திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு

திசையன்களை நாங்கள் தொடர்ந்து கையாளுகிறோம். முதல் பாடத்தில் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்வெக்டரின் கருத்து, திசையன்களுடனான செயல்கள், திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் வெக்டார்களுடன் எளிமையான பணிகள் ஆகியவற்றை நாங்கள் ஆய்வு செய்தோம். நீங்கள் தேடுபொறியிலிருந்து முதன்முறையாக இந்தப் பக்கத்திற்கு வந்தீர்கள் என்றால், மேலே உள்ள அறிமுகக் கட்டுரையைப் படிக்க நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன், ஏனென்றால் பொருள் தேர்ச்சி பெற, நான் பயன்படுத்தும் விதிமுறைகள் மற்றும் குறிப்புகளில் நீங்கள் செல்ல வேண்டும், திசையன்கள் பற்றிய அடிப்படை அறிவு மற்றும் திறன் இருக்க வேண்டும். அடிப்படை பிரச்சனைகளை தீர்க்க. இந்த பாடம் தலைப்பின் தர்க்கரீதியான தொடர்ச்சியாகும், மேலும் அதில் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு பயன்படுத்தப்படும் வழக்கமான பணிகளை விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்வேன். இது ஒரு மிக முக்கியமான செயல்பாடு.... எடுத்துக்காட்டுகளைத் தவிர்க்க முயற்சி செய்யுங்கள், அவை ஒரு பயனுள்ள போனஸுடன் உள்ளன - பயிற்சியானது நீங்கள் உள்ளடக்கிய பொருளை ஒருங்கிணைக்கவும், பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் பொதுவான சிக்கல்களுக்கான தீர்வைப் பெறவும் உதவும்.

திசையன்களின் கூட்டல், ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குதல்.... கணிதவியலாளர்கள் வேறு எதையும் கொண்டு வரவில்லை என்று நினைப்பது அப்பாவியாக இருக்கும். ஏற்கனவே கருதப்பட்ட செயல்களுக்கு கூடுதலாக, திசையன்களுடன் பல செயல்பாடுகள் உள்ளன, அதாவது: திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு, திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்புமற்றும் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு... திசையன்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு பள்ளியிலிருந்து நமக்கு நன்கு தெரிந்ததே, மற்ற இரண்டு தயாரிப்புகளும் பாரம்பரியமாக உயர் கணிதத்தின் போக்கோடு தொடர்புடையவை. தலைப்புகள் எளிமையானவை, பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை ஒரே மாதிரியானது மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது. அந்த ஒரு விஷயம். நிறைய தகவல்கள் உள்ளன, எனவே மாஸ்டர் முயற்சி செய்வது விரும்பத்தகாதது, எல்லாவற்றையும் ஒரே நேரத்தில் தீர்க்கவும். தேநீர் தொட்டிகளுக்கு இது குறிப்பாக உண்மை, என்னை நம்புங்கள், ஆசிரியர் கணிதத்திலிருந்து சிக்கடிலோவைப் போல உணர விரும்பவில்லை. சரி, மற்றும் கணிதத்தில் இருந்து அல்ல, நிச்சயமாக, கூட =) மேலும் தயாரிக்கப்பட்ட மாணவர்கள் பொருட்களை தேர்ந்தெடுத்து பயன்படுத்தலாம், ஒரு வகையில், காணாமல் போன அறிவை "பெறலாம்", உங்களுக்காக நான் ஒரு பாதிப்பில்லாத கவுண்ட் டிராகுலாவாக இருப்பேன் =)

இறுதியாக, கதவைத் திறந்து, இரண்டு திசையன்கள் ஒன்றையொன்று சந்திக்கும் போது என்ன நடக்கிறது என்று ஆர்வத்துடன் பார்ப்போம்….

திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியை தீர்மானித்தல்.
புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள். வழக்கமான பணிகள்

புள்ளி தயாரிப்பு கருத்து

முதலில் பற்றி திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம்... திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் என்ன என்பதை அனைவரும் உள்ளுணர்வாக புரிந்துகொள்கிறார்கள் என்று நினைக்கிறேன், ஆனால் இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாக. இலவச பூஜ்ஜியமற்ற வெக்டர்கள் மற்றும். நீங்கள் இந்த திசையன்களை ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியில் இருந்து ஒத்திவைத்தால், பலர் ஏற்கனவே தங்கள் மனதில் கற்பனை செய்த ஒரு படத்தைப் பெறுவீர்கள்:

இங்கே நான் நிலைமையை புரிந்து கொள்ளும் மட்டத்தில் மட்டுமே கோடிட்டுக் காட்டியுள்ளேன் என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறேன். திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கடுமையான வரையறை உங்களுக்குத் தேவைப்பட்டால், பாடப்புத்தகத்தைப் பார்க்கவும், ஆனால் நடைமுறை சிக்கல்களுக்கு, கொள்கையளவில், எங்களுக்கு இது தேவையில்லை. மேலும் இங்கும் அடுத்தும் சில இடங்களில் பூஜ்ஜிய திசையன்களின் குறைந்த நடைமுறை முக்கியத்துவம் காரணமாக அவற்றைப் புறக்கணிப்பேன். பின்வரும் சில அறிக்கைகளின் தத்துவார்த்த முழுமையின்மைக்காக என்னைக் குறை கூறக்கூடிய மேம்பட்ட தள பார்வையாளர்களுக்காக நான் குறிப்பாக முன்பதிவு செய்துள்ளேன்.

இலக்கியத்தில், கோண ஐகான் பெரும்பாலும் கவனிக்கப்படாமல் எளிமையாக எழுதப்படுகிறது.

வரையறை:இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் பெருக்கமானது, அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மூலம் இந்த திசையன்களின் நீளங்களின் பெருக்கத்திற்கு சமமான NUMBER ஆகும்:

இது ஏற்கனவே மிகவும் கடுமையான வரையறை.

அத்தியாவசிய தகவல்களில் நாங்கள் கவனம் செலுத்துகிறோம்:

பதவி:புள்ளி தயாரிப்பு என்பது அல்லது எளிமையாகக் குறிக்கப்படுகிறது.

செயல்பாட்டின் முடிவு NUMBER ஆகும்: திசையன் திசையன் மூலம் பெருக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக ஒரு எண். உண்மையில், திசையன்களின் நீளம் எண்களாக இருந்தால், ஒரு கோணத்தின் கொசைன் ஒரு எண்ணாக இருந்தால், அதன் தயாரிப்பு ஒரு எண்ணாகவும் இருக்கும்.

இரண்டு சூடான எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

தீர்வு:நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ... இந்த வழக்கில்:

பதில்:

கொசைன் மதிப்புகளைக் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை... நான் அதை அச்சிட பரிந்துரைக்கிறேன் - இது கோபுரத்தின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பிரிவுகளிலும் தேவைப்படும் மற்றும் பல முறை தேவைப்படும்.

முற்றிலும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், புள்ளி தயாரிப்பு பரிமாணமற்றது, அதாவது, இந்த விஷயத்தில் முடிவு ஒரு எண் மற்றும் அவ்வளவுதான். இயற்பியல் சிக்கல்களின் பார்வையில், அளவிடுதல் தயாரிப்பு எப்போதும் ஒரு குறிப்பிட்ட உடல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, அதன் விளைவாக, ஒன்று அல்லது மற்றொரு உடல் அலகு குறிக்கப்பட வேண்டும். ஒரு சக்தியின் வேலையை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு நியமன உதாரணம் எந்த பாடப்புத்தகத்திலும் காணலாம் (சூத்திரம் சரியாக புள்ளி தயாரிப்பு ஆகும்). சக்தியின் வேலை ஜூல்ஸில் அளவிடப்படுகிறது, எனவே, பதில் மிகவும் குறிப்பாக எழுதப்படும், எடுத்துக்காட்டாக,.

எடுத்துக்காட்டு 2

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும் , மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்.

நீங்களே செய்யக்கூடிய தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு இது, டுடோரியலின் முடிவில் பதில் உள்ளது.

