Nani aligundua uwiano wa dhahabu. Jinsi uwiano wa dhahabu unavyofanya kazi
Uwiano wa Dhahabu ni kanuni rahisi ambayo itasaidia kufanya muundo wako uonekane wa kupendeza. Katika makala hii, tutaelezea kwa undani jinsi na kwa nini kuitumia.
Sehemu ya kawaida ya hisabati katika asili inayoitwa Uwiano wa Dhahabu, au Maana ya Dhahabu, inatokana na Mfuatano wa Fibonacci (ambao inaelekea ulisikia habari zake shuleni, au ulisoma katika Msimbo wa Da Vinci wa Dan Brown), na inamaanisha uwiano wa 1. :1.61.
Uwiano kama huo mara nyingi hupatikana katika maisha yetu (shells, mananasi, maua, nk) na kwa hivyo mtu hugunduliwa kama kitu cha asili, cha kupendeza kwa jicho.
→ Uwiano wa dhahabu ni uhusiano kati ya nambari mbili katika mlolongo wa Fibonacci 
→ Kupanga mlolongo huu kwa mizani kunatoa ond ambazo zinaweza kuonekana katika maumbile.
Inaaminika kuwa Uwiano wa Dhahabu umetumiwa na wanadamu katika sanaa na kubuni kwa zaidi ya miaka 4,000, na ikiwezekana hata zaidi, kulingana na wanasayansi ambao wanadai kwamba Wamisri wa kale walitumia kanuni hii katika ujenzi wa piramidi.
Mifano maarufu
Kama tulivyokwisha sema, Uwiano wa Dhahabu unaweza kuonekana katika historia yote ya sanaa na usanifu. Hapa kuna mifano ambayo inathibitisha tu uhalali wa kutumia kanuni hii:
Usanifu: Parthenon
Katika usanifu wa kale wa Kigiriki, Uwiano wa Dhahabu ulitumiwa kuhesabu uwiano bora kati ya urefu na upana wa jengo, ukubwa wa ukumbi, na hata umbali kati ya nguzo. Baadaye, kanuni hii ilirithiwa na usanifu wa neoclassical.
Sanaa: Karamu ya Mwisho
Kwa wasanii, utunzi ndio msingi. Leonardo da Vinci, kama wasanii wengine wengi, aliongozwa na kanuni ya Uwiano wa Dhahabu: katika Karamu ya Mwisho, kwa mfano, takwimu za wanafunzi ziko chini ya theluthi mbili (kubwa zaidi ya sehemu mbili za Uwiano wa Dhahabu. ), na Yesu amewekwa katikati kabisa kati ya mistatili miwili.
Ubunifu wa wavuti: Usanifu upya wa Twitter mnamo 2010
Mkurugenzi wa ubunifu wa Twitter Doug Bowman alichapisha picha ya skrini kwenye akaunti yake ya Flickr akielezea matumizi ya uwiano wa dhahabu kwa uundaji upya wa 2010. "Yeyote anayevutiwa na idadi ya #MpyaTwitter - fahamu kuwa kila kitu hufanywa kwa sababu," alisema.
Apple iCloud
Ikoni ya huduma ya iCloud pia sio mchoro wa nasibu hata kidogo. Kama ilivyoelezewa na Takamasa Matsumoto katika blogi yake (toleo la asili la Kijapani) kila kitu kinategemea hisabati ya Uwiano wa Dhahabu, anatomy yake ambayo inaweza kuonekana kwenye takwimu upande wa kulia.
Jinsi ya kujenga uwiano wa dhahabu?
Ujenzi ni rahisi sana, na huanza na mraba kuu:
Chora mraba. Hii itaunda urefu wa "upande mfupi" wa mstatili.
Gawanya mraba kwa nusu na mstari wa wima ili kupata rectangles mbili.
Katika mstatili mmoja, chora mstari kwa kuunganisha pembe tofauti.
Panua mstari huu kwa usawa kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu.
Unda mstatili mwingine kwa kutumia mstari wa mlalo uliochora katika hatua za awali kama msingi. Tayari!
Vyombo vya "dhahabu".
Ikiwa kuchora na kupima sio mchezo wako unaopenda, acha "kazi chafu" zote kwa zana ambazo zimeundwa mahsusi kwa hili. Kwa usaidizi wa wahariri 4 hapa chini, unaweza kupata Uwiano wa Dhahabu kwa urahisi!
Programu ya GoldenRATIO hukusaidia kubuni tovuti, violesura na mipangilio kulingana na Uwiano wa Dhahabu. Inapatikana kutoka Duka la Programu ya Mac kwa $2.99, ina kikokotoo kilichojengewa ndani chenye maoni ya kuona na kipengele muhimu cha Vipendwa ambacho huhifadhi mipangilio ya kazi zinazorudiwa. Sambamba na Adobe Photoshop.
Kikokotoo hiki kitakusaidia kuunda uchapaji kamili wa tovuti yako kwa mujibu wa kanuni za Uwiano wa Dhahabu. Ingiza tu saizi ya fonti, upana wa yaliyomo kwenye uwanja kwenye tovuti, na ubofye "Weka aina yangu"!
Hii ni programu rahisi na ya bure kwa Mac na PC. Ingiza tu nambari na itahesabu uwiano wake kulingana na sheria ya sehemu ya dhahabu.
Programu inayofaa ambayo itakuokoa kutokana na hitaji la mahesabu na kuchora gridi. Kupata idadi kamili ni rahisi naye! Inafanya kazi na wahariri wote wa picha, pamoja na Photoshop. Licha ya ukweli kwamba chombo kinalipwa - $ 49, inawezekana kujaribu toleo la majaribio kwa siku 30.
Uwiano wa dhahabu ni rahisi, kama kila kitu cha busara. Hebu fikiria sehemu ya mstari AB ikigawanywa na nukta C. Unachohitajika kufanya ni kuweka nukta C ili uweze kuandika mlinganyo CB/AC = AC/AB = 0.618. Hiyo ni, nambari iliyopatikana kwa kugawanya sehemu ndogo zaidi ya CB kwa urefu wa sehemu ya kati ya AC lazima ilingane na nambari iliyopatikana kwa kugawanya sehemu ya kati ya AC kwa urefu wa sehemu kubwa ya AB. Nambari hii itakuwa 0.618. Hii ni dhahabu, au, kama walivyosema katika nyakati za zamani, uwiano wa kimungu - f(Kigiriki "phi"). Kielezo cha ubora.
Ni ngumu kusema ni lini haswa na nani iligunduliwa kuwa kufuata sehemu hii kunatoa hali ya maelewano. Lakini mara tu watu walipoanza kuunda kitu kwa mikono yao wenyewe, kwa intuitively walijaribu kuweka uwiano huu. Majengo yaliyojengwa na f, kila wakati ilionekana kuwa sawa zaidi ikilinganishwa na yale ambayo idadi ya sehemu ya dhahabu inakiukwa. Hii imethibitishwa mara kwa mara na majaribio mbalimbali.
Katika jiometri, kuna vitu viwili ambavyo vimeunganishwa bila usawa f: pentagon ya kawaida (pentagram) na logarithmic spiral. Katika pentagram, kila mstari, unaoingiliana na jirani, hugawanya kwa uwiano wa dhahabu, na kwa ond ya logarithmic, kipenyo cha zamu za karibu zinahusiana kwa kila mmoja kwa njia sawa na sehemu za AC na CB kwenye mstari wetu wa moja kwa moja. AB. Lakini f haifanyi kazi katika jiometri tu. Inaaminika kuwa sehemu za mfumo wowote (kwa mfano, protoni na neutroni kwenye kiini cha atomi) zinaweza kuwa sawa kwa kila mmoja, sawa na nambari ya dhahabu. Katika kesi hii, wanasayansi wanaamini, mfumo ni bora. Walakini, uthibitisho wa kisayansi wa nadharia inahitaji zaidi ya miaka kumi na mbili ya utafiti. Wapi f haiwezi kupimwa kwa njia ya chombo, kinachojulikana kama safu ya nambari ya Fibonacci hutumiwa, ambayo kila nambari inayofuata ni jumla ya mbili zilizopita: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. , nk. Upekee wa mfululizo huu ni kwamba wakati wa kugawanya nambari zake yoyote kwa inayofuata, matokeo hupatikana ambayo ni karibu iwezekanavyo kwa 0.618. Kwa mfano, hebu tuchukue namba 2.3 na 5. 2/3 = 0.666 na 3/5 = 0.6. Kwa kweli, uhusiano sawa upo hapa kati ya vijenzi vya sehemu yetu ya AB. Kwa hivyo, ikiwa sifa za kupimia za kitu au jambo fulani zinaweza kuingizwa kwenye safu ya nambari ya Fibonacci, hii inamaanisha kuwa uwiano wa dhahabu huzingatiwa katika muundo wao. Na kuna vitu na mifumo mingi kama hiyo, na sayansi ya kisasa inagundua mpya zaidi na zaidi. Kwa hivyo swali ni, je! f uwiano wa kweli wa kimungu ambao ulimwengu wetu unakaa sio wa maneno hata kidogo.
