ලඝුගණක ශ්‍රිත සඳහා සූත්ර. ලඝුගණක ප්රකාශන
ප්රධාන ගුණාංග.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
සමාන බිම්
ලොග් 6 4 + ලොග් 6 9.
දැන් අපි කාර්යය ටිකක් සංකීර්ණ කරමු.
ලඝුගණක විසඳීමේ උදාහරණ
ලඝුගණකයේ පදනම හෝ තර්කය බලයක් නම්? එවිට මෙම උපාධියේ ඝාතකය පහත සඳහන් නීතිවලට අනුව ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය:
ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ ODZ නිරීක්ෂණය කළහොත් මෙම සියලු නීති අර්ථවත් වේ: a > 0, a ≠ 1, x >
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයන්න:
නව පදනමකට මාරුවීම
ලඝුගණක logax ලබා දෙන්න. එවිට c > 0 සහ c ≠ 1 වැනි ඕනෑම අංකයක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයන්න:
මෙයද බලන්න:
ලඝුගණකයේ මූලික ගුණාංග
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
ඝාතකය 2.718281828 වේ. ඝාතකය මතක තබා ගැනීම සඳහා, ඔබට රීතිය අධ්යයනය කළ හැකිය: ඝාතකය 2.7 ට සමාන වන අතර ලියෝ නිකොලෙවිච් ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් වර්ෂය මෙන් දෙගුණයක් වේ.
ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග
මෙම රීතිය දැන ගැනීමෙන්, ඝාතකයේ නියම අගය සහ ලියෝ ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් දිනය යන දෙකම ඔබ දැන ගනු ඇත.
ලඝුගණක සඳහා උදාහරණ
ලඝුගණක ප්රකාශන
උදාහරණ 1.
ඒ). x=10ac^2 (a>0,c>0).
ගුණාංග 3.5 භාවිතා කරමින් අපි ගණනය කරමු 
2.
3. 
4. 
කොහෙද 
.
උදාහරණය 2. x if සොයන්න
උදාහරණ 3. ලඝුගණකවල අගය ලබා දෙන්න
ලොගය (x) නම් ගණනය කරන්න
ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග
ලඝුගණක, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් මෙන්, සෑම ආකාරයකින්ම එකතු කිරීමට, අඩු කිරීමට සහ පරිවර්තනය කිරීමට හැකිය. නමුත් ලඝුගණක හරියටම සාමාන්ය සංඛ්යා නොවන බැවින්, මෙහි නීති ඇත, ඒවා හඳුන්වනු ලැබේ ප්රධාන ගුණාංග.
ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම මෙම නීති දැන සිටිය යුතුය - ඒවා නොමැතිව, එක් බරපතල ලඝුගණක ගැටළුවක් විසඳිය නොහැක. ඊට අමතරව, ඒවායින් ඉතා ස්වල්පයක් ඇත - ඔබට එක් දිනක් තුළ සියල්ල ඉගෙන ගත හැකිය. එහෙනම් අපි පටන් ගනිමු.
ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
එකම පාද සහිත ලඝුගණක දෙකක් සලකා බලන්න: logax සහ logay. එවිට ඒවා එකතු කර අඩු කළ හැක, සහ:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
එබැවින්, ලඝුගණකවල එකතුව නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයට සමාන වන අතර, වෙනස කොටස්වල ලඝුගණකයට සමාන වේ. කරුණාකර සටහන් කරන්න: මෙහි ප්රධාන කාරණය සමාන බිම්. හේතු වෙනස් නම්, මෙම නීති ක්රියා නොකරයි!
මෙම සූත්ර ඔබට ලඝුගණක ප්‍රකාශනයක් එහි තනි කොටස් නොසලකන විට පවා ගණනය කිරීමට උපකාරී වනු ඇත ("ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද" යන පාඩම බලන්න). උදාහරණ දෙස බලා බලන්න:
ලඝුගණක වලට එකම පාද ඇති බැවින්, අපි එකතු කිරීමේ සූත්රය භාවිතා කරමු:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log2 48 - log2 3.
පදනම් සමාන වේ, අපි වෙනස සූත්රය භාවිතා කරමු:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log3 135 - log3 5.
නැවතත් පදනම් සමාන වේ, එබැවින් අපට ඇත්තේ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, මුල් ප්රකාශනයන් "නරක" ලඝුගණක වලින් සමන්විත වන අතර ඒවා වෙන වෙනම ගණනය නොකෙරේ. නමුත් පරිවර්තනයෙන් පසුව, සම්පූර්ණයෙන්ම සාමාන්ය සංඛ්යා ලබා ගනී. බොහෝ පරීක්ෂණ මෙම කරුණ මත පදනම් වේ. ඔව්, ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේදී පරීක්ෂණ වැනි ප්රකාශන සියලු බැරෑරුම් ලෙස (සමහර විට ප්‍රායෝගිකව කිසිදු වෙනසක් නොමැතිව) ඉදිරිපත් කෙරේ.
ලඝුගණකයෙන් ඝාතකය උපුටා ගැනීම
අවසාන රීතිය පළමු දෙක අනුගමනය කරන බව දැකීම පහසුය. නමුත් එය කෙසේ හෝ මතක තබා ගැනීම වඩා හොඳය - සමහර අවස්ථාවලදී එය ගණනය කිරීම් ප්රමාණය සැලකිය යුතු ලෙස අඩු කරනු ඇත.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ ODZ නිරීක්ෂණය කළහොත් මෙම නීති සියල්ල අර්ථවත් කරයි: a > 0, a ≠ 1, x > 0. සහ තවත් එක් දෙයක්: වමේ සිට දකුණට පමණක් නොව, අනෙක් අතට ද සියලු සූත්ර යෙදීමට ඉගෙන ගන්න. , i.e. ලඝුගණක ලකුණට පෙර ඔබට ලඝුගණකයටම අංක ඇතුළත් කළ හැක. බොහෝ විට අවශ්ය වන්නේ මෙයයි.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log7 496.
පළමු සූත්රය භාවිතා කර තර්කයේ උපාධිය ඉවත් කරමු:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයන්න:
හරයෙහි ලඝුගණකයක් අඩංගු වන බව සලකන්න, එහි පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ: 16 = 24; 49 = 72. අපට ඇත්තේ:
මම හිතන්නේ අවසාන උදාහරණයට යම් පැහැදිලි කිරීමක් අවශ්‍යයි. ලඝුගණක කොහෙද ගිහින් තියෙන්නේ? අවසාන මොහොත දක්වා අපි වැඩ කරන්නේ හරය සමඟ පමණි.
ලඝුගණක සූත්ර. ලඝුගණක උදාහරණ විසඳුම්.
අපි එහි පවතින ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය බලයේ ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කර ඝාතකයන් එළියට ගත්තෙමු - අපට “මහල් තුනේ” භාගයක් ලැබුණි.
දැන් අපි ප්රධාන කොටස දෙස බලමු. සංඛ්‍යාංකය සහ හරයෙහි එකම අංකය අඩංගු වේ: log2 7. log2 7 ≠ 0 නිසා, අපට කොටස අඩු කළ හැක - 2/4 හරය තුළ පවතිනු ඇත. අංක ගණිතයේ නීතිවලට අනුව, හතර සංඛ්යාංකයට මාරු කළ හැකිය, එය සිදු කරන ලදී. ප්රතිඵලය වූයේ පිළිතුරයි: 2.
නව පදනමකට මාරුවීම
ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති රීති ගැන කතා කරමින්, මම විශේෂයෙන් අවධාරණය කළේ ඔවුන් එකම පදනමක් සමඟ පමණක් ක්රියා කරන බවයි. හේතු වෙනස් නම් කුමක් කළ යුතුද? ඒවා එකම සංඛ්‍යාවක නියම බලතල නොවේ නම් කුමක් කළ යුතුද?
නව පදනමකට මාරුවීම සඳහා සූත්ර ගලවා ගැනීමට පැමිණේ. අපි ඒවා ප්‍රමේයයක ආකාරයෙන් සකස් කරමු:
ලඝුගණක logax ලබා දෙන්න. එවිට c > 0 සහ c ≠ 1 වැනි ඕනෑම අංකයක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:
විශේෂයෙන්, අපි c = x සකසන්නේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ:
දෙවන සූත්‍රයෙන් එය ලඝුගණකයේ පාදම සහ තර්කය මාරු කළ හැකි බව අනුගමනය කරයි, නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය "පෙරළී ඇත", i.e. ලඝුගණකය හරයේ දිස්වේ.
මෙම සූත්ර සාමාන්ය සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනවල දක්නට ලැබෙන්නේ කලාතුරකිනි. ලඝුගණක සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳන විට පමණක් ඒවා කොතරම් පහසුදැයි තක්සේරු කළ හැකිය.
කෙසේ වෙතත්, නව පදනමකට යාම හැර කිසිසේත් විසඳිය නොහැකි ගැටළු තිබේ. අපි මේවායින් කිහිපයක් බලමු:
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log5 16 log2 25.
ලඝුගණක දෙකේම තර්කවල නිශ්චිත බලතල අඩංගු බව සලකන්න. අපි දර්ශක ඉවත් කරමු: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
දැන් අපි දෙවන ලඝුගණකය "ආපසු" කරමු:
සාධක නැවත සකස් කිරීමේදී නිෂ්පාදිතය වෙනස් නොවන බැවින්, අපි සන්සුන්ව හතර සහ දෙක ගුණ කර, පසුව ලඝුගණක සමඟ කටයුතු කළෙමු.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log9 100 lg 3.
