දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයක් යනු කුමක්ද? දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය
දෛශික තුනක මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් සහ එහි ගුණ
මිශ්ර වැඩදෛශික තුනක් සමාන සංඛ්යාවක් ලෙස හැඳින්වේ. නම් කර ඇත 
. මෙහිදී පළමු දෛශික දෙක දෛශික වශයෙන් ගුණ කරන අතර පසුව ලැබෙන දෛශිකය තුන්වන දෛශිකයෙන් පරිමාණයෙන් ගුණ කරනු ලැබේ. නිසැකවම, එවැනි නිෂ්පාදනයක් නිශ්චිත සංඛ්යාවකි.
මිශ්ර නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග සලකා බලමු.
- ජ්යාමිතික අර්ථයමිශ්ර වැඩ. දෛශික 3 ක මිශ්ර නිෂ්පාදිතය, ලකුණක් දක්වා, මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර පයිප්පයේ පරිමාවට සමාන වේ, දාරවල මෙන්, i.e. .
මේ අනුව, සහ
.
සාක්ෂි. අපි පොදු සම්භවයෙන් දෛශික පසෙකට දමා ඒවා මත සමාන්තර නලයක් ගොඩනඟමු. අපි එය සටහන් කර සටහන් කරමු. පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනය අනුව
යැයි උපකල්පනය කර දැක්වීම hසමාන්තර පයිප්පයේ උස සොයා ගන්න.
මේ අනුව, කවදාද
එසේ නම්, එසේ නම්. එබැවින්, .
මෙම අවස්ථා දෙකම ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු හෝ .
මෙම ගුණය පිළිබඳ සාක්ෂියෙන්, විශේෂයෙන්, එය දෛශික ත්රිත්ව දකුණු අත නම්, මිශ්ර නිෂ්පාදිතය , සහ එය වම් අත නම්, පසුව .
- ඕනෑම දෛශිකයක් සඳහා, සමානාත්මතාවය සත්ය වේ
මෙම දේපල පිළිබඳ සාක්ෂි දේපල 1 වෙතින් පහත දැක්වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, එය පෙන්වීමට පහසු සහ . එපමණක් නොව, "+" සහ "-" යන සංඥා එකවර ගනු ලැබේ, මන්ද දෛශික සහ සහ සහ අතර කෝණ තියුණු සහ නොපැහැදිලි වේ.
- කිසියම් සාධක දෙකක් නැවත සකස් කළ විට, මිශ්ර නිෂ්පාදන ලකුණ වෙනස් වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් සලකා බලන්නේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස, හෝ
- එක් සාධකයක් ශුන්යයට සමාන නම් හෝ දෛශික කොප්ලැනර් නම් සහ පමණක් මිශ්ර නිෂ්පාදනයක්.
සාක්ෂි.
මේ අනුව, දෛශික 3 ක coplanarity සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසියක් වන්නේ ඒවායේ මිශ්ර නිෂ්පාදිතය ශුන්යයට සමාන වේ. ඊට අමතරව, දෛශික තුනක් නම් අවකාශයේ පදනමක් ඇති කරයි.
දෛශික ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලබා දී ඇත්නම්, ඒවායේ මිශ්ර නිෂ්පාදිතය සූත්රය මගින් සොයාගත හැකි බව පෙන්විය හැකිය:
.මේ අනුව, මිශ්ර නිෂ්පාදිතය පළමු පේළියේ පළමු දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක, දෙවන පේළියේ දෙවන දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සහ තුන්වන පේළියේ තුන්වන දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ඇති තුන්වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකයට සමාන වේ.
උදාහරණ.
අභ්‍යවකාශයේ විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය
සමීකරණය F(x, y, z)= 0 අවකාශය තුළ අර්ථ දක්වයි Oxyzයම් මතුපිටක්, i.e. ඛණ්ඩාංක ඇති ලක්ෂ්‍යවල පිහිටීම x, y, zමෙම සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන්න. මෙම සමීකරණය මතුපිට සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ, සහ x, y, z- වත්මන් ඛණ්ඩාංක.
කෙසේ වෙතත්, බොහෝ විට පෘෂ්ඨය සමීකරණයකින් නිශ්චිතව දක්වා නැත, නමුත් එක් හෝ තවත් දේපලක් ඇති අවකාශයේ ලක්ෂ්ය කට්ටලයක් ලෙස. මෙම අවස්ථාවේදී, එහි ජ්යාමිතික ගුණ මත පදනම්ව මතුපිට සමීකරණය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.
ගුවන් යානය.
සාමාන්ය තල දෛශිකය.
ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයක සමීකරණය
අපි අභ්‍යවකාශයේ σ අත්තනෝමතික තලයක් සලකා බලමු. එහි පිහිටීම තීරණය වන්නේ මෙම තලයට ලම්බකව දෛශිකයක් සහ යම් ස්ථාවර ලක්ෂ්යයක් නියම කිරීමෙනි. M0(x 0, y 0, z 0), σ තලයේ වැතිර සිටීම.
σ තලයට ලම්බක දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්යමෙම ගුවන් යානයේ දෛශිකය. දෛශිකයට ඛණ්ඩාංක තිබිය යුතුය.
මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන σ තලයේ සමීකරණය අපි ව්‍යුත්පන්න කරමු M0සහ සාමාන්ය දෛශිකයක් තිබීම. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, σ තලයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් ගන්න M(x, y, z)සහ දෛශිකය සලකා බලන්න.
ඕනෑම කරුණක් සඳහා එම්О σ යනු දෛශිකයකි.එබැවින් ඒවායේ අදිශ ගුණිතය ශුන්යයට සමාන වේ. මෙම සමානාත්මතාවය කාරණය වන්නේ කොන්දේසියයි එම්හෝ σ. එය මෙම තලයේ සියලුම ලක්ෂ්ය සඳහා වලංගු වන අතර ලක්ෂ්යය වූ වහාම උල්ලංඝනය වේ එම්σ තලයෙන් පිටත වනු ඇත.
අපි අරය දෛශිකයෙන් ලක්ෂ්ය දක්වන්නේ නම් එම්, – ලක්ෂ්‍යයේ අරය දෛශිකය M0, එවිට සමීකරණය පෝරමයේ ලිවිය හැක
මෙම සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ දෛශිකයතල සමීකරණය. අපි එය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු. එදින සිට
ඉතින්, අපි මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයේ සමීකරණය ලබාගෙන ඇත. මේ අනුව, තලයක සමීකරණයක් නිර්මාණය කිරීම සඳහා, ඔබ සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සහ තලය මත ඇති යම් ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක දැන සිටිය යුතුය.
තලයේ සමීකරණය වත්මන් ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධයෙන් 1 වන අංශකයේ සමීකරණයක් බව සලකන්න x, yසහ z.
උදාහරණ.
ගුවන් යානයේ සාමාන්ය සමීකරණය
කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධයෙන් ඕනෑම පළමු උපාධි සමීකරණයක් බව පෙන්විය හැක x, y, zයම් තලයක සමීකරණය නියෝජනය කරයි. මෙම සමීකරණය මෙසේ ලියා ඇත:
Ax+By+Cz+D=0
සහ කැඳවනු ලැබේ සාමාන්ය සමීකරණයගුවන් යානය සහ ඛණ්ඩාංක ඒ, බී, සීගුවන් යානයේ සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක මෙන්න.
අපි සාමාන්ය සමීකරණයේ විශේෂ අවස්ථා සලකා බලමු. සමීකරණයේ සංගුණක එකක් හෝ කිහිපයක් ශුන්‍ය වුවහොත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට සාපේක්ෂව තලය පිහිටා ඇත්තේ කෙසේදැයි සොයා බලමු.
A යනු අක්ෂයේ තලය මගින් කපා හරින ලද කොටසෙහි දිග වේ ගොනා. ඒ හා සමානව, එය පෙන්විය හැකිය බීසහ c- අක්ෂයන්හි සලකා බලනු ලබන ගුවන් යානය විසින් කපා දැමූ කොටස්වල දිග ඔයිසහ Oz.
ගුවන් යානා තැනීම සඳහා කොටස් වශයෙන් ගුවන් යානයක සමීකරණය භාවිතා කිරීම පහසුය.
