I. අවම වශයෙන් එක් දෛශිකයක් ශුන්‍ය නම් හෝ දෛශික ලම්බක නම් පමණක් අදිශ නිෂ්පාදනය අතුරුදහන් වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, නම් හෝ , හෝ පසුව .

ප්‍රතිවිරුද්ධව, ගුණ කරන දෛශික ශුන්‍ය නොවේ නම්, තත්වයෙන් නිසා

එය පහත සඳහන් විට:

ශුන්‍ය දෛශිකයේ දිශාව අවිනිශ්චිත බැවින් ශුන්‍ය දෛශිකය ඕනෑම දෛශිකයකට ලම්බක ලෙස සැලකිය හැකිය. එබැවින්, අදිශ නිෂ්පාදනයේ සඳහන් ගුණය වඩාත් කෙටියෙන් සූත්‍රගත කළ හැක: දෛශික ලම්බක නම් සහ පමණක් නම් අදිශ නිෂ්පාදනය අතුරුදහන් වේ.

II. පරිමාණ නිෂ්පාදනයට සංක්‍රමණ ගුණ ඇත:

මෙම දේපල අර්ථ දැක්වීමෙන් සෘජුවම අනුගමනය කරයි:

එකම කෝණය සඳහා විවිධ තනතුරු නිසා.

III. බෙදාහැරීමේ නීතිය අතිශයින් වැදගත් ය. එහි යෙදුම සාමාන්‍ය අංක ගණිතයේ හෝ වීජ ගණිතයේ මෙන් විශිෂ්ටයි, එහිදී එය පහත පරිදි සකස් කර ඇත: එකතුවක් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ එක් එක් පදය ගුණ කර එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස නිෂ්පාදන එකතු කළ යුතුය, i.e.

පැහැදිලිවම, වීජ ගණිතයේ හෝ බහුපදවල බහුවිධ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම මෙම ගුණ කිරීමේ ගුණය මත පදනම් වේ.

මෙම නියමය දෛශික වීජ ගණිතයේ එකම මූලික වැදගත්කමක් ඇත, මන්ද එහි පදනම මත අපට දෛශිකවලට බහුපද ගුණ කිරීම සඳහා සාමාන්‍ය රීතිය යෙදිය හැකිය.

පහත දැක්වෙන සමානාත්මතාවය A, B, C ඕනෑම දෛශික තුනක් සඳහා සත්‍ය බව ඔප්පු කරමු:

සූත්‍රය මගින් ප්‍රකාශිත පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ දෙවන අර්ථ දැක්වීමට අනුව, අපට ලැබෙන්නේ:

දැන් § 5 සිට ප්රක්ෂේපණ 2 ක දේපල යෙදීමෙන්, අපි සොයා ගන්නේ:

Q.E.D.

IV. පරිමාණ නිෂ්පාදනයට සංඛ්‍යාත්මක සාධකයක් සම්බන්ධයෙන් සංයෝජනය කිරීමේ ගුණය ඇත; මෙම දේපල පහත සූත්‍රය මගින් ප්‍රකාශ වේ:

එනම්, දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම සඳහා, එක් සාධකයක් මෙම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය

අපි වාහකයන් සමඟ දිගටම කටයුතු කරන්නෙමු. පළමු පාඩමේදී ඩමි සඳහා දෛශිකඅපි දෛශික සංකල්පය, දෛශික සමඟ ක්‍රියා, දෛශික ඛණ්ඩාංක සහ දෛශික සමඟ ඇති සරලම ගැටළු දෙස බැලුවෙමු. ඔබ සෙවුම් යන්ත්‍රයකින් ප්‍රථම වරට මෙම පිටුවට පැමිණියේ නම්, ඉහත හඳුන්වාදීමේ ලිපිය කියවීමට මම තරයේ නිර්දේශ කරමි, මන්ද ද්‍රව්‍ය ප්‍රගුණ කිරීම සඳහා මා භාවිතා කරන නියමයන් සහ අංකනය පිළිබඳව ඔබ හුරුපුරුදු විය යුතු අතර දෛශික පිළිබඳ මූලික දැනුමක් තිබිය යුතුය. මූලික ගැටළු විසඳීමට හැකි වේ. මෙම පාඩම මාතෘකාවේ තාර්කික අඛණ්ඩ පැවැත්මක් වන අතර, එහි දී මම දෛශිකයන්ගේ පරිමාණ නිෂ්පාදනය භාවිතා කරන සාමාන්‍ය කාර්යයන් විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරමි. මෙය ඉතා වැදගත් ක්‍රියාකාරකමකි.. උදාහරණ මඟ නොහැරීමට උත්සාහ කරන්න, ඒවා ප්‍රයෝජනවත් ප්‍රසාද දීමනාවක් සමඟ පැමිණේ - ඔබ ආවරණය කර ඇති ද්‍රව්‍ය ඒකාබද්ධ කිරීමට සහ විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ පොදු ගැටළු විසඳීමට පුහුණුවීම් ඔබට උපකාරී වනු ඇත.

දෛශික එකතු කිරීම, දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම.... ගණිතඥයන් වෙනත් දෙයක් ඉදිරිපත් කර නැතැයි සිතීම බොළඳ වනු ඇත. දැනටමත් සාකච්ඡා කර ඇති ක්‍රියාවන්ට අමතරව, දෛශික සමඟ තවත් මෙහෙයුම් ගණනාවක් තිබේ, එනම්: දෛශික වල dot නිෂ්පාදනය, දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයසහ දෛශික මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක්. දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය අපට පාසලේ සිට හුරුපුරුදුය; අනෙක් නිෂ්පාදන දෙක සාම්ප්‍රදායිකව උසස් ගණිත පාඨමාලාවට අයත් වේ. මාතෘකා සරලයි, බොහෝ ගැටළු විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම සරල සහ තේරුම්ගත හැකි ය. එකම දේ. හොඳ තොරතුරු ප්‍රමාණයක් ඇත, එබැවින් සෑම දෙයක්ම එකවර ප්‍රගුණ කිරීමට සහ විසඳීමට උත්සාහ කිරීම නුසුදුසු ය. මෙය ඩමි සඳහා විශේෂයෙන් සත්‍ය වේ, මාව විශ්වාස කරන්න, කතුවරයාට ගණිතයෙන් චිකාටිලෝ මෙන් දැනීමට අවශ්‍ය නැත. හොඳයි, ගණිතයෙන් නොවේ, ඇත්ත වශයෙන්ම, එක්කෝ =) වැඩිපුර සූදානම් වූ සිසුන්ට ද්‍රව්‍ය තෝරා ගත හැකිය, යම් අර්ථයකින්, අතුරුදහන් වූ දැනුම “ලබා ගන්න” මම ඔබට හානිකර කවුන්ට් ඩ්‍රැකියුලා වන්නෙමි.

