භාග සමඟ සංඛ්යා එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති. පොදු භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම

සටහන!ඔබේ අවසාන පිළිතුර ලිවීමට පෙර, ඔබට ලැබුණු කොටස කෙටි කළ හැකිදැයි බලන්න.

සමාන හරයන් සමඟ භාග අඩු කිරීම, උදාහරණ:

,

,

එකකින් නිසි භාගයක් අඩු කිරීම.

නිසි ඒකකයකින් කොටසක් අඩු කිරීමට අවශ්‍ය නම්, ඒකකය නුසුදුසු භාගයක ස්වරූපයට පරිවර්තනය කරයි, එහි හරය අඩු කළ භාගයේ හරයට සමාන වේ.

එකකින් නිසි භාගයක් අඩු කිරීමේ උදාහරණයක්:

අඩු කළ යුතු භාගයේ හරය = 7 , එනම්, අපි එකක් නුසුදුසු භාග 7/7 ලෙස නියෝජනය කරන අතර සමාන හර සහිත භාග අඩු කිරීමේ රීතියට අනුව එය අඩු කරන්නෙමු.

සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් නිසි භාගයක් අඩු කිරීම.

භාග අඩු කිරීමේ නීති -සම්පූර්ණ අංකයකින් නිවැරදි (ස්වාභාවික අංකය):

• අපි පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටසක් අඩංගු භාග නුසුදුසු ඒවා බවට පරිවර්තනය කරමු. අපි සාමාන්‍ය නියමයන් ලබා ගනිමු (ඒවායේ විවිධ හරයන් තිබේ නම් එය කමක් නැත), ඉහත දක්වා ඇති නීතිවලට අනුව අපි ගණනය කරමු;
• ඊළඟට, අපට ලැබුණු කොටස් අතර වෙනස අපි ගණනය කරමු. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි පිළිතුර පාහේ සොයාගනු ඇත;
• අපි ප්‍රතිලෝම පරිවර්තනය සිදු කරන්නෙමු, එනම්, අපි නුසුදුසු භාගය ඉවත් කරමු - අපි කොටසෙහි සම්පූර්ණ කොටස තෝරා ගනිමු.

සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් නිසි භාගයක් අඩු කරන්න: ස්වාභාවික සංඛ්‍යාව මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවක් ලෙස නියෝජනය කරන්න. එම. අපි ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක ඒකකයක් ගෙන එය නුසුදුසු භාගයක ස්වරූපයට පරිවර්තනය කරමු, හරය අඩු කරන ලද භාගයට සමාන වේ.

භාග අඩු කිරීමේ උදාහරණය:

උදාහරණයේදී, අපි එකක් වෙනුවට 7/7 අනිසි භාගය ආදේශ කළ අතර 3 වෙනුවට අපි මිශ්‍ර අංකයක් ලියා භාගික කොටසෙන් කොටසක් අඩු කළෙමු.

විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීම.

එසේත් නැතිනම්, එය වෙනත් ආකාරයකින් කිවහොත්, විවිධ භාග අඩු කිරීම.

විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීම සඳහා රීතිය.විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීම සඳහා, පළමුව, මෙම භාග අවම පොදු හරයට (LCD) අඩු කිරීම අවශ්‍ය වන අතර, මෙයින් පසුව පමණක්, එකම හරයන් සහිත භාග සමඟ අඩු කිරීම සිදු කරන්න.

භාග කිහිපයක පොදු හරය වේ LCM (අඩුම පොදු බහු)මෙම භාගවල හරයන් වන ස්වාභාවික සංඛ්‍යා.

අවධානය!අවසාන භාගයේ සංඛ්‍යා සහ හරයට පොදු සාධක තිබේ නම්, එම කොටස අඩු කළ යුතුය. නුසුදුසු භාගයක් මිශ්ර භාගයක් ලෙස වඩාත් හොඳින් නියෝජනය වේ. හැකිතාක් දුරට අඩු නොකර අඩු කිරීමේ ප්‍රතිඵලය අත්හැරීම උදාහරණයට අසම්පූර්ණ විසඳුමකි!

විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීමේ ක්‍රියා පටිපාටිය.