7.1 හරස් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම
තුන්වන දෛශිකයේ c අග සිට පළමු දෛශිකයේ සිට දෙවන දෛශිකය b දක්වා කෙටිම හැරීම පෙනෙන්නේ නම්, දක්වන ලද අනුපිළිවෙලට ගත් a, b සහ c නොවන coplanar දෛශික තුනක් දකුණු අත ත්රිත්ව සාදයි. වාමාවර්තව, සහ දක්ෂිණාවර්තව නම් වම් අත ත්රිත්ව (පය. 16 බලන්න).
දෛශික a සහ b දෛශිකයේ දෛශික නිෂ්පාදනය දෛශික c ලෙස හැඳින්වේ, එනම්:
1. දෛශික a සහ b සඳහා ලම්බකව, එනම් c ^ a සහ c ^ බී ;
2. දෛශික a සහ මත ඉදිකර ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන දිගක් ඇතබීපැතිවල මෙන් (රූපය 17 බලන්න), i.e.
3. දෛශික a, b සහ c දකුණු අත ත්රිත්ව සාදයි.
හරස් නිෂ්පාදනය x b හෝ [a,b] ලෙස දැක්වේ. ඒකක දෛශික අතර පහත සම්බන්ධතා දෛශික නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයෙන් මම සෘජුවම අනුගමනය කරමි, jසහ කේ(රූපය 18 බලන්න):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.
උදාහරණයක් ලෙස, අපි ඔප්පු කරමු i xj =k.
1) k ^ i, k ^ j ;
2) |k |=1, නමුත් | i x j| = |i | |ජේ | sin(90°)=1;
3) දෛශික i, j සහ කේනිවැරදි ත්රිත්ව සාදන්න (රූපය 16 බලන්න).
7.2 හරස් නිෂ්පාදනයක ගුණාංග
1. සාධක නැවත සකස් කරන විට, දෛශික නිෂ්පාදන ලකුණ වෙනස් වේ, i.e. සහ xb =(b xa) (රූපය 19 බලන්න).
දෛශික a xb සහ b xa collinear වේ, එකම මොඩියුල ඇත (සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය නොවෙනස්ව පවතී), නමුත් ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කෙරේ (ත්රිත්ව a, b, a xb සහ a, b, b x a ප්රතිවිරුද්ධ දිශානතිය). එනම් axb = -(b xa).
2. දෛශික නිෂ්පාදනයට අදිශ සාධකයට සාපේක්ෂව ඒකාබද්ධ ගුණයක් ඇත, එනම් l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).
l >0 ඉඩ දෙන්න. දෛශික l (a xb) දෛශික a සහ b සඳහා ලම්බක වේ. දෛශිකය ( එල් a)x බීදෛශික a සහ සඳහා ලම්බක වේ බී(දෛශික a, එල්නමුත් එකම ගුවන් යානයක සැතපෙන්න). මෙයින් අදහස් කරන්නේ දෛශික බවයි එල්(axb) සහ ( එල් a)x බී collinear. ඔවුන්ගේ දිශාවන් සමපාත වන බව පැහැදිලිය. ඒවාට සමාන දිගක් ඇත:
ඒක තමයි එල්(a xb)= එල් xb. සඳහා සමාන ආකාරයකින් ඔප්පු කර ඇත එල්<0.
3. ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් a සහ බී collinear වේ නම් සහ ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනය ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන නම් පමණි, එනම් a ||b<=>සහ xb =0.
විශේෂයෙන්ම, i *i =j *j =k *k =0 .
4. දෛශික නිෂ්පාදනයට බෙදාහැරීමේ ගුණය ඇත:
(a+b) xc = a xc + බී xs.
සාක්ෂි නොමැතිව අපි පිළිගන්නෙමු.
7.3 ඛණ්ඩාංක අනුව හරස් නිෂ්පාදනය ප්‍රකාශ කිරීම
අපි දෛශික i හි හරස් නිෂ්පාදන වගුව භාවිතා කරන්නෙමු, jසහ කේ:
පළමු දෛශිකයේ සිට දෙවැන්න දක්වා කෙටිම මාර්ගයේ දිශාව ඊතලයේ දිශාවට සමපාත වේ නම්, නිෂ්පාදිතය තුන්වන දෛශිකයට සමාන වේ; එය සමපාත නොවන්නේ නම්, තුන්වන දෛශිකය සෘණ ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ.
a =a x i +a y දෛශික දෙකක් දෙන්න j+a z කේසහ b =b x මම+b y j+b z කේ. මෙම දෛශික බහුපද ලෙස ගුණ කිරීමෙන් (දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණ අනුව) දෛශික ගුණය සොයා ගනිමු:
ලැබෙන සූත්රය ඊටත් වඩා කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය:
සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්ත (7.1) පළමු පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය අනුව තුන්වන අනුපිළිවෙල නිර්ණය කිරීමේ ප්‍රසාරණයට අනුරූප වන බැවින් සමානාත්මතාවය (7.2) මතක තබා ගැනීම පහසුය.
7.4 හරස් නිෂ්පාදනයේ සමහර යෙදුම්
දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය ස්ථාපිත කිරීම
සමාන්තර චලිතයක සහ ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම
දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනය අනුව ඒසහ බී |a xb | =|අ | * |b |sin g, i.e. S යුගල = |a x b |. තවද, එබැවින්, D S =1/2|a x b |.
ලක්ෂ්යයක් ගැන බලයේ මොහොත තීරණය කිරීම
A ලක්ෂ්‍යයේ බලයක් යොදන්න F = ABඑයට යන්න දෙන්න ගැන- අවකාශයේ යම් ස්ථානයක් (රූපය 20 බලන්න).
එය භෞතික විද්‍යාවෙන් දන්නා කරුණකි බලයේ මොහොත එෆ් කාරණයට සාපේක්ෂව ගැනදෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ එම්,ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන ගැනසහ:
1) ලකුණු හරහා ගමන් කරන තලයට ලම්බකව O, A, B;
2) සංඛ්‍යාත්මකව එක් අතකට බලයේ ගුණිතයට සමාන වේ
3) OA සහ A B දෛශික සමඟ දකුණු ත්රිත්ව සාදයි.
එබැවින්, M = OA x F.
රේඛීය භ්‍රමණ වේගය සොයා ගැනීම
වේගය vකෝණික ප්‍රවේගයෙන් භ්‍රමණය වන දෘඩ සිරුරක M ලක්ෂ්යය wස්ථාවර අක්ෂයක් වටා, Euler's සූත්රය v =w xr මගින් තීරණය වේ, එහිදී r =OM, O යනු අක්ෂයේ යම් ස්ථාවර ලක්ෂ්යයක් වේ (රූපය 21 බලන්න).
දෛශික නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ සංකල්පය ලබා දීමට පෙර, අපි ත්රිමාණ අවකාශයේ a →, b →, c → යන ත්රිත්ව දෛශිකයක දිශානතිය පිළිබඳ ප්රශ්නය වෙත හැරෙමු.
ආරම්භ කිරීමට, දෛශික a → , b → , c → එක් ලක්ෂ්‍යයකින් වෙන් කරමු. ත්රිත්ව a → , b → , c → දෛශිකයේ දිශානතිය අනුව c → දකුණ හෝ වම විය හැක. ත්රිත්ව a → , b → , c → දෛශිකයේ c → අවසානයේ සිට දෛශික a → සිට b → දක්වා කෙටිම හැරීම සිදු කරන දිශාවෙන් තීරණය වේ.
කෙටිම හැරීම වාමාවර්තව සිදු කරන්නේ නම්, දෛශික ත්රිත්ව a → , b → , c → ලෙස හැඳින්වේ. හරි, දක්ෂිණාවර්තව නම් - අත්හැරියා.
මීළඟට, a → සහ b → collinear නොවන දෛශික දෙකක් ගන්න. ඉන්පසුව A B → = a → සහ A C → = b → යන දෛශික A ලක්ෂ්‍යයෙන් සටහන් කරමු. A B → සහ A C → යන දෙකටම එකවර ලම්බක වන A D → = c → දෛශිකයක් ගොඩනඟමු. මේ අනුව, දෛශිකයම A D → = c → තැනීමේදී, අපට කරුණු දෙකක් කළ හැකිය, එය එක් දිශාවකට හෝ ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට ලබා දෙයි (නිදර්ශනය බලන්න).
