இடைவெளியின் முறையால் பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு.

வீடு / முன்னாள்

இடைவெளி முறைபள்ளி இயற்கணித பாடத்திட்டத்தில் ஏற்படும் எந்தவொரு சமத்துவமின்மையையும் தீர்க்க உலகளாவிய வழி. இது செயல்பாடுகளின் பின்வரும் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது:

1. தொடர்ச்சியான செயல்பாடு g (x) குறியீட்டை 0. க்கு சமமாக இருக்கும் இடத்தில் மட்டுமே மாற்ற முடியும் அச்சு (OX அச்சில் (abcissa axis) கிடக்கும் எந்தப் புள்ளியின் வரிசையும் பூஜ்ஜியமாகும் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம், அதாவது, இந்த இடத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு 0):

X = -8, x = -2, x = 4, x = 8 புள்ளிகளில் OX அச்சில் வரைபடத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ள y = g (x) செயல்பாடு குறுக்கிடுவதைக் காண்கிறோம். இந்த புள்ளிகள் செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அதே புள்ளிகளில் செயல்பாடு g (x) அடையாளத்தை மாற்றுகிறது.

2. செயல்பாடு வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களில் உள்ள அடையாளத்தையும் மாற்றலாம் - எளிமையான உதாரணம் நன்கு அறியப்பட்ட செயல்பாடு:

செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில், வகுப்பின் வேரில் அடையாளத்தை மாற்றுவதை நாங்கள் காண்கிறோம், ஆனால் எந்த நேரத்திலும் மறைந்துவிடாது. இவ்வாறு, ஒரு செயல்பாட்டில் பின்னம் இருந்தால், அது வகுப்பின் வேர்களில் அடையாளத்தை மாற்றலாம்.

2. இருப்பினும், செயல்பாடு எப்போதும் எண்ணின் வேரிலோ அல்லது வகுப்பின் மூலத்திலோ அடையாளத்தை மாற்றாது. எடுத்துக்காட்டாக, y = x 2 செயல்பாடு x = 0 என்ற புள்ளியில் அடையாளத்தை மாற்றாது:

ஏனெனில் சமன்பாடு x 2 = 0 இரண்டு சமமான வேர்கள் x = 0, புள்ளியில் x = 0, அது போல், இரண்டு முறை 0 ஆக மாறும். அத்தகைய வேர் இரண்டாவது பெருக்கத்தின் வேர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

செயல்பாடு எண்ணின் பூஜ்ஜியத்தில் அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, ஆனால் வகுப்பின் பூஜ்ஜியத்தில் அடையாளத்தை மாற்றாது: ரூட் இரண்டாவது பெருக்கத்தின் வேர் என்பதால், அதாவது பலமடங்கு:

முக்கியமான! பெருக்கத்தின் வேர்களில், செயல்பாடு அடையாளத்தை மாற்றாது.

குறிப்பு! ஏதேனும் நேரியல் அல்லாதபள்ளி இயற்கணித பாடத்தின் சமத்துவமின்மை, ஒரு விதியாக, இடைவெளியின் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது.

நான் உங்களுக்கு விரிவான ஒன்றை வழங்குகிறேன், அதைத் தொடர்ந்து நீங்கள் தவறுகளைத் தவிர்க்கலாம் நேரியல் அல்லாத ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது.

1. முதலில், நீங்கள் சமத்துவமின்மையை படிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும்

பி (x) V0,

V என்பது சமத்துவமின்மை அடையாளம்:<,>, ≤ அல்லது ≥. இதற்கு தேவை:

a) சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்திற்கு அனைத்து விதிமுறைகளையும் மாற்றவும்,

b) இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்,

c) சமத்துவமின்மையின் இடது பக்க காரணி

ஈ) ஒரு சக்தியின் அதே காரணிகளை எழுதுங்கள்.

கவனம்!வேர்களின் பன்முகத்தன்மையுடன் தவறாக இருக்கக்கூடாது என்பதற்காக கடைசி நடவடிக்கை செய்யப்பட வேண்டும் - இதன் விளைவாக ஒரு சமமான சக்தியின் காரணி என்றால், அதனுடன் தொடர்புடைய வேர் இன்னும் பல பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது.

2. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை எண் அச்சில் வைக்கவும்.

3. சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இருந்தால், எண் அச்சில் உள்ள வேர்களைக் குறிக்கும் வட்டங்கள் "காலியாக" விடப்படும், சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இல்லை என்றால், நாம் வட்டங்களை நிரப்புகிறோம்.

4. பெருக்கத்தின் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் - அவற்றில் பி (x)அடையாளம் மாறாது.

5. அடையாளத்தை தீர்மானிக்கவும் பி (x)வலதுபுற இடைவெளியில். இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான மதிப்பை எடுத்துக்கொள்கிறோம் x 0, இது பெரிய வேரை விட அதிகமாக உள்ளது மற்றும் அதை மாற்றுகிறது பி (x).

P (x 0)> 0 (அல்லது ≥0) என்றால், சரியான இடைவெளியில் "+" அடையாளத்தை வைக்கவும்.

பி (x 0) என்றால்<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

பன்மடங்கு மூலத்தைக் குறிக்கும் புள்ளியைக் கடக்கும்போது, அடையாளம் மாறாது.

7. மீண்டும் நாம் அசல் சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தைப் பார்த்து, நமக்குத் தேவையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்.

8. கவனம்! நமது சமத்துவமின்மை சரியாக இல்லை என்றால், பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான நிலை தனித்தனியாக சரிபார்க்கப்படுகிறது.

9. நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம்.

அசல் என்றால் சமத்துவமின்மை வகுப்பில் தெரியாததைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் நாங்கள் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடத்திற்கு மாற்றுவோம், மேலும் சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தை படிவத்திற்கு குறைக்கிறோம்

(V என்பது சமத்துவமின்மை அடையாளம்:< или >)

இந்த வகையின் கடுமையான சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மைக்கு சமம்

கண்டிப்பானது அல்லவடிவத்தின் சமத்துவமின்மை

இணையானது அமைப்பு:

நடைமுறையில், செயல்பாட்டிற்கு வடிவம் இருந்தால், நாங்கள் பின்வருமாறு தொடர்கிறோம்:

எண் மற்றும் வகுப்பின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.
நாங்கள் அவற்றை அச்சில் வைத்தோம். அனைத்து வட்டங்களையும் காலியாக விடவும். பின்னர், சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இல்லை என்றால், எண்ணின் வேர்கள் மீது வண்ணம் தீட்டவும், மேலும் எப்போதும் வகுப்பின் வேர்களை காலியாக விடவும்.
அடுத்து, நாங்கள் பொதுவான வழிமுறையைப் பின்பற்றுகிறோம்:
சம பெருக்கத்தின் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (எண் மற்றும் வகுத்தல் ஒரே வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், ஒரே வேர்கள் எத்தனை முறை நிகழ்கின்றன என்பதை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்). பெருக்கத்தின் வேர்களில், அடையாளம் மாறாது.
சரியான இடைவெளியில் அடையாளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.
நாங்கள் அடையாளங்களை வைக்கிறோம்.
கட்டுப்பாடற்ற சமத்துவமின்மை வழக்கில், சமத்துவத்தின் நிலை, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான நிலை, தனித்தனியாக சரிபார்க்கப்படுகிறது.
தேவையான இடைவெளிகள் மற்றும் பிரிக்கப்பட்ட வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம்.

