Punguza kwa minus inatoa ishara. Vitendo na minus.

"Adui wa adui yangu ni rafiki yangu."

Kupunguza na pamoja ni ishara za idadi hasi na chanya katika hisabati. Wanawasiliana nao tofauti, hivyo wakati wa kufanya vitendo vyovyote na namba, kwa mfano, mgawanyiko, kuzidisha, kuondoa, kuongeza, nk, lazima izingatiwe kanuni za ishara. Bila sheria hizi, huwezi kutatua hata kazi ya algebra au ya kijiometri. Bila ujuzi wa sheria hizi, huwezi kuchunguza tu hisabati, lakini pia fizikia, kemia, biolojia, na hata jiografia.

Fikiria maelezo zaidi sheria za msingi za ishara.

Idara.

Ikiwa tunagawanya "Plus" kwa "minus", sisi daima kupata "minus". Ikiwa tunagawanya "minus" kwa "plus", sisi daima kupata "minus". Ikiwa tunagawanya pamoja na "Plus", tunapata pamoja. Ikiwa tunagawanya "minus" kwa "minus", tutapata, isiyo ya kawaida, pia "pamoja".

Kuzidisha.

Ikiwa tunazidisha "kupunguza" kwa "plus", sisi daima kupata "minus". Ikiwa tunazidisha "plus" kwa "minus", sisi daima kupata "minus". Ikiwa tunazidisha "Plus" kwa "Plus", basi tunapata idadi nzuri, yaani, "Plus". Hali hiyo inatumika kwa idadi mbili hasi. Ikiwa tunazidisha "minus" kwa "minus", tutapata "Plus".

Kuondoa na kuongeza.

Wao ni msingi wa kanuni nyingine. Ikiwa nambari mbaya ni modulo zaidi kuliko chanya, basi matokeo, bila shaka, itakuwa hasi. Hakika, unashangaa nini moduli ni kwa nini yeye yuko hapa. Kila kitu ni rahisi sana. Moduli ni thamani ya idadi, lakini bila ishara. Kwa mfano -7 na 3. Kwa moduli -7, itakuwa 7 tu, na 3 itabaki 3. Matokeo yake, tunaona kwamba 7 zaidi, yaani, inageuka kuwa idadi yetu mbaya ni kubwa zaidi. Kwa hiyo itatolewa - 7 + 3 \u003d -4. Inaweza kufanyika hata rahisi. Ili tu kuweka idadi nzuri kwa nafasi ya kwanza, na itatolewa 3-7 \u003d -4, labda mtu anaeleweka zaidi. Kuondolewa kunaendeshwa kikamilifu na kanuni hiyo.

Vikwazo viwili hufanya uthibitisho- Hii ni sheria ambayo tulijifunza shuleni na tumia maisha yako yote. Na ni nani kati yetu aliyependa kwa nini? Bila shaka, ni rahisi bila maswali yoyote kukumbuka maneno haya na kwa undani hawaelewi suala hilo. Sasa, bila habari unayohitaji "kuchimba". Lakini kwa wale ambao bado watavutiwa na swali hili, tutajaribu kutoa maelezo ya jambo hili la hisabati.

Tangu nyakati za kale, watu hutumia idadi nzuri ya asili: 1, 2, 3, 4, 5, ... Kwa msaada wa idadi, ng'ombe, mavuno, maadui, nk zilizingatiwa. Wakati wa kuongeza na kuzidisha namba mbili nzuri, idadi nzuri pia ilipatikana, katika mgawanyiko wa maadili fulani kwa wengine, namba za asili hazikupatikana kila wakati - namba za sehemu zimeonekana. Nini kuhusu kuondoa? Kutoka kwa miaka ya watoto, tunajua kwamba ni bora kuongeza kidogo kwa ndogo na chini ya punguzo, wakati sisi tena wala kutumia namba hasi. Inageuka kama nina apples 10, naweza kumpa mtu chini ya 10 au 10. Siwezi kutoa apples 13, kwa sababu mimi sina. Mahitaji katika idadi hasi hakuwa kwa muda mrefu.

Tu kutoka karne ya VII AD. Nambari mbaya zilitumiwa katika mifumo fulani ya kuhesabu kama maadili ya wasaidizi ambayo yaliruhusu kupata majibu mazuri.

Fikiria mfano, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Ili kupata jibu, wanachama wanahitajika na haijulikani kuondoka upande wa kushoto, na wengine - katika haki: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Wakati wa kutatua usawa huu, hata idadi hasi hazikutana. Tunaweza kuchukua wanachama wasiojulikana kuhamisha upande wa kulia, na bila haijulikani - upande wa kushoto: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Wakati wa kugawa namba hasi kwa hasi, tunapata jibu chanya: x \u003d 7.

Tunaona nini?

Hatua kwa kutumia namba hasi zinapaswa kutuongoza kwenye jibu moja kama vitendo tu kwa idadi nzuri. Hatuwezi tena kufikiri juu ya kutofautiana kwa vitendo na maana ya vitendo - hutusaidia kutatua tatizo kwa kasi zaidi, sio kuongoza equation kwa fomu tu kwa idadi nzuri. Katika mfano wetu, hatukutumia kompyuta ngumu, lakini kwa idadi kubwa ya kompyuta ya kompyuta na namba hasi zinaweza kuwa rahisi kwetu.

Baada ya muda, baada ya kutumia majaribio ya muda mrefu na mahesabu, iliwezekana kutambua sheria ambazo zinakabiliwa na namba zote na vitendo kwao (katika hisabati wanaitwa Axioms). Hivyo alionekana axiom, ambayo inasema kwamba wakati wa kuzidisha namba mbili hasi, tunapata chanya.

www.sype, na kuiga kamili au sehemu ya kumbukumbu ya nyenzo kwa chanzo cha awali kinahitajika.

Kusikiliza kwa walimu wa hisabati, wanafunzi wengi wanaona nyenzo kama axiom. Wakati huo huo, watu wachache wanajaribu kupata kiini na kujua kwa nini "chini" juu ya "Plus" inatoa ishara ya "minus", na wakati namba mbili hasi kuzidisha namba mbili hasi ni chanya.

Sheria za hisabati.

Watu wengi wazima hawawezi kuelezea au watoto wao, kwa nini hivyo hugeuka. Walijifunza vizuri vifaa hivi shuleni, lakini wakati huo huo hawakujaribu hata kujua ambapo sheria hizo zilikuja. Na bure. Mara nyingi, watoto wa kisasa hawana imani, wanahitaji kufikia kiini na kuelewa, hebu sema kwa nini "pamoja" juu ya "minus" inatoa "minus". Na wakati mwingine mavuno huuliza hasa maswali ya kushangaza, ili kufurahia wakati ambapo watu wazima hawawezi kutoa majibu ya akili. Na ni vigumu sana ikiwa inatafuta mwalimu mdogo ...

Kwa njia, ni lazima ieleweke kwamba utawala uliotajwa hapo juu ni ufanisi wote kwa kuzidisha na kwa mgawanyiko. Bidhaa ya namba hasi na chanya itatoa tu "minus. Ikiwa tunazungumzia juu ya tarakimu mbili na ishara ya "-", basi matokeo yatakuwa namba nzuri. Hali hiyo inatumika kwa mgawanyiko. Ikiwa moja ya namba ni hasi, ya kibinafsi pia itakuwa na ishara "-".

Ili kuelezea usahihi wa sheria hii ya hisabati, ni muhimu kuunda axioms ya pete. Lakini kwanza inapaswa kueleweka ni nini. Katika hisabati, pete inaitwa kuweka, ambayo shughuli mbili na vipengele viwili vinahusika. Lakini ni bora kukabiliana na hili.

Pete ya axioma

Kuna sheria kadhaa za hisabati.

• Ya kwanza ni mpito, kulingana na hayo, C + V \u003d V + C.
• Ya pili inaitwa mchanganyiko (v + c) + D \u003d V + (C + D).

Pia ni chini ya kuzidisha (v x c) x d \u003d v x (c x d).

Hakuna mtu aliyekataza sheria ambazo mabango ni wazi (v + c) x d \u003d v x d + c x d, pia ni kweli kwamba c x (v + d) \u003d c x v + c x d.

Kwa kuongeza, imeanzishwa kuwa katika pete unaweza kuingia kipengele maalum, cha neutral kwa kuongeza kipengele, wakati wa kutumia ambayo yafuatayo itakuwa sahihi: C + 0 \u003d C. Kwa kuongeza, kwa kila c kuna kipengele kinyume cha inaweza kuteuliwa kama (-C). Katika kesi hii, C + (-C) \u003d 0.

Kuondoa Axiom kwa idadi hasi

Kuchukua taarifa hapo juu, unaweza kujibu swali: "Plus" juu ya "minus" inatoa ishara yoyote? " Kujua axoma juu ya kuzidisha idadi hasi, ni muhimu kuthibitisha kwamba kweli (-C) x v \u003d - (c x v). Na pia, hiyo ni kweli sawa: (- (- c)) \u003d C.

Ili kufanya hivyo, utahitaji kuthibitisha kwanza kwamba kila kipengele kina tu kinyume cha "wenzake". Fikiria mfano wafuatayo wa ushahidi. Hebu tujaribu kufikiri kwamba kwa C kupinga ni namba mbili - V na D. Kutoka hii inafuata kwamba C + V \u003d 0 na C + D \u003d 0, yaani, C + V \u003d 0 \u003d C + D. Kukumbuka sheria za kurekebisha Na juu ya mali ya namba 0, unaweza kuzingatia jumla ya namba zote tatu: C, V na D. Kujaribu kufikiri thamani ya V. Ni mantiki kwamba v \u003d v + 0 \u003d v + (C + D ) \u003d V + C + D, kwa sababu thamani C + D, kama ilivyochukuliwa hapo juu, sawa na 0. Hivyo, v \u003d V + C + D.

Kwa njia hiyo hiyo, thamani ya d: d \u003d v + c + d \u003d (v + c) + d \u003d 0 + d \u003d D inaonyeshwa. Kulingana na hili, inakuwa wazi kuwa v \u003d D.

Ili kuelewa kwa nini bado "pamoja" juu ya "minus" inatoa "minus", ni muhimu kukabiliana na zifuatazo. Kwa hiyo, kwa kipengele (-C) kupinga ni C na (- (- c)), yaani, kati yao ni sawa.

Basi ni dhahiri kwamba 0 x v \u003d (c + (-c)) x v \u003d c x v + (-c) x v. inafuata kutoka hii ambayo c x ni kinyume (-) c x v, ina maana kwamba c) XV \u003d - (cx v).

Kwa ukali kamili wa hisabati, bado ni muhimu kuthibitisha kwamba 0 x v \u003d 0 kwa kipengele chochote. Ikiwa unafuata mantiki, basi 0 x v \u003d (0 + 0) x v \u003d 0 x v + 0 x v. na hii ina maana kwamba kuongeza ya bidhaa 0 x v haibadili kiasi kilichowekwa. Baada ya yote, kazi hii ni sifuri.

Kujua axioms hizi zote, inaweza kuondolewa sio kiasi gani cha "Plus" juu ya "minus" inatoa, lakini ni nini kinachopatikana kwa kuzidisha namba hasi.

Kuzidisha na mgawanyiko wa namba mbili na ishara "-"

Ikiwa hujishughulisha katika hali ya hisabati, unaweza kujaribu kuelezea sheria za hatua na namba hasi kwa njia rahisi.

Tuseme kwamba C - (-V) \u003d D, kulingana na hili, C \u003d D + (-V), yaani, C \u003d D - V. Tunachukua V na tunapata C + V \u003d D. Hiyo ni C + V \u003d c - (-v). Mfano huu unaelezea kwa nini katika maneno ambapo minuse mbili huenda mstari, ishara zilizotajwa zinapaswa kubadilishwa kuwa "pamoja". Sasa tutashughulika na kuzidisha.

(-C) x (-v) \u003d D, katika maneno ambayo unaweza kuongeza na kuondokana na kazi mbili zinazofanana, ambazo hazibadili maadili yake: (-c) x (-v) + (c x v) - (C x V) \u003d D.

Kumbuka sheria za kufanya kazi na mabano, tunapata:

1) (-C) x (-v) + (c x v) + (-c) x v \u003d d;

2) (-c) x ((-v) + v) + c x v \u003d d;

3) (-c) x 0 + c x v \u003d d;

Kutoka hii inafuata kwamba c x v \u003d (-c) x (-v).

Vile vile, inaweza kuthibitishwa kama matokeo ya kugawa namba mbili hasi itakuwa chanya.

Kanuni za jumla za hisabati

Bila shaka, maelezo kama hayo hayakufaa kwa watoto wa shule ya madarasa ya junior, ambayo yanaanza tu kufundisha namba zisizofaa. Ni bora kwao kuelezea juu ya masomo inayoonekana, kuwaongoza kwao kwa muda wa Cestercal. Kwa mfano, zuliwa, lakini si toys zilizopo ziko pale. Wanaweza kuonyeshwa kwa ishara "-". Kuzidisha kwa vitu vya mpumbavu wawili huwavumilia katika ulimwengu mwingine, ambayo inalingana na sasa, yaani, kwa sababu hiyo, tuna idadi nzuri. Lakini kuzidisha idadi ya hasi ya abstract juu ya chanya tu inatoa matokeo ya kawaida. Baada ya yote, "pamoja" kuongezeka kwa "minus" inatoa "minus". Kweli, watoto hawajaribu sana kuingia katika nuances zote za hisabati.

Ingawa, kwa kuzingatia ukweli machoni, kwa watu wengi, hata kwa elimu ya juu na kubaki siri ya sheria nyingi. Kila mtu anakubali kama kitu fulani ambacho walimu huwafundisha, sio kuchukiza katika matatizo yote ambayo hisabati hulipa. "Minus" juu ya "minus" inatoa "Plus" - kila mtu anajua kuhusu hilo bila ubaguzi. Hii ni kweli kwa idadi ya integers na idadi ndogo.

Kusikiliza kwa walimu wa hisabati, wanafunzi wengi wanaona nyenzo kama axiom. Wakati huo huo, watu wachache wanajaribu kupata kiini na kujua kwa nini "chini" juu ya "Plus" inatoa ishara ya "minus", na wakati namba mbili hasi kuzidisha namba mbili hasi ni chanya.

Sheria za hisabati.

Watu wengi wazima hawawezi kuelezea au watoto wao, kwa nini hivyo hugeuka. Walijifunza vizuri vifaa hivi shuleni, lakini wakati huo huo hawakujaribu hata kujua ambapo sheria hizo zilikuja. Na bure. Mara nyingi, watoto wa kisasa hawana imani, wanahitaji kufikia kiini na kuelewa, hebu sema kwa nini "pamoja" juu ya "minus" inatoa "minus". Na wakati mwingine mavuno huuliza hasa maswali ya kushangaza, ili kufurahia wakati ambapo watu wazima hawawezi kutoa majibu ya akili. Na ni vigumu sana ikiwa inatafuta mwalimu mdogo ...

Kwa njia, ni lazima ieleweke kwamba utawala uliotajwa hapo juu ni ufanisi wote kwa kuzidisha na kwa mgawanyiko. Bidhaa ya namba hasi na chanya itatoa tu "minus. Ikiwa tunazungumzia juu ya tarakimu mbili na ishara ya "-", basi matokeo yatakuwa namba nzuri. Hali hiyo inatumika kwa mgawanyiko. Ikiwa moja ya namba ni hasi, ya kibinafsi pia itakuwa na ishara "-".

Ili kuelezea usahihi wa sheria hii ya hisabati, ni muhimu kuunda axioms ya pete. Lakini kwanza inapaswa kueleweka ni nini. Katika hisabati, pete inaitwa kuweka, ambayo shughuli mbili na vipengele viwili vinahusika. Lakini ni bora kukabiliana na hili.

Pete ya axioma

Kuna sheria kadhaa za hisabati.

• Ya kwanza ni mpito, kulingana na hayo, C + V \u003d V + C.
• Ya pili inaitwa mchanganyiko (v + c) + D \u003d V + (C + D).

Pia ni chini ya kuzidisha (v x c) x d \u003d v x (c x d).

Hakuna mtu aliyekataza sheria ambazo mabango ni wazi (v + c) x d \u003d v x d + c x d, pia ni kweli kwamba c x (v + d) \u003d c x v + c x d.

Kwa kuongeza, imeanzishwa kuwa katika pete unaweza kuingia kipengele maalum, cha neutral kwa kuongeza kipengele, wakati wa kutumia ambayo yafuatayo itakuwa sahihi: C + 0 \u003d C. Kwa kuongeza, kwa kila c kuna kipengele kinyume cha inaweza kuteuliwa kama (-C). Katika kesi hii, C + (-C) \u003d 0.

Kuondoa Axiom kwa idadi hasi

Kuchukua taarifa hapo juu, unaweza kujibu swali: "Plus" juu ya "minus" inatoa ishara yoyote? " Kujua axoma juu ya kuzidisha idadi hasi, ni muhimu kuthibitisha kwamba kweli (-C) x v \u003d - (c x v). Na pia, hiyo ni kweli sawa: (- (- c)) \u003d C.

Ili kufanya hivyo, utahitaji kuthibitisha kwanza kwamba kila kipengele kina tu kinyume cha "wenzake". Fikiria mfano wafuatayo wa ushahidi. Hebu tujaribu kufikiri kwamba kwa C kupinga ni namba mbili - V na D. Kutoka hii inafuata kwamba C + V \u003d 0 na C + D \u003d 0, yaani, C + V \u003d 0 \u003d C + D. Kukumbuka sheria za kurekebisha Na juu ya mali ya namba 0, unaweza kuzingatia jumla ya namba zote tatu: C, V na D. Kujaribu kufikiri thamani ya V. Ni mantiki kwamba v \u003d v + 0 \u003d v + (C + D ) \u003d V + C + D, kwa sababu thamani C + D, kama ilivyochukuliwa hapo juu, sawa na 0. Hivyo, v \u003d V + C + D.

Kwa njia hiyo hiyo, thamani ya d: d \u003d v + c + d \u003d (v + c) + d \u003d 0 + d \u003d D inaonyeshwa. Kulingana na hili, inakuwa wazi kuwa v \u003d D.

Ili kuelewa kwa nini bado "pamoja" juu ya "minus" inatoa "minus", ni muhimu kukabiliana na zifuatazo. Kwa hiyo, kwa kipengele (-C) kupinga ni C na (- (- c)), yaani, kati yao ni sawa.

Basi ni dhahiri kwamba 0 x v \u003d (c + (-c)) x v \u003d c x v + (-c) x v. inafuata kutoka hii ambayo c x ni kinyume (-) c x v, ina maana kwamba c) XV \u003d - (cx v).

Kwa ukali kamili wa hisabati, bado ni muhimu kuthibitisha kwamba 0 x v \u003d 0 kwa kipengele chochote. Ikiwa unafuata mantiki, basi 0 x v \u003d (0 + 0) x v \u003d 0 x v + 0 x v. na hii ina maana kwamba kuongeza ya bidhaa 0 x v haibadili kiasi kilichowekwa. Baada ya yote, kazi hii ni sifuri.

Kujua axioms hizi zote, inaweza kuondolewa sio kiasi gani cha "Plus" juu ya "minus" inatoa, lakini ni nini kinachopatikana kwa kuzidisha namba hasi.

Kuzidisha na mgawanyiko wa namba mbili na ishara "-"

Ikiwa hujishughulisha katika hali ya hisabati, unaweza kujaribu kuelezea sheria za hatua na namba hasi kwa njia rahisi.

Tuseme kwamba C - (-V) \u003d D, kulingana na hili, C \u003d D + (-V), yaani, C \u003d D - V. Tunachukua V na tunapata C + V \u003d D. Hiyo ni C + V \u003d c - (-v). Mfano huu unaelezea kwa nini katika maneno ambapo minuse mbili huenda mstari, ishara zilizotajwa zinapaswa kubadilishwa kuwa "pamoja". Sasa tutashughulika na kuzidisha.

(-C) x (-v) \u003d D, katika maneno ambayo unaweza kuongeza na kuondokana na kazi mbili zinazofanana, ambazo hazibadili maadili yake: (-c) x (-v) + (c x v) - (C x V) \u003d D.

Kumbuka sheria za kufanya kazi na mabano, tunapata:

1) (-C) x (-v) + (c x v) + (-c) x v \u003d d;

2) (-c) x ((-v) + v) + c x v \u003d d;

3) (-c) x 0 + c x v \u003d d;

Kutoka hii inafuata kwamba c x v \u003d (-c) x (-v).

Vile vile, inaweza kuthibitishwa kama matokeo ya kugawa namba mbili hasi itakuwa chanya.

Kanuni za jumla za hisabati

Bila shaka, maelezo kama hayo hayakufaa kwa watoto wa shule ya madarasa ya junior, ambayo yanaanza tu kufundisha namba zisizofaa. Ni bora kwao kuelezea juu ya masomo inayoonekana, kuwaongoza kwao kwa muda wa Cestercal. Kwa mfano, zuliwa, lakini si toys zilizopo ziko pale. Wanaweza kuonyeshwa kwa ishara "-". Kuzidisha kwa vitu vya mpumbavu wawili huwavumilia katika ulimwengu mwingine, ambayo inalingana na sasa, yaani, kwa sababu hiyo, tuna idadi nzuri. Lakini kuzidisha idadi ya hasi ya abstract juu ya chanya tu inatoa matokeo ya kawaida. Baada ya yote, "pamoja" kuongezeka kwa "minus" inatoa "minus". Kweli, watoto hawajaribu sana kuingia katika nuances zote za hisabati.

Ingawa, kwa kuzingatia ukweli machoni, kwa watu wengi, hata kwa elimu ya juu na kubaki siri ya sheria nyingi. Kila mtu anakubali kama kitu fulani ambacho walimu huwafundisha, sio kuchukiza katika matatizo yote ambayo hisabati hulipa. "Minus" juu ya "minus" inatoa "Plus" - kila mtu anajua kuhusu hilo bila ubaguzi. Hii ni kweli kwa idadi ya integers na idadi ndogo.

Je! Tunaelewa kuzidisha kwa usahihi?

"- A na B wameketi kwenye bomba. Na ikaanguka, B ilipotea, kinachobaki kwenye bomba?
- aliachwa barua yako na. "

(Kutoka K / F "kupatikana katika ulimwengu")

Kwa nini wakati wa kuzidisha namba kwenye sifuri ni sifuri?

7 * 0 = 0

Kwa nini wakati wa kuzidisha namba mbili hasi ni namba nzuri?

7 * (-3) = + 21

Nini hatuwezi kuja na walimu kutoa majibu ya maswali haya mawili.

Lakini hakuna mtu mwenye ujasiri wa kukubali kwamba katika maneno ya kuzidisha makosa matatu ya semantic!

Je, makosa katika misingi ya hesabu iwezekanavyo? Baada ya yote, hisabati hujiweka yenyewe na sayansi halisi ...

Vitabu vya shule ya hisabati hawapati majibu ya maswali haya, kuchukua nafasi ya maelezo na sheria ambazo zinahitajika kukumbukwa. Labda fikiria mada hii vigumu kuelezea katika madarasa ya shule ya sekondari? Hebu jaribu kufikiri maswali haya.

7 - kuzidisha. 3 - kuzidisha. 21- Kazi.

Kwa mujibu wa maneno rasmi:

• panua namba kwa nambari nyingine - inamaanisha kufungia sana kama kuzidisha.

Kwa mujibu wa uundaji uliopitishwa, multiplier 3 inatuambia kwamba katika sehemu ya haki ya usawa kuna lazima iwe na saba saba.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Lakini uundaji huu wa kuzidisha hauwezi kuelezea maswali yaliyowekwa hapo juu.

Sahihi maneno ya kuzidisha

Kawaida katika hisabati inamaanisha mengi, lakini hawazungumzi na hawaandiki.

Hii inamaanisha ishara ya pamoja mbele ya saba ya kwanza katika sehemu sahihi ya usawa. Tunaandika hii pamoja.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Lakini nini saba ya kwanza huongezwa. Ina maana kwamba kwa sifuri, bila shaka. Tunaandika na sifuri.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Na kama sisi kuzidisha na tatu minus saba?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Tunaandika kuongeza ya nyingi -7, kwa kweli tunazalisha kuondoa nyingi kutoka sifuri. Kumbuka mabano.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Sasa unaweza kutoa uundaji wa kuzidisha iliyosafishwa.

• Kuzidisha ni kuongeza nyingi kwa sifuri (au kuondokana na sifuri) ya multiplier (-7) mara nyingi kama multiplier inaonyesha. Multiplier (3) na ishara yake (+ au -) inaonyesha idadi ya shughuli za kuongeza kwa sifuri au kuondokana na sifuri.

Kwa mujibu wa uundaji huu uliosafishwa na kiasi fulani, "ishara" za ishara "zinaelezwa kwa urahisi wakati multiplier ni hasi.

7 * (-3) - inapaswa kuwa baada ya sifuri ishara tatu "minus" \u003d 0 - (+7) - (+7) - (+7) \u003d - 21

7 * (-3) - tena kuna lazima kuwa na wahusika watatu "chini" baada ya sifuri \u003d

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Kuzidisha kwa sifuri.

7 * 0 \u003d 0 + ... Hakuna nyongeza kwa sifuri.

Ikiwa kuzidisha ni kuongeza kwa sifuri, na multiplier inaonyesha idadi ya nyongeza kwa sifuri, basi zero ya kuzidisha inaonyesha kwamba hakuna kitu kinachoongezwa kwa sifuri. Kwa hiyo, bado ni sifuri.

Kwa hiyo, katika maneno ya kuzidisha zilizopo, tulipata makosa matatu ya semantic ambayo yanazuia ufahamu wa "sheria za utawala" (wakati multiplier ni mbaya) na kuzidisha idadi ya sifuri.

1. Ni muhimu si kufunga muda mfupi, lakini ili kuongeza kwa sifuri.
2. Kuzidisha sio tu kuongezwa kwa sifuri, lakini pia kuondokana na sifuri.
3. Multiplier na ishara yake haionyeshi idadi ya vipengele, lakini idadi ya ishara pamoja au kupunguza na upanuzi wa kuzidisha kwa vipengele (au kuondolewa).

Tufafanua neno, tuliweza kuelezea sheria za ishara wakati wa kuzidisha na kuzidi idadi hadi sifuri bila msaada wa sheria ya multipreciation, bila sheria ya usambazaji, bila kuvutia analogies na moja kwa moja, bila usawa, bila ushahidi kutoka kinyume , na kadhalika.

Sheria za ishara juu ya maneno iliyosafishwa ya kuzidisha ni rahisi sana.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Multiplier na ishara yake (+3 au -3) inaonyesha idadi ya "+" au "-" ishara katika sehemu sahihi ya usawa.

Uundaji uliobadilishwa wa kuzidisha unafanana na kuanzishwa kwa erection kwa kiwango.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 \u003d 1 (kitengo haipatikani na haijagawanyika, kwa hiyo inabakia umoja)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Hisabati kukubaliana kuwa erection ya idadi katika shahada nzuri ni kuzidisha nyingi ya kitengo. Na kuanzishwa kwa idadi kwa shahada hasi ni mgawanyiko mingi wa kitengo.

Operesheni ya kuzidisha inapaswa kuwa sawa na operesheni ya zoezi.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 \u003d 0 (kwa sifuri hakuna kinachoongezwa na hakuna kitu kinachopunguzwa kutoka sifuri)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Uundaji uliobadilishwa wa kuzidisha haubadili chochote katika hisabati, lakini anarudi maana ya awali ya operesheni ya kuzidisha, anaelezea "sheria za ishara", kuzidisha kwa idadi hadi sifuri, kuratibu kuzidisha na nje.

Angalia kama uundaji wetu unafanana na operesheni ya mgawanyiko.

15: 5 \u003d 3 (reverse operesheni ya kuzidisha 5 * 3 \u003d 15)

Binafsi (3) inafanana na idadi ya nyongeza kwa sifuri (+3) wakati wa kuzidisha.

Gawanya namba 15 hadi 5 - inamaanisha kupata mara ngapi unahitaji kuondoa 5 kati ya 15. Hii imefanywa kwa kuondoa thabiti mpaka matokeo ya sifuri yanapatikana.

Ili kupata matokeo ya mgawanyiko, unahitaji kuhesabu idadi ya ishara ya "minus". Wao watatu.

15: 5 \u003d 3 Shughuli za Muhtasari Tano 15 hadi sifuri.

15 - 5 - 5 - 5 \u003d 0 (Idara 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 \u003d 15 (Kuzidisha 5 * 3)

Uamuzi na mabaki.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 \u003d 3 na 2 mabaki

Ikiwa kuna mgawanyiko na mabaki, kwa nini hakuna kuzidisha na kipande?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Tunaangalia tofauti tofauti kwenye calculator.

Uundaji uliopo wa kuzidisha (maneno matatu).

10 + 10 + 10 = 30

Muundo wa kuzidisha fasta (matone matatu kwa sifuri).

0 + 10 = = = 30

(Mara tatu bonyeza "sawa.")

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Multiplier 3 inaonyesha kwamba ni muhimu kuongeza kuongezeka mara 10 kwa sifuri.

Jaribu kuzidisha (-10) * (-3) kwa kuongeza muda (-10) chini ya mara tatu!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Je, kuna ishara gani katika mara tatu? Labda hivyo?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

OPS ... Haiwezekani kuharibika bidhaa kwa kiasi (au tofauti) ya masharti (-10).

Kutumia maneno yaliyobadilishwa, hii imefanywa kwa usahihi.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Multiplier (-3) inaonyesha kwamba ni muhimu kuondoa mara nyingi (-10) mara tatu.

Kanuni za ishara wakati wa kuongeza na kuondosha

Ya hapo juu ilionyeshwa njia rahisi ya kuonyesha sheria za ishara wakati wa kuzidisha, kwa kubadilisha maana ya uundaji wa kuzidisha.

Lakini kwa pato tulitumia sheria za ishara wakati wa kuongeza na kuondosha. Wao ni karibu sawa na kuzidisha. Unda taswira ya sheria za ishara kwa kuongeza na uondoaji, ili mpangilio wa kwanza unaeleweka.

Nini "chini", "hasi"?

Hakuna kitu kibaya katika asili. Hakuna joto la hasi, hakuna mwelekeo mbaya, hakuna molekuli hasi, hakuna mashtaka hasi ... hata sinus katika asili inaweza tu kuwa chanya.

Lakini hisabati ilikuja na idadi hasi. Kwa nini? "Minus" inamaanisha nini?

Minus ina maana mwelekeo kinyume. Kushoto kulia. Juu ya juu. Chombo cha saa - kinyume chake. Nyuma na nje. Baridi kali. Nuru nzito. Polepole - haraka. Ikiwa unafikiri, unaweza kutoa mifano mingine mingi ambapo ni rahisi kutumia maadili hasi ya maadili.

Katika ulimwengu unaojulikana kwetu, infinity huanza na Scratch na huenda katika infinity pamoja.

"Minus infinity" katika ulimwengu halisi haipo. Hii ni mkataba sawa wa hisabati kama dhana ya "minus".

Kwa hiyo, "minus" inaashiria mwelekeo kinyume: harakati, mzunguko, mchakato, kuzidisha, kuongeza. Hebu kuchambua maelekezo tofauti wakati wa kuongeza na kuondokana na chanya na hasi (kuongezeka kwa namba nyingine).

Ugumu wa kuelewa sheria za ishara wakati wa kuongeza na kuondosha ni kuhusiana na ukweli kwamba kawaida sheria hizi zinajaribu kuelezea kwa namba moja kwa moja. Vipengele vitatu tofauti vinachanganywa kwenye moja kwa moja, ambayo sheria zinaonyeshwa. Na kwa sababu ya kuchanganya, kutokana na kutupa dhana tofauti katika rundo moja, matatizo ya ufahamu yanaundwa.

Ili kuelewa sheria, tunahitaji kugawa:

• muda wa kwanza na kiasi (watakuwa kwenye mhimili wa usawa);
• muda wa pili (itakuwa kwenye mhimili wa wima);
• mwelekeo wa shughuli za kuongeza na kuondoa.

Ugawanyiko huo unaonyeshwa wazi katika takwimu. Fikiria kwamba mhimili wa wima unaweza kuzunguka, kuingiliana kwenye mhimili wa usawa.

Operesheni ya kuongeza daima hufanyika kwa kugeuza mhimili wa wima wa saa (pamoja na ishara). Operesheni ya kuondoa daima hufanyika kwa kugeuza mhimili wa wima counterclockwise (ishara ya chini).

Mfano. Mpango katika kona ya chini ya kulia.

Inaweza kuonekana kwamba mbili karibu na ishara ya kusimama ya chini (ishara ya operesheni ya kuondoa na namba 3) ina maana tofauti. Minus ya kwanza inaonyesha mwelekeo wa kuondoa. Mchapishaji wa pili ni ishara ya namba kwenye mhimili wa wima.

Tunapata muda wa kwanza (-2) kwenye mhimili usio na usawa. Tunapata muda wa pili (-3) kwenye mhimili wa wima. Mzunguko wa kiakili wa mhimili wa wima counterclockwise mpaka pamoja (-3) na namba (+1) kwenye mhimili wa usawa. Nambari (+1) ni matokeo ya kuongeza.

Uendeshaji wa kuondoa

inatoa matokeo sawa na operesheni ya kuongeza juu ya mpango wa kona ya juu ya kulia.

Kwa hiyo, ishara mbili za karibu "minus" zinaweza kubadilishwa na ishara moja ya "pamoja".

Sisi sote tumezoea kufurahia sheria za hesabu zilizopangwa tayari bila kufikiri juu ya maana yao. Kwa hiyo, mara nyingi hatuna taarifa kuliko sheria za ishara kwa kuongeza (kuondoa) hutofautiana na sheria za ishara wakati wa kuzidisha (mgawanyiko). Inaonekana ni sawa? Karibu ... tofauti ndogo inaonekana katika mfano unaofuata.

Sasa tuna kila kitu unachohitaji ili kuleta sheria za ishara ili kuzidi. Mlolongo wa pato ni kama ifuatavyo.

1. Tunaonyesha wazi jinsi sheria za ishara zinapatikana kwa kuongeza na kuondoa.
2. Tunaanzisha mabadiliko ya semantic kwenye uundaji uliopo wa kuzidisha.
3. Kulingana na uundaji uliobadilishwa wa kuzidisha na sheria za ishara, kwa kuongeza, kuondoa sheria za ishara kwa kuzidisha.

Kumbuka.

Chini yameandikwa na P. wahusika wa ravila kwa kuongeza na kuondoainayotokana na taswira. Na nyekundu, kwa kulinganisha, sheria sawa ya ishara kutoka kwa kitabu cha hisabati. Grey Plus katika mabano ni pamoja na asiyeonekana, ambayo haijaandikwa kwa idadi nzuri.

Kuna daima ishara mbili kati ya masharti: ishara ya operesheni na idadi kadhaa (pamoja na sisi si kuandika, lakini maana). Sheria za ishara zinaagizwa kuchukua nafasi ya jozi moja ya ishara kwenye jozi nyingine bila kubadilisha matokeo ya kuongeza (kuondoa). Kwa kweli, sheria ni mbili tu.

Kanuni ya 1 na 3 (juu ya taswira) - sheria za duplicate 4 na 2 .. Kanuni 1 na 3 katika tafsiri ya shule hazina sanjari na mpango wa kuona, kwa hiyo, hawana uhusiano na sheria za ishara wakati wa kuongeza. Hizi ni sheria nyingine ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - \u003d - (+) Sawa

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - \u003d + (+) Sawa

Utawala wa Shule 1. (Red) inakuwezesha kuchukua nafasi ya pluses mbili mfululizo na moja pamoja. Sheria haifai kwa uingizwaji wa ishara wakati wa kuongeza na kuondosha.

Utawala wa Shule 3. (Red) Inaruhusu kurekodi ishara ya pamoja katika idadi nzuri baada ya operesheni ya kuondoa. Sheria haifai kwa uingizwaji wa ishara wakati wa kuongeza na kuondosha.

Maana ya sheria za ishara wakati akiongeza badala ya jozi moja ya ishara nyingine jozi ya ishara bila kubadilisha matokeo ya kuongeza.

Wataalam wa shule walichanganya sheria mbili katika kanuni moja:

Sheria mbili za ishara wakati wa kuongeza na kuondokana na namba chanya na hasi (badala ya jozi moja ya ishara za jozi nyingine ya ishara);

Sheria mbili ambazo huwezi kuandika ishara pamoja na idadi nzuri.

Sheria mbili tofauti zilizochanganywa katika moja, sawa na sheria za ishara wakati wa kuzidisha, ambapo ya tatu ifuatavyo. Kama moja kwa moja.

Kuchanganyikiwa sana! Mara nyingine tena kitu kimoja kwa kufuta vizuri. Tunasisitiza ishara nyekundu za shughuli za kutofautisha kutoka kwa ishara za idadi.

1. kuongeza na kuondoa. Sheria mbili za ishara ambazo jozi za ishara kati ya masharti zinaunganishwa. Ishara ya operesheni na ishara ya namba.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Sheria mbili ambazo ni pamoja na ishara katika idadi nzuri inaruhusiwa kuandika. Hizi ni sheria za fomu ya kurekodi. Aidha sio kuhusiana. Kwa idadi nzuri, ishara ya operesheni tu imeandikwa.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Kanuni nne za ishara wakati wa kuzidisha. Wakati alama ya tatu ya kazi ifuatavyo kutoka kwa ishara mbili za wauzaji. Katika sheria za ishara ili kuzidi tu ishara za idadi.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Sasa kwamba tulitenganisha sheria za fomu ya kurekodi, inapaswa kuonekana wazi kwamba sheria za ishara kwa kuongeza na kuondoa sio sawa na sheria za ishara wakati wa kuzidisha.

V.kosarenko.

Hakika, kwa nini? Njia rahisi kabisa ya kujibu ni: "Kwa sababu hizi ni sheria za hatua juu ya namba hasi." Kanuni ambazo tunafundisha shuleni na kutumia maisha yako yote. Hata hivyo, vitabu vya vitabu havieleze kwa nini sheria ni hivyo. Tunakumbuka - kwamba hii ndiyo hasa ambayo haishangai.

Na hebu tuulize ...

Muda wa chini, watu walijulikana tu na idadi ya asili: 1, 2, 3, ... Walitumiwa kuhesabu vyombo, madini, maadui, nk Lakini idadi wenyewe ni haina maana - unahitaji kuwa na uwezo wa kuwasiliana nao. Aidha ni wazi na inaeleweka, zaidi ya hayo, jumla ya namba mbili za asili pia ni namba ya asili (mtaalamu wa hisabati angeweza kusema kuwa idadi nyingi za asili zimefungwa kuhusiana na uendeshaji wa kuongeza). Kuzidisha ni kwa kweli, kuongeza sawa, ikiwa tunazungumzia kuhusu idadi ya asili. Katika maisha, mara nyingi tunafanya vitendo vinavyohusishwa na shughuli hizi mbili (kwa mfano, kufanya manunuzi, tunazidisha na kuzidi), na ni ajabu kufikiri kwamba baba zetu walikabiliana nao mara nyingi - kuongeza na kuzidisha walifaidika na ubinadamu kwa muda mrefu . Mara nyingi ni muhimu kushiriki baadhi ya maadili kwa wengine, lakini hapa matokeo hayajaonyeshwa kila wakati kwa idadi ya asili - haya ni namba za sehemu.

Bila ya kuondokana, bila shaka, pia, usifanye. Lakini katika mazoezi, sisi huwa na kupunguza chini kutoka zaidi, na hakuna haja ya kutumia namba hasi. (Ikiwa nina pipi 5 na nitampa dada yangu 3, basi nitakuwa na pipi 5 - 3 \u003d 2, lakini siwezi kumpa pipi 7 wakati wote, siwezi kuelezea, kwa nini watu hawakutumia namba hasi kwa muda mrefu.


Katika nyaraka za Hindi, namba hasi zinaonekana kutoka karne ya VII AD; Kichina inaonekana ilianza kuitumia mapema kidogo. Walitumiwa kuhesabu madeni au mahesabu ya kati ili kurahisisha suluhisho la equations - ilikuwa ni chombo cha kupata majibu mazuri. Ukweli kwamba idadi mbaya, kinyume na chanya, usionyeshe uwepo wa chombo chochote, kilichosababisha uaminifu mkubwa. Watu kwa maana halisi ya neno aliepuka namba hasi: Ikiwa kazi ilipatikana jibu hasi, iliaminika kuwa hapakuwa na jibu wakati wote. Uaminifu huu uliendelea kwa muda mrefu sana, na hata Descartes - mmoja wa "waanzilishi" wa hisabati ya kisasa - aliwaita "uongo" (katika karne ya XVII!).

Fikiria kwa mfano wa equation 7x - 17 \u003d 2x - 2. Inaweza kutatuliwa kama hii: kuhamisha wanachama na haijulikani kwa upande wa kushoto, na wengine - kwa haki, inageuka kuwa 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Kwa hili hatukukutana na uamuzi wa uamuzi.

Lakini ilikuwa inawezekana kwa ajali kufanya tofauti: kuhamisha vipengele na haijulikani upande wa kulia na kupata 2 - 17 \u003d 2x - 7x, (-15) \u003d (-5) x. Ili kupata haijulikani, unahitaji kugawa namba moja hasi kwa mwingine: x \u003d (-15) / (- 5). Lakini jibu sahihi linajulikana, na linabakia kuhitimisha kwamba (-15) / (- 5) \u003d 3.

Ni nini kinachoonyesha mfano huu rahisi? Kwanza, mantiki ambayo sheria za hatua juu ya namba hasi zilieleweka: matokeo ya vitendo hivi yanapaswa kufanana na majibu ambayo yanapatikana kwa njia nyingine, bila namba hasi. Pili, matumizi ya namba hasi, tunaondoa wasiwasi (ikiwa equation ni ngumu zaidi, na idadi kubwa ya vipengele) kutafuta suluhisho la suluhisho, ambapo vitendo vyote vinazalishwa tu juu ya idadi ya asili. Aidha, hatuwezi tena kufikiri kila wakati juu ya maana ya maadili yaliyobadilishwa - na hii ni hatua kuelekea uongofu wa hisabati katika sayansi ya abstract.

Sheria ya hatua juu ya idadi hasi haikujengwa mara moja, lakini ikawa generalization ya mifano mbalimbali ambayo ilitokea wakati wa kutatua kazi zilizotumika. Kwa ujumla, maendeleo ya hisabati yanaweza kuwekwa wakfu kwa hatua: kila hatua inayofuata inatofautiana na ngazi mpya ya awali ya kutolewa wakati wa kusoma vitu. Kwa hiyo, katika karne ya XIX, wataalamu wa hisabati waligundua kuwa katika integers na polynomials, na kutoheshimu kwao nje, kuna wengi wa kawaida: na wale na wengine wanaweza kuongezwa, kutoa na kuzidisha. Shughuli hizi hutii sheria sawa - wote katika idadi ya idadi na katika kesi ya polynomials. Lakini mgawanyiko wa integers kwa kila mmoja ili matokeo pia ni integers, labda si mara zote. Sawa na polynomials.

Kisha mchanganyiko mwingine wa vitu vya hisabati ulifunuliwa, ambayo shughuli hizo zinaweza kufanywa: safu za nguvu rasmi, kazi zinazoendelea ... Hatimaye, ufahamu umekuja kwamba ikiwa unasoma mali ya shughuli wenyewe, basi matokeo yanaweza kutumiwa Seti hizi zote za vitu (mbinu hiyo ni tabia kwa hisabati zote za kisasa).

Matokeo yake, dhana mpya ilionekana: pete. Hii ni mambo mengi mengi pamoja na vitendo ambavyo vinaweza kuzalishwa juu yao. Msingi hapa ni sheria tu (zinaitwa Axioms), ambazo zinakabiliwa na vitendo, na sio asili ya vipengele vya kuweka (hapa ni, kiwango kipya cha uondoaji!). Unataka kusisitiza kuwa ni muundo ambao hutokea baada ya kuanzishwa kwa axioms, hisabati inasema: pete ya integers, pete ya polynomials, nk Kuondoa kutoka axiom, inaweza pato mali nyingine ya pete.

Tutaunda axioms pete (ambayo, kwa kawaida, ni sawa na sheria za hatua na integers), na kisha kuthibitisha kwamba katika pete yoyote wakati kuzidisha minus minus inageuka pamoja.

Pete inaitwa kuweka na shughuli mbili za binary (I.E., katika kila operesheni, vipengele viwili vya pete vinahusika), ambavyo, kulingana na jadi, vinaitwa kuongeza na kuzidisha, na axioms zifuatazo:

Kuongezewa kwa vipengele vya pete hutii kwa mpito (A + B \u003d B + kwa vipengele vingine na b) na mchanganyiko (A + (B + C) \u003d (A + B) + c) sheria; Katika pete kuna kipengele maalum cha 0 (kipengele cha neutral kwa kuongeza) kama vile + 0 \u003d a, na kwa kipengele chochote A, kuna kipengele kinyume (kilichoonyeshwa (-a), ambayo + (-a) \u003d 0 ;
-Momination hutii mchanganyiko wa sheria: A · (B · c) \u003d (A · B) · C;
aidha na kuzidisha zinahusishwa na sheria hizo za ufunuo wa mabano: (A + B) · C \u003d A · C + B · C na A · (B + C) \u003d A · B + A · C.

Kumbuka kwamba pete, katika kubuni ya kawaida, hazihitaji upya upya wa kuzidisha au kugeuka kwake (I.E., haiwezekani kugawanywa), wala kuwepo kwa kitengo ni kipengele cha neutral kwa kuzidisha. Ikiwa unapoingia axioms hizi, miundo mingine ya algebraic inapatikana, lakini itakuwa sahihi kabisa theorems kuthibitishwa kwa pete.

Sasa tunathibitisha kwamba kwa vipengele vingine A na B ya pete ya kiholela, kwanza, (-a) · b \u003d - (a · b), na pili (- (a)) \u003d A. Kutoka hii ni rahisi kufuata Idhini kuhusu vitengo: (-1) · 1 \u003d - (1 · 1) \u003d -1 na (-1) · (-1) \u003d - (((1) · 1) \u003d - (- 1) \u003d 1.

Ili kufanya hivyo, tunahitaji kuanzisha ukweli fulani. Kwanza, tunathibitisha kwamba kila kipengele kinaweza kuwa na kinyume kimoja tu. Kwa kweli, basi kipengele kuwa na kupinga mbili: B na C. yaani, tutazingatia jumla ya A + B + C. Kutumia mchanganyiko na kutolewa sheria na mali ya sifuri, tunapata hiyo, kwa upande mmoja, Jumla ni B: B \u003d B + 0 \u003d B + (A + C) \u003d A + B + C, na kwa upande mwingine, ni sawa na C: A + B + C \u003d (A + B) + c \u003d 0 + c \u003d C. SO, B \u003d C.

Kumbuka sasa kwamba wote na (- (- a)) ni kinyume na kipengele hicho (-a), hivyo wanapaswa kuwa sawa.

Ukweli wa kwanza hupatikana kama hii: 0 \u003d 0 · b \u003d (A + (-a)) · B \u003d A · B + (-a) · B, yaani, (-A) · B kinyume cha Abi, Ina maana kwamba ni sawa - (a · b).

Ili kuwa hesabu kali, kuelezea kwa nini 0 · b \u003d 0 kwa kipengele chochote B. Kwa kweli, 0 · b \u003d (0 + 0) b \u003d 0 · b + 0 · b. Hiyo ni, kuongeza 0 · B haina mabadiliko ya kiasi. Hivyo bidhaa hii ni sifuri.

Na ukweli kwamba katika pete ni sifuri moja (baada ya yote, katika axioms inasemekana kwamba kipengele hicho kipo, lakini hakuna kitu kinachosema juu ya pekee yake!), Tutaondoka msomaji kama zoezi rahisi.

Evgeny Epifanov.