Uwiano wa dhahabu katika asili
Uwiano wa dhahabu unazingatiwa katika asili, na tayari katika viwango rahisi zaidi. Chukua, kwa mfano, molekuli za protini zinazofanyiza tishu za viumbe vyote vilivyo hai. Molekuli hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa wingi, ambayo inategemea idadi ya asidi ya amino iliyomo. Sio muda mrefu uliopita, iligundua kuwa ya kawaida ni protini yenye wingi wa 31; 81.2; 140.6; 231; vitengo 319 elfu. Wanasayansi wanaona kuwa safu hii karibu inalingana na safu ya Fibonacci - 3, 8.13, 21, 34 (hapa, wanasayansi hawazingatii tofauti ya nambari ya safu hizi).
Hakika, utafiti zaidi utapata protini ambayo wingi wake utaunganishwa na 5. Hata muundo wa protozoa hutoa ujasiri huu - virusi vingi vina muundo wa pentagonal. Tenda kwa f na uwiano wa vipengele vya kemikali. Plutonium iko karibu nayo: uwiano wa idadi ya protoni katika kiini chake na neutroni ni 0.627. Inayofuata ni hidrojeni. Kwa upande mwingine, idadi ya atomi katika misombo ya kemikali ni ya kushangaza mara nyingi idadi ya mfululizo wa Fibonacci. Hii ni kweli hasa kwa oksidi za uranium na misombo ya chuma.
Ikiwa utakata bud isiyofunguliwa ya mti, utapata spirals mbili huko, zilizoelekezwa kwa njia tofauti. Hizi ni mwanzo wa majani. Uwiano wa idadi ya zamu kati ya ond hizi mbili daima itakuwa 2/3, au 3/5, au 5/8, nk. Hiyo ni kwa mujibu wa Fibonacci tena. Kwa njia, tunaona mara kwa mara sawa katika utaratibu wa mbegu za alizeti, na katika muundo wa mbegu za miti ya coniferous. Lakini kurudi kwenye majani. Wanapofungua, hawatapoteza uhusiano wao na f, kwa sababu watakuwa iko kwenye shina au tawi katika ond logarithmic. Lakini si hivyo tu. Kuna dhana ya "angle ya tofauti ya majani" - hii ni pembe ambayo majani yanahusiana. Kuhesabu pembe hii sio ngumu. Hebu fikiria kwamba prism yenye msingi wa pentagonal imeandikwa kwenye shina. Sasa anza ond kando ya shina. Pointi ambapo ond itagusa kingo za prism inalingana na sehemu ambazo majani hukua kutoka. Sasa chora mstari wa moja kwa moja kutoka kwa jani la kwanza na uone ni majani ngapi yatalala kwenye mstari huu ulio sawa. Nambari yao katika biolojia inaonyeshwa na barua n (kwa upande wetu, hizi ni karatasi mbili). Sasa hesabu idadi ya zamu zilizoelezewa na ond karibu na shina. Nambari inayotokana inaitwa mzunguko wa majani na inaonyeshwa na barua p (kwa upande wetu ni sawa na 5). Sasa tunazidisha angle ya juu - digrii 360 na 2 (n) na kugawanya na 5 (p). Tunapata angle inayotaka ya tofauti ya majani - digrii 144. Uwiano wa n na p kwa sikukuu ya kila mmea au mti ni tofauti, lakini wote hawaendi nje ya mfululizo wa Fibonacci: 1/2; 2/5; 3/8; 5/13, nk Wanabiolojia wamegundua kwamba pembe zinazoundwa na uwiano huu huwa na infinity hadi digrii 137 - angle mojawapo ya tofauti ambayo mwanga wa jua unasambazwa sawasawa juu ya matawi na majani. Na katika majani yenyewe, tunaweza kuona utunzaji wa uwiano wa dhahabu, kama, kwa kweli, katika maua - ni rahisi kutambua kwa wale ambao wana sura ya pentagram.
f haikupita ulimwengu wa wanyama. Kulingana na wanasayansi, uwepo wa uwiano wa dhahabu katika muundo wa mifupa ya viumbe hai hutatua tatizo muhimu sana. Kwa njia hii, nguvu ya juu iwezekanavyo ya mifupa inapatikana kwa uzito mdogo iwezekanavyo, ambayo, kwa upande wake, inafanya uwezekano wa kusambaza jambo hilo kati ya sehemu za mwili. Hii inatumika kwa karibu wawakilishi wote wa fauna. Kwa hivyo, starfish ni pentagoni kamili, na shells za moluska nyingi ni logarithmic spirals. Uwiano wa urefu wa mkia wa kereng'ende kwa mwili wake pia ni f. Ndiyo, na mbu si rahisi: ina jozi tatu za miguu, tumbo imegawanywa katika makundi nane, na kuna antennae tano juu ya kichwa - mfululizo huo wa Fibonacci. Idadi ya vertebrae katika wanyama wengi, kama nyangumi au farasi, ni 55. Idadi ya mbavu ni 13, na idadi ya mifupa katika viungo ni 89. Na viungo vyenyewe vina muundo wa pande tatu. Jumla ya mifupa ya wanyama hawa, kuhesabu meno (ambayo kuna jozi 21) na mifupa ya misaada ya kusikia, ni 233 (nambari ya Fibonacci). Kwa nini ushangae wakati hata yai, ambayo, kama watu wengi wanaamini, kila kitu kilifanyika, kinaweza kuandikwa katika mstatili wa sehemu ya dhahabu - urefu wa mstatili kama huo ni mara 1.618 upana wake.
© Kwa matumizi ya sehemu au kamili ya kifungu hiki - kiungo amilifu cha tovuti ya jarida la utambuzi ni LAZIMA.
Aprili 18, 2011 A. F. Afanasiev Ilisasishwa mnamo Juni 16, 2012
Vipimo na uwiano ni moja ya kazi kuu katika kutafuta picha ya kisanii ya kazi yoyote ya sanaa ya plastiki. Ni wazi kwamba suala la ukubwa limeamua kuzingatia chumba ambako itakuwa iko na vitu vinavyozunguka.
Kuzungumza juu ya uwiano (uwiano wa maadili ya dimensional), tunazingatia katika muundo wa picha ya gorofa (picha, marquetry), kwa uwiano wa vipimo vya jumla (urefu, urefu, upana) wa kitu cha tatu-dimensional, katika uwiano wa vitu viwili vya ensemble moja ambayo ni tofauti kwa urefu au urefu, kwa uwiano wa ukubwa wa sehemu mbili zilizo wazi za kitu kimoja, nk.
Katika classics ya sanaa nzuri, kwa karne nyingi, kumekuwa na njia ya kujenga uwiano, inayoitwa uwiano wa dhahabu, au nambari ya dhahabu (neno hili lilianzishwa na Leonardo da Vinci). Kanuni ya sehemu ya dhahabu, au ulinganifu wa nguvu, ni kwamba "uwiano kati ya sehemu mbili za sehemu moja ni sawa na uwiano wa sehemu yake kubwa kwa nzima" (au, ipasavyo, nzima kwa sehemu kubwa). Kihisabati ni
nambari imeonyeshwa kama - 1 ± 2?5 - ambayo inatoa 1.6180339 ... au 0.6180339 ... Katika sanaa, 1.62 inachukuliwa kama nambari ya dhahabu, yaani, usemi wa takriban wa uwiano wa thamani kubwa kulingana na ndogo yake. thamani.
Kutoka kwa takriban hadi sahihi zaidi, uwiano huu unaweza kuonyeshwa: nk, ambapo: 5+3=8, 8+5=13, nk. Au: 2.2:3.3:5.5:8 .8, nk, ambapo 2.2 + 3.3 -5.5, na kadhalika.
Graphically, uwiano wa dhahabu unaweza kuonyeshwa kwa uwiano wa makundi yaliyopatikana na ujenzi mbalimbali. Urahisi zaidi, kwa maoni yetu, ni ujenzi unaoonyeshwa kwenye Mtini. 169: ikiwa tunaongeza upande wake mfupi kwa diagonal ya nusu ya mraba, basi tunapata thamani kuhusiana na nambari ya dhahabu kwa upande wake mrefu.
| Mchele. 169. Ujenzi wa kijiometri wa mstatili katika uwiano wa dhahabu 1.62: 1. Nambari ya dhahabu 1.62 kuhusiana na makundi (a na b) |
 |
|
Mchele. 170. Ujenzi wa mchoro wa kazi ya uwiano wa dhahabu 1.12: 1 |
 |
Uwiano wa uwiano wa dhahabu mbili
hujenga hisia ya kuona ya maelewano na usawa. Kuna uwiano mwingine wa usawa wa idadi mbili karibu, iliyoonyeshwa na nambari 1.12. Ni kazi ya nambari ya dhahabu: ikiwa unachukua tofauti kati ya maadili mawili ya sehemu ya dhahabu, ugawanye pia katika uwiano wa dhahabu na kuongeza kila hisa kwa thamani ndogo ya sehemu ya dhahabu ya asili, utapata. uwiano 1.12 (Mchoro 170). Katika suala hili, kwa mfano, kipengele cha kati (rafu) kinatolewa katika barua H, P, Z, nk katika baadhi ya fonti, uwiano wa urefu na upana huchukuliwa kwa barua pana, uwiano huu pia unapatikana katika asili.