திசையன்களுக்கும் புள்ளி தயாரிப்பு மதிப்புக்கும் இடையே உள்ள கோணம்

எடுத்துக்காட்டு 1 இல், புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறையாகவும், எடுத்துக்காட்டு 2 இல் எதிர்மறையாகவும் மாறியது. டாட் தயாரிப்பின் அடையாளம் எதைப் பொறுத்தது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். நாங்கள் எங்கள் சூத்திரத்தைப் பார்க்கிறோம்: ... பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களின் நீளம் எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும் :, எனவே குறியானது கொசைனின் மதிப்பை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும்.

குறிப்பு: கீழே உள்ள தகவலை நன்கு புரிந்துகொள்ள, கையேட்டில் உள்ள கொசைன் வரைபடத்தைப் படிப்பது நல்லது செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள்... ஒரு பிரிவில் கொசைன் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்க்கவும்.

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் மாறுபடலாம் , மற்றும் பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1) என்றால் ஊசிதிசையன்களுக்கு இடையில் காரமான: (0 முதல் 90 டிகிரி வரை), பின்னர் , மற்றும் புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும் இணைந்து இயக்கினார், பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் புள்ளி தயாரிப்பும் நேர்மறையாக இருக்கும். ஏனெனில், சூத்திரம் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது :.

2) என்றால் ஊசிதிசையன்களுக்கு இடையில் முட்டாள்: (90 முதல் 180 டிகிரி வரை), பின்னர் , மற்றும் அதற்கேற்ப, புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது:. சிறப்பு வழக்கு: திசையன்கள் என்றால் எதிர் திசை, பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கருதப்படுகிறது பயன்படுத்தப்பட்டது: (180 டிகிரி). டாட் தயாரிப்பும் எதிர்மறையானது, என்பதால்

எதிர் அறிக்கைகளும் உண்மையே:

1) இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் கடுமையானதாக இருந்தால். மாற்றாக, திசையன்கள் இணை திசையில் உள்ளன.

2) கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மழுங்கலாக இருந்தால். மாற்றாக, திசையன்கள் எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகின்றன.

ஆனால் மூன்றாவது வழக்கு குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளது:

3) என்றால் ஊசிதிசையன்களுக்கு இடையில் நேராக: (90 டிகிரி), பின்னர் புள்ளி தயாரிப்பு பூஜ்யம்:. உரையாடலும் உண்மைதான்: என்றால், பின்னர். அறிக்கை சுருக்கமாக பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: இந்த திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்... குறுகிய கணிதக் குறிப்பு:

! குறிப்பு : மீண்டும் கணித தர்க்கத்தின் அடிப்படைகள்: இரட்டை பக்க தர்க்கரீதியான விளைவு ஐகான் பொதுவாக "அப்போது மட்டும்", "இருந்தால் மட்டும்" என்று படிக்கப்படும். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அம்புகள் இரு திசைகளிலும் இயக்கப்படுகின்றன - "இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு, மற்றும் நேர்மாறாக - இதிலிருந்து பின்வருபவை." சொல்லப்போனால், ஒருவழிப் பின்தொடர் ஐகானில் இருந்து என்ன வித்தியாசம்? ஐகான் கூறுகிறது அது மட்டும்"இது இதிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது" மற்றும் எதிர் உண்மை என்பது உண்மையல்ல. உதாரணமாக: ஆனால் ஒவ்வொரு மிருகமும் ஒரு சிறுத்தை அல்ல, எனவே இந்த விஷயத்தில் ஐகானைப் பயன்படுத்த முடியாது. அதே நேரத்தில், ஐகானுக்கு பதிலாக முடியும்ஒரு வழி ஐகானைப் பயன்படுத்தவும். எடுத்துக்காட்டாக, சிக்கலைத் தீர்ப்பதில், திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் என்று நாங்கள் முடிவு செய்தோம்: - அத்தகைய நுழைவு சரியானதாக இருக்கும், மேலும் அதை விட மிகவும் பொருத்தமானது .

மூன்றாவது வழக்கு மிகவும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது.திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலா இல்லையா என்பதை சரிபார்க்க இது உங்களை அனுமதிக்கிறது. பாடத்தின் இரண்டாவது பிரிவில் இந்த சிக்கலை தீர்ப்போம்.

புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள்

இரண்டு திசையன்கள் போது நிலைமைக்கு திரும்புவோம் இணைந்து இயக்கினார்... இந்த வழக்கில், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் புள்ளி தயாரிப்பு சூத்திரம் படிவத்தை எடுக்கும் :.

திசையன் தானே பெருக்கினால் என்ன ஆகும்? திசையன் தன்னுடன் இணை திசையில் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, எனவே மேலே உள்ள எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எண் அழைக்கப்படுகிறது ஸ்கேலர் சதுரம்திசையன், மற்றும் என குறிக்கப்படுகிறது.

இதனால், ஒரு திசையனின் அளவிடல் சதுரம் கொடுக்கப்பட்ட திசையனின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்:

இந்த சமத்துவத்திலிருந்து, திசையன் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறலாம்:

இது தெளிவற்றதாகத் தோன்றினாலும், பாடத்தின் பணிகள் எல்லாவற்றையும் அதன் இடத்தில் வைக்கும். பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க, நமக்கும் தேவை புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள்.

தன்னிச்சையான திசையன்கள் மற்றும் எந்த எண்ணுக்கும், பின்வரும் பண்புகள் செல்லுபடியாகும்:

1) - இடமாற்றம் அல்லது மாற்றத்தக்கஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம்.

2) - விநியோகம் அல்லது விநியோகிக்கக்கூடியஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம். வெறுமனே, நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்கலாம்.

3) - சேர்க்கை அல்லது துணைஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம். மாறிலியை புள்ளி தயாரிப்பில் இருந்து பெறலாம்.

பெரும்பாலும், அனைத்து வகையான சொத்துக்களும் (நிரூபிக்கப்பட வேண்டியவை!) மாணவர்களால் தேவையற்ற குப்பைகளாக உணரப்படுகின்றன, அவை மனப்பாடம் செய்யப்பட வேண்டும் மற்றும் பரீட்சை முடிந்த உடனேயே பாதுகாப்பாக மறக்கப்பட வேண்டும். இங்கே முக்கியமானது என்னவென்றால், காரணிகளின் வரிசைமாற்றத்திலிருந்து தயாரிப்பு மாறாது என்பதை முதல் வகுப்பிலிருந்தே அனைவருக்கும் தெரியும்: நான் உங்களை எச்சரிக்க வேண்டும், இந்த அணுகுமுறையுடன் உயர் கணிதத்தில், மரத்தை உடைப்பது எளிது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, இடப்பெயர்ச்சி சொத்து செல்லாது இயற்கணித மெட்ரிக்குகள்... அதுவும் உண்மை இல்லை திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு... எனவே, குறைந்த பட்சம், உயர் கணிதத்தின் போக்கில் நீங்கள் காணும் எந்த பண்புகளையும் ஆராய்வது நல்லது, என்ன செய்ய முடியும் மற்றும் செய்ய முடியாது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது.

எடுத்துக்காட்டு 3

.

தீர்வு:முதலில், திசையன் மூலம் நிலைமையை தெளிவுபடுத்துவோம். எப்படியும் இது என்ன? திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட திசையன், இது குறிக்கப்படுகிறது. திசையன்களுடன் செயல்களின் வடிவியல் விளக்கத்தை கட்டுரையில் காணலாம் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்... ஒரு திசையன் கொண்ட அதே வோக்கோசு என்பது திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும்.

எனவே, நிபந்தனையின்படி புள்ளி தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கோட்பாட்டில், நீங்கள் வேலை செய்யும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் , ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால், திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் நமக்குத் தெரியாது. ஆனால் நிலை திசையன்களுக்கு ஒத்த அளவுருக்களை வழங்குகிறது, எனவே நாங்கள் வேறு வழியில் செல்வோம்:

(1) மாற்று திசையன் வெளிப்பாடுகள்.