පළමු ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ. අපි මෙය ලියා දර්ශක ඉවත් කරමු:
දැන් අපි නව පදනමකට යාමෙන් දශම ලඝුගණකයෙන් මිදෙමු:
මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය
බොහෝ විට විසඳුම් ක්‍රියාවලියේ දී දී ඇති පාදයකට ලඝුගණකයක් ලෙස සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කිරීම අවශ්ය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, පහත සූත්ර අපට උපකාර වනු ඇත:
පළමු අවස්ථාවේ දී, n අංකය තර්කයේ ඝාතකය බවට පත්වේ. එය ලඝුගණක අගයක් වන නිසා n අංකය නියත වශයෙන්ම ඕනෑම දෙයක් විය හැක.
දෙවන සූත්රය ඇත්ත වශයෙන්ම පරාවර්තක අර්ථ දැක්වීමකි. ඒකට තමයි කියන්නේ: .
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම බලයට b අංකයෙන් a අංකය ලබා දෙන තරමට b අංකය එවැනි බලයකට ඔසවා තැබුවහොත් කුමක් සිදුවේද? ඒක හරි: ප්රතිඵලය එකම අංකය a. මෙම ඡේදය නැවත හොඳින් කියවන්න - බොහෝ අය එහි සිරවී සිටිති.
නව පදනමකට ගමන් කිරීම සඳහා සූත්ර මෙන්, මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය සමහර විට එකම විසඳුම වේ.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයන්න:
log25 64 = log5 8 - හුදෙක් ලඝුගණකයේ පාදයෙන් සහ තර්කයෙන් චතුරස්‍රය ගත් බව සලකන්න. එකම පදනමක් සහිත බල ගුණ කිරීමේ නීති සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ලැබෙන්නේ:
කවුරුහරි නොදන්නේ නම්, මෙය ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයෙන් සැබෑ කාර්යයක් විය :)
ලඝුගණක ඒකකය සහ ලඝුගණක ශුන්‍යය
අවසාන වශයෙන්, මම ගුණාංග ලෙස හැඳින්විය නොහැකි අනන්‍යතා දෙකක් දෙන්නෙමි - ඒ වෙනුවට, ඒවා ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීමේ ප්‍රතිවිපාක වේ. ඔවුන් නිරන්තරයෙන් ගැටළු වල පෙනී සිටින අතර, පුදුමයට කරුණක් නම්, "උසස්" සිසුන් සඳහා පවා ගැටළු ඇති කරයි.
- logaa = 1 වේ. වරක් සහ සියල්ල මතක තබා ගන්න: එම පාදයේම a පාදයේ ලඝුගණකය එකකට සමාන වේ.
- loga 1 = 0 වේ. a පදනම ඕනෑම දෙයක් විය හැක, නමුත් තර්කයේ එකක් අඩංගු නම්, ලඝුගණකය බිංදුවට සමාන වේ! a0 = 1 යනු අර්ථ දැක්වීමේ සෘජු ප්රතිවිපාකයක් වන බැවිනි.
දේපල එච්චරයි. ඒවා ක්‍රියාවට නැංවීමට පුරුදු වන්න! පාඩම ආරම්භයේ ඇති වංචා පත්‍රය බාගත කර එය මුද්‍රණය කර ගැටළු විසඳන්න.
මෙයද බලන්න:
a පාදක කිරීමට b හි ලඝුගණකය ප්‍රකාශනය දක්වයි. ලඝුගණකය ගණනය කිරීම යනු සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් වන x () බලයක් සොයා ගැනීමයි
ලඝුගණකයේ මූලික ගුණාංග
ලඝුගණක සම්බන්ධ ගැටළු සහ උදාහරණ සියල්ලම පාහේ ඒවායේ පදනම මත විසඳා ඇති බැවින්, ඉහත ගුණාංග දැනගැනීම අවශ්ය වේ. ඉතිරි විදේශීය ගුණාංග මෙම සූත්ර සමඟ ගණිතමය උපාමාරු හරහා ව්‍යුත්පන්න කළ හැක
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ලඝුගණකවල එකතුව සහ වෙනස සඳහා සූත්රය ගණනය කිරීමේදී (3.4) ඔබට බොහෝ විට හමු වේ. ඉතිරිය තරමක් සංකීර්ණ ය, නමුත් කාර්යයන් ගණනාවක දී ඒවා සංකීර්ණ ප්රකාශන සරල කිරීම සහ ඒවායේ අගයන් ගණනය කිරීම සඳහා අත්‍යවශ්‍ය වේ.
ලඝුගණකවල පොදු අවස්ථා
සමහර පොදු ලඝුගණක යනු පාදය දහය, ඝාතීය හෝ දෙක වන ඒවා වේ.
දහයේ පාදයේ ලඝුගණකය සාමාන්‍යයෙන් දශම ලඝුගණකය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එය හුදෙක් lg(x) මගින් දැක්වේ.
පටිගත කිරීමේදී මූලික කරුණු ලියා නොමැති බව පටිගත කිරීමෙන් පැහැදිලි වේ. උදාහරණ වශයෙන්
ස්වාභාවික ලඝුගණකයක් යනු ලඝුගණකයක් වන අතර එහි පාදම ඝාතීය (ln(x) මගින් දක්වනු ලැබේ).
ඝාතකය 2.718281828 වේ. ඝාතකය මතක තබා ගැනීම සඳහා, ඔබට රීතිය අධ්යයනය කළ හැකිය: ඝාතකය 2.7 ට සමාන වන අතර ලියෝ නිකොලෙවිච් ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් වර්ෂය මෙන් දෙගුණයක් වේ. මෙම රීතිය දැන ගැනීමෙන්, ඝාතකයේ නියම අගය සහ ලියෝ ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් දිනය යන දෙකම ඔබ දැන ගනු ඇත.
සහ පාද දෙක සඳහා තවත් වැදගත් ලඝුගණකයක් දක්වා ඇත
ශ්‍රිතයක ලඝුගණකයේ ව්‍යුත්පන්නය විචල්‍යයෙන් බෙදූ එකකට සමාන වේ
අනුකලිත හෝ ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ලඝුගණකය තීරණය වන්නේ සම්බන්ධතාවය මගිනි
ලඝුගණක සහ ලඝුගණක සම්බන්ධ ගැටළු රාශියක් විසඳීමට ලබා දී ඇති ද්‍රව්‍ය ඔබට ප්රමාණවත් වේ. ඔබට තොරතුරු තේරුම් ගැනීමට උපකාර කිරීම සඳහා, මම පාසල් විෂය මාලාවෙන් සහ විශ්ව විද්‍යාල වලින් පොදු උදාහරණ කිහිපයක් පමණක් දෙන්නෙමි.
ලඝුගණක සඳහා උදාහරණ
ලඝුගණක ප්රකාශන
උදාහරණ 1.
ඒ). x=10ac^2 (a>0,c>0).
ගුණාංග 3.5 භාවිතා කරමින් අපි ගණනය කරමු
2.
අපට ඇති ලඝුගණකවල වෙනසෙහි ගුණය අනුව
3.
ගුණාංග 3.5 භාවිතා කරමින් අපි සොයා ගනිමු
4. කොහෙද .
බැලූ බැල්මට සංකීර්ණ ප්‍රකාශනයක් නීති කිහිපයක් භාවිතා කරමින් සරල කර ඇත
ලඝුගණක අගයන් සොයා ගැනීම
උදාහරණය 2. x if සොයන්න
විසඳුමක්. ගණනය කිරීම සඳහා, අපි අවසාන පදය 5 සහ 13 ගුණාංගවලට අදාළ වේ
අපි එය වාර්තාගත කර වැලපෙමු
පදනම් සමාන බැවින්, අපි ප්රකාශන සමාන කරමු
ලඝුගණක. පළමු මට්ටම.
ලඝුගණක වල අගය දෙන්න
ලොගය (x) නම් ගණනය කරන්න
විසඳුම: ලඝුගණකය ලිවීමට විචල්‍යයේ ලඝුගණකයක් ගනිමු.
මෙය ලඝුගණක සහ ඒවායේ ගුණාංග පිළිබඳ අපගේ දැනුමේ ආරම්භය පමණි. ගණනය කිරීම් පුහුණු කරන්න, ඔබේ ප්‍රායෝගික කුසලතා පොහොසත් කරන්න - ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඔබ ලබා ගන්නා දැනුම ඔබට ඉක්මනින් අවශ්ය වනු ඇත. එවැනි සමීකරණ විසඳීමේ මූලික ක්‍රම අධ්යයනය කිරීමෙන් පසු, අපි ඔබේ දැනුම තවත් සමාන වැදගත් මාතෘකාවකට පුළුල් කරන්නෙමු - ලඝුගණක අසමානතා ...
ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග
ලඝුගණක, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් මෙන්, සෑම ආකාරයකින්ම එකතු කිරීමට, අඩු කිරීමට සහ පරිවර්තනය කිරීමට හැකිය. නමුත් ලඝුගණක හරියටම සාමාන්ය සංඛ්යා නොවන බැවින්, මෙහි නීති ඇත, ඒවා හඳුන්වනු ලැබේ ප්රධාන ගුණාංග.
ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම මෙම නීති දැන සිටිය යුතුය - ඒවා නොමැතිව, එක් බරපතල ලඝුගණක ගැටළුවක් විසඳිය නොහැක. ඊට අමතරව, ඒවායින් ඉතා ස්වල්පයක් ඇත - ඔබට එක් දිනක් තුළ සියල්ල ඉගෙන ගත හැකිය. එහෙනම් අපි පටන් ගනිමු.
ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
එකම පාද සහිත ලඝුගණක දෙකක් සලකා බලන්න: logax සහ logay. එවිට ඒවා එකතු කර අඩු කළ හැක, සහ:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
එබැවින්, ලඝුගණකවල එකතුව නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයට සමාන වන අතර, වෙනස කොටස්වල ලඝුගණකයට සමාන වේ. කරුණාකර සටහන් කරන්න: මෙහි ප්රධාන කාරණය සමාන බිම්. හේතු වෙනස් නම්, මෙම නීති ක්රියා නොකරයි!
මෙම සූත්ර ඔබට ලඝුගණක ප්‍රකාශනයක් එහි තනි කොටස් නොසලකන විට පවා ගණනය කිරීමට උපකාරී වනු ඇත ("ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද" යන පාඩම බලන්න). උදාහරණ දෙස බලා බලන්න:
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log6 4 + log6 9.
ලඝුගණක වලට එකම පාද ඇති බැවින්, අපි එකතු කිරීමේ සූත්රය භාවිතා කරමු:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log2 48 - log2 3.
පදනම් සමාන වේ, අපි වෙනස සූත්රය භාවිතා කරමු:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log3 135 - log3 5.
නැවතත් පදනම් සමාන වේ, එබැවින් අපට ඇත්තේ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, මුල් ප්රකාශනයන් "නරක" ලඝුගණක වලින් සමන්විත වන අතර ඒවා වෙන වෙනම ගණනය නොකෙරේ. නමුත් පරිවර්තනයෙන් පසුව, සම්පූර්ණයෙන්ම සාමාන්ය සංඛ්යා ලබා ගනී. බොහෝ පරීක්ෂණ මෙම කරුණ මත පදනම් වේ. ඔව්, ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේදී පරීක්ෂණ වැනි ප්රකාශන සියලු බැරෑරුම් ලෙස (සමහර විට ප්‍රායෝගිකව කිසිදු වෙනසක් නොමැතිව) ඉදිරිපත් කෙරේ.
ලඝුගණකයෙන් ඝාතකය උපුටා ගැනීම
දැන් අපි කාර්යය ටිකක් සංකීර්ණ කරමු. ලඝුගණකයේ පදනම හෝ තර්කය බලයක් නම්? එවිට මෙම උපාධියේ ඝාතකය පහත සඳහන් නීතිවලට අනුව ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය:
අවසාන රීතිය පළමු දෙක අනුගමනය කරන බව දැකීම පහසුය. නමුත් එය කෙසේ හෝ මතක තබා ගැනීම වඩා හොඳය - සමහර අවස්ථාවලදී එය ගණනය කිරීම් ප්රමාණය සැලකිය යුතු ලෙස අඩු කරනු ඇත.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ ODZ නිරීක්ෂණය කළහොත් මෙම නීති සියල්ල අර්ථවත් කරයි: a > 0, a ≠ 1, x > 0. සහ තවත් එක් දෙයක්: වමේ සිට දකුණට පමණක් නොව, අනෙක් අතට ද සියලු සූත්ර යෙදීමට ඉගෙන ගන්න. , i.e. ලඝුගණක ලකුණට පෙර ඔබට ලඝුගණකයටම අංක ඇතුළත් කළ හැක.
ලඝුගණක විසඳන ආකාරය
බොහෝ විට අවශ්ය වන්නේ මෙයයි.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log7 496.
පළමු සූත්රය භාවිතා කර තර්කයේ උපාධිය ඉවත් කරමු:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයන්න:
හරයෙහි ලඝුගණකයක් අඩංගු වන බව සලකන්න, එහි පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ: 16 = 24; 49 = 72. අපට ඇත්තේ:
මම හිතන්නේ අවසාන උදාහරණයට යම් පැහැදිලි කිරීමක් අවශ්‍යයි. ලඝුගණක කොහෙද ගිහින් තියෙන්නේ? අවසාන මොහොත දක්වා අපි වැඩ කරන්නේ හරය සමඟ පමණි. අපි එහි පවතින ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය බලයේ ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කර ඝාතකයන් එළියට ගත්තෙමු - අපට “මහල් තුනේ” භාගයක් ලැබුණි.
දැන් අපි ප්රධාන කොටස දෙස බලමු. සංඛ්‍යාංකය සහ හරයෙහි එකම අංකය අඩංගු වේ: log2 7. log2 7 ≠ 0 නිසා, අපට කොටස අඩු කළ හැක - 2/4 හරය තුළ පවතිනු ඇත. අංක ගණිතයේ නීතිවලට අනුව, හතර සංඛ්යාංකයට මාරු කළ හැකිය, එය සිදු කරන ලදී. ප්රතිඵලය වූයේ පිළිතුරයි: 2.
නව පදනමකට මාරුවීම
ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති රීති ගැන කතා කරමින්, මම විශේෂයෙන් අවධාරණය කළේ ඔවුන් එකම පදනමක් සමඟ පමණක් ක්රියා කරන බවයි. හේතු වෙනස් නම් කුමක් කළ යුතුද? ඒවා එකම සංඛ්‍යාවක නියම බලතල නොවේ නම් කුමක් කළ යුතුද?
නව පදනමකට මාරුවීම සඳහා සූත්ර ගලවා ගැනීමට පැමිණේ. අපි ඒවා ප්‍රමේයයක ආකාරයෙන් සකස් කරමු:
ලඝුගණක logax ලබා දෙන්න. එවිට c > 0 සහ c ≠ 1 වැනි ඕනෑම අංකයක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:
විශේෂයෙන්, අපි c = x සකසන්නේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ:
දෙවන සූත්‍රයෙන් එය ලඝුගණකයේ පාදම සහ තර්කය මාරු කළ හැකි බව අනුගමනය කරයි, නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය "පෙරළී ඇත", i.e. ලඝුගණකය හරයේ දිස්වේ.
මෙම සූත්ර සාමාන්ය සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනවල දක්නට ලැබෙන්නේ කලාතුරකිනි. ලඝුගණක සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳන විට පමණක් ඒවා කොතරම් පහසුදැයි තක්සේරු කළ හැකිය.
කෙසේ වෙතත්, නව පදනමකට යාම හැර කිසිසේත් විසඳිය නොහැකි ගැටළු තිබේ. අපි මේවායින් කිහිපයක් බලමු:
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log5 16 log2 25.
ලඝුගණක දෙකේම තර්කවල නිශ්චිත බලතල අඩංගු බව සලකන්න. අපි දර්ශක ඉවත් කරමු: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
දැන් අපි දෙවන ලඝුගණකය "ආපසු" කරමු:
සාධක නැවත සකස් කිරීමේදී නිෂ්පාදිතය වෙනස් නොවන බැවින්, අපි සන්සුන්ව හතර සහ දෙක ගුණ කර, පසුව ලඝුගණක සමඟ කටයුතු කළෙමු.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log9 100 lg 3.
පළමු ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ. අපි මෙය ලියා දර්ශක ඉවත් කරමු:
දැන් අපි නව පදනමකට යාමෙන් දශම ලඝුගණකයෙන් මිදෙමු:
මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය
බොහෝ විට විසඳුම් ක්‍රියාවලියේ දී දී ඇති පාදයකට ලඝුගණකයක් ලෙස සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කිරීම අවශ්ය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, පහත සූත්ර අපට උපකාර වනු ඇත:
පළමු අවස්ථාවේ දී, n අංකය තර්කයේ ඝාතකය බවට පත්වේ. එය ලඝුගණක අගයක් වන නිසා n අංකය නියත වශයෙන්ම ඕනෑම දෙයක් විය හැක.
දෙවන සූත්රය ඇත්ත වශයෙන්ම පරාවර්තක අර්ථ දැක්වීමකි. ඒකට තමයි කියන්නේ: .
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම බලයට b අංකයෙන් a අංකය ලබා දෙන තරමට b අංකය එවැනි බලයකට ඔසවා තැබුවහොත් කුමක් සිදුවේද? ඒක හරි: ප්රතිඵලය එකම අංකය a. මෙම ඡේදය නැවත හොඳින් කියවන්න - බොහෝ අය එහි සිරවී සිටිති.
නව පදනමකට ගමන් කිරීම සඳහා සූත්ර මෙන්, මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය සමහර විට එකම විසඳුම වේ.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයන්න:
log25 64 = log5 8 - හුදෙක් ලඝුගණකයේ පාදයෙන් සහ තර්කයෙන් චතුරස්‍රය ගත් බව සලකන්න. එකම පදනමක් සහිත බල ගුණ කිරීමේ නීති සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ලැබෙන්නේ:
කවුරුහරි නොදන්නේ නම්, මෙය ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයෙන් සැබෑ කාර්යයක් විය :)
ලඝුගණක ඒකකය සහ ලඝුගණක ශුන්‍යය
අවසාන වශයෙන්, මම ගුණාංග ලෙස හැඳින්විය නොහැකි අනන්‍යතා දෙකක් දෙන්නෙමි - ඒ වෙනුවට, ඒවා ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීමේ ප්‍රතිවිපාක වේ. ඔවුන් නිරන්තරයෙන් ගැටළු වල පෙනී සිටින අතර, පුදුමයට කරුණක් නම්, "උසස්" සිසුන් සඳහා පවා ගැටළු ඇති කරයි.
- logaa = 1 වේ. වරක් සහ සියල්ල මතක තබා ගන්න: එම පාදයේම a පාදයේ ලඝුගණකය එකකට සමාන වේ.
- loga 1 = 0 වේ. a පදනම ඕනෑම දෙයක් විය හැක, නමුත් තර්කයේ එකක් අඩංගු නම්, ලඝුගණකය බිංදුවට සමාන වේ! a0 = 1 යනු අර්ථ දැක්වීමේ සෘජු ප්රතිවිපාකයක් වන බැවිනි.
දේපල එච්චරයි. ඒවා ක්‍රියාවට නැංවීමට පුරුදු වන්න! පාඩම ආරම්භයේ ඇති වංචා පත්‍රය බාගත කර එය මුද්‍රණය කර ගැටළු විසඳන්න.
අපි පටන් ගනිමු එකක ලඝුගණකයේ ගුණාංග. එහි සූත්‍රගත කිරීම පහත පරිදි වේ: එකමුතුවේ ලඝුගණකය ශුන්‍යයට සමාන වේ, එනම්, ලොග් a 1=0ඕනෑම a>0, a≠1 සඳහා. සාධනය අපහසු නැත: ඉහත කොන්දේසි a>0 සහ a≠1 තෘප්තිමත් කරන ඕනෑම එකක් සඳහා 0 =1 බැවින්, පසුව ඔප්පු කළ යුතු සමානාත්මතා ලඝු-සටහන 1=0 ලඝුගණකයේ නිර්වචනයෙන් වහාම පහත දැක්වේ.
සලකා බලන ලද දේපල යෙදුමේ උදාහරණ අපි ලබා දෙමු: log 3 1=0, log1=0 සහ .
අපි ඊළඟ දේපල වෙත යමු: පාදයට සමාන සංඛ්‍යාවක ලඝුගණකය එකකට සමාන වේ, එනම්, log a = 1 a>0, a≠1 සඳහා. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම a සඳහා 1 =a බැවින්, ලඝුගණක ලඝු-සටහන a=1 අර්ථ දැක්වීම අනුව.
ලඝුගණකවල මෙම ගුණාංගය භාවිතා කිරීමේ උදාහරණ නම් සමානතා ලොගය 5 5=1, ලඝු 5.6 5.6 සහ lne=1 වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, ලොග් 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 සහ 
.
ධන සංඛ්යා දෙකක ගුණිතයේ ලඝුගණකය x සහ y මෙම සංඛ්‍යාවල ලඝුගණකවල ගුණිතයට සමාන වේ: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . නිෂ්පාදනයක ලඝුගණකයේ ගුණය ඔප්පු කරමු. උපාධියේ ගුණ නිසා a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, සහ ප්රධාන ලඝුගණක අනන්‍යතාවයෙන් log a x =x සහ log a y =y, පසුව log a x ·a log a y =x·y. මේ අනුව, ලඝු-සටහනක් a x+log a y =x·y, එයින්, ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීම අනුව, සමානාත්මතාවය පහත දැක්වේ.
නිෂ්පාදනයක ලඝුගණකයේ ගුණය භාවිතා කිරීමේ උදාහරණ පෙන්වමු: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 සහ 
.
නිෂ්පාදනයක ලඝුගණකයේ ගුණය ධන සංඛ්යා x 1 , x 2 , ..., x n ලෙස පරිමිත සංඛ්‍යාවක ගුණිතයට සාමාන්‍යකරණය කළ හැක. log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . මෙම සමානාත්මතාවය ගැටළු නොමැතිව ඔප්පු කළ හැකිය.
උදාහරණයක් ලෙස, නිෂ්පාදනයේ ස්වාභාවික ලඝුගණකය අංක 4, e, සහ යන සංඛ්‍යාවල ස්වාභාවික ලඝුගණක තුනක එකතුවෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක.
ධන සංඛ්යා දෙකක ප්‍රමාණයේ ලඝුගණකය x සහ y මෙම සංඛ්යා වල ලඝුගණක අතර වෙනසට සමාන වේ. කෝටන්ට් එකක ලඝුගණකයේ ගුණය පෝරමයේ සූත්‍රයකට අනුරූප වේ, මෙහි a>0, a≠1, x සහ y ධන සංඛ්යා වේ. මෙම සූත්‍රයේ වලංගු භාවය මෙන්ම නිෂ්පාදනයක ලඝුගණක සූත්‍රයද ඔප්පු කර ඇත: සිට 
, පසුව ලඝුගණක අර්ථ දැක්වීම අනුව.
ලඝුගණකයේ මෙම ගුණාංගය භාවිතා කිරීමේ උදාහරණයක් මෙන්න: 
.
අපි ඉදිරියට යමු බලයේ ලඝුගණකයේ ගුණය. උපාධියක ලඝුගණකය ඝාතකයේ ගුණිතයට සහ මෙම උපාධියේ පාදයේ මාපාංකයේ ලඝුගණකයට සමාන වේ. බලයක ලඝුගණකයේ මෙම ගුණාංගය සූත්‍රයක් ලෙස ලියන්නෙමු: log a b p =p·log a |b|, මෙහි a>0, a≠1, b සහ p යනු b p උපාධිය අර්ථවත් වන පරිදි සහ b p >0 වන සංඛ්යා වේ.
මුලින්ම අපි ධනාත්මක b සඳහා මෙම දේපල ඔප්පු කරමු. මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය අපට b log a b ලෙසින් නිරූපණය කිරීමට ඉඩ සලසයි, පසුව b p =(a log a b) p , සහ බලයේ ගුණය හේතුවෙන් ලැබෙන ප්‍රකාශනය p·log a b ට සමාන වේ. එබැවින් අපි සමානාත්මතාවයට පැමිණෙමු b p =a p·log a b, එයින්, ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීම අනුව, අපි log a b p =p·log a b බව නිගමනය කරමු.
මෙම දේපල සෘණ b සඳහා ඔප්පු කිරීමට ඉතිරිව ඇත. මෙහිදී අපි සෘණ b සඳහා log a b p යන ප්‍රකාශය අර්ථවත් වන්නේ p පවා ඝාතකයන් සඳහා පමණක් බව (b p අංශකයේ අගය ශුන්‍යයට වඩා වැඩි විය යුතු බැවින්, එසේ නොමැති නම් ලඝුගණකය අර්ථවත් නොවේ), සහ මෙම අවස්ථාවේ දී b p =|b| පි. ඉන්පසු b p =|b| p =(ලොගයක් a |b|) p =a p·log a |b|, log a b p =p·log a |b| .
උදාහරණ වශයෙන්, 
සහ ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
එය පෙර දේපල වලින් පහත දැක්වේ මූලයේ සිට ලඝුගණකයේ ගුණය: nth මූලයේ ලඝුගණකය රැඩිකල් ප්‍රකාශනයේ ලඝුගණකයෙන් 1/n භාගයේ ගුණිතයට සමාන වේ, එනම්, 
, මෙහි a>0, a≠1, n යනු එකකට වඩා වැඩි ස්වභාවික සංඛ්‍යාවකි, b>0.
සාධනය පදනම් වන්නේ ඕනෑම ධනාත්මක b සඳහා වලංගු වන සමානාත්මතාවය (බලන්න), සහ බලයේ ලඝුගණකයේ ගුණය: 
.
මෙම දේපල භාවිතා කිරීමේ උදාහරණයක් මෙන්න: 
.
දැන් අපි ඔප්පු කරමු නව ලඝුගණක පදනමකට ගමන් කිරීම සඳහා සූත්‍රයකාරුණික 
. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සමානාත්මතා ලඝු-සටහන c b=log a b·log c a වල වලංගු භාවය ඔප්පු කිරීමට ප්රමාණවත් වේ. මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය අපට b අංකය log a b ලෙස නිරූපණය කිරීමට ඉඩ සලසයි, ඉන්පසු log c b=log c a log a b . උපාධියේ ලඝුගණකයේ දේපල භාවිතා කිරීමට ඉතිරිව ඇත: log c a log a b =log a b log c a. මෙය සමානතා ලඝු-සටහන c b=log a b·log c a ඔප්පු කරයි, එනම් ලඝුගණකයේ නව පාදයකට සංක්‍රමණය වීමේ සූත්රය ද ඔප්පු වී ඇති බවයි.
ලඝුගණකවල මෙම ගුණාංගය භාවිතා කිරීම සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් පෙන්වමු: සහ 
.
නව පදනමක් වෙත ගමන් කිරීම සඳහා සූත්රය "පහසු" පදනමක් ඇති ලඝුගණක සමඟ වැඩ කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. උදාහරණයක් ලෙස, ලඝුගණක වගුවකින් ලඝුගණකයේ අගය ගණනය කළ හැකි වන පරිදි ස්වභාවික හෝ දශම ලඝුගණක වෙත යාමට එය භාවිතා කළ හැක. නව ලඝුගණක පදනමක් වෙත ගමන් කිරීම සඳහා වන සූත්රය, සමහර අවස්ථාවල දී, වෙනත් පාද සහිත සමහර ලඝුගණකවල අගයන් දන්නා විට දී ඇති ලඝුගණකයේ අගය සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි.
පෝරමයේ c=b සඳහා නව ලඝුගණක පදනමකට සංක්‍රමණය වීම සඳහා සූත්‍රයේ විශේෂ අවස්ථාවක් බොහෝ විට භාවිතා වේ. 
. මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ log a b සහ log b a – . උදා, 
.
සූත්රය ද බොහෝ විට භාවිතා වේ 
, ලඝුගණක අගයන් සොයා ගැනීමට පහසු වේ. අපගේ වචන තහවුරු කිරීම සඳහා, පෝරමයේ ලඝුගණකයේ අගය ගණනය කිරීමට එය භාවිතා කළ හැකි ආකාරය අපි පෙන්වමු. අපිට තියෙනවා 
. සූත්රය ඔප්පු කිරීමට 
ලඝුගණකයේ නව පදනමකට සංක්‍රමණය කිරීම සඳහා සූත්රය භාවිතා කිරීම ප්රමාණවත් වේ a: 
.
ලඝුගණක සංසන්දනය කිරීමේ ගුණාංග ඔප්පු කිරීමට එය ඉතිරිව ඇත.
ඕනෑම ධන සංඛ්යා b 1 සහ b 2, b 1 සඳහා බව අපි ඔප්පු කරමු log a b 2 , සහ a>1 සඳහා - අසමානතා log a b 1 අවසාන වශයෙන්, ලඝුගණකවල ලැයිස්තුගත කර ඇති ගුණාංගවල අවසාන ගුණාංගය ඔප්පු කිරීමට ඉතිරිව ඇත. අපි එහි පළමු කොටසේ සාක්ෂියට පමණක් සීමා වෙමු, එනම්, 1 >1, 2 >1 සහ 1 නම් අපි ඔප්පු කරමු. 1 සත්‍ය ලොගය a 1 b>log a 2 b වේ. ලඝුගණකයේ මෙම ගුණාංගයේ ඉතිරි ප්‍රකාශ සමාන මූලධර්මයකට අනුව ඔප්පු වේ. අපි ප්රතිවිරුද්ධ ක්රමය භාවිතා කරමු. 1 >1, 2 >1 සහ 1 සඳහා යැයි සිතමු 1 සත්‍ය ලඝු-සටහන a 1 b≤log a 2 b වේ. ලඝුගණකවල ගුණාංග මත පදනම්ව, මෙම අසමානතාවයන් ලෙස නැවත ලිවිය හැක 
සහ 
පිළිවෙලින්, සහ ඔවුන්ගෙන් එය පිළිවෙළින් log b a 1 ≤log b a 2 සහ log b a 1 ≥log b a 2 ලෙස අනුගමනය කරයි. ඉන්පසුව, එකම පාද සහිත බලවල ගුණ අනුව, සමානතා b log b a 1 ≥b log b a 2 සහ b log b a 1 ≥b log b a 2 තිබිය යුතුය, එනම් a 1 ≥a 2 . ඉතින් අපි 1 කොන්දේසියට පරස්පරයකට ආවා
ග්‍රන්ථ නාමාවලිය.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. වීජ ගණිතය සහ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය: සාමාන්ය අධ්‍යාපන ආයතනවල 10 - 11 ශ්‍රේණි සඳහා පෙළපොත්.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. ගණිතය (තාක්ෂණික පාසල්වලට ඇතුල් වන අය සඳහා අත්පොතක්).
ලඝුගණක, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් මෙන්, සෑම ආකාරයකින්ම එකතු කිරීමට, අඩු කිරීමට සහ පරිවර්තනය කිරීමට හැකිය. නමුත් ලඝුගණක හරියටම සාමාන්ය සංඛ්යා නොවන බැවින්, මෙහි නීති ඇත, ඒවා හඳුන්වනු ලැබේ ප්රධාන ගුණාංග.
ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම මෙම නීති දැන සිටිය යුතුය - ඒවා නොමැතිව, එක් බරපතල ලඝුගණක ගැටළුවක් විසඳිය නොහැක. ඊට අමතරව, ඒවායින් ඉතා ස්වල්පයක් ඇත - ඔබට එක් දිනක් තුළ සියල්ල ඉගෙන ගත හැකිය. එහෙනම් අපි පටන් ගනිමු.
ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
එකම පාද සහිත ලඝුගණක දෙකක් සලකා බලන්න: log ඒ xසහ ලොග් ඒ වයි. එවිට ඒවා එකතු කර අඩු කළ හැක, සහ:
- ලඝු ඒ x+ ලඝු-සටහන ඒ වයි=ලොග් ඒ (x · වයි);
- ලඝු ඒ x- ලඝු-සටහන ඒ වයි=ලොග් ඒ (x : වයි).
එබැවින්, ලඝුගණකවල එකතුව නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයට සමාන වන අතර, වෙනස කොටස්වල ලඝුගණකයට සමාන වේ. කරුණාකර සටහන් කරන්න: මෙහි ප්රධාන කාරණය සමාන බිම්. හේතු වෙනස් නම්, මෙම නීති ක්රියා නොකරයි!
මෙම සූත්ර ඔබට ලඝුගණක ප්‍රකාශනයක් එහි තනි කොටස් නොසලකන විට පවා ගණනය කිරීමට උපකාරී වනු ඇත ("ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද" පාඩම බලන්න). උදාහරණ දෙස බලා බලන්න:
ලඝු-සටහන 6 4 + ලඝු-සටහන 6 9.
ලඝුගණක වලට එකම පාද ඇති බැවින්, අපි එකතු කිරීමේ සූත්රය භාවිතා කරමු:
ලඝු-සටහන 6 4 + ලඝු-සටහන 6 9 = ලඝු-සටහන 6 (4 9) = ලඝු-සටහන 6 36 = 2.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log 2 48 - log 2 3.
පදනම් සමාන වේ, අපි වෙනස සූත්රය භාවිතා කරමු:
ලඝු-සටහන 2 48 - ලඝු-සටහන 2 3 = ලඝු-සටහන 2 (48: 3) = ලඝු-සටහන 2 16 = 4.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log 3 135 - log 3 5.
නැවතත් පදනම් සමාන වේ, එබැවින් අපට ඇත්තේ:
ලඝු-සටහන 3 135 - ලඝු-සටහන 3 5 = ලඝු-සටහන 3 (135: 5) = ලඝු-සටහන 3 27 = 3.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, මුල් ප්රකාශනයන් "නරක" ලඝුගණක වලින් සමන්විත වන අතර ඒවා වෙන වෙනම ගණනය නොකෙරේ. නමුත් පරිවර්තනයෙන් පසුව, සම්පූර්ණයෙන්ම සාමාන්ය සංඛ්යා ලබා ගනී. බොහෝ පරීක්ෂණ මෙම කරුණ මත පදනම් වේ. ඔව්, ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේදී පරීක්ෂණ වැනි ප්රකාශන සියලු බැරෑරුම් ලෙස (සමහර විට ප්‍රායෝගිකව කිසිදු වෙනසක් නොමැතිව) ඉදිරිපත් කෙරේ.
ලඝුගණකයෙන් ඝාතකය උපුටා ගැනීම
දැන් අපි කාර්යය ටිකක් සංකීර්ණ කරමු. ලඝුගණකයේ පදනම හෝ තර්කය බලයක් නම්? එවිට මෙම උපාධියේ ඝාතකය පහත සඳහන් නීතිවලට අනුව ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය:
අවසාන රීතිය පළමු දෙක අනුගමනය කරන බව දැකීම පහසුය. නමුත් එය කෙසේ හෝ මතක තබා ගැනීම වඩා හොඳය - සමහර අවස්ථාවලදී එය ගණනය කිරීම් ප්රමාණය සැලකිය යුතු ලෙස අඩු කරනු ඇත.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ ODZ නිරීක්ෂණය කළහොත් මෙම නීති සියල්ලම අර්ථවත් කරයි: ඒ > 0, ඒ ≠ 1, x> 0. සහ තවත් එක් දෙයක්: සියලු සූත්ර වමේ සිට දකුණට පමණක් නොව, අනෙක් අතට ද යෙදීමට ඉගෙන ගන්න, i.e. ලඝුගණක ලකුණට පෙර ඔබට ලඝුගණකයටම අංක ඇතුළත් කළ හැක. බොහෝ විට අවශ්ය වන්නේ මෙයයි.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: ලොග් 7 49 6 .
පළමු සූත්රය භාවිතා කර තර්කයේ උපාධිය ඉවත් කරමු:
ලඝු-සටහන 7 49 6 = 6 ලොගය 7 49 = 6 2 = 12
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයන්න:
[පින්තූරය සඳහා සිරස්තල]
හරයෙහි ලඝුගණකයක් අඩංගු වන බව සලකන්න, එහි පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. අපිට තියෙනවා:
[පින්තූරය සඳහා සිරස්තල] මම හිතන්නේ අවසාන උදාහරණයට යම් පැහැදිලි කිරීමක් අවශ්‍යයි. ලඝුගණක කොහෙද ගිහින් තියෙන්නේ? අවසාන මොහොත දක්වා අපි වැඩ කරන්නේ හරය සමඟ පමණි. අපි එහි පවතින ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය බලයේ ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කර ඝාතකයන් එළියට ගත්තෙමු - අපට “මහල් තුනේ” භාගයක් ලැබුණි.
දැන් අපි ප්රධාන කොටස දෙස බලමු. අංකනය සහ හරයෙහි එකම අංකය අඩංගු වේ: ලඝු 2 7. ලඝු-සටහන 2 7 ≠ 0 නිසා, අපට භාගය අඩු කළ හැක - 2/4 හරය තුළ පවතිනු ඇත. අංක ගණිතයේ නීතිවලට අනුව, හතර සංඛ්යාංකයට මාරු කළ හැකිය, එය සිදු කරන ලදී. ප්රතිඵලය වූයේ පිළිතුරයි: 2.
නව පදනමකට මාරුවීම
ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති රීති ගැන කතා කරමින්, මම විශේෂයෙන් අවධාරණය කළේ ඔවුන් එකම පදනමක් සමඟ පමණක් ක්රියා කරන බවයි. හේතු වෙනස් නම් කුමක් කළ යුතුද? ඒවා එකම සංඛ්‍යාවක නියම බලතල නොවේ නම් කුමක් කළ යුතුද?
නව පදනමකට මාරුවීම සඳහා සූත්ර ගලවා ගැනීමට පැමිණේ. අපි ඒවා ප්‍රමේයයක ආකාරයෙන් සකස් කරමු:
ලඝුගණක ලොගය ලබා දෙන්න ඒ x. එවිට ඕනෑම අංකයක් සඳහා cඑවැනි c> 0 සහ c≠ 1, සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:
[පින්තූරය සඳහා සිරස්තල]
විශේෂයෙන්ම, අපි දැම්මොත් c = x, අපට ලැබෙන්නේ:
[පින්තූරය සඳහා සිරස්තල]
දෙවන සූත්‍රයෙන් එය ලඝුගණකයේ පාදම සහ තර්කය මාරු කළ හැකි බව අනුගමනය කරයි, නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය "පෙරළී ඇත", i.e. ලඝුගණකය හරයේ දිස්වේ.
මෙම සූත්ර සාමාන්ය සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනවල දක්නට ලැබෙන්නේ කලාතුරකිනි. ලඝුගණක සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳන විට පමණක් ඒවා කොතරම් පහසුදැයි තක්සේරු කළ හැකිය.
කෙසේ වෙතත්, නව පදනමකට යාම හැර කිසිසේත් විසඳිය නොහැකි ගැටළු තිබේ. අපි මේවායින් කිහිපයක් බලමු:
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: ලඝු-සටහන 5 16 ලඝු-සටහන 2 25.
ලඝුගණක දෙකේම තර්කවල නිශ්චිත බලතල අඩංගු බව සලකන්න. අපි දර්ශක ඉවත් කරමු: ලොග් 5 16 = ලොග් 5 2 4 = 4ලොග් 5 2; ලොග් 2 25 = ලොග් 2 5 2 = 2ලොග් 2 5;
දැන් අපි දෙවන ලඝුගණකය "ආපසු" කරමු:
[පින්තූරය සඳහා සිරස්තල]සාධක නැවත සකස් කිරීමේදී නිෂ්පාදිතය වෙනස් නොවන බැවින්, අපි සන්සුන්ව හතර සහ දෙක ගුණ කර, පසුව ලඝුගණක සමඟ කටයුතු කළෙමු.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log 9 100 lg 3.
පළමු ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ. අපි මෙය ලියා දර්ශක ඉවත් කරමු:
[පින්තූරය සඳහා සිරස්තල]දැන් අපි නව පදනමකට යාමෙන් දශම ලඝුගණකයෙන් මිදෙමු:
[පින්තූරය සඳහා සිරස්තල]මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය
බොහෝ විට විසඳුම් ක්‍රියාවලියේ දී දී ඇති පාදයකට ලඝුගණකයක් ලෙස සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කිරීම අවශ්ය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, පහත සූත්ර අපට උපකාර වනු ඇත:
පළමු අවස්ථාවේ දී, අංකය nතර්කයේ ස්ථාවරත්වය පිළිබඳ දර්ශකයක් බවට පත්වේ. අංකය nඑය ලඝුගණක අගයක් පමණක් වන නිසා නියත වශයෙන්ම ඕනෑම දෙයක් විය හැක.
දෙවන සූත්රය ඇත්ත වශයෙන්ම පරාවර්තක අර්ථ දැක්වීමකි. එය හඳුන්වන්නේ එයයි: මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය.
ඇත්ත වශයෙන්ම, අංකය නම් කුමක් සිදුවේද? බීඑවැනි බලයක් දක්වා ඉහළ නංවන්න, එම සංඛ්යාව බීමෙම බලයට අංකය ලබා දෙයි ඒ? එය හරි: ඔබට මෙම අංකයම ලැබේ ඒ. මෙම ඡේදය නැවත හොඳින් කියවන්න - බොහෝ අය එහි සිරවී සිටිති.
නව පදනමකට ගමන් කිරීම සඳහා සූත්ර මෙන්, මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය සමහර විට එකම විසඳුම වේ.
කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයන්න:
[පින්තූරය සඳහා සිරස්තල]
ලඝු සටහන 25 64 = ලඝු 5 8 - සරලව ලඝුගණකයේ පාදයෙන් සහ තර්කයෙන් චතුරස්‍රය ගත් බව සලකන්න. එකම පදනමක් සහිත බල ගුණ කිරීමේ නීති සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ලැබෙන්නේ:
[පින්තූරය සඳහා සිරස්තල]කවුරුහරි නොදන්නේ නම්, මෙය ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයෙන් සැබෑ කාර්යයක් විය :)
ලඝුගණක ඒකකය සහ ලඝුගණක ශුන්‍යය
අවසාන වශයෙන්, මම ගුණාංග ලෙස හැඳින්විය නොහැකි අනන්‍යතා දෙකක් දෙන්නෙමි - ඒ වෙනුවට, ඒවා ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීමේ ප්‍රතිවිපාක වේ. ඔවුන් නිරන්තරයෙන් ගැටළු වල පෙනී සිටින අතර, පුදුමයට කරුණක් නම්, "උසස්" සිසුන් සඳහා පවා ගැටළු ඇති කරයි.
- ලඝු ඒ ඒ= 1 යනු ලඝුගණක ඒකකයකි. එක් වරක් මතක තබා ගන්න: ඕනෑම පදනමකට ලඝුගණකය ඒමෙම පදනමෙන් එකකට සමාන වේ.
- ලඝු ඒ 1 = 0 යනු ලඝුගණක ශුන්‍ය වේ. පදනම ඒඕනෑම දෙයක් විය හැක, නමුත් තර්කයේ එකක් අඩංගු නම්, ලඝුගණකය බිංදුවට සමාන වේ! නිසා ඒ 0 = 1 යනු අර්ථ දැක්වීමේ සෘජු ප්රතිවිපාකයකි.
දේපල එච්චරයි. ඒවා ක්‍රියාවට නැංවීමට පුරුදු වන්න! පාඩම ආරම්භයේ ඇති වංචා පත්‍රය බාගත කර එය මුද්‍රණය කර ගැටළු විසඳන්න.
ඔබගේ පෞද්ගලිකත්වය පවත්වා ගැනීම අපට වැදගත් වේ. මෙම හේතුව නිසා, අපි ඔබේ තොරතුරු භාවිතා කරන සහ ගබඩා කරන ආකාරය විස්තර කරන රහස්‍යතා ප්‍රතිපත්තියක් සකස් කර ඇත. කරුණාකර අපගේ රහස්‍යතා පරිචයන් සමාලෝචනය කර ඔබට කිසියම් ප්‍රශ්නයක් ඇත්නම් අපට දන්වන්න.
පුද්ගලික තොරතුරු රැස් කිරීම සහ භාවිතය
පුද්ගලික තොරතුරු යනු නිශ්චිත පුද්ගලයෙකු හඳුනා ගැනීමට හෝ සම්බන්ධ කර ගැනීමට භාවිතා කළ හැකි දත්ත වේ.
ඔබ අප හා සම්බන්ධ වන ඕනෑම අවස්ථාවක ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු ලබා දෙන ලෙස ඔබෙන් ඉල්ලා සිටිය හැක.
පහත දැක්වෙන්නේ අප විසින් රැස් කළ හැකි පුද්ගලික තොරතුරු වර්ග සහ අප එම තොරතුරු භාවිතා කළ හැකි ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණ කිහිපයකි.
අපි රැස් කරන පුද්ගලික තොරතුරු මොනවාද:
- ඔබ වෙබ් අඩවියේ අයදුම්පතක් ඉදිරිපත් කරන විට, අපි ඔබගේ නම, දුරකථන අංකය, ඊමේල් ලිපිනය යනාදිය ඇතුළු විවිධ තොරතුරු රැස්කර ගත හැක.
අපි ඔබේ පුද්ගලික තොරතුරු භාවිතා කරන ආකාරය:
- අප රැස් කරන පුද්ගලික තොරතුරු අද්විතීය දීමනා, ප්‍රවර්ධන සහ වෙනත් සිදුවීම් සහ ඉදිරියට එන සිදුවීම් සමඟ ඔබව සම්බන්ධ කර ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි.
- කලින් කලට, වැදගත් දැනුම්දීම් සහ සන්නිවේදනයන් යැවීමට අපි ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු භාවිතා කළ හැක.
- අප සපයන සේවාවන් වැඩිදියුණු කිරීම සහ අපගේ සේවාවන් සම්බන්ධයෙන් ඔබට නිර්දේශ ලබා දීම සඳහා විගණන, දත්ත විශ්ලේෂණය සහ විවිධ පර්යේෂණ පැවැත්වීම වැනි අභ්‍යන්තර අරමුණු සඳහා පුද්ගලික තොරතුරු ද අපි භාවිතා කළ හැකිය.
- ඔබ ත්‍යාග දිනුම් ඇදීමට, තරඟයකට හෝ ඒ හා සමාන ප්‍රවර්ධනයකට සහභාගී වන්නේ නම්, එවැනි වැඩසටහන් පරිපාලනය කිරීමට ඔබ සපයන තොරතුරු අපට භාවිතා කළ හැක.
තෙවන පාර්ශවයන්ට තොරතුරු අනාවරණය කිරීම
අපි ඔබෙන් ලැබෙන තොරතුරු තෙවන පාර්ශවයකට හෙළි නොකරමු.
ව්යතිරේක:
- අවශ්ය නම් - නීතියට අනුකූලව, අධිකරණ ක්රියා පටිපාටිය, නීතිමය ක්රියා පටිපාටි, සහ / හෝ රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ භූමි ප්රදේශය තුළ රාජ්ය බලධාරීන්ගෙන් මහජන ඉල්ලීම් හෝ ඉල්ලීම් මත පදනම්ව - ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු හෙළි කිරීමට. ආරක්ෂාව, නීතිය බලාත්මක කිරීම හෝ වෙනත් පොදු වැදගත්කම සඳහා එවැනි හෙළිදරව් කිරීම අවශ්ය හෝ සුදුසු බව අප තීරණය කරන්නේ නම්, අපි ඔබ පිළිබඳ තොරතුරු හෙළිදරව් කළ හැකිය.
- ප්‍රතිසංවිධානය කිරීම, ඒකාබද්ධ කිරීම හෝ විකිණීමකදී, අපි එකතු කරන පුද්ගලික තොරතුරු අදාළ අනුප්‍රාප්තික තෙවන පාර්ශවයට මාරු කළ හැකිය.
පුද්ගලික තොරතුරු ආරක්ෂා කිරීම
ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු අලාභ, සොරකම් සහ අනිසි භාවිතය මෙන්ම අනවසරයෙන් ප්‍රවේශ වීම, හෙළිදරව් කිරීම්, වෙනස් කිරීම් සහ විනාශ කිරීම් වලින් ආරක්ෂා කිරීමට - පරිපාලන, තාක්ෂණික සහ භෞතික ඇතුළු - අපි පූර්වාරක්ෂාවන් ගන්නෙමු.
සමාගම් මට්ටමින් ඔබේ පෞද්ගලිකත්වයට ගරු කිරීම
ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු සුරක්ෂිත බව සහතික කිරීම සඳහා, අපි අපගේ සේවකයින්ට පුද්ගලිකත්වය සහ ආරක්ෂක ප්‍රමිතීන් සන්නිවේදනය කරන අතර පුද්ගලිකත්ව භාවිතයන් දැඩි ලෙස බලාත්මක කරන්නෙමු.
ලඝුගණක සහ ඒවා සමඟ ක්රියා කිරීම සඳහා වන නීති තරමක් පුළුල් හා සරල ය. එමනිසා, මෙම මාතෘකාව තේරුම් ගැනීම ඔබට අපහසු නොවනු ඇත. ඔබ ස්වභාවික ලඝුගණකයේ සියලුම නීති ඉගෙන ගත් පසු, ඕනෑම ගැටළුවක් ස්වාධීනව විසඳා ගත හැකිය. මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ පළමු දැන හඳුනා ගැනීම නීරස හා තේරුමක් නැති බවක් පෙනෙන්නට තිබුණත්, 16 වන සියවසේ ගණිතඥයින්ගේ බොහෝ ගැටලු විසඳා ඇත්තේ ලඝුගණක ආධාරයෙන් ය. "එය කුමක් ගැනද?" - ඔබ සිතුවා. ලිපිය අවසානය දක්වා කියවා "විද්‍යාවේ රැජින" හි මෙම කොටස නිශ්චිත විද්‍යාවන්හි ගණිතඥයින්ට සහ විද්‍යාඥයින්ට පමණක් නොව සාමාන්ය ද්විතීයික පාසල් සිසුන්ටද උනන්දුවක් දැක්විය හැකි බව සොයා ගන්න.
ලඝුගණක අර්ථ දැක්වීම
ලඝුගණක අර්ථ දැක්වීමෙන් පටන් ගනිමු. බොහෝ පෙළපොත් පවසන පරිදි: a (logab) පාදක කිරීමට b සංඛ්‍යාවක ලඝුගණකය යනු පහත සමානාත්මතාවය දරන c නිශ්චිත සංඛ්‍යාවකි: b=ac. එනම්, සරල වචනවලින් කිවහොත්, ලඝුගණකයක් යනු යම් නිශ්චිත බලයක් වන අතර එය ලබා දී ඇති අංකයක් ලබා ගැනීම සඳහා අපි පාදකය ඉහළ නංවන්නෙමු. නමුත් logab පෝරමයේ ලඝුගණකයක් අර්ථවත් වන්නේ විට පමණක් බව මතක තබා ගැනීම වැදගත්ය: a>0; a - 1 හැර වෙනත් අංකයක්; b>0, එබැවින්, ලඝුගණකය සොයාගත හැක්කේ ධන සංඛ්යා සඳහා පමණක් බව අපි නිගමනය කරමු.
පදනම අනුව ලඝුගණක වර්ගීකරණය
ලඝුගණකවල පාදයේ ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක් තිබිය හැක. නමුත් වර්ග දෙකක් ද ඇත: ස්වාභාවික සහ දශම ලඝුගණක.
- ස්වාභාවික ලඝුගණකය - e පාදය සහිත ලඝුගණකය (e යනු ඉයුලර්ගේ සංඛ්යාව, සංඛ්‍යාත්මකව ආසන්න වශයෙන් 2.7 ට සමාන වේ, ඝාතීය ශ්‍රිතය සඳහා හඳුන්වා දුන් අතාර්කික සංඛ්යාව y = ex), ln a = logea ලෙස දැක්වේ;
- දශම ලඝුගණකයක් යනු 10 ක පාදයක් සහිත ලඝුගණකයකි, එනම් log10a = log a.
ලඝුගණකයේ මූලික නීති
පළමුව ඔබ මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය දැනගත යුතුය: alogab=b, පසුව මූලික නීති දෙකක්:
- loga1 = 0 - ශුන්‍ය බලයට ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් 1 ට සමාන බැවින්;
- ලාංඡනය = 1.
ලඝුගණකය සොයා ගැනීමට ස්තූතිවන්ත වන්නට, අපට නියත වශයෙන්ම ඕනෑම ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳීමට අපහසු නොවනු ඇත, එයට පිළිතුර ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවකින් ප්‍රකාශ කළ නොහැකි නමුත් අතාර්කික එකකින් පමණි. උදාහරණයක් ලෙස: 5x = 9, x = log59 (මෙම සමීකරණය සඳහා ස්වභාවික x නොමැති නිසා).
ලඝුගණක සහිත මෙහෙයුම්
- loga(x · y) = logax+ logay - නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකය සොයා ගැනීමට, ඔබ සාධකවල ලඝුගණක එකතු කළ යුතුය. ලඝුගණකවල පාද සමාන බව කරුණාවෙන් සලකන්න. අපි මෙය ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් ලිව්වොත්, අපට ලඝුගණක එකතු කිරීමේ රීතිය ලැබේ.
- loga xy = logax - logay - quotient එකක ලඝුගණකය සොයා ගැනීමට, ඔබ ලාභාංශයේ සහ භාජකයේ ලඝුගණක අතර වෙනස සොයා ගත යුතුය. කරුණාකර සටහන් කරන්න: ලඝුගණක වලට එකම පදනමක් ඇත. ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් ලියා ඇති විට, අපි ලඝුගණක අඩු කිරීම සඳහා රීතිය ලබා ගනිමු.
- logakxp = (p/k)*logax - මේ අනුව, ලඝුගණකයේ තර්කය සහ පාදයේ බලයන් තිබේ නම්, ඒවා ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය.
- logax = logac xc - පෙර රීතියේ විශේෂ අවස්ථාවක්, ඝාතකයන් සමාන වන විට, ඒවා අඩු කළ හැක.
- logax = (logbx)(logba) - ඊනියා සංක්‍රාන්ති මොඩියුලය, ලඝුගණකය වෙනත් පදනමකට අඩු කිරීමේ ක්රියා පටිපාටිය.
- logax = 1/logxa - සංක්‍රාන්ති විශේෂ අවස්ථාවක්, පාදයේ ස්ථාන සහ ලබා දී ඇති අංකය වෙනස් කිරීම. සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය, සංකේතාත්මකව කථා කිරීම, ප්‍රතිලෝම වන අතර, නව පදනමක් සහිත ලඝුගණකය හරය තුළ දිස්වේ.
ලඝුගණක ඉතිහාසය
16 වන ශතවර්ෂයේදී, ප්රධාන වශයෙන් තාරකා විද්‍යාවේ (උදාහරණයක් ලෙස, සූර්යයාගෙන් හෝ තරු වලින් නැවක පිහිටීම තීරණය කිරීම) ප්‍රායෝගික ගැටළු විසඳීම සඳහා බොහෝ ආසන්න ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමේ අවශ්‍යතාවය මතු විය.
මෙම අවශ්‍යතාවය වේගයෙන් වර්ධනය වූ අතර බහු ඉලක්කම් සංඛ්යා ගුණ කිරීම සහ බෙදීම සැලකිය යුතු දුෂ්කරතාවයක් ඇති කළේය. තවද ගණිතඥ නේපියර්, ත්‍රිකෝණමිතික ගණනය කිරීම් සිදු කරන විට, ශ්‍රම-දැඩි ගුණ කිරීම සාමාන්ය එකතු කිරීම සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට තීරණය කළේය, මේ සඳහා යම් ප්‍රගතියක් සංසන්දනය කළේය. එවිට බෙදීම, ඒ හා සමානව, සරල හා වඩා විශ්වාසදායක ක්රියා පටිපාටියකින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ - අඩු කිරීම, සහ n වන මූලය උපුටා ගැනීම සඳහා, ඔබ රැඩිකල් ප්‍රකාශනයේ ලඝුගණකය n මගින් බෙදිය යුතුය. ගණිතයේ එවැනි දුෂ්කර ගැටළුවක් විසඳීම නේපියර්ගේ විද්‍යාවේ අරමුණු පැහැදිලිව පිළිබිඹු කරයි. ඔහුගේ "Rhabdology" පොතේ ආරම්භයේදී ඔහු ඒ ගැන ලියූ ආකාරය මෙන්න:
සාමාන්‍යයෙන් බොහෝ දෙනෙකු ගණිතය හැදෑරීමෙන් අධෛර්යමත් කරන කම්මැලිකම ගණනය කිරීමේ දුෂ්කරතාවයෙන් හා වෙහෙසෙන් මිනිසුන් නිදහස් කිරීමට මගේ ශක්තිය හා හැකියාවන් ඉඩ ඇති තාක් දුරට මම සැමවිටම උත්සාහ කර ඇත්තෙමි.
ලඝුගණකයේ නම නේපියර් විසින්ම යෝජනා කරන ලදී; එය ග්‍රීක වචන ඒකාබද්ධ කිරීමෙන් ලබා ගන්නා ලදී, එය ඒකාබද්ධ කළ විට "අනුපාත ගණන" යන්නයි.
ලඝුගණකයේ පදනම ස්පීඩෙල් විසින් හඳුන්වා දෙන ලදී. අයිලර් එය බල න්‍යායෙන් ණයට ගෙන ලඝුගණක න්‍යායට මාරු කළේය. ලඝුගණක සංකල්පය 19 වැනි සියවසේ කොපේට ස්තුතිවන්ත විය. ස්වාභාවික සහ දශම ලඝුගණක භාවිතය මෙන්ම ඒවායේ අංකනය ද Cauchy ට ස්තූතිවන්ත විය.
1614 දී ජෝන් නේපියර් ලතින් භාෂාවෙන් "විස්මිත ලඝුගණක වගුවේ විස්තරය" යන රචනයක් ප්‍රකාශයට පත් කළේය. ලඝුගණක, රීති සහ ඒවායේ ගුණාංග පිළිබඳ කෙටි විස්තරයක් එහි විය. “ලඝුගණකය” යන යෙදුම නිශ්චිත විද්‍යාවන්හි ස්ථාපිත වූයේ එලෙසිනි.
ලඝුගණක මෙහෙයුම සහ එහි පළමු සඳහන වොලිස් සහ ජොහාන් බර්නූලිට ස්තූතිවන්ත වන අතර එය අවසානයේ 18 වන සියවසේදී ඉයුලර් විසින් පිහිටුවන ලදී.
y = logax ආකෘතියේ ලඝුගණක ශ්‍රිතය සංකීර්ණ වසම දක්වා ව්‍යාප්ත කිරීම ඉයුලර්ගේ කුසලතාවය. 18 වන ශතවර්ෂයේ මුල් භාගයේදී, ඔහුගේ පොත "අනන්තයේ විශ්ලේෂණයට හැඳින්වීම" ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද අතර එහි ඝාතීය සහ ලඝුගණක ශ්‍රිත පිළිබඳ නවීන අර්ථ දැක්වීම් අඩංගු විය.
ලඝුගණක ශ්‍රිතය
y = logax ආකෘතියේ ශ්‍රිතයක් (අර්ථවත් වන්නේ: a > 0, a ≠ 1 නම් පමණි).
- ලඝුගණක ශ්‍රිතය නිර්වචනය කරනු ලබන්නේ සියලුම ධන සංඛ්යා සමූහයෙන්, ප්‍රවේශ logax කොන්දේසිය යටතේ පමණක් පවතින බැවින් - x > 0;.
- මෙම ශ්‍රිතයට R (තාත්වික සංඛ්යා) කට්ටලයෙන් සියලුම අගයන් ලබා ගත හැක. සෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් b සඳහා ධන x ඇති බැවින්, සමානාත්මතාවය logax = b තෘප්තිමත් වන පරිදි, එනම්, මෙම සමීකරණයට මූලයක් ඇත - x = ab (logaab = b යන කාරනයෙන් පහත දැක්වේ).
- ශ්‍රිතය a>0 අන්තරය මත වැඩි වන අතර, 0 අන්තරය මත අඩු වේ. a>0 නම්, ශ්‍රිතය x>1 සඳහා ධන අගයන් ගනී.
loga 1 = 0 නිසා ලඝුගණක ශ්‍රිතයේ y = logax හි ඕනෑම ප්‍රස්ථාරයකට එක් නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක් (1; 0) ඇති බව මතක තබා ගත යුතුය. මෙය පහත ප්‍රස්ථාරයේ නිදර්ශනයේ පැහැදිලිව දැකගත හැකිය.
රූපවල අපට පෙනෙන පරිදි, ශ්‍රිතයට සමානාත්මතාවක් හෝ අපූර්වත්වයක් නොමැත, උපරිම හෝ අවම අගයන් නොමැත, සහ ඉහළින් හෝ පහළින් සීමා නොවේ.
ලඝුගණක ශ්‍රිතය y = logAx සහ ඝාතීය ශ්‍රිතය y = aх, මෙහි (а>0, а≠1), අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ප්‍රතිලෝම වේ. මෙය ඔවුන්ගේ ප්‍රස්ථාරවල රූපයේ දැකිය හැකිය.
ලඝුගණක සමඟ ගැටළු විසඳීම
සාමාන්‍යයෙන්, ලඝුගණක අඩංගු ගැටලුවකට විසඳුම ඒවා සම්මත ආකෘතියක් බවට පරිවර්තනය කිරීම මත පදනම් වේ හෝ ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ප්රකාශන සරල කිරීම ඉලක්ක කර ඇත. එසේත් නැතිනම් සාමාන්ය ස්වාභාවික සංඛ්යා අවශ්ය පදනම සහිත ලඝුගණක බවට පරිවර්තනය කිරීම සහ ප්‍රකාශනය සරල කිරීම සඳහා වැඩිදුර මෙහෙයුම් සිදු කිරීම වටී.
අමතක නොකළ යුතු සියුම් කරුණු කිහිපයක් තිබේ:
- එකම පදනමක් සහිත රීතියට අනුව දෙපැත්තම ලඝුගණක යටතේ පවතින විට අසමානතා විසඳන විට, ලඝුගණකයේ ලකුණ “ඉවත දැමීමට” ඉක්මන් නොවන්න. ලඝුගණක ශ්‍රිතයේ ඒකාකාරී කාල අන්තරයන් පිළිබඳව දැනුවත් වන්න. පාදය 1 ට වඩා වැඩි නම් (ශ්‍රිතය වැඩි වන අවස්ථාව) අසමානතා ලකුණ නොවෙනස්ව පවතිනු ඇත, නමුත් පාදය 0 ට වඩා වැඩි සහ 1 ට වඩා අඩු වූ විට (ශ්‍රිතය අඩු වන අවස්ථාව), අසමානතාවය ලකුණ විරුද්ධ පැත්තට වෙනස් වනු ඇත;
- ලඝුගණකයේ නිර්වචන අමතක නොකරන්න: logax = b, a>0, a≠1 සහ x>0, එසේ නම් ගණන් නොගත් පිළිගත හැකි අගයන් පරාසය හේතුවෙන් මූලයන් අහිමි නොවන පරිදි. අවසර ලත් අගය පරාසය (VA) සියලුම සංකීර්ණ කාර්යයන් සඳහා පවතී.
මේවා සුළු සුළු, නමුත් කාර්යයක් සඳහා නිවැරදි පිළිතුර සොයා ගැනීම සඳහා බොහෝ දෙනෙකුට මුහුණ දී ඇති මහා පරිමාණ වැරදි වේ. ලඝුගණක විසඳීම සඳහා බොහෝ නීති නොමැත, එබැවින් මෙම මාතෘකාව අනෙක් ඒවාට වඩා සරල ය, නමුත් එය හොඳින් වටහා ගැනීම වටී.
නිගමනය
මෙම මාතෘකාව මුලින්ම බැලූ බැල්මට සංකීර්ණ හා අවුල් සහගත බවක් පෙනෙන්නට ඇත, නමුත් ඔබ එය ගැඹුරින් හා ගැඹුරින් අධ්යයනය කරන විට, මාතෘකාව සරලව අවසන් වන අතර කිසිවක් දුෂ්කරතාවයක් ඇති කර නැති බව ඔබ තේරුම් ගැනීමට පටන් ගනී. අපි ලඝුගණක මාතෘකාවට අදාළ සියලුම ගුණාංග, රීති සහ දෝෂ පවා ආවරණය කර ඇත. ඔබේ අධ්‍යයන කටයුතුවලට සුබ පැතුම්!
