காரணியாக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை எவ்வாறு காரணியாக்குவது: சூத்திரம்

சதுர முக்கோணம் என்பது ax^2 + bx + c வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c என்பது சில எண்கள் மற்றும் a ≠ 0.

ஒரு முக்கோணத்தை காரணியாக்க, அந்த முக்கோணத்தின் வேர்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். (5x^2 + 3x- 2 என்ற முக்கோணத்தில் மேலும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு)

குறிப்பு: இருபடி முக்கோணத்தின் மதிப்பு 5x^2 + 3x - 2 x இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாக: x = 0 என்றால், 5x^2 + 3x - 2 = -2

x = 2 எனில், 5x^2 + 3x - 2 = 24

x = -1 எனில், 5x^2 + 3x - 2 = 0

x = -1 இல், சதுர முக்கோணம் 5x^2 + 3x - 2 மறைந்துவிடும், இந்த நிலையில் எண் -1 எனப்படும் ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் வேர்.

ஒரு சமன்பாட்டின் மூலத்தை எவ்வாறு பெறுவது

இந்த சமன்பாட்டின் மூலத்தை நாம் எவ்வாறு பெற்றோம் என்பதை விளக்குவோம். முதலில், நாங்கள் செயல்படும் தேற்றம் மற்றும் சூத்திரத்தை நீங்கள் தெளிவாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும்:

"x1 மற்றும் x2 இருபடி முக்கோணக் கோடாரி^2 + bx + c என்பதன் வேர்கள் என்றால், ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான இந்த சூத்திரம் மிகவும் பழமையான சூத்திரமாகும், இதைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் ஒருபோதும் குழப்பமடைய மாட்டீர்கள்.

வெளிப்பாடு 5x^2 + 3x – 2.

1. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும், இதைச் செய்ய, மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம் (a என்பது X ^ 2 இன் குணகம், b என்பது X இன் குணகம், இலவச சொல், அதாவது X இல்லாத எண்ணிக்கை ):

வர்க்க மூலத்தின் முன் கூட்டல் குறியுடன் முதல் மூலத்தைக் காண்கிறோம்:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

சதுர மூலத்தின் முன் கழித்தல் குறி கொண்ட இரண்டாவது வேர்:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

எனவே இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டுபிடித்தோம். அவை சரியானவை என்பதை உறுதிப்படுத்த, நீங்கள் சரிபார்க்கலாம்: முதலில் நாம் முதல் மூலத்தை சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம், பின்னர் இரண்டாவது:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

அனைத்து வேர்களையும் மாற்றிய பின், சமன்பாடு பூஜ்ஜியமாக மாறினால், சமன்பாடு சரியாக தீர்க்கப்படும்.

3. இப்போது தேற்றத்திலிருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), X1 மற்றும் X2 இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். எனவே: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. சிதைவு சரியாக உள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த, நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளை வெறுமனே பெருக்கலாம்:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x – 0.4) = 5x^2 + 3 – 2. இது சரியானதை உறுதிப்படுத்துகிறது முடிவு.

சதுர முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான இரண்டாவது விருப்பம்

ஒரு சதுர டிரினோமியலின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான மற்றொரு விருப்பம், வியட்டின் தேற்றத்திற்கு தலைகீழ் தேற்றம் ஆகும். இங்கே இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. ஆனால் குணகம் a = 1, அதாவது x^2 = 1 க்கு முன்னால் உள்ள எண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே இந்தத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம்.

எடுத்துக்காட்டாக: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

நாங்கள் தீர்க்கிறோம்: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

இப்போது தயாரிப்பில் உள்ள எண்கள் ஒன்றைக் கொடுக்கின்றன என்பதைப் பற்றி சிந்திக்க வேண்டியது அவசியம்? இயற்கையாகவே இது 1 * 1 மற்றும் -1 * (-1) . இந்த எண்களில் இருந்து x1 + x2 = 2 என்ற வெளிப்பாட்டுடன் தொடர்புடையவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், நிச்சயமாக - இது 1 + 1. எனவே சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிந்தோம்: x1 = 1, x2 = 1. இதை நாம் சரிபார்க்க எளிதானது வெளிப்பாட்டில் x^2 ஐ மாற்றவும் - 2x + 1 = 0.

இந்தப் பாடத்தில் இருபடி முக்கோணங்களை நேரியல் காரணிகளாக எவ்வாறு காரணியாக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இதைச் செய்ய, வியட்டாவின் தேற்றத்தையும் அதன் உரையாடலையும் நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இந்த திறன் இருபடி முக்கோணங்களை நேரியல் காரணிகளாக விரைவாகவும் வசதியாகவும் விரிவுபடுத்த உதவும், மேலும் வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைக் குறைப்பதை எளிதாக்கும்.

