මෙය පිරමීඩයේ පාමුල සහ එයට සමාන්තර කොටසේ පිහිටුවා ඇති බහුහෙඩ්‍රෝනයකි. කැපූ පිරමීඩයක් කැපූ මුදුනක් සහිත පිරමීඩයක් යැයි අපට පැවසිය හැකිය. මෙම හැඩයට අද්විතීය ගුණාංග රාශියක් ඇත:

• පිරමීඩයේ පැති මුහුණු ට්‍රැපීසියම් ය;
• සමාන දිගකින් යුත් සාමාන්‍ය කැපූ පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය ඉළ ඇට සහ එකම කෝණයකින් පාදයට නැඹුරු වීම;
• පදනම් බහුඅස්රයන් මෙන් ය;
• නිතිපතා කප්පාදු කරන ලද පිරමීඩයක මුහුණු සම ​​සමස්ථානික ට්‍රැපෙසොයිඩ් වන අතර එම ප්‍රදේශය සමාන වේ. ඒවා ද එකම කෝණයකින් පාදයට නැඹුරු වේ.

කැපූ පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්‍රමාණය සඳහා වන සූත්‍රය නම් එහි පැති වල එකතුවයි:

කැපූ පිරමීඩයේ පැති ට්‍රැපෙසොයිඩ් බැවින් පරාමිති ගණනය කිරීම සඳහා ඔබට සූත්‍රය භාවිතා කිරීමට සිදු වේ. trapezoid කලාපය... නිවැරදි කැපූ පිරමීඩයක් සඳහා ඔබට වෙනත් ප්‍රදේශ සූත්‍රයක් යෙදිය හැකිය. පාදයේ එහි පැති, මුහුණු සහ කෝණ සියල්ලම සමාන බැවින් පාදයේ සහ ඇපෝතමේ පරිමිතීන් යෙදීම මෙන්ම පාදයේ කෝණය හරහා ප්‍රදේශය අඩු කිරීම ද කළ හැකිය.

නිතිපතා කප්පාදු කරන ලද පිරමීඩයක ඇති කොන්දේසි වලට අනුව, එපෝතමය (පාර්ශ්වික පැත්තෙහි උස) සහ පාදයේ පැති වල දිග ලබා දී ඇත්නම්, එම මුදලේ අර්ධ නිශ්පාදනය තුළින් ප්‍රදේශය ගණනය කළ හැකිය. පාදක වල පරිධිය සහ අපෝතමය:

කැපූ පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්‍රමාණය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් දෙස බලමු.
සාමාන්‍ය පංචස්කන්ධ පිරමීඩයක් දෙනු ලැබේ. අපෝතම් එල්= 5 සෙ.මී., විශාල පාදයේ මුහුණේ දිග වේ ඒ= 6 සෙ.මී., සහ කුඩා පාදයේ දාරය බී= 4 cm. කැපූ පිරමීඩයේ ප්‍රදේශය ගණනය කරන්න.

මුලින්ම අපි කඳවුරුවල පරිමිතීන් සොයා ගනිමු. අපට පංචස්කන්ධ පිරමීඩයක් ලබා දී ඇති හෙයින්, පදනම් පංචස්කන්ධ බව අපට වැටහේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමාන පැති පහක් සහිත රූපයක් පාදයේ පිහිටා ඇති බවයි. විශාල පාදයේ පරිමිතිය සොයා ගන්න:

ඒ ආකාරයෙන්ම, කුඩා පාදයේ පරිමිතිය අපට හමු වේ:

දැන් අපට නිවැරදි කැපූ පිරමීඩයේ ප්‍රදේශය ගණනය කළ හැකිය. අපි දත්ත සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:

මේ අනුව, අපි නිතිපතා කැපූ පිරමීඩයක ප්‍රදේශය පරිමිතීන් සහ එපෝතමය හරහා ගණනය කළෙමු.

සාමාන්‍ය පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්‍රමාණය ගණනය කිරීමට තවත් ක්‍රමයක් නම් සූත්‍රයයි පාමුල කෙළවර සහ මෙම කඳවුරු වල ප්‍රදේශය හරහා.

අපි ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් දෙස බලමු. මෙම සූත්‍රය අදාළ වන්නේ නිවැරදි කැපූ පිරමීඩයට පමණක් බව මතක තබා ගන්න.

නිතිපතා චතුරස්රාකාර පිරමීඩයක් දීමට ඉඩ දෙන්න. පහළ පාදයේ මායිම a = 6 cm ක් වන අතර ඉහළ පාදයේ දාරය b = 4 cm වේ. පාමුල ඇති ප්‍රාණ කෝණය β = 60 ° වේ. නිතිපතා කපන ලද පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්‍රදේශය සොයා ගන්න.

පළමුව, අපි කඳවුරු වල ප්රදේශය ගණනය කරමු. පිරමීඩය නිවැරදි බැවින් පාදයේ සියලුම මුහුණු එකිනෙකට සමාන වේ. පාදයේ චතුරශ්‍රයක් ඇති බව සලකා බැලීමෙන් එය ගණනය කිරීම අවශ්‍ය බව අපට වැටහේ හතරැස් ප්‍රදේශය... එය පළල සහ දිග වල නිෂ්පාදනයක් වන නමුත් මෙම අගයන් එකම වර්ග ප්‍රමාණයකි. විශාල පාදමේ ප්‍රදේශය සොයා ගන්න:


දැන් අපි පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්‍රමාණය ගණනය කිරීම සඳහා සොයා ගත් අගයන් භාවිතා කරමු.

සරල සූත්‍ර කිහිපයක් දැනගෙන, කැපූ පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය trapezium ප්‍රදේශය විවිධ අගයන් ඔස්සේ අපි පහසුවෙන් ගණනය කළෙමු.

පිරමීඩ. කැපූ පිරමීඩය

පිරමීඩපොලිහෙඩ්‍රොන් ලෙස හැඳින්වෙන අතර එහි එක් මුහුණක් බහුඅස්‍රයක් ( පදනම ), සහ අනෙකුත් සියලුම මුහුණු පොදු ශීර්ෂයක් සහිත ත්‍රිකෝණ ( පැති මුහුණු ) (රූපය 15). පිරමීඩය ලෙස හැඳින්වේ නිවැරදි එහි පාදම සාමාන්‍ය බහුඅස්රයක් නම් සහ පිරමීඩයේ මුදුන පාදයේ මධ්‍යයට ප්‍රක්ෂේපණය වේ නම් (රූපය 16). සියලු දාර සමාන වන ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩයක් ලෙස හැඳින්වේ tetrahedron .

පැති ඉළ ඇටපිරමීඩය යනු පාදයට අයත් නොවන පැති මුහුණෙහි පැත්තයි උස පිරමීඩය හැඳින්වෙන්නේ එහි මුදුනේ සිට පාදමේ තලයට ඇති දුර ලෙස ය. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක සියලුම පාර්ශ්වීය දාර එකිනෙකට සමාන වන අතර සියලුම පාර්ශ්වීය දාර සමාන සමකෝණ ත්‍රිකෝණ වේ. ඉහළ සිට ඇද ගන්නා සාමාන්‍ය පිරමීඩයක පැති මුහුණෙහි උස ලෙස හැඳින්වේ අපොතම් . විකර්ණ කොටස පිරමීඩයේ කොටස හැඳින්වෙන්නේ එක් මුහුණකට අයත් නොවන පාර්ශ්වික දාර දෙකක් හරහා ගමන් කරන තලයක් ලෙස ය.

පැති මතුපිටපිරමීඩය හැඳින්වෙන්නේ සියලු පැති මුහුණුවල ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙස ය. සම්පූර්ණ මතුපිට ප්‍රමාණය සියලු පැති මුහුණුවල සහ පාදයේ එකතුව ලෙස හැඳින්වේ.

ප්රමේයයන්

1. පිරමීඩයක සියලු පැති දාර සමාන ලෙස පාදයේ තලයට නැඹුරු නම්, පිරමීඩයේ මුදුන පාදම වටා වට කර ඇති කවයේ මධ්‍යයට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.

2. පිරමීඩයේ සෑම පැත්තකටම සමාන දිගක් තිබේ නම්, පිරමීඩයේ මුදුන පාදම වටා වට කර ඇති කවයේ මධ්‍යයට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.

3. පිරමීඩයේ සියලුම මුහුණු පාදමේ තලයට සමාන නැඹුරුවක් ඇත්නම් පිරමීඩයේ මුදුන පාදයේ කොටා ඇති රවුමේ මැදට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.

අත්තනෝමතික පිරමීඩයක පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා පහත සූත්‍රය නිවැරදි ය:

කොහෙද වී- පරිමාව;

එස් ප්රධාන- මූලික ප්රදේශය;

එච්- පිරමීඩයේ උස.

නිවැරදි පිරමීඩය සඳහා, සූත්‍ර නිවැරදි ය:

කොහෙද පි- පාදක පරිමිතිය;

h අ- අපෝතම්;

එච්- උස;

එස් පිරී ඇත

එස් පැත්ත

එස් ප්රධාන- මූලික ප්රදේශය;

වී- නිවැරදි පිරමීඩයේ පරිමාව.

කැපූ පිරමීඩයපිරමීඩයේ කොටස ලෙස හැඳින්වෙන්නේ, පිරමීඩයේ පාදයට සමාන්තරව පාදම සහ තත්ත්‍ව තලය අතර සිර කර ඇති කොටස (රූපය 17). නිතිපතා කපන ලද පිරමීඩය පිරමීඩයේ පාමුලට සමාන්තරව පාදම සහ තත්ත්‍ව තලය අතර සිරවී ඇති සාමාන්‍ය පිරමීඩයක කොටස ලෙස හැඳින්වේ.

පදනම්කැපූ පිරමීඩ - සමාන බහුඅස්ර. පැති මුහුණු - trapezoid. උස කැපූ පිරමීඩයක් යනු එහි පාද අතර දුරයි. විකර්ණ කැපූ පිරමීඩයක් එකම මුහුණ මත නොසිටින එහි සිරස් සම්බන්ධ කරන කොටසක් ලෙස හැඳින්වේ. විකර්ණ කොටස කැපූ පිරමීඩයක කොටසක් එක් මුහුණකට අයත් නොවන පාර්ශ්වික දාර දෙකක් හරහා ගමන් කරන තලයක් ලෙස හැඳින්වේ.

කැපූ පිරමීඩයක් සඳහා පහත සඳහන් සූත්‍ර වලංගු වේ:

(4)

කොහෙද එස් 1 , එස් 2 - ඉහළ සහ පහළ පාදවල ප්‍රදේශ;

එස් පිරී ඇත- මුළු මතුපිට ප්රමාණය;

එස් පැත්ත- පාර්ශ්වීය මතුපිට;

එච්- උස;

වී- කැපූ පිරමීඩයේ පරිමාව.

නිවැරදි කැපූ පිරමීඩයක් සඳහා, සූත්‍රය නිවැරදි ය:

කොහෙද පි 1 , පි 2 - කඳවුරු වල පරිමිතීන්;

h අ- නිතිපතා කප්පාදු කරන ලද පිරමීඩයේ එපෝතමය.

උදාහරණය 1.සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයකදී පාදයේ ඇති ප්‍රාණ කෝණය 60º වේ. පැති දාරයේ පාදයේ තලයට නැඹුරුවන කෝණයෙහි ස්පර්ශය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.අපි චිත්‍රයක් හදමු (රූපය 18).

පිරමීඩය නිත්‍ය බැවින් පාමුල සම පාර්ශවීය ත්‍රිකෝණයක් ඇති අතර පැති පැති සියල්ලම සම සම ත්‍රිකෝණ වේ. පාදයේ ඇති දෙපැත්තේ කෝණය නම් පිරමීඩයේ පැති මුහුණ පාදයේ තලයට නැඹුරු වීමේ කෝණයයි. රේඛීය කෝණය යනු කෝණයයි ඒලම්බක දෙකක් අතර: සහ i.e. පිරමීඩයේ මුදුන ත්‍රිකෝණයේ මධ්‍යයේ (චක්‍රලේඛයේ මධ්‍යයේ සහ ත්‍රිකෝණයේ කොටා ඇති රවුමේ) ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ ඒබීසී) පාර්ශ්වීය ඉළ ඇටයේ නැඹුරුවීමේ කෝණය (උදාහරණයක් ලෙස එස්බී) දාරය සහ එහි ප්‍රක්ෂේපණය අතර කෝණය පාදයේ තලය මත වේ. ඉළ ඇට සඳහා එස්බීමෙම කෝණය කෝණය වනු ඇත එස්බීඩී... ස්පර්ශය සෙවීම සඳහා, ඔබ කකුල් දැන සිටිය යුතුය ඒ නිසාහා ඕබී... කොටසේ දිගට ඉඩ දෙන්න බීඩී 3 ට සමාන වේ ඒ... තිත ඕකොටස බීඩීකොටස් වලට බෙදා ඇත: සහ අපෙන් සොයා ගන්න ඒ නිසා: අප සොයා ගන්නේ:

පිළිතුර:

උදාහරණය 2.නිතිපතා කප්පාදු කරන ලද චතුරස්රාකාර පිරමීඩයක පරිමාව එහි පාදවල විකර්ණ සෙන්ටිමීටර සහ සෙ.මී. සහ උස සෙන්ටිමීටර 4 ක් නම් සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.කැපූ පිරමීඩයේ පරිමාව සෙවීම සඳහා අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමු (4). කඳවුරු වල ප්‍රදේශය සෙවීම සඳහා, ඒවායේ විකර්ණ දැනගෙන පාදක චතුරස්රයේ පැති සොයා ගැනීමට ඔබට අවශ්‍යය. කඳවුරු වල පැති පිළිවෙලින් සෙන්ටිමීටර 2 ක් සහ සෙන්ටිමීටර 8 ක් වේ. එබැවින් පාදමේ ප්‍රදේශ සහ සූත්‍රයේ ඇති සියලුම දත්ත ආදේශ කිරීමෙන් පසු අපි කැපූ පිරමීඩයේ පරිමාව ගණනය කරමු:

පිළිතුර: 112 cm 3.

උදාහරණය 3.සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර කැපූ පිරමීඩයක පැති මුහුණෙහි ප්‍රදේශය සොයා ගන්න, එහි පාදවල පැති සෙන්ටිමීටර 10 සහ 4 ක් වන අතර පිරමීඩයේ උස සෙන්ටිමීටර 2 කි.

විසඳුමක්.අපි චිත්‍රයක් හදමු (රූපය 19).

මෙම පිරමීඩයේ පැති මුහුණ සමස්ථානික trapezoid වේ. ට්‍රැපෙසොයිඩ් වල ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ පාදම සහ උස දැන සිටිය යුතුය. කඳවුර දෙනු ලබන්නේ කොන්දේසියක් අනුව ය, උස පමණක් නොදනී. අපි එය කොහේ සිට සොයා ගන්නෙමු ඒ 1 ඊස්ථානයේ සිට ලම්බකව ඒ 1 පහළ පාදයේ තලයේ, ඒ 1 ඩී- සිට ලම්බකව ඒ 1 මත වශයෙන්. ඒ 1 ඊ= මෙය 2 පිරමීඩයේ උස බැවින් 2 සෙ.මී. සොයා ගැනීමට දඅපි අතිරේක චිත්‍රයක් සාදන්නෙමු, එමඟින් අපි ඉහළ දර්‍ශනයක් නිරූපණය කරන්නෙමු (රූපය 20). ලක්ෂ්‍යය ඕ- ඉහළ සහ පහළ කඳවුරු වල මධ්‍යස්ථාන ප්‍රක්ෂේපණය. සිට (රූපය 20 බලන්න) සහ අනෙක් අතට හරිසටහන් කර ඇති කවයේ අරය සහ ඕම්- සටහන් කර ඇති කවයේ අරය:

එම්කේ = ඩීඊ.

පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන්

පැති මුහුණ ප්‍රදේශය:

පිළිතුර:

උදාහරණය 4.පිරමීඩයේ පාමුල සමස්ථානික ට්‍රැපෙසොයිඩ් පිහිටා ඇති අතර එහි පාදම ඒහා බී (ඒ> බී) සෑම පැති මුහුණක්ම පිරමීඩයේ පාදක තලය හා සමාන කෝණයක් සාදයි ජ... පිරමීඩයේ මුළු මතුපිට ප්‍රමාණය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.අපි චිත්‍රයක් හදමු (රූපය 21). පිරමීඩයේ මුළු මතුපිට ප්‍රමාණය SABCDට්‍රැපෙසොයිඩ් ප්‍රදේශයේ සහ ප්‍රදේශයේ එකතුවට සමාන වේ ඒ බී සී ඩී.

පිරමීඩයේ සියලුම මුහුණු පාදමේ තලයට සමාන නැඹුරුවක් නම්, මුදුන පාදයේ කොටා ඇති කවයේ මැදට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ යන ප්‍රකාශය අපි භාවිතා කරමු. ලක්ෂ්‍යය ඕ- උච්ච ප්රක්ෂේපනය එස්පිරමීඩයේ පාමුල. ත්රිකෝණය SODත්රිකෝණයේ විකලාංග ප්රක්ෂේපණය වේ CSDපාදයේ තලයේ. තල රූපයක විකලාංග ප්‍රක්ෂේපණ ප්‍රදේශය පිළිබඳ ප්‍රමේයය අනුව අපට ලැබෙන්නේ:

ඒ හා සමානව, එහි තේරුම මේ අනුව, ට්‍රැපෙසොයිඩ් ප්‍රදේශය සෙවීම දක්වා කාර්යය අඩු විය ඒ බී සී ඩී... ට්‍රැපෙසොයිඩ් අඳින්න ඒ බී සී ඩීවෙන වෙනම (රූපය 22). ලක්ෂ්‍යය ඕ- trapezoid වල කොටා ඇති රවුමේ මැද.

පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන් කවයක් ට්‍රැපෙසොයිඩ් ග්‍රන්ථයකට ඇතුළත් කළ හැකි හෙයින්, අපට ඇත්තේ

මෙම පාඩමේදී අපි කැපූ පිරමීඩය දෙස බලා නිවැරදි ලෙස කැපූ පිරමීඩය දැන හඳුනා ගෙන ඒවායේ ගුණාංග අධ්‍යයනය කරමු.

ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක උදාහරණය භාවිතා කරමින් එන්-පාර්ශ්වික පිරමීඩයක් පිළිබඳ සංකල්පය සිහිපත් කරමු. ත්රිකෝණය ABC සකසා ඇත. ත්රිකෝණයේ තලයෙන් පිටත, P ලක්ෂ්යය ගෙන ත්රිකෝණයේ සිරස් අතට සම්බන්ධ වේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස බහු අවයව මතුපිට පිරමීඩයක් ලෙස හැඳින්වේ (රූපය 1).

සහල්. 1. ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩය

පිරමීඩ කඳවුරේ තලයට සමාන්තරව තලයකින් පිරමීඩය කපමු. මෙම ගුවන් යානා අතර ලබා ගත් රූපය හැඳින්වෙන්නේ කපන ලද පිරමීඩයක් ලෙස ය (රූපය 2).

සහල්. 2. කැපූ පිරමීඩය

ප්රධාන අංග:

ඉහළ පදනම;

ABC හි පහළ පදනම;

පැති මායිම;

PH යනු මුල් පිරමීඩයේ උස නම්, කැපූ පිරමීඩයේ උසද එයයි.

කැපූ පිරමීඩයක ගුණාංග එහි ඉදිකිරීම් ක්‍රමයෙන් අනුගමනය කෙරේ, එනම් මූලික ගුවන් යානා වල සමාන්තරකරණයෙනි:

කැපූ පිරමීඩයේ සියලුම පැති මුහුණු ට්‍රැපීසියම් ය. උදාහරණයක් ලෙස මුහුණුවරක් ගැන සලකා බලන්න. සමාන්තර තල වල දේපල වලට අනුව (ගුවන් යානා සමාන්තර බැවින් ඒවා මුල් ඒබීපී පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය මුහුණ සමාන්තර සරල රේඛා ඔස්සේ කපා), ඒ සමගම ඒවා සමාන්තර නොවේ. පැහැදිලිවම, හතරැස් කොටුව කැපූ පිරමීඩයේ සියලුම පැති මුහුණු මෙන් trapezoid වේ.

සියලුම trapezoids සඳහා මූලික අනුපාතය සමාන වේ:

සමාන සමාන සංගුණකය සහිත සමාන ත්‍රිකෝණ යුගල කිහිපයක් අප සතුව ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, ත්‍රිකෝණ සහ ආර්ඒවී සමාන වන්නේ ගුවන් යානා වල සමාන්තරතාවය සහ සමානකම් සංගුණකය නිසා ය:

ඒ සමගම, ත්රිකෝණ සහ ආර්බීසී සමානකම් සංගුණකය සමඟ සමාන ය:

සමාන ත්‍රිකෝණ යුගල තුනටම සමානතාවයේ සංගුණක සමාන බව පැහැදිලිය, එබැවින් පාදක වල අනුපාතය සියලුම ට්‍රැපෙසොයිඩ් සඳහා සමාන වේ.

නිතිපතා පිරමීඩයක් පාදයට සමාන්තරව තලයකින් කැපීමෙන් ලබාගත් කප්පාදු පිරමීඩයක් ලෙස සාමාන්‍ය කැපූ පිරමීඩයක් හැඳින්වේ (රූපය 3).

සහල්. 3. නිවැරදි කැපූ පිරමීඩය

අර්ථ දැක්වීම.

පිරමීඩයක් සාමාන්‍ය පිරමීඩයක් ලෙස හැඳින්වෙන අතර එහි පාමුල නිතිපතා එන්-ගොන් ඇති අතර, ශීර්ෂය මෙම එන්-ගොන් කේන්ද්‍රයට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ (සටහන් කර ඇති සහ වටකුරු කර ඇති කවයේ මධ්‍යය).

මෙම අවස්ථාවේ දී, පිරමීඩයේ පාමුල චතුරශ්‍රයක් පිහිටා ඇති අතර ඉහළ කොටස එහි විකර්ණ වල ඡේදනය වීමේ ස්ථානයට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ. ලබා ගත් සාමාන්‍ය චතුරස්රාකාර කැපූ පිරමීඩ ඒබීසීඩීයට පහළ පාදයක් සහ ඉහළ පාදයක් ඇත. මුල් පිරමීඩයේ උස - ආර්ඕ, කැපූ පිරමීඩය - (රූපය 4).

සහල්. 4. නිති හතරැස් කැපූ පිරමීඩය

අර්ථ දැක්වීම.

කැපූ පිරමීඩයේ උස යනු එක් පාදයක ඕනෑම ස්ථානයක සිට අනෙක් පාදයේ තලය දක්වා ඇද ගන්නා ලම්බකයකි.

මුල් පිරමීඩයේ එපෝතමය පීඑම් (එම් යනු ඒබී මැද), කප්පාදු කළ පිරමීඩයේ උත්පාතය (රූපය 4).

අර්ථ දැක්වීම.

කප්පාදු කරන ලද පිරමීඩයේ එපෝතමය ඕනෑම පැති මුහුණක උස වේ.

කැපූ පිරමීඩයේ සියලුම පාර්ශ්වීය දාර එකිනෙකට සමාන බව පැහැදිලි ය, එනම් පාර්ශ්වික දාර සමාන සම සමස්ථ trapezoids වේ.

නිතිපතා කප්පාදු කරන ලද පිරමීඩයක පාර්ශ්වික මතුපිට ප්‍රමාණය පාදක පරිමිතීන්ගේ අර්ධ ප්‍රමාණය සහ එපෝතමය නිෂ්පාදනයට සමාන වේ.

සාක්‍ෂිය (සාමාන්‍ය සෘජුකෝණාස්රාකාර කැපූ පිරමීඩයක් සඳහා - රූපය 4):

එබැවින්, ඔප්පු කිරීම අවශ්ය වේ:

මෙහි පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්‍රදේශය පාර්ශ්වීය මුහුණු වල ප්‍රදේශ එකතුවෙන් සමන්විත වේ - ට්‍රැපීසියම්. ට්‍රැපෙසොයිඩ් එක සමාන බැවින් අපට ඇත්තේ:

සමස්ථානික ට්‍රැපෙසොයිඩ් වල ප්‍රදේශය පදනම් වල අර්ධ එකතුවේ නිෂ්පාදිතයක් වන අතර උස යනු උපස්ථම්භකය ට්‍රැපෙසොයිඩ් වල උසයි. අපිට තියෙනවා:

Q.E.D.

ඒක පාර්ශවීය පිරමීඩයක් සඳහා:

පිරමීඩයේ පැති මුහුණු ගණන n වන විට අ, ආ යනු ට්‍රැපෙසොයිඩ් වල පාදය නම් අපෝතමය යි.

නිතිපතා කප්පාදු කරන ලද හතරැස් පිරමීඩයක පාදයේ පැති 3 cm ට සහ 9 cm ට සමාන වේ, උස - 4 cm. පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්‍රදේශය සොයා ගන්න.

සහල්. 5. ගැටලුව 1 සඳහා නිදර්ශනය

විසඳුමක්. අපි තත්වය නිදර්ශනය කරමු:

ලබා දුන්නේ: ,,

O ලක්ෂ්‍යය හරහා අපි පහළ පාදයේ දෙපැත්තට සමාන්තරව එම්එන් සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු, ඒ හා සමානව අපි ලක්ෂ්‍යයක් හරහා සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු (රූපය 6). කැපූ පිරමීඩයේ පාදවල හතරැස් හා ඉදිකිරීම් සමාන්තරව පිහිටා ඇති හෙයින්, පැති මුහුණුවලට සමාන ට්‍රැපෙසොයිඩ් අපට ලැබේ. එපමණක් නොව, එහි පාර්ශ්වික පැත්ත පැති මුහුණුවල ඉහළ සහ පහළ දාර මැද මැදින් ගමන් කරන අතර එය කැපූ පිරමීඩයේ උපස්ථම්භය වේ.

සහල්. 6. අතිරේක ඉදිකිරීම්

එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස trapezoid සලකා බලන්න (රූපය 6). මෙම ට්‍රැපෙසොයිඩ් හි ඉහළ පාදය, පහළ පාදය සහ උස දන්නා ය. ලබා දී ඇති කැපූ පිරමීඩයේ උපදෙස වන පැත්ත සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ. අපි එම්එන් වෙත ලම්බකව අඳිමු. අපි ලම්බක NQ ස්ථානයේ සිට පහළට යමු. විශාල පාදම සෙන්ටිමීටර තුනක () කොටස් වලට බෙදී ඇති බව අපට ලැබේ. සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්‍රිකෝණයක් සලකා බලන්න, එහි ඇති කකුල් දන්නා අතර මෙය ඊජිප්තු ත්‍රිකෝණයයි, පයිතගරස් ප්‍රමේයයට අනුව, අපි කල්පයේ දිග තීරණය කරමු: 5 සෙ.මී.

දැන් පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්‍රදේශය තීරණය කිරීම සඳහා සියලු අංග තිබේ:

පිරමීඩය හරස් වන්නේ පාදයට සමාන්තර තලයකිනි. ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක උදාහරණය උපයෝගී කරගනිමින් පිරමීඩයේ පැති දාර සහ උස සමානුපාතික කොටස් වලට මෙම තලය විසින් බෙදී ඇති බව ඔප්පු කරන්න.

සාක්ෂි. අපි නිදර්ශනය කරමු:

සහල්. 7. ගැටලුව 2 සඳහා නිදර්ශනය

RAVS පිරමීඩය සකසා ඇත. RO යනු පිරමීඩයේ උසයි. පිරමීඩය ගුවන් යානයකින් විසුරුවා හරින අතර, කැපූ පිරමීඩයක් ලබා ගනී, සහ. ලක්ෂ්‍යය - කැපූ පිරමීඩයේ පාදයේ තලය සමඟ ආර්ඕ උස ඡේදනය වීමේ ස්ථානය. එය ඔප්පු කිරීම අවශ්ය වේ:

විසඳුමේ යතුර නම් සමාන්තර තලයේ ගුණාංගයයි. සමාන්තර තල දෙකක් ඡේදනය වීමේ රේඛා සමාන්තර වන පරිදි ඕනෑම තුන්වන තලයක් කපා දමයි. එබැවින් :. අනුරූප සරල රේඛා වල සමාන්තරකරණයෙන් ඇඟවෙන්නේ සමාන ත්‍රිකෝණ යුගල හතරක් තිබීමයි:

ත්රිකෝණ වල සමානතාවයෙන් අනුරූප පැති වල සමානුපාතිකතාවය අනුගමනය කෙරේ. වැදගත් ලක්‍ෂණයක් නම් මෙම ත්‍රිකෝණ සඳහා සමානකම් සංගුණක සමාන වීමයි:

Q.E.D.

උස සහ පාදයේ දෙපැත්තක් සහිත සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩ ආර්ඒවීඑස් ඒබීසී පාදයට සමාන්තරව ආර්එන් උස මැදින් ගමන් කරන ගුවන් යානයකින් විච්ඡේදනය කෙරේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස කැපූ පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්‍රදේශය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්. අපි නිදර්ශනය කරමු:

සහල්. 8. ගැටලුව 3 සඳහා නිදර්ශනය

ඒසීබී යනු සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයකි, එච් යනු මෙම ත්‍රිකෝණයේ කේන්ද්‍රයයි (සටහන් කර ඇති සහ වටකුරු කර ඇති කව වල කේන්ද්‍රය). ආර්එම් යනු ලබා දී ඇති පිරමීඩයක අපෝතම් ය. - කැපූ පිරමීඩයේ එපොතම්. සමාන්තර තල වල දේපල වලට අනුව (ඡේදනය වීමේ රේඛා සමාන්තර වන පරිදි සමාන්තර තල දෙකක් ඕනෑම තුන්වන තලයක් කපා දමයි), සමාන සමාන සංගුණකයක් සහිත සමාන ත්‍රිකෝණ යුගල කිහිපයක් අප සතුව ඇත. විශේෂයෙන් අපි සම්බන්ධතාවය ගැන උනන්දු වෙමු:

අපි එන්එම් සොයා ගනිමු. පාදයේ කොටා ඇති කවයේ අරය මෙයයි, අනුරූප සූත්‍රය අපි දනිමු:

දැන්, පයිතගරස් ප්‍රමේයයට අනුව, -ජුකෝණ ත්‍රිකෝණයෙන් we අපට හමු වන්නේ РМ - මුල් පිරමීඩයේ උත්පාතය:

ආරම්භක අනුපාතයෙන්:

කැපූ පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්‍රදේශය සෙවීම සඳහා වන සියළුම අංගයන් දැන් අපි දනිමු:

එබැවින්, කැපූ පිරමීඩයක් සහ නිතිපතා කප්පාදු කරන ලද පිරමීඩයක් පිළිබඳ සංකල්ප අපි දැන හඳුනාගෙන මූලික අර්ථ දැක්වීම් ලබා දුන් අතර දේපල ලෙස සලකන අතර පාර්ශ්වික මතුපිට ප්‍රදේශයේ ප්‍රමේ‍යය ඔප්පු කළෙමු. ඊළඟ පාඩම ගැටලු විසඳීම ගැන ය.

ග්රන්ථ නාමාවලිය

1. අයි එම් ස්මිර්නෝවා, වීඒ ස්මිර්නොව්. ජ්යාමිතිය. 10-11 ශ්‍රේණි: අධ්‍යාපන ආයතන වල සිසුන් සඳහා මූලික පොතක් (මූලික හා පැතිකඩ මට්ටම්) / අයි එම් ස්මිර්නෝවා, වීඒ ස්මිර්නොව්. - 5 වන සංස්කරණය, පූජ්ය. සහ එකතු කරන්න. - එම්.: මෙනෙමොසිනා, 2008.-- 288 පි: අසනීප.
2. ෂරීජින් අයිඑෆ් ජ්‍යාමිතිය. 10-11 ශ්‍රේණිය: සාමාන්‍ය අධ්‍යාපන ආයතන සඳහා පෙළපොත / ෂරීජින් අයිඑෆ් - එම්: බුස්ටාර්ඩ්, 1999. - 208 පි.: අසනීප.
3. ඊ වී පොටොස්කෙව්, එල් අයි ස්වාලිච්. ජ්යාමිතිය. 10 ශ්‍රේණිය: ගණිතය පිළිබඳ ගැඹුරු හා විශේෂිත අධ්‍යනයක් සහිත අධ්‍යාපන ආයතන සඳහා පෙළපොත / ඊ. V. පොටොස්කෙව්, එල් අයි අයි ස්වාලිච්. - 6 වන සංස්කරණය, ඒකාකෘති. - එම්.: බුස්ටාර්ඩ්, 2008.-- 233 පි.: අසනීප.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

ගෙදර වැඩ