දෛශිකයේ දිශානතිය අනුව අපි සොයා ගත් පරිදි a → , b → , c → ත්රිත්ව දෛශිකයක් දකුණට හෝ වමට විය හැක.
ඉහතින් අපට දෛශික නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ නිර්වචනය හඳුන්වා දිය හැකිය. මෙම නිර්වචනය ත්රිමාණ අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අර්ථ දක්වා ඇති දෛශික දෙකක් සඳහා ලබා දී ඇත.
අර්ථ දැක්වීම 1
a → සහ b → දෛශික දෙකක දෛශික ගුණිතය ත්‍රිමාන අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අර්ථ දක්වා ඇති එවැනි දෛශිකයක් අපි හඳුන්වන්නේ:
- දෛශික a → සහ b → ඛණ්ඩක නම්, එය ශුන්‍ය වේ;
- එය දෛශික a → සහ දෛශික b → යන දෙකටම ලම්බක වනු ඇත i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- එහි දිග සූත්රය මගින් තීරණය වේ: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- දෛශික ත්රිත්ව a → , b → , c → ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට සමාන දිශානතියක් ඇත.
දෛශික වල දෛශික ගුණිතය a → සහ b → පහත සඳහන් අංකනය ඇත: a → × b →.
දෛශික නිෂ්පාදනයේ ඛණ්ඩාංක
ඕනෑම දෛශිකයකට ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ නිශ්චිත ඛණ්ඩාංක ඇති බැවින්, අපට දෛශික නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ දෙවන අර්ථ දැක්වීමක් හඳුන්වා දිය හැකිය, එමඟින් දෛශිකවල දී ඇති ඛණ්ඩාංක භාවිතා කර එහි ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි.
අර්ථ දැක්වීම 2
ත්රිමාණ අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශික දෙකක දෛශික ගුණිතය a → = (a x ; a y ; a z) සහ b → = (b x ; b y ; b z) දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , j → co , j → , j →
දෛශික නිෂ්පාදිතය තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකය ලෙස නිරූපණය කළ හැක, එහිදී පළමු පේළියේ දෛශික දෛශික i → , j → , k → , දෙවන පේළියේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අඩංගු වේ a → , සහ තෙවන පේළිය ලබා දී ඇති සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක b → දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අඩංගු වේ, මෙය න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මෙසේය: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b
මෙම නිර්ණායකය පළමු පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය දක්වා පුළුල් කිරීම, අපි සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · ix → a z · x → b - a b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
හරස් නිෂ්පාදනයක ගුණාංග
ඛණ්ඩාංකවල ඇති දෛශික නිෂ්පාදිතය c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ලෙස නිරූපනය වන බව දන්නා කරුණකි. matrix determinant හි ගුණාංගපහත දැක්වෙනු ඇත දෛශික නිෂ්පාදනයක ගුණාංග:
- ප්‍රතිප්‍රවාහක a → × b → = - b → × a → ;
- බෙදාහැරීමේ හැකියාව a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → හෝ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- ආශ්‍රය λ a → × b → = λ a → × b → හෝ a → × (λ b →) = λ a → × b →, λ යනු අත්තනෝමතික තාත්වික සංඛ්යාවකි.
මෙම ගුණාංග සරල සාක්ෂි ඇත.
උදාහරණයක් ලෙස, අපට දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රති-සන්නිවේදක ගුණය ඔප්පු කළ හැක.
ප්‍රති-ප්‍රවාහකත්වය පිළිබඳ සාධනය
නිර්වචනය අනුව, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z සහ b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. තවද න්‍යාසයේ පේළි දෙකක් හුවමාරු කර ඇත්නම්, න්‍යාසයේ නිර්ණායකයේ අගය ප්රතිවිරුද්ධ අගයට වෙනස් විය යුතුය, එබැවින්, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k - b → × a → , එය සහ දෛශික නිෂ්පාදනය ප්‍රති-සන්නිවේදක බව ඔප්පු කරයි.
දෛශික නිෂ්පාදන - උදාහරණ සහ විසඳුම්
බොහෝ අවස්ථාවලදී ගැටළු වර්ග තුනක් තිබේ.
පළමු වර්ගයේ ගැටළු වලදී, දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවා අතර කෝණය සාමාන්යයෙන් ලබා දී ඇති අතර, ඔබ දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගත යුතුය. මෙම අවස්ථාවේදී, c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → සූත්රය භාවිතා කරන්න.
උදාහරණ 1
ඔබ a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 දන්නේ නම් a → සහ b → දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න.
විසඳුමක්
දෛශික a → සහ b → දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග තීරණය කිරීමෙන්, අපි මෙම ගැටළුව විසඳන්නෙමු: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
පිළිතුර: 15 2 2 .
දෙවන වර්ගයේ ගැටළු දෛශික ඛණ්ඩාංක සමඟ සම්බන්ධයක් ඇත, ඒවා තුළ දෛශික නිෂ්පාදනය, එහි දිග යනාදිය. ලබා දී ඇති දෛශිකවල දන්නා ඛණ්ඩාංක හරහා සොයනු ලැබේ a → = (a x; a y; a z) සහ b → = (b x ; b y ; b z) .
මෙම ආකාරයේ ගැටළුවක් සඳහා, ඔබට බොහෝ කාර්ය විකල්ප විසඳා ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, a → සහ b → දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක නියම කළ නොහැක, නමුත් පෝරමයේ ඛණ්ඩාංක දෛශික බවට ඒවායේ ප්‍රසාරණය b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → සහ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, හෝ දෛශික a → හා b සහ අවසන් ලකුණු.
පහත උදාහරණ සලකා බලන්න.
උදාහරණ 2
සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇත: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). ඔවුන්ගේ හරස් නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න.
විසඳුමක්
දෙවන නිර්වචනය අනුව, දී ඇති ඛණ්ඩාංකවල දෛශික දෙකක දෛශික ගුණිතය අපි සොයා ගනිමු: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + (- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
අපි න්‍යාසයේ නිර්ණායකය හරහා දෛශික නිෂ්පාදනය ලියන්නේ නම්, මෙම උදාහරණයේ විසඳුම මේ ආකාරයට පෙනේ: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 -1 - 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
පිළිතුර: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
උදාහරණය 3
i → - j → සහ i → + j → + k → දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න, i →, j →, k → යනු සෘජුකෝණාස්රාකාර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඒකක දෛශික වේ.
විසඳුමක්
පළමුව, දී ඇති සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දී ඇති දෛශික නිෂ්පාදනයක i → - j → × i → + j → + k → ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු.
i → - j → සහ i → + j → + k → දෛශිකවලට පිළිවෙලින් ඛණ්ඩාංක (1; - 1; 0) සහ (1; 1; 1) ඇති බව දන්නා කරුණකි. න්‍යාසයේ නිර්ණායකය භාවිතයෙන් දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගනිමු, එවිට අපට i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
එබැවින්, දෛශික නිෂ්පාදන i → - j → × i → + j → + k → ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංක (- 1 ; - 1 ; 2) ඇත.
අපි සූත්රය භාවිතයෙන් දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගනිමු (දෛශිකයක දිග සෙවීමේ කොටස බලන්න): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.
පිළිතුර: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .
උදාහරණය 4
සෘජුකෝණාස්රාකාර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) යන කරුණු තුනක ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇත. A B → සහ A C → ට ලම්බකව යම් දෛශිකයක් එකවර සොයන්න.
විසඳුමක්
දෛශික A B → සහ A C → පිළිවෙළින් පහත ඛණ්ඩාංක (- 1 ; 2 ; 2) සහ (0 ; 4 ; 1) ඇත. A B → සහ A C → දෛශිකවල දෛශික ගුණය සොයා ගැනීමෙන්, එය A B → සහ A C → යන දෙකටම නිර්වචනය අනුව ලම්බක දෛශිකයක් බව පැහැදිලිය, එනම් එය අපගේ ගැටලුවට විසඳුමකි. අපි එය සොයා ගනිමු A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
පිළිතුර: - 6 i → + j → - 4 k → . - ලම්බක දෛශික වලින් එකක්.
තුන්වන වර්ගයේ ගැටළු දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග භාවිතා කිරීම කෙරෙහි අවධානය යොමු කර ඇත. එය අයදුම් කිරීමෙන් පසු, ලබා දී ඇති ගැටලුවට අපි විසඳුමක් ලබා ගනිමු.