(2) பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல் விதியின்படி அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்துகிறோம், ஒரு மோசமான நாக்கு முறுக்கு கட்டுரையில் காணலாம் சிக்கலான எண்கள்அல்லது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு... நான் என்னை மீண்டும் செய்ய மாட்டேன் =) மூலம், அளவிடுதல் உற்பத்தியின் விநியோக சொத்து அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்க அனுமதிக்கிறது. எங்களுக்கு உரிமை உண்டு.

(3) முதல் மற்றும் கடைசி சொற்களில், திசையன்களின் ஸ்கேலார் சதுரங்களை சுருக்கமாக எழுதுகிறோம்: ... இரண்டாவது டெர்மில், ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் வரிசைமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:.

(4) நாங்கள் இதே போன்ற விதிமுறைகளை வழங்குகிறோம்:

(5) முதல் வார்த்தையில், மிக நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு குறிப்பிடப்படாத ஸ்கேலர் ஸ்கொயர் ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்துகிறோம். கடைசி காலத்தில், முறையே, அதே விஷயம் வேலை செய்கிறது :. நிலையான சூத்திரத்தின்படி இரண்டாவது காலத்தை விரிவுபடுத்துகிறோம் .

(6) இந்த நிபந்தனைகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம் , மற்றும் கவனமாக இறுதி கணக்கீடுகளை செய்ய.

பதில்:

புள்ளி உற்பத்தியின் எதிர்மறை மதிப்பு, திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மழுங்கலாக உள்ளது என்ற உண்மையைக் கூறுகிறது.

பணி பொதுவானது, இங்கே ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு:

எடுத்துக்காட்டு 4

திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியைக் கண்டுபிடி, அது தெரிந்தால் .

இப்போது மற்றொரு பொதுவான பணி, வெக்டரின் நீளத்திற்கான புதிய சூத்திரத்திற்கு மட்டுமே. இங்குள்ள பெயர்கள் சிறிது ஒன்றுடன் ஒன்று சேரும், எனவே தெளிவுக்காக, அதை வேறு எழுத்துடன் மீண்டும் எழுதுகிறேன்:

உதாரணம் 5

என்றால் திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

தீர்வுபின்வருமாறு இருக்கும்:

(1) ஒரு திசையன் வெளிப்பாடு வழங்கவும்.

(2) நீளம்

(3) தொகையின் வர்க்கத்திற்கு பள்ளி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். இங்கே இது எவ்வாறு ஆர்வமாக செயல்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள்: - உண்மையில், இது வித்தியாசத்தின் சதுரம், உண்மையில், அதுதான். ஆர்வமுள்ளவர்கள் இடங்களில் திசையன்களை மறுசீரமைக்கலாம்: - இது விதிமுறைகளின் மறுசீரமைப்பு வரை ஒரே மாதிரியாக மாறியது.

(4) மீதமுள்ளவை ஏற்கனவே இரண்டு முந்தைய சிக்கல்களிலிருந்து நன்கு தெரிந்தவை.

பதில்:

நாங்கள் நீளத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பதால், பரிமாணத்தைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள் - "அலகுகள்".

எடுத்துக்காட்டு 6

என்றால் திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

நீங்களே செய்யக்கூடிய தீர்வுக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. டுடோரியலின் முடிவில் முழுமையான தீர்வு மற்றும் பதில்.

டாட் தயாரிப்பிலிருந்து பயனுள்ள விஷயங்களைத் தொடர்ந்து கசக்கி விடுகிறோம். மீண்டும் நமது சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம் ... விகிதாச்சார விதியின்படி, திசையன்களின் நீளத்தை இடது பக்கத்தின் வகுப்பிற்கு மீட்டமைப்போம்:

நாங்கள் பகுதிகளை மாற்றுவோம்:

இந்த சூத்திரத்தின் பொருள் என்ன? இரண்டு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றின் புள்ளி தயாரிப்பு உங்களுக்குத் தெரிந்தால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனை நீங்கள் கணக்கிடலாம், எனவே, கோணத்தையே கணக்கிடலாம்.

புள்ளி தயாரிப்பு என்பது எண்ணா? எண். திசையன்களின் நீளம் எண்களா? எண்கள். எனவே, பின்னமும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணாகும். மேலும் கோணத்தின் கொசைன் தெரிந்தால்: , பின்னர் தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது: .

எடுத்துக்காட்டு 7

திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும், அது தெரிந்தால்.

தீர்வு:நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

கணக்கீடுகளின் இறுதி கட்டத்தில், ஒரு நுட்பம் பயன்படுத்தப்பட்டது - வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவற்ற தன்மையை நீக்குதல். பகுத்தறிவின்மையை அகற்ற, நான் எண் மற்றும் வகுப்பை பெருக்கினேன்.

அப்படியென்றால் , பிறகு:

தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் மூலம் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை... இது அரிதாக நடக்கும் என்றாலும். பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களில், சில வகையான விகாரமான கரடிகள் அடிக்கடி தோன்றும், மேலும் கோணத்தின் மதிப்பை ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக கண்டறிய வேண்டும். உண்மையில், இதுபோன்ற ஒரு படத்தை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை பார்ப்போம்.

பதில்:

மீண்டும், பரிமாணத்தைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள் - ரேடியன்கள் மற்றும் டிகிரி. தனிப்பட்ட முறையில், தெரிந்தே "எல்லாக் கேள்விகளையும் அழிக்க", அது மற்றும் அது இரண்டையும் குறிப்பிட விரும்புகிறேன் (நிச்சயமாக, நிபந்தனையின்படி, பதிலை ரேடியன்களில் அல்லது டிகிரிகளில் மட்டுமே வழங்குவது அவசியம்).

இப்போது நீங்கள் மிகவும் கடினமான பணியை நீங்களே சமாளிக்க முடியும்:

எடுத்துக்காட்டு 7 *

திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

பணி பல படிகள் போன்ற கடினமானது அல்ல.
தீர்வு வழிமுறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

1) நிபந்தனையின் படி, திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறிய வேண்டும், எனவே, நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் .

2) டாட் தயாரிப்பைக் கண்டறியவும் (எடுத்துக்காட்டு எண். 3, 4 ஐப் பார்க்கவும்).

3) திசையன் நீளம் மற்றும் திசையன் நீளம் (எடுத்துக்காட்டுகள் எண். 5, 6 ஐப் பார்க்கவும்).

4) தீர்வின் முடிவு எடுத்துக்காட்டு எண். 7 உடன் ஒத்துப்போகிறது - எண் நமக்குத் தெரியும், அதாவது கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது:

டுடோரியலின் முடிவில் ஒரு சிறிய தீர்வு மற்றும் பதில்.

பாடத்தின் இரண்டாவது பகுதி அதே புள்ளி தயாரிப்பில் கவனம் செலுத்துகிறது. ஒருங்கிணைப்புகள். இது முதல் பகுதியை விட எளிதாக இருக்கும்.

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு,
ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்பட்டது

பதில்:

ஆயங்களை கையாள்வது மிகவும் இனிமையானது என்று சொல்ல தேவையில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 14

திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தைக் கண்டுபிடி, என்றால்

நீங்களே செய்யக்கூடிய தீர்வுக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே நீங்கள் செயல்பாட்டின் அசோசியேட்டிவிட்டியைப் பயன்படுத்தலாம், அதாவது எண்ண வேண்டாம், ஆனால் உடனடியாக ஸ்கேலர் தயாரிப்பிலிருந்து மும்மடங்கை நகர்த்தி, கடைசியாக பெருக்கவும். பாடத்தின் முடிவில் தீர்வு மற்றும் பதில்.

பத்தியின் முடிவில், வெக்டரின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான ஆத்திரமூட்டும் உதாரணம்:

எடுத்துக்காட்டு 15

திசையன்களின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் , என்றால்

தீர்வு:மீண்டும் முந்தைய பகுதியின் வழி தன்னைத்தானே அறிவுறுத்துகிறது :, ஆனால் மற்றொரு வழி உள்ளது:

திசையன் கண்டுபிடிக்க:

மற்றும் அற்பமான சூத்திரத்தின்படி அதன் நீளம் :

புள்ளி தயாரிப்பு இங்கே கேள்விக்குரியது அல்ல!

