Poznať všetky strany trojuholníka nájdite stred. Úloha

Domov / Bývalý

Režim a medián- špeciálny druh priemerov, ktoré sa používajú na štúdium štruktúry variačných radov. Niekedy sa nazývajú štrukturálne priemery, na rozdiel od predtým diskutovaných mocenských priemerov.

Móda- ide o hodnotu atribútu (variantu), ktorý sa v tejto populácii najčastejšie vyskytuje, t.j. má najvyššiu frekvenciu.

Móda má veľké praktické uplatnenie a v niektorých prípadoch len móda môže charakterizovať spoločenské javy.

Medián je variant, ktorý je v strede objednaného variačného radu.

Medián znázorňuje kvantitatívnu hranicu hodnoty premennej charakteristiky, ktorú dosahuje polovica jednotiek populácie. Použitie mediánu spolu s priemerom alebo namiesto neho sa odporúča, ak sú v sérii variácií otvorené intervaly, pretože výpočet mediánu nevyžaduje podmienené stanovenie hraníc otvorených intervalov, a preto absencia informácií o nich nemá vplyv na presnosť výpočtu mediánu.

Medián sa používa aj vtedy, keď nie sú známe ukazovatele, ktoré sa majú použiť ako váhy. V štatistických metódach kontroly kvality produktov sa namiesto aritmetického priemeru používa medián. Súčet absolútnych odchýlok opcií od mediánu je menší ako od akéhokoľvek iného čísla.

Zvážte výpočet módu a mediánu v diskrétnom variačnom rade :

Určte režim a medián.

Fashion Mo = 4 roky, keďže táto hodnota zodpovedá najvyššej frekvencii f = 5.

Tie. Väčšina pracovníkov má 4 roky praxe.

Aby sme vypočítali medián, najprv nájdeme polovicu súčtu frekvencií. Ak je súčet frekvencií nepárne číslo, potom k tomuto súčtu najprv pripočítame jednotku a potom ju rozdelíme na polovicu:

Medián bude ôsmou možnosťou.

Aby sme zistili, ktorá možnosť bude ôsma v počte, budeme hromadiť frekvencie, kým nedostaneme súčet frekvencií rovný alebo väčší ako polovica súčtu všetkých frekvencií. Zodpovedajúca možnosť bude medián.

ja = 4 roky.

Tie. polovica pracovníkov má menej ako štyri roky praxe, polovica viac.

Ak sa súčet akumulovaných frekvencií voči jednej možnosti rovná polovici súčtu frekvencií, potom je medián definovaný ako aritmetický priemer tejto možnosti a nasledujúcej možnosti.

Výpočet módu a mediánu v sérii intervalových variácií

Režim v sérii variácií intervalov sa vypočíta podľa vzorca

kde X М0- počiatočná hranica modálneho intervalu,

hm 0 je hodnota modálneho intervalu,

fm 0 , fm 0-1 , fm 0+1 - frekvencia modálneho intervalu pred modálnym a nasledujúcim modálnym intervalom.

Modálny Interval s najvyššou frekvenciou je tzv.

Príklad 1

Skupiny podľa skúseností	Počet robotníkov, ľudí	Akumulované frekvencie

Určite režim a medián.

Modálny interval, pretože zodpovedá najvyššej frekvencii f = 35. Potom:

Hm 0 =6, fm 0 =35

Štrukturálne (polohové) priemery- toto sú priemerné hodnoty, ktoré zaberajú určité miesto (pozíciu) v zoradenej variačnej sérii.

Móda(Mo) je hodnota funkcie, ktorá sa najčastejšie vyskytuje v skúmanej populácii.

Pre diskrétne variačné série režim bude hodnota možností s najvyššou frekvenciou

Príklad. Určte režim z dostupných údajov (tabuľka 7.5).

Tabuľka 7.5 - Distribúcia dámskej obuvi predávanej v predajni obuvi N, február 2013

Podľa tabuľky. 5 ukazuje, že najvyššia frekvencia fmax= 28, zodpovedá hodnote funkcie X= veľkosť 37. v dôsledku toho Mo= 37 veľkosť topánky, t.j. práve po tejto veľkosti topánok bol najväčší dopyt, najčastejšie sa kupovali topánky 37. veľkosti.

AT najprv určený modálny odstup, t.j. obsahujúci mód - interval s najvyššou frekvenciou (v prípade intervalového rozdelenia s rovnakými intervalmi, v prípade nerovnakých intervalov - podľa najvyššej hustoty).

Režim sa považuje približne za stred modálneho intervalu. Hodnota špecifického režimu pre intervalovú sériu je určená vzorcom:

kde x Po je spodná hranica modálneho intervalu;

ja Mo je hodnota modálneho intervalu;

f Po je frekvencia modálneho intervalu;

f Po-1 je frekvencia intervalu pred modálom;

f Po +1 je frekvencia intervalu nasledujúceho po modál.

Príklad. Určte režim z dostupných údajov (tabuľka 7.6).