අවසානයේ දොර ඇරගෙන දෛශික දෙකක් එකිනෙක හමු වූ විට සිදුවන දේ උද්යෝගයෙන් බලා සිටිමු...

දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම.
පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග. සාමාන්ය කාර්යයන්

තිත් නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ සංකල්පය

මුලින්ම ගැන දෛශික අතර කෝණය. දෛශික අතර කෝණය කුමක්දැයි සෑම දෙනාම අවබෝධයෙන් වටහාගෙන ඇතැයි මම සිතමි, නමුත් යම් අවස්ථාවක දී, තව ටිකක් විස්තරාත්මකව. නොමිලේ ශුන්‍ය නොවන දෛශික සහ . ඔබ මෙම දෛශික අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයකින් සැලසුම් කරන්නේ නම්, බොහෝ දෙනෙක් දැනටමත් මානසිකව සිතා ඇති පින්තූරයක් ඔබට ලැබෙනු ඇත:

මම පිළිගන්නවා, මෙහි මම තත්වය විස්තර කළේ අවබෝධයේ මට්ටමින් පමණි. ඔබට දෛශික අතර කෝණය පිළිබඳ දැඩි අර්ථ දැක්වීමක් අවශ්‍ය නම්, ප්‍රායෝගික ගැටළු සඳහා කරුණාකර පෙළපොත වෙත යොමු වන්න, ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, අපට එය අවශ්‍ය නොවේ. තවද මෙහි සහ මෙහි අඩු ප්‍රායෝගික වැදගත්කම හේතුවෙන් ස්ථාන වල ශුන්‍ය දෛශික නොසලකා හරින්නෙමි. පසුව කරන ලද සමහර ප්‍රකාශවල න්‍යායික අසම්පූර්ණත්වය සම්බන්ධයෙන් මට දොස් පැවරිය හැකි උසස් වෙබ් අඩවි නරඹන්නන් සඳහා මම විශේෂයෙන් වෙන් කිරීමක් කළෙමි.

සාහිත්යයේ දී, කෝණ සංකේතය බොහෝ විට මඟ හැර සරලව ලියා ඇත.

අර්ථ දැක්වීම:දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය මෙම දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනයේ ගුණිතයට සමාන NUMBER වේ:

දැන් මෙය තරමක් දැඩි නිර්වචනයකි.

අපි අත්‍යවශ්‍ය තොරතුරු කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු:

තනතුර:පරිමාණ නිෂ්පාදිතය මගින් හෝ සරලව දක්වා ඇත.

මෙහෙයුමේ ප්‍රතිඵලය NUMBER වේ: දෛශිකය දෛශිකයෙන් ගුණ කරන අතර ප්‍රතිඵලය අංකයකි. ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකවල දිග සංඛ්‍යා නම්, කෝණයක කෝසයිනය අංකයක් නම්, ඒවායේ නිෂ්පාදනය අංකයක් ද වනු ඇත.

උණුසුම් කිරීමේ උදාහරණ කිහිපයක් පමණි:

උදාහරණ 1

විසඳුම:අපි සූත්රය භාවිතා කරමු . මේ අවස්ථාවේ දී:

පිළිතුර:

කොසයින් අගයන් සොයා ගත හැක ත්රිකෝණමිතික වගුව. මම එය මුද්රණය කිරීමට නිර්දේශ කරමි - එය කුළුණේ සෑම අංශයකම පාහේ අවශ්ය වන අතර බොහෝ වාරයක් අවශ්ය වනු ඇත.

තනිකරම ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, පරිමාණ නිෂ්පාදනය මානයකින් තොරය, එනම්, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ප්රතිඵලය, සංඛ්යාවක් පමණක් වන අතර එය එයයි. භෞතික විද්‍යා ගැටළු වල දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, පරිමාණ නිෂ්පාදනයක් සෑම විටම නිශ්චිත භෞතික අර්ථයක් ඇත, එනම්, ප්‍රති result ලයෙන් පසුව, එක් හෝ තවත් භෞතික ඒකකයක් දැක්විය යුතුය. බලයේ කාර්යය ගණනය කිරීමේ කැනොනිකල් උදාහරණයක් ඕනෑම පෙළපොතකින් සොයාගත හැකිය (සූත්රය හරියටම පරිමාණ නිෂ්පාදනයකි). බලයක කාර්යය ජූල්ස් වලින් මනිනු ලැබේ, එබැවින් පිළිතුර ඉතා නිශ්චිතව ලියා ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, .

උදාහරණ 2

නම් සොයන්න , සහ දෛශික අතර කෝණය සමාන වේ.

මෙය ඔබට තනිවම විසඳා ගැනීමට උදාහරණයක් වේ, පිළිතුර පාඩම අවසානයේ ඇත.

දෛශික අතර කෝණය සහ තිත් නිෂ්පාදන අගය

උදාහරණ 1 හි පරිමාණ නිෂ්පාදනය ධනාත්මක බවට පත් වූ අතර උදාහරණ 2 හි එය ඍණ බවට පත් විය. පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ ලකුණ රඳා පවතින්නේ කුමක් දැයි සොයා බලමු. අපගේ සූත්‍රය දෙස බලමු: . ශුන්‍ය නොවන දෛශිකවල දිග සෑම විටම ධනාත්මක වේ: , එබැවින් ලකුණ රඳා පවතින්නේ කොසයිනයේ අගය මත පමණි.

සටහන: පහත තොරතුරු පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, අත්පොතෙහි ඇති කොසයින් ප්‍රස්ථාරය අධ්‍යයනය කිරීම වඩා හොඳය ක්‍රියාකාරී ප්‍රස්ථාර සහ ගුණාංග. කොසයිනය කොටසෙහි හැසිරෙන ආකාරය බලන්න.

දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, දෛශික අතර කෝණය වෙනස් විය හැක , සහ පහත සඳහන් අවස්ථා හැකි ය:

1) නම් කෙළවරේදෛශික අතර කුළුබඩු සහිත: (අංශක 0 සිට 90 දක්වා), පසුව , සහ තිත් නිෂ්පාදනය ධනාත්මක වනු ඇත සම අධ්‍යක්ෂණය කළා, එවිට ඔවුන් අතර කෝණය ශුන්ය ලෙස සලකනු ලබන අතර, පරිමාණ නිෂ්පාදනය ද ධනාත්මක වනු ඇත. සිට, සූත්රය සරල කරයි: .

