Mfumo wa kutafuta urefu katika piramidi ya kawaida ya pembetatu. Piramidi

Ufafanuzi. Ukingo wa upande- hii ni pembetatu ambayo pembe moja iko juu ya piramidi, na upande wa pili unafanana na upande wa msingi (polygon).

Ufafanuzi. Mbavu za upande- hizi ni pande za kawaida za nyuso za upande. Piramidi ina kingo nyingi kama pembe za poligoni.

Ufafanuzi. Urefu wa piramidi- hii ni perpendicular iliyopungua kutoka juu hadi msingi wa piramidi.

Ufafanuzi. Apothem- hii ni perpendicular kwa uso wa upande wa piramidi, iliyopunguzwa kutoka juu ya piramidi hadi upande wa msingi.

Ufafanuzi. Sehemu ya diagonal- hii ni sehemu ya piramidi na ndege inayopita juu ya piramidi na diagonal ya msingi.

Ufafanuzi. Piramidi sahihi ni piramidi ambayo msingi ni poligoni ya kawaida, na urefu unashuka hadi katikati ya msingi.

Kiasi na eneo la uso wa piramidi

Mfumo. Kiasi cha piramidi kupitia eneo la msingi na urefu:

Tabia za piramidi

Ikiwa kingo zote za upande ni sawa, basi mduara unaweza kutekwa karibu na msingi wa piramidi, na katikati ya msingi sanjari na katikati ya duara. Pia, perpendicular imeshuka kutoka juu inapita katikati ya msingi (mduara).

Ikiwa kingo zote za upande ni sawa, basi zimewekwa kwenye ndege ya msingi kwa pembe sawa.

Kingo za kando ni sawa wakati zinaunda pembe sawa na ndege ya msingi au ikiwa mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi.

Ikiwa nyuso za upande zinakabiliwa na ndege ya msingi kwa pembe sawa, basi mduara unaweza kuandikwa kwenye msingi wa piramidi, na juu ya piramidi inakadiriwa katikati yake.

Ikiwa nyuso za upande zinakabiliwa na ndege ya msingi kwa pembe sawa, basi apothems ya nyuso za upande ni sawa.

Mali ya piramidi ya kawaida

1. Juu ya piramidi ni equidistant kutoka pembe zote za msingi.

2. Kingo zote za upande ni sawa.

3. Mbavu zote za upande zimeelekezwa kwa pembe sawa kwa msingi.

4. Ahemu za nyuso zote za upande ni sawa.

5. Maeneo ya nyuso zote za upande ni sawa.

6. Nyuso zote zina pembe za dihedral (gorofa).

7. Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi. Katikati ya nyanja iliyozunguka itakuwa sehemu ya makutano ya perpendiculars ambayo hupita katikati ya kando.

8. Unaweza kutoshea tufe kwenye piramidi. Katikati ya nyanja iliyoandikwa itakuwa hatua ya makutano ya vipande viwili vinavyotokana na pembe kati ya makali na msingi.

9. Ikiwa katikati ya tufe iliyoandikwa inapatana na katikati ya nyanja iliyozingirwa, basi jumla ya pembe za ndege kwenye vertex ni sawa na π au kinyume chake, pembe moja ni sawa na π/n, ambapo n ni nambari. ya pembe chini ya piramidi.

Uhusiano kati ya piramidi na nyanja

Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi wakati chini ya piramidi kuna polyhedron karibu na ambayo mduara unaweza kuelezewa (hali ya lazima na ya kutosha). Katikati ya tufe itakuwa sehemu ya makutano ya ndege zinazopita perpendicularly kupitia midpoints ya kingo za upande wa piramidi.

Daima inawezekana kuelezea tufe karibu na piramidi yoyote ya pembetatu au ya kawaida.

Tufe inaweza kuandikwa katika piramidi ikiwa ndege za bisector za pembe za ndani za dihedral za piramidi zinaingiliana kwa hatua moja (hali ya lazima na ya kutosha). Hatua hii itakuwa katikati ya nyanja.

Uunganisho wa piramidi na koni

Koni inasemekana kuandikwa kwenye piramidi ikiwa wima zao zinalingana na msingi wa koni umeandikwa kwenye msingi wa piramidi.

Koni inaweza kuandikwa kwenye piramidi ikiwa apothems ya piramidi ni sawa kwa kila mmoja.

Koni inasemekana kuzungushwa kuzunguka piramidi ikiwa vipeo vyake vinapatana na sehemu ya chini ya koni inazingirwa kuzunguka msingi wa piramidi.

Koni inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa kingo zote za nyuma za piramidi ni sawa kwa kila mmoja.

Uhusiano kati ya piramidi na silinda

Piramidi inaitwa iliyoandikwa kwenye silinda ikiwa juu ya piramidi iko kwenye msingi mmoja wa silinda, na msingi wa piramidi umeandikwa kwenye msingi mwingine wa silinda.

Silinda inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi.

Tetrahedron ina nyuso nne na vipeo vinne na kingo sita, ambapo kingo zozote mbili hazina vipeo vya kawaida lakini hazigusi.

Kila kipeo kina nyuso tatu na kingo zinazounda pembe ya pembe tatu.

Sehemu inayounganisha vertex ya tetrahedron na katikati ya uso kinyume inaitwa wastani wa tetrahedron(GM).

Bimedian inayoitwa sehemu inayounganisha ncha za kati za kingo tofauti ambazo hazigusi (KL).

Wawili wote na wapatanishi wa tetrahedron huingiliana kwa hatua moja (S). Katika kesi hii, bimedians imegawanywa kwa nusu, na wa kati wamegawanywa kwa uwiano wa 3: 1 kuanzia juu.

Ufafanuzi. Piramidi ya pembe ya papo hapo- piramidi ambayo apothem ni zaidi ya nusu ya urefu wa upande wa msingi.

Ufafanuzi. Piramidi ya kupindukia- piramidi ambayo apothem ni chini ya nusu ya urefu wa upande wa msingi.

Ufafanuzi. Tetrahedron ya kawaida- tetrahedron ambayo nyuso zote nne ni pembetatu za usawa. Ni mojawapo ya poligoni tano za kawaida. Katika tetrahedron ya kawaida, pembe zote za dihedral (kati ya nyuso) na pembe za trihedral (kwenye vertex) ni sawa.

Ufafanuzi. Tetrahedron ya mstatili inaitwa tetrahedron ambayo kuna pembe ya kulia kati ya kingo tatu kwenye kilele (kingo ni perpendicular). Nyuso tatu zinaunda pembe ya pembe tatu ya mstatili na nyuso ni pembetatu za kulia, na msingi ni pembetatu ya kiholela. Apothem ya uso wowote ni sawa na nusu ya upande wa msingi ambao apothem huanguka.

Ufafanuzi. Isohedral tetrahedron inaitwa tetrahedron ambayo nyuso za upande ni sawa na kila mmoja, na msingi ni pembetatu ya kawaida. Tetrahedron kama hiyo ina nyuso ambazo ni pembetatu za isosceles.

Ufafanuzi. Tetrahedron ya Orthocentric inaitwa tetrahedron ambayo urefu wote (perpendiculars) ambao hupunguzwa kutoka juu hadi uso wa kinyume huingiliana kwa hatua moja.

Ufafanuzi. Piramidi ya nyota inayoitwa polihedron ambayo msingi wake ni nyota.

Hapa unaweza kupata taarifa za msingi kuhusu piramidi na kanuni na dhana zinazohusiana. Wote husomwa na mkufunzi wa hisabati katika maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja.

Fikiria ndege, poligoni , amelala ndani yake na uhakika S, sio uongo ndani yake. Wacha tuunganishe S kwa wima zote za poligoni. Polyhedron inayotokana inaitwa piramidi. Sehemu hizo huitwa mbavu za upande. Poligoni inaitwa msingi, na uhakika S ni sehemu ya juu ya piramidi. Kulingana na nambari n, piramidi inaitwa triangular (n = 3), quadrangular (n = 4), pentagonal (n = 5) na kadhalika. Jina mbadala la piramidi ya pembetatu ni tetrahedron. Urefu wa piramidi ni perpendicular inayoshuka kutoka juu hadi ndege ya msingi.

