මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය.
ද්විමය වර්ගයක වර්ගයක් තෝරා ගැනීම සහ හතරැස් ත්\u200dරිත්වයේ සාධකකරණය.

එම. \\ (p, q \\) සහ \\ (n, m \\) සංඛ්\u200dයා සොයා ගැනීම දක්වා ගැටළු අඩු වේ.

වැඩසටහන ගැටළුවට පිළිතුරක් ලබා දෙනවා පමණක් නොව, විසඳුම් ක්\u200dරියාවලිය ද පෙන්වයි.

ද්විතීයික පාසල්වල ජ්\u200dයෙෂ් students සිසුන්ට පරීක්ෂණ හා විභාග සඳහා සූදානම් වීමේ දී, විභාගයට පෙර දැනුම පරීක්ෂා කිරීමේදී, ගණිතයේ හා වීජ ගණිතයේ බොහෝ ගැටලු විසඳීමට දෙමාපියන්ට මෙම වැඩසටහන ප්\u200dරයෝජනවත් වේ. නැතහොත් ඔබට උපදේශකයෙකු බඳවා ගැනීමට හෝ නව පෙළ පොත් මිලදී ගැනීමට නොහැකි තරම් මිල අධිකද? නැතහොත් ඔබේ ගණිතය හෝ වීජ ගණිතයේ ගෙදර වැඩ හැකි ඉක්මනින් සිදු කිරීමට ඔබට අවශ්\u200dයද? මෙම අවස්ථාවේ දී, ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ අපගේ වැඩසටහන් භාවිතා කළ හැකිය.

මේ ආකාරයෙන්, ඔබට ඔබේම ඉගැන්වීමක් කළ හැකි අතර / හෝ ඔබේ බාල සහෝදර සහෝදරියන්ට ඉගැන්විය හැකි අතර, විසඳන ගැටළු පිළිබඳ ක්ෂේත්\u200dරයේ අධ්\u200dයාපන මට්ටම ඉහළ යයි.

හතරැස් ත්\u200dරිමාණයකට ඇතුළු වීම සඳහා වන නීති ඔබ නොදන්නේ නම්, ඔබ ඔවුන් සමඟ හුරුපුරුදු වීමට අපි නිර්දේශ කරමු.

හතරැස් බහුපදයකට ඇතුළු වීමේ නීති

ඕනෑම ලතින් අකුරක් විචල්\u200dයයක් ලෙස භාවිතා කළ හැකිය.
උදාහරණයක් ලෙස: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) ආදිය.

අංක සම්පූර්ණ හෝ භාග සංඛ්\u200dයා ලෙස ඇතුළත් කළ හැකිය.
තවද, භාග සංඛ්\u200dයා දශමයක ස්වරූපයෙන් පමණක් නොව සාමාන්\u200dය භාගයක ස්වරූපයෙන් ද ඇතුළත් කළ හැකිය.

දශම භාගයට ඇතුල් වීමේ රීති.
දශම සංඛ්\u200dයා වලදී, සමස්තයෙන් භාගික කොටස ලක්ෂ්\u200dයයක් හෝ කොමාවකින් වෙන් කළ හැකිය.
උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට මේ ආකාරයට දශම භාගයන් ඇතුළත් කළ හැකිය: 2.5x - 3.5x ^ 2

සාමාන්ය භාග වලට ඇතුල් වීමේ රීති.
සංඛ්\u200dයා, හරය සහ භාගයක සම්පූර්ණ කොටස ලෙස භාවිතා කළ හැක්කේ පූර්ණ සංඛ්\u200dයාවක් පමණි.

හරය .ණ විය නොහැක.

සංඛ්\u200dයාත්මක භාගයකට ඇතුළු වන විට, සංඛ්\u200dයා බෙදීමේ ලකුණකින් හරයෙන් වෙන් කරනු ලැබේ: /
මුළු කොටසම ඇම්පියර්සෑන්ඩ් එකකින් භාගයෙන් වෙන් කරනු ලැබේ: &
ආදානය: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
ප්\u200dරති ult ලය: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) x + \\ frac (1) (7) x ^ 2 \\)

ප්\u200dරකාශනයකට ඇතුළු වන විට වරහන් භාවිතා කළ හැකිය... මෙම අවස්ථාවේ දී, විසඳීමේදී, ඇතුළත් කළ ප්රකාශනය මුලින්ම සරල කරනු ලැබේ.
උදාහරණයක් ලෙස: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

සවිස්තරාත්මක විසඳුම් උදාහරණය

ද්විමය වර්ගයක වර්ගයක් තෝරා ගැනීම. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ rightarrow a (x + p) ^ 2 + q $$ x 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$ x 2x ^ 2 +2 \\ cdot 2 \\ cdot \\ left ( \\ frac (1) (2) \\ දකුණ) \\ cdot x + 2 \\ cdot \\ left (\\ frac (1) (2) \\ දකුණ) ^ 2- \\ frac (9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ වමේ (x ^ 2 + 2 \\ cdot \\ වමේ (\\ frac (1) (2) \\ දකුණ) \\ cdot x + \\ වමේ (\\ frac (1) (2) \\ දකුණ) ^ 2 \\ දකුණ) - \\ frac ( 9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ වමේ (x + \\ frac (1) (2) \\ දකුණ) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ පිළිතුර: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ වමේ (x + \\ frac (1) (2) \\ දකුණ) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ සාධකකරණය. $$ අක්ෂය ^ 2 + bx + c \\ rightarrow a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$
$$ 2 \\ වමේ (x ^ 2 + x-2 \\ දකුණ) \u003d $$
$$ 2 \\ වමේ (x ^ 2 + 2x-1x-1 \\ cdot 2 \\ දකුණ) \u003d $$ $$ 2 \\ වමේ (x \\ වමේ (x +2 \\ දකුණ) -1 \\ වමේ (x +2 \\ දකුණ ) \\ දකුණ) \u003d $$ $$ 2 \\ වමේ (x -1 \\ දකුණ) \\ වමේ (x +2 \\ දකුණ) $$ පිළිතුර: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ වමේ (x -1 \\ දකුණ) \\ වමේ (x +2 \\ දකුණ) $$

මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා අවශ්\u200dය සමහර ස්ක්\u200dරිප්ට් පටවා නොමැති බවත්, වැඩසටහන ක්\u200dරියාත්මක නොවිය හැකි බවත් සොයා ගන්නා ලදී.
සමහර විට ඔබ ඇඩ් බ්ලොක් සක්\u200dරීය කර ඇත.
මෙම අවස්ථාවේදී, එය අක්\u200dරිය කර පිටුව නැවුම් කරන්න.

නිසා ගැටලුව විසඳීමට කැමති බොහෝ දෙනෙක් සිටිති, ඔබේ ඉල්ලීම පෝලිමේ තිබේ.
තත්පර කිහිපයකට පසු, විසඳුම පහතින් දිස්වනු ඇත.
කරුණාකරලා ඉන්න තත්පර ...

ඔබ නම් තීරණයෙහි දෝෂයක් දුටුවේය, එවිට ඔබට ප්\u200dරතිපෝෂණ පෝරමයේ මේ ගැන ලිවිය හැකිය.
අමතක කරන්න එපා කුමන කාර්යයද යන්න දක්වන්න ඔබ තීරණය කරන්නේ කුමක්ද සහ කුමක්ද ක්ෂේත්\u200dරයට ඇතුළු වන්න.

අපගේ ක්\u200dරීඩා, ප්\u200dරහේලිකා, ඉමුලේටර්:

ටිකක් න්\u200dයාය.

හතරැස් ත්\u200dරිමාණයකින් වර්ග ද්විමය නිස්සාරණය කිරීම

වර්ග ත්\u200dරිකෝණාකාර අක්ෂය 2 + bx + c නිරූපණය කරන්නේ a (x + p) 2 + q, මෙහි p සහ q තාත්වික සංඛ්\u200dයා නම්, එවිට ඔවුන් පවසන්නේ හතරැස් ත්\u200dරිමාන චතුරස්රාකාර ද්විමය.

ද්විමාන 2x 2 + 12x + 14 යන ත්\u200dරිකෝණයෙන් තෝරන්න.