2) නම් කෙළවරේදෛශික අතර මොට: (අංශක 90 සිට 180 දක්වා), පසුව , සහ, ඒ අනුව, dot නිෂ්පාදනය ඍණ වේ: . විශේෂ අවස්ථාව: දෛශික නම් ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවන්, එවිට ඔවුන් අතර කෝණය සලකනු ලැබේ පුළුල් කළා: (අංශක 180). පරිමාණ නිෂ්පාදනය ද සෘණාත්මක වේ, සිට

ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රකාශ ද සත්‍ය වේ:

1) නම්, මෙම දෛශික අතර කෝණය තියුණු වේ. විකල්පයක් ලෙස, දෛශික සම-දිශානුගත වේ.

2) නම්, මෙම දෛශික අතර කෝණය නොපැහැදිලි වේ. විකල්පයක් ලෙස, දෛශික ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවන් වේ.

නමුත් තුන්වන නඩුව විශේෂ උනන්දුවක් දක්වයි:

3) නම් කෙළවරේදෛශික අතර සෘජු: (අංශක 90), එවිට පරිමාණ නිෂ්පාදනය ශුන්‍ය වේ: . ප්රතිලෝම ද සත්ය වේ: නම් , එසේ නම් . ප්රකාශය පහත පරිදි සංයුක්තව සකස් කළ හැක: දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය ශුන්‍ය වන්නේ දෛශික විකලාංග නම් සහ පමණි. කෙටි ගණිත අංකනය:

! සටහන : අපි නැවත කියමු ගණිතමය තර්කනයේ මූලික කරුණු: ද්විත්ව ඒකපාර්ශ්වික තාර්කික ප්රතිවිපාක නිරූපකයක් සාමාන්යයෙන් "if and only if", "if and only if" කියවනු ලැබේ. ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඊතල දෙපැත්තටම යොමු කර ඇත - "මෙයින් මෙය පහත දැක්වේ, සහ අනෙක් අතට - එයින් මෙය අනුගමනය කරයි." එක් මාර්ගයක් අනුගමනය කරන නිරූපකයෙන් වෙනස කුමක්ද? අයිකනය සඳහන් කරයි එය පමණි, "මෙයින් මෙය අනුගමනය කරයි", සහ ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙය සත්‍යයක් නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස: , නමුත් සෑම සතෙකුම පැන්තර් නොවේ, එබැවින් මෙම අවස්ථාවේදී ඔබට අයිකනය භාවිතා කළ නොහැක. ඒ සමගම, අයිකනය වෙනුවට පුළුවන්ඒකපාර්ශ්වික නිරූපකය භාවිතා කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, ගැටළුව විසඳීමේදී, දෛශික විකලාංග බව අපි නිගමනය කළෙමු: - එවැනි ප්‍රවේශයක් නිවැරදි වනු ඇත, ඊටත් වඩා සුදුසු ය .

තුන්වන නඩුව විශාල ප්රායෝගික වැදගත්කමක් ඇත, දෛශික විකලාංග ද නැද්ද යන්න පරීක්ෂා කිරීමට එය ඔබට ඉඩ සලසයි. පාඩමේ දෙවන කොටසේදී අපි මෙම ගැටළුව විසඳන්නෙමු.

තිත් නිෂ්පාදනයේ ගුණ

දෛශික දෙකක් ඇති විට අපි තත්වයට යමු සම අධ්‍යක්ෂණය කළා. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඒවා අතර කෝණය ශුන්ය වේ, සහ පරිමාණ නිෂ්පාදන සූත්රය ආකෘතිය ගනී: .

දෛශිකයක් තමා විසින්ම ගුණ කළහොත් කුමක් සිදුවේද? දෛශිකය තමාටම සමපාත වී ඇති බව පැහැදිලිය, එබැවින් අපි ඉහත සරල කළ සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

අංකය කැඳවනු ලැබේ අදිශ චතුරස්රයදෛශිකය, සහ ලෙස දැක්වේ.

මේ අනුව, දෛශිකයේ අදිශ චතුරස්‍රය ලබා දී ඇති දෛශිකයේ දිග වර්ග වලට සමාන වේ:

මෙම සමානාත්මතාවයෙන් අපට දෛශිකයේ දිග ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රයක් ලබා ගත හැක:

මෙතෙක් එය නොපැහැදිලි බව පෙනේ, නමුත් පාඩමේ අරමුණු සියල්ල එහි ස්ථානයේ තබනු ඇත. අපටත් අවශ්‍ය ප්‍රශ්න විසඳීමට තිත් නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග.

අත්තනෝමතික දෛශික සහ ඕනෑම අංකයක් සඳහා, පහත ගුණාංග සත්‍ය වේ:

1) - හුවමාරු හෝ සංක්රමණිකපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය.

2) - බෙදා හැරීම හෝ බෙදාහැරීමේපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය. සරලව, ඔබට වරහන් විවෘත කළ හැකිය.

3) - ආශ්රිත හෝ ආශ්රිතපරිමාණ නිෂ්පාදන නීතිය. නියතය අදිශ නිෂ්පාදනයෙන් ලබා ගත හැක.

බොහෝ විට, සියලු වර්ගවල දේපල (ඒවා ද ඔප්පු කළ යුතුය!) සිසුන් විසින් අනවශ්‍ය කුණු ලෙස සලකනු ලැබේ, එය මතක තබා ගත යුතු අතර විභාගයෙන් පසු වහාම ආරක්ෂිතව අමතක කළ යුතුය. මෙහි වැදගත් දෙය නම්, සාධක නැවත සකස් කිරීමෙන් නිෂ්පාදනය වෙනස් නොවන බව පළමු ශ්‍රේණියේ සිට සෑම දෙනාම දැනටමත් දන්නා බව පෙනේ: . උසස් ගණිතයේදී එවැනි ප්‍රවේශයක් සමඟ දේවල් අවුල් කිරීම පහසු බව මම ඔබට අනතුරු ඇඟවිය යුතුය. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, සංක්‍රමණ දේපල සත්‍ය නොවේ වීජීය න්‍යාස. සඳහාද එය සත්‍ය නොවේ දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය. එමනිසා, අවම වශයෙන්, කළ හැකි දේ සහ කළ නොහැකි දේ අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා උසස් ගණිත පාඨමාලාවකදී ඔබට හමු වන ඕනෑම ගුණාංගයක් සොයා බැලීම වඩා හොඳය.

උදාහරණය 3

.

