Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan logaritma semula jadi. Beberapa kaedah untuk menyelesaikan persamaan logaritma

Persamaan logaritma dipanggil persamaan di mana yang tidak diketahui (x) dan ungkapan dengannya berada di bawah tanda fungsi logaritma. Menyelesaikan persamaan logaritma mengandaikan bahawa anda sudah biasa dengan dan.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan logaritma?

Persamaan yang paling mudah ialah log a x = b, di mana a dan b ialah beberapa nombor, x tidak diketahui.
Dengan menyelesaikan persamaan logaritma adakah x = a b disediakan: a> 0, a 1.

Perlu diingat bahawa jika x berada di suatu tempat di luar logaritma, contohnya log 2 x = x-2, maka persamaan sedemikian sudah dipanggil bercampur dan pendekatan khas diperlukan untuk menyelesaikannya.

Kes yang ideal ialah situasi apabila anda menjumpai persamaan di mana hanya nombor berada di bawah tanda logaritma, contohnya x + 2 = log 2 2. Di sini sudah cukup untuk mengetahui sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikannya. Tetapi nasib seperti ini tidak selalu berlaku, jadi bersiaplah untuk perkara yang lebih sukar.

Tetapi pertama, selepas semua, mari kita mulakan dengan persamaan mudah. Untuk menyelesaikannya, adalah wajar untuk mempunyai pemahaman yang paling umum tentang logaritma.

Menyelesaikan persamaan logaritma termudah

Ini termasuk persamaan seperti log 2 x = log 2 16. Dengan mata kasar dapat melihat bahawa menjatuhkan tanda logaritma, kita mendapat x = 16.

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang lebih kompleks, ia biasanya dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan algebra biasa atau untuk menyelesaikan persamaan logaritma termudah log a x = b. Dalam persamaan yang paling mudah, ini berlaku dalam satu gerakan, itulah sebabnya ia dipanggil yang paling mudah.

Kaedah menurunkan logaritma di atas adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan. Dalam matematik, operasi ini dipanggil potentiation. Terdapat peraturan atau sekatan tertentu untuk operasi jenis ini:

• asas berangka yang sama untuk logaritma
• logaritma dalam kedua-dua belah persamaan didapati secara bebas, i.e. tanpa sebarang pekali dan lain-lain pelbagai jenis ungkapan.

Katakan dalam persamaan log 2 x = 2log 2 (1-x) potensiasi tidak terpakai - pekali 2 di sebelah kanan tidak membenarkan. Dalam contoh berikut, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) juga gagal salah satu kekangan - di sebelah kiri terdapat dua logaritma. Itu akan menjadi satu - perkara yang sama sekali berbeza!

Secara umum, anda boleh mengalih keluar logaritma hanya jika persamaan mempunyai bentuk:

log a (...) = log a (...)

Sememangnya apa-apa ungkapan boleh didapati dalam kurungan; ini sama sekali tidak mempunyai kesan ke atas operasi potensiasi. Dan selepas penghapusan logaritma, persamaan yang lebih mudah akan kekal - linear, kuadratik, eksponen, dan lain-lain, yang, saya harap, anda sudah tahu bagaimana untuk menyelesaikannya.

Mari kita ambil contoh lain:

log 3 (2x-5) = log 3x

Kami menggunakan potensiasi, kami mendapat:

log 3 (2x-1) = 2

Berdasarkan definisi logaritma, iaitu logaritma ialah nombor yang mesti dinaikkan asasnya untuk mendapatkan ungkapan yang berada di bawah tanda logaritma, i.e. (4x-1), kita dapat:

Kami mendapat jawapan yang bagus sekali lagi. Di sini kita telah mengetepikan penghapusan logaritma, tetapi potensiasi terpakai di sini, kerana logaritma boleh dibuat daripada sebarang nombor, dan tepat yang kita perlukan. Kaedah ini sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan terutamanya ketaksamaan.

Mari kita selesaikan persamaan logaritma kita log 3 (2x-1) = 2 menggunakan potensiasi:

Mari kita wakili nombor 2 sebagai logaritma, sebagai contoh, log 3 9, kerana 3 2 = 9.

Kemudian log 3 (2x-1) = log 3 9 dan sekali lagi kita mendapat persamaan yang sama 2x-1 = 9. Saya harap semuanya jelas.

Oleh itu, kami mengkaji bagaimana untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang paling mudah, yang sebenarnya sangat penting, kerana penyelesaian persamaan logaritma, walaupun yang paling dahsyat dan berpintal, pada akhirnya sentiasa datang untuk menyelesaikan persamaan yang paling mudah.

Dalam semua yang kami lakukan di atas, kami terlepas pandang satu perkara yang sangat penting, yang pada masa hadapan akan mempunyai peranan yang menentukan. Hakikatnya ialah penyelesaian kepada mana-mana persamaan logaritma, walaupun yang paling asas, terdiri daripada dua bahagian yang setara. Yang pertama ialah penyelesaian persamaan itu sendiri, yang kedua ialah kerja dengan julat nilai yang dibenarkan (ADV). Itu baru bahagian pertama yang kami kuasai. Dalam contoh di atas, DHS tidak menjejaskan jawapan dalam apa cara sekalipun, jadi kami tidak menganggapnya.

Mari kita ambil contoh lain:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Secara luaran, persamaan ini tidak berbeza dengan persamaan asas, yang sangat berjaya diselesaikan. Tetapi ia tidak begitu. Tidak, kami akan, tentu saja, menyelesaikannya, tetapi kemungkinan besar ia akan salah, kerana terdapat serangan hendap kecil di dalamnya, di mana kedua-dua pelajar C dan pelajar cemerlang segera ditangkap. Mari kita lihat lebih dekat.

Katakan anda perlu mencari punca persamaan atau jumlah punca, jika terdapat beberapa:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Kami menggunakan potentiation, di sini ia dibenarkan. Hasilnya, kita mendapat persamaan kuadratik biasa.

Cari punca-punca persamaan:

Ternyata dua akar.

Jawapan: 3 dan -1

Sekali pandang, semuanya betul. Tetapi mari kita semak keputusan dan pasangkannya ke dalam persamaan asal.

Mari kita mulakan dengan x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Semakan berjaya, kini baris gilir x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Jadi berhenti! Secara luaran, semuanya sempurna. Satu titik - tiada logaritma nombor negatif! Ini bermakna punca x = -1 tidak sesuai untuk menyelesaikan persamaan kita. Oleh itu, jawapan yang betul ialah 3, bukan 2, seperti yang kami tulis.

Di sinilah ODZ memainkan peranannya yang membawa maut, yang telah kita lupakan.

Biar saya ingatkan anda bahawa di bawah julat nilai yang sah, nilai x tersebut diterima yang dibenarkan atau masuk akal untuk contoh asal.

Tanpa ODZ, sebarang penyelesaian, walaupun yang betul-betul betul, bagi mana-mana persamaan bertukar menjadi loteri - 50/50.

Bagaimanakah kita boleh terperangkap semasa menyelesaikan contoh yang kelihatan asas? Tetapi tepat pada masa potentiasi. Logaritma hilang, dan dengan mereka semua sekatan.

Apa yang perlu dilakukan? Enggan menghapuskan logaritma? Dan sama sekali menolak untuk menyelesaikan persamaan ini?

Tidak, kami hanya, seperti wira sebenar dari satu lagu terkenal, akan pergi bersiar-siar!

Sebelum meneruskan penyelesaian sebarang persamaan logaritma, kita akan menuliskan ODZ. Tetapi selepas itu, anda boleh melakukan apa sahaja yang anda kehendaki dengan persamaan kami. Setelah menerima jawapan, kami hanya membuang akar yang tidak termasuk dalam ODZ kami, dan tulis versi akhir.

