Teória elementárnych funkcií. Základné elementárne funkcie

Vedomosti základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy nemenej dôležité ako poznať násobilku. Sú ako základ, všetko je založené na nich, všetko sa z nich stavia a všetko sa od nich odvíja.

V tomto článku uvedieme všetky hlavné základné funkcie, poskytneme ich grafy a uvedieme ich bez záverov alebo dôkazov vlastnosti základných elementárnych funkcií podľa schémy:

• správanie funkcie na hraniciach definičného oboru, vertikálne asymptoty (v prípade potreby pozri článok klasifikácia bodov nespojitosti funkcie);
• párne a nepárne;
• intervaly konvexnosti (konvexnosť smerom nahor) a konkávnosti (konvexnosť smerom nadol), inflexné body (v prípade potreby pozri článok konvexnosť funkcie, smer konvexnosti, inflexné body, podmienky konvexnosti a inflexie);
• šikmé a horizontálne asymptoty;
• singulárne body funkcií;
• špeciálne vlastnosti niektorých funkcií (napríklad najmenšia kladná perióda goniometrických funkcií).

Ak máte záujem alebo, potom môžete prejsť na tieto časti teórie.

Základné elementárne funkcie sú: konštantná funkcia (konštanta), n-tá odmocnina, mocninná funkcia, exponenciálna, logaritmická funkcia, goniometrické a inverzné goniometrické funkcie.

Navigácia na stránke.

Trvalá funkcia.

Konštantná funkcia je definovaná na množine všetkých reálnych čísel vzorcom , kde C je nejaké reálne číslo. Konštantná funkcia spája každú reálnu hodnotu nezávisle premennej x s rovnakou hodnotou závisle premennej y – hodnotou C. Konštantná funkcia sa tiež nazýva konštanta.

Graf konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom so súradnicami (0,C). Ukážme si napríklad grafy konštantných funkcií y=5, y=-2 a, ktoré na obrázku nižšie zodpovedajú čiernej, červenej a modrej čiare.

Vlastnosti konštantnej funkcie.

• Doména: celá množina reálnych čísel.
• Konštantná funkcia je rovnomerná.
• Rozsah hodnôt: množina pozostávajúca z jednotného čísla C.
• Konštantná funkcia je nerastúca a neklesajúca (preto je konštantná).
• Nemá zmysel hovoriť o konvexnosti a konkávnosti konštanty.
• Neexistujú žiadne asymptoty.
• Funkcia prechádza bodom (0,C) súradnicovej roviny.

n-tý koreň.

Uvažujme základnú elementárnu funkciu, ktorá je daná vzorcom , kde n je prirodzené číslo väčšie ako jedna.

Odmocnina n-tého stupňa, n je párne číslo.

Začnime s n-tou odmocninou funkciou pre párne hodnoty koreňového exponentu n.

Ako príklad uvádzame obrázok s obrázkami funkčných grafov a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým čiaram.

Grafy odmocninových funkcií párneho stupňa majú podobný vzhľad pre iné hodnoty exponentu.

Vlastnosti funkcie n-tej odmocniny pre párne n.

N-tá odmocnina, n je nepárne číslo.

Funkcia n-tej odmocniny s nepárnym koreňovým exponentom n je definovaná na celej množine reálnych čísel. Tu sú napríklad grafy funkcií a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým krivkám.

Pre ostatné nepárne hodnoty koreňového exponentu budú mať funkčné grafy podobný vzhľad.

Vlastnosti funkcie n-tej odmocniny pre nepárne n.

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia je daná vzorcom v tvare .

Uvažujme o forme grafov mocninnej funkcie a vlastnostiach mocninnej funkcie v závislosti od hodnoty exponentu.

Začnime mocninnou funkciou s celočíselným exponentom a. V tomto prípade závisí vzhľad grafov mocninových funkcií a vlastnosti funkcií od párnosti alebo nepárnosti exponentu, ako aj od jeho znamienka. Preto najprv zvážime mocninné funkcie pre nepárne kladné hodnoty exponentu a, potom pre párne kladné exponenty, potom pre nepárne záporné exponenty a nakoniec pre párne záporné a.