Nambari ya dhahabu inazingatiwa kwa uwiano wa mtu aliyeendelea kwa usawa (Mchoro 171): urefu wa kichwa hugawanya umbali kutoka kiuno hadi juu ya kichwa katika sehemu ya dhahabu; goti pia hugawanya umbali kutoka kwa kiuno hadi kwenye miguu ya miguu; ncha ya kidole cha kati cha mkono ulionyoshwa hugawanya urefu wote wa mtu katika uwiano wa dhahabu; uwiano wa phalanges ya vidole pia ni namba ya dhahabu. Jambo hilo hilo pia linazingatiwa katika ujenzi mwingine wa asili: katika spirals ya mollusks, katika corollas ya maua, nk.
| Mchele. 172. Uwiano wa dhahabu wa jani la kuchonga la geranium (pelargonium). Ujenzi: 1) Kwa kutumia grafu ya mizani (ona Mchoro 171) tunajenga? abc, | Mchele. 173. Jani la zabibu la petal tano na tatu-petal. Uwiano wa urefu na upana ni 1.12. Uwiano wa dhahabu unaonyeshwa |
 |
 |
 |
 |
Kwenye mtini. 172 na 173 inaonyesha ujenzi wa mchoro wa jani la geranium (pelargonium) na jani la zabibu kwa uwiano wa namba za dhahabu 1.62 na 1.12. Katika jani la geranium, msingi wa ujenzi ni pembetatu mbili: ABC na CEF, ambapo uwiano wa urefu na msingi wa kila mmoja wao unaonyeshwa na nambari 0.62 na 1.62, na umbali kati ya jozi tatu za pointi za mbali zaidi za jani ni: AB=CE=SF. Ujenzi unaonyeshwa kwenye mchoro. Muundo wa jani kama hilo ni mfano wa geraniums, ambayo ina majani sawa ya kuchonga.
Jani la jumla la mkuyu (Mchoro 173) lina uwiano sawa na jani la mzabibu, kuhusiana na 1.12, lakini urefu wa jani la mzabibu ni kubwa zaidi, na upana wa jani la mkuyu. Jani la mkuyu lina saizi tatu za sawia kuhusiana na 1.62. Mawasiliano kama haya katika usanifu inaitwa triad (kwa idadi nne - tetrad na zaidi: pectad, hexod).
Kwenye mtini. 174 inaonyesha njia ya kujenga kwa uwiano wa sehemu ya dhahabu ya jani la maple. Kwa uwiano wa upana na urefu wa 1.12, ina uwiano kadhaa na idadi ya 1.62. Ujenzi huo unategemea trapeziums mbili, ambayo uwiano wa urefu na urefu wa msingi unaonyeshwa na nambari ya dhahabu. Ujenzi unaonyeshwa kwenye kuchora, na chaguzi za sura ya jani la maple pia zinaonyeshwa.
Katika kazi za sanaa nzuri, msanii au mchongaji, kwa uangalifu au kwa uangalifu, akiamini jicho lake lililofunzwa, mara nyingi hutumia uwiano wa ukubwa katika uwiano wa dhahabu. Kwa hivyo, wakati wa kufanya kazi kwenye nakala kutoka kwa kichwa cha Kristo (kulingana na Michelangelo), mwandishi wa kitabu hiki aligundua kuwa curls za karibu kwenye nyuzi za nywele zinaonyesha uwiano wa sehemu ya dhahabu kwa saizi, na kwa sura - ond ya Archimedes, mhusika. Msomaji anaweza kujionea mwenyewe kuwa katika idadi ya uchoraji wa wasanii wa kitamaduni, takwimu kuu iko kutoka kwa pande za fomati kwa umbali ambao huunda sehemu ya sehemu ya dhahabu (kwa mfano, uwekaji wa kichwa kwa wima na usawa. katika picha ya MI Lopukhina na V. Borovikovsky; nafasi ya katikati ya wima ya kichwa katika picha ya A. S. Pushkin na O. Kiprensky na wengine). Vile vile vinaweza kuonekana wakati mwingine na kuwekwa kwa mstari wa upeo wa macho (F. Vasiliev: "Wet Meadow", I. Levitan: "Machi", "Kengele za jioni").
Kwa kweli, sheria hii sio suluhisho la shida ya utunzi kila wakati, na haipaswi kuchukua nafasi ya ubunifu wa msanii wa sauti na idadi katika kazi ya msanii. Inajulikana, kwa mfano, kwamba wasanii wengine walitumia uwiano wa "nambari za muziki" kwa nyimbo zao: theluthi, nne, tano (2: 3, 3: 4, nk). Wakosoaji wa sanaa, bila sababu, kumbuka kuwa muundo wa mnara wowote wa usanifu au sanamu, ikiwa inataka, inaweza kubadilishwa kwa uwiano wowote wa nambari. Kazi yetu katika kesi hii, na haswa kazi ya msanii wa novice au mchonga mbao, ni kujifunza jinsi ya kuunda muundo wa makusudi wa kazi yake sio kulingana na uwiano wa nasibu, lakini kulingana na idadi ya usawa, iliyothibitishwa na mazoezi. Uwiano huu wa usawa lazima uweze kutambua na kusisitiza muundo na sura ya bidhaa.
Wacha tuzingatie, kama mfano wa utaftaji wa sehemu inayofaa, azimio la vipimo vya sura ya kazi iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 175. Muundo wa picha iliyowekwa ndani yake umewekwa kwa uwiano wa sehemu ya dhahabu. Vipimo vya nje vya sura na upana sawa wa pande zake hazitatoa uwiano wa dhahabu. Kwa hiyo, uwiano wa urefu na upana wake (ЗЗ0X220) inachukuliwa kiasi fulani chini ya nambari ya dhahabu, yaani, sawa na 1.5, na upana wa viungo vya transverse huongezeka kwa usawa ikilinganishwa na pande. Hii ilifanya iwezekanavyo kufikia vipimo vya sura katika mwanga (kwa picha), kutoa uwiano wa sehemu ya dhahabu. Uwiano wa upana wa kiunga cha chini cha sura hadi upana wa kiunga chake cha juu hurekebishwa kwa nambari nyingine ya dhahabu, i.e. hadi 1.12. Pia, uwiano wa upana wa kiungo cha chini kwa upana wa upande (94:63) ni karibu na 1.5 (katika takwimu - chaguo upande wa kushoto).
Sasa hebu tufanye jaribio: tutaongeza upande mrefu wa sura hadi 366 mm kutokana na upana wa kiungo cha chini (itakuwa 130 mm) (katika takwimu - chaguo upande wa kulia), ambayo italeta sio tu. uwiano lakini pia karibu na dhahabu
nambari 1.62 badala ya 1.12. Matokeo yake ni utungaji mpya ambao unaweza kutumika katika bidhaa nyingine, lakini kwa sura kuna tamaa ya kuifanya fupi. Funga sehemu yake ya chini na mtawala ili jicho "likubali" uwiano unaosababishwa, na tutapata urefu wa 330 mm, yaani, tutakaribia toleo la awali.
Kwa hiyo, kuchambua chaguzi mbalimbali (kunaweza kuwa na wengine badala ya mbili zilizochambuliwa), bwana anaacha suluhisho pekee linalowezekana kutoka kwa mtazamo wake.
Utumiaji wa kanuni ya sehemu ya dhahabu katika kutafuta muundo unaotaka ni bora kufanywa kwa kutumia kifaa rahisi, mchoro wa mchoro wa muundo ambao umeonyeshwa kwenye Mtini. 176. Watawala wawili wa kifaa hiki wanaweza, kuzunguka karibu na bawaba B, kuunda pembe ya kiholela. Ikiwa, kwa ufunguzi wowote wa pembe, tunagawanya umbali wa AC katika sehemu ya dhahabu na uhakika K na kuweka watawala wawili zaidi: KM \\ BC na KE \\ AB na bawaba kwa pointi K, E, na M, kisha kwa AC yoyote. suluhisho, umbali huu utagawanywa na hatua K kuhusiana na uwiano wa dhahabu.
Uwiano wa Dhahabu - Hisabati
Mtu hutofautisha vitu vilivyo karibu naye kwa sura. Kuvutia kwa namna ya kitu kunaweza kuagizwa na umuhimu muhimu, au inaweza kusababishwa na uzuri wa fomu. Fomu hiyo, ambayo inategemea mchanganyiko wa ulinganifu na sehemu ya dhahabu, inachangia mtazamo bora wa kuona na kuonekana kwa hisia ya uzuri na maelewano. Yote daima ina sehemu, sehemu za ukubwa tofauti ziko katika uhusiano fulani kwa kila mmoja na kwa ujumla. Kanuni ya sehemu ya dhahabu ni udhihirisho wa juu zaidi wa ukamilifu wa kimuundo na kazi wa yote na sehemu zake katika sanaa, sayansi, teknolojia na asili.
Uwiano wa Dhahabu - Uwiano wa Harmonic
Katika hisabati, uwiano (Kilatini proportio) ni usawa wa uwiano mbili: a: b = c: d.
Sehemu ya mstari AB inaweza kugawanywa katika sehemu mbili kwa njia zifuatazo:
katika sehemu mbili sawa - AB: AC = AB: BC;
katika sehemu mbili zisizo sawa katika uwiano wowote (sehemu hizo hazifanyi uwiano);
hivyo, wakati AB: AC = AC: BC.