උදාහරණ 5
දෛශික a → සහ b → ලම්බක වන අතර ඒවායේ දිග පිළිවෙලින් 3 සහ 4 වේ. දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .
විසඳුමක්
දෛශික නිෂ්පාදනයක බෙදාහැරීමේ ගුණය අනුව, අපට 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 ලිවිය හැක. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
ආශ්රිත ගුණය අනුව, අපි අවසාන ප්‍රකාශනයේ දෛශික නිෂ්පාදනවල ලකුණෙන් සංඛ්‍යාත්මක සංගුණක ඉවත් කරමු: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
a → × a → සහ b → × b → දෛශික නිෂ්පාදන 0 ට සමාන වේ, a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 සහ b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, පසුව 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → .
දෛශික නිෂ්පාදනයේ ප්‍රති-ප්‍රවාහකතාවෙන් එය පහත දැක්වේ - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .
දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග භාවිතා කරමින්, අපි සමානාත්මතාවය 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → ලබා ගනිමු.
කොන්දේසිය අනුව, a → සහ b → දෛශික ලම්බක වේ, එනම් ඒවා අතර කෝණය π 2 ට සමාන වේ. දැන් ඉතිරිව ඇත්තේ සොයාගත් අගයන් සුදුසු සූත්‍රවලට ආදේශ කිරීම පමණි: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
පිළිතුර: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.
නිර්වචනය අනුව දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ට සමාන වේ. ත්රිකෝණයක වර්ගඵලය එහි පැති දෙකේ දිග ප්‍රමාණයේ ගුණිතයෙන් අඩකට සමාන වන බව දැනටමත් (පාසල් පාඨමාලාවෙන්) දන්නා බැවින් මෙම පැති අතර කෝණයේ සයිනයෙන් ගුණ කළ යුතුය. එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස, දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයට සමාන වේ - දෙගුණ කළ ත්‍රිකෝණයක්, එනම් දෛශික ස්වරූපයෙන් පැතිවල ගුණිතය a → සහ b →, එක් ලක්ෂ්‍යයකින් දක්වා ඇත. ඒවා අතර කෝණය sin ∠ a →, b →.
දෛශික නිෂ්පාදනයක ජ්යාමිතික අර්ථය මෙයයි.
දෛශික නිෂ්පාදනයේ භෞතික අර්ථය
යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදී, භෞතික විද්‍යාවේ එක් ශාඛාවක්, දෛශික නිෂ්පාදනයට ස්තූතිවන්ත වන අතර, අභ්‍යවකාශයේ ලක්ෂ්‍යයකට සාපේක්ෂව බලයක මොහොත තීරණය කළ හැකිය.
අර්ථ දැක්වීම 3
A ලක්ෂ්‍යයට සාපේක්ෂව B ලක්ෂ්‍යයට F → යොදන බලයේ මොහොත වන විට, අපි පහත දෛශික නිෂ්පාදනය A B → × F → තේරුම් ගනිමු.
ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න
මෙම පාඩමේදී අපි දෛශික සමඟ තවත් මෙහෙයුම් දෙකක් දෙස බලමු: දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයසහ දෛශික මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් (අවශ්ය අය සඳහා ක්ෂණික සබැඳිය). එය කමක් නැත, සමහර විට එය සම්පූර්ණ සතුට සඳහා, අමතරව සිදු වේ දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය, වැඩි වැඩියෙන් අවශ්ය වේ. මෙය දෛශික ඇබ්බැහි වීමකි. අපි විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය කැලයට ඇතුල් වන බව පෙනෙන්නට තිබේ. මේක වැරදියි. උසස් ගණිතයේ මෙම කොටසේ පිනොචියෝ සඳහා ප්රමාණවත් තරම් හැර සාමාන්යයෙන් කුඩා ලී ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, ද්රව්යය ඉතා පොදු සහ සරලයි - එකම දේට වඩා සංකීර්ණ නොවේ පරිමාණ නිෂ්පාදනයක්, සාමාන්ය කාර්යයන් පවා අඩු වනු ඇත. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතියේ ප්‍රධානතම දෙය නම්, බොහෝ දෙනෙකුට ඒත්තු ගැන්වෙනු ඇති හෝ දැනටමත් ඒත්තු ගොස් ඇති පරිදි, ගණනය කිරීම් වලදී වැරදි සිදු නොකිරීමයි. මන්ත්‍රයක් මෙන් නැවත නැවත කරන්න, එවිට ඔබ සතුටු වනු ඇත =)
ක්ෂිතිජයේ අකුණු ගහනවා වගේ දෛශික කොහේ හරි ඈතින් දිදුලනවා නම්, කමක් නැහැ, පාඩමෙන් පටන් ගන්න ඩමි සඳහා දෛශිකදෛශික පිළිබඳ මූලික දැනුම යථා තත්ත්වයට පත් කිරීමට හෝ නැවත ලබා ගැනීමට. වඩාත් සුදානම් වූ පාඨකයන්ට තොරතුරු වරණාත්මකව දැනගත හැකිය; ප්‍රායෝගික වැඩ වලදී බොහෝ විට දක්නට ලැබෙන වඩාත්ම සම්පූර්ණ උදාහරණ එකතුව එකතු කිරීමට මම උත්සාහ කළෙමි.
ඔබ වහාම සතුටු වන්නේ කුමක්ද? මම පොඩි කාලෙ බෝල දෙක තුනක්වත් සරදම් කරන්න පුළුවන්. එය හොඳින් ක්‍රියාත්මක විය. අපි සලකා බලනු ඇති බැවින්, දැන් ඔබට කිසිසේත්ම වංචා කිරීමට සිදු නොවනු ඇත අවකාශීය දෛශික පමණි, සහ ඛණ්ඩාංක දෙකක් සහිත පැතලි දෛශික ඉතිරි වනු ඇත. ඇයි? මෙම ක්‍රියාවන් උපත ලැබුවේ එලෙසයි - දෛශිකවල දෛශිකය සහ මිශ්ර නිෂ්පාදිතය නිර්වචනය කර ත්‍රිමාන අවකාශයේ ක්‍රියා කරයි. එය දැනටමත් පහසුයි!
මෙම මෙහෙයුම, අදිශ නිෂ්පාදනය මෙන්ම, ඇතුළත් වේ දෛශික දෙකක්. මේවා නොදිරන අකුරු වේවා.
ක්‍රියාව ම ය මගින් දක්වා ඇතපහත ආකාරයෙන්: . වෙනත් විකල්ප ඇත, නමුත් මම දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය මේ ආකාරයෙන්, හරස්කඩ සහිත හතරැස් වරහන් තුළ දැක්වීමට පුරුදු වී සිටිමි.
සහ වහාම ප්රශ්නය: ඇතුලේ නම් දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයදෛශික දෙකක් සම්බන්ධ වන අතර මෙහි දෛශික දෙකක් ද ගුණ කරනු ලැබේ කුමක්ද වෙනස? පැහැදිලි වෙනස වන්නේ, ප්‍රථමයෙන්ම, ප්‍රතිඵලයේ:
දෛශිකවල අදිශ ගුණිතයේ ප්‍රතිඵලය NUMBER වේ:
දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනයේ ප්‍රතිඵලය VECTOR වේ: , එනම් අපි දෛශික ගුණ කර නැවත දෛශිකයක් ලබා ගනිමු. සංවෘත සමාජය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහෙයුමේ නම පැමිණෙන්නේ මෙයයි. විවිධ අධ්‍යාපන සාහිත්‍යවල, තනතුරු ද වෙනස් විය හැකිය; මම ලිපිය භාවිතා කරමි.
හරස් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම
පළමුව පින්තූරයක් සමඟ අර්ථ දැක්වීමක් ඇත, පසුව අදහස්.
අර්ථ දැක්වීම: දෛශික නිෂ්පාදනය collinear නොවනදෛශික, මෙම අනුපිළිවෙලෙහි ගෙන ඇත, VECTOR ලෙස හැඳින්වේ, දිගසංඛ්යාත්මකව වන සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයට සමාන වේ, මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇත; දෛශිකය වාහකයන්ට විකලාංග, සහ පදනමට නිවැරදි දිශානතියක් ඇති වන පරිදි මෙහෙයවනු ලැබේ: 
අපි අර්ථ දැක්වීම කෑල්ලෙන් බිඳ දමමු, මෙහි රසවත් දේවල් බොහොමයක් තිබේ!