Tabuľka 7.6 - Rozdelenie zamestnancov podľa dĺžky služby

Podľa tabuľky. 6 ukazuje, že najvyššia frekvencia fmax= 35, zodpovedá intervalu: 6-8 rokov (modálny interval). Módu definujeme podľa vzorca:

rokov.

v dôsledku toho Mo= 6,8 roka, t.j. Väčšina zamestnancov má 6,8 ročnú prax.

Názov mediánu je prevzatý z geometrie, kde sa vzťahuje na úsečku spájajúcu jeden z vrcholov trojuholníka so stredom protiľahlej strany a tak rozdeľujúcu stranu trojuholníka na dve rovnaké časti.

Medián(ja) – je hodnota funkcie, ktorá spadá do stredu populácie v rozmedzí. V opačnom prípade je medián hodnotou, ktorá rozdeľuje počet usporiadaných variačných sérií na dve rovnaké časti - jedna časť má hodnoty premenlivého atribútu menšie ako priemerný variant a druhá má veľké hodnoty.

Pre hodnotená séria(t. j. zoradené - zostavené vo vzostupnom alebo zostupnom poradí hodnôt jednotlivých atribútov) s nepárnym počtom členov ( n= nepárny) medián je variant umiestnený v strede riadku. Poradové číslo mediánu ( N Ja) je definovaný takto:

N Me = (n+1)/ 2.

Príklad. V sérii 51 členov je stredný počet (51+1)/2 = 26, t.j. medián je 26. možnosť v rade.

Pre hodnotenú sériu s párnym počtom členov ( n= párne) - medián bude aritmetický priemer dvoch hodnôt atribútu umiestneného v strede série. Sériové čísla dvoch centrálnych variantov sú určené takto:

N Me 1 = n/ 2; N Me 2 = (n/ 2)+ 1.

Príklad. Keď n=50; N Me1 = 50/2 = 25; N Me2= (50/2)+1 = 26, t.j. medián je priemer možností v 25. a 26. riadku v poradí.

AT diskrétne variačné série medián sa zistí podľa akumulovanej frekvencie zodpovedajúcej poradovému číslu mediánu alebo ho prvýkrát prekročí. V opačnom prípade podľa akumulovanej frekvencie, ktorá sa rovná alebo prvýkrát prekračuje polovicu súčtu všetkých frekvencií série.

Príklad. Určte medián z dostupných údajov (tabuľka 7.7).

Tabuľka 7.7 - Rozdelenie dámskej obuvi predávanej v predajni obuvi N, február 2013

Podľa tabuľky. 7 definujte poradové číslo mediánu: N ja =( 67+1)/2=34.

Móda. Medián. Ako ich vypočítať (s. 1 z 2)

Kumulatívna frekvencia prekračujúca túto hodnotu prvýkrát S= 41, zodpovedá hodnote funkcie X= veľkosť 37. v dôsledku toho ja= 37 veľkosť topánky, t.j. polovica párov je kupovaná menšia ako veľkosť 37 a druhá polovica je kupovaná väčšia.

V tomto príklade sú režim a medián rovnaké, ale môžu alebo nemusia byť rovnaké.

AT intervalové variačné série zisťujú sa kumulatívne frekvencie, podľa kumulatívnych frekvencií sa zisťujú údaje stredný interval– interval, v ktorom je akumulovaná frekvencia polovičná alebo po prvýkrát prekračuje polovicu celkového súčtu frekvencií. Vzorec na určenie mediánu v intervalovom rade distribúcie je nasledujúci:

kde x Ja je spodná hranica stredného intervalu;

ja Ja je hodnota stredného intervalu;

∑fi je súčet frekvencií radu;

S Me-1 je súčet akumulovaných frekvencií intervalu predchádzajúceho mediánu;

f Ja je frekvencia stredného intervalu.

Príklad. Určte medián z dostupných údajov (tabuľka 7.8).

Tabuľka 7.8 - Rozdelenie zamestnancov podľa dĺžky služby

Podľa tabuľky. 8 definujte poradové číslo mediánu: NMe = 100/2=50. Kumulatívna frekvencia prekračujúca túto hodnotu prvýkrát S= 82, zodpovedá intervalu 6-8 rokov (medián intervalu). V tomto príklade sú modálne a mediánové intervaly rovnaké, ale môžu alebo nemusia byť rovnaké. Určme medián podľa vzorca:

rokov

v dôsledku toho ja= 6,2 roka, t.j. polovica zamestnancov má menej ako 6,2 roka praxe a druhá polovica viac.

Režim a medián sú široko používané v rôznych oblastiach ekonomiky. Teda výpočet modálnej produktivity práce, modálnych nákladov a pod. umožňuje ekonómovi posúdiť ich aktuálne prevládajúcu úroveň. Táto charakteristika by sa mala použiť na odhalenie rezerv našej ekonomiky. Móda je dôležitá pri riešení praktických problémov. Takže pri plánovaní hromadnej výroby odevov a obuvi sa nastavuje veľkosť produktu, po ktorej je najväčší dopyt (modálna veľkosť). Mód možno použiť ako približnú charakteristiku úrovne študovaného znaku namiesto aritmetického priemeru, ak sú frekvenčné rozdelenia blízke symetrickému a majú jeden nerovný vrchol.

Medián by sa mal použiť ako priemer v prípadoch, keď nie je dostatočná dôvera v homogenitu skúmanej populácie. Medián nie je ovplyvnený ani tak samotnými hodnotami, ako skôr počtom prípadov na jednej alebo druhej úrovni. Treba si tiež uvedomiť, že medián je vždy špecifický (pri veľkom počte pozorovaní alebo v prípade nepárneho počtu členov populácie), pretože pod ja je implikovaný nejaký skutočný skutočný prvok populácie, zatiaľ čo aritmetický priemer často nadobúda hodnotu, ktorú nemôže nadobudnúť žiadna z jednotiek populácie.

Hlavná nehnuteľnosť ja v tom, že súčet absolútnych odchýlok hodnôt vlastností od mediánu je menší ako od akejkoľvek inej hodnoty: . Táto nehnuteľnosť ja možno použiť napríklad pri určovaní staveniska verejných budov, pretože ja určuje bod, ktorý udáva najkratšiu vzdialenosť povedzme škôlky od bydliska rodičov, obyvateľov sídliska od kina, pri projektovaní zastávok električiek, trolejbusov a pod.

V systéme štrukturálnych ukazovateľov vystupujú ako ukazovatele vlastností distribučnej formy možnosti, ktoré zaberajú určité miesto v radení variačných radov (každý štvrtý, piaty, desiaty, dvadsiaty piaty atď.). Podobne pri hľadaní mediánu vo variačnom rade môžete nájsť hodnotu funkcie pre ľubovoľnú jednotku zoradeného radu v poradí.

Kvartily– hodnoty atribútov rozdeľujúce populáciu v rozmedzí na štyri rovnaké časti. Rozlišujte dolný kvartil ( Q1), priemer ( Q2) a horná ( Q 3). Dolný kvartil oddeľuje 1/4 populácie s najnižšími hodnotami znaku, horný kvartil oddeľuje 1/4 populácie s najvyššími hodnotami znaku. To znamená, že 25 % jednotiek populácie bude mať menšiu hodnotu Q1; 25% jednotiek bude uzatvorených medzi Q1 a Q2; 25% - medzi Q2 a Q 3; zvyšných 25 % má vyššiu výkonnosť Q 3. Stredný kvartil ( Q2) je medián .

Na výpočet kvartilov pre intervalové série sa používajú tieto vzorce:

;

kde x Q1– dolná hranica intervalu obsahujúceho dolný kvartil (interval je určený akumulovanou frekvenciou, pričom prvá presahuje 25 %);

x Q3– dolná hranica intervalu obsahujúceho horný kvartil (interval je určený akumulovanou frekvenciou, pričom prvá presahuje 75 %);

S Q 1-1 je kumulatívna frekvencia intervalu predchádzajúceho intervalu obsahujúcemu dolný kvartil;

S Q 3-1 je kumulatívna frekvencia intervalu predchádzajúceho intervalu obsahujúcemu horný kvartil;

fQ1 je frekvencia intervalu obsahujúceho dolný kvartil;

fQ3 je frekvencia intervalu obsahujúceho horný kvartil.

Deciles sú variantné hodnoty, ktoré rozdeľujú zoradené série na desať rovnakých častí: 1. decil ( d1) delí populáciu 1/10 až 9/10, 2. decil ( d2) - v pomere 2/10 ku 8/10 atď. Decily sa počítajú rovnakým spôsobom ako medián a kvartily:

;

Použitie vyššie uvedených charakteristík pri analýze variačných distribučných radov umožňuje hlboko a podrobne charakterizovať skúmanú populáciu.

VIDIEŤ VIAC:

Štrukturálne priemery

Spolu s mocninovými priemermi sa široko používajú štrukturálne priemery.

Štruktúra štatistických agregátov je odlišná. Zároveň platí, že čím symetrickejšie je rozdelenie jednotiek populácie, čím kvalitatívnejšie je jej zloženie podľa skúmaného znaku, tým lepšie, spoľahlivejšie priemerná hodnota znaku charakterizuje skúmaný jav. Ale pre prípady ostrého zošikmenia (asymetrie) distribučného radu už aritmetický priemer nie je taký typický. Napríklad priemerná veľkosť vkladu v sporiteľniach nie je zvlášť zaujímavá, keďže väčšina vkladov je pod touto úrovňou a priemer je výrazne ovplyvnený veľkými vkladmi, ktorých je málo a ktoré nie sú typické pre masu vkladov. vklady.

Móda (štatistika)

V takýchto prípadoch štatistika využíva iný systém – systém pomocných štruktúrnych priemerov. Patria sem modus, medián, ako aj kvartely, kvintely, decely, percentály.

Móda (Po)- najbežnejšia hodnota znaku a v diskrétnom variačnom rade - ide o variant s najvyššou frekvenciou.

