බහුපද සාධක කිරීමේ උදාහරණ. චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයක් සාධක කරන්නේ කෙසේද: සූත්‍රය

හතරැස් ත්‍රිපදයක් යනු ax^2 + bx + c ආකෘතියේ බහුපදයකි, මෙහි x යනු විචල්‍යයකි, a, b සහ c යනු සමහර සංඛ්‍යා සහ a ≠ 0 වේ.

ත්‍රිපදයක් සාධක කිරීමට, එම ත්‍රිපදයේ මූලයන් ඔබ දැනගත යුතුය. (5x^2 + 3x- 2 ත්‍රිපදයේ තවත් උදාහරණයක්)

සටහන: 5x^2 + 3x - 2 චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයේ අගය x හි අගය මත රඳා පවතී. උදාහරණයක් ලෙස: x = 0 නම්, 5x^2 + 3x - 2 = -2

x = 2 නම්, 5x^2 + 3x - 2 = 24

x = -1 නම්, 5x^2 + 3x - 2 = 0

x = -1 හිදී, 5x^2 + 3x - 2 හතරැස් ත්‍රිකෝණය අතුරුදහන් වේ, මෙම අවස්ථාවෙහිදී -1 අංකය හැඳින්වේ. හතරැස් ත්‍රිකෝණයක මුල.

සමීකරණයක මූලය ලබා ගන්නේ කෙසේද

අපි මෙම සමීකරණයේ මූලය ලබා ගත් ආකාරය පැහැදිලි කරමු. පළමුව, අපි ක්‍රියා කරන ප්‍රමේයය සහ සූත්‍රය ඔබ පැහැදිලිව දැන සිටිය යුතුය:

"x1 සහ x2 යනු චතුරස්‍ර ත්‍රිපද අක්ෂය^2 + bx + c හි මූලයන් නම්, ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a\

බහුපදයක මූලයන් සෙවීම සඳහා මෙම සූත්‍රය වඩාත්ම ප්‍රාථමික සූත්‍රය වන අතර එය භාවිතා කිරීමෙන් ඔබ කිසි විටෙකත් ව්‍යාකූල නොවනු ඇත.

ප්‍රකාශනය 5x^2 + 3x – 2 වේ.

1. ශුන්‍යයට සමාන කරන්න: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න, මෙය සිදු කිරීම සඳහා අපි අගයන් සූත්‍රයට ආදේශ කරමු (a යනු X^2 හි සංගුණකය, b යනු X හි සංගුණකය, නිදහස් පදය, එනම් X නොමැති රූපය ):

වර්ගමූලයට ඉදිරියෙන් වැඩි ලකුණක් සහිත පළමු මූලය අපට හමු වේ:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

වර්ගමූලයට ඉදිරියෙන් අඩු ලකුණක් සහිත දෙවන මූලය:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

එබැවින් චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයේ මූලයන් අපි සොයාගෙන ඇත. ඒවා නිවැරදි බව තහවුරු කර ගැනීම සඳහා, ඔබට පරීක්ෂා කළ හැකිය: පළමුව අපි පළමු මූලය සමීකරණයට ආදේශ කරමු, පසුව දෙවැන්න:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

සියලු මූලයන් ආදේශ කිරීමෙන් පසු සමීකරණය ශුන්‍ය වන්නේ නම්, සමීකරණය නිවැරදිව විසඳනු ලැබේ.

3. දැන් අපි ප්රමේයයේ සිට සූත්රය භාවිතා කරමු: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), X1 සහ X2 චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් බව මතක තබා ගන්න. ඉතින්: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. වියෝජනය නිවැරදි බව තහවුරු කර ගැනීම සඳහා, ඔබට සරලව වරහන් ගුණ කළ හැක:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x – 0.4) = 5x^2 + 3 – 2. නිවැරදි බව තහවුරු කරන තීරණය පිළිබඳ.

හතරැස් ත්‍රිකෝණයක මූලයන් සෙවීමේ දෙවන විකල්පය

හතරැස් ත්‍රිපදයක මූලයන් සෙවීම සඳහා තවත් විකල්පයක් වන්නේ වියට්ගේ ප්‍රමේයය වෙත ප්‍රතිලෝම ප්‍රමේයය වේ. චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන් සූත්‍ර භාවිතයෙන් සොයා ගැනේ. x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. නමුත් මෙම ප්‍රමේයය භාවිතා කළ හැක්කේ a = 1 සංගුණකය නම්, එනම් x^2 = 1 ට ඉදිරියෙන් ඇති අංකය නම් පමණක් බව වටහා ගැනීම වැදගත්ය.

