වෙනස සහිත කෙටි අංක ගණිත ප්‍රගමනවල ගුණ 9. අංක ගණිත ප්‍රගතිය

ගණිත ප්‍රගමන ගැටළු ඈත අතීතයේ සිටම පවතී. ඔවුන් පෙනී සිට විසඳුමක් ඉල්ලා සිටියේ ඔවුන්ට ප්‍රායෝගික අවශ්‍යතාවයක් තිබූ බැවිනි.

ඉතින්, ගණිතමය අන්තර්ගතයක් ඇති පුරාණ ඊජිප්තුවේ පැපිරස් වලින් එකක - රයින්ඩ් පැපිරස් (ක්‍රි.පූ. XIX සියවස) - පහත කාර්යය අඩංගු වේ: පාන් මිනුම් දහයක් පුද්ගලයන් දස දෙනෙකුට බෙදන්න, ඒ සෑම එකක් අතර වෙනස එකකි. මිනුමකින් අටවන.

තවද පුරාණ ග්‍රීකයන්ගේ ගණිතමය කෘතිවල අංක ගණිත ප්‍රගතියට සම්බන්ධ අලංකාර ප්‍රමේයයන් ඇත. එබැවින්, ඇලෙක්සැන්ඩ්‍රියාවේ හයිප්සිකල්ස් (2වන සියවස, බොහෝ රසවත් ගැටළු සම්පාදනය කර, යුක්ලිඩ්ගේ "මූලද්‍රව්‍ය" වෙත දහහතරවන පොත එක් කළ, අදහස සකස් කළේය: "සාමාජිකයින් සංඛ්‍යාවක් සහිත ගණිතමය ප්‍රගතියකදී, 2 වන අර්ධයේ සාමාජිකයින්ගේ එකතුව. 1/2 සාමාජිකයින් වර්ගයෙන් 1 වන සාමාජිකයින්ගේ එකතුවට වඩා වැඩි වේ.

a අනුපිළිවෙල දක්වා ඇත. අනුක්‍රමයේ සංඛ්‍යා එහි සාමාජිකයන් ලෙස හඳුන්වන අතර සාමාන්‍යයෙන් මෙම සාමාජිකයාගේ අනුක්‍රමික අංකය (a1, a2, a3 ... එය කියවෙන්නේ: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd) දැක්වෙන දර්ශක සහිත අකුරුවලින් දැක්වේ. ”සහ එසේ ය ).

අනුපිළිවෙල අනන්ත හෝ පරිමිත විය හැක.

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් යනු කුමක්ද? එය ප්‍රගතියේ වෙනස වන එම සංඛ්‍යාව d සමඟ පෙර පදය (n) එකතු කිරීමෙන් ලබාගත් බව වටහා ගනී.

ඩී නම්<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, එවිට එවැනි ප්රගතියක් වැඩි වන බව සලකනු ලැබේ.

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් එහි පළමු පද කිහිපයක් පමණක් සැලකිල්ලට ගතහොත් එය සීමිත යැයි කියනු ලැබේ. ඉතා විශාල සාමාජිකයින් සංඛ්‍යාවක් සමඟ, මෙය දැනටමත් අසීමිත ප්‍රගතියකි.

ඕනෑම අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් පහත සූත්‍රය මගින් ලබා දේ.

an =kn+b, b සහ k යනු සමහර සංඛ්‍යා වේ.

ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රකාශය සම්පූර්ණයෙන්ම සත්‍ය වේ: අනුක්‍රමය සමාන සූත්‍රයකින් ලබා දෙන්නේ නම්, මෙය හරියටම අංක ගණිතමය ප්‍රගතියකි, එහි ගුණ ඇත:

1. ප්‍රගතියේ සෑම සාමාජිකයෙකුම පෙර සාමාජිකයාගේ සහ ඊළඟ සාමාජිකයාගේ අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය වේ.
2. ප්රතිවිරුද්ධය: 2 වන සිට ආරම්භ වන විට, එක් එක් පදය පෙර පදයේ අංක ගණිත මධ්යන්යය වන අතර ඊළඟට, i.e. කොන්දේසිය සපුරා ඇත්නම්, ලබා දී ඇති අනුපිළිවෙල අංක ගණිතමය ප්‍රගතියකි. මෙම සමානාත්මතාවය ඒ සමගම ප්රගතියේ සංඥාවක් වන අතර, එය සාමාන්යයෙන් ප්රගතියේ ලක්ෂණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
   එලෙසම, මෙම ගුණාංගය පිළිබිඹු කරන ප්‍රමේයය සත්‍ය වේ: අනුක්‍රමයක් අංක ගණිත ප්‍රගමනයක් වන්නේ මෙම සමානාත්මතාවය 2 වන සිට ආරම්භ වන අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම සාමාජිකයෙකුට සත්‍ය නම් පමණි.

n + m = k + l (m, n, k යනු ප්‍රගතියේ සංඛ්‍යා) නම්, අංක ගණිත ප්‍රගමනයක ඕනෑම සංඛ්‍යා හතරක් සඳහා ලාක්ෂණික ගුණය an + am = ak + al සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ කළ හැක.

අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකදී, පහත සූත්‍රය යෙදීමෙන් අවශ්‍ය ඕනෑම (Nth) පදයක් සොයාගත හැක:

උදාහරණයක් ලෙස: අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​පළමු පදය (a1) ලබා දී ඇති අතර එය තුනට සමාන වන අතර වෙනස (d) හතරට සමාන වේ. ඔබ මෙම ප්‍රගතියේ හතළිස් පස්වන වාරය සොයා ගත යුතුය. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) සූත්‍රය මඟින් අංක ගණිත ප්‍රගතියෙහි n-th සාමාජිකයා එහි ඕනෑම k-th සාමාජිකයෙකු හරහා, එය දැන සිටියහොත් එය තීරණය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.

අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​සාමාජිකයන්ගේ එකතුව (අවසාන ප්‍රගතියේ 1 වන n සාමාජිකයන් උපකල්පනය කර) පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:

Sn = (a1+an) n/2.

1 වන පදය ද දන්නේ නම්, ගණනය කිරීම සඳහා වෙනත් සූත්‍රයක් පහසු වේ:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n නියමයන් අඩංගු අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක එකතුව පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:

ගණනය කිරීම් සඳහා සූත්ර තෝරා ගැනීම කාර්යයන්වල කොන්දේසි සහ ආරම්භක දත්ත මත රඳා පවතී.

1,2,3,...,n,... වැනි ඕනෑම සංඛ්‍යාවක ස්වභාවික ශ්‍රේණිය අංක ගණිත ප්‍රගමනයක සරලම උදාහරණයයි.

අංක ගණිතමය ප්රගතියට අමතරව, එහිම ගුණ සහ ලක්ෂණ ඇති ජ්යාමිතික එකක් ද ඇත.

සෑම ස්වභාවික අංකයක්ම නම් n තාත්වික අංකයක් ගළපන්න a n , එතකොට දෙනවා කියලා කියනවා සංඛ්යා අනුපිළිවෙල :

ඒ 1 , ඒ 2 , ඒ 3 , . . . , a n , . . . .

එබැවින් සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලක් යනු ස්වභාවික තර්කයක ශ්‍රිතයකි.

අංකය ඒ 1 කියලා අනුපිළිවෙලෙහි පළමු සාමාජිකයා , අංකය ඒ 2 — අනුපිළිවෙලෙහි දෙවන සාමාජිකයා , අංකය ඒ 3 — තෙවන සහ යනාදි. අංකය a n කියලා අනුපිළිවෙලෙහි n වන සාමාජිකයා , සහ ස්වභාවික අංකය n — ඔහුගේ අංකය .

අසල්වැසි සාමාජිකයන් දෙදෙනෙකුගෙන් a n හා a n +1 සාමාජික අනුපිළිවෙල a n +1 කියලා පසුව (දෙසට a n ), ඒ a n — කලින් (දෙසට a n +1 ).

අනුපිළිවෙලක් නියම කිරීම සඳහා, ඔබට ඕනෑම අංකයක් සහිත අනුක්‍රමික සාමාජිකයෙකු සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසන ක්රමයක් සඳහන් කළ යුතුය.

බොහෝ විට අනුපිළිවෙල ලබා දී ඇත n වන වාර සූත්‍ර , එනම්, අනුක්‍රමික සාමාජිකයෙකු එහි අංකය අනුව තීරණය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසන සූත්‍රයකි.

උදාහරණ වශයෙන්,

ධන ඔත්තේ සංඛ්‍යා අනුපිළිවෙලක් සූත්‍රයෙන් දිය හැක

a n= 2n- 1,

සහ ප්රත්යාවර්ත කිරීමේ අනුපිළිවෙල 1 හා -1 - සූත්රය

බී n = (-1)n +1 . ◄

අනුපිළිවෙල තීරණය කළ හැකිය පුනරාවර්තන සූත්රය, එනම්, පෙර (එකක් හෝ වැඩි) සාමාජිකයින් හරහා සමහරෙකුගෙන් ආරම්භ වන අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම සාමාජිකයෙකු ප්‍රකාශ කරන සූත්‍රයකි.

උදාහරණ වශයෙන්,

නම් ඒ 1 = 1 , ඒ a n +1 = a n + 5

ඒ 1 = 1,

ඒ 2 = ඒ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ඒ 3 = ඒ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ඒ 4 = ඒ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ඒ 5 = ඒ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

අ a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , ඉන්පසු සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලෙහි පළමු සාමාජිකයින් හත්දෙනා පහත පරිදි සකසා ඇත:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

ඒ 6 = ඒ 4 + ඒ 5 = 3 + 5 = 8,

ඒ 7 = ඒ 5 + ඒ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

අනුපිළිවෙලවල් විය හැකිය අවසාන හා නිමක් නැති .

අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ අවසාන එහි සීමිත සාමාජිකයින් සංඛ්‍යාවක් සිටී නම්. අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ නිමක් නැති එහි අනන්තවත් සාමාජිකයන් සිටී නම්.

උදාහරණ වශයෙන්,

ඉලක්කම් දෙකක ස්වභාවික සංඛ්‍යා අනුපිළිවෙල:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

අවසාන.

ප්‍රමුඛ සංඛ්‍යා අනුපිළිවෙල:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

නිමක් නැති. ◄

අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ වැඩි වෙනවා , එහි එක් එක් සාමාජිකයා, දෙවැන්නෙන් පටන් ගෙන, පෙර එකට වඩා වැඩි නම්.

අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ හීන වෙමින් පවතී , එහි එක් එක් සාමාජිකයා, දෙවැන්නෙන් පටන් ගෙන, පෙර එකට වඩා අඩු නම්.

උදාහරණ වශයෙන්,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ආරෝහණ අනුපිළිවෙලකි;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . අවරෝහණ අනුපිළිවෙලකි. ◄

වැඩිවන සංඛ්‍යාව සමඟ මූලද්‍රව්‍ය අඩු නොවන හෝ අනෙක් අතට වැඩි නොවන අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ ඒකාකාරී අනුපිළිවෙල .

ඒකාකාරී අනුපිළිවෙල, විශේෂයෙන්, අනුපිළිවෙල වැඩි කිරීම සහ අනුපිළිවෙල අඩු වේ.

අංක ගණිතමය ප්රගතිය

අංක ගණිතමය ප්රගතිය අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ, එහි එක් එක් සාමාජිකයා, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, එම අංකයම එකතු කරන ලද පෙර එකට සමාන වේ.

ඒ 1 , ඒ 2 , ඒ 3 , . . . , a n, . . .

කිසියම් ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක් සඳහා නම් ගණිතමය ප්‍රගමනයකි n කොන්දේසිය සපුරා ඇත:

a n +1 = a n + ඈ,

කොහෙද ඈ - යම් අංකයක්.

මේ අනුව, දී ඇති අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​ඊළඟ සහ පෙර සාමාජිකයන් අතර වෙනස සැමවිටම නියත වේ:

a 2 - ඒ 1 = a 3 - ඒ 2 = . . . = a n +1 - a n = ඈ.

අංකය ඈ කියලා අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​වෙනස.

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සැකසීමට, එහි පළමු පදය සහ වෙනස සඳහන් කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.

උදාහරණ වශයෙන්,

නම් ඒ 1 = 3, ඈ = 4 , එවිට අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පද පහ පහත පරිදි දක්නට ලැබේ:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + ඈ = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + ඈ= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + ඈ= 11 + 4 = 15,

ඒ 5 = ඒ 4 + ඈ= 15 + 4 = 19. ◄

පළමු වාරය සමඟ අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සඳහා ඒ 1 සහ වෙනස ඈ ඇය n

a n = a 1 + (n- 1)ඈ

උදාහරණ වශයෙන්,

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​තිස්වන පදය සොයා ගන්න

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, ඈ = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = ඒ 1 + nd,

එවිට පැහැදිලිවම

දෙවන සිට ආරම්භ වන අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ එක් එක් සාමාජිකයා පෙර සහ පසු සාමාජිකයන්ගේ අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයට සමාන වේ.

සංඛ්‍යා a, b සහ c යම් ගණිතමය ප්‍රගමනයක අනුක්‍රමික සාමාජිකයන් වන්නේ ඒවායින් එකක් අනෙක් දෙකේ අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයට සමාන නම් සහ පමණි.

උදාහරණ වශයෙන්,

a n = 2n- 7 , අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකි.

ඉහත ප්‍රකාශය භාවිතා කරමු. අපිට තියනවා:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

◄

එය සටහන් කර ගන්න n අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​-වැනි සාමාජිකයා සොයා ගත හැක්කේ හරහා පමණක් නොවේ ඒ 1 , නමුත් ඕනෑම පෙර කේ

a n = කේ + (n- කේ)ඈ.

උදාහරණ වශයෙන්,

සදහා ඒ 5 ලිවිය හැක

a 5 = a 1 + 4ඈ,

a 5 = a 2 + 3ඈ,

a 5 = a 3 + 2ඈ,

a 5 = a 4 + ඈ. ◄

a n = n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

එවිට පැහැදිලිවම

අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​ඕනෑම සාමාජිකයෙකු, දෙවන සිට ආරම්භ වන අතර, මෙම අංක ගණිත ප්‍රගතියේ සාමාජිකයින්ගේ එකතුවෙන් අඩකට සමාන වේ.

ඊට අමතරව, ඕනෑම ගණිතමය ප්‍රගතියක් සඳහා, සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

උදාහරණ වශයෙන්,

අංක ගණිතමය ප්රගතිය තුළ

1) ඒ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ඒ 9 + ඒ 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7ඈ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, නිසා

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

එස් එන්= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

පළමුවන n අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​සාමාජිකයන් පද ගණනින් ආන්තික නියමවල එකතුවෙන් අඩක ගුණිතයට සමාන වේ:

මෙයින්, විශේෂයෙන්, එය නියමයන් සාරාංශ කිරීමට අවශ්ය නම් එය අනුගමනය කරයි

කේ, කේ +1 , . . . , a n,

එවිට පෙර සූත්‍රය එහි ව්‍යුහය රඳවා ගනී:

උදාහරණ වශයෙන්,

අංක ගණිතමය ප්රගතිය තුළ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

එස් 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = එස් 10 - එස් 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් ලබා දෙන්නේ නම්, ප්‍රමාණ ඒ 1 , a n, ඈ, nහාඑස් n සූත්‍ර දෙකකින් සම්බන්ධ කර ඇත:

එමනිසා, මෙම ප්‍රමාණවලින් තුනක අගයන් ලබා දෙන්නේ නම්, අනෙක් ප්‍රමාණ දෙකේ අනුරූප අගයන් මෙම සූත්‍රවලින් නිර්ණය කරනු ලබන්නේ නොදන්නා දෙකක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියකට ඒකාබද්ධ කරමිනි.

අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක් යනු ඒකාකාරී අනුපිළිවෙලකි. එහි:

• නම් ඈ > 0 , එවිට එය වැඩි වෙමින් පවතී;
• නම් ඈ < 0 , එවිට එය අඩු වේ;
• නම් ඈ = 0 , එවිට අනුපිළිවෙල ස්ථාවර වනු ඇත.

ජ්යාමිතික ප්රගතිය

ජ්යාමිතික ප්රගතිය අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ, එහි එක් එක් පදය, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, පෙර එකට සමාන වන අතර, එම සංඛ්යාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ.

බී 1 , බී 2 , බී 3 , . . . , b n, . . .

කිසියම් ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක් සඳහා නම් ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයකි n කොන්දේසිය සපුරා ඇත:

b n +1 = b n · q,

කොහෙද q ≠ 0 - යම් අංකයක්.

මේ අනුව, මෙම ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියේ මීළඟ වාරයේ අනුපාතය පෙර එකට නියත අංකයකි:

බී 2 / බී 1 = බී 3 / බී 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

අංකය q කියලා ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයක හරය.

ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියක් සැකසීමට, එහි පළමු වාරය සහ හරය සඳහන් කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.

උදාහරණ වශයෙන්,

නම් බී 1 = 1, q = -3 , එවිට අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පද පහ පහත පරිදි දක්නට ලැබේ:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

බී 5 = බී 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

බී 1 සහ හරය q ඇය n -වන පදය සූත්‍රය මගින් සොයාගත හැක:

b n = බී 1 · q n -1 .

උදාහරණ වශයෙන්,

ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයක හත්වන පදය සොයා ගන්න 1, 2, 4, . . .

බී 1 = 1, q = 2,

බී 7 = බී 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = බී 1 · q n,

එවිට පැහැදිලිවම

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයේ එක් එක් සාමාජිකයා, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, පෙර සහ පසු සාමාජිකයන්ගේ ජ්‍යාමිතික මධ්‍යන්‍ය (සමානුපාතික) ට සමාන වේ.

ප්‍රතිවර්තනය ද සත්‍ය බැවින්, පහත ප්‍රකාශය දරයි:

සංඛ්‍යා a, b සහ c යම් ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයක අනුගාමී සාමාජිකයන් වන්නේ ඒවායින් එකක වර්ගය අනෙක් දෙකේ ගුණිතයට සමාන නම් පමණි, එනම් සංඛ්‍යා වලින් එකක් අනෙක් දෙකේ ජ්‍යාමිතික මධ්‍යන්‍යය වේ.

උදාහරණ වශයෙන්,

සූත්‍රයෙන් දෙන අනුපිළිවෙල බව ඔප්පු කරමු b n= -3 2 n , ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයකි. ඉහත ප්‍රකාශය භාවිතා කරමු. අපිට තියනවා:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

අවශ්‍ය ප්‍රකාශය සනාථ කරයි. ◄

එය සටහන් කර ගන්න n ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියක ​​පදය සොයා ගත හැක්කේ හරහා පමණක් නොවේ බී 1 , නමුත් ඕනෑම පෙර වාරයක් ද ආ කේ , ඒ සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ

b n = ආ කේ · q n - කේ.