V štatistickej praxi sa móda používa pri štúdiu príjmov obyvateľstva, spotrebiteľského dopytu, evidencie cien a pri analýze niektorých technických a ekonomických ukazovateľov podnikov.

V niektorých prípadoch je to režim, ktorý je zaujímavý, a nie aritmetický priemer. Niekedy sa používa namiesto aritmetického priemeru, napríklad na charakterizáciu štruktúry distribučných radov.

Poradie, v ktorom sa režim určuje, závisí od typu distribučnej série. Ak je atribút premennej prezentovaný ako samostatný rad, potom nie sú potrebné žiadne výpočty na určenie režimu. V takejto sérii bude režim hodnotou funkcie, ktorá má najvyššiu frekvenciu.

Ak je hodnota atribútu prezentovaná ako séria intervalových variácií s rovnakými intervalmi, potom sa režim určí výpočtom pomocou vzorca:

kde X Mo je spodná hranica modálneho intervalu,

i Mo je hodnota modálneho intervalu,

f Mo , f Po-1 , f Po+1 sú frekvencie modálneho, premodálneho (predchádzajúceho) a postmodálneho (po modálnom) intervalu.

Medián (ja)- ide o hodnotu atribútu, ktorá je v strede radu variácií s rozsahom, kde sú jednotlivé hodnoty atribútu (možnosti) usporiadané vzostupne alebo zostupne (podľa poradia).

Medián by sa mal použiť ako priemer v prípadoch, keď nie je dostatočná dôvera v homogenitu skúmanej populácie. Medián nachádza uplatnenie v marketingových aktivitách. Napríklad umiestnenie výťahov, primárnych vinární, konzervární, súčet vzdialeností, do ktorých od dodávateľov surovín by mal byť najmenší.

Medián, podobne ako režim, je definovaný rôznymi spôsobmi. Závisí to od štruktúry distribučnej série.
Na určenie mediánu v diskrétnych variačných radoch:

1) nájdite jeho sériové číslo podľa vzorca

N Me =
2) vytvorte sériu akumulovaných frekvencií

3) nájdite akumulovanú frekvenciu, ktorá sa rovná alebo prekračuje sériové číslo mediánu

4) variantu zodpovedajúceho danej akumulovanej frekvencii je medián.

Ak je počet členov diskrétneho radu nepárny, potom je medián v strede radu a rozdeľuje tento rad na dve rovnaké časti podľa počtu členov radu. Poradové číslo mediánu sa v tomto prípade vypočíta podľa vzorca:

NMe =(f + 1)2,

kde  f – počet členov série.

V intervalových sériách sa najprv určí stredný interval. Na tento účel, rovnako ako v diskrétnych radoch, sa vypočíta poradové číslo mediánu. Akumulovaná frekvencia, ktorá sa rovná číslu mediánu alebo ho prvá prevyšuje, zodpovedá intervalu mediánu v intervalovej variačnej sérii. Označme túto nahromadenú frekvenciu ako S Me . Medián sa priamo vypočíta pomocou vzorca:

,
kde je spodná hranica stredného intervalu

- hodnota stredného intervalu

je kumulatívna frekvencia intervalu predchádzajúceho mediánu

— frekvencia stredného intervalu

Grafická definícia módu a mediánu
Režim a medián v intervalovej sérii je možné určiť graficky.

Režim je určený z histogramu rozdelenia. Na tento účel sa vyberie najvyšší obdĺžnik, ktorý je v tomto prípade modálny. Potom spojíme pravý vrchol modálneho obdĺžnika s pravým horným rohom predchádzajúceho obdĺžnika. A ľavý vrchol modálneho obdĺžnika je s ľavým horným rohom nasledujúceho obdĺžnika. Ďalej sa z bodu ich priesečníka zníži kolmica na os x. Úsečka priesečníka týchto čiar bude spôsob rozloženia (obr. 1). Medián sa vypočíta z kumulácie (obr. 2). Na jej určenie sa z bodu na stupnici akumulovaných frekvencií (frekvencií) zodpovedajúceho 50 % nakreslí priamka rovnobežná s osou x, až kým sa nepretína s kumuláciou. Potom sa z priesečníka zadanej priamky s kumuláciou spustí kolmica na os x. Úsečka priesečníka je stred.

Ukazovatele odchýlky v štatistike.

V procese štatistickej analýzy môže nastať situácia, keď sa hodnoty priemerných hodnôt zhodujú a populácie, na základe ktorých sa vypočítavajú, pozostávajú z jednotiek, ktorých charakteristické hodnoty sa od seba dosť výrazne líšia. V tomto prípade sa vypočítajú ukazovatele variácie.