ஒரு திசையன் நீளத்தை கணக்கிடும் போது இது வணிகத்திற்கு வெளியே உள்ளது:
நிறுத்து. திசையன் நீளத்தின் வெளிப்படையான சொத்தை ஏன் பயன்படுத்திக் கொள்ளக்கூடாது? திசையன் நீளம் பற்றி என்ன? இந்த திசையன் வெக்டரை விட 5 மடங்கு நீளமானது. திசை எதிர் உள்ளது, ஆனால் அது ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனென்றால் உரையாடல் நீளம் பற்றியது. வெளிப்படையாக, திசையன் நீளம் தயாரிப்புக்கு சமம் தொகுதிஒரு திசையன் நீளத்திற்கு எண்கள்:
- தொகுதியின் அடையாளம் எண்ணின் சாத்தியமான கழித்தல் "சாப்பிடுகிறது".

இதனால்:

பதில்:

திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரம், அவை ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்படுகின்றன

திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளின் அடிப்படையில் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனுக்கான முன்னர் பெறப்பட்ட சூத்திரத்தை வெளிப்படுத்த இப்போது முழுமையான தகவல் உள்ளது:

விமானத்தின் திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைன்மற்றும் ஒரு மரபுவழி அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்டது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:
.

விண்வெளி திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைன்ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்டது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 16

முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. கண்டுபிடி (உச்சி கோணம்).

தீர்வு:நிபந்தனையின் படி, வரைதல் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் இன்னும்:

தேவையான கோணம் பச்சை வளைவுடன் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. கோணத்தின் பள்ளி பெயரை உடனடியாக நினைவுபடுத்துங்கள்: - சிறப்பு கவனம் சராசரிகடிதம் - இது நமக்குத் தேவையான மூலையின் உச்சி. சுருக்கமாக, எளிமையாகவும் எழுதலாம்.

வரைபடத்திலிருந்து, முக்கோணத்தின் கோணம் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் வேறுவிதமாகக் கூறினால்: .

மனதளவில் நிகழ்த்தப்பட்ட பகுப்பாய்வை எவ்வாறு செய்வது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது நல்லது.

திசையன்களைக் கண்டறியவும்:

புள்ளி தயாரிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

மற்றும் திசையன்களின் நீளம்:

ஒரு கோணத்தின் கோசைன்:

டீபாட்களுக்கு நான் பரிந்துரைக்கும் பணியை முடிப்பதற்கான வரிசை இதுதான். மிகவும் நுட்பமான வாசகர்கள் கணக்கீடுகளை "ஒரு வரியில்" எழுதலாம்:

"மோசமான" கொசைன் மதிப்புக்கான உதாரணம் இங்கே. இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு இறுதியானது அல்ல, எனவே வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவற்ற தன்மையை அகற்றுவதில் சிறிதும் இல்லை.

மூலையையே கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் வரைபடத்தைப் பார்த்தால், முடிவு மிகவும் நம்பத்தகுந்ததாக இருக்கும். சரிபார்ப்பதற்காக, கோணத்தை ஒரு ப்ராட்ராக்டர் மூலம் அளவிடலாம். மானிட்டரின் அட்டையை சேதப்படுத்தாதீர்கள் =)

பதில்:

பதிலில், அதை மறந்துவிடாதீர்கள் முக்கோணத்தின் கோணம் பற்றி கேட்டார்(மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைப் பற்றி அல்ல), சரியான பதிலைக் குறிப்பிட மறக்காதீர்கள்: மற்றும் கோணத்தின் தோராயமான மதிப்பு: கால்குலேட்டர் மூலம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

செயல்முறையை ரசித்தவர்கள் கோணங்களைக் கணக்கிட்டு, நியதி சமத்துவம் உண்மையா என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளலாம்

எடுத்துக்காட்டு 17

ஒரு முக்கோணம் அதன் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளால் விண்வெளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது. பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

நீங்களே செய்யக்கூடிய தீர்வுக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. டுடோரியலின் முடிவில் முழுமையான தீர்வு மற்றும் பதில்

ஒரு குறுகிய இறுதிப் பகுதி கணிப்புகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்படும், இதில் அளவிடல் தயாரிப்பு "கலப்பு" ஆகும்:

வெக்டார்-டு-வெக்டார் ப்ராஜெக்ஷன். ஆய அச்சுகளுக்கு வெக்டரின் ப்ரொஜெக்ஷன்.
வெக்டரின் திசை கோசைன்கள்

திசையன்களைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் மற்றும்:

திசையன் மீது வெக்டரை முன்னிறுத்துகிறோம், இதற்காக திசையனின் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவில் இருந்து தவிர்க்கிறோம். செங்குத்தாகதிசையன் ஒன்றுக்கு (பச்சை புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகள்). ஒளியின் கதிர்கள் திசையன் மீது செங்குத்தாக விழுகின்றன என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். பின்னர் பிரிவு (சிவப்பு கோடு) திசையனின் "நிழலாக" இருக்கும். இந்த வழக்கில், திசையன் மீது திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன் பிரிவின் நீளம் ஆகும். அதாவது, ப்ராஜெக்ஷன் என்பது ஒரு எண்.

இந்த NUMBER பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:, "பெரிய திசையன்" என்பது திசையனைக் குறிக்கிறது எதுதிட்டம், "சிறிய சப்ஸ்கிரிப்ட் வெக்டர்" என்பது வெக்டரைக் குறிக்கிறது ஆன்திட்டமிடப்பட்டு வருகிறது.

பதிவே இவ்வாறு கூறுகிறது: "வெக்டரின் ப்ரொஜெக்ஷன்" a "வெக்டரில்" bh "".

திசையன் "பிஎஸ்" "மிகவும் குறுகியதாக" இருந்தால் என்ன நடக்கும்? திசையன் "be" கொண்ட ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம். மற்றும் திசையன் "a" ஏற்கனவே கணிக்கப்படும் திசையன் "bh" திசையில், வெறுமனே - திசையன் "இரு" கொண்டிருக்கும் நேர் கோட்டில். முப்பத்து பத்தாவது இராச்சியத்தில் திசையன் "a" ஒத்திவைக்கப்பட்டாலும் அதுவே நடக்கும் - அது "bh" என்ற திசையன் கொண்ட நேர்கோட்டில் எளிதாகத் திட்டமிடப்படும்.

கோணம் என்றால்திசையன்களுக்கு இடையில் காரமான(படத்தில் உள்ளதைப் போல), பின்னர்

திசையன்கள் என்றால் ஆர்த்தோகனல், பின்னர் (திட்டமானது ஒரு புள்ளியாகும், அதன் பரிமாணங்கள் பூஜ்ஜியமாக கருதப்படுகிறது).

கோணம் என்றால்திசையன்களுக்கு இடையில் முட்டாள்(படத்தில், திசையன் அம்புக்குறியை மனதளவில் மறுசீரமைக்கவும்), பின்னர் (அதே நீளம், ஆனால் கழித்தல் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது).

இந்த திசையன்களை ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒத்திவைப்போம்:

வெளிப்படையாக, திசையன் நகரும் போது, ​​அதன் ப்ராஜெக்ஷன் மாறாது

வெக்டார் மற்றும் டாட் தயாரிப்பு வெக்டார்களுக்கு இடையேயான கோணத்தைக் கணக்கிடுவதை எளிதாக்குகிறது. $ \ ஓவர்லைன் (அ) $ மற்றும் $ \ ஓவர்லைன் (b) $ ஆகிய இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும், இவற்றுக்கு இடையேயான கோணம் $ \ varphi $ ஆகும். $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ மற்றும் $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $ மதிப்புகளைக் கணக்கிடவும். பிறகு $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, இதில் $ r = | \ மேலடுக்கு (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, மற்றும் $ \ varphi $ விரும்பிய கோணம், அதாவது, புள்ளி $ (x, y) $ ஆனது $ \ varphi $ க்கு சமமான துருவ கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே $ \ varphi $ ஐ atan2 (y, x) எனக் காணலாம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

குறுக்கு தயாரிப்பு இரண்டு திசையன் நீளங்களின் உற்பத்தியை அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கோசைன் மூலம் கொண்டிருப்பதால், குறுக்கு தயாரிப்பு முக்கோண ABCயின் பகுதியை கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம்:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

ஒரு நேர்கோட்டுக்கு சொந்தமான புள்ளி

ஒரு புள்ளி $ P $ மற்றும் ஒரு நேர்கோடு $ AB $ (இரண்டு புள்ளிகளால் கொடுக்கப்பட்ட $ A $ மற்றும் $ B $) கொடுக்கப்பட வேண்டும். புள்ளி $ AB $ வரிக்கு சொந்தமானதா என்பதை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

$ AP $ மற்றும் $ AB $ ஆகிய திசையன்கள் கோலினியர்களாக இருந்தால் மட்டுமே, $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $ எனில், ஒரு புள்ளி $ AB $ நேர் கோட்டிற்கு சொந்தமானது.

ஒரு கதிர்க்கு ஒரு புள்ளியைச் சேர்ந்தது

ஒரு புள்ளி $ P $ மற்றும் ஒரு கதிர் $ AB $ கொடுக்கப்பட வேண்டும் (இரண்டு புள்ளிகளால் கொடுக்கப்பட்டது - கதிரின் தோற்றம் $ A $ மற்றும் ரே $ B $ மீது ஒரு புள்ளி). புள்ளி $ AB $ க்கு சொந்தமானதா என்பதை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

$ P $ புள்ளி $ AB $ க்கு சொந்தமானது என்ற நிபந்தனைக்கு, கூடுதல் நிபந்தனையைச் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம் - $ AP $ மற்றும் $ AB $ ஆகியவை இணை திசையில் உள்ளன, அதாவது அவை கோலினியர் மற்றும் அவற்றின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு எதிர்மறையானது அல்ல, அதாவது $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

ஒரு புள்ளி ஒரு கோடு பிரிவுக்கு சொந்தமானது

ஒரு புள்ளி $ P $ மற்றும் ஒரு பிரிவு $ AB $ கொடுக்கப்பட வேண்டும். புள்ளி $ AB $ பிரிவிற்கு சொந்தமானதா என்பதை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

இந்த நிலையில், புள்ளியானது ரே $ AB $ மற்றும் ray $ BA $ ஆகிய இரண்டிற்கும் சொந்தமானதாக இருக்க வேண்டும், எனவே பின்வரும் நிபந்தனைகள் சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்:

$ [\ ஓவர்லைன் (AP), \ overline (AB)] = 0 $,

$ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $.

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம்

ஒரு புள்ளி $ P $ மற்றும் ஒரு நேர்கோடு $ AB $ (இரண்டு புள்ளிகளால் கொடுக்கப்பட்ட $ A $ மற்றும் $ B $) கொடுக்கப்பட வேண்டும். $ AB $ நேர் கோட்டின் புள்ளியிலிருந்து தூரத்தைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

ABP முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். ஒருபுறம், அதன் பரப்பளவு $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

மறுபுறம், அதன் பரப்பளவு $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, இங்கு $ h $ என்பது $ P $ புள்ளியில் இருந்து குறைக்கப்பட்ட உயரம், அதாவது $ இலிருந்து தூரம் P $ முதல் $ AB $ வரை. எங்கிருந்து $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

பாயிண்ட் டு பீம் தூரம்

ஒரு புள்ளி $ P $ மற்றும் ஒரு கதிர் $ AB $ கொடுக்கப்பட வேண்டும் (இரண்டு புள்ளிகளால் கொடுக்கப்பட்டது - கதிரின் தோற்றம் $ A $ மற்றும் ரே $ B $ மீது ஒரு புள்ளி). புள்ளியில் இருந்து கதிருக்கு தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம், அதாவது, கதிரின் எந்தப் புள்ளிக்கும் $ P $ புள்ளியிலிருந்து மிகக் குறுகிய பிரிவின் நீளம்.

இந்த தூரம் நீளம் $ AP $ அல்லது $ P $ புள்ளியிலிருந்து $ AB $ வரையிலான தூரத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். எந்த வழக்குகள் நடைபெறுகின்றன என்பது கற்றை மற்றும் புள்ளியின் ஒப்பீட்டு நிலை மூலம் தீர்மானிக்க எளிதானது. PAB கோணம் கடுமையானதாக இருந்தால், அதாவது $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, பின்னர் பதில் $ P $ புள்ளியிலிருந்து $ AB $ வரையிலான தூரம், இல்லையெனில் பதில் $ AB $ பிரிவின் நீளமாக இருக்கும்.

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம்

ஒரு புள்ளி $ P $ மற்றும் ஒரு பிரிவு $ AB $ கொடுக்கப்பட வேண்டும். $ P $ இலிருந்து $ AB $ வரையிலான தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம்.

$ P $ இலிருந்து $ AB $ என்ற கோட்டிற்கு செங்குத்தாகக் கீழே விழுந்தால், $ AB $ என்ற பிரிவில், நிபந்தனைகளால் சரிபார்க்க முடியும்

$ (\ overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

பின்னர் பதில் $ P $ இலிருந்து வரி $ AB $ வரை உள்ள தூரம். இல்லையெனில், தூரம் $ \ min (AP, BP) $ க்கு சமமாக இருக்கும்.

வரையறை 1

திசையன்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு என்பது இந்த திசையன்களின் டைன் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கோசைன் ஆகியவற்றின் பெருக்கத்திற்கு சமமான எண்ணாகும்.

a → மற்றும் b → திசையன்களின் பெருக்கத்தின் குறியீடானது a →, b → வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. சூத்திரத்திற்கு மாற்றுவோம்:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → மற்றும் b → ஆகியவை திசையன்களின் நீளத்தைக் குறிக்கின்றன, a →, b → ^ என்பது கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் குறிக்கிறது. குறைந்தபட்சம் ஒரு திசையன் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதாவது, அதன் மதிப்பு 0 ஆக இருந்தால், இதன் விளைவாக பூஜ்ஜியம், a →, b → = 0

திசையனை தானாகவே பெருக்கும்போது, ​​​​அதன் நீளத்தின் சதுரத்தைப் பெறுகிறோம்:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

வரையறை 2

ஒரு வெக்டரின் ஸ்கேலார் பெருக்கல் தானாகவே அளவிடல் சதுரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → என்பது npb → a → என்பது எண்களின் எண்ணின் மீது npb → a → என்பதை காட்டுகிறது npa → a → என்பது முறையே a → மீது b → இன் ப்ராஜெக்ஷன் ஆகும்.

இரண்டு திசையன்களுக்கான தயாரிப்பின் வரையறையை உருவாக்குவோம்:

a → by b → என்ற இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் பெருக்கமானது திசையன் a → ப்ராஜெக்ஷன் b → மூலம் a → திசையின் மூலம் அல்லது b → நீளத்தின் பெருக்கல் முறையே a → மூலம் அழைக்கப்படுகிறது.

ஆயத்தொகுப்புகளில் புள்ளி தயாரிப்பு

புள்ளி உற்பத்தியின் கணக்கீடு கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தில் அல்லது விண்வெளியில் உள்ள திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் செய்யப்படலாம்.

முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு விமானத்தில் உள்ள இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு, கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் ஆயத்தொகை a → மற்றும் b → என்று அழைக்கப்படுகிறது.

கார்ட்டீசியன் அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட வெக்டார்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கணக்கிடும்போது a → = (a x, a y), b → = (b x, b y), பயன்படுத்தவும்:

a →, b → = a x b x + a y b y,

முப்பரிமாண இடத்திற்கு, பின்வரும் வெளிப்பாடு பொருந்தும்:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

உண்மையில், இது டாட் தயாரிப்பின் மூன்றாவது வரையறை.

நிரூபிப்போம்.

ஆதாரம் 1

ஆதாரத்திற்கு, கார்டீசியனில், திசையன்களுக்கு a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by கார்டீசியனில் a → = (ax, ay), b → = (bx, by) அமைப்பு.

வெக்டர்கள் ஒத்திவைக்கப்பட வேண்டும்

O A → = a → = a x, a y மற்றும் O B → = b → = b x, b y.