විසඳුම:පළමුව, දෛශිකය සමඟ තත්වය පැහැදිලි කරමු. කොහොමත් මේ මොකක්ද? දෛශික එකතුව හොඳින් අර්ථ දක්වා ඇති දෛශිකයක් වන අතර එය . දෛශික සමඟ ක්රියාවන් පිළිබඳ ජ්යාමිතික අර්ථකථනයක් ලිපියෙන් සොයාගත හැකිය ඩමි සඳහා දෛශික. දෛශිකයක් සහිත එම parsley දෛශික එකතුව සහ .

එබැවින්, කොන්දේසිය අනුව, පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. න්‍යායාත්මකව, ඔබ වැඩ කරන සූත්‍රය යෙදිය යුතුය , නමුත් කරදරය වන්නේ දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය අප නොදැන සිටීමයි. නමුත් කොන්දේසිය දෛශික සඳහා සමාන පරාමිතීන් ලබා දෙයි, එබැවින් අපි වෙනත් මාර්ගයක් ගනිමු:

(1) දෛශික සඳහා ප්‍රකාශන ආදේශ කරන්න.

(2) බහුපද ගුණ කිරීම සඳහා වන රීතියට අනුව අපි වරහන් විවෘත කරමු සංකීර්ණ සංඛ්යාහෝ භාගික-තාර්කික ශ්‍රිතයක් ඒකාබද්ධ කිරීම. මම නැවත නැවත නොකියමි =) මාර්ගය වන විට, පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ බෙදාහැරීමේ ගුණය අපට වරහන් විවෘත කිරීමට ඉඩ සලසයි. අපිට අයිතිය තියෙනවා.

(3) පළමු සහ අවසාන පදවල අපි දෛශිකවල අදිශ වර්ග සංයුක්තව ලියන්නෙමු: . දෙවන වාරයේදී අපි පරිමාණ නිෂ්පාදනයේ සංක්‍රමණ හැකියාව භාවිතා කරමු: .

(4) අපි සමාන කොන්දේසි ඉදිරිපත් කරමු:

(5) පළමු පදයේ දී අපි බොහෝ කලකට පෙර සඳහන් කළ අදිශ වර්ග සූත්‍රය භාවිතා කරමු. අවසාන වාරයේ දී, ඒ අනුව, එකම දේ ක්රියා කරයි: . සම්මත සූත්රය අනුව අපි දෙවන පදය පුළුල් කරමු .

(6) මෙම කොන්දේසි ආදේශ කරන්න , සහ අවසාන ගණනය කිරීම් ප්රවේශමෙන් සිදු කරන්න.

පිළිතුර:

අදිශ නිෂ්පාදනයේ සෘණ අගයක් පවසන්නේ දෛශික අතර කෝණය නොපැහැදිලි බවයි.

ගැටළුව සාමාන්‍ය ය, එය ඔබම විසඳීම සඳහා උදාහරණයක් මෙන්න:

උදාහරණය 4

දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සහ එය දන්නේ නම් සොයන්න .

දැන් තවත් පොදු කාර්යයක්, දෛශිකයේ දිග සඳහා නව සූත්රය සඳහා පමණි. මෙහි අංකනය ටිකක් අතිච්ඡාදනය වනු ඇත, එබැවින් පැහැදිලිකම සඳහා මම එය වෙනත් අකුරකින් නැවත ලියන්නෙමි:

උදාහරණ 5

දෛශිකයේ දිග සොයන්න if .

විසඳුමපහත පරිදි වනු ඇත:

(1) අපි දෛශිකය සඳහා ප්‍රකාශනය සපයන්නෙමු.

(2) අපි දිග සූත්‍රය භාවිතා කරමු: , සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය ve “ve” ලෙස ක්‍රියා කරයි.

(3) අපි එකතුවේ වර්ග සඳහා පාසල් සූත්‍රය භාවිතා කරමු. එය මෙහි කුතුහලයෙන් ක්‍රියා කරන ආකාරය සැලකිල්ලට ගන්න: - එය ඇත්ත වශයෙන්ම වෙනසෙහි චතුරස්රය වන අතර, ඇත්ත වශයෙන්ම, එය එසේ වේ. කැමති අයට දෛශික නැවත සකස් කළ හැක: - නියමයන් නැවත සකස් කිරීම දක්වා එකම දේ සිදු වේ.

(4) පහත සඳහන් දේ පෙර ගැටළු දෙකෙන් දැනටමත් හුරුපුරුදුය.

පිළිතුර:

අපි දිග ගැන කතා කරන බැවින්, මානය දැක්වීමට අමතක නොකරන්න - "ඒකක".

උදාහරණය 6

දෛශිකයේ දිග සොයන්න if .

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

අපි තිත් නිෂ්පාදනයෙන් ප්‍රයෝජනවත් දේවල් මිරිකීම දිගටම කරගෙන යන්නෙමු. අපි නැවතත් අපගේ සූත්‍රය දෙස බලමු . සමානුපාතික රීතිය භාවිතා කරමින්, අපි දෛශිකවල දිග වම් පැත්තේ හරයට නැවත සකසමු:

අපි කොටස් මාරු කරමු:

මෙම සූත්‍රයේ තේරුම කුමක්ද? දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවායේ අදිශ නිෂ්පාදිතය දන්නේ නම්, අපට මෙම දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයිනය ගණනය කළ හැකි අතර, ඒ අනුව, කෝණයම.

තිත් නිෂ්පාදනයක් යනු අංකයක්ද? අංකය. දෛශික දිග සංඛ්‍යා ද? අංක. මෙයින් අදහස් කරන්නේ භාගයක් ද අංකයක් බවයි. සහ කෝණයේ කෝසයින් දන්නේ නම්: , එවිට ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතය භාවිතා කිරීමෙන් කෝණය සොයා ගැනීම පහසුය: .

උදාහරණ 7

දෛශික අතර කෝණය සොයන්න සහ එය දන්නේ නම්.

විසඳුම:අපි සූත්රය භාවිතා කරමු:

ගණනය කිරීම්වල අවසාන අදියරේදී තාක්ෂණික තාක්ෂණයක් භාවිතා කරන ලදී - හරයේ අතාර්කිකත්වය ඉවත් කිරීම. අතාර්කිකත්වය නැති කිරීම සඳහා, මම සංඛ්‍යා සහ හරය ගුණ කළෙමි.

එසේ නම් , ඒ:

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් සොයා ගත හැක ත්රිකෝණමිතික වගුව. මෙය කලාතුරකින් සිදු වුවද. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු වලදී, බොහෝ විට සමහර අවුල් සහගත වලසුන් වැනි , සහ කෝණයේ අගය ආසන්න වශයෙන් කැල්කියුලේටරය භාවිතා කර සෙවිය යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි එවැනි පින්තූරයක් එක් වරකට වඩා දකිනු ඇත.