Katalóg: sťahovanie -> Sotrudniki
sťahovanie -> N. L. Ivanova M. F. Lukanina
na stiahnutie -> Prednáška pre predškolákov a rodičov "Prevencia agresívneho správania u predškolákov"
na stiahnutie -> Psychologické profesionálne prispôsobenie osobnosti
na stiahnutie -> Oddelenie školstva a vedy regiónu Kemerovo Regionálne psychologické a valeologické centrum Kemerovo
na stiahnutie -> Federálna služba pre kontrolu drog Ministerstva Ruskej federácie pre oblasť Kemerovo
Sotrudniki -> Luk Čuvašskej republiky
na stiahnutie -> Vlastnosti psychologickej a pedagogickej podpory rozvoja detí predškolského veku
sťahovanie -> Mishina M. M. Rozvoj myslenia v závislosti od zapojenia sa do rodinných a klanových vzťahov
Sotrudniki -> Formovanie profesionálne významných vlastností u študentov s mentálnym postihnutím podľa povolania

TEST

Na tému: "Režim. Medián. Metódy ich výpočtu"

Úvod

Stredné hodnoty a súvisiace ukazovatele variácie zohrávajú v štatistike veľmi dôležitú úlohu, čo je spôsobené predmetom jej štúdia. Preto je táto téma jednou z ústredných v kurze.

Priemer je v štatistike veľmi častým zovšeobecňujúcim ukazovateľom. Vysvetľuje to skutočnosť, že iba pomocou priemeru je možné charakterizovať populáciu podľa kvantitatívne premenlivého atribútu. Priemerná hodnota v štatistike je zovšeobecňujúca charakteristika súboru javov rovnakého typu podľa nejakého kvantitatívne premenlivého atribútu. Priemer ukazuje úroveň tohto atribútu vo vzťahu k jednotke populácie.

Štatistici, ktorí študujú sociálne javy a snažia sa identifikovať ich charakteristické, typické znaky v konkrétnych podmienkach miesta a času, vo veľkej miere využívajú priemerné hodnoty. Pomocou priemerov možno navzájom porovnávať rôzne populácie podľa rôznych charakteristík.

Priemery používané v štatistike patria do triedy výkonových priemerov. Z výkonových priemerov sa najčastejšie používa aritmetický priemer, menej často harmonický priemer; harmonický priemer sa používa iba pri výpočte priemerných mier dynamiky a stredný štvorec - iba pri výpočte variačných ukazovateľov.

Aritmetický priemer je podiel delenia súčtu možností ich počtom. Používa sa v prípadoch, keď objem premenného atribútu pre celú populáciu je tvorený súčtom hodnôt atribútu pre jeho jednotlivé jednotky. Aritmetický priemer je najbežnejším typom priemeru, pretože zodpovedá povahe sociálnych javov, kde sa objem rôznych znamienok v súhrne najčastejšie tvorí práve ako súčet hodnôt atribútu v jednotlivých jednotkách populácia.

Podľa jeho definujúcej vlastnosti by sa mal harmonický priemer použiť, keď je celkový objem atribútu vytvorený ako súčet recipročných hodnôt variantu. Používa sa vtedy, keď v závislosti od dostupného materiálu nie je potrebné hmotnosti násobiť, ale rozdeliť do opcií alebo, čo je to isté, vynásobiť ich prevrátenou hodnotou. Harmonický priemer je v týchto prípadoch prevrátená hodnota aritmetického priemeru recipročných hodnôt atribútu.

Harmonický priemer by sa mal použiť v tých prípadoch, keď váhami nie sú jednotky populácie – nositelia znaku, ale súčin týchto jednotiek a hodnota znaku.

1. Definícia módu a mediánu v štatistike

Aritmetické a harmonické priemery sú zovšeobecňujúce charakteristiky populácie podľa jedného alebo druhého premenlivého atribútu. Pomocnými popisnými charakteristikami distribúcie premenného atribútu sú modus a medián.

V štatistike je móda hodnota vlastnosti (variantu), ktorá sa najčastejšie vyskytuje v danej populácii. V sérii variácií to bude variant s najvyššou frekvenciou.

Medián v štatistike sa nazýva variant, ktorý je v strede radu variácií. Medián delí sériu na polovicu, na jej oboch stranách (hore aj dole) je rovnaký počet populačných jednotiek.

Modus a medián, na rozdiel od exponenciálnych priemerov, sú špecifické charakteristiky, ich hodnota je akýkoľvek konkrétny variant v sérii variácií.

Režim sa používa v prípadoch, keď je potrebné charakterizovať najčastejšie sa vyskytujúcu hodnotu vlastnosti.

5.5 Režim a medián. Ich výpočet v diskrétnych a intervalových variačných radoch

Ak je potrebné napríklad zistiť najbežnejšiu mzdu v podniku, trhovú cenu, za ktorú sa predalo najviac tovaru, veľkosť obuvi, ktorá je medzi spotrebiteľmi najžiadanejšia a pod., v týchto prípadoch uchýliť sa k móde.

Medián je zaujímavý tým, že ukazuje kvantitatívnu hranicu hodnoty premennej charakteristiky, ktorú dosiahla polovica príslušníkov populácie. Priemerný plat zamestnancov banky nech je 650 000 rubľov. za mesiac. Túto charakteristiku možno doplniť, ak povieme, že polovica pracovníkov dostala plat 700 000 rubľov. a vyššie, t.j. zoberme si medián. Modus a medián sú typické charakteristiky v prípadoch, keď sú populácie homogénne a početné.