எனவே இருபடி சமன்பாட்டிற்கு திரும்புவோம், எங்கே .

நாம் இடது பக்கம் இருப்பது இருபடி முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் உண்மை:இருபடி டிரினோமியலின் வேர்கள் என்றால், அடையாளம் உள்ளது

முன்னணி குணகம் எங்கே, சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

எனவே, எங்களிடம் ஒரு இருபடி சமன்பாடு உள்ளது - ஒரு இருபடி முக்கோணம், அங்கு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. எனவே, நாம் ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், இந்த முக்கோணத்தை நேரியல் காரணிகளாக சிதைக்க முடியும்.

ஆதாரம்:

ஆதாரம் இந்த உண்மைமுந்தைய பாடங்களில் நாங்கள் விவாதித்த வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது.

வியட்டாவின் தேற்றம் என்ன சொல்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்வோம்:

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்கள் எதற்காக என்றால் , பிறகு .

இந்தத் தேற்றத்திலிருந்து பின்வரும் அறிக்கை பின்வருமாறு:

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, இந்த மதிப்புகளை மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், பின்வரும் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

கே.இ.டி.

ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் வேர்கள் என்றால், விரிவாக்கம் செல்லுபடியாகும் என்ற தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபித்தோம் என்பதை நினைவில் கொள்க.

இப்போது ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் உதாரணத்தை நினைவில் கொள்வோம், அதற்கு வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைத் தேர்ந்தெடுத்தோம். இந்த உண்மையிலிருந்து நாம் நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்திற்கு பின்வரும் சமத்துவத்தைப் பெறலாம்:

இப்போது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதன் மூலம் இந்த உண்மையின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கலாம்:

நாம் சரியாகக் காரணியாக்கப்பட்டதைக் காண்கிறோம், மேலும் எந்த முக்கோணமும் வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், இந்த தேற்றத்தின்படி சூத்திரத்தின்படி நேரியல் காரணிகளாக காரணியாக்கப்படலாம்.

இருப்பினும், எந்தச் சமன்பாட்டிற்கும் அத்தகைய காரணியாக்கம் சாத்தியமா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்:

உதாரணமாக, சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம். முதலில், பாரபட்சமான அடையாளத்தைச் சரிபார்ப்போம்

மேலும் நாம் கற்றுக்கொண்ட தேற்றத்தை நிறைவேற்ற, D ஆனது 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்கிறோம், எனவே இந்த விஷயத்தில், நாம் கற்றுக்கொண்ட தேற்றத்தின்படி காரணியாக்கம் சாத்தியமற்றது.

எனவே, உருவாக்குவோம் புதிய தேற்றம்: ஒரு இருபடி முக்கோணத்திற்கு வேர்கள் இல்லை என்றால், அதை நேரியல் காரணிகளாகக் காரணியாக்க முடியாது.

எனவே, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பார்த்தோம், ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை நேரியல் காரணிகளாக சிதைப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகள், இப்போது நாம் பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்.

பணி எண் 1

இந்த குழுவில் நாம் உண்மையில் முன்வைக்கப்பட்ட பிரச்சனைக்கு நேர்மாறான பிரச்சனையை தீர்ப்போம். எங்களிடம் ஒரு சமன்பாடு இருந்தது, அதை காரணியாக்கி அதன் வேர்களைக் கண்டோம். இங்கே நாம் எதிர் செய்வோம். இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் நம்மிடம் இருப்பதாக வைத்துக் கொள்வோம்

தலைகீழ் சிக்கல் இதுதான்: அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

இந்த சிக்கலை தீர்க்க 2 வழிகள் உள்ளன.

சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதால், பின்னர் ஒரு இருபடி சமன்பாடு அதன் வேர்கள் கொடுக்கப்பட்ட எண்கள். இப்போது அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து சரிபார்ப்போம்:

எந்த இருபடிச் சமன்பாடும் அதிகபட்சம் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருப்பதால், கொடுக்கப்பட்ட வேர்களைக் கொண்டு ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டை உருவாக்கிய முதல் வழி இதுதான்.

இந்த முறை தலைகீழ் வியட்டா தேற்றத்தின் பயன்பாட்டை உள்ளடக்கியது.

சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்றால், அவை நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கின்றன.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு , , அதாவது இந்த வழக்கில், மற்றும் .

இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட வேர்களைக் கொண்ட இருபடி சமன்பாட்டை உருவாக்கியுள்ளோம்.

பணி எண் 2

பின்னத்தை குறைக்க வேண்டியது அவசியம்.