Sekarang mari kita putuskan cara menulis ODZ. Untuk melakukan ini, kami memeriksa dengan teliti persamaan asal dan mencari tempat yang mencurigakan di dalamnya, seperti pembahagian dengan x, punca genap, dsb. Sehingga kita menyelesaikan persamaan, kita tidak tahu apa yang sama dengan x, tetapi kita pasti tahu bahawa x tersebut, yang, apabila digantikan, akan memberikan pembahagian dengan 0 atau mengambil punca kuasa dua nombor negatif, pasti tidak akan berfungsi dalam jawapan. Oleh itu, x tersebut tidak boleh diterima, manakala selebihnya akan membentuk ODZ.

Mari kita gunakan persamaan yang sama sekali lagi:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Seperti yang anda lihat, tiada pembahagian dengan 0, tiada punca kuasa dua sama ada, tetapi terdapat ungkapan dengan x dalam badan logaritma itu. Kami segera ingat bahawa ungkapan di dalam logaritma mestilah sentiasa> 0. Kami menulis syarat ini dalam bentuk ODZ:

Itu. kami belum memutuskan apa-apa lagi, tetapi kami telah mencatatkan prasyarat untuk keseluruhan ungkapan sub-logaritma. Pendakap kerinting bermakna syarat-syarat ini mesti dipenuhi pada masa yang sama.

ODZ ditulis, tetapi ia juga perlu untuk menyelesaikan sistem ketidaksamaan yang terhasil, yang akan kita lakukan. Kami mendapat jawapan x> v3. Sekarang kita tahu dengan pasti mana yang x tidak sesuai dengan kita. Dan kemudian kita sudah mula menyelesaikan persamaan logaritma itu sendiri, yang kita lakukan di atas.

Setelah menerima jawapan x 1 = 3 dan x 2 = -1, mudah untuk melihat bahawa hanya x1 = 3 yang sesuai untuk kami, dan kami menulisnya sebagai jawapan akhir.

Untuk masa hadapan, adalah sangat penting untuk mengingati perkara berikut: kita melakukan penyelesaian sebarang persamaan logaritma dalam 2 peringkat. Yang pertama - kita menyelesaikan persamaan itu sendiri, yang kedua - kita menyelesaikan keadaan ODZ. Kedua-dua peringkat dilakukan secara bebas antara satu sama lain dan dibandingkan hanya semasa menulis jawapan, i.e. buang semua yang tidak perlu dan tulis jawapan yang betul.

Untuk menyatukan bahan, kami amat mengesyorkan menonton video:

Video menunjukkan contoh lain penyelesaian kepada log. persamaan dan mengusahakan kaedah selang dalam amalan.

Mengenai soalan ini, cara menyelesaikan persamaan logaritma, untuk sekarang. Jika sesuatu diputuskan oleh log. persamaan masih tidak jelas atau tidak dapat difahami, tulis soalan anda dalam ulasan.

Nota: Akademi Pendidikan Sosial (KSUI) sedia menerima pelajar baharu.

Persediaan untuk ujian akhir dalam matematik termasuk bahagian penting - "Logaritma". Tugasan daripada topik ini semestinya terkandung dalam peperiksaan. Pengalaman tahun-tahun lepas menunjukkan bahawa persamaan logaritma telah menyebabkan kesukaran kepada ramai pelajar sekolah. Oleh itu, pelajar yang mempunyai tahap latihan yang berbeza harus memahami cara mencari jawapan yang betul, dan dengan cepat mengatasinya.

Lulus ujian pensijilan dengan jayanya menggunakan portal pendidikan "Shkolkovo"!

Semasa membuat persediaan untuk peperiksaan negeri bersatu, graduan sekolah menengah memerlukan sumber yang boleh dipercayai yang menyediakan maklumat yang paling lengkap dan tepat untuk penyelesaian masalah ujian yang berjaya. Walau bagaimanapun, buku teks tidak selalu tersedia, dan mencari peraturan dan formula yang diperlukan di Internet sering mengambil masa.

Portal pendidikan "Shkolkovo" membolehkan anda bersedia untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu di mana-mana sahaja pada bila-bila masa. Tapak kami menawarkan pendekatan yang paling mudah untuk pengulangan dan asimilasi sejumlah besar maklumat tentang logaritma, serta pada satu dan beberapa yang tidak diketahui. Mulakan dengan persamaan mudah. Jika anda berurusan dengan mereka dengan mudah, beralih kepada yang lebih kompleks. Jika anda menghadapi masalah menyelesaikan ketidaksamaan tertentu, anda boleh menambahkannya pada Kegemaran anda supaya anda boleh kembali kepadanya kemudian.

Anda boleh mencari formula yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas, mengulangi kes khas dan kaedah untuk mengira punca persamaan logaritma piawai dengan melihat bahagian "Rujukan Teori". Guru-guru Shkolkovo telah mengumpul, menyusun dan membentangkan semua bahan yang diperlukan untuk penyampaian yang berjaya dalam bentuk yang paling mudah dan mudah difahami.

Untuk dengan mudah menangani tugas-tugas dengan sebarang kerumitan, di portal kami, anda boleh membiasakan diri dengan penyelesaian beberapa persamaan logaritma biasa. Untuk melakukan ini, pergi ke bahagian "Direktori". Kami telah membentangkan sejumlah besar contoh, termasuk persamaan tahap profil peperiksaan dalam matematik.

Pelajar dari sekolah di seluruh Rusia boleh menggunakan portal kami. Untuk bermula, hanya mendaftar dalam sistem dan mula menyelesaikan persamaan. Untuk menyatukan keputusan, kami menasihati anda untuk kembali ke laman web Shkolkovo setiap hari.

Dengan video ini, saya memulakan satu siri tutorial panjang tentang persamaan logaritma. Sekarang anda mempunyai tiga contoh sekaligus, yang berdasarkannya kita akan belajar untuk menyelesaikan masalah paling mudah, yang dipanggil - protozoa.

log 0.5 (3x - 1) = −3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa persamaan logaritma termudah ialah yang berikut:

log a f (x) = b

Dalam kes ini, adalah penting bahawa pembolehubah x hadir hanya di dalam hujah, iaitu, hanya dalam fungsi f (x). Dan nombor a dan b hanyalah nombor, dan tidak sekali-kali adalah fungsi yang mengandungi pembolehubah x.

Kaedah penyelesaian asas

Terdapat banyak cara untuk menyelesaikan pembinaan sedemikian. Sebagai contoh, kebanyakan guru di sekolah mencadangkan cara ini: Ungkapkan dengan segera fungsi f (x) dengan formula f ( x) = a b. Iaitu, apabila anda memenuhi pembinaan yang paling mudah, anda boleh pergi terus ke penyelesaian tanpa tindakan dan pembinaan tambahan.

Ya, sudah tentu, keputusan itu akan menjadi betul. Walau bagaimanapun, masalah dengan formula ini ialah kebanyakan pelajar tidak faham, dari mana asalnya dan mengapa kita menaikkan huruf a kepada huruf b.

Akibatnya, saya sering melihat kesilapan yang sangat menyinggung apabila, sebagai contoh, huruf ini diterbalikkan. Formula ini mesti sama ada difahami atau dijejalkan, dan kaedah kedua membawa kepada kesilapan pada saat yang paling tidak sesuai dan paling penting: semasa peperiksaan, ujian, dsb.

Itulah sebabnya saya mencadangkan kepada semua pelajar saya untuk meninggalkan formula sekolah standard dan menggunakan pendekatan kedua untuk menyelesaikan persamaan logaritma, yang, seperti yang anda mungkin sudah meneka dari namanya, dipanggil bentuk kanonik.