උදාහරණයක් ලෙස: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

අපි විසඳන්නෙමු: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

දැන් සිතා බැලීම වැදගත් වන්නේ නිෂ්පාදනයේ ඇති ඉලක්කම් මොනවාද? ස්වාභාවිකවම මෙය 1 * 1 සහ -1 * (-1) . මෙම සංඛ්‍යා වලින් අපි x1 + x2 = 2 ප්‍රකාශනයට අනුරූප වන ඒවා තෝරා ගනිමු, ඇත්ත වශයෙන්ම - මෙය 1 + 1. එබැවින් අපි සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගත්තෙමු: x1 = 1, x2 = 1. මෙය අපට පරීක්ෂා කිරීම පහසුය. ප්‍රකාශනයට x^2 ආදේශ කරන්න - 2x + 1 = 0.

මෙම පාඩමෙන් අපි චතුරස්‍ර ත්‍රිකෝණ රේඛීය සාධක බවට සාධක කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි Vieta ගේ ප්රමේයය සහ එහි සංවාදය මතක තබා ගත යුතුය. මෙම නිපුණතාවය චතුරස්‍ර ත්‍රිපද රේඛීය සාධක බවට ඉක්මනින් සහ පහසුවෙන් ප්‍රසාරණය කිරීමට උපකාරී වන අතර ප්‍රකාශන වලින් සමන්විත භාග අඩු කිරීමද සරල කරනු ඇත.

එබැවින් අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණය වෙත ආපසු යමු, කොහෙද .

අපට වම් පැත්තේ ඇති දේ චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ.

ප්‍රමේයය සත්‍ය ය:චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයක මූලයන් නම්, අනන්‍යතාවය රඳවා ගනී

ප්‍රමුඛ සංගුණකය කොතැනද, සමීකරණයේ මූලයන් වේ.

ඉතින්, අපට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ඇත - චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයක්, චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයේ මූලයන් ලෙසද හැඳින්වේ. එබැවින්, අපට චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයක මූලයන් තිබේ නම්, මෙම ත්රිකෝණය රේඛීය සාධක බවට වියෝජනය කළ හැකිය.

සාක්ෂි:

සාක්ෂි මෙම කරුණඅපි පෙර පාඩම් වල සාකච්ඡා කළ වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් සිදු කරනු ලැබේ.

වියේටා ප්‍රමේයය අපට පවසන දේ මතක තබා ගනිමු:

චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයක මූලයන් සඳහා නම්, එසේ නම් .

මෙම ප්‍රමේයයෙන් පහත ප්‍රකාශය පහත දැක්වේ.

Vieta හි ප්‍රමේයය අනුව, එනම්, ඉහත සූත්‍රයට මෙම අගයන් ආදේශ කිරීමෙන්, අපි පහත ප්‍රකාශනය ලබා ගන්නා බව අපට පෙනේ.

Q.E.D.

හතරැස් ත්‍රිපදයක මූලයන් නම් ප්‍රසාරණය වලංගු වේ යන ප්‍රමේයය අප ඔප්පු කළ බව මතක තබා ගන්න.

දැන් අපි Vieta ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් මූලයන් තෝරා ගත් චතුරස්‍ර සමීකරණයක උදාහරණයක් මතක තබා ගනිමු. මෙම කරුණෙන් අපට ඔප්පු කළ ප්‍රමේයයට ස්තූතිවන්ත වන පරිදි පහත සමානාත්මතාවය ලබා ගත හැකිය:

දැන් අපි වරහන් විවෘත කිරීමෙන් මෙම කාරණයේ නිවැරදි භාවය පරීක්ෂා කරමු:

අපි නිවැරදිව සාධක කර ඇති බව අපට පෙනේ, ඕනෑම ත්‍රිපදයකට, මූලයන් තිබේ නම්, මෙම ප්‍රමේයය අනුව සූත්‍රයට අනුව රේඛීය සාධක බවට පත් කළ හැකිය.

කෙසේ වෙතත්, කිසියම් සමීකරණයක් සඳහා එවැනි සාධකකරණයක් කළ හැකිද යන්න පරීක්ෂා කර බලමු:

උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණය ගන්න. පළමුව, වෙනස්කම් කිරීමේ ලකුණ පරීක්ෂා කරමු

ඒවගේම අපිට මතකයි අපි ඉගෙන ගත්ත ප්‍රමේයය සම්පූර්ණ වෙන්න නම් D 0 ට වඩා වැඩි වෙන්න ඕන, ඉතින් මේකෙදි අපි ඉගෙන ගත්ත ප්‍රමේයයට අනුව factorization කරන්න බෑ.

එබැවින්, අපි සකස් කරමු නව ප්රමේයය: චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයකට මූලයන් නොමැති නම්, එය රේඛීය සාධක බවට සාධකකරණය කළ නොහැක.

ඉතින්, අපි Vieta ගේ ප්‍රමේයය දෙස බැලුවෙමු, චතුරස්‍ර ත්‍රිකෝණයක් රේඛීය සාධක බවට වියෝජනය කිරීමේ හැකියාව, දැන් අපි ගැටළු කිහිපයක් විසඳන්නෙමු.

කාර්ය අංක 1

මෙම කණ්ඩායම තුළ අපි ඇත්ත වශයෙන්ම ගැටලුව විසඳනු ඇත්තේ ඉදිරිපත් කරන ලද ප්‍රතිලෝමයට ය. අපට සමීකරණයක් තිබූ අතර, එය සාධකකරණය කිරීමෙන් අපි එහි මූලයන් සොයා ගත්තෙමු. මෙන්න අපි ප්රතිවිරුද්ධ දේ කරන්නෙමු. අපි කියමු චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් අපිට තියෙනවා කියලා

ප්රතිලෝම ගැටළුව මෙයයි: එහි මූලයන් භාවිතා කරමින් චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලියන්න.

මෙම ගැටළුව විසඳීමට ක්රම 2 ක් ඇත.

සමීකරණයේ මූලයන් වන බැවින්, එසේ නම් යනු මූලයන් වන චතුරස්‍ර සමීකරණයකි ලබා දී ඇති සංඛ්යා. දැන් අපි වරහන් විවෘත කර පරීක්ෂා කරමු:

ඕනෑම චතුරස්‍ර සමීකරණයකට වැඩිම වශයෙන් මූලයන් දෙකක් ඇති බැවින්, වෙනත් මූලයන් නොමැති, දී ඇති මූලයන් සමඟින් චතුරස්‍ර සමීකරණයක් අප නිර්මාණය කළ පළමු ක්‍රමය මෙයයි.

මෙම ක්‍රමයට ප්‍රතිලෝම වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කිරීම ඇතුළත් වේ.

සමීකරණයේ මූලයන් නම්, ඔවුන් කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරයි.

අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණය සඳහා ,, එනම් මෙම නඩුවේ, සහ .

මේ අනුව, අපි ලබා දී ඇති මූලයන් ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් නිර්මාණය කර ඇත.

කාර්ය අංක 2

කොටස අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.

අපට සංඛ්‍යාවේ ත්‍රිපදයක් ද හරයේ ත්‍රිපදයක් ද ඇති අතර ත්‍රිපද එක්කෝ සාධකකරණයට හෝ නොවීමට පුළුවන. සංඛ්‍යාංකය සහ හරය යන දෙකම සාධක කර ඇත්නම්, ඒවා අතර අඩු කළ හැකි සමාන සාධක තිබිය හැකිය.

පළමුවෙන්ම, ඔබ සංඛ්යාංකය ගණනය කළ යුතුය.

පළමුව, ඔබ මෙම සමීකරණය සාධකගත කළ හැකිද යන්න පරීක්ෂා කළ යුතුය, අපි වෙනස් කොට සැලකීම සොයා ගනිමු. සිට , ලකුණ නිෂ්පාදනය මත රඳා පවතී (0 ට වඩා අඩු විය යුතුය), in මෙම උදාහරණයේ, එනම් දී ඇති සමීකරණයට මූලයන් ඇත.

විසඳීමට, අපි Vieta's theorem භාවිතා කරමු:

මෙම අවස්ථාවේ දී, අපි මුල් සමඟ කටයුතු කරන බැවින්, එය සරලව මුල් තෝරා ගැනීමට අපහසු වනු ඇත. නමුත් සංගුණක සමතුලිත බව අපට පෙනේ, එනම්, අපි එය උපකල්පනය කර, මෙම අගය සමීකරණයට ආදේශ කළහොත්, අපට පහත පද්ධතිය ලැබේ: , එනම් 5-5=0. මේ අනුව, අපි මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ එක් මූලයක් තෝරාගෙන ඇත.

අපි දැනටමත් දන්නා දේ සමීකරණ පද්ධතියට ආදේශ කිරීමෙන් දෙවන මූලය සොයමු, උදාහරණයක් ලෙස, , i.e. .

මේ අනුව, අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් දෙකම සොයාගෙන ඇති අතර එය සාධක කිරීම සඳහා ඒවායේ අගයන් මුල් සමීකරණයට ආදේශ කළ හැකිය:

මුල් ගැටළුව මතක තබා ගනිමු, අපට භාගය අඩු කිරීමට අවශ්ය විය.

ආදේශ කිරීමෙන් ගැටලුව විසඳීමට උත්සාහ කරමු.

මෙම නඩුවේ හරය 0 ට සමාන විය නොහැකි බව අමතක නොකළ යුතුය, එනම්, .

මෙම කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම්, අපි මුල් භාගය පෝරමයට අඩු කර ඇත.

ගැටළු අංක 3 (පරාමිතියක් සහිත කාර්යය)

පරාමිතියේ කුමන අගයන් ද යන්න චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව වේ

මෙම සමීකරණයේ මූලයන් පවතී නම්, එසේ නම් , ප්රශ්නය: කවදාද.

එබැවින් අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණය වෙත ආපසු යමු, කොහෙද .

අපට වම් පැත්තේ ඇති දේ චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ.

ප්‍රමේයය සත්‍ය ය:චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයක මූලයන් නම්, අනන්‍යතාවය රඳවා ගනී

ප්‍රමුඛ සංගුණකය කොතැනද, සමීකරණයේ මූලයන් වේ.

සාක්ෂි:

මෙම කරුණ සනාථ කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ අප පෙර පාඩම් වලදී සාකච්ඡා කළ වියටා ප්‍රමේයය භාවිතා කරමිනි.

වියේටා ප්‍රමේයය අපට පවසන දේ මතක තබා ගනිමු:

චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයක මූලයන් සඳහා නම්, එසේ නම් .

මෙම ප්‍රමේයයෙන් පහත ප්‍රකාශය පහත දැක්වේ.

Q.E.D.

දැන් අපි වරහන් විවෘත කිරීමෙන් මෙම කාරණයේ නිවැරදි භාවය පරීක්ෂා කරමු:

උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණය ගන්න. පළමුව, වෙනස්කම් කිරීමේ ලකුණ පරීක්ෂා කරමු

එබැවින්, අපි නව ප්රමේයයක් සකස් කරමු: හතරැස් ත්රිකෝණයකට මූලයන් නොමැති නම්, එය රේඛීය සාධක බවට වියෝජනය කළ නොහැක.

කාර්ය අංක 1

මෙම ගැටළුව විසඳීමට ක්රම 2 ක් ඇත.

සමීකරණයේ මූලයන් වන බැවින්, එසේ නම් යනු මූලයන්ට සංඛ්‍යා ලබා දී ඇති චතුරස්‍ර සමීකරණයකි. දැන් අපි වරහන් විවෘත කර පරීක්ෂා කරමු:

මෙම ක්‍රමයට ප්‍රතිලෝම වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කිරීම ඇතුළත් වේ.

සමීකරණයේ මූලයන් නම්, ඔවුන් කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරයි.

අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණය සඳහා ,, එනම් මෙම නඩුවේ, සහ .

මේ අනුව, අපි ලබා දී ඇති මූලයන් ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් නිර්මාණය කර ඇත.

කාර්ය අංක 2

කොටස අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.

පළමුවෙන්ම, ඔබ සංඛ්යාංකය ගණනය කළ යුතුය.

පළමුව, ඔබ මෙම සමීකරණය සාධකගත කළ හැකිද යන්න පරීක්ෂා කළ යුතුය, අපි වෙනස් කොට සැලකීම සොයා ගනිමු. , ලකුණ නිෂ්පාදන මත රඳා පවතී (0 ට වඩා අඩු විය යුතුය), මෙම උදාහරණයේ දී, එනම් දී ඇති සමීකරණයට මූලයන් ඇත.

විසඳීමට, අපි Vieta's theorem භාවිතා කරමු:

මුල් ගැටළුව මතක තබා ගනිමු, අපට භාගය අඩු කිරීමට අවශ්ය විය.

ආදේශ කිරීමෙන් ගැටලුව විසඳීමට උත්සාහ කරමු.

මෙම නඩුවේ හරය 0 ට සමාන විය නොහැකි බව අමතක නොකළ යුතුය, එනම්, .

මෙම කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම්, අපි මුල් භාගය පෝරමයට අඩු කර ඇත.

ගැටළු අංක 3 (පරාමිතියක් සහිත කාර්යය)

පරාමිතියේ කුමන අගයන් ද යන්න චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව වේ

මෙම සමීකරණයේ මූලයන් පවතී නම්, එසේ නම් , ප්රශ්නය: කවදාද.

නිෂ්පාදනයක් ලබා ගැනීම සඳහා බහුපද පුළුල් කිරීම සමහර විට ව්‍යාකූල බවක් පෙනෙන්නට තිබේ. නමුත් ඔබ ක්‍රියාවලිය පියවරෙන් පියවර තේරුම් ගන්නේ නම් එය එතරම් අපහසු නොවේ. චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයක් සාධක කරන්නේ කෙසේද යන්න ලිපියේ විස්තරාත්මකව විස්තර කෙරේ.

හතරැස් ත්‍රිපදයක් සාධක කරන්නේ කෙසේද සහ මෙය සිදු කරන්නේ මන්දැයි බොහෝ දෙනෙකුට වැටහෙන්නේ නැත. මුලදී එය නිෂ්ඵල ව්යායාමයක් ලෙස පෙනෙන්නට පුළුවන. නමුත් ගණිතයේ දී කිසිවක් සඳහා කිසිවක් නොකෙරේ. ප්‍රකාශනය සහ ගණනය කිරීමේ පහසුව සරල කිරීම සඳහා පරිවර්තනය අවශ්‍ය වේ.

පෝරමයේ බහුපදයක් - ax²+bx+c, චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ."a" යන පදය සෘණ හෝ ධන විය යුතුය. ප්රායෝගිකව, මෙම ප්රකාශනය චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. එමනිසා, සමහර විට ඔවුන් එය වෙනස් ලෙස කියයි: චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් පුළුල් කරන්නේ කෙසේද.

රසවත්!බහුපදයක් චතුරස්‍රයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන්නේ එහි විශාලතම උපාධිය වන චතුරස්‍රය නිසාය. සහ ත්රිකෝණයක් - සංරචක 3 නිසා.

තවත් සමහර බහුපද වර්ග:

රේඛීය ද්විපද (6x+8);
ඝන හතරැස් (x³+4x²-2x+9).

චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයක් සාධක කිරීම

පළමුව, ප්‍රකාශනය ශුන්‍යයට සමාන වේ, එවිට ඔබට x1 සහ x2 මූලයන්ගේ අගයන් සොයාගත යුතුය. මුල් නැති වෙන්න පුළුවන්, මුල් එකක් දෙකක් තියෙන්න පුළුවන්. මුල්වල පැවැත්ම තීරණය කරනු ලබන්නේ වෙනස්කම් කරන්නා විසිනි. ඔබ එහි සූත්‍රය හදවතින්ම දැනගත යුතුය: D=b²-4ac.

ප්රතිඵලය D සෘණ නම්, මූලයන් නොමැත. ධනාත්මක නම්, මූලයන් දෙකක් ඇත. ප්රතිඵලය ශුන්ය නම්, මූල එකකි. මූලයන් ද සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කරනු ලැබේ.

වෙනස්කම් කිරීම ගණනය කිරීමේදී, ප්රතිඵලය ශුන්ය නම්, ඔබට ඕනෑම සූත්රයක් භාවිතා කළ හැකිය. ප්රායෝගිකව, සූත්රය සරලව කෙටි කර ඇත: -b / 2a.

සඳහා සූත්ර විවිධ අර්ථවෙනස්කම් කරන්නන් වෙනස් වේ.

D ධනාත්මක නම්:

D ශුන්‍ය නම්:

මාර්ගගත ගණක යන්ත්‍ර

අන්තර්ජාලයේ තියෙනවා මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරය. එය සාධකකරණය සිදු කිරීමට භාවිතා කළ හැක. සමහර සම්පත් විසඳුම පියවරෙන් පියවර බැලීමට අවස්ථාව ලබා දෙයි. එවැනි සේවාවන් මාතෘකාව වඩා හොඳින් තේරුම් ගැනීමට උපකාරී වේ, නමුත් ඔබ එය හොඳින් තේරුම් ගැනීමට උත්සාහ කළ යුතුය.

ප්‍රයෝජනවත් වීඩියෝව: චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයක් සාධක කිරීම

උදාහරණ

නැරඹීමට අපි ඔබට ආරාධනා කරමු සරල උදාහරණ, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් සාධක කරන්නේ කෙසේද.

උදාහරණ 1

D ධනාත්මක බැවින් ප්‍රතිඵලය x දෙකක් බව මෙයින් පැහැදිලිව පෙනේ. ඒවා සූත්‍රයට ආදේශ කළ යුතුයි. මූලයන් ඍණාත්මක බවට හැරෙන්නේ නම්, සූත්රයේ ලකුණ ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් වේ.

චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයක් සාධක කිරීමේ සූත්‍රය අපි දනිමු: a(x-x1)(x-x2). අපි අගයන් වරහන් තුළ තබමු: (x+3)(x+2/3). බලයක වාරයකට පෙර අංකයක් නොමැත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ එහි එකක් තිබේ, එය බැස යන බවයි.

උදාහරණය 2

එක් මූලයක් ඇති සමීකරණයක් විසඳන ආකාරය මෙම උදාහරණයෙන් පැහැදිලිව පෙන්වයි.

අපි ප්රතිඵලය අගය ආදේශ කරමු:

උදාහරණය 3

ලබා දී ඇත: 5x²+3x+7

පළමුව, පෙර අවස්ථා වලදී මෙන් වෙනස් කොට සැලකීම ගණනය කරමු.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

වෙනස්කම් කරන්නා සෘණාත්මක ය, එනම් මූලයන් නොමැත.

ප්රතිඵලය ලැබීමෙන් පසු, ඔබ වරහන් විවෘත කර ප්රතිඵලය පරීක්ෂා කරන්න. මුල් ත්රිකෝණය දිස්විය යුතුය.

විකල්ප විසඳුම

සමහර අයට වෙනස්කම් කරන්නා සමඟ කිසි විටෙකත් මිතුරු වීමට නොහැකි විය. චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයක් සාධකකරණය කිරීමට තවත් ක්‍රමයක් තිබේ. පහසුව සඳහා, මෙම ක්රමය උදාහරණයක් සමඟ පෙන්වා ඇත.

ලබා දී ඇත: x²+3x-10

අපි වරහන් 2 ක් ලබා ගත යුතු බව අපි දනිමු: (_)(_). ප්‍රකාශනය මෙලෙස දිස්වන විට: x²+bx+c, එක් එක් වරහන ආරම්භයේදී අපි x: (x_)(x_) දමමු. ඉතිරි අංක දෙක "c" ලබා දෙන නිෂ්පාදනයයි, එනම් මෙම අවස්ථාවේදී -10. මෙම සංඛ්‍යා මොනවාදැයි සොයා ගැනීමට ඇති එකම ක්‍රමය තේරීමෙනි. ආදේශක අංක ඉතිරි පදයට අනුරූප විය යුතුය.

උදාහරණයක් ලෙස, පහත සංඛ්‍යා ගුණ කිරීමෙන් -10 ලැබේ:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. නැත.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. නැත.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. නැත.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. ගැලපෙනවා.

මෙයින් අදහස් කරන්නේ x2+3x-10 ප්‍රකාශනයේ පරිවර්තනය මෙලෙස දිස්වන බවයි: (x-2)(x+5).

වැදගත්!සංඥා ව්යාකූල නොකිරීමට ඔබ පරෙස්සම් විය යුතුය.

සංකීර්ණ ත්රිකෝණයක ව්යාප්තිය

"a" එකකට වඩා වැඩි නම්, දුෂ්කරතා ආරම්භ වේ. නමුත් සෑම දෙයක්ම පෙනෙන තරම් අපහසු නැත.

ෆැක්ටරයිස් කිරීම සඳහා, ඔබ ප්රථමයෙන් යමක් සාධකගත කළ හැකිද යන්න සොයා බැලිය යුතුය.

උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රකාශනය ලබා දී ඇත: 3x²+9x-30. මෙහි අංක 3 වරහන් වලින් ඉවත් කර ඇත:

3(x²+3x-10). ප්රතිඵලය වන්නේ දැනටමත් සුප්රසිද්ධ ත්රිකෝණයයි. පිළිතුර මේ වගේ ය: 3(x-2)(x+5)

චතුරස්රයේ ඇති පදය සෘණ නම් දිරාපත් වන්නේ කෙසේද? මෙම අවස්ථාවේදී, අංක -1 වරහන් වලින් ඉවත් කරනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස: -x²-10x-8. එවිට ප්රකාශනය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

යෝජනා ක්රමය පෙර එකට වඩා සුළු වශයෙන් වෙනස් වේ. අලුත් දේවල් ටිකක් විතරයි තියෙන්නේ. ප්‍රකාශනය ලබා දී ඇතැයි කියමු: 2x²+7x+3. පිළිතුර (_)(_) පිරවිය යුතු වරහන් 2 කින් ද ලියා ඇත. 2 වන වරහනේ x ලියා ඇති අතර 1 වන ස්ථානයේ ඉතිරිව ඇත. එය මෙසේ පෙනේ: (2x_)(x_). එසේ නොමැති නම්, පෙර යෝජනා ක්රමය නැවත නැවතත් සිදු කෙරේ.

අංක 3 අංක වලින් ලබා දී ඇත:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

මෙම සංඛ්යා ආදේශ කිරීමෙන් අපි සමීකරණ විසඳන්නෙමු. අවසාන විකල්පය සුදුසු ය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ 2x²+7x+3 ප්‍රකාශනයේ පරිවර්තනය මෙලෙස දිස්වන බවයි: (2x+1)(x+3).

වෙනත් අවස්ථා

ප්‍රකාශනයක් පරිවර්තනය කිරීම සැමවිටම කළ නොහැක. දෙවන ක්රමය සමඟ, සමීකරණය විසඳීම අවශ්ය නොවේ. නමුත් නියමයන් නිෂ්පාදනයක් බවට පරිවර්තනය කිරීමේ හැකියාව පරීක්ෂා කරනු ලබන්නේ වෙනස්කම් කරන්නා හරහා පමණි.

තීරණය කිරීමට පුරුදු වීම වටී චතුරස්රාකාර සමීකරණඑබැවින් සූත්ර භාවිතා කිරීමේදී කිසිදු දුෂ්කරතාවයක් නොමැත.

ප්‍රයෝජනවත් වීඩියෝව: ත්‍රිපදයක් සාධක කිරීම

නිගමනය

ඔබට එය ඕනෑම ආකාරයකින් භාවිතා කළ හැකිය. නමුත් දෙකම ස්වයංක්‍රීය වන තුරු පුහුණු වීම වඩා හොඳය. එසේම, ගණිතය සමඟ තම ජීවිතය සම්බන්ධ කිරීමට සැලසුම් කරන අයට චතුරස්රාකාර සමීකරණ සහ සාධක බහුපද හොඳින් විසඳන ආකාරය ඉගෙන ගැනීම අවශ්ය වේ. පහත දැක්වෙන සියලුම ගණිතමය මාතෘකා මේ මත ගොඩනගා ඇත.

චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයක් සාධක කිරීම C3 ගැටලුවෙන් අසමානතාවයන් හෝ C5 පරාමිතිය සමඟ ගැටළුව විසඳන විට ප්රයෝජනවත් විය හැක. එසේම, ඔබ Vieta ගේ ප්‍රමේයය දන්නේ නම් බොහෝ B13 වචන ගැටළු ඉතා ඉක්මනින් විසඳනු ඇත.

මෙම ප්‍රමේයය, ඇත්ත වශයෙන්ම, එය පළමු වරට උගන්වනු ලබන 8 වන ශ්‍රේණියේ දෘෂ්ටිකෝණයෙන් සලකා බැලිය හැකිය. නමුත් අපගේ කාර්යය වන්නේ ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සඳහා හොඳින් සූදානම් වීම සහ විභාග කාර්යයන් හැකි තරම් කාර්යක්ෂමව විසඳීමට ඉගෙන ගැනීමයි. එමනිසා, මෙම පාඩම පාසලට වඩා තරමක් වෙනස් ප්රවේශයක් සලකා බලයි.

Vieta's theorem භාවිතා කරමින් සමීකරණයේ මූලයන් සඳහා සූත්‍රයබොහෝ අය දන්නවා (හෝ අවම වශයෙන් දැක ඇත):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

මෙහි `a, b` සහ `c` යනු චතුරස්‍ර ත්‍රිකෝණාකාර `ax^2+bx+c` හි සංගුණක වේ.

ප්‍රමේයය පහසුවෙන් භාවිතා කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීමට, එය පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද යන්න තේරුම් ගනිමු (මෙය ඇත්ත වශයෙන්ම මතක තබා ගැනීම පහසු කරයි).

අපට `ax^2+ bx+ c = 0` සමීකරණය කරමු. වැඩිදුර පහසුව සඳහා, එය `a` න් බෙදන්න සහ `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` ලබා ගන්න. මෙම සමීකරණය අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.

වැදගත් පාඩම් අදහස: මූලයන් ඇති ඕනෑම චතුරස්‍ර බහුපදයක් වරහන් දක්වා විස්තාරණය කළ හැක.අපි හිතමු අපේ ඒවා `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, මෙහි `k` සහ ` l` - සමහර නියතයන්.

වරහන් විවෘත වන්නේ කෙසේදැයි බලමු:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

මේ අනුව, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

මෙය සම්භාව්‍ය අර්ථ නිරූපණයට වඩා තරමක් වෙනස් ය වියේටා ප්‍රමේයය- එහි අපි සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්නෙමු. සඳහා කොන්දේසි සෙවීමට මම යෝජනා කරමි වරහන් වියෝජනය- මේ ආකාරයෙන් ඔබට සූත්‍රයේ අඩුව ගැන මතක තබා ගැනීමට අවශ්‍ය නැත (එනම් `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). එවැනි සංඛ්යා දෙකක් තෝරාගැනීම ප්රමාණවත් වන අතර, ඒවායේ එකතුව සාමාන්ය සංගුණකයට සමාන වන අතර, නිෂ්පාදිතය නිදහස් පදයට සමාන වේ.

අපට සමීකරණයට විසඳුමක් අවශ්‍ය නම්, එය පැහැදිලිය: මූලයන් `x=-k` හෝ `x=-l` (මෙම අවස්ථා වලදී වරහන් වලින් එකක් ශුන්‍ය වනු ඇත, එනම් සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය ශුන්‍ය වනු ඇත. )

මම ඔබට උදාහරණයක් ලෙස ඇල්ගොරිතම පෙන්වන්නම්: චතුරස්‍ර බහුපදයක් වරහන් බවට ප්‍රසාරණය කරන්නේ කෙසේද?

උදාහරණයක් එක. චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයක් සාධක කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

අපට ඇති මාර්ගය 'x^2+5x+4` චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයකි.

එය අඩු වේ (`x^2` හි සංගුණකය එකකට සමාන වේ). ඔහුට මූලයන් ඇත. (නිසැක වශයෙන්ම, ඔබට වෙනස්කම් කරන්නා තක්සේරු කර එය ශුන්‍යයට වඩා වැඩි බව සහතික කර ගත හැක.)

වැඩිදුර පියවර (සියලු පුහුණු කාර්යයන් සම්පූර්ණ කිරීමෙන් ඔබ ඒවා ඉගෙන ගත යුතුය):

පහත ප්‍රවේශය සම්පූර්ණ කරන්න: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ තිත් වෙනුවට නිදහස් ඉඩ තබන්න, අපි එහි එකතු කරන්නෙමු. සුදුසු සංඛ්යාසහ සංඥා.
සියල්ල බලන්න හැකි විකල්ප, ඔබට සංඛ්‍යා දෙකේ ගුණිතයට `4` අංකය වියෝජනය කරන්නේ කෙසේද? අපි සමීකරණයේ මූලයන් සඳහා "අපේක්ෂකයින්" යුගල ලබා ගනිමු: `2, 2` සහ `1, 4`.
ඔබට සාමාන්‍ය සංගුණකය ලබා ගත හැක්කේ කුමන යුගලයෙන්දැයි සොයා බලන්න. පැහැදිලිවම එය `1, 4` වේ.
$$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ ලියන්න.
ඊළඟ පියවර වන්නේ ඇතුළත් කළ අංක ඉදිරියෙහි සලකුණු තැබීමයි.
වරහන් තුළ ඇති ඉලක්කම් වලට පෙර දිස්විය යුතු ලකුණු මොනවාද යන්න තේරුම් ගන්නේ කෙසේද සහ සදහටම මතක තබා ගන්නේ කෙසේද? ඒවා (වරහන්) විවෘත කිරීමට උත්සාහ කරන්න. පළමු බලයට `x` ට පෙර සංගුණකය වනු ඇත `(± 4 ± 1)` (අපි තවමත් සලකුණු නොදනිමු - අපට තෝරා ගැනීමට අවශ්‍යයි), එය `5` ට සමාන විය යුතුය. නිසැකවම, $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ ප්ලස් දෙකක් ඇත.
මෙම මෙහෙයුම කිහිප වතාවක් සිදු කරන්න (ආයුබෝවන්, පුහුණු කාර්යයන්!) සහ තවත් ගැටළුමෙය කිසිදා සිදු නොවනු ඇත.

ඔබට `x^2+5x+4` සමීකරණය විසඳීමට අවශ්‍ය නම්, දැන් එය විසඳීම අපහසු නොවනු ඇත. එහි මූලයන් `-4, -1` වේ.

උදාහරණ දෙක. විවිධ සංඥා වල සංගුණක සහිත චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණයක සාධකකරණය

අපි `x^2-x-2=0` සමීකරණය විසඳීමට අවශ්‍ය වෙමු. අනවසරයෙන්, වෙනස්කම් කරන්නා ධනාත්මක ය.

අපි ඇල්ගොරිතම අනුගමනය කරන්නෙමු.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
නිඛිල සාධක බවට දෙකක් පමණක් එක් වියෝජනයක් ඇත: `2 · 1`.
අපි කාරණය මඟ හරින්නෙමු - තෝරා ගැනීමට කිසිවක් නැත.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
අපගේ සංඛ්‍යාවල ගුණිතය සෘණ (`-2` යනු නිදහස් පදය) වේ, එයින් අදහස් වන්නේ ඒවායින් එකක් සෘණ වන අතර අනෙක ධනාත්මක වනු ඇති බවයි.
ඒවායේ එකතුව `-1` (`x` හි සංගුණකය) ට සමාන වන බැවින්, `2` සෘණ වනු ඇත (ඉන්ටිටිව් පැහැදිලි කිරීම නම් සංඛ්‍යා දෙකෙන් දෙක විශාල වන අතර, එය වඩාත් ප්‍රබල ලෙස “ඇද” යනු ඇත. සෘණ පැත්ත) අපට ලැබෙන්නේ $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

තුන්වන උදාහරණය. චතුරස්‍ර ත්‍රිපදයක් සාධක කිරීම

සමීකරණය `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
84 පූර්ණ සංඛ්‍යා සාධක බවට පත් කිරීම: `4·21, 6·14, 12·7, 2·42`.
අපට සංඛ්‍යාවල වෙනස (හෝ එකතුව) 5 විය යුතු බැවින්, අපි යුගලයක් කරනු ඇත `7, 12`.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

බලාපොරොත්තුව, මෙම චතුරස්‍ර ත්‍රිකෝණය වරහන් දක්වා ප්‍රසාරණය කිරීමඑය පැහැදිලියි.

ඔබට සමීකරණයකට විසඳුමක් අවශ්‍ය නම්, මෙන්න එය: `12, -7`.

පුහුණු කාර්යයන්

පහසු උදාහරණ කිහිපයක් මම ඔබේ අවධානයට යොමු කරමි වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් විසඳනු ලැබේ.(උදාහරණ "ගණිතය", 2002 සඟරාවෙන් උපුටා ගන්නා ලදී.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

ලිපිය ලියා වසර කිහිපයකට පසු, වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් චතුරස්රාකාර බහුපදයක් පුළුල් කිරීම සඳහා කාර්යයන් 150 ක එකතුවක් දර්ශනය විය.

කැමති සහ අදහස් ප්රශ්න අසන්න!