பின்னர் A B → திசையன் நீளம் A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) க்கு சமமாக இருக்கும்.

O A B என்ற முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள்.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) என்பது கொசைன் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் உண்மை.

நிபந்தனையின்படி, O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, எனவே, திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தை வித்தியாசமாக எழுதுகிறோம்.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

பின்னர் அது b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), எனவே (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b →) 2 - b → - a → 2).

திசையன்களின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

சமத்துவத்தை நிரூபிப்போம்:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- முறையே முப்பரிமாண இடத்தின் திசையன்களுக்கு.

ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன்களின் அளவிடல் பெருக்கமானது, ஒரு திசையனின் ஸ்கேலார் சதுரம் முறையே விண்வெளியிலும் ஒரு விமானத்திலும் உள்ள அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று கூறுகிறது. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) மற்றும் (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அதன் பண்புகள்

a →, b →, மற்றும் c → ஆகியவற்றுக்குப் பொருந்தக்கூடிய புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள் உள்ளன:

1. பரிமாற்றம் (a →, b →) = (b →, a →);
2. விநியோகம் (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
3. கூட்டுப் பண்பு (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ என்பது எந்த எண்;
4. ஸ்கேலார் சதுரம் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும் (a →, a →) ≥ 0, அங்கு (a →, a →) = 0 → பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது.

விமானத்தில் உள்ள புள்ளி உற்பத்தியின் வரையறை மற்றும் உண்மையான எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் பண்புகள் ஆகியவற்றின் காரணமாக பண்புகள் விளக்கப்படுகின்றன.

பரிமாற்றத் தன்மையை நிரூபிக்கவும் (a →, b →) = (b →, a →). வரையறையிலிருந்து நாம் (a →, b →) = a y b y + a y b y மற்றும் (b →, a →) = b x a x + b y a y.

பரிமாற்றத் தன்மையின்படி, a x b x = b x a x மற்றும் a y b y = b y a y ஆகியவை உண்மையாக இருக்கும், எனவே a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

இது (a →, b →) = (b →, a →) கே.இ.டி.

எந்த எண்களுக்கும் விநியோகம் செல்லுபடியாகும்:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

மற்றும் (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

எனவே எங்களிடம் உள்ளது

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் புள்ளி தயாரிப்பு

அத்தகைய திட்டத்தின் எந்தவொரு பிரச்சனையும் புள்ளி தயாரிப்பு தொடர்பான பண்புகள் மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y அல்லது (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

தீர்வுக்கான சில உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

a → இன் நீளம் 3, b → இன் நீளம் 7. கோணம் 60 டிகிரி என்றால் புள்ளிப் பொருளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி, எங்களிடம் எல்லா தரவும் உள்ளது, எனவே சூத்திரத்தால் கணக்கிடுகிறோம்:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

பதில்: (a →, b →) = 21 2.

எடுத்துக்காட்டு 3

கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள் a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). புள்ளி தயாரிப்பு என்றால் என்ன.

தீர்வு

இந்த எடுத்துக்காட்டில், சிக்கல் அறிக்கையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதால், ஒருங்கிணைப்புகளால் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் கருதப்படுகிறது:

(a →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

பதில்: (a →, b →) = - 9

எடுத்துக்காட்டு 4

A B → மற்றும் A C → என்ற புள்ளித் தயாரிப்பைக் கண்டறியவும். A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) புள்ளிகள் ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

தீர்வு

தொடங்குவதற்கு, திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன, ஏனெனில் புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் நிபந்தனையால் வழங்கப்படுகின்றன:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி சூத்திரத்தில் மாற்றியமைத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

பதில்: (A B →, A C →) = 28.

உதாரணம் 5

திசையன்கள் a → = 7 m → + 3 n → மற்றும் b → = 5 m → + 8 n → கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் தயாரிப்பைக் கண்டறியவும். m → என்பது 3 மற்றும் n → என்பது 2 அலகுகளுக்கு சமம், அவை செங்குத்தாக இருக்கும்.

தீர்வு

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). விநியோக சொத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(7 மீ → + 3 n →, 5 மீ → + 8 n →) = = (7 மீ →, 5 மீ →) + (7 மீ →, 8 n →) + (3 n →, 5 மீ →) + ( 3 n →, 8 n →)

தயாரிப்பின் அடையாளத்திற்கான குணகத்தை நாங்கள் எடுத்து, பெறுகிறோம்:

(7 மீ →, 5 மீ →) + (7 மீ →, 8 n →) + (3 n →, 5 மீ →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

பரிமாற்றத்தின் சொத்தின் மூலம், நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

இதன் விளைவாக, நாம் பெறுகிறோம்:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

இப்போது டாட் தயாரிப்புக்கான சூத்திரத்தை முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட கோணத்துடன் பயன்படுத்துவோம்:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

பதில்: (a →, b →) = 411

ஒரு எண்ணியல் திட்டம் இருந்தால்.

எடுத்துக்காட்டு 6

a → மற்றும் b → என்ற புள்ளித் தயாரிப்பைக் கண்டறியவும். திசையன் a → ஒரு → = (9, 3, - 3), ப்ரொஜெக்ஷன் b → ஆயத்தொகுதிகளுடன் (- 3, - 1, 1) ஒருங்கிணைக்கிறது.

தீர்வு

கருதுகோள் மூலம், திசையன்கள் a → மற்றும் ப்ராஜெக்ஷன் b → எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் a → = - 1 3 · npa → b → →, எனவே கணிப்பு b → நீளம் npa → b → → மற்றும் அடையாளத்துடன் ஒத்துள்ளது " -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

சூத்திரத்திற்கு மாற்றாக, நாம் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

பதில்: (a →, b →) = - 33.

அறியப்பட்ட டாட் தயாரிப்பில் உள்ள சிக்கல்கள், அங்கு ஒரு திசையன் அல்லது எண் ப்ரொஜெக்ஷனின் நீளத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 7

கொடுக்கப்பட்ட அளவிடல் தயாரிப்புக்கு λ என்ன மதிப்பு எடுக்க வேண்டும் a → = (1, 0, λ + 1) மற்றும் b → = (λ, 1, λ) -1 க்கு சமமாக இருக்கும்.

தீர்வு

ஆய தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் என்று சூத்திரம் காட்டுகிறது:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

எங்களிடம் (a →, b →) = - 1 உள்ளது.

λ கண்டுபிடிக்க, நாம் சமன்பாட்டை கணக்கிடுகிறோம்:

λ 2 + 2 λ = - 1, எனவே λ = - 1.

பதில்: λ = - 1.

புள்ளி தயாரிப்பின் இயற்பியல் பொருள்

டாட் தயாரிப்பின் பயன்பாட்டை இயக்கவியல் கையாள்கிறது.

ஒரு நிலையான விசையுடன் A வேலை செய்யும் போது F → உடல் புள்ளி M இலிருந்து N க்கு நகர்த்தப்படுகிறது, நீங்கள் F → மற்றும் MN → திசையன்களின் நீளங்களின் உற்பத்தியை அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைனுடன் காணலாம், அதாவது வேலை விசை மற்றும் இடப்பெயர்ச்சியின் திசையன்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:

A = (F →, M N →).

எடுத்துக்காட்டு 8

5 ntonகளுக்கு சமமான சக்தியின் செயல்பாட்டின் கீழ் 3 மீட்டர் மூலம் ஒரு பொருள் புள்ளியின் இயக்கம் அச்சுடன் தொடர்புடைய 45 டிகிரி கோணத்தில் இயக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடி ஏ.

தீர்வு

வேலை என்பது விசை திசையன் மற்றும் இடப்பெயர்ச்சியின் விளைபொருளாக இருப்பதால், F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° என்ற நிபந்தனையின் அடிப்படையில், நாம் A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

பதில்: A = 15 2 2.

எடுத்துக்காட்டு 9

ஒரு பொருள் புள்ளி, M (2, - 1, - 3) இலிருந்து N (5, 3 λ - 2, 4) க்கு F → = (3, 1, 2) விசையின் கீழ் நகரும், 13 J க்கு சமமான வேலையைச் செய்கிறது. கணக்கிடவும் இயக்கத்தின் நீளம்.