එබැවින්, පහත සඳහන් වැදගත් කරුණු ඉස්මතු කළ හැකිය:
1) නිර්වචනය අනුව රතු ඊතල මගින් දැක්වෙන මුල් දෛශික collinear නොවේ. කොලීනියර් දෛශික සම්බන්ධයෙන් මඳ වේලාවකට පසුව සලකා බැලීම සුදුසුය.
2) දෛශික ගනු ලැබේ දැඩි ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති අනුපිළිවෙලකට: – "a" "be" මගින් ගුණ කරයි, "a" සමඟ "වෙන්න" නොවේ. දෛශික ගුණ කිරීමේ ප්රතිඵලයනිල් පැහැයෙන් දැක්වෙන VECTOR වේ. දෛශික ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් ගුණ කළහොත්, අපි දිගට සමාන දෛශිකයක් සහ දිශාවට ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට (රාස්ප්බෙරි වර්ණය) ලබා ගනිමු. එනම් සමානාත්මතාවය සත්ය වේ 
.
3) දැන් අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ ජ්යාමිතික අර්ථය සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු. මෙය ඉතා වැදගත් කරුණකි! නිල් දෛශිකයේ LENGTH (සහ, ඒ අනුව, තද රතු දෛශිකය) දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන වේ. රූපයේ, මෙම සමාන්තර චලිතය කළු පැහැයෙන් යුක්ත වේ.
සටහන : චිත්රය ක්‍රමානුරූප වන අතර, ස්වාභාවිකවම, දෛශික නිෂ්පාදනයේ නාමික දිග සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයට සමාන නොවේ.
අපි ජ්යාමිතික සූත්රවලින් එකක් සිහිපත් කරමු: සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය යාබද පැතිවල ගුණිතයට සහ ඒවා අතර කෝණයේ සයිනයට සමාන වේ.. එබැවින්, ඉහත කරුණු මත පදනම්ව, දෛශික නිෂ්පාදනයක LENGTH ගණනය කිරීමේ සූත්රය වලංගු වේ:
සූත්රය දෛශිකයේ LENGTH ගැන මිස දෛශිකය ගැන නොවන බව මම අවධාරණය කරමි. ප්‍රායෝගික අර්ථය කුමක්ද? එහි තේරුම නම්, විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු වලදී, සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය බොහෝ විට දෛශික නිෂ්පාදනයක් යන සංකල්පය හරහා සොයා ගන්නා බවයි:
අපි දෙවන වැදගත් සූත්රය ලබා ගනිමු. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය (රතු තිත් රේඛාව) එය සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි. එබැවින්, දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්රිකෝණයක ප්රදේශය (රතු සෙවන) සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:
4) සමානව වැදගත් කරුණක් වන්නේ දෛශිකය දෛශිකයට විකලාංග වේ, එනම් 
. ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කරන ලද දෛශිකය (raspberry arrow) ද මුල් දෛශික වලට විකලාංග වේ.
5) දෛශිකය එසේ යොමු කර ඇත පදනමඑයට තිබෙනවා හරිදිශානතිය. ගැන පාඩමේ නව පදනමකට මාරුවීමමම ප්රමාණවත් තරම් විස්තරාත්මකව කතා කළා ගුවන් යානා දිශානතිය, සහ දැන් අපි අවකාශ දිශානතිය යනු කුමක්දැයි සොයා බලමු. මම ඔබේ ඇඟිලි මත පැහැදිලි කරන්නම් දකුණු අත. මානසිකව ඒකාබද්ධ කරන්න දබර ඇඟිල්ලදෛශිකය සමඟ සහ මැද ඇඟිල්ලදෛශිකය සමඟ. මුදු ඇඟිල්ල සහ කුඩා ඇඟිල්ලඑය ඔබේ අත්ලට ඔබන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් මාපටැඟිල්ල- දෛශික නිෂ්පාදනය ඉහළට පෙනෙනු ඇත. මෙය දකුණට නැඹුරු පදනමකි (එය රූපයේ මෙයයි). දැන් දෛශික වෙනස් කරන්න ( දර්ශකය සහ මැද ඇඟිලි) සමහර ස්ථානවල, ප්රතිඵලයක් ලෙස මාපටැඟිල්ල හැරෙනු ඇත, සහ දෛශික නිෂ්පාදනය දැනටමත් පහළට පෙනෙනු ඇත. මෙය ද දකුණට නැඹුරු වූ පදනමකි. ඔබට ප්‍රශ්නයක් තිබිය හැකිය: වම් දිශානතිය ඇත්තේ කුමන පදනමද? එකම ඇඟිලි වලට "පවරන්න" වම් අතදෛශික, සහ අවකාශයේ වම් පදනම සහ වම් දිශානතිය ලබා ගන්න (මෙම අවස්ථාවේදී, මාපටැඟිල්ල පහළ දෛශිකයේ දිශාවට පිහිටා ඇත). සංකේතාත්මකව කතා කරන්නේ නම්, මෙම පාදයන් විවිධ දිශාවලට අවකාශය "ඇඹරීමට" හෝ දිශානත කරයි. තවද මෙම සංකල්පය දුරස්ථ හෝ වියුක්ත දෙයක් ලෙස නොසැලකිය යුතුය - නිදසුනක් ලෙස, අවකාශයේ දිශානතිය වඩාත් සාමාන්ය දර්පණය මගින් වෙනස් කරනු ලබන අතර, ඔබ “පෙනෙන වීදුරුවෙන් පරාවර්තනය වූ වස්තුව අදින්න” නම්, සාමාන්යයෙන් එය එය "මුල් පිටපත" සමඟ ඒකාබද්ධ කිරීමට නොහැකි වනු ඇත. මාර්ගය වන විට, දර්පණය දක්වා ඇඟිලි තුනක් අල්ලාගෙන පරාවර්තනය විශ්ලේෂණය කරන්න ;-)
...ඔයා දැන් දන්න එක කොච්චර හොදද දකුණට සහ වමට නැඹුරුපදනම්, මන්දයත් දිශානතියේ වෙනසක් ගැන සමහර කථිකාචාර්යවරුන්ගේ ප්‍රකාශ බියජනක ය =)
කොලිනියර් දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය
නිර්වචනය විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත, දෛශික collinear වූ විට කුමක් සිදුවේද යන්න සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත. දෛශික කෝලිනියර් නම්, ඒවා එක් සරල රේඛාවක් මත තැබිය හැකි අතර අපගේ සමාන්තර චලිතය ද එක් සරල රේඛාවකට “නැමෙයි”. ගණිතඥයන් පවසන පරිදි එවැනි ප්රදේශයක්, පිරිහෙනවාසමාන්තර චලිතය ශුන්යයට සමාන වේ. සූත්‍රයෙන් ද එයම පහත දැක්වේ - ශුන්‍යයේ හෝ අංශක 180 ක සයින් ශුන්යයට සමාන වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ ප්රදේශය ශුන්‍ය බවයි
මේ අනුව, නම්, එසේ නම් 
සහ 
. දෛශික නිෂ්පාදනයම ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන බව කරුණාවෙන් සලකන්න, නමුත් ප්රායෝගිකව මෙය බොහෝ විට නොසලකා හරින අතර එය ශුන්යයට සමාන බව ලියා ඇත.
විශේෂ අවස්ථාවක් වන්නේ දෛශිකයක හරස් නිෂ්පාදනයයි:
දෛශික නිෂ්පාදනය භාවිතා කරමින්, ඔබට ත්රිමාණ දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය පරීක්ෂා කළ හැකි අතර, අපි මෙම ගැටළුව අනෙක් ඒවා අතර විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.
ප්‍රායෝගික උදාහරණ විසඳීමට ඔබට අවශ්ය විය හැකිය ත්රිකෝණමිතික වගුවඑයින් සයින වල අගයන් සොයා ගැනීමට.
හොඳයි, අපි ගින්න දල්වමු:
උදාහරණ 1
a) නම් දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න 
b) දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සොයන්න 
විසඳුමක්: නෑ, මේක ටයිප් එකක් නෙවෙයි, මම හිතාමතාම වගන්තිවල මුල් දත්ත ඒ විදියටම හැදුවා. විසඳුම් සැලසුම් කිරීම වෙනස් වනු ඇති නිසා!
