Tofauti ya kazi. mwendelezo wa kazi inayoweza kutofautishwa

Nadharia. Ikiwa kazi wakati fulani x = x 0 ina derivative (ya mwisho). , Hiyo

1) nyongeza ya chaguo za kukokotoa inaweza kuwakilishwa kama

au, kwa kifupi, , Wapi a ni kiasi kulingana na D x na kwa kuelekea sifuri, i.e. ;

2) kazi katika hatua hii ni lazima iendelee.

Ushahidi. 1) Kulingana na ufafanuzi wa derivative, . Kwa kutumia nadharia juu ya uwakilishi wa kazi ambayo ina kikomo katika mfumo wa jumla ya kikomo hiki na haina kikomo, tunaandika.

, Wapi .

Kuamua kutoka hapa D y, tunafika kwenye fomula (3.6).

2) Ili kudhibitisha kuendelea kwa chaguo la kukokotoa, zingatia usemi (3.6). Katika D x®0 jumla iliyo upande wa kulia wa (3.6) huenda hadi sifuri. Kwa hivyo, , au , ambayo ina maana kwamba kazi katika uhakika x 0 ni endelevu.

Kutoka kwa nadharia iliyothibitishwa inafuata kwamba kazi ambayo ina derivative katika hatua fulani itakuwa ya kuendelea katika hatua hii. Hata hivyo, kipengele cha kukokotoa ambacho kinaendelea katika hatua fulani si mara zote huwa na derivative katika hatua hiyo. Ndiyo, kwa uhakika x 0 = 1 kazi y =|x- 1 | ni endelevu, lakini haina derivative katika hatua hii. Hii ina maana kwamba hali hii ni muhimu tu.

Inatokana na utendaji kazi changamano

Nadharia. Wacha 1) ifanye kazi v = j(x) ina wakati fulani x derivative, 2) kazi y = f(v) ina katika hatua inayolingana v derivative Kisha kazi changamano y = f(j(x)) katika hatua iliyotajwa X pia itakuwa na derivative sawa na bidhaa ya derivatives ya kazi f(v) Na j(x): [f(j(x)) ]" = au mfupi zaidi

Ushahidi. Hebu tuongeze X nyongeza ya kiholela Δ X; wacha Δ v- ongezeko sambamba la utendaji v = j(x) na hatimaye Δ katika- ongezeko la kazi y = f(v), inayosababishwa na ongezeko la Δ v. Wacha tutumie uhusiano (3.6), ambayo, kuchukua nafasi x juu v, tunaandika tena kwa fomu (a inategemea Δ v na huwa na sifuri pamoja nayo). Kuigawanya neno kwa neno katika D x, tunapata

Ikiwa D x huwa na sifuri, basi, kulingana na (3.6) (mradi tu y = v), itaelekea sifuri na Δ v, na kisha, kama tunavyojua, utegemezi wa Δ pia utaelekea sifuri v ukubwa a. Kwa hivyo kuna kikomo

ambayo ni derivative inayotakiwa.

Hivyo, Derivative ya kazi ngumu ni sawa na bidhaa ya derivative ya kazi ya nje na derivative ya kazi ya ndani.

Kesi ya kazi ngumu iliyopatikana kama matokeo ya nafasi nyingi za juu hutatuliwa na matumizi ya mlolongo wa sheria (3.7). Kwa hivyo, ikiwa y = f(u), wewe = j(v), v = y(x), Hiyo

Mifano. 1. Hebu y = logi a dhambi x,kwa maneno mengine, y = logi a v, Wapi v = dhambi x. Kulingana na kanuni (3.7)

2., yaani. y = e u,wewe = v 2 , v = dhambi x. Kulingana na kanuni (3.8)

1.7. Nyingine ni kielelezo– kazi ya nguvu

Hebu wewe = wewe(x) > 0 na v = v(x) - kazi ambazo zina derivatives katika hatua maalum x. Wacha tupate derivative ya chaguo la kukokotoa y = wewe v. Kwa kuchukua logarithm ya usawa huu, tunapata: ln y = v ln u.

Hebu tutofautishe pande zote mbili za usawa huu kwa heshima na x:

Kutoka hapa, au

Kwa hivyo, derivative ya utendaji kazi wa nguvu ya kielelezo huwa na maneno mawili: neno la kwanza linapatikana ikiwa, wakati wa utofautishaji, tunadhania kwamba. Na kuna kazi kutoka X, A v kuna mara kwa mara (yaani fikiria wewe v kama kazi ya nguvu); muhula wa pili hupatikana tukidhania hivyo v kuna kazi kutoka X, A wewe = const(yaani zingatia wewe v kama kazi ya kielelezo).