• සියලුම හර සඳහා LCM සොයා ගන්න;
• සියලුම භාග සඳහා අමතර සාධක දමන්න;
• අතිරේක සාධකයකින් සියලුම සංඛ්යා ගුණ කරන්න;
• අපි සියලු භාග යටතේ පොදු හරය අත්සන් කරමින්, ප්රතිඵලය නිෂ්පාදන අංකනයට ලියන්නෙමු;
• භාගවල සංඛ්‍යා අඩු කරන්න, වෙනස යටතේ පොදු හරය අත්සන් කරන්න.

එලෙසම, සංඛ්‍යාංකයේ අකුරු තිබේ නම් භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සිදු කෙරේ.

භාග අඩු කිරීම, උදාහරණ:

මිශ්ර භාග අඩු කිරීම.

හිදී මිශ්‍ර භාග අඩු කිරීම (සංඛ්‍යා)වෙනමම, නිඛිල කොටස පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටසෙන් අඩු කරනු ලබන අතර භාගික කොටස භාගික කොටසෙන් අඩු කරනු ලැබේ.

මිශ්ර භාග අඩු කිරීම සඳහා පළමු විකල්පය.

භාගික කොටස් නම් ඒකමයි minuend හි භාගික කොටසෙහි හරයන් සහ numerator (අපි එය එයින් අඩු කරමු) ≥ subtrahend හි භාගික කොටසෙහි numerator (අපි එය අඩු කරමු).

උදාහරණ වශයෙන්:

මිශ්ර භාග අඩු කිරීම සඳහා දෙවන විකල්පය.

භාගික කොටස් විට විවිධහරයන්. ආරම්භ කිරීම සඳහා, අපි භාගික කොටස් පොදු හරයකට ගෙන එන අතර, ඉන් පසුව අපි සම්පූර්ණ කොටසෙන් සම්පූර්ණ කොටස සහ භාගික කොටස භාගික කොටසෙන් අඩු කරමු.

උදාහරණ වශයෙන්:

මිශ්ර භාග අඩු කිරීම සඳහා තුන්වන විකල්පය.

minuend හි භාගික කොටස subtrahend හි භාගික කොටසට වඩා අඩුය.

උදාහරණයක්:

නිසා භාගික කොටස් වලට විවිධ හරයන් ඇත, එනම්, දෙවන විකල්පයේ මෙන්, අපි මුලින්ම සාමාන්‍ය භාග පොදු හරයකට ගෙන එන්නෙමු.

minuend හි භාගික කොටසෙහි සංඛ්‍යාංකය subtrahend හි භාගික කොටසෙහි සංඛ්යාංකයට වඩා අඩුය.3 < 14. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපි සම්පූර්ණ කොටසෙන් ඒකකයක් ගෙන මෙම ඒකකය එකම හරය සහ අංකනය සහිත නුසුදුසු භාගයක ස්වරූපයට අඩු කිරීමයි. = 18.

දකුණු පැත්තේ ඇති සංඛ්‍යාංකයේ අපි ඉලක්කම්වල එකතුව ලියන්නෙමු, ඉන්පසු අපි දකුණු පැත්තේ සංඛ්‍යාංකයේ වරහන් විවෘත කරමු, එනම් අපි සියල්ල ගුණ කර සමාන ඒවා ලබා දෙමු. අපි හරයේ වරහන් විවෘත නොකරමු. භාණ්ඩය හරයන් තුළ තැබීම සිරිතකි. අපට ලැබෙන්නේ:

විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමේ නීති ඉතා සරල ය.

පියවරෙන් පියවර විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමේ නීති බලමු:

1. හරවල LCM (අවම පොදු ගුණාකාර) සොයන්න. ප්රතිඵලය වන LCM භාගවල පොදු හරය වනු ඇත;

2. භාග පොදු හරයකට අඩු කරන්න;

3. පොදු හරයකට අඩු කළ භාග එකතු කරන්න.

සරල උදාහරණයක් භාවිතා කරමින්, විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම සඳහා නීති රීති යෙදිය යුතු ආකාරය අපි ඉගෙන ගනිමු.

උදාහරණයක්

විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමේ උදාහරණයක්.

විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කරන්න:

අපි පියවරෙන් පියවර තීරණය කරමු.

1. හරවල LCM (අවම පොදු ගුණාකාර) සොයන්න.

අංක 12 6 න් බෙදිය හැකිය.

මෙයින් අපි නිගමනය කරන්නේ අංක 6 සහ 12 හි අවම පොදු ගුණාකාරය 12 බවයි.