අ) කොන්දේසිය අනුව, ඔබ සොයා ගත යුතුය දිගදෛශික (හරස් නිෂ්පාදන). අනුරූප සූත්රය අනුව:
පිළිතුර:
ඔබෙන් දිග ගැන විමසුවේ නම්, පිළිතුරේ අපි මානය - ඒකක දක්වන්නෙමු.
b) කොන්දේසිය අනුව, ඔබ සොයා ගත යුතුය හතරැස්දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතය. මෙම සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිගට සමාන වේ:
පිළිතුර:
පිළිතුර කිසිසේත් දෛශික නිෂ්පාදනය ගැන කතා නොකරන බව කරුණාවෙන් සලකන්න; අපගෙන් විමසන ලදී රූපයේ ප්රදේශය, ඒ අනුව, මානය වර්ග ඒකක වේ.
අපි සෑම විටම කොන්දේසිය අනුව සොයා ගත යුතු දේ දෙස බලන අතර, මේ මත පදනම්ව, අපි සකස් කරමු පැහැදිලිවපිළිතුර. එය වාක්‍ය වාදයක් සේ පෙනෙන්නට ඇත, නමුත් ගුරුවරුන් අතර වචනාර්ථවාදීන් ඕනෑ තරම් සිටින අතර, පැවරුම සංශෝධනය සඳහා ආපසු යැවීමට හොඳ අවස්ථාවක් ඇත. මෙය විශේෂයෙන් දුරදිග යන ප්‍රහේලිකාවක් නොවුනත් - පිළිතුර වැරදි නම්, පුද්ගලයා සරල දේවල් නොතේරෙන බව සහ/හෝ කර්තව්‍යයේ සාරය තේරුම් ගෙන නැති බව කෙනෙකුට හැඟේ. උසස් ගණිතය සහ අනෙකුත් විෂයයන් වලදී ඕනෑම ගැටළුවක් විසඳීමේදී මෙම කරුණ සැමවිටම පාලනය කර ගත යුතුය.
"en" විශාල අකුර ගියේ කොහේද? ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, එය විසඳුමට අතිරේකව සම්බන්ධ කළ හැකි නමුත්, ඇතුල්වීම කෙටි කිරීම සඳහා, මම මෙය නොකළෙමි. සෑම කෙනෙකුම එය තේරුම් ගෙන එකම දෙය සඳහා තනතුරක් වනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි.
DIY විසඳුමක් සඳහා ජනප්රිය උදාහරණයක්:
උදාහරණ 2
දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයන්න 
දෛශික නිෂ්පාදිතය හරහා ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ සූත්රය නිර්වචනයට අදහස් දැක්වීම්වල දක්වා ඇත. විසඳුම සහ පිළිතුර පාඩම අවසානයේ ඇත.
ප්රායෝගිකව, කාර්යය ඇත්තෙන්ම ඉතා සුලභ ය; ත්‍රිකෝණ සාමාන්යයෙන් ඔබට වධ හිංසා කළ හැකිය.
වෙනත් ගැටළු විසඳීම සඳහා අපට අවශ්ය වනු ඇත:
දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණ
අපි දැනටමත් දෛශික නිෂ්පාදනයේ සමහර ගුණාංග සලකා බලා ඇත, කෙසේ වෙතත්, මම ඒවා මෙම ලැයිස්තුවට ඇතුළත් කරමි.
අත්තනෝමතික දෛශික සහ අත්තනෝමතික අංකයක් සඳහා, පහත ගුණාංග සත්ය වේ:
1) වෙනත් තොරතුරු මූලාශ්රවලදී, මෙම අයිතමය සාමාන්යයෙන් ගුණාංගවල උද්දීපනය නොකෙරේ, නමුත් එය ප්රායෝගිකව ඉතා වැදගත් වේ. ඒ නිසා වෙන්න දෙන්න.
2) 
- දේපල ද ඉහත සාකච්ඡා කර ඇත, සමහර විට එය හැඳින්වේ ප්‍රතිප්‍රවාහකත්වය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, දෛශික අනුපිළිවෙල වැදගත් වේ.
3) - ආශ්රිත හෝ ආශ්රිතදෛශික නිෂ්පාදන නීති. නියතයන් දෛශික නිෂ්පාදනයෙන් පිටත පහසුවෙන් ගෙන යා හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔවුන් එහි කළ යුත්තේ කුමක්ද?
4) - බෙදා හැරීම හෝ බෙදාහැරීමේදෛශික නිෂ්පාදන නීති. වරහන් විවෘත කිරීමේදී ද ගැටළු නොමැත.
නිරූපණය කිරීම සඳහා, අපි කෙටි උදාහරණයක් බලමු:
උදාහරණය 3
නම් සොයන්න 
විසඳුමක්:කොන්දේසිය නැවතත් දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. අපි අපේ කුඩා පින්තාරු කරමු: 
(1) ආශ්රිත නීතිවලට අනුව, අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ විෂය පථයෙන් පිටත නියතයන් ගනිමු.
(2) අපි මොඩියුලයෙන් පිටත නියතය ගෙන යන අතර, මොඩියුලය අඩු ලකුණ "කනවා". දිග සෘණ විය නොහැක.
(3) ඉතිරිය පැහැදිලිය.
පිළිතුර: 
ගින්නට තවත් දර එකතු කිරීමට කාලයයි:
උදාහරණය 4
දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්රිකෝණයක වර්ගඵලය ගණනය කරන්න 
විසඳුමක්: සූත්රය භාවිතා කර ත්‍රිකෝණයේ ප්රදේශය සොයන්න 
. අල්ලා ගැනීම නම් "tse" සහ "de" දෛශික දෛශික එකතුවක් ලෙස ඉදිරිපත් කිරීමයි. මෙහි ඇල්ගොරිතම සම්මත වන අතර පාඩමේ අංක 3 සහ 4 උදාහරණ තරමක් සිහිපත් කරයි. දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය. පැහැදිලිකම සඳහා, අපි විසඳුම අදියර තුනකට බෙදන්නෙමු:
1) පළමු පියවරේදී, අපි දෛශික නිෂ්පාදනය හරහා දෛශික නිෂ්පාදනය ප්‍රකාශ කරමු, ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකයක් අනුව දෛශිකයක් ප්‍රකාශ කරමු. දිග ගැන තවම වචනයක් නැත!
(1) දෛශිකවල ප්‍රකාශන ආදේශ කරන්න.
(2) බෙදා හැරීමේ නීති භාවිතා කරමින්, අපි බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව වරහන් විවෘත කරමු.
(3) ආශ්රිත නීති භාවිතා කරමින්, අපි සියලු නියතයන් දෛශික නිෂ්පාදනවලින් ඔබ්බට ගෙන යන්නෙමු. කුඩා අත්දැකීමක් සමඟින්, පියවර 2 සහ 3 එකවර සිදු කළ හැකිය.
(4) මනරම් ගුණය නිසා පළමු සහ අවසාන පද ශුන්යයට (ශුන්‍ය දෛශිකය) සමාන වේ. දෙවන වාරයේදී අපි දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රති-ප්‍රවාහක ගුණය භාවිතා කරමු:
(5) අපි සමාන කොන්දේසි ඉදිරිපත් කරමු.
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, දෛශිකය දෛශිකයක් හරහා ප්‍රකාශ කිරීමට හැකි විය, එය සාක්ෂාත් කර ගැනීමට අවශ්ය විය: 
2) දෙවන පියවරේදී, අපට අවශ්ය දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගනී. මෙම ක්‍රියාව උදාහරණ 3 ට සමාන වේ: 
3) අවශ්ය ත්‍රිකෝණයේ ප්රදේශය සොයන්න: 
විසඳුමේ අදියර 2-3 එක පේළියක ලියන්න තිබුණා.