Mifano. 1. Kama y = x tani x, basi, kudhani wewe = x,v = jua x,kulingana na (3.9) tuliyo nayo

= tg x x tg x - 1 + x tg x ln x sekunde 2 x.

Mbinu inayotumiwa katika kesi hii kupata derivative na inajumuisha kwanza kupata derivative ya logarithm ya kazi inayohusika, hutumiwa sana katika kutofautisha kazi: wakati wa kupata derivative ya kazi, kazi hizi kwanza zinawekwa logarithm, na kisha kutoka. usawa uliopatikana baada ya kutofautisha logarithm ya kazi, derivative imedhamiriwa kazi. Operesheni hii inaitwa utofautishaji wa logarithmic.

2. Unahitaji kupata derivative ya kazi

Kuchukua logarithm, tunapata:

ln y = 2l( x+ 1) + logi ( x- 1) - 3 ln ( x+ 4) – x.

Wacha tutofautishe pande zote mbili za usawa wa mwisho:

Kuzidisha kwa katika na kubadilisha badala ya katika, tunapata.

Kazi y = f(x) kuitwa kutofautishwa wakati fulani x 0 ikiwa ina derivative fulani katika hatua hii, i.e. ikiwa kikomo cha uhusiano kipo na ni cha mwisho.

Ikiwa kazi inaweza kutofautishwa katika kila sehemu ya sehemu fulani [ A; b] au muda ( A; b), kisha wanasema kwamba yeye kutofautishwa kwenye sehemu [ A; b] au, kwa mtiririko huo, katika muda ( A; b).

Nadharia ifuatayo ni halali, inaanzisha uhusiano kati ya kazi zinazoweza kutofautishwa na zinazoendelea.

Nadharia. Ikiwa kazi y = f(x) kutofautishwa kwa wakati fulani x 0, basi ni kuendelea katika hatua hii.

Kwa hivyo, kutoka kwa kutofautisha kwa kazi, mwendelezo wake unafuata.

Ushahidi. Ikiwa, basi

ambapo α ni kiasi kisicho na kikomo, i.e. kiasi kinachoelekea sifuri kama Δ x→0. Lakini basi

Δ y=f "(x 0) Δ x+αΔ x=> Δ y→0 katika Δ x→0, yaani. f(x) - f(x 0)→0 kwa x→x 0 , ambayo ina maana kwamba kazi f(x) kuendelea kwa hatua x 0 . Q.E.D.

Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa haliwezi kuwa na derivative katika sehemu za kutoendelea. Mazungumzo sio kweli: kuna kazi zinazoendelea ambazo haziwezi kutofautishwa katika sehemu fulani (yaani, hazina derivative katika nukta hizi).

Fikiria pointi katika takwimu a, b, c.

Kwa uhakika a katika Δ x→0 uwiano hauna kikomo (kwani vikomo vya upande mmoja ni tofauti kwa Δ x→0-0 na Δ x→0+0). Kwa uhakika A grafu hakuna tanjiti iliyofafanuliwa, lakini kuna tanjiti mbili tofauti za njia moja na mteremko. Kwa 1 na Kwa 2. Aina hii ya hatua inaitwa sehemu ya kona.

Kwa uhakika b katika Δ x Uwiano wa →0 ni ishara ya mara kwa mara ya idadi kubwa isiyo na kikomo. Chaguo hili la kukokotoa lina derivative isiyo na kikomo. Katika hatua hii grafu ina tanjiti wima. Aina ya ncha - "hatua ya inflection" yenye tanjenti wima.

Kwa uhakika c derivatives za upande mmoja ni idadi kubwa isiyo na kikomo ya ishara tofauti. Katika hatua hii grafu ina tanjiti mbili za wima zilizounganishwa. Andika - "hatua ya kurudi" na tangent ya wima - kesi maalum ya hatua ya kona.

Mifano.