Nájdenie režimu a mediánu v sérii diskrétnych variácií

Nájsť režim a medián vo variačnom rade, kde sú hodnoty atribútov dané určitými číslami, nie je veľmi ťažké. Zoberme si tabuľku 1. s rozložením rodín podľa počtu detí.

Tabuľka 1. Rozdelenie rodín podľa počtu detí

Je zrejmé, že v tomto príklade bude módou rodina s dvoma deťmi, pretože táto hodnota možností zodpovedá najväčšiemu počtu rodín. Môžu existovať distribúcie, v ktorých sú všetky varianty rovnako časté, pričom v tomto prípade neexistuje žiadna móda, alebo inými slovami, o všetkých variantoch možno povedať, že sú rovnako modálne. V iných prípadoch môže byť najvyššou frekvenciou nie jedna, ale dve možnosti. Potom budú dva režimy, distribúcia bude bimodálna. Bimodálne distribúcie môžu naznačovať kvalitatívnu heterogenitu populácie podľa študovaného znaku.

Ak chcete nájsť medián v sérii diskrétnych variácií, musíte rozdeliť súčet frekvencií na polovicu a k výsledku pridať ½. Takže pri rozdelení 185 rodín podľa počtu detí bude medián: 185/2 + ½ = 93, t.j. 93. možnosť, ktorá rozdeľuje objednaný rad na polovicu. Čo znamená 93. možnosť? Aby ste to zistili, musíte akumulovať frekvencie, počnúc od najmenších možností. Súčet frekvencií 1. a 2. možnosti je 40. Je jasné, že tu nie je 93 možností. Ak frekvenciu 3. možnosti pripočítame k 40, dostaneme súčet rovný 40 + 75 = 115. 93. možnosť teda zodpovedá tretej hodnote premenného atribútu a medián bude rodina s dvoma deťmi .

Režim a medián v tomto príklade sa zhodovali. Ak by sme mali párny súčet frekvencií (napríklad 184), potom použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme počet možností mediánu, 184/2 + ½ = 92,5. Keďže neexistujú žiadne zlomkové možnosti, výsledok naznačuje, že medián je v strede medzi 92 a 93 možnosťami.

3. Výpočet módu a mediánu v intervalových variačných sériách

Deskriptívny charakter modu a mediánu je spôsobený tým, že nekompenzujú jednotlivé odchýlky. Vždy zodpovedajú určitému variantu. Preto režim a medián nevyžadujú výpočty na ich nájdenie, ak sú známe všetky hodnoty atribútu. V sérii variácií intervalov sa však výpočty používajú na nájdenie približnej hodnoty režimu a mediánu v rámci určitého intervalu.

Na výpočet určitej hodnoty modálnej hodnoty znamienka uzavretého v intervale sa používa nasledujúci vzorec:

M o \u003d X Mo + i Mo * (f Po - f Po-1) / ((f Po - f Po-1) + (f Po - f Po + 1)),

kde X Mo je minimálna hranica modálneho intervalu;

i Mo je hodnota modálneho intervalu;

fMo je frekvencia modálneho intervalu;

f Mo-1 - frekvencia intervalu pred modálom;

f Mo+1 je frekvencia intervalu nasledujúceho po modáli.

Výpočet režimu si ukážeme na príklade uvedenom v tabuľke 2.

Tabuľka 2. Rozdelenie pracovníkov podniku podľa implementácie výrobných noriem

Pre nájdenie módu najprv určíme modálny interval daného radu. Z príkladu je vidieť, že najvyššia frekvencia zodpovedá intervalu, kde variant leží v rozsahu od 100 do 105. Ide o modálny interval. Hodnota modálneho intervalu je 5.

Nahradením číselných hodnôt z tabuľky 2 do vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

M o \u003d 100 + 5 * (104 -12) / ((104 - 12) + (104 - 98)) \u003d 108,8

Význam tohto vzorca je nasledovný: hodnota tej časti modálneho intervalu, ktorú treba pripočítať k jeho minimálnej hranici, sa určí v závislosti od veľkosti frekvencií predchádzajúceho a nasledujúceho intervalu. V tomto prípade pripočítame 8,8 k 100, t.j. viac ako polovicu intervalu, pretože frekvencia predchádzajúceho intervalu je menšia ako frekvencia nasledujúceho intervalu.

Teraz vypočítajme medián. Aby sme našli medián v intervalovom variačnom rade, najprv určíme interval, v ktorom sa nachádza (mediánový interval). Takýmto intervalom bude interval, ktorého kumulatívna frekvencia je rovná alebo väčšia ako polovica súčtu frekvencií. Kumulatívne frekvencie sú tvorené postupným sčítavaním frekvencií, počnúc intervalom s najmenšou hodnotou znaku. Polovica súčtu frekvencií, ktoré máme, je 250 (500:2). Medián intervalu bude teda podľa tabuľky 3 interval s hodnotou miezd od 350 000 rubľov. až 400 000 rubľov.

