දේශනය: දෛශික ඛණ්ඩාංක; දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනය; දෛශික අතර කෝණය

දෛශික ඛණ්ඩාංක

ඉතින්, කලින් සඳහන් කළ පරිදි, දෛශිකයක් යනු තමන්ගේම ආරම්භයක් සහ අවසානයක් ඇති අධ්‍යක්ෂණය කළ කොටසකි. ආරම්භය සහ අවසානය සමහර ලක්ෂ්‍ය වලින් නියෝජනය කරන්නේ නම්, ඔවුන්ට තලයේ හෝ අභ්‍යවකාශයේ ඔවුන්ගේම ඛණ්ඩාංක ඇත.

සෑම ලක්ෂයකටම තමන්ගේම ඛණ්ඩාංක තිබේ නම්, අපට සම්පූර්ණ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ලබා ගත හැකිය.

දෛශිකයේ ආරම්භය සහ අවසානය පහත සඳහන් තනතුරු සහ ඛණ්ඩාංක ඇති යම් දෛශිකයක් අප සතුව ඇතැයි සිතමු: A(A x ; Ay) සහ B(B x ; By)

මෙම දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ලබා ගැනීම සඳහා, දෛශිකයේ කෙළවරේ ඛණ්ඩාංක වලින් අනුරූප ආරම්භක ඛණ්ඩාංක අඩු කිරීම අවශ්ය වේ:

අභ්‍යවකාශයේ ඇති දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංකය තීරණය කිරීම සඳහා, පහත සූත්‍රය භාවිතා කරන්න:

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය

තිත් නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ සංකල්පය අර්ථ දැක්වීමට ක්රම දෙකක් තිබේ:

• ජ්යාමිතික මාර්ගය. ඔහුට අනුව, පරිමාණ නිෂ්පාදිතය මෙම මොඩියුලවල අගයන්හි ගුණිතයට සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනයට සමාන වේ.

• වීජීය අර්ථය. වීජ ගණිතයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය අනුරූප දෛශිකවල නිෂ්පාදනවල එකතුවෙන් ලැබෙන නිශ්චිත අගයකි.

දෛශික අවකාශයේ ලබා දී ඇත්නම්, ඔබ සමාන සූත්‍රයක් භාවිතා කළ යුතුය:

දේපළ:

• ඔබ සමාන දෛශික දෙකක් පරිමාණයෙන් ගුණ කළහොත්, ඒවායේ අදිශ නිෂ්පාදනය ඍණාත්මක නොවේ:

• සමාන දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ නම්, මෙම දෛශික ශුන්‍ය ලෙස සලකනු ලැබේ:

• යම් දෛශිකයක් එය විසින්ම ගුණ කළහොත්, අදිශ නිෂ්පාදිතය එහි මාපාංකයේ වර්ගයට සමාන වේ:

• අදිශ නිෂ්පාදනයට සන්නිවේදන ගුණයක් ඇත, එනම් දෛශික ප්‍රගමනයකින් අදිශ නිෂ්පාදනය වෙනස් නොවේ.

• ශුන්‍ය නොවන දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ශුන්‍ය විය හැක්කේ දෛශික එකිනෙක ලම්බක නම් පමණි:

• දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සඳහා, එක් දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේදී සංක්‍රමණ නියමය වලංගු වේ:

• තිත් නිෂ්පාදනයක් සමඟ, ඔබට ගුණ කිරීමේ බෙදාහැරීමේ ගුණය ද භාවිතා කළ හැකිය:

දෛශික අතර කෝණය

අර්ථ දැක්වීම 1

දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය මෙම දෛශිකවල ඩයිනවල ගුණිතයට සමාන සංඛ්‍යාවක් සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනය ලෙස හැඳින්වේ.

a → සහ b → දෛශිකවල ගුණිතය සඳහා වූ අංකනය a → , b → ආකෘතිය ඇත. අපි සූත්‍රයට පරිවර්තනය කරමු:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → සහ b → මගින් දෛශිකවල දිග දක්වයි, a → , b → ^ ලබා දී ඇති දෛශික අතර කෝණය දක්වයි. අවම වශයෙන් එක් දෛශිකයක් ශුන්‍ය නම්, එනම් එහි අගය 0 නම්, ප්‍රතිඵලය ශුන්‍ය වේ, a → , b → = 0

දෛශිකයක් තනිවම ගුණ කරන විට, අපට එහි ඩයිනයේ වර්ගය ලැබේ:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

අර්ථ දැක්වීම 2

දෛශිකයක් විසින්ම අදිශ ගුණ කිරීම අදිශ චතුරස්රයක් ලෙස හැඳින්වේ.

සූත්රය අනුව ගණනය කරනු ලැබේ:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → මඟින් n p b → a → n p b → a → හි a, merical ව්‍යාපෘතියේ ion බව පෙන්වයි. → a → - b → හි ප්‍රක්ෂේපනය පිළිවෙලින් a →.

අපි දෛශික දෙකක් සඳහා නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනය සකස් කරමු:

a → by b → දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය a → දිශාවෙන් b → ප්‍රක්ෂේපණයෙන් හෝ a → හි දිග ප්‍රක්ෂේපණයෙන් b → දිගේ ගුණිතය ලෙස හැඳින්වේ. පිළිවෙලින්.

ඛණ්ඩාංකවල තිත් නිෂ්පාදනය

දී ඇති තලයක හෝ අභ්‍යවකාශයේ ඇති දෛශිකයන්ගේ ඛණ්ඩාංක හරහා අදිශ නිෂ්පාදනයේ ගණනය කිරීම සිදු කළ හැක.

ත්‍රිමාන අවකාශයක තලයක ඇති දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය a → සහ b → ලබා දී ඇති දෛශිකවල ඛණ්ඩාංකවල එකතුව ලෙස හැඳින්වේ.

ලබා දී ඇති දෛශිකවල තිත් ගුණිතයේ තලය මත ගණනය කිරීමේදී a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) Cartesian පද්ධතියේ, භාවිතා කරන්න:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

ත්‍රිමාන අවකාශය සඳහා, ප්‍රකාශනය අදාළ වේ:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය තිත් නිෂ්පාදනයේ තුන්වන අර්ථ දැක්වීමයි.

අපි එය ඔප්පු කරමු.

සාක්ෂි 1

එය සනාථ කිරීම සඳහා, අපි කාර්ටේස් පද්ධතිය මත a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y දෛශික සඳහා a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) භාවිතා කරමු.

වාහකයන් කල් දැමිය යුතුය

O A → = a → = a x, a y සහ O B → = b → = b x, b y .

එවිට A B → දෛශිකයේ දිග A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) ට සමාන වේ.

O A B ත්‍රිකෝණයක් සලකා බලන්න.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) කෝසයින් ප්‍රමේයය මත පදනම්ව සත්‍ය වේ.

කොන්දේසිය අනුව, O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , ඒ නිසා අපි දෛශික අතර කෝණය සොයා ගැනීමේ සූත්‍රය වෙනස් ලෙස ලියන්නෙමු.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

එවිට එය b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , ඒ නිසා (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → බව පළමු අර්ථ දැක්වීමෙන් අනුගමනය කරයි. 2 - b → - a → 2) .

දෛශික වල දිග ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍රය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

අපි සමානකම් ඔප්පු කරමු:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- පිළිවෙලින් ත්‍රිමාන අවකාශයේ දෛශික සඳහා.

ඛණ්ඩාංක සහිත දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය පවසන්නේ දෛශිකයක අදිශ වර්ග පිළිවෙලින් අවකාශයේ සහ තලයේ ඇති එහි ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවට සමාන බවයි. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y, b z) සහ (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

තිත් නිෂ්පාදනය සහ එහි ගුණාංග

a → , b → සහ c → සඳහා අදාළ වන තිත් නිෂ්පාදන ගුණ ඇත:

1. සංක්‍රමණිකතාව (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. බෙදාහැරීමේ හැකියාව (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
3. ආශ්‍රිත ගුණය (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - ඕනෑම අංකයක්;
4. අදිශ චතුරස්‍රය සෑම විටම ශුන්‍යයට වඩා වැඩිය (a → , a →) ≥ 0 , එහිදී (a → , a →) = 0 විට a → ශුන්‍ය වේ.

තලයේ තිත් නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනය සහ තාත්වික සංඛ්‍යා එකතු කිරීමේ සහ ගුණ කිරීමේ ගුණාංග මගින් ගුණාංග පැහැදිලි කෙරේ.

සංක්‍රමණ ගුණය ඔප්පු කරන්න (a → , b →) = (b → , a →) . අර්ථ දැක්වීමෙන් අපට ඇත්තේ (a → , b →) = a y b y + a y b y සහ (b → , a →) = b x a x + b y a y .

සංක්‍රමණ ගුණය අනුව, සමානතා a x · b x = b x · a x සහ a y · b y = b y · a y සත්‍ය වේ, එබැවින් a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

එය පහත දැක්වෙන්නේ (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

ඕනෑම අංකයක් සඳහා බෙදා හැරීම වලංගු වේ:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

සහ (a → , b (1) → + b (2) → +. . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

එබැවින් අපට තිබේ

(a (1) → + a (2) → + .. . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

නිදසුන් සහ විසඳුම් සහිත තිත් නිෂ්පාදනය

එවැනි සැලැස්මක ඕනෑම ගැටළුවක් පරිමාණ නිෂ්පාදනයට අදාළ ගුණාංග සහ සූත්‍ර භාවිතයෙන් විසඳනු ලැබේ:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y හෝ (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

විසඳුම් සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

උදාහරණය 2

a → හි දිග 3, b → හි දිග 7. කෝණයට අංශක 60ක් තිබේ නම් තිත් නිෂ්පාදනය සොයන්න.

විසඳුමක්

කොන්දේසිය අනුව, අප සතුව සියලු දත්ත ඇත, එබැවින් අපි සූත්රය මගින් ගණනය කරමු:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

පිළිතුර: (a → , b →) = 21 2 .

උදාහරණය 3

ලබා දී ඇති දෛශික a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . පරිමාණ නිෂ්පාදනය යනු කුමක්ද?

විසඳුමක්

මෙම උදාහරණයේ දී, ඛණ්ඩාංක ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය සලකා බලනු ලැබේ, මන්ද ඒවා ගැටළු ප්‍රකාශයේ දක්වා ඇත:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

පිළිතුර: (a → , b →) = - 9

උදාහරණය 4

A B → සහ A C → හි අභ්‍යන්තර නිෂ්පාදනය සොයන්න. A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) ලකුණු ඛණ්ඩාංක තලය මත ලබා දී ඇත.

විසඳුමක්

ආරම්භය සඳහා, දෛශික ඛණ්ඩාංක ගණනය කරනු ලැබේ, මන්ද ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක කොන්දේසිය අනුව ලබා දී ඇත:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

ඛණ්ඩාංක භාවිතා කරමින් සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

පිළිතුර: (A B → , A C →) = 28 .

උදාහරණ 5

දෛශික a → = 7 m → + 3 n → සහ b → = 5 m → + 8 n → ලබා දී, ඒවායේ නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න. m → 3 ට සමාන වන අතර n → ඒකක 2 ට සමාන වේ, ඒවා ලම්බක වේ.

විසඳුමක්

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . බෙදා හැරීමේ දේපල යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n n →, 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

අපි නිෂ්පාදනයේ ලකුණෙන් පිටත සංගුණකය ගෙන ලබා ගනිමු:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

සංක්‍රමණික ගුණාංග අනුව, අපි පරිවර්තනය කරන්නේ:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n →,)

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට ලැබෙන්නේ:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

දැන් අපි කොන්දේසිය මගින් දක්වා ඇති කෝණය සමඟ පරිමාණ නිෂ්පාදනය සඳහා සූත්‍රය යොදන්නෙමු:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

පිළිතුර: (a → , b →) = 411

සංඛ්යාත්මක ප්රක්ෂේපණයක් තිබේ නම්.

උදාහරණය 6

a → සහ b → හි අභ්‍යන්තර නිෂ්පාදනය සොයන්න. a → දෛශිකයට a → = (9 , 3 , - 3) ඛණ්ඩාංක ඇත, ප්‍රක්ෂේපණය b → ඛණ්ඩාංක ඇත (- 3 , - 1 , 1) .

විසඳුමක්

කොන්දේසිය අනුව, දෛශික a → සහ ප්‍රක්ෂේපණය b → ප්‍රතිවිරුද්ධ ලෙස යොමු කෙරේ, මන්ද a → = - 1 3 n p a → b → → , එබැවින් b → ප්‍රක්ෂේපණය දිගට අනුරූප වේ n p a → b → → , සහ “-” සමඟ. ලකුණ:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ප්‍රකාශනය ලැබේ:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

පිළිතුර: (a → , b →) = - 33 .

දෛශිකයක දිග හෝ සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රක්ෂේපණයක් සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වන දන්නා පරිමාණ නිෂ්පාදනයක් සමඟ ඇති ගැටළු.

උදාහරණ 7

දී ඇති පරිමාණ නිෂ්පාදනයක් සඳහා λ ගත යුතු අගය a → \u003d (1, 0, λ + 1) සහ b → \u003d (λ, 1, λ) -1 ට සමාන වේ.

විසඳුමක්

ඛණ්ඩාංකවල නිෂ්පාදනවල එකතුව සොයා ගැනීම අවශ්‍ය බව සූත්‍රයෙන් දැකිය හැකිය:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

දී ඇති පරිදි අපට (a → , b →) = - 1 .

λ සොයා ගැනීමට, අපි සමීකරණය ගණනය කරමු:

λ 2 + 2 · λ = - 1, එබැවින් λ = - 1 .

පිළිතුර: λ = - 1 .

පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ භෞතික අර්ථය

යාන්ත්‍ර විද්‍යාව තිත් නිෂ්පාදනයේ යෙදීම සලකා බලයි.

A නියත බලයක් සහිත F → චලනය වන ශරීරයක් සමඟ M ලක්ෂ්‍යයේ සිට N දක්වා වැඩ කරන විට, ඔබට දෛශික F → සහ M N → වල දිග වල ගුණිතය ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයින් සමඟ සොයාගත හැකිය, එයින් අදහස් කරන්නේ කාර්යය සමාන බවයි. බලයේ සහ විස්ථාපන දෛශිකවල ගුණිතයට:

A = (F → , M N →) .

උදාහරණ 8

5 Nton ට සමාන බලයක ක්රියාකාරිත්වය යටතේ මීටර් 3 කින් ද්රව්යමය ලක්ෂ්යයක් විස්ථාපනය කිරීම අක්ෂයට සාපේක්ෂව අංශක 45 ක කෝණයකට යොමු කෙරේ. A සොයන්න.

විසඳුමක්

කාර්යය යනු බල දෛශිකයේ සහ විස්ථාපනයේ නිෂ්පාදනයක් වන බැවින්, F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° යන කොන්දේසිය මත පදනම්ව, අපට A = (F → , S → ලැබේ. ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

පිළිතුර: A = 15 2 2 .

උදාහරණ 9

F → = (3, 1, 2) බලය යටතේ M (2, - 1, - 3) සිට N (5, 3 λ - 2, 4) දක්වා චලනය වන ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍යය 13 J ට සමානව ක්‍රියා කළේය. ගණනය කරන්න ව්යාපාරයේ දිග.

විසඳුමක්

M N → දෛශිකයේ ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක සඳහා අපට M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

දෛශික F → = (3 , 1 , 2) සහ M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) සමඟ වැඩ සෙවීමේ සූත්‍රය මඟින් අපට A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3) ලැබේ. λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

කොන්දේසිය අනුව, A \u003d 13 J, එනම් 22 + 3 λ \u003d 13 ලබා දී ඇත. මෙයින් ගම්‍ය වන්නේ λ = - 3 , එබැවින් M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

ගමන් දිග M N → සොයා ගැනීමට, අපි සූත්‍රය යොදමින් අගයන් ආදේශ කරමු:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

පිළිතුර: 158.

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

දෛශික සහ තිත් නිෂ්පාදනය දෛශික අතර කෝණය ගණනය කිරීම පහසු කරයි. $\overline(a)$ සහ $\overline(b)$ දෛශික දෙකක් ලබා දෙන්න, ඒවා අතර දිශානුගත කෝණය $\varphi$ ට සමාන වේ. අපි $x = (\overline(a),\overline(b))$ සහ $y = [\overline(a),\overline(b)]$ යන අගයන් ගණනය කරමු. එවිට $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, මෙහි $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ සහ $\varphi$ වේ. කෝණය, එනම් $(x, y)$ ලක්ෂ්‍යය $\varphi$ ට සමාන ධ්‍රැවීය කෝණයක් ඇති අතර එබැවින් $\varphi$ atan2(y, x) ලෙස සොයාගත හැක.

ත්රිකෝණයක ප්රදේශය

දෛශික නිෂ්පාදනයේ දෛශික දිග දෙකක ගුණිතය සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයින් අඩංගු වන බැවින්, දෛශික නිෂ්පාදනය ABC ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමට භාවිතා කළ හැක:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

රේඛාවකට අයත් ලක්ෂ්‍යය

$P$ ලක්ෂ්‍යයක් සහ $AB$ රේඛාවක් (ලකුණු දෙකකින් $A$ සහ $B$ ලබා දී ඇත) ලබා දෙන්න. ලක්ෂ්‍යයක් $AB$ රේඛාවට අයත් වේද යන්න පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍ය වේ.

ලක්ෂ්‍යයක් $AB$ රේඛාවට අයත් වන්නේ $AP$ සහ $AB$ දෛශික collinear නම් සහ පමණක් නම්, එනම් $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $ නම්.

කිරණකට ලක්ෂ්‍යයක් අයත් වීම

ලක්ෂ්‍යයක් $P$ සහ $AB$ කිරණ (ලකුණු දෙකකින් ලබා දී ඇත - $A$ කිරණ ආරම්භය සහ $B$ කිරණ මත ලක්ෂ්‍යයක්) ලබා දෙන්න. ලක්ෂ්‍යය $AB$ කිරණට අයත් දැයි පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍ය වේ.

$P$ ලක්ෂ්‍යය $AB$ රේඛාවට අයත් වේ යන කොන්දේසියට අමතර කොන්දේසියක් එක් කළ යුතුය - $AP$ සහ $AB$ දෛශික දෛශික වේ, එනම්, ඒවා collinear වන අතර ඒවායේ අදිශ නිෂ්පාදනය ඍණ නොවන, එනම් $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

කොටසකට අයත් ලක්ෂ්‍යය

$P$ ලක්ෂ්‍යයක් සහ $AB$ කොටසක් ලබා දෙන්න. ලක්ෂ්‍යය $AB$ කොටසට අයත් දැයි පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍ය වේ.

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ලක්ෂ්‍යය කිරණ $AB$ සහ කිරණ $BA$ යන දෙකටම අයත් විය යුතුය, එබැවින් පහත කොන්දේසි පරීක්ෂා කළ යුතුය:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

ලක්ෂ්‍යයෙන් රේඛාවට දුර

$P$ ලක්ෂ්‍යයක් සහ $AB$ රේඛාවක් (ලකුණු දෙකකින් $A$ සහ $B$ ලබා දී ඇත) ලබා දෙන්න. $AB$ සරල රේඛාවේ ලක්ෂයේ සිට දුර සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.

ත්‍රිකෝණය ABP සලකමු. එක් අතකින්, එහි ප්‍රදේශය $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$ වේ.

අනෙක් අතට, එහි ප්‍රදේශය $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, මෙහි $h$ යනු $P$ සිට උස, එනම් $P$ සිට $AB දක්වා දුර වේ. $. කොහෙන්ද $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

ලක්ෂ්‍යයෙන් කදම්භයට දුර

ලක්ෂ්‍යයක් $P$ සහ $AB$ කිරණ (ලකුණු දෙකකින් ලබා දී ඇත - $A$ කිරණ ආරම්භය සහ $B$ කිරණ මත ලක්ෂ්‍යයක්) ලබා දෙන්න. ලක්ෂ්‍යයේ සිට කිරණ දක්වා ඇති දුර, එනම් $P$ ලක්ෂ්‍යයේ සිට කිරණේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් දක්වා කෙටිම කොටසේ දිග සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ.

මෙම දුර $AP$ දිගට හෝ $P$ ලක්ෂයේ සිට $AB$ දක්වා ඇති දුරට සමාන වේ. කුමන අවස්ථා වේද යන්න කදම්භයේ සහ ලක්ෂ්‍යයේ සාපේක්ෂ පිහිටීම අනුව පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. කෝණය PAB තීව්‍ර නම්, එනම් $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, එවිට පිළිතුර වනුයේ $P$ ලක්ෂ්‍යයේ සිට $AB$ රේඛාවට ඇති දුරයි, එසේ නොමැතිනම් පිළිතුර දිග වේ. $AB$ කොටසේ.

ලක්ෂ්‍යයෙන් රේඛාවට දුර

$P$ ලක්ෂ්‍යයක් සහ $AB$ කොටසක් ලබා දෙන්න. $P$ සිට $AB$ කොටස දක්වා ඇති දුර සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ.

$P$ සිට $AB$ රේඛාව දක්වා පහත වැටුණු ලම්බකයේ පාදය $AB$ ඛණ්ඩයට වැටේ නම්, එය කොන්දේසි මගින් පරීක්ෂා කළ හැක.

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

එවිට පිළිතුර වනුයේ $P$ ලක්ෂ්‍යයේ සිට $AB$ රේඛාවට ඇති දුරයි. එසේ නොමැතිනම්, දුර $\min(AP, BP)$ ට සමාන වේ.

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය

අපි වාහකයන් සමඟ දිගටම කටයුතු කරන්නෙමු. පළමු පාඩමේදී ඩමි සඳහා දෛශිකඅපි දෛශික සංකල්පය, දෛශික සමඟ ක්‍රියා, දෛශික ඛණ්ඩාංක සහ දෛශික සමඟ ඇති සරලම ගැටළු සලකා බැලුවෙමු. ඔබ පළමු වරට සෙවුම් යන්ත්‍රයකින් මෙම පිටුවට පැමිණියේ නම්, ඉහත හඳුන්වාදීමේ ලිපිය කියවීමට මම තරයේ නිර්දේශ කරමි, මන්ද ද්‍රව්‍ය උකහා ගැනීම සඳහා, මා භාවිතා කරන නියමයන් සහ අංකනය තුළ ඔබට මඟ පෙන්විය යුතුය, දෛශික පිළිබඳ මූලික දැනුමක් තිබිය යුතුය. සහ මූලික ගැටළු විසඳීමට හැකි වේ. මෙම පාඩම මාතෘකාවේ තාර්කික අඛණ්ඩ පැවැත්මක් වන අතර, එහි දී මම දෛශිකයන්ගේ පරිමාණ නිෂ්පාදනය භාවිතා කරන සාමාන්‍ය කාර්යයන් විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරමි. මෙය ඉතා වැදගත් කාර්යයකි.. උදාහරණ මඟ නොහැරීමට උත්සාහ කරන්න, ඒවා ප්රයෝජනවත් ප්රසාද දීමනාවක් සමඟ ඇත - විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ පොදු ගැටළු විසඳීම සඳහා ආවරණය කර ඇති ද්රව්ය ඒකාබද්ධ කිරීමට සහ "ඔබේ අත ලබා ගැනීමට" පුහුණුව ඔබට උපකාර වනු ඇත.

දෛශික එකතු කිරීම, දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීම.... ගණිතඥයන් වෙනත් දෙයක් ඉදිරිපත් කර නැතැයි සිතීම බොළඳ වනු ඇත. දැනටමත් සලකා බැලූ ක්රියා වලට අමතරව, දෛශික සමඟ තවත් මෙහෙයුම් ගණනාවක් ඇත, එනම්: දෛශික වල dot නිෂ්පාදනය, දෛශික වල හරස් නිෂ්පාදනයහා දෛශික මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක්. දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය පාසලේ සිට අපට හුරුපුරුදු ය, අනෙක් නිෂ්පාදන දෙක සාම්ප්‍රදායිකව උසස් ගණිත පාඨමාලාවට සම්බන්ධ වේ. මාතෘකා සරලයි, බොහෝ ගැටළු විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම ඒකාකෘති සහ තේරුම්ගත හැකි ය. එකම දෙය. හොඳ තොරතුරු ප්‍රමාණයක් ඇත, එබැවින් සෑම දෙයක්ම ප්‍රගුණ කිරීමට සහ එකවර විසඳීමට උත්සාහ කිරීම නුසුදුසු ය. මෙය ඩමි සඳහා විශේෂයෙන් සත්‍ය වේ, මාව විශ්වාස කරන්න, කතුවරයාට ගණිතයෙන් චිකාටිලෝ මෙන් දැනීමට අවශ්‍ය නැත. හොඳයි, ගණිතයෙන් නොවේ, ඇත්ත වශයෙන්ම, එක්කෝ =) වැඩිපුර සූදානම් වූ සිසුන්ට ද්‍රව්‍ය තෝරා බේරා භාවිතා කළ හැකිය, යම් අර්ථයකින්, නැතිවූ දැනුම “ලබා ගන්න”, මම ඔබට හානිකර නොවන ඩ්‍රැකියුලා කවුන්ට් කෙනෙක් වෙමි =)

අවසාන වශයෙන්, අපි දොර ටිකක් විවෘත කර දෛශික දෙකක් එකිනෙක හමු වූ විට සිදුවන දේ බලමු.

දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම.
පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග. සාමාන්ය කාර්යයන්

තිත් නිෂ්පාදනයේ සංකල්පය

මුලින්ම ගැන දෛශික අතර කෝණය. දෛශික අතර කෝණය කුමක්දැයි සෑම දෙනාම අවබෝධයෙන් වටහාගෙන ඇතැයි මම සිතමි, නමුත් තව ටිකක්. නොමිලේ ශුන්‍ය නොවන දෛශික සහ . අපි මෙම දෛශික අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයෙන් කල් දැමුවහොත්, බොහෝ දෙනෙක් දැනටමත් මානසිකව ඉදිරිපත් කර ඇති පින්තූරයක් අපට ලැබේ:

මම පාපොච්චාරණය කරමි, මෙහි මම තත්වය විස්තර කළේ අවබෝධයේ මට්ටමින් පමණි. ඔබට දෛශික අතර කෝණය පිළිබඳ දැඩි අර්ථ දැක්වීමක් අවශ්ය නම්, කරුණාකර පෙළපොත වෙත යොමු වන්න, නමුත් ප්රායෝගික කාර්යයන් සඳහා, අපි, ප්රතිපත්තිමය වශයෙන්, එය අවශ්ය නොවේ. තවද මෙහි සහ තවදුරටත්, මම සමහර විට ශුන්‍ය දෛශික ඒවායේ අඩු ප්‍රායෝගික වැදගත්කම නිසා නොසලකා හරිමි. පහත සඳහන් සමහර ප්‍රකාශවල න්‍යායික අසම්පූර්ණත්වය සම්බන්ධයෙන් මට දෝෂාරෝපණය කළ හැකි, වෙබ් අඩවියට පැමිණෙන උසස් අමුත්තන් සඳහා මම විශේෂයෙන් වෙන් කිරීමක් කළෙමි.

සාහිත්යය තුළ, කෝණ නිරූපකය බොහෝ විට අත්හැර දමා සරලව ලියා ඇත.

අර්ථ දැක්වීම:දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය මෙම දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනයෙහි ගුණිතයට සමාන NUMBER වේ:

දැන් එය තරමක් දැඩි නිර්වචනයකි.

අපි අත්‍යවශ්‍ය තොරතුරු කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු:

තනතුර:පරිමාණ නිෂ්පාදිතය මගින් හෝ සරලව දක්වා ඇත.

මෙහෙයුමේ ප්‍රතිඵලය NUMBER වේ: අංකයක් ලබා ගැනීමට දෛශිකයක් දෛශිකයකින් ගුණ කරන්න. ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකවල දිග සංඛ්‍යා නම්, කෝණයේ කෝසයින් අංකයක් නම්, ඒවායේ නිෂ්පාදනය අංකයක් ද වනු ඇත.

උණුසුම් කිරීමේ උදාහරණ කිහිපයක් පමණි:

උදාහරණය 1

විසඳුමක්:අපි සූත්රය භාවිතා කරමු . මේ අවස්ථාවේ දී:

පිළිතුර:

කොසයින් අගයන් සොයා ගත හැක ත්රිකෝණමිතික වගුව. මම එය මුද්රණය කිරීමට නිර්දේශ කරමි - එය කුළුණේ සෑම අංශයකම පාහේ අවශ්ය වන අතර බොහෝ වාරයක් අවශ්ය වනු ඇත.

තනිකරම ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, අදිශ නිෂ්පාදනය මාන රහිත ය, එනම්, ප්‍රති result ලය, මෙම අවස්ථාවේ දී, සංඛ්‍යාවක් පමණක් වන අතර එය එයයි. භෞතික විද්‍යා ගැටළු වල දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, පරිමාණ නිෂ්පාදනයට සෑම විටම නිශ්චිත භෞතික අර්ථයක් ඇත, එනම්, ප්‍රති result ලයෙන් පසුව, එක් හෝ තවත් භෞතික ඒකකයක් දැක්විය යුතුය. බලයේ කාර්යය ගණනය කිරීමේ කැනොනිකල් උදාහරණය ඕනෑම පෙළපොතකින් සොයාගත හැකිය (සූත්රය හරියටම තිත් නිෂ්පාදනයකි). බලයක කාර්යය ජූල්ස් වලින් මනිනු ලැබේ, එබැවින් පිළිතුර ඉතා නිශ්චිතව ලියා ඇත, උදාහරණයක් ලෙස.

උදාහරණය 2

නම් සොයන්න , සහ දෛශික අතර කෝණය වේ.

මෙය ස්වයං තීරණ සඳහා උදාහරණයකි, පිළිතුර පාඩම අවසානයේ ඇත.

දෛශික අතර කෝණය සහ තිත් නිෂ්පාදන අගය

උදාහරණ 1 හි, පරිමාණ නිෂ්පාදනය ධනාත්මක බවට පත් වූ අතර, උදාහරණ 2 හි, එය ඍණ බවට පත් විය. පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ සලකුණ රඳා පවතින්නේ කුමක් දැයි අපි සොයා බලමු. අපගේ සූත්‍රය දෙස බලමු: . ශුන්‍ය නොවන දෛශිකවල දිග සෑම විටම ධනාත්මක වේ: , එබැවින් ලකුණ රඳා පවතින්නේ කොසයිනයේ අගය මත පමණි.

සටහන: පහත තොරතුරු පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, අත්පොතෙහි ඇති කොසයින් ප්රස්තාරය අධ්යයනය කිරීම වඩා හොඳය ප්‍රස්තාර සහ ක්‍රියාකාරී ගුණාංග. කොසයිනය කොටසෙහි හැසිරෙන ආකාරය බලන්න.

දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, දෛශික අතර කෝණය වෙනස් විය හැක , සහ පහත සඳහන් අවස්ථා හැකි ය:

1) නම් කෙළවරේදෛශික අතර කුළුබඩු සහිත: (අංශක 0 සිට 90 දක්වා), පසුව , හා dot නිෂ්පාදනය ධනාත්මක වනු ඇත සම අධ්‍යක්ෂණය කළා, එවිට ඔවුන් අතර කෝණය ශුන්ය ලෙස සලකනු ලැබේ, සහ අදිශ නිෂ්පාදනය ද ධනාත්මක වනු ඇත. සිට , එවිට සූත්රය සරල කර ඇත: .

2) නම් කෙළවරේදෛශික අතර මෝඩ: (අංශක 90 සිට 180 දක්වා), පසුව , සහ ඒ අනුව, dot නිෂ්පාදනය ඍණාත්මක වේ: . විශේෂ අවස්ථාව: දෛශික නම් ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කර ඇත, එවිට ඔවුන් අතර කෝණය සලකනු ලැබේ යොදවා ඇත: (අංශක 180). පරිමාණ නිෂ්පාදනය ද සෘණාත්මක වේ, සිට

ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රකාශ ද සත්‍ය වේ:

1) නම්, මෙම දෛශික අතර කෝණය තියුණු වේ. විකල්පයක් ලෙස, දෛශික දෛශික වේ.

2) නම්, මෙම දෛශික අතර කෝණය නොපැහැදිලි වේ. විකල්පයක් ලෙස, දෛශික ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට යොමු කෙරේ.

නමුත් තුන්වන නඩුව විශේෂ උනන්දුවක් දක්වයි:

3) නම් කෙළවරේදෛශික අතර කෙලින්ම: (අංශක 90) පසුව සහ dot නිෂ්පාදනය බිංදුවයි: . ප්රතිලෝම ද සත්ය වේ: නම් , එසේ නම් . සංයුක්ත ප්රකාශය පහත පරිදි සකස් කර ඇත: දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය ශුන්‍ය වන්නේ ලබා දී ඇති දෛශික විකලාංග නම් සහ පමණි.. කෙටි ගණිත අංකනය:

! සටහන : නැවත ගණිතමය තර්කනයේ පදනම්: ද්විත්ව ඒක පාර්ශවීය තාර්කික ප්‍රතිවිපාක නිරූපකය සාමාන්‍යයෙන් කියවනු ලබන්නේ "if and only then", "if and only if" යනුවෙනි. ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඊතල දෙපැත්තටම යොමු කර ඇත - "මෙයින් මෙය පහත දැක්වේ, සහ අනෙක් අතට - මෙයින් පහත දැක්වේ." එක් මාර්ගයක් අනුගමනය කිරීමේ නිරූපකයෙන් වෙනස කුමක්ද? අයිකනය හිමිකම් කියයි එය පමණි"මෙයින් මෙය අනුගමනය කරයි" යන්න මිස ප්‍රතිලෝම සත්‍ය බව නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස: , නමුත් සෑම සතෙකුම පැන්තර් නොවේ, එබැවින් මෙම අවස්ථාවේදී අයිකනය භාවිතා කළ නොහැක. ඒ සමගම, අයිකනය වෙනුවට පුළුවන්ඒකපාර්ශ්වික අයිකනය භාවිතා කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, ගැටළුව විසඳීමේදී, දෛශික විකලාංග බව අපි නිගමනය කළෙමු: - එවැනි වාර්තාවක් නිවැරදි වනු ඇත, ඊටත් වඩා සුදුසු ය .

තුන්වන නඩුව ඉතා ප්රායෝගික වැදගත්කමක් දරයි., එය ඔබට දෛශික විකලාංගද නැද්ද යන්න පරීක්ෂා කිරීමට ඉඩ සලසයි. පාඩමේ දෙවන කොටසේදී අපි මෙම ගැටළුව විසඳන්නෙමු.

තිත් නිෂ්පාදන ගුණාංග

දෛශික දෙකක් ඇති විට අපි තත්වයට යමු සම අධ්‍යක්ෂණය කළා. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඒවා අතර කෝණය ශුන්ය වේ, සහ පරිමාණ නිෂ්පාදන සූත්රය ආකෘතිය ගනී: .

දෛශිකයක් තමා විසින්ම ගුණ කළහොත් කුමක් සිදුවේද? දෛශිකය තමා සමඟම සම-අධ්‍යක්ෂණය කර ඇති බව පැහැදිලිය, එබැවින් අපි ඉහත සරල කළ සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

අංකය කැඳවනු ලැබේ අදිශ චතුරස්රයදෛශිකය , සහ ලෙස දැක්වේ.

මේ ක්රමයෙන්, දෛශිකයක අදිශ චතුරස්‍රය ලබා දී ඇති දෛශිකයේ දිග වර්ග වලට සමාන වේ:

මෙම සමානාත්මතාවයෙන්, ඔබට දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රයක් ලබා ගත හැකිය:

එය අපැහැදිලි බවක් පෙනෙන්නට තිබුණත්, පාඩමේ කාර්යයන් සෑම දෙයක්ම එහි ස්ථානයේ තබයි. ගැටළු විසඳීම සඳහා, අපට ද අවශ්ය වේ dot නිෂ්පාදන ගුණාංග.

අත්තනෝමතික දෛශික සහ ඕනෑම අංකයක් සඳහා, පහත ගුණාංග සත්‍ය වේ:

1) - විස්ථාපනය කළ හැකි හෝ සංක්රමණිකපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය.

2) - බෙදා හැරීම හෝ බෙදාහැරීමේපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය. සරලව කිවහොත්, ඔබට වරහන් විවෘත කළ හැකිය.

3) - සංයෝජනය හෝ ආශ්රිතපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය. නියතය අදිශ නිෂ්පාදනයෙන් පිටතට ගත හැක.

බොහෝ විට, සියලු වර්ගවල දේපල (ඒවා ඔප්පු කළ යුතුය!) සිසුන් විසින් අනවශ්‍ය කුණු කූඩයක් ලෙස සලකනු ලැබේ, එය මතක තබා ගත යුතු අතර විභාගයෙන් පසු වහාම ආරක්ෂිතව අමතක කළ යුතුය. මෙහි වැදගත්ම දෙය නම්, නිෂ්පාදිතය සාධක ප්‍රකෘතියෙන් වෙනස් නොවන බව පළමු ශ්‍රේණියේ සිට සෑම දෙනාම දැනටමත් දන්නා බව පෙනේ :. මම ඔබට අනතුරු ඇඟවිය යුතුයි, එවැනි ප්‍රවේශයක් සමඟ උසස් ගණිතයේදී දේවල් අවුල් කිරීම පහසුය. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, සංක්‍රමණ දේපල වලංගු නොවේ වීජීය න්‍යාස. සඳහා එය සත්ය නොවේ දෛශික වල හරස් නිෂ්පාදනය. එමනිසා, කළ හැකි සහ කළ නොහැකි දේ තේරුම් ගැනීම සඳහා උසස් ගණිතය තුළ ඔබට හමුවන ඕනෑම ගුණාංගයක් සොයා බැලීම වඩා හොඳය.

උදාහරණය 3

.

විසඳුමක්:පළමුව, දෛශිකය සමඟ තත්වය පැහැදිලි කරමු. ඒ සියල්ල කුමක් ගැනද? දෛශිකවල එකතුව සහ හොඳින් නිර්වචනය කරන ලද දෛශිකයක් වන අතර එය . දෛශික සමඟ ක්රියාවන් පිළිබඳ ජ්යාමිතික අර්ථ නිරූපණය ලිපියෙන් සොයාගත හැකිය ඩමි සඳහා දෛශික. දෛශිකයක් සහිත එකම parsley දෛශික එකතුව සහ .

එබැවින්, කොන්දේසිය අනුව, පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. න්යායාත්මකව, ඔබ වැඩ කරන සූත්රය යෙදිය යුතුය , නමුත් කරදරය වන්නේ දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය අප නොදැන සිටීමයි. නමුත් තත්වය තුළ, දෛශික සඳහා සමාන පරාමිතීන් ලබා දී ඇත, එබැවින් අපි වෙනත් මාර්ගයකට යන්නෙමු:

(1) අපි දෛශික ප්‍රකාශන ආදේශ කරමු.

(2) බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව අපි වරහන් විවෘත කරමු, ලිපියේ අසභ්‍ය දිව ඇඹරීමක් සොයාගත හැකිය සංකීර්ණ සංඛ්යාහෝ භාගික තාර්කික ශ්‍රිතයක් ඒකාබද්ධ කිරීම. මම නැවත නොකියමි =) මාර්ගය වන විට, පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ බෙදාහැරීමේ ගුණය අපට වරහන් විවෘත කිරීමට ඉඩ සලසයි. අපිට අයිතිය තියෙනවා.

(3) පළමු සහ අවසාන නියමයන්හිදී, අපි දෛශිකවල අදිශ වර්ග සංයුක්තව ලියන්නෙමු: . දෙවන වාරයේදී, අපි පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ සංක්‍රමණ හැකියාව භාවිතා කරමු: .

(4) මෙන්න සමාන නියමයන්: .

(5) පළමු වාරයේ දී, අපි බොහෝ කලකට පෙර සඳහන් නොකළ අදිශ වර්ග සූත්‍රය භාවිතා කරමු. අවසාන වාරයේ දී, පිළිවෙලින්, එකම දේ ක්රියා කරයි: . සම්මත සූත්රය අනුව දෙවන පදය පුළුල් වේ .

(6) මෙම කොන්දේසි ආදේශ කරන්න , සහ අවසාන ගණනය කිරීම් ප්රවේශමෙන් සිදු කරන්න.

පිළිතුර:

තිත් නිෂ්පාදනයේ සෘණ අගය දෛශික අතර කෝණය නොපැහැදිලි බව සඳහන් කරයි.

කාර්යය සාමාන්යයි, ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයක් මෙන්න:

උදාහරණය 4

දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සොයා ගන්න සහ එය දන්නේ නම් .

දැන් තවත් පොදු කාර්යයක්, නව දෛශික දිග සූත්‍රය සඳහා පමණි. මෙහි ඇති තනතුරු ටිකක් අතිච්ඡාදනය වනු ඇත, එබැවින් පැහැදිලිකම සඳහා මම එය වෙනත් අකුරකින් නැවත ලියන්නෙමි:

උදාහරණ 5

දෛශිකයේ දිග සොයන්න if .

විසඳුමක්පහත පරිදි වනු ඇත:

(1) අපි දෛශික ප්‍රකාශනය සපයන්නෙමු.

(2) අපි දිග සූත්‍රය භාවිතා කරමු: , අපට "ve" දෛශිකය ලෙස පූර්ණ සංඛ්‍යා ප්‍රකාශනයක් ඇති අතර.

(3) අපි එකතුවේ වර්ග සඳහා පාසල් සූත්‍රය භාවිතා කරමු. එය මෙහි කුතුහලයෙන් ක්‍රියා කරන ආකාරය ගැන අවධානය යොමු කරන්න: - ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය වෙනසෙහි චතුරස්රය වන අතර, ඇත්ත වශයෙන්ම එය එසේ ය. කැමති අයට ස්ථාන වල දෛශික නැවත සකස් කළ හැක: - එය නියමයන් නැවත සකස් කිරීම දක්වා එකම දේ බවට පත් විය.

(4) පහත සඳහන් දේ පෙර ගැටළු දෙකෙන් දැනටමත් හුරුපුරුදුය.

පිළිතුර:

අපි දිග ගැන කතා කරන බැවින්, මානය දැක්වීමට අමතක නොකරන්න - "ඒකක".

උදාහරණය 6

දෛශිකයේ දිග සොයන්න if .

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

අපි පරිමාණ නිෂ්පාදනයෙන් ප්රයෝජනවත් දේවල් මිරිකීම දිගටම කරගෙන යන්නෙමු. අපි නැවතත් අපගේ සූත්‍රය දෙස බලමු . සමානුපාතික රීතිය අනුව, අපි දෛශිකවල දිග වම් පැත්තේ හරයට නැවත සකසන්නෙමු:

අපි කොටස් මාරු කරමු:

මෙම සූත්‍රයේ තේරුම කුමක්ද? දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවායේ අදිශ නිෂ්පාදිතය දන්නේ නම්, මෙම දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයිනය ගණනය කළ හැකි අතර, ඒ අනුව, කෝණයම.

පරිමාණ නිෂ්පාදනය අංකයක්ද? අංකය. දෛශික දිග සංඛ්‍යා ද? අංක. එබැවින් භාගයක් ද අංකයකි. සහ කෝණයේ කෝසයින් දන්නේ නම්: , එවිට ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතය භාවිතා කිරීමෙන් කෝණයම සොයා ගැනීම පහසුය: .

උදාහරණ 7

දෛශික අතර කෝණය සොයන්න සහ එය දන්නේ නම්.

විසඳුමක්:අපි සූත්රය භාවිතා කරමු:

ගණනය කිරීම් වල අවසාන අදියරේදී, තාක්ෂණයක් භාවිතා කරන ලදී - හරයේ අතාර්කිකත්වය තුරන් කිරීම. අතාර්කික බව නැති කිරීම සඳහා, මම සංඛ්‍යා සහ හරය ගුණ කළෙමි.

එසේ නම් , එවිට:

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් සොයා ගත හැක ත්රිකෝණමිතික වගුව. මෙය කලාතුරකින් සිදු වුවද. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු වලදී, සමහර විකාර වලසුන් බොහෝ විට පෙනෙන අතර, කෝණයේ අගය ආසන්න වශයෙන් කැල්කියුලේටරය භාවිතා කර සෙවිය යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි මෙම පින්තූරය නැවත නැවතත් දකිනු ඇත.

පිළිතුර:

නැවතත්, මානය නියම කිරීමට අමතක නොකරන්න - රේඩියන සහ අංශක. පුද්ගලිකව, හිතාමතාම “සියලු ප්‍රශ්න ඉවත් කිරීම” සඳහා, මම දෙකම දැක්වීමට කැමැත්තෙමි (ඇත්ත වශයෙන්ම, කොන්දේසිය අනුව, පිළිතුර රේඩියන වලින් පමණක් හෝ අංශක වලින් පමණක් ඉදිරිපත් කිරීමට අවශ්‍ය නොවේ නම්).

දැන් ඔබට වඩාත් දුෂ්කර කාර්යයකට තනිවම මුහුණ දීමට හැකි වනු ඇත:

උදාහරණ 7*

දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය ලබා දී ඇත. දෛශික අතර කෝණය සොයන්න, .

කාර්යය බහු මාර්ග තරම් දුෂ්කර නොවේ.
විසඳුම් ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණය කරමු:

1) කොන්දේසිය අනුව, දෛශික අතර කෝණය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන අතර, එබැවින් ඔබ සූත්රය භාවිතා කළ යුතුය. .

2) අපි පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගනිමු (උදාහරණ අංක 3, 4 බලන්න).

3) දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකයේ දිග සොයා ගන්න (උදාහරණ අංක 5, 6 බලන්න).

4) විසඳුමේ අවසානය උදාහරණ අංක 7 සමඟ සමපාත වේ - අපි අංකය දනිමු , එයින් අදහස් වන්නේ කෝණය සොයා ගැනීම පහසු බවයි:

පාඩම අවසානයේ කෙටි විසඳුම සහ පිළිතුර.

පාඩමේ දෙවන කොටස එකම තිත් නිෂ්පාදනයට කැප කර ඇත. ඛණ්ඩාංක. එය පළමු කොටසට වඩා පහසු වනු ඇත.

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය,
විකලාංග පදනමින් ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇත

පිළිතුර:

ඛණ්ඩාංක සමඟ කටයුතු කිරීම වඩාත් ප්රසන්න බව අමුතුවෙන් කිව යුතු නැත.

උදාහරණ 14

දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සහ if සොයන්න

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. මෙහිදී ඔබට මෙහෙයුමේ ආශ්‍රය භාවිතා කළ හැකිය, එනම් ගණන් නොගන්න, නමුත් වහාම පරිමාණ නිෂ්පාදනයෙන් ත්‍රිත්ව ඉවත් කර එය අවසන් වරට ගුණ කරන්න. පාඩම අවසානයේ විසඳුම සහ පිළිතුර.

ඡේදයේ අවසානයේ, දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීමේ ප්රකෝපකාරී උදාහරණයක්:

උදාහරණ 15

දෛශික වල දිග සොයන්න , නම්

විසඳුමක්:නැවතත් පෙර කොටසේ ක්‍රමයම යෝජනා කරයි: නමුත් තවත් ක්‍රමයක් තිබේ:

අපි දෛශිකය සොයා ගනිමු:

සහ සුළු සූත්රය අනුව එහි දිග :

පරිමාණ නිෂ්පාදනය මෙහි කිසිසේත්ම අදාළ නොවේ!

දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීමේදී එය ව්‍යාපාරයෙන් බැහැර වන්නේ කෙසේද:
නවත්වන්න. දෛශිකයක පැහැදිලි දිග ගුණයෙන් ප්‍රයෝජන නොගන්නේ මන්ද? දෛශිකයේ දිග ගැන කුමක් කිව හැකිද? මෙම දෛශිකය දෛශිකයට වඩා 5 ගුණයක් දිගු වේ. දිශාව ප්‍රතිවිරුද්ධ ය, නමුත් එය වැදගත් නොවේ, මන්ද අපි කතා කරන්නේ දිග ගැන ය. නිසැකවම, දෛශිකයේ දිග නිෂ්පාදනයට සමාන වේ මොඩියුලයදෛශික දිගකට සංඛ්‍යා:
- මොඩියුලයේ ලකුණ "කනවා" අංකයේ විය හැකි අඩුව.

මේ ක්රමයෙන්:

පිළිතුර:

ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දෙන දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින් සඳහා සූත්‍රය

දෛශික ඛණ්ඩාංක අනුව දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින් සඳහා කලින් ව්‍යුත්පන්න වූ සූත්‍රය ප්‍රකාශ කිරීම සඳහා දැන් අපට සම්පූර්ණ තොරතුරු තිබේ:

තල දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින්සහ, විකලාංග පදනමින් ලබා දී ඇත, සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ:
.

අවකාශ දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින්, විකලාංග පදනමින් ලබා දී ඇත සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ:

උදාහරණ 16

ත්රිකෝණයක සිරස් තුනක් ලබා දී ඇත. සොයන්න (ශීර්ෂ කෝණය ).

විසඳුමක්:කොන්දේසිය අනුව, ඇඳීම අවශ්ය නොවේ, නමුත් තවමත්:

අවශ්ය කෝණය හරිත චාපයකින් සලකුණු කර ඇත. කෝණයෙහි පාසල් නම් කිරීම අපි වහාම සිහිපත් කරමු: - විශේෂ අවධානය යොමු කරන්න මැදලිපිය - මෙය අපට අවශ්ය කෝණයෙහි ශීර්ෂයයි. කෙටිකතාව සඳහා, එය සරලව ලිවිය හැකිය.

චිත්‍රයෙන් ත්‍රිකෝණයේ කෝණය දෛශික අතර කෝණය සමඟ සමපාත වන බව සහ වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්: .

මානසිකව සිදු කරන ලද විශ්ලේෂණය සිදු කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීම යෝග්ය වේ.

අපි දෛශික සොයා ගනිමු:

පරිමාණ නිෂ්පාදනය ගණනය කරමු:

සහ දෛශිකවල දිග:

කෝණයක කෝසයින්:

මම dummies වෙත නිර්දේශ කරන කාර්යයේ මෙම අනුපිළිවෙලයි. වඩාත් දියුණු පාඨකයන්ට "එක් පේළියකින්" ගණනය කිරීම් ලිවිය හැකිය:

මෙන්න "නරක" කොසයින් අගයක උදාහරණයක්. එයින් ලැබෙන අගය අවසාන නොවන බැවින් හරය තුළ ඇති අතාර්කික බව දුරුකිරීමේ වැඩි ඵලක් නැත.

අපි කෝණය සොයා ගනිමු:

ඔබ චිත්රය දෙස බැලුවහොත්, ප්රතිඵලය තරමක් පිළිගත හැකිය. කෝණය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා ප්රෝටරයක් ​​සමඟ ද මැනිය හැක. මොනිටර ආලේපනයට හානි නොකරන්න =)

පිළිතුර:

පිළිතුරෙහි, එය අමතක නොකරන්න ත්‍රිකෝණයේ කෝණය ගැන ඇහුවා(සහ දෛශික අතර කෝණය ගැන නොවේ), නිවැරදි පිළිතුර සඳහන් කිරීමට අමතක නොකරන්න: සහ කෝණයේ ආසන්න අගය: කැල්කියුලේටරය සමඟ සොයා ගන්නා ලදී.

ක්රියාවලිය භුක්ති විඳි අයට කෝණ ගණනය කළ හැකි අතර, කැනොනිකල් සමානාත්මතාවය සත්ය බවට වග බලා ගන්න

උදාහරණ 17

ත්‍රිකෝණයක් එහි සිරස් වල ඛණ්ඩාංක මගින් අවකාශයේ දී ලබා දේ. පැති අතර කෝණය සොයන්න සහ

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර

කුඩා අවසාන කොටස ප්‍රක්ෂේපණ සඳහා කැප කෙරෙනු ඇත, එහි අදිශ නිෂ්පාදනය ද “සම්බන්ධ” වේ:

දෛශිකයක් දෛශිකයක් මතට ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත දෛශික ප්රක්ෂේපණය.
දෛශික දිශා කෝසයින

දෛශික සලකා බලන්න සහ:

අපි දෛශිකය මතට දෛශිකය ප්‍රක්ෂේපණය කරමු, මේ සඳහා අපි දෛශිකයේ ආරම්භයේ සහ අවසානය මඟ හරිමු. ලම්බකදෛශිකයකට (හරිත තිත් රේඛා). ආලෝක කිරණ දෛශිකයක් මත ලම්බකව පතිත වන බව සිතන්න. එවිට කොටස (රතු රේඛාව) දෛශිකයේ "සෙවණ" වනු ඇත. මෙම අවස්ථාවේදී, දෛශිකයක් දෛශිකයක් මතට ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම කොටසේ LENGTH වේ. එනම්, PROJECTION යනු අංකයකි.

මෙම NUMBER පහත පරිදි දැක්වේ: , "විශාල දෛශිකය" යනු දෛශිකයක් දක්වයි කුමන project, "small subscript vector" යන්නෙන් දෛශිකය දක්වයි මතප්රක්ෂේපණය කරන ලද.

ප්‍රවේශයම මෙසේ කියවේ: “a” දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපණය “be” දෛශිකය මතට”.

දෛශිකය "be" "ඉතා කෙටි" නම් කුමක් සිදුවේද? අපි "be" දෛශිකය අඩංගු සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු. තවද "a" දෛශිකය දැනටමත් ප්රක්ෂේපණය වනු ඇත දෛශිකයේ දිශාවට "be", සරලව - දෛශිකය "be" අඩංගු සරල රේඛාවක් මත. තිස්වන රාජධානියේ "a" දෛශිකය වෙන් කළහොත් එකම දේ සිදුවනු ඇත - එය තවමත් "be" දෛශිකය අඩංගු රේඛාවට පහසුවෙන් ප්‍රක්ෂේපණය කරනු ඇත.

කෝණය නම්දෛශික අතර කුළුබඩු සහිත(පින්තූරයේ මෙන්), පසුව

වාහකයන් නම් විකලාංග, එවිට (ප්‍රක්ෂේපණය යනු මානයන් ශුන්‍ය යැයි උපකල්පනය කරන ලක්ෂ්‍යයකි).

කෝණය නම්දෛශික අතර මෝඩ(රූපයේ, දෛශිකයේ ඊතලය මානසිකව නැවත සකස් කරන්න), ඉන්පසු (එකම දිග, නමුත් අඩු ලකුණක් සමඟ ගෙන ඇත).

මෙම දෛශික එක් ලක්ෂයකින් පසෙකට දමන්න:

පැහැදිලිවම, දෛශිකයක් චලනය කරන විට, එහි ප්රක්ෂේපණය වෙනස් නොවේ

ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කාර්යයන් ද ඇත, ඔබට පිළිතුරු දැකිය හැකිය.

ගැටලුවේ දී දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය "රිදී තැටියක" ඉදිරිපත් කර ඇත්නම්, ගැටලුවේ තත්වය සහ එහි විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

උදාහරණය 1දෛශික ලබා දී ඇත. දෛශික වල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය පහත අගයන් මගින් නිරූපණය කරන්නේ නම් ඒවායේ අදිශ ගුණිතය සොයන්න:

තවත් නිර්වචනයක් ද වලංගු වේ, එය නිර්වචනය 1 ට සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වේ.

අර්ථ දැක්වීම 2. දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය යනු මෙම දෛශිකවලින් එකක දිග සහ තවත් දෛශිකයක ප්‍රක්ෂේපනය මෙම දෛශිකවලින් පළමුවැන්න විසින් තීරණය කරන ලද අක්ෂයට ප්‍රක්ෂේපණය කිරීමේ ගුණිතයට සමාන සංඛ්‍යාවක් (අදිශය) වේ. නිර්වචනය 2 අනුව සූත්රය:

මීළඟ වැදගත් න්‍යායික කරුණෙන් පසුව අපි මෙම සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගැටලුව විසඳන්නෙමු.

ඛණ්ඩාංක අනුව දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම

ගුණ කරන ලද දෛශික ඔවුන්ගේ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දෙන්නේ නම් එම සංඛ්යාවම ලබා ගත හැක.

අර්ථ දැක්වීම 3.දෛශිකවල තිත් ගුණිතය යනු ඒවායේ අදාළ ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන සංඛ්‍යාවයි.

මතුපිටින්

දෛශික දෙකක් සහ තලය තුළ ඒවා දෙකෙන් අර්ථ දක්වා තිබේ නම් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක

එවිට මෙම දෛශිකවල තිත් ගුණිතය ඒවායේ අදාළ ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ:

.

උදාහරණය 2දෛශිකයට සමාන්තරව අක්ෂයට දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපණයේ සංඛ්‍යාත්මක අගය සොයන්න.

විසඳුමක්. දෛශිකයන්ගේ ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදන එකතු කිරීමෙන් අපි ඒවායේ පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගනිමු:

දැන් අපි දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපනය දෛශිකයට සමාන්තර අක්ෂයකට (සූත්‍රයට අනුකූලව) ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අදිශ නිෂ්පාදිතය සමාන කළ යුතුය.

දෛශිකයේ දිග එහි ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලය ලෙස අපි සොයා ගනිමු:

.

සමීකරණයක් ලියා එය විසඳන්න:

පිළිතුර. අපේක්ෂිත සංඛ්‍යාත්මක අගය සෘණ 8 වේ.

අභ්යවකාශයේ

දෛශික දෙකක් සහ අභ්‍යවකාශයේ ඒවා කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක තුනකින් අර්ථ දක්වා තිබේ නම්

,

එවිට මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ද ඒවායේ අදාළ ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ, දැනටමත් ඇත්තේ ඛණ්ඩාංක තුනක් පමණි:

.

සලකා බලන ආකාරයෙන් අදිශ නිෂ්පාදනය සොයා ගැනීමේ කාර්යය වන්නේ අදිශ නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග විශ්ලේෂණය කිරීමෙන් පසුවය. මක්නිසාද යත් කාර්යයේ දී ගුණිත දෛශික සෑදෙන්නේ කුමන කෝණයද යන්න තීරණය කිරීම අවශ්ය වනු ඇත.

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනයේ ගුණ

වීජීය ගුණ

1. (හුවමාරු දේපල: ගුණිත දෛශික ස්ථාන වෙනස් කිරීමෙන් ඒවායේ අදිශ නිෂ්පාදනයේ අගය වෙනස් නොවේ).

2. (සංඛ්‍යාත්මක සාධකයක් සම්බන්ධයෙන් ආශ්‍රිත දේපල: දෛශිකයක අදිශ ගුණිතය යම් සාධකයකින් ගුණ කළ විට තවත් දෛශිකයක් මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතයට සමාන වේ එම සාධකයෙන් ගුණ කළ විට).

3. (දෛශික එකතුවට සාපේක්ෂව බෙදා හැරීමේ දේපල: තුන්වන දෛශිකයෙන් දෛශික දෙකක එකතුවේ අදිශ ගුණිතය පළමු දෛශිකයේ තුන්වන දෛශිකයේ සහ දෙවන දෛශිකයේ තුන්වන දෛශිකයේ අදිශ නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ).

4. (ශුන්‍යයට වඩා වැඩි දෛශිකයක අදිශ වර්ග) ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයක් නම් සහ , ශුන්‍ය දෛශිකයක් නම්.

ජ්යාමිතික ගුණ

අධ්යයනය යටතේ මෙහෙයුමේ නිර්වචනවලදී, අපි දැනටමත් දෛශික දෙකක් අතර කෝණයක් පිළිබඳ සංකල්පය ස්පර්ශ කර ඇත. මෙම සංකල්පය පැහැදිලි කිරීමට කාලයයි.

ඉහත රූපයේ, දෛශික දෙකක් දෘශ්‍යමාන වන අතර ඒවා පොදු ආරම්භයකට ගෙන එනු ලැබේ. ඔබ අවධානය යොමු කළ යුතු පළමු දෙය: මෙම දෛශික අතර කෝණ දෙකක් තිබේ - φ 1 හා φ 2 . දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ නිර්වචන සහ ගුණාංගවල දිස්වන්නේ මෙම කෝණවලින් කවරක්ද? සලකා බලන ලද කෝණවල එකතුව 2 වේ π එබැවින් මෙම කෝණවල කෝසයින් සමාන වේ. තිත් නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයට ඇතුළත් වන්නේ එහි ප්‍රකාශනයේ අගය නොව, කෝණයේ කෝසයිනය පමණි. නමුත් දේපල තුළ සලකනු ලබන්නේ එක් කොනක් පමණි. තවද මෙය නොඉක්මවන කෝණ දෙකෙන් එකකි π එනම් අංශක 180 යි. මෙම කෝණය රූපයේ දැක්වේ φ 1 .

1. දෛශික දෙකක් ලෙස හැඳින්වේ විකලාංග හා මෙම දෛශික අතර කෝණය අයිතියකි (අංශක 90 හෝ π /2) නම් මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ශුන්‍ය වේ :

.

දෛශික වීජ ගණිතයේ ඕතොගෝනලිටි යනු දෛශික දෙකක ලම්බකතාවයයි.

2. ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් සෑදේ තියුණු කොන (අංශක 0 සිට 90 දක්වා, හෝ, එකම දේ, අඩු π dot නිෂ්පාදනය ධනාත්මක වේ .

3. ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් සෑදේ obtuse කෝණය (අංශක 90 සිට 180 දක්වා, හෝ, එකම දේ - තවත් π /2) නම් සහ නම් පමණි dot නිෂ්පාදනය ඍණාත්මක වේ .

උදාහරණය 3දෛශික ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇත:

.

ලබා දී ඇති දෛශික යුගලවල තිත් නිෂ්පාදන ගණනය කරන්න. මෙම දෛශික යුගල සෑදෙන්නේ කුමන කෝණයෙන්ද (උග්ර, දකුණු, අඳුරු)?

විසඳුමක්. අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල නිෂ්පාදන එකතු කිරීමෙන් අපි ගණනය කරන්නෙමු.

අපට සෘණ අංකයක් ලැබුණි, එම නිසා දෛශික යෝග්‍ය කෝණයක් සාදයි.

අපට ධනාත්මක අංකයක් ලැබුණි, එබැවින් දෛශික තියුණු කෝණයක් සාදයි.

අපට ශුන්‍යය ලැබුණි, එබැවින් දෛශික සෘජු කෝණයක් සාදයි.

අපට ධනාත්මක අංකයක් ලැබුණි, එබැවින් දෛශික තියුණු කෝණයක් සාදයි.

.

අපට ධනාත්මක අංකයක් ලැබුණි, එබැවින් දෛශික තියුණු කෝණයක් සාදයි.

ස්වයං පරීක්ෂණය සඳහා, ඔබට භාවිතා කළ හැකිය මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනය සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයින් .

උදාහරණය 4දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවා අතර කෝණය අනුව:

.

දෛශික සහ විකලාංග (ලම්බක) අංකයේ කුමන අගයකින්ද යන්න තීරණය කරන්න.

විසඳුමක්. බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව අපි දෛශික ගුණ කරමු:

දැන් අපි එක් එක් පදය ගණනය කරමු:

.

අපි සමීකරණයක් සම්පාදනය කරමු (නිෂ්පාදනයේ සමානාත්මතාවය ශුන්‍යයට), සමාන නියමයන් ලබා දී සමීකරණය විසඳන්න:

පිළිතුර: අපිට වටිනාකම ලැබුණා λ = 1.8 , දෛශික විකලාංග වේ.

උදාහරණ 5දෛශිකය බව ඔප්පු කරන්න දෛශිකයට විකලාංග (ලම්බක)

විසඳුමක්. orthogonality පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, අපි දෛශික සහ බහුපද ලෙස ගුණ කරමු, එය වෙනුවට ගැටළු තත්වයේ දී ඇති ප්‍රකාශනය ආදේශ කරන්න:

.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ පළමු බහුපදයේ එක් එක් පදය (කාලය) දෙවන පදයේ එක් එක් පදයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර එහි ප්‍රතිඵලය නිෂ්පාදන එකතු කරන්න:

.

එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ගෙවිය යුතු කොටස අඩු වේ. පහත ප්රතිඵලය ලබා ගනී:

නිගමනය: ගුණ කිරීමේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස අපට ශුන්‍යය ලැබුණි, එබැවින් දෛශිකවල විකලාංග (ලම්බකතාව) ඔප්පු වේ.

ගැටලුව ඔබම විසඳා ඉන්පසු විසඳුම බලන්න

උදාහරණය 6දෛශික වල දිග සහ , සහ මෙම දෛශික අතර කෝණය ලබා දී ඇත π /හතර . කුමන අගයකින්ද යන්න තීරණය කරන්න μ දෛශික සහ අන්යෝන්ය වශයෙන් ලම්බක වේ.

ස්වයං පරීක්ෂණය සඳහා, ඔබට භාවිතා කළ හැකිය මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනය සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයින් .

දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ සහ n-මාන දෛශිකවල ගුණිතයේ න්‍යාස නිරූපණය

සමහර විට, පැහැදිලිකම සඳහා, න්‍යාස ස්වරූපයෙන් ගුණිත දෛශික දෙකක් නියෝජනය කිරීම වාසිදායක වේ. එවිට පළමු දෛශිකය පේළි න්‍යාසයක් ලෙසත්, දෙවැන්න තීරු න්‍යාසයක් ලෙසත් නිරූපණය කෙරේ.

එවිට දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය වනු ඇත මෙම matrices වල නිෂ්පාදනය :

ප්රතිඵලය අප දැනටමත් සලකා බැලූ ක්රමයට සමාන වේ. අපට එක් තනි අංකයක් ලැබී ඇති අතර, න්‍යාස-තීරුව අනුව න්‍යාස පේළියේ ගුණිතය ද එක් අංකයකි.

න්‍යාස ආකාරයෙන්, වියුක්ත n-මාන දෛශිකවල ගුණිතය නිරූපණය කිරීම පහසුය. මේ අනුව, සිව්මාන දෛශික දෙකක ගුණිතය තීරු න්‍යාසයකින් මූලද්‍රව්‍ය හතරක් සහිත පේළි න්‍යාසයක ද මූලද්‍රව්‍ය හතරකින් ද, පංචමාන දෛශික දෙකක ගුණිතය මූලද්‍රව්‍ය පහක් සහිත පේළි න්‍යාසයක ගුණිතය වේ. මූලද්‍රව්‍ය පහක් සහිත තීරු අනුකෘතියක් සහ යනාදිය.

උදාහරණ 7දෛශික යුගලවල තිත් නිෂ්පාදන සොයන්න

,

matrix නියෝජනය භාවිතා කරමින්.

විසඳුමක්. පළමු දෛශික යුගලය. අපි පළමු දෛශිකය පේළි න්‍යාසයක් ලෙසත්, දෙවැන්න තීරු න්‍යාසයක් ලෙසත් නිරූපණය කරමු. තීරු න්‍යාසය මගින් පේළි න්‍යාසයේ ගුණිතය ලෙස අපි මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සොයා ගනිමු:

ඒ හා සමානව, අපි දෙවන යුගලය නියෝජනය කර සොයා ගන්නේ:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, උදාහරණ 2 සිට එකම යුගල සඳහා ප්රතිඵල සමාන වේ.

දෛශික දෙකක් අතර කෝණය

දෛශික දෙකක් අතර කෝණයේ කෝසයින් සඳහා සූත්‍රයේ ව්‍යුත්පන්නය ඉතා අලංකාර සහ සංක්ෂිප්ත ය.

දෛශිකවල තිත් ගුණිතය ප්‍රකාශ කිරීමට

(1)

ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන්, අපි මුලින්ම orts හි පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගනිමු. දෛශිකයක අදිශ ගුණිතය නිර්වචනය අනුව:

ඉහත සූත්‍රයේ ලියා ඇති දේ අදහස් වන්නේ: දෛශිකයක අදිශ ගුණිතය එහි දිග වර්ග වලට සමාන වේ. ශුන්‍යයේ කෝසයිනය එකකට සමාන වේ, එබැවින් එක් එක් ඕර්ත් වර්ග එකකට සමාන වේ:

දෛශික සිට

යුගල වශයෙන් ලම්බක වේ, එවිට orts හි යුගල නිෂ්පාදන බිංදුවට සමාන වේ:

දැන් අපි දෛශික බහුපද ගුණ කිරීම සිදු කරමු:

අපි සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තේ orts හි අනුරූප පරිමාණ නිෂ්පාදනවල අගයන් ආදේශ කරමු:

දෛශික දෙකක් අතර කෝණයේ කෝසයින් සඳහා සූත්‍රය අපට ලැබේ:

උදාහරණ 8ලකුණු තුනක් ලබා දී ඇත ඒ(1;1;1), බී(2;2;1), සී(2;1;2).

කෝණයක් සොයන්න.

විසඳුමක්. අපි දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු:

,

.

කෝණයක කෝසයින් සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, .

ස්වයං පරීක්ෂණය සඳහා, ඔබට භාවිතා කළ හැකිය මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනය සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයින් .

උදාහරණ 9දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇත

එකතුව, වෙනස, දිග, තිත් නිෂ්පාදනය සහ ඒවා අතර කෝණය සොයන්න.

2.වෙනස