1. Fikiria kazi y=|x|. Utendakazi huu ni endelevu kwa uhakika x= 0, kwa sababu .

Hebu tuonyeshe kwamba haina derivative katika hatua hii.

f(0+Δ x) = f(Δ x) = |Δ x|. Kwa hivyo, Δ y = f(Δ x) - f(0) = |Δ x|

Lakini basi kwa Δ x< 0 (т.е. при Δx inaelekea 0 upande wa kushoto)

Na kwa Δ x > 0

Kwa hivyo, uwiano katika Δ x→ 0 kwa kulia na kushoto ina mipaka tofauti, ambayo ina maana kwamba uwiano hauna kikomo, i.e. derivative ya kipengele cha kukokotoa y=|x| kwa uhakika x= 0 haipo. Kijiometri hii ina maana kwamba kwa uhakika x= 0 "curve" hii haina tangent iliyofafanuliwa (kwa hatua hii kuna mbili).

2. Kazi inafafanuliwa na inaendelea kwenye mstari mzima wa nambari. Wacha tujue ikiwa chaguo hili la kukokotoa lina derivative katika x= 0.

Kwa hivyo, kazi inayozingatiwa haiwezi kutofautishwa katika hatua hiyo x= 0. Tangent kwa curve katika hatua hii huunda pembe p/2 na mhimili wa abscissa, i.e. sanjari na mhimili Oy.

Derivatives ya kazi za msingi.

1.
y = xn. Kama n ni nambari kamili, basi, kwa kutumia formula ya Newton ya binomial:

(a + b) n = a n+ n·a n-1 b + 1/2?n(n - 1)a n-2 ? b 2 + 1/(2?3)?n(n - 1)(n - 2)a n-3 b 3 +…+ b n ,

inaweza kuthibitishwa hivyo

Hivyo kama x inapokea nyongeza Δ x, Hiyo f(x+Δ x) = (x + Δ x) n, na kwa hiyo

Thibitisha fomula 3 na 5 wewe mwenyewe.

Ikiwa kazi y = f(x) inaweza kutofautishwa wakati fulani x = x 0, basi ni endelevu katika hatua hii.

Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa haliwezi kuwa na derivative katika sehemu za kutoendelea. Hitimisho kinyume si sahihi, i.e. kutokana na ukweli kwamba wakati fulani x = x 0 kazi y = f(x) ni endelevu haimaanishi kuwa inaweza kutofautishwa katika hatua hii. Kwa mfano, kazi y = |x| endelevu kwa kila mtu x (–< X < ), но в точке x= 0 haina derivative. Katika hatua hii hakuna tangent kwa grafu. Kuna tangent ya kulia na tangent ya kushoto, lakini hazifanani.

21 Kutafuta sheria uzalishaji kiasi

Kanuni ya 1. Ikiwa kazi y = f(x) na y = g(x) zina derivative katika nukta x, basi jumla yao pia ina derivative katika nukta x, na derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives:
(f(x) + 8(x))" =f (x)+ (x).
Katika mazoezi, sheria hii imeundwa kwa ufupi zaidi: derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives yake.
Kwa mfano,
Kanuni ya 2. Ikiwa kazi y = f(x) ina derivative katika nukta x, basi chaguo la kukokotoa y = kf(x) pia lina derivative katika nukta x, na:

Katika mazoezi, sheria hii imeundwa kwa ufupi zaidi: sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative. Kwa mfano,

Kanuni ya 3. Ikiwa kazi y=f(x) na y =g(x) zina derivative katika nukta x, basi bidhaa zao pia zina derivative katika nukta x, na:

Kwa mazoezi, sheria hii imeundwa kama ifuatavyo: derivative ya bidhaa ya kazi mbili ni sawa na jumla ya maneno mawili. Neno la kwanza ni zao la kiambishi cha kitendakazi cha kwanza na kitendakazi cha pili, na neno la pili ni zao la kazi ya kwanza na derivative ya kazi ya pili.
Kwa mfano:
Kanuni ya 4. Ikiwa vitendakazi y = f(x) na y=g(x) vina derivative basi mgawo una derivative katika nukta x, na:

Jedwali la derivatives changamano

22 Tofauti. kazi kwa uhakika

Kazi y=f(x) inasemekana inaweza kutofautishwa katika hatua hiyo x 0 ikiwa nyongeza yake ni Δ y(x 0,Δ x) inaweza kuwakilishwa kama

Δ y(x 0,Δ x)=AΔ x+o(Δ x).

Sehemu kuu ya mstari AΔ x nyongeza Δ y inaitwa tofauti ya kazi hii kwa uhakika x 0, inayolingana na nyongeza Δ x, na inaonyeshwa na ishara dy(x 0,Δ x).

