Maana ya tangent ya pembe. Sine, cosine, tangent: ni nini? Jinsi ya kupata sine, cosine na tangent? Sine katika trigonometry

Mifano:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

Hoja na thamani

Cosine ya pembe ya papo hapo

Cosine ya pembe ya papo hapo inaweza kuamua kwa kutumia pembetatu ya kulia - ni sawa na uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Mfano :

1) Acha pembe ipewe na unahitaji kuamua cosine ya pembe hii.

2) Hebu tumalize pembetatu yoyote yenye pembe ya kulia kwenye kona hii.

3) Baada ya kupima pande zinazohitajika, tunaweza kuhesabu cosine.

Kosine ya pembe ya papo hapo ni kubwa kuliko \(0\) na chini ya \(1\)

Ikiwa, wakati wa kutatua tatizo, cosine ya angle ya papo hapo iligeuka kuwa kubwa kuliko 1 au hasi, basi mahali fulani katika suluhisho kuna kosa.

Cosine ya nambari

Mduara wa nambari hukuruhusu kuamua kosini ya nambari yoyote, lakini kwa kawaida hupata kosini ya nambari kwa namna fulani inayohusiana na : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Kwa mfano, kwa nambari \(\frac(π)(6)\) - cosine itakuwa sawa na \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Na kwa nambari \(-\)\(\frac(3π)(4)\) itakuwa sawa na \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (takriban \ (-0 ,71\)).

Cosine kwa nambari zingine mara nyingi hukutana katika mazoezi, ona.

Thamani ya cosine daima iko kati ya \(-1\) na \(1\). Katika kesi hii, cosine inaweza kuhesabiwa kwa pembe na nambari yoyote.

Cosine ya pembe yoyote

Shukrani kwa mduara wa nambari, inawezekana kuamua cosine ya si tu angle ya papo hapo, lakini pia obtuse, hasi, na hata kubwa kuliko \ (360 ° \) (zamu kamili). Jinsi ya kuifanya - ni rahisi kuona mara moja kuliko kusikia \(100\) mara, kwa hivyo angalia picha.

Sasa maelezo: basi iwe ni muhimu kuamua cosine ya pembe KOA yenye kipimo cha digrii katika \(150°\). Tunaunganisha uhakika O na katikati ya duara, na upande sawa- na \(x\) mhimili. Baada ya hayo, weka kando \ (150 ° \) kinyume cha saa. Kisha kuratibu kwa uhakika LAKINI itatuonyesha cosine ya pembe hii.

Ikiwa tunavutiwa na pembe iliyo na kipimo cha digrii, kwa mfano, katika \ (-60 ° \) (pembe KOV), tunafanya vivyo hivyo, lakini \(60°\) weka kando kisaa.

Na mwishowe, pembe ni kubwa kuliko \(360°\) (pembe KOS) - kila kitu ni sawa na butu, tu baada ya kupita zamu kamili ya saa moja kwa moja, tunaenda kwa raundi ya pili na "kupata ukosefu wa digrii". Hasa, kwa upande wetu, angle \ (405 ° \) imepangwa kama \ (360 ° + 45 °\).

Ni rahisi kudhani kuwa kuweka pembe, kwa mfano, katika \ (960 ° \), unahitaji kufanya zamu mbili (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)), na kwa pembe katika \ (2640 ° \) - saba nzima.

Inafaa kukumbuka kuwa:

Cosine ya pembe ya kulia ni sifuri. Kosine ya pembe ya obtuse ni hasi.

Cosine husaini katika robo

Kutumia mhimili wa cosine (ambayo ni, mhimili wa abscissa, ulioangaziwa kwa nyekundu kwenye takwimu), ni rahisi kuamua ishara za cosines kwenye mduara wa nambari (trigonometric):

Ambapo maadili kwenye mhimili ni kutoka \(0\) hadi \(1\), cosine itakuwa na ishara ya kuongeza (robo ya I na IV ni eneo la kijani),
- ambapo maadili kwenye mhimili ni kutoka \(0\) hadi \(-1\), cosine itakuwa na ishara ya minus (robo II na III - eneo la zambarau).

Mfano. Bainisha ishara \(\cos 1\).
Suluhisho: Hebu tupate \(1\) kwenye mduara wa trigonometric. Tutaanza kutoka kwa ukweli kwamba \ (π \u003d 3,14 \). Hii ina maana kwamba moja ni takriban mara tatu karibu na sifuri (hatua ya "kuanza").

Ikiwa tutachora pembeni kwa mhimili wa kosine, inakuwa dhahiri kuwa \(\cos⁡1\) ni chanya.
Jibu: pamoja.

Uhusiano na kazi zingine za trigonometric:

Kazi \(y=\cos(x)\)

Ikiwa tutapanga pembe katika radiani kando ya mhimili \(x\) , na maadili ya cosine yanayolingana na pembe hizi kando ya mhimili \(y\)), tunapata grafu ifuatayo:

Grafu hii inaitwa na ina sifa zifuatazo:

Kikoa cha ufafanuzi ni thamani yoyote ya x: \(D(\cos(⁡x)))=R\)
- anuwai ya maadili - kutoka \(-1\) hadi \(1\) ikijumuisha: \(E(\cos(x)))=[-1;1]\)
- sawa: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- mara kwa mara na kipindi \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- sehemu za makutano na shoka za kuratibu:
abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), ambapo \(n ϵ Z\)
mhimili y: \((0;1)\)
- vipindi vya wahusika:
chaguo la kukokotoa ni chanya kwenye vipindi: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), wapi \(n ϵ Z\)
kazi ni hasi kwenye vipindi: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), wapi \(n ϵ Z\)
- vipindi vya kuongezeka na kupungua:
kazi huongezeka kwa vipindi: \((π+2πn;2π+2πn)\), ambapo \(n ϵ Z\)
kazi hupungua kwa vipindi: \((2πn;π+2πn)\), ambapo \(n ϵ Z\)
- maxima na minima ya kazi:
chaguo la kukokotoa lina thamani ya juu \(y=1\) katika pointi \(x=2πn\), ambapo \(n ϵ Z\)
chaguo la kukokotoa lina thamani ya chini \(y=-1\) katika pointi \(x=π+2πn\), ambapo \(n ϵ Z\).

