang sama:

Dan sebarang ungkapan kuasa dua adalah bukan negatif! Oleh itu, tanda fungsi tidak berubah. Dalam kes sedemikian, kami akan menyerlahkan akar, apabila melaluinya tanda tidak berubah, dengan melingkarinya dengan segi empat sama:

Kami akan memanggil akar sedemikian gandaan.

Kaedah selang dalam ketaksamaan

Kini sebarang ketaksamaan kuadratik boleh diselesaikan tanpa melukis parabola. Cukup sekadar meletakkan tanda-tanda fungsi kuadratik pada paksi dan pilih selang bergantung pada tanda ketaksamaan. Sebagai contoh:

Mari kita ukur akar pada paksi dan letakkan tanda:

Kami memerlukan bahagian paksi dengan tanda " "; kerana ketidaksamaan tidak ketat, akar itu sendiri juga termasuk dalam penyelesaian:

Sekarang pertimbangkan ketidaksamaan rasional - ketidaksamaan, kedua-dua belahnya adalah ungkapan rasional (lihat "Persamaan Rasional").

Contoh:

Semua faktor kecuali satu adalah "linear" di sini, iaitu, ia mengandungi pembolehubah hanya kepada kuasa pertama. Kami memerlukan faktor linear sedemikian untuk menggunakan kaedah selang - tanda berubah apabila melalui akarnya. Tetapi pengganda tidak mempunyai akar sama sekali. Ini bermakna ia sentiasa positif (semak ini untuk diri sendiri), dan oleh itu tidak menjejaskan tanda keseluruhan ketidaksamaan. Ini bermakna kita boleh membahagikan bahagian kiri dan kanan ketidaksamaan dengannya, dan dengan itu menyingkirkannya:

Sekarang semuanya adalah sama seperti dengan ketaksamaan kuadratik: kami menentukan pada titik mana setiap faktor menjadi sifar, tandakan titik ini pada paksi dan susun tanda. Saya ingin menarik perhatian anda kepada fakta yang sangat penting:

Dalam kes nombor genap, kami melakukan perkara yang sama seperti sebelumnya: kami membulatkan titik dengan segi empat sama dan tidak menukar tanda apabila melalui akar. Tetapi dalam kes nombor ganjil, peraturan ini tidak terpakai: tanda masih akan berubah apabila melalui akar. Oleh itu, kami tidak melakukan apa-apa tambahan dengan akar sedemikian, seolah-olah ia bukan berganda. Peraturan di atas digunakan untuk semua kuasa genap dan ganjil.

Apa yang perlu kita tulis dalam jawapan?

Sekiranya pergantian tanda dilanggar, anda perlu berhati-hati, kerana jika ketidaksamaan tidak ketat, jawapannya harus termasuk semua titik berlorek. Tetapi sesetengah daripada mereka sering berdiri berasingan, iaitu, mereka tidak termasuk dalam kawasan berlorek. Dalam kes ini, kami menambahkannya pada jawapan sebagai titik terpencil (dalam kurungan kerinting):

Contoh (tentukan sendiri):

Jawapan:

1. Jika antara faktor ia mudah, ia adalah akar, kerana ia boleh diwakili sebagai.
   .

2. Mari cari sifar bagi fungsi tersebut.

f(x) pada x .

Jawab f(x) pada x .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Biarkan f(x)=x 2 +4x +5 kemudian Mari kita cari x yang mana f(x)>0,

D=-4 Tiada sifar.

4. Sistem ketidaksamaan. Ketaksamaan dan sistem ketaksamaan dengan dua pembolehubah

1) Set penyelesaian kepada sistem ketaksamaan ialah persilangan set penyelesaian kepada ketaksamaan yang termasuk di dalamnya.

2) Set penyelesaian kepada ketaksamaan f(x;y)>0 boleh digambarkan secara grafik pada satah koordinat. Lazimnya, garis yang ditakrifkan oleh persamaan f(x;y) = 0 membahagikan satah kepada 2 bahagian, salah satunya ialah penyelesaian kepada ketaksamaan. Untuk menentukan bahagian mana, anda perlu menggantikan koordinat titik arbitrari M(x0;y0) yang tidak terletak pada garis f(x;y)=0 ke dalam ketaksamaan. Jika f(x0;y0) > 0, maka penyelesaian kepada ketaksamaan ialah bahagian satah yang mengandungi titik M0. jika f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Set penyelesaian kepada sistem ketaksamaan ialah persilangan set penyelesaian kepada ketaksamaan yang termasuk di dalamnya. Marilah, sebagai contoh, diberikan sistem ketaksamaan:

.

Untuk ketaksamaan pertama, set penyelesaian ialah bulatan dengan jejari 2 dan berpusat pada asalan, dan untuk yang kedua, ia adalah separuh satah yang terletak di atas garis lurus 2x+3y=0. Set penyelesaian sistem ini ialah persilangan set ini, i.e. separuh bulatan.

4) Contoh. Selesaikan sistem ketaksamaan:

Penyelesaian kepada ketaksamaan pertama ialah set , yang kedua ialah set (2;7) dan yang ketiga ialah set .

Persilangan set ini ialah selang (2;3], iaitu set penyelesaian kepada sistem ketaksamaan.

5. Menyelesaikan ketaksamaan rasional menggunakan kaedah selang

Kaedah selang adalah berdasarkan sifat berikut bagi binomial (x-a): titik x = α membahagikan paksi nombor kepada dua bahagian - di sebelah kanan titik α binomial (x-α)>0, dan ke kiri titik α (x-α)<0.

Biarkan perlu untuk menyelesaikan ketaksamaan (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, di mana α 1, α 2 ...α n-1, α n adalah tetap nombor, di antaranya tidak ada yang sama, dan sedemikian sehingga α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 menggunakan kaedah selang teruskan seperti berikut: nombor α 1, α 2 ...α n-1, α n diplot pada paksi berangka; dalam selang di sebelah kanan yang terbesar daripada mereka, i.e. nombor α n, letakkan tanda tambah, dalam selang yang mengikutinya dari kanan ke kiri letakkan tanda tolak, kemudian tanda tambah, kemudian tanda tolak, dsb. Kemudian set semua penyelesaian kepada ketaksamaan (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 akan menjadi kesatuan semua selang di mana tanda tambah diletakkan, dan set penyelesaian kepada ketaksamaan (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Menyelesaikan ketaksamaan rasional (iaitu ketaksamaan bentuk P(x) Q(x) di mana polinomial) adalah berdasarkan sifat berikut bagi fungsi selanjar: jika fungsi selanjar lenyap pada titik x1 dan x2 (x1; x2) dan tidak mempunyai punca lain di antara titik ini, maka dalam selang (x1; x2) fungsi mengekalkan tandanya.

Oleh itu, untuk mencari selang tanda malar bagi fungsi y=f(x) pada garis nombor, tandakan semua titik di mana fungsi f(x) hilang atau mengalami ketakselanjaran. Titik ini membahagikan garis nombor kepada beberapa selang, di dalamnya setiap satunya fungsi f(x) adalah berterusan dan tidak lenyap, i.e. menyimpan tanda itu. Untuk menentukan tanda ini, cukup untuk mencari tanda fungsi pada mana-mana titik selang garis nombor yang dipertimbangkan.

2) Untuk menentukan selang tanda malar bagi fungsi rasional, i.e. Untuk menyelesaikan ketaksamaan rasional, kita menandai pada garis nombor punca pembilang dan punca penyebut, yang juga merupakan punca dan titik putus fungsi rasional.

Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang

3. < 20.

Penyelesaian. Julat nilai yang boleh diterima ditentukan oleh sistem ketaksamaan:

Untuk fungsi f(x) = – 20. Cari f(x):

dari mana x = 29 dan x = 13.

f(30) = – 20 = 0.3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

Jawapan: . Kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan rasional. 1) Yang paling mudah: diselesaikan dengan penyederhanaan biasa - pengurangan kepada penyebut biasa, pengurangan istilah yang serupa, dan sebagainya. Persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 diselesaikan dengan...

X berubah pada selang (0,1], dan berkurang pada selang = ½ [
-(1/3)
], dengan | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), pada 1< |z| < 3.

dengan) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, dengan |2 - z| < 1

Ia ialah bulatan berjejari 1 berpusat pada z = 2 .

Dalam sesetengah kes, siri kuasa boleh dikurangkan kepada satu set janjang geometri, dan selepas ini adalah mudah untuk menentukan kawasan penumpuan mereka.

Dan lain-lain. Menyiasat penumpuan siri itu

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Penyelesaian. Ini ialah hasil tambah dua janjang geometri dengan q 1 = , q 2 = () . Daripada syarat-syarat penumpuan mereka ia berikut < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .