පයිතගරස් න්‍යාය ඔප්පු කිරීමට විවිධ ක්‍රම. පයිතගරස් ප්රමේයය පිළිබඳ රසවත් කරුණු: ප්‍රසිද්ධ ප්රමේයය ගැන අලුත් දේ ඉගෙන ගන්න
(බර්ලින් කෞතුකාගාරයේ පැපිරස් 6619 ට අනුව). කැන්ටර්ට අනුව, හාර්පෙඩොනප්ට්ස් හෝ "කඹ ආතතිකාරක", 3, 4, සහ 5 පැති වලින් නිවැරදි කෝණ ත්රිකෝණ යොදා ගනිමින් නිවැරදි කෝණ ඉදි කළේය.
ඔවුන්ගේ ඉදිකිරීම් ආකාරය ප්‍රජනනය කිරීම ඉතා පහසුය. මීටර් 12 ක් දිග කඹයක් ගෙන එය එක් කෙළවරක සිට මීටර් 3 ක් සහ අනෙක් කෙළවරේ සිට මීටර් 4 ක් aතින් වර්‍ණ තීරුවකට බැඳ තබන්න. නිවැරදි කෝණය මීටර් 3 ත් 4 ත් අතර දිගකින් යුක්ත වේ. හාර්පෙඩොනප්ට්ස් තර්ක කළ හැක්කේ, උදාහරණයක් වශයෙන් ඔබ සියලු වඩු කාර්මිකයන් භාවිතා කරන ලී චතුරශ්රය භාවිතා කරන්නේ නම් ඒවායේ ඉදිකිරීම් ක්රමය අතිරික්තයක් බවට තර්ක කළ හැකි බවයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඊජිප්තු ඇඳීම් දන්නා අතර එහි එවැනි මෙවලමක් හමු වේ, උදාහරණයක් ලෙස වඩු වැඩමුළුවක් නිරූපණය කරන චිත්‍ර.
බැබිලෝනියානු පයිතගරස් ප්රමේයය ගැන තව බොහෝ දේ දනී. හම්මුරාබිගේ කාලය, එනම් ක්‍රිපූ 2000 දක්වා දිවෙන එක් ලිපියක. එන්එස්. සෘජුකෝණී ත්රිකෝණයක උපකල්පනය පිළිබඳ ආසන්න ගණනය කිරීමක් දෙනු ලැබේ. මෙයින් අපට නිගමනය කළ හැක්කේ මෙසපොතේමියාවේදී අවම වශයෙන් සමහර අවස්ථාවලදී නිවැරදි කෝණ සහිත ත්රිකෝණ වලින් ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමට ඔවුන් දැන සිටි බවයි. එක් අතකින් ඊජිප්තු හා බැබිලෝනියානු ගණිතය පිළිබඳ වර්තමාන මට්ටමේ දැනුම පදනම් කරගෙන අනෙක් පැත්තෙන් ග්‍රීක මූලාශ්‍ර පිළිබඳ විවේචනාත්මක අධ්‍යයනයක් මත වැන් ඩර් වර්ඩන් (ලන්දේසි ගණිතඥයා) නිගමනය කළේ න්‍යාය මත ඉහළ සම්භාවිතාවක් ඇති බවයි ක්රි.පූ. XVIII සියවස පමණ වන විට උපකල්පිතයේ චතුරශ්රය ඉන්දියාවේ දැන සිටියේය. එන්එස්.
පූ 400 පමණ. ඊ., ප්‍රොක්ලස් වලට අනුව, වීජ ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතිය ඒකාබද්ධ කරමින් පයිතගරස් ත්‍රිත්ව සොයා ගැනීමේ ක්‍රමයක් ප්ලේටෝ ලබා දුන්නේය. පූ 300 පමණ. එන්එස්. පයිතගරස් ප්රමේයයේ පැරණිතම අක්ෂීය සාක්ෂිය යුක්ලිඩ්ගේ මූලද්‍රව්‍ය තුළ දක්නට ලැබුණි.
වචන
ජ්‍යාමිතික සැකසීම:
මුලදී, න්‍යාය පහත පරිදි සකස් කරන ලදී:
වීජ ගණිතය:
එනම්, ත්රිකෝණයේ උපකල්පනයේ දිග සහ කකුල් වල දිග සහ:
ප්රමේයයේ ප්‍රකාශ දෙකම සමාන වන නමුත් දෙවන ප්රකාශය වඩාත් ප්‍රාථමික ය, එයට ප්රදේශය යන සංකල්පය අවශ්ය නොවේ. එනම්, දෙවන ප් රකාශය එම ප් රදේශය ගැන කිසිවක් නොදැන සහ සෘජුකෝණික ත් රිකෝණයක පැති දිග පමණක් මැනීමෙන් පරීක් ෂා කළ හැකිය.
ප්රතිලෝම පයිතගරස් ප්රමේයය:
සාක්ෂි
මේ වන විට මෙම ප්රමේයය පිළිබඳ සාක්ෂි 367 ක් විද්‍යාත්මක සාහිත්‍යයේ සටහන් වී ඇත. එවැනි ආකර්ෂණීය සාක්ෂි ගණනාවක් ඇති එකම ප්රමේයය පයිතගරස් ප්රමේයය විය හැකිය. මෙම විවිධත්වය පැහැදිලි කළ හැක්කේ ජ්‍යාමිතිය සඳහා වූ ප්රමේයයේ මූලික අර්ථයෙන් පමණි.
ඇත්ත වශයෙන්ම, සංකල්පමය වශයෙන් ඒ සියල්ලන්ම පන්ති කුඩා සංඛ්‍යාවකට බෙදිය හැකිය. ඒවායින් වඩාත් ප්‍රසිද්ධයි: ප්රදේශ ක්රමය මඟින් සාක්ෂි, අක්ෂීය හා විදේශීය සාක්ෂි (නිදසුනක් ලෙස අවකලන සමීකරණ භාවිතා කිරීම).
සමාන ත්රිකෝණ හරහා
වීජ ගණිතය සැකසීම පිළිබඳ පහත දැක්වෙන සාක්ෂිය නම් මූලධර්ම වලින් කෙලින්ම ගොඩනඟන ලද සාක්ෂි වලින් සරලම එකයි. විශේෂයෙන් එය රූපයක ප්රදේශය යන සංකල්පය භාවිතා නොකරයි.
ඉඩ දෙන්න ඒබීසීසෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ඇත සී... සිට උස උකහා ගනිමු සීසහ එහි පාදයෙන් දක්වන්න එච්... ත්රිකෝණය ACHත්රිකෝණයක් වගේ ඒබීසීකොන් දෙකක. ඒ හා සමානව, ත්රිකෝණය සීබීඑච්සමාන වේ ඒබීසී... අංකනය හඳුන්වා දීම
අපට ලැබේ
සමාන දේ කුමක්ද
එකතු කිරීම, අපට ලැබේ
, ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වූප්රදේශ සාක්ෂි
පැහැදිලිව පෙනෙන සරල බවක් තිබියදීත් පහත දැක්වෙන සාක්ෂි එතරම් සරල නැත. ඒ සියල්ලන්ම භාවිතා කරන්නේ ප්‍රදේශයේ ගුණාංගයන් වන අතර, එය සනාථ කිරීම පයිතගරස් ප්රමේයයේ සාක්‍ෂියට වඩා දුෂ්කර ය.
සමාන අනුපූරක සාක්ෂිය
- රූප සටහන 1 හි දැක්වෙන පරිදි සමාන සෘජුකෝණ ත්රිකෝණ හතරක් තබන්න.
- පැති සහිත හතරැස් cතියුණු කෝණ දෙකක එකතුව 90 ° වන අතර දිග හැරෙන කෝණය 180 ° වන හෙයින් එය හතරැස් වර්ගයකි.
- සමස්ථ රූපයේම ප්‍රමාණය එක් අතකින් හතරැස් කොටසේ පැති (අ + ආ) වන අතර අනෙක් පැත්තෙන් ත්රිකෝණ හතරේ ප්රදේශ වල එකතුව සහ ප්‍රමාණය අභ්යන්තර චතුරශ්රය.
Q.E.D.
යුක්ලිඩ්ගේ සාක්ෂිය
යුක්ලිඩ්ගේ සාක්ෂිය පිටුපස ඇති අදහස පහත පරිදි වේ: උපකල්පනය මත ඉදිකරන ලද චතුරශ්‍රයේ ප්‍රමාණයෙන් අඩක් කකුල් මත ඉදිකර ඇති හතරැස් කොටසේ ප්‍රමාණයට සමාන වන බව ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරමු. විශාල හා කුඩා කොටු දෙක සමාන වේ.
වම් පස ඇඳීම සලකා බලන්න. ඒ මත අපි සෘජුකෝණික ත්රිකෝණයක දෙපැත්තේ චතුරශ්‍ර ගොඩනඟා නිවැරදි කෝණයේ උච්චතම ස්ථානයේ සිට සී වර්‍ගයක් උපුටා ගෙන ඒබී වෙතට ලම්බකව එය අන්ධකාරය මත ඉදිකරන ලද ඒබීකේ චතුරස්‍රය හතරැස් කොට කපා දමමු - BHJI සහ HAKJ, පිළිවෙලින්. මෙම සෘජුකෝණාස්රාකාර ප්රදේශ හරියටම අනුරූප කකුල් මත ඉදිකර ඇති හතරැස් ප්‍රදේශවලට සමාන බව පෙනේ.
ACJ සෘජුකෝණාස්රයේ ප්‍රදේශයට සමාන බව තහවුරු කිරීමට අපි උත්සාහ කරමු AHJK මේ සඳහා අපි සහායක නිරීක්‍ෂණයක් භාවිතා කරමු: මෙම සෘජුකෝණාස්රයේ සමාන උස සහ පාදම සහිත ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සමාන වේ දී ඇති සෘජුකෝණාස්රයේ අඩක් දක්වා. මෙය ත්රිකෝණයක ප්රදේශය පාදයේ නිෂ්පාදිතයෙන් සහ උසෙන් අඩක් ලෙස නිර්වචනය කිරීමේ ප්‍රතිවිපාකයකි. මෙම නිරීක්‍ෂණයෙන් පසුවන්නේ ACK ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය AHK ත්රිකෝණයේ ප්‍රදේශයට සමාන වන බවයි (රූපයේ දක්වා නැත), එය AHJK සෘජුකෝණාස්රයේ අඩකට සමාන වේ .
ත්රිකෝණයේ ACK ප්රදේශය ද DECA චතුරශ්‍රයෙන් අඩකට සමාන බව අපි දැන් ඔප්පු කරමු. මේ සඳහා කළ යුතු එකම දෙය නම් ACK සහ BDA යන ත්රිකෝණ වල සමානාත්මතාවය ඔප්පු කිරීම පමණි (ඉහත දේපල අනුව ත්රිකෝණයේ BDA ප්‍රදේශයේ හතරැස් ප්‍රදේශයෙන් භාගයකට සමාන වන බැවින්). සමානාත්මතාවය පැහැදිලිය: ත්රිකෝණ දෙපැත්තට සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණය. එනම් - AB = AK, AD = AC - චලන ක්රමය මඟින් CAK සහ BAD යන කෝණ වල සමානතාවය ඔප්පු කිරීම පහසුය: අපි ත්රිකෝණය CAK 90 ° වාමාවර්තව භ්‍රමණය කළ විට ත්රිකෝණ දෙකේ අනුරූප පැති පැහැදිලිව පෙනේ සලකා බලනුයේ සමපාත වීමයි (හතරැස් මුදුනේ කෝණය 90 ° බැවින්).
BCFG චතුරස්රයේ සහ බීඑච්ජීඅයි සෘජුකෝණාස්රයේ සමානතාව පිළිබඳ තර්කනය සම්පුර්ණයෙන්ම සමාන ය.
මේ අනුව, උපකල්පිතය මත ඉදි කර ඇති චතුරශ්‍රයේ ප්‍රමාණය කකුල් මත ඉදි කර ඇති කොටු වල ප්‍රමාණය බව අපි ඔප්පු කර ඇත්තෙමු. මෙම සනාථ කිරීම පිටුපස ඇති අදහස ඉහත සජීවිකරණයෙන් තවදුරටත් පැහැදිලි කෙරේ.
ලියනාඩෝ ඩා වින්චිගේ සාක්ෂි
සාක්‍ෂියේ ප්‍රධාන අංග නම් සමමිතිය සහ චලනයයි.
සමමිතියෙන් දැකිය හැකි පරිදි ඇඳීම සලකා බලන්න, කොටසේ චතුරශ්රය සමාන කොටස් දෙකකට කපා ඇත (ත්රිකෝණ වල සිට සහ ඉදිකිරීම් වලදී සමාන වේ).
යම් ස්ථානයක් වටා අංශක 90 ක් වාමාවර්තව භ්‍රමණය වීමෙන්, සෙවන ලද රූප සහ සමාන බව අපට පෙනේ.
දැන් පැහැදිලි වන්නේ සෙවනැලි රූපයේ ප්රදේශය කුඩා චතුරශ්‍ර වල (කකුල් වල ඉදි කර ඇති) සහ මුල් ත්රිකෝණයේ ප්‍රදේශයේ භාගයේ එකතුවට සමාන වන බවයි. අනෙක් අතට එය විශාල චතුරශ්‍රයෙන් (උපකල්පනය මත ඉදිකරන ලද) අඩක් මෙන්ම මුල් ත්රිකෝණයේ ප්‍රමාණයට සමාන වේ. මේ අනුව, කුඩා චතුරශ්‍ර වල ප්‍රමාණයෙන් අඩක් විශාල චතුරශ්‍රයේ ප්‍රමාණයෙන් භාගයකට සමාන වන අතර එම නිසා කකුල් මත ඉදි කර ඇති කොටු වල ප්‍රමාණය චතුරස්රයේ ප්‍රදේශයට සමාන වේ උපකල්පනය මත ඉදි කර ඇත.
අසීමිත ක්රමය මඟින් සාක්ෂිය
අවකලන සමීකරණ භාවිතා කරන පහත දැක්වෙන සාක්ෂිය බොහෝ විට ආරෝපණය වන්නේ 20 වන සියවසේ මුල් භාගයේ ජීවත් වූ ප්‍රසිද්ධ ඉංග්‍රීසි ගණිතඥ හාඩිට ය.
රූපයේ දැක්වෙන චිත්‍රය දෙස බලා පැත්ත වෙනස් වීම නිරීක්ෂණය කරන්න ඒ, පැති වල අසීමිත කුඩා වර්ධක සඳහා අපට පහත සම්බන්ධය ලිවිය හැකිය සමගහා ඒ(ත්රිකෝණ වල සමානකම භාවිතා කරමින්):
විචල්‍යයන් වෙන් කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කිරීමෙන් අපට හමු වේ
කකුල් දෙකේ වර්ධනයේදී උපකල්පනය වෙනස් කිරීම සඳහා වඩාත් පොදු ප්‍රකාශනයක්
මෙම සමීකරණය ඒකාබද්ධ කර මූලික කොන්දේසි උපයෝගී කරගනිමින් අපට ලැබේ
මේ අනුව, අපි අපේක්ෂිත පිළිතුර වෙත පැමිණෙමු
දැක ගැනීමට පහසු වන පරිදි, ත්රිකෝණයේ පැති සහ වර්ග අතර රේඛීය සමානුපාතිකතාව හේතුවෙන් අවසාන සූත්‍රයේ චතුරස්රාකාර යැපීම දිස්වන අතර එකතුව විවිධ කකුල් වර්‍ධනයන්හි ස්වාධීන දායකත්‍වයට සම්බන්ධ වේ.
එක් කකුලක වර්ධනයක් සිදු නොවන බව උපකල්පනය කළහොත් සරල සාක්ෂියක් ලබා ගත හැකිය (මෙම අවස්ථාවෙහිදී, කකුල). එවිට ඒකාග්‍රතාවයේ නියතය සඳහා අපට ලැබේ
වෙනස්කම් සහ සාමාන්‍යකරණයන්
පැති තුනකට සමාන ජ්‍යාමිතික හැඩතල
සමාන ත්රිකෝණ සඳහා සාමාන්යකරණය, හරිත හැඩැති ප්රදේශ A + B = නිල් සී ප්රදේශය
සමාන සෘජුකෝණ ත්රිකෝණ භාවිතා කරමින් පයිතගරස්ගේ ප්රමේයය
පයිතගරස් න්‍යාය සාමාන්යකරණය කිරීම යුක්ලිඩ් විසින් ඔහුගේ කෘතියේදී සිදු කරන ලදී ආරම්භය, පැති වල හතරැස් ප්රදේශ සමාන ජ්‍යාමිතික හැඩතල ඇති ප්රදේශ දක්වා ව්‍යාප්ත කිරීම:
ඔබ සමාන කෝණික ත්රිකෝණයක දෙපස සමාන ජ්‍යාමිතික හැඩතල (යුක්ලීඩියානු ජ්‍යාමිතිය බලන්න) ගොඩනඟන්නේ නම් කුඩා සංඛ්යා දෙකේ එකතුව විශාල රූපයේ ප්‍රදේශයට සමාන වේ.
මෙම සාමාන්යකරණය කිරීමේ ප්‍රධාන අදහස නම් එවැනි ජ්‍යාමිතික රූපයක ප්රදේශය එහි ඕනෑම රේඛීය මානයක වර්‍ගයට සමානුපාතික වන අතර විශේෂයෙන් ඕනෑම පැත්තක දිග චතුරස්‍රයට සමානුපාතික වේ. එම නිසා, ප්රදේශ සමඟ සමාන සංඛ්යා සඳහා ඒ, බීහා සීදිගකින් දෙපස ඉදි කර ඇත ඒ, බීහා c, අපිට තියෙනවා:
නමුත් පයිතගරස් ප්‍රමේයයට අනුව, ඒ 2 + බී 2 = c 2, එවිට ඒ + බී = සී.
අනෙක් අතට, අපට එය ඔප්පු කළ හැකි නම් ඒ + බී = සීපයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා නොකර සමාන ජ්‍යාමිතික රූප තුනක් සඳහා, ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට ගමන් කරමින් අපට න්‍යාය ඔප්පු කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස ආරම්භක මධ්‍ය ත්රිකෝණය ත්රිකෝණයක් ලෙස නැවත භාවිතා කළ හැකිය සීඋපකල්පනය මත සහ සමාන සෘජුකෝණ ත්රිකෝණ දෙකක් ( ඒහා බී), මධ්‍යම ත්රිකෝණය එහි උසින් බෙදීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස පිහිටුවා ඇති අනෙක් පැති දෙකෙහි ඉදි කර ඇත. ත්රිකෝණ වල කුඩා ප්රදේශ දෙකේ එකතුව පැහැදිලිවම තුන්වන ප්‍රදේශයට සමාන වේ ඒ + බී = සීසහ පෙර සාක්ෂිය ප්රතිලෝම අනුපිළිවෙල අනුව සිදු කිරීමෙන් අපි පයිතගරස් ප්රමේයය a 2 + b 2 = c 2 ලබා ගනිමු.
කොසයින් ප්රමේයය
පයිතගරස් ප්රමේයය යනු අත්තනෝමතික ත්රිකෝණයක පැති දිග සම්බන්ධ කරන වඩාත් පොදු කොසීන් ප්රමේයයේ විශේෂ අවස්ථාවකි:
මෙහි θ යනු පැති අතර කෝණයයි ඒහා බී.
Θ අංශක 90 නම් කෝස් θ = 0 සහ සුපුරුදු පයිතගරස් ප්‍රමේයයට සූත්‍රය සරල කර ඇත.
අත්තනෝමතික ත්රිකෝණය
පැති සහිත අත්තනෝමතික ත්රිකෝණයක ඕනෑම තෝරාගත් කොනකට අ, ආ, ඇසමස්ථානික ත්රිකෝණයක් එහි පාදයේ සමාන කෝණ write තෝරා ගත් කෝණයට සමාන වන පරිදි ලියන්න. තෝරාගත් කෝණය marked සලකුණු කර ඇති පැත්තට විරුද්ධ යැයි සිතමු c... එහි ප්‍රති As ලයක් වශයෙන්, පැත්තට විරුද්ධව පිහිටා ඇති angle කෝණය සහිත ABD ත්රිකෝණය අපට ලැබුණි ඒසහ පක්ෂ ආර්... දෙවන ත්රිකෝණය සෑදී ඇත්තේ opposite කෝණයෙනි, එය පැත්තට ප්රතිවිරුද්ධයයි බීසහ පක්ෂ සමගදිග එස්, පින්තූරයේ පෙන්වා ඇති පරිදි. මෙම ත්රිකෝණ තුනේ පැති පහත පරිදි සම්බන්ධ වී ඇති බව තාබිට් ඉබ්නු කුර්රා තර්ක කළේය:
Angle කෝණය π / 2 වෙත ළඟා වන විට සමස්ථානික ත්රිකෝණයේ පාදය අඩු වන අතර දෙපස ආර් සහ එස් එකිනෙක ගැටේ. Θ = π / 2 වූ විට, ඒඩීබී ත්රිකෝණය බවට පත් වේ, ආර් + එස් = cතවද අපි පයිතගරස් මූලධර්මය ලබා ගනිමු.
එක් හේතුවක් සලකා බලමු. ත්රිකෝණ ABC ත්රිකෝණයේ ABD ට සමාන කෝණ ඇතත් ප්රතිලෝම අනුපිළිවෙලට ඇත. (ත්රිකෝණ දෙකේ B හි ඉහළ කොටසේ පොදු කෝණයක් ඇත, ත්රිකෝණයේ කෝණ වල එකතුවට අනුව කෝණයක θ එකක් ද තුන්වන කෝණය ද ඇත) ඒ අනුව ABC ත්රිකෝණයේ DBA හි ABD ප්‍රතිබිම්භයට සමාන වේ, පහත රූපයේ දැක්වෙන පරිදි. ප්රතිවිරුද්ධ පැති සහ කෝණයට යාබද අනුපාතය සටහන් කරගනිමු.
එසේම තවත් ත්රිකෝණයක පිළිබිඹුවක්,
අපි භාග ගුණනය කර මෙම අනුපාත දෙක එකතු කරමු:
Q.E.D.
සමාන්තරගත ප්‍රස්තාර හරහා අත්තනෝමතික ත්රිකෝණ සඳහා සාමාන්යකරණය කිරීම
අත්තනෝමතික ත්රිකෝණ සඳහා සාමාන්යකරණය,
හරිත ප්රදේශය කුමන්ත්‍රණය = ප්‍රදේශයනිල්
ඉහත පින්තූරයේ ඇති නිබන්ධනයේ සාක්ෂිය
හතරැස් වෙනුවට තුන් පැත්තක සමාන්තර රූප සටහන් භාවිතා කරමින් හතරැස් නොවන ත්රිකෝණ සඳහා අපි තවදුරටත් සාමාන්යකරණය කරමු. (චතුරස්‍ර විශේෂ අවස්ථාවකි.) උච්ච කෝණ ත්රිකෝණයක දී, දිගු පැත්තෙහි සමාන්තර කොටසේ ප්රදේශය අනෙක් පැති දෙකෙහි සමාන්තර රේඛා වල එකතුවට සමාන බව ඉහළ රූපයේ දැක්වේ. රූපයේ දැක්වෙන පරිදි දිගු පැත්ත ඉදි කර ඇත (ඊතල වලින් සලකුණු කර ඇති මානයන් සමාන වන අතර පහළ සමාන්තර රූප සටහනෙහි පැති තීරණය වේ). සමචතුරස්‍ර චතුරස්රයන් ආදේශ කිරීම පයිතගරස්ගේ ආරම්භක ප්‍රමේයයට පැහැදිලි සමානකමක් දක්වන අතර එය ක්රි.ව .4 දී ඇලෙක්සැන්ඩ්‍රියාවේ පප්පස් විසින් සකස් කරන ලදැයි විශ්වාස කෙරේ. එන්එස්.
සාක්‍ෂියේ ප්‍රගතිය පහත රූපයේ දැක්වේ. ත්රිකෝණයේ වම් පැත්ත දෙස බලමු. වම් කොළ සමාන්තර චලරයේ සමාන පාදයක් ඇති බැවින් නිල් සමාන්තර චලනයේ වම් පස ප්‍රදේශයම ඇත බීසහ උස h... ඊට අමතරව, වමේ කොළ පාට සමාන්තර චක්‍රයේ ඉහළ රූපයේ වම් කොළ සමාන්තර චක්‍රයට සමාන ප්‍රදේශයක් ඇත, මන්ද ඒවාට පොදු පාදයක් (ත්රිකෝණයේ ඉහළ වම් පැත්තේ) සහ ත්රිකෝණයේ එම පැත්තට ලම්බකව මුළු උස ඇති බැවිනි. ත්රිකෝණයේ දකුණු පැත්තට සමාන ලෙස තර්ක කරමින්, පහළ සමාන්තර රූප සටහනට හරිත සමාන්තර ප්‍රස්තාර දෙකේම සමාන ප්‍රදේශයක් ඇති බව අපි ඔප්පු කරමු.
සංකීර්ණ සංඛ්යා
කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ලකුණු දෙකක් අතර දුර සෙවීම සඳහා පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කරන අතර මෙම නියමය සියලුම සත්‍ය ඛණ්ඩාංක සඳහා සත්‍ය වේ: දුර එස්කරුණු දෙකක් අතර ( අ, ආ) හා ( ඇ, ඩී) සමාන
ඔබ සංකීර්ණ සංඛ්යා සත්‍ය සංරචක සහිත දෛශික ලෙස සලකන්නේ නම් සූත්‍රයේ කිසිදු ගැටළුවක් නොමැත x + මම වයි = (x, y). ... උදාහරණයක් ලෙස දුර එස් 0 + 1 අතර මමසහ 1 + 0 මමදෛශිකයේ මොඩියුලය ලෙස අපි ගණනය කරමු (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), හෝ
කෙසේ වෙතත්, සංකීර්ණ ඛණ්ඩාංක සහිත දෛශික සමඟ ක්‍රියා කිරීම සඳහා, පයිතගරස් සූත්‍රයේ යම් දියුණුවක් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ. සංකීර්ණ අංක සහිත ලක්ෂ්‍ය අතර දුර ( ඒ, බී) හා ( c, ඩී); ඒ, බී, c, හා ඩීසියලු සංකීර්ණ, අපි නිරපේක්ෂ අගයන් උපයෝගී කරගනිමින් සකස් කරමු. දුර එස්දෛශික වෙනස මත පදනම්ව (ඒ − c, බී − ඩී) පහත දැක්වෙන ආකාරයෙන්: වෙනසකට ඉඩ දෙන්න ඒ − c = පි+ මම q, කොහෙද පි- වෙනසේ සැබෑ කොටස, qයනු මනaryකල්පිත කොටස වන අතර i = √ (−1). ඒ හා සමානව, ඉඩ දෙන්න බී − ඩී = ආර්+ මම එස්... ඉන්පසු:
සංකීර්ණ සංයුක්ත අංකය කොහෙද? උදාහරණයක් ලෙස, ලකුණු අතර දුර (ඒ, බී) = (0, 1) හා (c, ඩී) = (මම, 0) , අපි වෙනස ගණනය කරන්නෙමු (ඒ − c, බී − ඩී) = (−මම, 1) සංකීර්ණ සංයුජක භාවිතා නොකළේ නම් එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අපට 0 ලැබේ. එම නිසා වැඩි දියුණු කළ සූත්‍රය භාවිතයෙන් අපට ලැබේ
මොඩියුලය පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත:
ස්ටීරියෝමෙට්‍රි
ත්‍රිමාන අවකාශය සඳහා පයිතගරස් ප්රමේයය සැලකිය යුතු ලෙස සාමාන්යකරණය කිරීම ජේ-පී නමින් නම් කරන ලද ඩි ගුවාගේ ප්රමේයය වේ. ද ගුආ: ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රෝනයට නිවැරදි කෝණයක් තිබේ නම් (ඝනකයක් ලෙස), දකුණු කෝණයට විරුද්ධව මුහුණත පිහිටා ඇති ප්රදේශය අනෙක් මුහුණු තුනේ ප්රදේශ වල වර්ග වල එකතුවට සමාන වේ. මෙම නිගමනය සාරාංශගත කළ හැක්කේ " nපරිමාණ පයිතගරස් ප්රමේයය ":
ත්‍රිමාන අවකාශයේ ඇති පයිතගරස් ප්රමේයය විකර්ණ ක්රි.ව පැති තුනක් සමඟ සම්බන්ධ කරයි.
තවත් සාමාන්‍යකරණයක්: පයිතගරස් ප්රමේයය පහත දැක්වෙන ආකාරයෙන් ස්ටීරියෝමෙට්‍රියට යෙදිය හැකිය. රූපයේ පරිදි සෘජුකෝණාස්රාකාර සමාන්තර නල මාර්ගයක් සලකා බලන්න. පයිතගරස් ප්රමේයයේ විකර්ණ බීඩී වල දිග සොයා ගනිමු:
එහිදී පැති තුන සෘජුකෝණික ත්රිකෝණයක් සාදයි. AD හි විකර්ණයේ දිග සොයා ගැනීම සඳහා අපි තිරස් විකර්ණ බීඩී සහ සිරස් දාරය ඒබී භාවිතා කරමු, මේ සඳහා අපි නැවත පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කරමු:
නැතහොත්, සියල්ල එක සමීකරණයකින් ලියා ඇත්නම්:
මෙම ප්‍රතිඵලය දෛශිකයක විශාලත්වය තීරණය කිරීම සඳහා ත්‍රිමාණ ප්‍රකාශනයකි v(විකර්ණ ඒඩී) එහි ලම්බක සංඝටක අනුව ප්‍රකාශිත ( v k) (එකිනෙකට ලම්බක පැති තුනක්):
මෙම සමීකරණය බහුමාන අවකාශය සඳහා පයිතගරස් ප්රමේයයේ සාමාන්‍යකරණයක් ලෙස සැලකිය හැකිය. කෙසේ වෙතත්, ප්‍රති result ලය නම් පයිතගරස් ප්රමේයය නැවත නැවතත් ලම්බක තල වල සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ අනුපිළිවෙලකට යෙදීම හැර අන් කිසිවක් නොවේ.
දෛශික අවකාශය
දර්‍ශක දර්‍ශණ පද්ධතියක දී, සමානතාව දරන අතර එය පයිතගරස් ප්රමේයය ලෙස ද හැඳින්වේ:
දෛශිකය ඛණ්ඩාංක අක්ෂ වලට ප්‍රක්ෂේපණය වන්නේ නම්, මෙම සූත්‍රය යුක්ලීඩියානු දුර සමඟ සමපාත වේ - එයින් අදහස් වන්නේ දෛශිකයේ දිග එහි සංඝටක වල වර්ග වල එකතුවේ වර්ග මූලයට සමාන වන බවයි.
අසීමිත දෛශික පද්ධතියක මෙම සමානාත්මතාවයේ ප්‍රතිසමයක් පර්සෙවල් සමානාත්මතාවය ලෙස හැඳින්වේ.
යුක්ලීඩියානු නොවන ජ්‍යාමිතිය
පයිතගරස් ප්රමේයය යුක්ලීඩියානු ජ්‍යාමිතියේ මූලධර්මයන්ගෙන් උපුටා ගත් අතර ඇත්ත වශයෙන්ම එය ඉහත ලියා ඇති ආකාරයට යුක්ලීඩියානු නොවන ජ්‍යාමිතිය සඳහා වලංගු නොවේ. (එනම් පයිතගරස් ප්රමේයය එක්තරා ආකාරයක යුක්ලිඩ්ගේ සමාන්තර වාදයට සමාන ය) වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, යුක්ලීඩියානු නොවන ජ්‍යාමිතියේදී ත්රිකෝණයක පැති අතර අනුපාතය නියත වශයෙන්ම පයිතගරස් ප්‍රමේයයට වඩා වෙනස් ආකාරයකින් තිබිය යුතුය. . උදාහරණයක් ලෙස, ගෝලාකාර ජ්‍යාමිතිය තුළ, නිවැරදි කෝණ ත්රිකෝණයක පැති තුනම (කියන්න ඒ, බීහා c), ඒකක ගෝලයේ අෂ්ටක (අටවන කොටස) සීමා කරන, පයිතගරස් ප්‍රමේයයට පටහැනි π / 2 දිග ඇති නිසා, ඒ 2 + බී 2 ≠ c 2 .
යුක්ලීඩියානු නොවන ජ්‍යාමිතියේ අවස්ථා දෙකක් සලකා බලන්න - ගෝලාකාර සහ අධි සෛලීය ජ්‍යාමිතිය; අවස්ථා දෙකේදීම, සෘජුකෝණ ත්රිකෝණ සඳහා යුක්ලීඩියානු අවකාශයේ මෙන්, පයිතගරස් ප්රමේයය ප්‍රතිස්ථාපනය කරන ප්‍රතිඵලය කොසයින් ප්‍රමේයයෙන් අනුගමනය කෙරේ.
කෙසේ වෙතත්, ත්රිකෝණයේ සෘජුකෝණාස්රාකාරයේ අවශ්‍යතාවය ත්රිකෝණයේ කෝණ දෙකේ එකතුව තුන්වන ස්ථානයට සමාන විය යුතුයි යන කොන්දේසිය ආදේශ කළහොත් පයිතගරස් ප්රමේයය අධිබල සහ ඉලිප්සාකාර ජ්‍යාමිතිය සඳහා වලංගු වේ. ඒ+බී = සී... එවිට පැති අතර අනුපාතය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: විෂ්කම්භය සහිත කව වල ප්‍රදේශවල එකතුව ඒහා බීවිෂ්කම්භයක් සහිත රවුමේ ප්‍රදේශයට සමාන වේ c.
ගෝලාකාර ජ්‍යාමිතිය
අරය ක්ෂේත්රයේ ඕනෑම සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් සඳහා ආර්(උදාහරණයක් ලෙස, ත්රිකෝණයක γ කෝණය සරල රේඛාවක් නම්) පැති වලින් ඒ, බී, cපාර්ශව අතර සම්බන්ධතාවය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
සියලුම ගෝලාකාර ත්රිකෝණ සඳහා සත්‍ය වන ගෝලාකාර කොසයින් ප්රමේයයේ විශේෂ අවස්ථාවක් ලෙස මෙම සමානාත්මතාවය ලබා ගත හැකිය:
කෝෂ් යනු හයිබර්බොලික් කොසීන් ය. මෙම සූත්‍රය සෑම ත්‍රිකෝණයකටම වලංගු වන හයිපර්බොලික් කොසීන් ප්රමේයයේ විශේෂ අවස්ථාවකි:
මෙහි γ යනු ශීර්ෂය පැත්තට විරුද්ධ කෝණයයි c.
කොහෙද g ijමෙට්රික් ටෙන්සර් ලෙස හැඳින්වේ. එය තනතුරේ කාර්යයක් විය හැකිය. එවැනි වක්‍ර අවකාශයන්ට සාමාන්‍ය උදාහරණයක් ලෙස රීමේනියානු ජ්‍යාමිතිය ඇතුළත් වේ. වක්‍රීය ඛණ්ඩාංක භාවිතා කිරීමේදී යුක්ලීඩියානු අවකාශය සඳහා ද මෙම සූත්‍රය සුදුසු ය. උදාහරණයක් ලෙස, ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක සඳහා:
දෛශික නිෂ්පාදනය
දෛශික නිෂ්පාදනයේ විශාලත්වය සඳහා පයිතගරස් ප්රමේයය ප්‍රකාශන දෙකක් සම්බන්ධ කරයි. හරස් නිෂ්පාදනයක් නිර්වචනය කිරීමේ එක් ප්‍රවේශයකට එය සමීකරණය තෘප්තිමත් කිරීම අවශ්ය වේ:
මෙම සූත්‍රය තිත් නිෂ්පාදනය භාවිතා කරයි. සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත හැඳින්වෙන්නේ ග්‍රෑම් නිර්ණායකය සඳහා ය ඒහා බී, මෙම දෛශික දෙක මඟින් සාදන ලද සමාන්තර චලිත ප්‍රදේශයට සමාන වේ. මෙම අවශ්‍යතාවය මත පදනම්ව, දෛශික නිෂ්පාදනයේ සංරචක වලට ලම්බක වීමේ අවශ්‍යතාවය මත පදනම් වේ ඒහා බීඑය අනුගමනය කරන්නේ, 0- සහ 1-පරිමාණ අවකාශයේ සුළු අවස්ථා හැර, දෛශික නිෂ්පාදනය නිර්වචනය වන්නේ මානයන් තුන සහ හතෙන් පමණි. අපි කෝණයේ අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කරමු nපරිමාණ අවකාශය:
දෛශික නිෂ්පාදනයේ මෙම ගුණාංගය පහත දැක්වෙන ආකාරයෙන් එහි වටිනාකම ලබා දෙයි:
පයිතගරස්ගේ මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය තුළින් එහි වටිනාකම සටහන් කිරීමේ වෙනත් ආකාරයක් අපට ලැබේ:
හරස් නිෂ්පාදනයක් නිර්වචනය කිරීමේ විකල්ප ප්‍රවේශයක් එහි විශාලත්වය සඳහා ප්‍රකාශනයක් භාවිතා කරයි. එවිට, ප්රතිලෝම අනුපිළිවෙලෙහි තර්ක කිරීමෙන් අපට තිත නිෂ්පාදනය සමඟ සම්බන්ධතාවක් ලැබේ:
ද බලන්න
සටහන් (සංස්කරණය)
- ඉතිහාස මාතෘකාව: බැබිලෝනියානු ගණිතයේ පයිතගරස්ගේ ප්රමේයය
- (, පී. 351) පි. 351
- (, වෙළුම I, පි. 144)
- Historicalතිහාසික කරුණු පිළිබඳ සාකච්ඡාවක් ((පි. 351) 351 පි
- කර්ට් වොන් ෆ්‍රිට්ස් (අප්‍රියෙල් 1945). "මෙටපොන්ටම් හි හිපාසස්ගේ අසමසමභාවය සොයා ගැනීම." ගණිතය පිළිබඳ වාර්තා, දෙවන මාලාව(ගණිතය පිළිබඳ වාර්තා) 46 (2): 242–264.
- ලුවිස් කැරොල්, "ගැටයක් සහිත කතාවක්", එම්., මිර්, 1985, පි. 7
- අස්ගර් අබෝගණිතයේ මුල් ඉතිහාසයේ කථාංග. - ඇමරිකාවේ ගණිත සංගමය, 1997. - පී 51. - අයිඑස්බීඑන් 0883856131
- පයිතගරස් යෝජනාවඑලිෂා ස්කොට් ලූමිස් විසිනි
- යුක්ලිඩ්ගේ මූලද්රව්යපොත
- ලෝරන්ස් එස්. ලෙෆ් උපුටා ගත් වැඩ... - බැරන්ගේ අධ්‍යාපන මාලාව - පී. 326. - අයිඑස්බීඑන් 0764128922
- හොවාර්ඩ් විට්ලිගේ ඒව.84.8: ... පයිතගරස් ප්රමේයය සාමාන්යකරණය කිරීම // ගණිතයේ විශිෂ්ට අවස්ථා (1650 ට පෙර). - ඇමරිකාවේ ගණිත සංගමය, 1983. - පී 41. - අයිඑස්බීඑන් 0883853108
- ටිබිට් ඉබ්න් කෝරා (සම්පූර්ණ නම තාබිට් ඉබ්න් කුර්රා ඉබ්න් මර්වාන් අල්-Ṣāබික් අල්-āාරිනා) (ක්රි.ව. 826-901) බැග්ඩෑඩ් හි වෙසෙන වෛද්‍යවරයෙක් වූ අතර ඔහු යුක්ලිඩ් මූලද්‍රව්‍ය සහ අනෙකුත් ගණිතමය විෂයයන් පිළිබඳව පුළුල් ලෙස ලිවීය.
- අයඩින් සයිලි (මාර්තු 1960). "තේබිට් ඉබ්නු කුර්රා" පයිතගරස් ප්රමේයය සාමාන්යකරණය කිරීම. " අයිසිස් 51 (1): 35-37. DOI: 10.1086 / 348837.
- ජුඩිත් ඩී සාලි, පෝල් සාලිව්‍යායාම 2.10 (ii) // උපුටා ගත් වැඩ. - පී. 62. - අයිඑස්බීඑන් 0821844032
- එවැනි ඉදිකිරීමක විස්තර සඳහා බලන්න ජෝර්ජ් ජෙනිංස්රූපය 1.32: සාමාන්යකරණය කළ පයිතගරස් ප්රමේයය // යෙදුම් සහිත නවීන ජ්‍යාමිතිය: සංඛ්යා 150 ක් සමඟ. - 3 වන. - ස්ප්රින්ගර්, 1997. - පී 23. - අයිඑස්බීඑන් 038794222X
- ආර්ලන් බ්‍රවුන්, කාල් එම්. පර්සිඅයිතමය සී: හිතුවක්කාරී සඳහා සම්මතය n-Tuple ... // විශ්ලේෂණය පිළිබඳ හැඳින්වීමක්. - ස්ප්රින්ගර්, 1995. - පී 124. - අයිඑස්බීඑන් 0387943692 47-50 පිටු ද බලන්න.
- ඇල්ෆ්‍රඩ් ග්‍රේ, එල්සා අබේනා, සයිමන් සැමන්ගණිතමය සමග වක්‍ර සහ මතුපිට වල නවීන අවකලන ජ්‍යාමිතිය. - 3 වන. - සීආර්සී මුද්‍රණාලය, 2006.-- පී. 194.-- අයිඑස්බීඑන් 1584884487
- රාජේන්ද්‍ර භාතියන්‍යාසය විශ්ලේෂණය. - ස්ප්රින්ගර්, 1997. - පී. 21. - අයිඑස්බීඑන් 0387948465
- ස්ටීවන් ඩබ්ලිව් හෝකින් උපුටා ගත් වැඩ... - 2005. - පී 4. - ISBN 0762419229
- එරික් ඩබ්ලිව්. වයිස්ටයින් CRC ගණිතය පිළිබඳ සංක්ෂිප්ත විශ්වකෝෂය. - 2 වන. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
- ඇලෙක්සැන්ඩර් ආර්. ප්‍රස්
එක් කරුණකින්, උපකල්පිතයේ චතුරශ්රය කුමක්දැයි ඇසූ විට ඕනෑම වැඩිහිටියෙක් නිර්භීතව පිළිතුරු දෙන බව ඔබට සියයට සියයක් සහතික විය හැකිය: "කකුල් වල හතරැස් එකතුව". මෙම ප්රමේයය සෑම උගත් පුද්ගලයෙකුගේම සිත් තුළ තදින් මුල් බැස ඇති නමුත් එය ඔප්පු කරන මෙන් යමෙකුට පැවසීම ප්‍රමාණවත් වන අතර එවිට දුෂ්කරතා පැන නැඟිය හැක. එම නිසා, පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කිරීමේ විවිධ ක්‍රම මතක තබා ගෙන සලකා බලමු.
කෙටි චරිතාපදානය පිළිබඳ කෙටි විස්තරයක්
පයිතගරස් ප්රමේයය සෑම කෙනෙකුටම පාහේ හුරුපුරුදු නමුත් කිසියම් හේතුවක් නිසා එය බිහි කළ පුද්ගලයාගේ චරිතාපදානය එතරම් ජනප්‍රිය නොවේ. මෙය නිවැරදි කළ හැකි ය. එබැවින්, පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කිරීමේ විවිධ ක්‍රම අධ්‍යයනය කිරීමට පෙර, ඔබ ඔහුගේ පෞරුෂය ගැන කෙටියෙන් දැන හඳුනා ගත යුතුය.
පයිතගරස් දාර්ශනිකයෙක්, ගණිතඥයෙක්, චින්තකයෙක් වන අතර අද සිට ඔහුගේ චරිතාපදානය මෙම ශ්‍රේෂ්ඨ මිනිසාගේ මතකයේ ඇති ජනප්‍රවාද වලින් වෙන්කර හඳුනා ගැනීම ඉතා අසීරු ය. නමුත් ඔහුගේ අනුගාමිකයින්ගේ ලේඛන වලින් පහත පරිදි සමෝස්හි පයිතගරස් උපත ලැබුවේ සැමෝස් දූපතේ ය. ඔහුගේ පියා සාමාන්‍ය ගල් කපන්නෙකු වූ නමුත් මව උතුම් පවුලක අයෙකි.
පුරාවෘත්තයට අනුව, පයිතගරස්ගේ උපත පුරෝකථනය කළේ පයිතියා නම් කාන්තාවක් වන අතර ඔහුගේ ගෞරවය සඳහා පිරිමි ළමයා නම් කරන ලදී. ඇගේ අනාවැකියට අනුව, ඉපදුණු පිරිමි ළමයා මනුෂ්‍ය වර්ගයාට බොහෝ වාසි සහ යහපත් දේ ලබා දිය යුතුව තිබුණි. ඇත්තෙන්ම ඔහු කළ දේ.
ප්රමේයයේ උපත
ඔහුගේ තරුණ අවධියේදී පයිතගරස් ප්‍රසිද්ධ ඊජිප්තු සෘෂිවරුන් හමුවීමට ඊජිප්තුවට ගියේය. ඔවුන් හමුවීමෙන් පසු ඔහුව අධ්‍යනය සඳහා ඇතුළත් කර ගත් අතර එහිදී ඔහු ඊජිප්තු දර්ශනය, ගණිතය සහ වෛද්‍ය විද්‍යාව යන සියළුම විශිෂ්ඨ ජයග්‍රහණ ඉගෙන ගත්තේය.
සමහර විට පයිතගරස් පිරමීඩ වල මහිමයෙන් හා අලංකාරයෙන් ආනුභාව ලත් ඔහුගේ විශිෂ්ඨ න්‍යාය නිර්මාණය කළේ ඊජිප්තුවේ විය හැකිය. මෙය පාඨකයින් කම්පනයට පත් කළ හැකි නමුත් නූතන ඉතිහාසඥයින් විශ්වාස කරන්නේ පයිතගරස් ඔහුගේ න්‍යාය ඔප්පු නොකළ බවයි. ඔහු සිය දැනුම සිය අනුගාමිකයින්ට ලබා දුන් අතර පසුව අවශ්ය සියළුම ගණිතමය ගණනය කිරීම් සම්පූර්ණ කළේය.
එය කෙසේ වෙතත්, අද මෙම ප්රමේයය සනාථ කිරීමේ එක් ක්‍රමයක් නොව එකවර කිහිපයක් දන්නා කරුණකි. අද, පැරණි ග්‍රීකයන් ඔවුන්ගේ ගණනය කිරීම් සිදු කළේ කෙසේදැයි අනුමාන කිරීම පමණක් ඉතිරිව ඇත, එබැවින් පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කිරීමේ විවිධ ක්‍රම ගැන අපි සලකා බලමු.
පයිතගරස් ප්රමේයය
කිසියම් ගණනය කිරීමක් ආරම්භ කිරීමට පෙර, ඔප්පු කළ යුතු න්‍යාය කුමක්දැයි ඔබ සොයා බැලිය යුතුය. පයිතගරස් ප්රමේයය මෙසේ කියවේ: "ත්රිකෝණයක, එක් කෝණයක් 90 ° වන විට, කකුල් වල හතරැස් වල එකතුව උපකල්පිතයේ කොටසට සමාන වේ."
සමස්තයක් වශයෙන්, පයිතගරස් ප්රමේයය ඔප්පු කිරීමට විවිධ ක්‍රම 15 ක් ඇත. මෙය තරමක් විශාල රූපයක් බැවින් ඒ අතර ජනප්‍රිය ඒවා කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු.
ක්රමය එකක්
පළමුව, අපට ලබා දී ඇති දේ නියම කරමු. මෙම දත්ත පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කිරීමේ වෙනත් ක්‍රම සඳහා ද අදාළ වන බැවින් ලබා ගත හැකි සියළු සංකේත ඔබ වහාම මතක තබා ගත යුතුය.
Aජුකෝණික ත්රිකෝණයක් ලබා දී ඇතැයි සිතමු, කකුල් a, b සහ උපකල්පනය c ට සමාන වේ. සනාථ කිරීමේ පළමු ක්රමය පදනම් වී ඇත්තේ ඔබට සෘජුකෝණික ත්‍රිකෝණයකින් චතුරස්‍රයක් ඇඳීමට අවශ්ය කාරණය මතය.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ පාදයේ b කකුලේ දිගට සමාන කොටයක් අඳින්න, සහ අනෙක් අතට. මෙම චතුරස්රයේ සමාන පැති දෙකක් සෑදිය යුතුය. එය ඉතිරිව ඇත්තේ සමාන්තර රේඛා දෙකක් ඇඳීමට පමණක් වන අතර චතුරශ්රය සූදානම්.
ලැබුණු ප්‍රතිරූපය තුළ, මුල් ත්රිකෝණයේ උපකල්පිතයට සමාන පැත්තක් සහිත තවත් චතුරශ්‍රයක් ඇඳීමට ඔබට අවශ්‍යය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ac සහ sv යන සිරස් වලින් ඔබ c ට සමාන සමාන්තර කොටස් දෙකක් ඇඳිය යුතුය. මේ අනුව, අපට චතුරස්රයේ පැති තුනක් ලැබෙන අතර ඉන් එකක් නම් මුල් සෘජුකෝණික ත්රිකෝණයේ උපකල්පනයයි. එය ඉතිරිව ඇත්තේ සිව්වන කොටස අවසන් කිරීමට පමණි.
ලැබුණු රූපය මත පදනම්ව, පිටත චතුරශ්‍රයේ ප්රදේශය (a + b) 2 යැයි අපට නිගමනය කළ හැකිය. ඔබ රූපය තුළ බැලුවහොත්, අභ්යන්තර චතුරශ්‍රයට අමතරව එහි සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ 4 ක් ද ඇතුළත් බව ඔබට දැක ගත හැකිය. එක් එක් ප්රදේශය 0.5 av ට සමාන වේ.
එම නිසා එම ප්රදේශය සමාන වේ: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2
එබැවින් (a + b) 2 = 2ab + c 2
එබැවින් c 2 = a 2 + b 2
ප්රමේයය ඔප්පු වී ඇත.
ක්රමය දෙවන: සමාන ත්රිකෝණ
පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කිරීම සඳහා වූ මෙම සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න වූයේ සමාන ත්රිකෝණ පිළිබඳ ජ්‍යාමිතික අංශයෙන් ප්‍රකාශයක් පදනම් කරගෙන ය. සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක කකුල එහි උපකල්පිතයේ සමානුපාතික සාමාන්‍යය සහ 90 ° කෝණයේ මුදුනෙන් විමෝචනය වන උපකල්පනයේ කොටස බව එහි සඳහන් වේ.
මූලික දත්ත එලෙසම පවතින බැවින් සාක්ෂිය සමඟ අපි වහාම පටන් ගනිමු. AB පැත්තට ලම්බකව SD කොටසක් අඳිමු. ඉහත ප්රකාශය මත පදනම්ව, ත්රිකෝණ වල කකුල් වන්නේ:
AC = √AB * හෙල්, SV = √AB * DV.
පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කරන්නේ කෙසේද යන ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දීමට, අසමානකම් දෙකම හතරැස් කිරීමෙන් සාක්ෂි සම්පූර්ණ කළ යුතුය.
AC 2 = AB * හෙල් සහ SV 2 = AB * DV
දැන් ඔබට ඇති වන අසමානතාවයන් එකතු කළ යුතුය.
ඒසී 2 + එස්වී 2 = ඒබී * (හෙල් * ඩීවී), එහිදී හෙල් + ඩීවී = ඒබී
එය නරකද ඔබ බැහැර කළ:
ඒසී 2 + එස්වී 2 = ඒබී * ඒබී
ඒ නිසා:
ඒසී 2 + සීබී 2 = ඒබී 2
පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කිරීම සහ එය විසඳීමට විවිධ ක්‍රම මෙම ගැටළුව සඳහා බහුකාර්ය ප්‍රවේශයක් අවශ්ය වේ. කෙසේ වෙතත්, මෙම විකල්පය සරලම එකකි.
තවත් ගණනය කිරීමේ තාක්ෂණයක්
ඔබ විසින්ම පුහුණුවීමට පටන් ගන්නා තුරු පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කිරීමේ විවිධ ක්‍රම පිළිබඳ විස්තරය කිසිවක් නොකියයි. බොහෝ තාක්‍ෂණ මඟින් ගණිතමය ගණනය කිරීම් පමණක් නොව මුල් ත්රිකෝණයේ සිට නව සංඛ්යා තැනීම ද සිදු කෙරේ.
මෙම අවස්ථාවේ දී, ක්‍රිස්තු පූර්වයේ කකුලේ සිට වීඑස්ඩී හි තවත් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් සම්පූර්ණ කිරීම අවශ්ය වේ. මේ අනුව, දැන් BC පොදු පාදයක් සහිත ත්රිකෝණ දෙකක් තිබේ.
එවැනි සංඛ්යා වල ප්රදේශ සමාන සමාන රේඛීය මානයන්හි චතුරස්රයන් ලෙස අනුපාතයක් ඇති බව දැන දැන, පසුව:
S avd * s 2 - S avd * a 2 = S avd * a 2 - S awd * a 2
S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S abd -S vd)
s 2 -w 2 = අ 2
ඇ 2 = අ 2 + බී 2
8 වන ශ්‍රේණිය සඳහා පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කිරීමේ විවිධ ක්‍රම වලින් මෙම විකල්පය කිසිසේත්ම සුදුසු නොවන බැවින් ඔබට පහත සඳහන් තාක්‍ෂණය භාවිතා කළ හැකිය.
පයිතගරස් න්‍යාය ඔප්පු කිරීමට පහසුම ක්රමය. සමාලෝචන
ඉතිහාසඥයින් විශ්වාස කරන්නේ මෙම ක්රමය මුලින්ම භාවිතා කළේ පුරාණ ග්‍රීසියේ ප්‍රමේයයක් ඔප්පු කිරීමට බවයි. එය සරලම දෙයකි, එයට කිසිඳු ගණනය කිරීමක් අවශ්ය නොවන බැවිනි. ඔබ පින්තූරය නිවැරදිව අඳින්නේ නම්, 2 + in 2 = c 2 යන ප්‍රකාශයේ සාක්ෂිය පැහැදිලිව දැකගත හැකිය.
මෙම ක්රමය සඳහා වූ කොන්දේසි පෙර ක්‍රමයට වඩා තරමක් වෙනස් වනු ඇත. ප් රමේයය සනාථ කිරීම සඳහා, නිවැරදි කෝණ ත්රිකෝණය ABC සමස්ථානික යැයි සිතමු.
අපි ඒසී හයිපොටිනියුස් චතුරස්රයේ පැත්ත ලෙස ගෙන එහි පැති තුන බෙදන්නෙමු. ඊට අමතරව, ලැබෙන චතුරස්රයේ විකර්ණ රේඛා දෙකක් ඇඳීම අවශ්ය වේ. එබැවින් එහි ඇතුළත සමස්ථානික ත්රිකෝණ හතරක් ඇත.
ඒබී සහ සීබී කකුල් වලට, ඔබ චතුරස්‍රයකින් ඇඳිය යුතු අතර ඒ සෑම එකක්ම එක් විකර්ණ රේඛාවක් අඳින්න. පළමු රේඛාව උච්චතම කොටසේ A වලින් ද දෙවනුව සී වලින් ද ඇද ගන්නා ලදි.
දැන් ඔබට එහි ප්‍රතිඵලය වන ඇඳීම දෙස සමීපව බැලිය යුතුය. ඒසී හයිපොටිනියුස් හි මුල් එකට සමාන ත්රිකෝණ හතරක් සහ කකුල් වල දෙකක් ඇති හෙයින්, මෙම න්‍යායේ සත්‍යතාව එයින් පෙන්නුම් කෙරේ.
මාර්ගය වන විට, පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කිරීමේ මෙම ක්‍රමයට ස්තූතිවන්ත වන්නට, ප්‍රසිද්ධ වැකිය උපත ලැබුවේ: "පයිතගරස් කලිසම් සෑම දිශාවකටම සමාන ය."
ජේ. ගාෆීල්ඩ්ගේ සාක්ෂිය
ජේම්ස් ගාෆීල්ඩ් යනු ඇමරිකා එක්සත් ජනපදයේ 20 වන ජනාධිපතිවරයා ය. එක්සත් ජනපදයේ පාලකයා ලෙස ඉතිහාසයේ ඔහුගේ සලකුණ තැබීමට අමතරව, ඔහු ස්වයං-ඉගැන්වීමට ද දක්ෂ පුද්ගලයෙකි.
ඔහුගේ වෘත්තීය ජීවිතය ආරම්භයේදී ඔහු ජන පාසලක සාමාන්‍ය ගුරුවරයෙකු වූ නමුත් වැඩි කල් නොගොස් උසස් අධ්‍යාපන ආයතනයක අධ්‍යක්ෂවරයා විය. ස්වයං සංවර්ධනයේ ආශාව නිසා පයිතගරස් ප්රමේයය සනාථ කිරීම සඳහා නව න්‍යායක් යෝජනා කිරීමට ඔහුට හැකි විය. ප්රමේයය සහ එයට විසඳුම පිළිබඳ උදාහරණයක් පහත පරිදි වේ.
පළමුව, ඔබ එක් අයෙකුගේ කකුල දෙවැන්නෙහි අඛණ්ඩ පැවැත්මක් වන පරිදි කඩදාසි පත්‍රයක දකුණු කෝණ ත්රිකෝණ දෙකක් ඇඳිය යුතුය. මෙම ත්රිකෝණ වල සිරස් සම්බන්ධ කර අවසානයේ ට්‍රැපෙසොයිඩ් සෑදිය යුතුය.
ඔබ දන්නා පරිදි, ට්‍රැපෙසොයිඩ් වල ප්රදේශය එහි පාදයේ අඩක එකතුවේ සහ උසෙහි නිෂ්පාදනයට සමාන වේ.
එස් = අ + ආ / 2 * (අ + ආ)
එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ඇති වන trapezoid ත්රිකෝණ තුනකින් සමන්විත රූපයක් ලෙස අපි සලකන්නේ නම්, එහි ප්රදේශය පහත පරිදි සොයා ගත හැකිය:
S = av / 2 * 2 + s 2/2
දැන් ඔබට මුල් ප්‍රකාශන දෙක සමාන කළ යුතුයි
2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2
ඇ 2 = අ 2 + බී 2
පයිතගරස් ප්රමේයය සහ එය සනාථ කිරීමේ ක්‍රම ගැන පෙළ පොතක එක වෙළුමකට වඩා ලිවිය හැකිය. නමුත් මෙම දැනුම ප්‍රායෝගිකව ක්‍රියාත්මක කළ නොහැකි විට එය අර්ථවත් වේද?
පයිතගරස් න්‍යාය ප්‍රායෝගිකව යෙදීම
අවාසනාවකට මෙන්, නූතන පාසල් විෂය මාලාව මෙම ප්රමේයය භාවිතා කිරීම සඳහා සපයන්නේ ජ්‍යාමිතික ගැටලු වලදී පමණි. ප්‍රායෝගිකව තම දැනුම හා කුසලතාවන් අදාළ කර ගත හැක්කේ කෙසේදැයි නොදැන උපාධිධාරීන් පාසැල් බිත්ති වලින් ඉක්මනින් ඉවත් වනු ඇත.
ඇත්ත වශයෙන්ම, සෑම කෙනෙකුටම තම එදිනෙදා ජීවිතයේ දී පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කළ හැකිය. ඒ වගේම වෘත්තීයමය කටයුතුවලදී පමණක් නොව සාමාන්‍ය ගෙදර දොරේ වැඩ කටයුතු වලදීත්. පයිතගරස් ප්රමේයය සහ එය සනාථ කිරීමේ ක්‍රම අතිශයින්ම අවශ්ය විය හැකි අවස්ථා කිහිපයක් සලකා බලමු.
ප්රමේයය සහ තාරකා විද්‍යාව අතර සම්බන්ධය
කඩදාසි මත තරු සහ ත්රිකෝණ සම්බන්ධ කළ හැක්කේ කෙසේදැයි පෙනේ. ඇත්ත වශයෙන්ම තාරකා විද්‍යාව යනු පයිතගරස් ප්රමේයය බහුලව භාවිතා වන විද්‍යාත්මක ක්ෂේත්‍රයකි.
උදාහරණයක් ලෙස, අවකාශයේ ආලෝක කදම්භයක චලනය ගැන සලකා බලන්න. ආලෝකය එකම වේගයෙන් දෙපැත්තටම චලනය වන බව දන්නා කරුණකි. ආලෝක කදම්භය ගමන් කරන AB ගමන් පථය හැඳින්වෙන්නේ එල්. ඒ වගේම ආලෝකය A ලක්ෂයේ සිට බී ලක්ෂ්යය ලබා ගැනීමට ගත වන කාලයෙන් අඩකටත් වඩා අපි කතා කරමු ටී... සහ කදම්භයේ වේගය - c. එය නරකද ඔබ බැහැර කළ: c * t = එල්
උදාහරණයක් ලෙස, වෙනත් තලයක සිට මෙම කිරණ දෙස බැලුවහොත්, උදාහරණයක් ලෙස, v වේගයකින් ගමන් කරන අභ්‍යවකාශ ලයිනරයකින්, ශරීර නිරීක්ෂණය කිරීමත් සමඟ ඒවායේ වේගය වෙනස් වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, ස්ථාවර මූලද්‍රව්‍යයන් පවා v සමඟ ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට ගමන් කරයි.
අපි හිතමු කොමික් ලයිනර් දකුණට යාත්‍රා කරනවා කියලා. එවිට කිරණ විසි කරන A සහ B ලකුණු වමට ගමන් කරයි. තවද, කදම්භය A ලක්ෂ්යයේ සිට B ලක්ෂ්යය දක්වා ගමන් කරන විට A ලක්ෂ්යයට ගමන් කිරීමට කාලය ඇති අතර, ඒ අනුව ආලෝකය දැනටමත් නව ලක්ෂ්යයකට පැමිණෙනු ඇත. A ලක්ෂ්යය මාරු වූ දුරෙන් අඩක් සොයා ගැනීමට, ඔබ ගුණ කළ යුතුය. කදම්භයේ ගමන් කාලය අඩකින් ලයිනරයේ වේගය (ටී)).
මෙම කාලය තුළ ආලෝක කිරණකට කොපමණ දුරක් ගමන් කළ හැකි දැයි සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ නව අකුරක් s සමඟ මාර්ගයේ අඩක් නම් කර පහත ප්‍රකාශනය ලබා ගත යුතුය:
ආලෝකයේ සී සහ බී යන ලක්ෂ්‍යයන් මෙන්ම අභ්‍යවකාශ ලයිනර් ද සමස්ථානික ත්රිකෝණයක සිරස් යැයි අපි සිතන්නේ නම්, ඒ ලක්ෂ්යයේ සිට ලයිනර් දක්වා වූ කොටස එය දකුණු කෝණ ත්රිකෝණ දෙකකට බෙදේ. එම නිසා, පයිතගරස් ප්‍රමේයයට ස්තූතිවන්ත වන්නට, ආලෝක කිරණක් ගමන් කළ හැකි දුර ඔබට සොයා ගත හැක.
ඇත්ත වශයෙන්ම මෙම උදාහරණය හොඳම එක නොවේ, මන්ද එය ප්‍රායෝගිකව අත්හදා බැලීමට වාසනාව ලැබිය හැක්කේ ස්වල්ප දෙනෙකුට පමණි. එබැවින්, මෙම ප්රමේයයේ වඩාත් ලෞකික යෙදුම් අපි සලකා බලමු.
ජංගම සංඥා සම්ප්රේෂණය කිරීමේ අරය
ස්මාර්ට්ෆෝන් නොමැතිව නූතන ජීවිතය ගැන සිතාගත නොහැකිය. නමුත් ඔවුන්ට ජංගම සන්නිවේදනයන් හරහා ග්‍රාහකයින් සම්බන්ධ කර ගැනීමට නොහැකි නම් ඒවායින් ප්‍රයෝජන තිබේද?
ජංගම සන්නිවේදනයේ ගුණාත්මකභාවය කෙලින්ම රඳා පවතින්නේ ජංගම දුරකථන ක්‍රියාකරුගේ ඇන්ටෙනාව පිහිටා ඇති උස මත ය. ජංගම කුළුණෙන් දුරකථනයට කෙතරම් දුරට සංඥා ලබා ගත හැකිදැයි ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබට පයිතගරස් ප්රමේයය යෙදිය හැකිය.
ස්ථාවර කුළුණක දළ වශයෙන් උස සොයා ගැනීමට අවශ්ය යැයි සිතමු, එවිට එයට කිලෝමීටර් 200 ක අරයක් තුළ සංඥා ප්‍රචාරණය කළ හැකිය.
AB (කුළුණේ උස) = x;
ගුවන් යානා (සංඥා සම්ප්රේෂණ අරය) = 200 km;
මෙහෙයුම් පද්ධතිය (පෘථිවියේ අරය) = කි.මී 6380;
OB = OA + ABOV = r + x
පයිතගරස් ප්රමේයය යෙදීමෙන්, කුළුණේ අවම උස කිලෝමීටර් 2.3 ක් විය යුතු බව අපි සොයා ගනිමු.
එදිනෙදා ජීවිතයේ පයිතගරස් ප්රමේයය
පුදුමයට කරුණක් නම්, නිදසුනක් වශයෙන්, ඇඳුම් ආයිත්තම් කට්ටලයක උස තීරණය කිරීම වැනි එදිනෙදා කටයුතුවලදී පවා පයිතගරස් ප්රමේයය ප්‍රයෝජනවත් විය හැකිය. බැලූ බැල්මට එවැනි සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් අවශ්ය නොවේ, මන්ද ඔබට ටේප් මිනුමකින් මිනුම් ගත හැකි බැවිනි. සියලුම මිනුම් නිරවද්‍යතාවයට වඩා ගනු ලැබුවහොත් එකලස් කිරීමේ ක්‍රියාවලියේදී යම් යම් ගැටලු පැන නැඟෙන්නේ මන්දැයි බොහෝ දෙනෙක් පුදුම වෙති.
කාරණය නම්, ඇඳුම් ආයිත්තම් කට්ටලය තිරස් ස්ථානයකට එකලස් කර ඇති අතර පසුව පමණක් එය නැඟී බිත්තියට සවි කර තිබීමයි. එම නිසා, ව්‍යුහය එසවීමේ ක්‍රියාවලියේදී කැබිනට් මණ්ඩලයේ පැත්ත කාමරයේ උසට මෙන්ම තිරස් අතටද නිදහසේ ගමන් කළ යුතුය.
ඔබ සතුව මිලිමීටර් 800 ක් ගැඹුරකින් යුත් ඇඳුම් ආයිත්තම් කට්ටලයක් තිබේ යැයි සිතමු. බිම සිට සිවිලිම දක්වා ඇති දුර 2600 මි.මී. පළපුරුදු ගෘහ භාණ්ඩ සාදන්නෙකු ඔබට පවසන්නේ කැබිනට් මණ්ඩලයේ උස කාමරයේ උසට වඩා මි.මී. 126 ක් අඩු විය යුතු බවයි. නමුත් හරියටම 126 මි.මී. අපි උදාහරණයක් බලමු.
කැබිනට් මණ්ඩලයේ පරමාදර්ශී මානයන් සමඟ, පයිතගරස් ප්රමේයයේ ක්‍රියාව අපි පරීක්‍ෂා කරමු:
AC = √AB 2 + √BC 2
AC = √2474 2 +800 2 = 2600 මි.මී. - සියල්ල අභිසාරී වේ.
කැබිනට් මණ්ඩලයේ උස මි.මී. 2474 නොව 2505 මි.මී. යැයි සිතමු. ඉන්පසු:
AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 මි.මී.
එම නිසා මෙම කැබිනට් මණ්ඩලය මෙම කාමරයේ සවි කිරීමට සුදුසු නොවේ. එය අවංක ස්ථානයකට එසවීමෙන් එහි සිරුරට හානි විය හැකිය.
සමහර විට විවිධ විද්‍යාඥයින් විසින් පයිතගරස් ප්රමේයය ඔප්පු කිරීමට විවිධ ක්‍රම සලකා බැලීමෙන් එය සත්‍යයට වඩා වැඩි දෙයක් යැයි අපට නිගමනය කළ හැකිය. දැන් ඔබට එදිනෙදා ජීවිතයේ ලැබුණු තොරතුරු භාවිතා කළ හැකි අතර සියලු ගණනය කිරීම් ප්‍රයෝජනවත් වනවා පමණක් නොව නිවැරදි බව ද නිසැකයි.
පයිතගරස් ප්රමේයයේ සජීවිකරණ සාක්ෂියක් ඉන් එකකි මූලිකයුක්ලීඩියානු ජ්‍යාමිතියේ න්‍යායන්, සෘජුකෝණික ත්රිකෝණයක පැති අතර සම්බන්ධතාවය තහවුරු කිරීම. ග්‍රීක ජාතික ගණිතඥ පයිතගරස් විසින් එය ඔප්පු කරන ලද බව විශ්වාස කෙරෙන අතර පසුව එය නම් කරන ලදී (වෙනත් අනුවාදයන් ඇත, විශේෂයෙන් මෙම න්‍යාය පයිතගරස් ගණිතඥයෙකු වූ හිපාසස් විසින් සකස් කරන ලද බවට විකල්ප මතයක් ඇත).
ප්රමේයය මෙසේ පවසයි:
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක, පාදකය මත ඉදි කර ඇති හතරැස් ප්රදේශය කකුල් වල ඉදි කර ඇති කොටු වල ප්‍රමාණයට සමාන වේ.
ත්රිකෝණයේ උපකල්පිතයේ දිග දැක්වීම c,සහ කකුල් වල දිග මෙන් ඒහා බී,අපට පහත සූත්‍රය ලැබේ:
මේ අනුව, පයිතගරස් න්‍යාය මඟින් අනෙක් දෙකේ දිග දැනගෙන සෘජුකෝණී ත්රිකෝණයක පැත්ත තීරණය කිරීමට ඉඩ සලසන සම්බන්ධතාවක් තහවුරු කරයි. පයිතගරස් ප්රමේයය යනු අත්තනෝමතික ත්රිකෝණයක පැති අතර අනුපාතය තීරණය කරන කොසයින් ප්රමේයයේ විශේෂ අවස්ථාවකි.
ප්රතිවිරුද්ධ ප්රකාශය ද ඔප්පු කර ඇත (ප්රතිලෝම පයිතගරස් ප්රමේයය ලෙසද හැඳින්වේ):
ඕනෑම ධන සංඛ්යා තුනක් සඳහා අ, ආ, ඇ, ඒ ද? + ආ? = c?
පූ 500-20000 "චු පේයි" පොතේ ත්රිකෝණය (3, 4, 5) සඳහා දෘශ්ය සාක්ෂි. ප්රමේයයේ ඉතිහාසය කොටස් හතරකට බෙදිය හැකිය: පයිතගරස් සංඛ්යා පිළිබඳ දැනුම, ත්රිකෝණයක පැති අනුපාතය පිළිබඳ දැනුම, යාබද කෝණ අනුපාතය පිළිබඳ දැනුම සහ ප්රමේයය සනාථ කිරීම.
ක්‍රිපූ 2500 දී පමණ මෙගලිතික ව්‍යුහයන් ඊජිප්තුවේ සහ උතුරු යුරෝපයේ, පූර්ණ සංඛ්යා වල පැති සහිත සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ අඩංගු වේ. බාර්ටල් ලින්ඩර්ට් වැන් ඩර් වර්ඩර්න් උපකල්පනය කළේ ඒ කාලයේ පයිතගරස් සංඛ්යා වීජීයව හමු වූ බවයි.
ක්‍රිස්තු පූර්ව 2000 සහ 1876 අතර කාලය තුළ ලියා ඇත මැද ඊජිප්තු රාජධානියේ පැපිරස් බර්ලින් 6619පයිතගරස් සංඛ්යා විසඳීමේ ගැටලුවක් එහි අඩංගු වේ.
මහා හමුරාබිගේ පාලන කාලය තුළ බැබිලෝනියානු ටැබ්ලට් එක ප්ලිම්ප්ටන් 322,ක්රි.පූ 1790 සහ 1750 අතර ලියන ලද පයිතගරස් සංඛ්‍යාවට සමීපව ඇතුළත් බොහෝ ඇතුළත් කිරීම් තිබේ.
ක්රි.පූ අටවන හෝ දෙවන සියවස් දක්වා විවිධ අනුවාදයන්ට අනුව දින නියම කර ඇති බුද්ධායන සූත්ර වල. ඉන්දියාවේ වීජ ගණිතයෙන් ලබාගත් පයිතගරස් සංඛ්යා, පයිතගරස් ප්රමේයය සකස් කිරීම සහ සැජිටල් සෘජුකෝණ ත්රිකෝණය සඳහා ජ්‍යාමිතික සාක්ෂිය ඇතුළත් වේ.
අපස්තම්භ සූත්ර (ක්‍රිස්තු පූර්ව 600 පමණ) ප්රදේශ ගණනය කිරීම් උපයෝගී කරගනිමින් පයිතගරස් ප්රමේයයේ සංඛ්‍යාත්මක සාක්ෂි සපයයි. වැන් ඩර් වර්ඩර්න් විශ්වාස කරන්නේ එය පදනම් වූයේ එහි පූර්වගාමීන්ගේ සම්ප්‍රදායන් මත බවයි. ඇල්බට් බර්කෝට අනුව, මෙය ප් රමේයයේ මුල් සාක් ෂිය වන අතර පයිතගරස් අරකොන්ස් වෙත ගොස් එය පිටපත් කළ බව ඔහු උපකල්පනය කරයි.
පයිතගරස්ගේ ආයු කාලය සාමාන්‍යයෙන් ක්රි.පූ. 569 - 475 දක්වයි. යුක්ලිඩ් පිළිබඳ ප්‍රොක්ලොව්ගේ විවරණයට අනුව පයිතගරස් සංඛ්යා ගණනය කිරීම සඳහා වීජ ගණිත ක්‍රම භාවිතා කරයි. කෙසේ වෙතත්, ප්‍රොක්ලස් ජීවත් වූයේ ක්රි.ව. 410 ත් 485 ත් අතර ය. තෝමස් ගීස්ට අනුව, පයිතගරස්ගෙන් පසු සියවස් පහක් පුරාවට න්‍යායයේ කර්තෘත්වය පිළිබඳ කිසිදු සඳහනක් නොමැත. කෙසේ වෙතත්, ප්ලූටාර්ක් හෝ සිසෙරෝ වැනි කතුවරුන් මෙම ප්රමේයය පයිතගරස් වෙත ආරෝපණය කළ විට, ඔවුන් එසේ කරන්නේ කර්තෘත්වය පුළුල් ලෙස දන්නා හා අවිවාදිත ය.
පූ 400 පමණ ප්‍රොක්ලස් වලට අනුව, වීජ ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතිය ඒකාබද්ධ කරමින් පයිතගරස් සංඛ්යා ගණනය කිරීමේ ක්‍රමයක් ප්ලේටෝ ලබා දුන්නේය. ක්‍රිස්තු පූර්ව 300 දී පමණ ආරම්භයයුක්ලිඩ්, අද දක්වාම පවතින පැරණිතම අක්ෂීය සාක්ෂි අප සතුව ඇත.
ක්‍රිස්තු පූර්ව 500 අතර කොහේ හරි ලියා ඇත ක්රි.පූ 200, චීන ගණිත පොත "චු පේයි" (????), පැති වලින් යුත් ත්රිකෝණයක් සඳහා චීනයේ ගුගු (????) ප්රමේයය ලෙස හැඳින්වෙන පයිතගරස් ප්රමේයයේ දෘශ්ය සාක්ෂියක් ලබා දෙයි (3) , 4, 5). ක්‍රිස්තු පූර්ව 202 සිට හෑන් රාජවංශය පැවති සමයේ 220 ට පෙර ගණිත කලාවේ නවය කොටසේ පයිතගරස් අංක දක්නට ලැබෙන අතර නිවැරදි කෝණ ත්රිකෝණ ගැන සඳහන් වේ.
මෙම ප්රමේයයේ භාවිතය මුලින්ම වාර්තා වූයේ ගුගු (????) ප්රමේයය ලෙස හැඳින්වෙන චීනයේ සහ බාස්කර්ගේ ප්රමේයය ලෙස හැඳින්වෙන ඉන්දියාවේ දී ය.
පයිතගරස් ප්රමේයය එක් වරක් හෝ කිහිප වරක් සොයා ගත් බව විවාදයට භාජනය වී ඇත. බෝයර් (1991) විශ්වාස කරන්නේ ෂුල්බා සූත්‍රයේ ඇති දැනුම මෙසපොතේමියාවේ සම්භවයක් ඇති ඒවා විය හැකි බවයි.
වීජ ගණිතය 
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ හතරකින් වර්ග සෑදී ඇත. පයිතගරස් ප්රමේයය පිළිබඳ සාක්ෂි සියයකට වඩා තිබේ. මෙහි සාක්ෂිය පදනම් වී ඇත්තේ රූපයක ප්රදේශය සඳහා පැවැත්මේ ප්රමේයය මත ය:
පින්තූරයේ පෙන්වා ඇති පරිදි සමාන සෘජුකෝණ ත්රිකෝණ හතරක් තබන්න.
පැති වලින් හතරැස් කොටුව cතියුණු කෝණ දෙකක එකතුවක් වන බැවින් හතරැස් යනු දිග හැරුනු කෝණයකි.
මුළු රූපයේම ප්රදේශය එක් අතකින් "අ + ආ" පැති වලින් හතරැස් ප්රදේශය වන අතර අනෙක් පැත්තෙන් ත්රිකෝණ හතරේ සහ අභ්යන්තර චතුරස්රයේ එකතුවයි.
ඔප්පු කළ යුත්තේ එයයි.
ත්රිකෝණ වල සමානතාවයෙන් 
සමාන ත්රිකෝණ භාවිතා කිරීම. ඉඩ දෙන්න ඒබීසීසෘජුකෝණ ත්රිකෝණයක කෝණය පිහිටා ඇත සීනිදර්ශනයේ දැක්වෙන පරිදි කෙළින්ම. ස්ථානයේ සිට උස උකහා ගනිමු සී,හා අපි කතා කරමු එච්පැති ඡේදනය වීමේ ස්ථානය ඒබීත්රිකෝණයක් සෑදී ඇත ACHත්රිකෝණයක් වගේ ඒබීසී,ඒවා දෙකම සෘජුකෝණාස්රාකාර (උස අර්ථ දැක්වීම අනුව) වන අතර ඒවාට පොදු කෝණයක් ඇති බැවිනි ඒ,පැහැදිලිවම මෙම ත්රිකෝණ වල ද තුන්වන කෝණය සමාන වේ. ඒ හා සමානව මිර්කුයුචි, ත්රිකෝණය සීබීඑච්ත්රිකෝණයක මෙන් ද ඒබීසී.ත්රිකෝණ වල සමානතාවයෙන්: නම්
මෙය ලෙස ලිවිය හැකිය
අපි මෙම සමානකම් දෙක එකතු කළහොත් අපට ලැබේ
HB + c වාර AH = c වාර (HB + AH) = c ^ 2 ,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png"/>
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පයිතගරස් ප්රමේයය:
යුක්ලිඩ්ගේ සාක්ෂිය 
යුක්ලීඩියන් මූලධර්ම වල යුක්ලිඩ් පිළිබඳ සාක්ෂිය, පයිතගරස් ප්රමේයය සමාන්තරගත ක්රමය මඟින් ඔප්පු වේ. ඉඩ දෙන්න ඒ, බී, සී-ජුකෝණික ත්රිකෝණයක සිරස් කෝණ ඒ.ලම්බක ස්ථානයේ සිට පහළට දමන්න ඒඋපකල්පනය මත ඉදිකරන ලද චතුරස්රයේ උපකල්පනයට ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තට. මෙම රේඛාව හතරැස් හතරැස් හතරකට බෙදෙන අතර, ඒ සෑම එකක්ම කකුල් මත ඉදිකර ඇති හතරැස් වලට සමාන ප්‍රදේශයක් ඇත. සාක්‍ෂියේ ඇති ප්‍රධාන අදහස නම් ඉහළ කොටු එකම ප්‍රදේශයේ සමාන්තර චක්‍ර බවට පත් වන අතර පසුව ඒවා ආපසු පැමිණ පහළ චතුරශ්‍රයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර බවට පත් වී නැවත එම ප්‍රදේශයම සමඟ සමාන වීමයි.
අපි කොටස් අඳින්නෙමු සීඑෆ්හා දැන්වීම,අපට ත්රිකෝණ ලැබේ BCFහා බීඩීඒ.
කොන් කුලී රථයහා බෑග්- සරල රේඛා; පිළිවෙලින් ලකුණු සී, ඒහා ජීඑකිනෙකට සම්බන්ධයි. එකම විදිහ බී, ඒහා එච්.
කොන් CBDහා FBA- සරල රේඛා දෙකම, පසුව කෝණය ABDකෝණයට සමාන වේ FBC,මන්ද දෙකම සෘජු කෝණයක සහ කෝණයක එකතුවක් වන බැවිනි ඒබීසී.
ත්රිකෝණය ABDහා FBCදෙපස සහ ඒවා අතර කෙළවර.
කරුණු වලින් ඒ, කේහා එල්කොලීනියර්, සෘජුකෝණාස්රයේ බීඩීඑල්කේ ප්රදේශය ත්රිකෝණයේ ප්රදේශ දෙකකට සමාන වේ ඒබීඩී (බීඩීඑල්කේ) = BAGF = ඒබී 2)
ඒ හා සමානව, අපට ලැබේ CKLE = ACIH = ඒසී 2
එක් පැත්තක ප්රදේශය CBDEසෘජුකෝණාස්රා වල ප්රදේශ වල එකතුවට සමාන වේ බීඩීඑල්කේහා CKLE,සහ අනෙක් අතට, චතුරස්රයේ ප්රදේශය BC 2,හෝ ඒබී 2 + ඒසී 2 = BC 2.
අවකලනයන් භාවිතා කිරීම 
අවකලනයන් භාවිතා කිරීම. දකුණු පස රූපයේ දැක්වෙන පරිදි උපකල්පනයේ වටිනාකමට අතුරු ප්‍රතිලාභ බලපාන්නේ කෙසේදැයි අධ්‍යයනය කර සුළු ගණනය කිරීමක් කළහොත් පයිතගරස් ප්‍රමේයයට පැමිණිය හැකිය.
පැත්ත වැඩි වීම හේතුවෙන් ඒ,අසීමිත වර්ධක සඳහා සමාන ත්රිකෝණ වලින්
ඒකාබද්ධ කිරීම අපට ලැබේ
නම් ඒ= 0 එවිට c = බී,"නියතය" යනු එයයි b 2ඉන්පසු
ඔබට දැකිය හැකි පරිදි, වර්ග වර්ග සහ පැති අතර අනුපාතය හේතුවෙන් වර්ග ලබා ගන්නා අතර, එකතුව යනු පැති වර්ග වල ස්වාධීන දායකත්වයේ ප්රතිඵලයක් වන අතර ජ්‍යාමිතික සාක්ෂි වලින් පැහැදිලි නොවේ. මෙම සමීකරණ තුළ ඩාහා ඩීසී- පිළිවෙලින්, පැති වල අසීමිත කුඩා වර්ධක ඒහා cනමුත් ඒවා වෙනුවට අපි භාවිතා කරන්නේ? ඒහා? c,අනුපාතයේ සීමාව, ඒවා ශුන්‍ය වීමට නැඹුරු නම්, වේ ඩා / ඩීසී,ව්යුත්පන්නය, සහ සමාන වේ c / ඒ,ත්රිකෝණ වල පැති වල දිග අනුපාතය, එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අපි අවකලන සමීකරණයක් ලබා ගනිමු.
දර්‍ශක දර්‍ශණ පද්ධතියක දී, සමානතාව දරන අතර එය පයිතගරස් ප්රමේයය ලෙස ද හැඳින්වේ:
නම් - මෙය දෛශිකය ඛණ්ඩාංක අක්ෂ වලට ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම නම්, මෙම සූත්‍රය යුක්ලීඩියානු දුර සමඟ සමපාත වන අතර එයින් අදහස් වන්නේ දෛශිකයේ දිග එහි සංඝටක වල වර්ග වල එකතුවේ වර්ග මූලයට සමාන වන බවයි.
අසීමිත දෛශික පද්ධතියක මෙම සමානාත්මතාවයේ ප්‍රතිසමයක් පර්සෙවල් සමානාත්මතාවය ලෙස හැඳින්වේ.
පයිතගරස් ප්රමේයය
එසේම, සීබීඑච් ත්රිකෝණය ABC හා සමාන වේ. අංකනය හඳුන්වා දීම 
1. රූපයේ දැක්වෙන පරිදි සමාන සෘජුකෝණ ත්රිකෝණ හතරක් තබන්න. 
යුක්ලිඩ්ගේ සාක්ෂිය පිටුපස ඇති අදහස පහත පරිදි වේ: උපකල්පනය මත ඉදිකරන ලද චතුරශ්‍රයේ ප්‍රමාණයෙන් අඩක් කකුල් මත ඉදිකර ඇති හතරැස් කොටසේ ප්‍රමාණයට සමාන වන බව ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරමු. විශාල හා කුඩා කොටු දෙක සමාන වේ. වම් පස ඇඳීම සලකා බලන්න. ඒ මත අපි සෘජුකෝණික ත්රිකෝණයක දෙපැත්තේ චතුරශ්‍ර ගොඩනඟා නිවැරදි කෝණයේ උච්චතම ස්ථානයේ සිට සී වර්‍ගයක් උපුටා ගෙන ඒබී වෙතට ලම්බකව එය අන්ධකාරය මත ඉදිකරන ලද ඒබීකේ චතුරස්‍රය හතරැස් කොට කපා දමමු - BHJI සහ HAKJ, පිළිවෙලින්. මෙම සෘජුකෝණාස්රාකාර ප්රදේශ හරියටම අනුරූප කකුල් මත ඉදිකර ඇති හතරැස් ප්‍රදේශවලට සමාන බව පෙනේ. ACJ සෘජුකෝණාස්රයේ ප්‍රදේශයට සමාන බව තහවුරු කිරීමට අපි උත්සාහ කරමු AHJK මේ සඳහා අපි සහායක නිරීක්‍ෂණයක් භාවිතා කරමු: මෙම සෘජුකෝණාස්රයේ සමාන උස සහ පාදම සහිත ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සමාන වේ දී ඇති සෘජුකෝණාස්රයේ අඩක් දක්වා. මෙය ත්රිකෝණයක ප්රදේශය පාදයේ නිෂ්පාදිතයෙන් සහ උසෙන් අඩක් ලෙස නිර්වචනය කිරීමේ ප්‍රතිවිපාකයකි. මෙම නිරීක්‍ෂණයෙන් පසුවන්නේ ACK ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය AHK ත්රිකෝණයේ ප්‍රදේශයට සමාන වන බවයි (රූපයේ දක්වා නැත), එය AHJK සෘජුකෝණාස්රයේ අඩකට සමාන වේ . ත්රිකෝණයේ ACK ප්රදේශය ද DECA චතුරශ්‍රයෙන් අඩකට සමාන බව අපි දැන් ඔප්පු කරමු. මේ සඳහා කළ යුතු එකම දෙය නම් ACK සහ BDA යන ත්රිකෝණ වල සමානාත්මතාවය ඔප්පු කිරීම පමණි (ඉහත දේපල අනුව ත්රිකෝණයේ BDA ප්‍රදේශයේ හතරැස් ප්‍රදේශයෙන් භාගයකට සමාන වන බැවින්). සමානාත්මතාවය පැහැදිලිය, ත්රිකෝණ දෙපැත්තට සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණය. එනම් - AB = AK, AD = AC - චලන ක්රමය මඟින් CAK සහ BAD යන කෝණ වල සමානතාවය ඔප්පු කිරීම පහසුය: අපි ත්රිකෝණය CAK 90 ° වාමාවර්තව භ්‍රමණය කළ විට ත්රිකෝණ දෙකේ අනුරූප පැති පැහැදිලිව පෙනේ සලකා බලනුයේ සමපාත වීමයි (හතරැස් මුදුනේ කෝණය 90 ° බැවින්). BCFG චතුරස්රයේ සහ බීඑච්ජීඅයි සෘජුකෝණාස්රයේ සමානතාව පිළිබඳ තර්කනය සම්පුර්ණයෙන්ම සමාන ය. මේ අනුව, උපකල්පිතය මත ඉදි කර ඇති චතුරශ්‍රයේ ප්‍රමාණය කකුල් මත ඉදි කර ඇති කොටු වල ප්‍රමාණය බව අපි ඔප්පු කර ඇත්තෙමු. 
සමමිතියෙන් දැකිය හැකි පරිදි චිත්‍ර ඇඳීම සලකා බලන්න, සීඅයි කොටසේ ABHJ චතුරස්‍රය සමාන කොටස් දෙකකට කපා ඇත (ඉදිකිරීම් වලදී ABC සහ JHI ත්රිකෝණ සමාන බැවින්). අංශක 90 වාමාවර්තව භ්‍රමණය භාවිතා කිරීමෙන්, සෙවන ලද CAJI සහ GDAB යන සංඛ්යා සමාන බව අපට පෙනේ. දැන් පැහැදිලි වන්නේ සෙවන ලද රූපයේ ප්රදේශය කකුල් වල ඉදි කර ඇති හතරැස් කොටසේ සහ මුල් ත්රිකෝණයේ ප්‍රමාණයට සමාන වන බවයි. අනෙක් අතට, එය උපකල්පනය මත ඉදිකර ඇති චතුරශ්‍රයෙන් අඩක් සහ මුල් ත්රිකෝණයේ ප්‍රමාණයට සමාන වේ. සාක්‍ෂියේ අවසාන පියවර පාඨකයාට පැවරේ.පයිතගරස් න්‍යාය පිළිබඳ වඩාත් රසවත් සාක්ෂි
පයිතගරස් ප්රමේයය යනු සෘජුකෝණ ත්රිකෝණයක පැති අතර සම්බන්ධතාවය තහවුරු කරන යුක්ලීඩියානු ජ්‍යාමිතියේ මූලික න්‍යායන්ගෙන් එකකි. c2 = a2 + b2 මෙම ප්රමේයය සනාථ කිරීමට බොහෝ ක්‍රම ඇතත් අපි වඩාත් සිත් ගන්නා සුළු ඒවා තෝරා ගත්තෙමු ...
මනාලියගේ පුටුව රූපයේ, කකුල් මත ඉදිකර ඇති හතරැස් එකින් එක එක පියවරක තබා ඇත. මෙම රූපය ක්රි.ව. ඊ., ඉන්දියානුවන් හැඳින්වූයේ "මනාලියගේ පුටුව" යනුවෙනි. උපකල්පනයට සමාන පැත්තක් සහිත චතුරශ්‍රයක් තැනීමේ ක්රමය ඇඳීමෙන් පැහැදිලි වේ. කකුල් මත හතරැස් කොට දෙකක සහ උපකල්පිතය මත ඉදි කර ඇති හතරැස් කොටුවේ පොදු කොටස අක්‍රමවත් සෙවන සහිත පෙන්ටගනයකි. ත්රිකෝණ 1 සහ 2 එයට සම්බන්ධ කිරීමෙන් අපට හතරැස් හතර කකුල් වලින් සෑදී ඇත; අපි ත්රිකෝණ 1 සහ 2 සමාන ත්රිකෝණ 3 සහ 4 සමඟ ආදේශ කළහොත්, උපකල්පිතය මත චතුරශ්‍රයක් ගොඩ නගා ඇත. පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ පළමු රූපයේ දැක්වෙන ස්ථානයට ආසන්නව එකිනෙකට වෙනස් ස්ථාන දෙකකි.
ඉන්දියානු ගණිතඥ භාස්කරීගේ සාක්ෂිය රූපයේ දැක්වෙන චතුරශ්රය සලකා බලන්න. චතුරස්රයේ පැත්ත b, රූපයේ දැක්වෙන පරිදි පාද සහ පාද සහිත මුල් ත්රිකෝණ 4 ක් සහ හතරැස් කොටසේ සුපිරි ලෙස සවි කර ඇත. මධ්‍යයේ කුඩා චතුරස්රයේ පැත්ත c - a, පසුව: b2 = 4 * a * c / 2 + (ca) 2 = = 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 = = a2 + ඇ 2
පයිතගරස් ප්රමේයයේ සරලම සාක්ෂිය. රූපයේ දැක්වෙන චතුරශ්රය සලකා බලන්න. චතුරස්රයේ පැත්ත a + c ය. එක් අවස්ථාවක (වමේ) හතරැස් කොටුව ආ පැත්තෙන් හතරැස් කොට සහ කකුල් අ සහ සී සහිත සෘජුකෝණ ත්රිකෝණ හතරකට බෙදා ඇත. අනෙක් අවස්ථාවේදී (දකුණේ) හතරැස් කොටුව a සහ c දෙපැත්තෙන් හතරැස් කොටා සහ කකුල් a සහ c සහිත දකුණු කෝණ ත්රිකෝණ හතරකට බෙදා ඇත. මේ අනුව, ආ පැත්තෙන් හතරැස් කොටසේ ප්රදේශය අ සහ සී සහිත හතරැස් කොටසේ එකතුවට සමාන බව අපට පෙනේ.
සමාන ත්රිකෝණ හරහා සාක්ෂිය ABC නිවැරදි කෝණ සහිත සෘජුකෝණ ත්රිකෝණයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. සී වලින් උස උකහා එහි පාදම එච්. ත්රිකෝණය ඒසීඑච් යනු කෝණ දෙකකින් ඒබීසී ත්‍රිකෝණයට සමාන ය. එසේම, සීබීඑච් ත්රිකෝණය ABC හා සමාන වේ. අංකනය හඳුන්වා දීමෙන්, ඊට සමාන දේ අපි ලබා ගනිමු. එකතු කිරීමෙන්, අපට ලැබේ හෝ
හෝකින්ගේ සාක්ෂිය මෙන්න තවත් එක් සාක්ෂියක්, එය ගණනය කිරීමේ ස්වභාවයක් ඇති නමුත් එය පෙර තිබූ සියල්ලටම වඩා බෙහෙවින් වෙනස් ය. එය 1909 දී ඉංග්‍රීසි ජාතික හෝකින්ස් විසින් ප්‍රකාශයට පත් කරන ලදී. එය කලින් දැන සිටියාද යන්න කීමට අපහසුය. A "CB" පිහිටීම ලබා ගැනීම සඳහා ABC දකුණු කෝණ ත්රිකෝණය rightජු කෝණය 90 ° කින් භ්‍රමණය කරන්න. A "බී" යන ලක්ෂ්යය A ලක්ෂ්‍යයෙන් ඔබ්බට දිගු කර බලමු. එය ඩී ලක්ෂ්යයේ ඒබී රේඛාව ඡේදනය වන තුරු අපි බලමු. බී කාණ්ඩයේ "ඩී" ත්රිකෝණයේ උස බී "ඒබී ය. සෙවන ලද චතුරස්රාකාර A" ඒබී "ආ. CAA "සහ CBB" (හෝ A "B" A සහ A "B" B) ත්රිකෝණ දෙකකට දිරාපත් වේ. SCAA "= b² / 2 SCBB" = a² / 2 SA "AB" B = (a² + b²) / 2 A "B" A සහ A "B" B ත්රිකෝණ වලට පොදු පදනමක් ඇත c සහ උස DA සහ DB, එබැවින්: SA "AB" B = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB ) / 2 = c² / 2 ප්රදේශය සඳහා ලබා ගත් ප්‍රකාශන දෙක සංසන්දනය කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ: a ² + b ² = c ² ප්රමේයය ඔප්පු වී ඇත.
වොල්ඩ්හයිම්ගේ සාක්ෂිය මෙම සාක්ෂිය පරිගණකමය ස්වභාවයක් ගනී. ප්‍රථම රූපය භාවිතයෙන් ප්රමේයය සනාථ කිරීම සඳහා, trapezoid ප්රදේශය ආකාර දෙකකින් ප්‍රකාශ කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ. Strapeziums = (a + b) ² / 2 Strapeziums = a²b² + c² / 2 දකුණු පස සමීකරණය කිරීමෙන් අපට ලැබේ: a² + b² = c² ප්රමේයය ඔප්පු වී ඇත.
