වඩාත් නිවැරදිව, “දකුණු කෝණ” ත්‍රිකෝණයේ නමෙන්ම, එහි එක් කෝණයක් අංශක 90 ක් බව පැහැදිලි වේ. සරල න්‍යායන් සහ ත්‍රිකෝණවල ගුණ සිහිපත් කිරීමෙන් ඉතිරි කෝණ සොයා ගත හැක.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• සයින් සහ කොසයින වගුව, බ්‍රැඩිස් වගුව

උපදෙස්

1. රූපයේ දැක්වෙන පරිදි A, B සහ C අක්ෂර සමඟ ත්රිකෝණයේ කෝණ සඳහන් කරමු. BAC කෝණය 90º ට සමාන වේ, අනෙක් කෝණ දෙක α සහ β අක්ෂර වලින් දැක්වේ. ත්‍රිකෝණයේ පාද a සහ b අක්ෂරවලින් ද, කර්ණය c අකුරින් ද දැක්වේ.

2. එවිට sinα = b/c, සහ cosα = a/c. ඒ හා සමානව ත්‍රිකෝණයේ දෙවන තීව්‍ර කෝණය සඳහා: sinβ = a/c, සහ cosβ = b/c. අපි දන්නා පැති අනුව, අපි සයින හෝ කෝසයින ගණනය කරමු. කෝණවල සහ අපි α සහ β අගය සඳහා Bradis වගුව දෙස බලමු.

3. එක් කෝණයක් සොයා ගැනීමෙන් පසුව, ත්රිකෝණයක අභ්යන්තර කෝණවල එකතුව 180º බව සිහිපත් කිරීමට අවසර ඇත. මෙයින් අදහස් වන්නේ α සහ β එකතුව 180º - 90º = 90º ට සමාන වන බවයි. ඉන්පසුව, වගු වලින් α සඳහා අගය ගණනය කිරීමෙන් පසු, අපට පහත සූත්‍රය භාවිතා කර β සොයා ගත හැක: β = 90º - α

4. ත්‍රිකෝණයේ එක් පැත්තක් නුහුරු නම්, අපි පයිතගරස් ප්‍රමේයය යොදන්නෙමු: a² + b² = c². අපි එයින් අනෙක් දෙක හරහා නුහුරු පැත්තක් සඳහා ප්‍රකාශනයක් ලබාගෙන එය එක් කෝණයක සයින් හෝ කෝසයිනය සොයා ගැනීමේ සූත්‍රයට ආදේශ කරමු.

ඉඟිය 2: සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්‍රිකෝණයක කර්ණය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

කර්ණය යනු සෘජුකෝණ ත්‍රිකෝණයක සෘජු කෝණයට ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්තයි. කර්ණය යනු සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්‍රිකෝණයක දිගම පැත්තයි. සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක ඉතිරි පැති කකුල් ලෙස හැඳින්වේ.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• ජ්යාමිතිය පිළිබඳ මූලික දැනුම.

උපදෙස්

1. උපකල්පිතයේ දිග වර්ග පාදවල වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ. එනම්, කර්ණය දිගේ වර්ග සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ කකුල් වල දිග වර්ග කර එකතු කළ යුතුය.

2. උපකල්පිතයේ දිග එහි දිගේ වර්ග මූලයට සමාන වේ. එහි දිග සොයා ගැනීම සඳහා, අපි පාදවල වර්ගවල එකතුවට සමාන සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය උපුටා ගනිමු. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සංඛ්‍යාව උපකල්පිතයේ දිග වේ.

සම්බන්ධ වීඩියෝ දර්ශන

සටහන!
උපකල්පිතයේ දිග නිවැරදියි, එබැවින් මූල නිස්සාරණය කිරීමේදී රැඩිකල් ප්‍රකාශනය ශුන්‍යයට වඩා විශාල විය යුතුය.

ප්රයෝජනවත් උපදෙස්
සමද්වීපක සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්‍රිකෝණයක, කර්ණය දිග ගණනය කළ හැක්කේ පාදය 2 හි මූලයෙන් ගුණ කිරීමෙනි.

ඉඟිය 3: සෘජුකෝණාස්‍රයක තියුණු කෝණයක් හඳුනා ගන්නේ කෙසේද

කෙලින්ම කාබොනික්ත්රිකෝණය ඓතිහාසික දෘෂ්ටි කෝණයකින් වඩාත් ප්රසිද්ධ ජ්යාමිතික රූපවලින් එකකි. පයිතගරස් "කලිසම්" තරඟ කළ හැක්කේ "යුරේකා!" ආකිමිඩීස්.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• - ත්රිකෝණයක් ඇඳීම;
• - පාලකයා;
• - protractor.

උපදෙස්

1. සාමාන්‍ය පරිදි, ත්‍රිකෝණයක කොන් වල සිරස් කැපිටල් ලතින් අකුරුවලින් (A, B, C) සහ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති කුඩා ලතින් අකුරුවලින් (a, b, c) හෝ සෑදෙන ත්‍රිකෝණ සිරස්වල නම්වලින් දැක්වේ. මෙම පැත්ත (AC, BC, AB).

2. ත්රිකෝණයක කෝණවල එකතුව අංශක 180 කි. සෘජුකෝණාස්රයක ත්රිකෝණයඑක් කෝණයක් (දකුණ) නොවෙනස්ව අංශක 90 ක් වන අතර ඉතිරිය තියුණු වනු ඇත, i.e. සියල්ල අංශක 90 ට වඩා අඩුය. සෘජුකෝණාස්රාකාරයේ කුමන කෝණය තීරණය කිරීම සඳහා ත්රිකෝණයසෘජු වේ, පාලකයෙකුගේ උපකාරයෙන් ත්රිකෝණයේ පැති මැනීම සහ විශාලතම තීරණය කරන්න. එය කර්ණය (AB) ලෙස හැඳින්වෙන අතර එය සෘජු කෝණයට (C) ප්රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇත. ඉතිරි පැති දෙක සෘජු කෝණයක් සාදන අතර ඒවා කකුල් (AC, BC) ලෙස හැඳින්වේ.

3. ඔබ තියුණු කෝණය තීරණය කළ පසු, ඔබට ප්‍රෝටේටරයකින් කෝණය මැනිය හැකිය, නැතහොත් ගණිතමය සූත්‍රවල සහාය ඇතිව ගණනය කළ හැකිය.

4. ප්‍රොටැක්ටරයේ ආධාරකයෙන් කෝණයේ අගය තීරණය කිරීම සඳහා, ප්‍රොටැක්ටරයේ මධ්‍යයේ ඇති පාලකය මත විශේෂ සලකුණක් සමඟ එහි මුදුන (A අකුරින් දක්වා ඇත) පෙළගස්වන්න, AC කකුල එහි ඉහළ දාරය සමඟ සමපාත විය යුතුය. ප්‍රොටේටරයේ අර්ධ වෘත්තාකාර කොටසෙහි AB උපකල්පනය ගමන් කරන ලක්ෂ්‍යය සලකුණු කරන්න. මෙම ස්ථානයේ ඇති අගය අංශකවල කෝණ අගයට අනුරූප වේ. ප්‍රෝටේටරය මත අගයන් 2 ක් දක්වා ඇත්නම්, උග්‍ර කෝණයක් සඳහා කුඩා එකක් තෝරා ගැනීම අවශ්‍ය වේ, මොට එකක් සඳහා - විශාල එකක්.

6. බ්‍රැඩිස් සමුද්දේශ වගු වල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අගය සොයාගෙන එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සංඛ්‍යාත්මක අගය කුමන කෝණයට අනුරූප වේද යන්න තීරණය කරන්න. අපේ ආච්චි මේ ක්රමය භාවිතා කළා.

7. වර්තමානයේ, ත්රිකෝණමිතික සූත්ර ගණනය කිරීම සඳහා ශ්රිතයක් සහිත කැල්ක්යුලේටරයක් ​​ගැනීම ප්රමාණවත්ය. අපි කියමු බිල්ට් වින්ඩෝස් කැල්කියුලේටරය. "කැල්කියුලේටරය" යෙදුම දියත් කරන්න, "දර්ශනය" මෙනු අයිතමයේ, "ඉංජිනේරු" අයිතමය තෝරන්න. අපේක්ෂිත කෝණයේ සයින් ගණනය කරන්න, sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0.5 කියන්න

8. කැල්කියුලේටරය සංදර්ශකයේ ඇති INV බොත්තම මත ක්ලික් කිරීමෙන් කැල්කියුලේටරය ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාකාරී ප්‍රකාරයට මාරු කරන්න, ඉන්පසු චාප ශ්‍රිතය ගණනය කිරීම සඳහා බොත්තම මත ක්ලික් කරන්න (දර්ශණයේ ඍණ එක් අංශකයට sin ලෙස සලකුණු කර ඇත). ගණනය කිරීමේ කවුළුවෙහි තවත් ශිලා ලිපියක් දිස්වනු ඇත: asind (0.5) = 30. එනම්, අපේක්ෂිත කෝණයෙහි අගය අංශක 30 කි.

ඉඟිය 4: ත්රිකෝණයක නොදන්නා පැත්ත සොයා ගන්නේ කෙසේද

ත්රිකෝණයක නොදන්නා පැත්ත ගණනය කිරීමේ ක්රමය පැවරුමේ කොන්දේසි මත පමණක් නොව, එය සිදු කරන්නේ කුමක් ද යන්න මත රඳා පවතී. සමාන කාර්යයක් ජ්‍යාමිතික පාඩම් වල පාසල් සිසුන් පමණක් නොව, විවිධ කර්මාන්තවල සේවය කරන ඉංජිනේරුවන්, අභ්‍යන්තර මෝස්තරකරුවන්, කපනයන් සහ වෙනත් බොහෝ වෘත්තීන්හි නියෝජිතයින් ද මුහුණ දෙයි. විවිධ අරමුණු සඳහා ගණනය කිරීම් වල නිරවද්යතාව වෙනස් විය හැකිය, නමුත් ඔවුන්ගේ රීතිය පාසල් ගැටළු පොතේ මෙන් ම පවතී.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• - ලබා දී ඇති පරාමිතීන් සහිත ත්රිකෝණයක්;
• - කැල්ක්යුලේටරය;
• - පෑන;
• - පැන්සල්;
• - ප්රෝටෙක්ටර්;
• - කඩදාසි;
• - AutoCAD මෘදුකාංගයක් සහිත පරිගණකයක්;
• - සයින් සහ කෝසයින් පිළිබඳ සිද්ධාන්ත.

උපදෙස්

1. කාර්යයේ කොන්දේසි වලට අනුරූප වන ත්රිකෝණයක් අඳින්න. ත්රිකෝණයක් පැති තුනක්, පැති දෙකක් සහ ඒවා අතර කෝණයක් හෝ පැත්තක් සහ යාබද කෝණ දෙකක් ගොඩනගා ගත හැකිය. AutoCAD වැඩසටහනේ සටහන් පොතක සහ පරිගණකයක වැඩ කිරීමේ නිබන්ධනය මේ සම්බන්ධයෙන් සමාන වේ. එබැවින් කාර්යයේ දී පැති එකක් හෝ 2 ක් සහ කොන් එකක් හෝ 2 ක මානයන් දැක්වීමට දැඩි ලෙස අවශ්ය වේ.

2. පැති දෙකක් සහ කෝණයක් ගොඩනඟන විට, ඊයම් පැත්තට සමාන පත්රයේ කොටසක් අඳින්න. ප්රෝටේටරයේ ආධාරය ඇතිව, මෙම කෙළවර පසෙකට දමා තත්පරයක් අඳින්න පැත්ත, කොන්දේසියේ දී ඇති ප්රමාණය කල් දැමීම. ඔබට එක් පැත්තක් සහ ඊට යාබදව කොන් දෙකක් ලබා දෙන්නේ නම්, පළමුව අඳින්න පැත්ත, පසුව ප්රතිඵලය වන කොටසෙහි 2 කෙළවරේ සිට, කොන් පසෙකට දමා අනෙක් පැති දෙක අඳින්න. ත්‍රිකෝණය ABC ලෙස ලේබල් කරන්න.

3. AutoCAD වැඩසටහනේදී, Segment මෙවලම ආධාරයෙන් වැරදි ත්‍රිකෝණයක් තැනීම සෑම කෙනෙකුටම වඩාත් පහසු වේ. ඔබ එය ප්‍රධාන පටිත්ත හරහා සොයා ගනු ඇත, චිත්‍ර කවුළුවට කැමති වේ. ඔබ දන්නා පැත්තේ ඛණ්ඩාංක සකසන්න, ඊට පසු - දෙවන ලබා දී ඇති කොටසේ අවසාන ලක්ෂ්‍යය.

4. ත්රිකෝණයේ වර්ගය තීරණය කරන්න. එය සෘජුකෝණාස්රාකාර නම්, නුහුරු නුපුරුදු පැත්ත ගණනය කරනු ලබන්නේ පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කරමිනි. කර්ණය පාදවල වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලයට සමාන වේ, එනම් c=?a2+b2. ඒ අනුව, ඔවුන්ගේ සෑම පාදයක්ම කර්ණය සහ සුප්‍රසිද්ධ පාදය අතර වෙනසෙහි වර්ගමූලයට සමාන වනු ඇත: a=?c2-b2.

5. ත්‍රිකෝණයක නොදන්නා පැත්තක් ලබා දී ඇති පැත්තක් සහ ඇතුළත් කෝණ දෙකක් ගණනය කිරීමට, සයින් ප්‍රමේයය භාවිතා කරන්න. A පැත්ත පාපයට සම්බන්ධද?, b පැත්ත පාපයටද?. ? හා? මෙම අවස්ථාවේ දී, ප්රතිවිරුද්ධ කෝණ. ත්‍රිකෝණයක අභ්‍යන්තර කෝණවල එකතුව 180°ක් බව මතක තබා ගැනීමෙන් ගැටලුවේ කොන්දේසි මගින් ලබා නොදෙන කෝණයක් සොයාගත හැකිය. එයින් ඔබ දන්නා කෝණ 2 හි එකතුව අඩු කරන්න. සොයා ගන්න නොදන්නාඔයාට පැත්ත b, සාමාන්‍ය ක්‍රමයට සමානුපාතිකය විසඳීම, එනම් ප්‍රසිද්ධ ගුණ කිරීමෙන් පැත්තසහ පාපය මත? සහ මෙම නිෂ්පාදනය පාපයෙන් බෙදීමද?. ඔබට b=a* sin?/sin? යන සූත්‍රය ලැබේ.

6. ඔබ a සහ b පැති සහ කෝණය සඳහා ප්රසිද්ධ නම්? ඔවුන් අතර, කොසයින් නීතිය භාවිතා කරන්න. නුහුරු පැත්ත c අනෙක් පැති 2 හි වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලයට සමාන වනු ඇත, මෙම පැතිවල ගුණිතයෙන් දෙගුණයක් අඩු කර, ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනයෙන් ගුණ කරනු ලැබේ. එනම් c=?a2+b2-2ab*cos?.

සම්බන්ධ වීඩියෝ දර්ශන

ඉඟිය 5: සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක කෝණය ගණනය කරන්නේ කෙසේද

කෙලින්ම කාබොනික්ත්‍රිකෝණයක් උග්‍ර කෝණ දෙකකින් සමන්විත වන අතර එහි අගය පැතිවල දිග මෙන්ම 90 of ක නියත අගයක එක් කෝණයක් මත රඳා පවතී. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත හෝ යුක්ලීඩීය අවකාශයේ ත්‍රිකෝණයක සිරස්වල ඇති කෝණවල එකතුව මත ඇති ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් අංශක වලින් උග්‍ර කෝණයක ප්‍රමාණය ගණනය කළ හැක.

උපදෙස්

1. ත්‍රිකෝණයක පැතිවල මානයන් පමණක් ගැටලුවේ තත්ත්‍වයේ දී ලබා දී ඇත්නම් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත භාවිතා කරන්න. අපි කියමු, කකුල් 2 ක දිග (කෙටි පැති සෘජු කෝණයට යාබදව) අනුව, තියුණු කෝණ 2 න් ඕනෑම එකක් ගණනය කළ හැකිය. A කකුලට යාබදව ඇති එම කෝණයෙහි ස්පර්ශකය (?), ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්තේ (පාදය B) දිග A: tg (?) = B / A යන පැත්තේ දිගෙන් බෙදීමෙන් සොයාගත හැකිය. තවද ස්පර්ශකය දැන ගැනීමෙන්, අනුරූප කෝණ අගය අංශක වලින් ගණනය කළ හැකිය. මේ සඳහා, arctangent ශ්රිතය සකස් කර ඇත: ? = arctg(tg(?)) = arctg(B/A).

2. එකම සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, ප්‍රතිවිරුද්ධ පාදයේ ඇති තවත් උග්‍ර කෝණයක අගය හඳුනාගත හැකිය A. පැතිවල තනතුරු ප්‍රාථමික ලෙස වෙනස් කරන්න. නමුත් තවත් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත යුගලයක ආධාරයෙන් මෙය අනෙක් අතට සිදු කළ හැකිය - කෝටැන්ජන්ට් සහ චාප කෝටැන්ජන්ට්. b කෝණයේ කෝටැන්ජන්ට් තීරණය වන්නේ යාබද පාදයේ දිග A ප්‍රතිවිරුද්ධ පාදයේ දිග B: tg(?) = A/B මගින් බෙදීමෙනි. චාප ස්පර්ශකය අංශක වලින් කෝණයේ ලබාගත් අගයෙන් උපුටා ගැනීමට උපකාරී වේ: ? = arcctg(ctg(?)) = arcctg(A/B).

3. ආරම්භක තත්වයන් තුළ එක් පාදයක දිග (A) සහ කර්ණය (C) ලබා දී ඇත්නම්, කෝණ ගණනය කිරීම සඳහා, සයින් සහ කොසයින් වලට ප්‍රතිලෝම වන ශ්‍රිත භාවිතා කරන්න - ආර්ක්සීන් සහ ආර්කෝසීන්. උග්‍ර කෝණයක සයින් ද? එය ප්‍රතිවිරුද්ධ පාදයේ B හි දිග අනුපාතයට සමාන වේ C: sin (?) \u003d B / C. එබැවින්, මෙම කෝණයේ අගය අංශක වලින් ගණනය කිරීම සඳහා, පහත සූත්රය භාවිතා කරන්න: = arcsin(V/C).

4. කෝණයක කෝසයිනයේ අගය කොපමණද? ත්‍රිකෝණයේ මෙම ශීර්ෂයට යාබදව ඇති කකුලේ දිග අනුපාතය අනුව තීරණය වේ A කර්ණය C දිගට. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අංශක වලින් කෝණය ගණනය කිරීම සඳහා පෙර සූත්‍රය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, ඔබ පහත සඳහන් දෑ යෙදිය යුතු බවයි. සමීකරණය: = ආර්කෝස් (A/C).

5. ත්‍රිකෝණයක කෝණවල එකතුව මත ඇති ප්‍රමේයය ගැටලුවේ තත්ත්‍වයේ දී එක් උග්‍ර කෝණයක අගය ලබා දෙන්නේ නම් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත භාවිතා කිරීම නුසුදුසු වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, නොදන්නා කෝණය (?) ගණනය කිරීම සඳහා, දන්නා කෝණ 2 ක අගයන් 180 ° සිට පහසුවෙන් අඩු කරන්න - දකුණ (90 °) සහ උග්ර (?): = 180° – 90° – ? = 90° -?.

සටහන!
උස h මගින් ABC ත්‍රිකෝණය එයට සමාන සෘජුකෝණාකාර ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදේ. මෙහි කොන් තුනක ත්‍රිකෝණවල සමානත්වයේ ලකුණ ක්‍රියාත්මක වේ.

ත්‍රිකෝණයක් යනු මෙම ලක්ෂ්‍ය යුගල වශයෙන් සම්බන්ධ කරන ලක්ෂ්‍ය තුනකින් සහ රේඛා කොටස් තුනකින් තලයක මායිම් වූ ප්‍රාථමික බහුඅස්‍රයකි. ත්‍රිකෝණයක කෝණ උග්‍ර, නොපැහැදිලි සහ දකුණට වේ. ත්රිකෝණයක කෝණවල එකතුව අඛණ්ඩ වන අතර අංශක 180 ට සමාන වේ.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• ජ්යාමිතිය සහ ත්රිකෝණමිතිය පිළිබඳ මූලික දැනුම.

උපදෙස්

1. අපි a=2, b=3, c=4 යන ත්‍රිකෝණයේ පැතිවල දිග සහ එහි එක් පැත්තක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්තේ පිහිටා ඇති u, v, w යන කෝණ සඳහන් කරමු. කොසයින නීතියට අනුව, ත්‍රිකෝණයක පැත්තක දිග වර්ග අනෙක් පැති 2 හි දිග වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ, ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනය මගින් මෙම පැතිවල ගුණිතයෙන් දෙගුණයක් අඩු වේ. එනම් a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(u). අපි මෙම ප්‍රකාශනයට පැතිවල දිග ආදේශ කර ලබා ගනිමු: 4 \u003d 9 + 16 - 24cos (u).

2. ලබාගත් සමානාත්මතාවයෙන් cos(u) ප්‍රකාශ කරමු. අපට පහත දේ ලැබේ: cos(u) = 7/8. ඊළඟට, අපි සැබෑ කෝණය u සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි ආර්කෝස් (7/8) ගණනය කරමු. එනම්, කෝණය u = arccos(7/8).

3. ඒ හා සමානව, ඉතිරි කොටස අනුව අනෙක් පැති ප්රකාශ කිරීම, අපි ඉතිරි කෝණ සොයා ගනිමු.

සටහන!
එක් කෝණයක අගය අංශක 180 නොඉක්මවිය යුතුය. arccos() ලකුණෙහි 1 ට වඩා විශාල සහ -1 ට වඩා කුඩා සංඛ්‍යාවක් අඩංගු විය නොහැක.

ප්රයෝජනවත් උපදෙස්
කෝණ තුනම හඳුනා ගැනීම සඳහා, පැති තුනම ප්‍රකාශ කිරීම අවශ්‍ය නොවේ, එයට කෝණ 2 ක් පමණක් හඳුනා ගැනීමට ඉඩ දී ඇති අතර, ඉතිරි 2 හි අගයන් අංශක 180 කින් අඩු කිරීමෙන් 3 වන එක ලබා ගත හැකිය. මෙය ත්‍රිකෝණයක සියලුම කෝණවල එකතුව අඛණ්ඩ වන අතර අංශක 180 ට සමාන වේ.

මාර්ගගත ගණක යන්ත්‍රය.
ත්රිකෝණවල විසඳුම.

ත්‍රිකෝණයක විසඳුම යනු එහි මූලද්‍රව්‍ය හයම (එනම් පැති තුනක් සහ කෝණ තුනක්) ත්‍රිකෝණය නිර්වචනය කරන ඕනෑම මූලද්‍රව්‍ය තුනකින් සොයා ගැනීමයි.

මෙම ගණිත වැඩසටහන මඟින් පරිශීලක-නිශ්චිත පැත්ත \(a \) සහ යාබද කෝණ දෙකක් \(\beta \) සහ \(\gamma \) ලබා දී ඇති පැති \(b, c\), සහ \(\alpha \) කෝණය සොයා ගනී )

වැඩසටහන ගැටළුවට පිළිතුර ලබා දෙනවා පමණක් නොව, විසඳුමක් සෙවීමේ ක්රියාවලිය ද පෙන්වයි.

මෙම මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය උසස් පාසල් සිසුන්ට පරීක්ෂණ සහ විභාග සඳහා සූදානම් වීමේදී, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයට පෙර දැනුම පරීක්ෂා කිරීමේදී සහ ගණිතයේ සහ වීජ ගණිතයේ බොහෝ ගැටලු විසඳීමට දෙමාපියන්ට ප්‍රයෝජනවත් විය හැකිය. එසේත් නැතිනම් ඔබට උපදේශකයෙකු කුලියට ගැනීම හෝ නව පෙළපොත් මිලදී ගැනීම මිල අධිකද? එසේත් නැතිනම් ඔබට හැකි ඉක්මනින් ඔබේ ගණිතය හෝ වීජ ගණිතය ගෙදර වැඩ කිරීමට අවශ්‍යද? මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ අපගේ වැඩසටහන් භාවිතා කළ හැකිය.

මේ ආකාරයෙන්, විසඳිය යුතු කාර්යයන් ක්ෂේත්‍රයේ අධ්‍යාපන මට්ටම වැඩි වන අතරම, ඔබට ඔබේම පුහුණුව සහ/හෝ ඔබේ බාල සහෝදර සහෝදරියන්ගේ පුහුණුව පැවැත්විය හැකිය.

ඔබ අංක ඇතුළත් කිරීමේ නීති ගැන හුරුපුරුදු නොවේ නම්, ඔබ ඔවුන් සමඟ හුරුපුරුදු වන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු.

අංක ඇතුළත් කිරීම සඳහා නීති

සංඛ්‍යා සම්පූර්ණයෙන් පමණක් නොව භාගික වශයෙන්ද සැකසිය හැක.
දශම භාගවල පූර්ණ සංඛ්‍යා සහ භාගික කොටස් තිතකින් හෝ කොමාවකින් වෙන් කළ හැක.
උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට 2.5 හෝ 2.5 වැනි දශම ඇතුළත් කළ හැකිය

මෙම කාර්යය විසඳීමට අවශ්‍ය සමහර ස්ක්‍රිප්ට් පටවා නොමැති බව සොයා ගන්නා ලද අතර, වැඩසටහන ක්‍රියා නොකරනු ඇත.
ඔබට AdBlock සක්‍රීය කර තිබිය හැක.
මෙම අවස්ථාවේදී, එය අක්රිය කර පිටුව නැවුම් කරන්න.

නිසා ප්‍රශ්නය විසඳන්න ඕන ගොඩක් අය ඉන්නවා, ඔයාගේ ඉල්ලීම පෝලිමේ.
තත්පර කිහිපයකට පසු, විසඳුම පහත දිස්වනු ඇත.
කරුණාකර රැඳී සිටින්න තත්පර...

ඔබ නම් විසඳුමේ දෝෂයක් දක්නට ලැබුණි, එවිට ඔබට ඒ ගැන ප්‍රතිපෝෂණ පෝරමයේ ලිවිය හැක.
අමතක කරන්න එපා කුමන කාර්යයද යන්න දක්වන්නඔබ තීරණය කරන්න ක්ෂේත්ර තුළට ඇතුල් කරන්න.

අපගේ ක්‍රීඩා, ප්‍රහේලිකා, ඉමුලේටර්:

න්‍යාය ටිකක්.

සයින් ප්‍රමේයය

ප්රමේයය

ත්‍රිකෝණයක පැති ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණවල සයිනවලට සමානුපාතික වේ:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

කොසයින් ප්රමේයය

ප්රමේයය
ABC AB = c, BC = a, CA = b ත්‍රිකෝණයට ඉඩ දෙන්න. ඉන්පසු
ත්‍රිකෝණයක පැත්තක චතුරස්‍රය අනෙක් පැති දෙකේ වර්ගවල එකතුවට සමාන වන්නේ එම පැතිවල ගුණිතයෙන් දෙගුණයක් ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනය මෙන් දෙගුණයකි.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

ත්රිකෝණ විසඳීම

ත්‍රිකෝණයක විසඳුම යනු එහි මූලද්‍රව්‍ය හයම (එනම් පැති තුනක් සහ කෝණ තුනක්) ත්‍රිකෝණය නිර්වචනය කරන ඕනෑම මූලද්‍රව්‍ය තුනකින් සොයා ගැනීමයි.

ත්රිකෝණයක් විසඳීම සඳහා ගැටළු තුනක් සලකා බලන්න. මෙම අවස්ථාවේදී, අපි ABC ත්‍රිකෝණයේ පැති සඳහා පහත සඳහන් අංකනය භාවිතා කරමු: AB = c, BC = a, CA = b.

පැති දෙකක් සහ ඒවා අතර කෝණයක් ලබා දී ඇති ත්රිකෝණයක විසඳුම

ලබා දී ඇත: \(a, b, \angle C \). සොයන්න \(c, \angle A, \angle B \)

විසඳුමක්
1. කොසයින නීතිය අනුව අපි \(c\):

3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

පැත්තක් සහ යාබද කෝණ ලබා දී ඇති ත්රිකෝණයක විසඳුම

ලබා දී ඇත: \(a, \angle B, \angle C \). සොයන්න \(\කෝණය A, b, c \)

විසඳුමක්
1. \(\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)

පැති තුනක් සහිත ත්රිකෝණයක් විසඳීම

ලබා දී ඇත: \(a, b, c\). සොයන්න \(\කෝණය A, \angle B, \angle C \)

විසඳුමක්
1. කොසයින් ප්‍රමේයය අනුව, අපට ලැබෙන්නේ:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. ඒ හා සමානව, අපි B කෝණය සොයා ගනිමු.
3. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

පැති දෙකක් සහ දන්නා පැත්තකට විරුද්ධ කෝණයක් ලබා දී ඇති ත්‍රිකෝණයක් විසඳීම

ලබා දී ඇත: \(a, b, \angle A \). සොයන්න \(c, \angle B, \angle C \)

විසඳුමක්
1. සයින් ප්‍රමේයය මගින් අපි \(\sin B \) සොයා ගනිමු:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). D අංකය මත පදනම්ව, පහත සඳහන් අවස්ථා විය හැකිය:
D > 1 නම්, එවැනි ත්රිකෝණයක් නොපවතියි, මන්ද \(\sin B \) 1 ට වඩා වැඩි විය නොහැක
D = 1 නම්, අනන්‍ය \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
D නම් D නම් 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. සයින් ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින්, අපි c පැත්ත ගණනය කරමු:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

පැති දිග (a, b, c) දන්නා නම්, කොසයින් ප්‍රමේයය භාවිතා කරන්න. ඕනෑම පැතිවල දිග වර්ග අනෙක් දෙපැත්තේ දිග වර්ගවල එකතුවට සමාන බව ඇය ප්‍රකාශ කරයි, එයින් එම පැති දෙකේ දිගෙහි ද්විත්ව ගුණය සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනය අඩු කරනු ලැබේ. ඕනෑම සිරස් එකක කෝණය ගණනය කිරීමට ඔබට මෙම ප්‍රමේයය භාවිතා කළ හැකිය, පැතිවලට සාපේක්ෂව එහි පිහිටීම පමණක් දැන ගැනීම වැදගත්ය. උදාහරණයක් ලෙස, b සහ c පැති අතර ඇති කෝණය සොයා ගැනීමට, ප්‍රමේයය පහත පරිදි ලිවිය යුතුය: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

සූත්‍රයෙන් අපේක්ෂිත කෝණයේ කෝසයිනය ප්‍රකාශ කරන්න: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). සමීකරණයේ කොටස් දෙකටම ප්‍රතිලෝම කෝසයින් ශ්‍රිතය යොදන්න - චාප කෝසයින්. එය කෝසයිනයේ අගය අනුව අංශක වලින් කෝණයේ අගය ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). වම් පැත්ත සරල කළ හැකි අතර b සහ c පැති අතර කෝණය ගණනය කිරීම අවසාන ස්වරූපය ගනී: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක තියුණු කෝණවල විශාලත්වය සොයා ගැනීමේදී, සියලු පැතිවල දිග දැන ගැනීම අවශ්ය නොවේ, ඒවායින් දෙකක් ප්රමාණවත්ය. මෙම පැති දෙක කකුල් (a සහ b) නම්, අපේක්ෂිත කෝණයට (α) විරුද්ධ පැත්තේ ඇති දිග අනෙක් දිගෙන් බෙදන්න. එබැවින් ඔබට අපේක්ෂිත කෝණයෙහි ස්පර්ශක අගය ලබා ගනී tg (α) = a / b, සහ ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතය - චාප ස්පර්ශකය සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකටම යෙදීම - සහ සරල කිරීම, පෙර පියවරේදී මෙන්, වම් පැත්ත, ව්‍යුත්පන්න වේ. අවසාන සූත්රය: α = arctg (a / b ).

දන්නා පැති කකුල (a) සහ කර්ණය (c) නම්, මෙම පැතිවලින් සාදන ලද කෝණය (β) ගණනය කිරීම සඳහා, කෝසයින් ශ්රිතය සහ එහි ප්රතිලෝම - චාප කෝසයින් භාවිතා කරන්න. කොසයිනය තීරණය වන්නේ පාදයේ දිග කර්ණයට අනුපාතය අනුව වන අතර අවසාන සූත්‍රය පහත පරිදි ලිවිය හැක: β = arccos(a/c). දන්නා පාදයට ප්‍රතිවිරුද්ධව ඇති එකම ආරම්භක තියුණු කෝණය (α) ගණනය කිරීම සඳහා, එම අනුපාතයම භාවිතා කරන්න, ආර්කෝසීන් ආක්සීන් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න: α = arcsin(a/c).

මූලාශ්‍ර:

• පැති 2ක් සහිත ත්‍රිකෝණ සූත්‍රය

ඉඟිය 2: ත්‍රිකෝණයක කෝණ එහි පැතිවල දිග අනුව සොයා ගන්නේ කෙසේද

ත්‍රිකෝණයක ඇති කෝණ තුනේ දිග දන්නේ නම් එහි ඇති සියලුම කෝණවල අගයන් සොයා ගැනීමට විකල්ප කිහිපයක් තිබේ. පාර්ශවයන්. එක් ක්‍රමයක් නම් විවිධ ප්‍රදේශ සූත්‍ර දෙකක් භාවිතා කිරීමයි ත්රිකෝණය. ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සඳහා, ඔබට කෝණවල එකතුව මත සයින් ප්‍රමේයය සහ ප්‍රමේයය ද යෙදිය හැකිය. ත්රිකෝණය.

උපදෙස්

උදාහරණයක් ලෙස, ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්ර දෙකක් භාවිතා කරන්න ත්රිකෝණය, ඉන් එකකට සම්බන්ධ වන්නේ ඔහු දන්නා තිදෙනෙකු පමණි පාර්ශවයන් s (Gerona), සහ අනෙක් - දෙකක් පාර්ශවයන් s සහ ඒවා අතර කෝණයේ සයින්. දෙවන සූත්‍රයේ විවිධ යුගල භාවිතා කිරීම පාර්ශවයන්, ඔබට එක් එක් කෝණවල විශාලත්වය තීරණය කළ හැකිය ත්රිකෝණය.

ගැටළුව සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් විසඳන්න. හෙරොන්ගේ සූත්රය ප්රදේශය තීරණය කරයි ත්රිකෝණය, අර්ධ පරිමිතියේ ගුණිතයේ වර්ගමූලය ලෙස (සියල්ලෙන් අඩක් පාර්ශවයන්) අර්ධ පරිමිතිය සහ එක් එක් අතර වෙනස මත පාර්ශවයන්. අපි එකතුව ආදේශ කළොත් පාර්ශවයන්, එවිට සූත්‍රය පහත පරිදි ලිවිය හැක: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C වෙනත් පාර්ශවයන්ගේ ප්රදේශය ත්රිකෝණයඑහි දෙකෙහි ගුණිතයෙන් අඩක් ලෙස දැක්විය හැක පාර්ශවයන්ඔවුන් අතර කෝණයේ සයින් විසින්. උදාහරණයක් ලෙස, සඳහා පාර්ශවයන් a සහ b අතර කෝණයක් සහිත γ, මෙම සූත්‍රය පහත පරිදි ලිවිය හැක: S=a∗b∗sin(γ). සමීකරණයේ වම් පැත්ත හෙරොන්ගේ සූත්‍රය සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). මෙම සමීකරණයෙන් සූත්‍රය ලබා ගන්න

සෑම කොනකම පාහේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් යථාර්ථයේ දක්නට ලැබේ. මෙම රූපයේ ගුණාංග පිළිබඳ දැනුම මෙන්ම එහි ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ හැකියාව, ජ්යාමිතියෙහි ගැටළු විසඳීම සඳහා පමණක් නොව, ජීවන තත්වයන් තුළද ඔබට ප්රයෝජනවත් වනු ඇත.

ත්රිකෝණ ජ්යාමිතිය

ප්‍රාථමික ජ්‍යාමිතියේදී, සෘජුකෝණාස්‍රය යනු කෝණ තුනක් (උග්‍ර සහ එක් සෘජු) සෑදෙන සම්බන්ධිත කොටස් තුනකින් සමන්විත රූපයකි. සෘජුකෝණාස්‍ර ත්‍රිකෝණයක් යනු ත්‍රිකෝණමිතියේ පදනම වන වැදගත් ගුණාංග ගණනාවකින් සංලක්ෂිත මුල් රූපයකි. සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක් මෙන් නොව, සෘජුකෝණාස්‍රාකාර රූපයක පැතිවලට ඔවුන්ගේම නම් ඇත:

• කර්ණය යනු ත්‍රිකෝණයක සෘජු කෝණයට ප්‍රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇති දිගම පැත්තයි.
• කකුල් - සෘජු කෝණයක් සාදන කොටස්. සලකා බලන කෝණය මත පදනම්ව, කකුල එයට යාබදව (මෙම කෝණය කර්ණය සමඟ සාදයි) හෝ ප්රතිවිරුද්ධ (කෝණයට ප්රතිවිරුද්ධව) විය හැකිය. සෘජුකෝණාස්රාකාර නොවන ත්රිකෝණ සඳහා කකුල් නොමැත.

ත්‍රිකෝණමිතියේ පදනම වන්නේ කකුල් සහ කර්ණය අනුපාතයයි: සයින, ස්පර්ශක සහ සීකන සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්‍රිකෝණයක පැතිවල අනුපාතය ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

යථාර්ථයේ දී සෘජුකෝණාස්‍රය

මෙම රූපය යථාර්ථයේ දී බහුලව භාවිතා වේ. ත්රිකෝණ සැලසුම් සහ තාක්ෂණයේ භාවිතා වේ, එබැවින් රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම ඉංජිනේරුවන්, ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පීන් සහ නිර්මාණකරුවන් විසින් සිදු කළ යුතුය. ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රා හෝ ප්‍රිස්මයේ පාදවලට ත්‍රිකෝණයක හැඩය ඇත - එදිනෙදා ජීවිතයේදී පහසුවෙන් හමුවීමට හැකි ත්‍රිමාන රූප. මීට අමතරව, චතුරස්රයක් යනු යථාර්ථයේ දී "පැතලි" සෘජුකෝණාස්රයක සරලම නිරූපණයයි. චතුරස්රයක් යනු පාසල් සිසුන් සහ ඉංජිනේරුවන් විසින් කොන් තැනීම සඳහා භාවිතා කරන අගුල් කරුවෙකු, ඇඳීම්, ඉදිකිරීම් සහ වඩු මෙවලමකි.

ත්රිකෝණයක ප්රදේශය

ජ්‍යාමිතික රූපයක ප්‍රදේශය යනු ත්‍රිකෝණයක පැතිවලින් තලයේ කොපමණ ප්‍රමාණයක් මායිම් වී තිබේද යන්න පිළිබඳ ප්‍රමාණාත්මක ඇස්තමේන්තුවකි. සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය හෙරොන්ගේ සූත්‍රය භාවිතයෙන් හෝ සෙල්ලිපි කර ඇති හෝ වටකුරු රවුමේ පාදය, පැත්ත, කෝණය සහ අරය වැනි විචල්‍යයන් සමඟ ගණනය කිරීම්වලදී ක්‍රියාත්මක වන ආකාර පහකින් සොයාගත හැකිය. සරලම ප්‍රදේශ සූත්‍රය ප්‍රකාශ වන්නේ:

මෙහි a යනු ත්‍රිකෝණයේ පැත්තයි, h යනු එහි උසයි.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ සූත්රය ඊටත් වඩා සරල ය:

මෙහි a සහ b යනු කකුල් වේ.

අපගේ මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය සමඟ වැඩ කිරීමෙන්, ඔබට පරාමිති යුගල තුනක් භාවිතා කර ත්රිකෝණයක ප්රදේශය ගණනය කළ හැකිය:

• කකුල් දෙකක්;
• කකුල සහ යාබද කෝණය;
• කකුල සහ ප්රතිවිරුද්ධ කෝණය.

කාර්යයන් හෝ එදිනෙදා අවස්ථාවන්හිදී, ඔබට විවිධ විචල්‍ය සංයෝජන ලබා දෙනු ඇත, එබැවින් මෙම කැල්කියුලේටරය ක්‍රම කිහිපයකින් ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

සැබෑ ජීවිතයේ උදාහරණ

සෙරමික් ටයිල්

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක හැඩය ඇති සෙරමික් ටයිල්වලින් කුස්සියේ බිත්ති පෙලගැසීමට අවශ්ය යැයි කියමු. උළු පරිභෝජනය තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ ආවරණයේ එක් මූලද්රව්යයක ප්රදේශය සහ ප්රතිකාර කළ යුතු මතුපිට මුළු ප්රදේශය සොයා ගත යුතුය. ඔබ වර්ග මීටර් 7 ක් සැකසීමට අවශ්ය යැයි සිතමු. එක් මූලද්රව්යයක කකුල් වල දිග සෙන්ටිමීටර 19 බැගින් වේ, එවිට ටයිල් එකේ ප්රදේශය සමාන වේ:

මෙයින් අදහස් කරන්නේ එක් මූලද්රව්යයක වර්ග ප්රමාණය වර්ග සෙන්ටිමීටර 24.5 ක් හෝ වර්ග මීටර් 0.01805 ක් බවයි. මෙම පරාමිතීන් දැන ගැනීමෙන්, බිත්තියක වර්ග මීටර් 7 ක් නිම කිරීම සඳහා ඔබට 7 / 0.01805 = 387 මුහුණත ටයිල් අවශ්ය වනු ඇති බව ගණනය කළ හැකිය.

පාසල් කාර්යය

පාසල් ජ්‍යාමිතික ගැටලුවකදී, එක් කකුලක පැත්ත සෙන්ටිමීටර 5 ක් සහ ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණයේ අගය අංශක 30 ක් බව පමණක් දැන, සෘජුකෝණාස්‍රයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය යැයි සිතමු. අපගේ මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරය සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක පැති සහ කෝණ පෙන්වන නිදර්ශනයක් සමඟ ඇත. පැත්ත a = 5 cm නම්, එහි ප්රතිවිරුද්ධ කෝණය අංශක 30 ට සමාන ඇල්ෆා කෝණය වේ. මෙම දත්ත කැල්ක්යුලේටර පෝරමයට ඇතුළත් කර ප්රතිඵලය ලබා ගන්න:

මේ අනුව, කැල්කියුලේටරය ලබා දී ඇති ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය ගණනය කරනවා පමණක් නොව, යාබද කකුලේ දිග සහ කර්ණය මෙන්ම දෙවන කෝණයේ අගය ද තීරණය කරයි.

නිගමනය

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ අපගේ ජීවිතයේ සෑම අස්සක් මුල්ලක් නෑරම දක්නට ලැබේ. එවැනි රූපවල ප්රදේශය තීරණය කිරීම ජ්යාමිතිය තුළ පාසල් පැවරුම් විසඳීමේදී පමණක් නොව, එදිනෙදා සහ වෘත්තීය ක්රියාකාරකම් වලදී ඔබට ප්රයෝජනවත් වනු ඇත.