Piramidi inaitwa kawaida ikiwa poligoni ya kawaida, na msingi wa urefu wa piramidi (msingi wa perpendicular) ni katikati yake.

Maoni ya mwalimu:
Usichanganye dhana za "piramidi ya kawaida" na "tetrahedron ya kawaida". Katika piramidi ya kawaida, kingo za upande sio lazima sawa na kingo za msingi, lakini katika tetrahedron ya kawaida, kingo zote 6 ni sawa. Huu ndio ufafanuzi wake. Ni rahisi kuthibitisha kuwa usawa unamaanisha kuwa P katikati ya poligoni inalingana na urefu wa msingi, hivyo tetrahedron ya kawaida ni piramidi ya kawaida.

apothem ni nini?
Maneno ya piramidi ni urefu wa uso wake wa upande. Ikiwa piramidi ni ya kawaida, basi apothems zake zote ni sawa. Kinyume chake si kweli.

Mkufunzi wa hisabati kuhusu istilahi yake: 80% ya kazi na piramidi hujengwa kupitia aina mbili za pembetatu:
1) Yenye apothem SK na urefu SP
2) Yenye lateral edge SA na makadirio yake PA

Ili kurahisisha marejeleo ya pembetatu hizi, ni rahisi zaidi kwa mwalimu wa hesabu kumwita wa kwanza wao apothemal, na pili gharama kubwa. Kwa bahati mbaya, hautapata istilahi hii katika kitabu chochote cha kiada, na mwalimu anapaswa kuitambulisha kwa upande mmoja.

Mfumo wa kiasi cha piramidi:
1) , ni wapi eneo la msingi wa piramidi, na ni urefu wa piramidi
2) , ambapo ni radius ya nyanja iliyoandikwa, na ni eneo la jumla ya uso wa piramidi.
3) , ambapo MN ni umbali kati ya kingo zozote mbili zinazovuka, na ni eneo la msambamba linaloundwa na ncha za kati za kingo nne zilizosalia.

Mali ya msingi wa urefu wa piramidi:

Pointi P (tazama takwimu) inaambatana na katikati ya duara iliyoandikwa kwenye msingi wa piramidi ikiwa moja ya masharti yafuatayo yamefikiwa:
1) Apothems zote ni sawa
2) Nyuso zote za upande zimeelekezwa kwa msingi sawa
3) Apothems zote zimeelekezwa kwa urefu wa piramidi
4) Urefu wa piramidi umeelekezwa sawa kwa nyuso zote za upande

Maoni ya mwalimu wa hisabati: Tafadhali kumbuka kuwa pointi zote zimeunganishwa na mali moja ya kawaida: kwa njia moja au nyingine, nyuso za upande zinahusika kila mahali (apothems ni mambo yao). Kwa hivyo, mkufunzi anaweza kutoa uundaji usio sahihi zaidi, lakini unaofaa zaidi kwa kujifunza: hatua P inalingana na katikati ya duara iliyoandikwa, msingi wa piramidi, ikiwa kuna habari sawa juu ya nyuso zake za nyuma. Ili kuthibitisha hilo, inatosha kuonyesha kwamba pembetatu zote za apothem ni sawa.

Pointi P inalingana na katikati ya duara iliyozungukwa karibu na msingi wa piramidi ikiwa moja ya masharti matatu ni kweli:
1) Kingo zote za upande ni sawa
2) Mbavu zote za upande zimeelekezwa kwa msingi sawa
3) Mbavu zote za upande zimeelekezwa kwa urefu sawa

Ufafanuzi

Piramidi ni polihedroni inayoundwa na poligoni \(A_1A_2...A_n\) na \(n\) pembetatu yenye kipeo cha kawaida \(P\) (isiyolala kwenye ndege ya poligoni) na pande zinazoelekeana nayo. pande za poligoni.
Wajibu: \(PA_1A_2...A_n\) .
Mfano: piramidi ya pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Pembetatu \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), nk. zinaitwa nyuso za upande piramidi, sehemu \(PA_1, PA_2\), n.k. - mbavu za pembeni, poligoni \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - msingi, uhakika \(P\) - juu.

Urefu piramidi ni perpendicular iliyoshuka kutoka juu ya piramidi hadi ndege ya msingi.

Piramidi yenye pembetatu kwenye msingi wake inaitwa tetrahedron.

Piramidi inaitwa sahihi, ikiwa msingi wake ni poligoni ya kawaida na moja ya masharti yafuatayo yamefikiwa:

\(a)\) kingo za kando za piramidi ni sawa;

\((b)\) urefu wa piramidi hupitia katikati ya duara iliyozungushwa karibu na msingi;

\((c)\) mbavu za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe sawa.

\((d)\) nyuso za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe sawa.

Tetrahedron ya kawaida ni piramidi ya pembetatu, ambayo nyuso zake zote ni pembetatu sawa.

Nadharia

Masharti \((a), (b), (c), (d)\) ni sawa.

Ushahidi

Wacha tupate urefu wa piramidi \(PH\) . Hebu \(\alpha\) iwe ndege ya msingi wa piramidi.

1) Hebu tuthibitishe kwamba kutoka \((a)\) inafuata \((b)\) . Hebu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Kwa sababu \(PH\perp \alpha\), kisha \(PH\) ni sawa na mstari wowote ulio kwenye ndege hii, ambayo inamaanisha kuwa pembetatu zina pembe ya kulia. Hii inamaanisha kuwa pembetatu hizi ni sawa kwa mguu wa kawaida \(PH\) na hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Hii ina maana \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Hii ina maana kwamba pointi \(A_1, A_2, ..., A_n\) ziko katika umbali sawa kutoka kwa uhakika \(H\), kwa hivyo, ziko kwenye mduara sawa na radius \(A_1H\) . Mduara huu, kwa ufafanuzi, umezungushwa kuhusu poligoni \(A_1A_2...A_n\) .

2) Hebu tuthibitishe kwamba \((b)\) inamaanisha \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) mstatili na sawa kwa miguu miwili. Hii ina maana kwamba pembe zao pia ni sawa, kwa hiyo, \(\pembe PA_1H=\pembe PA_2H=...=\pembe PA_nH\).

3) Hebu tuthibitishe kwamba \((c)\) inamaanisha \((a)\) .

Sawa na hatua ya kwanza, pembetatu \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) mstatili wote kando ya mguu na pembe ya papo hapo. Hii ina maana kwamba hypotenuses zao pia ni sawa, yaani, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Hebu tuthibitishe kwamba \((b)\) inamaanisha \((d)\) .

Kwa sababu katika poligoni ya kawaida vituo vya miduara iliyozungushwa na iliyoandikwa hupatana (kwa ujumla, hatua hii inaitwa kitovu cha poligoni ya kawaida), kisha \(H\) ni kitovu cha duara iliyoandikwa. Wacha tuchore perpendiculars kutoka kwa uhakika \(H\) hadi kando ya msingi: \(HK_1, HK_2\), nk. Hizi ni radii za mduara ulioandikwa (kwa ufafanuzi). Kisha, kulingana na TTP (\(PH\) ni perpendicular kwa ndege, \(HK_1, HK_2\), nk. ni makadirio perpendicular kwa pande) kutega \(PK_1, PK_2\), nk. perpendicular kwa pande \(A_1A_2, A_2A_3\), nk. kwa mtiririko huo. Kwa hivyo, kwa ufafanuzi \(\pembe PK_1H, \pembe PK_2H\) sawa na pembe kati ya nyuso za upande na msingi. Kwa sababu pembetatu \(PK_1H, PK_2H, ...\) ni sawa (kama mstatili kwenye pande mbili), kisha pembe \(\pembe PK_1H, \pembe PK_2H, ...\) ni sawa.

5) Hebu tuthibitishe kwamba \((d)\) inamaanisha \((b)\) .

Sawa na nukta ya nne, pembetatu \(PK_1H, PK_2H, ...\) ni sawa (kama mstatili kando ya mguu na pembe ya papo hapo), ambayo inamaanisha kuwa sehemu \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ni sawa. Hii inamaanisha, kwa ufafanuzi, \(H\) ni kitovu cha duara kilichoandikwa kwenye msingi. Lakini kwa sababu Kwa poligoni za kawaida, vituo vya miduara iliyoandikwa na iliyozungushwa sanjari, basi \(H\) ni kitovu cha duara iliyozungushwa. Chtd.

Matokeo

Nyuso za upande wa piramidi ya kawaida ni pembetatu sawa za isosceles.

Ufafanuzi

Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka kwenye vertex yake inaitwa apothem.
Maneno ya nyuso zote za upande wa piramidi ya kawaida ni sawa na kila mmoja na pia ni wapatanishi na wagawanyaji.

Vidokezo Muhimu

1. Urefu wa piramidi ya kawaida ya triangular huanguka kwenye hatua ya makutano ya urefu (au bisectors, au medians) ya msingi (msingi ni pembetatu ya kawaida).

2. Urefu wa piramidi ya kawaida ya quadrangular huanguka kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (msingi ni mraba).

3. Urefu wa piramidi ya kawaida ya hexagonal huanguka kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (msingi ni hexagon ya kawaida).

4. Urefu wa piramidi ni perpendicular kwa mstari wowote wa moja kwa moja ulio chini.

Ufafanuzi

Piramidi inaitwa mstatili, ikiwa moja ya kingo zake za upande ni perpendicular kwa ndege ya msingi.

Vidokezo Muhimu

1. Katika piramidi ya mstatili, makali ya perpendicular kwa msingi ni urefu wa piramidi. Hiyo ni, \(SR\) ni urefu.

2. Kwa sababu \(SR\) ni perpendicular kwa mstari wowote kutoka msingi, basi \(\pembetatu SRM, \pembetatu SRP\)- pembetatu za kulia.

3. Pembetatu \(\pembetatu SRN, \pembetatu SRK\)- pia mstatili.
Hiyo ni, pembetatu yoyote inayoundwa na makali haya na diagonal inayojitokeza kutoka kwenye vertex ya makali haya yaliyo kwenye msingi itakuwa mstatili.

\[(\Kubwa(\maandishi(Kiasi na eneo la uso wa piramidi)))\]

Nadharia

Kiasi cha piramidi ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya eneo la msingi na urefu wa piramidi: \

Matokeo

Acha \(a\) iwe upande wa msingi, \(h\) iwe urefu wa piramidi.

1. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya triangular ni \(V_(\text(pembetatu ya kulia.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya quadrangular ni \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya hexagonal ni \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Kiasi cha tetrahedron ya kawaida ni \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Nadharia

Eneo la uso wa upande wa piramidi ya kawaida ni sawa na nusu ya bidhaa ya mzunguko wa msingi na apothem.

\[(\Kubwa(\text(Frustum)))\]

Ufafanuzi

Fikiria piramidi ya kiholela \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Hebu tuchore ndege sambamba na msingi wa piramidi kupitia hatua fulani iliyolala kwenye makali ya upande wa piramidi. Ndege hii itagawanya piramidi katika polihedra mbili, moja ambayo ni piramidi (\(PB_1B_2...B_n\)), na nyingine inaitwa. piramidi iliyopunguzwa(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramidi iliyokatwa ina besi mbili - poligoni \(A_1A_2...A_n\) na \(B_1B_2...B_n\) ambazo zinafanana.

Urefu wa piramidi iliyopunguzwa ni perpendicular inayotolewa kutoka kwa hatua fulani ya msingi wa juu hadi ndege ya msingi wa chini.

Vidokezo Muhimu

1. Nyuso zote za upande wa piramidi iliyopunguzwa ni trapezoid.

2. Sehemu inayounganisha vituo vya besi za piramidi ya kawaida iliyopunguzwa (yaani, piramidi iliyopatikana kwa sehemu ya msalaba wa piramidi ya kawaida) ni urefu.

Piramidi ya pembetatu ni piramidi ambayo ina pembetatu kwenye msingi wake. Urefu wa piramidi hii ni perpendicular ambayo hupunguzwa kutoka juu ya piramidi hadi msingi wake.

Kutafuta urefu wa piramidi

Jinsi ya kupata urefu wa piramidi? Rahisi sana! Ili kupata urefu wa piramidi yoyote ya pembetatu, unaweza kutumia formula ya kiasi: V = (1/3)Sh, ambapo S ni eneo la msingi, V ni kiasi cha piramidi, h ni urefu wake. Kutoka kwa formula hii, pata fomula ya urefu: kupata urefu wa piramidi ya pembetatu, unahitaji kuzidisha kiasi cha piramidi na 3, na kisha ugawanye thamani inayosababishwa na eneo la msingi, itakuwa: h. = (3V)/S. Kwa kuwa msingi wa piramidi ya pembetatu ni pembetatu, unaweza kutumia formula kuhesabu eneo la pembetatu. Ikiwa tunajua: eneo la pembetatu S na upande wake z, basi kulingana na formula ya eneo S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, ambapo h ni urefu wa piramidi, γ ni makali ya pembetatu; pembe kati ya pande za pembetatu na pande mbili zenyewe, kisha kwa kutumia formula ifuatayo: S = (1/2) γφsinQ, ambapo γ, φ ni pande za pembetatu, tunapata eneo la pembetatu. Thamani ya sine ya pembe Q inahitaji kuangaliwa katika jedwali la sines, ambalo linapatikana kwenye mtandao. Ifuatayo, tunabadilisha thamani ya eneo kwenye fomula ya urefu: h = (2S)/γ. Ikiwa kazi inahitaji kuhesabu urefu wa piramidi ya triangular, basi kiasi cha piramidi tayari kinajulikana.

Piramidi ya kawaida ya pembetatu

Pata urefu wa piramidi ya kawaida ya triangular, yaani, piramidi ambayo nyuso zote ni pembetatu za usawa, kujua ukubwa wa makali γ. Katika kesi hii, kando ya piramidi ni pande za pembetatu za usawa. Urefu wa piramidi ya kawaida ya triangular itakuwa: h = γ√ (2/3), ambapo γ ni makali ya pembetatu ya equilateral, h ni urefu wa piramidi. Ikiwa eneo la msingi (S) haijulikani, na tu urefu wa makali (γ) na kiasi (V) cha polyhedron hupewa, basi kutofautisha muhimu katika formula kutoka kwa hatua ya awali lazima kubadilishwa. kwa usawa wake, ambayo inaonyeshwa kwa suala la urefu wa makali. Eneo la pembetatu (kawaida) ni sawa na 1/4 ya bidhaa ya urefu wa upande wa pembetatu hii iliyo na mzizi wa mraba wa 3. Tunabadilisha fomula hii badala ya eneo la msingi katika uliopita. formula, na tunapata formula ifuatayo: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Kiasi cha tetrahedron kinaweza kuonyeshwa kwa urefu wa makali yake, kisha kutoka kwa formula ya kuhesabu urefu wa takwimu, unaweza kuondoa vigezo vyote na kuacha tu upande wa uso wa triangular wa takwimu. Kiasi cha piramidi kama hiyo kinaweza kuhesabiwa kwa kugawanya na 12 kutoka kwa bidhaa urefu wa mchemraba wa uso wake na mzizi wa mraba wa 2.

Tukibadilisha usemi huu katika fomula iliyotangulia, tunapata fomula ifuatayo ya kukokotoa: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Pia, prism ya kawaida ya triangular inaweza kuandikwa katika nyanja, na kujua tu radius ya nyanja (R) mtu anaweza kupata urefu wa tetrahedron yenyewe. Urefu wa makali ya tetrahedron ni: γ = 4R/√6. Tunabadilisha kutofautiana γ na usemi huu katika fomula iliyopita na kupata fomula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Njia sawa inaweza kupatikana kwa kujua radius (R) ya duara iliyoandikwa katika tetrahedron. Katika kesi hii, urefu wa makali ya pembetatu itakuwa sawa na uwiano wa 12 kati ya mizizi ya mraba ya 6 na radius. Tunabadilisha usemi huu katika fomula iliyopita na tunayo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Jinsi ya kupata urefu wa piramidi ya kawaida ya quadrangular

Ili kujibu swali la jinsi ya kupata urefu wa urefu wa piramidi, unahitaji kujua nini piramidi ya kawaida ni. Piramidi ya quadrangular ni piramidi ambayo ina quadrangle kwenye msingi wake. Ikiwa katika hali ya shida tunayo: kiasi (V) na eneo la msingi (S) wa piramidi, basi formula ya kuhesabu urefu wa polyhedron (h) itakuwa kama ifuatavyo - kugawanya kiasi kilichozidishwa. kwa 3 kwa eneo S: h = (3V)/S. Kutokana na msingi wa mraba wa piramidi yenye kiasi kilichopewa (V) na urefu wa upande γ, badala ya eneo (S) katika formula ya awali na mraba wa urefu wa upande: S = γ 2; H = 3V/γ2. Urefu wa piramidi ya kawaida h = SO hupita hasa katikati ya mduara ambao umezungukwa karibu na msingi. Kwa kuwa msingi wa piramidi hii ni mraba, hatua O ni sehemu ya makutano ya diagonals AD na BC. Tuna: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Ifuatayo, katika pembetatu ya kulia ya SOC tunapata (kwa kutumia theorem ya Pythagorean): SO = √(SC 2 -OC 2). Sasa unajua jinsi ya kupata urefu wa piramidi ya kawaida.

Nadharia: tunaamini kuwa ukamilifu wa umbo la piramidi unatokana na sheria za hisabati zilizomo katika umbo lake.

Lengo: Baada ya kusoma piramidi kama mwili wa kijiometri, eleza ukamilifu wa fomu yake.

Kazi:

1. Toa ufafanuzi wa hisabati wa piramidi.

2. Jifunze piramidi kama mwili wa kijiometri.

3. Elewa ni maarifa gani ya hisabati ambayo Wamisri waliingiza kwenye piramidi zao.

Maswali ya kibinafsi:

1. Piramidi kama mwili wa kijiometri ni nini?

2. Je, umbo la pekee la piramidi linaweza kuelezewaje kutoka kwa mtazamo wa hisabati?

3. Ni nini kinachoelezea maajabu ya kijiometri ya piramidi?

4. Ni nini kinachoelezea ukamilifu wa sura ya piramidi?

Ufafanuzi wa piramidi.

PYRAMID (kutoka pyramis ya Kigiriki, gen. pyramidos) - polyhedron ambayo msingi wake ni polygon, na nyuso zilizobaki ni pembetatu zilizo na vertex ya kawaida (kuchora). Kulingana na idadi ya pembe za msingi, piramidi zimeainishwa kama triangular, quadrangular, nk.

PYRAMID - muundo wa monumental ambao una sura ya kijiometri ya piramidi (wakati mwingine pia kupitiwa au umbo la mnara). Piramidi ni jina lililopewa makaburi makubwa ya mafarao wa zamani wa Misri wa milenia ya 3-2 KK. e., pamoja na misingi ya kale ya hekalu la Marekani (huko Mexico, Guatemala, Honduras, Peru), inayohusishwa na ibada za cosmological.

Inawezekana kwamba neno la Kigiriki "piramidi" linatokana na maneno ya Misri per-em-us, yaani, kutoka kwa neno linalomaanisha urefu wa piramidi. Mtaalamu bora wa Misri wa Kirusi V. Struve aliamini kwamba "puram...j" ya Kigiriki inatoka kwa Misri ya kale "p" -mr.

Kutoka kwa historia. Baada ya kusoma nyenzo katika kitabu cha maandishi "Jiometri" na waandishi wa Atanasyan. Butuzov na wengine, tulijifunza kwamba: Polyhedron inayojumuisha n-gon A1A2A3 ... An na n pembetatu PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 inaitwa piramidi. Poligoni A1A2A3...An ndio msingi wa piramidi, na pembetatu PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 ni nyuso za upande wa piramidi, P ni sehemu ya juu ya piramidi, sehemu PA1, PA2,..., PAn ni pembe za pembeni.

Walakini, ufafanuzi huu wa piramidi haukuwepo kila wakati. Kwa mfano, mwanahisabati wa kale wa Uigiriki, mwandishi wa mikataba ya kinadharia juu ya hisabati ambayo imetujia, Euclid, anafafanua piramidi kama kielelezo dhabiti kilichopunguzwa na ndege zinazoungana kutoka kwa ndege moja hadi hatua moja.

Lakini ufafanuzi huu ulikosolewa tayari katika nyakati za kale. Kwa hivyo Heron alipendekeza ufafanuzi ufuatao wa piramidi: "Ni mchoro unaofungwa na pembetatu zinazoungana katika sehemu moja na msingi wake ni poligoni."

Kikundi chetu, baada ya kulinganisha ufafanuzi huu, kilifikia hitimisho kwamba hawana uundaji wazi wa dhana ya "msingi".

Tulichunguza fasili hizi na kupata ufafanuzi wa Adrien Marie Legendre, ambaye mwaka wa 1794 katika kazi yake "Elements of Geometry" anafafanua piramidi kama ifuatavyo: "Piramidi ni umbo dhabiti linaloundwa na pembetatu zinazoungana kwa hatua moja na kuishia pande tofauti za jiometri. msingi tambarare."

Inaonekana kwetu kwamba ufafanuzi wa mwisho unatoa wazo wazi la piramidi, kwani inazungumza juu ya ukweli kwamba msingi ni gorofa. Ufafanuzi mwingine wa piramidi ulionekana katika kitabu cha maandishi cha karne ya 19: “piramidi ni pembe thabiti inayokatizwa na ndege.”

Piramidi kama mwili wa kijiometri.

Hiyo. Piramidi ni polyhedron, moja ya nyuso (msingi) ni poligoni, nyuso zilizobaki (pande) ni pembetatu ambazo zina vertex moja ya kawaida (vertex ya piramidi).

Perpendicular inayotolewa kutoka juu ya piramidi hadi ndege ya msingi inaitwa urefuh piramidi.

Mbali na piramidi ya kiholela, kuna piramidi sahihi kwa msingi ambao ni poligoni ya kawaida na piramidi iliyopunguzwa.

Katika takwimu kuna piramidi PABCD, ABCD ni msingi wake, PO ni urefu wake.

Jumla ya eneo la uso piramidi ni jumla ya maeneo ya nyuso zake zote.

Mjanja = Sside + Smain, Wapi Upande- jumla ya maeneo ya nyuso za upande.

Kiasi cha piramidi hupatikana kwa formula:

V=1/3Sbas. h, ambapo Sbas. - eneo la msingi, h- urefu.

Eneo la uso wa nyuma wa piramidi ya kawaida huonyeshwa kama ifuatavyo: Sside. =1/2P h, ambapo P ni mzunguko wa msingi, h- urefu wa uso wa upande (apothem ya piramidi ya kawaida). Ikiwa piramidi imekatizwa na ndege A'B'C'D', sambamba na msingi, basi:

1) mbavu za upande na urefu zimegawanywa na ndege hii katika sehemu za uwiano;

2) katika sehemu ya msalaba poligoni A'B'C'D' inapatikana, sawa na msingi;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Misingi ya piramidi iliyopunguzwa– poligoni sawa ABCD na A`B`C`D`, nyuso za upande ni trapezoidi.

Urefu piramidi iliyopunguzwa - umbali kati ya besi.

Kiasi kilichopunguzwa piramidi hupatikana kwa formula:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Eneo la kando la piramidi iliyopunguzwa ya kawaida. imeonyeshwa kama ifuatavyo: Sside = ½(P+P') h, ambapo P na P' ni mzunguko wa besi, h- urefu wa uso wa upande (apothem ya pirami ya kawaida iliyopunguzwa

Sehemu za piramidi.

Sehemu za piramidi na ndege zinazopita kwenye kilele chake ni pembetatu.

Sehemu inayopita kwenye kingo mbili zisizo karibu za piramidi inaitwa sehemu ya diagonal.

Ikiwa sehemu inapita kwa uhakika kwenye makali ya upande na upande wa msingi, basi ufuatiliaji wake kwa ndege ya msingi wa piramidi itakuwa upande huu.

Sehemu inayopita kwenye sehemu iliyo juu ya uso wa piramidi na sehemu fulani ya kufuatilia kwenye ndege ya msingi, basi ujenzi unapaswa kufanywa kama ifuatavyo.

· kupata hatua ya makutano ya ndege ya uso uliopewa na ufuatiliaji wa sehemu ya piramidi na uifanye;

· tengeneza mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye sehemu fulani na sehemu ya makutano inayotokana;

rudia hatua hizi kwa nyuso zinazofuata.

, ambayo inalingana na uwiano wa miguu ya pembetatu ya kulia 4:3. Uwiano huu wa miguu unafanana na pembetatu inayojulikana ya kulia na pande 3: 4: 5, ambayo inaitwa pembetatu "kamilifu", "takatifu" au "Misri". Kulingana na wanahistoria, pembetatu ya "Misri" ilipewa maana ya kichawi. Plutarch aliandika kwamba Wamisri walilinganisha asili ya ulimwengu na pembetatu "takatifu"; kwa mfano walifananisha mguu wima na mume, msingi kwa mke, na hypotenuse na ule ambao umezaliwa kutoka kwa wote wawili.

Kwa pembetatu 3:4:5, usawa ni kweli: 32 + 42 = 52, ambayo inaelezea theorem ya Pythagorean. Je! haikuwa nadharia hii ambayo makuhani wa Misri walitaka kuiendeleza kwa kusimamisha piramidi kulingana na pembetatu 3:4:5? Ni vigumu kupata mfano wenye mafanikio zaidi ili kufafanua nadharia ya Pythagorean, ambayo ilijulikana kwa Wamisri muda mrefu kabla ya ugunduzi wake na Pythagoras.

Kwa hivyo, waundaji mahiri wa piramidi za Wamisri walijaribu kushangaza wazao wa mbali na kina cha maarifa yao, na walifanikiwa kwa kuchagua pembetatu ya kulia ya "dhahabu" kama "wazo kuu la kijiometri" kwa piramidi ya Cheops, na "takatifu" au "Misri" kwa piramidi ya Khafre.

Mara nyingi sana katika utafiti wao, wanasayansi hutumia mali ya piramidi na uwiano wa uwiano wa dhahabu.

Kamusi ya ensaiklopidia ya hisabati inatoa ufafanuzi ufuatao wa Sehemu ya Dhahabu - hii ni mgawanyiko wa usawa, mgawanyiko katika uwiano uliokithiri na wa maana - kugawanya sehemu ya AB katika sehemu mbili kwa njia ambayo sehemu yake kubwa ya AC ni uwiano wa wastani kati ya sehemu nzima. AB na sehemu yake ndogo NE.

Uamuzi wa aljebra wa sehemu ya Dhahabu ya sehemu AB = a inapunguza kutatua equation a: x = x: (a - x), ambayo x ni takriban sawa na 0.62a. Uwiano x unaweza kuonyeshwa kama sehemu 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0.618, ambapo 2, 3, 5, 8, 13, 21 ni nambari za Fibonacci.

Ujenzi wa kijiometri wa Sehemu ya Dhahabu ya sehemu ya AB inafanywa kama ifuatavyo: kwa uhakika B, perpendicular kwa AB inarejeshwa, sehemu ya BE = 1/2 AB imewekwa juu yake, A na E zimeunganishwa, DE = BE imeachishwa kazi na, hatimaye, AC = AD, basi usawa wa AB umeridhika: CB = 2:3.

Uwiano wa dhahabu mara nyingi hutumiwa katika kazi za sanaa, usanifu, na hupatikana katika asili. Mifano ya wazi ni sanamu ya Apollo Belvedere na Parthenon. Wakati wa ujenzi wa Parthenon, uwiano wa urefu wa jengo hadi urefu wake ulitumiwa na uwiano huu ni 0.618. Vitu vinavyotuzunguka pia hutoa mifano ya Uwiano wa Dhahabu, kwa mfano, vifungo vya vitabu vingi vina uwiano wa upana hadi urefu karibu na 0.618. Kuzingatia mpangilio wa majani kwenye shina la kawaida la mimea, unaweza kuona kwamba kati ya kila jozi mbili za majani ya tatu iko kwenye Uwiano wa Dhahabu (slides). Kila mmoja wetu "hubeba" Uwiano wa Dhahabu na sisi "mikononi mwetu" - hii ni uwiano wa phalanges ya vidole.

Shukrani kwa ugunduzi wa mafunjo kadhaa ya hisabati, wataalamu wa Misri wamejifunza kitu kuhusu mifumo ya kale ya Misri ya kuhesabu na kupima. Kazi zilizomo ndani yao zilitatuliwa na waandishi. Moja ya maarufu zaidi ni Rhind Mathematical Papyrus. Kwa kuchunguza matatizo hayo, wataalamu wa Misri walijifunza jinsi Wamisri wa kale walivyoshughulikia viwango mbalimbali vilivyotokea wakati wa kuhesabu vipimo vya uzito, urefu, na kiasi, ambavyo mara nyingi vilihusisha sehemu, na jinsi walivyoshughulikia pembe.

Wamisri wa kale walitumia njia ya kuhesabu pembe kulingana na uwiano wa urefu hadi msingi wa pembetatu ya kulia. Walionyesha pembe yoyote katika lugha ya upinde rangi. Kiwango cha mteremko kilionyeshwa kama uwiano wa nambari inayoitwa "seced". Katika kitabu cha Mathematics in the Age of the Pharaohs, Richard Pillins aeleza hivi: “Seke ya piramidi ya kawaida ni mwelekeo wa uso wowote kati ya zile sura tatu zenye pembe tatu kwenye ndege ya msingi, unaopimwa kwa nambari ya nth ya vitengo mlalo kwa kila sehemu ya wima ya kupanda. . Kwa hivyo, kitengo hiki cha kipimo ni sawa na cotangent yetu ya kisasa ya angle ya mwelekeo. Kwa hiyo, neno la Misri "seced" linahusiana na neno letu la kisasa "gradient."

Ufunguo wa nambari kwa piramidi iko katika uwiano wa urefu wao hadi msingi. Kwa maneno ya vitendo, hii ndiyo njia rahisi zaidi ya kufanya templates muhimu ili kuangalia daima angle sahihi ya mwelekeo katika ujenzi wa piramidi.

Wataalamu wa Misri wangefurahi kutushawishi kwamba kila farao alitamani kuelezea ubinafsi wake, kwa hivyo tofauti za pembe za mwelekeo kwa kila piramidi. Lakini kunaweza kuwa na sababu nyingine. Labda wote walitaka kujumuisha vyama tofauti vya ishara, vilivyofichwa kwa idadi tofauti. Hata hivyo, pembe ya piramidi ya Khafre (kulingana na pembetatu (3:4:5) inaonekana katika matatizo matatu yaliyotolewa na piramidi katika Papyrus ya Rhind Hisabati). Kwa hiyo mtazamo huu ulijulikana sana kwa Wamisri wa kale.

Ili kuwatendea haki wataalamu wa Misri wanaodai kuwa Wamisri wa kale hawakufahamu pembetatu ya 3:4:5, urefu wa hypotenuse 5 haukutajwa kamwe. Lakini matatizo ya hisabati yanayohusisha piramidi daima hutatuliwa kwa misingi ya pembe ya seceda - uwiano wa urefu hadi msingi. Kwa kuwa urefu wa hypotenuse haukutajwa kamwe, ilihitimishwa kuwa Wamisri hawakuwahi kuhesabu urefu wa upande wa tatu.

Uwiano wa urefu hadi msingi uliotumiwa katika piramidi za Giza bila shaka ulijulikana kwa Wamisri wa kale. Inawezekana kwamba mahusiano haya kwa kila piramidi yalichaguliwa kiholela. Walakini, hii inapingana na umuhimu unaohusishwa na ishara ya nambari katika aina zote za sanaa nzuri ya Wamisri. Kuna uwezekano mkubwa kwamba mahusiano hayo yalikuwa muhimu kwa sababu yalionyesha mawazo maalum ya kidini. Kwa maneno mengine, tata nzima ya Giza iliwekwa chini ya muundo thabiti uliobuniwa kuakisi mada fulani ya kimungu. Hii inaweza kuelezea kwa nini wabunifu walichagua pembe tofauti kwa piramidi tatu.

Katika Fumbo la Orion, Bauval na Gilbert walitoa uthibitisho wenye kusadikisha unaounganisha piramidi za Giza na kundinyota Orion, hasa na nyota za Ukanda wa Orion. kila piramidi kama uwakilishi wa moja ya miungu mitatu kuu - Osiris, Isis na Horus.

MIUJIZA YA "GEOMETRICAL".

Miongoni mwa piramidi kubwa za Misri, inachukua nafasi maalum Piramidi Kuu ya Farao Cheops (Khufu). Kabla ya kuanza kuchambua sura na saizi ya piramidi ya Cheops, tunapaswa kukumbuka ni mfumo gani wa hatua ambao Wamisri walitumia. Wamisri walikuwa na vitengo vitatu vya urefu: "dhiraa" (466 mm), ambayo ilikuwa sawa na "mitende" saba (66.5 mm), ambayo, kwa upande wake, ilikuwa sawa na "vidole" vinne (16.6 mm).

Hebu tuchambue vipimo vya piramidi ya Cheops (Mchoro 2), kufuatia hoja zilizotolewa katika kitabu cha ajabu cha mwanasayansi wa Kiukreni Nikolai Vasyutinsky "The Golden Proportion" (1990).

Watafiti wengi wanakubali kwamba urefu wa upande wa msingi wa piramidi, kwa mfano, GF sawa na L= 233.16 m. Thamani hii inalingana karibu kabisa na "viwiko" 500. Kuzingatia kamili na "viwiko" 500 kutatokea ikiwa urefu wa "elbow" unachukuliwa kuwa sawa na 0.4663 m.

Urefu wa piramidi ( H) inakadiriwa na watafiti mbalimbali kutoka 146.6 hadi 148.2 m. Na kulingana na urefu uliokubaliwa wa piramidi, uhusiano wote wa vipengele vyake vya kijiometri hubadilika. Je! ni sababu gani ya tofauti katika makadirio ya urefu wa piramidi? Ukweli ni kwamba, kwa kusema madhubuti, piramidi ya Cheops imepunguzwa. Jukwaa lake la juu leo ​​hupima takriban 10 ´ 10 m, lakini karne iliyopita lilikuwa mita 6 ´ 6. Ni wazi kwamba sehemu ya juu ya piramidi ilivunjwa, na hailingani na ile ya awali.

Wakati wa kutathmini urefu wa piramidi, ni muhimu kuzingatia sababu ya kimwili kama "rasimu" ya muundo. Kwa muda mrefu, chini ya ushawishi wa shinikizo kubwa (kufikia tani 500 kwa 1 m2 ya uso wa chini), urefu wa piramidi ulipungua ikilinganishwa na urefu wake wa awali.

Urefu wa asili wa piramidi ulikuwa nini? Urefu huu unaweza kuundwa upya kwa kutafuta "wazo la kijiometri" la msingi la piramidi.

Kielelezo cha 2.

Mnamo 1837, Kanali wa Kiingereza G. Wise alipima angle ya mwelekeo wa nyuso za piramidi: ikawa sawa. a= 51°51". Thamani hii bado inatambuliwa na watafiti wengi leo. Thamani iliyobainishwa inalingana na tanjenti (tg. a), sawa na 1.27306. Thamani hii inalingana na uwiano wa urefu wa piramidi AC hadi nusu ya msingi wake C.B.(Mchoro 2), yaani A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Na hapa watafiti walikuwa katika mshangao mkubwa!.png" width="25" height="24">= 1.272. Kulinganisha thamani hii na tg thamani a= 1.27306, tunaona kwamba maadili haya ni karibu sana kwa kila mmoja. Ikiwa tunachukua pembe a= 51 ° 50", yaani, kupunguza kwa dakika moja tu ya arc, basi thamani a itakuwa sawa na 1.272, ambayo ni, itaambatana na thamani. Ikumbukwe kwamba mnamo 1840 G. Wise alirudia vipimo vyake na kufafanua kuwa thamani ya pembe. a=51°50".

Vipimo hivi viliongoza watafiti kwenye nadharia ifuatayo ya kuvutia sana: pembetatu ACB ya piramidi ya Cheops ilitokana na uhusiano wa AC / C.B. = = 1,272!

Fikiria sasa pembetatu sahihi ABC, ambayo uwiano wa miguu A.C. / C.B.= (Mchoro 2). Ikiwa sasa urefu wa pande za mstatili ABC kuteuliwa na x, y, z, na pia kuzingatia kwamba uwiano y/x= , basi kwa mujibu wa nadharia ya Pythagorean, urefu z inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:

Tukikubali x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Kielelezo cha 3."Dhahabu" pembetatu ya kulia.

Pembetatu ya kulia ambayo pande zinahusiana kama t:dhahabu" pembetatu ya kulia.

Halafu, ikiwa tunachukua kama msingi nadharia kwamba "wazo kuu la kijiometri" la piramidi ya Cheops ni pembetatu ya kulia ya "dhahabu", basi kutoka hapa tunaweza kuhesabu kwa urahisi urefu wa "muundo" wa piramidi ya Cheops. Ni sawa na:

H = (L/2) ´ = 148.28 m.

Wacha sasa tupate uhusiano mwingine wa piramidi ya Cheops, ambayo inafuata kutoka kwa nadharia ya "dhahabu". Hasa, tutapata uwiano wa eneo la nje la piramidi na eneo la msingi wake. Ili kufanya hivyo, tunachukua urefu wa mguu C.B. kwa kila kitengo, ambayo ni: C.B.= 1. Lakini basi urefu wa upande wa msingi wa piramidi GF= 2, na eneo la msingi EFGH itakuwa sawa SEFGH = 4.

Wacha sasa tuhesabu eneo la uso wa upande wa piramidi ya Cheops SD. Kwa sababu urefu AB pembetatu AEF sawa na t, basi eneo la uso wa upande litakuwa sawa na SD = t. Kisha eneo la jumla la nyuso zote nne za piramidi zitakuwa sawa na 4 t, na uwiano wa jumla ya eneo la nje la piramidi kwa eneo la msingi itakuwa sawa na uwiano wa dhahabu! Hiyo ndivyo ilivyo - siri kuu ya kijiometri ya piramidi ya Cheops!

Kundi la "miujiza ya kijiometri" ya piramidi ya Cheops inajumuisha mali halisi na ya mbali ya mahusiano kati ya vipimo mbalimbali katika piramidi.

Kama sheria, hupatikana katika kutafuta "constants" fulani, haswa, nambari "pi" (nambari ya Ludolfo), sawa na 3.14159 ...; msingi wa logarithms asili "e" (Nambari ya Neperovo), sawa na 2.71828 ...; nambari "F", nambari ya "sehemu ya dhahabu", sawa na, kwa mfano, 0.618 ... nk.

Unaweza kutaja, kwa mfano: 1) Mali ya Herodotus: (Urefu)2 = 0.5 sanaa. msingi x Apothem; 2) Mali ya V. Bei: Urefu: 0.5 sanaa. msingi = Mzizi wa mraba wa "F"; 3) Mali ya M. Eist: Mzunguko wa msingi: 2 Urefu = "Pi"; kwa tafsiri tofauti - 2 tbsp. msingi : Urefu = "Pi"; 4) Mali ya G. Edge: Radius ya mduara ulioandikwa: 0.5 sanaa. msingi = "F"; 5) Mali ya K. Kleppisch: (Sanaa. kuu.)2: 2(Sanaa kuu. x Apothem) = (Sanaa kuu. W. Apothema) = 2(Sanaa kuu. x Apothem) : ((2 sanaa .msingi X Apothem) + (sanaa. msingi)2). Na kadhalika. Unaweza kuja na mali nyingi kama hizo, haswa ikiwa unganisha piramidi mbili zilizo karibu. Kwa mfano, kama "Mali ya A. Arefyev" inaweza kutajwa kuwa tofauti katika kiasi cha piramidi ya Cheops na piramidi ya Khafre ni sawa na mara mbili ya kiasi cha piramidi ya Mikerin ...

Pointi nyingi za kupendeza, haswa juu ya ujenzi wa piramidi kulingana na "uwiano wa dhahabu", zimewekwa katika vitabu vya D. Hambidge "Dynamic Symmetry katika usanifu" na M. Gick "Aesthetics ya uwiano katika asili na sanaa". Hebu tukumbuke kwamba "uwiano wa dhahabu" ni mgawanyiko wa sehemu katika uwiano kwamba sehemu A ni mara nyingi zaidi kuliko sehemu B, mara ngapi A ni ndogo kuliko sehemu nzima A + B. Uwiano A / B. ni sawa na nambari "F" == 1.618. .. Matumizi ya "uwiano wa dhahabu" hauonyeshwa tu katika piramidi za kibinafsi, bali pia katika tata nzima ya piramidi huko Giza.

Jambo la kushangaza zaidi, hata hivyo, ni kwamba piramidi moja ya Cheops "haiwezi" kuwa na mali nyingi za ajabu. Kuchukua mali fulani moja baada ya nyingine, inaweza "kuwekwa", lakini yote hayafai mara moja - hayalingani, yanapingana. Kwa hiyo, ikiwa, kwa mfano, wakati wa kuangalia mali zote, mwanzoni tunachukua upande huo wa msingi wa piramidi (233 m), basi urefu wa piramidi na mali tofauti pia zitakuwa tofauti. Kwa maneno mengine, kuna "familia" fulani ya piramidi ambazo zinafanana nje na Cheops, lakini zina mali tofauti. Kumbuka kuwa hakuna kitu cha ajabu sana katika mali ya "kijiometri" - mengi hujitokeza kiatomati, kutoka kwa mali ya takwimu yenyewe. "Muujiza" unapaswa kuchukuliwa tu kuwa kitu ambacho kilikuwa wazi kuwa hakiwezekani kwa Wamisri wa kale. Hii, haswa, inajumuisha miujiza ya "cosmic", ambayo vipimo vya piramidi ya Cheops au tata ya piramidi huko Giza hulinganishwa na vipimo vya unajimu na nambari "hata" zinaonyeshwa: mara milioni chini, mara bilioni chini, na. kadhalika. Hebu fikiria baadhi ya mahusiano ya "cosmic".

Mojawapo ya taarifa hizo ni: “Ukigawanya upande wa msingi wa piramidi kwa urefu hususa wa mwaka, utapata sehemu milioni 10 za mhimili wa dunia.” Hesabu: gawanya 233 kwa 365, tunapata 0.638. Radi ya Dunia ni 6378 km.

Kauli nyingine kwa kweli ni kinyume cha ile iliyotangulia. F. Noetling alionyesha kwamba ikiwa tunatumia "dhiraa ya Misri" ambayo yeye mwenyewe aligundua, basi upande wa piramidi utafanana na "muda sahihi zaidi wa mwaka wa jua, ulioonyeshwa kwa karibu bilioni moja ya siku" - 365.540. 903.777.

Kauli ya P. Smith: "Urefu wa piramidi ni sawa na bilioni moja ya umbali kutoka kwa Dunia hadi Jua." Ingawa urefu unaochukuliwa kwa kawaida ni 146.6 m, Smith aliuchukua kama m 148.2. Kulingana na vipimo vya kisasa vya rada, mhimili wa nusu kuu wa mzunguko wa dunia ni 149,597,870 + 1.6 km. Huu ni umbali wa wastani kutoka kwa Dunia hadi Jua, lakini kwa perihelion ni kilomita 5,000,000 chini ya aphelion.

Taarifa moja ya mwisho ya kuvutia:

"Tunawezaje kuelezea kwamba wingi wa piramidi za Cheops, Khafre na Mykerinus zinahusiana, kama sayari za Dunia, Venus, Mars?" Hebu tuhesabu. Misa ya piramidi tatu ni: Khafre - 0.835; Cheops - 1,000; Mikerin - 0.0915. Uwiano wa raia wa sayari tatu: Venus - 0.815; Dunia - 1,000; Mars - 0.108.

Kwa hivyo, licha ya mashaka, tunaona maelewano yanayojulikana ya ujenzi wa taarifa: 1) urefu wa piramidi, kama mstari "unaoenda angani", inalingana na umbali kutoka kwa Dunia hadi Jua; 2) upande wa msingi wa piramidi, karibu "na substrate," yaani, kwa Dunia, inawajibika kwa radius ya dunia na mzunguko wa dunia; 3) idadi ya piramidi (soma - raia) inalingana na uwiano wa raia wa sayari zilizo karibu na Dunia. "Cipher" sawa inaweza kufuatiliwa, kwa mfano, katika lugha ya nyuki iliyochambuliwa na Karl von Frisch. Hata hivyo, kwa sasa tutajizuia kutoa maoni kuhusu jambo hili.

UMBO LA PYRAMID

Sura maarufu ya tetrahedral ya piramidi haikutokea mara moja. Waskiti walifanya mazishi kwa namna ya vilima vya udongo - vilima. Wamisri walijenga "milima" ya mawe - piramidi. Hii ilitokea kwa mara ya kwanza baada ya kuunganishwa kwa Misri ya Juu na ya Chini, katika karne ya 28 KK, wakati mwanzilishi wa Nasaba ya Tatu, Farao Djoser (Zoser), alikabiliwa na kazi ya kuimarisha umoja wa nchi.

Na hapa, kulingana na wanahistoria, "dhana mpya ya uungu" ya mfalme ilichukua jukumu muhimu katika kuimarisha nguvu kuu. Ingawa mazishi ya kifalme yalitofautishwa na utukufu zaidi, wao, kimsingi, hawakutofautiana na makaburi ya wakuu wa korti; walikuwa miundo sawa - mastaba. Juu ya chumba kilicho na sarcophagus iliyo na mummy, kilima cha mstatili cha mawe madogo kilimwagwa, ambapo jengo dogo lililotengenezwa kwa vizuizi vikubwa vya mawe - "mastaba" (kwa Kiarabu - "benchi") liliwekwa. Farao Djoser alisimamisha piramidi ya kwanza kwenye tovuti ya mastaba ya mtangulizi wake, Sanakht. Ilipigwa na ilikuwa hatua ya mpito inayoonekana kutoka kwa usanifu mmoja hadi mwingine, kutoka kwa mastaba hadi piramidi.

Kwa njia hii, mwenye busara na mbunifu Imhotep, ambaye baadaye alizingatiwa kuwa mchawi na kutambuliwa na Wagiriki na mungu Asclepius, "alimfufua" Farao. Ni kana kwamba mastaba sita waliwekwa kwa mfululizo. Kwa kuongezea, piramidi ya kwanza ilichukua eneo la mita 1125 x 115, na urefu unaokadiriwa wa mita 66 (kulingana na viwango vya Wamisri - "mitende" 1000). Mara ya kwanza, mbunifu alipanga kujenga mastaba, lakini sio mviringo, lakini mraba katika mpango. Baadaye ilipanuliwa, lakini tangu ugani ulifanywa chini, ilionekana kuwa kuna hatua mbili.

Hali hii haikumridhisha mbunifu, na kwenye jukwaa la juu la mastaba kubwa ya gorofa, Imhotep aliweka tatu zaidi, akipungua hatua kwa hatua kuelekea juu. Kaburi lilikuwa chini ya piramidi.

Piramidi kadhaa zaidi za hatua zinajulikana, lakini baadaye wajenzi waliendelea na kujenga piramidi za tetrahedral ambazo zinajulikana zaidi kwetu. Kwa nini, hata hivyo, sio triangular au, sema, octagonal? Jibu lisilo la moja kwa moja linatolewa na ukweli kwamba karibu piramidi zote zimeelekezwa kikamilifu kando ya maelekezo manne ya kardinali, na kwa hiyo ina pande nne. Kwa kuongeza, piramidi ilikuwa "nyumba", shell ya chumba cha mazishi cha quadrangular.

Lakini ni nini kilichoamua angle ya mwelekeo wa nyuso? Katika kitabu "Kanuni ya Uwiano" sura nzima imetolewa kwa hii: "Ni nini kingeweza kuamua pembe za mwelekeo wa piramidi." Hasa, inaonyeshwa kwamba "picha ambayo piramidi kubwa za Ufalme wa Kale huchota ni pembetatu iliyo na pembe ya kulia kwenye kilele.

Katika nafasi ni nusu-octahedron: piramidi ambayo kingo na pande za msingi ni sawa, kingo ni pembetatu za usawa." Mazingatio fulani yametolewa juu ya somo hili katika vitabu vya Hambidge, Gick na wengine.

Je, ni faida gani ya pembe ya nusu-octahedron? Kulingana na maelezo ya wanaakiolojia na wanahistoria, baadhi ya piramidi zilianguka chini ya uzito wao wenyewe. Kilichohitajika ni "pembe ya kudumu," pembe ambayo ilikuwa ya kutegemewa kwa nguvu zaidi. Kwa nguvu kabisa, pembe hii inaweza kuchukuliwa kutoka kwa pembe ya vertex katika rundo la mchanga mkavu unaobomoka. Lakini ili kupata data sahihi, unahitaji kutumia mfano. Kuchukua mipira minne iliyoimarishwa, unahitaji kuweka moja ya tano juu yao na kupima pembe za mwelekeo. Hata hivyo, unaweza kufanya makosa hapa, hivyo hesabu ya kinadharia husaidia: unapaswa kuunganisha vituo vya mipira na mistari (kiakili). Msingi utakuwa mraba na upande sawa na radius mara mbili. Mraba itakuwa msingi tu wa piramidi, urefu wa kingo ambayo pia itakuwa sawa na radius mara mbili.

Kwa hivyo, ufungashaji wa karibu wa mipira kama 1: 4 utatupa nusu-octahedron ya kawaida.

Hata hivyo, kwa nini piramidi nyingi, zikielekea kwenye sura sawa, hata hivyo hazihifadhi? piramidi pengine ni kuzeeka. Kinyume na msemo maarufu:

"Kila kitu ulimwenguni kinaogopa wakati, na wakati unaogopa piramidi," majengo ya piramidi lazima yazee, sio tu michakato ya hali ya hewa ya nje inaweza na inapaswa kutokea ndani yao, lakini pia michakato ya "shrinkage" ya ndani. piramidi zinaweza kuwa chini. Shrinkage pia inawezekana kwa sababu, kama inavyofunuliwa na kazi ya D. Davidovits, Wamisri wa kale walitumia teknolojia ya kufanya vitalu kutoka kwa chips za chokaa, kwa maneno mengine, kutoka "saruji". Ni taratibu zinazofanana ambazo zinaweza kueleza sababu ya uharibifu wa Piramidi ya Medum, iliyoko kilomita 50 kusini mwa Cairo. Ni umri wa miaka 4600, vipimo vya msingi ni 146 x 146 m, urefu ni 118 m. "Kwa nini imeharibika sana?" anauliza V. Zamarovsky. "Marejeleo ya kawaida ya athari za uharibifu wa wakati na "matumizi ya mawe kwa majengo mengine" hayafai hapa.

Baada ya yote, vizuizi vyake vingi na vibao vinavyotazama vimebaki mahali hadi leo, katika magofu chini ya miguu yake." Kama tutakavyoona, vifungu kadhaa hata vinatufanya tufikirie kwamba piramidi maarufu ya Cheops pia "imesinyaa." kwa hali yoyote, katika picha zote za zamani piramidi zimeelekezwa ...

Sura ya piramidi pia inaweza kuzalishwa kwa kuiga: baadhi ya sampuli za asili, "ukamilifu wa muujiza," sema, fuwele fulani kwa namna ya octahedron.

Fuwele zinazofanana zinaweza kuwa fuwele za almasi na dhahabu. Idadi kubwa ya vipengele vya "kuingiliana" ni kawaida kwa dhana kama vile Farao, Jua, Dhahabu, Almasi. Kila mahali - mtukufu, mwenye kipaji (kipaji), mzuri, asiyefaa, na kadhalika. Kufanana sio kwa bahati mbaya.

Ibada ya jua, kama inavyojulikana, iliunda sehemu muhimu ya dini ya Misri ya Kale. “Hata iwe tutafsirije jina la piramidi kubwa zaidi,” chasema kimoja cha vitabu vya kisasa, “The Sky of Khufu” au “The Skyward Khufu,” ilimaanisha kwamba mfalme ndiye jua.” Ikiwa Khufu, kwa uzuri wa uwezo wake, alijiwazia kuwa jua la pili, basi mtoto wake Djedef-Ra akawa wa kwanza wa wafalme wa Misri kujiita "mwana wa Ra," yaani, mwana wa Sun. Jua lilionyeshwa kati ya karibu watu wote na "chuma cha jua", dhahabu. "Disk kubwa ya dhahabu angavu" - ndivyo Wamisri waliita mchana wetu. Wamisri walijua dhahabu kikamilifu, walijua fomu zake za asili, ambapo fuwele za dhahabu zinaweza kuonekana kwa namna ya octahedron.

"Jiwe la jua" - almasi - pia inavutia hapa kama "sampuli za fomu." Jina la almasi lilikuja haswa kutoka kwa ulimwengu wa Kiarabu, "almas" - ngumu zaidi, ngumu zaidi, isiyoweza kuharibika. Wamisri wa kale walijua almasi na mali zake vizuri. Kulingana na waandishi wengine, walitumia hata mirija ya shaba na vipandikizi vya almasi kwa kuchimba visima.

Siku hizi muuzaji mkuu wa almasi ni Afrika Kusini, lakini Afrika Magharibi pia ina utajiri wa almasi. Eneo la Jamhuri ya Mali linaitwa hata "Ardhi ya Almasi". Wakati huo huo, ni katika eneo la Mali ambapo Dogon wanaishi, ambao wafuasi wa nadharia ya kutembelea paleo wana matumaini mengi (tazama hapa chini). Almasi haiwezi kuwa sababu ya mawasiliano ya Wamisri wa kale na eneo hili. Walakini, kwa njia moja au nyingine, inawezekana kwamba kwa kunakili oktahedroni za fuwele za almasi na dhahabu, Wamisri wa zamani kwa hivyo waliwaabudu mafarao, "wasioweza kuharibika" kama almasi na "kipaji" kama dhahabu, wana wa Jua, kulinganishwa tu. kwa ubunifu wa ajabu zaidi wa asili.

Hitimisho:

Baada ya kusoma piramidi kama mwili wa kijiometri, kufahamiana na mambo na mali zake, tulikuwa na hakika ya uhalali wa maoni juu ya uzuri wa sura ya piramidi.

Kama matokeo ya utafiti wetu, tulifikia hitimisho kwamba Wamisri, wakiwa wamekusanya maarifa ya thamani zaidi ya hisabati, waliiweka kwenye piramidi. Kwa hiyo, piramidi ni kweli uumbaji kamili zaidi wa asili na mwanadamu.

BIBLIOGRAFIA

"Jiometri: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 7-9. elimu ya jumla taasisi, nk - toleo la 9 - M.: Elimu, 1999

Historia ya hisabati shuleni, M: "Prosveshchenie", 1982.

Jiometri darasa la 10-11, M: "Mwangaza", 2000

Peter Tompkins "Siri za Piramidi Kuu ya Cheops", M: "Tsentropoligraf", 2005.

Rasilimali za mtandao

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html