Mwisho ni mgawanyiko wa dhahabu au mgawanyiko wa sehemu katika uwiano uliokithiri na wastani.
Sehemu ya dhahabu ni mgawanyiko wa uwiano wa sehemu katika sehemu zisizo sawa, ambazo sehemu nzima inahusiana na sehemu kubwa kwa njia sawa na sehemu kubwa yenyewe inahusiana na ndogo; au kwa maneno mengine, sehemu ndogo inahusiana na ile kubwa kwani ile kubwa inahusiana na kila kitu
a: b = b: c au c: b = b: a.
Mchele. 1. Uwakilishi wa kijiometri wa uwiano wa dhahabu
Ujuzi wa vitendo na uwiano wa dhahabu huanza na kugawanya sehemu ya mstari wa moja kwa moja katika uwiano wa dhahabu kwa kutumia dira na mtawala.
Mchele. 2. Mgawanyiko wa sehemu ya mstari kulingana na sehemu ya dhahabu. BC = 1/2 AB; CD=BC
Kutoka kwa uhakika B, perpendicular sawa na nusu AB inarejeshwa. Hatua ya kusababisha C imeunganishwa na mstari hadi hatua A. Kwenye mstari unaosababisha, sehemu ya BC imepangwa, na kuishia na uhakika D. Sehemu ya AD inahamishiwa kwenye mstari wa moja kwa moja AB. Hatua inayotokana E inagawanya sehemu ya AB katika uwiano wa uwiano wa dhahabu.
Sehemu za uwiano wa dhahabu zinaonyeshwa kama sehemu isiyo na kikomo AE \u003d 0.618 ..., ikiwa AB inachukuliwa kama kitengo, BE \u003d 0.382 ... Kwa madhumuni ya vitendo, takriban maadili ya 0.62 na 0.38 hutumiwa mara nyingi. Ikiwa sehemu ya AB inachukuliwa kama sehemu 100, basi sehemu kubwa ya sehemu ni 62, na ndogo ni sehemu 38.
Sifa za sehemu ya dhahabu zinaelezewa na equation:
x2 - x - 1 = 0.
Suluhisho la equation hii:
Mali ya sehemu ya dhahabu iliunda aura ya kimapenzi ya siri na karibu ibada ya fumbo karibu na nambari hii.
Uwiano wa pili wa dhahabu
Gazeti la Kibulgaria "Fatherland" (No. 10, 1983) lilichapisha makala na Tsvetan Tsekov-Karandash "Katika sehemu ya pili ya dhahabu", ambayo inafuata kutoka sehemu kuu na inatoa uwiano tofauti wa 44: 56.
Sehemu kama hiyo hupatikana katika usanifu, na pia hufanyika katika ujenzi wa utunzi wa picha za muundo wa usawa ulioinuliwa.
Mgawanyiko unafanywa kama ifuatavyo. Sehemu ya AB imegawanywa kwa uwiano wa sehemu ya dhahabu. Kutoka hatua ya C, CD ya perpendicular inarejeshwa. Radius AB ni sehemu ya D, ambayo imeunganishwa kwa mstari kwa uhakika A. ACD ya pembe ya kulia imegawanywa mara mbili. Mstari hutolewa kutoka kwa uhakika C hadi kwenye makutano na mstari wa AD. Pointi Inagawanya sehemu AD kuhusiana na 56:44.
Mchele. 3. Ujenzi wa sehemu ya pili ya dhahabu
Mchele. 4. Mgawanyiko wa mstatili kwa mstari wa sehemu ya pili ya dhahabu
Takwimu inaonyesha nafasi ya mstari wa sehemu ya pili ya dhahabu. Iko katikati kati ya mstari wa sehemu ya dhahabu na mstari wa kati wa mstatili.
Pembetatu ya Dhahabu
Ili kupata sehemu za uwiano wa dhahabu wa safu zinazopanda na kushuka, unaweza kutumia pentagram.
Mchele. 5. Ujenzi wa pentagon ya kawaida na pentagram
Ili kujenga pentagram, unahitaji kujenga pentagon ya kawaida. Njia ya ujenzi wake ilitengenezwa na mchoraji wa Ujerumani na msanii wa picha Albrecht Dürer (1471…1528). Acha O iwe katikati ya duara, A alama kwenye duara, na E katikati ya sehemu ya OA. Perpendicular kwa radius OA, iliyoinuliwa kwenye hatua ya O, inaingiliana na mduara kwenye hatua ya D. Kutumia dira, alama sehemu ya CE = ED kwenye kipenyo. Urefu wa upande wa pentagoni ya kawaida iliyoandikwa kwenye mduara ni DC. Tunaweka kando sehemu za DC kwenye mduara na kupata pointi tano kwa kuchora pentagon ya kawaida. Tunaunganisha pembe za pentagon kupitia diagonal moja na kupata pentagram. Ulalo wote wa pentagon hugawanyika kila mmoja katika sehemu zilizounganishwa na uwiano wa dhahabu.
Kila mwisho wa nyota ya pentagonal ni pembetatu ya dhahabu. Pande zake huunda angle ya 36 ° juu, na msingi uliowekwa upande hugawanya kwa uwiano wa sehemu ya dhahabu.
Chora mstari wa moja kwa moja AB. Kutoka kwa hatua A tunaweka juu yake sehemu ya thamani ya Kiholela mara tatu, kuchora perpendicular kwa mstari wa AB kupitia hatua iliyopatikana P, kwenye perpendicular kwa kulia na kushoto ya hatua P tunaondoa sehemu O. pointi zinazosababisha d na d1 zimeunganishwa na mistari ya moja kwa moja yenye uhakika A. Tunaweka sehemu dd1 kwenye mstari Ad1 , kupata uhakika C. Aligawanya mstari wa Ad1 kwa uwiano wa uwiano wa dhahabu. Mistari Ad1 na dd1 hutumika kujenga mstatili "dhahabu".
Mchele. 6. Kujenga pembetatu ya dhahabu
Historia ya uwiano wa dhahabu
Inakubaliwa kwa ujumla kuwa dhana ya mgawanyiko wa dhahabu ilianzishwa katika matumizi ya kisayansi na Pythagoras, mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki na hisabati (karne ya VI KK). Kuna dhana kwamba Pythagoras aliazima ujuzi wake wa mgawanyiko wa dhahabu kutoka kwa Wamisri na Wababiloni. Hakika, idadi ya piramidi ya Cheops, mahekalu, misaada ya bas, vitu vya nyumbani na mapambo kutoka kwa kaburi la Tutankhamun zinaonyesha kwamba mafundi wa Misri walitumia uwiano wa mgawanyiko wa dhahabu wakati wa kuunda. Mbunifu wa Ufaransa Le Corbusier aligundua kuwa katika unafuu kutoka kwa hekalu la Farao Seti I huko Abydos na katika picha inayoonyesha Farao Ramses, idadi ya takwimu inalingana na maadili ya mgawanyiko wa dhahabu. Mbunifu Khesira, aliyeonyeshwa kwenye ubao wa mbao kutoka kwenye kaburi la jina lake, anashikilia vyombo vya kupimia mikononi mwake, ambayo uwiano wa mgawanyiko wa dhahabu umewekwa.
Wagiriki walikuwa jiomita wenye ujuzi. Hata hesabu ilifundishwa kwa watoto wao kwa msaada wa takwimu za kijiometri. Mraba wa Pythagoras na ulalo wa mraba huu ulikuwa msingi wa kujenga mistatili yenye nguvu.
Mchele. 7. Mistatili yenye Nguvu
Plato (427 ... 347 KK) pia alijua kuhusu mgawanyiko wa dhahabu. Mazungumzo yake "Timaeus" yanajitolea kwa maoni ya hisabati na uzuri wa shule ya Pythagoras na, haswa, kwa maswali ya mgawanyiko wa dhahabu.
Katika facade ya hekalu la kale la Kigiriki la Parthenon kuna uwiano wa dhahabu. Wakati wa uchunguzi wake, dira zilipatikana, ambazo zilitumiwa na wasanifu na wachongaji wa ulimwengu wa kale. Dira ya Pompeian (Makumbusho huko Naples) pia ina idadi ya mgawanyiko wa dhahabu.
Mchele. 8. Compass za kale za uwiano wa dhahabu
Katika fasihi ya zamani ambayo imeshuka kwetu, mgawanyiko wa dhahabu ulitajwa kwanza katika Vipengele vya Euclid. Katika kitabu cha 2 cha "Mwanzo" ujenzi wa kijiometri wa mgawanyiko wa dhahabu unatolewa Baada ya Euclid, Hypsicles (karne ya II KK), Pappus (karne ya III AD) na wengine walihusika katika utafiti wa mgawanyiko wa dhahabu. Katika Ulaya ya kati na kitengo cha dhahabu Tulikutana kupitia tafsiri za Kiarabu za Euclid's Elements. Mtafsiri J. Campano kutoka Navarre (karne ya 3) alitoa maoni kuhusu tafsiri hiyo. Siri za mgawanyiko wa dhahabu zililindwa kwa wivu, zimewekwa kwa usiri mkali. Walijulikana kwa waanzilishi tu.