Idea di sebalik bentuk kanonik adalah mudah. Mari kita lihat sekali lagi masalah kita: di sebelah kiri kita mempunyai log a, manakala huruf a bermaksud nombor yang tepat, dan dalam keadaan apa pun fungsi yang mengandungi pembolehubah x. Oleh itu, surat ini tertakluk kepada semua sekatan yang dikenakan pada asas logaritma. iaitu:

1 ≠ a> 0

Sebaliknya, dari persamaan yang sama kita melihat bahawa logaritma mestilah sama dengan nombor b, dan tiada sekatan dikenakan pada huruf ini, kerana ia boleh mengambil sebarang nilai - baik positif dan negatif. Semuanya bergantung pada nilai yang diambil oleh fungsi f (x).

Dan di sini kita ingat peraturan indah kita bahawa sebarang nombor b boleh diwakili sebagai logaritma kepada asas a dari a kepada kuasa b:

b = log a a b

Bagaimana anda mengingati formula ini? Ia sangat mudah. Mari kita tulis pembinaan berikut:

b = b 1 = b log a a

Sudah tentu, semua sekatan yang kami tulis pada mulanya timbul. Sekarang mari kita gunakan sifat asas logaritma dan perkenalkan faktor b sebagai kuasa a. Kita mendapatkan:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Akibatnya, persamaan asal akan ditulis semula seperti berikut:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Itu sahaja. Fungsi baharu tidak lagi mengandungi logaritma dan diselesaikan menggunakan teknik algebra piawai.

Sudah tentu, seseorang kini akan membantah: mengapa bersusah payah membuat beberapa jenis formula kanonik, mengapa melakukan dua langkah tambahan yang tidak perlu, jika anda boleh segera pergi dari pembinaan awal kepada formula akhir? Ya, walaupun begitu, majoriti pelajar tidak memahami dari mana formula ini datang dan, akibatnya, kerap melakukan kesilapan semasa mengaplikasikannya.

Tetapi urutan tindakan ini, yang terdiri daripada tiga langkah, membolehkan anda menyelesaikan persamaan logaritma asal, walaupun anda tidak faham dari mana datangnya formula akhir. Dengan cara ini, rekod ini dipanggil formula kanonik:

log a f (x) = log a a b

Kemudahan bentuk kanonik juga terletak pada fakta bahawa ia boleh digunakan untuk menyelesaikan kelas persamaan logaritma yang sangat luas, dan bukan hanya yang paling mudah yang sedang kita pertimbangkan hari ini.

Contoh penyelesaian

Sekarang mari kita lihat contoh kehidupan sebenar. Jadi, kami memutuskan:

log 0.5 (3x - 1) = −3

Mari kita tulis semula seperti ini:

log 0.5 (3x - 1) = log 0.5 0.5 −3

Ramai pelajar tergesa-gesa dan cuba segera menaikkan angka 0.5 kepada kuasa yang datang kepada kita dari masalah asal. Sesungguhnya, apabila anda sudah terlatih dalam menyelesaikan masalah sedemikian, anda boleh segera mengikuti langkah ini.

Walau bagaimanapun, jika sekarang anda baru mula mempelajari topik ini, adalah lebih baik untuk tidak tergesa-gesa ke mana-mana agar tidak membuat kesilapan yang menyinggung perasaan. Jadi, kita ada di hadapan kita bentuk kanonik. Kami ada:

3x - 1 = 0.5 −3

Ini bukan lagi persamaan logaritma, tetapi persamaan linear berkenaan dengan pembolehubah x. Untuk menyelesaikannya, mari kita berurusan dengan nombor 0.5 kepada kuasa −3. Perhatikan bahawa 0.5 ialah 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Tukar semua perpuluhan kepada pecahan biasa apabila anda menyelesaikan persamaan logaritma.

Kami menulis semula dan mendapat:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

Itu sahaja, kami mendapat jawapan. Tugas pertama telah diselesaikan.

Tugasan kedua

Mari kita beralih kepada tugas kedua:

Seperti yang anda lihat, persamaan ini bukan lagi yang paling mudah. Jika hanya kerana perbezaannya di sebelah kiri, dan bukan satu logaritma tunggal dalam satu pangkalan.

Oleh itu, anda perlu entah bagaimana menyingkirkan perbezaan ini. Dalam kes ini, semuanya sangat mudah. Mari kita lihat dengan teliti pangkalan: di sebelah kiri ialah nombor di bawah akar:

Cadangan am: dalam semua persamaan logaritma, cuba singkirkan radikal, iaitu, dari entri dengan akar dan pergi ke fungsi kuasa, semata-mata kerana eksponen kuasa ini mudah dikeluarkan daripada tanda logaritma dan, pada akhirnya , tatatanda sedemikian sangat memudahkan dan mempercepatkan pengiraan. Mari kita tuliskan seperti ini:

Sekarang kita ingat sifat luar biasa logaritma: dari hujah, dan juga dari pangkalan, anda boleh memperoleh darjah. Dalam kes alasan, perkara berikut berlaku:

log a k b = 1 / k loga b

Dalam erti kata lain, nombor yang berdiri dalam darjah asas dibawa ke hadapan dan pada masa yang sama bertukar, iaitu, ia menjadi nombor songsang. Dalam kes kami, terdapat tahap asas dengan eksponen 1/2. Oleh itu, kita boleh menjadikannya sebagai 2/1. Kita mendapatkan:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

Sila ambil perhatian: anda tidak boleh membuang logaritma pada langkah ini. Ingat matematik gred 4-5 dan prosedur: pertama, pendaraban dilakukan, dan hanya kemudian penambahan dan penolakan. Dalam kes ini, kami menolak satu daripada yang sama daripada 10 elemen:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Sekarang persamaan kita kelihatan seperti sepatutnya. Ini adalah binaan paling mudah, dan kami menyelesaikannya dengan bentuk kanonik:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Itu sahaja. Tugas kedua telah diselesaikan.

Contoh ketiga

Mari kita beralih kepada tugas ketiga:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Biar saya ingatkan anda formula berikut:

lg b = log 10 b

Jika atas sebab tertentu anda keliru dengan log b, maka apabila melakukan semua pengiraan, anda boleh log 10 b. Anda boleh bekerja dengan logaritma perpuluhan dengan cara yang sama seperti yang lain: keluarkan darjah, tambah dan wakili sebarang nombor dalam bentuk lg 10.

Ciri-ciri inilah yang akan kita gunakan untuk menyelesaikan masalah ini, kerana ia bukanlah yang paling mudah yang kita tulis pada awal pelajaran kita.

Sebagai permulaan, ambil perhatian bahawa faktor 2 sebelum lg 5 boleh diperkenalkan dan menjadi kuasa asas 5. Di samping itu, sebutan bebas 3 juga boleh diwakili sebagai logaritma - ini sangat mudah untuk diperhatikan dari notasi kami.

Nilailah sendiri: sebarang nombor boleh diwakili sebagai log asas 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Mari kita tulis semula masalah asal dengan mengambil kira perubahan yang diterima:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
log (x - 3) = log 1000 25
lg (x - 3) = lg 25,000

Di hadapan kita adalah bentuk kanonik sekali lagi, dan kita mendapatnya, memintas peringkat transformasi, iaitu, persamaan logaritma paling mudah tidak pernah muncul di negara kita.

Inilah yang saya bincangkan pada awal pelajaran. Bentuk kanonik membolehkan menyelesaikan kelas masalah yang lebih luas daripada formula standard sekolah yang diberikan oleh kebanyakan guru sekolah.

Nah, itu sahaja, kita menyingkirkan tanda logaritma perpuluhan, dan kita mendapat pembinaan linear yang mudah:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

Semuanya! Masalah telah diselesaikan.

Nota mengenai skop

Di sini saya ingin membuat kenyataan penting tentang skop definisi. Pasti sekarang ada pelajar dan guru yang akan berkata: "Apabila kita menyelesaikan ungkapan dengan logaritma, adalah penting untuk diingat bahawa hujah f (x) mestilah lebih besar daripada sifar!" Dalam hal ini, persoalan logik timbul: mengapa dalam satu pun masalah yang dipertimbangkan kami memerlukan ketidaksamaan ini untuk dipenuhi?

Jangan risau. Tiada akar tambahan akan timbul dalam kes ini. Dan ini adalah satu lagi helah hebat yang membolehkan anda mempercepatkan penyelesaian. Hanya ketahui bahawa jika dalam masalah pembolehubah x berlaku hanya di satu tempat (atau lebih tepat, dalam satu hujah tunggal logaritma), dan tidak ada tempat lain dalam kes kami terdapat pembolehubah x, kemudian tulis domain tidak perlu kerana ia akan berjalan secara automatik.

Nilailah sendiri: dalam persamaan pertama kita mendapat bahawa 3x - 1, iaitu, hujah mestilah sama dengan 8. Ini secara automatik bermakna 3x - 1 akan lebih besar daripada sifar.

Dengan kejayaan yang sama, kita boleh menulis bahawa dalam kes kedua x mesti sama dengan 5 2, iaitu, ia pasti lebih besar daripada sifar. Dan dalam kes ketiga, di mana x + 3 = 25,000, iaitu, sekali lagi jelas lebih besar daripada sifar. Dalam erti kata lain, domain secara automatik berpuas hati, tetapi hanya jika x berlaku hanya dalam hujah satu logaritma sahaja.

Itu sahaja yang perlu diketahui untuk tugasan asas. Peraturan ini sahaja, bersama dengan peraturan transformasi, akan membolehkan anda menyelesaikan kelas masalah yang sangat luas.

Tetapi mari kita jujur: untuk akhirnya memahami teknik ini, untuk mempelajari cara menggunakan bentuk kanonik persamaan logaritma, tidak cukup hanya menonton satu tutorial video. Oleh itu, sekarang, muat turun pilihan untuk penyelesaian bebas yang dilampirkan pada tutorial video ini dan mula menyelesaikan sekurang-kurangnya satu daripada dua kerja bebas ini.

Ia akan membawa anda hanya beberapa minit. Tetapi kesan latihan tersebut akan jauh lebih tinggi berbanding jika anda baru menonton video tutorial ini.

Saya harap tutorial ini akan membantu anda memahami persamaan logaritma. Gunakan bentuk kanonik, ringkaskan ungkapan menggunakan peraturan untuk bekerja dengan logaritma - dan tiada masalah yang menakutkan untuk anda. Dan saya mempunyai segala-galanya untuk hari ini.

Pertimbangan skop

Sekarang mari kita bincangkan tentang domain fungsi logaritma, serta bagaimana ia mempengaruhi penyelesaian persamaan logaritma. Pertimbangkan pembinaan borang

log a f (x) = b

Ungkapan sedemikian dipanggil yang paling mudah - hanya terdapat satu fungsi di dalamnya, dan nombor a dan b adalah betul-betul nombor, dan dalam keadaan tidak ia adalah fungsi yang bergantung pada pembolehubah x. Ia boleh diselesaikan dengan sangat mudah. Anda hanya perlu menggunakan formula:

b = log a a b

Formula ini adalah salah satu sifat utama logaritma, dan apabila digantikan dengan ungkapan asal kami, kami mendapat yang berikut:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Ini adalah formula biasa dari buku teks sekolah. Ramai pelajar mungkin akan mempunyai soalan: memandangkan dalam ungkapan asal fungsi f (x) berada di bawah tanda log, sekatan berikut dikenakan ke atasnya:

f (x)> 0

Had ini berkuat kuasa kerana logaritma nombor negatif tidak wujud. Jadi, mungkin kerana batasan ini, anda harus memperkenalkan semakan untuk jawapan? Mungkin mereka perlu digantikan dalam sumbernya?

Tidak, dalam persamaan logaritma yang paling mudah, semakan tambahan tidak diperlukan. Dan itulah sebabnya. Lihat formula akhir kami:

f (x) = a b

Hakikatnya ialah nombor a dalam apa jua keadaan lebih besar daripada 0 - keperluan ini juga dikenakan oleh logaritma. Nombor a ialah asas. Dalam kes ini, tiada sekatan dikenakan ke atas bilangan b. Tetapi ini tidak penting, kerana tidak kira tahap mana kita menaikkan nombor positif, pada output kita masih akan mendapat nombor positif. Oleh itu, keperluan f (x)> 0 dipenuhi secara automatik.

Apa yang benar-benar bernilai diperiksa ialah skop fungsi di bawah tanda log. Mungkin terdapat struktur yang agak rumit, dan dalam proses menyelesaikannya, anda pasti mesti mengikutinya. Jom tengok.

Tugas pertama:

Langkah pertama: ubah pecahan di sebelah kanan. Kita mendapatkan:

Kami menyingkirkan tanda logaritma dan mendapatkan persamaan tidak rasional biasa:

Daripada akar yang diperoleh, hanya yang pertama sesuai dengan kita, kerana punca kedua adalah kurang daripada sifar. Jawapannya hanya nombor 9. Itu sahaja, masalah selesai. Tiada pemeriksaan tambahan bahawa ungkapan di bawah tanda logaritma lebih besar daripada 0 tidak diperlukan, kerana ia bukan sahaja lebih besar daripada 0, tetapi mengikut keadaan persamaan ia adalah sama dengan 2. Oleh itu, keperluan "lebih besar daripada sifar " berpuas hati secara automatik.

Mari kita beralih kepada tugas kedua:

Semuanya sama di sini. Kami menulis semula pembinaan, menggantikan tiga:

Kami menyingkirkan tanda-tanda logaritma dan mendapatkan persamaan tidak rasional:

Kami menyebelahi kedua-dua belah pihak, dengan mengambil kira sekatan, dan kami mendapat:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 = 0

Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil melalui diskriminasi:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Tetapi x = −6 tidak sesuai dengan kita, kerana jika kita menggantikan nombor ini ke dalam ketaksamaan kita, kita akan mendapat:

−6 + 4 = −2 < 0

Dalam kes kami, ia dikehendaki lebih besar daripada 0 atau, dalam kes yang melampau, sama. Tetapi x = −1 sesuai dengan kita:

−1 + 4 = 3 > 0

Satu-satunya jawapan dalam kes kami ialah x = -1. Itu sahaja penyelesaiannya. Mari kita kembali ke permulaan pengiraan kita.

Pengambilan utama daripada pelajaran ini ialah anda tidak perlu menyemak kekangan untuk fungsi dalam persamaan logaritma termudah. Kerana dalam proses menyelesaikan semua kekangan dipenuhi secara automatik.

Walau bagaimanapun, ini sama sekali tidak bermakna anda boleh melupakan tentang menyemak sama sekali. Dalam proses mengusahakan persamaan logaritma, ia mungkin bertukar menjadi tidak rasional, yang akan mempunyai had dan keperluannya sendiri untuk bahagian kanan, seperti yang kita lihat hari ini pada dua contoh berbeza.

Jangan ragu untuk menyelesaikan masalah sedemikian dan berhati-hati terutamanya jika terdapat akar dalam hujah.

Persamaan logaritma dengan asas yang berbeza

Kami terus mengkaji persamaan logaritma dan menganalisis dua helah yang lebih menarik dengan bantuan yang sesuai untuk menyelesaikan pembinaan yang lebih kompleks. Tetapi pertama-tama, mari kita ingat bagaimana tugas paling mudah diselesaikan:

log a f (x) = b

Dalam tatatanda ini, a dan b adalah tepat nombor, dan dalam fungsi f (x) pembolehubah x mesti ada, dan hanya di sana, iaitu, x mesti hanya dalam hujah. Kami akan mengubah persamaan logaritma tersebut menggunakan bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, ambil perhatian bahawa

b = log a a b

Lebih-lebih lagi, a b betul-betul hujahnya. Mari kita tulis semula ungkapan ini seperti berikut:

log a f (x) = log a a b

Inilah yang kita cuba capai, supaya kedua-dua kiri dan kanan adalah logaritma kepada pangkalan a. Dalam kes ini, kita boleh, secara kiasan, menghapuskan tanda-tanda log, dan dari sudut pandangan matematik, kita boleh mengatakan bahawa kita hanya menyamakan hujah:

f (x) = a b

Hasilnya, kami akan mendapat ungkapan baharu yang lebih mudah untuk diselesaikan. Mari kita gunakan peraturan ini untuk tugas kita hari ini.

Jadi binaan pertama:

Pertama sekali, saya perhatikan bahawa di sebelah kanan adalah pecahan dengan log masuk penyebutnya. Apabila anda melihat ungkapan sedemikian, ia tidak akan berlebihan untuk mengingati sifat logaritma yang indah:

Diterjemah ke dalam bahasa Rusia, ini bermakna sebarang logaritma boleh diwakili sebagai hasil bagi dua logaritma dengan sebarang asas s. Sudah tentu, 0< с ≠ 1.

Jadi: formula ini mempunyai satu kes khas yang indah apabila pembolehubah c sama dengan pembolehubah b. Dalam kes ini, kami mendapat pembinaan borang:

Pembinaan inilah yang kita perhatikan dari tanda ke kanan dalam persamaan kita. Mari gantikan pembinaan ini dengan log a b, kita dapat:

Dengan kata lain, berbanding masalah asal, kami telah menukar hujah dan asas logaritma. Sebaliknya, kami terpaksa membalikkan pecahan itu.

Kami ingat bahawa mana-mana ijazah boleh diperolehi daripada asas mengikut peraturan berikut:

Dalam erti kata lain, pekali k, iaitu darjah asas, diambil sebagai pecahan terbalik. Mari kita jadikannya sebagai pecahan terbalik:

Faktor pecahan tidak boleh ditinggalkan di hadapan, kerana dalam kes ini kita tidak akan dapat mewakili entri ini sebagai bentuk kanonik (lagipun, dalam bentuk kanonik, tidak ada faktor tambahan di hadapan logaritma kedua). Oleh itu, mari letakkan pecahan 1/4 dalam hujah sebagai kuasa:

Sekarang kita menyamakan hujah-hujah, yang asasnya adalah sama (dan asas kita benar-benar sama), dan tulis:

x + 5 = 1

x = −4

Itu sahaja. Kami mendapat jawapan kepada persamaan logaritma pertama. Sila ambil perhatian: dalam masalah asal, pembolehubah x berlaku hanya dalam satu log, dan ia berada dalam hujahnya. Oleh itu, tidak perlu menyemak domain, dan nombor x = −4 kami sememangnya jawapannya.

Sekarang mari kita beralih kepada ungkapan kedua:

lg 56 = lg 2 log 2 7 - 3lg (x + 4)

Di sini, sebagai tambahan kepada logaritma biasa, kita perlu bekerja dengan lg f (x). Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan sedemikian? Bagi pelajar yang tidak terlatih, nampaknya ini adalah sejenis ketangguhan, tetapi sebenarnya, semuanya diselesaikan dengan cara asas.

Lihat dengan teliti istilah lg 2 log 2 7. Apa yang boleh kita katakan mengenainya? Sebab dan hujah untuk log dan lg adalah sama, dan itu sepatutnya tidak masuk akal. Mari kita ingat lagi bagaimana darjah dikeluarkan dari bawah tanda logaritma:

log a b n = nlog a b

Dalam erti kata lain, apakah kuasa nombor b dalam hujah menjadi faktor di hadapan log itu sendiri. Mari kita gunakan formula ini untuk menyatakan lg 2 log 2 7. Jangan takut dengan lg 2 - ini adalah ungkapan yang paling biasa. Anda boleh menulis semula seperti ini:

Semua peraturan yang digunakan untuk mana-mana logaritma lain adalah benar untuknya. Khususnya, faktor di hadapan boleh ditambah kepada kuasa hujah. Mari menulis:

Selalunya pelajar tidak melihat titik tindakan ini kosong, kerana tidak baik untuk memasukkan satu log di bawah tanda yang lain. Sebenarnya, tidak ada jenayah dalam hal ini. Selain itu, kami mendapat formula yang boleh dikira dengan mudah jika anda mengingati peraturan penting:

Formula ini boleh dianggap sebagai definisi dan sebagai salah satu sifatnya. Walau apa pun, jika anda menukar persamaan logaritma, anda harus mengetahui formula ini dengan cara yang sama seperti perwakilan log sebarang nombor.

Kami kembali kepada tugas kami. Kami menulis semula dengan mengambil kira hakikat bahawa sebutan pertama di sebelah kanan tanda sama rata akan sama dengan lg 7. Kami mempunyai:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

Mari kita gerakkan lg 7 ke kiri, kita dapat:

lg 56 - lg 7 = −3lg (x + 4)

Kurangkan ungkapan di sebelah kiri kerana ia mempunyai asas yang sama:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Sekarang mari kita lihat dengan teliti persamaan yang kita dapat. Ia boleh dikatakan bentuk kanonik, tetapi terdapat faktor −3 di sebelah kanan. Mari letakkan dalam hujah lg yang betul:

log 8 = log (x + 4) −3

Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma, jadi kita memotong tanda-tanda lg dan menyamakan hujah:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

Itu sahaja! Kami telah menyelesaikan persamaan logaritma kedua. Dalam kes ini, tiada semakan tambahan diperlukan, kerana dalam masalah asal x hadir hanya dalam satu hujah.

Izinkan saya mengulangi perkara utama tutorial ini.

Formula utama yang dipelajari dalam semua pelajaran di halaman ini khusus untuk menyelesaikan persamaan logaritma ialah bentuk kanonik. Dan jangan takut dengan fakta bahawa kebanyakan buku teks sekolah mengajar anda untuk menyelesaikan masalah sedemikian dengan cara yang berbeza. Alat ini berfungsi dengan sangat berkesan dan membolehkan anda menyelesaikan kelas masalah yang lebih luas daripada yang paling mudah yang kami pelajari pada awal pelajaran kami.

Di samping itu, adalah berguna untuk mengetahui sifat asas untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Iaitu:

1. Formula untuk peralihan kepada satu pangkalan dan kes khas apabila kita flip log (ini sangat berguna kepada kita dalam masalah pertama);
2. Formula untuk menambah dan mengeluarkan darjah daripada tanda logaritma. Di sini, ramai pelajar membeku dan tidak melihat pada jarak dekat bahawa darjah eksponen dan dimasukkan itu sendiri boleh mengandungi log f (x). Tidak ada yang salah dengan itu. Kita boleh memperkenalkan satu log dengan tanda yang lain dan pada masa yang sama dengan ketara memudahkan penyelesaian masalah, yang kita perhatikan dalam kes kedua.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menambah bahawa tidak perlu menyemak skop dalam setiap kes ini, kerana di mana-mana pembolehubah x hadir hanya dalam satu tanda log, dan pada masa yang sama ia berada dalam hujahnya. Akibatnya, semua keperluan skop dipenuhi secara automatik.

Masalah radix boleh ubah

Hari ini kita akan melihat persamaan logaritma, yang bagi kebanyakan pelajar nampaknya tidak standard, jika tidak sepenuhnya tidak dapat diselesaikan. Kita bercakap tentang ungkapan berdasarkan bukan pada nombor, tetapi pada pembolehubah dan juga fungsi. Kami akan menyelesaikan pembinaan sedemikian menggunakan teknik standard kami, iaitu, melalui bentuk kanonik.

Sebagai permulaan, mari kita ingat bagaimana masalah paling mudah diselesaikan, yang berdasarkan nombor biasa. Jadi, yang paling mudah ialah pembinaan bentuk

log a f (x) = b

Untuk menyelesaikan masalah tersebut, kita boleh menggunakan formula berikut:

b = log a a b

Kami menulis semula ungkapan asal kami dan mendapat:

log a f (x) = log a a b

Kemudian kita samakan hujah, iaitu, kita menulis:

f (x) = a b

Oleh itu, kami menyingkirkan tanda log dan menyelesaikan masalah yang sudah biasa. Dalam kes ini, punca-punca yang diperoleh semasa penyelesaian akan menjadi punca-punca persamaan logaritma asal. Di samping itu, rekod, apabila kedua-dua kiri dan kanan berdiri pada logaritma yang sama dengan tapak yang sama, dipanggil bentuk kanonik. Untuk rekod sedemikian, kami akan cuba mengurangkan pembinaan hari ini. Jadi mari kita pergi.

Tugas pertama:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Gantikan 1 dengan log x - 2 (x - 2) 1. Darjah yang kita perhatikan dalam hujah adalah, sebenarnya, nombor b yang berdiri di sebelah kanan tanda sama. Oleh itu, kami akan menulis semula ungkapan kami. Kita mendapatkan:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Apa yang kita nampak? Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma, jadi kita boleh menyamakan hujah dengan selamat. Kita mendapatkan:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Tetapi penyelesaiannya tidak berakhir di sana, kerana persamaan ini tidak bersamaan dengan yang asal. Lagipun, pembinaan yang terhasil terdiri daripada fungsi yang ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor, dan logaritma awal kami tidak ditakrifkan di mana-mana dan tidak selalu.

Oleh itu, kita mesti menulis skop secara berasingan. Jangan jadi bijak dan sebagai permulaan, tulis semua keperluan:

Pertama, hujah bagi setiap logaritma mestilah lebih besar daripada 0:

2x 2 - 13x + 18> 0

x - 2> 0

Kedua, asas bukan sahaja mestilah lebih besar daripada 0, tetapi juga berbeza daripada 1:

x - 2 ≠ 1

Akibatnya, kami mendapat sistem:

Tetapi jangan risau: apabila memproses persamaan logaritma, sistem sedemikian boleh dipermudahkan dengan ketara.

Nilaikan sendiri: dalam satu pihak, kami dikehendaki bahawa fungsi kuadratik lebih besar daripada sifar, dan sebaliknya, fungsi kuadratik ini disamakan dengan ungkapan linear tertentu, yang juga dikehendaki lebih besar daripada sifar.

Dalam kes ini, jika kita memerlukan x - 2> 0, maka keperluan 2x 2 - 13x + 18> 0 secara automatik akan dipenuhi. Oleh itu, kita boleh memotong ketaksamaan yang mengandungi fungsi kuadratik dengan selamat. Oleh itu, bilangan ungkapan yang terkandung dalam sistem kami akan dikurangkan kepada tiga.

Sudah tentu, kita juga boleh memotong ketaksamaan linear, iaitu, memotong x - 2> 0 dan memerlukan 2x 2 - 13x + 18> 0. Tetapi anda mesti mengakui bahawa menyelesaikan ketaksamaan linear termudah adalah lebih cepat dan lebih mudah, daripada kuadratik, walaupun di bawah syarat bahawa sebagai hasil daripada menyelesaikan keseluruhan sistem ini, kita mendapat punca yang sama.

Secara umum, cuba optimumkan pengiraan anda apabila boleh. Dan dalam kes persamaan logaritma, potong ketaksamaan yang paling sukar.

Mari kita tulis semula sistem kami:

Berikut adalah sistem tiga ungkapan, dengan dua daripadanya, sebenarnya, telah kita ketahui. Mari kita tuliskan persamaan kuadratik secara berasingan dan selesaikannya:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

Di hadapan kita adalah trinomial segi empat sama yang diberikan dan, oleh itu, kita boleh menggunakan formula Vieta. Kita mendapatkan:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Dan sekarang kita kembali ke sistem kita dan mendapati bahawa x = 2 tidak sesuai dengan kita, kerana kita dikehendaki bahawa x lebih besar daripada 2.

Tetapi x = 5 sesuai dengan kita dengan sempurna: nombor 5 lebih besar daripada 2, dan pada masa yang sama 5 tidak sama dengan 3. Oleh itu, satu-satunya penyelesaian kepada sistem ini ialah x = 5.

Itu sahaja, masalah sudah selesai termasuk mengambil kira ODZ. Mari kita beralih kepada persamaan kedua. Di sini kita akan dapati pengiraan yang lebih menarik dan bermaklumat:

Langkah pertama: sama seperti kali terakhir, kami membawa semuanya kepada bentuk kanonik. Untuk ini, kita boleh menulis nombor 9 seperti berikut:

Anda tidak perlu menyentuh akar dengan akar, tetapi lebih baik untuk mengubah hujah. Mari kita pergi dari akar kepada eksponen rasional. Mari kita tulis:

Biar saya tidak menulis semula keseluruhan persamaan logaritma besar kami, tetapi hanya menyamakan hujah dengan segera:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Di hadapan kita ialah trinomial persegi yang baru diberikan, kita menggunakan formula Vieta dan menulis:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Jadi, kami mendapat punca, tetapi tiada siapa yang menjamin kami bahawa ia akan sesuai dengan persamaan logaritma asal. Lagipun, tanda log mengenakan sekatan tambahan (di sini kita sepatutnya menulis sistem, tetapi disebabkan kerumitan keseluruhan struktur, saya memutuskan untuk mengira domain secara berasingan).

Pertama sekali, ingat bahawa hujah mestilah lebih besar daripada 0, iaitu:

Ini adalah keperluan yang dikenakan oleh domain definisi.

Dengan serta-merta, kami perhatikan bahawa kerana kami menyamakan dua ungkapan pertama sistem antara satu sama lain, maka kami boleh memadamkan mana-mana daripadanya. Mari kita padamkan yang pertama kerana ia kelihatan lebih mengancam daripada yang kedua.

Di samping itu, ambil perhatian bahawa penyelesaian kepada ketaksamaan kedua dan ketiga akan menjadi set yang sama (kubus bagi beberapa nombor lebih besar daripada sifar jika nombor ini sendiri lebih besar daripada sifar; begitu juga dengan punca darjah ketiga - ketaksamaan ini sepenuhnya analogi, jadi salah satu daripadanya kita boleh memotongnya).

Tetapi ini tidak akan berfungsi dengan ketidaksamaan ketiga. Mari kita buang tanda radikal di sebelah kiri, yang mana kita akan membina kedua-dua bahagian menjadi kiub. Kita mendapatkan:

Jadi, kami mendapat keperluan berikut:

- 2 ≠ x> −3

Manakah antara punca kita: x 1 = −3 atau x 2 = −1 memenuhi keperluan ini? Jelas sekali, hanya x = −1, kerana x = −3 tidak memenuhi ketaksamaan pertama (kerana ketaksamaan kita adalah ketat). Jadi, kembali kepada masalah kita, kita mendapat satu punca: x = -1. Itu sahaja, masalah selesai.

Sekali lagi, perkara utama tugas ini:

1. Jangan ragu untuk menggunakan dan menyelesaikan persamaan logaritma menggunakan bentuk kanonik. Pelajar yang membuat rekod sedemikian, dan tidak pergi terus dari masalah asal kepada pembinaan seperti log a f (x) = b, membuat kesilapan yang jauh lebih sedikit daripada mereka yang tergesa-gesa ke suatu tempat, melangkau langkah pengiraan pertengahan;
2. Sebaik sahaja asas pembolehubah muncul dalam logaritma, masalahnya tidak lagi menjadi yang paling mudah. Oleh itu, apabila menyelesaikannya, adalah perlu untuk mengambil kira domain definisi: hujah mestilah lebih besar daripada sifar, dan asas bukan sahaja lebih besar daripada 0, tetapi ia juga tidak boleh sama dengan 1.