Ili kwa utendaji y=f(x) ilitofautishwa katika hatua hiyo x 0, ni muhimu na ya kutosha kwa derivative kuwepo f′( x 0), na usawa ni kweli A=f′( x 0).

Usemi wa tofauti una umbo

dy(x 0,dx)=f′( x 0)dx,

Wapi dx=Δ x.

23 Prod. Changamano Kazi

Inatokana na utendaji kazi changamano. Nyingine ya chaguo za kukokotoa zilizobainishwa kigezo

Hebu y - kazi ngumu x, i.e. y = f(u), u = g(x), au

Kama g(x) Na f(u) - kazi zinazoweza kutofautishwa za hoja zao, kwa mtiririko huo, kwa pointi x Na u = g(x), basi kazi ngumu pia inaweza kutofautishwa kwa uhakika x na hupatikana kwa fomula

Nyingine ya chaguo za kukokotoa zilizopewa kigezo.

24 Prod na tofauti. Agizo la juu zaidi

Sasa acha derivative ya mpangilio wa th ifafanuliwe katika kitongoji fulani cha uhakika na iweze kutofautishwa. Kisha

Ikiwa chaguo za kukokotoa zina sehemu ya derivative kwa heshima na mojawapo ya vigeuzo katika baadhi ya kikoa D, basi derivative iliyosemwa, yenyewe ikiwa ni chaguo la kukokotoa, inaweza kuwa na viambajengo vya sehemu kuhusiana na kigezo sawa au kingine chochote wakati fulani. Kwa chaguo za kukokotoa asili, viingilio hivi vitakuwa vinyago vya mpangilio wa pili (au vinyago vya sehemu ya pili).

Agizo la pili au la juu derivative ya sehemu inayochukuliwa kwa heshima na vigeu tofauti inaitwa mchanganyiko wa derivative ya sehemu. Kwa mfano,

Tofauti ya agizo n, Wapi n > 1, ya chaguo la kukokotoa wakati fulani inaitwa tofauti katika hatua hii ya tofauti ya mpangilio (n - 1), hiyo ni

Kwa kazi ambayo inategemea tofauti moja, tofauti za pili na tatu zinaonekana kama hii:

Kuanzia hapa tunaweza kupata maoni ya jumla ya tofauti n agizo kutoka kwa kazi:

25 Nadharia za Fermat, Rolle, Langrange

v Nadharia ya Fermat: Acha kazi ifafanuliwe na ifikie viwango vyake vya juu na vya chini ( M Na m) katika baadhi ya . Ikiwa kuna derivative katika , basi ni lazima iwe sawa na 0.

Uthibitisho: Upo. Kuna kesi mbili zinazowezekana:

1) , => , => .

2) , => , => .

Kutoka 1) na 2) inafuata hiyo

v Nadharia ya Rolle (kuhusu mizizi ya derivative): Wacha chaguo la kukokotoa liendelee kuwashwa na kutofautishwa na kuchukua maadili sawa kwenye miisho ya sehemu: . Kisha kuna angalau nukta moja kutoka, derivative ambayo .

v Uthibitisho: Ufikiaji unaoendelea M Na m. Kisha kesi mbili zinawezekana:

2) thamani kubwa zaidi hupatikana ndani ya muda kulingana na nadharia ya Fermat.

v Nadharia ya Langrage (kuhusu nyongeza za mwisho): Acha kitendakazi kiendelee kuwashwa na kutofautishwa kwenye . Kisha kuna angalau moja ya , ambayo usawa ufuatao unashikilia: .

Uthibitisho: Wacha tujulishe chaguo la kukokotoa . (inaendelea na inayoweza kutofautishwa kwenye ).

Chaguo la kukokotoa linakidhi Nadharia ya Rolle ipo , ambayo: , , , .

· shughuli inaitwa kuongezeka madhubuti ikiwa

· shughuli inaitwa kupungua ikiwa

· shughuli inaitwa kupungua kabisa ikiwa

Maudhui ya makala

NUKUU- derivative ya kipengele y = f(x), iliyotolewa kwa muda fulani ( a, b) kwa uhakika x ya muda huu inaitwa kikomo ambacho uwiano wa ongezeko la kazi huelekea f katika hatua hii kwa nyongeza inayolingana ya hoja wakati nyongeza ya hoja inaelekea sifuri.

Derivative kawaida huonyeshwa kama ifuatavyo:

Majina mengine pia hutumiwa sana:

Kasi ya papo hapo.

Hebu uhakika M husogea kwa mstari ulionyooka. Umbali s hatua ya kusonga, iliyohesabiwa kutoka nafasi fulani ya awali M 0 , inategemea na wakati t, i.e. s kuna kazi ya wakati t: s= f(t). Wacha kwa wakati fulani t hatua ya kusonga M alikuwa kwa mbali s kutoka nafasi ya kuanzia M 0, na wakati fulani ujao t+D t alijikuta katika nafasi M 1 - kwa umbali s+D s kutoka nafasi ya awali ( tazama picha.).

Kwa hivyo, kwa muda D t umbali s imebadilishwa na kiasi cha D s. Katika kesi hii wanasema kwamba wakati wa muda D t ukubwa s kupokea nyongeza D s.

Kasi ya wastani haiwezi katika hali zote kuashiria kwa usahihi kasi ya harakati ya uhakika M kwa wakati fulani t. Ikiwa, kwa mfano, mwili mwanzoni mwa muda wa D t ilihamia haraka sana, na mwishoni polepole sana, basi kasi ya wastani haitaweza kuonyesha sifa zilizoonyeshwa za harakati ya uhakika na kutoa wazo la kasi ya kweli ya harakati zake kwa sasa. t. Ili kueleza kwa usahihi zaidi kasi ya kweli kwa kutumia kasi ya wastani, unahitaji kuchukua muda mfupi D t. Wengi huonyesha kikamilifu kasi ya harakati ya uhakika kwa sasa t kikomo ambacho kasi ya wastani huwa D t® 0. Kikomo hiki kinaitwa kasi ya sasa:

Kwa hivyo, kasi ya harakati kwa wakati fulani inaitwa kikomo cha uwiano wa ongezeko la njia D s kwa ongezeko la wakati D t, wakati ongezeko la wakati linaelekea sifuri. Kwa sababu

Maana ya kijiometri ya derivative. Tanji kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa.

Ujenzi wa mistari ya tangent ni mojawapo ya matatizo ambayo yalisababisha kuzaliwa kwa calculus tofauti. Kazi ya kwanza iliyochapishwa inayohusiana na hesabu tofauti, iliyoandikwa na Leibniz, ilipewa jina Njia mpya ya maxima na minima, pamoja na tangents, ambayo hakuna sehemu ndogo au isiyo na maana ni kikwazo, na aina maalum ya calculus kwa hili..

Acha curve iwe grafu ya chaguo la kukokotoa y =f(x) katika mfumo wa kuratibu wa mstatili ( sentimita. mchele.).

Kwa thamani fulani x kazi ni muhimu y =f(x) Maadili haya x Na y hatua kwenye curve inalingana M 0(x, y) Ikiwa hoja x kutoa ongezeko D x, basi thamani mpya ya hoja x+D x inalingana na thamani mpya ya chaguo la kukokotoa y+ D y = f(x + D x) Hatua inayolingana ya curve itakuwa hatua M 1(x+D x,y+D y) Ukichora sekunde M 0M 1 na kuonyeshwa na j angle inayoundwa na transversal yenye mwelekeo mzuri wa mhimili Ng'ombe, ni wazi mara moja kutoka kwa takwimu kwamba.

Ikiwa sasa D x huelekea sifuri, basi uhakika M 1 inasogea kando ya mkunjo, inakaribia uhakika M 0, na pembe j mabadiliko na D x. Katika Dx® 0 pembe j huwa na kikomo fulani a na mstari wa moja kwa moja kupita kwenye uhakika M 0 na sehemu yenye mwelekeo chanya wa mhimili wa x, angle a, itakuwa tanjenti inayotakiwa. Mteremko wake ni:

Kwa hivyo, f´( x) = tga

hizo. thamani derivative f´( x) kwa thamani fulani ya hoja x sawa na tanjiti ya pembe inayoundwa na tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) katika hatua inayolingana M 0(x,y) yenye mwelekeo chanya wa mhimili Ng'ombe.

Tofauti ya kazi.

Ufafanuzi. Ikiwa kazi y = f(x) ina derivative katika uhakika x = x 0, basi kazi inaweza kutofautishwa katika hatua hii.

Mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kuwa na derivative. Nadharia.

Ikiwa kazi y = f(x) inaweza kutofautishwa wakati fulani x = x 0, basi ni endelevu katika hatua hii.

Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa haliwezi kuwa na derivative katika sehemu za kutoendelea. Hitimisho kinyume si sahihi, i.e. kutokana na ukweli kwamba wakati fulani x = x 0 kazi y = f(x) ni endelevu haimaanishi kuwa inaweza kutofautishwa katika hatua hii. Kwa mfano, kazi y = |x| endelevu kwa kila mtu x(–Ґ x x = 0 haina derivative. Katika hatua hii hakuna tanjenti kwa grafu. Kuna tanjenti ya kulia na ya kushoto, lakini haziwiani.

Baadhi ya nadharia kuhusu vipengele vinavyoweza kutofautishwa. Nadharia juu ya mizizi ya derivative (nadharia ya Rolle). Ikiwa kazi f(x) inaendelea kwenye sehemu [a,b], inaweza kutofautishwa katika sehemu zote za ndani za sehemu hii na miisho x = a Na x = b kwenda kwa sifuri ( f(a) = f(b) = 0), kisha ndani ya sehemu [ a,b] kuna angalau pointi moja x= Na, a c b, ambayo derivative fў( x) huenda kwa sifuri, i.e. fў( c) = 0.

Finite increment theorem (Nadharia ya Lagrange). Ikiwa kazi f(x) inaendelea kwa muda [ a, b] na inaweza kutofautishwa katika sehemu zote za ndani za sehemu hii, kisha ndani ya sehemu [ a, b] kuna angalau pointi moja Na, a c b hiyo

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Nadharia juu ya uwiano wa nyongeza za kazi mbili (nadharia ya Cauchy). Kama f(x) Na g(x) - kazi mbili zinazoendelea kwenye sehemu [a, b] na inaweza kutofautishwa katika sehemu zote za ndani za sehemu hii, na gў( x) haipotei popote ndani ya sehemu hii, kisha ndani ya sehemu [ a, b] kuna hatua kama hiyo x = Na, a c b hiyo

Derivatives ya maagizo mbalimbali.

Hebu kazi y =f(x) inaweza kutofautishwa kwa muda fulani [ a, b]. Maadili yanayotokana f ў( x), kwa ujumla, hutegemea x, i.e. derivative f ў( x) pia ni kazi ya x. Wakati wa kutofautisha kazi hii, tunapata kinachojulikana derivative ya pili ya kazi f(x), ambayo inaashiria f ўў ( x).

Derivative n- utaratibu wa utendaji f(x) inaitwa (mpangilio wa kwanza) derivative ya derivative n- 1- th na inaonyeshwa na ishara y(n) = (y(n- 1))•.

Tofauti za maagizo mbalimbali.

Tofauti ya kazi y = f(x), Wapi x- tofauti huru, ndiyo dy = f ў( x)dx, baadhi ya kazi kutoka x, lakini kutoka x sababu ya kwanza tu inaweza kutegemea f ў( x sababu ya pili ( dx) ni nyongeza ya kigezo huru x na haitegemei thamani ya utaftaji huu. Kwa sababu dy kuna kazi kutoka x, basi tunaweza kuamua tofauti ya kazi hii. Tofauti ya utofautishaji wa chaguo za kukokotoa huitwa tofauti ya pili au tofauti ya mpangilio wa pili ya chaguo hili la kukokotoa na inaashiria. d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Tofauti n- ya mpangilio wa kwanza inaitwa tofauti ya kwanza ya tofauti n- 1- agizo la th:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Sehemu ya derivative.

Ikiwa kazi inategemea sio moja, lakini kwa hoja kadhaa Xi(i inatofautiana kutoka 1 hadi n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), basi katika hesabu tofauti dhana ya derivative ya sehemu inaletwa, ambayo inaashiria kiwango cha mabadiliko ya kazi ya vigeu kadhaa wakati hoja moja tu inabadilika, kwa mfano, Xi. Agizo la 1 sehemu ya derivative kwa heshima na Xi inafafanuliwa kama derivative ya kawaida, na inachukuliwa kuwa hoja zote isipokuwa Xi, weka maadili thabiti. Kwa derivatives sehemu, nukuu ni kuletwa

Agizo la 1 derivatives ya sehemu iliyofafanuliwa kwa njia hii (kama kazi za hoja sawa) inaweza, kwa upande wake, kuwa na derivatives ya sehemu, haya ni derivatives ya sehemu ya mpangilio wa pili, nk. Derivatives kama hizo zilizochukuliwa kutoka kwa hoja tofauti huitwa mchanganyiko. Mchanganyiko unaoendelea wa mchanganyiko wa utaratibu huo hautegemei utaratibu wa kutofautisha na ni sawa kwa kila mmoja.

Anna Chugainova

Tatizo kuhusu kasi ya hatua ya kusonga

Wacha iwe sheria ya mwendo wa rectilinear wa sehemu ya nyenzo. Hebu tuonyeshe kwa njia iliyosafirishwa na hatua kwa wakati, na kwa njia iliyosafirishwa kwa wakati. Kisha kwa wakati uhakika utasafiri njia sawa na: . Uwiano huo unaitwa kasi ya wastani ya uhakika kwa muda kutoka hadi. Chini, i.e. Kadiri muda unavyopungua kutoka hadi , ndivyo kasi ya wastani inavyoangazia mwendo wa uhakika kwa wakati. Kwa hivyo, ni kawaida kuanzisha wazo la kasi kwa wakati fulani, na kufafanua kama kikomo cha kasi ya wastani juu ya muda kutoka hadi, wakati:

Kiasi kinaitwa kasi ya papo hapo ya nukta kwa wakati fulani.

Tatizo kuhusu tanjiti kwa mkunjo fulani

Acha curve inayoendelea itolewe kwenye ndege kwa mlinganyo . Inahitajika kuchora tanjenti isiyo wima kwa mkunjo uliopewa kwa uhakika . Kwa kuwa hatua ya tangency inatolewa, ili kutatua tatizo ni muhimu kupata mteremko wa tangent. Kutoka kwa jiometri inajulikana kuwa , wapi angle ya mwelekeo wa tangent kwa mwelekeo mzuri wa mhimili (angalia takwimu). Kupitia nukta Na Hebu tuchore secant, ambapo ni angle inayoundwa na secant na mwelekeo mzuri wa mhimili. Kutokana na takwimu ni wazi kwamba, wapi. Mteremko wa tanjiti kwa mkunjo uliotolewa kwenye hatua unaweza kupatikana kulingana na ufafanuzi ufuatao.

Tanjiti kwa mkunjo katika hatua ni nafasi ya kuweka kikomo ya sekunde wakati hatua inaelekea kwenye uhakika. . Inafuata hiyo .

Ufafanuzi wa derivative

Uendeshaji wa hisabati unaohitajika kutatua matatizo yaliyojadiliwa hapo juu ni sawa. Hebu tufafanue kiini cha uchambuzi wa operesheni hii, tukiondoa maswali maalum ambayo yalisababisha.

Acha kitendakazi kifafanuliwe kwa muda fulani. Hebu tuchukue thamani kutoka kwa muda huu. Wacha tuongeze nyongeza (chanya au hasi). Thamani hii mpya ya hoja inalingana na thamani mpya ya chaguo la kukokotoa , Wapi.

Wacha tufanye uhusiano , ni kazi ya .

Nyingine ya chaguo za kukokotoa kwa heshima na kigezo katika hatua ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa katika hatua hii hadi ongezeko la hoja iliyosababisha, wakati kwa namna ya kiholela:

Maoni. Inazingatiwa kuwa derivative ya chaguo la kukokotoa katika hatua ipo ikiwa kikomo cha upande wa kulia wa fomula kipo na kina kikomo na haitegemei jinsi nyongeza ya kutofautisha inaelekea 0 (kutoka kushoto au kulia) .

Mchakato wa kutafuta derivative ya kazi inaitwa upambanuzi wake.

Kutafuta derivatives ya kazi fulani kwa ufafanuzi

a) Inayotokana na msimamo thabiti.

Hebu, ni wapi mara kwa mara, kwa sababu maadili ya kazi hii ni sawa kwa wote, basi ongezeko lake ni sifuri na, kwa hiyo,

Kwa hiyo, derivative ya mara kwa mara ni sawa na sifuri, i.e. .

b) Nyingi ya kitendakazi.

Wacha tuunda nyongeza ya kazi:

Wakati wa kupata derivative, tulitumia mali ya kikomo cha bidhaa ya kazi, kikomo cha kwanza cha ajabu na kuendelea kwa kazi.

Hivyo, .

Uhusiano kati ya utofautishaji wa kazi na mwendelezo wake

Chaguo za kukokotoa ambazo zina derivative katika hatua fulani inasemekana inaweza kutofautishwa katika hatua hiyo. Chaguo za kukokotoa ambazo zina derivative katika sehemu zote za muda fulani huitwa kutofautisha kwa muda huu.

Nadharia. Ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaweza kutofautishwa kwa uhakika, basi kinaendelea katika hatua hiyo.

Ushahidi. Hebu tupe hoja nyongeza ya kiholela. Kisha kazi itapokea nyongeza. Wacha tuandike usawa na tusogee hadi kikomo cha pande za kushoto na kulia kwa:

Kwa kuwa kwa utendaji unaoendelea nyongeza isiyo na kikomo katika hoja inalingana na nyongeza isiyo na kikomo katika chaguo za kukokotoa, nadharia hiyo inaweza kuchukuliwa kuwa imethibitishwa.

Maoni. Taarifa ya mazungumzo haishiki, i.e. kutoka kwa mwendelezo wa kazi katika hatua, kwa kusema kwa ujumla, kutofautisha katika hatua hii hakufuati. Kwa mfano, chaguo la kukokotoa ni endelevu kwa wote , lakini haliwezi kutofautishwa kwa uhakika. Kweli:

Kikomo hakina kikomo, ambayo inamaanisha kuwa chaguo la kukokotoa haliwezi kutofautishwa kwa uhakika.

Jedwali la derivatives ya kazi za msingi

Maoni. Wacha tukumbuke mali ya nguvu na mizizi inayotumika katika kutofautisha kazi:

Wacha tutoe mifano ya kupata derivatives.

1) .

Inatokana na utendaji kazi changamano

Hebu . Kisha kazi itakuwa kazi ngumu ya x.

Ikiwa kitendakazi kinaweza kutofautishwa kwa uhakika x, na kitendakazi kinaweza kutofautishwa kwa uhakika u, basi pia inaweza kutofautishwa kwa uhakika x, na

Tunadhani basi. Kwa hivyo

Kwa ujuzi wa kutosha, kutofautiana kwa kati u usiandike, ukiiingiza kiakili tu.

Tofauti

Hebu tuchore tangent kwa grafu ya kazi inayoendelea kwa uhakika M.T., ikiashiria kwa j angle yake ya mwelekeo kwa mwelekeo mzuri wa mhimili Oh. Tangu , basi kutoka kwa pembetatu MEF inafuata hiyo

Wacha tuanzishe nukuu

Usemi huu unaitwa tofauti kazi Hivyo

Kwa kuzingatia hilo, i.e. kwamba tofauti ya kutofautiana huru ni sawa na ongezeko lake, tunapata

Kwa hivyo, tofauti ya kazi ni sawa na bidhaa ya derivative yake na tofauti (au increment) ya kutofautiana huru.

Kutoka kwa formula ya mwisho inafuata kwamba, i.e. derivative ya chaguo za kukokotoa ni sawa na uwiano wa utofautishaji wa chaguo hili la kukokotoa na utofautishaji wa hoja.

Tofauti ya kazi dy kijiometri inawakilisha ongezeko la mpangilio wa tanjiti inayolingana na nyongeza ya hoja D. X.

Ni wazi kutoka kwa takwimu kwamba kwa D X kwa thamani kamili, tunaweza kuchukua ongezeko la kazi takriban sawa na tofauti yake, i.e.

Fikiria kazi changamano , wapi , na inaweza kutofautishwa kuhusiana na u, na - kwa X. Kulingana na kanuni ya utofautishaji wa kazi ngumu

Hebu tuzidishe usawa huu kwa dx:

Kwa kuwa (kwa ufafanuzi wa tofauti), basi

Kwa hivyo, tofauti ya kazi ngumu ina fomu sawa ikiwa kutofautiana u haikuwa hoja ya kati, lakini tofauti huru.

Mali hii ya tofauti inaitwa kutofautiana(kutobadilika) maumbo tofauti.

Mfano. .

Sheria zote za kutofautisha zinaweza kuandikwa kwa tofauti.

Hebu - kutofautishwa kwa uhakika X. Kisha

Hebu tuthibitishe kanuni ya pili.

Kitengo cha chaguo cha kukokotoa kisicho dhahiri

Hebu equation ya fomu , kuunganisha vigezo na , itolewe. Ikiwa haiwezi kuonyeshwa kwa uwazi kupitia , (iliyotatuliwa jamaa na ) basi chaguo la kukokotoa kama hilo linaitwa imetolewa kwa ukamilifu. Ili kupata derivative ya kazi kama hiyo, unahitaji kutofautisha pande zote mbili za equation kwa heshima na, ukizingatia kuwa ni kazi ya . Kutoka kwa mlinganyo mpya unaotokana, pata .