පිළිතුර: අංක 6 සහ 12 සංඛ්‍යාව 12 වේ:

LCM(6, 12) = 12

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන LCM 1/6 සහ 5/12 භාග දෙකේ පොදු හරය වනු ඇත.

2. භාග පොදු හරයකට අඩු කරන්න.

අපගේ උදාහරණයේ දී, පළමු කොටස පමණක් 12 හි පොදු හරයකට අඩු කළ යුතුය, මන්ද දෙවන භාගයට දැනටමත් 12 හරයක් ඇත.

12 හි පොදු හරය පළමු භාගයේ හරයෙන් බෙදන්න:

2 හි අතිරේක ගුණකයක් ඇත.

පළමු භාගයේ (1/6) සංඛ්‍යා සහ හරය 2 හි අතිරේක සාධකයකින් ගුණ කරන්න.

සාමාන්‍ය භාගික සංඛ්‍යා මුලින්ම 5 වන ශ්‍රේණියේ පාසල් සිසුන් හමුවන අතර ඔවුන්ගේ ජීවිත කාලය පුරාම ඔවුන් සමඟ පැමිණේ, මන්ද එදිනෙදා ජීවිතයේදී බොහෝ විට වස්තුවක් සමස්තයක් ලෙස නොව වෙනම කොටස් ලෙස සලකා බැලීම හෝ භාවිතා කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙම මාතෘකාව අධ්යයනය කිරීම ආරම්භ කරන්න - කොටස්. කොටස් සමාන කොටස් වේ, මෙම හෝ එම වස්තුව බෙදී ඇත. සියල්ලට පසු, සෑම විටම ප්රකාශ කිරීමට නොහැකි ය, උදාහරණයක් ලෙස, සම්පූර්ණ සංඛ්යාවක් ලෙස නිෂ්පාදනයේ දිග හෝ මිල; යම් මිනුමක කොටස් හෝ භාග සැලකිල්ලට ගත යුතුය. "බෙදීම" යන ක්‍රියා පදයෙන් සෑදී ඇත - කොටස් වලට බෙදීමට සහ අරාබි මූලයන් ඇති "භාගය" යන වචනය 8 වන සියවසේදී රුසියානු භාෂාවෙන් මතු විය.

භාගික ප්‍රකාශන දිගු කලක් තිස්සේ ගණිතයේ දුෂ්කරම අංශය ලෙස සැලකේ. 17 වන ශතවර්ෂයේදී, ගණිතය පිළිබඳ පළමු පෙළපොත් දර්ශනය වූ විට, ඒවා "බිඳුණු අංක" ලෙස හැඳින්වූ අතර එය මිනිසුන්ට තේරුම් ගැනීමට ඉතා අපහසු විය.

සරල භාගික ඉතිරි වල නවීන ස්වරූපය, ඒවායේ කොටස් තිරස් රේඛාවකින් වෙන් කර ඇත, මුලින්ම ප්‍රවර්ධනය කරන ලද්දේ Fibonacci - Leonardo of Pisa විසිනි. ඔහුගේ කෘති 1202 දක්වා දිව යයි. නමුත් මෙම ලිපියේ අරමුණ වන්නේ විවිධ හරයන් සහිත මිශ්‍ර භාග ගුණ කරන ආකාරය සරලව සහ පැහැදිලිව පාඨකයාට පහදා දීමයි.

විවිධ හරයන් සමඟ භාග ගුණ කිරීම

මුලදී එය තීරණය කිරීම වටී භාග වර්ග:

• නිවැරදි;
• වැරදි;
• මිශ්ර.

ඊළඟට, එකම හරය සහිත භාගික සංඛ්‍යා ගුණ කරන ආකාරය ඔබ මතක තබා ගත යුතුය. මෙම ක්‍රියාවලියේ රීතිය ස්වාධීනව සකස් කිරීම අපහසු නැත: සමාන හරයන් සමඟ සරල භාග ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලය භාගික ප්‍රකාශනයක් වන අතර, එහි සංඛ්‍යාංකය සංඛ්‍යාවල ගුණිතය වන අතර හරය මෙම භාගවල හරවල ගුණිතය වේ. . එනම්, ඇත්ත වශයෙන්ම, නව හරය යනු මුලින් පවතින එක් වර්ගයක වර්ගයයි.

ගුණ කරන විට විවිධ හරයන් සහිත සරල භාගසාධක දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් සඳහා රීතිය වෙනස් නොවේ:

ඒ/බී * c/ඈ = a*c / b*d.

එකම වෙනස වන්නේ භාගික රේඛාව යටතේ සාදන ලද අංකය විවිධ සංඛ්‍යාවල නිෂ්පාදනයක් වන අතර, ස්වාභාවිකවම, එය එක් සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශයක වර්ග ලෙස හැඳින්විය නොහැක.

උදාහරණ භාවිතා කරමින් විවිධ හරයන් සහිත භාග ගුණ කිරීම සලකා බැලීම වටී:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

උදාහරණ භාගික ප්‍රකාශන අඩු කිරීමේ ක්‍රම භාවිතා කරයි. ඔබට අඩු කළ හැක්කේ හර සංඛ්‍යා සහිත සංඛ්‍යා සංඛ්‍යා පමණි; භාග රේඛාවට ඉහළින් හෝ පහළින් යාබද සාධක අඩු කළ නොහැක.

සරල භාග සමඟ මිශ්‍ර භාග යන සංකල්පය ද ඇත. මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් සහ භාගික කොටසකින් සමන්විත වේ, එනම් එය මෙම සංඛ්‍යාවල එකතුව වේ:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

ගුණ කිරීම වැඩ කරන්නේ කෙසේද?

සලකා බැලීම සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් සපයනු ලැබේ.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

උදාහරණය මගින් සංඛ්‍යාවක් ගුණ කිරීම භාවිතා කරයි සාමාන්ය භාගික කොටස, මෙම ක්‍රියාව සඳහා රීතිය මෙසේ ලිවිය හැකිය:

ඒ* බී/c = a*b /c.

ඇත්ත වශයෙන්ම, එවැනි නිෂ්පාදනයක් සමාන භාගික ඉතිරි එකතුවක් වන අතර, පද ගණන මෙම ස්වාභාවික අංකය පෙන්නුම් කරයි. විශේෂ අවස්ථාවක්:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

භාගික ඉතිරියකින් සංඛ්‍යාවක් ගුණ කිරීමට තවත් විසඳුමක් තිබේ. ඔබට මෙම අංකයෙන් හරය බෙදීමට අවශ්‍ය වේ:

ඈ* ඉ/f = ඉ/f: d.

හරය ශේෂයක් නොමැතිව ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවකින් බෙදූ විට හෝ ඔවුන් පවසන පරිදි සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදූ විට මෙම තාක්ෂණය භාවිතා කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වේ.

මිශ්‍ර සංඛ්‍යා නුසුදුසු භාග බවට පරිවර්තනය කර පෙර විස්තර කර ඇති ආකාරයට නිෂ්පාදනය ලබා ගන්න:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

මෙම උදාහරණයට මිශ්‍ර භාගයක් නුසුදුසු භාගයක් ලෙස නිරූපණය කිරීමේ ක්‍රමයක් ඇතුළත් වන අතර එය සාමාන්‍ය සූත්‍රයක් ලෙසද නිරූපණය කළ හැක:

ඒ බීc = a*b+ c/c, නව භාගයේ හරය සෑදෙන්නේ සම්පූර්ණ කොටස හරය සමඟ ගුණ කිරීමෙන් සහ එය මුල් භාගික ඉතිරියේ සංඛ්‍යාව සමඟ එකතු කිරීමෙන් වන අතර හරය එලෙසම පවතී.

මෙම ක්රියාවලිය ද ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට ක්රියා කරයි. සම්පූර්ණ කොටස සහ භාගික ඉතිරිය වෙන් කිරීම සඳහා, ඔබ "කොනක්" භාවිතා කර එහි හරයෙන් අනිසි භාගයක සංඛ්‍යාව බෙදිය යුතුය.

නුසුදුසු භාග ගුණ කිරීමසාමාන්යයෙන් පිළිගත් ආකාරයෙන් නිෂ්පාදනය කර ඇත. තනි භාග රේඛාවක් යටතේ ලිවීමේදී, මෙම ක්‍රමය භාවිතා කර සංඛ්‍යා අඩු කිරීමට සහ ප්‍රතිඵලය ගණනය කිරීම පහසු කිරීමට අවශ්‍ය පරිදි භාග අඩු කළ යුතුය.

