ஒரு திசையன் தயாரிப்பு பற்றிய கருத்தை வழங்குவதற்கு முன், முப்பரிமாண இடைவெளியில் a →, b →, c → ஆகிய மூன்று திசையன்களின் திசையன்களின் நோக்குநிலை பற்றிய கேள்விக்கு திரும்புவோம்.

வெக்டர்கள் a →, b →, c → ஒரு புள்ளியில் இருந்து தொடக்கத்திற்கு ஒதுக்கி வைப்போம். டிரிபிள் a →, b →, c → திசையன் c → இன் திசையைப் பொறுத்து வலது அல்லது இடமாக இருக்கலாம். திசையன் c →வின் முடிவில் இருந்து திசையன் a → முதல் b → வரை குறுகிய சுழற்சி செய்யப்படும் திசையில் இருந்து, டிரிபிள் a →, b →, c → வடிவம் தீர்மானிக்கப்படும்.

குறுகிய சுழற்சியானது எதிரெதிர் திசையில் இருந்தால், மூன்று திசையன்கள் a →, b →, c → எனப்படும். சரிகடிகார திசையில் இருந்தால் - விட்டு.

அடுத்து, a → மற்றும் b → ஆகிய இரண்டு கோலினியர் அல்லாத திசையன்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பின்னர் A B → = a → மற்றும் A C → = b → ஆகிய திசையன்களை A புள்ளியிலிருந்து ஒத்திவைப்போம். ஒரு திசையன் A D → = c → ஐ உருவாக்குகிறோம், இது A B → மற்றும் A C → இரண்டிற்கும் ஒரே நேரத்தில் செங்குத்தாக உள்ளது. இவ்வாறு, திசையனையே A D → = c → கட்டமைக்கும்போது நாம் இரண்டு விஷயங்களைச் செய்யலாம், அதற்கு ஒரு திசை அல்லது எதிர் திசையைக் கொடுக்கலாம் (விளக்கத்தைப் பார்க்கவும்).

திசையன்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் a →, b →, c →, திசையன் திசையைப் பொறுத்து, நாம் கண்டறிந்தபடி, வலது அல்லது இடமாக இருக்கலாம்.

மேலே இருந்து, நாம் ஒரு குறுக்கு தயாரிப்பு வரையறையை அறிமுகப்படுத்த முடியும். முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு திசையன்களுக்கு இந்த வரையறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

வரையறை 1

a → மற்றும் b → ஆகிய இரண்டு திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட அத்தகைய திசையன் என்று அழைப்போம்:

• திசையன்கள் a → மற்றும் b → கோலினியர் என்றால், அது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்;
• இது திசையன் a → மற்றும் திசையன் b → இரண்டிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும், அதாவது. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• அதன் நீளம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• திசையன்களின் மும்மடங்கு a →, b →, c → ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அதே நோக்குநிலையைக் கொண்டுள்ளன.

திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு a → மற்றும் b → பின்வரும் குறியீட்டைக் கொண்டுள்ளது: a → × b →.

திசையன் தயாரிப்பு ஒருங்கிணைப்புகள்

எந்தவொரு திசையனும் ஆய அமைப்பில் சில ஆயங்களைக் கொண்டிருப்பதால், குறுக்கு உற்பத்தியின் இரண்டாவது வரையறையை அறிமுகப்படுத்த முடியும், இது திசையன்களின் கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொகுப்புகளால் அதன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும்.

வரையறை 2

முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு a → = (a x; a y; a z) மற்றும் b → = (b x; b y; b z) திசையன் c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, இங்கு i →, j →, k → ஆய திசையன்கள்.

திசையன் உற்பத்தியானது மூன்றாம் வரிசையின் சதுர மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பவராகக் குறிப்பிடப்படலாம், அங்கு முதல் வரிசையானது அலகு திசையன்களின் திசையன்கள் i →, j →, k →, இரண்டாவது வரிசையில் திசையன் a →, மற்றும் மூன்றாவதாக கொடுக்கப்பட்ட செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள திசையன் b → இன் ஆயத்தொலைவுகள், அணியின் இந்த தீர்மானிப்பான் இப்படித் தெரிகிறது: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

முதல் வரிசையின் உறுப்புகளுக்கு மேல் இந்த தீர்மானிப்பான் விரிவடைந்து, நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → = + axayb → → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

திசையன் தயாரிப்பு பண்புகள்

ஆயத்தொலைவுகளில் உள்ள திசையன் உற்பத்தியானது அணி c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, பின்னர் அதன் அடிப்படையில் குறிப்பிடப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பவரின் பண்புகள்பின்வருவனவற்றைக் காட்டுகிறது திசையன் தயாரிப்பு பண்புகள்:

1. எதிர்மாற்றம் a → × b → = - b → × a →;
2. விநியோகம் a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → அல்லது a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. அசோசியேட்டிவிட்டி λ a → × b → = λ a → × b → அல்லது a → × (λ b →) = λ a → × b →, இதில் λ என்பது தன்னிச்சையான உண்மையான எண்.

இந்த பண்புகள் நிரூபிக்க கடினமாக இல்லை.

உதாரணமாக, ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் பரிமாற்ற எதிர்ப்பு பண்புகளை நாம் நிரூபிக்க முடியும்.

மாற்றத்திற்கு எதிரான சான்று

வரையறையின்படி, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z மற்றும் b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. மேட்ரிக்ஸின் இரண்டு வரிசைகள் மறுசீரமைக்கப்பட்டால், மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பவரின் மதிப்பு எதிர்மாறாக மாற வேண்டும், எனவே, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybza - b → × a →, இது திசையன் தயாரிப்பின் மாற்றத்திற்கு எதிரான தன்மையை நிரூபிக்கிறது.

திசையன் தயாரிப்பு - எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகள்

பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், மூன்று வகையான பணிகள் உள்ளன.

முதல் வகை சிக்கல்களில், இரண்டு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பொதுவாக கொடுக்கப்படுகின்றன, ஆனால் நீங்கள் குறுக்கு உற்பத்தியின் நீளத்தை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

எடுத்துக்காட்டு 1

உங்களுக்கு a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 தெரிந்தால் a → மற்றும் b → திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

a → மற்றும் b → திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தை தீர்மானிப்பதன் மூலம் இந்த சிக்கலை தீர்க்கிறோம்: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

பதில்: 15 2 2 .

இரண்டாவது வகையின் சிக்கல்கள் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் தொடர்பைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றில் குறுக்கு தயாரிப்பு, அதன் நீளம் போன்றவை. கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் அறியப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் தேடப்படுகின்றன a → = (a x; a y; a z) மற்றும் b → = (b x; b y; b z) .

இந்த வகை பணிக்கு, பணிகளுக்கான பல விருப்பங்களை நீங்கள் தீர்க்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, a → மற்றும் b → திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளை வழங்க முடியாது, ஆனால் வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பு திசையன்களில் அவற்றின் விரிவாக்கங்கள் b → = b x i → + b y j → + b z k → மற்றும் c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, அல்லது திசையன்கள் a → மற்றும் b → குறிப்பிடலாம் அவற்றின் தொடக்க மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகளால்.

பின்வரும் உதாரணங்களைக் கவனியுங்கள்.

உதாரணம் 2

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு திசையன்கள் a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவர்களின் குறுக்கு தயாரிப்புகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

இரண்டாவது வரையறையின்படி, கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்களில் இரண்டு திசையன்களின் வெக்டார் உற்பத்தியைக் காண்கிறோம்: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் மூலம் திசையன் தயாரிப்பை எழுதினால், இந்த எடுத்துக்காட்டின் தீர்வு இப்படி இருக்கும்: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

பதில்: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

எடுத்துக்காட்டு 3

i → - j → மற்றும் i → + j → + k → ஆகிய திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும், இதில் i →, j →, k → ஆகியவை செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அலகு திசையன்களாகும்.

தீர்வு

முதலில், கொடுக்கப்பட்ட செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட திசையன் தயாரிப்பு i → - j → × i → + j → + k → இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்.