පිළිතුර:

නැවතත්, මානයන් දැක්වීමට අමතක නොකරන්න - රේඩියන සහ අංශක. පුද්ගලිකව, පැහැදිලිවම “සියලු ප්‍රශ්න විසඳීමට”, මම දෙකම දැක්වීමට කැමැත්තෙමි (කොන්දේසියට, ඇත්ත වශයෙන්ම, පිළිතුර රේඩියන වලින් හෝ අංශක වලින් පමණක් ඉදිරිපත් කිරීමට අවශ්‍ය නම් මිස).

දැන් ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ කාර්යයක් සමඟ ස්වාධීනව කටයුතු කළ හැකිය:

උදාහරණ 7*

දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය ලබා දී ඇත. දෛශික අතර කෝණය සොයන්න, .

කාර්යය බහු-පියවර බැවින් එය එතරම් අපහසු නොවේ.
විසඳුම් ඇල්ගොරිතම දෙස බලමු:

1) කොන්දේසිය අනුව, ඔබ දෛශික අතර කෝණය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන අතර, එබැවින් ඔබ සූත්රය භාවිතා කළ යුතුය. .

2) පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගන්න (උදාහරණ අංක 3, 4 බලන්න).

3) දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකයේ දිග සොයා ගන්න (උදාහරණ අංක 5, 6 බලන්න).

4) විසඳුමේ අවසානය උදාහරණ අංක 7 සමඟ සමපාත වේ - අපි අංකය දනිමු , එයින් අදහස් වන්නේ කෝණය සොයා ගැනීම පහසුය:

පාඩම අවසානයේ කෙටි විසඳුමක් සහ පිළිතුර.

පාඩමේ දෙවන කොටස එකම පරිමාණ නිෂ්පාදනයට කැප කර ඇත. ඛණ්ඩාංක. එය පළමු කොටසට වඩා පහසු වනු ඇත.

දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය,
විකලාංග පදනමකින් ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇත

පිළිතුර:

ඛණ්ඩාංක සමඟ කටයුතු කිරීම වඩාත් ප්රසන්න බව අමුතුවෙන් කිව යුතු නැත.

උදාහරණ 14

දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සහ if සොයන්න

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. මෙහිදී ඔබට මෙහෙයුමේ ආශ්රිතය භාවිතා කළ හැකිය, එනම්, ගණන් නොගන්න , නමුත් වහාම අදිශ නිෂ්පාදනයෙන් පිටත ත්රිත්ව ගෙන එය අන්තිමට ගුණ කරන්න. විසඳුම සහ පිළිතුර පාඩම අවසානයේ ඇත.

කොටස අවසානයේ, දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීම පිළිබඳ ප්රකෝපකාරී උදාහරණයක්:

උදාහරණ 15

දෛශික වල දිග සොයන්න , නම්

විසඳුම:පෙර කොටසේ ක්‍රමය නැවතත් යෝජනා කරයි: නමුත් තවත් ක්‍රමයක් තිබේ:

අපි දෛශිකය සොයා ගනිමු:

සහ සුළු සූත්රය අනුව එහි දිග :

තිත් නිෂ්පාදනය මෙහි කිසිසේත්ම අදාළ නොවේ!

දෛශිකයක දිග ගණනය කිරීමේදී ද එය ප්‍රයෝජනවත් නොවේ:
නවත්වන්න. දෛශික දිගේ පැහැදිලි ගුණයෙන් අප ප්‍රයෝජන ගත යුතු නොවේද? දෛශිකයේ දිග ගැන ඔබට කුමක් කිව හැකිද? මෙම දෛශිකය දෛශිකයට වඩා 5 ගුණයක් දිගු වේ. දිශාව ප්‍රතිවිරුද්ධ ය, නමුත් මෙය වැදගත් නොවේ, මන්ද අපි කතා කරන්නේ දිග ගැන ය. නිසැකවම, දෛශිකයේ දිග නිෂ්පාදනයට සමාන වේ මොඩියුලයදෛශික දිගකට සංඛ්‍යා:
- මාපාංක ලකුණ "කනවා" අංකයේ විය හැකි අඩුව.

මේ අනුව:

පිළිතුර:

ඛණ්ඩාංක මගින් නිශ්චිතව දක්වා ඇති දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයිනය සඳහා සූත්‍රය

දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින් සඳහා කලින් ව්‍යුත්පන්න සූත්‍රය භාවිතා කිරීමට දැන් අපට සම්පූර්ණ තොරතුරු තිබේ දෛශික ඛණ්ඩාංක හරහා ප්‍රකාශ කරන්න:

තල දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින්සහ , විකලාංග පදනමකින් නිශ්චිතව දක්වා ඇත, සූත්රය මගින් ප්රකාශිතය:
.

අවකාශ දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයින්, විකලාංග පදනමකින් දක්වා ඇත, සූත්රය මගින් ප්රකාශිතය:

උදාහරණ 16

ත්‍රිකෝණයක සිරස් තුනක් ලබා දී ඇත. සොයන්න (ශීර්ෂ කෝණය).

විසඳුම:කොන්දේසි අනුව, ඇඳීම අවශ්ය නොවේ, නමුත් තවමත්:

අවශ්ය කෝණය හරිත චාපයකින් සලකුණු කර ඇත. කෝණයක පාසල් නම් කිරීම අපි වහාම මතක තබා ගනිමු: - විශේෂ අවධානය යොමු කරන්න සාමාන්යයලිපිය - මෙය අපට අවශ්ය කෝණයෙහි ශීර්ෂයයි. කෙටිකතාව සඳහා, ඔබට සරලව ලිවිය හැකිය.

චිත්‍රයෙන් ත්‍රිකෝණයේ කෝණය දෛශික අතර කෝණය සමඟ සමපාත වන අතර වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්: .

විශ්ලේෂණය මානසිකව සිදු කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීම යෝග්ය වේ.

අපි දෛශික සොයා ගනිමු:

පරිමාණ නිෂ්පාදනය ගණනය කරමු:

සහ දෛශිකවල දිග:

කෝණ කෝසයින්:

මම dummies සඳහා නිර්දේශ කරන කාර්යය සම්පූර්ණ කිරීමේ අනුපිළිවෙල මෙයයි. වඩාත් දියුණු පාඨකයන්ට "එක් පේළියකින්" ගණනය කිරීම් ලිවිය හැකිය:

මෙන්න "නරක" කොසයින් අගයක උදාහරණයක්. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අගය අවසාන නොවේ, එබැවින් හරය තුළ ඇති අතාර්කික බවෙන් මිදීමේ සුළු ප්‍රයෝජනයක් නැත.