Je, sine, cosine, tangent, cotangent ya pembe itakusaidia kuelewa pembetatu sahihi.

Pande za pembetatu ya kulia zinaitwaje? Hiyo ni kweli, hypotenuse na miguu: hypotenuse ni upande ulio kinyume na pembe ya kulia (kwa mfano wetu, hii ni upande \ (AC \) ); miguu ni pande mbili zilizobaki \ (AB \) na \ (BC \) (zile ambazo ziko karibu na pembe ya kulia), zaidi ya hayo, ikiwa tunazingatia miguu kwa heshima ya angle \ (BC \) , basi mguu \ (AB \) ni mguu wa karibu, na mguu \ (BC \) ni kinyume. Kwa hivyo, sasa hebu tujibu swali: sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ni nini?

Sine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa kinyume (mbali) kwa hypotenuse.

Katika pembetatu yetu:

\[ \dhambi \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) na hypotenuse.

Katika pembetatu yetu:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Angle tangent- hii ni uwiano wa mguu wa kinyume (mbali) hadi karibu (karibu).

Katika pembetatu yetu:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangent ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) hadi kinyume (mbali).

Katika pembetatu yetu:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ufafanuzi huu ni muhimu kumbuka! Ili iwe rahisi kukumbuka ni mguu gani wa kugawanya na nini, unahitaji kuelewa wazi kuwa ndani tangent na kotangent miguu tu hukaa, na hypotenuse inaonekana tu ndani sinus na kosine. Na kisha unaweza kuja na mlolongo wa vyama. Kwa mfano, hii:

cosine→gusa→gusa→karibu;

Cotangent→gusa→gusa→karibu.

Kwanza kabisa, ni muhimu kukumbuka kuwa sine, cosine, tangent na cotangent kama uwiano wa pande za pembetatu haitegemei urefu wa pande hizi (kwa pembe moja). Je, si imani? Kisha hakikisha kwa kuangalia picha:

Fikiria, kwa mfano, cosine ya pembe \(\beta \) . Kwa ufafanuzi, kutoka kwa pembetatu \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lakini tunaweza kuhesabu cosine ya pembe \(\beta \) kutoka kwa pembetatu \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Unaona, urefu wa pande ni tofauti, lakini thamani ya cosine ya pembe moja ni sawa. Kwa hivyo, maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent inategemea tu ukubwa wa pembe.

Ikiwa unaelewa ufafanuzi, basi endelea na urekebishe!

Kwa pembetatu \(ABC \) , iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini, tunapata \(\dhambi \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\anza(safu)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\\alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\mwisho(safu) \)

Naam, umeipata? Kisha jaribu mwenyewe: hesabu sawa kwa pembe \(\beta \) .

Majibu: \(\dhambi \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Mduara wa kitengo (trigonometric).

Kuelewa dhana ya shahada na radian, tulizingatia mduara na radius sawa na \ (1 \) . Mzunguko kama huo unaitwa single. Ni muhimu sana katika utafiti wa trigonometry. Kwa hivyo, tunakaa juu yake kwa undani zaidi.

Kama unaweza kuona, mduara huu umejengwa katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Radi ya duara ni sawa na moja, wakati katikati ya duara iko kwenye asili, nafasi ya awali ya vector ya radius imewekwa kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili \(x \) (kwa mfano wetu, hii ndio eneo \(AB \) ).

Kila nukta kwenye duara inalingana na nambari mbili: kuratibu kando ya mhimili \(x \) na kuratibu kando ya mhimili \(y \) . Nambari hizi za kuratibu ni nini? Na kwa ujumla, wana uhusiano gani na mada iliyopo? Ili kufanya hivyo, kumbuka juu ya pembetatu inayozingatiwa ya kulia. Katika takwimu hapo juu, unaweza kuona pembetatu mbili za kulia. Fikiria pembetatu \(ACG \) . Ni ya mstatili kwa sababu \(CG \) ni ya kawaida kwa mhimili \(x \) .

\(\cos \\alpha \) kutoka kwa pembetatu \(ACG \) ni nini? Hiyo ni sawa \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Kando na hilo, tunajua kuwa \(AC \) ni radius ya duara ya kitengo, kwa hivyo \(AC=1 \) . Badilisha thamani hii kwenye fomula yetu ya kosine. Hiki ndicho kinachotokea:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Na \(\sin \\alpha \) kutoka kwa pembetatu \(ACG \) ni nini? Naam, bila shaka, \(\dhambi \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Badilisha thamani ya radius \ (AC \) katika fomula hii na upate:

\(\dhambi \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Kwa hivyo, unaweza kuniambia ni viwianishi vipi vya nukta \(C \) , ambayo ni ya mduara? Naam, hakuna njia? Lakini vipi ikiwa utagundua kuwa \(\cos \\alpha \) na \(\sin \alpha \) ni nambari tu? \(\cos \alpha \) inalingana na kuratibu gani? Kweli, kwa kweli, kuratibu \(x \) ! Na \(\sin \ alpha \) inalingana na uratibu gani? Hiyo ni kweli, \(y \) kuratibu! Hivyo uhakika \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Ni nini basi \(tg \alpha \) na \(ctg \alpha \) ? Hiyo ni kweli, hebu tutumie ufafanuzi unaofaa wa tangent na cotangent na kupata hiyo \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Nini ikiwa pembe ni kubwa zaidi? Hapa, kwa mfano, kama kwenye picha hii:

Ni nini kimebadilika katika mfano huu? Hebu tufikirie. Ili kufanya hivyo, tunageuka tena kwenye pembetatu ya kulia. Zingatia pembetatu ya kulia \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : pembe (iliyo karibu na pembe \(\beta \) ). Ni nini thamani ya sine, kosine, tanjiti na kotanji kwa pembe \((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Hiyo ni kweli, tunafuata ufafanuzi unaolingana wa kazi za trigonometric:

\(\anza(safu)(l)\sin \pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))(C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\pembe ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\mwisho(safu) \)

Kweli, kama unavyoona, thamani ya sine ya pembe bado inalingana na kuratibu \ (y \) ; thamani ya cosine ya pembe - kuratibu \ (x \) ; na maadili ya tangent na cotangent kwa uwiano unaolingana. Kwa hivyo, mahusiano haya yanatumika kwa mzunguko wowote wa vector ya radius.