திசையன்கள் i → - j → மற்றும் i → + j → + k → ஆகியவை முறையே (1; - 1; 0) மற்றும் (1; 1; 1) ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளன என்பது அறியப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரைப் பயன்படுத்தி திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம், பின்னர் நாம் i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

எனவே, திசையன் தயாரிப்பு i → - j → × i → + j → + k → கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஆய (- 1; - 1; 2) உள்ளது.

சூத்திரத்தின் மூலம் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் காண்கிறோம் (வெக்டரின் நீளத்தைக் கண்டறிவதற்கான பகுதியைப் பார்க்கவும்): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

பதில்: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ஆகிய மூன்று புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரே நேரத்தில் A B → மற்றும் A C → க்கு செங்குத்தாக சில திசையன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

திசையன்கள் A B → மற்றும் A C → ஆகியவை முறையே பின்வரும் ஆய (- 1; 2; 2) மற்றும் (0; 4; 1) உள்ளன. A B → மற்றும் A C → திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியைக் கண்டறிந்த பிறகு, இது A B → மற்றும் A C → இரண்டிற்கும் ஒரு செங்குத்து திசையன் என்பது தெளிவாகிறது, அதாவது, இது எங்கள் பிரச்சனைக்கு ஒரு தீர்வாகும். அதை A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → என்று கண்டுபிடிப்போம்.

பதில்: - 6 i → + j → - 4 k →. - செங்குத்து திசையன்களில் ஒன்று.

மூன்றாவது வகையின் சிக்கல்கள் திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதில் கவனம் செலுத்துகின்றன. விண்ணப்பித்த பிறகு, கொடுக்கப்பட்ட பிரச்சனைக்கு தீர்வு கிடைக்கும்.

உதாரணம் 5

திசையன்கள் a → மற்றும் b → செங்குத்தாக உள்ளன மற்றும் அவற்றின் நீளம் முறையே 3 மற்றும் 4 ஆகும். திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

தீர்வு

ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் விநியோகத் தன்மையின் மூலம், நாம் 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 என்று எழுதலாம். a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

அசோசியேட்டிவிட்டியின் சொத்தின் மூலம், கடைசி வெளிப்பாட்டில் வெக்டார் தயாரிப்புகளின் அடையாளத்திற்கு வெளியே எண் குணகங்களை நகர்த்துகிறோம்: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

திசையன் தயாரிப்புகள் a → × a → மற்றும் b → × b → 0 ஆகும், ஏனெனில் a → × a → = a → a → sin 0 = 0 மற்றும் b → × b → = b → b → sin 0 = 0, பின்னர் 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

திசையன் உற்பத்தியின் ஆன்டிகம்யூடாட்டிவிட்டி - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவம் 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b →.

கருதுகோள் மூலம், a → மற்றும் b → திசையன்கள் செங்குத்தாக உள்ளன, அதாவது அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் π 2 ஆகும். இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை தொடர்புடைய சூத்திரங்களில் மாற்றுவதற்கு மட்டுமே உள்ளது: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · பாவம் (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

பதில்: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் இரு பக்கங்களின் நீளத்தின் பாதிப் பெருக்கத்திற்கு சமம் என்பது ஏற்கனவே அறியப்பட்டிருப்பதால், இந்த பக்கங்களுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைனால் பெருக்கப்படுகிறது. எனவே, திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்கும் - இரட்டிப்பான முக்கோணம், அதாவது திசையன்கள் வடிவில் பக்கங்களின் தயாரிப்பு a → மற்றும் b →, ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒதுக்கி, சைன் மூலம் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணம் பாவம் ∠ a →, b →.

இது திசையன் தயாரிப்பின் வடிவியல் பொருள்.

திசையன் தயாரிப்பின் இயற்பியல் பொருள்

இயக்கவியலில், இயற்பியலின் கிளைகளில் ஒன்று, திசையன் தயாரிப்புக்கு நன்றி, விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியுடன் தொடர்புடைய சக்தியின் தருணத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும்.

வரையறை 3

புள்ளி B க்கு F → பயன்படுத்தப்படும் விசையின் கணம், A புள்ளியுடன் தொடர்புடையது, பின்வரும் திசையன் தயாரிப்பு A B → × F → என்று அர்த்தம்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதைத் தேர்ந்தெடுத்து Ctrl + Enter ஐ அழுத்தவும்

மூன்று திசையன்கள் மற்றும் அதன் பண்புகளின் கலவையான தயாரிப்பு

கலப்பு வேலைமூன்று திசையன்கள் சமமான எண் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. குறிக்கப்பட்டது ... இங்கு முதல் இரண்டு வெக்டார்களும் வெக்டோரியலாகப் பெருக்கப்படுகின்றன, அதன் பிறகு உருவாகும் திசையன் மூன்றாவது திசையனால் அளவிடப்படும். வெளிப்படையாக, அத்தகைய தயாரிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்.

கலப்பு உற்பத்தியின் பண்புகளைக் கவனியுங்கள்.

1. வடிவியல் பொருள்கலப்பு வேலை. 3 வெக்டார்களின் கலப்புப் பலன், ஒரு அடையாளம் வரை, இந்த வெக்டார்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணை குழாய்களின் தொகுதிக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது விளிம்புகளில் உள்ளது. ...

   இவ்வாறு, மற்றும் .

   

   ஆதாரம்... பொதுவான தோற்றத்திலிருந்து திசையன்களை ஒதுக்கி, அவற்றின் மீது ஒரு இணையான பைப்பை உருவாக்கவும். அதைக் குறிப்போம், குறிப்போம். புள்ளி தயாரிப்பின் வரையறையின்படி

   என்று அனுமானித்து குறிப்பது ம parallelepiped உயரம், நாம் கண்டுபிடிக்க.

   இவ்வாறு, க்கான

   என்றால், பின்னர் மற்றும். எனவே, .

   இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளையும் இணைத்து, நாம் பெறுகிறோம் அல்லது.

   குறிப்பாக, திசையன்களின் மும்மடங்கு சரியாக இருந்தால், அது ஒரு கலப்பு தயாரிப்பு என்றும், அதை விட்டுவிட்டால், அதுவும் இந்த சொத்தின் ஆதாரத்திலிருந்து பின்வருமாறு.

2. எந்த திசையன்களுக்கும், சமத்துவம்

   இந்தச் சொத்தின் ஆதாரம் சொத்தில் இருந்து பின்பற்றப்படுகிறது 1. உண்மையில், அதைக் காண்பிப்பது எளிது மற்றும். மேலும், "+" மற்றும் "-" அறிகுறிகள் ஒரே நேரத்தில் எடுக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் திசையன்கள் மற்றும் மற்றும் மற்றும் இடையே உள்ள கோணங்கள் கடுமையான அல்லது மழுங்கியவை.

3. இரண்டு காரணிகளின் வரிசைமாற்றத்தின் போது, ​​கலப்பு தயாரிப்பு அடையாளத்தை மாற்றுகிறது.

   உண்மையில், ஒரு கலவையான வேலையை நாம் கருத்தில் கொண்டால், உதாரணமாக, அல்லது

4. காரணிகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் அல்லது திசையன்கள் கோப்லனராக இருந்தால் மட்டுமே கலப்பு தயாரிப்பு.

   ஆதாரம்.

   எனவே, 3 திசையன்களின் கோப்லானாரிட்டிக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை அவற்றின் கலப்பு உற்பத்தியின் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். கூடுதலாக, மூன்று திசையன்கள் விண்வெளியில் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன.

   திசையன்கள் ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் கலவையான தயாரிப்பு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது என்பதைக் காட்டலாம்:

   .

   எனவே, கலப்பு தயாரிப்பு மூன்றாவது வரிசையின் தீர்மானிப்பிற்கு சமம், இதில் முதல் வரியில் முதல் திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள் உள்ளன, இரண்டாவது வரியில் இரண்டாவது திசையனின் ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன, மூன்றாவது வரிசையில் மூன்றாவது திசையன் உள்ளது.

   எடுத்துக்காட்டுகள்.

விண்வெளியில் பகுப்பாய்வு வடிவியல்

சமன்பாடு F (x, y, z)= 0 விண்வெளியில் வரையறுக்கிறது ஆக்ஸிஸ்சில மேற்பரப்பு, அதாவது. ஆய புள்ளிகளின் இருப்பிடம் x, y, zஇந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தவும். இந்த சமன்பாடு மேற்பரப்பின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மற்றும் x, y, z- தற்போதைய ஒருங்கிணைப்புகள்.

இருப்பினும், பெரும்பாலும் மேற்பரப்பு ஒரு சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்படவில்லை, ஆனால் இந்த அல்லது அந்த சொத்தை கொண்ட விண்வெளியில் புள்ளிகளின் தொகுப்பாக உள்ளது. இந்த வழக்கில், அதன் வடிவியல் பண்புகளின் அடிப்படையில் மேற்பரப்பின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும்.

விமானம்.

சாதாரண விமான திசையன்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் மூலம் ஒரு விமானம் கடந்து செல்வதற்கான சமன்பாடு

விண்வெளியில் ஒரு தன்னிச்சையான விமானத்தை σ கருதுங்கள். இந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு திசையன் மற்றும் சில நிலையான புள்ளியைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் அதன் நிலை தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எம் 0(x 0, y 0, z 0) விமானத்தில் கிடக்கிறது σ.

σ விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு திசையன் அழைக்கப்படுகிறது சாதாரணஇந்த விமானத்தின் திசையன். வெக்டருக்கு ஆயத்தொலைவுகள் இருக்கட்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானம் σ சமன்பாட்டைப் பெறுவோம் எம் 0மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் உள்ளது. இதைச் செய்ய, σ விமானத்தில் தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுக்கவும் எம் (x, y, z)மற்றும் ஒரு திசையன் கருதுகின்றனர்.

எந்த புள்ளிக்கும் எம்Î σ என்பது ஒரு திசையன்.எனவே, அவற்றின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இந்த சமத்துவம்தான் அந்த நிபந்தனை எம்Î σ. இந்த விமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் இது செல்லுபடியாகும் மற்றும் புள்ளியில் விரைவில் மீறப்படுகிறது எம்σ விமானத்திற்கு வெளியே இருக்கும்.

புள்ளியின் ஆரம் திசையன் மூலம் நாம் குறிப்பதால் எம், புள்ளியின் ஆரம் திசையன் எம் 0, பின்னர் சமன்பாட்டை வடிவத்திலும் எழுதலாம்

இந்த சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது திசையன்விமானத்தின் சமன்பாடு. அதை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் எழுதுவோம். அன்றிலிருந்து

எனவே, இந்த புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெற்றோம். எனவே, விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்க, நீங்கள் சாதாரண திசையன் மற்றும் விமானத்தில் இருக்கும் சில புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

விமானத்தின் சமன்பாடு தற்போதைய ஆயங்களை பொறுத்து 1 வது பட்டத்தின் சமன்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்க. x, yமற்றும் z.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு

கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகளைப் பொறுத்து முதல் பட்டத்தின் எந்தச் சமன்பாடும் என்பதைக் காட்டலாம் x, y, zஒரு குறிப்பிட்ட விமானத்தின் சமன்பாடு ஆகும். இந்த சமன்பாடு இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

Ax + By + Cz + D=0

மற்றும் அழைத்தார் பொது சமன்பாடுவிமானம் மற்றும் ஆயத்தொலைவுகள் ஏ, பி, சிவிமானத்தின் சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் இங்கே உள்ளன.

பொது சமன்பாட்டின் சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கவனியுங்கள். சமன்பாட்டின் ஒன்று அல்லது பல குணகங்கள் மறைந்துவிட்டால், ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் ஒப்பிடும்போது விமானம் எவ்வாறு அமைந்துள்ளது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

A என்பது அச்சில் உள்ள விமானத்தால் வெட்டப்பட்ட கோட்டின் நீளம் எருது... அதேபோல, அதையும் காட்டலாம் பிமற்றும் c- அச்சுகளில் கேள்விக்குரிய விமானத்தால் துண்டிக்கப்பட்ட பகுதிகளின் நீளம் ஓமற்றும் ஓஸ்.

விமானங்களை உருவாக்க கோடு பிரிவுகளில் விமான சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது.

7.1 குறுக்கு தயாரிப்பு வரையறை

மூன்று கோப்லானர் அல்லாத திசையன்கள் a, b மற்றும் c, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வரிசையில் எடுக்கப்பட்டால், மூன்றாவது திசையன் c இன் முடிவில் இருந்து முதல் திசையன் a இலிருந்து இரண்டாவது திசையன் b வரை குறுகிய சுழற்சியை எதிரெதிர் திசையில் காணப்பட்டால், வலது மும்மடங்காக மாறும். , கடிகார திசையில் இருந்தால் (படம். 16 ஐப் பார்க்கவும்).

ஒரு திசையன் b மூலம் ஒரு திசையன் a இன் திசையன் தயாரிப்பு ஒரு திசையன் c ஆகும், இது:

1. திசையன்கள் a மற்றும் b க்கு செங்குத்தாக, அதாவது c ^ a மற்றும் c ^ b;

2. திசையன்கள் a மற்றும் ஆகியவற்றில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமான நீளம் உள்ளதுபிபக்கங்களிலும் (படம் 17 ஐப் பார்க்கவும்), அதாவது.

3. திசையன்கள் a, b மற்றும் c ஆகியவை வலது கை மும்மடங்காக அமைகின்றன.

குறுக்கு தயாரிப்பு ஒரு x b அல்லது [a, b] குறிக்கப்படுகிறது. திசையன் உற்பத்தியின் வரையறை நேரடியாக திசையன்களுக்கு இடையேயான பின்வரும் உறவுகளை குறிக்கிறது i, ஜேமற்றும் கே(படம் 18 ஐப் பார்க்கவும்):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
உதாரணமாக, அதை நிரூபிப்போம் i хj = k.

1) கே ^ ஐ, கே ^ j;

2) | கே | = 1, ஆனால் | i x j| = | நான் | ஜே | பாவம் (90 °) = 1;

3) திசையன்கள் i, j மற்றும் கேவலது கை மும்மூர்த்திகளை உருவாக்கவும் (படம் 16 ஐப் பார்க்கவும்).

7.2 திசையன் தயாரிப்பு பண்புகள்

1. காரணிகள் மறுசீரமைக்கப்படும் போது, ​​திசையன் தயாரிப்பு மாறுகிறது அடையாளம்; a хb = (b хa) (படம் 19 ஐப் பார்க்கவும்).

திசையன்கள் a xb மற்றும் b ஆகியவை கோலினியர், ஒரே மாதிரியான மாடுலிகளைக் கொண்டிருக்கின்றன (இணையான வரைபடப் பகுதி மாறாமல் உள்ளது), ஆனால் எதிர் திசைகள் (டிரிபிள்ஸ் a, b, a xb மற்றும் a, b, b x a எதிர் நோக்குநிலை). அது ஒரு எக்ஸ்பி = -(b xa).

2. வெக்டார் தயாரிப்பு, அளவிடல் காரணியைப் பொறுத்தமட்டில் கூட்டுப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

l> 0 ஐ விடுங்கள். திசையன் l (a xb) திசையன்கள் a மற்றும் b க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. வெக்டர் ( எல் a) x பி a மற்றும் திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது பி(திசையன்கள் a, எல்மற்றும் அதே விமானத்தில் பொய்). எனவே திசையன்கள் எல்(a xb) மற்றும் ( எல் a) x பிகோலினியர். வெளிப்படையாக, அவர்களின் திசைகள் ஒத்துப்போகின்றன. ஒரே நீளத்தைக் கொண்டிருங்கள்:

அதனால் தான் எல்(a хb) = எல்ஒரு xb. அதை இதேபோல் நிரூபிக்க முடியும் எல்<0.

3. இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் a மற்றும் பிகோலினியர் என்றால் மற்றும் அவற்றின் குறுக்கு தயாரிப்பு பூஜ்ஜிய திசையன் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது a || b<=>ஒரு xb = 0.

குறிப்பாக, i * i = j * j = k * k = 0.

4. திசையன் தயாரிப்பு விநியோக பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

(a + b) xc = a xc + பி xc

ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்வோம்.

7.3. ஆயங்களின் அடிப்படையில் குறுக்கு உற்பத்தியின் வெளிப்பாடு

திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவோம் i, ஜேமற்றும் கே:

முதல் திசையன் முதல் இரண்டாவது வரையிலான குறுகிய பாதையின் திசையானது அம்புக்குறியின் திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது என்றால், தயாரிப்பு மூன்றாவது திசையனுக்கு சமமாக இருக்கும், இல்லையெனில், மூன்றாவது திசையன் கழித்தல் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்படுகிறது.

இரண்டு திசையன்கள் a = a x i + a y கொடுக்கப்பட வேண்டும் ஜே+ a z கேமற்றும் b = b x நான்+ பி ஒய் ஜே+ b z கே... இந்த திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியைக் கண்டுபிடிப்போம், அவற்றைப் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகப் பெருக்குவோம் (குறுக்கு உற்பத்தியின் பண்புகளின்படி):

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரத்தை இன்னும் சுருக்கமாக எழுதலாம்:

சமத்துவத்தின் வலது புறம் (7.1) முதல் வரிசையின் கூறுகளின் அடிப்படையில் மூன்றாம் வரிசை நிர்ணயியின் விரிவாக்கத்திற்கு ஒத்திருப்பதால், சமத்துவம் (7.2) நினைவில் கொள்வது எளிது.

7.4 திசையன் வேலையின் சில பயன்பாடுகள்

கோலினியர் வெக்டார்களை நிறுவுதல்

ஒரு இணையான வரைபடம் மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிதல்

திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் வரையறையின்படி அமற்றும் பி ஒரு xb | =| ஒரு | * | b | sin g, அதாவது S ஜோடிகள் = | a x b |. எனவே, D S = 1/2 | a x b |.

ஒரு புள்ளியுடன் தொடர்புடைய சக்தியின் தருணத்தை தீர்மானித்தல்

A புள்ளியில் ஒரு சக்தியைப் பயன்படுத்துவோம் F = ABஅதை விடு ஓ- விண்வெளியில் சில புள்ளிகள் (படம் 20 ஐப் பார்க்கவும்).

என்பது இயற்பியல் மூலம் அறியப்படுகிறது சக்தியின் தருணம் எஃப் புள்ளியுடன் தொடர்புடையது ஓதிசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது எம்,புள்ளி வழியாக செல்கிறது ஓமற்றும்:

1) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஓ, ஏ, பி;

2) தோள்பட்டை ஒன்றுக்கு விசையின் உற்பத்திக்கு எண்ணியல் சமம்

3) OA மற்றும் AB ஆகிய திசையன்களுடன் வலது மும்மடங்கை உருவாக்குகிறது.

எனவே, M = OA x F.

சுழற்சியின் நேரியல் வேகத்தைக் கண்டறிதல்

வேகம் vகோண வேகத்துடன் சுழலும் ஒரு திடமான உடலின் புள்ளி M டபிள்யூஒரு நிலையான அச்சைச் சுற்றி, ஆய்லர் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது v = w хr, இங்கு r = ОМ, О என்பது அச்சின் சில நிலையான புள்ளியாகும் (படம் 21 ஐப் பார்க்கவும்).

இந்த பாடத்தில், மேலும் இரண்டு திசையன் செயல்பாடுகளைப் பார்ப்போம்: திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்புமற்றும் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு (உடனடியாக இணைப்பு, யாருக்கு தேவை)... பரவாயில்லை, சில சமயங்களில் முழுமையான மகிழ்ச்சிக்காக, கூடுதலாக நடக்கும் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு, அது மேலும் மேலும் எடுக்கும். வெக்டர் அடிமைத்தனம் அப்படி. நாம் பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் காட்டுக்குள் வருகிறோம் என்ற எண்ணம் ஒருவருக்கு வரலாம். இது உண்மையல்ல. உயர் கணிதத்தின் இந்த பிரிவில், புராட்டினோவுக்கு போதுமான விறகு இருப்பதைத் தவிர, போதுமான விறகு இல்லை. உண்மையில், பொருள் மிகவும் பொதுவானது மற்றும் எளிமையானது - அதே விட மிகவும் சிக்கலானது அளவிடல் தயாரிப்பு, வழக்கமான பணிகள் கூட சிறியதாக இருக்கும். பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் முக்கிய விஷயம், பலர் நம்புவார்கள் அல்லது ஏற்கனவே நம்பியிருப்பார்கள், கணக்கீடுகளில் தவறாக இருக்கக்கூடாது. ஒரு மந்திரமாக மீண்டும் செய்யவும், நீங்கள் மகிழ்ச்சியாக இருப்பீர்கள் =)

அடிவானத்தில் மின்னலைப் போல, திசையன்கள் எங்காவது தொலைவில் பிரகாசித்தால், பரவாயில்லை, பாடத்துடன் தொடங்குங்கள் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்திசையன்களைப் பற்றிய அடிப்படை அறிவை மீட்டெடுக்க அல்லது மீட்டெடுக்க. மேலும் தயாரிக்கப்பட்ட வாசகர்கள் தகவல்களைத் தேர்ந்தெடுத்துப் பற்றி அறிந்து கொள்ளலாம், நடைமுறைப் படைப்புகளில் அடிக்கடி காணப்படும் எடுத்துக்காட்டுகளின் முழுமையான தொகுப்பை சேகரிக்க முயற்சித்தேன்.

உடனடியாக உங்களை எப்படி மகிழ்விப்பது? நான் சிறுவனாக இருந்தபோது, ​​இரண்டு அல்லது மூன்று பந்துகளை எப்படி ஏமாற்றுவது என்று எனக்குத் தெரியும். சாமர்த்தியமாக அது மாறியது. நாங்கள் பரிசீலிப்போம் என்பதால் இப்போது நீங்கள் ஏமாற்று வித்தை செய்ய வேண்டியதில்லை இடஞ்சார்ந்த திசையன்கள் மட்டுமே, மற்றும் இரண்டு ஆயங்களைக் கொண்ட விமான திசையன்கள் வெளியேறும். ஏன்? இந்த செயல்கள் இப்படித்தான் பிறந்தன - திசையன்களின் திசையன் மற்றும் கலப்பு தயாரிப்பு வரையறுக்கப்பட்டு முப்பரிமாண இடத்தில் வேலை செய்கிறது. இது ஏற்கனவே எளிதானது!

இந்தச் செயல்பாடு, டாட் தயாரிப்பைப் போலவே, இதில் அடங்கும் இரண்டு திசையன்கள்... இவை அழியாத எழுத்துக்களாக இருக்கட்டும்.

செயல் தானே குறிக்கப்பட்டதுபின்வரும் வழியில்: . வேறு விருப்பங்கள் உள்ளன, ஆனால் திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியை சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் குறுக்குவெட்டுடன் குறிக்கப் பழகிவிட்டேன்.

மற்றும் உடனடியாக கேள்வி: உள்ளே இருந்தால் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்புஇரண்டு திசையன்கள் ஈடுபட்டுள்ளன, இங்கேயும் இரண்டு திசையன்கள் பெருக்கப்படுகின்றன என்ன வேறுபாடு உள்ளது? வெளிப்படையான வேறுபாடு என்னவென்றால், முதலில், விளைவாக:

திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தின் முடிவு NUMBER:

திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு ஒரு VECTOR இல் விளைகிறது:, அதாவது, நாம் திசையன்களைப் பெருக்கி மீண்டும் ஒரு திசையன் பெறுகிறோம். மூடப்பட்ட கிளப். உண்மையில், எனவே அறுவை சிகிச்சையின் பெயர். வெவ்வேறு கல்வி இலக்கியங்களில், பதவிகளும் மாறுபடலாம், நான் கடிதத்தைப் பயன்படுத்துவேன்.