අපි කෝණයම සොයා ගනිමු:

ඔබ චිත්රය දෙස බැලුවහොත්, ප්රතිඵලය තරමක් පිළිගත හැකිය. පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, කෝණය ප්රෝටරයක් ​​සමඟද මැනිය හැක. මොනිටරයේ කවරයට හානි නොකරන්න =)

පිළිතුර:

පිළිතුරේ දී අපට එය අමතක නොවේ ත්‍රිකෝණයක කෝණය ගැන ඇහුවා(සහ දෛශික අතර කෝණය ගැන නොවේ), නිවැරදි පිළිතුර සඳහන් කිරීමට අමතක නොකරන්න: සහ කෝණයේ ආසන්න අගය: , ගණක යන්ත්‍රයක් භාවිතයෙන් සොයා ගන්නා ලදී.

ක්‍රියාවලිය භුක්ති විඳි අයට කෝණ ගණනය කර කැනොනිකල් සමානාත්මතාවයේ වලංගුභාවය තහවුරු කළ හැකිය

උදාහරණ 17

ත්‍රිකෝණයක් එහි සිරස් වල ඛණ්ඩාංක මගින් අභ්‍යවකාශයේ අර්ථ දැක්වේ. පැති අතර කෝණය සොයන්න සහ

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර

කෙටි අවසාන කොටස ප්‍රක්ෂේපණ සඳහා කැප කරනු ඇත, එයට අදිශ නිෂ්පාදනයක් ද ඇතුළත් වේ:

දෛශිකයක් දෛශිකයක් මතට ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත දෛශිකයක් ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම.
දෛශිකයක දිශානු කෝසයින

දෛශික සලකා බලන්න සහ:

දෛශිකය මත දෛශිකය ප්‍රක්ෂේපණය කරමු; ලම්බකදෛශිකයට (හරිත තිත් රේඛා). ආලෝක කිරණ දෛශිකය මතට ලම්බකව වැටෙන බව සිතන්න. එවිට කොටස (රතු රේඛාව) දෛශිකයේ "සෙවණ" වනු ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, දෛශිකය මත දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණය කොටසෙහි LENGTH වේ. එනම්, PROJECTION යනු අංකයකි.

මෙම NUMBER පහත පරිදි දැක්වේ: , "විශාල දෛශිකය" යනු දෛශිකයයි කුමනව්‍යාපෘතිය, "කුඩා උපසිරසි දෛශිකය" යන්නෙන් දෛශිකය දක්වයි ක්‍රියාත්මකයිප්රක්ෂේපණය කරන.

ප්‍රවේශයම මෙසේ කියවේ: “දෛශික “a” දෛශික “be” මතට ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම.”

දෛශිකය "be" "ඉතා කෙටි" නම් කුමක් සිදුවේද? අපි දෛශිකය "be" අඩංගු සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු. සහ දෛශිකය "a" දැනටමත් ප්රක්ෂේපණය වනු ඇත දෛශිකයේ දිශාවට "be", සරලව - "be" දෛශිකය අඩංගු සරල රේඛාවට. තිස්වන රාජධානියේ “a” දෛශිකය කල් දැමුවහොත් එයම සිදුවනු ඇත - එය තවමත් “be” දෛශිකය අඩංගු සරල රේඛාවට පහසුවෙන් ප්‍රක්ෂේපණය කරනු ඇත.

කෝණය නම්දෛශික අතර කුළුබඩු සහිත(පින්තූරයේ මෙන්), පසුව

දෛශික නම් විකලාංග, එවිට (ප්රක්ෂේපණය යනු මානයන් ශුන්ය ලෙස සලකනු ලබන ලක්ෂ්යයකි).

කෝණය නම්දෛශික අතර මොට(රූපයේ, දෛශික ඊතලය මානසිකව නැවත සකස් කරන්න), ඉන්පසු (එකම දිග, නමුත් අඩු ලකුණක් සමඟ ගෙන ඇත).

අපි මෙම දෛශික එක් ලක්ෂ්‍යයකින් සැලසුම් කරමු:

පැහැදිලිවම, දෛශිකයක් චලනය වන විට, එහි ප්රක්ෂේපණය වෙනස් නොවේ

ඔබට තනිවම විසඳා ගත හැකි කාර්යයන් ද ඇත, ඒවාට පිළිතුරු ඔබට දැක ගත හැකිය.

ගැටලුවේ දී දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය "රිදී තැටියක" ඉදිරිපත් කර ඇත්නම්, ගැටලුවේ තත්වය සහ එහි විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

උදාහරණ 1.දෛශික ලබා දී ඇත. දෛශික වල දිග සහ ඒවා අතර කෝණය පහත අගයන් මගින් නිරූපණය කරන්නේ නම් ඒවායේ අදිශ ගුණිතය සොයන්න:

තවත් නිර්වචනයක් ද වලංගු වේ, එය නිර්වචනය 1 ට සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වේ.

අර්ථ දැක්වීම 2. දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය යනු මෙම දෛශිකවලින් එකක දිග සහ තවත් දෛශිකයක් මෙම දෛශිකවලින් පළමුවැන්න විසින් තීරණය කරන ලද අක්ෂය වෙත ප්‍රක්ෂේපණය කිරීමේ ගුණිතයට සමාන සංඛ්‍යාවක් (අදිශය) වේ. නිර්වචනය 2 අනුව සූත්රය:

මීළඟ වැදගත් න්‍යායික කරුණෙන් පසුව අපි මෙම සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගැටලුව විසඳන්නෙමු.

ඛණ්ඩාංක අනුව දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම

ගුණ කරන දෛශික වලට ඒවායේ ඛණ්ඩාංක ලබා දෙන්නේ නම් එම සංඛ්‍යාවම ලබා ගත හැක.

අර්ථ දැක්වීම 3.දෛශිකවල තිත් ගුණිතය යනු ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන අංකයකි.

ගුවන් යානයක

දෛශික දෙකක් සහ තලයේ ඒවා දෙකෙන් අර්ථ දක්වා තිබේ නම් කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක

එවිට මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදන එකතුවට සමාන වේ:

.

උදාහරණ 2.දෛශිකයට සමාන්තරව අක්ෂයට දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපණයේ සංඛ්‍යාත්මක අගය සොයන්න.

විසඳුම. දෛශිකයන්ගේ ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදන එකතු කිරීමෙන් අපි ඒවායේ පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගනිමු:

දැන් අපි දෛශිකයේ දිග සහ දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපනය දෛශිකයට සමාන්තර අක්ෂයකට (සූත්‍රයට අනුකූලව) ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අදිශ නිෂ්පාදිතය සමාන කළ යුතුය.

දෛශිකයේ දිග එහි ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවේ වර්ගමූලය ලෙස අපි සොයා ගනිමු:

.

අපි සමීකරණයක් සාදා එය විසඳන්නෙමු:

උත්තර දෙන්න. අවශ්‍ය සංඛ්‍යාත්මක අගය සෘණ 8 වේ.

අභ්යවකාශයේ

දෛශික දෙකක් සහ අභ්‍යවකාශයේ ඒවායේ කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්‍ර ඛණ්ඩාංක තුනෙන් අර්ථ දක්වා තිබේ නම්

,

එවිට මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ද ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදන එකතුවට සමාන වේ, දැනටමත් ඇත්තේ ඛණ්ඩාංක තුනක් පමණි:

.

සලකා බලන ලද ක්‍රමය භාවිතා කරමින් පරිමාණ නිෂ්පාදනය සොයා ගැනීමේ කාර්යය වන්නේ අදිශ නිෂ්පාදනයේ ගුණාංග විශ්ලේෂණය කිරීමෙන් පසුවය. මක්නිසාද යත්, ගැටලුවේදී ඔබට ගුණිත දෛශික සෑදෙන්නේ කුමන කෝණයද යන්න තීරණය කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත.

දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ ගුණ

වීජීය ගුණ

1. (හුවමාරු දේපල: ගුණ කරන ලද දෛශිකවල ස්ථාන ආපසු හැරවීම ඔවුන්ගේ අදිශ නිෂ්පාදනයේ අගය වෙනස් නොවේ).

2. (සංඛ්‍යාත්මක සාධකයක් සම්බන්ධයෙන් ආශ්‍රිත දේපල: දෛශිකයක අදිශ ගුණිතය යම් සාධකයකින් ගුණ කළ අතර තවත් දෛශිකයක් මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතයට සමාන වේ එම සාධකයෙන් ගුණ කළ විට).

3. (දෛශික එකතුවට සාපේක්ෂව බෙදා හැරීමේ දේපල: තුන්වන දෛශිකයෙන් දෛශික දෙකක එකතුවේ අදිශ ගුණිතය පළමු දෛශිකයේ තුන්වන දෛශිකයේ සහ දෙවන දෛශිකයේ තුන්වන දෛශිකයේ අදිශ නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ).

4. (ශුන්‍යයට වඩා වැඩි දෛශිකයේ අදිශ වර්ග), ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයක් නම් සහ , ශුන්‍ය දෛශිකයක් නම්.

ජ්යාමිතික ගුණ

අධ්යයනය යටතේ ඇති මෙහෙයුමේ නිර්වචනවලදී, අපි දැනටමත් දෛශික දෙකක් අතර කෝණයක් පිළිබඳ සංකල්පය ස්පර්ශ කර ඇත. මෙම සංකල්පය පැහැදිලි කිරීමට කාලයයි.

ඉහත රූපයේ ඔබට පොදු සම්භවයක් ගෙන එන දෛශික දෙකක් දැකිය හැක. ඔබ අවධානය යොමු කළ යුතු පළමු දෙය නම් මෙම දෛශික අතර කෝණ දෙකක් තිබීමයි - φ 1 සහ φ 2 . දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයේ නිර්වචන සහ ගුණවල දිස්වන්නේ මෙම කෝණවලින් කවරක්ද? සලකා බලන ලද කෝණවල එකතුව 2 වේ π එබැවින් මෙම කෝණවල කෝසයින් සමාන වේ. තිත් නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයට ඇතුළත් වන්නේ කෝණයේ කෝසයිනය මිස එහි ප්‍රකාශනයේ අගය නොවේ. නමුත් ගුණාංග සලකා බලන්නේ එක් කෝණයක් පමණි. තවද මෙය නොඉක්මවන කෝණ දෙකෙන් එකකි π , එනම් අංශක 180 යි. රූපයේ මෙම කෝණය මෙසේ දැක්වේ φ 1 .

1. දෛශික දෙකක් ලෙස හැඳින්වේ විකලාංග සහ මෙම දෛශික අතර කෝණය සෘජු වේ (අංශක 90 හෝ π /2), නම් මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ශුන්‍ය වේ :

.

දෛශික වීජ ගණිතයේ ඕතොගෝනලිටි යනු දෛශික දෙකක ලම්බකතාවයයි.

2. ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් සෑදේ උග්ර කෝණය (අංශක 0 සිට 90 දක්වා, හෝ, එය සමාන වේ - අඩු π dot නිෂ්පාදනය ධනාත්මක වේ .

3. ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් සෑදේ අඳුරු කෝණය (අංශක 90 සිට 180 දක්වා, හෝ, එකම දේ - තවත් π /2) නම් සහ ඒවා නම් පමණි dot නිෂ්පාදනය ඍණ වේ .

උදාහරණය 3.ඛණ්ඩාංක දෛශික මගින් ලබා දෙනු ලැබේ:

.

ලබා දී ඇති සියලුම දෛශික යුගලවල පරිමාණ නිෂ්පාදන ගණනය කරන්න. මෙම දෛශික යුගල සෑදෙන්නේ කුමන කෝණයෙන්ද (උග්ර, දකුණු, අඳුරු)?

විසඳුම. අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල නිෂ්පාදන එකතු කිරීමෙන් අපි ගණනය කරන්නෙමු.

අපට සෘණ අංකයක් ලැබුණි, එම නිසා දෛශික යෝග්‍ය කෝණයක් සාදයි.

අපට ධනාත්මක අංකයක් ලැබුණි, එබැවින් දෛශික තියුණු කෝණයක් සාදයි.

අපට ශුන්‍යය ලැබුණි, එබැවින් දෛශික සෘජු කෝණයක් සාදයි.

අපට ධනාත්මක අංකයක් ලැබුණි, එබැවින් දෛශික තියුණු කෝණයක් සාදයි.

.

අපට ධනාත්මක අංකයක් ලැබුණි, එබැවින් දෛශික තියුණු කෝණයක් සාදයි.

ස්වයං පරීක්ෂණය සඳහා ඔබට භාවිතා කළ හැකිය මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනය සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයින්.

උදාහරණය 4.දෛශික දෙකක දිග සහ ඒවා අතර කෝණය අනුව:

.

දෛශික සහ විකලාංග (ලම්බක) අංකයේ කුමන අගයකින්ද යන්න තීරණය කරන්න.

විසඳුම. බහුපද ගුණ කිරීම සඳහා රීතිය භාවිතා කරමින් දෛශික ගුණ කරමු:

දැන් අපි එක් එක් පදය ගණනය කරමු:

.

අපි සමීකරණයක් නිර්මාණය කරමු (නිෂ්පාදනය ශුන්‍යයට සමාන වේ), සමාන පද එකතු කර සමීකරණය විසඳන්න:

පිළිතුර: අපට වටිනාකම ලැබුණා λ = 1.8, දෛශික විකලාංග වේ.

උදාහරණ 5.දෛශිකය බව ඔප්පු කරන්න දෛශිකයට විකලාංග (ලම්බක).

විසඳුම. orthogonality පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, අපි දෛශික සහ බහුපද ලෙස ගුණ කරමු, ඒ වෙනුවට ගැටළු ප්‍රකාශයේ දී ඇති ප්‍රකාශනය ආදේශ කරමු:

.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ පළමු බහුපදයේ එක් එක් පදය (කාලය) දෙවන පදයේ එක් එක් පදයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර එහි ප්‍රතිඵලය වන නිෂ්පාදන එකතු කරන්න:

.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, භාගය අඩු වේ. පහත ප්රතිඵලය ලබා ගනී:

නිගමනය: ගුණ කිරීමේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස අපට ශුන්‍යය ලැබුණි, එබැවින් දෛශිකවල විකලාංග (ලම්බකතාව) ඔප්පු වේ.

ගැටලුව ඔබම විසඳා ඉන්පසු විසඳුම බලන්න

උදාහරණය 6.දෛශිකවල දිග සහ ලබා දී ඇති අතර, මෙම දෛශික අතර කෝණය වේ π /4. කුමන අගයකින්ද යන්න තීරණය කරන්න μ දෛශික සහ අන්යෝන්ය වශයෙන් ලම්බක වේ.

ස්වයං පරීක්ෂණය සඳහා ඔබට භාවිතා කළ හැකිය මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනය සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයින්.

දෛශිකවල තිත් ගුණිතයේ සහ n-මාන දෛශිකවල ගුණිතයේ න්‍යාස නිරූපණය

සමහර විට න්‍යාස ආකාරයෙන් ගුණිත දෛශික දෙකක් නියෝජනය කිරීම පැහැදිලි බව සඳහා වාසිදායක වේ. එවිට පළමු දෛශිකය පේළි න්‍යාසයක් ලෙසත්, දෙවැන්න තීරු න්‍යාසයක් ලෙසත් නිරූපණය කෙරේ.

එවිට දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය වනු ඇත මෙම matrices වල නිෂ්පාදනය :

ප්රතිඵලය අප දැනටමත් සලකා බැලූ ක්රමයට සමාන වේ. අපට එක් තනි අංකයක් ලැබුණු අතර, තීරු න්‍යාසයකින් පේළි න්‍යාසයක ගුණිතය ද එක් අංකයකි.

න්‍යාස ආකාරයෙන් වියුක්ත n-මාන දෛශිකවල ගුණිතය නිරූපණය කිරීම පහසු වේ. මේ අනුව, සිව්මාන දෛශික දෙකක ගුණිතය තීරු න්‍යාසයකින් මූලද්‍රව්‍ය හතරක් සහිත පේළි න්‍යාසයක ද මූලද්‍රව්‍ය හතරකින් ද, පංචමාන දෛශික දෙකක ගුණිතය මූලද්‍රව්‍ය පහක් සහිත පේළි න්‍යාසයක ගුණිතය වේ. මූලද්‍රව්‍ය පහක් සහිත තීරු අනුකෘතියක් සහ යනාදිය.

උදාහරණ 7.දෛශික යුගලවල පරිමාණ නිෂ්පාදන සොයන්න

,

matrix නියෝජනය භාවිතා කරමින්.

විසඳුම. පළමු දෛශික යුගලය. අපි පළමු දෛශිකය පේළි න්‍යාසයක් ලෙසත්, දෙවැන්න තීරු න්‍යාසයක් ලෙසත් නිරූපණය කරමු. පේළි න්‍යාසයක සහ තීරු න්‍යාසයක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස මෙම දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය අපට හමු වේ:

අපි ඒ හා සමානව දෙවන යුගලය නියෝජනය කර සොයා ගනිමු:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, උදාහරණ 2 සිට එකම යුගල සඳහා ප්රතිඵල සමාන විය.

දෛශික දෙකක් අතර කෝණය

දෛශික දෙකක් අතර කෝණයේ කෝසයිනය සඳහා සූත්‍රයේ ව්‍යුත්පන්නය ඉතා අලංකාර සහ සංක්ෂිප්ත ය.

දෛශික වල තිත් ගුණිතය ප්‍රකාශ කිරීමට

(1)

ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන්, අපි මුලින්ම ඒකක දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය සොයා ගනිමු. නිර්වචනය අනුව දෛශිකයක අදිශ නිෂ්පාදනය:

ඉහත සූත්‍රයේ ලියා ඇති දේ අදහස් වන්නේ: දෛශිකයක අදිශ ගුණිතය එහි දිග වර්ග වලට සමාන වේ. ශුන්‍යයේ කෝසයින් එකකට සමාන වේ, එබැවින් එක් එක් ඒකකයේ වර්ග එකකට සමාන වේ:

දෛශික සිට

යුගල වශයෙන් ලම්බක වේ, එවිට ඒකක දෛශිකවල යුගල නිෂ්පාදන බිංදුවට සමාන වේ:

දැන් අපි දෛශික බහුපද ගුණ කිරීම සිදු කරමු:

අපි ඒකක දෛශිකවල අනුරූප පරිමාණ නිෂ්පාදනවල අගයන් සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තට ආදේශ කරමු:

දෛශික දෙකක් අතර කෝණයේ කෝසයින් සඳහා සූත්‍රය අපි ලබා ගනිමු:

උදාහරණ 8.කරුණු තුනක් ලබා දී ඇත ඒ(1;1;1), බී(2;2;1), සී(2;1;2).

කෝණය සොයා ගන්න.

විසඳුම. දෛශික ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම:

,

.

කොසයින් කෝණ සූත්‍රය භාවිතා කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

එබැවින්, .

ස්වයං පරීක්ෂණය සඳහා ඔබට භාවිතා කළ හැකිය මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනය සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයින්.

උදාහරණ 9.දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇත

ඒවා අතර එකතුව, වෙනස, දිග, තිත් නිෂ්පාදනය සහ කෝණය සොයන්න.