පිළිතුර:
සලකා බැලූ ගැටළුව පරීක්ෂණ වලදී බහුලව දක්නට ලැබේ, එය ඔබම විසඳීම සඳහා උදාහරණයක් මෙන්න:
උදාහරණ 5
නම් සොයන්න
පාඩම අවසානයේ කෙටි විසඳුමක් සහ පිළිතුර. පෙර උදාහරණ අධ්‍යයනය කිරීමේදී ඔබ කෙතරම් අවධානයෙන් සිටියේ දැයි බලමු ;-)
ඛණ්ඩාංකවල දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය
, විකලාංග පදනමකින් දක්වා ඇත, සූත්රය මගින් ප්රකාශිතය:
සූත්රය ඇත්තෙන්ම සරලයි: නිර්ණායකයේ ඉහළ පේළියේ අපි ඛණ්ඩාංක දෛශික ලියන්නෙමු, දෙවන සහ තුන්වන පේළිවල අපි දෛශික ඛණ්ඩාංක “තබමු” සහ අපි තබමු. දැඩි පිළිවෙළකට- පළමුව "ve" දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක, පසුව "ද්විත්ව-ve" දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක. දෛශික වෙනත් අනුපිළිවෙලකට ගුණ කළ යුතු නම්, පේළි මාරු කළ යුතුය: 
උදාහරණ 10
පහත අභ්‍යවකාශ දෛශික ඛණ්ඩක ද යන්න පරීක්ෂා කරන්න:
ඒ)
බී) 
විසඳුමක්: චෙක්පත මෙම පාඩමේ එක් ප්‍රකාශයක් මත පදනම් වේ: දෛශික ඛණ්ඩක නම්, ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනය ශුන්යයට සමාන වේ (ශුන්‍ය දෛශිකය): 
.
අ) දෛශික නිෂ්පාදනය සොයන්න: 
මේ අනුව, දෛශික ඛණ්ඩක නොවේ.
b) දෛශික නිෂ්පාදනය සොයන්න: 
පිළිතුර: a) collinear නොවේ, b)
මෙන්න, සමහර විට, දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය පිළිබඳ සියලු මූලික තොරතුරු වේ.
දෛශික මිශ්ර නිෂ්පාදිතය භාවිතා කරන ගැටළු කිහිපයක් ඇති බැවින් මෙම කොටස ඉතා විශාල නොවනු ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, සෑම දෙයක්ම අර්ථ දැක්වීම, ජ්යාමිතික අර්ථය සහ ක්රියාකාරී සූත්ර කිහිපයක් මත රඳා පවතී.
දෛශිකවල මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් දෛශික තුනක ගුණිතයකි:
එබැවින් ඔවුන් දුම්රියක් මෙන් පෙළ ගැසී සිටි අතර හඳුනා ගැනීමට බලා සිටිය නොහැක.
පළමුව, නැවතත්, අර්ථ දැක්වීමක් සහ පින්තූරයක්:
අර්ථ දැක්වීම: මිශ්ර වැඩ coplanar නොවනදෛශික, මෙම අනුපිළිවෙලෙහි ගෙන ඇත, නමින් සමාන්තර නල පරිමාව, මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති අතර, පදනම නිවැරදි නම් "+" ලකුණකින් සහ පදනම වම් පස නම් "-" ලකුණකින් සමන්විත වේ.
අපි චිත්රය කරමු. අපට නොපෙනෙන රේඛා තිත් රේඛා වලින් ඇඳ ඇත: 
අපි අර්ථ දැක්වීමට කිමිදෙමු:
2) දෛශික ගනු ලැබේ නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට, එනම්, නිෂ්පාදනයේ දෛශික නැවත සකස් කිරීම, ඔබ අනුමාන කළ හැකි පරිදි, ප්රතිවිපාක නොමැතිව සිදු නොවේ.
3) ජ්යාමිතික අර්ථය ගැන අදහස් දැක්වීමට පෙර, මම පැහැදිලි කරුණක් සටහන් කරමි: දෛශිකවල මිශ්ර නිෂ්පාදිතය NUMBER වේ: . අධ්‍යාපන සාහිත්‍යයේ, සැලසුම තරමක් වෙනස් විය හැකිය; මම මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් දැක්වීමට පුරුදු වී සිටිමි , සහ ගණනය කිරීම් වල ප්‍රතිඵලය "pe" අකුරින්.
A-priory මිශ්ර නිෂ්පාදිතය සමාන්තර පයිප්පයේ පරිමාවයි, දෛශික මත ගොඩනගා ඇත (රූපය රතු දෛශික සහ කළු රේඛා වලින් ඇඳ ඇත). එනම්, එම සංඛ්‍යාව ලබා දී ඇති සමාන්තර පයිප්පයක පරිමාවට සමාන වේ.
සටහන : චිත්රය ක්‍රමානුකූලයි.
4) පදනම සහ අවකාශයේ දිශානතිය පිළිබඳ සංකල්පය ගැන නැවත කරදර නොවන්න. අවසාන කොටසෙහි තේරුම නම් පරිමාවට අඩු ලකුණක් එකතු කළ හැකි බවයි. සරල වචන වලින් කිවහොත්, මිශ්ර නිෂ්පාදනයක් ඍණ විය හැක: .
නිර්වචනයෙන් සෘජුවම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර නලයක පරිමාව ගණනය කිරීමේ සූත්රය අනුගමනය කරයි.
මෙම ලිපියෙන් අපි දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනයේ සංකල්පය දෙස සමීපව බලමු. අපි අවශ්ය නිර්වචන ලබා දෙන්නෙමු, දෛශික නිෂ්පාදනයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම සඳහා සූත්‍රයක් ලියන්නෙමු, එහි ගුණාංග ලැයිස්තුගත කර සාධාරණීකරණය කරන්නෙමු. මෙයින් පසු, අපි දෛශික දෙකක දෛශික නිෂ්පාදනයේ ජ්යාමිතික අර්ථය මත වාසය කරන අතර විවිධ සාමාන්ය උදාහරණ සඳහා විසඳුම් සලකා බලමු.
පිටු සංචලනය.
හරස් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම.
දෛශික නිෂ්පාදනයක් නිර්වචනය කිරීමට පෙර, ත්‍රිමාන අවකාශයේ ඇණවුම් කළ දෛශික ත්‍රිත්වයක දිශානතිය තේරුම් ගනිමු.
අපි දෛශික එක ලක්ෂයකින් සැලසුම් කරමු. දෛශිකයේ දිශාව අනුව, තුන දකුණට හෝ වමට විය හැක. දෛශිකයේ සිට කෙටිම හැරීම කෙසේ දැයි දෛශිකයේ කෙළවරේ සිට බලමු. කෙටිම භ්‍රමණය සිදුවන්නේ වාමාවර්තව නම්, දෛශික ත්රිත්ව ලෙස හැඳින්වේ හරි, එසේ නොමැතිනම් - අත්හැරියා.
දැන් අපි collinear නොවන දෛශික දෙකක් ගනිමු සහ . අපි දෛශික සහ A ලක්ෂ්‍යයෙන් සැලසුම් කරමු. සහ සහ යන දෙකටම ලම්බකව දෛශිකයක් ගොඩනඟමු. පැහැදිලිවම, දෛශිකයක් තැනීමේදී, අපට කරුණු දෙකක් කළ හැකිය, එය එක් දිශාවකට හෝ ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට ලබා දෙයි (උදාහරණය බලන්න).
දෛශිකයේ දිශාව අනුව, ඇණවුම් කළ දෛශික ත්රිත්ව දකුණු අත හෝ වම් අත විය හැක.
මෙය අපව දෛශික නිෂ්පාදනයක නිර්වචනයට සමීප කරයි. එය ත්‍රිමාන අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අර්ථ දක්වා ඇති දෛශික දෙකක් සඳහා දෙනු ලැබේ.
අර්ථ දැක්වීම.
දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනයසහ, ත්‍රිමාන අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දක්වා ඇති, දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ.
දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය සහ ලෙස දැක්වේ.
දෛශික නිෂ්පාදනයේ ඛණ්ඩාංක.
දැන් අපි දෛශික නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ දෙවන අර්ථ දැක්වීම ලබා දෙන්නෙමු, එමඟින් ඔබට ලබා දී ඇති දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සහ එහි ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි.
අර්ථ දැක්වීම.
ත්රිමාණ අවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශික දෙකක දෛශික නිෂ්පාදනයක් 
සහ 
දෛශිකයකි , ඛණ්ඩාංක දෛශික කොහෙද.
මෙම නිර්වචනය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් අපට හරස් නිෂ්පාදනය ලබා දෙයි.
දෛශික නිෂ්පාදනය තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්‍යාසයක නිර්ණායකය ලෙස නිරූපණය කිරීම පහසුය, එහි පළමු පේළිය දෛශික වේ, දෙවන පේළියේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අඩංගු වේ, තුන්වන පේළියේ දී ඇති දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අඩංගු වේ. සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය: 
අපි මෙම නිර්ණායකය පළමු පේළියේ මූලද්‍රව්‍යවලට පුළුල් කළහොත්, ඛණ්ඩාංකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීමෙන් අපි සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු (අවශ්ය නම්, ලිපිය බලන්න): 
දෛශික නිෂ්පාදනයේ ඛණ්ඩාංක ආකෘතිය මෙම ලිපියේ පළමු ඡේදයේ දක්වා ඇති නිර්වචනය සමඟ සම්පුර්ණයෙන්ම අනුකූල වන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. එපමණක් නොව, හරස් නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ මෙම අර්ථ දැක්වීම් දෙක සමාන වේ. ලිපියේ අවසානයේ ලැයිස්තුගත කර ඇති පොතෙහි මෙම කරුණ පිළිබඳ සාක්ෂි ඔබට දැක ගත හැකිය.
දෛශික නිෂ්පාදනයක ගුණ.
ඛණ්ඩාංකවල ඇති දෛශික නිෂ්පාදනය න්‍යාසයේ නිර්ණායකයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බැවින්, පහත කරුණු පහසුවෙන් පදනම මත සාධාරණීකරණය කළ හැක. හරස් නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග:
උදාහරණයක් ලෙස, අපි දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රති-සන්නිවේදක ගුණය ඔප්පු කරමු.
A-priory 
සහ 
. පේළි දෙකක් මාරු කළහොත් න්‍යාසයක නිර්ණායකයේ අගය ආපසු හැරෙන බව අපි දනිමු, එබැවින්, 
, දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රති-සන්නිවේදක ගුණය සනාථ කරයි.
දෛශික නිෂ්පාදන - උදාහරණ සහ විසඳුම්.
ප්‍රධාන වශයෙන් ගැටලු වර්ග තුනක් තිබේ.
පළමු වර්ගයේ ගැටළු වලදී, දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවා අතර කෝණය ලබා දී ඇති අතර, ඔබ දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගත යුතුය. මෙම අවස්ථාවේදී, සූත්රය භාවිතා වේ 
.
උදාහරණයක්.
දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සහ , දන්නේ නම් සොයන්න 
.
විසඳුමක්.
දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සහ දෛශිකවල දිග වල ගුණිතයට සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණයේ සයින් විසින් නිර්වචනයෙන් අපි දනිමු. 
.
පිළිතුර:
.
දෙවන වර්ගයේ ගැටළු දෛශික ඛණ්ඩාංකවලට සම්බන්ධ වන අතර, දෛශික නිෂ්පාදනය, එහි දිග හෝ වෙනත් ඕනෑම දෙයක් ලබා දී ඇති දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක හරහා සොයනු ලැබේ. සහ .
මෙහි හැකි විවිධ විකල්ප රාශියක් ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක නොව නිශ්චිතව දැක්විය හැක, නමුත් පෝරමයේ ඛණ්ඩාංක දෛශික බවට ඒවායේ ප්‍රසාරණය 
සහ , හෝ දෛශික සහ ඒවායේ ආරම්භක සහ අවසාන ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක මගින් නියම කළ හැක.
සාමාන්ය උදාහරණ දෙස බලමු.
උදාහරණයක්.
සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇත 
. ඔවුන්ගේ හරස් නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න.
විසඳුමක්.
දෙවන නිර්වචනයට අනුව, ඛණ්ඩාංකවල ඇති දෛශික දෙකක දෛශික නිෂ්පාදනය මෙසේ ලියා ඇත: 
දෛශික නිෂ්පාදනය නිර්ණායකයට අනුව ලියා ඇත්නම් අපි එම ප්‍රතිඵලයටම පැමිණෙන්නෙමු 
පිළිතුර:
.
උදාහරණයක්.
දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න සහ , හතරැස් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඒකක දෛශික කොහෙද.
විසඳුමක්.
මුලින්ම අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු 
දී ඇති සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක.
දෛශික සහ ඛණ්ඩාංක ඇති බැවින් සහ පිළිවෙලින් (අවශ්ය නම්, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දෛශිකයක ලිපි ඛණ්ඩාංක බලන්න), එවිට දෛශික නිෂ්පාදනයක දෙවන අර්ථ දැක්වීම අනුව අප සතුව ඇත. 
එනම් දෛශික නිෂ්පාදනයයි දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඛණ්ඩාංක ඇත.
දෛශික නිෂ්පාදනයක දිග එහි ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලය ලෙස අපි සොයා ගනිමු (අපි මෙම සූත්රය ලබා ගත්තේ දෛශිකයක දිග සෙවීමේ කොටසේ දෛශිකයක දිග සඳහා ය):
පිළිතුර:
.
උදාහරණයක්.
සෘජුකෝණාස්රාකාර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, ලක්ෂ්ය තුනක ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇත. ලම්බකව සහ ඒ සමගම යම් දෛශිකයක් සොයා ගන්න.
විසඳුමක්.
දෛශික සහ ඛණ්ඩාංක ඇති සහ පිළිවෙලින් (ලකුණු ඛණ්ඩාංක හරහා දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමේ ලිපිය බලන්න). අපි දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනය සොයා ගන්නේ නම් සහ , නිර්වචනය අනුව එය ට සහ යන දෙකටම ලම්බක දෛශිකයකි, එනම් එය අපගේ ගැටලුවට විසඳුමකි. අපි එයාව හොයාගමු 
පිළිතුර:
- ලම්බක දෛශික වලින් එකක්.
තුන්වන වර්ගයේ ගැටළු වලදී, දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග භාවිතා කිරීමේ කුසලතාව පරීක්ෂා කරනු ලැබේ. ගුණාංග යෙදීමෙන් පසු, අනුරූප සූත්ර යොදනු ලැබේ.
උදාහරණයක්.
දෛශික සහ ලම්බක වන අතර ඒවායේ දිග පිළිවෙලින් 3 සහ 4 වේ. හරස් නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න 
.
විසඳුමක්.
දෛශික නිෂ්පාදනයක බෙදා හැරීමේ ගුණය අනුව, අපට ලිවිය හැකිය 
සංයෝජන ගුණය හේතුවෙන්, අපි අවසාන ප්‍රකාශනයේ දෛශික නිෂ්පාදනවල ලකුණෙන් සංඛ්‍යාත්මක සංගුණක ඉවත් කරමු: 
දෛශික නිෂ්පාදන සහ ශුන්යයට සමාන වේ, සිට 
සහ 
, ඉන්පසු .
දෛශික නිෂ්පාදනය ප්‍රති-ප්‍රවාහක බැවින්, එවිට .
එබැවින්, දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග භාවිතා කරමින්, අපි සමානාත්මතාවයට පැමිණියෙමු 
.
කොන්දේසිය අනුව, දෛශික සහ ලම්බක වේ, එනම්, ඒවා අතර කෝණය සමාන වේ. එනම්, අවශ්ය දිග සොයා ගැනීමට සියලු දත්ත අප සතුව ඇත 
පිළිතුර:
.
දෛශික නිෂ්පාදනයක ජ්යාමිතික අර්ථය.
නිර්වචනය අනුව, දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග වේ 
. ත්රිකෝණයක වර්ගඵලය ත්‍රිකෝණයේ පැති දෙකේ දිග සහ ඒවා අතර ඇති කෝණයේ සයින්වල ගුණිතයෙන් අඩකට සමාන බව උසස් පාසල් ජ්යාමිතික පාඨමාලාවකින් අපි දනිමු. එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස, දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග දෛශික පැති වන ත්රිකෝණයක වර්ගඵලය මෙන් දෙගුණයකට සමාන වන අතර ඒවා එක් ලක්ෂ්‍යයකින් සැලසුම් කර ඇත්නම්. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සහ පැති සහිත සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශයට සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණය සමාන වේ. දෛශික නිෂ්පාදනයේ ජ්යාමිතික අර්ථය මෙයයි.
