හෝනර් යෝජනා ක්‍රමය භාවිතයෙන් බහුපදයක් සාධක කිරීම. උසස් ගණිතයේ සමීකරණ බහුපදවල තාර්කික මූලයන්

ආදිය. සාමාන්‍ය අධ්‍යාපනික ස්වභාවයක් ඇති අතර උසස් ගණිතය පිළිබඳ සම්පූර්ණ පාඨමාලාව හැදෑරීම සඳහා ඉතා වැදගත් වේ. අද අපි "පාසල්" සමීකරණ පුනරුච්චාරණය කරන්නෙමු, නමුත් "පාසල්" පමණක් නොව - විවිධ vyshmat ගැටළු වල සෑම තැනකම දක්නට ලැබෙන ඒවා. සුපුරුදු පරිදි, කතාව ව්‍යවහාරික ආකාරයෙන් කියනු ඇත, i.e. මම අර්ථ දැක්වීම් සහ වර්ගීකරණයන් කෙරෙහි අවධානය යොමු නොකරමි, නමුත් එය විසඳීමේ මගේ පුද්ගලික අත්දැකීම ඔබ සමඟ බෙදා ගන්නෙමි. තොරතුරු මූලික වශයෙන් ආරම්භකයින් සඳහා අදහස් කෙරේ, නමුත් වඩා දියුණු පාඨකයන්ට තමන් සඳහා බොහෝ රසවත් කරුණු සොයා ගත හැකිය. තවද, ඇත්ත වශයෙන්ම, උසස් පාසලෙන් ඔබ්බට යන නව ද්රව්ය පවතිනු ඇත.

ඉතින් සමීකරණය.... බොහෝ දෙනෙක් මෙම වචනය වෙව්ලීමකින් සිහිපත් කරති. මූලයන් සහිත "සංකීර්ණ" සමීකරණ මොනවාද ... ... ඒවා අමතක කරන්න! මන්ද එවිට ඔබට මෙම විශේෂයේ වඩාත්ම හානිකර "නියෝජිතයින්" හමුවනු ඇත. නැතහොත් විසඳුම් ක්‍රම දුසිම් ගණනක් සහිත නීරස ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ. ඇත්තම කිව්වොත්, මම ඇත්තටම ඔවුන්ට කැමති වුණේ නැහැ ... සංත්‍රාසයට පත් නොවන්න! - එවිට බොහෝ දුරට "යාපහුව බලකොටුව" පියවර 1-2 කින් පැහැදිලි විසඳුමක් සමඟ ඔබ බලා සිටී. "බර්ඩොක්" නිසැකවම ඇලී සිටියද, ඔබ මෙහි වෛෂයික විය යුතුය.

පුදුමයට කරුණක් නම්, උසස් ගණිතයේ දී වැනි ඉතා ප්‍රාථමික සමීකරණ සමඟ කටයුතු කිරීම වඩාත් සුලභ ය. රේඛීයසමීකරණ

මෙම සමීකරණය විසඳීම යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? මෙයින් අදහස් කරන්නේ එය සැබෑ සමානාත්මතාවයක් බවට පත් කරන "x" (මූල) හි එවැනි අගයක් සොයා ගැනීමයි. ලකුණ වෙනස් කිරීමත් සමඟ “තුන” දකුණට විසි කරමු:

සහ "දෙක" දකුණු පැත්තට දමන්න (හෝ, එකම දෙය - දෙපැත්තෙන්ම ගුණ කරන්න) :

පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, අපි දිනාගත් කුසලානය මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරමු:

නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලබා ගනී, එයින් අදහස් කරන්නේ සොයාගත් අගය ඇත්ත වශයෙන්ම මෙම සමීකරණයේ මුල බවයි. නැතහොත්, ඔවුන් පවසන පරිදි, මෙම සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි.

මූල දශම භාගයක් ලෙසද ලිවිය හැකි බව කරුණාවෙන් සලකන්න:
මෙම නරක විලාසිතාවට ඇලී නොසිටීමට උත්සාහ කරන්න! මම එක් වරකට වඩා හේතුව පුනරුච්චාරණය කළෙමි, විශේෂයෙන්, පළමු පාඩමේදී ඉහළ වීජ ගණිතය.

මාර්ගය වන විට, සමීකරණය "අරාබි භාෂාවෙන්" ද විසඳිය හැකිය:

වඩාත්ම සිත්ගන්නා කරුණ නම් මෙම පටිගත කිරීම සම්පූර්ණයෙන්ම නීත්‍යානුකූල වීමයි! නමුත් ඔබ ගුරුවරයෙකු නොවේ නම්, මෙය නොකිරීමට වඩා හොඳය, මන්ද මෙහි මුල් පිටපත දඬුවම් ලැබිය හැකි බැවිනි =)

හා දැන් ටිකක් ගැන

චිත්රක විසඳුම් ක්රමය

සමීකරණයට ස්වරූපය ඇති අතර එහි මූලය වේ "X" ඛණ්ඩාංකය මංසන්ධි ලකුණු රේඛීය ශ්රිත ප්රස්ථාරයරේඛීය ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය සමඟ (x අක්ෂය):

උදාහරණය කෙතරම් ප්‍රාථමිකද යත් මෙහි විශ්ලේෂණය කිරීමට තවත් කිසිවක් නොමැති බව පෙනේ, නමුත් තවත් එක් අනපේක්ෂිත සූක්ෂ්මතාවයක් එයින් “මිරිකා” ගත හැකිය: අපි එකම සමීකරණය ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කර ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර ගොඩනඟමු:

එහිදී, කරුණාකර සංකල්ප දෙක පටලවා ගන්න එපා: සමීකරණයක් යනු සමීකරණයකි, සහ කාර්යය- මෙය කාර්යයකි! කාර්යයන් උදව් පමණිසමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගන්න. එයින් දෙකක්, තුනක්, හතරක් හෝ අනන්තවත් බොහෝ විය හැකිය. මෙම අර්ථයෙන් ආසන්නතම උදාහරණය සුප්රසිද්ධ වේ චතුරස්රාකාර සමීකරණය, වෙනම ඡේදයක් ලැබුණු විසඳුම් ඇල්ගොරිතම "උණුසුම්" පාසල් සූත්ර. තවද මෙය අහම්බයක් නොවේ! චතුර් සමීකරණයක් විසඳලා දැනගන්න පුළුවන් නම් පයිතගරස් ප්රමේයය, එසේ නම්, කෙනෙකුට පැවසිය හැකිය, "උසස් ගණිතයෙන් අඩක් දැනටමත් ඔබගේ සාක්කුවේ ඇත" =) අතිශයෝක්තියෙන්, ඇත්ත වශයෙන්ම, නමුත් සත්යයෙන් එතරම් ඈත නොවේ!

එමනිසා, අපි කම්මැලි නොවී චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් භාවිතා කරමු සම්මත ඇල්ගොරිතම:

, එනම් සමීකරණයට වෙනස් දෙකක් ඇත වලංගුමූල:

සොයාගත් අගයන් දෙකම ඇත්ත වශයෙන්ම මෙම සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන බව තහවුරු කිරීම පහසුය:

ඔබට හදිසියේ විසඳුම් ඇල්ගොරිතම අමතක වූවා නම් සහ අත ළඟ මාධ්‍යයන්/උදව් අත් නොමැති නම් කුමක් කළ යුතුද? නිදසුනක් වශයෙන්, පරීක්ෂණයක් හෝ විභාගයක් අතරතුර මෙම තත්වය ඇතිවිය හැකිය. අපි චිත්රක ක්රමය භාවිතා කරමු! සහ ක්රම දෙකක් තිබේ: ඔබට පුළුවන් ලක්ෂ්යයෙන් ලක්ෂ්යයක් ගොඩනඟන්නපැරබෝලා , එමගින් අක්ෂය ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගැනීම (එය කිසිසේත් හරස් කරන්නේ නම්). නමුත් වඩා කපටි දෙයක් කිරීම වඩා හොඳය: ස්වරූපයෙන් සමීකරණය සිතන්න, සරල ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර අඳින්න - සහ "X" ඛණ්ඩාංකඔවුන්ගේ ඡේදනය වීමේ ස්ථාන පැහැදිලිව දැකගත හැකිය!


සරල රේඛාව පරාවලයට ස්පර්ශ වන බව පෙනේ නම්, සමීකරණයට ගැලපෙන (බහු) මූලයන් දෙකක් ඇත. සරල රේඛාව පැරබෝලා ඡේදනය නොවන බව පෙනේ නම්, සැබෑ මූලයන් නොමැත.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ ගොඩනැගීමට හැකි විය යුතුය මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර, නමුත් අනෙක් අතට, පාසල් දරුවෙකුට පවා මෙම කුසලතා කළ හැකිය.

නැවතත් - සමීකරණයක් යනු සමීකරණයක් වන අතර ශ්‍රිත යනු ශ්‍රිත වේ උදව් කළා විතරයිසමීකරණය විසඳන්න!

මෙන්න, මාර්ගය වන විට, තවත් එක් දෙයක් මතක තබා ගැනීම සුදුසුය: සමීකරණයක සියලුම සංගුණක ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළහොත් එහි මූලයන් වෙනස් නොවේ.

ඉතින්, උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණය එකම මූලයන් ඇත. සරල "සාක්ෂි" ලෙස, මම වරහන් වලින් නියතය ඉවත් කරමි:
මම එය වේදනා රහිතව ඉවත් කරන්නෙමි (මම කොටස් දෙකම "අඩු දෙකකින්" බෙදමි):

එහෙත්!අපි ශ්‍රිතය සලකා බැලුවහොත්, මෙහිදී අපට නියතයෙන් මිදිය නොහැක! ගුණකය වරහන් වලින් පිටතට ගැනීමට පමණක් අවසර ඇත: .

බොහෝ අය චිත්‍රක විසඳුම් ක්‍රමය අවතක්සේරු කරන අතර, එය “නොසැලකිලිමත්” දෙයක් ලෙස සලකන අතර සමහරු මෙම හැකියාව ගැන සම්පූර්ණයෙන්ම අමතක කරති. මෙය මූලික වශයෙන් වැරදියි, මන්ද ප්‍රස්තාර සැලසුම් කිරීම සමහර විට තත්වය ඉතිරි කරයි!

තවත් උදාහරණයක්: ඔබට සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයේ මූලයන් මතක නැතැයි සිතමු: . සාමාන්‍ය සූත්‍රය පාසල් පෙළපොත්වල, ප්‍රාථමික ගණිතය පිළිබඳ සියලුම විමර්ශන පොත්වල ඇත, නමුත් ඒවා ඔබට ලබා ගත නොහැක. කෙසේ වෙතත්, සමීකරණය විසඳීම ඉතා වැදගත් වේ (එනම් "දෙක"). පිටවීමක් තිබේ! - කාර්යයන් පිළිබඳ ප්‍රස්ථාර ගොඩනැගීම:


ඉන්පසු අපි ඔවුන්ගේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල “X” ඛණ්ඩාංක සන්සුන්ව ලියන්නෙමු:

අසීමිත මූලයන් ඇති අතර වීජ ගණිතයේ දී ඒවායේ සංක්ෂිප්ත අංකනය පිළිගනු ලැබේ:
, කොහෙද ( – පූර්ණ සංඛ්‍යා කට්ටලයක්) .

තවද, "ඉවත්ව" තොරව, එක් විචල්යයක් සමඟ අසමානතා විසඳීම සඳහා චිත්රක ක්රමය ගැන වචන කිහිපයක්. මූලධර්මය සමාන වේ. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, අසමානතාවයට විසඳුම ඕනෑම "x" වේ, මන්ද sinusoid සම්පූර්ණයෙන්ම පාහේ සරල රේඛාව යටතේ පිහිටා ඇත. අසමානතාවයට විසඳුම වන්නේ සයිනසයිඩ් කැබලි සෘජු රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇති කාල අන්තර සමූහයයි. (x-අක්ෂය):

හෝ, කෙටියෙන්:

නමුත් අසමානතාවයට බොහෝ විසඳුම් මෙන්න: හිස්, sinusoid හි කිසිදු ලක්ෂ්‍යයක් සරල රේඛාවට ඉහළින් නොසිටින බැවිනි.

ඔබට නොතේරෙන දෙයක් තිබේද? ගැන පාඩම් ඉක්මනින් අධ්‍යයනය කරන්න කට්ටලසහ කාර්යය ප්රස්තාර!

අපි උණුසුම් කරමු:

අභ්‍යාස 1

පහත ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ චිත්‍රක ලෙස විසඳන්න:

පාඩම අවසානයේ පිළිතුරු

ඔබට පෙනෙන පරිදි, නිශ්චිත විද්‍යාවන් හැදෑරීමට සූත්‍ර සහ විමර්ශන පොත් කැටයම් කිරීම කිසිසේත් අවශ්‍ය නොවේ! එපමණක් නොව, මෙය මූලික වශයෙන් දෝෂ සහිත ප්රවේශයකි.

පාඩම ආරම්භයේදීම මා ඔබට සහතික කර ඇති පරිදි, උසස් ගණිතයේ සම්මත පාඨමාලාවක සංකීර්ණ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳිය යුත්තේ ඉතා කලාතුරකිනි. සියලුම සංකීර්ණත්වය, රීතියක් ලෙස, වැනි සමීකරණ වලින් අවසන් වේ, එහි විසඳුම සරලම සමීකරණ වලින් ආරම්භ වන මූල කාණ්ඩ දෙකකි. . දෙවැන්න විසඳීම ගැන ඕනෑවට වඩා කරදර නොවන්න - පොතක් බලන්න හෝ අන්තර්ජාලයෙන් එය සොයා ගන්න =)

චිත්‍රක විසඳුම් ක්‍රමය සුළු සුළු අවස්ථා වලදීද උපකාර කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස, පහත "රැග්ටැග්" සමීකරණය සලකා බලන්න:

එහි විසඳුම සඳහා ඇති අපේක්ෂාවන් පෙනෙන්නේ ... කිසිවක් ලෙස පෙනෙන්නේ නැත, නමුත් ඔබට ආකෘතියේ සමීකරණය සිතාගත යුතුය . කාර්යය ප්රස්තාරසහ සෑම දෙයක්ම ඇදහිය නොහැකි තරම් සරල වනු ඇත. ගැන ලිපියේ මැද චිත්‍රයක් ඇත අපරිමිත කාර්යයන් (ඊළඟ පටිත්තෙහි විවෘත වනු ඇත).

එකම චිත්‍රක ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, සමීකරණයට දැනටමත් මූලයන් දෙකක් ඇති බවත්, ඒවායින් එකක් ශුන්‍යයට සමාන බවත්, අනෙක, පෙනෙන විදිහට, ඔබට සොයාගත හැකිය. අතාර්කිකසහ කොටසට අයත් වේ. මෙම මූලය ආසන්න වශයෙන් ගණනය කළ හැක, උදාහරණයක් ලෙස, ස්පර්ශක ක්රමය. මාර්ගය වන විට, සමහර ගැටළු වලදී, ඔබට මුල් සොයා ගැනීමට අවශ්ය නොවන නමුත් සොයා ගන්න ඒවා කිසිසේත්ම පවතිනවාද?. මෙහි ද චිත්‍රයක් උපකාරී විය හැකිය - ප්‍රස්ථාර ඡේදනය නොවන්නේ නම්, මූලයන් නොමැත.

නිඛිල සංගුණක සහිත බහුපදවල තාර්කික මූලයන්.
හෝනර් යෝජනා ක්රමය

දැන් මම ඔබට ආරාධනා කරන්නේ ඔබේ බැල්ම මධ්‍යතන යුගය වෙත යොමු කර සම්භාව්‍ය වීජ ගණිතයේ අද්විතීය වාතාවරණය දැනීමටයි. ද්රව්යය පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, ඔබ අවම වශයෙන් ටිකක් කියවන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි සංකීර්ණ සංඛ්යා.

ඔවුන් හොඳම ය. බහුපද.

අපගේ රුචිකත්වයේ පරමාර්ථය පෝරමයේ වඩාත් පොදු බහුපද වේ සමස්තසංගුණක ස්වාභාවික අංකයක් ලෙස හැඳින්වේ බහුපද උපාධිය, අංකය - ඉහළම උපාධියේ සංගුණකය (හෝ ඉහළම සංගුණකය පමණි), සහ සංගුණකය වේ නිදහස් සාමාජික.

මම මෙම බහුපද කෙටියෙන් දක්වන්නම් .

බහුපදයක මුල්සමීකරණයේ මූලයන් අමතන්න

මම යකඩ තර්කයට කැමතියි =)

උදාහරණ සඳහා, ලිපියේ ආරම්භයට යන්න:

1 වන සහ 2 වන අංශක වල බහුපද මූලයන් සොයා ගැනීමේදී ගැටළු නොමැත, නමුත් ඔබ වැඩි කරන විට මෙම කාර්යය වඩ වඩාත් දුෂ්කර වේ. අනෙක් අතට, සෑම දෙයක්ම වඩා රසවත් වුවද! පාඩමේ දෙවන කොටස කැප කරනු ලබන්නේ මෙයයි.

පළමුව, වචනාර්ථයෙන් න්‍යායේ තිරයෙන් අඩක්:

1) නිගමනය අනුව වීජ ගණිතයේ මූලික ප්‍රමේයය, උපාධිය බහුපදයේ හරියටම ඇත සංකීර්ණමුල්. සමහර මූලයන් (හෝ සියල්ල පවා) විශේෂයෙන් විය හැකිය වලංගු. එපමණක් නොව, සැබෑ මූලයන් අතර සමාන (බහු) මූලයන් තිබිය හැක (අවම දෙක, උපරිම කෑලි).

යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් බහුපදයක මුල නම්, එසේ නම් සංයෝජනඑහි අංකය ද මෙම බහුපදයේ මුල අවශ්‍ය වේ (සංයුක්ත සංකීර්ණ මූලයන් ආකෘතිය ඇත).

සරලම උදාහරණය නම් චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් වන අතර එය මුලින්ම 8 හි හමු විය (මෙන්)පන්තිය, සහ අපි අවසානයේ මාතෘකාව තුළ "අවසන්" කළෙමු සංකීර්ණ සංඛ්යා. මම ඔබට මතක් කර දෙන්නම්: චතුරස්‍ර සමීකරණයකට එකිනෙකට වෙනස් තාත්වික මූල දෙකක් හෝ බහු මූලයන් ඇත, නැතහොත් සංකීර්ණ මූලයන් සංයෝජන ඇත.

2) සිට Bezout ගේ ප්‍රමේයයඑය පහත දැක්වෙන්නේ සංඛ්‍යාවක් සමීකරණයක මූලය නම්, ඊට අනුරූප බහුපද සාධකකරණය කළ හැකි බවයි:
, උපාධියේ බහුපදයක් කොහෙද .

නැවතත්, අපගේ පැරණි උදාහරණය: සමීකරණයේ මූලය වන බැවින්, . ඉන් පසුව සුප්රසිද්ධ "පාසල්" ව්යාප්තිය ලබා ගැනීම අපහසු නැත.

Bezout ගේ ප්‍රමේයයේ සහසම්බන්ධයට විශාල ප්‍රායෝගික වටිනාකමක් ඇත: අපි 3 වන අංශකයේ සමීකරණයක මූලය දන්නේ නම්, අපට එය ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කළ හැකිය. සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණයෙන් ඉතිරි මූලයන් සොයා ගැනීම පහසුය. 4 වන උපාධියේ සමීකරණයේ මූලය අප දන්නේ නම්, වම් පැත්ත නිෂ්පාදනයක් බවට පුළුල් කළ හැකිය.

තවද මෙහි ප්‍රශ්න දෙකක් තිබේ:

එක ප්‍රශ්නය. මෙම මූලය සොයා ගන්නේ කෙසේද? පළමුවෙන්ම, එහි ස්වභාවය නිර්වචනය කරමු: උසස් ගණිතයේ බොහෝ ගැටළු වලදී එය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ තාර්කික, විශේෂයෙන්ම සමස්තබහුපද මූලයන්, සහ මේ සම්බන්ධයෙන්, තවදුරටත් අපි ඔවුන් ගැන ප්රධාන වශයෙන් උනන්දු වනු ඇත. ...ඒවා කොච්චර හොදයි, කොයිතරම් සිනිඳුයි, ඔයාට ඕන ඒවා හොයාගන්න! =)

මතකයට එන පළමු දෙය තෝරා ගැනීමේ ක්රමයයි. උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණය සලකා බලන්න. මෙහි අල්ලා ගැනීම නිදහස් පදයේ ඇත - එය ශුන්‍යයට සමාන නම්, සියල්ල හොඳින් වනු ඇත - අපි වරහන් වලින් “x” ඉවත් කර මුල් මතුපිටට “වැටේ”:

නමුත් අපගේ නිදහස් පදය "තුන" ට සමාන වන අතර, එබැවින් අපි "මූල" යැයි පවසන සමීකරණයට විවිධ සංඛ්යා ආදේශ කිරීමට පටන් ගනිමු. පළමුවෙන්ම, තනි අගයන් ආදේශ කිරීම යෝජනා කරයි. අපි ආදේශ කරමු:

ලැබුනා වැරදියිසමානාත්මතාවය, මේ අනුව, ඒකකය "නොගැලපේ." හොඳයි, අපි ආදේශ කරමු:

ලැබුනා සැබෑසමානාත්මතාවය! එනම්, මෙම සමීකරණයේ මුල අගයයි.

3 වන උපාධියේ බහුපදයක මූලයන් සොයා ගැනීමට, විශ්ලේෂණ ක්රමයක් ඇත (ඊනියා කාඩනෝ සූත්‍ර), නමුත් දැන් අපි ටිකක් වෙනස් කාර්යයක් ගැන උනන්දු වෙමු.

අපගේ බහුපදයේ මූලය වන බැවින්, බහුපද ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැකි අතර පැන නගී දෙවන ප්රශ්නය: "බාල සහෝදරයෙක්" සොයා ගන්නේ කෙසේද?

සරලම වීජීය සලකා බැලීම් යෝජනා කරන්නේ මෙය සිදු කිරීම සඳහා අප විසින් බෙදිය යුතු බවයි. බහුපදයක් බහුපදයකින් බෙදන්නේ කෙසේද? සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා බෙදන එකම පාසල් ක්‍රමය - “තීරුව”! පාඩමේ පළමු උදාහරණ වලින් මම මෙම ක්රමය විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කළෙමි. සංකීර්ණ සීමාවන්, සහ දැන් අපි තවත් ක්රමයක් දෙස බලමු, එය හඳුන්වනු ලැබේ හෝනර් යෝජනා ක්රමය.

මුලින්ම අපි "ඉහළම" බහුපද ලියන්නෙමු හැමෝම එක්ක , ශුන්ය සංගුණක ඇතුළුව:
, ඉන්පසු අපි මෙම සංගුණක (දැඩි ලෙස පිළිවෙලට) මේසයේ ඉහළ පේළියට ඇතුළත් කරමු:

අපි වම් පසින් මූල ලියන්නෙමු:

"රතු" අංකය නම් හෝනර්ගේ යෝජනා ක්රමය ද ක්රියාත්මක වන බව මම වහාම වෙන්කරවා ගන්නෙමි නැතබහුපදයේ මුල වේ. කෙසේ වෙතත්, අපි දේවල් ඉක්මන් නොකරමු.

අපි ඉහළින් ඇති ප්‍රමුඛ සංගුණකය ඉවත් කරමු:

පහළ සෛල පිරවීමේ ක්‍රියාවලිය එම්බ්‍රොයිඩරි තරමක් සිහිපත් කරයි, එහිදී “අඩුම එක” යනු පසුකාලීන පියවරයන් විනිවිද යන “ඉඳිකටුවක්” වර්ගයකි. අපි "පහළට ගෙන යන" අංකය (-1) මගින් ගුණ කර ඉහළ කොටුවේ සිට නිෂ්පාදනයට අංකය එකතු කරමු:

අපි සොයාගත් අගය “රතු ඉඳිකටුවෙන්” ගුණ කර නිෂ්පාදනයට පහත සමීකරණ සංගුණකය එකතු කරමු:

අවසාන වශයෙන්, ලැබෙන අගය නැවත “ඉඳිකටුව” සහ ඉහළ සංගුණකය සමඟ “සැකසී” ඇත:

අවසාන සෛලයේ ශුන්‍යය අපට පවසන්නේ බහුපද බෙදී ඇති බවයි හෝඩුවාවක් නොමැතිව (එය විය යුතු පරිදි), ප්‍රසාරණ සංගුණක වගුවේ පහළ පේළියේ සිට කෙලින්ම “ඉවත්” කර ඇති අතර:

මේ අනුව, අපි සමීකරණයේ සිට සමාන සමීකරණයකට මාරු වූ අතර ඉතිරි මූලයන් දෙක සමඟ සියල්ල පැහැදිලිය. (මෙම අවස්ථාවේදී අපට සංයුක්ත මූලයන් ලැබේ).

සමීකරණය, මාර්ගයෙන්, චිත්රක ලෙස ද විසඳා ගත හැකිය: කුමන්ත්රණය "අකුණු" සහ ප්‍රස්තාරය x අක්ෂය හරස් කරන බව බලන්න () ලක්ෂ්යයේ දී . නැතහොත් එකම “කපටි” උපක්‍රමය - අපි පෝරමයේ සමීකරණය නැවත ලියන්නෙමු , මූලික ප්‍රස්ථාර අඳින්න සහ ඒවායේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ “X” ඛණ්ඩාංකය හඳුනා ගනිමු.

මාර්ගය වන විට, 3 වන අංශකයේ ඕනෑම ශ්‍රිතයක-බහුපදයක ප්‍රස්ථාරය අවම වශයෙන් එක් වරක් අක්ෂය ඡේදනය කරයි, එයින් අදහස් වන්නේ අනුරූප සමීකරණයට ඇත අවම වශයෙන්එක වලංගුමූල. ඔත්තේ අංශකයේ ඕනෑම බහුපද ශ්‍රිතයක් සඳහා මෙම කරුණ සත්‍ය වේ.

තවද මෙහි මම ද වාසය කිරීමට කැමැත්තෙමි වැදගත් කරුණක්පාරිභාෂිතයට අදාළ වන්නේ: බහුපදසහ බහුපද ශ්රිතය – එය එකම දෙයක් නොවේ! නමුත් ප්රායෝගිකව ඔවුන් බොහෝ විට කතා කරන්නේ, උදාහරණයක් ලෙස, "බහුපදයක ප්රස්ථාරය" ගැන, ඇත්ත වශයෙන්ම, නොසැලකිලිමත්කමයි.

කෙසේ වෙතත්, අපි හෝනර්ගේ යෝජනා ක්රමය වෙත ආපසු යමු. මම මෑතකදී සඳහන් කළ පරිදි, මෙම යෝජනා ක්රමය වෙනත් අංක සඳහා ක්රියා කරයි, නමුත් අංකය නම් නැතසමීකරණයේ මුල වේ, එවිට ශුන්‍ය නොවන එකතු කිරීමක් (ඉතිරි) අපගේ සූත්‍රයේ දිස්වේ:

හෝනර්ගේ යෝජනා ක්රමය අනුව "අසාර්ථක" අගය "ධාවනය" කරමු. මෙම අවස්ථාවේ දී, එකම වගුව භාවිතා කිරීම පහසුය - වම් පසින් නව “ඉඳිකටුවක්” ලියන්න, ප්‍රමුඛ සංගුණකය ඉහළින් ගෙන යන්න (වම් කොළ ඊතලය), සහ අපි යනවා:

පරීක්ෂා කිරීමට, වරහන් විවෘත කර සමාන පද ඉදිරිපත් කරමු:
, හරි.

ඉතිරිය ("හය") හරියටම බහුපදයේ අගය බව දැකීම පහසුය. ඇත්ත වශයෙන්ම - එය මොන වගේද:
, සහ ඊටත් වඩා හොඳයි - මේ වගේ:

ඉහත ගණනය කිරීම් වලින් Horner ගේ යෝජනා ක්රමය බහුපද සාධකයට පමණක් නොව, මූලයේ "ශිෂ්ට" තේරීමක් සිදු කිරීමට ඉඩ සලසන බව තේරුම් ගැනීම පහසුය. කුඩා කාර්යයක් සමඟ ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතම ඔබම ඒකාබද්ධ කිරීමට මම යෝජනා කරමි:

කාර්යය 2

හෝර්නර්ගේ යෝජනා ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, සමීකරණයේ පූර්ණ සංඛ්‍යා මූලය සොයා ඊට අනුරූප බහුපදයේ සාධකය

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, මෙහි අවසාන තීරුවේ ශුන්‍ය ඉතිරියක් “ඇඳෙන” තෙක් අංක 1, –1, 2, –2, ... – අනුපිළිවෙලින් පරීක්ෂා කළ යුතුය. මෙම රේඛාවේ "ඉඳිකටුව" බහුපදයේ මූලය බව මෙයින් අදහස් වනු ඇත

තනි වගුවක ගණනය කිරීම් සකස් කිරීම පහසුය. පාඩම අවසානයේ සවිස්තරාත්මක විසඳුම සහ පිළිතුර.

මූලයන් තෝරාගැනීමේ ක්‍රමය සාපේක්ෂ සරල අවස්ථා සඳහා යහපත් වේ, නමුත් බහුපදයේ සංගුණක සහ/හෝ උපාධිය විශාල නම්, ක්‍රියාවලියට බොහෝ කාලයක් ගත විය හැක. නැතහොත් 1, -1, 2, -2 එකම ලැයිස්තුවෙන් සමහර අගයන් ඇති අතර සලකා බැලීමේ තේරුමක් නැද්ද? තවද, ඊට අමතරව, මූලයන් භාගික බවට හැරවිය හැකි අතර, එය සම්පූර්ණයෙන්ම අවිද්‍යාත්මක විදීමකට තුඩු දෙනු ඇත.

වාසනාවකට මෙන්, තාර්කික මූලයන් සඳහා "අපේක්ෂක" අගයන් සෙවීම සැලකිය යුතු ලෙස අඩු කළ හැකි බලවත් ප්රමේය දෙකක් තිබේ:

ප්රමේයය 1අපි සලකා බලමු අඩු කළ නොහැකිභාගය, කොහෙද. සංඛ්‍යාව සමීකරණයේ මුල නම්, නිදහස් පදය බෙදනු ලබන අතර ප්‍රමුඛ සංගුණකය බෙදනු ලැබේ.

විශේෂයෙන්ම, ප්‍රමුඛ සංගුණකය නම්, මෙම තාර්කික මූලය පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි:

තවද අපි මෙම රසවත් විස්තරයෙන් ප්‍රමේයය ගසාකෑමට පටන් ගනිමු:

අපි නැවත සමීකරණයට යමු. එහි ප්‍රමුඛ සංගුණකය වන බැවින්, උපකල්පිත තාර්කික මූලයන් තනිකරම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් විය හැකි අතර, නිදහස් පදය අවශ්‍යයෙන්ම ඉතිරියක් නොමැතිව මෙම මූලයන්ට බෙදිය යුතුය. තවද "තුන" බෙදිය හැක්කේ 1, -1, 3 සහ -3 ලෙස පමණි. එනම්, අපට ඇත්තේ "මූල අපේක්ෂකයින්" 4 ක් පමණි. සහ, අනුව ප්රමේයය 1, අනෙකුත් තාර්කික සංඛ්‍යා මෙම සමීකරණයේ මූලයන් විය නොහැක.

සමීකරණයේ තව ටිකක් "තරඟකරුවන්" ඇත: නිදහස් පදය 1, -1, 2, - 2, 4 සහ -4 ලෙස බෙදා ඇත.

අංක 1, –1 හැකි මූලයන් ලැයිස්තුවේ "සාමාන්‍ය" බව කරුණාවෙන් සලකන්න (ප්‍රමේයයේ පැහැදිලි ප්‍රතිඵලයක්)සහ ප්‍රමුඛතා පරීක්ෂණ සඳහා හොඳම තේරීම.

අපි වඩාත් අර්ථවත් උදාහරණ වෙත යමු:

ගැටලුව 3

විසඳුමක්: ප්‍රමුඛ සංගුණකය වන බැවින්, උපකල්පිත තාර්කික මූලයන් පූර්ණ සංඛ්‍යාව පමණක් විය හැකි අතර, ඒවා අවශ්‍යයෙන්ම නිදහස් පදයේ බෙදුම්කරුවන් විය යුතුය. "සතළිස් සෘණ" පහත අංක යුගලවලට බෙදා ඇත:
- මුළු "අපේක්ෂකයින්" 16 ක්.

මෙහිදී පෙළඹෙන සිතුවිල්ලක් වහාම දිස්වේ: සියලු සෘණ හෝ සියලු ධනාත්මක මූලයන් ඉවත් කළ හැකිද? සමහර අවස්ථාවලදී එය හැකි ය! මම සංඥා දෙකක් සකස් කරමි:

1) නම් සෑමබහුපදයේ සංගුණක සෘණ හෝ සියල්ල ධනාත්මක නොවේ නම්, එයට ධනාත්මක මූලයන් තිබිය නොහැක. අවාසනාවට, මෙය අපගේ කාරණය නොවේ (දැන්, අපට සමීකරණයක් ලබා දී ඇත්නම් - ඔව්, බහුපදයේ ඕනෑම අගයක් ආදේශ කරන විට, බහුපදයේ අගය දැඩි ලෙස ධන වේ, එයින් අදහස් වන්නේ සියලු ධන සංඛ්‍යා (සහ අතාර්කික ඒවා ද)සමීකරණයේ මූලයන් විය නොහැක.

2) ඔත්තේ බල සඳහා සංගුණක ඍණ නොවන නම්, සහ සියලු ඉරට්ටේ බල සඳහා (නිදහස් සාමාජිකයා ඇතුළුව)සෘණ වේ, එවිට බහුපදයට සෘණ මූලයන් තිබිය නොහැක. හෝ "කැඩපත": ඔත්තේ බල සඳහා සංගුණක ධනාත්මක නොවන අතර, සියලු ඉරට්ටේ බල සඳහා ඒවා ධනාත්මක වේ.

මෙය අපගේ නඩුවයි! මඳක් සමීපව බලන විට, සමීකරණයට ඕනෑම සෘණ “X” ආදේශ කරන විට, වම් පැත්ත දැඩි ලෙස ඍණ වන බව ඔබට පෙනේ, එයින් අදහස් කරන්නේ සෘණ මූලයන් අතුරුදහන් වන බවයි.

මේ අනුව, පර්යේෂණ සඳහා අංක 8 ක් ඉතිරිව ඇත:

අපි හෝර්නර්ගේ යෝජනා ක්රමය අනුව අනුපිළිවෙලින් ඒවා "ආරෝපණය" කරමු. ඔබ දැනටමත් මානසික ගණනය කිරීම් ප්‍රගුණ කර ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි:

"දෙදෙනා" පරීක්ෂා කිරීමේදී වාසනාව අප බලා සිටියේය. මේ අනුව, සලකා බලනු ලබන සමීකරණයේ මූලය වේ, සහ

සමීකරණය අධ්යයනය කිරීමට ඉතිරිව ඇත . වෙනස් කොට සැලකීම හරහා මෙය කිරීම පහසුය, නමුත් මම එම යෝජනා ක්‍රමයම භාවිතා කර දර්ශක පරීක්ෂණයක් පවත්වමි. පළමුව, නිදහස් පදය 20 ට සමාන බව අපි සටහන් කරමු, එනම් ප්රමේයය 1අංක 8 සහ 40 හැකි මූලයන් ලැයිස්තුවෙන් ඉවත් වන අතර, පර්යේෂණ සඳහා අගයන් ඉතිරි වේ (එක් අයෙකු හෝනර්ගේ යෝජනා ක්‍රමයට අනුව ඉවත් කරන ලදී).

අපි නව වගුවේ ඉහළ පේළියේ ත්රිකෝණයේ සංගුණක ලියන්නෙමු අපි එකම "දෙකකින්" පරීක්ෂා කිරීමට පටන් ගනිමු. ඇයි? සහ මූලයන් ගුණාකාර විය හැකි නිසා, කරුණාකර: - මෙම සමීකරණයට සමාන මූලයන් 10 ක් ඇත. නමුත් අපි අවධානය වෙනතකට යොමු නොකරමු:

මෙන්න, ඇත්ත වශයෙන්ම, මූලයන් තාර්කික බව දැනගෙන මම ටිකක් බොරු කීවෙමි. සියල්ලට පසු, ඒවා අතාර්කික හෝ සංකීර්ණ නම්, ඉතිරි සියලුම සංඛ්‍යා අසාර්ථක පරීක්ෂාවකට මා මුහුණ දෙනු ඇත. එබැවින්, ප්රායෝගිකව, වෙනස්කම් කරන්නා විසින් මෙහෙයවනු ලැබේ.

පිළිතුර: තාර්කික මූලයන්: 2, 4, 5

අප විශ්ලේෂණය කළ ගැටලුවේදී, අපි වාසනාවන්තයි, මන්ද: අ) සෘණ අගයන් වහාම පහත වැටුණි, සහ ආ) අපි ඉතා ඉක්මනින් මූලය සොයා ගත්තෙමු (සහ න්‍යායාත්මකව අපට සම්පූර්ණ ලැයිස්තුවම පරීක්ෂා කළ හැකිය).

නමුත් යථාර්ථයේ දී තත්වය වඩාත් නරක ය. "අන්තිම වීරයා" නම් උද්යෝගිමත් ක්රීඩාවක් නැරඹීමට මම ඔබට ආරාධනා කරමි:

ගැටලුව 4

සමීකරණයේ තාර්කික මූලයන් සොයන්න

විසඳුමක්: විසින් ප්රමේයය 1උපකල්පිත තාර්කික මූලයන්ගේ සංඛ්‍යා කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කළ යුතුය (අපි කියවන්නේ "දොළහ el මගින් බෙදනු ලැබේ"), සහ හරයන් කොන්දේසියට අනුරූප වේ. මේ මත පදනම්ව, අපට ලැයිස්තු දෙකක් ලැබේ:

"ලැයිස්තුව el":
සහ "ලැයිස්තු um": (වාසනාවකට මෙන්, මෙහි සංඛ්යා ස්වභාවිකයි).

දැන් අපි හැකි සියලුම මූලයන් ලැයිස්තුවක් සාදන්න. පළමුව, අපි "එල් ලැයිස්තුව" මගින් බෙදන්නෙමු. එම ඉලක්කම්ම ලබා ගන්නා බව සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලිය. පහසුව සඳහා, අපි ඒවා වගුවක තබමු:

බොහෝ භාග අඩු කර ඇති අතර, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස දැනටමත් "වීර ලැයිස්තුවේ" ඇති අගයන් ඇත. අපි එකතු කරන්නේ "නවකයන්" පමණි:

ඒ හා සමානව, අපි එකම "ලැයිස්තුව" බෙදන්නෙමු:

සහ අවසානයේ මත

මේ අනුව, අපගේ ක්‍රීඩාවට සහභාගිවන්නන්ගේ කණ්ඩායම සම්පූර්ණ කර ඇත:


අවාසනාවකට මෙන්, මෙම ගැටලුවේ බහුපද "ධනාත්මක" හෝ "ඍණ" නිර්ණායකය තෘප්තිමත් නොකරන අතර, එබැවින් අපට ඉහළ හෝ පහළ පේළිය ඉවත දැමිය නොහැක. ඔබට සියලු අංක සමඟ වැඩ කිරීමට සිදුවනු ඇත.

ඔයාට දැනේන්නේ කොහොම ද? එන්න, ඔබේ හිස ඔසවන්න - සංකේතාත්මකව “ඝාතක ප්‍රමේයය” ලෙස හැඳින්විය හැකි තවත් ප්‍රමේයයක් තිබේ. ...“අපේක්ෂකයින්”, ඇත්තෙන්ම =)

නමුත් පළමුව ඔබ අවම වශයෙන් එකක් සඳහා හෝනර්ගේ රූප සටහන හරහා අනුචලනය කළ යුතුය මුළුඅංක. සම්ප්‍රදායිකව, අපි එකක් ගනිමු. ඉහළ පේළියේ අපි බහුපදයේ සංගුණක ලියන අතර සෑම දෙයක්ම සුපුරුදු පරිදි වේ:

හතර පැහැදිලිවම ශුන්‍ය නොවන බැවින්, අදාළ බහුපදයේ මූලය අගය නොවේ. නමුත් ඇය අපට බොහෝ උපකාර කරනු ඇත.

ප්රමේයය 2සමහරුන්ට නම් සාමාන්යයෙන්බහුපදයේ අගය ශුන්‍ය නොවන: , පසුව එහි තාර්කික මූලයන් වේ (ඒවා නම්)කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන්න

අපගේ නඩුවේදී සහ එබැවින් හැකි සියලු මූලයන් කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කළ යුතුය (අපි එය කොන්දේසි අංක 1 ලෙස හඳුන්වමු). මෙම සිව්දෙනා බොහෝ "අපේක්ෂකයින්ගේ" "ඝාතකයා" වනු ඇත. නිරූපණයක් ලෙස, මම චෙක්පත් කිහිපයක් බලන්නම්:

අපි "අපේක්ෂකයා" පරීක්ෂා කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි එය භාගික ස්වරූපයෙන් කෘතිමව නිරූපණය කරමු, එයින් එය පැහැදිලිව දැකගත හැකිය. පරීක්ෂණ වෙනස ගණනය කරමු: . හතර "අඩු දෙකකින්" බෙදනු ලැබේ: , එයින් අදහස් වන්නේ හැකි මූල පරීක්ෂණය සමත් වී ඇති බවයි.

අපි අගය පරීක්ෂා කරමු. පරීක්ෂණ වෙනස මෙන්න: . ඇත්ත වශයෙන්ම, එබැවින් දෙවන "විෂය" ද ලැයිස්තුවේ පවතී.

මෙම ලිපියෙන් අපි බහුපද බෙදීමේ උදාහරණ විසඳීම සඳහා පහසු යෝජනා ක්රමයක් ගැන කතා කරමු. අපට P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + සංගුණකයේ සංගුණකය ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය නම්. . . + a 1 x + a 0 සහ බහුපදයේ ඉතිරිය රේඛීය ද්විපද x - s මගින් බෙදීම, එවිට Horner’s යෝජනා ක්‍රමය (ක්‍රමය) භාවිතා කිරීම පහසු වනු ඇත.

එය සමන්විත වන්නේ විශේෂ වගුවක් නිර්මාණය කිරීම සහ මූලික දත්ත එයට ඇතුළත් කිරීමෙනි:

අංක b n, b n - 1, b n - 2, . . . , b 1 සහ අපට අවශ්‍ය බෙදුම් සංගුණක වනු ඇත P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 at x - s . ඉතිරිය මෙහි b 0 ලෙස නම් කර ඇත. එසේ නොමැතිනම්, ඔබට මේ ආකාරයෙන් විසඳුම ලිවිය හැකිය:

දැන් අපි මෙම යෝජනා ක්රමය ප්රායෝගිකව නිවැරදිව අදාළ කරගන්නේ කෙසේදැයි පෙන්වමු.

උදාහරණ 1

කොන්දේසිය:හෝර්නර්ගේ යෝජනා ක්‍රමය භාවිතයෙන් බහුපද 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 4 x + 13 රේඛීය ද්විපද x - 1 මගින් බෙදන්න.

විසඳුමක්

අපි මේසය පුරවමු. අපට s එකකට සමාන වන අතර සංගුණක a 4 = 2, a 3 = - 3, a 2 = - 1, a 1 = 4, a 0 = 13.

පිළිතුර:අපට b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = 2 x 3 - x 2 - 2 x + 2 ට සමාන ප්‍රමාණය සහ ඉතිරිය b 0 = 15 ට සමාන විය.

දෙවන කාර්යයේදී අපි සවිස්තරාත්මක අදහස් නොමැතිව කරන්නෙමු.

උදාහරණ 2

කොන්දේසිය:බහුපද 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 ඉතිරියක් නොමැතිව ද්විපද x + 1 2 මගින් බෙදිය හැකිද යන්න තීරණය කරන්න. ප්‍රමාණය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්

හෝර්නර්ගේ යෝජනා ක්රමයට අනුව මේසය පුරවා ගනිමු.

අවසාන කොටුවේ අපට ශුන්‍ය ඉතිරියක් පෙනේ, එබැවින් අපට මුල් බහුපද ද්විපදයකින් බෙදිය හැකිය.

පිළිතුර:ප්‍රමාණය බහුපද 2 x 2 - 12 x + 18 වේ.

b 0 = 0 නම්, අපට බහුපදයේ බෙදීම ගැන කතා කළ හැකිය P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 ද්විපදයෙන් x - s, සහ අපට මුල් බහුපදයේ මූලය s ට සමාන වේ. Bezout ගේ ප්‍රමේයයේ සහසම්බන්ධයක් භාවිතා කරමින්, අපට මෙම බහුපද නිෂ්පාදනයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක:

P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = = x - s (b n x n + 1 + b n - 1 x n - 2 + . . . + b 1)

මෙයට ස්තූතියි, ඔබට පූර්ණ සංඛ්‍යා සංගුණක ඇති ඉහළ අංශක සමීකරණවල පූර්ණ සංඛ්‍යා මූලයන් සොයා ගැනීමට හෝ බහුපදයක් සරල සාධකවලට වියෝජනය කිරීමට අවශ්‍ය වූ විට එම අවස්ථා සඳහා හෝනර්ගේ යෝජනා ක්‍රමය හොඳින් ගැලපේ.

උදාහරණය 3

කොන්දේසිය: x 3 - 7 x - 6 = 0 සමීකරණය විසඳන්න. වම් පස ඇති බහුපද එහි එක් එක් සාධක බවට සාධක කරන්න.

විසඳුමක්

නිදහස් පදයේ බෙදුම්කරුවන් අතර සමීකරණයේ සම්පූර්ණ මූලයන් (ඇත්නම්) සෙවිය යුතු බව අපි දනිමු. අපි ඒවා වෙන වෙනම 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6 ලියා හෝර්නර්ගේ යෝජනා ක්‍රමය භාවිතයෙන් පරීක්ෂා කරමු.

වගු දත්ත වලින් පැහැදිලි වන්නේ එකමුතුකම මෙම සමීකරණයේ එක් මූලයක් නොවන බවයි.

හැකි තවත් මූලයක් මේසයට එකතු කරමු.

නමුත් - 1 සුදුසුයි, එනම් අපට මුල් බහුපද x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය.

මෙයින් කියවෙන්නේ - 1 බහු (පුනරාවර්තන) මූලයක් නොවන බවයි. අපි පහත විකල්පය ගෙන ගණනය කරන්න:

අංක 2 සමීකරණයේ මූලයන්ගෙන් එකක් නොවේ. අපි Horner's table එක x = ​​- 2 සඳහා අතිරේක කරමු:

ඍණ දෙක මුල් සමීකරණයේ මුල වනු ඇත. අපට බහු පදය මෙසේ ලිවිය හැකිය:

x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) = = (x + 1) (x + 2) (x - 3)

සමීකරණයේ තුන්වන සහ අවසාන මූල තුනට සමාන වේ. සංගුණක ලෙස ලැබුණු අවසාන පේළියේ අගයන් ගෙන වගුව පිරවීම අවසන් කරමු:

මෙයින් අපට නිගමනය කළ හැක්කේ හෝනර්ගේ ක්‍රමය භාවිතයෙන් පුරවන ලද අවසාන වගුව අපගේ උදාහරණයට විසඳුම වනු ඇති බවයි. මෙම ගැටළුව තීරුවක් සහිත රේඛීය ද්විපදයකින් බහුපද බෙදීමෙන්ද විසඳිය හැකි නමුත් මෙහි දැක්වෙන රූප සටහන වඩාත් පැහැදිලි සහ සරල ය.

පිළිතුර: x = - 1 , x = - 2 , x = 3 , x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3) .

ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

මීට පෙර, බහුපද සංකල්පය නිර්වචනය කරන ලද්දේ ඒකපදවල වීජීය එකතුවක් ලෙසිනි. බහුපදයක සියලුම සමාන ඒකපදයන් ලබා දී විචල්‍යයේ උපාධියේ අවරෝහණ අනුපිළිවෙලට සකසන්නේ නම්, එවිට ලැබෙන වාර්තාව හැඳින්වේ කැනොනිකල් අංකනයබහුපද.

අර්ථ දැක්වීම.පෝරමයේ ප්රකාශනය

කොහෙද x- සමහර විචල්‍ය, තාත්වික සංඛ්‍යා සහ , ලෙස හැඳින්වේ උපාධිය බහුපද n variable වලින් x . උපාධියබහුපදයක යනු එහි කැනොනිකල් අංකනයෙහි විචල්‍යයේ විශාලතම බලය වේ. විචල්‍යය බහුපද අංකනයෙහි නොපෙන්වයි නම්, i.e. බහුපද නියතයකට සමාන වේ, එහි උපාධිය 0 ට සමාන වේ. බහුපදය වෙන වෙනම සලකා බැලිය යුතු අවස්ථාව. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එහි උපාධිය නිර්වචනය කර නොමැති බව සාමාන්යයෙන් පිළිගැනේ.

උදාහරණ.දෙවන උපාධියේ බහුපද,

පස්වන උපාධියේ බහුපද.

අර්ථ දැක්වීම.බහුපද දෙකක් සමානනම් සහ එකම බලයෙන් ඔවුන්ගේ කැනොනිකල් ආකෘතිවල එකම සංගුණක තිබේ නම් පමණි.

අර්ථ දැක්වීම. අංකය කැඳවනු ලැබේ බහුපද මූලය, ඒ වෙනුවට මෙම අංකය සැකසීමේදී නම් xබහුපදය 0 අගය ගනී, i.e. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සමීකරණයේ මූලය වනු ඇත

මේ අනුව, බහුපදයක සියලු මූලයන් සහ තාර්කික සමීකරණයක මූලයන් සෙවීමේ ගැටලුව එකම ගැටළුවකි.

දන්නා ඇල්ගොරිතම භාවිතයෙන් පළමු සහ දෙවන අංශකවල තාර්කික සමීකරණ විසඳනු ලැබේ. තුන්වන සහ හතරවන අංශක (කාඩනෝ සහ ෆෙරාරි සූත්‍ර) වල බහුපදවල මූලයන් සෙවීම සඳහා සූත්‍ර ද ඇත, නමුත් ඒවායේ අවුල් සහගත බව නිසා ඒවා ප්‍රාථමික ගණිත පාඨමාලාවට ඇතුළත් නොවේ.

ඉහළ උපාධිවල බහුපදවල මූලයන් සෙවීමේ සාමාන්‍ය අදහස වන්නේ බහුපද සාධක කිරීම සහ සමීකරණය අඩු අංශකයේ සමාන සමීකරණ කට්ටලයක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමයි.

පෙර මාතෘකා වලදී, බහුපද සාධක කිරීමේ ප්රධාන ක්රම සටහන් කර ඇත: පොදු සාධකයක් ගැනීම; කණ්ඩායම්ගත කිරීම; සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර.

කෙසේ වෙතත්, කණ්ඩායම් ක්‍රමය ඇල්ගොරිතම ස්වභාවයක් නොවේ, එබැවින් එය විශාල අංශක බහුපදවලට යෙදීම අපහසුය. ඉහළ උපාධිවල බහුපද සාධක කිරීමට අපට ඉඩ සලසන අමතර ප්‍රමේයයන් සහ ක්‍රම කිහිපයක් සලකා බලමු.

ඉතිරිය සමඟ බෙදීම පිළිබඳ ප්‍රමේයය.බහුපද ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න, සහ උපාධිය 0 ට වඩා වෙනස් වන අතර උපාධිය උපාධියට වඩා වැඩි වේ. එවිට සමානාත්මතාවය වැනි බහුපද පවතී

එපමණක් නොව, උපාධියකට වඩා අඩු උපාධියක් බහුපදයක් ලෙස හැඳින්වේ බෙදිය හැකි, බහුපද බෙදුම්කරු,බහුපද අසම්පූර්ණ පුද්ගලික, සහ බහුපද ඉතිරිය .

බෙදීමේ ඉතිරිය 0 නම්, අපි එය කියමු කොටස්මත සම්පූර්ණයෙන්ම, සහ සමානාත්මතාවය ස්වරූපය ගනී:

බහුපදයක් බහුපදයකින් බෙදීමේ ඇල්ගොරිතම, තීරුවකින් හෝ කොනකින් අංකයකින් බෙදීමේ ඇල්ගොරිතමයට සමාන වේ. අපි ඇල්ගොරිතමයේ පියවර විස්තර කරමු.

විචල්‍යයේ සියලුම බල ඇතුළුව ලාභාංශ රේඛාවක් මත ලියන්න (අතුරුදහන් වූ ඒවා 0 සංගුණකයකින් ලියන්න).

විචල්‍යයේ සියලුම බලතල ඇතුළුව "කෙළවරේ" ලාභාංශය ලියන්න.

අසම්පූර්ණ ප්‍රතිශතයක පළමු පදය (ඒක පදය) සොයා ගැනීමට, ඔබ ලාභාංශයේ ප්‍රමුඛ ඒකාධිකාරය බෙදුම්කරුගේ ප්‍රමුඛ ඒකාධිකාරයෙන් බෙදිය යුතුය.

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ප්‍රමාණයේ පළමු පදය සම්පූර්ණ භාජකයෙන් ගුණ කර ප්‍රතිඵලය ලාභාංශය යටතේ ලියන්න, සහ විචල්‍යයේ එකම බල එකිනෙක යටතේ ලියන්න.

ලාභාංශයෙන් ලැබෙන නිෂ්පාදිතය අඩු කරන්න.

1 වන ලක්ෂ්‍යයෙන් ආරම්භ වන ඉතිරි කොටස සඳහා ඇල්ගොරිතම යොදන්න.

ප්‍රතිඵලය වන වෙනස බෙදුම්කරුගේ උපාධියට වඩා අඩු උපාධියක් ඇති විට ඇල්ගොරිතම සම්පූර්ණ වේ. මේ ඉතිරිය.

උදාහරණයක්. බහුපද බෙදන්න.

ලාභාංශ සහ බෙදුම්කරු ලිවීම

ක්රියා පටිපාටිය නැවත කරන්න

උපාධිය බෙදුම්කරුගේ උපාධියට වඩා අඩුය. ඉතින් මේක තමයි ඉතුරු ටික. බෙදීමේ ප්‍රතිඵලය මෙසේ ලියනු ලැබේ.

හෝනර්ගේ යෝජනා ක්රමය.බෙදුම්කරු පළමු උපාධියේ බහුපදයක් නම්, බෙදීමේ ක්රියා පටිපාටිය සරල කළ හැකිය. බහුපදයක් ද්විපදයකින් බෙදීමේ ඇල්ගොරිතම සලකා බලන්න.

උදාහරණයක්. හෝනර්ගේ යෝජනා ක්‍රමයට බහුපද බෙදන්න. මේ අවස්ථාවේ දී ඒ=2. පියවරෙන් පියවර ඇල්ගොරිතම ක්‍රියාත්මක කිරීමේ ප්‍රතිඵල අපි සටහන් කරමු.

මේ අනුව, අපි බෙදීමේ ප්රතිඵලය පහත පරිදි ලියන්නෙමු

අදහස් දක්වන්න.ඔබට ද්විපදයකින් බෙදීමට අවශ්‍ය නම්

එවිට එය පෝරමයට පරිවර්තනය වේ. මෙයින් පැහැදිලි වන්නේ, හෝනර්ගේ යෝජනා ක්‍රමයෙන් බෙදීමෙන් අප සොයා ගන්නා බව ය.එවිට සොයාගත් දේ බෙදීමෙන් අපේක්ෂිත ප්‍රමාණය ලැබෙනු ඇත. ඒ. ඉතිරිය එලෙසම පවතී.

Bezout ගේ ප්‍රමේයය. බහුපදයක් බෙදීමේදී ඉතිරිය ලක්ෂ්‍යයේ ඇති බහුපදයේ අගයට සමාන වේ x = ඒ, i.e. . බහුපදයක් නම් සහ නම් පමණක් ශේෂයක් නොමැතිව බෙදිය හැකිය x = ඒබහුපදයේ මුල වේ.

මේ අනුව, බහුපදයේ එක් මූලයක් සොයාගෙන ඇත ඒ , උපාධියට වඩා අඩුවෙන් උපාධියක් ඇති සාධකය තෝරාගැනීමෙන් අපට එය ෆැක්ටරයිස් කළ හැක. මෙම සාධකය හෝර්නර්ගේ යෝජනා ක්රමය භාවිතයෙන් හෝ කෙළවරකින් බෙදීමෙන් සොයා ගත හැක.

මූලය සෙවීමේ ප්‍රශ්නය තෝරා ගැනීම මගින් හෝ බහුපදයක තාර්කික මූලයන් මත ප්‍රමේයය භාවිතා කිරීම මගින් විසඳනු ලැබේ.

ප්රමේයය.බහුපදයට ඉඩ දෙන්න නිඛිල සංගුණක ඇත. අඩු කළ නොහැකි භාගයක් බහුපදයක මූලය නම්, එහි සංඛ්‍යාව පිනිදහස් පදයේ බෙදුම්කරු වන අතර හරය වේ qප්රමුඛ සංගුණකයේ බෙදුම්කරු වේ.

මෙම ප්‍රමේයය යටින් පවතී තාර්කික මූලයන් සොයා ගැනීම සඳහා ඇල්ගොරිතමබහුපද (ඇත්නම්).

වීජීය භාගයක් සරල භාග එකතුවකට වියෝජනය කිරීම

අර්ථ දැක්වීමසංඛ්‍යාත්මකව සහ හරයෙහි බහුපද අඩංගු වන කොටසක් ලෙස හැඳින්වේ වීජීය භාගය .

එක් විචල්‍යයක වීජීය භාග සලකා බලමු. ඒවා පහත පරිදි සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් ලිවිය හැක: , සංඛ්‍යාංකයේ උපාධියේ බහුපදයක් අඩංගු වේ n, හරය යනු උපාධියේ බහුපදයකි කේ. එසේ නම්, භාගය ලෙස හැඳින්වේ නිවැරදි .

දක්වා සරල වීජීය භාගනිසි භාග වර්ග දෙකක් තිබේ:

ප්රමේයය.ඕනෑම වීජීය භාගයක් සරලම වීජීය භාගවල එකතුවක් ලෙස දැක්විය හැක.

වීජීය භාගයක් සරල භාග එකතුවක් බවට වියෝජනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම.

හරය සාධකය කරන්න.

නිසි භාග ගණන සහ ඒවායේ හරයේ වර්ගය තීරණය කරන්න.

සමානාත්මතාවක් ලියන්න, එහි වම් පැත්තේ මුල් භාගය, දකුණු පැත්තේ තීරණය නොකළ සංගුණක සහිත සරලම භාගවල එකතුව.

දකුණු පැත්තේ භාග පොදු හරයකට අඩු කරන්න.

භාගවල සංඛ්‍යාවල බහුපද සමාන කරන්න. බහුපදවල සමානාත්මතාවයේ නිර්වචනය භාවිතා කරමින්, රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් නිර්මාණය කර තීරණය නොකළ සංගුණක සොයා ගැනීමෙන් එය විසඳන්න.

"වෘත්තීය ගණිත උපදේශක" වෙබ් අඩවිය ඉගැන්වීම පිළිබඳ ක්‍රමවේද ලිපි මාලාව දිගටම කරගෙන යයි. පාසල් විෂය මාලාවේ වඩාත් සංකීර්ණ හා ගැටළු සහගත මාතෘකා සමඟ මගේ වැඩ කිරීමේ ක්‍රම පිළිබඳ විස්තර මම ප්‍රකාශයට පත් කරමි. 8-11 ශ්‍රේණිවල සිසුන් සමඟ සාමාන්‍ය වැඩසටහනේ සහ ගණිත පන්තිවල වැඩ සටහනේ වැඩ කරන ගණිතය පිළිබඳ ගුරුවරුන්ට සහ ගුරුවරුන්ට මෙම තොරතුරු ප්‍රයෝජනවත් වනු ඇත.

ගණිත උපදේශකයෙකුට සෑම විටම පෙළ පොතේ දුර්වල ලෙස ඉදිරිපත් කර ඇති කරුණු පැහැදිලි කළ නොහැක. අවාසනාවකට මෙන්, එවැනි මාතෘකා වඩ වඩාත් බහුල වෙමින් පවතින අතර, අත්පොත් වල කතුවරුන් අනුගමනය කරන ඉදිරිපත් කිරීමේ දෝෂ විශාල වශයෙන් සිදු වේ. මෙය ආරම්භක ගණිත ගුරුවරුන්ට සහ අර්ධකාලීන ගුරුවරුන්ට (උපදේශකයින් යනු සිසුන් සහ විශ්ව විද්‍යාල ගුරුවරුන්) පමණක් නොව පළපුරුදු ගුරුවරුන්, වෘත්තීය උපදේශකයින්, පළපුරුද්ද සහ සුදුසුකම් ඇති ගුරුවරුන් සඳහා ද අදාළ වේ. සියලුම ගණිත ගුරුවරුන්ට පාසල් පෙළපොත්වල රළු දාර දක්ෂ ලෙස නිවැරදි කිරීමට හැකියාවක් නැත. මෙම නිවැරදි කිරීම් (හෝ එකතු කිරීම්) අවශ්‍ය බව සෑම කෙනෙකුටම වැටහෙන්නේ නැත. දරුවන් විසින් එහි ගුණාත්මක සංජානනය සඳහා ද්රව්යය අනුවර්තනය කිරීමට කුඩා දරුවන් සම්බන්ධ වේ. අවාසනාවකට මෙන්, ගණිත ගුරුවරුන්, ක්‍රමවේදයන් සහ ප්‍රකාශන කතුවරුන් සමඟ එක්ව පෙළ පොතේ සෑම අකුරක්ම සමූහ වශයෙන් සාකච්ඡා කළ කාලය ගෙවී ගොස් ඇත. මීට පෙර, පාසල්වලට පෙළපොතක් නිකුත් කිරීමට පෙර, ඉගෙනුම් ප්රතිඵල පිළිබඳ බරපතල විශ්ලේෂණයන් සහ අධ්යයනයන් සිදු කරන ලදී. ශක්තිමත් ගණිත පන්තිවල ප්‍රමිතීන්ට අනුකූලව පෙළපොත් විශ්වීය කිරීමට උත්සාහ කරන ආධුනිකයන්ට කාලය පැමිණ තිබේ.

තොරතුරු ප්‍රමාණය වැඩි කිරීමේ තරඟය එහි උකහා ගැනීමේ ගුණාත්මක භාවයේ අඩුවීමක් පමණක් වන අතර එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ගණිතය පිළිබඳ සැබෑ දැනුමේ මට්ටම අඩු වේ. නමුත් කිසිවකු මේ ගැන අවධානය යොමු කරන්නේ නැහැ. අපගේ දරුවන්ට දැනටමත් 8 වන ශ්‍රේණියේ සිටින, අප ආයතනයේ ඉගෙන ගත් දේ අධ්‍යයනය කිරීමට බල කර ඇත: සම්භාවිතා න්‍යාය, ඉහළ මට්ටමේ සමීකරණ විසඳීම සහ වෙනත් දෙයක්. දරුවෙකුගේ සම්පූර්ණ සංජානනය සඳහා පොත්වල ඇති කරුණු අනුවර්තනය කිරීම අපේක්ෂා කිරීමට බොහෝ දේ ඉතිරි වන අතර ගණිත උපදේශකයෙකුට කෙසේ හෝ මේ සමඟ කටයුතු කිරීමට බල කෙරෙයි.

වැඩිහිටි ගණිතයේ "Bezout's theorem and Horner's scheme" ලෙස වඩාත් ප්‍රචලිත “බහුපදයක් බහුපදයකින් බහුපදයක් මුල්ලකින් බෙදීම” වැනි විශේෂිත මාතෘකාවක් ඉගැන්වීමේ ක්‍රමවේදය ගැන කතා කරමු. මීට වසර කිහිපයකට පෙර, ප්‍රධාන පාසල් විෂය මාලාවේ කොටසක් නොවූ බැවින්, ගණිත උපදේශකයෙකු සඳහා ප්‍රශ්නය එතරම් තද නොවීය. දැන් ටෙලියාකොව්ස්කි විසින් සංස්කරණය කරන ලද පෙළපොතෙහි ගෞරවනීය කතුවරුන්, මගේ මතය අනුව, හොඳම පෙළ පොතේ නවතම සංස්කරණයේ වෙනස්කම් සිදු කර ඇති අතර, එය සම්පූර්ණයෙන්ම නරක් කර, උපදේශකයාට අනවශ්‍ය කරදර එකතු කර ඇත. කතුවරුන්ගේ නවෝත්පාදනයන් කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමින් ගණිතයේ තත්ත්වය නොමැති පාසල් සහ පන්තිවල ගුරුවරුන් බොහෝ විට ඔවුන්ගේ පාඩම් වලට අමතර ඡේද ඇතුළත් කිරීමට පටන් ගත් අතර ගවේෂණශීලී දරුවන් ඔවුන්ගේ ගණිත පෙළ පොතේ ලස්සන පිටු දෙස බලමින් වැඩි වැඩියෙන් අසති. ගුරුවරයා: “කොනකින් මේ බෙදීම යනු කුමක්ද? අපි මේ හරහා යන්නද? කොනක් බෙදා ගන්නේ කෙසේද? එවැනි සෘජු ප්‍රශ්නවලින් තවදුරටත් සැඟවීමක් නැත. ගුරුවරයා දරුවාට යමක් පැවසිය යුතුය.

නමුත් ලෙස? මාතෘකාව සමඟ වැඩ කිරීමේ ක්‍රමය පෙළපොත්වල දක්ෂ ලෙස ඉදිරිපත් කළේ නම් මම බොහෝ විට විස්තර නොකරමි. සෑම දෙයක්ම අප සමඟ යන්නේ කෙසේද? පෙළපොත් මුද්‍රණය කරලා විකුණන්න ඕන. මේ සඳහා ඔවුන් නිතිපතා යාවත්කාලීන කළ යුතුය. විශ්ව විද්‍යාල ආචාර්යවරුන් මැසිවිලි නඟන්නේ දැනුමක් හා කුසලතාවක් නොමැතිව දරුවන් හිස් හිසින් ඔවුන් වෙත පැමිණෙන බවටද? ගණිත දැනුම සඳහා අවශ්‍යතා වැඩි වේද? මහා! අපි සමහර අභ්‍යාස ඉවත් කර ඒ වෙනුවට වෙනත් වැඩසටහන් වල අධ්‍යයනය කරන මාතෘකා ඇතුළත් කරමු. අපේ පෙළපොත නරක ඇයි? අපි අමතර පරිච්ඡේද කිහිපයක් ඇතුළත් කරන්නෙමු. කොනක් බෙදීමේ රීතිය පාසල් සිසුන් නොදන්නේද? මෙය මූලික ගණිතයයි. මෙම ඡේදය "වැඩිදුර දැන ගැනීමට කැමති අය සඳහා" යන මාතෘකාවෙන් විකල්ප කළ යුතුය. එයට විරුද්ධ ගුරුවරුද? අපි පොදුවේ ගුරුවරුන් ගැන සැලකිලිමත් වන්නේ ඇයි? ක්‍රමවේද සහ පාසල් ගුරුවරුත් විරුද්ධයි? අපි ද්රව්යය සංකීර්ණ නොකරන අතර එහි සරලම කොටස සලකා බලමු.

එය ආරම්භ වන්නේ මෙතැනින් ය. මාතෘකාවේ සරල බව සහ එහි උකහා ගැනීමේ ගුණාත්මක භාවය, පළමුවෙන්ම, එහි තර්කනය අවබෝධ කර ගැනීමේදී මිස, පෙළපොත් කතුවරුන්ගේ උපදෙස් වලට අනුකූලව, එකිනෙකට පැහැදිලිව සම්බන්ධ නොවන යම් යම් මෙහෙයුම් සමූහයක් ඉටු කිරීමේදී නොවේ. . එසේ නොමැති නම්, ශිෂ්යයාගේ හිසෙහි මීදුම ඇති වනු ඇත. කතුවරුන් සාපේක්ෂව ශක්තිමත් සිසුන් ඉලක්ක කරන්නේ නම් (නමුත් නිතිපතා වැඩසටහනක අධ්‍යයනය කරයි), එවිට ඔබ මාතෘකාව විධාන ආකෘතියකින් ඉදිරිපත් නොකළ යුතුය. පෙළපොතෙහි අප දකින්නේ කුමක්ද? දරුවෙනි, අපි මේ නීතියට අනුව බෙදිය යුතුයි. කෝණය යටතේ බහුපද ලබා ගන්න. මේ අනුව, මුල් බහුපද සාධකකරණය වනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, කෙළවරට යටින් ඇති නියමයන් හරියටම මේ ආකාරයෙන් තෝරාගෙන ඇත්තේ මන්දැයි තේරුම් ගැනීමට පැහැදිලි නැත, ඒවා කෙළවරට ඉහළින් ඇති බහුපදයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර පසුව වත්මන් ඉතිරියෙන් අඩු කළ යුතුය. සහ වඩාත්ම වැදගත් දෙය නම්, තෝරාගත් ඒකමතික අවසානයේ එකතු කළ යුත්තේ ඇයිද යන්න සහ එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන වරහන් මුල් බහුපදයේ ප්‍රසාරණය වන්නේ මන්දැයි පැහැදිලි නැත. ඕනෑම දක්ෂ ගණිතඥයෙක් පෙළපොතෙහි දක්වා ඇති පැහැදිලි කිරීම් මත තද ප්‍රශ්නාර්ථ ලකුණක් තබයි.

පාඩම් පොතේ දක්වා ඇති සෑම දෙයක්ම ප්‍රායෝගිකව ශිෂ්‍යයාට පැහැදිලි වන ගැටලුවට මගේ විසඳුම මම ගුරුවරුන්ගේ සහ ගණිත ගුරුවරුන්ගේ අවධානයට යොමු කරමි. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි Bezout ගේ ප්‍රමේයය ඔප්පු කරන්නෙමු: අංකය a බහුපදයක මූලය නම්, මෙම බහුපදය සාධක වලට වියෝජනය කළ හැකිය, ඉන් එකක් x-a වන අතර දෙවැන්න මුල් එකෙන් ආකාර තුනකින් ලබා ගනී: පරිවර්තනයන් හරහා රේඛීය සාධකයක් හුදකලා කිරීමෙන්, කෙළවරකින් බෙදීමෙන් හෝ හෝනර්ගේ යෝජනා ක්‍රමය මගින්. ගණිත උපදේශකයෙකුට වැඩ කිරීමට පහසු වනු ඇත්තේ මෙම සූත්‍රගත කිරීමෙනි.

ඉගැන්වීමේ ක්‍රමවේදය යනු කුමක්ද? පළමුවෙන්ම, මෙය ගණිතමය නිගමනවලට එළඹෙන පදනම මත පැහැදිලි කිරීම් සහ උදාහරණ අනුපිළිවෙලෙහි පැහැදිලි අනුපිළිවෙලකි. මෙම මාතෘකාව ව්යතිරේකයක් නොවේ. ගණිත උපදේශකයෙකුට Bezout ගේ ප්‍රමේයය දරුවාට හඳුන්වා දීම ඉතා වැදගත් වේ. කෙළවරකින් බෙදීමට පෙර. එය ඉතා වැදගත්! නිශ්චිත උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් අවබෝධය ලබා ගැනීම වඩාත් සුදුසුය. 7 වැනි ශ්‍රේණියේ සිට පාසල් සිසුන්ට හුරුපුරුදු අනන්‍යතා පරිවර්තන ක්‍රමය භාවිතා කරමින් තෝරාගත් මූලයක් සහිත බහුපද කිහිපයක් ගෙන එය සාධක බවට පත් කිරීමේ තාක්‍ෂණය පෙන්වමු. ගණිත උපදේශකයෙකුගේ සුදුසු පැහැදිලි කිරීම්, අවධාරණය සහ ඉඟි සමඟ, කිසිදු සාමාන්‍ය ගණිතමය ගණනය කිරීම්, අත්තනෝමතික සංගුණක සහ උපාධි නොමැතිව ද්‍රව්‍ය ප්‍රකාශ කිරීම තරමක් කළ හැකිය.

ගණිත උපදේශකයෙකුට වැදගත් උපදෙස්- ආරම්භයේ සිට අවසානය දක්වා උපදෙස් අනුගමනය කරන්න, මෙම අනුපිළිවෙල වෙනස් නොකරන්න.

ඉතින් අපි කියමු අපිට බහුපදයක් තියෙනවා කියලා. අපි එහි X වෙනුවට අංක 1 ආදේශ කරන්නේ නම්, බහුපදයේ අගය ශුන්‍යයට සමාන වේ. එබැවින් x=1 එහි මූල වේ. අපි එය පද දෙකකට වියෝජනය කිරීමට උත්සාහ කරමු, එවිට ඒවායින් එකක් රේඛීය ප්‍රකාශනයක සහ යම් ඒකාධිකාරයක ප්‍රතිඵලයක් වන අතර දෙවැන්නට උපාධියක් අඩු වේ. එනම්, අපි එය ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කරමු

අපි රතු ක්ෂේත්‍රය සඳහා ඒකාධිකාරය තෝරා ගන්නා අතර එමඟින් ප්‍රමුඛ පදයෙන් ගුණ කළ විට, එය මුල් බහුපදයේ ප්‍රමුඛ පදය සමඟ සම්පූර්ණයෙන්ම සමපාත වේ. ශිෂ්‍යයා දුර්වලම නොවේ නම්, ඔහු ගණිත උපදේශකයාට අවශ්‍ය ප්‍රකාශය පැවසීමට තරමක් සමත් වනු ඇත: . එය රතු ක්ෂේත්‍රයට ඇතුළු කර ඒවා විවෘත කළ විට කුමක් සිදුවේද යන්න පෙන්වීමට උපදේශකයා වහාම ඉල්ලා සිටිය යුතුය. මෙම අතථ්‍ය තාවකාලික බහුපද ඊතල යටතේ (කුඩා ඡායාරූපය යටතේ) අත්සන් කිරීම වඩාත් සුදුසුය, එය යම් වර්ණයකින් ඉස්මතු කරන්න, උදාහරණයක් ලෙස නිල්. මෙය ඔබට රතු ක්ෂේත්‍රය සඳහා පදයක් තෝරා ගැනීමට උදවු කරයි, තේරීමේ ඉතිරිය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ඉතිරිය අඩු කිරීමෙන් සොයාගත හැකි බව මෙහි පෙන්වා දෙන ලෙස මම උපදේශකයින්ට උපදෙස් දෙමි. මෙම මෙහෙයුම සිදු කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:



මෙම සමානාත්මතාවයට එකක් ආදේශ කිරීමෙන්, එහි වම් පැත්තෙන් (1 මුල් බහුපදයේ මූලය වන බැවින්) ශුන්‍යය ලබා ගැනීමට අපට සහතික වන බවත්, දකුණු පසින්, පැහැදිලිවම, අපි ශිෂ්‍යයාගේ අවධානයට යොමු කළ යුතුය. පළමු වාරය ද ශුන්‍ය කරනු ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ කිසිදු සත්‍යාපනයකින් තොරව අපට “හරිත ඉතිරි” මූලය බව පැවසිය හැකි බවයි.

අපි මුල් බහුපද සමඟ කළ ආකාරයටම එය සමඟ ගනුදෙනු කරමු, එයින් එකම රේඛීය සාධකය හුදකලා කරමු. ගණිත ගුරුවරයා ශිෂ්‍යයා ඉදිරිපිට රාමු දෙකක් අඳිමින් වමේ සිට දකුණට පුරවන ලෙස ඉල්ලා සිටී.



ශිෂ්‍යයා ගුරුවරයා සඳහා රතු ක්ෂේත්‍රය සඳහා ඒකාධිකාරයක් තෝරා ගන්නා අතර එමඟින් රේඛීය ප්‍රකාශනයේ ප්‍රමුඛ පදයෙන් ගුණ කළ විට, එය ප්‍රසාරණය වන බහුපදයේ ප්‍රමුඛ පදය ලබා දෙයි. අපි එය රාමුවට සවි කර, වහාම වරහන විවෘත කර නැමෙන එකෙන් අඩු කළ යුතු ප්‍රකාශනය නිල් පැහැයෙන් උද්දීපනය කරන්නෙමු. මෙම මෙහෙයුම සිදු කිරීමෙන් අපට ලැබේ



අවසාන වශයෙන්, අවසාන ඉතිරිය සමඟද එයම කරන්න



අපි එය අවසානයේ ලබා ගනිමු



දැන් අපි ප්‍රකාශනය වරහනෙන් ඉවතට ගනිමු, එවිට මුල් බහුපදයේ වියෝජනය සාධක බවට පත් කිරීම අපට පෙනෙනු ඇත, ඉන් එකක් "තෝරාගත් මූලය x අඩු කිරීම" වේ.

අවසාන “හරිත ඉතිරිය” අහම්බෙන් අවශ්‍ය සාධකවලට දිරාපත් වූ බව ශිෂ්‍යයාට නොසිතීම සඳහා, ගණිත උපදේශකයා සියලු හරිත ඉතිරිවල වැදගත් ගුණාංගයක් පෙන්වා දිය යුතුය - ඒ සෑම එකක්ම 1 හි මූලයක් ඇත. මෙම ශේෂයන් අඩු වේ, එවිට අපට කොපමණ බහුපදයක් ලබා දුන්නද, මුලික මට්ටම කුමක් වුවත්, ඉක්මනින් හෝ පසුව අපට මූල 1 සමඟ රේඛීය “හරිත ඉතිරියක්” ලැබෙනු ඇත, එබැවින් එය අනිවාර්යයෙන්ම නිශ්චිත නිෂ්පාදනයක් බවට දිරාපත් වනු ඇත. අංකය සහ ප්රකාශනයක්.

එවැනි සූදානම් වීමේ කාර්යයෙන් පසු, ගණිත උපදේශකයෙකුට කොනකින් බෙදීමේදී සිදුවන්නේ කුමක්ද යන්න ශිෂ්‍යයාට පැහැදිලි කිරීම අපහසු නොවනු ඇත. මෙය එකම ක්‍රියාවලියකි, සමාන සලකුණු නොමැතිව සහ එකම උද්දීපනය කළ නියමයන් නැවත ලිවීමකින් තොරව කෙටි හා වඩා සංයුක්ත ස්වරූපයෙන් පමණි. රේඛීය සාධකය නිස්සාරණය කරන බහුපදය කෙළවරේ වම් පැත්තට ලියා ඇත, තෝරාගත් රතු ඒකාධිකාරයන් කෝණයකින් එකතු කරනු ලැබේ (ඒවා එකතු කළ යුත්තේ මන්දැයි දැන් පැහැදිලි වේ), “නිල් බහුපද”, “රතු” ලබා ගැනීම සඳහා ” ඒවා x-1 න් ගුණ කළ යුතු අතර, පසුව සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා තීරුවකට බෙදීමේදී මෙය සිදු කරන්නේ කෙසේදැයි දැනට තෝරාගෙන ඇති දෙයින් අඩු කළ යුතුය (මෙන්න කලින් අධ්‍යයනය කළ දේ සමඟ ප්‍රතිසමයක්). එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන් "හරිත අවශේෂ" නව හුදකලා කිරීම සහ "රතු මොනොමියල්" තෝරාගැනීමට යටත් වේ. ඔබ ශුන්ය "හරිත ශේෂය" ලබා ගන්නා තෙක් එසේ ය. වැදගත්ම දෙය නම් ශිෂ්‍යයා කෝණයට ඉහළින් සහ පහළින් ලිඛිත බහුපදවල තවදුරටත් ඉරණම තේරුම් ගැනීමයි. නිසැකවම, මේවා මුල් බහුපදයට සමාන නිෂ්පාදනයක් වන වරහන් වේ.

ගණිත උපදේශකයෙකුගේ කාර්යයේ ඊළඟ අදියර වන්නේ Bezout ගේ ප්රමේයය සැකසීමයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, උපදේශකයාගේ මෙම ප්‍රවේශය සමඟ එහි සූත්‍රගත කිරීම පැහැදිලි වේ: අංකය a බහුපදයක මුල නම්, එය සාධකකරණය කළ හැකිය, ඉන් එකක් වන්නේ , සහ අනෙක මුල් එකෙන් ආකාර තුනකින් එකකි. :

• සෘජු වියෝජනය (කාණ්ඩගත කිරීමේ ක්රමයට සමාන)
• කොනකින් බෙදීම (තීරුවක)
• හෝනර්ගේ පරිපථය හරහා

සියලුම ගණිත ගුරුවරුන් තම සිසුන්ට අං රූප සටහන නොපෙන්වන බව පැවසිය යුතු අතර, සියලුම පාසල් ගුරුවරුන් (වාසනාවකට මෙන් ගුරුවරුන් සඳහාම) පාඩම් අතරතුර මාතෘකාවට එතරම් ගැඹුරට නොයති. කෙසේ වෙතත්, ගණිත පන්තියේ ශිෂ්‍යයෙකුට, දිගු බෙදීමකින් නතර වීමට කිසිදු හේතුවක් මම නොදකිමි. එපමණක්ද නොව, වඩාත් පහසු සහ ඉක්මනින්දිරාපත්වීමේ තාක්ෂණය හරියටම හෝර්නර්ගේ යෝජනා ක්රමය මත පදනම් වේ. එය පැමිණෙන්නේ කොතැනින්ද යන්න දරුවෙකුට පැහැදිලි කිරීම සඳහා, කොනකින් බෙදීමේ උදාහරණය භාවිතා කරමින්, හරිත අවශේෂවල ඉහළ සංගුණකවල පෙනුම සොයා ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ. ආරම්භක බහුපදයේ ප්‍රමුඛ සංගුණකය පළමු “රතු ඒකාධිකාරයේ” සංගුණකය වෙත ගෙන යන බවත්, වත්මන් ඉහළ බහුපදයේ දෙවන සංගුණකයෙන් ඉදිරියට ගෙන යන බවත් පැහැදිලි වේ. අඩු කළා"රතු මොනොමියල්" හි වත්මන් සංගුණකය ගුණ කිරීමේ ප්රතිඵලය. එබැවින් එය හැකි ය එකතු කරන්නමගින් ගුණ කිරීමේ ප්රතිඵලය. සංගුණක සමඟ ක්‍රියාවන්හි විශේෂතා කෙරෙහි ශිෂ්‍යයාගේ අවධානය යොමු කිරීමෙන් පසු, ගණිත උපදේශකයෙකුට විචල්‍යයන් වාර්තා නොකර සාමාන්‍යයෙන් මෙම ක්‍රියා සිදු කරන ආකාරය පෙන්විය හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පහත වගුවේ ප්‍රමුඛතාවය අනුව මුල් බහුපදයේ මූල සහ සංගුණක ඇතුළත් කිරීම පහසුය:



බහුපදයක කිසියම් උපාධියක් අස්ථානගත වී ඇත්නම්, එහි ශුන්‍ය සංගුණකය වගුවට බල කෙරේ. “රතු බහුපදවල” සංගුණක “කොක්ක” රීතියට අනුව පහළ පේළියේ ලියා ඇත:


මූලය අවසාන රතු සංගුණකය මගින් ගුණ කරනු ලැබේ, ඉහළ පේළියේ ඊළඟ සංගුණකය වෙත එකතු කරනු ලැබේ, සහ ප්රතිඵලය පහළ රේඛාවට ලියා ඇත. අවසාන තීරුවේ අවසාන "හරිත ඉතිරි", එනම් ශුන්යයේ ඉහළම සංගුණකය ලබා ගැනීමට අපට සහතික වේ. ක්රියාවලිය අවසන් වූ පසු, සංඛ්යා ගැළපෙන මූල සහ ශුන්‍ය ඉතිරිය අතර සැන්ඩ්විච් කර ඇතදෙවන (රේඛීය නොවන) සාධකයේ සංගුණක බවට හැරේ.



a මූලය පහළ රේඛාවේ අවසානයේ ශුන්‍යයක් ලබා දෙන බැවින්, බහුපදයක මූලයේ මාතෘකාව සඳහා සංඛ්‍යා පරීක්ෂා කිරීමට හෝනර්ගේ යෝජනා ක්‍රමය භාවිතා කළ හැක. තාර්කික මූලයක් තෝරාගැනීම පිළිබඳ විශේෂ ප්රමේයයක් නම්. එහි ආධාරයෙන් ලබාගත් මෙම මාතෘකාව සඳහා සියලුම අපේක්ෂකයින් වමේ සිට හෝනර්ගේ රූප සටහනට සරලව ඇතුළත් කර ඇත. අපි ශුන්‍යය ලබා ගත් වහාම, පරීක්‍ෂා කරන ලද අංකය මූලයක් වනු ඇති අතර, ඒ සමඟම එහි රේඛාවේ මුල් බහුපදයේ සාධකකරණයේ සංගුණක අපට ලැබෙනු ඇත. ඉතා සුවපහසුයි.

අවසාන වශයෙන්, හෝනර්ගේ යෝජනා ක්‍රමය නිවැරදිව හඳුන්වා දීමට මෙන්ම මාතෘකාව ප්‍රායෝගිකව තහවුරු කිරීමට ගණිත උපදේශකයෙකුට ප්‍රමාණවත් පැය ගණනක් තිබිය යුතු බව මම සටහන් කිරීමට කැමැත්තෙමි. "සතියකට වරක්" පාලන තන්ත්රය සමඟ වැඩ කරන උපදේශකයෙකු කොන් බෙදීමෙහි නිරත නොවිය යුතුය. ගණිතයේ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේදී සහ ගණිතය පිළිබඳ රාජ්‍ය ගණිත ඇකඩමියේ දී, පළමු කොටසේදී ඔබට එවැනි ක්‍රම මගින් විසඳිය හැකි තුන්වන උපාධියේ සමීකරණයක් හමුවනු ඇතැයි සිතිය නොහැක. උපදේශකයෙකු මොස්කව් ප්‍රාන්ත විශ්ව විද්‍යාලයේ ගණිත විභාගයක් සඳහා දරුවෙකු සූදානම් කරන්නේ නම්, මාතෘකාව අධ්‍යයනය කිරීම අනිවාර්ය වේ. විශ්ව විද්‍යාල ගුරුවරුන්, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ සම්පාදකයන් මෙන් නොව, ඇත්ත වශයෙන්ම අයදුම්කරුවෙකුගේ දැනුමේ ගැඹුර පරීක්ෂා කිරීමට කැමතියි.

Kolpakov ඇලෙක්සැන්ඩර් Nikolaevich, ගණිත උපදේශක මොස්කව්, ස්ට්රෝජිනෝ

පෝරමයේ බහුපද
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
සාධකගත කළ හැක හෝනර්ගේ යෝජනා ක්රමය අනුව,අවම වශයෙන් එහි මූලයන් 1 ක් වත් දන්නේ නම්.

උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් හෝනර්ගේ යෝජනා ක්‍රමයට අනුව බෙදීම දෙස බලමු:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

මුලින්ම ඔබ තෝරා ගැනීමේ ක්රමය භාවිතා කර එක් මූලයක් සොයා ගත යුතුය. සාමාන්යයෙන් එය නිදහස් පදයේ බෙදුම්කරු වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, අංකයේ බෙදුම්කරුවන් -10 වේ ±1, ±2, ±5, ±10.අපි ඒවා එකින් එක ආදේශ කිරීම ආරම්භ කරමු:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ අංකය 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ අංකය -1 බහුපදයේ මුල වේ

අපි බහුපදයේ මූලයන් 1 සොයාගෙන ඇත. බහුපදයේ මූලය වේ -1, එනම් මුල් බහුපදය බෙදිය යුතු බවයි x+1. බහුපද බෙදීම සිදු කිරීම සඳහා, අපි හෝනර්ගේ යෝජනා ක්රමය භාවිතා කරමු:

	2	9	-10	-27	-10
-1

මුල් බහුපදයේ සංගුණක ඉහළ පේළියේ පෙන්වයි. අපි සොයාගත් මූලය දෙවන පේළියේ පළමු කොටුවේ තබා ඇත -1. දෙවන පේළියේ බෙදීමෙන් ඇතිවන බහුපදයේ සංගුණක අඩංගු වේ. ඒවා පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	දෙවන පේළියේ දෙවන කොටුවේ අපි අංකය ලියන්නෙමු 2, සරලවම එය පළමු පේළියේ අනුරූප කොටුවෙන් ගෙනයාමෙන්.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

අවසාන අංකය බෙදීමේ ඉතිරි කොටසයි. එය 0 ට සමාන නම්, අපි සියල්ල නිවැරදිව ගණනය කර ඇත.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

නමුත් මෙය අවසානය නොවේ. ඔබට එකම ආකාරයෙන් බහුපද පුළුල් කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

නැවතත් අපි නිදහස් පදයේ බෙදුම්කරුවන් අතර මූලයක් සොයමු. අපි දැනටමත් සොයාගෙන ඇති පරිදි, සංඛ්යා බෙදුම්කරුවන් -10 වේ ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ අංකය 1 බහුපද මූලයක් නොවේ

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ අංකය -1 බහුපද මූලයක් නොවේ

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ අංකය 2 බහුපදයේ මුල වේ

සොයාගත් මූලය අපගේ හෝනර් යෝජනා ක්‍රමයට ලියා හිස් කොටු පිරවීම ආරම්භ කරමු:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	තුන්වන පේළියේ දෙවන කොටුවේ අපි අංකය ලියන්නෙමු 2, සරලවම එය දෙවන පේළියේ අනුරූප සෛලයෙන් ගෙනයාමෙන්.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

මේ අනුව, අපි මුල් බහුපදයට සාධක කළෙමු:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

බහුපද 2x 2 + 11x + 5ද සාධකගත කළ හැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට වෙනස්කම් කරන්නා හරහා චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳිය හැකිය, නැතහොත් ඔබට අංකයේ බෙදුම්කරුවන් අතර මූලය සෙවිය හැකිය. 5. එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් ආකාරයකින්, මෙම බහුපදයේ මූලය අංකය බව අපි නිගමනය කරමු -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	හතරවන පේළියේ දෙවන කොටුවේ අපි අංකය ලියන්නෙමු 2, සරලවම එය තුන්වන පේළියේ අනුරූප කොටුවෙන් ගෙනයාමෙන්.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

මේ අනුව, අපි මුල් බහුපද රේඛීය සාධක බවට වියෝජනය කළෙමු.