\\ (2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \\)

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි 6x 2 * 3 * x හි නිෂ්පාදනයක් ලෙස නිරූපණය කර 3 2 එකතු කර අඩු කරන්නෙමු. අපට ලැබෙන්නේ:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d $$ $$ \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-2) \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

ඒ නිසා අප හතරැස් ත්\u200dරිත්වයේ සිට හතරැස් ද්විභාෂාව වෙන්කර හඳුනා ගන්න, සහ එය පෙන්වන්න:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

හතරැස් ත්\u200dරිමාණ සාධකයක්

වර්ග ත්\u200dරිකෝණාකාර අක්ෂය 2 + bx + c නිරූපණය කරන්නේ a (x + n) (x + m), එහිදී n සහ m තාත්වික සංඛ්\u200dයා නම්, මෙහෙයුම සිදු කළ බව කියනු ලැබේ හතරැස් ත්\u200dරිමාණ සාධකකරණය.

මෙම පරිවර්තනය සිදු කරන ආකාරය උදාහරණයක් සමඟ පෙන්වමු.

වර්ග ත්\u200dරිමාණ 2x 2 + 4x-6 සාධකය.

අපි සංගුණකය වරහන් වලින් ඉවත් කරමු, එනම්. 2:
\\ (2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x ^ 2 + 2x-3) \\)

වරහන් තුළ ප්\u200dරකාශනය පරිවර්තනය කරමු.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි 2x 3x-1x ලෙසත්, -3 -1 * 3 ලෙසත් නිරූපණය කරමු. අපට ලැබෙන්නේ:
$$ \u003d 2 (x ^ 2 + 3 \\ cdot x -1 \\ cdot x -1 \\ cdot 3) \u003d 2 (x (x + 3) -1 \\ cdot (x + 3)) \u003d $$
$$ \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

ඒ නිසා අප හතරැස් ත්\u200dරිමාණ සාධකය, සහ එය පෙන්වන්න:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

චතුරස්රාකාර ත්\u200dරිකෝණයක සාධකකරණය කළ හැක්කේ මෙම ත්\u200dරිත්වයට අනුරූප වන චතුරස්රාකාර සමීකරණයට මුල් ඇති විට පමණක් බව සලකන්න.
එම. අපගේ නඩුවේදී, 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 යන චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් තිබේ නම් ත්\u200dරිමාණ 2x 2 + 4x-6 සාධකගත කිරීම කළ හැකිය. සාධකකරණ ක්\u200dරියාවලියේදී, 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 සමීකරණයේ මූලයන් 1 සහ -3 ඇති බව අපට පෙනී ගියේය. මෙම අගයන් සඳහා, 2 (x-1) (x + 3) \u003d 0 සමීකරණය සත්\u200dය සමානාත්මතාවයක් බවට පත්වේ.

කුමක් ද සාධකකරණය? මෙය අමුතු හා සංකීර්ණ උදාහරණයක් සරල හා හුරුබුහුටි එකක් බවට පත් කිරීමේ ක්\u200dරමයකි.) ඉතා ප්\u200dරබල උපක්\u200dරමයක්! එය ප්\u200dරාථමික ගණිතයේ සහ ඉහළ ගණිතයේ සෑම පියවරකදීම දක්නට ලැබේ.

ගණිතමය භාෂාවේ එවැනි පරිවර්තනයන් ප්\u200dරකාශනවල සමාන පරිවර්තනයන් ලෙස හැඳින්වේ. විෂයයෙහි නොමැති අය - සබැඳිය මත ඇවිදින්න. ඉතා සුළු, සරල හා ප්\u200dරයෝජනවත් වේ.) ඕනෑම සමාන පරිවර්තනයක තේරුම ප්\u200dරකාශනයක් ලිවීමයි වෙනත් ආකාරයකින් එහි සාරය ආරක්ෂා කරමින්.

තේරුම සාධකකරණය අතිශයින්ම සරල හා සරල ය. නමෙන්ම කෙළින්ම. ගුණකය යනු කුමක්දැයි ඔබට අමතක කළ හැකිය (හෝ නොදැන), නමුත් මෙම වචනය "ගුණ කිරීම" යන වචනයෙන් පැමිණ ඇති බව ඔබට තේරුම් ගත හැකිද?) සාධකකරණය යනු: යම් දෙයකින් යමක් ගුණ කිරීම ලෙස ප්\u200dරකාශනයක් නියෝජනය කරන්න. ඔව්, මට ගණිතයට සහ රුසියානු භාෂාවට සමාව දෙන්න ...) එපමණයි.

උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට අංක 12 පුළුල් කළ යුතුය. ඔබට ආරක්ෂිතව ලිවිය හැකිය:

එබැවින් අපි අංක 12 න් 3 න් 4 කින් ගුණ කිරීමක් ලෙස ඉදිරිපත් කළෙමු. කරුණාකර දකුණේ (3 සහ 4) සංඛ්\u200dයා වම් පසින් (1 සහ 2) වඩා සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් බව කරුණාවෙන් සලකන්න. නමුත් 12 සහ 3 4 බව අපි හොඳින් වටහා ගනිමු එකම. පරිවර්තනයෙන් අංක 12 හි සාරය වෙනස් වී නැත.

12 ක් වෙනස් ලෙස දිරාපත් විය හැකිද? පහසුවෙන්!

12 \u003d 3 4 \u003d 2 6 \u003d 3 2 2 \u003d 0.5 24 \u003d ........

වියෝජනය විකල්පයන් නිමක් නැත.

සංඛ්\u200dයා සාධක කිරීම ප්\u200dරයෝජනවත් දෙයකි. එය බොහෝ සෙයින් උපකාරී වේ, උදාහරණයක් ලෙස, මුල් සමඟ කටයුතු කිරීමේදී. නමුත් වීජීය ප්\u200dරකාශන සාධක කිරීම ප්\u200dරයෝජනවත් දෙයක් නොවේ, එය - අවශ්\u200dයයි! උදාහරණයක් ලෙස:

සරල කරන්න:

ප්\u200dරකාශනයක් සාධක කරන්නේ කෙසේදැයි නොදන්නා අය පසෙකට වී සිටිති. කවුරුන් දන්නා ආකාරය - සරල කර ලබා ගනී:

බලපෑම පුදුම සහගතයි නේද?) මාර්ගය වන විට, විසඳුම තරමක් සරල ය. ඔබ ඔබම පහතින් දකිනු ඇත. හෝ, උදාහරණයක් ලෙස, මෙවැනි කාර්යයක්:

සමීකරණය විසඳන්න:

x 5 - x 4 \u003d 0

එය මනසින් තීරණය වේ. සාධකකරණය භාවිතා කිරීම. පහත අපි මෙම උදාහරණය විසඳන්නෙමු. පිළිතුර: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1.

නැතහොත්, එකම දෙය, නමුත් වැඩිහිටියන් සඳහා):

සමීකරණය විසඳන්න:

මෙම උදාහරණ සමඟ මම පෙන්නුවා ප්රධාන අරමුණ සාධකකරණය: භාගික ප්\u200dරකාශන සරල කිරීම සහ සමහර වර්ගයේ සමීකරණ විසඳීම. රීතියක් මතක තබා ගැනීමට මම නිර්දේශ කරමි:

අප භයානක භාගික ප්\u200dරකාශනයකට මුහුණ දී ඇත්නම්, ඔබට සංඛ්\u200dයා හා හරය සාධක බවට සාධක කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය. බොහෝ විට භාගය කෙටි කර සරල කරනු ලැබේ.

අප ඉදිරිපිට සමීකරණයක් තිබේ නම්, දකුණු පස ශුන්\u200dය වන අතර වම් පසින් - කුමක් දැයි නොතේරෙනවා නම්, ඔබට වම් පැත්ත සාධක බවට සාධක කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය. සමහර විට එය උපකාරී වේ).

සාධකකරණයේ මූලික ක්\u200dරම.

මෙන්න වඩාත් ජනප්රිය ක්රම:

4. හතරැස් ත්\u200dරිකෝණයක වියෝජනය.

මෙම ක්රම මතක තබා ගත යුතුය. එම අනුපිළිවෙල අනුව. සංකීර්ණ උදාහරණ පරීක්ෂා කරනු ලැබේ විය හැකි සියලු ආකාර වලට. ව්\u200dයාකූල නොවීමට පිළිවෙලට පරීක්ෂා කිරීම වඩා හොඳය ... එබැවින් අපි පිළිවෙලට ආරම්භ කරමු.)

1. වරහන් වර්\u200dගයෙන් පොදු සාධකය ඉවත් කිරීම.

සරල හා විශ්වාසදායක ක්රමයක්. එය කිසි විටෙකත් රිදවන්නේ නැත! එය හොඳ හෝ වේවා සිදු වේ.) එබැවින්, ඔහු පළමුවැන්නා ය. අවබෝධය.

හැමෝම දන්නවා (මම විශ්වාස කරනවා!) රීතිය:

a (b + c) \u003d ab + ac

හෝ, වඩාත් සාමාන්\u200dයයෙන්:

a (b + c + d + .....) \u003d ab + ac + ad + ....