எங்களிடம் எண்களில் ஒரு முக்கோணமும் வகுப்பில் ஒரு முக்கோணமும் உள்ளது, மேலும் முக்கோணங்கள் காரணியாக்கப்படலாம் அல்லது இல்லை. எண் மற்றும் வகு இரண்டும் காரணியாக இருந்தால், அவற்றில் சமமான காரணிகள் குறைக்கப்படலாம்.

முதலில், நீங்கள் எண்ணைக் கணக்கிட வேண்டும்.

முதலில், இந்த சமன்பாட்டை காரணியாக்க முடியுமா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும், பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம். , குறியானது தயாரிப்பைப் பொறுத்தது (0 க்கும் குறைவாக இருக்க வேண்டும்), இல் இந்த எடுத்துக்காட்டில், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

தீர்க்க, நாங்கள் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

இந்த வழக்கில், நாங்கள் வேர்களைக் கையாள்வதால், வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது மிகவும் கடினமாக இருக்கும். ஆனால் குணகங்கள் சமநிலையில் இருப்பதைக் காண்கிறோம், அதாவது , இந்த மதிப்பை சமன்பாட்டில் மாற்றினால், பின்வரும் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்: , அதாவது 5-5=0. எனவே, இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்துள்ளோம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் ஏற்கனவே அறியப்பட்டதை மாற்றுவதன் மூலம் இரண்டாவது மூலத்தைத் தேடுவோம், எடுத்துக்காட்டாக, , அதாவது. .

எனவே, இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களையும் நாங்கள் கண்டறிந்துள்ளோம், மேலும் அவற்றின் மதிப்புகளை அசல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றலாம்:

அசல் சிக்கலை நினைவில் கொள்வோம், பின்னத்தை குறைக்க வேண்டும்.

சிக்கலை மாற்றுவதன் மூலம் தீர்க்க முயற்சிப்போம்.

இந்த வழக்கில் வகுத்தல் 0 க்கு சமமாக இருக்க முடியாது என்பதை மறந்துவிடக் கூடாது, அதாவது, .

இந்த நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அசல் பின்னத்தை படிவத்திற்குக் குறைத்துள்ளோம்.

சிக்கல் எண். 3 (அளவுருவுடன் பணி)

அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்

இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருந்தால், பிறகு , கேள்வி: எப்போது.

இந்தப் பாடத்தில் இருபடி முக்கோணங்களை நேரியல் காரணிகளாக எவ்வாறு காரணியாக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இதைச் செய்ய, வியட்டாவின் தேற்றத்தையும் அதன் உரையாடலையும் நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இந்த திறன் இருபடி முக்கோணங்களை நேரியல் காரணிகளாக விரைவாகவும் வசதியாகவும் விரிவுபடுத்த உதவும், மேலும் வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைக் குறைப்பதை எளிதாக்கும்.

எனவே இருபடி சமன்பாட்டிற்கு திரும்புவோம், எங்கே .

நாம் இடது பக்கம் இருப்பது இருபடி முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் உண்மை:இருபடி டிரினோமியலின் வேர்கள் என்றால், அடையாளம் உள்ளது

முன்னணி குணகம் எங்கே, சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

எனவே, எங்களிடம் ஒரு இருபடி சமன்பாடு உள்ளது - ஒரு இருபடி முக்கோணம், அங்கு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. எனவே, நாம் ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், இந்த முக்கோணத்தை நேரியல் காரணிகளாக சிதைக்க முடியும்.

ஆதாரம்:

இந்த உண்மையின் ஆதாரம் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது, இது முந்தைய பாடங்களில் நாங்கள் விவாதித்தோம்.

வியட்டாவின் தேற்றம் என்ன சொல்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்வோம்:

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்கள் எதற்காக என்றால் , பிறகு .

இந்தத் தேற்றத்திலிருந்து பின்வரும் அறிக்கை பின்வருமாறு:

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, இந்த மதிப்புகளை மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், பின்வரும் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

கே.இ.டி.

ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் வேர்கள் என்றால், விரிவாக்கம் செல்லுபடியாகும் என்ற தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபித்தோம் என்பதை நினைவில் கொள்க.

இப்போது ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் உதாரணத்தை நினைவில் கொள்வோம், அதற்கு வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைத் தேர்ந்தெடுத்தோம். இந்த உண்மையிலிருந்து நாம் நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்திற்கு பின்வரும் சமத்துவத்தைப் பெறலாம்:

இப்போது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதன் மூலம் இந்த உண்மையின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கலாம்:

நாம் சரியாகக் காரணியாக்கப்பட்டதைக் காண்கிறோம், மேலும் எந்த முக்கோணமும் வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், இந்த தேற்றத்தின்படி சூத்திரத்தின்படி நேரியல் காரணிகளாக காரணியாக்கப்படலாம்.

இருப்பினும், எந்தச் சமன்பாட்டிற்கும் அத்தகைய காரணியாக்கம் சாத்தியமா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்:

உதாரணமாக, சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம். முதலில், பாரபட்சமான அடையாளத்தைச் சரிபார்ப்போம்

மேலும் நாம் கற்றுக்கொண்ட தேற்றத்தை நிறைவேற்ற, D ஆனது 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்கிறோம், எனவே இந்த விஷயத்தில், நாம் கற்றுக்கொண்ட தேற்றத்தின்படி காரணியாக்கம் சாத்தியமற்றது.

எனவே, நாங்கள் ஒரு புதிய தேற்றத்தை உருவாக்குகிறோம்: ஒரு சதுர முக்கோணத்திற்கு வேர்கள் இல்லை என்றால், அதை நேரியல் காரணிகளாக சிதைக்க முடியாது.

எனவே, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பார்த்தோம், ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை நேரியல் காரணிகளாக சிதைப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகள், இப்போது நாம் பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்.

பணி எண் 1

இந்த குழுவில் நாம் உண்மையில் முன்வைக்கப்பட்ட பிரச்சனைக்கு நேர்மாறான பிரச்சனையை தீர்ப்போம். எங்களிடம் ஒரு சமன்பாடு இருந்தது, அதை காரணியாக்கி அதன் வேர்களைக் கண்டோம். இங்கே நாம் எதிர் செய்வோம். இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் நம்மிடம் இருப்பதாக வைத்துக் கொள்வோம்

தலைகீழ் சிக்கல் இதுதான்: அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

இந்த சிக்கலை தீர்க்க 2 வழிகள் உள்ளன.

சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதால், பின்னர் இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும், அதன் வேர்களுக்கு எண்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இப்போது அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து சரிபார்ப்போம்:

எந்த இருபடிச் சமன்பாடும் அதிகபட்சம் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருப்பதால், கொடுக்கப்பட்ட வேர்களைக் கொண்டு ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டை உருவாக்கிய முதல் வழி இதுதான்.

இந்த முறை தலைகீழ் வியட்டா தேற்றத்தின் பயன்பாட்டை உள்ளடக்கியது.

சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்றால், அவை நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கின்றன.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு , , அதாவது இந்த வழக்கில், மற்றும் .

இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட வேர்களைக் கொண்ட இருபடி சமன்பாட்டை உருவாக்கியுள்ளோம்.

பணி எண் 2

பின்னத்தை குறைக்க வேண்டியது அவசியம்.

எங்களிடம் எண்களில் ஒரு முக்கோணமும் வகுப்பில் ஒரு முக்கோணமும் உள்ளது, மேலும் முக்கோணங்கள் காரணியாக்கப்படலாம் அல்லது இல்லை. எண் மற்றும் வகு இரண்டும் காரணியாக இருந்தால், அவற்றில் சமமான காரணிகள் குறைக்கப்படலாம்.

முதலில், நீங்கள் எண்ணைக் கணக்கிட வேண்டும்.

முதலில், இந்த சமன்பாட்டை காரணியாக்க முடியுமா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும், பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம். , குறியானது தயாரிப்பைச் சார்ந்தது (0 க்கும் குறைவாக இருக்க வேண்டும்), இந்த எடுத்துக்காட்டில், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

தீர்க்க, நாங்கள் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

இந்த வழக்கில், நாங்கள் வேர்களைக் கையாள்வதால், வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது மிகவும் கடினமாக இருக்கும். ஆனால் குணகங்கள் சமநிலையில் இருப்பதைக் காண்கிறோம், அதாவது , இந்த மதிப்பை சமன்பாட்டில் மாற்றினால், பின்வரும் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்: , அதாவது 5-5=0. எனவே, இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்துள்ளோம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் ஏற்கனவே அறியப்பட்டதை மாற்றுவதன் மூலம் இரண்டாவது மூலத்தைத் தேடுவோம், எடுத்துக்காட்டாக, , அதாவது. .

எனவே, இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களையும் நாங்கள் கண்டறிந்துள்ளோம், மேலும் அவற்றின் மதிப்புகளை அசல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றலாம்:

அசல் சிக்கலை நினைவில் கொள்வோம், பின்னத்தை குறைக்க வேண்டும்.

சிக்கலை மாற்றுவதன் மூலம் தீர்க்க முயற்சிப்போம்.

இந்த வழக்கில் வகுத்தல் 0 க்கு சமமாக இருக்க முடியாது என்பதை மறந்துவிடக் கூடாது, அதாவது, .

இந்த நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அசல் பின்னத்தை படிவத்திற்குக் குறைத்துள்ளோம்.

சிக்கல் எண். 3 (அளவுருவுடன் பணி)

அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்

இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருந்தால், பிறகு , கேள்வி: எப்போது.

ஒரு பொருளைப் பெற பல்லுறுப்புக்கோவைகளை விரிவுபடுத்துவது சில நேரங்களில் குழப்பமாகத் தோன்றலாம். ஆனால் நீங்கள் செயல்முறையை படிப்படியாக புரிந்து கொண்டால் அது கடினம் அல்ல. இருபடி முக்கோணத்தை எவ்வாறு காரணியாக்குவது என்பதை கட்டுரை விரிவாக விவரிக்கிறது.

சதுர டிரினோமியலை எவ்வாறு காரணி செய்வது, ஏன் இது செய்யப்படுகிறது என்பது பலருக்குப் புரியவில்லை. முதலில் அது வீண் பயிற்சியாகத் தோன்றலாம். ஆனால் கணிதத்தில் எதுவும் சும்மா செய்யப்படவில்லை. வெளிப்பாட்டையும் கணக்கீட்டின் எளிமையையும் எளிதாக்குவதற்கு மாற்றம் அவசியம்.

வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை - ax²+bx+c, இருபடி முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது."a" என்ற சொல் எதிர்மறையாகவோ நேர்மறையாகவோ இருக்க வேண்டும். நடைமுறையில், இந்த வெளிப்பாடு ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, சில நேரங்களில் அவர்கள் அதை வித்தியாசமாக சொல்கிறார்கள்: ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு விரிவாக்குவது.

சுவாரஸ்யமானது!ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை சதுரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் மிகப்பெரிய பட்டம், சதுரம். மற்றும் ஒரு முக்கோணம் - ஏனெனில் 3 கூறுகள்.

வேறு சில வகையான பல்லுறுப்புக்கோவைகள்:

• நேரியல் பைனோமியல் (6x+8);
• கன சதுரம் (x³+4x²-2x+9).

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்

முதலில், வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், பின்னர் நீங்கள் x1 மற்றும் x2 வேர்களின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். வேர்கள் இல்லாமல் இருக்கலாம், ஒன்று அல்லது இரண்டு வேர்கள் இருக்கலாம். வேர்களின் இருப்பு பாகுபாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. நீங்கள் அதன் சூத்திரத்தை இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்: D=b²-4ac.

முடிவு D எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை. நேர்மறை என்றால், இரண்டு வேர்கள் உள்ளன. முடிவு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், ரூட் ஒன்று. வேர்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன.

பாகுபாட்டைக் கணக்கிடும்போது, ​​முடிவு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், நீங்கள் எந்த சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம். நடைமுறையில், சூத்திரம் சுருக்கப்பட்டது: -b / 2a.

இதற்கான சூத்திரங்கள் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்பாகுபாடுகள் வேறுபடுகின்றன.

டி நேர்மறையாக இருந்தால்:

D பூஜ்ஜியமாக இருந்தால்:

ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்கள்

இணையத்தில் உள்ளது ஆன்லைன் கால்குலேட்டர். காரணியாக்குதலைச் செய்ய இதைப் பயன்படுத்தலாம். சில ஆதாரங்கள் படிப்படியாக தீர்வைப் பார்க்க வாய்ப்பளிக்கின்றன. இத்தகைய சேவைகள் தலைப்பை நன்கு புரிந்துகொள்ள உதவுகின்றன, ஆனால் நீங்கள் அதை நன்கு புரிந்துகொள்ள முயற்சிக்க வேண்டும்.

பயனுள்ள வீடியோ: ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்

எடுத்துக்காட்டுகள்

பார்க்க உங்களை அழைக்கிறோம் எளிய உதாரணங்கள், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு காரணியாக்குவது.

எடுத்துக்காட்டு 1

D நேர்மறையாக இருப்பதால் முடிவு இரண்டு xகள் என்பதை இது தெளிவாகக் காட்டுகிறது. அவை சூத்திரத்தில் மாற்றப்பட வேண்டும். வேர்கள் எதிர்மறையாக மாறினால், சூத்திரத்தில் உள்ள அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறுகிறது.

இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவதற்கான சூத்திரம் எங்களுக்குத் தெரியும்: a(x-x1)(x-x2). மதிப்புகளை அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கிறோம்: (x+3)(x+2/3). ஒரு அதிகாரத்தில் ஒரு காலத்திற்கு முன் எண் இல்லை. இதன் பொருள் அங்கே ஒன்று இருக்கிறது, அது கீழே செல்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2

ஒரு மூலத்தைக் கொண்ட சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இந்த எடுத்துக்காட்டு தெளிவாகக் காட்டுகிறது.

இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3

கொடுக்கப்பட்டவை: 5x²+3x+7

முதலில், முந்தைய நிகழ்வுகளைப் போலவே பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

பாகுபாடு எதிர்மறையானது, அதாவது வேர்கள் இல்லை.

முடிவைப் பெற்ற பிறகு, நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து முடிவைச் சரிபார்க்க வேண்டும். அசல் முக்கோணம் தோன்ற வேண்டும்.

மாற்று தீர்வு

சிலரால் பாகுபாடு காட்டுபவர்களுடன் நட்பு கொள்ளவே முடியவில்லை. இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்க மற்றொரு வழி உள்ளது. வசதிக்காக, முறை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் காட்டப்பட்டுள்ளது.

கொடுக்கப்பட்டவை: x²+3x-10

நாம் 2 அடைப்புக்குறிகளைப் பெற வேண்டும் என்பது எங்களுக்குத் தெரியும்: (_)(_). வெளிப்பாடு இப்படி இருக்கும் போது: x²+bx+c, ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியின் தொடக்கத்திலும் நாம் x: (x_)(x_) ஐ வைக்கிறோம். மீதமுள்ள இரண்டு எண்கள் "c" ஐ வழங்கும் தயாரிப்பு ஆகும், அதாவது இந்த வழக்கில் -10. இந்த எண்கள் என்ன என்பதைக் கண்டறிய ஒரே வழி தேர்வு மூலம். மாற்று எண்கள் மீதமுள்ள காலத்துடன் ஒத்திருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் எண்களைப் பெருக்கினால் -10 கிடைக்கும்:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. இல்லை.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. இல்லை.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. இல்லை.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. பொருந்துகிறது.

இதன் பொருள் x2+3x-10 என்ற வெளிப்பாட்டின் மாற்றம் இப்படி இருக்கும்: (x-2)(x+5).

முக்கியமான!அறிகுறிகளை குழப்பாமல் கவனமாக இருக்க வேண்டும்.

ஒரு சிக்கலான முக்கோணத்தின் விரிவாக்கம்

"a" ஒன்றுக்கு மேல் இருந்தால், சிரமங்கள் தொடங்கும். ஆனால் எல்லாம் தோன்றுவது போல் கடினம் அல்ல.

காரணியாக்க, எதையாவது காரணியாக்க முடியுமா என்பதை முதலில் பார்க்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாடு கொடுக்கப்பட்ட: 3x²+9x-30. இங்கே எண் 3 அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கப்பட்டது:

3(x²+3x-10). இதன் விளைவாக ஏற்கனவே நன்கு அறியப்பட்ட முக்கோணம். பதில் இப்படி இருக்கிறது: 3(x-2)(x+5)

சதுரத்தில் இருக்கும் சொல் எதிர்மறையாக இருந்தால் சிதைப்பது எப்படி? இந்த வழக்கில், எண் -1 அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக: -x²-10x-8. வெளிப்பாடு இப்படி இருக்கும்:

இந்த திட்டம் முந்தைய திட்டத்திலிருந்து சிறிது வேறுபடுகிறது. ஒரு சில புதிய விஷயங்கள் உள்ளன. வெளிப்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்: 2x²+7x+3. பதில் (_)(_) இல் நிரப்பப்பட வேண்டிய 2 அடைப்புக்குறிகளிலும் எழுதப்பட்டுள்ளது. 2 வது அடைப்புக்குறியில் x என்றும், 1 வது அடைப்புக்குறியில் மீதமுள்ளது என்ன என்றும் எழுதப்பட்டுள்ளது. இது போல் தெரிகிறது: (2x_)(x_). இல்லையெனில், முந்தைய திட்டம் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது.

எண் 3 எண்களால் வழங்கப்படுகிறது:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

இந்த எண்களை மாற்றுவதன் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கிறோம். கடைசி விருப்பம் பொருத்தமானது. இதன் பொருள் 2x²+7x+3 என்ற வெளிப்பாட்டின் மாற்றம் இப்படி இருக்கும்: (2x+1)(x+3).

மற்ற வழக்குகள்

வெளிப்பாட்டை மாற்றுவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. இரண்டாவது முறையில், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது தேவையில்லை. ஆனால் விதிமுறைகளை ஒரு தயாரிப்பாக மாற்றுவதற்கான சாத்தியம் பாகுபாடு காட்டுபவர் மூலம் மட்டுமே சரிபார்க்கப்படுகிறது.

தீர்மானிக்க பயிற்சி செய்வது மதிப்பு இருபடி சமன்பாடுகள்அதனால் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதில் சிரமங்கள் இல்லை.

பயனுள்ள வீடியோ: ஒரு முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்

முடிவுரை

நீங்கள் அதை எந்த வகையிலும் பயன்படுத்தலாம். ஆனால் தானாக மாறும் வரை இரண்டையும் பயிற்சி செய்வது நல்லது. மேலும், இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் காரணி பல்லுறுப்புக்கோவைகளை எவ்வாறு தீர்க்க வேண்டும் என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது, தங்கள் வாழ்க்கையை கணிதத்துடன் இணைக்கத் திட்டமிடுபவர்களுக்கு அவசியம். பின்வரும் அனைத்து கணித தலைப்புகளும் இதில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளன.

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்சிக்கல் C3 அல்லது அளவுரு C5 இல் உள்ள சிக்கலில் இருந்து ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது பயனுள்ளதாக இருக்கும். மேலும், வியட்டாவின் தேற்றம் உங்களுக்குத் தெரிந்தால், பல B13 வார்த்தைச் சிக்கல்கள் மிக விரைவாக தீர்க்கப்படும்.

இந்த தேற்றம், நிச்சயமாக, 8 ஆம் வகுப்பின் கண்ணோட்டத்தில் பரிசீலிக்கப்படலாம், அதில் இது முதல் முறையாக கற்பிக்கப்படுகிறது. ஆனால் எங்கள் பணி ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வுக்கு நன்கு தயாராகி, முடிந்தவரை திறமையாக தேர்வு பணிகளை தீர்க்க கற்றுக்கொள்வது. எனவே, இந்தப் பாடம் பள்ளியிலிருந்து சற்று வித்தியாசமான அணுகுமுறையைக் கருதுகிறது.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்பலருக்குத் தெரியும் (அல்லது குறைந்தபட்சம் பார்த்திருக்கலாம்):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

இங்கு `a, b` மற்றும் `c` ஆகியவை இருபடி முக்கோணமான `ax^2+bx+c` இன் குணகங்களாகும்.

தேற்றத்தை எவ்வாறு எளிதாகப் பயன்படுத்துவது என்பதை அறிய, அது எங்கிருந்து வருகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வோம் (இது உண்மையில் நினைவில் வைத்திருப்பதை எளிதாக்கும்).

`ax^2+ bx+ c = 0` என்ற சமன்பாட்டைக் கொள்வோம். மேலும் வசதிக்காக, அதை `a` ஆல் வகுத்து, `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` ஐப் பெறவும். இந்த சமன்பாடு குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முக்கியமான பாட யோசனை: வேர்களைக் கொண்ட எந்த இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை அடைப்புக்குறிக்குள் விரிவாக்கப்படலாம்.நம்முடையது `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, இங்கு `k` மற்றும் `` என குறிப்பிடலாம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். l` - சில மாறிலிகள்.

அடைப்புக்குறிகள் எவ்வாறு திறக்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

எனவே, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

இது கிளாசிக்கல் விளக்கத்திலிருந்து சற்று வித்தியாசமானது வியட்டாவின் தேற்றம்- அதில் நாம் சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தேடுகிறோம். விதிமுறைகளைத் தேட நான் முன்மொழிகிறேன் அடைப்புக்குறி சிதைவு- இந்த வழியில் நீங்கள் சூத்திரத்தில் இருந்து கழித்தல் பற்றி நினைவில் கொள்ள தேவையில்லை (அதாவது `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). இதுபோன்ற இரண்டு எண்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது போதுமானது, இதன் கூட்டுத்தொகை சராசரி குணகத்திற்கு சமம், மற்றும் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம்.

சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு தேவைப்பட்டால், அது வெளிப்படையானது: வேர்கள் `x=-k` அல்லது `x=-l` (இந்த சந்தர்ப்பங்களில் அடைப்புக்குறிக்குள் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், அதாவது முழு வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். )

நான் உங்களுக்கு அல்காரிதத்தை உதாரணமாகக் காட்டுகிறேன்: ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையை அடைப்புக்குறிக்குள் விரிவாக்குவது எப்படி.

உதாரணம் ஒன்று. இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவதற்கான அல்காரிதம்

எங்களிடம் உள்ள பாதை ஒரு நால்வகை முக்கோணமான `x^2+5x+4` ஆகும்.

இது குறைக்கப்பட்டது (`x^2` இன் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம்). அவருக்கு வேர்கள் உள்ளன. (நிச்சயமாக, நீங்கள் பாகுபாடு காட்டுபவர்களை மதிப்பிடலாம் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதை உறுதிசெய்யலாம்.)

மேலும் படிகள் (அனைத்து பயிற்சிப் பணிகளையும் முடிப்பதன் மூலம் நீங்கள் அவற்றைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்):

1. பின்வரும் உள்ளீட்டை முடிக்கவும்: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ புள்ளிகளுக்கு பதிலாக, இலவச இடத்தை விட்டு, அங்கே சேர்ப்போம் பொருத்தமான எண்கள்மற்றும் அறிகுறிகள்.
2. அனைத்தையும் காட்டு சாத்தியமான விருப்பங்கள், இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்தில் `4` எண்ணை எவ்வாறு சிதைப்பது. சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு "வேட்பாளர்களின்" ஜோடிகளைப் பெறுகிறோம்: `2, 2` மற்றும் `1, 4`.
3. எந்த ஜோடியிலிருந்து சராசரி குணகத்தை நீங்கள் பெறலாம் என்பதைக் கண்டறியவும். வெளிப்படையாக இது `1, 4`.
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ என எழுதவும்.
5. அடுத்த கட்டமாக, செருகப்பட்ட எண்களுக்கு முன்னால் அடையாளங்களை வைப்பது.

   அடைப்புக்குறிக்குள் எண்களுக்கு முன் என்ன அறிகுறிகள் தோன்ற வேண்டும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மற்றும் எப்போதும் நினைவில் கொள்வது எப்படி? அவற்றை (அடைப்புக்குறிகள்) திறக்க முயற்சிக்கவும். முதல் சக்திக்கு `x` க்கு முன் குணகம் `(± 4 ± 1)` (எங்களுக்கு இன்னும் அறிகுறிகள் தெரியவில்லை - நாங்கள் தேர்வு செய்ய வேண்டும்), மேலும் அது `5` க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். வெளிப்படையாக, இரண்டு பிளஸ்கள் $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ இருக்கும்.

   இந்த செயல்பாட்டை பல முறை செய்யவும் (ஹலோ, பயிற்சி பணிகள்!) மற்றும் மேலும் பிரச்சினைகள்இது ஒருபோதும் நடக்காது.

`x^2+5x+4` சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும் என்றால், இப்போது அதைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல. இதன் வேர்கள் `-4, -1`.

உதாரணம் இரண்டு. வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் குணகங்களுடன் ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கம்

`x^2-x-2=0` சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். வெளிப்படையாக, பாகுபாடு நேர்மறை.

நாங்கள் அல்காரிதத்தைப் பின்பற்றுகிறோம்.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. இரண்டு முழு எண் காரணிகளாக ஒரே ஒரு சிதைவு உள்ளது: `2 · 1`.
3. நாங்கள் புள்ளியைத் தவிர்க்கிறோம் - தேர்வு செய்ய எதுவும் இல்லை.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. எங்கள் எண்களின் பலன் எதிர்மறையானது (`-2` என்பது இலவச சொல்), அதாவது அவற்றில் ஒன்று எதிர்மறையாகவும் மற்றொன்று நேர்மறையாகவும் இருக்கும்.
   அவற்றின் கூட்டுத்தொகை `-1` (`x` இன் குணகம்) க்கு சமமாக இருப்பதால், `2` எதிர்மறையாக இருக்கும் (உள்ளுணர்வு விளக்கம் என்னவென்றால், இரண்டு எண்களில் இரண்டு பெரியது, அது இன்னும் வலுவாக "இழுக்கும்" எதிர்மறை பக்கம்) நமக்கு $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$ கிடைக்கும்

மூன்றாவது உதாரணம். ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்

சமன்பாடு `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84 இன் முழு எண் காரணிகளாக: `4·21, 6·14, 12·7, 2·42`.
3. எண்களின் வித்தியாசம் (அல்லது கூட்டுத்தொகை) 5 ஆக இருக்க வேண்டும் என்பதால், நாம் ஒரு ஜோடி செய்யும் `7, 12`.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

நம்பிக்கை, இந்த இருபடி முக்கோணத்தை அடைப்புக்குறிக்குள் விரிவுபடுத்துதல்தெளிவாக உள்ளது.

சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு உங்களுக்குத் தேவைப்பட்டால், இதோ: `12, -7`.

பயிற்சி பணிகள்

எளிதான சில உதாரணங்களை உங்கள் கவனத்திற்குக் கொண்டு வருகிறேன் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன.("கணிதம்", 2002 இதழிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

கட்டுரை எழுதப்பட்ட சில ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையை விரிவுபடுத்துவதற்கான 150 பணிகளின் தொகுப்பு தோன்றியது.

கருத்துகளில் லைக் செய்து கேள்விகளைக் கேளுங்கள்!