Terdapat pelbagai cara untuk mengenakan keperluan akhir pada jawapan akhir. Sebagai contoh, anda boleh menyelesaikan keseluruhan sistem yang mengandungi semua keperluan untuk domain. Sebaliknya, anda boleh terlebih dahulu menyelesaikan masalah itu sendiri, dan kemudian ingat tentang domain definisi, selesaikannya secara berasingan dalam bentuk sistem dan letakkan pada akar yang terhasil.

Cara yang manakah untuk dipilih semasa menyelesaikan persamaan logaritma tertentu terpulang kepada anda. Walau apa pun, jawapannya tetap sama.

Pertimbangkan beberapa jenis persamaan logaritma yang tidak sering dipertimbangkan dalam pelajaran matematik di sekolah, tetapi digunakan secara meluas dalam penyediaan tugasan kompetitif, termasuk untuk peperiksaan.

1. Persamaan Diselesaikan dengan Kaedah Logaritma

Apabila menyelesaikan persamaan yang mengandungi pembolehubah dalam asas dan dalam eksponen, kaedah logaritma digunakan. Jika, pada masa yang sama, eksponen mengandungi logaritma, maka kedua-dua belah persamaan mestilah logaritma kepada asas logaritma ini.

Contoh 1.

Selesaikan persamaan: x log 2 x + 2 = 8.

Penyelesaian.

Mari kita logaritma sisi kiri dan kanan persamaan dalam asas 2. Kita dapat

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Biarkan log 2 x = t.

Kemudian (t + 2) t = 3.

t 2 + 2t - 3 = 0.

D = 16.t 1 = 1; t 2 = -3.

Jadi log 2 x = 1 dan x 1 = 2 atau log 2 x = -3 dan x 2 = 1/8

Jawapan: 1/8; 2.

2. Persamaan logaritma homogen.

Contoh 2.

Selesaikan persamaan log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

Penyelesaian.

Domain persamaan

(x 2 - 3x + 4> 0,
(x + 5> 0. → x> -5.

log 3 (x + 5) = 0 pada x = -4. Dengan menyemak, kami menentukan bahawa nilai x yang diberikan bukan ialah punca bagi persamaan asal. Oleh itu, anda boleh membahagi kedua-dua belah persamaan dengan log 2 3 (x + 5).

Kami mendapat log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Biarkan log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Kemudian t 2 - 3 t + 2 = 0. Punca-punca persamaan ini ialah 1; 2. Kembali kepada pembolehubah asal, kita memperoleh satu set dua persamaan

Tetapi dengan mengambil kira kewujudan logaritma, ia hanya perlu mempertimbangkan nilai (0; 9]. Jadi ungkapan di sebelah kiri mengambil nilai terbesar 2 pada x = 1. Sekarang pertimbangkan fungsi y = 2 x-1 + 2 1-x. Jika kita ambil t = 2 x -1, maka ia akan mengambil bentuk y = t + 1 / t, di mana t> 0. Di bawah keadaan ini, ia mempunyai satu titik kritikal t = 1. Ini ialah titik minimum, y vin = 2. Dan ia dicapai pada x = 1.

Sekarang adalah jelas bahawa graf bagi fungsi yang sedang dipertimbangkan boleh bersilang sekali sahaja pada titik (1; 2). Ternyata x = 1 ialah satu-satunya punca persamaan yang diselesaikan.

Jawapan: x = 1.

Contoh 5. Selesaikan persamaan log 2 2 x + (x - 1) log 2 x = 6 - 2x

Penyelesaian.

Selesaikan persamaan ini untuk log 2 x. Biarkan log 2 x = t. Kemudian t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x = 0.

D = (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) = (x - 5) 2. t 1 = -2; t 2 = 3 - x.

Kami mendapat persamaan log 2 x = -2 atau log 2 x = 3 - x.

Punca bagi persamaan pertama ialah x 1 = 1/4.

Punca log persamaan 2 x = 3 - x ditemui melalui pemilihan. Ini adalah nombor 2. Punca ini unik, kerana fungsi y = log 2 x semakin meningkat ke atas keseluruhan domain definisi, dan fungsi y = 3 - x semakin berkurangan.

Dengan menyemak adalah mudah untuk memastikan bahawa kedua-dua nombor adalah punca persamaan

Jawapan: 1/4; 2.

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Seperti yang anda ketahui, apabila mendarab ungkapan dengan kuasa, eksponennya sentiasa ditambah (a b * a c = a b + c). Undang-undang matematik ini diperolehi oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematik Virasen mencipta jadual penunjuk keseluruhan. Merekalah yang berkhidmat untuk penemuan logaritma selanjutnya. Contoh penggunaan fungsi ini boleh didapati hampir di mana-mana di mana anda perlu memudahkan pendaraban yang menyusahkan dengan penambahan mudah. Jika anda menghabiskan 10 minit membaca artikel ini, kami akan menerangkan kepada anda apa itu logaritma dan cara bekerja dengannya. Bahasa yang mudah dan mudah diakses.

Definisi dalam matematik

Logaritma ialah ungkapan dalam bentuk berikut: log ab = c, iaitu, logaritma sebarang nombor bukan negatif (iaitu, sebarang positif) "b" berdasarkan asasnya "a" dianggap sebagai kuasa " c", yang mana asas "a" mesti dinaikkan, supaya pada akhirnya mendapat nilai "b". Mari analisa logaritma menggunakan contoh, contohnya, terdapat log ungkapan 2 8. Bagaimana untuk mencari jawapan? Ia sangat mudah, anda perlu mencari ijazah sedemikian supaya dari 2 ke ijazah yang diingini anda mendapat 8. Setelah melakukan beberapa pengiraan dalam fikiran anda, kami mendapat nombor 3! Dan betul, kerana 2 kepada kuasa 3 memberikan nombor 8 dalam jawapan.

Varieti logaritma

Bagi kebanyakan pelajar dan pelajar, topik ini kelihatan rumit dan tidak dapat difahami, tetapi sebenarnya, logaritma tidak begitu menakutkan, perkara utama ialah memahami makna umum mereka dan mengingati sifat dan beberapa peraturan mereka. Terdapat tiga jenis ungkapan logaritma yang berbeza:

1. Logaritma asli ln a, dengan asas ialah nombor Euler (e = 2.7).
2. Perpuluhan a, asas 10.
3. Logaritma sebarang nombor b kepada asas a> 1.

Setiap daripada mereka diselesaikan dengan cara piawai, termasuk penyederhanaan, pengurangan dan pengurangan seterusnya kepada satu logaritma menggunakan teorem logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang betul, anda harus ingat sifatnya dan urutan tindakan apabila menyelesaikannya.

Peraturan dan beberapa sekatan

Dalam matematik, terdapat beberapa peraturan-sekatan yang diterima sebagai aksiom, iaitu, ia tidak boleh dirunding dan benar. Sebagai contoh, anda tidak boleh membahagi nombor dengan sifar, dan anda masih tidak boleh mengeluarkan punca genap nombor negatif. Logaritma juga mempunyai peraturannya sendiri, yang berikut anda boleh belajar bekerja dengan mudah walaupun dengan ungkapan logaritma yang panjang dan luas:

• asas "a" mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar, dan pada masa yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak ungkapan itu akan kehilangan maknanya, kerana "1" dan "0" dalam mana-mana darjah sentiasa sama dengan nilainya;
• jika a> 0, maka a b> 0, ternyata "c" juga mesti lebih besar daripada sifar.

Bagaimana anda menyelesaikan logaritma?

Sebagai contoh, diberi tugas untuk mencari jawapan kepada persamaan 10 x = 100. Sangat mudah, anda perlu memilih kuasa sedemikian, menaikkan nombor sepuluh yang kita dapat 100. Ini, sudah tentu, 10 2 = 100 .

Sekarang mari kita wakili ungkapan ini sebagai satu logaritma. Kami mendapat log 10 100 = 2. Apabila menyelesaikan logaritma, semua tindakan hampir menumpu untuk mencari kuasa yang diperlukan untuk memperkenalkan asas logaritma untuk mendapatkan nombor yang diberikan.

Untuk menentukan dengan tepat nilai ijazah yang tidak diketahui, adalah perlu untuk belajar cara bekerja dengan jadual darjah. Ia kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, sesetengah eksponen boleh meneka secara intuitif jika anda mempunyai pemikiran teknikal dan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Walau bagaimanapun, nilai yang lebih besar akan memerlukan jadual kuasa. Ia boleh digunakan walaupun oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematik yang kompleks. Lajur kiri mengandungi nombor (asas a), baris atas nombor ialah kuasa c yang mana nombor a dinaikkan. Di persimpangan dalam sel, nilai nombor ditentukan, yang merupakan jawapan (a c = b). Ambil, sebagai contoh, sel pertama dengan nombor 10 dan kuasa duakannya, kita mendapat nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Segala-galanya sangat mudah dan mudah sehinggakan humanis yang paling sebenar akan faham!

Persamaan dan ketaksamaan

Ternyata dalam keadaan tertentu eksponen adalah logaritma. Oleh itu, sebarang ungkapan berangka matematik boleh ditulis sebagai kesamaan logaritma. Contohnya, 3 4 = 81 boleh ditulis sebagai logaritma 81 hingga asas 3, sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kuasa negatif, peraturannya adalah sama: 2 -5 = 1/32, kita menulisnya sebagai logaritma, kita mendapat log 2 (1/32) = -5. Salah satu bidang matematik yang paling menarik ialah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan penyelesaian persamaan sedikit di bawah, sejurus selepas mengkaji sifatnya. Sekarang mari kita lihat rupa ketaksamaan dan cara membezakannya daripada persamaan.

Ungkapan bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1)> 3 - ia adalah ketaksamaan logaritma, kerana nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ungkapan, dua nilai dibandingkan: logaritma nombor yang diperlukan untuk asas dua adalah lebih besar daripada nombor tiga.

Perbezaan paling penting antara persamaan logaritma dan ketaksamaan ialah persamaan dengan logaritma (contohnya, logaritma 2 x = √9) membayangkan satu atau lebih nilai berangka tertentu dalam jawapan, manakala menyelesaikan ketaksamaan menentukan kedua-dua julat nilai yang boleh diterima ​dan mata yang melanggar fungsi ini. Akibatnya, jawapannya bukanlah satu set nombor berasingan yang mudah seperti dalam jawapan kepada persamaan, tetapi siri berterusan atau set nombor.

Teorem asas tentang logaritma

Apabila menyelesaikan tugas primitif untuk mencari nilai logaritma, sifatnya mungkin tidak diketahui. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan logaritma atau ketaksamaan, pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas dan menggunakan dalam amalan semua sifat asas logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh-contoh persamaan kemudian, mari kita menganalisis setiap sifat dengan lebih terperinci.

1. Identiti utama kelihatan seperti ini: a logaB = B. Ia hanya terpakai jika a lebih besar daripada 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar daripada sifar.
2. Logaritma produk boleh diwakili dalam formula berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam kes ini, prasyarat ialah: d, s 1 dan s 2> 0; a ≠ 1. Anda boleh memberikan bukti untuk formula logaritma ini, dengan contoh dan penyelesaian. Biarkan log sebagai 1 = f 1 dan log sebagai 2 = f 2, kemudian a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kami memperoleh bahawa s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (sifat bagi kuasa ), dan seterusnya mengikut takrifan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log sebagai 2, iaitu apa yang diperlukan untuk membuktikan.
3. Logaritma hasil bagi kelihatan seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem dalam bentuk formula mengambil bentuk berikut: log a q b n = n / q log a b.

Formula ini dipanggil "sifat darjah logaritma". Ia menyerupai sifat darjah biasa, dan ia tidak menghairankan, kerana semua matematik bergantung pada postulat semula jadi. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log a b = t, ternyata a t = b. Jika kita menaikkan kedua-dua bahagian kepada kuasa m: a tn = b n;

tetapi oleh kerana a tn = (a q) nt / q = b n, oleh itu log a q b n = (n * t) / t, kemudian log a q b n = n / q log a b. Teorem dibuktikan.

Contoh masalah dan ketidaksamaan

Jenis masalah logaritma yang paling biasa ialah contoh persamaan dan ketaksamaan. Ia terdapat dalam hampir semua buku masalah, dan juga termasuk dalam bahagian wajib peperiksaan dalam matematik. Untuk memasuki universiti atau lulus peperiksaan masuk dalam matematik, anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas tersebut dengan betul.

Malangnya, tidak ada pelan atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, bagaimanapun, peraturan tertentu boleh digunakan untuk setiap ketaksamaan matematik atau persamaan logaritma. Pertama sekali, adalah perlu untuk mengetahui sama ada ungkapan itu boleh dipermudahkan atau dibawa ke bentuk umum. Ungkapan logaritma panjang boleh dipermudahkan jika sifatnya digunakan dengan betul. Jom kenali mereka segera.

Apabila menyelesaikan persamaan logaritma, adalah perlu untuk menentukan jenis logaritma yang ada di hadapan kita: contoh ungkapan boleh mengandungi logaritma asli atau perpuluhan.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Penyelesaian mereka bermuara kepada fakta bahawa anda perlu menentukan sejauh mana asas 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma semula jadi, anda perlu menggunakan identiti logaritma atau sifatnya. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritma pelbagai jenis.

Cara menggunakan formula logaritma: dengan contoh dan penyelesaian

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorem utama pada logaritma.

1. Sifat logaritma produk boleh digunakan dalam tugasan di mana ia perlu untuk menguraikan nilai besar nombor b kepada faktor yang lebih mudah. Sebagai contoh, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Jawapannya ialah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - seperti yang anda lihat, menggunakan sifat keempat kuasa logaritma, adalah mungkin untuk menyelesaikan ungkapan yang kelihatan rumit dan tidak dapat diselesaikan. Anda hanya perlu memfaktorkan asas dan kemudian mengeluarkan nilai kuasa daripada tanda logaritma.

Tugasan daripada peperiksaan

Logaritma sering dijumpai dalam peperiksaan kemasukan, terutamanya banyak masalah logaritma dalam peperiksaan (peperiksaan negeri untuk semua lepasan sekolah). Biasanya, tugasan ini hadir bukan sahaja dalam bahagian A (bahagian ujian yang paling mudah dalam peperiksaan), tetapi juga dalam bahagian C (tugas yang paling sukar dan banyak). Peperiksaan mengambil pengetahuan yang tepat dan sempurna tentang topik "Logaritma semulajadi".

Contoh dan penyelesaian kepada masalah diambil daripada versi rasmi Peperiksaan Negeri Bersepadu. Mari lihat bagaimana tugasan sedemikian diselesaikan.

Diberi log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
tulis semula ungkapan itu, permudahkannya sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, dengan takrif logaritma kita mendapat bahawa 2x-1 = 2 4, oleh itu 2x = 17; x = 8.5.

• Adalah lebih baik untuk menukar semua logaritma kepada satu asas supaya penyelesaiannya tidak menyusahkan dan mengelirukan.
• Semua ungkapan di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh itu, apabila eksponen eksponen ungkapan, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai tapaknya, dikeluarkan oleh faktor, ungkapan yang tinggal di bawah logaritma mestilah positif.