Tayari imetajwa kuwa nafasi ya awali ya vekta ya radius iko kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili \(x \) . Kufikia sasa tumezungusha vekta hii kinyume cha saa, lakini ni nini hufanyika ikiwa tutaizungusha kisaa? Hakuna kitu cha ajabu, utapata pia angle ya ukubwa fulani, lakini tu itakuwa mbaya. Kwa hivyo, wakati wa kuzungusha vekta ya radius kinyume cha saa, tunapata pembe chanya, na wakati wa kuzunguka saa - hasi.

Kwa hivyo, tunajua kuwa mapinduzi yote ya vekta ya radius kuzunguka duara ni \(360()^\circ \) au \(2\pi \) . Inawezekana kuzungusha vekta ya radius na \(390()^\circ \) au kwa \(-1140()^\circ \) ? Naam, bila shaka unaweza! Katika kesi ya kwanza, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), kwa hivyo vekta ya radius itafanya mzunguko mmoja kamili na kusimama \(30()^\circ \) au \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Katika kesi ya pili, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yaani, vekta ya radius itafanya mapinduzi matatu kamili na kuacha kwenye nafasi \(-60()^\circ \) au \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Kwa hivyo, kutoka kwa mifano hapo juu, tunaweza kuhitimisha kwamba pembe ambazo hutofautiana na \(360()^\circ \cdot m \) au \(2\pi \cdot m \) (ambapo \(m \) ni nambari yoyote ) yanahusiana na nafasi sawa ya vector ya radius.

Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha pembe \(\beta =-60()^\circ \) . Picha sawa inafanana na kona \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) na kadhalika. Orodha hii inaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Pembe hizi zote zinaweza kuandikwa kwa fomula ya jumla \(\beta +360()^\circ \cdot m\) au \(\beta +2\pi \cdot m \) (ambapo \(m \) ni nambari kamili)

\(\anza(safu)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\mwisho(safu) \)

Sasa, ukijua ufafanuzi wa kazi za msingi za trigonometric na kutumia mduara wa kitengo, jaribu kujibu ni maadili gani ni sawa na:

\(\anza(safu)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\dhambi \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\mwisho(safu) \)

Hapa kuna mduara wa kitengo kukusaidia:

Ugumu wowote? Kisha tufikirie. Kwa hivyo tunajua kwamba:

\(\anza(safu)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\mwisho(safu) \)

Kuanzia hapa, tunaamua kuratibu za pointi zinazofanana na hatua fulani za angle. Kweli, wacha tuanze kwa mpangilio: kona ndani \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) inalingana na hatua iliyo na kuratibu \(\left(0;1 \right) \) , kwa hivyo:

\(\ dhambi 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- haipo;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Zaidi ya hayo, kwa kuzingatia mantiki hiyo hiyo, tunagundua kuwa pembe ndani \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\\ ) yanahusiana na pointi na kuratibu \(\kushoto(-1;0 \kulia),\text( )\left(0;-1 \kulia),\text( )\left(1;0 \kulia),\text( )\left(0 ;1 \kulia) \), kwa mtiririko huo. Kujua hili, ni rahisi kuamua maadili ya kazi za trigonometric katika pointi zinazofanana. Jaribu mwenyewe kwanza, kisha uangalie majibu.

Majibu:

\(\mtindo wa maonyesho \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\mtindo wa maonyesho \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\\pi =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(ctg)\\pi \)- haipo

\(\dhambi \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- haipo

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\dhambi \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- haipo

\(\dhambi \ 450()^\circ =\sin \ \kushoto(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\dhambi \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \kushoto(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- haipo

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Kwa hivyo, tunaweza kutengeneza meza ifuatayo:

Hakuna haja ya kukumbuka maadili haya yote. Inatosha kukumbuka mawasiliano kati ya kuratibu za alama kwenye mduara wa kitengo na maadili ya kazi za trigonometric:

\(\kushoto. \anza(safu)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\mwisho(safu) \kulia\)\\text(Inahitaji kukumbuka au kuweza kutoa!! \) !}

Na hapa kuna maadili ya kazi za trigonometric za pembe ndani na \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) kama inavyoonyeshwa kwenye jedwali hapa chini, lazima ukumbuke:

Hakuna haja ya kuogopa, sasa tutaonyesha moja ya mifano ya kukariri rahisi kwa maadili yanayolingana:

Ili kutumia njia hii, ni muhimu kukumbuka maadili ya sine kwa hatua zote tatu za pembe ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), pamoja na thamani ya tangent ya pembe katika \(30()^\circ \) . Kujua maadili haya \(4\) ni rahisi sana kurejesha meza nzima - maadili ya cosine huhamishwa kwa mujibu wa mishale, ambayo ni:

\(\anza(safu)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \mwisho(safu) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), kujua hili, inawezekana kurejesha maadili kwa \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Nambari “\(1 \) ” italingana \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , na kiashiria "\(\sqrt(\text(3)) \) " kitalingana \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Thamani za Cotangent huhamishwa kwa mujibu wa mishale iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Ikiwa unaelewa hili na kukumbuka mpango na mishale, basi itakuwa ya kutosha kukumbuka tu \(4 \) maadili kutoka kwa meza.

Kuratibu za nukta kwenye duara

Je, inawezekana kupata uhakika (kuratibu zake) kwenye mduara, kujua kuratibu za katikati ya mduara, radius yake na angle ya mzunguko? Naam, bila shaka unaweza! Wacha tupate fomula ya jumla ya kupata kuratibu za nukta. Hapa, kwa mfano, tuna mduara kama huu:

Tunapewa hatua hiyo \(K(((x)_(0)));((y)_(0)))=K(3;2) \) ni katikati ya duara. Radi ya mduara ni \(1,5 \) . Ni muhimu kupata kuratibu za uhakika \(P \) zilizopatikana kwa kuzungusha hatua \(O \) na \(\delta \) digrii.

Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kuratibu \ (x \) ya uhakika \ (P \) inalingana na urefu wa sehemu \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Urefu wa sehemu \ (Uingereza \) inafanana na kuratibu \ (x \) ya katikati ya mduara, yaani, ni sawa na \ (3 \) . Urefu wa sehemu \(KQ \) unaweza kuonyeshwa kwa kutumia ufafanuzi wa cosine:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

Halafu tunayo hiyo kwa uhakika \(P \) kuratibu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Kwa mantiki hiyo hiyo, tunapata thamani ya y kuratibu kwa uhakika \(P\) . Kwa njia hii,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Kwa hivyo, kwa maneno ya jumla, kuratibu za alama imedhamiriwa na fomula:

\(\anza(safu)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \mwisho(safu) \), wapi

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - kuratibu za katikati ya duara,

\(r\) - radius ya mduara,

\(\delta \) - angle ya mzunguko wa radius ya vector.

Kama unaweza kuona, kwa mduara wa kitengo tunachozingatia, fomula hizi zimepunguzwa sana, kwani kuratibu za kituo ni sifuri, na radius ni sawa na moja:

\(\anza(safu)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \mwisho(safu) \)

Cosine ni kazi inayojulikana ya trigonometric, ambayo pia ni moja ya kazi kuu za trigonometry. Kosine ya pembe katika pembetatu yenye pembe ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu wa pembetatu na hypotenuse ya pembetatu. Mara nyingi, ufafanuzi wa cosine unahusishwa na pembetatu ya aina ya mstatili. Lakini pia hutokea kwamba angle ambayo ni muhimu kuhesabu cosine katika pembetatu ya aina ya mstatili haipo katika pembetatu hii ya aina ya mstatili. Nini basi cha kufanya? Jinsi ya kupata cosine ya pembe ya pembetatu?

Ikiwa unataka kuhesabu cosine ya pembe katika pembetatu ya kulia, basi kila kitu ni rahisi sana. Unahitaji tu kukumbuka ufafanuzi wa cosine, ambayo iko suluhisho la tatizo hili. Unahitaji tu kupata uwiano sawa kati ya mguu wa karibu, pamoja na hypotenuse ya pembetatu. Hakika, hapa si vigumu kueleza cosine ya pembe. Fomula inaonekana kama hii: - cosα = a/c, hapa "a" ni urefu wa mguu, na upande "c", kwa mtiririko huo, ni urefu wa hypotenuse. Kwa mfano, cosine ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia inaweza kupatikana kwa kutumia fomula hii.

Ikiwa una nia ya nini cosine ya pembe katika pembetatu ya kiholela ni sawa, basi theorem ya cosine inakuja kuwaokoa, ambayo inapaswa kutumika katika kesi hiyo. Theorem ya cosine inasema kwamba mraba wa upande wa pembetatu ni priori sawa na jumla ya mraba wa pande nyingine za pembetatu sawa, lakini bila mara mbili ya bidhaa za pande hizi kwa cosine ya pembe kati yao.

1. Ikiwa unahitaji kupata cosine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu, basi unahitaji kutumia formula ifuatayo: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Ikiwa katika pembetatu ni muhimu kupata cosine ya angle ya obtuse, basi unahitaji kutumia formula ifuatayo: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Majina katika fomula - a na b - ni urefu wa pande ambazo ziko karibu na pembe inayotaka, c ni urefu wa upande ambao uko kinyume na pembe inayotaka.

Pia, cosine ya pembe inaweza kuhesabiwa kwa kutumia theorem ya sine. Inasema kwamba pande zote za pembetatu ni sawia na sines za pembe zilizo kinyume. Kutumia theorem ya sine, unaweza kuhesabu vipengele vilivyobaki vya pembetatu, ukijua pande mbili tu na angle ambayo ni kinyume na upande mmoja, au pembe mbili na upande mmoja. Fikiria mfano mmoja. Masharti ya tatizo: a=1; b=2; c=3. Pembe ambayo ni kinyume na upande "A", tunaashiria - α, basi, kulingana na fomula, tunayo: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Jibu: 1.

Ikiwa cosine ya pembe inahitaji kuhesabiwa si katika pembetatu, lakini katika takwimu nyingine ya kijiometri ya kiholela, basi kila kitu kinakuwa ngumu zaidi. Thamani ya pembe lazima kwanza ibainishwe katika radiani au digrii, na kisha tu kukokotoa kosine kutoka kwa thamani hii. Cosine kwa thamani ya nambari hubainishwa kwa kutumia majedwali ya Bradis, vikokotoo vya uhandisi, au matumizi maalum ya hisabati.

Programu maalum za hisabati zinaweza kuwa na utendaji kama vile hesabu otomatiki ya kosini za pembe katika takwimu fulani. Uzuri wa maombi hayo ni kwamba hutoa jibu sahihi, na mtumiaji haitumii muda wake katika kutatua matatizo wakati mwingine ngumu kabisa. Kwa upande mwingine, kwa matumizi ya mara kwa mara ya maombi ya pekee ya kutatua matatizo, ujuzi wote wa kufanya kazi na kutatua matatizo ya hisabati ya kupata cosines ya pembe katika pembetatu, pamoja na takwimu nyingine za kiholela, zinapotea.

Moja ya matawi ya hisabati ambayo watoto wa shule hukabiliana na shida kubwa ni trigonometry. Haishangazi: ili kujua kwa uhuru eneo hili la maarifa, unahitaji mawazo ya anga, uwezo wa kupata sines, cosines, tangents, cotangents kwa kutumia fomula, kurahisisha misemo, na kuweza kutumia nambari pi katika mahesabu. Kwa kuongeza, unahitaji kuwa na uwezo wa kutumia trigonometry wakati wa kuthibitisha nadharia, na hii inahitaji kumbukumbu ya hisabati iliyoendelezwa au uwezo wa kuamua minyororo tata ya mantiki.

Asili ya trigonometry

Kufahamiana na sayansi hii kunapaswa kuanza na ufafanuzi wa sine, cosine na tangent ya pembe, lakini kwanza unahitaji kujua ni nini trigonometry hufanya kwa ujumla.

Kihistoria, pembetatu za kulia zimekuwa kitu kikuu cha utafiti katika sehemu hii ya sayansi ya hisabati. Uwepo wa angle ya digrii 90 hufanya iwezekanavyo kufanya shughuli mbalimbali zinazoruhusu mtu kuamua maadili ya vigezo vyote vya takwimu inayozingatiwa kwa kutumia pande mbili na pembe moja au pembe mbili na upande mmoja. Hapo zamani, watu waliona muundo huu na wakaanza kuutumia kikamilifu katika ujenzi wa majengo, urambazaji, unajimu na hata sanaa.

Hatua ya kwanza

Hapo awali, watu walizungumza juu ya uhusiano wa pembe na pande pekee kwenye mfano wa pembetatu za kulia. Kisha formula maalum iligunduliwa ambayo ilifanya iwezekanavyo kupanua mipaka ya matumizi katika maisha ya kila siku ya sehemu hii ya hisabati.

Utafiti wa trigonometria shuleni leo huanza na pembetatu zenye pembe za kulia, baada ya hapo maarifa yaliyopatikana hutumiwa na wanafunzi katika fizikia na kutatua hesabu za trigonometric za abstract, kazi ambayo huanza katika shule ya upili.

Trigonometry ya spherical

Baadaye, sayansi ilipofikia hatua inayofuata ya maendeleo, fomula zilizo na sine, cosine, tangent, cotangent zilianza kutumika katika jiometri ya spherical, ambapo sheria zingine zinatumika, na jumla ya pembe katika pembetatu daima ni zaidi ya digrii 180. Sehemu hii haijasomwa shuleni, lakini ni muhimu kujua kuhusu kuwepo kwake, angalau kwa sababu uso wa dunia, na uso wa sayari nyingine yoyote, ni convex, ambayo ina maana kwamba alama yoyote ya uso itakuwa "umbo la arc" katika nafasi tatu-dimensional.

Chukua ulimwengu na uzi. Ambatanisha thread kwa pointi yoyote mbili kwenye dunia ili iwe taut. Makini - imepata sura ya arc. Ni kwa fomu kama hizo ambapo jiometri ya duara, ambayo hutumiwa katika jiografia, unajimu, na nyanja zingine za kinadharia na matumizi, hushughulika.

Pembetatu ya kulia

Baada ya kujifunza kidogo juu ya njia za kutumia trigonometry, wacha turudi kwenye trigonometry ya msingi ili kuelewa zaidi sine, cosine, tangent ni nini, ni mahesabu gani yanaweza kufanywa kwa msaada wao na ni njia gani za kutumia.

Hatua ya kwanza ni kuelewa dhana zinazohusiana na pembetatu sahihi. Kwanza, hypotenuse ni upande ulio kinyume na pembe ya digrii 90. Yeye ndiye mrefu zaidi. Tunakumbuka kwamba, kwa mujibu wa nadharia ya Pythagorean, thamani yake ya nambari ni sawa na mzizi wa jumla ya mraba wa pande nyingine mbili.

Kwa mfano, ikiwa pande mbili ni 3 na 4 sentimita kwa mtiririko huo, urefu wa hypotenuse utakuwa sentimita 5. Kwa njia, Wamisri wa kale walijua kuhusu hili kuhusu miaka elfu nne na nusu iliyopita.

Pande mbili zilizobaki zinazounda pembe ya kulia huitwa miguu. Kwa kuongeza, lazima tukumbuke kwamba jumla ya pembe katika pembetatu katika mfumo wa kuratibu wa mstatili ni digrii 180.

Ufafanuzi

Hatimaye, kwa uelewa thabiti wa msingi wa kijiometri, tunaweza kurejea kwa ufafanuzi wa sine, kosine na tanjiti ya pembe.

Sine ya pembe ni uwiano wa mguu wa kinyume (yaani, upande ulio kinyume na pembe inayotaka) kwa hypotenuse. Cosine ya pembe ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Kumbuka kwamba si sine wala kosine inaweza kuwa kubwa kuliko moja! Kwa nini? Kwa sababu hypotenuse kwa chaguo-msingi ni ndefu zaidi.Haijalishi mguu ni wa muda gani, utakuwa mfupi kuliko hypotenuse, ambayo ina maana kwamba uwiano wao daima utakuwa chini ya moja. Kwa hivyo, ukipata sine au kosine yenye thamani kubwa kuliko 1 katika jibu la tatizo, tafuta hitilafu katika hesabu au hoja. Jibu hili si sahihi kabisa.

Hatimaye, tangent ya angle ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu. Matokeo sawa yatatoa mgawanyiko wa sine na cosine. Angalia: kwa mujibu wa formula, tunagawanya urefu wa upande na hypotenuse, baada ya hapo tunagawanya kwa urefu wa upande wa pili na kuzidisha kwa hypotenuse. Kwa hivyo, tunapata uwiano sawa na katika ufafanuzi wa tangent.

Cotangent, kwa mtiririko huo, ni uwiano wa upande ulio karibu na kona hadi upande wa kinyume. Tunapata matokeo sawa kwa kugawanya kitengo na tangent.

Kwa hivyo, tumezingatia ufafanuzi wa sine, kosine, tangent na cotangent ni nini, na tunaweza kushughulikia fomula.

Fomula rahisi zaidi

Katika trigonometry, mtu hawezi kufanya bila formula - jinsi ya kupata sine, cosine, tangent, cotangent bila wao? Na hii ndiyo hasa inahitajika wakati wa kutatua matatizo.

Fomula ya kwanza ambayo unahitaji kujua unapoanza kusoma trigonometria inasema kwamba jumla ya miraba ya sine na cosine ya pembe ni sawa na moja. Fomula hii ni matokeo ya moja kwa moja ya nadharia ya Pythagorean, lakini inaokoa wakati ikiwa unataka kujua thamani ya pembe, sio upande.

Wanafunzi wengi hawawezi kukumbuka formula ya pili, ambayo pia inajulikana sana wakati wa kutatua matatizo ya shule: jumla ya moja na mraba wa tangent ya angle ni sawa na moja iliyogawanywa na mraba wa cosine ya pembe. Angalia kwa karibu: baada ya yote, hii ni taarifa sawa na katika fomula ya kwanza, pande zote mbili za utambulisho ziligawanywa na mraba wa cosine. Inatokea kwamba operesheni rahisi ya hisabati hufanya formula ya trigonometric isiyojulikana kabisa. Kumbuka: kujua nini sine, cosine, tangent na cotangent ni, sheria za uongofu na kanuni chache za msingi, unaweza wakati wowote kujitegemea kupata fomula ngumu zaidi zinazohitajika kwenye karatasi.

Fomula za pembe mbili na nyongeza ya hoja

Njia mbili zaidi ambazo unahitaji kujifunza zinahusiana na maadili ya sine na cosine kwa jumla na tofauti ya pembe. Wao huonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. Tafadhali kumbuka kuwa katika kesi ya kwanza, sine na cosine huongezeka mara zote mbili, na katika pili, bidhaa ya jozi ya sine na cosine huongezwa.

Pia kuna fomula zinazohusishwa na hoja za pembe mbili. Zimetolewa kabisa kutoka kwa zile zilizopita - kama mazoezi, jaribu kuzipata mwenyewe, ukichukua pembe ya alpha sawa na pembe ya beta.

Hatimaye, kumbuka kuwa fomula za pembe mbili zinaweza kubadilishwa ili kupunguza kiwango cha sine, kosine, alfa tanji.

Nadharia

Nadharia mbili kuu katika trigonometria ya msingi ni nadharia ya sine na nadharia ya cosine. Kwa msaada wa nadharia hizi, unaweza kuelewa kwa urahisi jinsi ya kupata sine, cosine na tangent, na kwa hiyo eneo la takwimu, na ukubwa wa kila upande, nk.

Nadharia ya sine inasema kwamba kama matokeo ya kugawanya urefu wa kila pande za pembetatu kwa thamani ya pembe tofauti, tunapata nambari sawa. Kwa kuongezea, nambari hii itakuwa sawa na radii mbili za duara iliyozungukwa, ambayo ni, duara iliyo na alama zote za pembetatu iliyopewa.

Nadharia ya cosine inajumlisha nadharia ya Pythagorean, ikiionyesha kwenye pembetatu zozote. Inatokea kwamba kutoka kwa jumla ya mraba wa pande mbili, toa bidhaa zao, kuzidishwa na cosine mara mbili ya pembe iliyo karibu nao - thamani inayotokana itakuwa sawa na mraba wa upande wa tatu. Kwa hivyo, nadharia ya Pythagorean inageuka kuwa kesi maalum ya theorem ya cosine.

Makosa kutokana na kutojali

Hata kujua nini sine, cosine na tangent ni, ni rahisi kufanya makosa kwa sababu ya kutokuwa na akili au kosa katika mahesabu rahisi zaidi. Ili kuepuka makosa hayo, hebu tujue na maarufu zaidi kati yao.

Kwanza, haupaswi kubadilisha sehemu za kawaida kuwa desimali hadi matokeo ya mwisho yapatikane - unaweza kuacha jibu kama sehemu ya kawaida, isipokuwa hali inasema vinginevyo. Mabadiliko hayo hayawezi kuitwa kosa, lakini ikumbukwe kwamba katika kila hatua ya kazi, mizizi mpya inaweza kuonekana, ambayo, kulingana na wazo la mwandishi, inapaswa kupunguzwa. Katika kesi hii, utapoteza muda kwenye shughuli zisizohitajika za hisabati. Hii ni kweli hasa kwa maadili kama vile mzizi wa tatu au mbili, kwa sababu hutokea katika kazi katika kila hatua. Vile vile hutumika kwa kuzungusha nambari "mbaya".

Zaidi ya hayo, kumbuka kwamba theorem ya cosine inatumika kwa pembetatu yoyote, lakini sio nadharia ya Pythagorean! Ikiwa umesahau kimakosa kuondoa mara mbili bidhaa za pande zilizozidishwa na cosine ya pembe kati yao, hautapata tu matokeo mabaya kabisa, lakini pia unaonyesha kutokuelewana kamili kwa mada. Hii ni mbaya zaidi kuliko kosa la kutojali.

Tatu, usichanganye maadili ya pembe za digrii 30 na 60 za sines, cosines, tangents, cotangents. Kumbuka maadili haya, kwa sababu sine ya digrii 30 ni sawa na cosine ya 60, na kinyume chake. Ni rahisi kuwachanganya, kama matokeo ambayo utapata matokeo mabaya.

Maombi

Wanafunzi wengi hawana haraka ya kuanza kusoma trigonometry, kwa sababu hawaelewi maana yake inayotumika. Sine, kosine, tanjenti ni nini kwa mhandisi au mwanaastronomia? Hizi ni dhana za shukrani ambazo unaweza kuhesabu umbali wa nyota za mbali, kutabiri kuanguka kwa meteorite, kutuma uchunguzi wa utafiti kwenye sayari nyingine. Bila yao, haiwezekani kujenga jengo, kubuni gari, kuhesabu mzigo juu ya uso au trajectory ya kitu. Na hii ni mifano ya wazi zaidi! Baada ya yote, trigonometry kwa namna moja au nyingine hutumiwa kila mahali, kutoka kwa muziki hadi dawa.

Hatimaye

Kwa hivyo wewe ni sine, cosine, tangent. Unaweza kuzitumia katika mahesabu na kutatua kwa mafanikio matatizo ya shule.

Kiini kizima cha trigonometry kinapungua kwa ukweli kwamba vigezo visivyojulikana lazima vihesabiwe kutoka kwa vigezo vinavyojulikana vya pembetatu. Kuna vigezo sita kwa jumla: urefu wa pande tatu na ukubwa wa pembe tatu. Tofauti nzima katika kazi iko katika ukweli kwamba data tofauti za pembejeo hutolewa.

Jinsi ya kupata sine, cosine, tangent kulingana na urefu unaojulikana wa miguu au hypotenuse, sasa unajua. Kwa kuwa maneno haya hayamaanishi chochote zaidi ya uwiano, na uwiano ni sehemu, lengo kuu la tatizo la trigonometric ni kupata mizizi ya equation ya kawaida au mfumo wa equations. Na hapa utasaidiwa na hisabati ya kawaida ya shule.

Dhana za sine, cosine, tangent na cotangent ni kategoria kuu za trigonometry - tawi la hisabati, na zinaunganishwa kwa usawa na ufafanuzi wa pembe. Kumiliki sayansi hii ya hisabati kunahitaji kukariri na kuelewa kanuni na nadharia, pamoja na maendeleo ya kufikiri anga. Ndio maana mahesabu ya trigonometric mara nyingi husababisha ugumu kwa watoto wa shule na wanafunzi. Ili kuzishinda, unapaswa kufahamiana zaidi na kazi na fomula za trigonometric.

Dhana katika trigonometry

Ili kuelewa dhana za msingi za trigonometry, lazima kwanza uamue ni nini pembetatu sahihi na pembe katika mduara ni, na kwa nini mahesabu yote ya msingi ya trigonometric yanahusishwa nao. Pembetatu ambayo moja ya pembe ni digrii 90 ni pembetatu ya kulia. Kwa kihistoria, takwimu hii mara nyingi ilitumiwa na watu katika usanifu, urambazaji, sanaa, astronomy. Ipasavyo, kusoma na kuchambua mali ya takwimu hii, watu walikuja kwa hesabu ya uwiano unaolingana wa vigezo vyake.

Makundi makuu yanayohusiana na pembetatu za kulia ni hypotenuse na miguu. Hypotenuse ni upande wa pembetatu ambao uko kinyume na pembe ya kulia. Miguu, kwa mtiririko huo, ni pande nyingine mbili. Jumla ya pembe za pembetatu yoyote ni digrii 180 kila wakati.

Trigonometry ya spherical ni sehemu ya trigonometria ambayo haisomwi shuleni, lakini katika sayansi inayotumika kama vile unajimu na jiografia, wanasayansi huitumia. Kipengele cha pembetatu katika trigonometria ya duara ni kwamba daima ina jumla ya pembe kubwa zaidi ya digrii 180.

Pembe za pembetatu

Katika pembetatu ya kulia, sine ya pembe ni uwiano wa mguu kinyume na pembe inayotaka kwa hypotenuse ya pembetatu. Ipasavyo, cosine ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse. Thamani hizi zote mbili huwa na thamani chini ya moja, kwani hypotenuse daima ni ndefu kuliko mguu.

Tangenti ya pembe ni thamani sawa na uwiano wa mguu kinyume na mguu wa karibu wa pembe inayotakiwa, au sine kwa cosine. Cotangent, kwa upande wake, ni uwiano wa mguu wa karibu wa pembe inayotaka kwa cactet kinyume. Cotangent ya pembe pia inaweza kupatikana kwa kugawa kitengo kwa thamani ya tangent.

mduara wa kitengo

Mduara wa kitengo katika jiometri ni duara ambayo radius ni sawa na moja. Mduara kama huo umejengwa katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian, na katikati ya duara sanjari na hatua ya asili, na nafasi ya awali ya vector ya radius imedhamiriwa na mwelekeo mzuri wa mhimili wa X (mhimili wa abscissa). Kila hatua ya mduara ina kuratibu mbili: XX na YY, yaani, kuratibu za abscissa na kuratibu. Kuchagua hatua yoyote kwenye mduara katika ndege ya XX, na kuacha perpendicular kutoka kwake hadi mhimili wa abscissa, tunapata pembetatu ya kulia inayoundwa na radius hadi hatua iliyochaguliwa (wacha tuionyeshe kwa herufi C), perpendicular inayotolewa. mhimili wa X (hatua ya makutano inaonyeshwa na barua G), na sehemu ya mhimili wa abscissa kati ya asili (hatua inaonyeshwa na barua A) na hatua ya makutano G. Pembetatu inayosababisha ACG ni pembetatu ya kulia iliyoandikwa ndani. duara, ambapo AG ni hypotenuse, na AC na GC ni miguu. Pembe kati ya kipenyo cha duara AC na sehemu ya mhimili wa abscissa yenye jina AG, tunafafanua kama α (alpha). Kwa hivyo, cos α = AG/AC. Kwa kuzingatia kwamba AC ni radius ya mzunguko wa kitengo, na ni sawa na moja, zinageuka kuwa cos α=AG. Vile vile, dhambi α=CG.

Kwa kuongeza, kujua data hizi, unaweza kuamua kuratibu kwa uhakika C kwenye mduara, tangu cos α = AG, na sin α = CG, ambayo ina maana kwamba hatua C ina kuratibu zilizotolewa (cos α; sin α). Kujua kwamba tangent ni sawa na uwiano wa sine kwa cosine, tunaweza kuamua kwamba tg α \u003d y / x, na ctg α \u003d x / y. Kuzingatia pembe katika mfumo hasi wa kuratibu, mtu anaweza kuhesabu kuwa maadili ya sine na cosine ya pembe zingine inaweza kuwa hasi.

Mahesabu na kanuni za msingi

Maadili ya kazi za trigonometric

Baada ya kuzingatia kiini cha kazi za trigonometric kupitia mduara wa kitengo, tunaweza kupata maadili ya kazi hizi kwa pembe fulani. Thamani zimeorodheshwa kwenye jedwali hapa chini.

Vitambulisho rahisi zaidi vya trigonometric

Milinganyo ambayo kuna thamani isiyojulikana chini ya ishara ya kazi ya trigonometric inaitwa trigonometric. Vitambulisho vilivyo na thamani sin x = α, k ni nambari yoyote kamili:

1. dhambi x = 0, x = πk.
2. 2. dhambi x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. dhambi x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. dhambi x = a, |a| > 1, hakuna masuluhisho.
5. dhambi x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Vitambulisho vilivyo na thamani cos x = a, ambapo k ni nambari yoyote:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, hakuna masuluhisho.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Vitambulisho vilivyo na thamani tg x = a, ambapo k ni nambari yoyote:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Vitambulisho vilivyo na thamani ctg x = a, ambapo k ni nambari yoyote:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Fomula za Cast

Aina hii ya fomula za mara kwa mara inaashiria njia ambazo unaweza kutoka kwa kazi za trigonometric za fomu hadi kazi za hoja, ambayo ni, kubadilisha sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ya thamani yoyote hadi viashiria vinavyolingana vya pembe ya. muda kutoka digrii 0 hadi 90 kwa urahisi zaidi wa mahesabu.

Njia za kupunguza utendakazi kwa sine ya pembe inaonekana kama hii:

• dhambi(900 - α) = α;
• dhambi(900 + α) = cos α;
• dhambi(1800 - α) = dhambi α;
• dhambi(1800 + α) = -dhambi α;
• dhambi(2700 - α) = -cos α;
• dhambi(2700 + α) = -cos α;
• dhambi(3600 - α) = -dhambi α;
• dhambi(3600 + α) = dhambi α.

Kwa cosine ya pembe:

• cos(900 - α) = dhambi α;
• cos(900 + α) = -dhambi α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -dhambi α;
• cos(2700 + α) = dhambi α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Matumizi ya fomula hapo juu inawezekana chini ya sheria mbili. Kwanza, ikiwa pembe inaweza kuwakilishwa kama thamani (π/2 ± a) au (3π/2 ± a), thamani ya chaguo za kukokotoa hubadilika:

• kutoka dhambi hadi cos;
• kutoka cos kwenda dhambini;
• kutoka tg hadi ctg;
• kutoka ctg hadi tg.

Thamani ya chaguo za kukokotoa bado haijabadilika ikiwa pembe inaweza kuwakilishwa kama (π ± a) au (2π ± a).

Pili, ishara ya kazi iliyopunguzwa haibadilika: ikiwa hapo awali ilikuwa chanya, inabaki hivyo. Vile vile ni kweli kwa kazi hasi.

Fomula za Nyongeza

Fomula hizi zinaonyesha thamani za sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya jumla na tofauti ya pembe mbili za mzunguko kulingana na utendakazi wao wa trigonometriki. Pembe kawaida huashiriwa kama α na β.

Fomula zinaonekana kama hii:

1. sin(α ± β) = dhambi α * cos β ± cos α * dhambi.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ dhambi α * dhambi.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Fomula hizi ni halali kwa pembe zozote α na β.

Fomula za pembe mbili na tatu

Fomula za trigonometriki za pembe mbili na tatu ni fomula zinazohusiana na kazi za pembe 2α na 3α, mtawaliwa, na kazi za trigonometric za pembe α. Imetolewa kutoka kwa fomula za nyongeza:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Mpito kutoka jumla hadi bidhaa

Kwa kuzingatia kwamba 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), kwa kurahisisha fomula hii, tunapata utambulisho sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Vile vile, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * dhambi(α − β)/2; tgα + tgβ = dhambi(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = dhambi(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Mpito kutoka kwa bidhaa hadi jumla

Fomula hizi hufuata kutoka kwa vitambulisho vya ubadilishaji wa jumla hadi kwa bidhaa:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Fomula za kupunguza

Katika vitambulisho hivi, nguvu za mraba na za ujazo za sine na kosine zinaweza kuonyeshwa kulingana na sine na kosine ya nguvu ya kwanza ya pembe nyingi:

• dhambi^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• dhambi^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• dhambi^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Ubadilishaji wa Universal

Fomula za ubadilishanaji za trigonometriki zima huonyesha utendakazi wa trigonometriki kulingana na tanjiti ya pembe ya nusu.

• dhambi x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), wakati x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), ambapo x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), ambapo x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), wakati x \u003d π + 2πn.

Kesi maalum

Kesi maalum za milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric imetolewa hapa chini (k ni nambari yoyote kamili).

Binafsi kwa sine:

Viwango vya Cosine:

Binafsi kwa tangent:

Viwango vya Cotangent:

Nadharia

Sine theorem

Kuna matoleo mawili ya theorem - rahisi na kupanuliwa. Nadharia rahisi ya sine: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Katika kesi hii, a, b, c ni pande za pembetatu, na α, β, γ ni pembe za kinyume, kwa mtiririko huo.

Nadharia ya sine iliyopanuliwa kwa pembetatu ya kiholela: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Katika utambulisho huu, R inaashiria radius ya duara ambayo pembetatu iliyotolewa imeandikwa.

Nadharia ya Cosine

Utambulisho unaonyeshwa kwa njia hii: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Katika fomula, a, b, c ni pande za pembetatu, na α ni pembe kinyume a.

Nadharia ya tangent

Fomu hiyo inaelezea uhusiano kati ya tangents ya pembe mbili, na urefu wa pande zinazopingana nao. Pande hizo zimeandikwa a, b, c, na pembe za kinyume zinazolingana ni α, β, γ. Muundo wa nadharia ya tanjiti: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Nadharia ya Cotangent

Huhusisha radius ya duara iliyoandikwa katika pembetatu na urefu wa pande zake. Ikiwa a, b, c ni pande za pembetatu, na A, B, C, kwa mtiririko huo, ni pembe zao kinyume, r ni radius ya mduara ulioandikwa, na p ni nusu ya mzunguko wa pembetatu, vitambulisho vifuatavyo. shikilia:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Maombi

Trigonometry sio tu sayansi ya kinadharia inayohusishwa na fomula za hisabati. Mali yake, nadharia na sheria hutumiwa katika mazoezi na matawi mbalimbali ya shughuli za binadamu - unajimu, urambazaji wa hewa na bahari, nadharia ya muziki, geodesy, kemia, acoustics, optics, umeme, usanifu, uchumi, uhandisi wa mitambo, kazi ya kupima, picha za kompyuta, ramani ya ramani, oceanography, na mengine mengi.

Sine, cosine, tangent na cotangent ni dhana za msingi za trigonometry, ambayo unaweza kueleza kihisabati uhusiano kati ya pembe na urefu wa pande katika pembetatu, na kupata kiasi kinachohitajika kupitia utambulisho, nadharia na sheria.