වැඩසටහන් වල විවිධ වෙනස්කම් වල සංකීර්ණ ගණිතමය ගැටළු පවා විසඳීමට අන්තර්ජාලයේ බොහෝ උපකාරකයන් ඇත. එවැනි සේවාවන් ප්‍රමාණවත් සංඛ්‍යාවක් හරය තුළ විවිධ සංඛ්‍යා සහිත භාග ගුණ කිරීම ගණනය කිරීමේදී ඔවුන්ගේ සහාය ලබා දෙයි - භාග ගණනය කිරීම සඳහා ඊනියා මාර්ගගත ගණක යන්ත්‍ර. ඒවා ගුණ කිරීමට පමණක් නොව, සාමාන්‍ය භාග සහ මිශ්‍ර සංඛ්‍යා සමඟ අනෙකුත් සියලුම සරල ගණිත ක්‍රියාකාරකම් සිදු කිරීමට ද හැකියාව ඇත. එය සමඟ වැඩ කිරීම අපහසු නැත; ඔබ වෙබ් අඩවියේ සුදුසු ක්ෂේත්‍ර පුරවා, ගණිතමය මෙහෙයුමේ සලකුණ තෝරන්න, සහ "ගණනය කරන්න" ක්ලික් කරන්න. වැඩසටහන ස්වයංක්රීයව ගණනය කරයි.

භාග සහිත අංක ගණිතමය මෙහෙයුම් යන මාතෘකාව මධ්‍යම හා උසස් පාසල් සිසුන්ගේ අධ්‍යාපනය පුරාම අදාළ වේ. උසස් පාසැලේදී, ඔවුන් තවදුරටත් සරලම විශේෂයන් සලකන්නේ නැත, නමුත් නිඛිල භාගික ප්‍රකාශන, නමුත් පෙර ලබාගත් පරිවර්තනය සහ ගණනය කිරීම් සඳහා නීති රීති පිළිබඳ දැනුම එහි මුල් ආකෘතියේ යොදනු ලැබේ. හොඳින් ප්‍රගුණ කළ මූලික දැනුම වඩාත් සංකීර්ණ ගැටලු සාර්ථකව විසඳීමට පූර්ණ විශ්වාසයක් ලබා දෙයි.

අවසාන වශයෙන්, ලියූ ලෙව් නිකොලෙවිච් ටෝල්ස්ටෝයිගේ වචන උපුටා දැක්වීම අර්ථවත් කරයි: “මිනිසා යනු කොටසකි. කෙනෙකුගේ සංඛ්‍යාව - කුසල් වැඩිකර ගැනීමට හැකියාවක් නැත. නමුත් ඕනෑම කෙනෙකුට තමාගේ හරය - තමා ගැන ඇති මතය අඩු කළ හැකි අතර, මෙම අඩුවීමත් සමඟම ඔහුගේ පරිපූර්ණත්වයට සමීප වේ.

මෙම පාඩම විවිධ හරයන් සමඟ වීජීය භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම ආවරණය කරයි. විවිධ හරයන් සමඟ පොදු භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම අපි දැනටමත් දනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, භාග පොදු හරයකට අඩු කළ යුතුය. වීජීය භාග එකම නීති අනුගමනය කරන බව පෙනී යයි. ඒ අතරම, වීජීය භාග පොදු හරයකට අඩු කරන්නේ කෙසේදැයි අපි දැනටමත් දනිමු. විවිධ හරයන් සහිත භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම 8 වැනි ශ්‍රේණියේ පාඨමාලාවේ වැදගත්ම සහ දුෂ්කර මාතෘකාවකි. එපමණක් නොව, මෙම මාතෘකාව ඔබ අනාගතයේදී ඉගෙන ගන්නා වීජ ගණිත පාඨමාලාවේ බොහෝ මාතෘකා වල දිස්වනු ඇත. පාඩමේ කොටසක් ලෙස, අපි විවිධ හරයන් සමඟ වීජීය භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති අධ්‍යයනය කරන අතර සාමාන්‍ය උදාහරණ ගණනාවක් විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

සාමාන්‍ය භාග සඳහා සරලම උදාහරණය බලමු.

උදාහරණ 1.භාග එකතු කරන්න: .

විසඳුමක්:

භාග එකතු කිරීමේ රීතිය මතක තබා ගනිමු. ආරම්භ කිරීමට, භාග පොදු හරයකට අඩු කළ යුතුය. සාමාන්‍ය භාග සඳහා පොදු හරය වේ අවම වශයෙන් පොදු බහු(LCM) මුල් හරවල.

අර්ථ දැක්වීම

ඉලක්කම් දෙකෙන්ම බෙදිය හැකි කුඩාම ස්වභාවික අංකය සහ .

LCM සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ විසින් හරයන් ප්‍රමුඛ සාධක බවට පත් කළ යුතු අතර, පසුව හර දෙකෙහිම ප්‍රසාරණයට ඇතුළත් වන සියලුම ප්‍රමුඛ සාධක තෝරන්න.

; . එවිට සංඛ්‍යා වල LCM හි දෙක දෙක සහ තුන දෙක ඇතුළත් විය යුතුය: .

පොදු හරය සොයා ගැනීමෙන් පසු, ඔබ එක් එක් කොටස සඳහා අමතර සාධකයක් සොයා ගත යුතුය (ඇත්ත වශයෙන්ම, පොදු හරය අනුරූප භාගයේ හරයෙන් බෙදන්න).

එවිට එක් එක් කොටස ලැබෙන අතිරේක සාධකය මගින් ගුණ කරනු ලැබේ. අපි කලින් පාඩම් වලදී එකතු කිරීමට සහ අඩු කිරීමට ඉගෙන ගත් එකම හරයන් සහිත භාග ලබා ගනිමු.

අපට ලැබෙන්නේ: .

පිළිතුර:.

අපි දැන් විවිධ හරයන් සමඟ වීජීය භාග එකතු කිරීම සලකා බලමු. පළමුව, හරයන් සංඛ්‍යා වන භාග දෙස බලමු.

උදාහරණ 2.භාග එකතු කරන්න: .

විසඳුමක්:

විසඳුම් ඇල්ගොරිතම පෙර උදාහරණයට සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වේ. මෙම භාගවල පොදු හරය සොයා ගැනීම පහසුය: සහ ඒවා එක් එක් සඳහා අමතර සාධක.

.

පිළිතුර:.

ඉතින්, අපි සකස් කරමු විවිධ හරයන් සහිත වීජීය භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:

1. භාගවල අඩුම පොදු හරය සොයන්න.

2. එක් එක් භාග සඳහා අමතර සාධක සොයන්න (පොදු හරය ලබා දී ඇති භාගයේ හරයෙන් බෙදීමෙන්).

3. අනුරූප අතිරේක සාධක මගින් ඉලක්කම් ගුණ කරන්න.

4. සමාන හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති භාවිතා කරමින් භාග එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම.

අපි දැන් භාග සමඟ උදාහරණයක් සලකා බලමු, එහි හරයේ අක්ෂර ප්‍රකාශන අඩංගු වේ.

උදාහරණය 3.භාග එකතු කරන්න: .

විසඳුමක්:

හර දෙකෙහිම අක්ෂර ප්‍රකාශන සමාන බැවින්, ඔබ සංඛ්‍යා සඳහා පොදු හරයක් සොයාගත යුතුය. අවසාන පොදු හරය පෙනෙන්නේ: . මේ අනුව, මෙම උදාහරණයේ විසඳුම පෙනෙන්නේ:

පිළිතුර:.

උදාහරණය 4.භාග අඩු කරන්න: .

විසඳුමක්:

ඔබට පොදු හරයක් තෝරාගැනීමේදී "රැවටීමට" නොහැකි නම් (ඔබට එය සාධක කිරීමට හෝ සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කළ නොහැක), එවිට ඔබට භාග දෙකේම හරවල ගුණිතය පොදු හරය ලෙස ගත යුතුය.

පිළිතුර:.

සාමාන්යයෙන්, එවැනි උදාහරණ විසඳන විට, වඩාත්ම දුෂ්කර කාර්යය වන්නේ පොදු හරයක් සොයා ගැනීමයි.

අපි වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් බලමු.

උදාහරණ 5.සරල කරන්න: .

විසඳුමක්:

පොදු හරයක් සොයා ගැනීමේදී, ඔබ මුලින්ම මුල් භාගවල හරයන් සාධක කිරීමට උත්සාහ කළ යුතුය (පොදු හරය සරල කිරීමට).

මෙම විශේෂිත අවස්ථාවෙහිදී:

එවිට පොදු හරය තීරණය කිරීම පහසුය: .

අපි අතිරේක සාධක තීරණය කර මෙම උදාහරණය විසඳන්නෙමු:

පිළිතුර:.

දැන් අපි විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති ස්ථාපිත කරමු.

උදාහරණ 6.සරල කරන්න: .

විසඳුමක්:

පිළිතුර:.

උදාහරණ 7.සරල කරන්න: .

විසඳුමක්:

.

පිළිතුර:.

අපි දැන් දෙකක් නොව භාග තුනක් එකතු කරන උදාහරණයක් සලකා බලමු (සියල්ලට පසු, විශාල භාග සංඛ්‍යාවක් සඳහා එකතු කිරීමේ සහ අඩු කිරීමේ නීති එලෙසම පවතී).

උදාහරණ 8.සරල කරන්න: .

ඔබට භාග සමඟ විවිධ මෙහෙයුම් සිදු කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, භාග එකතු කිරීම. භාග එකතු කිරීම වර්ග කිහිපයකට බෙදිය හැකිය. සෑම වර්ගයකම භාග එකතු කිරීම සඳහා තමන්ගේම නීති සහ ක්‍රියා ඇල්ගොරිතම ඇත. එක් එක් වර්ගයේ එකතු කිරීම් විස්තරාත්මකව බලමු.

සමාන හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම.

පොදු හරයක් සමඟ භාග එකතු කරන ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණයක් බලමු.

සංචාරකයින් A ලක්ෂ්‍යයේ සිට E ලක්ෂ්‍යය දක්වා වැඩි ගමනක් ගියහ. පළමු දිනයේ ඔවුන් A ලක්ෂ්‍යයේ සිට B දක්වා හෝ \(\frac(1)(5)\) දක්වා මුළු මාවතේම ගමන් කළහ. දෙවන දිනයේ ඔවුන් B ලක්ෂ්‍යයේ සිට D දක්වා හෝ \(\frac(2)(5)\) මුළු මාර්ගයම ගමන් කළහ. D ලක්ෂය දක්වා ගමනේ ආරම්භයේ සිට ඔවුන් කොපමණ දුරක් ගමන් කළාද?

A ලක්ෂ්‍යයේ සිට D ලක්ෂ්‍යයට ඇති දුර සෙවීමට, ඔබ \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\) භාග එකතු කළ යුතුය.

සමාන හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම යන්නෙන් අදහස් වන්නේ ඔබ මෙම භාගවල සංඛ්‍යා එකතු කළ යුතු බවයි, නමුත් හරය එලෙසම පවතිනු ඇත.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

වචනාර්ථයෙන්, එකම හරයන් සහිත භාගවල එකතුව මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

පිළිතුර: සංචාරකයින් මුළු මාර්ගයම \(\frac(3)(5)\) ඇවිද ගියහ.

විවිධ හරයන් සහිත භාග එකතු කිරීම.

අපි උදාහරණයක් බලමු:

ඔබට \(\frac(3)(4)\) සහ \(\frac(2)(7)\) කොටස් දෙකක් එකතු කිරීමට අවශ්‍ය වේ.

විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමට, ඔබ මුලින්ම සොයා ගත යුතුය, ඉන්පසු සමාන හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම සඳහා රීතිය භාවිතා කරන්න.

4 සහ 7 යන හරයන් සඳහා, පොදු හරය අංක 28 වනු ඇත. පළමු කොටස \(\frac(3)(4)\) 7න් ගුණ කළ යුතුය. දෙවන කොටස \(\frac(2)(7)\ ) 4 න් ගුණ කළ යුතුය.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ වාර \color(රතු) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

වචනාර්ථයෙන් අපට පහත සූත්‍රය ලැබේ:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

මිශ්‍ර සංඛ්‍යා හෝ මිශ්‍ර භාග එකතු කිරීම.

එකතු කිරීමේ නීතියට අනුව එකතු කිරීම සිදු වේ.

මිශ්ර භාග සඳහා, අපි සම්පූර්ණ කොටස් සමඟ සම්පූර්ණ කොටස් සහ භාගික කොටස් කොටස් සමඟ එකතු කරමු.

මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවල භාගික කොටස් වලට සමාන හරයන් තිබේ නම්, අපි සංඛ්‍යා එකතු කරමු, නමුත් හරය එලෙසම පවතී.

අපි මිශ්‍ර සංඛ්‍යා \(3\frac(6)(11)\) සහ \(1\frac(3)(11)\) එකතු කරමු.

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\වර්ණ(රතු) (3) + \වර්ණ(නිල්) (\frac(6)(11))) + ( \color(red) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( නිල්) (\frac(6)(11)) + \වර්ණ(නිල්) (\frac(3)(11))) = \වර්ණ(රතු)(4) + (\වර්ණය(නිල්) (\frac(6) + 3)(11))) = \වර්ණ(රතු)(4) + \වර්ණ(නිල්) (\frac(9)(11)) = \වර්ණ(රතු)(4) \වර්ණ(නිල්) (\frac (9)(11))\)

මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවල භාගික කොටස්වලට විවිධ හරයන් තිබේ නම්, අපි පොදු හරය සොයා ගනිමු.

\(7\frac(1)(8)\) සහ \(2\frac(1)(6)\) මිශ්‍ර සංඛ්‍යා එකතු කිරීම සිදු කරමු.

හරය වෙනස් වේ, එබැවින් අපට පොදු හරය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ, එය 24 ට සමාන වේ. පළමු භාගය \(7\frac(1)(8)\) අතිරේක 3 ගුණයකින් සහ දෙවන කොටස \( 2\frac(1)(6)\) මගින් 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\times \color(red) (4))(6\times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

අදාළ ප්රශ්න:
භාග එකතු කරන්නේ කෙසේද?
පිළිතුර: පළමුව ඔබ එය කුමන ආකාරයේ ප්‍රකාශනයක් ද යන්න තීරණය කළ යුතුය: භාගවලට එකම හරයන්, විවිධ හරයන් හෝ මිශ්‍ර භාග ඇත. ප්රකාශන වර්ගය අනුව, අපි විසඳුම් ඇල්ගොරිතම වෙත යන්නෙමු.

විවිධ හරයන් සමඟ භාග විසඳන්නේ කෙසේද?
පිළිතුර: ඔබ පොදු හරය සොයා ගත යුතු අතර, එම හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමේ රීතිය අනුගමනය කරන්න.

මිශ්ර භාග විසඳන්නේ කෙසේද?
පිළිතුර: අපි පූර්ණ සංඛ්‍යා සමඟ පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටස් සහ භාගික කොටස් භාග සමඟ එකතු කරමු.

උදාහරණ #1:
දෙකේ එකතුවෙන් නිසි භාගයක් ලැබිය හැකිද? නුසුදුසු කොටස? උදාහරණ දෙන්න.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

\(\frac(5)(7)\) යනු නියම භාගයකි, එය \(\frac(2)(7)\) සහ \(\frac(3) යන නියම භාග දෙකක එකතුවේ ප්‍රතිඵලයකි. (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

\(\frac(58)(45)\) යනු නුසුදුසු භාගයකි, එය නිසි භාග \(\frac(2)(5)\) සහ \(\frac(8) වල එකතුවේ ප්‍රතිඵලයකි. (9)\).

පිළිතුර: ප්‍රශ්න දෙකටම පිළිතුර ඔව් යන්නයි.

උදාහරණ #2:
භාග එකතු කරන්න: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \time \color(red) (3))(3 \time \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

උදාහරණ #3:
මිශ්‍ර භාගය ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක එකතුව සහ නියම භාගයක් ලෙස ලියන්න: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

අ) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

උදාහරණ #4:
එකතුව ගණනය කරන්න: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

කාර්යය #1:
දවල්ට අපි කේක් එකෙන් \(\frac(8)(11)\) කෑවා, හවස රෑ කෑමට අපි \(\frac(3)(11)\) කෑවා. ඔයා හිතන්නේ කේක් එක සම්පූර්ණයෙන්ම කෑවද නැද්ද කියලද?

විසඳුමක්:
භාගයේ හරය 11 වේ, එය කේක් කොටස් කීයකට බෙදා ඇත්දැයි දක්වයි. දවල්ට අපි කෑවේ 11න් කේක් කෑලි 8ක්. රෑ කෑමට අපි කෑවේ 11න් කේක් කෑලි 3ක්. අපි 8 + 3 = 11 එකතු කරමු, අපි 11න් කේක් කෑලි කෑවා, ඒ කියන්නේ මුළු කේක් එක.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

පිළිතුර: මුළු කේක් ගෙඩියම කෑවා.