Vlastnosti mocninných funkcií so zlomkovými a iracionálnymi exponentmi (ako aj typ grafov takýchto mocninných funkcií) závisia od hodnoty exponentu a. Budeme ich uvažovať po prvé pre a od nuly do jedna, po druhé, pre väčšie ako jedna, po tretie, pre a od mínus jedna po nulu, po štvrté, pre menej ako mínus jedna.

Na konci tejto časti si pre úplnosť popíšeme mocninnú funkciu s nulovým exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s nepárnym kladným exponentom, teda s a = 1,3,5,....

Na obrázku nižšie sú znázornené grafy mocninových funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=1 máme lineárna funkcia y=x.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s párnym kladným exponentom, teda pre a = 2,4,6,....

Ako príklad uvádzame grafy mocninných funkcií – čierna čiara, – modrá čiara, – červená čiara. Pre a=2 máme kvadratickú funkciu, ktorej graf je kvadratická parabola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym záporným exponentom.

Pozrite sa na grafy mocninnej funkcie pre nepárne záporné hodnoty exponentu, to znamená pre a = -1, -3, -5,....

Na obrázku sú znázornené grafy výkonových funkcií ako príklady - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=-1 máme inverzná úmernosť, ktorej graf je hyperbola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym záporným exponentom.

Prejdime k mocninovej funkcii pre a=-2,-4,-6,….

Na obrázku sú znázornené grafy mocninových funkcií – čierna čiara, – modrá čiara, – červená čiara.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s racionálnym alebo iracionálnym exponentom, ktorej hodnota je väčšia ako nula a menšia ako jedna.

Poznámka! Ak a je kladný zlomok s nepárnym menovateľom, potom niektorí autori považujú doménu definície mocninnej funkcie za interval. Je stanovené, že exponent a je neredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a princípoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve tohto názoru, to znamená, že množinu budeme považovať za oblasti definície mocninných funkcií s zlomkovými kladnými exponentmi. Odporúčame študentom zistiť názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.

Uvažujme mocninnú funkciu s racionálnym alebo iracionálnym exponentom a, a .

Uveďme grafy mocninných funkcií pre a=11/12 (čierna čiara), a=5/7 (červená čiara), (modrá čiara), a=2/5 (zelená čiara).

Mocninná funkcia s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom väčším ako jedna.

Uvažujme mocninnú funkciu s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom a, a .

Uveďme grafy mocninných funkcií dané vzorcami (čierne, červené, modré a zelené čiary).

Pre ostatné hodnoty exponentu a budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti mocninovej funkcie pri .

Mocninná funkcia so skutočným exponentom väčším ako mínus jedna a menším ako nula.

Poznámka! Ak a je záporný zlomok s nepárnym menovateľom, potom niektorí autori považujú doménu definície mocninovej funkcie za interval . Je stanovené, že exponent a je neredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a princípoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve tohto názoru, to znamená, že budeme považovať domény definície mocninných funkcií so zlomkovými zlomkovými zápornými exponentmi za množinu, resp. Odporúčame študentom zistiť názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.

Prejdime k funkcii napájania, kgod.

Aby ste mali dobrú predstavu o forme grafov mocninových funkcií pre , uvádzame príklady grafov funkcií (čierne, červené, modré a zelené krivky).

Vlastnosti mocninnej funkcie s exponentom a, .

Mocninná funkcia s neceločíselným reálnym exponentom, ktorý je menší ako mínus jedna.

Uveďme príklady grafov mocninových funkcií pre , sú znázornené čiernou, červenou, modrou a zelenou čiarou.

Vlastnosti mocninnej funkcie s neceločíselným záporným exponentom menším ako mínus jedna.

Keď a = 0, máme funkciu - je to priamka, z ktorej je vylúčený bod (0;1) (bolo dohodnuté, že výrazu 0 0 sa nepripisuje žiadny význam).

Exponenciálna funkcia.

Jednou z hlavných elementárnych funkcií je exponenciálna funkcia.

Graf exponenciálnej funkcie, kde a nadobúda rôzne podoby v závislosti od hodnoty bázy a. Poďme na to.

Najprv zvážte prípad, keď základ exponenciálnej funkcie nadobudne hodnotu od nuly do jednej, teda .

Ako príklad uvádzame grafy exponenciálnej funkcie pre a = 1/2 – modrá čiara, a = 5/6 – červená čiara. Grafy exponenciálnej funkcie majú podobný vzhľad pre ostatné hodnoty základne z intervalu.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom menším ako jedna.

Prejdime k prípadu, keď je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna, teda .

Pre ilustráciu uvádzame grafy exponenciálnych funkcií - modrá čiara a - červená čiara. Pre ostatné hodnoty základne väčšie ako jedna budú mať grafy exponenciálnej funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom väčším ako jedna.

Logaritmická funkcia.

Ďalšou základnou elementárnou funkciou je logaritmická funkcia, kde , . Logaritmická funkcia je definovaná iba pre kladné hodnoty argumentu, teda pre .

Graf logaritmickej funkcie má rôzne podoby v závislosti od hodnoty bázy a.

Kompletný zoznam základných elementárnych funkcií

Trieda základných elementárnych funkcií zahŕňa:

1. Funkcia konštanty $y=C$, kde $C$ je konštanta. Takáto funkcia nadobúda rovnakú hodnotu $C$ pre ľubovoľné $x$.
2. Mocninná funkcia $y=x^(a) $, kde exponent $a$ je reálne číslo.
3. Exponenciálna funkcia $y=a^(x) $, kde základ je stupeň $a>0$, $a\ne 1$.
4. Logaritmická funkcia $y=\log _(a) x$, kde základ logaritmu je $a>0$, $a\ne 1$.
5. Goniometrické funkcie $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sek\,x$.
6. Inverzné goniometrické funkcie $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x $.

Výkonové funkcie

Budeme uvažovať o správaní mocninnej funkcie $y=x^(a) $ pre tie najjednoduchšie prípady, keď jej exponent určuje umocňovanie celého čísla a extrakciu odmocniny.

Prípad 1

Exponent funkcie $y=x^(a) $ je prirodzené číslo, teda $y=x^(n) $, $n\in N$.

Ak $n=2\cdot k$ je párne číslo, potom funkcia $y=x^(2\cdot k) $ je párna a rastie na neurčito, ako keby argument $\left(x\to +\infty \ right )$ a s jeho neobmedzeným poklesom $\left(x\to -\infty \right)$. Toto správanie funkcie možno opísať výrazmi $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ a $\mathop(\lim )\ limity_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, čo znamená, že funkcia v oboch prípadoch rastie bez limitu ($\lim $ je limit). Príklad: graf funkcie $y=x^(2) $.

Ak $n=2\cdot k-1$ je nepárne číslo, potom funkcia $y=x^(2\cdot k-1) $ je nepárna, zvyšuje sa na neurčito, keď sa argument zvyšuje na neurčito, a klesá na neurčito ako argument klesá na neurčito. Toto správanie funkcie možno opísať výrazmi $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ a $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Príklad: graf funkcie $y=x^(3) $.

Prípad 2

Exponent funkcie $y=x^(a) $ je záporné celé číslo, to znamená $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Ak $n=2\cdot k$ je párne číslo, potom funkcia $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ je párna a asymptoticky (postupne) sa blíži k nule ako pri argumente neobmedzeného nárastu a s jeho neobmedzeným poklesom. Toto správanie funkcie možno opísať jediným výrazom $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, čo znamená, že pri neobmedzenom náraste argumentu v absolútnej hodnote je limita funkcie nulová. Navyše, keďže argument má tendenciu k nule vľavo $\left(x\to 0-0\right)$ aj vpravo $\left(x\to 0+0\right)$, funkcia sa zvyšuje bez limit. Preto výrazy $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ a $\mathop(\lim )\ limity_ sú platné (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, čo znamená, že funkcia $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) $ má v oboch prípadoch nekonečnú hranicu rovnajúcu sa $+\infty $. Príklad: graf funkcie $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Ak $n=2\cdot k-1$ je nepárne číslo, potom funkcia $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ je nepárna a asymptoticky sa blíži k nule, ako keby obe, keď argument sa zvyšuje a keď klesá bez obmedzenia. Toto správanie funkcie možno opísať jediným výrazom $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Okrem toho, keď sa argument blíži k nule vľavo, funkcia klesá bez obmedzenia a keď sa argument blíži nule vpravo, funkcia rastie bez obmedzenia, to znamená $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ a $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Príklad: graf funkcie $y=\frac(1)(x) $.

Prípad 3

Exponent funkcie $y=x^(a) $ je prevrátená hodnota prirodzeného čísla, teda $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

Ak $n=2\cdot k$ je párne číslo, potom funkcia $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ je dvojhodnotová a je definovaná len pre $x\ge 0 $. S neobmedzeným nárastom argumentu sa hodnota funkcie $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ neobmedzene zvyšuje a hodnota funkcie $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ neobmedzene klesá, to znamená $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ a $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Príklad: graf funkcie $y=\pm \sqrt(x) $.

Ak $n=2\cdot k-1$ je nepárne číslo, potom funkcia $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ je nepárne, rastie neobmedzene s neobmedzeným nárastom argumentu a klesá neobmedzene, keď je neobmedzené, znižuje sa, to znamená $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ a $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Príklad: graf funkcie $y=\sqrt[(3)](x) $.

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Exponenciálne funkcie $y=a^(x) $ a logaritmické $y=\log _(a) x$ sú vzájomne inverzné. Ich grafy sú symetrické vzhľadom na spoločnú os prvého a tretieho súradnicového uhla.

Keď argument $\left(x\to +\infty \right)$ narastá na neurčito, exponenciálna funkcia alebo $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ sa zvyšuje na neurčito , ak $a>1$, alebo sa asymptoticky blíži k nule $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, ak $a1$ alebo $\mathop zvyšuje bez obmedzenia (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, ak $a

Charakteristickou hodnotou pre funkciu $y=a^(x) $ je hodnota $x=0$. V tomto prípade všetky exponenciálne funkcie, bez ohľadu na $a$, nevyhnutne pretínajú os $Oy$ na $y=1$. Príklady: grafy funkcií $y=2^(x) $ a $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

Logaritmická funkcia $y=\log _(a) x$ je definovaná len pre $x > 0$.

Keď argument $\left(x\to +\infty \right)$ narastá na neurčito, logaritmická funkcia alebo $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ sa zvyšuje na neurčito o infty $, ak $a>1$, alebo klesá bez obmedzenia $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, ak $a1 $ alebo bez obmedzenia $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ sa zvýši, ak $a

Charakteristickou hodnotou pre funkciu $y=\log _(a) x$ je hodnota $y=0$. V tomto prípade všetky logaritmické funkcie, bez ohľadu na $a$, nevyhnutne pretínajú os $Ox$ na $x=1$. Príklady: grafy funkcií $y=\log _(2) x$ a $y=\log _(1/2) x$.

Niektoré logaritmické funkcie majú špeciálny zápis. Konkrétne, ak je základ logaritmu $a=10$, potom sa takýto logaritmus nazýva desiatkový a zodpovedajúca funkcia sa zapíše ako $y=\lg x$. A ak sa ako základ logaritmu vyberie iracionálne číslo $e=2,7182818\ldots $, potom sa takýto logaritmus nazýva prirodzený a zodpovedajúca funkcia sa zapíše ako $y=\ln x$. Jej inverzná je funkcia $y=e^(x) $, nazývaná exponent.

Časť obsahuje referenčný materiál o hlavných elementárnych funkciách a ich vlastnostiach. Uvádza sa klasifikácia elementárnych funkcií. Nižšie sú uvedené odkazy na podsekcie, ktoré pojednávajú o vlastnostiach konkrétnych funkcií – grafy, vzorce, derivácie, primitívne derivácie (integrály), rozšírenia radov, výrazy prostredníctvom komplexných premenných.

Referenčné stránky pre základné funkcie

Klasifikácia elementárnych funkcií

Algebraická funkcia je funkcia, ktorá spĺňa rovnicu:
,
kde je polynóm v závisle premennej y a nezávisle premennej x. Dá sa napísať ako:
,
kde sú polynómy.

Algebraické funkcie sa delia na polynómy (celé racionálne funkcie), racionálne funkcie a iracionálne funkcie.

Celá racionálna funkcia, ktorý sa tiež nazýva polynóm alebo polynóm, sa získa z premennej x a konečného počtu čísel pomocou aritmetických operácií sčítania (odčítania) a násobenia. Po otvorení zátvoriek sa polynóm zredukuje na kanonickú formu:
.

Zlomková racionálna funkcia, alebo jednoducho racionálna funkcia, sa získa z premennej x a konečného počtu čísel pomocou aritmetických operácií sčítania (odčítania), násobenia a delenia. Racionálna funkcia sa dá zredukovať na formu
,
kde a sú polynómy.

Iracionálna funkcia je algebraická funkcia, ktorá nie je racionálna. Iracionálnou funkciou sa spravidla rozumejú korene a ich kompozície s racionálnymi funkciami. Koreň stupňa n je definovaný ako riešenie rovnice
.
Označuje sa takto:
.

Transcendentálne funkcie sa nazývajú nealgebraické funkcie. Sú to exponenciálne, trigonometrické, hyperbolické a ich inverzné funkcie.

Prehľad základných elementárnych funkcií

Všetky elementárne funkcie môžu byť reprezentované ako konečný počet operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia vykonaných na vyjadrení tvaru:
z t.
Inverzné funkcie možno vyjadriť aj pomocou logaritmov. Nižšie sú uvedené základné elementárne funkcie.

Funkcia napájania:
y(x) = x p ,
kde p je exponent. Závisí to od základne stupňa x.
Inverzná funkcia výkonovej funkcie je tiež výkonová funkcia:
.
Pri celočíselnej nezápornej hodnote exponentu p ide o polynóm. Pre celočíselnú hodnotu p - racionálna funkcia. S racionálnym významom - iracionálna funkcia.

Transcendentálne funkcie

Exponenciálna funkcia:
y(x) = a x ,
kde a je základ stupňa. Závisí to od exponentu x.
Inverzná funkcia je logaritmus so základom a:
x = prihlásiť sa y.

Exponent, e k mocnine x:
y(x) = e x ,
Toto je exponenciálna funkcia, ktorej derivácia sa rovná samotnej funkcii:
.
Základom exponentu je číslo e:
≈ 2,718281828459045... .
Inverzná funkcia - prirodzený logaritmus - logaritmus k základu e:
x = ln y ≡ log e y.

Goniometrické funkcie:
Sínus: ;
Kosínus: ;
Tangenta: ;
Kotangens: ;
Tu i je imaginárna jednotka, i 2 = -1.

Inverzné goniometrické funkcie:
Arkásina: x = arcsin y, ;
Oblúkový kosínus: x = arccos y, ;
Arkustangens: x = arctan y, ;
Arkustangens: x = arcctg y, .

Základné elementárne funkcie sú: stála funkcia (stála), koreň n-tý stupeň, mocninná funkcia, exponenciálna, logaritmická funkcia, goniometrické a inverzné goniometrické funkcie.

Trvalá funkcia.

Konštantná funkcia je daná na množine všetkých reálnych čísel vzorcom , kde C– nejaké skutočné číslo. Konštantná funkcia priraďuje každej skutočnej hodnote nezávislej premennej X rovnakú hodnotu závislej premennej r- význam S. Konštantná funkcia sa tiež nazýva konštanta.

Graf konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom so súradnicami (0,C). Ukážme si napríklad grafy konštantných funkcií y=5,y = -2 a , ktoré na obrázku nižšie zodpovedajú čiernej, červenej a modrej čiare.

Vlastnosti konštantnej funkcie.

Doména: celá množina reálnych čísel.

Konštantná funkcia je rovnomerná.

Rozsah hodnôt: množina pozostávajúca z jednotného čísla S.

Konštantná funkcia je nerastúca a neklesajúca (preto je konštantná).

Nemá zmysel hovoriť o konvexnosti a konkávnosti konštanty.

Neexistujú žiadne asymptoty.

Funkcia prechádza cez bod (0,C) súradnicová rovina.

Koreň n-tého stupňa.

Uvažujme základnú elementárnu funkciu, ktorá je daná vzorcom, kde n– prirodzené číslo väčšie ako jedna.

N-tá odmocnina, n je párne číslo.

Začnime s funkciou root n-tá mocnina pre párne hodnoty koreňového exponentu n.

Ako príklad uvádzame obrázok s obrázkami funkčných grafov a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým čiaram.

Grafy odmocninových funkcií párneho stupňa majú podobný vzhľad pre iné hodnoty exponentu.

Vlastnosti koreňovej funkcien -tá mocnosť pre párnyn .

N-tá odmocnina, n je nepárne číslo.

Funkcia koreňa n-tá mocnina s nepárnym koreňovým exponentom n je definovaný na celej množine reálnych čísel. Tu sú napríklad grafy funkcií a zodpovedajú čiernym, červeným a modrým krivkám.