සියලුම සමානාත්මතා වමේ සිට දකුණට ද අනෙක් අතට දකුණේ සිට වමට ද ක්\u200dරියා කරයි. ඔබට ලිවිය හැකිය:

ab + ac \u003d a (b + c)

ab + ac + ad + .... = a (b + c + d + .....)

වරහන් වර්\u200dගයෙන් පොදු සාධකය ඉවතට ගැනීමේ සමස්ත කාරණය එයයි.

වම් පැත්තෙන් සහ - පොදු සාධකය සියලුම කොන්දේසි සඳහා. ඇති සෑම දෙයකින්ම ගුණ කිරීම). දකුණු පැත්තේ වැඩිය සහ දැනටමත් වරහන් වලින් පිටත.

ක්\u200dරමයේ ප්\u200dරායෝගික යෙදුම උදාහරණ මගින් සලකා බලමු. මුලදී, විකල්පය සරලයි, ප්\u200dරාථමිකයි.) නමුත් මෙම විකල්පය තුළ මම ඕනෑම සාධකයක් සඳහා ඉතා වැදගත් කරුණු (කොළ පැහැයෙන්) සලකුණු කරමි.

සාධකය:

ah + 9x

කුමන එක ද පොදු ගුණකය පද දෙකෙහිම වාඩි වී සිටීද? X, ඇත්ත වශයෙන්ම! අපි එය වරහන් වලින් ඉවතට ගන්නෙමු. අපි මේක කරනවා. අපි වහාම වරහන් වලින් පිටත X ලියන්නෙමු:

ax + 9x \u003d x (

වරහන් තුළ අපි බෙදීමේ ප්\u200dරති result ලය ලියන්නෙමු එක් එක් පදය මෙම x මත. පිළිවෙළින්:

එච්චරයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, එවැනි විස්තරාත්මකව විස්තර කිරීමට අවශ්ය නැත, මෙය මනසෙහි සිදු කෙරේ. නමුත් කුමක් දැයි තේරුම් ගැනීමට එය යෝග්\u200dය වේ). අපි මතකය නිවැරදි කරමු:

අපි පොදු සාධකය වරහන් වලින් පිටත ලියන්නෙමු. වරහන් තුළ, මෙම පද සියල්ලම ඉතා පොදු සාධකය මගින් බෙදීමේ ප්\u200dරති results ල අපි ලියන්නෙමු. පිළිවෙළින්.

එබැවින් අපි ප්\u200dරකාශනය පුළුල් කළෙමු ah + 9x සාධක අනුව. එය x මගින් ගුණ කිරීම බවට පත් කළේය (a + 9). මුල් ප්\u200dරකාශනයේ ගුණ කිරීම ද දෙකක් ඇති බව සලකන්න: a x සහ 9 x. නමුත් එය සාධක කර නැත! මන්ද, ගුණ කිරීමට අමතරව, මෙම ප්\u200dරකාශනයේ “+” ලකුණ ද එකතු කර ඇති බැවිනි! සහ ප්රකාශනයේ x (a + 9) ගුණ කිරීම හැර වෙන කිසිවක් නැත!

එහෙම කොහොම ද !? - ජනතාවගේ කෝපාවිෂ්ට හ voice මට ඇසේ - සහ වරහන් වලින්!?)

ඔව්, වරහන් තුළ එකතු කිරීමක් තිබේ. නමුත් උපක්\u200dරමය නම් වරහන් හෙළි නොකලද අපි ඒවා සලකා බලමු එක් අකුරක් ලෙස. අපි සියලු ක්\u200dරියා සම්පූර්ණයෙන්ම වරහන් සමඟ කරන්නෙමු, එක් අකුරකින් මෙන්. මේ අර්ථයෙන්, ප්රකාශනය තුළ x (a + 9) ගුණ කිරීම හැර වෙන කිසිවක් නැත. සාධකකරණයේ සමස්ත කරුණ මෙයයි.

මාර්ගය වන විට, අපි සියල්ල නිවැරදිව කළාදැයි කෙසේ හෝ පරීක්ෂා කර බැලිය හැකිද? පහසු! (X) වරහන් මගින් පිටතට ගත් දේ නැවත ගුණ කර එය ක්\u200dරියාත්මක වේදැයි බැලීමට එය ප්\u200dරමාණවත් වේ ආරම්භක ප්\u200dරකාශනය? එය ක්\u200dරියාත්මක වන්නේ නම්, සියල්ල ඉඟි වේ!)

x (a + 9) \u003d අක්ෂය + 9x

සිදු විය.)

මෙම ප්\u200dරාථමික උදාහරණයේ කිසිදු ගැටළුවක් නොමැත. නමුත් එකතු කිරීම් කිහිපයක් තිබේ නම් සහ විවිධ සං with ා සමඟ වුවද ... කෙටියෙන් කිවහොත්, සෑම තෙවන ශිෂ්\u200dයයෙක්ම අවුල් කරයි). එබැවින්:

අවශ්ය නම්, ප්රතිලෝම ගුණ කිරීමෙන් සාධකකරණය පරීක්ෂා කරන්න.

සාධකය:

3ax + 9x

අපි පොදු සාධකයක් සොයමින් සිටිමු. හොඳයි, සෑම දෙයක්ම X සමඟ පැහැදිලිය, ඔබට එය දරාගත හැකිය. තවත් තිබේද? පොදු සාධකය? ඔව්! මෙය තුනකි. ඔබට මේ ආකාරයට ප්\u200dරකාශනය ලිවිය හැකිය:

3ax + 3 3x

පොදු සාධකය වනු ඇති බව මෙහිදී ඔබට වහාම දැක ගත හැකිය 3x... මෙන්න අපි එය පිටතට ගන්නෙමු:

3ax + 3 3x \u003d 3x (a + 3)

ඔවුන් එය තැබුවා.

ඔබ විඳදරාගත්තොත් කුමක් සිදුවේද? x පමණක්? විශේෂ කිසිවක් නැත:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9)

මෙය ද සාධකයක් වනු ඇත. නමුත් මෙම සිත් ඇදගන්නාසුළු ක්\u200dරියාවලියේදී, අවස්ථාවක් ඇති තාක් කල්, එය නතර වන තුරු සියල්ල තැබීම සිරිතකි. මෙන්න, වරහන් තුළ, ත්රිත්වයක් පිටතට ගැනීමට අවස්ථාවක් තිබේ. එය හැරෙනු ඇත:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9) \u003d 3x (a + 3)

එකම දෙය, එක් අමතර ක්\u200dරියාවක් සමඟ පමණි.) මතක තබා ගන්න:

පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවතට ගන්නා විට, අපි පිටතට ගැනීමට උත්සාහ කරමු උපරිම පොදු සාධකය.

අපි විනෝදය දිගටම කරගෙන යනවාද?)

සාධක ප්\u200dරකාශනය:

3ax + 9x-8a-24

අපි විඳදරාගැනීමට යන්නේ කුමක්ද? තුන, එක්ස්? නෑ ... ඔයාට බෑ. ඔබට දරාගත හැක්කේ ඔබට පමණක් බව මම ඔබට මතක් කරමි පොදු ගුණකය සියලුමප්\u200dරකාශනයේ නියමයන්. ඒ නිසයි ඔහු පොදු. මෙහි එවැනි ගුණකයක් නොමැත ... කුමක්ද, ඔබට පුළුල් කළ නොහැක!? හොඳයි, ඔව්, අපි සතුටු වුණා, ඇත්තෙන්ම ... හමුවන්න:

2. කණ්ඩායම්කරණය.

ඇත්ත වශයෙන්ම, කණ්ඩායම්කරණය ස්වාධීන සාධක සාධකයක් ලෙස හැඳින්විය නොහැකිය. ඒ වෙනුවට, එය සංකීර්ණ උදාහරණයකින් මිදීමට මාර්ගයකි.) සෑම දෙයක්ම ක්\u200dරියාත්මක වන පරිදි කොන්දේසි කාණ්ඩගත කිරීම අවශ්\u200dය වේ. මෙය පෙන්විය හැක්කේ උදාහරණයෙන් පමණි. එබැවින්, අපට පෙර ප්රකාශනය වන්නේ:

3ax + 9x-8a-24

සමහර පොදු අකුරු සහ ඉලක්කම් ඇති බව පෙනේ. ඒත්... ජෙනරාල් සෑම පදයකම තිබිය යුතු සාධකයක් නොමැත. අපට හදවත අහිමි නොවේ ප්\u200dරකාශනය කැබලිවලට කඩා දමන්න. අපි කණ්ඩායම් කරමු. එබැවින් සෑම කැබැල්ලකම පොදු සාධකයක් ඇති බැවින් පිටතට ගැනීමට යමක් තිබේ. අපි එය බිඳ දමන්නේ කෙසේද? ඔව්, වරහන් දමන්න.

වරහන් වර්\u200dග ඕනෑම තැනක සහ ඕනෑම ආකාරයකින් තැබිය හැකි බව මම ඔබට මතක් කරමි. උදාහරණයේ සාරය පමණක් නම් වෙනස් වූයේ නැත. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට මෙය කළ හැකිය:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

දෙවන වරහන් කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න! ඔවුන් ඉදිරිපිට us ණ ලකුණක් ඇත, සහ 8 අ සහ 24 ධනාත්මක වන්න! සත්\u200dයාපනය සඳහා, වරහන් නැවත විවෘත කළහොත්, සලකුණු වෙනස් වන අතර, අපට ලැබේ ආරම්භක ප්\u200dරකාශනය. එම. වරහන් වලින් ප්\u200dරකාශනයේ සාරය වෙනස් වී නැත.

නමුත් ඔබ සං sign ා වෙනස සැලකිල්ලට නොගෙන වරහන් තුළ සිරවී ඇත්නම්, උදාහරණයක් ලෙස, මේ වගේ:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8 අ -24 )

එය වැරැද්දක් වනු ඇත. දකුණ - දැනටමත් අනික් ප්\u200dරකාශනය. වරහන් විවෘත කරන්න එවිට සියල්ල දෘශ්\u200dයමාන වේ. ඔබ තවදුරටත් තීරණය කළ යුතු නැත, ඔව් ...)

නමුත් නැවත සාධකකරණය වෙත. අපි පළමු වරහන් දෙස බලමු (3ax + 9x) අපි හිතන්නේ, අපට කිසිවක් දරාගත හැකිද? හොඳයි, අපි ඉහත උදාහරණය විසඳුවා, ඔබට පිටතට ගත හැකිය 3x:

(3ax + 9x) \u003d 3x (a + 3)

අපි දෙවන වරහන් අධ්\u200dයයනය කරන්නෙමු, එහිදී ඔබට අට ඉවත් කළ හැකිය:

(8a + 24) \u003d 8 (a + 3)

අපගේ සම්පූර්ණ ප්\u200dරකාශනයම වෙනස් වනු ඇත:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

සාධකගත වී තිබේද? නැහැ. වියෝජනය හේතු විය යුතුය ගුණ කිරීම පමණි, අපේ us ණ ලකුණ සියල්ල නරක් කරයි. නමුත් ... පද දෙකම පොදු සාධකයක් ඇත! එය (a + 3)... මුළු වරහන්ම එක අකුරක් බව මා කීවේ කිසිවක් සඳහා නොවේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම වරහන් වරහන් වලින් ඉවතට ගත හැකි බවයි. ඔව්, එය හරියටම එයයි.)

ඉහත විස්තර කර ඇති පරිදි අපි කරන්නෙමු. අපි පොදු සාධකය ලියන්නෙමු (a + 3), දෙවන වරහන් තුළ අපි පද බෙදීමේ ප්\u200dරති results ල ලියන්නෙමු (a + 3):

3x (a + 3) -8 (a + 3) \u003d (a + 3) (3x-8)

සියළුම! දකුණු පසින්, ගුණ කිරීම හැර වෙන කිසිවක් නැත! එබැවින් සාධකකරණය සාර්ථක විය!) මෙන්න එයයි:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

කණ්ඩායම්කරණයේ සාරය කෙටියෙන් පුනරුච්චාරණය කරමු.

ප්\u200dරකාශනය අඩංගු නොවේ නම් පොදු සඳහා ගුණකය සියලුම පද, අපි වරහන් වර්\u200dගයෙන් ප්\u200dරකාශනය බිඳ දමමු විය. අපි එය පිටතට ගෙන සිදු වූ දේ බලමු. ඔබ වාසනාවන්ත නම්, සහ වරහන් වල හරියටම එකම ප්\u200dරකාශන තිබේ නම්, මෙම වරහන් වරහන් වලින් පිටතට ගෙන යන්න.

කණ්ඩායම් කිරීම නිර්මාණාත්මක ක්\u200dරියාවලියක් බව මම එකතු කරමි). එය සෑම විටම පළමු වරට ක්\u200dරියා නොකරයි. කිසිම වැරැද්දක් නැහැ. සමහර විට ඔබට පදවල ස්ථාන වෙනස් කිරීමට සිදු වේ, ඔබ සාර්ථක එකක් සොයා ගන්නා තෙක් කණ්ඩායම්කරණය සඳහා විවිධ විකල්ප සලකා බලන්න. මෙහි ඇති ප්\u200dරධානතම දෙය නම් හදවත අහිමි නොවීමයි!)

උදාහරණ.

දැන්, දැනුමෙන් පොහොසත් වීමෙන් ඔබට උපක්\u200dරමශීලී උදාහරණ විසඳා ගත හැකිය.) පාඩම ආරම්භයේ දී මේවායින් තුනක් විය ...

සරල කරන්න:

ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි දැනටමත් මෙම උදාහරණය විසඳා ඇත්තෙමු. මා නොදැනුවත්වම.) මම ඔබට මතක් කරමි: අපට භයානක භාගයක් ලබා දෙන්නේ නම්, අපි සංඛ්\u200dයා හා හරය ගණනය කිරීමට උත්සාහ කරමු. වෙනත් සරල කිරීමේ විකල්ප සරලවම නැත.

හොඳයි, මෙහි හරය පුළුල් නොවේ, නමුත් සංඛ්\u200dයාංකය ... අපි දැනටමත් පාඩමේදී සංඛ්\u200dයාංකය පුළුල් කර ඇත්තෙමු! මෙවැනි:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

ව්\u200dයාප්තියේ ප්\u200dරති result ලය භාගයේ සංඛ්\u200dයාංකයට අපි ලියන්නෙමු:

භාගය අඩු කිරීමේ රීතියට අනුව (භාගයක ප්\u200dරධාන දේපල), අපට සංඛ්\u200dයා හා හරය එකම සංඛ්\u200dයාවක් හෝ ප්\u200dරකාශනයකින් බෙදිය හැකිය (එකවර!). මෙයින් භාගය වෙනස් නොවේ. එබැවින් අපි සංඛ්\u200dයාංකය හා හරය ප්\u200dරකාශනයෙන් බෙදන්නෙමු (3x-8)... මෙතනින් එහාට අපි ඒවා ගන්නවා. සරල කිරීමේ අවසාන ප්\u200dරති result ලය:

මම අවධාරණය කිරීමට කැමතියි: භාගයක් අඩු කිරීම කළ හැක්කේ ප්\u200dරකාශනය ගුණ කිරීමට අමතරව සංඛ්\u200dයා හා හරයේ නම් පමණි. කිසිදෙයක් නැහැ. එකතුව (වෙනස) බවට පරිවර්තනය වන්නේ එබැවිනි ගුණ කිරීම සරල කිරීම සඳහා ඉතා වැදගත්. ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්රකාශයන් නම් විවිධ, එවිට කිසිවක් අඩු නොවේ. ඇත්ත වශයෙන්. නමුත් සාධකකරණය අවස්ථාවක් ලබා දෙයි. දිරාපත්වීමකින් තොරව මෙම අවස්ථාව සරලවම නැත.

සමීකරණය සමඟ උදාහරණය:

සමීකරණය විසඳන්න:

x 5 - x 4 \u003d 0

අපි පොදු සාධකය ඉවත් කරමු x 4 වරහන් වලින් පිටත. අපට ලැබෙන්නේ:

x 4 (x-1) \u003d 0

සාධකවල නිෂ්පාදිතය බිංදුවට සමාන බව අපි සලකමු ඊට පස්සේ, ඒවායින් කිසිවක් ශුන්\u200dය වන විට. සැකයක් ඇත්නම්, ගුණ කළ විට ශුන්\u200dය වන ශුන්\u200dය නොවන සංඛ්\u200dයා කිහිපයක් මට සොයා ගන්න.) එබැවින් අපි ලියන්නේ පළමුව පළමු සාධකය:

මෙම සමානාත්මතාවය සමඟ, දෙවන සාධකය අපට කරදර කරන්නේ නැත. ඕනෑම කෙනෙකුට විය හැකිය, සියල්ලම එක හා සමානව අවසානයේ එය ශුන්\u200dය වේ. ශුන්\u200dයයේ සිව්වන බලයෙන් ලබා දෙන සංඛ්\u200dයාව කුමක්ද? බිංදුව පමණි! වෙන කිසිවක් නැත ... ඉතින්:

අපි පළමු සාධකය වර්ග කර, එක් මූලයක් සොයා ගත්තෙමු. දෙවන සාධකය සමඟ කටයුතු කරමු. දැන් අපි පළමු සාධකය ගැන තැකීමක් නොකරමු.):

එබැවින් අපි විසඳුමක් සොයා ගත්තෙමු: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1... මෙම ඕනෑම මූලයක් අපගේ සමීකරණයට ගැලපේ.

ඉතා වැදගත් සටහනක්. අපි සමීකරණය විසඳූ බව කරුණාවෙන් සලකන්න කෑල්ලෙන් කෑල්ල! සෑම සාධකයක්ම ශුන්\u200dයයට සමාන ලෙස සකසා ඇත, ඉතිරි සාධක නොසලකා හැරීම. මාර්ගය වන විට, එවැනි සමීකරණයක දී අපට ඇති සාධක දෙකක් නොව, තුනක්, පහක්, ඔබ කැමති තරම් ගණනක් තිබේ නම්, අපි විසඳන්නෙමු සමාන. කෑල්ලෙන් කෑල්ල. උදාහරණයක් වශයෙන්:

(x-1) (x + 5) (x-3) (x + 2) \u003d 0

වරහන් විවෘත කරන, සියල්ල ගුණ කරන, ඔහු සදහටම මෙම සමීකරණයේ රැඳී සිටිනු ඇත.) නිවැරදි ශිෂ්\u200dයයා වහාම වම් පසින් ගුණ කිරීම හැර වෙනත් කිසිවක් නොමැති බව දකිනු ඇත, දකුණේ - ශුන්\u200dයය. එය ආරම්භ වනු ඇත (මනසෙහි!) සියලු වරහන් පිළිවෙලට ශුන්\u200dයයට සමාන කිරීම. ඔහුට ලැබෙනු ඇත (තත්පර 10 කින්!) නිවැරදි විසඳුම: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x 4 \u003d -2.

නියමයි, එහෙම නේද?) සමීකරණයේ වම් පැත්ත නම් එවැනි අලංකාර විසඳුමක් ලබා ගත හැකිය සාධකගත කර ඇත. ඉඟිය පැහැදිලිද?)

හොඳයි, වැඩිහිටියන් සඳහා අවසාන උදාහරණය):

සමීකරණය විසඳන්න:

එය කෙසේ හෝ පෙර පැවති ක්\u200dරමයට සමාන ය, ඔබ සිතන්නේ නැද්ද?) ඇත්ත වශයෙන්ම. හත්වන ශ්\u200dරේණියේ වීජ ගණිතයේ දී අකුරු වලට සයින්, ල ar ු ගණක සහ ඔබ කැමති ඕනෑම දෙයක් සැඟවිය හැකි බව මතක තබා ගත යුතු කාලය මෙයයි! සියලු ගණිතයේ සාධක සාධක ක්\u200dරියා කරයි.

අපි පොදු සාධකය ඉවත් කරමු lg 4 x වරහන් වලින් පිටත. අපට ලැබෙන්නේ:

lg 4 x \u003d 0

මෙය එක් මූලයකි. දෙවන සාධකය සමඟ කටයුතු කරමු.

අවසාන පිළිතුර මෙන්න: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d 10.

භාග සරල කිරීම සහ සමීකරණ විසඳීම සඳහා සාධකකරණයේ බලය ඔබ තේරුම් ගෙන ඇතැයි මම විශ්වාස කරමි.)

මෙම පාඩමේදී, පොදු සාධකකරණය සහ කණ්ඩායම්කරණය පිළිබඳව අපි ඉගෙන ගතිමු. සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීම සහ හතරැස් ත්\u200dරිමාණ සඳහා සූත්\u200dර සොයා ගැනීමට එය ඉතිරිව ඇත.

ඔබ මෙම වෙබ් අඩවියට කැමති නම් ...

මාර්ගය වන විට, මට ඔබ වෙනුවෙන් තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)

ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයාගත හැකිය. ක්ෂණික වලංගු කිරීමේ පරීක්ෂණය. ඉගෙනීම - උනන්දුවෙන්!)

ඔබට කාර්යයන් සහ ව්\u200dයුත්පන්නයන් දැන හඳුනා ගත හැකිය.

වීජ ගණිතයේ “බහුපද” සහ “බහුපද සාධක සාධක බවට සාධක කිරීම” යන සංකල්ප ඉතා සුලභ ය, මන්ද විශාල බහු-සංඛ්\u200dයාංක සමඟ පහසුවෙන් ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම සඳහා ඔබ ඒවා දැනගත යුතු බැවිනි. මෙම ලිපියෙන් දිරාපත්වීමේ ක්\u200dරම කිහිපයක් විස්තර කෙරේ. ඒවා සියල්ලම භාවිතා කිරීම තරමක් සරල ය, ඔබ එක් එක් විශේෂිත අවස්ථාවෙහිදී නිවැරදි එකක් තෝරා ගත යුතුය.

බහුපද සංකල්පය

බහුපද යනු මොනොමියල්වල එකතුවයි, එනම් ගුණ කිරීමේ ක්\u200dරියාවලිය පමණක් අඩංගු ප්\u200dරකාශන.

උදාහරණයක් ලෙස, 2 * x * y යනු මොනොමියල් වේ, නමුත් 2 * x * y + 25 යනු මොනොමියල් 2 කින් සමන්විත බහුපදයකි: 2 * x * y සහ 25. එවැනි බහුපද ද්විමාන ලෙස හැඳින්වේ.

සමහර විට, බහුකාර්ය අගයන් සමඟ නිදසුන් විසඳීමේ පහසුව සඳහා, ප්\u200dරකාශනය පරිවර්තනය කළ යුතුය, නිදසුනක් ලෙස, සාධක ගණනාවකට දිරාපත් විය යුතුය, එනම් ගුණ කිරීමේ ක්\u200dරියාව සිදු කරන සංඛ්\u200dයා හෝ ප්\u200dරකාශන. බහුපදයක් සාධක කිරීමට ක්\u200dරම ගණනාවක් තිබේ. ප්\u200dරාථමික ශ්\u200dරේණිවල පවා භාවිතා වන වඩාත් ප්\u200dරාථමික ඒවා සමඟ ආරම්භ කිරීම සලකා බැලීම වටී.

කණ්ඩායම්කරණය (සාමාන්\u200dය පටිගත කිරීම)

පොදුවේ කාණ්ඩගත කිරීමෙන් බහුපදයක් සාධක බවට දිරාපත් කිරීමේ සූත්\u200dරය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

ac + bd + bc + ad \u003d (ac + bc) + (ad + bd)

එක් එක් කණ්ඩායම තුළ පොදු සාධකයක් දිස්වන පරිදි මොනොමියල් කාණ්ඩගත කිරීම අවශ්\u200dය වේ. පළමු වරහනෙහි එය සාධකය c වන අතර දෙවැන්න එය d වේ. වරහන් වලින් පිටත ස්ථානගත කිරීම සඳහා මෙය කළ යුතු අතර එමඟින් ගණනය කිරීම් සරල කරයි.

නිශ්චිත උදාහරණයක් සඳහා වියෝජන ඇල්ගොරිතම

කාණ්ඩ කිරීම මගින් බහුපදයක් සාධක බවට සාධක කිරීමේ සරලම උදාහරණය පහත දැක්වේ:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

පළමු වරහනේ දී, ඔබ a සාධකය සමඟ කොන්දේසි ගත යුතු අතර, එය පොදු වන අතර, දෙවනුව - b සාධකය සමඟ. නිමි ප්\u200dරකාශනයේ + සහ - සලකුණු සැලකිල්ලට ගන්න. ආරම්භක ප්\u200dරකාශනයේ තිබූ ලකුණ අපි මොනොමියල් ඉදිරිපිට තැබුවෙමු. එනම්, ඔබ වැඩ කළ යුත්තේ 25a ප්\u200dරකාශනය සමඟ නොව -25 ප්\u200dරකාශනය සමඟ ය. Us ණ ලකුණ එය පිටුපස ඇති ප්\u200dරකාශනයට “ඇලවීම” හා සමාන වන අතර සෑම විටම ගණනය කිරීම් වලදී එය සැලකිල්ලට ගනී.

ඊළඟ පියවරේදී, වරහන් වර්\u200dගයෙන් පිටත පොදු වන සාධකය ඔබ විසින් ගත යුතුය. කණ්ඩායම්කරණය සඳහා මෙයයි. වරහන් වර්\u200dගයෙන් ඉවත් කිරීම යනු වරහන් තුළ ඇති සෑම පදයකින්ම නිරවද්\u200dයතාවයෙන් පුනරාවර්තනය වන සියලු සාධක වරහන් වර්\u200dගය ඉදිරිපිට ලිවීම (ගුණ කිරීමේ ලකුණ මඟ හැරීම) ය. වරහන් තුළ වචන 2 ක් හෝ 3 ක් හෝ වැඩි ගණනක් තිබේ නම්, පොදු සාධකය ඒ සෑම එකක් තුළම අඩංගු විය යුතුය, එසේ නොමැති නම් එය වරහන් වලින් ඉවතට ගත නොහැක.

අපගේ නඩුවේදී - වරහන් තුළ වචන 2 ක් පමණි. පොදු සාධකය වහාම දැකිය හැකිය. පළමු වරහන a, දෙවැන්න b. මෙහිදී ඔබ ඩිජිටල් සංගුණක කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය. පළමු වරහනෙහි, සංගුණක දෙකම (10 සහ 25) 5 හි ගුණක වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ a පමණක් නොව 5a ද වරහනෙන් ඉවතට ගත හැකි බවයි. වරහන් වර්\u200dගය ඉදිරිපිට 5a ලියන්න, ඉන්පසු එක් එක් පද වරහන් වර්\u200dගයෙන් ලබාගත් පොදු සාධකය අනුව බෙදන්න, තවද සං signs ා අමතක නොකොට වරහන් තුළ උපුටා දක්වන්න + සහ - දෙවන වරහන් සමඟද එසේ කරන්න, 7b, මෙන්ම 14 සහ 35 7 න් ගුණ කරන්න.

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

එය පද 2 ක් බවට පත් විය: 5a (2c - 5) සහ 7b (2c - 5). ඒවායින් සෑම එකක්ම පොදු සාධකයක් අඩංගු වේ (වරහන් වල ඇති සියලුම ප්\u200dරකාශනය මෙහි සමාන වේ, එයින් අදහස් වන්නේ එය පොදු සාධකයක් බවයි): 2c - 5. එය වරහන් වලින් ඉවත් කළ යුතුය, එනම් 5a සහ 7b යන පද දෙවන වරහන් තුළ රැඳී සිටින්න:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

එබැවින් සම්පූර්ණ ප්\u200dරකාශනය:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

මේ අනුව, බහුපද 10ac + 14bc - 25a - 35b සාධක 2 කට දිරාපත් වේ: (2c - 5) සහ (5a + 7b). ඒවා අතර ගුණ කිරීමේ ලකුණ ලිවීමේදී මඟ හැරිය හැක

සමහර විට මෙම වර්ගයේ ප්\u200dරකාශන තිබේ: 5a 2 + 50a 3, මෙහිදී ඔබට වරහනෙන් a හෝ 5a පමණක් නොව 5a 2 පවා ඉවත් කළ හැකිය. හැකි සෑම විටම පොදු පොදු සාධකය සාධක කිරීමට ඔබ සැමවිටම උත්සාහ කළ යුතුය. අපගේ නඩුවේදී, අපි එක් එක් පදය පොදු සාධකයකින් බෙදුවහොත්, අපට ලැබෙන්නේ:

5a 2 / 5a 2 \u003d 1; 50a 3 / 5a 2 \u003d 10a (සමාන භෂ්ම සහිත අංශක කිහිපයක ප්\u200dරමාණය ගණනය කිරීමේදී, පාදම රඳවා තබා ගන්නා අතර on ාතකය අඩු කරනු ලැබේ). මේ අනුව, ඒකකය වරහන් තුළ පවතී (කිසිසේත්, ඔබ වරහන් තුළ ඇති එක් පදයක් ගතහොත් ඒකකය ලිවීමට අමතක නොකරන්න) සහ බෙදීමේ ප්\u200dරමාණය: 10а. එය හැරෙනවා:

5a 2 + 50a 3 \u003d 5a 2 (1 + 10a)

වර්ග සූත්\u200dර

ගණනය කිරීම්වල පහසුව සඳහා සූත්\u200dර කිහිපයක් ව්\u200dයුත්පන්න කර ඇත. ඒවා සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්\u200dර ලෙස හැඳින්වෙන අතර ඒවා බොහෝ විට භාවිතා වේ. මෙම සූත්\u200dර අංශක අඩංගු සාධක බහුපදවලට උපකාරී වේ. මෙය තවත් ප්\u200dරබල සාධකකරණ තාක්\u200dෂණයකි. ඉතින්, මෙන්න ඒවා:

• a 2 + 2ab + b 2 \u003d (a + b) 2 - “එකතුවෙහි වර්ග” ලෙස හැඳින්වෙන සූත්\u200dරය, චතුරස්රයක් දක්වා ව්\u200dයාප්ත වීමේ ප්\u200dරති bra ලයක් ලෙස, වරහන් තුළ කොටා ඇති සංඛ්\u200dයා එකතුව ගනු ලැබේ, එනම්, මෙම එකතුවෙහි වටිනාකම 2 ගුණයකින් ගුණනය වේ, එයින් අදහස් වන්නේ එය ගුණකය.
• a 2 + 2ab - b 2 \u003d (a - b) 2 - වෙනසෙහි වර්ගයට සූත්\u200dරය, එය පෙර පැවති ක්\u200dරමයට සමාන වේ. මෙහි ප්\u200dරති result ලය වන්නේ වර්ග වර්\u200dගයේ අඩංගු වරහන් තුළ කොටා ඇති වෙනසයි.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b) - මුලින් බහුපදයේ සංඛ්\u200dයා හෝ ප්\u200dරකාශන වර්ග 2 කින් සමන්විත වන බැවින්, අඩුකිරීම් සිදු කරනු ලබන බැවින්, වර්ගවල වෙනස සඳහා වන සූත්\u200dරය මෙයයි. සමහර විට, නම් කරන ලද තිදෙනාගෙන් එය බොහෝ විට භාවිතා වේ.

වර්ග සූත්\u200dර ගණනය කිරීම සඳහා උදාහරණ

ඔවුන් සඳහා ගණනය කිරීම් තරමක් සරල ය. උදාහරණයක් වශයෙන්:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - අපි "එකතුවෙහි වර්ග" සූත්\u200dරය භාවිතා කරමු.
2. 25x 2 යනු 5x හි වර්ග වේ. 20xy යනු 2 * (5x * 2y) හි දෙගුණ කළ නිෂ්පාදනයක් වන අතර 4y 2 යනු 2y වර්ග වේ.
3. එබැවින් 25x 2 + 20xy + 4y 2 \u003d (5x + 2y) 2 \u003d (5x + 2y) (5x + 2y). මෙම බහුපදය සාධක 2 කට දිරාපත් වේ (සාධක සමාන වේ, එබැවින් එය වර්ග බලයක් සහිත ප්\u200dරකාශනයක් ලෙස ලියා ඇත).

වෙනසෙහි වර්ගයේ සූත්\u200dරයට අනුව ක්\u200dරියා එකම ආකාරයකින් සිදු කෙරේ. සූත්\u200dරය වර්ගවල වෙනස ලෙස පවතී. මෙම සූත්\u200dරයේ උදාහරණ වෙනත් ප්\u200dරකාශන අතර නිර්වචනය කිරීමට සහ සොයා ගැනීමට ඉතා පහසුය. උදාහරණයක් වශයෙන්:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). 25a 2 \u003d (5a) 2, සහ 400 \u003d 20 2 සිට
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 \u003d (6x) 2, සහ 25y 2 \u003d (5y 2) සිට
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). 169b 2 \u003d (13b) 2 සිට

සෑම පදයක්ම යම් ප්\u200dරකාශනයක චතුරස්රය වීම වැදගත්ය. එවිට මෙම බහුපදයේ වර්ගවල වෙනසෙහි සූත්\u200dරය මගින් සාධකකරණයට යටත් වේ. මේ සඳහා දෙවන උපාධිය සංඛ්\u200dයාවට වඩා ඉහළින් තිබිය යුතු නොවේ. විශාල උපාධි අඩංගු බහුපද ඇත, නමුත් තවමත් මෙම සූත්\u200dර වලට ගැලපේ.

a 8 + 10a 4 +25 \u003d (a 4) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 \u003d (a 4 +5) 2

මෙම උදාහරණයේ දී 8 ක් (4) 2 ලෙස දැක්විය හැකිය, එනම් යම් ප්\u200dරකාශයක වර්ග. 25 යනු 5 2, සහ 10a 4 වේ - මෙය 2 * a 4 * 5 යන පදවල දෙගුණ කළ නිෂ්පාදනයයි. එනම්, මෙම ප්\u200dරකාශනය, විශාල on ාතකයන් සහිත අංශක තිබියදීත්, පසුව ඒවා සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා සාධක 2 කට දිරාපත් විය හැකිය.

කියුබ් සූත්\u200dර

කියුබ් අඩංගු බහුපද සාධක සෑදීම සඳහා එකම සූත්\u200dර පවතී. ඒවා වර්ග ඇති අයට වඩා ටිකක් සංකීර්ණ ය:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2) - මෙම සූත්\u200dරය කියුබ්වල එකතුව ලෙස හැඳින්වේ, මන්ද එහි ආරම්භක ස්වරූපයෙන් බහුපද යනු .න දෙකක කොටා ඇති ප්\u200dරකාශන හෝ සංඛ්\u200dයා එකතුවකි.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - පෙර සූත්\u200dරයට සමාන සූත්\u200dරය කැටවල වෙනස ලෙස නම් කර ඇත.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 \u003d (a + b) 3 - එකතුවෙහි ube නකය, ගණනය කිරීම්වල ප්\u200dරති numbers ලයක් ලෙස, සංඛ්\u200dයා හෝ ප්\u200dරකාශන එකතුව ලබාගෙන, වරහන් තුළට කොටු කර 3 ගුණයකින් ගුණ කිරීමෙන්, එනම්, ube නකයක් තුළ පිහිටා ඇත
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 \u003d (a - b) 3 -ගණිතමය ක්\u200dරියාකාරිත්වයේ සමහර සං signs ා (ප්ලස් සහ us ණ) පමණක් වෙනස් කරමින් පෙර පැවති ප්\u200dරතිසමයෙන් සකස් කරන ලද සූත්\u200dරය “වෙනස කියුබ්” ලෙස හැඳින්වේ.

අවසාන සූත්\u200dර දෙක ප්\u200dරායෝගිකව බහුපදයක් සාධක බවට සාධක කිරීම සඳහා යොදා නොගනී, මන්ද ඒවා සංකීර්ණ වන අතර, එවැනි ව්\u200dයුහයකට සම්පූර්ණයෙන්ම අනුරූප වන බහුපද ඉතා දුර්ලභ වන අතර එමඟින් මෙම සූත්\u200dර අනුව දිරාපත් විය හැකිය. නමුත් ඔබ තවමත් ඒවා දැන සිටිය යුතුය, මන්දයත් ප්\u200dරතිවිරුද්ධ දිශාවට දේවල් කරන විට ඒවා අවශ්\u200dය වනු ඇත - වරහන් පුළුල් කිරීමේදී.

කියුබ් සූත්\u200dර සඳහා උදාහරණ

උදාහරණයක් සලකා බලමු: 64a 3 - 8b 3 \u003d (4a) 3 - (2b) 3 \u003d (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) \u003d (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2) ).

මෙන්න අපි තරමක් සරල සංඛ්\u200dයා ගෙන ඇත, එබැවින් ඔබට වහාම 64a 3 (4a) 3, සහ 8b 3 (2b) 3 බව දැක ගත හැකිය. මේ අනුව, මෙම බහුපදය කියුබ් වල වෙනස සාධක 2 කින් සූත්\u200dරයෙන් දිරාපත් වේ. කැට එකතුව සඳහා සූත්\u200dරයට අනුව ක්\u200dරියා සිදු කරනු ලබන්නේ ප්\u200dරතිසමයන් මගිනි.

සෑම බහුපදයක්ම අවම වශයෙන් එක් ආකාරයකින් දිරාපත් කළ නොහැකි බව වටහා ගැනීම වැදගත්ය. නමුත් හතරැස් හෝ ube නකයකට වඩා වැඩි බලයක් අඩංගු ප්\u200dරකාශන ඇතත් ඒවා කෙටියෙන් ගුණ කිරීමේ ආකාරවලට දිරාපත් විය හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස: x 12 + 125y 3 \u003d (x 4) 3 + (5y) 3 \u003d (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) \u003d (x 4 + 5y ) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

මෙම උදාහරණයේ අංශක 12 ක් පමණ අඩංගු වේ. නමුත් එය පවා කැට එකතුව සඳහා සූත්\u200dරය භාවිතා කර සාධකගත කළ හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ x 12 (x 4) 3 ලෙස, එනම් යම් ප්\u200dරකාශනයක ube නකයක් ලෙස නිරූපණය කළ යුතුය. දැන්, a වෙනුවට, ඔබ එය සූත්\u200dරයේ ආදේශ කළ යුතුය. හොඳයි, 125y 3 ප්\u200dරකාශනය 5y නකය 5y වේ. ඊළඟට, ඔබ සූත්\u200dරයට අනුව නිෂ්පාදනයක් රචනා කර ගණනය කිරීම් කළ යුතුය.

මුලදී, හෝ සැකයක් තිබේ නම්, ඔබට සෑම විටම පිටුපස ගුණ කිරීමෙන් පරීක්ෂා කළ හැකිය. එහි ප්\u200dරති expression ලයක් ලෙස ඇති වරහන් වරහන් පුළුල් කර එවැනි යෙදුම් සමඟ ක්\u200dරියා කළ යුතුය. මෙම ක්\u200dරමය ඉහත සඳහන් සියලු අඩුකිරීමේ ක්\u200dරමවලට අදාළ වේ: පොදු සාධකය හා කණ්ඩායම්කරණය සමඟ වැඩ කිරීම මෙන්ම කැට සහ වර්ග අංශක සූත්\u200dර මත ක්\u200dරියා කිරීම.

බහුපද යනු මොනොමියල් එකතුවකින් සමන්විත ප්\u200dරකාශනයකි. දෙවැන්න k හි බලයට නියත (අංකයක) සහ ප්\u200dරකාශනයේ මූල (හෝ මුල්) වල ප්\u200dරති product ලයකි. මෙම අවස්ථාවේ දී, යමෙකු k උපාධියේ බහුපදයක් ගැන කථා කරයි. බහුපදයේ ප්\u200dරසාරණයට ප්\u200dරකාශනයේ පරිවර්තනයක් ඇතුළත් වන අතර, එම පද සාධක මගින් ප්\u200dරතිස්ථාපනය වේ. මේ ආකාරයේ පරිවර්තනයක් සිදු කළ හැකි ප්\u200dරධාන ක්\u200dරම සලකා බලමු.

පොදු සාධකයක් නිස්සාරණය කිරීමෙන් බහුපද වියෝජනය කිරීමේ ක්\u200dරමය

මෙම ක්\u200dරමය බෙදා හැරීමේ නීතියේ නීති මත පදනම් වේ. ඉතින්, mn + mk \u003d m * (n + k).

• උදාහරණයක්:7y 2 + 2uy සහ 2m 3 - 12m 2 + 4lm පුළුල් කරන්න.

7y 2 + 2uy \u003d y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm \u003d 2m (m 2 - 6m + 2l).

කෙසේ වෙතත්, සෑම බහුපදයකම අනිවාර්යයෙන්ම පවතින සාධකය සැමවිටම සොයාගත නොහැකි විය හැක, එබැවින් මෙම ක්\u200dරමය විශ්වීය නොවේ.

සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්\u200dර මත පදනම් වූ බහුපද විසංයෝජන ක්\u200dරමය

සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්\u200dර ඕනෑම උපාධියක බහුපදයක් සඳහා වලංගු වේ. පොදුවේ ගත් කල, පරිවර්තන ප්\u200dරකාශනයක් මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

uk - lk \u003d (u - l) (u k-1 + u k-2 * l + u k-3 * l 2 +… u * l k-2 + l k-1), මෙහි k යනු නියෝජිතයෙකි ස්වාභාවික සංඛ්\u200dයා ...

ප්\u200dරායෝගිකව බහුලව භාවිතා වන සූත්\u200dර දෙවන හා තෙවන ඇණවුම් වල බහුපද සඳහා වේ:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 \u003d (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• උදාහරණයක්:25p 2 - 144b 2 සහ 64m 3 - 8l 3 විහිදුවන්න.

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 \u003d (4m) 3 - (2l) 3 \u003d (4m - 2l) ((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) \u003d (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2) ).

බහුපද විසංයෝජන ක්\u200dරමය - ප්\u200dරකාශනයේ නියමයන් කාණ්ඩගත කිරීම

මෙම ක්\u200dරමයට යම් ආකාරයකින් පොදු සාධකය ව්\u200dයුත්පන්න කිරීමේ ක්\u200dරමයට පොදු යමක් ඇත, නමුත් යම් වෙනස්කම් ඇත. විශේෂයෙන්, පොදු සාධකය තෝරා ගැනීමට පෙර යමෙකු මොනොමියල් කාණ්ඩගත කළ යුතුය. කණ්ඩායම්කරණය පදනම් වී ඇත්තේ සංයෝජන සහ පාරදෘශ්\u200dය නීති වල නීති මත ය.

ප්\u200dරකාශනයේ ඉදිරිපත් කර ඇති සියලුම මොනොමියල් කාණ්ඩවලට බෙදා ඇති අතර, ඒ සෑම එකක් තුළම මුළු අගය පිටතට ගනු ලැබේ, දෙවන සාධකය සියලු කාණ්ඩවල සමාන වේ. පොදුවේ ගත් කල, එවැනි වියෝජන ක්\u200dරමයක් ප්\u200dරකාශනයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය:

pl + ks + kl + ps \u003d (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps \u003d p (l + s) + k (l + s),

pl + ks + kl + ps \u003d (p + k) (l + s).

• උදාහරණයක්:14mn + 16ln - 49m - 56l විහිදුවන්න.

14mn + 16ln - 49m - 56l \u003d (14mn - 49m) + (16ln - 56l) \u003d 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) \u003d (7m + 8l) (2n - 7).

බහුපද විසංයෝජන ක්\u200dරමය - සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් සෑදීම

මෙම ක්\u200dරමය බහුපදයක දිරාපත්වීමේදී වඩාත් කාර්යක්ෂම වේ. ආරම්භක අවධියේදී, වෙනසෙහි හෝ එකතුවෙහි වර්ගයට “නැමිය හැකි” මොනොමියල් තීරණය කිරීම අවශ්\u200dය වේ. මේ සඳහා එක් අනුපාතයක් භාවිතා කරයි:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• උදාහරණයක්: u 4 + 4u 2 - 1 යන ප්\u200dරකාශනය පුළුල් කරන්න.

සම්පූර්ණ වර්ගයක් සාදන පද එහි ඒකවර්ණ අතරින් අපි වෙන් කරමු: u 4 + 4u 2 - 1 \u003d u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 \u003d

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ නීති භාවිතා කරමින් පරිවර්තනය සම්පූර්ණ කරන්න: (u 2 + 2) 2 - 5 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

ඒ නිසා u 4 + 4u 2 - 1 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

බහුපදවල ගුණ කිරීම සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි සූත්\u200dර කිහිපයක් කටපාඩම් කළෙමු, එනම්: (a + b) for සඳහා සූත්\u200dර, (a - b) for සඳහා, (a + b) (a - b) සඳහා (a + b) for සහ (a - b) for සඳහා.

දී ඇති බහුපදයක් මෙම සූත්\u200dරවලින් එකකට සමපාත වේ නම්, එය සාධක බවට සාධක කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, a² - 2ab + b² යන බහුපද (a - b) ² [හෝ (a - b) · (a - b) ට සමාන බව අපි දනිමු, එනම්, අපි a² - 2ab + b² ලෙස දිරාපත් වීමට සමත් විය. සාධක 2]; තවද

මෙම උදාහරණ වලින් දෙවැන්න දෙස බලමු. මෙහි දක්වා ඇති බහුපද සංඛ්\u200dයා දෙකක වෙනස වර්ග කිරීමෙන් ලබාගත් සූත්\u200dරයට ගැළපෙන බව අපට පෙනේ (පළමු සංඛ්\u200dයාවේ වර්ග, පළමු සංඛ්\u200dයාවෙන් දෙකේ නිෂ්පාදිතය us ණ කොට, දෙවන සංඛ්\u200dයාවේ වර්ගයට අමතරව දෙවන සංඛ්\u200dයාවේ වර්ගයට): x 6 පළමු සංඛ්\u200dයාවේ වර්ග ප්\u200dරමාණය වන අතර, එම නිසා පළමු සංඛ්\u200dයාව x 3 වේ, දෙවන සංඛ්\u200dයාවේ වර්ග යනු මෙම බහුපදයේ අවසාන පදයයි, එනම් 1, දෙවන අංකයම 1 ද වේ; 2x 3 \u003d 2 · x 3 · 1. මන්ද, අපගේ බහුපද ලබා ගත්තේ x 3 සහ 1 යන සංඛ්\u200dයා අතර වෙනස වර්ග කිරීමෙනි, එනම්, එය (x 3 - 12 ට සමාන වේ. තවත් 4 වන උදාහරණයක් සලකා බලමු. මෙම බහුපද 2 b 2 - 25 සංඛ්\u200dයා දෙකක වර්ගවල වෙනස ලෙස සැලකිය හැකි බව අපට පෙනේ, එනම් 2 b 2 පළමු අංකයේ වර්ගයට සේවය කරයි, එබැවින් පළමු අංකයම ab, වර්ග දෙවන අංකය 25 වේ, දෙවන අංකය 5 වන්නේ ඇයි. එබැවින්, සංඛ්\u200dයා දෙකක එකතුව ඒවායේ වෙනස අනුව ගුණ කිරීමෙන් ලබාගත් බහුපද සලකා බැලිය හැකිය, එනම්.

(ab + 5) (ab - 5).

සමහර විට එය සිදුවන්නේ දී ඇති බහුපදයකදී, පද අප පුරුදු වී ඇති අනුපිළිවෙලට නොතිබීම ය.

9a 2 + b 2 + 6ab - මානසිකව අපට දෙවන හා තෙවන පද නැවත සකස් කළ හැකිය, එවිට අපගේ ත්\u200dරිමාණ \u003d (3a + b) 2 බව අපට පැහැදිලි වනු ඇත.

… (පළමු හා දෙවන පද මානසිකව හුවමාරු කර ගනිමු).

25a 6 + 1 - 10x 3 \u003d (5x 3 - 1) 2, ආදිය.

බහුපද ද සලකා බලන්න

a 2 + 2ab + 4b 2.

එහි පළමු පදය a හි වර්ග සහ තුන්වන පදය 2b හි වර්ග බව අපි දකිමු, නමුත් දෙවන පදය පළමු සංඛ්\u200dයාවෙන් දෙවැන්නක නිෂ්පාදනයක් නොවන අතර දෙවැන්න, - එවැනි නිෂ්පාදනයක් 2 ට සමාන වේ a 2b \u003d 4ab. එබැවින්, සංඛ්\u200dයා දෙකක එකතුවෙහි සූත්\u200dරය මෙම බහුපදයට යෙදිය නොහැක. 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2 යැයි යමෙකු ලියා ඇත්නම්, මෙය වැරදියි - සූත්\u200dර මගින් සාධකය යෙදීමට පෙර බහුපදයේ සියලුම නියමයන් ඔබ ප්\u200dරවේශමෙන් සලකා බැලිය යුතුය.

40. ශිල්පීය ක්\u200dරම දෙකම ඒකාබද්ධ කිරීම... සමහර විට, බහුපද සාධක සාධක බවට පත් කිරීමේදී, පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවතට ගන්නා ක්\u200dරමවේදය සහ සූත්\u200dර යෙදීම යන ක්\u200dරම දෙකම ඒකාබද්ධ කළ යුතුය. මෙන්න උදාහරණ කිහිපයක්:

1.2a 3 - 2ab 2. පළමුව, අපි වරහන් වලින් පිටත 2a යන පොදු සාධකය ඉවත් කරමු, - අපට 2a (a 2 - b 2) ලැබේ. 2 - b 2 සාධකය සූත්\u200dරය මගින් සාධක (a + b) සහ (a - b) ලෙස දිරාපත් වේ.

සමහර විට සූත්\u200dර මගින් දිරාපත් වීමේ ක්\u200dරමය බොහෝ වාරයක් යෙදීම අවශ්\u200dය වේ:

1.a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

2 + b 2 හි පළමු සාධකය හුරුපුරුදු සූත්\u200dර කිසිවක් නොගැලපෙන බව අපට පෙනේ; තවද, බෙදීමේ විශේෂ අවස්ථා (අයිතමය 37) සිහිපත් කරමින්, 2 + b 2 (සංඛ්\u200dයා දෙකක වර්ගවල එකතුව) කිසිසේත් සාධකගත කළ නොහැකි බව අපි තහවුරු කරමු. ලබාගත් සාධක වලින් දෙවැන්න 2 - b 2 (සංඛ්\u200dයා දෙකක වර්ගයෙන් වෙනස) සාධක (a + b) සහ (a - b) ලෙස දිරාපත් වේ. ඒ නිසා,

41. බෙදීමේ විශේෂ අවස්ථා අයදුම් කිරීම... 37 වන වගන්තිය මත පදනම්ව, අපට එය වහාම ලිවිය හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස,