ஹார்னர் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குதல். உயர் கணிதத்தில் சமன்பாடுகள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பகுத்தறிவு வேர்கள்

முதலியன இது ஒரு பொதுவான கல்வி இயல்புடையது மற்றும் உயர் கணிதத்தின் முழுப் பாடத்தையும் படிப்பதற்கு மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. இன்று நாம் "பள்ளி" சமன்பாடுகளை மீண்டும் செய்வோம், ஆனால் "பள்ளி" சமன்பாடுகள் மட்டுமல்ல - பல்வேறு vyshmat சிக்கல்களில் எல்லா இடங்களிலும் காணப்படும். வழக்கம் போல், கதை பயன்பாட்டு முறையில் சொல்லப்படும், அதாவது. நான் வரையறைகள் மற்றும் வகைப்பாடுகளில் கவனம் செலுத்த மாட்டேன், ஆனால் அதைத் தீர்ப்பதற்கான எனது தனிப்பட்ட அனுபவத்தை உங்களுடன் பகிர்ந்து கொள்கிறேன். தகவல் முதன்மையாக ஆரம்பநிலைக்கானது, ஆனால் மேம்பட்ட வாசகர்கள் தங்களுக்கு பல சுவாரஸ்யமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பார்கள். மற்றும், நிச்சயமாக, உயர்நிலைப் பள்ளியைத் தாண்டிய புதிய பொருள் இருக்கும்.

எனவே சமன்பாடு…. பலர் நடுக்கத்துடன் இந்த வார்த்தையை நினைவில் கொள்கிறார்கள். வேர்கள் மதிப்புள்ள "அதிநவீன" சமன்பாடுகள் என்னென்ன... ...அவற்றை மறந்துவிடு! ஏனெனில் இந்த இனத்தின் மிகவும் பாதிப்பில்லாத "பிரதிநிதிகளை" நீங்கள் சந்திப்பீர்கள். அல்லது டஜன் கணக்கான தீர்வு முறைகள் கொண்ட சலிப்பான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள். உண்மையைச் சொல்வதானால், நான் அவர்களை நானே விரும்பவில்லை ... பீதியடைய வேண்டாம்! - பின்னர் பெரும்பாலும் "டேன்டேலியன்ஸ்" 1-2 படிகளில் ஒரு தெளிவான தீர்வுடன் காத்திருக்கிறது. "பர்டாக்" நிச்சயமாக ஒட்டிக்கொண்டாலும், நீங்கள் இங்கே புறநிலையாக இருக்க வேண்டும்.

விந்தை போதும், உயர் கணிதத்தில் மிகவும் பழமையான சமன்பாடுகளைக் கையாள்வது மிகவும் பொதுவானது. நேரியல்சமன்பாடுகள்

இந்த சமன்பாட்டை தீர்ப்பதன் அர்த்தம் என்ன? இதன் பொருள் "x" (ரூட்) இன் அத்தகைய மதிப்பை உண்மையான சமத்துவமாக மாற்றும். அடையாளத்தை மாற்றுவதன் மூலம் "மூன்று" வலதுபுறம் எறிவோம்:

மற்றும் வலது பக்கம் "இரண்டு" கைவிட (அல்லது, அதே விஷயம் - இரு பக்கமும் பெருக்கவும்) :

சரிபார்க்க, வென்ற கோப்பையை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பு உண்மையில் இந்த சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும். அல்லது, அவர்கள் சொல்வது போல், இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது.

மூலத்தை தசம பின்னமாகவும் எழுதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்:
இந்த மோசமான பாணியில் ஒட்டாமல் இருக்க முயற்சி செய்யுங்கள்! நான் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை காரணத்தை மீண்டும் சொன்னேன், குறிப்பாக, முதல் பாடத்தில் உயர் இயற்கணிதம்.

மூலம், சமன்பாடு "அரபியில்" தீர்க்கப்படலாம்:

மிகவும் சுவாரஸ்யமான விஷயம் என்னவென்றால், இந்த பதிவு முற்றிலும் சட்டபூர்வமானது! ஆனால் நீங்கள் ஒரு ஆசிரியராக இல்லாவிட்டால், இதைச் செய்யாமல் இருப்பது நல்லது, ஏனென்றால் அசல் தன்மை இங்கே தண்டனைக்குரியது =)

இப்போது பற்றி கொஞ்சம்

வரைகலை தீர்வு முறை

சமன்பாடு வடிவம் மற்றும் அதன் வேர் உள்ளது "எக்ஸ்" ஒருங்கிணைப்பு வெட்டும் புள்ளிகள் நேரியல் செயல்பாடு வரைபடம்நேரியல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் (x அச்சு):

எடுத்துக்காட்டு மிகவும் அடிப்படையானது என்று தோன்றுகிறது, மேலும் இங்கு பகுப்பாய்வு செய்ய எதுவும் இல்லை, ஆனால் இன்னும் ஒரு எதிர்பாராத நுணுக்கத்தை அதிலிருந்து "பிழியலாம்": அதே சமன்பாட்டை வடிவத்தில் முன்வைப்போம் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்:

அதே நேரத்தில், தயவு செய்து இரண்டு கருத்துக்களையும் குழப்ப வேண்டாம்: ஒரு சமன்பாடு என்பது ஒரு சமன்பாடு, மற்றும் செயல்பாடு- இது ஒரு செயல்பாடு! செயல்பாடுகள் உதவி மட்டுமேசமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும். அதில் இரண்டு, மூன்று, நான்கு அல்லது எண்ணற்ற பல இருக்கலாம். இந்த அர்த்தத்தில் மிக நெருக்கமான உதாரணம் நன்கு அறியப்பட்டதாகும் இருபடி சமன்பாடு, தீர்வு அல்காரிதம் ஒரு தனி பத்தி பெறப்பட்டது "சூடான" பள்ளி சூத்திரங்கள். மேலும் இது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல! நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்த்து தெரிந்து கொள்ளலாம் பித்தகோரியன் தேற்றம், அப்படியானால், "உயர்ந்த கணிதத்தின் பாதி ஏற்கனவே உங்கள் பாக்கெட்டில் உள்ளது" என்று ஒருவர் கூறலாம் =) மிகைப்படுத்தப்பட்டது, நிச்சயமாக, ஆனால் உண்மையிலிருந்து வெகு தொலைவில் இல்லை!

எனவே, சோம்பேறியாக இருக்காமல் சில இருபடி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம் நிலையான அல்காரிதம்:

, அதாவது சமன்பாடு இரண்டு வேறுபட்டது செல்லுபடியாகும்வேர்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரண்டு மதிப்புகளும் உண்மையில் இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகின்றன என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது:

நீங்கள் திடீரென்று தீர்வு வழிமுறையை மறந்துவிட்டால், கையில் எந்த வழியும்/உதவியும் இல்லை என்றால் என்ன செய்வது? இந்த நிலைமை ஏற்படலாம், உதாரணமாக, ஒரு சோதனை அல்லது தேர்வின் போது. நாங்கள் வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்! மற்றும் இரண்டு வழிகள் உள்ளன: உங்களால் முடியும் புள்ளி புள்ளி கட்டபரவளைய , அதன் மூலம் அது அச்சை எங்கு வெட்டுகிறது என்பதைக் கண்டறியவும் (அது கடந்து சென்றால்). ஆனால் இன்னும் தந்திரமான ஒன்றைச் செய்வது நல்லது: வடிவத்தில் சமன்பாட்டை கற்பனை செய்து, எளிமையான செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை வரையவும் - மற்றும் "எக்ஸ்" ஆயத்தொகுப்புகள்அவற்றின் வெட்டும் புள்ளிகள் தெளிவாகத் தெரியும்!


நேர்கோடு பரவளையத்தைத் தொடுகிறது என்று மாறினால், சமன்பாடு இரண்டு இணையான (பல) வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. நேர் கோடு பரவளையத்தை வெட்டவில்லை என்று மாறிவிட்டால், உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

இதை செய்ய, நிச்சயமாக, நீங்கள் உருவாக்க முடியும் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள், ஆனால் மறுபுறம், ஒரு பள்ளி குழந்தை கூட இந்த திறன்களை செய்ய முடியும்.

மீண்டும் - ஒரு சமன்பாடு என்பது ஒரு சமன்பாடு, மற்றும் செயல்பாடுகள் , செயல்பாடுகள் ஆகும் மட்டுமே உதவியதுசமன்பாட்டை தீர்க்கவும்!

இங்கே, இன்னும் ஒரு விஷயத்தை நினைவில் கொள்வது பொருத்தமானதாக இருக்கும்: ஒரு சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால், அதன் வேர்கள் மாறாது.

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு ஒரே வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு எளிய "ஆதாரமாக", நான் அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து மாறிலியை எடுக்கிறேன்:
நான் அதை வலியின்றி அகற்றுவேன் (இரண்டு பகுதிகளையும் "மைனஸ் டூ" ஆல் வகுக்கிறேன்):

ஆனால்!செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டால், இங்கே நாம் மாறிலியிலிருந்து விடுபட முடியாது! அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பெருக்கியை எடுக்க மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுகிறது: .

பலர் வரைகலை தீர்வு முறையை குறைத்து மதிப்பிடுகின்றனர், இது "கண்ணியமற்றது" என்று கருதுகின்றனர், மேலும் சிலர் இந்த சாத்தியத்தை முற்றிலும் மறந்துவிடுகிறார்கள். இது அடிப்படையில் தவறானது, ஏனென்றால் வரைபடங்களைத் திட்டமிடுவது சில நேரங்களில் நிலைமையைக் காப்பாற்றும்!

மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு: எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் உங்களுக்கு நினைவில் இல்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம்: . பொதுவான சூத்திரம் பள்ளி பாடப்புத்தகங்களில், தொடக்கக் கணிதம் பற்றிய அனைத்து குறிப்பு புத்தகங்களிலும் உள்ளது, ஆனால் அவை உங்களுக்குக் கிடைக்காது. இருப்பினும், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது மிகவும் முக்கியமானது (அக்கா "இரண்டு"). ஒரு வழி இருக்கிறது! - செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குதல்:


அதன் பிறகு, அவற்றின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் “எக்ஸ்” ஆயங்களை அமைதியாக எழுதுகிறோம்:

எண்ணற்ற பல வேர்கள் உள்ளன, இயற்கணிதத்தில் அவற்றின் சுருக்கப்பட்ட குறியீடு ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது:
, எங்கே ( – முழு எண்களின் தொகுப்பு) .

மேலும், "போகாமல்", ஒரு மாறியுடன் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறையைப் பற்றி சில வார்த்தைகள். கொள்கை ஒன்றே. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு எந்த "x" ஆகும், ஏனெனில் சைனூசாய்டு கிட்டத்தட்ட முற்றிலும் நேர் கோட்டின் கீழ் உள்ளது. சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு என்பது சைனூசாய்டின் துண்டுகள் கண்டிப்பாக நேர் கோட்டிற்கு மேலே இருக்கும் இடைவெளிகளின் தொகுப்பாகும். (x-அச்சு):

அல்லது, சுருக்கமாக:

ஆனால் சமத்துவமின்மைக்கு பல தீர்வுகள் உள்ளன: காலி, சைனூசாய்டின் எந்தப் புள்ளியும் நேர் கோட்டிற்கு மேல் இல்லை என்பதால்.

உங்களுக்குப் புரியாதது ஏதும் உண்டா? பற்றி பாடங்களை அவசரமாக படிக்கவும் அமைக்கிறதுமற்றும் செயல்பாட்டு வரைபடங்கள்!

சூடேற்றுவோம்:

பணி 1

பின்வரும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை வரைபடமாகத் தீர்க்கவும்:

பாடத்தின் முடிவில் பதில்கள்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, துல்லியமான அறிவியலைப் படிக்க, சூத்திரங்கள் மற்றும் குறிப்பு புத்தகங்களைத் திணிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை! மேலும், இது அடிப்படையில் தவறான அணுகுமுறையாகும்.

பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் நான் உங்களுக்கு உறுதியளித்தபடி, உயர் கணிதத்தின் நிலையான பாடத்தில் சிக்கலான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மிகவும் அரிதாகவே தீர்க்கப்பட வேண்டும். அனைத்து சிக்கலானது, ஒரு விதியாக, போன்ற சமன்பாடுகளுடன் முடிவடைகிறது, இதன் தீர்வு எளிய சமன்பாடுகளிலிருந்து உருவாகும் வேர்களின் இரண்டு குழுக்களாகும். . பிந்தையதைத் தீர்ப்பது பற்றி அதிகம் கவலைப்பட வேண்டாம் - ஒரு புத்தகத்தில் பாருங்கள் அல்லது இணையத்தில் கண்டுபிடிக்கவும் =)

வரைகலை தீர்வு முறை குறைவான அற்பமான சந்தர்ப்பங்களில் உதவலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் "ராக்டேக்" சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

அதன் தீர்வுக்கான வாய்ப்புகள் தோற்றமளிக்கின்றன... எதையும் போல் தோன்றவில்லை, ஆனால் நீங்கள் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் கற்பனை செய்து உருவாக்க வேண்டும். செயல்பாட்டு வரைபடங்கள்மற்றும் எல்லாம் நம்பமுடியாத எளிமையானதாக மாறும். பற்றி கட்டுரையின் நடுவில் ஒரு வரைதல் உள்ளது எல்லையற்ற செயல்பாடுகள் (அடுத்த தாவலில் திறக்கப்படும்).

அதே வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாட்டில் ஏற்கனவே இரண்டு வேர்கள் இருப்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம், அவற்றில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றொன்று வெளிப்படையாக, பகுத்தறிவற்றமற்றும் பிரிவைச் சேர்ந்தது. இந்த மூலத்தை தோராயமாக கணக்கிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, தொடுகோடு முறை. மூலம், சில சிக்கல்களில், நீங்கள் வேர்களைக் கண்டுபிடிக்கத் தேவையில்லை, ஆனால் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் அவை எல்லாம் இருக்கிறதா?. இங்கே, ஒரு வரைபடம் உதவக்கூடும் - வரைபடங்கள் வெட்டவில்லை என்றால், வேர்கள் இல்லை.

முழு எண் குணகங்கள் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பகுத்தறிவு வேர்கள்.
ஹார்னர் திட்டம்

இப்போது உங்கள் பார்வையை இடைக்காலத்தின் பக்கம் திருப்பவும், கிளாசிக்கல் இயற்கணிதத்தின் தனித்துவமான சூழ்நிலையை உணரவும் உங்களை அழைக்கிறேன். பொருள் பற்றிய சிறந்த புரிதலுக்கு, நீங்கள் குறைந்தபட்சம் கொஞ்சம் படிக்க வேண்டும் என்று நான் பரிந்துரைக்கிறேன் சிக்கலான எண்கள்.

அவர்கள் சிறந்தவர்கள். பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.

எங்கள் ஆர்வத்தின் பொருள் படிவத்தின் மிகவும் பொதுவான பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கும் முழுவதும்குணகங்கள் ஒரு இயற்கை எண் அழைக்கப்படுகிறது பல்லுறுப்புக்கோவை பட்டம், எண் - உயர்ந்த பட்டத்தின் குணகம் (அல்லது மிக உயர்ந்த குணகம்), மற்றும் குணகம் இலவச உறுப்பினர்.

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையை நான் சுருக்கமாகக் குறிப்பிடுகிறேன்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள்சமன்பாட்டின் வேர்களை அழைக்கவும்

நான் இரும்பு தர்க்கத்தை விரும்புகிறேன் =)

எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு, கட்டுரையின் தொடக்கத்திற்குச் செல்லவும்:

1 மற்றும் 2 வது டிகிரிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை, ஆனால் நீங்கள் அதிகரிக்கும் போது இந்த பணி மேலும் மேலும் கடினமாகிறது. மறுபுறம், எல்லாம் மிகவும் சுவாரஸ்யமானது என்றாலும்! பாடத்தின் இரண்டாம் பகுதி அர்ப்பணிக்கப்படுவது இதுதான்.

முதலில், கோட்பாட்டின் பாதி திரை:

1) முடிவின் படி இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றம், பட்டம் பல்லுறுப்புக்கோவை சரியாக உள்ளது சிக்கலானவேர்கள். சில வேர்கள் (அல்லது அனைத்தும் கூட) குறிப்பாக இருக்கலாம் செல்லுபடியாகும். மேலும், உண்மையான வேர்களில் ஒரே மாதிரியான (பல) வேர்கள் இருக்கலாம் (குறைந்தபட்சம் இரண்டு, அதிகபட்ச துண்டுகள்).

சில கலப்பு எண்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருந்தால் இணைஅதன் எண் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமும் அவசியம் (இணைந்த சிக்கலான வேர்கள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன).

எளிமையான உதாரணம் ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும், இது முதலில் 8 இல் சந்தித்தது (போன்ற)வகுப்பு, மற்றும் நாங்கள் இறுதியாக தலைப்பில் "முடித்தோம்" சிக்கலான எண்கள். நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான வேர்கள் அல்லது பல வேர்கள் அல்லது சிக்கலான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

2) இருந்து பெசவுட்டின் தேற்றம்ஒரு எண் சமன்பாட்டின் மூலமாக இருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கப்படலாம்:
, பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே .

மீண்டும், எங்கள் பழைய உதாரணம்: சமன்பாட்டின் வேர் என்பதால், . அதன் பிறகு நன்கு அறியப்பட்ட "பள்ளி" விரிவாக்கத்தைப் பெறுவது கடினம் அல்ல.

Bezout இன் தேற்றத்தின் தொடர்ச்சி பெரும் நடைமுறை மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது: 3 வது பட்டத்தின் சமன்பாட்டின் மூலத்தை நாம் அறிந்தால், அதை வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம் மற்றும் இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து மீதமுள்ள வேர்களைக் கண்டறிவது எளிது. 4 வது பட்டத்தின் சமன்பாட்டின் மூலத்தை நாம் அறிந்தால், இடது பக்கத்தை ஒரு பொருளாக விரிவாக்க முடியும்.

மேலும் இங்கே இரண்டு கேள்விகள் உள்ளன:

கேள்வி ஒன்று. இந்த மூலத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது? முதலில், அதன் இயல்பை வரையறுப்போம்: உயர் கணிதத்தின் பல சிக்கல்களில் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது அவசியம் பகுத்தறிவு, குறிப்பாக முழுவதும்பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்கள், மற்றும் இது சம்பந்தமாக, கீழே நாம் முக்கியமாக ஆர்வமாக இருப்போம்.... ...அவை மிகவும் நல்லவை, மிகவும் பஞ்சுபோன்றவை, நீங்கள் அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறீர்கள்! =)

முதலில் நினைவுக்கு வருவது தேர்வு முறை. உதாரணமாக, சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இங்கே பிடிப்பது இலவச வார்த்தையில் உள்ளது - அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், எல்லாம் சரியாகிவிடும் - அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து "X" ஐ எடுத்து, வேர்கள் மேற்பரப்பில் "விழும்":

ஆனால் எங்கள் இலவச சொல் "மூன்று" க்கு சமம், எனவே "ரூட்" என்று கூறும் சமன்பாட்டில் பல்வேறு எண்களை மாற்றத் தொடங்குகிறோம். முதலாவதாக, ஒற்றை மதிப்புகளின் மாற்றீடு தன்னைப் பரிந்துரைக்கிறது. மாற்றுவோம்:

பெற்றது தவறானசமத்துவம், இதனால் அலகு "பொருந்தவில்லை." சரி, மாற்றுவோம்:

பெற்றது உண்மைசமத்துவம்! அதாவது, மதிப்பு இந்த சமன்பாட்டின் வேர்.

3 வது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைக் கண்டறிய, ஒரு பகுப்பாய்வு முறை உள்ளது (கார்டானோ சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுபவை), ஆனால் இப்போது நாம் சற்று வித்தியாசமான பணியில் ஆர்வமாக உள்ளோம்.

- நமது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் என்பதால், பல்லுறுப்புக்கோவை வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டு எழுகிறது இரண்டாவது கேள்வி: "இளைய சகோதரனை" எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

எளிமையான இயற்கணிதக் கருத்தாய்வுகள் இதைச் செய்ய நாம் வகுக்க வேண்டும் என்று பரிந்துரைக்கின்றன. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை பல்லுறுப்புக்கோவையால் எவ்வாறு பிரிப்பது? சாதாரண எண்களைப் பிரிக்கும் அதே பள்ளி முறை - “நெடுவரிசை”! பாடத்தின் முதல் எடுத்துக்காட்டுகளில் இந்த முறையை விரிவாக விவாதித்தேன். சிக்கலான வரம்புகள், இப்போது நாம் மற்றொரு முறையைப் பார்ப்போம், இது அழைக்கப்படுகிறது ஹார்னர் திட்டம்.

முதலில் நாம் "மிக உயர்ந்த" பல்லுறுப்புக்கோவை எழுதுகிறோம் அனைவருடனும் , பூஜ்ஜிய குணகங்கள் உட்பட:
, அதன் பிறகு இந்த குணகங்களை (கண்டிப்பாக வரிசையில்) அட்டவணையின் மேல் வரிசையில் உள்ளிடுகிறோம்:

இடதுபுறத்தில் மூலத்தை எழுதுகிறோம்:

"சிவப்பு" எண் இருந்தால், ஹார்னரின் திட்டமும் செயல்படும் என்பதை உடனடியாக முன்பதிவு செய்வேன் இல்லைபல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும். இருப்பினும், விஷயங்களை அவசரப்படுத்த வேண்டாம்.

மேலே இருந்து முன்னணி குணகத்தை நாங்கள் அகற்றுகிறோம்:

கீழ் செல்களை நிரப்பும் செயல்முறை எம்பிராய்டரியை ஓரளவு நினைவூட்டுகிறது, அங்கு "மைனஸ் ஒன்" என்பது ஒரு வகையான "ஊசி" ஆகும், இது அடுத்தடுத்த படிகளை ஊடுருவுகிறது. "கீழே எடுத்துச் செல்லப்பட்ட" எண்ணை (-1) ஆல் பெருக்கி, மேல் கலத்திலிருந்து எண்ணை தயாரிப்பில் சேர்க்கிறோம்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை "சிவப்பு ஊசி" மூலம் பெருக்கி, பின்வரும் சமன்பாடு குணகத்தை தயாரிப்பில் சேர்க்கிறோம்:

இறுதியாக, இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு மீண்டும் "ஊசி" மற்றும் மேல் குணகத்துடன் "செயலாக்கப்படுகிறது":

கடைசி கலத்தில் உள்ள பூஜ்ஜியம் பல்லுறுப்புக்கோவை பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்று சொல்கிறது ஒரு தடயமும் இல்லாமல் (அது இருக்க வேண்டும்), விரிவாக்க குணகங்கள் அட்டவணையின் கீழ் வரியிலிருந்து நேரடியாக "அகற்றப்படுகின்றன":

எனவே, நாம் சமன்பாட்டிலிருந்து சமமான சமன்பாட்டிற்கு நகர்ந்தோம், மீதமுள்ள இரண்டு வேர்களுடன் எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது. (இந்த வழக்கில் நாம் சிக்கலான வேர்களை இணைக்கிறோம்).

சமன்பாடு, மூலம், வரைபட ரீதியாகவும் தீர்க்கப்படலாம்: சதி "மின்னல்" மற்றும் வரைபடம் x- அச்சைக் கடப்பதைப் பார்க்கவும் () புள்ளியில். அல்லது அதே "தந்திரமான" தந்திரம் - நாங்கள் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுகிறோம், அடிப்படை வரைபடங்களை வரைந்து, அவற்றின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் "எக்ஸ்" ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிகிறோம்.

மூலம், எந்த மூன்றாம் நிலை பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டின் வரைபடம் குறைந்தபட்சம் ஒருமுறை அச்சை வெட்டுகிறது, அதாவது தொடர்புடைய சமன்பாடு உள்ளது குறைந்தபட்சம்ஒன்று செல்லுபடியாகும்வேர். ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் எந்த பல்லுறுப்புக்கோவைச் செயல்பாட்டிற்கும் இந்த உண்மை பொருந்தும்.

மேலும் இங்கே நானும் வாழ விரும்புகிறேன் முக்கியமான புள்ளிசொற்களைப் பற்றியது: பல்லுறுப்புக்கோவைமற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடு – அது அதே விஷயம் இல்லை! ஆனால் நடைமுறையில் அவர்கள் அடிக்கடி பேசுகிறார்கள், உதாரணமாக, "ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வரைபடம்" பற்றி, இது, நிச்சயமாக, அலட்சியம்.

இருப்பினும், ஹார்னரின் திட்டத்திற்கு வருவோம். நான் சமீபத்தில் குறிப்பிட்டது போல், இந்த திட்டம் மற்ற எண்களுக்கு வேலை செய்கிறது, ஆனால் எண்ணாக இருந்தால் இல்லைசமன்பாட்டின் ரூட், பின்னர் பூஜ்ஜியமற்ற கூட்டல் (மீதம்) எங்கள் சூத்திரத்தில் தோன்றும்:

ஹார்னரின் திட்டத்தின்படி "தோல்வியுற்ற" மதிப்பை "இயக்க" செய்வோம். இந்த வழக்கில், அதே அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது - இடதுபுறத்தில் ஒரு புதிய "ஊசி" எழுதவும், மேலே இருந்து முன்னணி குணகத்தை நகர்த்தவும் (இடது பச்சை அம்பு), மற்றும் நாங்கள் செல்கிறோம்:

சரிபார்க்க, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து இதே போன்ற சொற்களை வழங்குவோம்:
, சரி.

மீதியானது ("ஆறு") இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பாக இருப்பதைக் கவனிப்பது எளிது. உண்மையில் - அது என்ன:
, மற்றும் இன்னும் இனிமையானது - இது போன்றது:

மேலே உள்ள கணக்கீடுகளில் இருந்து, ஹார்னரின் திட்டம் பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்குவது மட்டுமல்லாமல், ரூட்டின் "நாகரிக" தேர்வை மேற்கொள்ளவும் அனுமதிக்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது எளிது. ஒரு சிறிய பணியுடன் கணக்கீட்டு வழிமுறையை சுயாதீனமாக ஒருங்கிணைக்க பரிந்துரைக்கிறேன்:

பணி 2

ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாட்டின் முழு எண் மூலத்தைக் கண்டறிந்து, அதனுடன் தொடர்புடைய பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்கவும்

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கடைசி நெடுவரிசையில் பூஜ்ஜியம் எஞ்சியிருக்கும் வரை 1, –1, 2, –2, ... – எண்களை இங்கே நீங்கள் தொடர்ச்சியாகச் சரிபார்க்க வேண்டும். இந்த வரியின் "ஊசி" பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் என்று அர்த்தம்

கணக்கீடுகளை ஒரே அட்டவணையில் ஏற்பாடு செய்வது வசதியானது. பாடத்தின் முடிவில் விரிவான தீர்வு மற்றும் பதில்.

வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான நிகழ்வுகளுக்கு நல்லது, ஆனால் குணகங்கள் மற்றும்/அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு பெரியதாக இருந்தால், செயல்முறை நீண்ட நேரம் ஆகலாம். அல்லது அதே பட்டியலில் 1, –1, 2, –2 இலிருந்து சில மதிப்புகள் இருக்கலாம் மற்றும் கருத்தில் கொள்வதில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை? மேலும், வேர்கள் பகுதியளவு மாறக்கூடும், இது முற்றிலும் அறிவியலற்ற குத்தலுக்கு வழிவகுக்கும்.

அதிர்ஷ்டவசமாக, பகுத்தறிவு வேர்களுக்கான "வேட்பாளர்" மதிப்புகளுக்கான தேடலை கணிசமாகக் குறைக்கக்கூடிய இரண்டு சக்திவாய்ந்த கோட்பாடுகள் உள்ளன:

தேற்றம் 1கருத்தில் கொள்வோம் குறைக்க முடியாததுபின்னம், எங்கே. எண் சமன்பாட்டின் மூலமாக இருந்தால், இலவச சொல் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் முன்னணி குணகம் வகுக்கப்படுகிறது.

குறிப்பாக, முன்னணி குணகம் என்றால், இந்த பகுத்தறிவு ரூட் ஒரு முழு எண்:

இந்த சுவையான விவரத்துடன் தேற்றத்தை நாம் பயன்படுத்தத் தொடங்குகிறோம்:

சமன்பாட்டிற்கு திரும்புவோம். அதன் முன்னணி குணகம் என்பதால், கருதுகோள் பகுத்தறிவு வேர்கள் பிரத்தியேகமாக முழு எண்ணாக இருக்க முடியும், மேலும் இலவச சொல் இந்த வேர்களாக எஞ்சியில்லாமல் பிரிக்கப்பட வேண்டும். மேலும் “மூன்று” என்பதை 1, –1, 3 மற்றும் –3 என மட்டுமே பிரிக்க முடியும். அதாவது, எங்களிடம் 4 "ரூட் வேட்பாளர்கள்" மட்டுமே உள்ளனர். மற்றும், படி தேற்றம் 1, பிற விகிதமுறு எண்கள் கொள்கையில் இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்க முடியாது.

சமன்பாட்டில் இன்னும் கொஞ்சம் "போட்டியாளர்கள்" உள்ளனர்: இலவச சொல் 1, -1, 2, - 2, 4 மற்றும் -4 என பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.

1, –1 எண்கள் சாத்தியமான வேர்களின் பட்டியலில் "வழக்கமானவை" என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் (தேற்றத்தின் வெளிப்படையான விளைவு)மற்றும் முன்னுரிமை சோதனைக்கான சிறந்த தேர்வு.

இன்னும் அர்த்தமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு செல்லலாம்:

பிரச்சனை 3

தீர்வு: முன்னணி குணகம் என்பதால், அனுமான பகுத்தறிவு வேர்கள் முழு எண்ணாக மட்டுமே இருக்க முடியும், மேலும் அவை இலவச காலத்தின் வகுப்பிகளாக இருக்க வேண்டும். "மைனஸ் நாற்பது" பின்வரும் ஜோடி எண்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:
- மொத்தம் 16 "வேட்பாளர்கள்".

இங்கே ஒரு கவர்ச்சியான எண்ணம் உடனடியாக தோன்றுகிறது: அனைத்து எதிர்மறை அல்லது அனைத்து நேர்மறையான வேர்களையும் களைய முடியுமா? சில சந்தர்ப்பங்களில் இது சாத்தியம்! நான் இரண்டு அறிகுறிகளை உருவாக்குவேன்:

1) என்றால் அனைத்துபல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் எதிர்மறையாகவோ அல்லது அனைத்தும் நேர்மறையாகவோ இருந்தால், அது நேர்மறை வேர்களைக் கொண்டிருக்க முடியாது. துரதிர்ஷ்டவசமாக, இது எங்கள் வழக்கு அல்ல (இப்போது, ​​நமக்கு ஒரு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் - ஆம், பல்லுறுப்புக்கோவையின் எந்த மதிப்பையும் மாற்றும் போது, ​​பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பு கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருக்கும், அதாவது அனைத்து நேர்மறை எண்களும் (மற்றும் பகுத்தறிவற்றவை கூட)சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்க முடியாது.

2) ஒற்றைப்படை சக்திகளுக்கான குணகங்கள் எதிர்மறை அல்லாத மற்றும் அனைத்து சம சக்திகளுக்கும் இருந்தால் (இலவச உறுப்பினர் உட்பட)எதிர்மறையானது, பின்னர் பல்லுறுப்புக்கோவை எதிர்மறை வேர்களைக் கொண்டிருக்க முடியாது. அல்லது "கண்ணாடி": ஒற்றைப்படை சக்திகளுக்கான குணகங்கள் நேர்மறை அல்ல, மேலும் அனைத்து சம சக்திகளுக்கும் அவை நேர்மறை.

இது எங்கள் வழக்கு! சற்று நெருக்கமாகப் பார்த்தால், சமன்பாட்டில் ஏதேனும் எதிர்மறையான "X" ஐ மாற்றும்போது, ​​இடது புறம் கண்டிப்பாக எதிர்மறையாக இருக்கும், அதாவது எதிர்மறை வேர்கள் மறைந்துவிடும்.

எனவே, ஆராய்ச்சிக்கு 8 எண்கள் உள்ளன:

ஹார்னரின் திட்டத்தின்படி அவற்றை தொடர்ச்சியாக "சார்ஜ்" செய்கிறோம். நீங்கள் ஏற்கனவே மனக் கணக்கீடுகளில் தேர்ச்சி பெற்றிருக்கிறீர்கள் என்று நம்புகிறேன்:

"இரண்டு" சோதனை செய்யும் போது அதிர்ஷ்டம் எங்களுக்கு காத்திருந்தது. எனவே, பரிசீலனையில் உள்ள சமன்பாட்டின் வேர், மற்றும்

சமன்பாட்டைப் படிக்க இது உள்ளது . பாகுபாடு காட்டுபவர் மூலம் இதைச் செய்வது எளிது, ஆனால் அதே திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி நான் ஒரு அறிகுறி சோதனை நடத்துவேன். முதலில், இலவச சொல் 20 க்கு சமம் என்பதை கவனத்தில் கொள்வோம், அதாவது தேற்றம் 1 8 மற்றும் 40 எண்கள் சாத்தியமான வேர்களின் பட்டியலில் இருந்து வெளியேறி, ஆராய்ச்சிக்கான மதிப்புகளை விட்டுவிடுகின்றன (ஹார்னரின் திட்டத்தின்படி ஒன்று நீக்கப்பட்டது).

புதிய அட்டவணையின் மேல் வரிசையில் முக்கோணத்தின் குணகங்களை எழுதுகிறோம் நாங்கள் அதே "இரண்டு" மூலம் சரிபார்க்கத் தொடங்குகிறோம். ஏன்? மேலும் வேர்கள் பல மடங்குகளாக இருக்கலாம் என்பதால், தயவுசெய்து: - இந்த சமன்பாட்டில் 10 ஒத்த வேர்கள் உள்ளன. ஆனால் நாம் திசைதிருப்ப வேண்டாம்:

இங்கே, நிச்சயமாக, வேர்கள் பகுத்தறிவு என்பதை அறிந்து நான் கொஞ்சம் பொய் சொன்னேன். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அவை பகுத்தறிவற்றதாகவோ அல்லது சிக்கலானதாகவோ இருந்தால், மீதமுள்ள அனைத்து எண்களின் தோல்வியுற்ற சோதனையை நான் எதிர்கொள்வேன். எனவே, நடைமுறையில், பாகுபாடு காட்டுபவர்களால் வழிநடத்தப்பட வேண்டும்.

பதில்: பகுத்தறிவு வேர்கள்: 2, 4, 5

நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்த சிக்கலில், நாங்கள் அதிர்ஷ்டசாலிகள், ஏனென்றால்: அ) எதிர்மறை மதிப்புகள் உடனடியாக வீழ்ச்சியடைந்தன, மற்றும் ஆ) மிக விரைவாக மூலத்தைக் கண்டுபிடித்தோம் (மற்றும் கோட்பாட்டளவில் முழு பட்டியலையும் சரிபார்க்கலாம்).

ஆனால் உண்மையில் நிலைமை மிகவும் மோசமாக உள்ளது. "தி லாஸ்ட் ஹீரோ" என்ற அற்புதமான விளையாட்டைப் பார்க்க உங்களை அழைக்கிறேன்:

பிரச்சனை 4

சமன்பாட்டின் பகுத்தறிவு வேர்களைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: மூலம் தேற்றம் 1அனுமான பகுத்தறிவு வேர்களின் எண்கள் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் (“பன்னிரண்டு என்பது எல் ஆல் வகுக்கப்படுகிறது” என்று வாசிக்கிறோம்), மற்றும் பிரிவுகள் - நிபந்தனைக்கு . இதன் அடிப்படையில், நாங்கள் இரண்டு பட்டியல்களைப் பெறுகிறோம்:

"பட்டியல் எல்":
மற்றும் "பட்டியல் உம்": (அதிர்ஷ்டவசமாக, இங்குள்ள எண்கள் இயற்கையானவை).

இப்போது சாத்தியமான அனைத்து வேர்களின் பட்டியலை உருவாக்குவோம். முதலில், "எல் பட்டியலை" வகுக்கிறோம். அதே எண்கள் பெறப்படும் என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது. வசதிக்காக, அவற்றை ஒரு அட்டவணையில் வைப்போம்:

பல பின்னங்கள் குறைக்கப்பட்டுள்ளன, இதன் விளைவாக மதிப்புகள் ஏற்கனவே "ஹீரோ பட்டியலில்" உள்ளன. நாங்கள் "புதியவர்களை" மட்டுமே சேர்க்கிறோம்:

இதேபோல், அதே "பட்டியலை" பின்வருமாறு பிரிக்கிறோம்:

இறுதியாக அன்று

இவ்வாறு, எங்கள் விளையாட்டில் பங்கேற்பாளர்களின் குழு முடிந்தது:


துரதிருஷ்டவசமாக, இந்தப் பிரச்சனையில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை "நேர்மறை" அல்லது "எதிர்மறை" அளவுகோலைப் பூர்த்தி செய்யவில்லை, எனவே மேல் அல்லது கீழ் வரிசையை நிராகரிக்க முடியாது. நீங்கள் எல்லா எண்களிலும் வேலை செய்ய வேண்டும்.

நீங்கள் எப்படி உணர்கிறீர்கள்? வாருங்கள், உங்கள் தலையை உயர்த்துங்கள் - அடையாளப்பூர்வமாக "கொலையாளி தேற்றம்" என்று அழைக்கப்படும் மற்றொரு தேற்றம் உள்ளது. ...“வேட்பாளர்கள்”, நிச்சயமாக =)

ஆனால் முதலில் நீங்கள் ஹார்னரின் வரைபடத்தை குறைந்தது ஒன்றிற்கு உருட்ட வேண்டும் முழுஎண்கள். பாரம்பரியமாக, ஒன்றை எடுத்துக் கொள்வோம். மேல் வரியில் நாம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களை எழுதுகிறோம் மற்றும் எல்லாம் வழக்கம் போல் உள்ளது:

நான்கு தெளிவாக பூஜ்ஜியமாக இல்லாததால், மதிப்பு என்பது கேள்விக்குரிய பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் அல்ல. ஆனால் அவள் எங்களுக்கு நிறைய உதவுவாள்.

தேற்றம் 2சிலருக்கு என்றால் பொதுவாகபல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமற்றது: , அதன் பகுத்தறிவு வேர்கள் (இருந்தால்)நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தவும்

எங்கள் விஷயத்தில், எனவே சாத்தியமான அனைத்து வேர்களும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் (அதை நிபந்தனை எண் 1 என்று அழைக்கலாம்). இந்த நால்வரும் பல "வேட்பாளர்களின்" "கொலையாளிகளாக" இருப்பார்கள். ஒரு ஆர்ப்பாட்டமாக, நான் சில காசோலைகளைப் பார்க்கிறேன்:

"வேட்பாளரை" சரிபார்ப்போம். இதைச் செய்ய, அதை ஒரு பின்னத்தின் வடிவத்தில் செயற்கையாகப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம், அதில் இருந்து அது தெளிவாகக் காணப்படுகிறது. சோதனை வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்: . நான்கு "மைனஸ் டூ" ஆல் வகுக்கப்படுகிறது: , அதாவது சாத்தியமான ரூட் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளது.

மதிப்பைச் சரிபார்ப்போம். இங்கே சோதனை வேறுபாடு: . நிச்சயமாக, எனவே இரண்டாவது "பொருள்" பட்டியலில் உள்ளது.

இந்த கட்டுரையில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பிரிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வசதியான திட்டத்தைப் பற்றி பேசுவோம். P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + என்ற விகுதியின் குணகத்தை நாம் கணக்கிட வேண்டும் என்றால். . . + a 1 x + a 0 மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையை நேரியல் பைனோமியல் x - s ஆல் வகுத்தால், ஹார்னரின் திட்டத்தை (முறை) பயன்படுத்த வசதியாக இருக்கும்.

இது ஒரு சிறப்பு அட்டவணையை உருவாக்கி அதில் ஆரம்ப தரவை உள்ளிடுவதைக் கொண்டுள்ளது:

எண்கள் b n, b n - 1, b n - 2, . . . , b 1 மற்றும் நமக்கு தேவைப்படும் பிரிவு குணகங்களாக இருக்கும் P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 at x -s . மீதமுள்ளவை இங்கே b 0 என குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இல்லையெனில், நீங்கள் தீர்வை இப்படி எழுதலாம்:

நடைமுறையில் இந்த திட்டத்தை எவ்வாறு சரியாகப் பயன்படுத்துவது என்பதை இப்போது காண்பிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

நிபந்தனை:ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 4 x + 13 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை x - 1 என்ற நேரியல் பைனோமியலால் வகுக்கவும்.

தீர்வு

அட்டவணையை நிரப்புவோம். எங்களிடம் s ஒன்றுக்கு சமம், மற்றும் குணகங்கள் a 4 = 2, a 3 = - 3, a 2 = - 1, a 1 = 4, a 0 = 13.

பதில்: b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = 2 x 3 - x 2 - 2 x + 2, மற்றும் மீதமுள்ள b 0 = 15 க்கு சமமான கோட்பாட்டைப் பெற்றோம்.

இரண்டாவது பணியில் விரிவான கருத்துகள் இல்லாமல் செய்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

நிபந்தனை:பல்லுறுப்புக்கோவை 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 ஐ மீதி இல்லாமல் x + 1 2 ஆல் வகுக்க முடியுமா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். அளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

ஹார்னரின் திட்டத்தின் படி அட்டவணையை நிரப்புவோம்.

கடைசி கலத்தில் நாம் பூஜ்ஜிய மீதியைக் காண்கிறோம், எனவே, அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு இருமையால் வகுக்க முடியும்.

பதில்: 2 x 2 - 12 x + 18 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

b 0 = 0 எனில், P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் வகுக்கும் தன்மையைப் பற்றி பேசலாம். . . + a 1 x + a 0 மூலம் x - s என்ற இருசொல், மற்றும் s க்கு சமமான அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் எங்களிடம் உள்ளது. Bezout இன் தேற்றத்தின் தொடர்ச்சியைப் பயன்படுத்தி, இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு தயாரிப்பாகக் குறிப்பிடலாம்:

P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = = x - s (b n x n + 1 + b n - 1 x n - 2 + .. + b 1)

இதற்கு நன்றி, முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட உயர் டிகிரிகளின் சமன்பாடுகளின் முழு எண் வேர்களைக் கண்டறிய அல்லது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை எளிய காரணிகளாக சிதைக்க வேண்டிய நிகழ்வுகளுக்கு ஹார்னரின் திட்டம் மிகவும் பொருத்தமானது.

எடுத்துக்காட்டு 3

நிபந்தனை: x 3 - 7 x - 6 = 0 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். இடதுபுறத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையை அதன் தனிப்பட்ட காரணிகளாகக் காரணியாக்கு.

தீர்வு

சமன்பாட்டின் முழு வேர்களும் (ஏதேனும் இருந்தால்) இலவசச் சொல்லின் வகுப்பாளர்களிடையே தேடப்பட வேண்டும் என்பதை நாம் அறிவோம். அவற்றை 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6 என்று தனித்தனியாக எழுதி, ஹார்னர்ஸ் ஸ்கீமைப் பயன்படுத்தி சரிபார்ப்போம்.

இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்றாக ஒற்றுமை இருக்காது என்பது அட்டவணை தரவுகளிலிருந்து தெளிவாகிறது.

அட்டவணையில் மற்றொரு சாத்தியமான ரூட்டைச் சேர்ப்போம்.

ஆனால் - 1 பொருத்தமானது, அதாவது அசல் பல்லுறுப்புக்கோவை x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) .

இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு - 1 பல (மீண்டும்) ரூட்டாக இருக்காது. நாங்கள் பின்வரும் விருப்பத்தை எடுத்து கணக்கிடுகிறோம்:

எண் 2 என்பது சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்றல்ல. x = - 2க்கு ஹார்னரின் அட்டவணையை இணைப்போம்:

மைனஸ் இரண்டு அசல் சமன்பாட்டின் ரூட்டாக இருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவையை இப்படி எழுதலாம்:

x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) = = (x + 1) (x + 2) (x - 3)

சமன்பாட்டின் மூன்றாவது மற்றும் இறுதி வேர் மூன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். குணகங்களாகப் பெறப்பட்ட கடைசி வரிசையின் மதிப்புகளை எடுத்து அட்டவணையை நிரப்புவதை முடிப்போம்:

ஹார்னரின் முறையைப் பயன்படுத்தி நிரப்பப்பட்ட கடைசி அட்டவணை எங்கள் உதாரணத்திற்கு தீர்வாக இருக்கும் என்று இதிலிருந்து நாம் முடிவு செய்யலாம். பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு நெடுவரிசையுடன் ஒரு நேரியல் பைனோமியலால் வகுப்பதன் மூலமும் இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியும், ஆனால் இங்கே காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடம் தெளிவானது மற்றும் எளிமையானது.

பதில்: x = - 1 , x = - 2 , x = 3 , x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3) .

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

முன்னதாக, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் கருத்து ஒரு இயற்கணித கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்பட்டது. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து ஒத்த மோனோமியல்களும் கொடுக்கப்பட்டு, மாறியின் பட்டத்தின் இறங்கு வரிசையில் அமைக்கப்பட்டால், அதன் விளைவாக வரும் பதிவு அழைக்கப்படுகிறது நியமனக் குறியீடுபல்லுறுப்புக்கோவை.

வரையறை.படிவத்தின் வெளிப்பாடு

எங்கே x– சில மாறி, உண்மையான எண்கள், மற்றும் , எனப்படும் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை n மாறி இருந்து x . பட்டம்ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது அதன் நியமனக் குறியீட்டில் மாறியின் மிகப்பெரிய சக்தியாகும். பல்லுறுப்புக்கோவை குறியீட்டில் மாறி தோன்றவில்லை என்றால், அதாவது. பல்லுறுப்புக்கோவையானது மாறிலிக்கு சமம், அதன் பட்டம் 0க்கு சமமாக கருதப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், அதன் பட்டம் தீர்மானிக்கப்படவில்லை என்பது பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்.இரண்டாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை,

ஐந்தாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை.

வரையறை.இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சமமானஅதே அதிகாரங்களில் அவற்றின் நியமன வடிவங்களில் ஒரே குணகங்கள் இருந்தால் மட்டுமே.

வரையறை. எண் அழைக்கப்படுகிறது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர், அதற்கு பதிலாக இந்த எண்ணை அமைக்கும் போது xபல்லுறுப்புக்கோவை மதிப்பு 0 ஐ எடுக்கும், அதாவது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சமன்பாட்டின் வேராக இருக்கும்

எனவே, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து வேர்களையும் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் ஒன்று மற்றும் ஒரே பிரச்சனை.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது டிகிரிகளின் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் அறியப்பட்ட வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன. மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது டிகிரிகளின் (கார்டானோ மற்றும் ஃபெராரி சூத்திரங்கள்) பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களும் உள்ளன, ஆனால் அவற்றின் சிக்கலான தன்மை காரணமாக அவை தொடக்கக் கணிதப் பாடத்தில் சேர்க்கப்படவில்லை.

உயர் டிகிரிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான பொதுவான யோசனையானது பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்குவது மற்றும் சமன்பாட்டை குறைந்த அளவு சமன்பாடுகளின் சமமான தொகுப்புடன் மாற்றுவதாகும்.

முந்தைய தலைப்புகளில், பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணியாக்குவதற்கான முக்கிய வழிகள் குறிப்பிடப்பட்டன: பொதுவான காரணியை எடுத்துக்கொள்வது; குழுவாக்கம்; சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள்.

இருப்பினும், தொகுத்தல் முறையானது இயற்கையில் அல்காரிதம் இல்லை, எனவே பெரிய டிகிரிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு விண்ணப்பிக்க கடினமாக உள்ளது. உயர் டிகிரிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணியாக்க அனுமதிக்கும் சில கூடுதல் தேற்றங்கள் மற்றும் முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வழங்கப்படட்டும், மற்றும் பட்டம் 0 இலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் பட்டம் பட்டத்தை விட அதிகமாக உள்ளது. பின்னர் சமத்துவம் போன்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன

மேலும், ஒரு பட்டத்தை விட குறைவான பட்டம் பல்லுறுப்புக்கோவை என்று அழைக்கப்படுகிறது வகுபடக்கூடியது, பல்லுறுப்புக்கோவை பிரிப்பான்,பல்லுறுப்புக்கோவை முழுமையற்ற தனிப்பட்ட, மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை மீதமுள்ளவை .

வகுப்பின் மீதி 0 என்றால், அதைச் சொல்கிறோம் பங்குகள்அன்று முற்றிலும், மற்றும் சமத்துவம் வடிவம் பெறுகிறது:

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை பல்லுறுப்புக்கோவையால் வகுப்பதற்கான வழிமுறையானது, ஒரு எண்ணை ஒரு நெடுவரிசை அல்லது மூலையால் வகுக்கும் அல்காரிதம் போன்றது. அல்காரிதத்தின் படிகளை விவரிப்போம்.

மாறியின் அனைத்து சக்திகளையும் சேர்த்து ஒரு வரியில் ஈவுத்தொகையை எழுதவும் (காணாமல் போனவற்றை 0 குணகத்துடன் எழுதவும்).

மாறியின் அனைத்து சக்திகளையும் உள்ளடக்கிய "மூலையில்" ஈவுத்தொகையை எழுதுங்கள்.

முழுமையடையாத விகுதியில் முதல் சொல்லை (மோனோமியல்) கண்டுபிடிக்க, ஈவுத்தொகையின் முன்னணி மோனோமியலை வகுப்பியின் முன்னணி மோனோமியலால் வகுக்க வேண்டும்.

விளைந்த முதல் கோட்பாட்டின் முதல் காலத்தை முழு வகுப்பான் மூலம் பெருக்கி, ஈவுத்தொகையின் கீழ் முடிவை எழுதவும், மேலும் மாறியின் அதே அதிகாரங்களை ஒன்றின் கீழ் எழுதவும்.

ஈவுத்தொகையிலிருந்து பெறப்பட்ட தயாரிப்பைக் கழிக்கவும்.

புள்ளி 1 இலிருந்து தொடங்கி, மீதமுள்ள மீதமுள்ள அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

விளைவான வேறுபாடு வகுப்பியின் அளவை விட குறைவாக இருக்கும் போது அல்காரிதம் நிறைவடைகிறது. இதுதான் மீதி.

உதாரணம். பல்லுறுப்புக்கோவையை ஆல் வகுக்கவும்.

ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பியை எழுதுதல்

நடைமுறையை மீண்டும் செய்யவும்

வகுக்கும் பட்டத்தை விட பட்டம் குறைவு. எனவே இது மீதி. பிரிவின் முடிவு இப்படி எழுதப்படும்:

ஹார்னர் திட்டம்.வகுப்பி முதல் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருந்தால், பிரிவு நடைமுறையை எளிதாக்கலாம். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை இருசொல் மூலம் பிரிப்பதற்கான வழிமுறையைக் கவனியுங்கள்.

உதாரணம். பல்லுறுப்புக்கோவையை ஹார்னரின் திட்டத்தால் வகுக்கவும். இந்த வழக்கில் ஏ=2. படிமுறை படிமுறையை இயக்குவதன் முடிவுகளை எழுதுவோம்.

இவ்வாறு, பிரிவின் முடிவை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்

கருத்து.நீங்கள் ஒரு ஈருறுப்பு மூலம் வகுக்க வேண்டும் என்றால்

பின்னர் அது வடிவத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது. இதிலிருந்து, ஹார்னரின் திட்டத்தால் வகுத்தால், கண்டுபிடிக்கப்பட்டதை பிரிப்பதன் மூலம் விரும்பிய அளவு கிடைக்கும் ஏ. மீதமுள்ளவை அப்படியே இருக்கின்றன.

பெசவுட்டின் தேற்றம். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை வகுக்கும் போது மீதமுள்ளது, புள்ளியில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்புக்கு சமம் x = ஏ, அதாவது . ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டும் மீதம் இல்லாமல் வகுபடும் x = ஏபல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும்.

இவ்வாறு, பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலத்தைக் கண்டறிந்துள்ளது ஏ , டிகிரியை விட ஒரு டிகிரி குறைவாக உள்ள காரணியைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் அதை காரணியாக்கலாம். இந்த காரணியை ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி அல்லது ஒரு மூலையில் பிரிப்பதன் மூலம் கண்டறியலாம்.

மூலத்தைக் கண்டறிவதற்கான கேள்வி, தேர்வு மூலம் அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவையின் பகுத்தறிவு வேர்களில் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.

தேற்றம்.பல்லுறுப்புக்கோவையை விடுங்கள் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது. குறைக்க முடியாத பின்னம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேராக இருந்தால், அதன் எண் பஇலவசச் சொல்லின் வகுத்தல், மற்றும் வகுத்தல் கேமுன்னணி குணகத்தின் வகுப்பான்.

இந்த தேற்றம் அடிக்கோடிடுகிறது பகுத்தறிவு வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்பல்லுறுப்புக்கோவை (ஏதேனும் இருந்தால்).

இயற்கணிதப் பகுதியை எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகச் சிதைத்தல்

வரையறைஎண் மற்றும் வகுப்பில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்டிருக்கும் ஒரு பகுதி அழைக்கப்படுகிறது இயற்கணித பின்னம் .

ஒரு மாறியின் இயற்கணித பின்னங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம். அவற்றைப் பொது வடிவத்தில் பின்வருமாறு எழுதலாம்: , எண் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கொண்டிருக்கும் n, வகுத்தல் என்பது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும் கே. என்றால், பின்னம் அழைக்கப்படுகிறது சரி .

TO எளிய இயற்கணித பின்னங்கள்சரியான பின்னங்களில் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

தேற்றம்.எந்த இயற்கணிதப் பின்னமும் எளிமையான இயற்கணிதப் பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம்.

இயற்கணிதப் பகுதியை எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகச் சிதைப்பதற்கான அல்காரிதம்.

பிரிவைக் காரணியாக்கு.

சரியான பின்னங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் அவற்றின் வகுப்பின் வகையைத் தீர்மானிக்கவும்.

ஒரு சமத்துவத்தை எழுதுங்கள், அதன் இடது பக்கத்தில் அசல் பின்னம் உள்ளது, வலதுபுறம் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகை உள்ளது.

வலது பக்கத்தில் உள்ள பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைக்கவும்.

பின்னங்களின் எண்களில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளை சமப்படுத்தவும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சமத்துவத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கி, தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கண்டறிவதன் மூலம் அதைத் தீர்க்கவும்.

ஒரு கணித ஆசிரியரால் பாடப்புத்தகத்தில் மோசமாக வழங்கப்பட்ட விஷயங்களை எப்போதும் விளக்க முடியாது. துரதிர்ஷ்டவசமாக, இதுபோன்ற தலைப்புகள் மேலும் மேலும் அதிகரித்து வருகின்றன, மேலும் கையேடுகளின் ஆசிரியர்களைத் தொடர்ந்து விளக்கக்காட்சி பிழைகள் பெருமளவில் செய்யப்படுகின்றன. இது ஆரம்ப கணித ஆசிரியர்கள் மற்றும் பகுதி நேர ஆசிரியர்களுக்கு (ஆசிரியர்கள் மாணவர்கள் மற்றும் பல்கலைக்கழக ஆசிரியர்கள்) மட்டுமல்ல, அனுபவம் வாய்ந்த ஆசிரியர்கள், தொழில்முறை ஆசிரியர்கள், அனுபவம் மற்றும் தகுதிகள் கொண்ட ஆசிரியர்களுக்கும் பொருந்தும். பள்ளி பாடப்புத்தகங்களில் உள்ள கரடுமுரடான விளிம்புகளை திறமையாக திருத்தும் திறமை அனைத்து கணித ஆசிரியர்களுக்கும் இல்லை. இந்த திருத்தங்கள் (அல்லது சேர்த்தல்கள்) அவசியம் என்பதை அனைவரும் புரிந்து கொள்ளவில்லை. குழந்தைகளின் தரமான கருத்துக்கு பொருளை மாற்றியமைப்பதில் சில குழந்தைகள் ஈடுபட்டுள்ளனர். துரதிர்ஷ்டவசமாக, கணித ஆசிரியர்கள், முறையியலாளர்கள் மற்றும் வெளியீடுகளின் ஆசிரியர்களுடன் சேர்ந்து, பாடப்புத்தகத்தின் ஒவ்வொரு எழுத்தையும் மொத்தமாக விவாதித்த காலம் கடந்துவிட்டது. முன்னதாக, பள்ளிகளில் பாடப்புத்தகத்தை வெளியிடுவதற்கு முன்பு, கற்றல் விளைவுகளின் தீவிர பகுப்பாய்வு மற்றும் ஆய்வுகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன. பாடப்புத்தகங்களை உலகளாவியதாக மாற்ற முயற்சிக்கும் அமெச்சூர்களுக்கான நேரம் வந்துவிட்டது, வலுவான கணித வகுப்புகளின் தரத்திற்கு அவற்றை சரிசெய்கிறது.

தகவலின் அளவை அதிகரிப்பதற்கான இனம் அதன் ஒருங்கிணைப்பின் தரத்தில் குறைவதற்கு வழிவகுக்கிறது, இதன் விளைவாக, கணிதத்தில் உண்மையான அறிவின் அளவு குறைகிறது. ஆனால் இதை யாரும் கவனிப்பதில்லை. நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு, உயர்நிலை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மற்றும் வேறு ஏதாவது: எங்கள் குழந்தைகள், ஏற்கனவே 8 ஆம் வகுப்பில், நிறுவனத்தில் படித்ததைப் படிக்க வேண்டிய கட்டாயத்தில் உள்ளனர். ஒரு குழந்தையின் முழு உணர்விற்காக புத்தகங்களில் உள்ள விஷயங்களைத் தழுவல் விரும்பத்தக்கதாக இருக்கும், மேலும் ஒரு கணித ஆசிரியர் இதை எப்படியாவது சமாளிக்க வேண்டிய கட்டாயத்தில் உள்ளார்.

"Bezout's theorem and Horner's scheme" என வயது வந்தோருக்கான கணிதத்தில் நன்கு அறியப்பட்ட "ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் ஒரு மூலையால் வகுத்தல்" போன்ற ஒரு குறிப்பிட்ட தலைப்பைக் கற்பிப்பதற்கான வழிமுறையைப் பற்றி பேசலாம். சில ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, ஒரு கணித ஆசிரியருக்கு கேள்வி அவ்வளவு அழுத்தமாக இல்லை, ஏனெனில் இது முக்கிய பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் ஒரு பகுதியாக இல்லை. இப்போது டெலியாகோவ்ஸ்கியால் திருத்தப்பட்ட பாடப்புத்தகத்தின் மரியாதைக்குரிய ஆசிரியர்கள், எனது கருத்துப்படி, சிறந்த பாடப்புத்தகத்தின் சமீபத்திய பதிப்பில் மாற்றங்களைச் செய்துள்ளனர், மேலும் அதை முழுவதுமாக கெடுத்துவிட்டதால், ஆசிரியருக்கு தேவையற்ற கவலைகளை மட்டுமே சேர்த்துள்ளனர். ஆசிரியர்களின் கண்டுபிடிப்புகளில் கவனம் செலுத்தி, கணிதத்தின் நிலை இல்லாத பள்ளிகள் மற்றும் வகுப்புகளின் ஆசிரியர்கள், தங்கள் பாடங்களில் கூடுதல் பத்திகளை அடிக்கடி சேர்க்கத் தொடங்கினர், மேலும் ஆர்வமுள்ள குழந்தைகள், தங்கள் கணித பாடப்புத்தகத்தின் அழகான பக்கங்களைப் பார்த்து, பெருகிய முறையில் கேட்கிறார்கள். ஆசிரியர்: "ஒரு மூலையால் இந்த பிரிவு என்ன? நாம் இதை கடந்து செல்லப் போகிறோமா? ஒரு மூலையை எவ்வாறு பகிர்ந்து கொள்வது? இது போன்ற நேரடியான கேள்விகளுக்கு மறைவு இல்லை. ஆசிரியர் குழந்தைக்கு ஏதாவது சொல்ல வேண்டும்.

எப்படி? பாடப்புத்தகங்களில் திறமையாக வழங்கப்பட்டிருந்தால், தலைப்புடன் பணிபுரியும் முறையை நான் விவரித்திருக்க மாட்டேன். எல்லாம் எங்களுடன் எப்படி நடக்கிறது? பாடப்புத்தகங்களை அச்சிட்டு விற்பனை செய்ய வேண்டும். இதற்காக அவர்கள் தொடர்ந்து புதுப்பிக்கப்பட வேண்டும். அறிவும் திறமையும் இல்லாமல், வெறுங்கையுடன் குழந்தைகள் தங்களிடம் வருகிறார்கள் என்று பல்கலைக்கழக ஆசிரியர்கள் புகார் கூறுகிறார்களா? கணித அறிவுக்கான தேவைகள் அதிகரித்து வருகிறதா? அருமை! சில பயிற்சிகளை அகற்றிவிட்டு, அதற்குப் பதிலாக மற்ற நிரல்களில் படித்த தலைப்புகளைச் செருகுவோம். நமது பாடநூல் ஏன் மோசமாக உள்ளது? சில கூடுதல் அத்தியாயங்களைச் சேர்ப்போம். ஒரு மூலையால் பிரிக்கும் விதி பள்ளி மாணவர்களுக்குத் தெரியாதா? இது அடிப்படைக் கணிதம். "மேலும் தெரிந்து கொள்ள விரும்புவோருக்கு" என்ற தலைப்பில் இந்தப் பத்தி விருப்பமாக இருக்க வேண்டும். ஆசிரியர்கள் அதற்கு எதிராக இருக்கிறார்களா? பொதுவாக ஆசிரியர்களைப் பற்றி நாம் ஏன் கவலைப்படுகிறோம்? முறையியலாளர்கள் மற்றும் பள்ளி ஆசிரியர்களும் அதை எதிர்க்கிறார்களா? நாங்கள் பொருளை சிக்கலாக்க மாட்டோம் மற்றும் அதன் எளிய பகுதியை கருத்தில் கொள்வோம்.

மேலும் இது தொடங்குகிறது. தலைப்பின் எளிமை மற்றும் அதன் ஒருங்கிணைப்பின் தரம், முதலில், அதன் தர்க்கத்தைப் புரிந்துகொள்வதில் உள்ளது, மேலும் பாடநூல் ஆசிரியர்களின் அறிவுறுத்தல்களின்படி, ஒருவருக்கொருவர் தெளிவாகத் தொடர்பில்லாத ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளைச் செய்வதில் அல்ல. . இல்லையெனில், மாணவரின் தலையில் மூடுபனி இருக்கும். ஆசிரியர்கள் ஒப்பீட்டளவில் வலுவான மாணவர்களை குறிவைத்தால் (ஆனால் வழக்கமான திட்டத்தில் படிக்கிறார்கள்), நீங்கள் தலைப்பை கட்டளை வடிவத்தில் வழங்கக்கூடாது. பாடப்புத்தகத்தில் நாம் என்ன பார்க்கிறோம்? குழந்தைகளே, இந்த விதியின்படி நாம் பிரிக்க வேண்டும். கோணத்தின் கீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பெறுங்கள். இதனால், அசல் பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கப்படும். எவ்வாறாயினும், மூலையின் கீழ் உள்ள சொற்கள் ஏன் சரியாக இந்த வழியில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, அவை ஏன் மூலைக்கு மேலே உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்கப்பட வேண்டும், பின்னர் தற்போதைய மீதமுள்ளவற்றிலிருந்து கழிக்கப்பட வேண்டும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது தெளிவாக இல்லை. மேலும் மிக முக்கியமாக, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மோனோமியல்கள் ஏன் இறுதியில் சேர்க்கப்பட வேண்டும் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் அடைப்புக்குறிகள் ஏன் அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் விரிவாக்கமாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. எந்தவொரு திறமையான கணிதவியலாளரும் பாடப்புத்தகத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள விளக்கங்களின் மீது தடித்த கேள்விக்குறியை இடுவார்கள்.

பாடப்புத்தகத்தில் கூறப்பட்டுள்ள அனைத்தையும் மாணவருக்குத் தெளிவாகத் தெரிவிக்கும் பிரச்சனைக்கான எனது தீர்வை ஆசிரியர்கள் மற்றும் கணித ஆசிரியர்களின் கவனத்திற்குக் கொண்டு வருகிறேன். உண்மையில், Bezout இன் தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபிப்போம்: எண் a பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் என்றால், இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை காரணிகளாக சிதைக்கப்படலாம், அவற்றில் ஒன்று x-a, மற்றும் இரண்டாவது அசல் ஒன்றிலிருந்து மூன்று வழிகளில் ஒன்றில் பெறப்படுகிறது: உருமாற்றங்கள் மூலம் ஒரு நேரியல் காரணியை தனிமைப்படுத்துவதன் மூலம், ஒரு மூலையால் வகுப்பதன் மூலம் அல்லது ஹார்னரின் திட்டம் மூலம். இந்த உருவாக்கம் மூலம் ஒரு கணித ஆசிரியருக்கு வேலை செய்வது எளிதாக இருக்கும்.

கற்பித்தல் முறை என்றால் என்ன? முதலாவதாக, இது விளக்கங்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளின் வரிசையில் ஒரு தெளிவான வரிசையாகும், அதன் அடிப்படையில் கணித முடிவுகள் எடுக்கப்படுகின்றன. இந்த தலைப்பு விதிவிலக்கல்ல. ஒரு கணித ஆசிரியர் ஒரு குழந்தையை பெசவுட்டின் தேற்றத்திற்கு அறிமுகப்படுத்துவது மிகவும் முக்கியம் ஒரு மூலையால் வகுக்கும் முன். இது மிகவும் முக்கியமானது! ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி புரிந்துகொள்வது சிறந்தது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூலத்துடன் சில பல்லுறுப்புக்கோவைகளை எடுத்து, 7 ஆம் வகுப்பிலிருந்து பள்ளி மாணவர்களுக்கு நன்கு தெரிந்த அடையாள மாற்றங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி காரணிகளாக காரணிகளாக மாற்றும் நுட்பத்தைக் காண்பிப்போம். கணித ஆசிரியரின் பொருத்தமான விளக்கங்கள், முக்கியத்துவம் மற்றும் உதவிக்குறிப்புகள் மூலம், எந்தவொரு பொதுவான கணிதக் கணக்கீடுகள், தன்னிச்சையான குணகங்கள் மற்றும் சக்திகள் இல்லாமல் பொருளைத் தெரிவிப்பது மிகவும் சாத்தியமாகும்.

கணித ஆசிரியருக்கு முக்கியமான ஆலோசனை- ஆரம்பம் முதல் இறுதி வரை வழிமுறைகளைப் பின்பற்றவும், இந்த வரிசையை மாற்ற வேண்டாம்.

எனவே, நமக்கு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். எண் 1 ஐ அதன் X க்கு பதிலாக மாற்றினால், பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எனவே x=1 என்பது அதன் வேர். அதை இரண்டு சொற்களாக சிதைக்க முயற்சிப்போம், அதில் ஒன்று நேரியல் வெளிப்பாடு மற்றும் சில மோனோமியலின் தயாரிப்பு ஆகும், மேலும் இரண்டாவது பட்டம் ஒன்று குறைவாக உள்ளது. அதாவது, அதை வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்

நாம் சிவப்பு புலத்திற்கான மோனோமியலைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், அதனால் முன்னணிச் சொல்லால் பெருக்கப்படும்போது, ​​அது அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் முன்னணிச் சொல்லுடன் முழுமையாக ஒத்துப்போகிறது. மாணவர் பலவீனமானவராக இல்லாவிட்டால், அவர் கணித ஆசிரியருக்கு தேவையான வெளிப்பாட்டைச் சொல்லும் திறன் கொண்டவராக இருப்பார்: . அதை சிவப்பு புலத்தில் செருகவும், அவை திறக்கப்படும்போது என்ன நடக்கும் என்பதைக் காட்டவும் உடனடியாக ஆசிரியரிடம் கேட்கப்பட வேண்டும். இந்த மெய்நிகர் தற்காலிக பல்லுறுப்புக்கோவை அம்புகளின் கீழ் (சிறிய புகைப்படத்தின் கீழ்) கையொப்பமிடுவது சிறந்தது, அதை சில வண்ணங்களுடன் முன்னிலைப்படுத்துகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, நீலம். இது சிவப்பு புலத்திற்கான ஒரு சொல்லைத் தேர்ந்தெடுக்க உதவும், இது தேர்வின் மீதமுள்ளவை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த மீதியைக் கழிப்பதன் மூலம் கண்டறியலாம் என்பதை இங்கே சுட்டிக்காட்டுமாறு ஆசிரியர்களுக்கு நான் அறிவுறுத்துகிறேன். இந்த செயல்பாட்டைச் செய்வதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம்:



இந்த சமத்துவத்தில் ஒன்றை மாற்றுவதன் மூலம், அதன் இடது பக்கத்தில் (1 அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் என்பதால்) பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுவதற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறோம் என்பதில் கணித ஆசிரியர் மாணவர்களின் கவனத்தை ஈர்க்க வேண்டும். முதல் தவணையையும் பூஜ்ஜியமாக்கும். இதன் பொருள், எந்த சரிபார்ப்பும் இல்லாமல், "பச்சை எச்சத்தின்" வேர் என்று நாம் கூறலாம்.

அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் போலவே அதையும் சமாளிப்போம், அதிலிருந்து அதே நேரியல் காரணியைத் தனிமைப்படுத்திக் கொள்வோம். கணித ஆசிரியர் மாணவரின் முன் இரண்டு பிரேம்களை வரைந்து இடமிருந்து வலமாக நிரப்பச் சொல்கிறார்.



மாணவர் சிவப்பு புலத்திற்கான ஒரு மோனோமியலை ஆசிரியருக்குத் தேர்ந்தெடுக்கிறார், அதனால், நேரியல் வெளிப்பாட்டின் முன்னணி காலத்தால் பெருக்கப்படும்போது, ​​அது விரிவடையும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் முன்னணிச் சொல்லைக் கொடுக்கிறது. நாங்கள் அதை சட்டத்தில் பொருத்துகிறோம், உடனடியாக அடைப்புக்குறியைத் திறந்து, மடிப்பு ஒன்றிலிருந்து கழிக்க வேண்டிய வெளிப்பாட்டை நீல நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்துகிறோம். இந்த செயல்பாட்டைச் செய்வதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம்



இறுதியாக, கடைசி எஞ்சியவற்றுடன் அதையே செய்யுங்கள்



நாங்கள் அதை இறுதியாக பெறுவோம்



இப்போது அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளிப்பாட்டை எடுத்து, அசல் பல்லுறுப்புக்கோவை காரணிகளாக சிதைவதைக் காண்போம், அதில் ஒன்று "x கழித்தல் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ரூட்."

கடைசி "பச்சை எச்சம்" தற்செயலாக தேவையான காரணிகளாக சிதைந்துவிட்டது என்று மாணவர் நினைக்காமல் இருக்க, கணித ஆசிரியர் அனைத்து பச்சை எச்சங்களின் ஒரு முக்கியமான சொத்தை சுட்டிக்காட்ட வேண்டும் - அவை ஒவ்வொன்றும் 1 இன் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த எச்சங்கள் குறையும், பின்னர் நமக்கு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை எவ்வளவு கொடுக்கப்பட்டாலும், ஆரம்பத்தின் எந்த அளவு இருந்தாலும், விரைவில் அல்லது பின்னர் நாம் ரூட் 1 உடன் ஒரு நேரியல் "பச்சை எச்சத்தை" பெறுவோம், எனவே அது ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளின் உற்பத்தியாக சிதைந்துவிடும். எண் மற்றும் வெளிப்பாடு.

அத்தகைய ஆயத்தப் பணிகளுக்குப் பிறகு, ஒரு மூலையால் வகுக்கும்போது என்ன நடக்கிறது என்பதை மாணவருக்கு விளக்குவது கணித ஆசிரியருக்கு கடினமாக இருக்காது. இது ஒரே மாதிரியான செயல்முறையாகும், குறுகிய மற்றும் மிகவும் சுருக்கமான வடிவத்தில், சம அடையாளங்கள் இல்லாமல் மற்றும் அதே ஹைலைட் செய்யப்பட்ட சொற்களை மீண்டும் எழுதாமல். நேரியல் காரணி பிரித்தெடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை மூலையின் இடதுபுறத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சிவப்பு மோனோமியல்கள் ஒரு கோணத்தில் சேகரிக்கப்படுகின்றன (அவை ஏன் சேர்க்க வேண்டும் என்பது இப்போது தெளிவாகிறது), நீங்கள் பெருக்க வேண்டிய "நீல பல்லுறுப்புக்கோவைகளை" பெற வேண்டும். "சிவப்பு" நிறங்களை x-1 ஆல், பின்னர் வழக்கமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எண்களில் இருந்து ஒரு நெடுவரிசையில் இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைக் கழிக்கவும் (இங்கே முன்பு படித்தவற்றுடன் ஒப்புமை உள்ளது). இதன் விளைவாக "பச்சை எச்சங்கள்" புதிய தனிமைப்படுத்தல் மற்றும் "சிவப்பு மோனோமியல்கள்" தேர்வுக்கு உட்பட்டவை. நீங்கள் பூஜ்ஜிய "பசுமை சமநிலை" கிடைக்கும் வரை. மிக முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், கோணத்திற்கு மேலேயும் கீழேயும் எழுதப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மேலும் விதியை மாணவர் புரிந்துகொள்கிறார். வெளிப்படையாக, இவை அடைப்புக்குறிகளாகும், அதன் தயாரிப்பு அசல் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு சமம்.

ஒரு கணித ஆசிரியரின் பணியின் அடுத்த கட்டம் பெஸவுட்டின் தேற்றத்தை உருவாக்குவதாகும். உண்மையில், ஆசிரியரின் இந்த அணுகுமுறையுடன் அதன் உருவாக்கம் தெளிவாகிறது: எண் a பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருந்தால், அது காரணியாக்கப்படலாம், அதில் ஒன்று , மற்றொன்று அசல் ஒன்றிலிருந்து மூன்று வழிகளில் ஒன்றில் பெறப்படுகிறது. :

• நேரடி சிதைவு (குழுவாக்கும் முறைக்கு ஒப்பானது)
• ஒரு மூலையால் வகுத்தல் (ஒரு நெடுவரிசையில்)
• ஹார்னர் சுற்று வழியாக

அனைத்து கணித ஆசிரியர்களும் தங்கள் மாணவர்களுக்கு ஹார்னர் வரைபடத்தைக் காட்டவில்லை என்று சொல்ல வேண்டும், மேலும் அனைத்து பள்ளி ஆசிரியர்களும் (அதிர்ஷ்டவசமாக ஆசிரியர்களுக்கு) பாடங்களின் போது தலைப்பில் அவ்வளவு ஆழமாக செல்ல மாட்டார்கள். இருப்பினும், ஒரு கணித வகுப்பு மாணவருக்கு, நீண்ட பிரிவை நிறுத்த எந்த காரணமும் இல்லை. மேலும், மிகவும் வசதியான மற்றும் வேகமாகசிதைவு நுட்பம் துல்லியமாக ஹார்னரின் திட்டத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒரு குழந்தைக்கு அது எங்கிருந்து வருகிறது என்பதை விளக்குவதற்கு, ஒரு மூலையால் பிரிப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, பச்சை நிற எச்சங்களில் அதிக குணகங்களின் தோற்றத்தைக் கண்டறிந்தால் போதும். ஆரம்ப பல்லுறுப்புக்கோவையின் முன்னணி குணகம் முதல் "சிவப்பு மோனோமியலின்" குணகத்திலும், மேலும் தற்போதைய மேல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் இரண்டாவது குணகத்திலும் கொண்டு செல்லப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது. கழிக்கப்பட்டது"சிவப்பு மோனோமியலின்" தற்போதைய குணகத்தை ஆல் பெருக்குவதன் விளைவு. எனவே இது சாத்தியம் சேர்க்கஆல் பெருக்குவதன் விளைவு. குணகங்களுடனான செயல்களின் பிரத்தியேகங்களில் மாணவர்களின் கவனத்தை ஒருமுகப்படுத்திய பிறகு, ஒரு கணித ஆசிரியர், மாறிகள் தங்களைப் பதிவு செய்யாமல் இந்த செயல்கள் பொதுவாக எவ்வாறு செய்யப்படுகின்றன என்பதைக் காட்ட முடியும். இதைச் செய்ய, பின்வரும் அட்டவணையில் முன்னுரிமையின் வரிசையில் அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ரூட் மற்றும் குணகங்களை உள்ளிடுவது வசதியானது:



ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையில் ஏதேனும் பட்டம் இல்லை என்றால், அதன் பூஜ்ஜிய குணகம் அட்டவணையில் கட்டாயப்படுத்தப்படும். "சிவப்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின்" குணகங்கள் "ஹூக்" விதியின் படி கீழ் வரியில் எழுதப்பட்டுள்ளன:


ரூட் கடைசி சிவப்பு குணகத்தால் பெருக்கப்படுகிறது, மேல் வரியில் உள்ள அடுத்த குணகத்துடன் சேர்க்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக கீழ் வரியில் எழுதப்படுகிறது. கடைசி நெடுவரிசையில், கடைசி "பச்சை எஞ்சிய", அதாவது பூஜ்ஜியத்தின் மிக உயர்ந்த குணகத்தைப் பெறுவோம். செயல்முறை முடிந்ததும், எண்கள் பொருந்திய ரூட் மற்றும் பூஜ்ஜிய மீதிக்கு இடையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளதுஇரண்டாவது (நேரியல் அல்லாத) காரணியின் குணகங்களாக மாறிவிடும்.



a ரூட் அடிக்கோட்டின் முடிவில் பூஜ்ஜியத்தைக் கொடுப்பதால், பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலத்தின் தலைப்புக்கான எண்களைச் சரிபார்க்க ஹார்னரின் திட்டம் பயன்படுத்தப்படலாம். பகுத்தறிவு மூலத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் ஒரு சிறப்பு தேற்றம் என்றால். அதன் உதவியுடன் பெறப்பட்ட இந்த தலைப்புக்கான அனைத்து வேட்பாளர்களும் இடதுபுறத்தில் இருந்து ஹார்னரின் வரைபடத்தில் வெறுமனே செருகப்படுகின்றன. நாம் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற்றவுடன், சோதிக்கப்பட்ட எண் ஒரு ரூட்டாக இருக்கும், அதே நேரத்தில் அதன் வரியில் அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணியாக்கத்தின் குணகங்களைப் பெறுவோம். மிகவும் வசதியானது.

முடிவில், ஹார்னரின் திட்டத்தைத் துல்லியமாக அறிமுகப்படுத்துவதற்கும், தலைப்பை நடைமுறையில் ஒருங்கிணைப்பதற்கும், ஒரு கணித ஆசிரியர் தனது வசம் போதுமான மணிநேரம் இருக்க வேண்டும் என்பதை நான் கவனிக்க விரும்புகிறேன். "வாரத்திற்கு ஒரு முறை" ஆட்சியுடன் பணிபுரியும் ஒரு ஆசிரியர் மூலைப்பிரிவில் ஈடுபடக்கூடாது. கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்விலும், கணிதத்தில் மாநில கணித அகாடமியிலும், முதல் பகுதியில் இதுபோன்ற வழிமுறைகளால் தீர்க்கக்கூடிய மூன்றாம் பட்டத்தின் சமன்பாட்டை நீங்கள் எப்போதாவது சந்திப்பீர்கள் என்பது சாத்தியமில்லை. ஒரு ஆசிரியர் மாஸ்கோ மாநில பல்கலைக்கழகத்தில் ஒரு கணித தேர்வுக்கு ஒரு குழந்தையை தயார் செய்தால், தலைப்பைப் படிப்பது கட்டாயமாகும். பல்கலைக்கழக ஆசிரியர்கள், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் தொகுப்பாளர்களைப் போலல்லாமல், விண்ணப்பதாரரின் அறிவின் ஆழத்தை சோதிக்க விரும்புகிறார்கள்.

கோல்பகோவ் அலெக்சாண்டர் நிகோலாவிச், கணித ஆசிரியர் மாஸ்கோ, ஸ்ட்ரோஜினோ

வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
காரணியாக்கப்படலாம் ஹார்னர் திட்டத்தின் படி,குறைந்தபட்சம் 1 வேர்கள் தெரிந்திருந்தால்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி ஹார்னரின் திட்டத்தின் படி பிரிப்பதைப் பார்ப்போம்:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

முதலில் நீங்கள் தேர்வு முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு ரூட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பொதுவாக இது இலவச காலத்தின் வகுத்தல் ஆகும். இந்த வழக்கில், எண் வகுப்பிகள் -10 உள்ளன ±1, ±2, ±5, ±10.அவற்றை ஒவ்வொன்றாக மாற்றத் தொடங்குவோம்:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ எண் 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ எண் -1 பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும்

பல்லுறுப்புக்கோவையின் 1 வேர்களைக் கண்டறிந்துள்ளோம். பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் -1, அதாவது அசல் பல்லுறுப்புக்கோவை வகுபட வேண்டும் x+1. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பிரிவைச் செய்ய, நாங்கள் ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

	2	9	-10	-27	-10
-1

அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் மேல் வரியில் காட்டப்படும். நாம் கண்டறிந்த வேர் இரண்டாவது வரிசையின் முதல் கலத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ளது -1. இரண்டாவது வரியில் பிரிவின் விளைவாக வரும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் உள்ளன. அவை பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றன:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	இரண்டாவது வரிசையின் இரண்டாவது கலத்தில் நாம் எண்ணை எழுதுகிறோம் 2, முதல் வரிசையின் தொடர்புடைய கலத்திலிருந்து அதை நகர்த்துவதன் மூலம்.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

கடைசி எண் பிரிவின் எஞ்சிய எண். அது 0 க்கு சமமாக இருந்தால், எல்லாவற்றையும் சரியாகக் கணக்கிட்டுள்ளோம்.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

ஆனால் இது முடிவல்ல. நீங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையை அதே வழியில் விரிவாக்க முயற்சிக்கலாம் 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

மீண்டும் நாம் இலவசச் சொல்லின் வகுப்பாளர்களிடையே ஒரு வேரைத் தேடுகிறோம். நாம் ஏற்கனவே கண்டுபிடித்தபடி, எண்களின் வகுப்பிகள் -10 உள்ளன ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ எண் 1 பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் அல்ல

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ எண் -1 பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் அல்ல

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ எண் 2 பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும்

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மூலத்தை எங்கள் ஹார்னர் திட்டத்தில் எழுதி வெற்று கலங்களை நிரப்பத் தொடங்குவோம்:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	மூன்றாவது வரிசையின் இரண்டாவது கலத்தில் நாம் எண்ணை எழுதுகிறோம் 2, இரண்டாவது வரிசையின் தொடர்புடைய கலத்திலிருந்து அதை நகர்த்துவதன் மூலம்.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

எனவே, அசல் பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கினோம்:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

பல்லுறுப்புக்கோவை 2x 2 + 11x + 5காரணியாக்கப்படலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் பாகுபாடு மூலம் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம் அல்லது எண்ணின் வகுப்பிகளில் மூலத்தைத் தேடலாம். 5. ஒரு வழி அல்லது வேறு, இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் எண் என்ற முடிவுக்கு வருவோம் -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	நான்காவது வரிசையின் இரண்டாவது கலத்தில் எண்ணை எழுதுகிறோம் 2, மூன்றாவது வரிசையின் தொடர்புடைய கலத்திலிருந்து அதை நகர்த்துவதன் மூலம்.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

எனவே, அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையை நேரியல் காரணிகளாக சிதைத்தோம்.