Tabuľka 3. Výpočet mediánu v sérii variácií intervalov

Pred týmto intervalom bol súčet akumulovaných frekvencií 160. Preto na získanie hodnoty mediánu je potrebné pripočítať ďalších 90 jednotiek (250 - 160).

Pri určovaní hodnoty mediánu sa predpokladá, že hodnota jednotiek v rámci hraníc intervalu je rozložená rovnomerne. Ak je teda 115 jednotiek v tomto intervale rozdelených rovnomerne v intervale rovnajúcom sa 50, potom 90 jednotiek bude zodpovedať nasledujúcej hodnote:

Móda v štatistike

Medián (štatistika)

Medián (štatistika), v matematickej štatistike číslo, ktoré charakterizuje vzorku (napríklad množinu čísel). Ak sú všetky prvky vo vzorke odlišné, potom medián je číslo vzorky tak, že presne polovica prvkov vo vzorke je väčšia ako on a druhá polovica je menšia ako on.

Vo všeobecnejšom prípade možno medián nájsť zoradením prvkov vzorky vo vzostupnom alebo zostupnom poradí a vybratím stredného prvku. Napríklad vzorka (11, 9, 3, 5, 5) sa po zoradení zmení na (3, 5, 5, 9, 11) a jej mediánom je číslo 5. Ak má vzorka párny počet prvkov, medián nemusí byť jednoznačne určený: pre číselné údaje sa najčastejšie používa polovičný súčet dvoch susedných hodnôt (to znamená, že medián súboru (1, 3, 5, 7) sa rovná 4).

Inými slovami, medián v štatistike je hodnota, ktorá delí sériu na polovicu tak, že na jej oboch stranách (nahor alebo nadol) sa nachádza rovnaký počet jednotiek danej populácie. Kvôli tejto vlastnosti má tento ukazovateľ niekoľko ďalších názvov: 50. percentil alebo 0,5 kvantil.

Medián sa používa namiesto aritmetického priemeru, keď sa krajné varianty zoradeného radu (najmenší a najväčší) v porovnaní so zvyškom ukážu ako príliš veľké alebo príliš malé.

Funkcia MEDIAN meria centrálny trend, ktorý je stredom množiny čísel v štatistickom rozdelení. Existujú tri najbežnejšie spôsoby, ako určiť centrálny trend:

Priemerná- aritmetický priemer, ktorý sa vypočíta sčítaním množiny čísel a následným vydelením výsledného súčtu ich počtom.
Napríklad, priemer čísel 2, 3, 3, 5, 7 a 10 je 5, čo je výsledok vydelenia ich súčtu, ktorý je 30, ich číslom, ktoré je 6.
Medián- číslo, ktoré je uprostred množiny čísel: polovica čísel má hodnoty väčšie ako medián a polovica čísel je menšia.
Napríklad, medián pre čísla 2, 3, 3, 5, 7 a 10 je 4.
Móda je číslo, ktoré sa v danej množine čísel vyskytuje najčastejšie.
Napríklad, režim pre čísla 2, 3, 3, 5, 7 a 10 je 3.

Medián (štatistika), v matematickej štatistike - číslo, ktoré charakterizuje vzorku (napríklad súbor čísel). Ak sú všetky prvky vo vzorke odlišné, potom medián je číslo vzorky tak, že presne polovica prvkov vo vzorke je väčšia ako on a druhá polovica je menšia ako on. Vo všeobecnejšom prípade možno medián nájsť zoradením prvkov vzorky vo vzostupnom alebo zostupnom poradí a vybratím stredného prvku. Napríklad vzorka (11, 9, 3, 5, 5) sa po zoradení zmení na (3, 5, 5, 9, 11) a jej mediánom je číslo 5. Ak má vzorka párny počet prvkov, medián nemusí byť jednoznačne určený: pre číselné údaje sa najčastejšie používa polovičný súčet dvoch susedných hodnôt (to znamená, že medián súboru (1, 3, 5, 7) sa rovná 4).

Funkcia MEDIAN meria centrálny trend, ktorý je stredom množiny čísel v štatistickom rozdelení. Existujú tri najbežnejšie spôsoby, ako určiť centrálny trend:

Priemerná- aritmetický priemer, ktorý sa vypočíta sčítaním množiny čísel a následným vydelením výsledného súčtu ich počtom.
Napríklad, priemer čísel 2, 3, 3, 5, 7 a 10 je 5, čo je výsledok vydelenia ich súčtu, ktorý je 30, ich číslom, ktoré je 6.
Medián- číslo, ktoré je uprostred množiny čísel: polovica čísel má hodnoty väčšie ako medián a polovica čísel má menšie hodnoty.
Napríklad, medián pre čísla 2, 3, 3, 5, 7 a 10 je 4.
Móda- číslo, ktoré sa v danej množine čísel vyskytuje najčastejšie.
Napríklad, režim pre čísla 2, 3, 3, 5, 7 a 10 je 3.

Móda- ide o hodnotu atribútu (variantu), ktorý sa v tejto populácii najčastejšie vyskytuje, t.j. má najvyššiu frekvenciu.

Móda má veľké praktické uplatnenie a v niektorých prípadoch len móda môže charakterizovať spoločenské javy.

Medián je variant, ktorý je v strede objednaného variačného radu.

Zvážte výpočet módu a mediánu v diskrétnom variačnom rade :

Určte režim a medián.

Fashion Mo = 4 roky, keďže táto hodnota zodpovedá najvyššej frekvencii f = 5.

Tie. Väčšina pracovníkov má 4 roky praxe.

Medián bude ôsmou možnosťou.

ja = 4 roky.

Tie. polovica pracovníkov má menej ako štyri roky praxe, polovica viac.

Ak sa súčet akumulovaných frekvencií voči jednej možnosti rovná polovici súčtu frekvencií, potom je medián definovaný ako aritmetický priemer tejto možnosti a nasledujúcej možnosti.

Výpočet módu a mediánu v sérii intervalových variácií

Režim v sérii variácií intervalov sa vypočíta podľa vzorca

kde X М0- počiatočná hranica modálneho intervalu,

hm 0 je hodnota modálneho intervalu,

fm 0 , fm 0-1 , fm 0+1 - frekvencia modálneho intervalu pred modálnym a nasledujúcim modálnym intervalom.

Modálny Interval s najvyššou frekvenciou je tzv.

Príklad 1

Skupiny podľa skúseností	Počet robotníkov, ľudí	Akumulované frekvencie

Určite režim a medián.

Modálny interval, pretože zodpovedá najvyššej frekvencii f = 35. Potom:

Hm 0 =6, fm 0 =35

hm 0 =2, fm 0-1 =20

fm 0+1 =11

Záver: Najväčší počet pracovníkov má prax cca 6,7 roka.

Pre intervalový rad sa Me vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca:

kde Hm e- dolná hranica mediálneho intervalu,

hm e- veľkosť mediálneho intervalu,

- polovičný súčet frekvencií,

fm e je frekvencia stredného intervalu,

Sm e-1 je súčet akumulovaných frekvencií intervalu predchádzajúceho mediánu.

Mediánový interval je taký interval, ktorému zodpovedá kumulatívna frekvencia, ktorá sa rovná alebo je väčšia ako polovica súčtu frekvencií.

Definujme medián pre náš príklad.

od 82>50, potom stredný interval .

Hm e =6, fm e =35,

hm e =2, Sm e-1 =47,

Záver: Polovica pracovníkov má prax menej ako 6,16 rokov a polovica viac ako 6,16 rokov.

Poznámka. V tejto lekcii sme si stanovili problémy v geometrii o strednej časti trojuholníka. Ak potrebujete vyriešiť problém v geometrii, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. Takmer určite bude kurz doplnený.

Úloha. Nájdite dĺžku mediánu trojuholníka z hľadiska jeho strán

Strany trojuholníka sú 8, 9 a 13 centimetrov. Stred je nakreslený na najdlhšiu stranu trojuholníka. Určte strednú hodnotu trojuholníka na základe rozmerov jeho strán.

Riešenie.

Problém má dva spôsoby riešenia. Prvá, ktorá sa nepáči stredoškolským učiteľom, no je najuniverzálnejšia.

Metóda 1.

Aplikujme Stewartovu vetu, podľa ktorej sa druhá mocnina mediánu rovná jednej štvrtine súčtu dvojnásobku druhých mocnín strán, od ktorej sa odčíta druhá mocnina strany, ku ktorej je medián nakreslený.

Mc2 = (2a2 + 2b2 - c2)/4

Respektíve

M c 2 \u003d (2 * 8 2 + 2 * 9 2 - 13 2) / 4
mc2 = 30,25
mc = 5,5 cm

Metóda 2.

Druhým riešením, ktoré učitelia v škole milujú, je dodatočná konštrukcia trojuholníka k rovnobežníku a riešenie cez vetu o uhlopriečke rovnobežníka.

Strany trojuholníka a stred predĺžime tak, že ich dotvoríme na rovnobežník. V tomto prípade sa stred BO trojuholníka ABC bude rovnať polovici uhlopriečky výsledného rovnobežníka a dve strany trojuholníka AB, BC sa budú rovnať jeho stranám. Tretia strana trojuholníka AC, ku ktorej bol nakreslený stred, je druhou uhlopriečkou výsledného rovnobežníka.

Podľa vety sa súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho strán.

2(a2+b2)=d12+d22

Označme uhlopriečku rovnobežníka, ktorá je tvorená pokračovaním mediánu pôvodného trojuholníka ako x, dostaneme:

2(82 + 92) = 132 + x 2
290 = 169 + x2
x2 = 290 – 169
x2 = 121
x = 11

Pretože požadovaný medián sa rovná polovici uhlopriečky rovnobežníka, potom hodnota mediánu trojuholníka bude 11/2 = 5,5 cm

Odpoveď: 5,5 cm