குறுக்கு தயாரிப்பு வரையறை

முதலில் ஒரு படத்துடன் ஒரு வரையறை இருக்கும், பின்னர் கருத்துகள்.

வரையறை: திசையன் தயாரிப்பு மூலம் கோலினியர் அல்லாததிசையன்கள், இந்த வரிசையில் எடுக்கப்பட்டது, VECTOR எனப்படும், நீளம்இது எண்ணிக்கையில் இணையான வரைபடத்தின் பகுதிக்கு சமம்இந்த திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்டது; திசையன் திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல், மற்றும் அடிப்படை சரியான நோக்குநிலையைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் இயக்கப்படுகிறது:

எலும்புகள் மூலம் வரையறையை அலசுகிறோம், பல சுவாரஸ்யமான விஷயங்கள் உள்ளன!

எனவே, பின்வரும் முக்கியமான புள்ளிகளை முன்னிலைப்படுத்தலாம்:

1) அசல் திசையன்கள், வரையறையின்படி சிவப்பு அம்புகளால் குறிக்கப்படுகின்றன கோலினியர் அல்ல... கோலினியர் திசையன்களின் விஷயத்தை சிறிது நேரம் கழித்து கருத்தில் கொள்வது பொருத்தமானதாக இருக்கும்.

2) திசையன்கள் எடுக்கப்படுகின்றன கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையில்: – "A" என்பது "bh" ஆல் பெருக்கப்படுகிறது, மற்றும் "bh" முதல் "a" வரை அல்ல. திசையன் பெருக்கத்தின் முடிவுநீல நிறத்தில் குறிக்கப்பட்ட VECTOR ஆகும். திசையன்கள் தலைகீழ் வரிசையில் பெருக்கப்பட்டால், நாம் ஒரு திசையன் நீளம் மற்றும் எதிர் திசையில் (கிரிம்சன் நிறம்) சமமாக பெறுகிறோம். அதாவது சமத்துவம் என்பது உண்மை .

3) இப்போது திசையன் தயாரிப்பின் வடிவியல் பொருளைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். இது ஒரு மிக முக்கியமான புள்ளி! நீல திசையன் (மற்றும், அதனால், கருஞ்சிவப்பு திசையன்) நீளமானது, திசையன்களில் கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பகுதிக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமம். படத்தில், இந்த இணையான வரைபடம் கருப்பு நிறத்தில் நிழலிடப்பட்டுள்ளது.

குறிப்பு : வரைதல் திட்டவட்டமானது, மற்றும், நிச்சயமாக, குறுக்கு உற்பத்தியின் பெயரளவு நீளம் இணையான வரைபடத்தின் பகுதிக்கு சமமாக இருக்காது.

வடிவியல் சூத்திரங்களில் ஒன்றை நாங்கள் நினைவுபடுத்துகிறோம்: ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைன் மூலம் அருகிலுள்ள பக்கங்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்... எனவே, மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், திசையன் தயாரிப்பின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்:

சூத்திரத்தில் நாம் திசையன் நீளத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம், திசையன் பற்றி அல்ல என்பதை நான் வலியுறுத்துகிறேன். நடைமுறைப் புள்ளி என்ன? இதன் பொருள் என்னவென்றால், பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களில், ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பகுதி பெரும்பாலும் ஒரு திசையன் தயாரிப்பு என்ற கருத்து மூலம் காணப்படுகிறது:

இரண்டாவது முக்கியமான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டமானது (சிவப்பு புள்ளியிடப்பட்ட கோடு) அதை இரண்டு சமமான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது. எனவே, திசையன்கள் (சிவப்பு நிழல்) மீது கட்டப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை சூத்திரம் மூலம் காணலாம்:

4) ஒரு சமமான முக்கியமான உண்மை என்னவென்றால், திசையன் திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும், அதாவது ... நிச்சயமாக, எதிர் திசையன் (கிரிம்சன் அம்பு) அசல் திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும்.

5) திசையன் அவ்வாறு இயக்கப்படுகிறது அடிப்படையில்அது உள்ளது சரிநோக்குநிலை. பற்றி பாடத்தில் ஒரு புதிய அடிப்படைக்கு மாற்றம்பற்றி போதுமான விவரமாகப் பேசினேன் விமான நோக்குநிலை, இப்போது விண்வெளியின் நோக்குநிலை என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். உங்கள் விரல்களில் விளக்குகிறேன் வலது கை... மனதளவில் இணைக்கவும் ஆள்காட்டி விரல்திசையன் மற்றும் நடு விரல்வெக்டருடன். மோதிர விரல் மற்றும் இளஞ்சிவப்புஉள்ளங்கைக்கு அழுத்தவும். அதன் விளைவாக கட்டைவிரல்- குறுக்கு தயாரிப்பு மேலே பார்க்கும். இது சரியான அடிப்படையிலானது (படத்தில் அதுதான்). இப்போது திசையன்களை மாற்றவும் ( ஆள்காட்டி மற்றும் நடுத்தர விரல்கள்) இடங்களில், இதன் விளைவாக, கட்டைவிரல் விரிவடையும், மற்றும் குறுக்கு தயாரிப்பு ஏற்கனவே கீழே இருக்கும். இதுவும் வலதுசாரி அடிப்படையாகும். ஒருவேளை உங்களுக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கலாம்: இடது நோக்குநிலையின் அடிப்படை என்ன? அதே விரல்களுக்கு "ஒதுக்க" இடது கைதிசையன்கள், மற்றும் இடத்தின் இடது அடிப்படை மற்றும் இடது நோக்குநிலையைப் பெறுங்கள் (இந்த வழக்கில், கட்டைவிரல் கீழ் திசையன் திசையில் அமைந்திருக்கும்)... உருவகமாகச் சொன்னால், இந்த தளங்கள் வெவ்வேறு திசைகளில் இடத்தை "முறுக்குகின்றன" அல்லது நோக்குநிலைப்படுத்துகின்றன. இந்த கருத்தை தொலைதூர அல்லது சுருக்கமாக கருதக்கூடாது - எடுத்துக்காட்டாக, விண்வெளியின் நோக்குநிலை மிகவும் சாதாரண கண்ணாடியால் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் நீங்கள் "பார்க்கும் கண்ணாடியிலிருந்து பிரதிபலித்த பொருளை வெளியே இழுத்தால்", பொதுவாக அது அதை "அசல்" உடன் இணைக்க முடியாது. மூலம், கண்ணாடியில் மூன்று விரல்களைக் கொண்டு வந்து பிரதிபலிப்பைப் பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள் ;-)

... இப்போது நீங்கள் அறிந்திருப்பது எவ்வளவு நல்லது வலது மற்றும் இடது சார்ந்தஅடிப்படைகள், ஏனெனில் நோக்குநிலை மாற்றம் பற்றி சில விரிவுரையாளர்களின் அறிக்கைகள் பயங்கரமானவை =)

கோலினியர் திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு

வரையறை விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது, திசையன்கள் கோலினராக இருக்கும்போது என்ன நடக்கும் என்பதைக் கண்டறிய இது உள்ளது. திசையன்கள் கோலினியர் என்றால், அவை ஒரு நேர் கோட்டில் அமைந்திருக்கும், மேலும் நமது இணையான வரைபடமும் ஒரு நேர் கோட்டில் "மடிக்கிறது". அத்தகைய பகுதி, கணிதவியலாளர்கள் சொல்வது போல், சீரழியும்இணையான வரைபடம் பூஜ்ஜியம். சூத்திரத்தில் இருந்து இது பின்வருமாறு - பூஜ்ஜியத்தின் சைன் அல்லது 180 டிகிரி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது பரப்பளவு பூஜ்ஜியமாகும்.

இவ்வாறு, என்றால், பின்னர் மற்றும் ... குறுக்கு தயாரிப்பு பூஜ்ஜிய வெக்டருக்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் நடைமுறையில் இது பெரும்பாலும் புறக்கணிக்கப்பட்டு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று எழுதப்படுகிறது.

ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்பது ஒரு திசையனின் திசையன் தயாரிப்பு ஆகும்:

குறுக்கு தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி, முப்பரிமாண திசையன்களின் கோலினரிட்டியை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம், மேலும் இந்த சிக்கலை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவைப்படலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணைஅதிலிருந்து சைன் மதிப்புகளைக் கண்டறிய.

சரி, நெருப்பை மூட்டுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 1

a) என்றால் திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்

b) திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: இல்லை, இது எழுத்துப்பிழை அல்ல, நிபந்தனையின் உட்பிரிவுகளில் உள்ள ஆரம்பத் தரவை நான் வேண்டுமென்றே செய்தேன். ஏனெனில் தீர்வுகளின் வடிவமைப்பு வித்தியாசமாக இருக்கும்!

a) நிபந்தனையின்படி, அதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் நீளம்திசையன் (திசையன் தயாரிப்பு). தொடர்புடைய சூத்திரத்தின் படி:

பதில்:

நீளம் பற்றி கேள்வி கேட்கப்பட்டதால், பதிலில் நாம் பரிமாணத்தைக் குறிப்பிடுகிறோம் - அலகுகள்.

b) நிபந்தனையின்படி, அதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் சதுரதிசையன்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடம். இந்த இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்திற்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமம்:

பதில்:

திசையன் தயாரிப்பு பற்றிய பதில் கேள்விக்கு அப்பாற்பட்டது என்பதை நினைவில் கொள்க, எங்களிடம் கேட்கப்பட்டது உருவ பகுதி, முறையே, பரிமாணம் சதுர அலகுகள்.

நிபந்தனைக்கு என்ன தேவை என்பதை நாங்கள் எப்போதும் பார்க்கிறோம், இதன் அடிப்படையில், நாங்கள் உருவாக்குகிறோம் தெளிவானதுபதில். இது இலக்கியவாதம் போல் தோன்றலாம், ஆனால் ஆசிரியர்களிடையே போதுமான இலக்கியவாதிகள் உள்ளனர், மேலும் நல்ல வாய்ப்புகளுடன் பணி திருத்தத்திற்கு திரும்பும். இது குறிப்பாக இறுக்கமான நச்சரிப்பு இல்லை என்றாலும் - பதில் தவறாக இருந்தால், அந்த நபர் எளிய விஷயங்களைப் புரிந்து கொள்ளவில்லை மற்றும் / அல்லது பணியின் சாராம்சத்தைப் புரிந்து கொள்ளவில்லை என்று தெரிகிறது. இந்த தருணத்தை எப்போதும் கட்டுப்பாட்டில் வைத்திருக்க வேண்டும், உயர் கணிதம் மற்றும் பிற பாடங்களில் ஏதேனும் சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும்.

"என்" என்ற பெரிய எழுத்து எங்கே போனது? கொள்கையளவில், இது கூடுதலாக தீர்வில் சிக்கியிருக்கலாம், ஆனால் பதிவைக் குறைக்க, நான் இதைச் செய்யவில்லை. எல்லோரும் அதைப் புரிந்துகொள்வார்கள் என்று நம்புகிறேன், மேலும் இது ஒரே விஷயத்தின் பெயராகும்.

நீங்களே செய்யக்கூடிய தீர்வுக்கான பிரபலமான எடுத்துக்காட்டு:

உதாரணம் 2

திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்

குறுக்கு தயாரிப்பு மூலம் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் வரையறைக்கான கருத்துகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பாடத்தின் முடிவில் தீர்வு மற்றும் பதில்.

நடைமுறையில், பணி மிகவும் பொதுவானது, முக்கோணங்கள் பொதுவாக உங்களை சித்திரவதை செய்யலாம்.

பிற சிக்கல்களைத் தீர்க்க, நமக்குத் தேவை:

திசையன் தயாரிப்பு பண்புகள்

குறுக்கு தயாரிப்பின் சில பண்புகளை நாங்கள் ஏற்கனவே கருத்தில் கொண்டுள்ளோம், இருப்பினும், அவற்றை இந்த பட்டியலில் சேர்ப்பேன்.

தன்னிச்சையான திசையன்கள் மற்றும் தன்னிச்சையான எண்ணுக்கு, பின்வரும் பண்புகள் செல்லுபடியாகும்:

1) பிற தகவல் ஆதாரங்களில், இந்த உருப்படி பொதுவாக பண்புகளில் முன்னிலைப்படுத்தப்படுவதில்லை, ஆனால் நடைமுறை அடிப்படையில் இது மிகவும் முக்கியமானது. அதனால் இருக்கட்டும்.

2) - சொத்து மேலே விவாதிக்கப்பட்டது, சில நேரங்களில் அது அழைக்கப்படுகிறது மாறுதல் எதிர்ப்பு... வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், திசையன்களின் வரிசை முக்கியமானது.

3) - கலவை அல்லது துணைதிசையன் தயாரிப்பு விதிகள். திசையன் தயாரிப்புக்கு வெளியே மாறிலிகள் தடையின்றி அகற்றப்படுகின்றன. உண்மையில், அவர்கள் அங்கு என்ன செய்ய வேண்டும்?

4) - விநியோகம் அல்லது விநியோகிக்கக்கூடியதிசையன் தயாரிப்பு விதிகள். அடைப்புக்குறி விரிவாக்கத்திலும் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை.

ஒரு ஆர்ப்பாட்டமாக, ஒரு சிறிய உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 3

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்

தீர்வு:நிபந்தனையின் படி, குறுக்கு உற்பத்தியின் நீளத்தை மீண்டும் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நமது சிறுபடத்தை எழுதுவோம்:

(1) துணைச் சட்டங்களின்படி, திசையன் தயாரிப்பின் மறுவிநியோகத்திலிருந்து மாறிலிகளை நகர்த்துகிறோம்.

(2) தொகுதிக்கு வெளியே மாறிலியை நகர்த்தவும், அதே நேரத்தில் தொகுதி கழித்தல் குறியை "சாப்பிடுகிறது". நீளம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.

(3) பின்வருபவை தெளிவாக உள்ளன.

பதில்:

விறகுகளை நெருப்பில் வைக்க வேண்டிய நேரம் இது.

எடுத்துக்காட்டு 4

திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும்

தீர்வு: முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது ... கேட்ச் என்னவென்றால், "tse" மற்றும் "de" ஆகிய திசையன்கள் திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்படுகின்றன. இங்குள்ள அல்காரிதம் நிலையானது மற்றும் பாடத்தின் 3 மற்றும் 4 எடுத்துக்காட்டுகளை ஓரளவு நினைவூட்டுகிறது திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு... தெளிவுக்காக, தீர்வை மூன்று நிலைகளாகப் பிரிப்போம்:

1) முதல் கட்டத்தில், திசையன் உற்பத்தியின் அடிப்படையில் திசையன் தயாரிப்பை வெளிப்படுத்துகிறோம், உண்மையில், திசையன் அடிப்படையில் வெக்டரை வெளிப்படுத்துங்கள்... நீளத்தைப் பற்றி இன்னும் ஒரு வார்த்தை கூட இல்லை!

(1) மாற்று திசையன் வெளிப்பாடுகள்.

(2) பகிர்ந்தளிப்புச் சட்டங்களைப் பயன்படுத்தி, பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல் விதியின்படி அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்துகிறோம்.

(3) துணைச் சட்டங்களைப் பயன்படுத்தி, திசையன் தயாரிப்புகளுக்கு வெளியே அனைத்து மாறிலிகளையும் நகர்த்துகிறோம். ஒரு சிறிய அனுபவத்துடன், 2 மற்றும் 3 செயல்களை ஒரே நேரத்தில் செய்ய முடியும்.

(4) ஒரு இனிமையான பண்பு காரணமாக முதல் மற்றும் கடைசி சொற்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு (பூஜ்ஜிய திசையன்) சமமாக இருக்கும். இரண்டாவது டெர்மில், வெக்டார் தயாரிப்பின் ஆன்டிகம்முடாட்டிவிட்டி பண்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

(5) இதே போன்ற விதிமுறைகளை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்.

இதன் விளைவாக, திசையன் திசையன் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்பட்டது, இது அடைய வேண்டியது:

2) இரண்டாவது கட்டத்தில், நமக்குத் தேவையான திசையன் தயாரிப்பின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த நடவடிக்கை எடுத்துக்காட்டு 3 ஐ ஒத்திருக்கிறது:

3) தேவையான முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்:

நிலைகள் 2-3 முடிவுகளை ஒரு வரியில் முடிக்க முடியும்.

பதில்:

சோதனைத் தாள்களில் கருதப்படும் சிக்கல் மிகவும் பொதுவானது, ஒரு சுயாதீனமான தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு இங்கே:

உதாரணம் 5

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்

டுடோரியலின் முடிவில் ஒரு சிறிய தீர்வு மற்றும் பதில். முந்தைய உதாரணங்களைப் படிக்கும்போது நீங்கள் எவ்வளவு கவனமாக இருந்தீர்கள் என்று பார்ப்போம் ;-)

ஆயங்களில் உள்ள திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு

சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது: தீர்மானிப்பாளரின் மேல் வரியில் நாம் ஒருங்கிணைப்பு திசையன்களை எழுதுகிறோம், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகளில் திசையன்களின் ஆயங்களை "வைத்து" வைக்கிறோம். கடுமையான வரிசையில்- முதலில் திசையன் "ve" இன் ஆயத்தொலைவுகள், பின்னர் திசையன் "டபுள்-ve" இன் ஆயத்தொலைவுகள். திசையன்களை வேறு வரிசையில் பெருக்க வேண்டும் என்றால், வரிகளும் மாற்றப்பட வேண்டும்:

எடுத்துக்காட்டு 10

பின்வரும் ஸ்பேஸ் வெக்டார்ஸ் கோலினியர் என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:
a)
b)

தீர்வு: காசோலை இந்த பாடத்தில் உள்ள அறிக்கைகளில் ஒன்றை அடிப்படையாகக் கொண்டது: திசையன்கள் கோலினியர் என்றால், அவற்றின் குறுக்கு தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (பூஜ்ஜிய திசையன்): .

அ) குறுக்கு தயாரிப்பு கண்டுபிடிக்க:

இதனால், திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல.

b) குறுக்கு தயாரிப்பு கண்டுபிடிக்க:

பதில்: அ) கோலினியர் அல்ல, ஆ)

இங்கே, ஒருவேளை, திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு பற்றிய அனைத்து அடிப்படை தகவல்களும் இருக்கலாம்.

திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு பயன்படுத்தப்படும் பல பணிகள் இல்லாததால், இந்த பிரிவு மிகப்பெரியதாக இருக்காது. உண்மையில், எல்லாமே வரையறை, வடிவியல் பொருள் மற்றும் இரண்டு வேலை சூத்திரங்களில் தங்கியிருக்கும்.

திசையன்களின் கலப்புப் பொருள் மூன்று திசையன்களின் பெருக்கமாகும்:

எனவே அவர்கள் ஒரு சிறிய ரயிலுடன் வரிசையாக நின்று காத்திருக்கிறார்கள், அவர்கள் கண்டுபிடிக்க காத்திருக்க முடியாது.

முதலில், மீண்டும் வரையறை மற்றும் படம்:

வரையறை: கலப்பு வேலை அல்லாத கோப்லனர்திசையன்கள், இந்த வரிசையில் எடுக்கப்பட்டதுஅழைக்கப்படுகிறது ஒரு parallelepiped தொகுதி, கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களில் கட்டப்பட்டது, அடிப்படை சரியாக இருந்தால் “+” அடையாளமும், அடிப்படை இடதுபுறமாக இருந்தால் “-” குறியும் வழங்கப்படும்.

வரைபடத்தை முடிப்போம். நமக்குப் புலப்படாத கோடுகள் புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டால் வரையப்படுகின்றன:

வரையறைக்குள் நுழைவோம்:

2) திசையன்கள் எடுக்கப்படுகின்றன ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில், அதாவது, தயாரிப்பில் உள்ள திசையன்களின் வரிசைமாற்றம், நீங்கள் யூகித்தபடி, விளைவுகள் இல்லாமல் போகாது.

3) வடிவியல் பொருளைப் பற்றி கருத்துத் தெரிவிக்கும் முன், நான் ஒரு தெளிவான உண்மையைக் குறிப்பிடுகிறேன்: திசையன்களின் கலப்புப் பலன் ஒரு NUMBER ஆகும்:. கல்வி இலக்கியத்தில், வடிவமைப்பு சற்றே வித்தியாசமாக இருக்கலாம், நான் ஒரு கலவையான வேலையைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறேன், மேலும் "pe" என்ற எழுத்தின் மூலம் கணக்கீடுகளின் முடிவு.

A-priory கலப்புத் தயாரிப்பு என்பது ஒரு இணையான பைப்பின் அளவுதிசையன்கள் மீது கட்டப்பட்டது (படம் சிவப்பு திசையன்கள் மற்றும் கருப்பு கோடுகளால் வரையப்பட்டுள்ளது). அதாவது, எண் இந்த இணையான பைப்பின் தொகுதிக்கு சமம்.

குறிப்பு : வரைதல் திட்டவட்டமானது.

4) அடிப்படை மற்றும் விண்வெளி நோக்குநிலை என்ற கருத்துடன் புதிதாக கவலைப்பட வேண்டாம். இறுதிப் பகுதியின் பொருள் என்னவென்றால், தொகுதியில் ஒரு கழித்தல் குறியைச் சேர்க்கலாம். எளிமையான வார்த்தைகளில், ஒரு கலவையான வேலை எதிர்மறையாக இருக்கலாம்:

திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட ஒரு இணைக் குழாய்களின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றப்படுகிறது.

இந்த கட்டுரையில், இரண்டு திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியின் கருத்தை நாம் வாழ்வோம். நாங்கள் தேவையான வரையறைகளை வழங்குவோம், திசையன் தயாரிப்பின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தை எழுதுவோம், அதன் பண்புகளை பட்டியலிட்டு நியாயப்படுத்துவோம். அதன் பிறகு, இரண்டு திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் வடிவியல் அர்த்தத்தில் நாம் வாழ்வோம் மற்றும் பல்வேறு பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

திசையன் உற்பத்தியின் வரையறை.

திசையன் தயாரிப்பை வரையறுக்கும் முன், முப்பரிமாண இடத்தில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று திசையன்களின் நோக்குநிலையைக் கண்டுபிடிப்போம்.

ஒரு புள்ளியில் இருந்து திசையன்களை ஒதுக்கி வைக்கவும். திசையன் திசையைப் பொறுத்து, மும்மடங்கு வலது அல்லது இடமாக இருக்கலாம். திசையன் முடிவில் இருந்து திசையன் இருந்து குறுகிய சுழற்சி எப்படி ஏற்படுகிறது என்று பார்ப்போம். குறுகிய சுழற்சி எதிரெதிர் திசையில் நடந்தால், மூன்று திசையன்கள் அழைக்கப்படுகிறது சரி, இல்லையெனில் - விட்டு.

இப்போது நாம் இரண்டு கோலினியர் அல்லாத திசையன்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம். திசையன்களை ஒதுக்கிவிட்டு புள்ளி A இலிருந்து ஒதுக்குவோம். மற்றும் மற்றும் இரண்டிற்கும் செங்குத்தாக சில திசையன்களை உருவாக்குவோம். வெளிப்படையாக, ஒரு வெக்டரை உருவாக்கும்போது, ​​நாம் இரண்டு விஷயங்களைச் செய்யலாம், அதற்கு ஒரு திசை அல்லது எதிர் திசையைக் கொடுக்கலாம் (விளக்கத்தைப் பார்க்கவும்).

திசையன் திசையைப் பொறுத்து, வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் வலது அல்லது இடமாக இருக்கலாம்.

எனவே வெக்டார் தயாரிப்பின் வரையறைக்கு அருகில் வந்தோம். முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு திசையன்களுக்கு இது வழங்கப்படுகிறது.

வரையறை.

இரண்டு திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்புமற்றும், முப்பரிமாண இடைவெளியின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட, திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது

திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு மற்றும் என குறிக்கப்படுகிறது.

திசையன் தயாரிப்பு ஒருங்கிணைப்புகள்.

இப்போது ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் இரண்டாவது வரையறையை வழங்குவோம், இது கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் அதன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

வரையறை.

முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு மற்றும் ஒரு திசையன், ஆய திசையன்கள் எங்கே.

இந்த வரையறை குறுக்கு தயாரிப்புகளை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் வழங்குகிறது.

மூன்றாம் வரிசையின் சதுர மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் வடிவத்தில் திசையன் தயாரிப்பைக் குறிப்பிடுவது வசதியானது, இதன் முதல் வரிசை அலகு திசையன்கள், இரண்டாவது வரிசையில் திசையன் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் மூன்றாவது ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது கொடுக்கப்பட்ட செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள திசையன்:

இந்த தீர்மானத்தை முதல் வரியின் கூறுகளால் விரிவுபடுத்தினால், ஆயத்தொலைவுகளில் திசையன் தயாரிப்பின் வரையறையிலிருந்து சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம் (தேவைப்பட்டால், கட்டுரையைப் பார்க்கவும்):

குறுக்கு தயாரிப்பின் ஒருங்கிணைப்பு வடிவம் இந்த கட்டுரையின் முதல் பத்தியில் கொடுக்கப்பட்ட வரையறையுடன் முழுமையாக ஒத்துப்போகிறது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். மேலும், குறுக்கு தயாரிப்பின் இந்த இரண்டு வரையறைகளும் சமமானவை. கட்டுரையின் முடிவில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட புத்தகத்தில் இந்த உண்மையின் ஆதாரத்தை நீங்கள் காணலாம்.

திசையன் தயாரிப்பு பண்புகள்.

ஆயத்தொகுப்புகளில் உள்ள குறுக்கு தயாரிப்பு ஒரு அணியை நிர்ணயிக்கும் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம் என்பதால், பின்வருபவை எளிதாக நியாயப்படுத்தப்படுகின்றன திசையன் தயாரிப்பு பண்புகள்:

உதாரணமாக, ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் பரிமாற்ற எதிர்ப்பு பண்புகளை நிரூபிப்போம்.

A-priory மற்றும் ... இரண்டு வரிசைகள் மாற்றப்பட்டால், மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பவரின் மதிப்பு தலைகீழாக மாறும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம், எனவே, , இது வெக்டார் தயாரிப்பின் ஆண்டி-கம்யூடேட்டிவிட்டியின் சொத்தை நிரூபிக்கிறது.

திசையன் தயாரிப்பு - எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகள்.

அடிப்படையில் மூன்று வகையான பணிகள் உள்ளன.

முதல் வகையின் சிக்கல்களில், இரண்டு திசையன்களின் நீளமும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறிய இது தேவைப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது .

உதாரணமாக.

திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும், தெரிந்தால் .

தீர்வு.

திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் மற்றும் திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் சைன் ஆகியவற்றின் உற்பத்திக்கு சமம் என்பதை நாம் வரையறையிலிருந்து அறிவோம். .

பதில்:

.

இரண்டாவது வகையின் சிக்கல்கள் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் தொடர்புடையவை, இதில் குறுக்கு தயாரிப்பு, அதன் நீளம் அல்லது வேறு ஏதாவது கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் தேடப்படுகிறது. மற்றும் .

பல்வேறு விருப்பங்கள் இங்கே சாத்தியமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளை குறிப்பிட முடியாது, ஆனால் வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பு திசையன்களில் அவற்றின் விரிவாக்கம் மற்றும், அல்லது திசையன்கள் மற்றும் அவற்றின் தொடக்க மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகளால் குறிப்பிடப்படலாம்.

வழக்கமான உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக.

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன ... அவர்களின் குறுக்கு தயாரிப்புகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

இரண்டாவது வரையறையின்படி, ஆயத்தொலைவுகளில் இரண்டு திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

க்ராஸ் புராடக்டை டிடர்மினன்ட் அடிப்படையில் எழுதினால் அதே ரிசல்ட்டுக்கு வந்திருப்போம்

பதில்:

.

உதாரணமாக.

திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் மற்றும் செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அலகு திசையன்கள் எங்கே என்பதைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

முதலில், திசையன் தயாரிப்பின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம் கொடுக்கப்பட்ட செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்.

திசையன்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகள் இருப்பதால், அதற்கேற்ப (தேவைப்பட்டால், ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள திசையன் கட்டுரை ஆயத்தொகுப்புகளைப் பார்க்கவும்), பின்னர் ஒரு குறுக்கு தயாரிப்புக்கான இரண்டாவது வரையறையின்படி நம்மிடம் உள்ளது

அதாவது, குறுக்கு தயாரிப்பு கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது.

திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தை அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலமாகக் காண்கிறோம் (வெக்டரின் நீளத்தைக் கண்டறியும் பிரிவில் ஒரு திசையனின் நீளத்திற்கான இந்த சூத்திரத்தைப் பெற்றோம்):

பதில்:

.

உதாரணமாக.

மூன்று புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. செங்குத்தாக மற்றும் அதே நேரத்தில் சில திசையன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

திசையன்கள் மற்றும் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும், முறையே (புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் திசையன்களின் ஆயங்களைக் கண்டறிவது பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியைக் கண்டறிந்தால், வரையறையின்படி அது k மற்றும் k இரண்டிற்கும் செங்குத்தாக ஒரு திசையன், அதாவது, அது நமது பிரச்சனைக்கு ஒரு தீர்வாகும். அவரைக் கண்டுபிடிப்போம்

பதில்:

- செங்குத்து திசையன்களில் ஒன்று.

மூன்றாவது வகை சிக்கல்களில், திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன் சோதிக்கப்படுகிறது. பண்புகளைப் பயன்படுத்திய பிறகு, தொடர்புடைய சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

உதாரணமாக.

திசையன்கள் மற்றும் செங்குத்தாக உள்ளன மற்றும் அவற்றின் நீளம் முறையே 3 மற்றும் 4 ஆகும். குறுக்கு உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.

ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் விநியோகத்தின் பண்பு மூலம், நாம் எழுதலாம்

சேர்க்கை சொத்தின் மூலம், கடைசி வெளிப்பாட்டில் திசையன் தயாரிப்புகளின் அடையாளத்திற்கு வெளியே உள்ள எண் குணகங்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

வெக்டார் தயாரிப்புகள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், என்பதால் மற்றும் , பிறகு .

குறுக்கு தயாரிப்பு ஆண்டிகம்யூடேட்டிவ் என்பதால், பிறகு.

எனவே, திசையன் தயாரிப்பின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் சமத்துவத்திற்கு வந்தோம் .

நிபந்தனையின்படி திசையன்கள் மற்றும் செங்குத்தாக உள்ளன, அதாவது அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் சமமாக இருக்கும். அதாவது, தேவையான நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எல்லா தரவுகளும் எங்களிடம் உள்ளன

பதில்:

.

திசையன் தயாரிப்பின் வடிவியல் பொருள்.

வரையறையின்படி, திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் ... உயர்நிலைப் பள்ளி வடிவவியல் பாடத்திலிருந்து, ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களின் நீளத்தின் பாதிப் பெருக்கத்தை அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் சைன் மூலம் நாம் அறிவோம். இதன் விளைவாக, திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் திசையன்கள் மற்றும் பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் இரு மடங்கு பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்கும், அவை ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒதுக்கி வைக்கப்பட்டால். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் மற்றும் பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் சமமாக இருக்கும். இது திசையன் தயாரிப்பின் வடிவியல் பொருள்.