උදාහරණ වශයෙන්,

සදහා බී 5 ලිවිය හැක

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = ආ කේ · q n - කේ,

b n = b n - කේ · q k,

එවිට පැහැදිලිවම

b n 2 = b n - කේ· b n + කේ

ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයක ඕනෑම සාමාජිකයෙකුගේ වර්ග, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, මෙම ප්‍රගතියේ සාමාජිකයින්ගේ ගුණිතයට සමාන වේ.

ඊට අමතරව, ඕනෑම ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සඳහා, සමානාත්මතාවය සත්ය වේ:

b m· b n= ආ කේ· b l,

එම්+ n= කේ+ එල්.

උදාහරණ වශයෙන්,

ඝාතීය ලෙස

1) බී 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = බී 5 · බී 7 ;

2) 1024 = බී 11 = බී 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) බී 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = බී 4 · බී 8 ;

4) බී 2 · බී 7 = බී 4 · බී 5 , නිසා

බී 2 · බී 7 = 2 · 64 = 128,

බී 4 · බී 5 = 8 · 16 = 128. ◄

එස් එන්= බී 1 + බී 2 + බී 3 + . . . + b n

පළමුවන n හරයක් සහිත ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයක සාමාජිකයන් q ≠ 0 සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:

සහ කවදාද q = 1 - සූත්රය අනුව

එස් එන්= n.b 1

අපට නියමයන් සාරාංශ කිරීමට අවශ්‍ය නම් බව සලකන්න

ආ කේ, ආ කේ +1 , . . . , b n,

එවිට සූත්රය භාවිතා වේ:

උදාහරණ වශයෙන්,

ඝාතීය ලෙස 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

එස් 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = එස් 10 - එස් 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියක් ලබා දෙන්නේ නම්, ප්‍රමාණ බී 1 , b n, q, nහා එස් එන් සූත්‍ර දෙකකින් සම්බන්ධ කර ඇත:

එමනිසා, මෙම ප්‍රමාණවලින් ඕනෑම තුනක අගයන් ලබා දෙන්නේ නම්, අනෙක් ප්‍රමාණ දෙකේ අනුරූප අගයන් මෙම සූත්‍රවලින් නිර්ණය කරනු ලබන්නේ නොදන්නා දෙකක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියකට ඒකාබද්ධ කරමිනි.

පළමු වාරය සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සඳහා බී 1 සහ හරය q පහත සඳහන් දේ සිදු වේ monotonicity ගුණ :

• පහත සඳහන් කොන්දේසි වලින් එකක් සපුරා ඇත්නම් ප්‍රගතිය වැඩි වේ:

බී 1 > 0 හා q> 1;

බී 1 < 0 හා 0 < q< 1;

• පහත සඳහන් කොන්දේසි වලින් එකක් සපුරා ඇත්නම් ප්‍රගතිය අඩු වේ:

බී 1 > 0 හා 0 < q< 1;

බී 1 < 0 හා q> 1.

අ q< 0 , එවිට ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතිය සංඥා-ප්‍රත්‍යාවර්ත වේ: එහි ඔත්තේ-සංඛ්‍යා නියමවලට එහි පළමු පදයට සමාන ලකුණක් ඇති අතර ඉරට්ටේ-සංඛ්‍යා නියමයන්ට ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ඇත. ප්‍රත්‍යාවර්ත ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියක් ඒකාකාරී නොවන බව පැහැදිලිය.

පළමු නිෂ්පාදනය n ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියක ​​නියමයන් සූත්‍රය මගින් ගණනය කළ හැක:

පී එන්= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

උදාහරණ වශයෙන්,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතිය අසීමිත ලෙස අඩු වීම

ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතිය අසීමිත ලෙස අඩු වීම හරය මාපාංකය ට වඩා අඩු අසීමිත ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයක් ලෙස හැඳින්වේ 1 , එනම්

|q| < 1 .

අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයක් අඩුවන අනුපිළිවෙලක් නොවිය හැකි බව සලකන්න. මෙය නඩුවට ගැලපේ

1 < q< 0 .

එවැනි හරයක් සමඟ, අනුපිළිවෙල සංඥා-ප්රත්යාවර්ත වේ. උදාහරණ වශයෙන්,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියක ​​එකතුව පළමු එකතුව ඇති අංකය නම් කරන්න n සංඛ්යාවෙහි අසීමිත වැඩිවීමක් සමඟ ප්රගතියේ නියමයන් n . මෙම අංකය සෑම විටම සීමිත වන අතර එය සූත්‍රය මගින් ප්‍රකාශ වේ

උදාහරණ වශයෙන්,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

අංක ගණිත හා ජ්යාමිතික ප්රගතිය අතර සම්බන්ධතාවය

අංක ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතිය සමීපව සම්බන්ධ වේ. අපි උදාහරණ දෙකක් පමණක් සලකා බලමු.

ඒ 1 , ඒ 2 , ඒ 3 , . . . ඈ , එවිට

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

උදාහරණ වශයෙන්,

1, 3, 5, . . . - වෙනස සමඟ අංක ගණිතමය ප්රගතිය 2 හා

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . හරයක් සහිත ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයකි 7 2 . ◄

බී 1 , බී 2 , බී 3 , . . . හරයක් සහිත ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයකි q , එවිට

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - වෙනස සමඟ අංක ගණිතමය ප්රගතිය ලඝු-සටහන aq .

උදාහරණ වශයෙන්,

2, 12, 72, . . . හරයක් සහිත ජ්‍යාමිතික ප්‍රගමනයකි 6 හා

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - වෙනස සමඟ අංක ගණිතමය ප්රගතිය lg 6 . ◄

පාඩම් වර්ගය:නව ද්රව්ය ඉගෙනීම.

පාඩම් අරමුණු:

• අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය භාවිතයෙන් විසඳන ලද කාර්යයන් පිළිබඳ සිසුන්ගේ අදහස් පුළුල් කිරීම සහ ගැඹුරු කිරීම; අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​පළමු n සාමාජිකයින්ගේ එකතුව සඳහා සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමේදී සිසුන්ගේ සෙවුම් ක්‍රියාකාරකම් සංවිධානය කිරීම;
• ස්වාධීනව නව දැනුම ලබා ගැනීම සඳහා කුසලතා වර්ධනය කිරීම, කාර්යය සාක්ෂාත් කර ගැනීම සඳහා දැනටමත් අත්පත් කරගත් දැනුම භාවිතා කිරීම;
• ලබාගත් කරුණු සාමාන්‍යකරණය කිරීමට ආශාව සහ අවශ්‍යතාවය වර්ධනය කිරීම, ස්වාධීනත්වය වර්ධනය කිරීම.

කාර්යයන්:

• "අංක ගණිතමය ප්රගතිය" යන මාතෘකාව පිළිබඳ පවත්නා දැනුම සාමාන්යකරණය කිරීම සහ ක්රමානුකූල කිරීම;
• අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​පළමු n සාමාජිකයින්ගේ එකතුව ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍ර ව්‍යුත්පන්න කරන්න;
• විවිධ ගැටළු විසඳීමේදී ලබාගත් සූත්‍ර භාවිතා කරන්නේ කෙසේදැයි උගන්වන්න;
• සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනයක අගය සෙවීමේ ක්‍රියා පටිපාටියට සිසුන්ගේ අවධානය යොමු කරන්න.

උපකරණ:

• කණ්ඩායම් සහ යුගල වශයෙන් වැඩ සඳහා කාර්යයන් සහිත කාඩ්පත්;
• ඇගයුම් පත්රය;
• ඉදිරිපත් කිරීම"අංක ගණිත ප්රගතිය".

I. මූලික දැනුම සැබෑ කර ගැනීම.

1. යුගල වශයෙන් ස්වාධීන වැඩ.

1 වන විකල්පය:

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් නිර්වචනය කරන්න. අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් නිර්වචනය කරන පුනරාවර්තන සූත්‍රයක් ලියන්න. අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකට උදාහරණයක් දී එහි වෙනස දක්වන්න.

2 වන විකල්පය:

අංක ගණිත ප්‍රගමනයක n වැනි වාරය සඳහා සූත්‍රය ලියන්න. අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​100 වැනි පදය සොයන්න ( a n}: 2, 5, 8 …
මේ වෙලාවේ බෝඩ් එකේ පිටිපස්සේ සිසුන් දෙන්නෙක් එකම ප්‍රශ්නවලට උත්තර ලෑස්ති ​​කරනවා.
සිසුන් සහකරුගේ කාර්යය මණ්ඩලය සමඟ සංසන්දනය කිරීමෙන් ඇගයීමට ලක් කරයි. (පිළිතුරු සහිත පත්‍රිකා භාර දෙනු ලැබේ).

2. ක්රීඩා මොහොත.

අභ්‍යාස 1.

ගුරු.මම යම් ගණිතමය ප්‍රගතියක් පිළිසිඳ ගත්තෙමි. මගෙන් ප්‍රශ්න දෙකක් පමණක් අසන්න, එවිට පිළිතුරු ලැබීමෙන් පසු ඔබට මෙම ප්‍රගතියේ 7 වන සාමාජිකයා ඉක්මනින් නම් කළ හැකිය. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

සිසුන්ගෙන් ප්රශ්න.

1. ප්‍රගතියේ හයවන වාරය කුමක්ද සහ වෙනස කුමක්ද?
2. ප්රගතියේ අටවන වාරය කුමක්ද සහ වෙනස කුමක්ද?

තවත් ප්‍රශ්න නොමැති නම්, ගුරුවරයාට ඒවා උත්තේජනය කළ හැකිය - d (වෙනස) මත “තහනම් කිරීම”, එනම් වෙනස කුමක්දැයි විමසීමට අවසර නැත. ඔබට ප්‍රශ්න ඇසිය හැකිය: ප්‍රගතියේ 6 වන වාරය කුමක්ද සහ ප්‍රගතියේ 8 වන වාරය කුමක්ද?

කාර්යය 2.

පුවරුවේ අංක 20 ලියා ඇත: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

ගුරුවරයා කළු ලෑල්ලට පිටුපසින් සිටගෙන සිටියි. සිසුන් අංකයේ අංකය පවසන අතර, ගුරුවරයා වහාම එම අංකයටම කතා කරයි. මට එය කළ හැකි ආකාරය පැහැදිලි කරන්න?

ගුරුවරයාට n වැනි වාරයේ සූත්‍රය මතකයි a n \u003d 3n - 2සහ, n හි දී ඇති අගයන් ආදේශ කිරීම, අනුරූප අගයන් සොයා ගනී ඒ එන් .

II. අධ්යාපනික කාර්යයේ ප්රකාශය.

ඊජිප්තු පැපිරස් වලින් සොයාගත් ක්‍රිස්තු පූර්ව 2 වැනි සහස්‍රයේ පැරණි ගැටලුවක් විසඳීමට මම යෝජනා කරමි.

කාර්යයක්:"ඔබට පැවසීමට ඉඩ දෙන්න: පුද්ගලයන් 10 දෙනෙකු අතර බාර්ලි මිටි 10 ක් බෙදන්න, එක් එක් පුද්ගලයා සහ ඔහුගේ අසල්වැසියා අතර වෙනස මිනුමෙන් 1/8 කි."

• මෙම ගැටලුව අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය යන මාතෘකාවට සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේද? (එක් එක් ඊළඟ පුද්ගලයාට මිනුමෙන් 1/8 ක් වැඩිපුර ලැබේ, එබැවින් වෙනස d=1/8, පුද්ගලයන් 10, එබැවින් n=10.)
• ඔබ සිතන්නේ අංක 10 යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? (ප්‍රගතියේ සියලුම සාමාජිකයින්ගේ එකතුව.)
• ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව බාර්ලි බෙදීම පහසු සහ සරල කිරීමට ඔබ දැනගත යුතු තවත් මොනවාද? (ප්‍රගතියේ පළමු වාරය.)

පාඩමේ අරමුණ- ඒවායේ අංකය, පළමු පදය සහ වෙනස මත ප්‍රගතියේ නියමයන්ගේ එකතුවේ යැපීම ලබා ගැනීම සහ පුරාණ කාලයේ ගැටලුව නිවැරදිව විසඳා ඇත්දැයි පරීක්ෂා කිරීම.

සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමට පෙර, පුරාණ ඊජිප්තුවරුන් ගැටලුව විසඳූ ආකාරය බලමු.

තවද ඔවුන් එය විසඳුවේ මෙසේය.

1) පියවර 10: 10 = 1 මිනුම - සාමාන්ය කොටස;
2) 1 මිනුමක් ∙ = 2 මිනුම් - දෙගුණයක් සාමාන්යයබෙදාගන්න.
දෙගුණ කළා සාමාන්යයකොටස යනු 5 වන සහ 6 වන පුද්ගලයාගේ කොටස්වල එකතුවයි.
3) මිනුම් 2 ක් - 1/8 මිනුම = 1 7/8 මිනුම් - පස්වන පුද්ගලයාගේ කොටස මෙන් දෙගුණයක්.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - පස්වන කොටස; සහ එසේ මත, ඔබට එක් එක් පෙර සහ පසු පුද්ගලයාගේ කොටස සොයාගත හැකිය.

අපි අනුපිළිවෙල ලබා ගනිමු:

III. කාර්යයේ විසඳුම.

1. කණ්ඩායම් වශයෙන් වැඩ කරන්න

1 වන කණ්ඩායම:අඛණ්ඩ ස්වභාවික සංඛ්‍යා 20ක එකතුව සොයන්න: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

සාමාන්යයෙන්

II කණ්ඩායම: 1 සිට 100 දක්වා ස්වභාවික සංඛ්යා එකතුව සොයන්න (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

නිගමනය:

III කණ්ඩායම: 1 සිට 21 දක්වා ස්වභාවික සංඛ්යා එකතුව සොයන්න.

විසඳුම: 1+21=2+20=3+19=4+18...

නිගමනය:

IV කණ්ඩායම: 1 සිට 101 දක්වා ස්වභාවික සංඛ්යා එකතුව සොයන්න.

නිගමනය:

සලකා බැලූ ගැටළු විසඳීමේ මෙම ක්රමය "Gauss ක්රමය" ලෙස හැඳින්වේ.

2. සෑම කණ්ඩායමක්ම පුවරුවේ ගැටලුවට විසඳුම ඉදිරිපත් කරයි.

3. අත්තනෝමතික අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සඳහා යෝජිත විසඳුම් සාමාන්‍යකරණය කිරීම:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

අපි මේ එකතුව සොයා ගන්නේ ඒ හා සමානව තර්ක කිරීමෙන්:

4. අපි කාර්යය විසඳා තිබේද?(ඔව්.)

IV. ගැටළු විසඳීමේදී ලබාගත් සූත්‍රවල ප්‍රාථමික අවබෝධය සහ යෙදීම.

1. පැරණි ගැටලුවක විසඳුම සූත්‍රය මගින් පරීක්ෂා කිරීම.

2. විවිධ ගැටළු විසඳීමේදී සූත්රය යෙදීම.

3. ගැටළු විසඳීමේදී සූත්රය යෙදීමේ හැකියාව ගොඩනැගීම සඳහා අභ්යාස.

A) අංක 613

ලබා දී ඇත :( සහ n) -අංක ගණිතමය ප්රගතිය;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

සොයන්න: එස් 1500

විසඳුමක්: , සහ 1 = 1, සහ 1500 = 1500,

B) ලබා දී ඇත: ( සහ n) -අංක ගණිතමය ප්රගතිය;
(සහ n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

සොයන්න: n
විසඳුමක්:

V. අන්‍යෝන්‍ය සත්‍යාපනය සමඟ ස්වාධීන වැඩ.

ඩෙනිස් කුරියර් වැඩට ගියා. පළමු මාසයේ ඔහුගේ වැටුප රුබල් 200 ක් වූ අතර, ඊළඟ සෑම මාසයකම එය රුබල් 30 කින් වැඩි විය. ඔහු වසරකට කොපමණ මුදලක් උපයා ගත්තාද?

ලබා දී ඇත :( සහ n) -අංක ගණිතමය ප්රගතිය;
a 1 = 200, d=30, n=12
සොයන්න: S 12
විසඳුමක්:

පිළිතුර: ඩෙනිස්ට වසර සඳහා රුබල් 4380 ක් ලැබුණි.

VI ගෙදර වැඩ උපදෙස්.

1. පි. 4.3 - සූත්‍රයේ ව්‍යුත්පන්න ඉගෙන ගන්න.
2. №№ 585, 623 .
3. අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​පළමු n පදවල එකතුව සඳහා සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳිය හැකි ගැටලුවක් සම්පාදනය කරන්න.

VII. පාඩම සාරාංශ කිරීම.

1. ලකුණු පත්රය

2. වාක්‍ය දිගටම කරගෙන යන්න

• අද මම පන්තියේදී ඉගෙන ගත්තා ...
• උගත් සූත්‍ර...
• මම හිතන්නේ ඒක…

3. ඔබට 1 සිට 500 දක්වා සංඛ්‍යා එකතුව සොයාගත හැකිද? මෙම ගැටළුව විසඳීමට ඔබ භාවිතා කරන ක්‍රමය කුමක්ද?

ග්රන්ථ නාමාවලිය.

1. වීජ ගණිතය, 9 ශ්‍රේණිය. අධ්යාපන ආයතන සඳහා පෙළපොත්. එඩ්. ජී.වී. ඩොරොෆීවා.මොස්කව්: බුද්ධත්වය, 2009.

IV යාකොව්ලෙව් | ගණිතය පිළිබඳ ද්‍රව්‍ය | MathUs.ru

අංක ගණිතමය ප්රගතිය

අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක් යනු විශේෂ අනුපිළිවෙලකි. එබැවින්, ගණිතමය (සහ පසුව ජ්යාමිතික) ප්රගතියක් නිර්වචනය කිරීමට පෙර, අපි සංඛ්යා අනුපිළිවෙලෙහි වැදගත් සංකල්පය කෙටියෙන් සාකච්ඡා කළ යුතුය.

අනුපිළිවෙල

සමහර අංක එකින් එක දර්ශනය වන උපාංගයක් තිරය මත සිතන්න. අපි කියමු 2; 7; 13; එක; 6; 0; 3; : : : එවැනි සංඛ්‍යා සමූහයක් අනුපිළිවෙලකට උදාහරණයක් පමණි.

අර්ථ දැක්වීම. සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලක් යනු එක් එක් සංඛ්‍යාවකට අනන්‍ය සංඛ්‍යාවක් පැවරිය හැකි සංඛ්‍යා සමූහයකි (එනම්, තනි ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක් සමඟ ලිපි හුවමාරු කර ගැනීම)1. N අංකය සහිත අංකය අනුපිළිවෙලෙහි n වන සාමාජිකයා ලෙස හැඳින්වේ.

එබැවින්, ඉහත උදාහරණයේ, පළමු අංකයට අංක 2 ඇත, එය අනුපිළිවෙලෙහි පළමු සාමාජිකයා වන අතර, එය a1 මගින් දැක්විය හැක; අංක පහෙහි අංක 6 ඇත, එය අනුපිළිවෙලෙහි පස්වන සාමාජිකයා වන අතර එය a5 ලෙස දැක්විය හැක. සාමාන්‍යයෙන්, අනුපිළිවෙලක n වන සාමාජිකයා (හෝ bn , cn , ආදිය) මගින් දැක්වේ.

ඉතා පහසු තත්වයක් නම්, අනුපිළිවෙලෙහි n වන සාමාජිකයා යම් සූත්‍රයකින් නියම කළ හැකි අවස්ථාවයි. උදාහරණයක් ලෙස, an = 2n 3 සූත්‍රය අනුපිළිවෙල නියම කරයි: 1; එක; 3; 5; 7; : : : an = (1)n සූත්‍රය අනුපිළිවෙල නිර්වචනය කරයි: 1; එක; එක; එක; :::

සෑම සංඛ්‍යා කට්ටලයක්ම අනුපිළිවෙලක් නොවේ. එබැවින්, ඛණ්ඩයක් යනු අනුපිළිවෙලක් නොවේ; එහි නැවත අංකනය කළ යුතු සංඛ්‍යා වැඩි ගණනක් අඩංගු වේ. සියලුම තාත්වික සංඛ්‍යාවල R කට්ටලය ද අනුපිළිවෙලක් නොවේ. මෙම කරුණු ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ දී ඔප්පු වේ.

අංක ගණිත ප්‍රගතිය: මූලික නිර්වචන

දැන් අපි අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් නිර්වචනය කිරීමට සූදානම්.

අර්ථ දැක්වීම. අංක ගණිත ප්‍රගමනයක් යනු එක් එක් පදය (දෙවන සිට ආරම්භ වන) පෙර පදයේ එකතුවට සහ යම් ස්ථාවර සංඛ්‍යාවකට (අංක ගණිත ප්‍රගතියේ වෙනස ලෙස හැඳින්වේ) සමාන වන අනුපිළිවෙලකි.

උදාහරණයක් ලෙස, අනුපිළිවෙල 2; 5; අට; එකොළොස්; : : : පළමු වාරය 2 සහ වෙනස 3 සහිත අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකි. අනුපිළිවෙල 7; 2; 3; අට; : : : පළමු වාරය 7 සහ වෙනස 5 සහිත අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකි. අනුපිළිවෙල 3; 3; 3; : : : යනු ශුන්‍ය වෙනසක් සහිත අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකි.

සමාන අර්ථ දැක්වීම: an+1 an වෙනස නියතයක් නම් (n මත රඳා නොපවතින) අනුක්‍රමයක් a ගණිතමය ප්‍රගතියක් ලෙස හැඳින්වේ.

අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක් එහි වෙනස ධනාත්මක නම් වැඩි වන බවත් එහි වෙනස සෘණ නම් අඩු වන බවත් කියනු ලැබේ.

1 සහ මෙහි වඩාත් සංක්ෂිප්ත අර්ථ දැක්වීමක් ඇත: අනුක්‍රමයක් යනු ස්වභාවික සංඛ්‍යා සමූහය මත අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයකි. උදාහරණයක් ලෙස, තාත්වික සංඛ්යා අනුක්රමය f: N! ශ්රිතය වේ. ආර්.

පෙරනිමියෙන්, අනුපිළිවෙලවල් අනන්ත ලෙස සලකනු ලැබේ, එනම් අනන්ත සංඛ්යාවක් අඩංගු වේ. නමුත් පරිමිත අනුපිළිවෙලවල් ද සලකා බැලීමට කිසිවෙකු වෙහෙසෙන්නේ නැත; ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම සීමිත සංඛ්‍යා කට්ටලයක් පරිමිත අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්විය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, අවසාන අනුපිළිවෙල 1; 2; 3; හතර; 5 ඉලක්කම් පහකින් සමන්විත වේ.

අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​n වැනි සාමාජිකයාගේ සූත්‍රය

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සම්පූර්ණයෙන්ම අංක දෙකකින් තීරණය වන බව තේරුම් ගැනීම පහසුය: පළමු පදය සහ වෙනස. එමනිසා, ප්රශ්නය පැනනගින්නේ: පළමු පදය සහ වෙනස දැන ගැනීමෙන්, ගණිතමය ප්රගතියක ​​අත්තනෝමතික පදයක් සොයා ගන්නේ කෙසේද?

අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​n වැනි වාරය සඳහා අවශ්‍ය සූත්‍රය ලබා ගැනීම අපහසු නැත. ඉඩ දෙන්න

කාර්යය 1. අංක ගණිතමය ප්‍රගතියෙහි 2; 5; අට; එකොළොස්; : : : n වන පදයේ සූත්‍රය සොයාගෙන සියවන වාරය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්. සූත්‍රය (1) අනුව අපට ඇත්තේ:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියේ දේපල සහ ලකුණ

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​ගුණය. අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ දී ඕනෑම එකක් සඳහා

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අංක ගණිත ප්‍රගතියේ එක් එක් සාමාජිකයා (දෙවන සිට ආරම්භ වන) අසල්වැසි සාමාජිකයින්ගේ අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය වේ.

අවශ්ය වූයේ කුමක්ද.

වඩාත් සාමාන්‍යයෙන්, අංක ගණිත ප්‍රගතිය සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් කරයි

a n = a n k+ a n+k

ඕනෑම n > 2 සහ ඕනෑම ස්වභාවික k සඳහා< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

(2) සූත්‍රය අවශ්‍ය පමණක් නොව, අනුපිළිවෙලක් අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් වීමට ප්‍රමාණවත් කොන්දේසියක් ද වන බව පෙනේ.

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​ලකුණ. සමානාත්මතාවය (2) සියලු n > 2 සඳහා පවතී නම්, අනුක්‍රමය a ගණිතමය ප්‍රගතියකි.

සාක්ෂි. සූත්‍රය (2) පහත පරිදි නැවත ලියමු.

a na n 1= a n+1a n:

මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ an+1 an වෙනස n මත රඳා නොපවතින බවයි, සහ මෙයින් අදහස් කරන්නේ an අනුක්‍රමය අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් බවයි.

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​ගුණය සහ ලකුණ එක් ප්‍රකාශයක් ලෙස සකස් කළ හැක; පහසුව සඳහා, අපි මෙය අංක තුනක් සඳහා කරන්නෙමු (මෙය බොහෝ විට ගැටළු වලදී ඇති වන තත්ත්වයයි).

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​ලක්ෂණය. අංක තුනක් a, b, c 2b = a + c නම් සහ පමණක් නම් ගණිතමය ප්‍රගතියක් සාදයි.

ගැටළුව 2. (මොස්කව් ප්‍රාන්ත විශ්ව විද්‍යාලය, ආර්ථික විද්‍යා පීඨය, 2007) නිශ්චිත අනුපිළිවෙලෙහි අංක 8x, 3 x2 සහ 4 අංක තුනක් අඩුවන ගණිත ප්‍රගතියක් සාදයි. x සොයාගෙන මෙම ප්‍රගතියේ වෙනස ලියන්න.

විසඳුමක්. අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​ගුණය අනුව, අපට ඇත්තේ:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

x = 1 නම්, 8, 2, 4 හි අඩුවන ප්‍රගතියක් 6 වෙනසකින් ලබා ගනී. x = 5 නම්, 40, 22, 4 හි වැඩිවන ප්‍රගතියක් ලැබේ; මෙම නඩුව ක්රියා නොකරයි.

පිළිතුර: x = 1, වෙනස 6 වේ.

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​පළමු n පදවල එකතුව

පුරාවෘත්තයේ පවසන්නේ වරක් ගුරුවරයා දරුවන්ට 1 සිට 100 දක්වා සංඛ්‍යා එකතුවක් සොයා ගන්නා ලෙස පැවසූ අතර නිහඬව පුවත්පත කියවීමට වාඩි වූ බවයි. ඒත් විනාඩි කිහිපයකින් එක කොල්ලෙක් කිව්වා ප්‍රශ්නය විසඳුවා කියලා. ඒ 9 හැවිරිදි Carl Friedrich Gauss, පසුව ඉතිහාසයේ විශිෂ්ටතම ගණිතඥයෙක්.

පුංචි ගවුස්ගේ අදහස වූයේ මෙයයි. ඉඩ

S = 1 + 2 + 3 + : :: + 98 + 99 + 100:

අපි මෙම එකතුව ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලට ලියමු:

S = 100 + 99 + 98 + : :: + 3 + 2 + 1;

සහ මෙම සූත්‍ර දෙක එකතු කරන්න:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : :: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

වරහන් තුළ ඇති සෑම පදයක්ම 101 ට සමාන වන අතර, සම්පූර්ණයෙන් එවැනි පද 100 ක් ඇත

2S = 101 100 = 10100;

අපි මෙම අදහස භාවිතා කරන්නේ එකතුව සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමටයි

S = a1 + a2 + : :: + an + a n n: (3)

(3) සූත්‍රයේ ප්‍රයෝජනවත් වෙනස් කිරීමක් ලබාගනු ලබන්නේ n වැනි පදය සඳහා සූත්‍රය ආදේශ කිරීමෙනි, එය තුළට a = a1 + (n 1)d:

කාර්යය 3. 13 න් බෙදිය හැකි සියලුම ධනාත්මක ඉලක්කම් තුනේ එකතුව සොයන්න.

විසඳුමක්. 13 හි ගුණාකාර වන ඉලක්කම් තුනේ අංක පළමු පදය 104 සහ වෙනස 13 සමඟ අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සාදයි. මෙම ප්‍රගතියේ n වැනි වාරය වන්නේ:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

අපි බලමු අපේ ප්‍රගතියට සාමාජිකයන් කී දෙනෙක් ඉන්නවද කියලා. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි අසමානතාවය විසඳන්නෙමු:

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

ඉතින් අපේ ඉදිරි ගමනේ සාමාජිකයන් 69ක් ඉන්නවා. සූත්‍රය (4) අනුව අපට අවශ්‍ය ප්‍රමාණය සොයාගත හැකිය:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

අවධානය!
අතිරේක ඇත
555 විශේෂ වගන්තියේ ඇති ද්රව්ය.
දැඩි ලෙස "බොහෝ නොවේ..." සිටින අය සඳහා
සහ "ඉතා බොහෝ..." සිටින අය සඳහා)

අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක් යනු එක් එක් සංඛ්‍යාව පෙර එකට වඩා එකම ප්‍රමාණයකින් වැඩි (හෝ අඩු) වන සංඛ්‍යා මාලාවකි.

මෙම මාතෘකාව බොහෝ විට දුෂ්කර හා තේරුම්ගත නොහැකි ය. අකුරු දර්ශක, ප්‍රගතියේ n වන සාමාජිකයා, ප්‍රගතියේ වෙනස - මේ සියල්ල කෙසේ හෝ ව්‍යාකූල වේ, ඔව් ... අපි අංක ගණිත ප්‍රගතියේ තේරුම සොයා බලමු, එවිට සියල්ල වහාම ක්‍රියාත්මක වනු ඇත.)

අංක ගණිතමය ප්රගතිය පිළිබඳ සංකල්පය.

අංක ගණිත ප්‍රගමනය ඉතා සරල සහ පැහැදිලි සංකල්පයකි. සැකයක්ද? නිෂ්ඵලයි.) ඔබම බලන්න.

මම නිම නොකළ අංක මාලාවක් ලියන්නෙමි:

1, 2, 3, 4, 5, ...

ඔබට මෙම රේඛාව දිගු කළ හැකිද? පහෙන් පසු ඊළඟට යන්නේ කුමන සංඛ්‍යාද? හැමෝම ... අහ් ..., කෙටියෙන් කිවහොත්, අංක 6, 7, 8, 9, ආදිය තවත් ඉදිරියට යන බව සෑම දෙනාම තේරුම් ගනීවි.

කාර්යය සංකීර්ණ කරමු. මම නිම නොකළ අංක මාලාවක් ලබා දෙමි:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ඔබට රටාව අල්ලා ගත හැකිය, මාලාව දිගු කරන්න, සහ නම් කරන්න හත්වැනිපේළි අංකය?

මෙම අංකය 20 බව ඔබ තේරුම් ගත්තා නම් - මම ඔබට සුබ පතමි! ඔබට දැනුනේ පමණක් නොවේ අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​ප්‍රධාන කරුණු,නමුත් ඒවා ව්‍යාපාරයේ සාර්ථකව භාවිතා කළා! තේරුනේ නැත්නම් කියවන්න.

දැන් අපි සංවේදනයන්ගෙන් ප්‍රධාන කරුණු ගණිතයට පරිවර්තනය කරමු.)

පළමු ප්රධාන කරුණ.

අංක ගණිත ප්‍රගමනය සංඛ්‍යා මාලාවක් සමඟ කටයුතු කරයි.මෙය මුලදී අවුල් සහගතයි. අපි සමීකරණ විසඳීමට, ප්‍රස්තාර ගොඩනැගීමට සහ ඒ සියල්ලට පුරුදු වී සිටිමු ... ඉන්පසු ශ්‍රේණිය දිගු කරන්න, ශ්‍රේණියේ අංකය සොයා ගන්න ...

ඒකට කමක් නැහැ. ප්‍රගතිය යනු ගණිතයේ නව ශාඛාවක් සමඟ පළමු දැන හඳුනා ගැනීමයි. කොටස "ශ්‍රේණි" ලෙස හඳුන්වන අතර අංක සහ ප්‍රකාශන මාලාව සමඟ ක්‍රියා කරයි. පුරුදු වෙන්න.)

දෙවන ප්රධාන කරුණ.

අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකදී, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් පෙර එකට වඩා වෙනස් වේ එම ප්රමාණයෙන්.

පළමු උදාහරණයේ දී, මෙම වෙනස එකකි. ඔබ කුමන අංකයක් ගත්තද, එය පෙර එකට වඩා එකකි. දෙවන - තුනක්. ඕනෑම අංකයක් පෙර එකට වඩා තුන් ගුණයකින් වැඩිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, රටාව අල්ලා ගැනීමට සහ පසුව සංඛ්යා ගණනය කිරීමට අපට අවස්ථාව ලබා දෙන්නේ මෙම මොහොතයි.

තුන්වන ප්රධාන කරුණ.

මේ මොහොත කැපී පෙනෙන්නේ නැත, ඔව් ... නමුත් ඉතා වැදගත් ය. මෙන්න ඔහු: සෑම ප්‍රගති අංකයක්ම එහි ස්ථානයේ ඇත.පළමුවන සංඛ්‍යාව ඇත, හත්වන ඇත, හතළිස් පස්වන ඇත, යනාදී වශයෙන්. ඔබ ඒවා අහම්බෙන් ව්යාකූල කළහොත්, රටාව අතුරුදහන් වනු ඇත. අංක ගණිතමය ප්රගතිය ද අතුරුදහන් වනු ඇත. එය ඉලක්කම් මාලාවක් පමණි.

ඒක තමයි සම්පූර්ණ කාරණය.

ඇත්ත වශයෙන්ම, නව මාතෘකාව තුළ නව නියමයන් සහ අංකනය දිස්වේ. ඔවුන් දැනගත යුතුයි. එසේ නොමැතිනම්, ඔබට කාර්යය තේරෙන්නේ නැත. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ එවැනි දෙයක් තීරණය කළ යුතුය:

a 2 = 5, d = -2.5 නම්, අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ පළමු පද හය (a n) ලියන්න.

එය ආස්වාදයක් ද?) ලිපි, සමහර දර්ශක ... සහ කාර්යය, මාර්ගය වන විට, පහසු විය නොහැක. ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ නියමයන් සහ අංකනයේ අර්ථය තේරුම් ගැනීම පමණි. දැන් අපි මෙම කාරණය ප්‍රගුණ කර නැවත කාර්යයට යමු.

නියමයන් සහ තනතුරු.

අංක ගණිතමය ප්රගතියයනු එක් එක් සංඛ්‍යාව පෙර එකට වඩා වෙනස් වන සංඛ්‍යා මාලාවකි එම ප්රමාණයෙන්.

මෙම අගය හැඳින්වේ . මෙම සංකල්පය සමඟ වඩාත් විස්තරාත්මකව කටයුතු කරමු.

අංක ගණිතමය ප්‍රගති වෙනස.

අංක ගණිතමය ප්‍රගති වෙනසඕනෑම ප්‍රගති අංකයක් වන ප්‍රමාණය වේ තවකලින් එක.

එක් වැදගත් කරුණක්. කරුණාකර වචනය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න "තව".ගණිතමය වශයෙන්, මෙයින් අදහස් කරන්නේ එක් එක් ප්රගති අංකය ලබා ගන්නා බවයි එකතු කරනවාපෙර අංකයට ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​වෙනස.

ගණනය කිරීම සඳහා, අපි කියමු දෙවැනිපේළියේ සංඛ්යා, එය අවශ්ය වේ පළමුවනඅංකය එකතු කරන්නමෙම අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​වෙනස. ගණනය කිරීම සඳහා පස්වන- වෙනස අවශ්යයි එකතු කරන්නවෙත හතරවනහොඳයි, ආදිය.

අංක ගණිතමය ප්‍රගති වෙනසසමහරවිට ධනාත්මකඑවිට මාලාවේ සෑම අංකයක්ම සැබෑ බවට හැරෙනු ඇත කලින් එකට වඩා.මෙම ප්රගතිය හැඳින්වේ වැඩි වෙනවා.උදාහරණ වශයෙන්:

8; 13; 18; 23; 28; .....

මෙහි එක් එක් අංකය වේ එකතු කරනවාධන අංකය, පෙර එකට +5.

වෙනස විය හැක සෘණඑවිට මාලාවේ සෑම අංකයක්ම වනු ඇත පෙර එකට වඩා අඩුය.මෙම ප්‍රගතිය හැඳින්වේ (ඔබ එය විශ්වාස නොකරනු ඇත!) අඩු වෙමින් පවතී.

උදාහරණ වශයෙන්:

8; 3; -2; -7; -12; .....

මෙහිදී සෑම අංකයක්ම ලබා ගනී එකතු කරනවාපෙර, නමුත් දැනටමත් සෘණ අංකයට, -5.

මාර්ගය වන විට, ප්රගතියක් සමඟ වැඩ කරන විට, එහි ස්වභාවය වහාම තීරණය කිරීම ඉතා ප්රයෝජනවත් වේ - එය වැඩි වීම හෝ අඩු වීම. තීරනයේදී ඔබගේ බෙයාරිං සොයා ගැනීමට, ඔබගේ වැරදි හඳුනා ගැනීමට සහ ප්‍රමාද වීමට පෙර ඒවා නිවැරදි කිරීමට එය බොහෝ සෙයින් උපකාරී වේ.

අංක ගණිතමය ප්‍රගති වෙනසසාමාන්යයෙන් අකුරින් දැක්වේ ඈ

කොහොමද හොයාගන්නේ ඈ? හරිම සරලයි. මාලාවේ ඕනෑම අංකයකින් අඩු කිරීම අවශ්ය වේ කලින්අංකය. අඩු කරන්න. මාර්ගය වන විට, අඩු කිරීමේ ප්රතිඵලය "වෙනස" ලෙස හැඳින්වේ.)

අපි නිර්වචනය කරමු, උදාහරණයක් ලෙස, ඈවැඩිවන අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සඳහා:

2, 5, 8, 11, 14, ...

අපි අපට අවශ්‍ය පේළියේ ඕනෑම අංකයක් ගනිමු, උදාහරණයක් ලෙස, 11. එයින් අඩු කරන්න පෙර අංකයඑම. අට:

මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි. මෙම අංක ගණිතමය ප්රගතිය සඳහා, වෙනස තුනකි.

ඔබට පමණක් ගත හැකිය ඕනෑම ප්‍රගතියක්,නිසා නිශ්චිත ප්රගතියක් සඳහා d-හැමවෙලේම එකයි.පේළියේ ආරම්භයේ අවම වශයෙන් කොහේ හරි, අවම වශයෙන් මැද, අවම වශයෙන් ඕනෑම තැනක. ඔබට පළමු අංකය පමණක් ගත නොහැක. පළමු අංකය නිසා පමණි පෙර නැත.)

මාර්ගය වන විට, එය දැන සිටීම d=3, මෙම ප්රගතියේ හත්වන අංකය සොයා ගැනීම ඉතා සරල ය. අපි පස්වන අංකයට 3 ​​එකතු කරන්නෙමු - අපි හයවන අංකය ලබා ගනිමු, එය 17 වනු ඇත. අපි හයවන අංකයට තුනක් එකතු කරමු, අපි හත්වන අංකය ලබා ගනිමු - විසි.

අපි නිර්වචනය කරමු ඈඅඩුවන අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සඳහා:

8; 3; -2; -7; -12; .....

සංඥා නොසලකා, තීරණය කිරීමට මම ඔබට මතක් කරමි ඈඕනෑම අංකයකින් අවශ්ය වේ කලින් එක අයින් කරන්න.අපි ඕනෑම ප්‍රගතියක් තෝරා ගනිමු, උදාහරණයක් ලෙස -7. ඔහුගේ පෙර අංකය -2 වේ. ඉන්පසු:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

අංක ගණිත ප්‍රගමනයක වෙනස ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් විය හැක: පූර්ණ සංඛ්‍යාව, භාගික, අතාර්කික, ඕනෑම.

වෙනත් නියමයන් සහ තනතුරු.

මාලාවේ සෑම අංකයක්ම කැඳවනු ලැබේ අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​සාමාජිකයෙකි.

ප්‍රගතියේ සෑම සාමාජිකයෙක්ම ඔහුගේ අංකය ඇත.කිසිදු උපක්‍රමයක් නොමැතිව අංක දැඩි ලෙස පිළිවෙලට තිබේ. පළමු, දෙවන, තෙවන, සිව්වන, ආදිය. උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රගතියෙහි 2, 5, 8, 11, 14, ... දෙදෙනෙක් පළමු සාමාජිකයා, පස්දෙනා දෙවැන්නා, එකොළොස් යනු හතරවැනියා, හොඳයි, ඔබට තේරෙනවා ...) කරුණාකර පැහැදිලිව තේරුම් ගන්න - සංඛ්යා මසම්පූර්ණයෙන්ම ඕනෑම, සම්පූර්ණ, භාගික, සෘණ, ඕනෑම දෙයක් විය හැක, නමුත් අංකනය කිරීම- දැඩි ලෙස පිළිවෙලට!

සාමාන්‍ය ස්වරූපයෙන් ප්‍රගතියක් ලියන්නේ කෙසේද? කිසිම ප්රශ්නයක් නැ! මාලාවේ සෑම අංකයක්ම අකුරක් ලෙස ලියා ඇත. අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් දැක්වීමට, රීතියක් ලෙස, අකුර භාවිතා වේ ඒ. සාමාජික අංකය පහළ දකුණේ ඇති දර්ශකය මගින් දැක්වේ. සාමාජිකයින් ලියා ඇත්තේ කොමා (හෝ අර්ධ කෝල) මගින් වෙන් කර ඇති ආකාරයට ය:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1පළමු අංකය වේ a 3- තෙවන, ආදිය. කපටි කිසිවක් නැත. ඔබට මෙම ලිපි මාලාව කෙටියෙන් මෙසේ ලිවිය හැකිය: (අ එන්).

ප්‍රගතියක් ඇත පරිමිත සහ අනන්ත.

අවසානප්‍රගතියට සීමිත සාමාජිකයින් සංඛ්‍යාවක් ඇත. පහ, තිස් අට, මොනවා වුණත්. නමුත් එය සීමිත සංඛ්‍යාවකි.

නිමක් නැතිප්‍රගතිය - ඔබ අනුමාන කළ හැකි පරිදි අනන්ත සාමාජිකයින් සංඛ්‍යාවක් ඇත.)

ඔබට මෙවැනි මාලාවක් හරහා අවසාන ප්‍රගතියක් ලිවිය හැක, සියලුම සාමාජිකයින් සහ අවසානයේ තිතක්:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 .

නැතහොත් මේ ආකාරයට, බොහෝ සාමාජිකයින් සිටී නම්:

a 1, a 2, ... a 14, a 15 .

කෙටි ප්‍රවේශයකින්, ඔබට සාමාජිකයින් සංඛ්‍යාව අතිරේකව සඳහන් කිරීමට සිදුවේ. උදාහරණයක් ලෙස (සාමාජිකයින් විසි දෙනෙකු සඳහා), මේ වගේ:

(a n), n = 20

මෙම පාඩමේ උදාහරණවල මෙන් පේළියේ අවසානයේ ඇති ඉලිප්සිස් මගින් අසීමිත ප්‍රගතියක් හඳුනාගත හැකිය.

දැන් ඔබට දැනටමත් කාර්යයන් විසඳා ගත හැකිය. කර්තව්‍යයන් සරල ය, හුදෙක් අංක ගණිත ප්‍රගතියේ අර්ථය අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා ය.

අංක ගණිතමය ප්රගතිය සඳහා කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ.

ඉහත කාර්යය දෙස සමීපව බලමු:

1. a 2 = 5, d = -2.5 නම්, අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ (a n) පළමු සාමාජිකයන් හය දෙනා ලියන්න.

අපි කාර්යය තේරුම් ගත හැකි භාෂාවකට පරිවර්තනය කරමු. අනන්ත අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක් ලබා දී ඇත. මෙම ප්‍රගතියේ දෙවන අංකය දනී: a 2 = 5.දන්නා ප්‍රගති වෙනස: d = -2.5.මෙම ප්‍රගතියේ පළමු, තුන්වන, හතරවන, පස්වන සහ හයවන සාමාජිකයින් සොයා ගැනීමට අපට අවශ්‍යය.

පැහැදිලිකම සඳහා, මම ගැටලුවේ තත්වය අනුව මාලාවක් ලියන්නෙමි. පළමු සාමාජිකයින් හය දෙනා, දෙවන සාමාජිකයා පස් දෙනෙක්:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + ඈ

අපි ප්රකාශනය තුළ ආදේශ කරමු a 2 = 5හා d=-2.5. අවාසිය අමතක කරන්න එපා!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

තුන්වන වාරය දෙවන වාරයට වඩා අඩුය. සෑම දෙයක්ම තාර්කිකයි. අංකය පෙර එකට වඩා වැඩි නම් සෘණඅගය, එබැවින් එම අංකයම පෙර එකට වඩා අඩු වනු ඇත. ප්‍රගතිය අඩු වෙනවා. හරි, අපි එය සැලකිල්ලට ගනිමු.) අපි අපගේ ලිපි මාලාවේ හතරවන සාමාජිකයා සලකා බලමු:

a 4 = a 3 + ඈ

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + ඈ

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + ඈ

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ඉතින්, තුන්වන සිට හය දක්වා නියමයන් ගණනය කර ඇත. මෙය මාලාවක් ඇති විය:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

පළමු පදය සොයා ගැනීමට එය ඉතිරිව ඇත a 1සුප්රසිද්ධ තත්පරයට අනුව. මෙය අනෙක් දිශාවට, වමට පියවරකි.) එබැවින්, අංක ගණිත ප්‍රගතියේ වෙනස ඈවෙත එකතු නොකළ යුතුය a 2, ඒ අඩු කරන්න:

a 1 = a 2 - ඈ

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

ඒකේ තියෙන්නේ එච්චරයි. කාර්ය ප්රතිචාරය:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

සම්මත කිරීමේදී, අපි මෙම කාර්යය විසඳා ඇති බව මම සටහන් කරමි පුනරාවර්තනමාර්ගය. මෙම බිහිසුණු වචනයෙන් අදහස් වන්නේ, ප්රගතියේ සාමාජිකයෙකු සෙවීම පමණි පෙර (යාබද) අංකයෙන්.ප්රගතිය සමඟ වැඩ කිරීමට වෙනත් ක්රම පසුව සාකච්ඡා කරනු ඇත.

මෙම සරල කාර්යයෙන් එක් වැදගත් නිගමනයකට එළඹිය හැකිය.

මතක තබා ගන්න:

අපි අවම වශයෙන් එක් සාමාජිකයෙකු සහ අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​වෙනස දන්නේ නම්, අපට මෙම ප්‍රගතියේ ඕනෑම සාමාජිකයෙකු සොයාගත හැකිය.

මතකද? මෙම සරල නිගමනය මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ පාසල් පාඨමාලාවේ ගැටළු බොහොමයක් විසඳීමට අපට ඉඩ සලසයි. සියලුම කාර්යයන් ප්රධාන පරාමිතීන් තුනක් වටා කැරකෙයි: අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​සාමාජික, ප්‍රගතියක ​​වෙනස, ප්‍රගතියක ​​සාමාජික සංඛ්‍යාව.සියල්ල.

ඇත්ත වශයෙන්ම, සියලු පෙර වීජ ගණිතය අවලංගු නොවේ.) අසමානතා, සමීකරණ සහ අනෙකුත් දේවල් ප්රගතියට අනුයුක්ත කර ඇත. නමුත් ප්රගතිය අනුව- සෑම දෙයක්ම පරාමිති තුනක් වටා කැරකෙයි.

උදාහරණයක් ලෙස, මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ සමහර ජනප්රිය කාර්යයන් සලකා බලන්න.

2. n=5, d=0.4, සහ a 1=3.6 නම් ශ්‍රේණියක් ලෙස අවසාන අංක ගණිත ප්‍රගතිය ලියන්න.

මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි. සෑම දෙයක්ම දැනටමත් ලබා දී ඇත. අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​සාමාජිකයන් ගණනය කිරීම, ගණන් කිරීම සහ ලියා තබන ආකාරය ඔබ මතක තබා ගත යුතුය. "අවසාන" සහ "කාර්ය තත්වයේ ඇති වචන මඟ නොහැරීම සුදුසුය. n=5". ඔබේ මුහුණ සම්පූර්ණයෙන්ම නිල් පාට වන තුරු ගණන් නොගැනීම පිණිස.) මෙම ප්‍රගතියෙහි සිටින්නේ සාමාජිකයින් 5 (පස් දෙනෙකු) පමණි:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

පිළිතුර ලිවීමට ඉතිරිව ඇත:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

තවත් කාර්යයක්:

3. අංක 7 අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​(a n) සාමාජිකයෙක් වේ දැයි තීරණය කරන්න a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

හ්ම්... කවුද දන්නේ? යමක් නිර්වචනය කරන්නේ කෙසේද?

How-how ... ඔව්, ප්‍රගතිය මාලාවක ස්වරූපයෙන් ලියා, හතක් තිබේද නැද්ද යන්න බලන්න! අපි විශ්වාස කරනවා:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

දැන් හොඳටම පේනවා අපි හත් දෙනෙක් විතරයි කියලා හරහා ලිස්සා ගියේය 6.5 සහ 7.7 අතර! හත අපගේ සංඛ්‍යා මාලාවට ඇතුළු නොවූ අතර, එම නිසා, හත දෙන ලද ප්‍රගතියේ සාමාජිකයෙකු නොවනු ඇත.

පිළිතුර: නැහැ.

GIA හි සැබෑ අනුවාදයක් මත පදනම් වූ කාර්යයක් මෙන්න:

4. අංක ගණිතමය ප්‍රගතියෙහි අඛණ්ඩ සාමාජිකයන් කිහිප දෙනෙකු ලියා ඇත:

...; පහළොව; X; 9; 6; ...

මෙන්න අවසානයක් සහ ආරම්භයක් නැති මාලාවක්. සාමාජික අංක නැත, වෙනසක් නැත ඈ. ඒකට කමක් නැහැ. ගැටළුව විසඳීම සඳහා, අංක ගණිතමය ප්රගතියක ​​අර්ථය තේරුම් ගැනීම ප්රමාණවත්ය. අපි බලමු මොනවද කරන්න පුළුවන් කියලා දැන ගැනීමටමෙම රේඛාවෙන්? ප්‍රධාන තුනේ පරාමිති මොනවාද?

සාමාජික අංක? මෙහි තනි අංකයක් නොමැත.

නමුත් අංක තුනක් ඇත - අවධානය! - වචනය "අඛණ්ඩව"තත්ත්වයෙන්. මෙයින් අදහස් කරන්නේ හිඩැස් නොමැතිව අංක දැඩි ලෙස පිළිවෙලට ඇති බවයි. මෙම පේළියේ දෙකක් තිබේද? අසල්වැසිදන්නා සංඛ්යා? ඔව් තියෙනවා! මේවා 9 සහ 6. ඒ නිසා අපිට ගණිත ප්‍රගමනයක වෙනස ගණනය කළ හැකියි! අපි හයෙන් අඩු කරන්නෙමු කලින්අංකය, i.e. නවය:

හිස් තැන් ඉතිරිව ඇත. x සඳහා පෙර අංකය කුමක් වනු ඇත්ද? පහළොව. එබැවින් x සරල එකතු කිරීමකින් පහසුවෙන් සොයාගත හැකිය. අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​වෙනස 15 ට එකතු කරන්න:

එච්චරයි. පිළිතුර: x=12

පහත ගැටළු අප විසින්ම විසඳා ගනිමු. සටහන: මෙම ප්‍රහේලිකා සූත්‍ර සඳහා නොවේ. තනිකරම අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​තේරුම අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා.) අපි ඉලක්කම්-අකුරු මාලාවක් ලියා, බලන්න සහ සිතන්න.

5. 5 = -3 නම් අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ පළමු ධන පදය සොයන්න; d = 1.1.

6. අංක 5.5 අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ (a n) සාමාජිකයෙකු බව දන්නා කරුණකි, එහිදී a 1 = 1.6; d = 1.3. මෙම සාමාජිකයාගේ අංකය n තීරණය කරන්න.

7. අංක ගණිත ප්‍රගමනයකදී a 2 = 4 බව දන්නා කරුණකි. a 5 \u003d 15.1. 3 සොයා ගන්න.

8. අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ අඛණ්ඩ සාමාජිකයන් කිහිප දෙනෙකු ලියා ඇත:

...; 15.6; X; 3.4; ...

x අකුරින් දැක්වෙන ප්‍රගතියේ පදය සොයන්න.

9. දුම්රිය ස්ථානයෙන් ගමන් ඇරඹූ අතර, ක්‍රමයෙන් එහි වේගය විනාඩියකට මීටර් 30 කින් වැඩි විය. විනාඩි පහකින් දුම්රියේ වේගය කොපමණ වේවිද? ඔබේ පිළිතුර පැයට කි.මී.

10. අංක ගණිත ප්‍රගමනයකදී a 2 = 5 බව දන්නා කරුණකි. a 6 = -5. 1 සොයා ගන්න.

පිළිතුරු (අවුල් සහගතව): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; හතර.

හැම දෙයක්ම සාර්ථක වුණාද? පුදුමයි! පහත පාඩම් වලින් ඔබට ගණිත ප්‍රගතිය ඉහල මට්ටමකින් ඉගෙන ගත හැක.

සියල්ල සාර්ථක වූයේ නැද්ද? කිසිම ප්රශ්නයක් නැ. විශේෂ වගන්තිය 555 හි, මෙම සියලු ගැටළු කැබලිවලට කැඩී ඇත.) තවද, ඇත්ත වශයෙන්ම, සරල ප්‍රායෝගික තාක්‍ෂණයක් විස්තර කර ඇති අතර එය ඔබේ අතේ මෙන් පැහැදිලිව, පැහැදිලිවම එවැනි කාර්යයන් සඳහා විසඳුම වහාම ඉස්මතු කරයි!

මාර්ගය වන විට, දුම්රිය පිළිබඳ ප්‍රහේලිකාව තුළ මිනිසුන් බොහෝ විට පැකිළෙන ගැටළු දෙකක් තිබේ. එකක් - සම්පූර්ණයෙන්ම ප්‍රගතිය අනුව, සහ දෙවන - ගණිතයේ සහ භෞතික විද්‍යාවේ ඕනෑම කාර්යයකට පොදු වේ. මෙය මානයන් එකකින් අනෙකට පරිවර්තනය කිරීමකි. මෙම ගැටළු විසඳිය යුතු ආකාරය පෙන්නුම් කරයි.

මෙම පාඩමේදී, අපි අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​මූලික අර්ථය සහ එහි ප්‍රධාන පරාමිතීන් විමසා බැලුවෙමු. මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු සියල්ලම පාහේ විසඳීමට මෙය ප්රමාණවත් වේ. එකතු කරන්න ඈඅංක වලට, මාලාවක් ලියන්න, සියල්ල තීරණය වනු ඇත.

"ඇඟිලි මත" විසඳුම මෙම පාඩමේ උදාහරණ ලෙස මාලාවේ ඉතා කෙටි කොටස් සඳහා හොඳින් ක්රියා කරයි. මාලාව දිගු නම්, ගණනය කිරීම් වඩාත් අපහසු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, ප්රශ්නයේ 9 ගැටලුවේ නම්, ප්රතිස්ථාපනය කරන්න "විනාඩි පහක්"මත "විනාඩි තිස් පහක්"ගැටලුව වඩාත් නරක අතට හැරෙනු ඇත.)

සාරයෙන් සරල, නමුත් ගණනය කිරීම් අනුව සම්පූර්ණයෙන්ම විකාර සහගත කාර්යයන් ද ඇත, උදාහරණයක් ලෙස:

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් ලබා දී ඇත (a n). 1 =3 සහ d=1/6 නම් 121 සොයන්න.

සහ කුමක්ද, අපි 1/6 බොහෝ, බොහෝ වාර ගණනක් එකතු කරමු?! සියදිවි නසාගන්න පුළුවන්ද!?

ඔබට පුළුවන්.) ඔබ විනාඩියකින් එවැනි කාර්යයන් විසඳා ගත හැකි සරල සූත්‍රයක් නොදන්නේ නම්. මෙම සූත්‍රය ඊළඟ පාඩමේ ඇත. ඒ වගේම එතනදි ඒ ප්‍රශ්නය විසඳෙනවා. විනාඩියකින්.)

ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...

මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)

ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්‍යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. ඉගෙනීම - උනන්දුවෙන්!)

ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.