Wakati wa Renaissance, shauku ya mgawanyiko wa dhahabu kati ya wanasayansi na wasanii iliongezeka kuhusiana na matumizi yake katika jiometri na sanaa, haswa katika usanifu Leonardo da Vinci, msanii na mwanasayansi, aliona kwamba wasanii wa Italia walikuwa na uzoefu mkubwa wa nguvu, lakini ujuzi mdogo. . Alichukua mimba na kuanza kuandika kitabu juu ya jiometri, lakini wakati huo kitabu cha mtawa Luca Pacioli kilionekana, na Leonardo aliacha wazo lake. Kulingana na watu wa zama na wanahistoria wa sayansi, Luca Pacioli alikuwa mwangalizi wa kweli, mwanahisabati mkuu zaidi nchini Italia kati ya Fibonacci na Galileo. Luca Pacioli alikuwa mwanafunzi wa msanii Piero della Francesca, ambaye aliandika vitabu viwili, kimoja kikiitwa On Perspective in Painting. Anachukuliwa kuwa muumbaji wa jiometri ya maelezo.
Luca Pacioli alifahamu vyema umuhimu wa sayansi kwa sanaa. Mnamo 1496, kwa mwaliko wa Duke wa Moreau, alifika Milan, ambapo alifundisha juu ya hesabu. Leonardo da Vinci pia alifanya kazi katika mahakama ya Moro huko Milan wakati huo. Mnamo 1509, Divine Proportion ya Luca Pacioli ilichapishwa huko Venice, ikiwa na vielelezo vilivyotekelezwa kwa ustadi, ndiyo maana inaaminika kuwa vilitengenezwa na Leonardo da Vinci. Kitabu kilikuwa ni wimbo wa shauku kwa uwiano wa dhahabu. Miongoni mwa faida nyingi za uwiano wa dhahabu, mtawa Luca Pacioli hakukosa kutaja "asili yake ya kimungu" kama kielelezo cha utatu wa Uungu wa Mungu Mwana, Mungu Baba na Mungu Roho Mtakatifu (ilieleweka kuwa sehemu ni utu wa Mungu Mwana, sehemu kubwa ni mtu wa Mungu Baba, na sehemu nzima - mungu wa roho takatifu).
Leonardo da Vinci pia alitilia maanani sana utafiti wa mgawanyiko wa dhahabu. Aliunda sehemu za mwili wa sterometri iliyoundwa na pentagoni za kawaida, na kila wakati alipata mistatili na uwiano wa kipengele katika mgawanyiko wa dhahabu. Kwa hiyo, alitoa mgawanyiko huu jina la sehemu ya dhahabu. Kwa hivyo bado ni maarufu zaidi.
Wakati huohuo, huko kaskazini mwa Ulaya, huko Ujerumani, Albrecht Dürer alikuwa akishughulikia matatizo yaleyale. Anachora utangulizi wa rasimu ya kwanza ya mkataba juu ya uwiano. Durer anaandika. “Ni lazima anayejua jambo fulani awafundishe wengine wanaohitaji. Hiki ndicho nilichokusudia kufanya."
Kwa kuzingatia mojawapo ya barua za Dürer, alikutana na Luca Pacioli wakati wa kukaa kwake nchini Italia. Albrecht Dürer anaendeleza kwa undani nadharia ya uwiano wa mwili wa binadamu. Dürer alitoa nafasi muhimu katika mfumo wake wa uwiano kwa sehemu ya dhahabu. Urefu wa mtu umegawanywa kwa uwiano wa dhahabu na mstari wa ukanda, na pia kwa mstari unaotolewa kupitia vidokezo vya vidole vya kati vya mikono iliyopunguzwa, sehemu ya chini ya uso - kwa mdomo, nk. Dira ya uwiano inayojulikana Dürer.
Mtaalamu mkubwa wa nyota wa karne ya 16 Johannes Kepler aliita uwiano wa dhahabu kuwa moja ya hazina za jiometri. Yeye ndiye wa kwanza kuteka kipaumbele kwa umuhimu wa uwiano wa dhahabu kwa botania (ukuaji wa mimea na muundo).
Kepler aliita uwiano wa dhahabu kuwa ni mwendelezo wa kibinafsi.” “Imepangwa kwa njia ambayo,” aliandika, “kwamba maneno mawili madogo ya uwiano huu usio na kipimo yanajumlisha muhula wa tatu, na maneno yoyote mawili ya mwisho, yakiunganishwa pamoja, hutoa. muhula unaofuata, na uwiano sawa unabaki hadi ukomo."
Ujenzi wa mfululizo wa makundi ya uwiano wa dhahabu unaweza kufanywa wote kwa mwelekeo wa kuongezeka (kuongezeka kwa mfululizo) na kwa mwelekeo wa kupungua (kushuka mfululizo).
Ikiwa kwenye mstari wa moja kwa moja wa urefu wa kiholela, tenga sehemu ya m, ijayo tunaweka sehemu ya M. Kulingana na sehemu hizi mbili, tunajenga kiwango cha sehemu ya uwiano wa dhahabu wa safu zinazopanda na kushuka.
Mchele. 9. Kujenga kiwango cha makundi ya uwiano wa dhahabu
Katika karne zilizofuata, kanuni ya uwiano wa dhahabu iligeuka kuwa kanuni ya kitaaluma, na wakati, baada ya muda, mapambano yalianza katika sanaa na utaratibu wa kitaaluma, katika joto la mapambano, "walimfukuza mtoto pamoja na maji. ” Sehemu ya dhahabu "iligunduliwa" tena katikati ya karne ya 19. Mnamo 1855, mtafiti wa Ujerumani wa sehemu ya dhahabu, Profesa Zeising, alichapisha kazi yake Utafiti wa Aesthetic. Kwa Zeising, kile kilichotokea kililazimika kutokea kwa mtafiti ambaye anazingatia jambo hilo kama vile, bila uhusiano na matukio mengine. Alibatilisha uwiano wa sehemu ya dhahabu, akitangaza kuwa ni ya ulimwengu kwa matukio yote ya asili na sanaa. Zeising ilikuwa na wafuasi wengi, lakini pia kulikuwa na wapinzani ambao walitangaza fundisho lake la uwiano kuwa "aesthetics ya hisabati".
Mchele. 10. Uwiano wa dhahabu katika sehemu za mwili wa mwanadamu
Zeising alifanya kazi nzuri. Alipima takriban miili elfu mbili ya wanadamu na akafikia hitimisho kwamba uwiano wa dhahabu unaonyesha sheria ya wastani ya takwimu. Mgawanyiko wa mwili kwa hatua ya kitovu ni kiashiria muhimu zaidi cha uwiano wa dhahabu. Uwiano wa mwili wa kiume hubadilika ndani ya uwiano wa wastani wa 13: 8 = 1.625 na ni karibu na uwiano wa dhahabu kuliko uwiano wa mwili wa kike, kuhusiana na ambayo thamani ya wastani ya sehemu hiyo inaonyeshwa kwa uwiano wa 8: 5 = 1.6. Katika mtoto mchanga, uwiano ni 1: 1, kwa umri wa miaka 13 ni 1.6, na kwa umri wa miaka 21 ni sawa na kiume. Uwiano wa sehemu ya dhahabu pia huonyeshwa kuhusiana na sehemu nyingine za mwili - urefu wa bega, forearm na mkono, mkono na vidole, nk.
Mchele. 11. Uwiano wa dhahabu katika takwimu ya binadamu
Zeising alijaribu uhalali wa nadharia yake juu ya sanamu za Kigiriki. Alikuza idadi ya Apollo Belvedere kwa undani zaidi. Vases za Kigiriki, miundo ya usanifu wa eras mbalimbali, mimea, wanyama, mayai ya ndege, tani za muziki, mita za mashairi zilifanywa kwa utafiti. Zeising ilifafanua uwiano wa dhahabu, ilionyesha jinsi inavyoonyeshwa katika sehemu za mstari na kwa nambari. Wakati takwimu zinazoonyesha urefu wa sehemu zilipatikana, Zeising iliona kwamba zilijumuisha mfululizo wa Fibonacci, ambao ungeweza kuendelea kwa muda usiojulikana katika mwelekeo mmoja na mwingine. Kitabu chake kilichofuata kiliitwa "Golden division as the basic morphological law in nature and art." Mnamo 1876, kitabu kidogo, karibu kijitabu, kilichapishwa nchini Urusi, kikielezea kazi ya Zeising. Mwandishi alikimbilia chini ya maandishi ya kwanza Yu.F.V. Hakuna hata mchoro mmoja uliotajwa katika toleo hili.
Mwisho wa XIX - mwanzo wa karne za XX. nadharia nyingi za urasmi zilionekana juu ya matumizi ya sehemu ya dhahabu katika kazi za sanaa na usanifu. Pamoja na maendeleo ya kubuni na aesthetics ya kiufundi, sheria ya uwiano wa dhahabu iliyopanuliwa kwa kubuni ya magari, samani, nk.
Mfululizo wa Fibonacci
Jina la mtawa wa hesabu wa Kiitaliano Leonardo kutoka Pisa, anayejulikana zaidi kama Fibonacci (mwana wa Bonacci), linahusishwa kwa njia isiyo ya moja kwa moja na historia ya sehemu ya dhahabu. Alisafiri sana Mashariki, akaanzisha Uropa kwa nambari za Kihindi (Kiarabu). Mnamo 1202, kazi yake ya hisabati Kitabu cha Abacus (Bodi ya Kuhesabu) ilichapishwa, ambayo shida zote zilizojulikana wakati huo zilikusanywa. Moja ya kazi ilisoma "Ni jozi ngapi za sungura katika mwaka mmoja kutoka kwa jozi moja zitazaliwa." Kwa kutafakari mada hii, Fibonacci aliunda safu zifuatazo za nambari:
Msururu wa nambari 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, nk. inayojulikana kama mfululizo wa Fibonacci. Upekee wa mlolongo wa nambari ni kwamba kila mmoja wa wanachama wake, kuanzia wa tatu, ni sawa na jumla ya mbili zilizopita 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, nk, na uwiano wa nambari za karibu za mfululizo unakaribia uwiano wa mgawanyiko wa dhahabu. Kwa hiyo, 21:34 = 0.617, na 34:55 = 0.618. Uwiano huu unaonyeshwa na ishara Ф. Uwiano huu tu - 0.618: 0.382 - hutoa mgawanyiko unaoendelea wa sehemu ya mstari wa moja kwa moja katika uwiano wa dhahabu, kuongeza au kupunguza kwa infinity, wakati sehemu ndogo inahusiana na moja kubwa zaidi. kubwa ni kwa kila kitu.
Fibonacci pia ilishughulikia mahitaji ya kivitendo ya biashara: ni idadi gani ndogo ya uzani ambayo inaweza kutumika kupima bidhaa? Fibonacci inathibitisha kuwa mfumo ufuatao wa uzani ni bora: 1, 2, 4, 8, 16…
Uwiano wa dhahabu wa jumla
Mfululizo wa Fibonacci ungeweza kubaki tu tukio la kihesabu ikiwa sio kwa ukweli kwamba watafiti wote wa mgawanyiko wa dhahabu katika ulimwengu wa mimea na wanyama, bila kutaja sanaa, mara kwa mara walikuja kwenye mfululizo huu kama usemi wa hesabu wa sheria ya mgawanyiko wa dhahabu. .
Wanasayansi waliendelea kukuza kikamilifu nadharia ya nambari za Fibonacci na uwiano wa dhahabu. Yu. Matiyasevich anatatua tatizo la 10 la Hilbert kwa kutumia nambari za Fibonacci. Kuna njia za kifahari za kutatua shida kadhaa za cybernetic (nadharia ya utaftaji, michezo, programu) kwa kutumia nambari za Fibonacci na sehemu ya dhahabu. Huko USA, hata Jumuiya ya Hisabati ya Fibonacci inaundwa, ambayo imekuwa ikichapisha jarida maalum tangu 1963.
Mojawapo ya mafanikio katika eneo hili ni ugunduzi wa nambari za jumla za Fibonacci na uwiano wa jumla wa dhahabu.
Msururu wa Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) na safu ya "binary" ya uzani 1, 2, 4, 8, 16, iliyogunduliwa naye ... ni tofauti kabisa kwa mtazamo wa kwanza. Lakini algorithms ya kuziunda ni sawa kwa kila mmoja: katika kesi ya kwanza, kila nambari ni jumla ya nambari iliyotangulia na yenyewe 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., kwa pili - hii ni jumla ya nambari mbili za awali 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Je, inawezekana kupata fomula ya jumla ya hisabati ambayo mfululizo wa "binary" na mfululizo wa Fibonacci hupatikana? Au labda fomula hii itatupa seti mpya za nambari zilizo na sifa mpya za kipekee?
Hakika, hebu tuweke parameter ya nambari S, ambayo inaweza kuchukua maadili yoyote: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Fikiria mfululizo wa nambari, S+ 1 ambazo masharti yake ya kwanza ni vitengo, na kila moja ya zile zinazofuata ni sawa na jumla ya masharti mawili ya lile lililotangulia na lile linalotenganishwa na lile lililotangulia kwa S hatua. Kama n tunaashiria neno la th la mfululizo huu kwa φ
S (n), basi tunapata formula ya jumla φ S( n) = φ S ( n- 1) + φ S (n – S – 1).Ni dhahiri kwamba saa S= 0 kutoka kwa fomula hii tunapata safu ya "binary", na S= 1 - mfululizo wa Fibonacci, na S\u003d 2, 3, 4. mfululizo mpya wa nambari zinazoitwa S Nambari za Fibonacci.
Kwa ujumla dhahabu S-proportion ni mzizi chanya wa mlinganyo wa dhahabu S-sehemu za x
S+1 - x S - 1 = 0.Ni rahisi kuonyesha kwamba kwa S = 0, mgawanyiko wa sehemu katika nusu hupatikana, na kwa S = 1, sehemu ya dhahabu ya classical inayojulikana.
Uwiano wa nambari za S za Fibonacci zilizo na usahihi kamili wa kihesabu unalingana katika kikomo na uwiano wa dhahabu wa S! Wanahisabati katika hali kama hizi wanasema kuwa sehemu za S za dhahabu ni tofauti za nambari za nambari za S za Fibonacci.
Ukweli unaothibitisha kuwepo kwa sehemu za dhahabu za S katika asili hutolewa na mwanasayansi wa Kibelarusi E.M. Soroko katika kitabu "Harmony ya Miundo ya Mifumo" (Minsk, "Sayansi na Teknolojia", 1984). Inabadilika, kwa mfano, kwamba aloi za binary zilizosomwa vizuri zina sifa maalum, zilizotamkwa za kazi (imara ya joto, ngumu, sugu ya kuvaa, sugu ya oksidi, n.k.) ikiwa tu uzani maalum wa vifaa vya awali vinahusiana. kwa moja ya idadi ya dhahabu ya S. Hii iliruhusu mwandishi kuweka dhana kwamba sehemu za dhahabu za S ni tofauti za nambari za mifumo ya kujipanga. Ikithibitishwa kimajaribio, dhana hii inaweza kuwa ya umuhimu wa kimsingi kwa maendeleo ya synergetics, uwanja mpya wa sayansi ambao husoma michakato katika mifumo ya kujipanga.
Kwa kutumia misimbo ya dhahabu yenye uwiano wa S, nambari yoyote halisi inaweza kuonyeshwa kama jumla ya digrii za uwiano wa dhahabu wa S na coefficients kamili.
Tofauti ya kimsingi kati ya njia hii ya nambari za usimbaji ni kwamba besi za nambari mpya, ambazo ni za dhahabu za S, kwa S> 0 zinageuka kuwa nambari zisizo na mantiki. Kwa hivyo, mifumo mpya ya nambari iliyo na misingi isiyo na maana, kama ilivyokuwa, inaweka safu ya kihistoria ya uhusiano kati ya nambari za busara na zisizo na maana "kichwa chini". Ukweli ni kwamba mwanzoni nambari za asili "ziligunduliwa"; basi uwiano wao ni nambari za busara. Na baadaye tu - baada ya Pythagoreans kugundua sehemu zisizoweza kulinganishwa - nambari zisizo na maana zilionekana. Kwa mfano, katika decimal, quinary, binary na mifumo mingine ya nambari ya asili, nambari za asili - 10, 5, 2 - zilichaguliwa kama aina ya kanuni ya msingi, ambayo, kwa mujibu wa sheria fulani, asili nyingine zote, pamoja na busara. na nambari zisizo na mantiki zilijengwa.
Aina ya mbadala kwa njia zilizopo za kuhesabu ni mfumo mpya, usio na maana, kama kanuni ya msingi, ambayo mwanzo wake huchaguliwa kama nambari isiyo na maana (ambayo, tunakumbuka, ni mzizi wa equation ya sehemu ya dhahabu); nambari zingine halisi tayari zimeonyeshwa kupitia hiyo.
Katika mfumo wa nambari kama hii, nambari yoyote asilia huwakilishwa kama nambari yenye kikomo - na sio isiyo na kikomo, kama ilivyofikiriwa hapo awali! ni jumla ya mamlaka ya uwiano wowote wa S-dhahabu. Hii ni moja ya sababu kwa nini hesabu "isiyo na akili", kuwa na unyenyekevu wa ajabu wa hisabati na uzuri, inaonekana kuwa imepata sifa bora za binary ya classical na hesabu ya "Fibonacci".
Kanuni za kuunda asili
Kila kitu ambacho kilichukua fomu fulani kiliundwa, kilikua, kilijitahidi kuchukua nafasi katika nafasi na kujihifadhi. Tamaa hii hupata utimilifu hasa katika lahaja mbili - ukuaji wa juu au kuenea juu ya uso wa dunia na kujipinda katika ond.
Ganda limepotoshwa kwa ond. Ikiwa utaifunua, unapata urefu mdogo chini ya urefu wa nyoka. Kamba ndogo ya sentimita kumi ina ond urefu wa cm 35. Spirals ni ya kawaida sana katika asili. Dhana ya uwiano wa dhahabu itakuwa haijakamilika, ikiwa sio kusema juu ya ond.
Mchele. 12. Spiral ya Archimedes
Umbo la ganda lililopindika kwa mzunguko lilivutia usikivu wa Archimedes. Aliisoma na akagundua equation ya ond. Ond inayotolewa kulingana na equation hii inaitwa kwa jina lake. Kuongezeka kwa hatua yake daima ni sawa. Kwa sasa, ond ya Archimedes hutumiwa sana katika uhandisi.
Hata Goethe alisisitiza tabia ya asili kwa spiralality. Mpangilio wa ond na ond wa majani kwenye matawi ya miti uligunduliwa zamani. Ond ilionekana katika mpangilio wa mbegu za alizeti, katika mbegu za pine, mananasi, cacti, nk. Kazi ya pamoja ya wataalamu wa mimea na wanahisabati imetoa mwanga juu ya matukio haya ya ajabu ya asili. Ilibadilika kuwa katika mpangilio wa majani kwenye tawi (phylotaxis), mbegu za alizeti, mbegu za pine, mfululizo wa Fibonacci unajidhihirisha, na kwa hiyo, sheria ya sehemu ya dhahabu inajidhihirisha. Buibui huzungusha mtandao wake kwa mpangilio wa ond. Kimbunga kinazunguka. Kundi lililoogopa la kulungu hutawanyika kwa ond. Molekuli ya DNA inaendelea kuwa hesi mbili. Goethe aliita ond "curve ya maisha."
Miongoni mwa mimea ya barabarani hukua mmea usio na ajabu - chicory. Hebu tuangalie kwa karibu zaidi. Tawi liliundwa kutoka kwa shina kuu. Hapa kuna jani la kwanza.
Mchele. 13. Chicory
Mchakato huo hufanya ejection yenye nguvu kwenye nafasi, huacha, hutoa jani, lakini ni fupi kuliko ya kwanza, tena hufanya ejection kwenye nafasi, lakini kwa nguvu kidogo, hutoa jani hata ndogo na ejection tena. Ikiwa nje ya kwanza inachukuliwa kama vitengo 100, basi ya pili ni sawa na vitengo 62, ya tatu ni 38, ya nne ni 24, na kadhalika. Urefu wa petals pia ni chini ya uwiano wa dhahabu. Katika ukuaji, ushindi wa nafasi, mmea ulihifadhi idadi fulani. Misukumo yake ya ukuaji ilipungua polepole kulingana na uwiano wa dhahabu.
Mchele. 15. Yai la ndege
Goethe mkuu, mshairi, mwanasayansi wa asili na msanii (alichora na kuchora kwa rangi ya maji), aliota kuunda fundisho la umoja la fomu, malezi na mabadiliko ya miili ya kikaboni. Ni yeye aliyeanzisha neno mofolojia katika matumizi ya kisayansi.
Pierre Curie mwanzoni mwa karne yetu alitengeneza mawazo kadhaa ya kina ya ulinganifu. Alisema kuwa mtu hawezi kuzingatia ulinganifu wa chombo chochote bila kuzingatia ulinganifu wa mazingira.
Mifumo ya ulinganifu wa "dhahabu" huonyeshwa katika mabadiliko ya nishati ya chembe za msingi, katika muundo wa misombo fulani ya kemikali, katika mifumo ya sayari na nafasi, katika miundo ya jeni ya viumbe hai. Mifumo hii, kama ilivyoonyeshwa hapo juu, iko katika muundo wa viungo vya mtu binafsi na mwili kwa ujumla, na pia huonyeshwa katika biorhythms na utendaji wa ubongo na mtazamo wa kuona.
Uwiano wa dhahabu na ulinganifu
Uwiano wa dhahabu hauwezi kuzingatiwa yenyewe, tofauti, bila uhusiano na ulinganifu. Mtaalamu mkubwa wa fuwele wa Kirusi G.V. Wulff (1863-1925) alizingatia uwiano wa dhahabu kuwa mojawapo ya maonyesho ya ulinganifu.
Mgawanyiko wa dhahabu sio udhihirisho wa asymmetry, kitu kinyume na ulinganifu Kulingana na dhana za kisasa, mgawanyiko wa dhahabu ni ulinganifu wa asymmetric. Sayansi ya ulinganifu inajumuisha dhana kama vile ulinganifu tuli na dhabiti. Ulinganifu wa tuli una sifa ya kupumzika, usawa, na ulinganifu wa nguvu unaashiria harakati, ukuaji. Kwa hiyo, kwa asili, ulinganifu wa tuli unawakilishwa na muundo wa fuwele, na katika sanaa ni sifa ya amani, usawa na immobility. Ulinganifu wa nguvu huonyesha shughuli, sifa ya harakati, maendeleo, rhythm, ni ushahidi wa maisha. Ulinganifu wa tuli una sifa ya makundi sawa, ukubwa sawa. Ulinganifu wa nguvu unaonyeshwa na kuongezeka kwa sehemu au kupungua kwao, na inaonyeshwa kwa maadili ya sehemu ya dhahabu ya safu inayoongezeka au inayopungua.
Maelezo ya kibiblia: Maksimenko O. V., Mchungaji V. S., Vorfolomeeva P. V., Mozikova K. A., Nikolaeva M. E., Shmeleva O. V. Juu ya dhana ya Sehemu ya Dhahabu // Mwanasayansi mdogo. - 2016. - No. 6.1. - S. 35-39..02.2019).
"Jiometri ina hazina mbili:
mmoja wao ni nadharia ya Pythagorean,
nyingine ni mgawanyiko wa sehemu katika uwiano wa kati na uliokithiri "
Johannes Kepler
Maneno muhimu: uwiano wa dhahabu, uwiano wa dhahabu, jambo la kisayansi.
Madhumuni ya kazi yetu ni kujifunza vyanzo vya habari kuhusiana na "Sehemu ya Dhahabu" katika nyanja mbalimbali za ujuzi, kutambua mifumo na kupata viungo kati ya sayansi, kutambua maana ya vitendo ya Sehemu ya Dhahabu.
Umuhimu wa utafiti huu umedhamiriwa na historia ya karne nyingi ya matumizi ya sehemu ya dhahabu katika hisabati na sanaa. Kile ambacho watu wa kale walishangaa kinabaki kuwa muhimu na kinaamsha shauku ya watu wa zama hizi.
Wakati wote, watu wamejaribu kutafuta mifumo katika ulimwengu unaowazunguka. Walijizunguka na vitu vya fomu "sahihi" kutoka kwa mtazamo wao. Ni kwa maendeleo ya hisabati tu ndipo watu waliweza kupima "uwiano wa dhahabu", ambao baadaye ulijulikana kama "Golden Ratio".
uwiano wa dhahabu- uwiano wa harmonic
Sehemu ya dhahabu ni mgawanyiko wa uwiano wa sehemu katika sehemu zisizo sawa, ambazo sehemu nzima inahusiana na sehemu kubwa kwa njia sawa na sehemu kubwa yenyewe inahusiana na ndogo; au, kwa maneno mengine, sehemu ndogo inahusiana na kubwa zaidi kwani kubwa ni kwa kila kitu (Mchoro 1).
a: b = b: c
Mchele. 1. Mgawanyiko wa sehemu kulingana na uwiano wa dhahabu
Hebu tukumbushe nini uwiano wa dhahabu ni. Ufafanuzi wa uwezo zaidi wa uwiano wa dhahabu unasema kwamba sehemu ndogo inahusiana na moja kubwa, kwani moja kubwa ni kwa nzima. Thamani yake ya takriban ni 1.6180339887. Kwa asilimia iliyopunguzwa, idadi ya sehemu za sehemu nzima itahusiana kama 62% hadi 38%. Uwiano huu unafanya kazi katika fomu za nafasi na wakati.
pembetatu ya dhahabu namstatili
Mbali na kugawanya sehemu katika sehemu zisizo sawa (sehemu ya dhahabu), fikiria pembetatu ya dhahabu na mstatili wa dhahabu.
Mstatili wa dhahabu ni mstatili ambao urefu wa upande ni katika uwiano wa dhahabu (Mchoro 2).
Kila mwisho wa nyota ya pentagonal ni pembetatu ya dhahabu. Pande zake huunda angle ya 36 ° juu, na msingi uliowekwa upande hugawanya kwa uwiano wa sehemu ya dhahabu (Mchoro 3).
Mtini.2. mstatili wa dhahabu
Mtini.3 Pembetatu ya dhahabu
Pentacle
Katika nyota ya kawaida yenye alama tano, kila sehemu imegawanywa na sehemu inayoiingilia katika sehemu ya dhahabu, yaani uwiano wa sehemu ya bluu na kijani, nyekundu hadi bluu, kijani hadi zambarau, ni 1.618 (Mchoro 4).
Mtini.4. pentagram-hygieia
Pythagoras alidai kwamba pentagram, au, kama alivyoiita, hygieia, ni ukamilifu wa hisabati, kwani inaficha uwiano wa dhahabu. Uwiano wa sehemu ya bluu na kijani, nyekundu hadi bluu, kijani na zambarau ni uwiano wa dhahabu.
Mfululizo wa Fibonacci
Msururu wa nambari 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, n.k. unajulikana kama mfululizo wa Fibonacci. Upekee wa mlolongo wa nambari ni kwamba kila mmoja wa washiriki wake, kuanzia wa tatu, ni sawa na jumla ya hizo mbili zilizopita, na uwiano wa nambari za karibu za mfululizo unakaribia uwiano wa mgawanyiko wa dhahabu.
Kwa hiyo, 21:34 = 0.617
34: 55 = 0,618.
Historia ya uwiano wa dhahabu
Inakubaliwa kwa ujumla kuwa dhana ya mgawanyiko wa dhahabu ilianzishwa katika matumizi ya kisayansi na Pythagoras, mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki na hisabati (karne ya VI KK). Kuna dhana kwamba Pythagoras aliazima ujuzi wake wa mgawanyiko wa dhahabu kutoka kwa Wamisri na Wababiloni. Hakika, idadi ya piramidi ya Cheops, mahekalu, misaada ya bas, vitu vya nyumbani na mapambo kutoka kwa kaburi la Tutankhamun zinaonyesha kwamba mafundi wa Misri walitumia uwiano wa mgawanyiko wa dhahabu wakati wa kuunda.
uwiano wa dhahabu ndanisehemu za mwili wa mwanadamu
Mnamo 1855, mtafiti wa Ujerumani wa sehemu ya dhahabu, Profesa Zeising, alichapisha kazi yake Utafiti wa Aesthetic.
Zeising kipimo kuhusu miili elfu mbili ya binadamu na akafikia hitimisho kwamba uwiano wa dhahabu unaonyesha wastani wa sheria ya takwimu (Mchoro 5).
Mtini. 5 Uwiano wa dhahabu katika sehemu za mwili wa mwanadamu
uwiano wa dhahabu ndaniwanyamapori
Inashangaza jinsi dhana moja tu ya hisabati inavyopatikana katika sehemu nyingi za maarifa ya mwanadamu. Inaonekana kupenya kila kitu duniani, kuunganisha maelewano na machafuko, hisabati na sanaa.
Uchunguzi wa kibiolojia umeonyesha kuwa, kuanzia na virusi na mimea na kuishia na mwili wa binadamu, kila mahali uwiano wa dhahabu umefunuliwa, unaoonyesha uwiano na maelewano ya muundo wao. Uwiano wa dhahabu unatambuliwa kama sheria ya ulimwengu ya mifumo ya maisha.
Katika mjusi, kwa mtazamo wa kwanza, idadi ambayo ni ya kupendeza kwa macho yetu imekamatwa - urefu wa mkia wake unahusiana na urefu wa mwili wote kama 62 hadi 38 (Mchoro 6).
Mtini.6 Uwiano wa dhahabu katika sehemu za mwili wa mjusi
uwiano wa dhahabu ndaniusanifu
Katika vitabu juu ya "sehemu ya dhahabu" mtu anaweza kupata maoni kwamba katika usanifu, kama katika uchoraji, kila kitu kinategemea nafasi ya mwangalizi, na ikiwa idadi fulani katika jengo kwa upande mmoja inaonekana kuunda "sehemu ya dhahabu", basi kutoka kwa maoni mengine wataonekana tofauti. "Sehemu ya dhahabu" inatoa uwiano wa kupumzika zaidi wa ukubwa wa urefu fulani.
Moja ya kazi nzuri zaidi za usanifu wa kale wa Kigiriki ni Parthenon (Mchoro 7). Uwiano wa urefu wa jengo hadi urefu wake ni 0.618. Ikiwa tunagawanya Parthenon kulingana na "sehemu ya dhahabu", tutapata protrusions fulani ya facade.
Mfano mwingine kutoka kwa usanifu wa kale ni piramidi ya Cheops (Mchoro 8).
Uwiano wa Piramidi Kuu huhifadhiwa katika "Uwiano wa Dhahabu"
Wajenzi wa zamani waliweza kujenga mnara huu wa ajabu kwa usahihi karibu kabisa wa uhandisi na ulinganifu.
Mtini.7. Parthenon
Mtini.8. Piramidi ya Cheops
uwiano wa dhahabu ndanimchongaji
Uwiano wa "sehemu ya dhahabu" huunda hisia ya maelewano ya uzuri, kwa hivyo wachongaji walitumia katika kazi zao. Kwa hiyo, kwa mfano, sanamu maarufu ya Apollo Belvedere ina sehemu ambazo zimegawanywa kulingana na uwiano wa dhahabu (Mchoro 9).
Mtini.9 Sanamu ya Apollo Belvedere
uwiano wa dhahabu ndaniuchoraji
Kugeuka kwa mifano ya "sehemu ya dhahabu" katika uchoraji, mtu hawezi lakini kuacha tahadhari yake juu ya kazi ya Leonardo da Vinci. Hebu tuchunguze kwa undani uchoraji "La Gioconda". Utungaji wa picha umejengwa kwenye pembetatu za dhahabu (Mchoro 10).
Mchoro 10 Leonardo da Vinci "Gioconda"
Mfano mwingine wa sehemu ya dhahabu katika uchoraji ni uchoraji wa Raphael Mauaji ya Wasio na Hatia (Mchoro 11). Kwenye mchoro wa maandalizi ya Raphael, mistari nyekundu hutolewa kutoka katikati ya semantic ya utunzi. Ikiwa kwa kawaida unaunganisha vipande hivi vya curve na mstari wa dotted, basi kwa usahihi wa juu sana unapata ... ond ya dhahabu!
Mtini.11. Raphael "Mauaji ya wasio na hatia"
uwiano wa dhahabu ndanikazi za fasihi
Aina za sanaa ya muda kwa njia yao wenyewe hutuonyesha kanuni ya mgawanyiko wa dhahabu. Utawala wa sehemu ya dhahabu pia inatumika katika kazi za kibinafsi za classic ya Kirusi. Kwa hiyo, katika hadithi "Malkia wa Spades" kuna mistari 853, na kilele kinaanguka kwenye mstari wa 535 (853:535 = 1.6) - hii ndiyo hatua ya sehemu ya dhahabu.
uwiano wa dhahabu ndanipicha za mwendo
Mkurugenzi wa filamu Sergei Eisenstein aliratibu kwa makusudi hati ya filamu yake "The Battleship Potemkin" na sheria ya sehemu ya dhahabu, akigawanya mkanda katika sehemu tano.
Hitimisho
Uwiano wa dhahabu ulijulikana katika Misri ya kale na Babeli, nchini India na China. Pythagoras mkuu aliunda shule ya siri ambapo kiini cha fumbo cha "sehemu ya dhahabu" ilisomwa. Euclid aliitumia, akiunda jiometri yake, na Phidias - sanamu zake za kutokufa. Plato alisema kwamba ulimwengu umepangwa kulingana na "sehemu ya dhahabu". Na Aristotle alipata mawasiliano ya "sehemu ya dhahabu" kwa sheria ya maadili. Maelewano ya juu zaidi ya "sehemu ya dhahabu" yatahubiriwa na Leonardo da Vinci na Michelangelo, kwa sababu uzuri na "sehemu ya dhahabu" ni moja na sawa. Na mafumbo ya Kikristo yatachora pentagrams za "sehemu ya dhahabu" kwenye kuta za monasteri zao, wakitoroka kutoka kwa Ibilisi. Wakati huo huo, wanasayansi - kutoka Pacioli hadi Einstein - watafuta, lakini hawatapata maana yake halisi. Mfululizo usio na mwisho baada ya uhakika wa decimal - 1.6180339887... Jambo la ajabu, la ajabu, lisiloeleweka: uwiano huu wa kimungu unaambatana na viumbe vyote vilivyo hai. Asili isiyo na uhai haijui "sehemu ya dhahabu" ni nini. Lakini hakika utaona uwiano huu katika curves ya shells za bahari, na kwa namna ya maua, na kwa namna ya mende, na katika mwili mzuri wa kibinadamu. Kila kitu kilicho hai na kila kitu kizuri - kila kitu kinatii sheria ya Mungu, jina ambalo ni "sehemu ya dhahabu". Kwa hivyo "uwiano wa dhahabu" ni nini? Je! ni mchanganyiko gani huu kamili, wa kimungu? Labda ni sheria ya uzuri? Au bado ni siri ya ajabu? Jambo la kisayansi au kanuni ya maadili? Jibu bado halijajulikana. Kwa usahihi - hapana, inajulikana. "Sehemu ya dhahabu" ni hiyo, na nyingine, na ya tatu. Sio tu tofauti, lakini wakati huo huo ... Na hii ni siri yake ya kweli, siri yake kubwa.
Fasihi:
- Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. na wengine. Hisabati - 6. - M .: Mnemosyne, 2015
- Korbalan F. Sehemu ya dhahabu. Lugha ya hisabati ya uzuri. (Ulimwengu wa Hisabati T.1). - M.: DeAgostini, 2014
- Kuweka saa G. E. Sehemu ya Dhahabu. - M.: Librokom, 2009
Maneno muhimu: uwiano wa dhahabu, uwiano wa dhahabu, jambo la kisayansi.
Ufafanuzi: Uwiano wa dhahabu ni udhihirisho wa ulimwengu wote wa maelewano ya muundo. Inapatikana katika asili, sayansi, sanaa - katika kila kitu ambacho mtu anaweza kuwasiliana nacho. Waandishi wa kifungu hicho huchunguza fasihi, kupata viungo kati ya sayansi zinazohusiana na Sehemu ya Dhahabu, kufunua maana ya vitendo ya idadi ya dhahabu.