தீர்வு

திசையன் M N → இன் கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்களுக்கு எம் N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) உள்ளது.

திசையன்கள் F → = (3, 1, 2) மற்றும் MN → = (3, 3 λ - 1, 7) உடன் வேலையைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தின் மூலம், A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

கருதுகோள் மூலம், A = 13 J, அதாவது 22 + 3 λ = 13 என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே λ = - 3, எனவே M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

இடப்பெயர்ச்சி M N → இன் நீளத்தைக் கண்டறிய, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் மதிப்புகளை மாற்றவும்:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

பதில்: 158.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதைத் தேர்ந்தெடுத்து Ctrl + Enter ஐ அழுத்தவும்

ஒரு சுயாதீனமான தீர்வுக்கான பணிகளும் இருக்கும், அதற்கான பதில்களை நீங்கள் பார்க்கலாம்.

சிக்கலில் திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் இரண்டும் "வெள்ளித் தட்டில்" வழங்கப்பட்டால், சிக்கலின் நிலை மற்றும் அதன் தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 1.கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள். திசையன்களின் நீளமும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் பின்வரும் மதிப்புகளால் குறிப்பிடப்பட்டால் அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கத்தைக் கண்டறியவும்:

மற்றொரு வரையறையும் செல்லுபடியாகும், இது வரையறை 1 க்கு முற்றிலும் சமமானதாகும்.

வரையறை 2... திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு என்பது இந்த திசையன்களில் ஒன்றின் நீளத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமமான எண் (ஸ்கேலார்) ஆகும், இது இந்த திசையன்களில் முதல் திசையினால் தீர்மானிக்கப்படும் அச்சில் மற்ற திசையன் முன்வைக்கப்படுகிறது. வரையறை 2ன் படி சூத்திரம்:

அடுத்த முக்கியமான கோட்பாட்டு புள்ளிக்குப் பிறகு இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

ஆயத்தொலைவுகளின் அடிப்படையில் திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியைத் தீர்மானித்தல்

பெருக்கப்படும் திசையன்கள் அவற்றின் ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்பட்டால் அதே எண்ணைப் பெறலாம்.

வரையறை 3.திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது அந்தந்த ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான எண்ணாகும்.

மேற்பரப்பில்

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் விமானத்தில் அவற்றின் இரண்டால் வரையறுக்கப்பட்டால் கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஆயங்கள்

இந்த வெக்டார்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு அந்தந்த ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

.

உதாரணம் 2.வெக்டருக்கு இணையான அச்சில் வெக்டரின் ப்ரொஜெக்ஷனின் எண் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கத்தைக் கண்டறிகிறோம்:

இப்போது நாம் விளைந்த அளவிடல் உற்பத்தியை திசையன் நீளம் மற்றும் திசையனுக்கு இணையான அச்சில் (சூத்திரத்தின்படி) திசையன் முன்கணிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்கத்துடன் சமன் செய்ய வேண்டும்.

திசையனின் நீளத்தை அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலமாகக் காண்கிறோம்:

.

நாங்கள் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கி அதை தீர்க்கிறோம்:

பதில். விரும்பிய எண் மதிப்பு கழித்தல் 8 ஆகும்.

விண்வெளியில்

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் விண்வெளியில் அவற்றின் மூன்று கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்டால்

,

இந்த வெக்டார்களின் ஸ்கேலார் தயாரிப்பு அந்தந்த ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், ஏற்கனவே மூன்று ஆயங்கள் மட்டுமே உள்ளன:

.

டாட் தயாரிப்பின் பண்புகளை பாகுபடுத்திய பிறகு, பரிசீலிக்கப்பட்ட முறை மூலம் புள்ளி தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் உள்ளது. ஏனெனில் பணியில் பெருக்கப்பட்ட திசையன்கள் எந்த கோணத்தில் உருவாகின்றன என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

வெக்டர் டாட் தயாரிப்பு பண்புகள்

இயற்கணித பண்புகள்

1. (இடப்பெயர்ச்சி சொத்து: பெருக்கப்படும் திசையன்களின் இடங்களில் ஏற்படும் மாற்றத்திலிருந்து அவற்றின் புள்ளி உற்பத்தியின் அளவு மாறாது).

2. (பெருக்கி கூட்டு சொத்து: ஒரு திசையனின் புள்ளிப் பெருக்கல் சில காரணிகளால் பெருக்கப்படும் மற்றும் மற்றொரு திசையன் இந்த வெக்டார்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்திற்கு சமமாக அதே காரணியால் பெருக்கப்படும்).

3. (திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பொறுத்து விநியோக சொத்து: மூன்றாவது திசையன் மூலம் இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையின் புள்ளிப் பெருக்கல், மூன்றாவது திசையன் மூலம் முதல் திசையன் மற்றும் மூன்றாவது திசையன் மூலம் இரண்டாவது திசையன் ஆகியவற்றின் புள்ளி தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்).

4. (வெக்டரின் ஸ்கேலார் சதுரம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது), பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் என்றால், மற்றும், பூஜ்ஜிய திசையன்.

வடிவியல் பண்புகள்

ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாட்டின் வரையறைகளில், இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே தொட்டுள்ளோம். இந்த கருத்தை தெளிவுபடுத்த வேண்டிய நேரம் இது.

மேலே உள்ள படத்தில், இரண்டு திசையன்கள் தெரியும், அவை பொதுவான தோற்றத்திற்கு கொண்டு வரப்படுகின்றன. கவனம் செலுத்த வேண்டிய முதல் விஷயம்: இந்த திசையன்களுக்கு இடையில் இரண்டு கோணங்கள் உள்ளன - φ 1 மற்றும் φ 2 ... திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியின் வரையறைகள் மற்றும் பண்புகளில் இந்தக் கோணங்களில் எது தோன்றும்? கருதப்படும் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 2 ஆகும் π எனவே இந்த கோணங்களின் கோசைன்கள் சமமாக இருக்கும். புள்ளி தயாரிப்பின் வரையறையானது ஒரு கோணத்தின் கோசைனை மட்டுமே உள்ளடக்கியது, அதன் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு அல்ல. ஆனால் சொத்துக்களில் ஒரு மூலை மட்டுமே கருதப்படுகிறது. மிஞ்சாத இரண்டு கோணங்களில் இதுவும் ஒன்று π , அதாவது 180 டிகிரி. படத்தில், இந்த கோணம் என குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது φ 1 .

1. இரண்டு திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ஆர்த்தோகனல் மற்றும் இந்த திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் ஒரு நேர் கோடு (90 டிகிரி அல்லது π / 2) என்றால் இந்த திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும் :

.

திசையன் இயற்கணிதத்தில் ஆர்த்தோகனாலிட்டி என்பது இரண்டு திசையன்களின் செங்குத்தாக உள்ளது.

2. இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் உருவாக்கப்படுகின்றன கூர்மையான மூலை (0 முதல் 90 டிகிரி வரை, அல்லது, இது ஒன்றுதான் - குறைவாக π புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறை .

3. இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் உருவாக்கப்படுகின்றன மழுங்கிய கோணம் (90 முதல் 180 டிகிரி வரை, அல்லது, அதே தான் - மேலும் π / 2) இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது .

எடுத்துக்காட்டு 3.திசையன்கள் ஆயத்தொகுப்புகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

.

கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் அனைத்து ஜோடிகளின் புள்ளி தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடவும். இந்த ஜோடி திசையன்கள் எந்த கோணத்தில் (கடுமையான, நேரான, மழுங்கிய) உருவாகின்றன?

தீர்வு. தொடர்புடைய ஆயங்களின் தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கணக்கிடுவோம்.

எங்களுக்கு எதிர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு பூஜ்ஜியம் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

சுய பரிசோதனைக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

எடுத்துக்காட்டு 4.இரண்டு திசையன்களின் நீளமும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

.

திசையன்கள் மற்றும் செங்குத்தாக (செங்குத்தாக) எந்த எண்ணின் மதிப்பில் உள்ளன என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்கும் விதியின்படி நாம் திசையன்களைப் பெருக்குகிறோம்:

இப்போது ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் கணக்கிடுவோம்:

.

சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் (தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்), ஒத்த சொற்களைக் கொடுத்து சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

பதில்: எங்களுக்கு மதிப்பு கிடைத்தது λ = 1.8, இதற்கு திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல்.

உதாரணம் 5.திசையன் என்பதை நிரூபிக்கவும் திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் (செங்குத்தாக).

தீர்வு. ஆர்த்தோகனாலிட்டியை சரிபார்க்க, திசையன்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகப் பெருக்குகிறோம், அதற்குப் பதிலாக சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

.

இதைச் செய்ய, நீங்கள் முதல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் (காலம்) இரண்டாவதாக ஒவ்வொரு காலத்திலும் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

.

இதன் விளைவாக, பின்னம் செலவில் குறைக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவு பின்வருமாறு:

முடிவு: பெருக்கத்தின் விளைவாக, நாம் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற்றோம், எனவே, திசையன்களின் ஆர்த்தோகனாலிட்டி (செங்குத்தாக) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

சிக்கலை நீங்களே தீர்க்கவும், பின்னர் தீர்வு காணவும்

எடுத்துக்காட்டு 6.திசையன்களின் நீளம் மற்றும், மற்றும் இந்த திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் π /4. எந்த மதிப்பில் தீர்மானிக்கவும் μ திசையன்கள் மற்றும் பரஸ்பர செங்குத்தாக உள்ளன.

சுய பரிசோதனைக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் n-பரிமாண திசையன்களின் தயாரிப்பு

சில நேரங்களில் இரண்டு திசையன்கள் மெட்ரிக்குகளின் வடிவத்தில் பெருக்கப்படுவதைக் குறிப்பிடுவது தெளிவுக்கு சாதகமானது. பின்னர் முதல் திசையன் ஒரு வரிசை அணியாகவும், இரண்டாவது - ஒரு நெடுவரிசை அணியாகவும் குறிப்பிடப்படுகிறது:

அப்போது வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு இருக்கும் இந்த மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு :

முடிவு நாம் ஏற்கனவே பரிசீலித்த முறையால் பெறப்பட்டதைப் போன்றது. ஒரு ஒற்றை எண் பெறப்பட்டது, மேலும் நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் பெருக்கமும் ஒரு ஒற்றை எண்ணாகும்.

மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் சுருக்க n-பரிமாண வெக்டார்களின் தயாரிப்புகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது வசதியானது. எனவே, இரண்டு நான்கு பரிமாண வெக்டார்களின் பலன் நான்கு தனிமங்களைக் கொண்ட ஒரு வரிசை அணி மற்றும் நான்கு உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் பலனாக இருக்கும், இரண்டு ஐந்து பரிமாண திசையன்களின் பலன் ஐந்து உறுப்புகள் மற்றும் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் பலனாக இருக்கும். ஐந்து உறுப்புகள் மற்றும் பலவற்றைக் கொண்ட ஒரு நிரல் அணி.

எடுத்துக்காட்டு 7.திசையன்களின் ஜோடிகளின் புள்ளி தயாரிப்புகளைக் கண்டறியவும்

,

மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

தீர்வு. முதல் ஜோடி திசையன்கள். முதல் திசையனை வரிசை அணியாகவும், இரண்டாவது நெடுவரிசை அணியாகவும் குறிப்பிடுகிறோம். இந்த வெக்டார்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தை நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் பெருக்கமாகக் காண்கிறோம்:

இதேபோல், நாங்கள் இரண்டாவது ஜோடியை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம் மற்றும் கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, எடுத்துக்காட்டு 2 இலிருந்து ஒரே ஜோடிகளின் முடிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் மிகவும் அழகாகவும் சுருக்கமாகவும் உள்ளது.

திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியை வெளிப்படுத்த

(1)

ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில், அலகு திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியை முதலில் கண்டுபிடிப்போம். வரையறையின்படி ஒரு திசையனின் புள்ளி தயாரிப்பு:

மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் எழுதப்பட்டிருப்பதன் அர்த்தம்: ஒரு வெக்டரின் புள்ளி தயாரிப்பு அதன் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்... பூஜ்ஜியத்தின் கொசைன் ஒன்றுக்கு சமம், எனவே ஒவ்வொரு ஆர்ட்டின் சதுரமும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்:

திசையன்கள் என்பதால்

ஜோடிவரிசை செங்குத்தாக இருக்கும், பின்னர் அலகு திசையன்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்:

இப்போது திசையன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தைச் செய்வோம்:

யூனிட் வெக்டார்களின் தொடர்புடைய ஸ்கேலர் தயாரிப்புகளின் மதிப்புகளை சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் மாற்றுகிறோம்:

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 8.மூன்று புள்ளிகள் வழங்கப்பட்டது ஏ(1;1;1), பி(2;2;1), சி(2;1;2).

மூலையைக் கண்டுபிடி.

தீர்வு. திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்:

,

.

ஒரு கோணத்தின் கோசைன் சூத்திரத்தின் படி, நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே, .

சுய பரிசோதனைக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

எடுத்துக்காட்டு 9.இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன

அவற்றுக்கிடையேயான தொகை, வேறுபாடு, நீளம், புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

2. வேறுபாடு

சொற்பொழிவு: திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்; திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு; திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம்

திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

எனவே, முன்னர் குறிப்பிட்டபடி, திசையன்கள் ஒரு திசைப் பிரிவாகும், இது அதன் சொந்த தொடக்கத்தையும் முடிவையும் கொண்டுள்ளது. தொடக்கமும் முடிவும் சில புள்ளிகளால் குறிக்கப்பட்டால், அவை ஒரு விமானத்தில் அல்லது விண்வெளியில் அவற்றின் சொந்த ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளன.

ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அதன் சொந்த ஆயங்கள் இருந்தால், முழு வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளையும் நாம் பெறலாம்.

எங்களிடம் சில திசையன்கள் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம், அதன் ஆரம்பம் மற்றும் திசையனின் முடிவு பின்வரும் பெயர்கள் மற்றும் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது: A (A x; Ay) மற்றும் B (B x; By)

இந்த வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைப் பெற, திசையனின் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து தொடக்கத்தின் தொடர்புடைய ஆயத்தொலைவுகளைக் கழிக்க வேண்டியது அவசியம்:

விண்வெளியில் ஒரு வெக்டரின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு

டாட் தயாரிப்பை வரையறுக்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன:

• வடிவியல் வழி. அவரைப் பொறுத்தவரை, புள்ளி தயாரிப்பு என்பது இந்த தொகுதிகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மதிப்புகளின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

• இயற்கணித பொருள். இயற்கணிதத்தின் பார்வையில், இரண்டு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது தொடர்புடைய திசையன்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையின் விளைவாக பெறப்படும் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு ஆகும்.

திசையன்கள் விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்டால், நீங்கள் இதேபோன்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

பண்புகள்:

• ஒரே மாதிரியான இரண்டு வெக்டார்களை அளவுகோலாகப் பெருக்கினால், அவற்றின் புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையாக இருக்காது:

• ஒரே மாதிரியான இரண்டு வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறினால், இந்த திசையன்கள் பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகின்றன:

• ஒரு திசையன் தன்னைத்தானே பெருக்கினால், ஸ்கேலர் தயாரிப்பு அதன் மாடுலஸின் சதுரத்திற்கு சமமாக இருக்கும்:

• அளவிடல் தயாரிப்பு ஒரு தகவல்தொடர்பு பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, திசையன்களின் வரிசைமாற்றத்திலிருந்து அளவிடுதல் தயாரிப்பு மாறாது:

• திசையன்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்:

• திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்புக்கு, திசையன்களில் ஒன்றை எண்ணால் பெருக்கும்போது இடப்பெயர்ச்சி விதி செல்லுபடியாகும்:

• புள்ளி தயாரிப்புடன், நீங்கள் பெருக்கத்தின் பகிர்ந்தளிக்கும் பண்புகளையும் பயன்படுத்தலாம்:

திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம்