Kuhesabu mzizi maana mraba. Mkengeuko wa kawaida ni nini - kwa kutumia chaguo za kukokotoa za mkengeuko wa kawaida kukokotoa mkengeuko wa kawaida katika excel

Tabia kamili zaidi ya tofauti ni kupotoka kwa kawaida, ambayo inaitwa kiwango (au kupotoka kwa kawaida). Mkengeuko wa kawaida() ni sawa na mzizi wa mraba wa mraba wa wastani wa kupotoka kwa maadili ya kibinafsi ya kipengele kutoka kwa maana ya hesabu:

Mkengeuko wa kawaida ni rahisi:

Mkengeuko wa kawaida uliopimwa hutumiwa kwa data iliyojumuishwa:

Kati ya mikengeuko ya wastani ya mraba na mstari wa kawaida chini ya hali ya kawaida ya usambazaji, uhusiano ufuatao hufanyika: ~ 1.25.

Kupotoka kwa kawaida, kuwa kipimo kikuu kamili cha tofauti, hutumiwa kuamua maadili ya kuratibu za curve ya kawaida ya usambazaji, katika mahesabu yanayohusiana na kupanga uchunguzi wa sampuli na kuanzisha usahihi wa sifa za sampuli, na pia wakati wa kutathmini mipaka ya utofauti wa kipengele katika idadi ya watu wenye usawa.

Mtawanyiko, aina zake, kupotoka kwa kawaida.

Tofauti ya tofauti ya nasibu- kipimo cha kuenea kwa kutofautiana kwa random iliyotolewa, yaani, kupotoka kwake kutoka kwa matarajio ya hisabati. Katika takwimu, jina au hutumiwa mara nyingi. Mzizi wa mraba wa tofauti unaitwa mkengeuko wa kawaida, mkengeuko wa kawaida, au mkengeuko wa kawaida.

Jumla ya tofauti (σ 2) hupima utofauti wa sifa katika jumla chini ya ushawishi wa mambo yote yaliyosababisha tofauti hii. Wakati huo huo, shukrani kwa njia ya kikundi, inawezekana kutenganisha na kupima tofauti kutokana na sifa ya kikundi na tofauti inayotokana na ushawishi wa mambo yasiyohesabiwa.

Tofauti kati ya vikundi (σ 2 mg) ina sifa ya kutofautiana kwa utaratibu, yaani, tofauti katika thamani ya sifa chini ya utafiti ambayo hutokea chini ya ushawishi wa sifa - sababu ya msingi ya kikundi.

Mkengeuko wa kawaida(sawe: kupotoka kwa kawaida, kupotoka kwa kawaida, kupotoka kwa mraba; maneno sawa: kupotoka kwa kawaida, kuenea kwa kawaida) - kwa nadharia ya uwezekano na takwimu, kiashiria cha kawaida cha mtawanyiko wa maadili ya kutofautiana kwa random kuhusiana na matarajio yake ya hisabati. Kwa safu ndogo za sampuli za maadili, badala ya matarajio ya hisabati, maana ya hesabu ya idadi ya sampuli hutumiwa.

Mkengeuko wa kawaida hupimwa katika vipimo vya kigezo chenyewe bila mpangilio maalum na hutumika kukokotoa makosa ya kawaida ya wastani wa hesabu, wakati wa kuunda vipindi vya kujiamini, wakati wa kupima dhahania za kitakwimu, wakati wa kupima uhusiano wa kimstari kati ya vigeuzi nasibu. Inafafanuliwa kama mzizi wa mraba wa tofauti ya kigezo cha nasibu.

Mkengeuko wa kawaida:

Mkengeuko wa kawaida(makadirio ya mkengeuko wa kawaida wa kigeuzo bila mpangilio x kuhusiana na matarajio yake ya hisabati kulingana na makadirio yasiyopendelea ya tofauti zake):

tofauti iko wapi; - i kipengele cha sampuli; - ukubwa wa sampuli; - maana ya hesabu ya sampuli:

Ikumbukwe kwamba makadirio yote mawili yana upendeleo. Katika hali ya jumla, haiwezekani kuunda makadirio yasiyo na upendeleo. Hata hivyo, makadirio kulingana na makadirio ya tofauti zisizo na upendeleo ni thabiti.

Kiini, upeo na utaratibu wa kuamua modi na wastani.

Kwa kuongeza wastani wa sheria ya nguvu katika takwimu, kwa sifa za jamaa za ukubwa wa kipengele tofauti na muundo wa ndani wa mfululizo wa usambazaji, wastani wa miundo hutumiwa, ambayo inawakilishwa hasa. mtindo na wastani.

Mitindo- hii ndiyo lahaja ya kawaida zaidi ya safu. Mtindo hutumiwa, kwa mfano, katika kuamua ukubwa wa nguo, viatu, ambazo ziko katika mahitaji makubwa kati ya wateja. Hali ya mfululizo wa pekee ndiyo yenye masafa ya juu zaidi. Wakati wa kuhesabu hali ya safu ya tofauti ya muda, ni muhimu kwanza kuamua muda wa modal (kwa masafa ya juu), na kisha - thamani ya thamani ya modal ya kipengele kulingana na formula:

- - thamani ya mtindo

- - mpaka wa chini wa muda wa modal

- - thamani ya muda

- - mzunguko wa muda wa modal

- ni mzunguko wa muda unaotangulia modali

- ni mzunguko wa muda unaofuata modal

wastani - hii ni thamani ya sifa, ambayo ni msingi wa mfululizo wa nafasi na kugawanya mfululizo huu katika sehemu mbili sawa.

Kuamua wastani katika mfululizo tofauti mbele ya masafa, kwanza uhesabu nusu ya jumla ya masafa, na kisha uamua ni thamani gani ya lahaja iko juu yake. (Ikiwa mfululizo uliopangwa una idadi isiyo ya kawaida ya vipengele, basi nambari ya wastani inahesabiwa kwa fomula:

M e = (n (idadi ya vipengele katika jumla) + 1) / 2,

katika kesi ya idadi hata ya vipengele, wastani itakuwa sawa na wastani wa vipengele viwili katikati ya safu).

Wakati wa kuhesabu wapatanishi kwa mfululizo wa mabadiliko ya muda, kwanza tambua muda wa wastani ambao wastani unapatikana, na kisha thamani ya wastani kwa kutumia fomula:

- - wastani unaohitajika

- - mpaka wa chini wa muda ambao una wastani

- - thamani ya muda

- - jumla ya masafa au idadi ya wanachama wa mfululizo

Jumla ya masafa yaliyokusanywa ya vipindi vinavyotangulia wastani

- - mzunguko wa muda wa kati

Mfano... Tafuta mtindo na wastani.

Suluhisho:
Katika mfano huu, muda wa modal ni ndani ya kikundi cha umri wa 25-30, kwa kuwa muda huu una mzunguko wa juu zaidi (1054).

Wacha tuhesabu ukubwa wa modi:

Hii inamaanisha kuwa umri wa kawaida wa wanafunzi ni miaka 27.

Tunahesabu wastani... Muda wa wastani ni katika kikundi cha umri wa miaka 25-30, kwa kuwa ndani ya muda huu kuna tofauti ambayo inagawanya idadi ya watu katika sehemu mbili sawa (Σf i / 2 = 3462/2 = 1731). Ifuatayo, tunabadilisha data muhimu ya nambari kwenye fomula na kupata thamani ya wastani:

Hii ina maana kwamba nusu ya wanafunzi wako chini ya miaka 27.4, na wengine zaidi ya miaka 27.4.

Kwa kuongezea modi na wastani, viashiria kama vile quartiles zinazogawa safu iliyoorodheshwa katika sehemu 4 sawa zinaweza kutumika, deciles- sehemu 10 na percentiles - kwa sehemu 100.

Dhana ya uchunguzi wa kuchagua na upeo wake.

Uchunguzi wa kuchagua inatumika wakati utumiaji wa ufuatiliaji unaoendelea kimwili haiwezekani kwa sababu ya idadi kubwa ya data, au isiyowezekana kiuchumi... Kutowezekana kwa mwili hutokea, kwa mfano, wakati wa kusoma mtiririko wa abiria, bei ya soko, bajeti ya familia. Upungufu wa kiuchumi hutokea wakati wa kutathmini ubora wa bidhaa zinazohusiana na uharibifu wao, kwa mfano, kuonja, kupima matofali kwa nguvu, nk.

Vitengo vya takwimu vilivyochaguliwa kwa uchunguzi vinajumuisha sampuli ya idadi ya watu au sampuli, na safu yao yote - idadi ya jumla (HS). Katika kesi hii, idadi ya vitengo katika sampuli inaashiria n, na katika HS nzima - N... Mtazamo n / N inayoitwa saizi ya jamaa au sehemu ya sampuli.

Ubora wa matokeo ya uchunguzi wa sampuli inategemea uwakilishi wa sampuli, yaani, jinsi mwakilishi wake katika HS. Ili kuhakikisha uwakilishi wa sampuli, ni muhimu kuchunguza uteuzi wa nasibu wa vitengo, ambayo inadhania kuwa ujumuishaji wa kitengo cha HS katika sampuli hauwezi kuathiriwa na sababu yoyote isipokuwa kesi.

Ipo Njia 4 za kuchagua kwa nasibu kwa sampuli:

1. Kwa kweli nasibu uteuzi au "njia ya bahati nasibu", wakati idadi ya takwimu inapewa nambari za serial, zilizorekodiwa kwenye vitu fulani (kwa mfano, mapipa), ambayo huchanganywa kwenye chombo (kwa mfano, kwenye begi) na kuchaguliwa kwa nasibu. Kwa mazoezi, njia hii inafanywa kwa kutumia jenereta ya nambari isiyo ya kawaida au meza za hisabati za nambari za nasibu.
2. Mitambo uteuzi, kulingana na ambayo kila ( N / n) -thamani ya idadi ya watu kwa ujumla. Kwa mfano, ikiwa ina thamani 100,000, na unataka kuchagua 1,000, basi kila 100,000 / 1000 = thamani ya 100 itajumuishwa kwenye sampuli. Zaidi ya hayo, ikiwa hawajawekwa, basi wa kwanza huchaguliwa kwa nasibu kutoka kwa mia ya kwanza, na nambari za wengine zitakuwa mia moja zaidi. Kwa mfano, ikiwa kitengo # 19 kiligeuka kuwa cha kwanza, basi kinachofuata kinapaswa kuwa # 119, kisha # 219, kisha # 319, na kadhalika. Ikiwa vitengo vya idadi ya watu vimepangwa, basi # 50 huchaguliwa kwanza, kisha # 150, kisha # 250, na kadhalika.
3. Uteuzi wa maadili kutoka kwa seti ya data tofauti hufanywa tabaka(stratified) njia, wakati idadi ya watu kwa ujumla imegawanywa awali katika vikundi vya homogeneous, ambayo uteuzi wa nasibu au wa mitambo hutumiwa.
4. Njia maalum ya sampuli ni mfululizo uteuzi, ambao sio idadi ya mtu binafsi huchaguliwa kwa nasibu au kwa kiufundi, lakini mfululizo wao (mlolongo kutoka kwa nambari fulani hadi kwa baadhi mfululizo), ambayo uchunguzi unaoendelea unafanywa.

Ubora wa uchunguzi wa sampuli pia unategemea aina ya sampuli: mara kwa mara au isiyoweza kurudiwa.

Katika uteuzi upya Idadi ya takwimu iliyoingia kwenye sampuli au mfululizo wake baada ya matumizi hurejeshwa kwa idadi ya jumla, ikiwa na nafasi ya kupata sampuli mpya. Zaidi ya hayo, thamani zote za idadi ya watu kwa ujumla zina uwezekano sawa wa kujumuishwa kwenye sampuli.

Uteuzi usiorudiwa inamaanisha kuwa idadi ya takwimu iliyojumuishwa kwenye sampuli au safu zao baada ya matumizi hazirudishwi kwa idadi ya jumla, na kwa hivyo, kwa idadi iliyobaki ya sampuli, uwezekano wa kuanguka katika sampuli inayofuata huongezeka.

Sampuli inayorudiwa inatoa matokeo sahihi zaidi, kwa hivyo hutumiwa mara nyingi zaidi. Lakini kuna hali wakati haiwezi kutumika (utafiti wa mtiririko wa abiria, mahitaji ya watumiaji, nk) na kisha uteuzi upya unafanywa.

Hitilafu ndogo ya sampuli ya uchunguzi, wastani wa makosa ya sampuli, mpangilio wa hesabu zao.

Wacha tuchunguze kwa undani njia zilizo hapo juu za kuunda idadi ya sampuli na makosa yanayotokea katika kesi hii. uwakilishi .
Kwa kweli nasibu sampuli inategemea uteuzi wa nasibu wa vitengo kutoka kwa idadi ya watu kwa ujumla bila vipengele vyovyote vya utaratibu. Kitaalam, uteuzi sahihi wa nasibu unafanywa kwa kuchora kura (kwa mfano, droo za bahati nasibu) au kulingana na jedwali la nambari za nasibu.

Kwa kweli uteuzi wa nasibu "katika hali yake safi" haitumiwi sana katika mazoezi ya uchunguzi wa kuchagua, lakini ni ya awali kati ya aina nyingine za uteuzi, hutekeleza kanuni za msingi za uchunguzi wa kuchagua. Hebu tuzingatie baadhi ya maswali ya nadharia ya mbinu ya sampuli na fomula ya makosa kwa sampuli rahisi nasibu.

Hitilafu ya uchunguzi wa sampuli ni tofauti kati ya thamani ya kigezo katika idadi ya watu kwa ujumla, na thamani yake iliyohesabiwa kutokana na matokeo ya uchunguzi wa sampuli. Kwa tabia ya wastani ya kiasi, hitilafu ya sampuli imedhamiriwa

Kiashiria kinaitwa hitilafu ya sampuli ya pembezoni.
Wastani wa sampuli ni kigezo cha nasibu ambacho kinaweza kuchukua thamani tofauti kulingana na vitengo vilivyojumuishwa kwenye sampuli. Kwa hivyo, makosa ya sampuli pia ni maadili ya nasibu na yanaweza kuchukua maadili tofauti. Kwa hivyo, wastani wa makosa yanayowezekana imedhamiriwa - maana ya makosa ya sampuli ambayo inategemea:

Ukubwa wa sampuli: idadi kubwa, chini ya thamani ya makosa ya wastani;

Kiwango cha mabadiliko ya sifa inayochunguzwa: jinsi tofauti ya sifa inavyopungua, na hivyo basi, tofauti, ndivyo makosa ya wastani ya sampuli yanavyopungua.

Katika uteuzi upya bila mpangilio kosa la wastani limehesabiwa:
.
Kwa mazoezi, tofauti ya jumla haijulikani haswa, lakini ndani nadharia ya uwezekano ilithibitisha hilo
.
Kwa kuwa thamani ya n kubwa ya kutosha iko karibu na 1, tunaweza kudhani kuwa. Kisha kosa la wastani la sampuli linaweza kuhesabiwa:
.
Lakini katika kesi ya sampuli ndogo (kwa n<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

Katika sampuli nasibu isiyo na nakala fomula zilizotolewa zinarekebishwa na thamani. Halafu kosa la sampuli lisilorudiwa ni:
na .
Kwa sababu daima ni kidogo, basi kizidishi () daima ni chini ya 1. Hii ina maana kwamba makosa ya wastani katika uteuzi usio na kurudia daima ni chini ya uteuzi unaorudiwa.
Sampuli za mitambo inatumiwa wakati idadi ya watu wote imeagizwa kwa namna fulani (kwa mfano, orodha za alfabeti za wapiga kura, nambari za simu, nambari za nyumba, vyumba). Uteuzi wa vitengo unafanywa kwa muda fulani, ambao ni sawa na uwiano wa asilimia ya sampuli. Kwa hivyo, kwa sampuli ya 2%, kila kitengo 50 = 1 / 0.02 kinachaguliwa, na 5% kila 1 / 0.05 = 20 kitengo cha idadi ya watu.

Hatua ya kumbukumbu imechaguliwa kwa njia tofauti: nasibu, kutoka katikati ya muda, na mabadiliko katika hatua ya kumbukumbu. Jambo kuu hapa ni kuepuka makosa ya utaratibu. Kwa mfano, na sampuli ya 5%, ikiwa kitengo cha kwanza ni 13, basi kinachofuata 33, 53, 73, nk.

Kwa upande wa usahihi, uteuzi wa mitambo ni karibu na sampuli za nasibu yenyewe. Kwa hiyo, ili kuamua kosa la wastani la sampuli za mitambo, kanuni za uteuzi sahihi wa random hutumiwa.

Katika uteuzi wa kawaida idadi ya watu iliyochunguzwa hapo awali imegawanywa katika vikundi vya aina moja. Kwa mfano, wakati wa kuchunguza biashara, hizi zinaweza kuwa viwanda, sekta ndogo; wakati wa kusoma idadi ya watu, hizi zinaweza kuwa mikoa, kijamii au vikundi vya umri. Kisha, uteuzi huru unafanywa kutoka kwa kila kikundi, ama kimakanika au kwa njia ya nasibu.

Sampuli za kawaida hutoa matokeo sahihi zaidi kuliko njia zingine. Uainishaji wa idadi ya jumla huhakikisha kwamba kila kikundi cha taipolojia kinawakilishwa katika sampuli, ambayo inafanya uwezekano wa kuwatenga ushawishi wa tofauti baina ya vikundi kwenye wastani wa hitilafu ya sampuli. Kwa hivyo, wakati wa kupata hitilafu ya sampuli ya kawaida kulingana na sheria ya kuongeza tofauti (), ni muhimu kuzingatia tu wastani wa tofauti za kikundi. Kisha kosa la wastani la sampuli:
kwenye uteuzi upya
,
bila kuchaguliwa tena
,
wapi ni wastani wa tofauti za ndani ya kikundi katika sampuli.

Uteuzi wa serial (au uliowekwa). inatumika katika kesi wakati idadi ya jumla imegawanywa katika mfululizo au vikundi kabla ya kuanza kwa uchunguzi wa sampuli. Mfululizo huu unaweza kuwa ufungaji wa bidhaa za kumaliza, vikundi vya wanafunzi, brigades. Mfululizo wa uchunguzi huchaguliwa kimitambo au kwa njia isiyo ya kawaida, na ndani ya mfululizo, uchunguzi unaoendelea wa vitengo unafanywa. Kwa hivyo, kosa la wastani la sampuli inategemea tu tofauti za vikundi (baina ya safu), ambayo huhesabiwa na formula:

ambapo r ni idadi ya mfululizo uliochaguliwa;
- wastani wa mfululizo wa i-th.

Hitilafu ya wastani ya sampuli ya mfululizo imehesabiwa:

baada ya kuchaguliwa tena:
,
na uteuzi usiorudiwa:
,
ambapo R ni jumla ya idadi ya mfululizo.

Pamoja uteuzi ni mchanganyiko wa mbinu za uteuzi zinazozingatiwa.

Hitilafu ya wastani ya sampuli kwa mbinu yoyote ya uteuzi inategemea hasa ukubwa kamili wa sampuli na, kwa kiasi kidogo, kwa asilimia ya sampuli. Tuseme kwamba uchunguzi 225 unafanywa katika kesi ya kwanza kutoka kwa idadi ya jumla ya vitengo 4500 na kwa pili kutoka vitengo 225,000. Tofauti katika matukio yote mawili ni sawa na 25. Kisha, katika kesi ya kwanza, na sampuli ya 5%, kosa la sampuli litakuwa:

Katika kesi ya pili, na uteuzi wa 0.1%, itakuwa sawa na:

Kwa njia hii, pamoja na kupungua kwa asilimia ya sampuli kwa mara 50, kosa la sampuli liliongezeka kwa kiasi kikubwa, kwani ukubwa wa sampuli haubadilika.
Tuseme ukubwa wa sampuli umeongezwa hadi uchunguzi 625. Katika kesi hii, kosa la sampuli ni:

Kuongezeka kwa sampuli kwa kipengele cha 2.8 na ukubwa sawa wa idadi ya jumla hupunguza ukubwa wa makosa ya sampuli kwa zaidi ya mara 1.6.

Mbinu na njia za kuunda sampuli.

Katika takwimu, mbinu mbalimbali za kuunda seti za sampuli hutumiwa, ambazo zimedhamiriwa na malengo ya utafiti na inategemea maalum ya kitu cha utafiti.

Hali kuu ya kufanya uchunguzi wa sampuli ni kuzuia tukio la makosa ya utaratibu yanayotokana na ukiukwaji wa kanuni ya fursa sawa kwa kila kitengo cha idadi ya watu kwa ujumla kuingizwa katika sampuli. Uzuiaji wa makosa ya kimfumo hupatikana kama matokeo ya utumiaji wa njia za kisayansi za kuunda sampuli ya idadi ya watu.

Kuna njia zifuatazo za kuchagua vitengo kutoka kwa idadi ya watu kwa ujumla:

1) uteuzi wa mtu binafsi - vitengo vya mtu binafsi vinachaguliwa katika sampuli;

2) uteuzi wa kikundi - vikundi vyenye usawa au safu ya vitengo vilivyosomwa huanguka kwenye sampuli;

3) uteuzi wa pamoja ni mchanganyiko wa uteuzi wa mtu binafsi na kikundi.
Njia za uteuzi zimedhamiriwa na sheria za kuunda idadi ya sampuli.

Sampuli inaweza kuwa:

• ajali sahihi inajumuisha ukweli kwamba idadi ya sampuli huundwa kama matokeo ya uteuzi wa nasibu (bila kukusudia) wa vitengo vya mtu binafsi kutoka kwa idadi ya jumla. Katika kesi hii, idadi ya vitengo vilivyochaguliwa kwa idadi ya sampuli kawaida huamuliwa kwa msingi wa sehemu inayokubalika ya sampuli. Uwiano wa sampuli ni uwiano wa idadi ya vitengo katika sampuli n kwa idadi ya vitengo katika idadi ya jumla N, i.e.

• mitambo linajumuisha ukweli kwamba uteuzi wa vitengo katika idadi ya sampuli hufanywa kutoka kwa idadi ya watu, imegawanywa katika vipindi sawa (vikundi). Zaidi ya hayo, ukubwa wa muda katika idadi ya watu kwa ujumla ni sawa na uwiano wa uwiano wa sampuli. Kwa hiyo, kwa sampuli ya 2%, kila kitengo cha 50 (1: 0.02) kinachaguliwa, na sampuli ya 5%, kila kitengo cha 20 (1: 0.05), nk. Kwa hivyo, kwa mujibu wa sehemu iliyokubaliwa ya uteuzi, idadi ya watu kwa ujumla, kama ilivyokuwa, imegawanywa katika vikundi vya ukubwa sawa. Sehemu moja tu imechaguliwa kutoka kwa kila kikundi.
• kawaida - ambapo idadi ya jumla imegawanywa kwanza katika vikundi vya kawaida vya homogeneous. Kisha, kutoka kwa kila kikundi cha kawaida, kwa sampuli sahihi ya nasibu au ya mitambo, uteuzi wa mtu binafsi wa vitengo hufanywa katika sampuli ya idadi ya watu. Kipengele muhimu cha sampuli ya kawaida ni kwamba inatoa matokeo sahihi zaidi kwa kulinganisha na mbinu nyingine za kuchagua vitengo katika sampuli;
• mfululizo- ambayo idadi ya watu imegawanywa katika vikundi vya ukubwa sawa - mfululizo. Mfululizo huchaguliwa kwa sampuli. Ndani ya mfululizo, uchunguzi unaoendelea wa vitengo vilivyojumuishwa katika mfululizo unafanywa;
• pamoja- sampuli inaweza kuwa hatua mbili. Katika kesi hii, idadi ya watu imegawanywa kwanza katika vikundi. Kisha vikundi vinachaguliwa, na ndani ya mwisho, vitengo vya mtu binafsi vinachaguliwa.

Katika takwimu, mbinu zifuatazo za kuchagua vitengo katika sampuli ya idadi ya watu zinajulikana:

• hatua moja sampuli - kila kitengo kilichochaguliwa kinachunguzwa mara moja kulingana na kigezo fulani (sampuli sahihi ya random na serial);
• hatua nyingi sampuli - uteuzi hufanywa kutoka kwa idadi ya jumla ya vikundi vya watu binafsi, na vitengo vya mtu binafsi huchaguliwa kutoka kwa vikundi (sampuli za kawaida na njia ya mitambo ya kuchagua vitengo katika sampuli ya idadi ya watu).

Kwa kuongeza, tofauti hufanywa kati ya:

• uteuzi upya- kulingana na mpango wa mpira uliorejeshwa. Zaidi ya hayo, kila kitengo au mfululizo ulioingia kwenye sampuli hurudi kwa idadi ya jumla na kwa hivyo una nafasi ya kuingia kwenye sampuli tena;
• uteuzi usiorudiwa- kulingana na mpango wa mpira ambao haujarudishwa. Ina matokeo sahihi zaidi yenye ukubwa wa sampuli sawa.

Uamuzi wa saizi ya sampuli inayohitajika (kwa kutumia jedwali la Mwanafunzi).

Moja ya kanuni za kisayansi katika nadharia ya sampuli ni kuhakikisha idadi ya kutosha ya vitengo vya sampuli. Kinadharia, hitaji la kufuata kanuni hii linawasilishwa katika uthibitisho wa nadharia za kikomo za nadharia ya uwezekano, ambayo inafanya uwezekano wa kujua ni kiasi gani cha vitengo kinapaswa kuchaguliwa kutoka kwa idadi ya watu kwa ujumla ili iweze kutosha na kuhakikisha uwakilishi wa sampuli.

Kupungua kwa kosa la kawaida la sampuli, na, kwa hiyo, ongezeko la usahihi wa makadirio daima huhusishwa na ongezeko la ukubwa wa sampuli, kwa hiyo, tayari katika hatua ya kuandaa uchunguzi wa sampuli, ni muhimu kuamua. swali la ukubwa wa idadi ya sampuli inapaswa kuwa ili kuhakikisha usahihi unaohitajika wa matokeo ya uchunguzi. Hesabu ya saizi inayohitajika ya sampuli hujengwa kwa kutumia fomula zinazotokana na fomula za makosa ya sampuli ya kando (A), inayolingana na aina fulani na njia ya uteuzi. Kwa hivyo, kwa saizi ya sampuli inayorudiwa bila mpangilio (n) tunayo:

Kiini cha fomula hii ni kwamba kwa uteuzi wa nasibu unaorudiwa wa saizi inayohitajika, saizi ya sampuli inalingana moja kwa moja na mraba wa mgawo wa uaminifu. (t2) na utofauti wa kipengele cha utofautishaji (? 2) na ni sawia kinyume na mraba wa makosa ya sampuli ya pambizo (? 2). Hasa, kwa mara mbili ya kosa la kando, ukubwa wa sampuli unaohitajika unaweza kupunguzwa kwa sababu ya nne. Kati ya vigezo vitatu, viwili (t na?) Vimewekwa na mtafiti.

Katika kesi hii, mtafiti anaendelea kwa madhumuni ya malengo ya uchunguzi wa sampuli, inapaswa kutatua swali: katika mchanganyiko gani wa kiasi ni bora kuingiza vigezo hivi ili kuhakikisha chaguo mojawapo? Katika hali moja, anaweza kuridhika zaidi na kuaminika kwa matokeo yaliyopatikana (t) kuliko kwa kipimo cha usahihi (?), Kwa upande mwingine - kwa njia nyingine kote. Ni ngumu zaidi kusuluhisha suala kuhusu thamani ya kosa la sampuli ya kando, kwani mtafiti hana kiashiria hiki katika hatua ya muundo wa uchunguzi wa sampuli, kwa hivyo, katika mazoezi, ni kawaida kuweka kosa la sampuli la kando, kama sampuli. sheria, ndani ya hadi 10% ya kiwango cha wastani kinachotarajiwa cha kipengele. Kuanzisha wastani unaodhaniwa kunaweza kushughulikiwa kwa njia tofauti: kutumia data kutoka kwa tafiti sawa za awali, au kutumia data kutoka kwa fremu ya sampuli na kutengeneza sampuli ndogo ya majaribio.

Wakati wa kubuni uchunguzi wa sampuli, ni vigumu zaidi kuanzisha parameter ya tatu katika fomula (5.2) - tofauti ya idadi ya sampuli. Katika kesi hiyo, ni muhimu kutumia taarifa zote zinazopatikana kwa mtafiti, zilizopatikana katika tafiti za awali sawa na za majaribio.

Swali la kufafanua saizi inayohitajika ya sampuli ni ngumu ikiwa uchunguzi wa sampuli unahusisha utafiti wa sifa kadhaa za vitengo vya sampuli. Katika kesi hii, viwango vya wastani vya kila ishara na tofauti zao ni, kama sheria, tofauti, na kwa hiyo inawezekana kuamua swali la tofauti ya ni ipi ya ishara ya kutoa upendeleo, kwa kuzingatia tu madhumuni na malengo ya utafiti.

Wakati wa kuunda uchunguzi wa sampuli, thamani iliyotanguliwa ya kosa la sampuli inayokubalika inachukuliwa kwa mujibu wa kazi za utafiti fulani na uwezekano wa hitimisho kulingana na matokeo ya uchunguzi.

Kwa ujumla, fomula ya makosa ya pambizo ya sampuli hufanya iwezekanavyo kuamua:

Kiasi cha kupotoka kwa uwezekano wa viashiria vya idadi ya watu kwa ujumla kutoka kwa viashiria vya idadi ya sampuli;

Ukubwa unaohitajika wa sampuli, kutoa usahihi unaohitajika, ambapo mipaka ya kosa iwezekanavyo haizidi thamani fulani maalum;

Uwezekano kwamba hitilafu katika sampuli itakuwa na kikomo maalum.

Mgawanyo wa wanafunzi katika nadharia ya uwezekano, ni familia ya parameta moja ya usambazaji unaoendelea kabisa.

Mfululizo wa mienendo (muda, wakati), kufungwa kwa safu za mienendo.

Safu za mienendo- hizi ni maadili ya viashiria vya takwimu, ambavyo vinawasilishwa kwa mpangilio fulani wa mpangilio.

Kila mfululizo wa wakati una vipengele viwili:

1) viashiria vya muda (miaka, robo, miezi, siku au tarehe);

2) viashiria vinavyoashiria kitu kinachosomwa kwa muda au tarehe zinazolingana, ambazo huitwa viwango vya safu.

Viwango vya mfululizo vinaonyeshwa thamani kamili na wastani au jamaa. Kulingana na asili ya viashiria, mfululizo wa nguvu wa maadili kamili, jamaa na wastani hujengwa. Msururu wa mienendo kutoka kwa maadili ya jamaa na wastani hujengwa kwa msingi wa safu inayotokana ya maadili kamili. Tofautisha kati ya mfululizo wa muda na muda wa mienendo.

Mfululizo wa muda unaobadilika ina maadili ya viashiria kwa vipindi maalum vya wakati. Katika mfululizo wa muda, viwango vinaweza kufupishwa, kupata kiasi cha jambo hilo kwa muda mrefu, au kinachojulikana kuwa jumla ya kusanyiko.

Mfululizo wa torque inayobadilika huonyesha maadili ya viashiria kwa wakati fulani (tarehe ya wakati). Katika mfululizo wa muda mfupi, mtafiti anaweza tu kupendezwa na tofauti ya matukio, akionyesha mabadiliko katika kiwango cha mfululizo kati ya tarehe fulani, kwa kuwa jumla ya viwango hapa haina maudhui halisi. Jumla zilizokusanywa hazihesabiwi hapa.

Hali muhimu zaidi kwa ajili ya ujenzi sahihi wa mfululizo wa muda ni ulinganifu wa viwango vya mfululizo wa vipindi tofauti. Viwango vinapaswa kuwasilishwa kwa idadi ya homogeneous, na sehemu tofauti za jambo zinapaswa kuwa za kina sawa.

Ili ili kuepuka kuvuruga kwa mienendo halisi, katika utafiti wa takwimu mahesabu ya awali yanafanywa (kufunga mfululizo wa mienendo), ambayo hutangulia uchambuzi wa takwimu wa mfululizo wa wakati. Kufunga safu ya mienendo inaeleweka kama muunganisho wa safu mbili au zaidi katika safu moja, ambayo viwango vyake huhesabiwa kulingana na mbinu tofauti au hailingani na mipaka ya eneo, nk. Muunganiko wa mfululizo wa mienendo unaweza pia kumaanisha kuleta viwango kamili vya mfululizo wa mienendo kwenye msingi wa kawaida, ambao huondoa kutolinganishwa kwa viwango vya mfululizo wa mienendo.

Dhana ya ulinganifu wa mfululizo wa mienendo, coefficients, ukuaji na viwango vya ukuaji.

Safu za mienendo- mfululizo wa viashiria vya takwimu vinavyoonyesha maendeleo ya matukio ya asili na ya kijamii kwa wakati. Mikusanyiko ya takwimu iliyochapishwa na Goskomstat ya Urusi ina idadi kubwa ya mfululizo wa mienendo katika fomu ya jedwali. Msururu wa mienendo hufanya iwezekanavyo kufichua mifumo ya maendeleo ya matukio chini ya utafiti.

Mfululizo wa mienendo una aina mbili za viashiria. Viashiria vya wakati(miaka, robo, miezi, nk) au pointi kwa wakati (mwanzoni mwa mwaka, mwanzoni mwa kila mwezi, nk). Viashiria vya kiwango cha safu... Viashiria vya viwango vya safu ya mienendo vinaweza kuonyeshwa kwa maadili kamili (uzalishaji wa bidhaa kwa tani au rubles), maadili ya jamaa (sehemu ya wakazi wa mijini) na maadili ya wastani (mshahara wa wastani wa wafanyikazi katika tasnia kwa miaka, nk). Katika fomu ya jedwali, safu mlalo inayobadilika ina safu wima mbili au safu mbili.

Ujenzi sahihi wa safu ya mienendo unaonyesha utimilifu wa mahitaji kadhaa:

1. viashiria vyote vya idadi ya mienendo lazima iwe ya kisayansi, ya kuaminika;
2. viashiria vya idadi ya mienendo inapaswa kulinganishwa kwa wakati, i.e. lazima ihesabiwe kwa vipindi sawa vya wakati au kwa tarehe sawa;
3. viashiria vya idadi ya mienendo vinapaswa kulinganishwa katika eneo lote;
4. viashiria vya idadi ya mienendo inapaswa kulinganishwa katika maudhui, i.e. kuhesabiwa kulingana na mbinu ya umoja, kwa njia sawa;
5. viashiria vya idadi ya mienendo vinapaswa kulinganishwa katika anuwai ya mashamba yanayozingatiwa. Viashiria vyote vya idadi ya mienendo vinapaswa kutolewa katika vitengo sawa vya kipimo.

Viashiria vya takwimu inaweza kuashiria matokeo ya mchakato unaojifunza kwa muda fulani, au hali ya jambo lililo chini ya utafiti kwa wakati fulani, i.e. viashiria vinaweza kuwa vya muda (vipindi) na vya kitambo. Ipasavyo, mfululizo wa mwanzo wa mienendo unaweza kuwa wa muda au wa kitambo. Msururu wa muda wa mienendo, kwa upande wake, unaweza kuwa na vipindi sawa na visivyo sawa.

Mfululizo wa asili wa mienendo inaweza kubadilishwa kuwa safu ya maadili ya wastani na safu ya maadili ya jamaa (mnyororo na msingi). Mfululizo huo wa mienendo huitwa mfululizo unaotokana wa mienendo.

Mbinu ya kuhesabu kiwango cha wastani katika mfululizo wa mienendo ni tofauti, kutokana na aina ya mfululizo wa mienendo. Kwa kutumia mifano, tutazingatia aina za mfululizo wa mienendo na fomula za kuhesabu kiwango cha wastani.

Mafanikio kamili (Δy) onyesha ni vitengo ngapi ngazi inayofuata ya mfululizo imebadilika kwa kulinganisha na uliopita (safu 3. - nyongeza za mnyororo kabisa) au kwa kulinganisha na ngazi ya awali (safu 4. - nyongeza za msingi kabisa). Njia za kuhesabu zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Kwa kupungua kwa maadili kamili ya mfululizo, kutakuwa na, kwa mtiririko huo, "kupungua", "kupungua".

Fahirisi za ukuaji kamili zinaonyesha kuwa, kwa mfano, mnamo 1998 uzalishaji wa bidhaa "A" uliongezeka kwa tani elfu 4 ikilinganishwa na 1997, na kwa tani elfu 34 ikilinganishwa na 1994; kwa miaka iliyobaki tazama jedwali. 11.5 g 3 na 4.

Kiwango cha ukuaji inaonyesha ni mara ngapi kiwango cha mfululizo kimebadilika kwa kulinganisha na uliopita (safu wima 5 - ukuaji wa mnyororo au kupungua kwa mgawo) au ikilinganishwa na kiwango cha awali (safu ya 6 - ukuaji wa msingi au kupungua kwa coefficients). Njia za kuhesabu zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Viwango vya ukuaji onyesha ni asilimia ngapi ya kiwango kinachofuata cha mfululizo kwa kulinganisha na uliopita (safu ya 7 - viwango vya ukuaji wa mnyororo) au kwa kulinganisha na ngazi ya awali (safu ya 8 - viwango vya ukuaji wa msingi). Njia za kuhesabu zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Kwa hivyo, kwa mfano, mnamo 1997 kiasi cha uzalishaji wa bidhaa "A" ikilinganishwa na 1996 kilifikia 105.5% (

Kiwango cha ukuaji onyesha ni asilimia ngapi kiwango cha kipindi cha kuripoti kimeongezeka kwa kulinganisha na kilichotangulia (safu ya 9 - viwango vya ukuaji wa mnyororo) au kwa kulinganisha na kiwango cha awali (safu ya 10 - viwango vya ukuaji wa msingi). Njia za kuhesabu zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

T pr = T p - 100% au T pr = ongezeko kamili / kiwango cha kipindi cha awali * 100%

Kwa hiyo, kwa mfano, mwaka wa 1996, ikilinganishwa na 1995, bidhaa "A" ilitolewa na 3.8% (103.8% - 100%) au (8: 210) x100%, na ikilinganishwa na 1994 - kwa 9% (109% - 100). %).

Ikiwa viwango kamili katika safu hupungua, basi kiwango kitakuwa chini ya 100% na, ipasavyo, kutakuwa na kiwango cha kupungua (kiwango cha ukuaji na ishara ya minus).

Thamani kamili ya faida ya 1%.(safu 11) inaonyesha ni vitengo ngapi vinapaswa kuzalishwa katika kipindi fulani ili kiwango cha kipindi kilichopita kiongezeke kwa 1%. Katika mfano wetu, mwaka wa 1995 ilikuwa ni lazima kuzalisha tani elfu 2.0, na mwaka wa 1998 - tani elfu 2.3, i.e. kubwa zaidi.

Kuna njia mbili za kuamua ukubwa wa thamani kamili ya ongezeko la 1%:

Gawanya kiwango cha kipindi kilichopita na 100;

Gawanya nyongeza kamili ya mnyororo kulingana na viwango vya ukuaji wa mnyororo.

Thamani kamili ya faida ya 1% =

Katika mienendo, hasa kwa muda mrefu, uchambuzi wa pamoja wa viwango vya ukuaji na maudhui ya kila asilimia ya ongezeko au kupungua ni muhimu.

Kumbuka kuwa njia inayozingatiwa ya kuchambua safu ya mienendo inatumika kwa safu ya mienendo, viwango ambavyo vinaonyeshwa kwa maadili kamili (t, rubles elfu, idadi ya wafanyikazi, nk), na kwa safu. ya mienendo, viwango vyake ambavyo vinaonyeshwa na viashiria vya jamaa (% ya chakavu,% ya majivu ya makaa ya mawe, nk) au maadili ya wastani (mavuno ya wastani katika vituo / ha, mshahara wa wastani, nk).

Pamoja na viashiria vya uchambuzi vinavyozingatiwa, vilivyohesabiwa kwa kila mwaka kwa kulinganisha na kiwango cha awali au cha awali, wakati wa kuchambua mfululizo wa mienendo, ni muhimu kuhesabu viashiria vya wastani vya uchambuzi kwa kipindi hicho: kiwango cha wastani cha mfululizo, wastani wa kila mwaka. ongezeko kamili (kupungua) na wastani wa kiwango cha ukuaji wa kila mwaka na kiwango cha ukuaji.

Mbinu za kuhesabu kiwango cha wastani cha mfululizo wa mienendo zilijadiliwa hapo juu. Katika safu ya muda ya mienendo tunayozingatia, kiwango cha wastani cha safu huhesabiwa kwa kutumia formula rahisi ya hesabu:

Wastani wa uzalishaji wa kila mwaka wa bidhaa kwa 1994-1998 jumla ya tani 218.4 elfu.

Ukuaji wa wastani wa kila mwaka pia huhesabiwa kwa kutumia fomula rahisi ya maana ya hesabu:

Viongezeo kamili vya kila mwaka vilitofautiana kwa miaka kutoka tani 4 hadi 12 elfu (tazama safu ya 3), na wastani wa ongezeko la kila mwaka la uzalishaji kwa kipindi cha 1995 - 1998. ilifikia tani elfu 8.5.

Mbinu za kukokotoa wastani wa kiwango cha ukuaji na wastani wa kiwango cha ukuaji zinahitaji kuzingatiwa kwa kina zaidi. Hebu tuzingatie kwa kutumia mfano wa viashiria vya kila mwaka vya ngazi ya mfululizo iliyoonyeshwa kwenye jedwali.

Kiwango cha wastani cha idadi ya mienendo.

Msururu wa mienendo (au mfululizo wa saa) ni nambari za nambari za takwimu fulani kwa nyakati au vipindi vya wakati (yaani, iliyopangwa kwa mpangilio).

Thamani za nambari za kiashiria kimoja au kingine cha takwimu ambacho hufanya safu ya mienendo huitwa viwango vya na kawaida huonyeshwa na barua y... Mwanachama wa kwanza wa mfululizo y 1 inayoitwa awali au msingi na wa mwisho y n - fainali... Muda au vipindi vya muda ambavyo viwango vinarejelea vinaonyeshwa kupitia t.

Mfululizo wa mienendo, kama sheria, huwasilishwa kwa namna ya meza au grafu, na kiwango cha wakati kinapangwa kando ya mhimili wa abscissa. t, na juu ya kuratibu - kiwango cha viwango vya mfululizo y.

Viashiria vya wastani vya idadi ya mienendo

Kila safu ya mienendo inaweza kutazamwa kama aina ya jumla n viashiria vinavyotofautiana wakati ambavyo vinaweza kufupishwa kama wastani. Viashiria vile vya jumla (wastani) ni muhimu sana wakati wa kulinganisha mabadiliko katika kiashiria fulani katika vipindi tofauti, katika nchi tofauti, nk.

Tabia ya jumla ya idadi ya mienendo inaweza kuwa kimsingi ngazi ya kati ya safu... Njia ya kuhesabu kiwango cha wastani inategemea ikiwa ni mfululizo wa muda au mfululizo wa muda (kipindi).

Lini muda ya mfululizo, kiwango chake cha wastani kinatambuliwa na formula ya maana rahisi ya hesabu kutoka kwa viwango vya mfululizo, i.e.

=
Kama ipo dakika safu iliyo na n viwango ( y1, y2,…, yn) na vipindi sawa kati ya tarehe (alama kwa wakati), basi safu kama hizo zinaweza kubadilishwa kwa urahisi kuwa safu ya wastani. Katika kesi hii, kiashiria (ngazi) mwanzoni mwa kila kipindi ni wakati huo huo kiashiria mwishoni mwa kipindi cha awali. Kisha thamani ya wastani ya kiashirio kwa kila kipindi (muda kati ya tarehe) inaweza kuhesabiwa kama nusu-jumla ya thamani. katika mwanzoni na mwisho wa kipindi, i.e. vipi . Idadi ya wastani kama huo itakuwa. Kama ilivyoelezwa hapo awali, kwa mfululizo wa wastani, kiwango cha wastani kinahesabiwa kutoka kwa maana ya hesabu.

Kwa hivyo, tunaweza kuandika:
.
Baada ya kubadilisha nambari, tunapata:
,

wapi Y1 na Yn- ngazi ya kwanza na ya mwisho ya safu; Yi- viwango vya kati.

Wastani huu unajulikana katika takwimu kama wastani wa mpangilio kwa mfululizo wa muda mfupi. Ilipata jina hili kutoka kwa neno "cronos" (wakati, lat.), Kwa kuwa imehesabiwa kutoka kwa viashiria vinavyobadilika kwa muda.

Katika kesi ya usawa ya vipindi kati ya tarehe, wastani wa mpangilio wa mfululizo wa muda unaweza kuhesabiwa kama wastani wa hesabu wa viwango vya wastani vya viwango kwa kila jozi ya muda, iliyopimwa na umbali (vipindi vya muda) kati ya tarehe, i.e.
.
Kwa kesi hii inadhaniwa kuwa katika vipindi kati ya tarehe viwango vilichukua maadili tofauti, na sisi ni kati ya hizo mbili zinazojulikana ( ndiyo na ndiyo + 1) tunaamua wastani, ambayo kisha tunahesabu wastani wa jumla wa kipindi chote kilichochambuliwa.
Ikiwa inachukuliwa kuwa kila thamani ndiyo bado haijabadilika hadi ijayo (i + 1)- dakika moja, i.e. tarehe halisi ya mabadiliko ya viwango inajulikana, basi hesabu inaweza kufanywa kulingana na formula ya wastani wa uzani wa hesabu:
,

ni wakati gani ambapo kiwango kilibaki bila kubadilika.

Mbali na kiwango cha wastani katika mfululizo wa mienendo, viashiria vingine vya wastani vinahesabiwa - mabadiliko ya wastani katika viwango vya mfululizo (kwa njia za msingi na za mnyororo), kiwango cha wastani cha mabadiliko.

Msingi unamaanisha mabadiliko kamili ni mgawo wa mabadiliko ya mwisho ya msingi kabisa kugawanywa na idadi ya mabadiliko. Hiyo ni

Mlolongo unamaanisha mabadiliko kamili viwango vya safu ni mgawo wa kugawa jumla ya mabadiliko yote ya mnyororo kwa idadi ya mabadiliko, ambayo ni.

Ishara ya wastani wa mabadiliko kamili pia hutumiwa kuhukumu asili ya mabadiliko katika jambo hilo kwa wastani: ukuaji, kupungua au utulivu.

Kutoka kwa utawala wa udhibiti wa mabadiliko ya msingi na ya mnyororo inafuata kwamba mabadiliko ya msingi na ya mnyororo lazima iwe sawa.

Pamoja na mabadiliko ya wastani kabisa, wastani wa jamaa pia huhesabiwa kwa kutumia mbinu za kimsingi na za mnyororo.

Msingi unamaanisha mabadiliko ya jamaa imedhamiriwa na formula:

Mlolongo unamaanisha mabadiliko ya jamaa imedhamiriwa na formula:

Kwa kawaida, msingi na mlolongo wa maana mabadiliko ya jamaa yanapaswa kuwa sawa na kwa kulinganisha yao na thamani ya kigezo 1, hitimisho hutolewa kuhusu hali ya mabadiliko katika jambo hilo kwa wastani: ukuaji, kupungua au utulivu.
Kwa kutoa 1 kutoka kwa msingi au wastani wa mnyororo wa mabadiliko ya jamaa, inayolingana kiwango cha wastani cha mabadiliko, kwa ishara ambayo inawezekana pia kuhukumu asili ya mabadiliko katika jambo lililojifunza, lililoonyeshwa na mfululizo uliotolewa wa mienendo.

Mabadiliko ya misimu na fahirisi za msimu.

Mabadiliko ya msimu ni mabadiliko ya kila mwaka ya kila mwaka.

Kanuni kuu ya kusimamia kupata athari kubwa ni kuongeza mapato na kupunguza gharama. Kwa kusoma mabadiliko ya msimu, shida ya equation ya juu hutatuliwa katika kila ngazi ya mwaka.

Wakati wa kusoma mabadiliko ya msimu, kazi mbili zinazohusiana zinatatuliwa:

1. Kufunua maalum ya maendeleo ya jambo katika mienendo ya ndani ya mwaka;

2. Upimaji wa mabadiliko ya msimu na ujenzi wa mfano wa wimbi la msimu;

Ili kupima mabadiliko ya msimu, batamzinga kwa kawaida huhesabiwa kulingana na msimu. Kwa ujumla, zimedhamiriwa na uwiano wa milinganyo ya awali ya idadi ya mienendo kwa milinganyo ya kinadharia, ambayo hutumika kama msingi wa kulinganisha.

Kwa kuwa mikengeuko nasibu huwekwa juu zaidi kutokana na kushuka kwa thamani kwa msimu, fahirisi za msimu huwa wastani ili kuziondoa.

Katika kesi hii, kwa kila kipindi cha mzunguko wa kila mwaka, viashiria vya jumla vinatambuliwa kwa namna ya fahirisi za wastani za msimu:

Fahirisi za wastani za kushuka kwa thamani kwa msimu hazina ushawishi wa michepuko ya nasibu ya mwelekeo mkuu wa maendeleo.

Kulingana na hali ya mwenendo, fomula ya faharasa ya wastani ya msimu inaweza kuchukua aina zifuatazo:

1.Kwa mfululizo wa mienendo ya ndani ya mwaka yenye mwelekeo mkuu wa maendeleo uliotamkwa:

2. Kwa mfululizo wa mienendo ya ndani ya mwaka ambayo hakuna mwelekeo unaoongezeka au kupungua, au hauna maana:

Wastani wa jumla uko wapi;

Njia za kuchambua mwenendo kuu.

Ukuaji wa matukio kwa wakati huathiriwa na mambo ya asili tofauti na nguvu ya ushawishi. Baadhi yao ni nasibu kwa asili, wengine wana athari karibu mara kwa mara na huunda mwelekeo fulani wa maendeleo katika safu za mienendo.

Kazi muhimu ya takwimu ni kutambua mienendo ya mwenendo katika mfululizo, iliyotolewa kutokana na hatua ya mambo mbalimbali ya random. Kwa kusudi hili, mfululizo wa mienendo ni kusindika na mbinu za kuimarisha vipindi, kusonga wastani na usawa wa uchambuzi, nk.

Njia ya muda ya coarsening kwa kuzingatia upanuzi wa vipindi vya muda ambavyo viwango vya idadi ya mienendo ni, i.e. ni uingizwaji wa data inayohusiana na muda mdogo na data kutoka kwa vipindi vikubwa. Inafaa hasa wakati viwango vya awali vya mfululizo ni vya muda mfupi. Kwa mfano, safu za viashiria zinazohusiana na matukio ya kila siku hubadilishwa na safu zinazohusiana na kila wiki, kila mwezi, nk. Hii itawawezesha kuonyesha wazi zaidi "Mhimili wa maendeleo ya jambo"... Wastani, uliohesabiwa juu ya vipindi vilivyopanuliwa, hufanya iwezekanavyo kutambua mwelekeo na asili (kuongeza kasi au kupunguza kasi ya ukuaji) ya mwenendo kuu wa maendeleo.

Njia ya wastani ya kusonga ni sawa na ile ya awali, lakini katika kesi hii viwango halisi hubadilishwa na viwango vya wastani vilivyohesabiwa kwa mfululizo wa kusonga (kuteleza) kwa vipindi vilivyopanuliwa. m viwango vya mfululizo.

kwa mfano ukikubali m = 3, basi kwanza wastani wa ngazi tatu za kwanza za mfululizo huhesabiwa, kisha kutoka kwa idadi sawa ya ngazi, lakini kuanzia pili kwa mfululizo, kisha kuanzia tatu, nk. Kwa hivyo, wastani, kama ilivyokuwa, "slides" pamoja na idadi ya mienendo, ikisonga kwa kipindi kimoja. Imehesabiwa kutoka m maneno kusonga wastani hurejelea katikati (katikati) ya kila kipindi.

Njia hii huondoa tu mabadiliko ya nasibu. Ikiwa mfululizo una wimbi la msimu, basi itabaki baada ya kulainisha kwa njia ya wastani ya kusonga.

Mpangilio wa uchambuzi. Ili kuondoa mabadiliko ya nasibu na kutambua mwelekeo, upangaji wa viwango vya mfululizo kwa fomula za uchanganuzi (au upangaji wa uchanganuzi) hutumiwa. Kiini chake kinajumuisha kuchukua nafasi ya viwango vya majaribio (halisi) na vya kinadharia, ambavyo vinakokotolewa kulingana na mlingano fulani uliopitishwa kama modeli ya mwelekeo wa hisabati, ambapo viwango vya kinadharia huzingatiwa kama kazi ya wakati:. Katika hali hii, kila kiwango halisi kinazingatiwa kama jumla ya vijenzi viwili:, kijenzi cha utaratibu kiko wapi na kuonyeshwa kwa mlingano fulani, na ni kigezo cha nasibu kinachosababisha kushuka kwa thamani kuzunguka mwelekeo.

Kazi ya upatanishi wa uchambuzi inategemea yafuatayo:

1. Uamuzi, kulingana na data halisi, ya aina ya utendakazi dhahania inayoweza kuonyesha vya kutosha mwelekeo wa ukuzaji wa kiashirio kinachochunguzwa.

2. Kutafuta vigezo vya kazi maalum (equation) kutoka kwa data ya majaribio

3. Hesabu kulingana na mlingano uliopatikana wa viwango vya kinadharia (vilivyolingana).

Chaguo la kazi fulani hufanywa, kama sheria, kwa msingi wa uwakilishi wa picha wa data ya majaribio.

Milinganyo ya urejeshi hutumiwa kama mifano, vigezo ambavyo huhesabiwa kwa kutumia mbinu ya angalau mraba

Ifuatayo ni milinganyo ya regression inayotumika sana kwa kusawazisha mfululizo wa saa, ikionyesha ni mitindo gani ya usanidi inayofaa zaidi kuakisi.

Ili kupata vigezo vya equations hapo juu, kuna algorithms maalum na programu za kompyuta. Hasa, kupata vigezo vya equation ya mstari wa moja kwa moja, algorithm ifuatayo inaweza kutumika:

Ikiwa vipindi au muda wa muda umehesabiwa ili St = 0, basi algorithms hapo juu itarahisishwa kwa kiasi kikubwa na kugeuka kuwa

Viwango vilivyopangiliwa kwenye chati vitapatikana kwenye mstari mmoja ulionyooka unaopita kwenye umbali wa karibu zaidi wa viwango halisi vya mfululizo huu wa saa. Jumla ya miraba ya mikengeuko ni onyesho la ushawishi wa mambo nasibu.

Kwa msaada wake, tunahesabu makosa ya wastani (ya kawaida) ya equation:

Hapa n ni idadi ya uchunguzi, na m ni idadi ya vigezo katika equation (tuna mbili kati yao - b 1 na b 0).

Mwelekeo mkuu (mwelekeo) unaonyesha jinsi vipengele vya utaratibu vinavyoathiri viwango vya idadi ya mienendo, na mabadiliko katika viwango vinavyozunguka mwelekeo () hutumika kama kipimo cha athari za vipengele vilivyobaki.

Ili kutathmini ubora wa mtindo wa mfululizo wa muda unaotumiwa, pia hutumiwa Mtihani wa F ya Fisher... Ni uwiano wa tofauti mbili, yaani uwiano wa tofauti unaosababishwa na kurudi nyuma, i.e. sababu iliyojifunza, kwa tofauti inayosababishwa na sababu za random, i.e. mtawanyiko wa mabaki:

Katika fomu iliyopanuliwa, fomula ya kigezo hiki inaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:

ambapo n ni idadi ya uchunguzi, i.e. idadi ya viwango mfululizo,

m ni idadi ya vigezo katika equation, y ni kiwango halisi cha mfululizo,

Kiwango cha safu mlalo kilichopangiliwa - kiwango cha safu ya kati.

Imefanikiwa zaidi kuliko wengine, mfano hauwezi kuwa wa kuridhisha kila wakati. Inaweza kutambuliwa kama hivyo ikiwa tu kigezo F kwayo kinavuka mpaka muhimu unaojulikana. Mpaka huu umewekwa kwa kutumia majedwali ya usambazaji F.

Kiini na uainishaji wa fahirisi.

Faharasa katika takwimu inaeleweka kama kiashirio cha jamaa kinachoashiria mabadiliko katika ukubwa wa jambo fulani kwa wakati, nafasi, au kwa kulinganisha na kiwango chochote.

Kipengele kikuu cha uwiano wa index ni thamani iliyoonyeshwa. Thamani iliyoorodheshwa inaeleweka kama thamani ya sifa ya idadi ya watu wa takwimu, mabadiliko ambayo ni kitu cha utafiti.

Kuna kazi tatu kuu na indexes:

1) tathmini ya mabadiliko katika jambo ngumu;

2) uamuzi wa ushawishi wa mambo ya mtu binafsi juu ya mabadiliko katika jambo ngumu;

3) kulinganisha ukubwa wa jambo fulani na ukubwa wa kipindi cha nyuma, ukubwa wa eneo lingine, na vile vile viwango, mipango, utabiri.

Fahirisi zimeainishwa kulingana na vigezo 3:

2) kulingana na kiwango cha chanjo ya vipengele vya idadi ya watu;

3) kulingana na njia za kuhesabu fahirisi za jumla.

Kwa yaliyomo ya maadili ya indexed, fahirisi zimegawanywa katika fahirisi za viashiria vya kiasi (volumetric) na fahirisi za viashiria vya ubora. Fahirisi za viashiria vya kiasi - fahirisi za kiasi cha kimwili cha uzalishaji wa viwanda, kiasi cha mauzo ya kimwili, idadi ya watu, nk Fahirisi za viashiria vya ubora - fahirisi za bei, gharama za uzalishaji, tija ya kazi, mshahara wa wastani, nk.

Kulingana na kiwango cha chanjo ya vitengo vya idadi ya watu, fahirisi zimegawanywa katika madarasa mawili: ya mtu binafsi na ya jumla. Ili kuwaainisha, tunatanguliza kanuni zifuatazo zilizopitishwa katika mazoezi ya kutumia njia ya faharisi:

q- kiasi (kiasi) cha bidhaa yoyote katika kujieleza asili ; R- bei ya kitengo; z- gharama ya kitengo cha uzalishaji; t- wakati uliotumika katika utengenezaji wa kitengo cha uzalishaji (kiwango cha wafanyikazi) ; w- uzalishaji wa bidhaa kwa masharti ya thamani kwa kitengo cha wakati; v- uzalishaji wa bidhaa kwa aina kwa kitengo cha wakati; T- jumla ya muda uliotumika au idadi ya wafanyakazi.

Ili kutofautisha ni kipindi gani au kitu cha maadili yaliyowekwa, ni kawaida kuweka usajili chini kulia baada ya ishara inayolingana. Kwa hivyo, kwa mfano, katika fahirisi za mienendo, kama sheria, kwa vipindi vya kulinganisha (vya sasa, vya kuripoti), maandishi ya 1 hutumiwa na kwa vipindi ambavyo kulinganisha hufanywa,

Faharasa za mtu binafsi hutumikia kuashiria mabadiliko katika vipengele vya mtu binafsi vya jambo ngumu (kwa mfano, mabadiliko ya kiasi cha pato la aina moja ya bidhaa). Wanawakilisha maadili ya jamaa ya mienendo, utimilifu wa majukumu, kulinganisha kwa maadili yaliyowekwa.

Fahirisi ya mtu binafsi ya kiasi cha kimwili cha uzalishaji imedhamiriwa

Kwa mtazamo wa uchanganuzi, fahirisi za mienendo ya mtu binafsi zilizotajwa ni sawa na viwango vya ukuaji (viwango) na zinaonyesha mabadiliko katika thamani iliyoonyeshwa katika kipindi cha sasa ikilinganishwa na msingi, yaani, zinaonyesha mara ngapi imeongezeka (ilipungua. ) au ukuaji ni asilimia ngapi (kupungua). Maadili ya faharisi yanaonyeshwa kwa mgawo au asilimia.

Kielezo cha jumla (muhtasari). huonyesha mabadiliko katika vipengele vyote vya jambo changamano.

Faharasa ya jumla ni aina kuu ya index. Inaitwa jumla kwa sababu nambari yake na denominator ni seti ya "jumla"

Fahirisi za wastani, ufafanuzi wao.

Mbali na fahirisi za jumla, takwimu hutumia fomu zao zingine - fahirisi za wastani zilizopimwa. Zinatumika wakati taarifa inayopatikana hairuhusu jumla ya faharasa kuhesabiwa. Kwa hivyo, ikiwa hakuna data juu ya bei, lakini kuna habari kuhusu gharama ya bidhaa katika kipindi cha sasa na fahirisi za bei ya mtu binafsi kwa kila bidhaa zinajulikana, basi faharisi ya bei ya jumla haiwezi kuamuliwa kama jumla, lakini inawezekana hesabu kama wastani wa watu binafsi. Vivyo hivyo, ikiwa idadi ya aina za bidhaa zinazozalishwa hazijulikani, lakini fahirisi za mtu binafsi na gharama ya bidhaa kwa kipindi cha msingi zinajulikana, basi faharisi ya jumla ya kiasi cha uzalishaji inaweza kuamua kama wastani wa uzani. .

Kiwango cha wastani - ni fahirisi inayokokotolewa kama wastani wa fahirisi za kibinafsi. Faharasa ya jumla ndiyo aina kuu ya faharasa ya jumla, kwa hivyo faharasa ya wastani inapaswa kuwa sawa na faharasa ya jumla. Wakati wa kuhesabu wastani, aina mbili za wastani hutumiwa: hesabu na harmonic.

Faharasa ya wastani ya hesabu inafanana na faharasa ya jumla ikiwa uzani wa fahirisi mahususi ni masharti ya kibainishi cha faharasa ya jumla. Tu katika kesi hii thamani ya index, iliyohesabiwa kulingana na formula ya maana ya hesabu, itakuwa sawa na index ya jumla.

Matarajio na tofauti

Wacha tupime kigeu cha nasibu N mara, kwa mfano, tunapima kasi ya upepo mara kumi na tunataka kupata thamani ya wastani. Wastani inahusiana vipi na chaguo za kukokotoa za usambazaji?

Tutapiga kete mara nyingi. Idadi ya pointi ambazo zitatoka kwenye difa na kila safu ni tofauti ya nasibu na inaweza kuchukua maadili yoyote ya asili kutoka 1 hadi 6. Maana ya hesabu ya pointi zilizoshuka zilizohesabiwa kwa safu zote za kete pia ni thamani ya nasibu, lakini kwa kubwa N inaelekea kwa nambari maalum sana - matarajio ya hisabati M x... Kwa kesi hii M x = 3,5.

Thamani hii ilikujaje? Ingiza N majaribio mara moja imeshuka pointi 1, mara moja - pointi 2, na kadhalika. Kisha Kwa N→ ∞ idadi ya matokeo ambayo hoja moja ilichorwa, Vile vile, Hivyo

Mfano 4.5. Kete

Tuseme sasa kwamba tunajua sheria ya usambazaji wa kibadilishaji nasibu x, yaani, tunajua kwamba kutofautiana kwa nasibu x inaweza kuchukua maadili x 1 , x 2 , ..., x k na uwezekano uk 1 , uk 2 , ..., p k.

Thamani inayotarajiwa M x kutofautiana kwa nasibu x sawa:

Jibu. 2,8.

Matarajio ya hisabati sio kila wakati makadirio ya kuridhisha ya utofauti fulani wa nasibu. Kwa hivyo, ili kukadiria mshahara wa wastani, ni busara zaidi kutumia dhana ya wastani, ambayo ni, thamani ambayo idadi ya watu wanaopokea mshahara chini ya wastani na wa juu zaidi sanjari.

Wastani variable random inaitwa namba x 1/2 kama hiyo uk (x < x 1/2) = 1/2.

Kwa maneno mengine, uwezekano uk 1 kwamba tofauti ya nasibu x itakuwa chini x 1/2, na uwezekano uk 2 ukweli kwamba kutofautiana kwa nasibu x itakuwa kubwa zaidi x 1/2 ni sawa na sawa na 1/2. Wastani hauamuliwi bila utata kwa usambazaji wote.

Hebu kurudi kwa kutofautiana random x, ambayo inaweza kuchukua maadili x 1 , x 2 , ..., x k na uwezekano uk 1 , uk 2 , ..., p k.

Utawanyiko kutofautiana kwa nasibu x ni thamani ya wastani ya mraba wa mkengeuko wa kigezo cha nasibu kutoka kwa matarajio yake ya hisabati:

Mfano 2

Chini ya masharti ya mfano uliopita, hesabu tofauti na mchepuko wa kawaida wa kutofautiana kwa nasibu x.

Jibu. 0,16, 0,4.

Mfano 4.6. Kulenga shabaha

Mfano 3

Tafuta uwezekano wa usambazaji wa idadi ya pointi zilizopunguzwa kwenye faili kutoka kwa safu ya kwanza, wastani, matarajio, tofauti na mkengeuko wa kawaida.

Kuanguka kutoka kwa uso wowote kunawezekana kwa usawa, kwa hivyo usambazaji utaonekana kama hii:

Kupotoka kwa mizizi-maana-mraba Inaonekana kuwa kupotoka kwa thamani kutoka kwa maana ni kubwa sana.

Tabia za matarajio ya hisabati:

• Matarajio ya hisabati ya jumla ya anuwai za nasibu huru ni sawa na jumla ya matarajio yao ya hisabati:

Mfano 4

Pata matarajio ya hisabati ya jumla na bidhaa ya pointi zilizovingirishwa kwenye kete mbili.

Katika mfano wa 3, tuligundua kuwa kwa mchemraba mmoja M (x) = 3.5. Kwa hiyo, kwa cubes mbili

Tabia za utawanyiko:

• Tofauti ya jumla ya anuwai za nasibu huru ni sawa na jumla ya tofauti:

D x + y = D x + D y.

Hebu kwa N kete zimefungwa y pointi. Kisha

Matokeo haya ni kweli sio tu kwa safu za kete. Katika hali nyingi, huamua usahihi wa kupima matarajio ya hisabati kwa nguvu. Inaweza kuonekana kuwa na ongezeko la idadi ya vipimo N kuenea kwa maadili karibu na maana, yaani, kupotoka kwa kawaida, hupungua kwa uwiano

Tofauti ya tofauti nasibu inahusiana na matarajio ya hisabati ya mraba wa kigezo hiki bila mpangilio na uhusiano ufuatao:

Wacha tupate matarajio ya hisabati ya pande zote mbili za usawa huu. Kwa ufafanuzi,

Matarajio ya hisabati ya upande wa kulia wa usawa kwa mali ya matarajio ya hisabati ni sawa na

Mkengeuko wa kawaida

Mkengeuko wa kawaida ni sawa na mzizi wa mraba wa tofauti:
Wakati wa kuamua kupotoka kwa kiwango na idadi kubwa ya kutosha ya idadi ya watu iliyosomwa (n> 30), fomula zifuatazo hutumiwa:

Taarifa zinazofanana.

Wakati wa kupima dhahania za kitakwimu, wakati wa kupima uhusiano wa mstari kati ya vigeuzo nasibu.

Mkengeuko wa kawaida:

Mkengeuko wa kawaida(makadirio ya kupotoka kwa kiwango cha Sakafu isiyo ya kawaida, kuta zinazotuzunguka na dari, x kuhusiana na matarajio yake ya hisabati kulingana na makadirio yasiyopendelea ya tofauti zake):

tofauti iko wapi; - Sakafu, kuta karibu nasi na dari, i kipengele cha sampuli; - ukubwa wa sampuli; - maana ya hesabu ya sampuli:

Ikumbukwe kwamba makadirio yote mawili yana upendeleo. Katika hali ya jumla, haiwezekani kuunda makadirio yasiyo na upendeleo. Hata hivyo, makadirio kulingana na makadirio ya tofauti zisizo na upendeleo ni thabiti.

Kanuni tatu za Sigma

Kanuni tatu za Sigma() - karibu maadili yote ya kigezo cha kawaida kinachosambazwa kiko katika muda. Kwa uthabiti zaidi - kwa uhakika wa angalau 99.7% thamani ya kigezo cha nasibu kinachosambazwa kwa kawaida iko katika muda uliobainishwa (mradi tu thamani hiyo ni kweli na haijapatikana kutokana na uchakataji wa sampuli).

Ikiwa thamani ya kweli haijulikani, basi unapaswa kutumia sio, lakini Sakafu, kuta zinazotuzunguka na dari, s... Kwa hivyo, sheria ya sigma tatu inabadilishwa kuwa sheria ya sakafu tatu, kuta karibu nasi na dari, s .

Kufasiri thamani ya mchepuko wa kawaida

Thamani kubwa ya kupotoka kwa kawaida inaonyesha mgawanyiko mkubwa wa maadili katika seti iliyowasilishwa na thamani ya wastani ya seti; Thamani ndogo, ipasavyo, inaonyesha kuwa maadili kwenye seti yamewekwa kwa wastani.

Kwa mfano, tuna seti tatu za nambari: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) na (6, 6, 8, 8). Kwa seti zote tatu, maadili ya wastani ni 7, na upungufu wa kawaida ni, kwa mtiririko huo, 7, 5 na 1. Seti ya mwisho ina kupotoka kwa kiwango kidogo, kwani maadili katika seti yamepangwa karibu na wastani; seti ya kwanza ina kupotoka kwa kiwango kikubwa zaidi - maadili ndani ya seti hutofautiana sana na wastani.

Kwa maana ya jumla, kupotoka kwa kawaida kunaweza kuchukuliwa kuwa kipimo cha kutokuwa na uhakika. Kwa mfano, katika fizikia, kupotoka kwa kawaida hutumiwa kuamua makosa ya mfululizo wa vipimo vya mfululizo wa kiasi. Thamani hii ni muhimu sana kwa kuamua uwezekano wa jambo lililo chini ya uchunguzi kwa kulinganisha na thamani iliyotabiriwa na nadharia: ikiwa thamani ya wastani ya vipimo inatofautiana sana na maadili yaliyotabiriwa na nadharia (thamani kubwa ya kupotoka kwa kiwango), basi maadili yaliyopatikana au njia ya kuipata inapaswa kukaguliwa tena.

Matumizi ya vitendo

Kwa mazoezi, kupotoka kwa kawaida hukuruhusu kuamua ni kiasi gani maadili kwenye seti yanaweza kutofautiana na wastani.

Hali ya hewa

Tuseme kuna miji miwili yenye wastani sawa wa halijoto ya juu ya kila siku, lakini moja iko pwani na nyingine iko ndani. Miji ya pwani inajulikana kuwa na viwango vingi vya juu vya joto vya juu mchana kuliko miji ya bara. Kwa hivyo, kupotoka kwa kiwango cha joto cha juu cha mchana karibu na jiji la pwani itakuwa chini ya ile ya jiji la pili, licha ya ukweli kwamba wana thamani sawa ya wastani ya thamani hii, ambayo kwa mazoezi ina maana kwamba uwezekano wa joto la juu la hewa. kila siku mahususi ya mwaka itakuwa na nguvu tofauti na wastani, juu kwa ajili ya mji iko katika mambo ya ndani ya bara.

Michezo

Tuseme kuwa kuna timu kadhaa za mpira wa miguu ambazo zinatathminiwa kulingana na seti fulani ya vigezo, kwa mfano, idadi ya mabao yaliyofungwa na kufungwa, nafasi za kufunga, nk. Timu bora katika kundi hili ina uwezekano mkubwa wa kuwa na maadili bora. katika vigezo zaidi. Kadiri timu inavyokuwa na mchepuko wa kawaida kwa kila kigezo kilichowasilishwa, ndivyo matokeo ya timu yanavyotabirika zaidi, timu kama hizo huwa na usawa. Kwa upande mwingine, ni vigumu kutabiri matokeo kwa timu yenye kiwango kikubwa cha kupotoka, ambayo kwa upande ni kutokana na kutofautiana, kwa mfano, ulinzi mkali, lakini mashambulizi dhaifu.

Matumizi ya kupotoka kwa kiwango cha vigezo vya timu inaruhusu, kwa kiwango kimoja au nyingine, kutabiri matokeo ya mechi kati ya timu mbili, kutathmini nguvu na udhaifu wa timu, na kwa hivyo njia zilizochaguliwa za mapambano.

Uchambuzi wa kiufundi

Angalia pia

Fasihi

* Borovikov, V. TAKWIMU. Sanaa ya uchambuzi wa data kwenye kompyuta: Kwa wataalamu / V. Borovikov. - SPb. : Peter, 2003 .-- 688 p. - ISBN 5-272-00078-1.

Wanahisabati wenye busara na wanatakwimu wamekuja na kiashiria cha kuaminika zaidi, ingawa kwa madhumuni tofauti kidogo - maana ya kupotoka kwa mstari... Kiashiria hiki kinaashiria kipimo cha mtawanyiko wa maadili ya data iliyowekwa karibu na maana yao.

Ili kuonyesha kipimo cha kutawanya data, lazima kwanza uamue ni nini mtawanyiko huu utazingatiwa kuwa jamaa - kwa kawaida hii ni thamani ya wastani. Ifuatayo, unahitaji kuhesabu umbali wa maadili ya seti ya data iliyochambuliwa kutoka kwa wastani. Ni wazi kwamba kiasi fulani cha mkengeuko kinalingana na kila thamani, lakini tunavutiwa na tathmini ya jumla ambayo inashughulikia idadi yote ya watu. Kwa hiyo, kupotoka wastani huhesabiwa kwa kutumia formula ya kawaida ya hesabu. Lakini! Lakini ili kuhesabu wastani wa kupotoka, lazima kwanza waongezwe. Na ikiwa tutajumlisha nambari chanya na hasi, basi wataghairi kila mmoja na jumla yao itaelekea sifuri. Ili kuepusha hili, mikengeuko yote inachukuliwa modulo, yaani, nambari zote hasi huwa chanya. Sasa kupotoka kwa wastani kutaonyesha kipimo cha jumla cha kuenea kwa maadili. Kama matokeo, wastani wa kupotoka kwa mstari utahesabiwa na fomula:

a- kupotoka wastani wa mstari,

x- kiashiria kilichochambuliwa, na dashi hapo juu - thamani ya wastani ya kiashiria;

n- idadi ya maadili katika seti ya data iliyochambuliwa,

opereta wa kuongeza, natumai, haogopi mtu yeyote.

Mkengeuko wa wastani wa mstari unaokokotolewa kulingana na fomula iliyobainishwa unaonyesha mkengeuko wa wastani kabisa kutoka wastani wa idadi fulani ya watu.

Katika picha, mstari mwekundu ni wastani. Mkengeuko wa kila uchunguzi kutoka kwa wastani unaonyeshwa na mishale midogo. Zinachukuliwa modulo na kufupishwa. Kisha kila kitu kinagawanywa na idadi ya maadili.

Kwa ajili ya ukamilifu, mfano unapaswa pia kutolewa. Hebu sema kuna kampuni ya uzalishaji wa vipandikizi vya koleo. Kila bua inapaswa kuwa na urefu wa mita 1.5, lakini, muhimu zaidi, yote yanapaswa kuwa sawa, au angalau kuongeza au kupunguza 5 cm. Mkurugenzi wa kampuni aliamua kufanya uchambuzi wa takwimu wa urefu wa vipandikizi. Nilichagua vipande 10 na kupima urefu wao, nikapata wastani na kuhesabu kupotoka wastani wa mstari. Wastani uligeuka kuwa tu kile tunachohitaji - 1.5 m. Lakini kupotoka kwa wastani kwa mstari kulitoka 0.16 m. Kwa hivyo ikawa kwamba kila bua ni urefu wa 16 cm au mfupi kuliko inavyohitajika kwa wastani. Kuna kitu cha kuzungumza na wafanyakazi... Kwa kweli, sijaona matumizi halisi ya kiashiria hiki, kwa hiyo nilikuja na mfano mwenyewe. Walakini, kuna kiashiria kama hicho katika takwimu.

Utawanyiko

Kama maana ya mstari, tofauti pia huonyesha kipimo cha kuenea kwa data karibu na wastani.

Njia ya kuhesabu tofauti inaonekana kama hii:

(kwa mfululizo wa tofauti (tofauti zenye uzito))

(kwa data isiyojumuishwa (tofauti rahisi))

Ambapo: σ 2 - tofauti, Xi- tunachambua kiashiria cha sq (thamani ya sifa), - thamani ya wastani ya kiashiria, f i - idadi ya maadili katika seti ya data iliyochambuliwa.

Tofauti ni wastani wa mraba wa mikengeuko.

Kwanza, thamani ya wastani imehesabiwa, kisha tofauti kati ya kila thamani ya awali na ya wastani inachukuliwa, mraba, kuzidishwa na mzunguko wa thamani ya kipengele kinacholingana, kilichoongezwa na kisha kugawanywa na idadi ya maadili katika idadi fulani ya watu.

Walakini, katika hali yake safi, kama vile maana ya hesabu, au faharisi, tofauti haitumiki. Badala yake ni kiashiria kisaidizi na cha kati ambacho hutumiwa kwa aina zingine za uchambuzi wa takwimu.

Njia rahisi ya kuhesabu tofauti

Mkengeuko wa kawaida

Ili kutumia tofauti kuchanganua data, mzizi wa mraba hutolewa kutoka humo. Inageuka kinachojulikana kupotoka kwa kawaida.

Kwa njia, kupotoka kwa kawaida pia huitwa sigma - kutoka kwa barua ya Kigiriki ambayo inaashiria.

Mkengeuko wa kawaida, ni wazi, pia ni sifa ya kipimo cha kutawanya data, lakini sasa (kinyume na tofauti) inaweza kulinganishwa na data ya asili. Kama sheria, maadili ya rms katika takwimu hutoa matokeo sahihi zaidi kuliko yale ya mstari. Kwa hivyo, mkengeuko wa kawaida ni kipimo sahihi zaidi cha mtawanyiko wa data kuliko wastani wa mstari.

Kutoka Wikipedia, ensaiklopidia ya bure

Mkengeuko wa mizizi-maana-mraba(sawe: mzizi inamaanisha kupotoka kwa mraba, kupotoka kwa mizizi-maana-mraba, kupotoka kwa mraba; masharti yanayohusiana: kupotoka kwa kawaida, kuenea kwa kiwango) - katika nadharia ya uwezekano na takwimu, kiashiria cha kawaida zaidi cha mtawanyiko wa maadili ya kutofautiana kwa random kuhusiana na matarajio yake ya hisabati. Kwa safu ndogo za sampuli za maadili, badala ya matarajio ya hisabati, maana ya hesabu ya idadi ya sampuli hutumiwa.

Taarifa za msingi

Mkengeuko wa kawaida hupimwa katika vipimo vya kigezo chenyewe bila mpangilio maalum na hutumika kukokotoa makosa ya kawaida ya wastani wa hesabu, wakati wa kuunda vipindi vya kujiamini, wakati wa kupima dhahania za kitakwimu, wakati wa kupima uhusiano wa kimstari kati ya vigeuzi nasibu. Inafafanuliwa kama mzizi wa mraba wa tofauti ya kigezo nasibu.

Mkengeuko wa kawaida:

$\backslash \; sigma\; =\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; frac\; (1)\; (n)\; \backslash \; sum\_\; (i\; =\; 1)\; ^\; n\; \backslash \; kushoto\; (x\_i-\; \backslash \; bar\; (x)\; \backslash \; kulia)\; ^\; 2).$

Mkengeuko wa kawaida(makadirio ya mkengeuko wa kawaida wa kigeuzo bila mpangilio x kuhusiana na matarajio yake ya hisabati kulingana na makadirio yasiyopendelea ya tofauti zake) $s$:

$s\; =\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; frac\; (n)\; (n-1)\; \backslash \; sigma\; ^\; 2)\; =\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; frac\; (1)\; (n-1)\; \backslash \; sum\_\; (i\; =\; 1)\; ^\; n\; \backslash \; kushoto\; (x\_i-\; \backslash \; bar\; (x)\; \backslash \; kulia)\; ^\; 2);$

Kanuni tatu za Sigma

Kanuni tatu za Sigma ($3\; \backslash \; sigma$) - karibu thamani zote za kigezo cha nasibu kinachosambazwa kawaida ziko katika muda $\backslash \; kushoto\; (\backslash \; upau\; (x)\; -3\; \backslash \; sigma;\; \backslash \; upau\; (x)\; +3\; \backslash \; sigma\; \backslash \; kulia)$... Kwa ukali zaidi - kwa takriban uwezekano wa 0.9973, thamani ya kigezo cha nasibu kinachosambazwa kawaida iko ndani ya muda uliowekwa (mradi tu thamani $\backslash \; bar\; (x)$ kweli, sio sampuli).

Ikiwa thamani ya kweli $\backslash \; bar\; (x)$ haijulikani, basi hupaswi kutumia $\backslash \; sigma$, a s... Kwa hivyo, sheria ya sigma tatu inabadilishwa kuwa kanuni ya tatu s .

Kufasiri thamani ya mchepuko wa kawaida

Thamani kubwa ya kupotoka kwa kawaida inaonyesha uenezi mkubwa wa maadili katika seti iliyowasilishwa na thamani ya wastani ya seti; thamani ya chini, mtawaliwa, inaonyesha kuwa maadili katika seti yamewekwa kwa wastani.

Kwa mfano, tuna seti tatu za nambari: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) na (6, 6, 8, 8). Kwa seti zote tatu, maadili ya wastani ni 7, na upungufu wa kawaida ni, kwa mtiririko huo, 7, 5 na 1. Seti ya mwisho ina kupotoka kwa kiwango kidogo, kwani maadili katika seti yamepangwa karibu na wastani; seti ya kwanza ina kupotoka kwa kiwango kikubwa zaidi - maadili ndani ya seti hutofautiana sana na wastani.

Kwa maana ya jumla, kupotoka kwa kawaida kunaweza kuchukuliwa kuwa kipimo cha kutokuwa na uhakika. Kwa mfano, katika fizikia, kupotoka kwa kawaida hutumiwa kuamua makosa ya mfululizo wa vipimo vya mfululizo wa kiasi. Thamani hii ni muhimu sana kwa kuamua uwezekano wa jambo lililo chini ya uchunguzi kwa kulinganisha na thamani iliyotabiriwa na nadharia: ikiwa thamani ya wastani ya vipimo inatofautiana sana na maadili yaliyotabiriwa na nadharia (thamani kubwa ya kupotoka kwa kiwango), basi maadili yaliyopatikana au njia ya kuipata inapaswa kukaguliwa tena.

Matumizi ya vitendo

Kwa mazoezi, kupotoka kwa kawaida hukuruhusu kukadiria ni maadili ngapi kutoka kwa seti yanaweza kutofautiana na wastani.

Uchumi na fedha

Mkengeuko wa kawaida wa kurejesha kwingineko $\backslash \; sigma\; =\; \backslash \; sqrt\; (D\; [X])$ kutambuliwa na hatari ya kwingineko.

Hali ya hewa

Tuseme kuna miji miwili yenye wastani wa viwango vya juu vya joto vya mchana, lakini moja iko kwenye pwani na nyingine iko kwenye uwanda. Miji ya pwani inajulikana kuwa na viwango vingi vya juu vya joto vya juu mchana kuliko miji ya bara. Kwa hivyo, kupotoka kwa kiwango cha joto cha juu cha mchana karibu na jiji la pwani itakuwa chini ya ile ya jiji la pili, licha ya ukweli kwamba wana thamani sawa ya wastani ya thamani hii, ambayo kwa mazoezi ina maana kwamba uwezekano wa joto la juu la hewa. kila siku mahususi ya mwaka itakuwa na nguvu tofauti na wastani, juu kwa ajili ya mji iko katika mambo ya ndani ya bara.

Michezo

Tuseme kuwa kuna timu kadhaa za mpira wa miguu ambazo zinatathminiwa kulingana na seti fulani ya vigezo, kwa mfano, idadi ya mabao yaliyofungwa na kufungwa, nafasi za kufunga, nk. Timu bora katika kundi hili ina uwezekano mkubwa wa kuwa na maadili bora. katika vigezo zaidi. Kadiri timu inavyokuwa na mchepuko wa kawaida kwa kila kigezo kilichowasilishwa, ndivyo matokeo ya timu yanavyotabirika zaidi, timu kama hizo huwa na usawa. Kwa upande mwingine, ni vigumu kutabiri matokeo kwa timu yenye kiwango kikubwa cha kupotoka, ambayo kwa upande ni kutokana na kutofautiana, kwa mfano, ulinzi mkali, lakini mashambulizi dhaifu.

Matumizi ya kupotoka kwa kiwango cha vigezo vya timu inaruhusu, kwa kiwango kimoja au nyingine, kutabiri matokeo ya mechi kati ya timu mbili, kutathmini nguvu na udhaifu wa timu, na kwa hivyo njia zilizochaguliwa za mapambano.

Angalia pia

Andika hakiki juu ya kifungu "Kupotoka kwa kawaida"

Fasihi

• Borovikov V. TAKWIMU. Sanaa ya uchambuzi wa data kwenye kompyuta: Kwa wataalamu / V. Borovikov. - SPb. : Peter, 2003 .-- 688 p. - ISBN 5-272-00078-1..

Dondoo linaloonyesha mchepuko wa kawaida