நன்றாக புரிந்து கொள்ள இடைவெளிகளின் முறை மூலம் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை, வீடியோ டுடோரியலைப் பாருங்கள், இது எடுத்துக்காட்டில் விரிவாக செல்கிறது இடைவெளியின் முறையால் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு.

பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை அமைப்புகள்

பாடம் உரை

சுருக்கம் [Bezdenezhnykh L.V.]

இயற்கணிதம், தரம் 9 UMK: ஏஜி மோர்ட்கோவிச். இயற்கணிதம். தரம் 9. 2h மணிக்கு. பகுதி 1: பாடநூல்; பகுதி 2: கொலைகாரன் எம்.: மென்மோசினா, 2010 கல்வி நிலை: அடிப்படை பாடம் தலைப்பு: பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை அமைப்புகள். (தலைப்பில் முதல் பாடம், தலைப்பைப் படிக்க மொத்தம் 3 மணிநேரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது) ஒரு புதிய தலைப்பின் படிப்பில் பாடம். பாடத்தின் நோக்கம்: நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வை மீண்டும் செய்ய; சமத்துவமின்மை அமைப்பின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்துங்கள், நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் எளிய அமைப்புகளின் தீர்வை விளக்குங்கள்; எந்தவொரு சிக்கலின் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் திறனை உருவாக்குதல். பணிகள்: கல்வி: தற்போதைய அறிவின் அடிப்படையில் தலைப்பைப் படிப்பது, நடைமுறைத் திறன்கள் மற்றும் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் திறன்களை ஒருங்கிணைத்தல், மாணவர்களின் சுயாதீனமான வேலை மற்றும் அவர்களில் மிகவும் தயாரானவர்களின் விரிவுரை மற்றும் ஆலோசனை நடவடிக்கைகள் ஆகியவற்றின் விளைவாக. அபிவிருத்தி: அறிவாற்றல் ஆர்வத்தின் வளர்ச்சி, சிந்தனை சுதந்திரம், நினைவகம், மாணவர்களின் முன்முயற்சி - செயல்பாட்டு முறைகள் மற்றும் சிக்கல் கற்றலின் கூறுகள். கல்வி: தகவல்தொடர்பு திறன்களை உருவாக்குதல், தகவல்தொடர்பு கலாச்சாரம், ஒத்துழைப்பு. நடத்தும் முறைகள்: - உரையாடல் மற்றும் பிரச்சனை கற்றல் கூறுகளுடன் விரிவுரை; பாடப்புத்தகத்திலிருந்து தத்துவார்த்த மற்றும் நடைமுறைப் பொருட்களுடன் மாணவர்களின் சுயாதீனமான வேலை; நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புகளின் தீர்வைப் பதிவு செய்யும் கலாச்சாரத்தின் வளர்ச்சி. எதிர்பார்க்கப்படும் முடிவுகள்: நேர்கோட்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது, எண் கோட்டில் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் குறுக்குவெட்டைக் குறிப்பது மற்றும் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது எப்படி என்பதை மாணவர்கள் நினைவில் கொள்வார்கள். பாடம் உபகரணங்கள்: கரும்பலகை, கையேடுகள் (இணைப்பு), பாடப்புத்தகங்கள், பணிப்புத்தகங்கள். பாடம் உள்ளடக்கம்: 1. நிறுவன தருணம். வீட்டுப்பாடம் சோதனை. 2. அறிவைப் புதுப்பித்தல். மாணவர்கள் ஆசிரியருடன் சேர்ந்து கரும்பலகையில் அட்டவணையை நிரப்புகிறார்கள்: சமத்துவமின்மை வரைதல் இடைவெளி பின்வருமாறு ஒரு ஆயத்த அட்டவணை: சமத்துவமின்மை வரைதல் இடைவெளி 3. கணித கட்டளை. ஒரு புதிய தலைப்பைப் புரிந்துகொள்வதற்கான தயாரிப்பு. 1. அட்டவணையின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கவும்: விருப்பம் 1 விருப்பம் 2 விருப்பம் 3 விருப்பம் 4 2. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும், ஒரு அச்சில் இரண்டு புள்ளிவிவரங்களை வரையவும் மற்றும் எண் 5 இரண்டு சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வா என்பதை சரிபார்க்கவும்: விருப்பம் 1 விருப்பம் 2 விருப்பம் 3 விருப்பம் 4 4. புதிய பொருளின் விளக்கம் ... புதிய பொருளின் விளக்கம் (பக். 40-44): 1. சமத்துவமின்மை அமைப்பின் வரையறை கொடுங்கள் (பக். 41). வரையறை: ஒரு மாறி x உடன் பல ஏற்றத்தாழ்வுகள் சமத்துவமின்மை அமைப்பை உருவாக்குகின்றன, வேரியபிலின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டுபிடிப்பதே பணியாக இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு ஏற்றத்தாழ்வுகளும் ஒரு உண்மையான எண் சமத்துவமின்மைக்கு மாறும். 2. சமத்துவமின்மை அமைப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட மற்றும் பொதுவான தீர்வின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்துங்கள். X இன் அத்தகைய மதிப்பு சமத்துவமின்மை அமைப்பின் தீர்வு (அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு) என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமத்துவமின்மை அமைப்பிற்கான அனைத்து குறிப்பிட்ட தீர்வுகளின் தொகுப்பு சமத்துவமின்மைக்கான பொதுவான தீர்வாகும். 3. எடுத்துக்காட்டு எண் 3 (a, b, c) படி ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புகளின் தீர்வை பாடப்புத்தகத்தில் கருதுங்கள். 4. கணினியைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பகுத்தறிவைப் பொதுமைப்படுத்துங்கள்: 5. புதிய பொருள் பாதுகாத்தல். எண் 4.20 (a, b), 4.21 (a, b) இலிருந்து பணிகளைத் தீர்க்கவும். 6. சரிபார்ப்பு வேலை புதிய பொருட்களின் ஒருங்கிணைப்பை சரிபார்க்கவும், விருப்பங்களுக்கு ஏற்ப பணிகளை தீர்க்க தீவிரமாக உதவுகிறது: விருப்பம் 1 a, c எண் 4.6, 4.8 விருப்பம் 2 b, d எண் 4.6, 4.8 7. சுருக்கமாக. பிரதிபலிப்பு இன்று நீங்கள் சந்தித்த புதிய கருத்துக்கள் என்ன? நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு எவ்வாறு தீர்வு காண்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக்கொண்டீர்களா? நீங்கள் அதிகம் என்ன செய்தீர்கள், எந்த தருணங்களை நீங்கள் வெற்றிகரமாக சாதித்தீர்கள்? 8. வீட்டுப்பாடம்: எண் 4.5, 4.7.; பாடப்புத்தகத்தில் கோட்பாடு பக். 40-44; அதிகரித்த உந்துதல் கொண்ட மாணவர்களுக்கு № 4.23 (c, d). விண்ணப்பம். விருப்பம் 1. சமத்துவமின்மை பட இடைவெளி 2. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும், ஒரு அச்சில் இரண்டு படங்களை வரையவும் மற்றும் எண் 5 சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வா என்று சரிபார்க்கவும்: சமத்துவமின்மை படம் கேள்விக்கான பதில். விருப்பம் 2. சமத்துவமின்மை பட இடைவெளி 2. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும், ஒரு அச்சில் இரண்டு படங்களை வரையவும் மற்றும் எண் 5 இரண்டு சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வா என்று சரிபார்க்கவும்: சமத்துவமின்மை படம் கேள்விக்கான பதில். விருப்பம் 3. சமத்துவமின்மை பட இடைவெளி 2. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும், ஒரு அச்சில் இரண்டு படங்களை வரையவும் மற்றும் எண் 5 சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வா என்று சரிபார்க்கவும்: சமத்துவமின்மை படம் கேள்விக்கான பதில். விருப்பம் 4. சமத்துவமின்மை பட இடைவெளி 2. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும், ஒரு அச்சில் இரண்டு படங்களை வரையவும் மற்றும் எண் 5 இரண்டு சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வா என்று சரிபார்க்கவும்: சமத்துவமின்மை படம் கேள்விக்கான பதில்.
பதிவிறக்கம்: இயற்கணிதம் 9kl - [Bezdenezhnykh LV] இன் சுருக்கம். Docx
பாடங்களின் சுருக்கம் 2-4 [Zvereva L.P.]

அல்ஜீப்ரா 9 கிளாஸ் UMK: அல்ஜீப்ரா -9 கிளாஸ், ஏ.ஜி. பி. வி. மோர்ட்கோவிச் செமியோனோவ், 2014. நிலை-கற்றல்-அடிப்படை பாடம் தலைப்பு: பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புகள்-தலைப்பைப் படிப்பதற்காக ஒதுக்கப்பட்ட மொத்த மணிநேரங்களின் எண்ணிக்கை -4 மணி நேரம் பாடம் எண் 2 பாடத்தின் இடம் பாடம் எண் 2; எண் 3; எண் 4. பாடத்தின் நோக்கம்: சமத்துவமின்மை முறைகளை வரைய மாணவர்களுக்கு கற்பிப்பது, அத்துடன் பாடப்புத்தகத்தின் ஆசிரியரால் முன்மொழியப்பட்ட ஆயத்த அமைப்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை கற்பிப்பது. பாடத்தின் நோக்கங்கள்: திறன்களை உருவாக்குதல்: ஏற்றத்தாழ்வு அமைப்புகளை சுதந்திரமாக பகுப்பாய்வு செய்து தீர்க்கவும், அதே போல் விடையை சரியாக பதிவு செய்யவும், கொடுக்கப்பட்ட பொருளுடன் சுயாதீனமாக வேலை செய்யவும். திட்டமிடப்பட்ட முடிவுகள்: மாணவர்கள் ஆயத்த அமைப்புகளைத் தீர்க்க முடியும், அத்துடன் பணிகளின் உரை நிலைக்கு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புகளை வரையவும் மற்றும் தொகுக்கப்பட்ட மாதிரியைத் தீர்க்கவும் முடியும். பாடத்தின் தொழில்நுட்ப ஆதரவு: UMK: ALGEBRA-9CLASS, A.G. பி. வி. மோர்ட்கோவிச் செமியோனோவ். ஒரு பணிப்புத்தகம், வாய்வழி எண்ணுவதற்கான ஒரு ப்ரொஜெக்டர், வலுவான மாணவர்களுக்கான கூடுதல் பணிகளை பிரிண்ட் அவுட் செய்தல். பாடத்தின் கூடுதல் வழிமுறை மற்றும் செயற்கையான ஆதரவு (இணைய வளங்களுக்கான இணைப்புகள் சாத்தியம்): 1. கையேடு என்.என் க்ளெவ்னியூக், எம்.வி. இவனோவா, வி.ஜி. இவாசென்கோ, என்.எஸ். மெல்கோவ் "கணித பாடங்களில் 5-9 வகுப்புகளில் கணக்கீட்டு திறன்களை உருவாக்குதல்" 2.G.G. லெவிடஸ் "கணிதக் கட்டளைகள்" 7-11 தரங்கள் .3. டி.ஜி. குலினா "கணித சிமுலேட்டர்" 5-11 (4 சிரம நிலைகள்) கணித ஆசிரியர்: ஸ்வெரேவா எல்.பி. பாடம் எண் 2 குறிக்கோள்கள்: தீர்வு முடிவின் தெளிவுக்காக வடிவியல் விளக்கத்தைப் பயன்படுத்தி பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும் திறன்களைப் பயிற்சி செய்யுங்கள். பாடத்தின் படிப்பு 1. நிறுவன தருணம்: வேலை செய்யும் வகுப்பின் அணுகுமுறை, தலைப்பின் செய்தி மற்றும் பாடத்தின் நோக்கம் 11 வீட்டுப்பாடத்தை சரிபார்க்கிறது 1. கோட்பாட்டு பகுதி: * பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை பகுப்பாய்வு பதிவு என்ன * என்றால் என்ன பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள் அமைப்பின் பகுப்பாய்வு பதிவு * சமத்துவமின்மை அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்றால் என்ன * பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் விளைவு என்ன? 2. நடைமுறை பகுதி: * மாணவர்களுக்கு சிரமங்களை ஏற்படுத்திய கரும்பலகையில் பணிகளை தீர்க்கவும். வீட்டுப்பாடத்தின் போது II1 உடற்பயிற்சி. 1. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கும் முறைகளை மீண்டும் செய்யவும். 2. ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது இடைவெளியின் முறை என்ன என்பதை மதிப்பாய்வு செய்யவும். 3. கணினியைத் தீர்க்கவும். ஆசிரியரின் மேற்பார்வையின் கீழ் கரும்பலகையில் வலிமையான மாணவரால் தீர்வு வழிநடத்தப்படுகிறது. 1) 3x - 10> 5x - 5 சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்; 3x - 5x> - 5 + 10; - 2x> 5; என். எஸ்< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>ஏற்றத்தாழ்வுகள் இந்த அமைப்பின் தீர்வு x> பதில்: x> 6. போர்டு மற்றும் நோட்புக்குகளில் எண் 4.10 (சி) தீர்க்கவும். 5x2 - 2x + 1 ≤ 0.5x2-2x + 1 = 0 சமத்துவமின்மையை தீர்ப்போம். டி = 4 - 20 = –16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0.2x2 + 5x + 10 = 0; டி = –55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> - 2, பின்னர் - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. முன்னர் படித்த பொருள் மீண்டும் மீண்டும். தீர்வு எண் 2.33. சைக்கிள் ஓட்டுபவரின் ஆரம்ப வேகம் x கிமீ / மணி, குறைப்புக்குப் பிறகு (x - 3) கிமீ / மணி. 15x - 45 + 6x = 1.5x (x - 3); 21x - 45 = 1.5x2 - 4.5x; 1.5x2 - 25.5x + 45 = 0 | : 1.5; பின்னர் x2 - 17x + 30 = 0; டி = 169; x1 = 15; x2 = 2 பிரச்சனையின் பொருளை திருப்தி செய்யாது. பதில்: 15 கிமீ / மணி; 12 கிமீ / மணி பாடம் முடிவு: பாடத்தில், ஒரு சிக்கலான வகையின் சமத்துவமின்மை அமைப்புகளை தீர்க்க கற்றுக்கொண்டோம், குறிப்பாக ஒரு தொகுதியுடன், சுயாதீனமான வேலையில் எங்கள் கையை முயற்சித்தோம். குறித்தல். வீட்டுப்பாடம்: p இல் உள்ள எண் 7 முதல் எண் 10 வரை தனித்தனி காகித வீட்டு சோதனை எண் 1 இல் முடிக்கவும். 32–33, எண் 4.34 (a; b), எண் 4.35 (a; b). பாடம் 4 சோதனை வேலைக்கு தயாரிப்பு: குறிக்கோள்கள்: படித்த பொருளை சுருக்கவும் மற்றும் முறைப்படுத்தவும், "பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை அமைப்புகள்" என்ற தலைப்பில் மாணவர்களை சோதனைக்கு தயார்படுத்தவும் பாடம் ஓட்டம் 1. நிறுவன தருணம்: வேலை செய்யும் வகுப்பின் மனநிலை, செய்தி பாடத்தின் தலைப்பு மற்றும் நோக்கம். 11. படித்த பொருளின் மறுபடியும். * ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்றால் என்ன * பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் விளைவு என்ன 1. முடிக்கப்பட்ட வீட்டுத் தேர்வின் மூலம் காகிதத் தாள்களைச் சேகரிக்கவும். 2. ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க என்ன விதிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன? ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான தீர்வை விளக்கவும்: a) 3x - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) - 2x2 + x - 5> 0; c) 3x2 - x + 4 ≤ 0. 4. இரண்டு மாறிகளில் சமத்துவமின்மை அமைப்பின் வரையறையை வகுக்கவும். சமத்துவமின்மை அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்றால் என்ன? 5. பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படும் இடைவெளிகளின் முறை என்ன? சமத்துவமின்மையை தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இதை விளக்கவும்: (2x - 4) (3 - x) ≥ 0; I11 பயிற்சி பயிற்சிகள். 1. சமத்துவமின்மையை தீர்க்க: a) 12 (1 - x) ≥ 5x - (8x + 2); b) - 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> - 2. இது பணி a) அல்லது பணி b) இரண்டிற்கும் பொருந்தாது. எனவே, p ≠ 2, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மை சதுரமானது என்று நாம் கருதலாம். a) ax2 + bx + c> 0 படிவத்தின் சதுர சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வுகள் இல்லை என்றால் a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0> டி மற்றும் எக்ஸ் என்றால் x இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் 0 திருப்தி அடைகிறது< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. பாடம் சுருக்கம். படித்த அனைத்துப் பொருட்களையும் வீட்டில் பார்த்து, தேர்வுக்குத் தயாராக வேண்டும். வீட்டுப்பாடம்: எண் 1.21 (b; d), எண் 2.15 (c; d); எண் 4.14 (ஜி), எண் 4.28 (ஜி); எண் 4.19 (அ), எண் 4.33 (ஈ).

"ஒரு மாறியுடன் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது" என்ற தலைப்பை நாங்கள் தொடர்ந்து ஆராய்கிறோம். நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் சதுர ஏற்றத்தாழ்வுகள் பற்றி நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறோம். அவை சிறப்பு வழக்குகள். பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள், நாம் இப்போது படிப்போம். எந்த வகையான ஏற்றத்தாழ்வுகள் பகுத்தறிவு என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் தொடங்குவோம். அடுத்து, முழு பகுத்தறிவு மற்றும் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மைகளாகப் பிரிப்பதை நாங்கள் கையாள்வோம். அதன்பிறகு, ஒரு மாறியுடன் பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வு எவ்வாறு மேற்கொள்ளப்படுகிறது என்பதைப் படிப்போம், அதனுடன் தொடர்புடைய வழிமுறைகளை எழுதி விரிவான விளக்கங்களுடன் வழக்கமான எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்றால் என்ன?

பள்ளியில், இயற்கணித பாடங்களில், சமத்துவமின்மையை தீர்ப்பது பற்றி உரையாடல் வந்தவுடன், உடனடியாக பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளுடன் ஒரு சந்திப்பு ஏற்படுகிறது. எவ்வாறாயினும், முதலில் அவர்கள் பெயரால் அழைக்கப்படுவதில்லை, ஏனெனில் இந்த கட்டத்தில் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் வகைகள் சிறிதும் ஆர்வமாக இல்லை, மேலும் முக்கிய குறிக்கோள் சமத்துவமின்மையுடன் வேலை செய்வதற்கான ஆரம்ப திறன்களைப் பெறுவதாகும். "பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை" என்ற சொல் பின்னர் 9 ஆம் வகுப்பில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இந்த குறிப்பிட்ட வகையின் ஏற்றத்தாழ்வுகள் பற்றிய விரிவான ஆய்வு தொடங்கும் போது.

பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இங்கே வரையறை:

ஒலிக்கப்பட்ட வரையறை மாறிகளின் எண்ணிக்கையைப் பற்றி எதுவும் சொல்லவில்லை, அதாவது அவற்றில் எந்த எண்ணும் அனுமதிக்கப்படுகிறது. இதைப் பொறுத்து, பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஒன்று, இரண்டு, முதலியவற்றால் வேறுபடுகின்றன. மாறிகள். மூலம், பாடநூல் இதே போன்ற வரையறையை அளிக்கிறது, ஆனால் ஒரு மாறி கொண்ட பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு. இது புரிந்துகொள்ளத்தக்கது, ஏனெனில் பள்ளி ஒரு மாறுபாட்டால் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் கவனம் செலுத்துகிறது (கீழே நாம் ஒரு மாறி மூலம் பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையை தீர்ப்பது பற்றி மட்டுமே பேசுவோம்). இரண்டு மாறிகள் கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள்சிறியதாகக் கருதுங்கள், மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு கொஞ்சம் கவனம் செலுத்தப்படுகிறது.

எனவே, பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையை அதன் எழுத்தால் அங்கீகரிக்க முடியும், இதற்காக அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் உள்ள வெளிப்பாடுகளைப் பார்த்து அவை பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் என்பதை உறுதிசெய்தால் போதும். இந்த பரிசீலனைகள் பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மைகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்க அனுமதிக்கின்றன. உதாரணமாக, x> 4, x 3 + 2 y≤5 (y - 1) (x 2 +1), பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள். மற்றும் சமத்துவமின்மை பகுத்தறிவு அல்ல, ஏனெனில் அதன் இடது பக்கத்தில் வேர் அடையாளத்தின் கீழ் மாறி உள்ளது, எனவே, பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு அல்ல. சமத்துவமின்மை பகுத்தறிவு அல்ல, ஏனெனில் அதன் இரு பகுதிகளும் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் அல்ல.

மேலும் விளக்கத்தின் வசதிக்காக, பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளை முழு மற்றும் பின்னமாக பிரிப்பதை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

வரையறை.

ஒரு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை அழைக்கப்படும் முழுஅதன் இரண்டு பகுதிகளும் முழு பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருந்தால்.

வரையறை.

பகுத்தறிவு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மைஒரு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை, அதில் ஒரு பகுதியையாவது ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாடு ஆகும்.

எனவே 0.5 x≤3 (2−5 y), முழு சமத்துவமின்மைகள் மற்றும் 1: x + 3> 0 மற்றும் - பகுத்தறிவு பகுத்தறிவு.

பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்ன என்பதை இப்போது நாம் தெளிவாகப் புரிந்துகொண்டுள்ளோம், மேலும் ஒரு மாறிலியுடன் ஒருங்கிணைந்த மற்றும் பகுதியளவு பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் கொள்கைகளை நாம் பாதுகாப்பாகப் புரிந்துகொள்ளத் தொடங்கலாம்.

முழு சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பது
நம்மை நாமே ஒரு பிரச்சனையாக அமைத்துக் கொள்வோம்: ஆர் (x) வடிவத்தின் ஒரு மாறி x உடன் முழு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையை தீர்க்க வேண்டும். , ≥), இதில் r (x) மற்றும் s (x) சில ஒருங்கிணைந்த பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள். அதைத் தீர்க்க, சமமான சமத்துவமின்மை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவோம்.

வெளிப்பாட்டை வலது பக்கத்திலிருந்து இடப்பக்கத்திற்கு மாற்றுகிறோம், இது r (x) −s (x) வடிவத்தின் சமமான சமத்துவமின்மைக்கு வழிவகுக்கும்<0 (≤, >, ≥) வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்துடன். வெளிப்படையாக, வெளிப்பக்கம் r (x) - s (x), இடது புறத்தில் உருவாக்கப்பட்டது, ஒரு முழு எண், ஆனால் அது சாத்தியம் என்று அறியப்படுகிறது. வெளிப்பாடு r (x) (s (x) ஐ ஒரே சமமான பல்லுறுப்பு h (x) ஆக மாற்றுவதால் நாம் சமமான சமத்துவமின்மைக்கு செல்கிறோம் h (x)<0 (≤, >, ≥).

எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், நிகழ்த்தப்பட்ட மாற்றங்கள் விரும்பிய தீர்வைப் பெற போதுமானதாக இருக்கும், ஏனெனில் அவை அசல் முழு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையிலிருந்து நாம் தீர்க்கக்கூடிய சமத்துவமின்மைக்கு வழிவகுக்கும், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நேரியல் அல்லது சதுரத்திற்கு. சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

முழு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வு காணவும் x · (x + 3) + 2 · x≤ (x + 1) 2 +1.

தீர்வு

முதலில், நாம் வெளிப்பாட்டை வலது பக்கத்திலிருந்து இடப்பக்கத்திற்கு மாற்றுகிறோம்: x (x + 3) + 2 x− (x + 1) 2 −1≤0... எல்லாவற்றையும் இடது பக்கத்தில் செய்து, நேரியல் சமத்துவமின்மை 3 x - 2≤0 க்கு வருகிறோம், இது அசல் முழு சமத்துவமின்மைக்கு சமம். அதன் தீர்வு கடினம் அல்ல:
3 x≤2,
x≤2/3.

பதில்:

x≤2/3.

உதாரணமாக.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் (x 2 +1) 2 −3 x 2> (x 2 −x) (x 2 + x).

தீர்வு

வலதுபுறத்திலிருந்து வெளிப்பாட்டை நகர்த்துவதன் மூலம் நாங்கள் வழக்கம் போல் தொடங்குகிறோம், பின்னர் இதைப் பயன்படுத்தி இடது பக்கத்தில் மாற்றங்களைச் செய்கிறோம்:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 - (x 2 −x) (x 2 + x)> 0,
x 4 + 2 x 2 + 1−3 x 2 −x 4 + x 2> 0,
1>0 .

எனவே, சமமான மாற்றங்களைச் செய்வதன் மூலம், நாம் 1> 0 சமத்துவமின்மைக்கு வந்தோம், இது x இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும். இதன் பொருள் அசல் முழு சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு எந்த உண்மையான எண்ணாகும்.

பதில்:

x என்பது ஏதேனும்.

உதாரணமாக.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் x + 6 + 2 x 3 −2 x (x 2 + x - 5)> 0.

தீர்வு

வலது பக்கத்தில் பூஜ்யம் உள்ளது, எனவே நீங்கள் அதிலிருந்து எதையும் மாற்ற தேவையில்லை. இடதுபுறத்தில் உள்ள முழு வெளிப்பாட்டையும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றவும்:
x + 6 + 2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 + 10 x> 0,
X2 x 2 + 11 x + 6> 0.

நாம் ஒரு சதுர சமத்துவமின்மை கிடைத்தது, இது அசல் சமத்துவமின்மைக்கு சமம். எங்களுக்குத் தெரிந்த எந்த முறையிலும் நாங்கள் அதைத் தீர்க்கிறோம். சதுர சமத்துவமின்மையை வரைபடமாக தீர்ப்போம்.

சதுர முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டறியவும் x2 x 2 + 11 x + 6:

நாங்கள் ஒரு திட்ட வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம், அதில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியங்களைக் குறிக்கிறோம், மேலும் முன்னணி குணகம் எதிர்மறையாக இருப்பதால், பரபோலாவின் கிளைகள் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

> சமிக்ஞையை> அடையாளத்துடன் நாம் தீர்க்கிறோம் என்பதால், பரபோலா அப்ஸிசா அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ள இடைவெளிகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். இது இடைவெளியில் நடைபெறுகிறது (−0.5, 6), இது விரும்பிய தீர்வு.

பதில்:

(−0,5, 6) .

மிகவும் சிக்கலான நிகழ்வுகளில், விளைவாக சமத்துவமின்மை இடது பக்கத்தில் h (x)<0 (≤, >, ≥) பட்டம் 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும். இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க, இடைவெளி முறை பொருத்தமானது, இதன் முதல் கட்டத்தில் பல்லுறுப்பு h (x) இன் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறிவது அவசியம், இது பெரும்பாலும் செய்யப்படுகிறது.

உதாரணமாக.

முழு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வு காணவும் (x 2 +2) (x + 4)<14−9·x .

தீர்வு

எல்லாவற்றையும் இடது பக்கமாக நகர்த்தவும், அதன் பிறகு அங்கு மற்றும்:
(x 2 +2) (x + 4) −14 + 9 x<0 ,
x 3 + 4 x 2 + 2 x + 8−14 + 9 x<0 ,
x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6<0 .

நிகழ்த்தப்பட்ட கையாளுதல்கள் நம்மை ஒரு சமத்துவமின்மைக்கு இட்டுச் செல்கின்றன, இது அசல் ஒன்றிற்கு சமமானதாகும். அதன் இடது பக்கத்தில் மூன்றாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது. இடைவெளியின் முறையைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் அதை தீர்க்கலாம். இதைச் செய்ய, முதலில், x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0 இல் தங்கியிருக்கும் பல்லுறுப்புக்கோலின் வேர்களை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இது பகுத்தறிவு வேர்களைக் கொண்டிருக்கிறதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம், இது இலவச காலத்தின் வகுப்பாளர்களிடையே மட்டுமே இருக்க முடியும், அதாவது ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 எண்களில். இந்த எண்களை மாறி x க்கு பதிலாக x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0 என மாற்றினால், சமன்பாட்டின் வேர்கள் 1, 2 மற்றும் 3 எண்கள் என்பதை நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம். இது பல்லுறுப்பு x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 ஐ தயாரிப்பு (x - 1) (x - 2) (x - 3), மற்றும் சமத்துவமின்மை x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

பின்னர் இடைவெளி முறையின் நிலையான படிகளைச் செய்ய உள்ளது: எண் கோட்டில் 1, 2 மற்றும் 3 ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும், இது இந்த கோட்டை நான்கு இடைவெளிகளாகப் பிரித்து, அடையாளங்களை நிர்ணயித்து வைக்கிறது, இடைவெளியில் கழித்தல் வரைதல் கையொப்பம் (சமத்துவமின்மையை நாங்கள் ஒரு அடையாளத்துடன் தீர்க்கிறோம்<) и записать ответ.

எங்கிருந்து எங்களிடம் (−∞, 1) ∪ (2, 3).

பதில்:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

சில நேரங்களில் அது சமத்துவமின்மை r (x) - s (x) இலிருந்து நடைமுறைக்கு மாறானது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.<0 (≤, >, ≥) சமத்துவமின்மைக்குச் செல்லவும் h (x)<0 (≤, >, ≥), இங்கு h (x) என்பது இரண்டை விட அதிக பட்டம் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். நேரியல் இருமொழி மற்றும் சதுர மும்மூர்த்திகளின் தயாரிப்பாக r (x) - s (x) என்ற வெளிப்பாட்டைக் காட்டிலும், பன்மடங்கு h (x) ஐ காரணிகளாகக் காண்பிப்பது மிகவும் கடினமாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் இது பொருந்தும். அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே பொதுவான காரணி. இதை ஒரு உதாரணத்துடன் விளக்குவோம்.

உதாரணமாக.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் (x 2 −2 x - 1) (x 2 −19) ≥2 x (x 2 −2 x - 1).

தீர்வு

இது முழு சமத்துவமின்மை. வெளிப்பாட்டை அதன் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்தினால், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து இதே போன்ற சொற்களைக் கொடுத்தால், நாம் சமத்துவமின்மையைப் பெறுவோம் x 4 −4 x 3 −16 x 2 + 40 x + 19≥0... அதைத் தீர்ப்பது மிகவும் கடினம், ஏனெனில் இது நான்காவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோணியின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதை உள்ளடக்கியது. அதற்கு பகுத்தறிவு வேர்கள் இல்லை என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது (அவை எண்கள் 1, −1, 19, அல்லது 919 ஆக இருக்கலாம்), அதன் பிற வேர்களைக் கண்டறிவது சிக்கல். எனவே, இந்த பாதை ஒரு முட்டுச்சந்தாக உள்ளது.

பிற தீர்வுகளுக்கான வாய்ப்புகளைத் தேடுவோம். அசல் முழு எண் சமத்துவமின்மையின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கத்திற்கு வெளிப்பாட்டை மாற்றிய பிறகு, பொதுவான காரணி x 2 −2 x-1 ஐ நாம் காரணியாகக் கொள்ளலாம்:
(x 2 −2 x - 1) (x 2 −19) −2 x (x 2 −2 x - 1) ≥0,
(x 2 −2 x - 1) (x 2 −2 x - 19) ≥0.

நிகழ்த்தப்பட்ட மாற்றம் சமமானது, அதனால் ஏற்படும் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு அசல் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வாக இருக்கும்.

இப்போது நாம் சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கத்தில் வெளிப்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் காணலாம், இதற்கு நமக்கு x 2 −2 x - 1 = 0 மற்றும் x 2 −2 x - 19 = 0 தேவை. அவற்றின் வேர்கள் எண்கள் ... இது சமமான சமத்துவமின்மைக்கு நம்மை அனுமதிக்கிறது, மேலும் இடைவெளியின் முறையால் நாம் அதை தீர்க்க முடியும்:

வரைபடத்தின் படி நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம்.

பதில்:

இந்த துணைப்பிரிவின் முடிவில், பல்லுறுப்பு h (x) இன் அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை என்பதையும், அதன் விளைவாக, நேரியல் இருமொழி மற்றும் சதுர முக்கோணங்களின் தயாரிப்பாக விரிவாக்குவதையும் மட்டுமே நான் சேர்க்க விரும்புகிறேன். . இந்த சந்தர்ப்பங்களில், சமத்துவமின்மையை தீர்க்க வழி இல்லை h (x)<0 (≤, >, ≥), அதாவது அசல் முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு காண வழி இல்லை.

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு

இப்போது பின்வரும் சிக்கலைக் கையாள்வோம்: r (x) வடிவத்தின் ஒரு மாறி x உடன் ஒரு பகுத்தறிவு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையை தீர்க்க வேண்டும். , ≥), இதில் r (x) மற்றும் s (x) ஆகியவை சில பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள், அவற்றில் குறைந்தது ஒரு பகுதியாவது அதைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையை உடனடியாகக் கொடுப்போம், அதன் பிறகு தேவையான விளக்கங்களைச் செய்வோம்.

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையை தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைஒரு மாறி r (x) உடன் , ≥):
- முதலில், அசல் சமத்துவமின்மைக்கு x இன் மாறியின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் (ADV) வரம்பை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
- அடுத்து, நீங்கள் சமத்துவமின்மையின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடதுபுறம் வெளிப்பாட்டை மாற்ற வேண்டும், மேலும் வெளிப்பாடு r (x) −s (x) ஐ பின்னம் p (x) / q (x) வடிவமாக மாற்ற வேண்டும், இங்கு p (x) மற்றும் q (x) ஆகியவை முழு எண் வெளிப்பாடுகளாகும், அவை நேரியல் இருபொருள்கள், பிரிக்க முடியாத சதுர முக்கோணங்கள் மற்றும் அவற்றின் இயல்பான அடுக்குடன் கூடிய தயாரிப்புகள் ஆகும்.
- அடுத்து, இடைவெளியின் முறையால் ஏற்படும் சமத்துவமின்மையை நாம் தீர்க்க வேண்டும்.
- இறுதியாக, முந்தைய படியில் பெறப்பட்ட தீர்விலிருந்து, முதல் அடியில் காணப்படும் அசல் சமத்துவமின்மைக்கு, x இன் மாறியின் GDV இல் சேர்க்கப்படாத புள்ளிகளை விலக்குவது அவசியம்.
இது பகுத்தறிவு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மைக்குத் தேவையான தீர்வைக் கொடுக்கும்.

வழிமுறையின் இரண்டாவது படிக்கு தெளிவு தேவை. சமத்துவமின்மையின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கத்திற்கு வெளிப்பாட்டை நகர்த்தினால் சமத்துவமின்மை r (x) −s (x)<0 (≤, >, ≥), இது அசல் ஒன்றிற்கு சமம். இங்கே எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது. ப<0 (≤, >, ≥).

முதல் கேள்வி: "அதை செயல்படுத்த எப்போதும் சாத்தியமா?" கோட்பாட்டில், ஆம். எதுவும் சாத்தியம் என்பது எங்களுக்குத் தெரியும். பகுத்தறிவு பின்னத்தின் எண்கணிதம் மற்றும் வகுத்தல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்டுள்ளது. இயற்கணிதம் மற்றும் பெசவுட்டின் தேற்றத்தின் முக்கிய கோட்பாட்டிலிருந்து, ஒரு மாறியுடன் பட்டம் n இன் எந்த பல்லுறுப்புக்கோட்டையும் நேரியல் இருமொழி தயாரிப்பாகக் குறிப்பிடலாம். இந்த மாற்றத்தை மேற்கொள்வதற்கான சாத்தியத்தை இது விளக்குகிறது.

நடைமுறையில், பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கண்டறிவது மிகவும் கடினம், அவற்றின் பட்டம் நான்காவது விட அதிகமாக இருந்தால், அது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. காரணிமயமாக்கல் சாத்தியமில்லை என்றால், அசல் சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வு காண வழி இருக்காது, ஆனால் இதுபோன்ற வழக்குகள் பொதுவாக பள்ளியில் ஏற்படாது.

இரண்டாவது கேள்வி: "சமத்துவமின்மை p (x) / q (x)<0 (≤, >, ≥) சமத்துவமின்மைக்கு சமம் r (x) - s (x)<0 (≤, >, ≥), எனவே அசல் "? இது சமமான மற்றும் சமமற்றதாக இருக்கலாம். P (x) / q (x) வெளிப்பாட்டிற்கான ODV, r (x) - s (x) என்ற வெளிப்பாட்டிற்கான ODV உடன் இணைந்தால் அது சமமானது. இந்த வழக்கில், வழிமுறையின் கடைசி படி தேவையற்றதாக இருக்கும். ஆனால் p (x) / q (x) என்ற வெளிப்பாட்டிற்கான ODV ஆனது r (x) - s (x) என்ற வெளிப்பாட்டிற்கான ODV ஐ விட அகலமாக மாறலாம். பின்னங்களைக் குறைக்கும்போது ODZ இன் விரிவாக்கம் ஏற்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, கடந்து செல்லும் போது க்கு. மேலும், ODZ இன் விரிவாக்கம் ஒத்த சொற்களைக் குறைப்பதன் மூலம் எளிதாக்கப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இடமாற்றத்தில் க்கு. இந்த வழக்கில், வழிமுறையின் கடைசி படி நோக்கம் கொண்டது, இது ODZ விரிவாக்கத்திலிருந்து எழும் புறம்பான முடிவுகளை விலக்குகிறது. கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கும்போது இதை கவனிப்போம்.

கணித சமத்துவமின்மை பற்றிய கருத்து பண்டைய காலத்தில் எழுந்தது. பழங்கால மனிதனுக்கு பல்வேறு பொருள்களை எண்ணி செயல்படும் போது அவற்றின் அளவு மற்றும் அளவை ஒப்பிட்டு பார்க்க வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டபோது இது நடந்தது. பழங்காலத்திலிருந்தே, ஆர்க்கிமிடிஸ், யூக்ளிட் மற்றும் பிற புகழ்பெற்ற விஞ்ஞானிகளால் சமத்துவமின்மை அவர்களின் வாதங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது: கணிதவியலாளர்கள், வானியலாளர்கள், வடிவமைப்பாளர்கள் மற்றும் தத்துவவாதிகள்.
ஆனால் அவர்கள், ஒரு விதியாக, தங்கள் படைப்புகளில் வாய்மொழி சொற்களைப் பயன்படுத்தினர். முதன்முறையாக, "அதிகமாக" மற்றும் "குறைவாக" என்ற கருத்துக்களைக் குறிக்கும் நவீன அடையாளங்கள், ஒவ்வொரு பள்ளி மாணவருக்கும் இன்று தெரியும், இங்கிலாந்தில் நடைமுறையில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு பயன்படுத்தப்பட்டன. கணிதவியலாளர் தாமஸ் கேரியட் சந்ததியினருக்கு இத்தகைய சேவையை வழங்கினார். அது சுமார் நான்கு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது.
பல வகையான ஏற்றத்தாழ்வுகள் அறியப்படுகின்றன. அவற்றில் எளிமையானவை, ஒன்று, இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள், சதுரம், பின்னம், சிக்கலான விகிதங்கள் மற்றும் வெளிப்பாடுகளின் அமைப்பால் கூட குறிப்பிடப்படுகின்றன. மேலும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, பல்வேறு உதாரணங்களைப் பயன்படுத்துவது சிறந்தது.
ரயிலைத் தவறவிடாதீர்கள்
ஆரம்பத்தில், ஒரு கிராமவாசி தனது கிராமத்திலிருந்து 20 கிமீ தொலைவில் உள்ள ஒரு ரயில் நிலையத்திற்கு விரைந்து செல்கிறார் என்று கற்பனை செய்து கொள்வோம். 11 மணி நேர ரயிலை தவறவிடாமல் இருக்க, அவர் சரியான நேரத்தில் வீட்டை விட்டு வெளியேற வேண்டும். அதன் இயக்கத்தின் வேகம் 5 கிமீ / மணி என்றால் எந்த நேரத்தில் செய்ய வேண்டும்? இந்த நடைமுறை பிரச்சனைக்கான தீர்வு வெளிப்பாட்டு நிபந்தனைகளின் நிறைவுக்கு குறைக்கப்படுகிறது: 5 (11 - X) ≥ 20, எக்ஸ் புறப்படும் நேரம்.
இது புரிந்துகொள்ளத்தக்கது, ஏனென்றால் ஒரு கிராமவாசி ஸ்டேஷனுக்குக் கடக்க வேண்டிய தூரம், இயக்கத்தின் வேகத்திற்குச் செல்லும் வழியில் உள்ள மணிநேர எண்ணிக்கையால் பெருக்கப்படும். ஒரு நபர் முன்னதாக வரலாம், ஆனால் அவர் தாமதமாக இருக்க முடியாது. ஏற்றத்தாழ்வுகளை எப்படித் தீர்ப்பது என்று தெரிந்தும், நடைமுறையில் உங்கள் திறமைகளைப் பயன்படுத்தினாலும், இறுதியில் நாம் X ≤ 7 ஐப் பெறுகிறோம். இதன் பொருள், கிராமவாசி காலை ஏழு மணிக்கு அல்லது சிறிது முன்னதாகவே ரயில் நிலையத்திற்கு செல்ல வேண்டும்.
ஆய வரிசையில் எண் இடைவெளிகள்
மேலே பெறப்பட்ட சமத்துவமின்மைக்கு விவரிக்கப்பட்ட உறவுகளை எப்படி வரைபடமாக்குவது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதன் பொருள் மாறி 7 க்கும் குறைவான மதிப்புகளை எடுக்கலாம் அல்லது இந்த எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கலாம். இதோ வேறு சில உதாரணங்கள். இதைச் செய்ய, கீழே உள்ள நான்கு புள்ளிவிவரங்களை கவனமாகக் கவனியுங்கள்.
முதல் ஒன்றில் நீங்கள் இடைவெளியின் வரைகலை விளக்கத்தைக் காணலாம் [-7; 7]. இது ஒருங்கிணைப்புக் கோட்டில் அமைந்துள்ள எண்களின் பன்முகத்தன்மையைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் எல்லைகள் உட்பட -7 மற்றும் 7 க்கு இடையில் அமைந்துள்ளது. இந்த வழக்கில், வரைபடத்தில் உள்ள புள்ளிகள் நிரப்பப்பட்ட வட்டங்களாக சித்தரிக்கப்படுகின்றன, மேலும் இடைவெளி பயன்படுத்தி பதிவு செய்யப்படுகிறது
இரண்டாவது எண்ணிக்கை கடுமையான சமத்துவமின்மையின் வரைகலை விளக்கமாகும். இந்த வழக்கில், எல்லை எண்கள் -7 மற்றும் 7, துளையிடப்பட்ட (நிரப்பப்படாத) புள்ளிகளால் காட்டப்படும், குறிப்பிட்ட தொகுப்பில் சேர்க்கப்படவில்லை. இடைவெளி பின்வருமாறு அடைப்புக்குறிக்குள் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளது: (-7; 7).
அதாவது, இந்த வகையின் ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டறிந்து, இதேபோன்ற பதிலைப் பெற்ற பிறகு, -7 மற்றும் 7 தவிர, கருதப்படும் எல்லைகளுக்கு இடையில் அமைந்துள்ள எண்களைக் கொண்டது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். இதே போன்ற வழி. மூன்றாவது படம் இடைவெளிகளின் படங்களைக் காட்டுகிறது (-∞; -7] U

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்கி, பல்லுறுப்புக்கோவைகளை மட்டுமல்ல, படிவத்தின் பகுத்தறிவு பின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுவதையும் கருத்தில் கொள்வோம்:

$ P \ left (x \ right) $ மற்றும் $ Q \ இடது (x \ right) $ அனைத்தும் $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + வடிவத்தின் ஒரே பல்லுறுப்புகள் ((அ) _ (என் -1)) ((எக்ஸ்) ^ (என் -1)

இது பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை. வகுப்பில் $ x $ மாறி இருப்பது அடிப்படை புள்ளி. உதாரணமாக, இவை பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ இடது (7x + 1 \ வலது) \ இடது (11x + 2 \ வலது)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) ((\ \ இடது (3 -x \ வலது)) ^ (2)) \ இடது (4 - ((x) ^ ( 2)) \ வலது)) \ g 0. \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

இது பகுத்தறிவு அல்ல, ஆனால் மிகவும் பொதுவான சமத்துவமின்மை, இது இடைவெளியின் முறையால் தீர்க்கப்படுகிறது:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

முன்னோக்கிப் பார்த்தால், நான் இப்போதே கூறுவேன்: பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க குறைந்தது இரண்டு வழிகள் உள்ளன, ஆனால் அவை அனைத்தும் எப்படியோ நமக்கு ஏற்கனவே தெரிந்த இடைவெளிகளின் முறைக்கு குறைக்கப்படுகின்றன. எனவே, இந்த முறைகளை ஆராய்வதற்கு முன், பழைய உண்மைகளை நினைவு கூர்வோம், இல்லையெனில் புதிய பொருளில் இருந்து எந்த அர்த்தமும் இருக்காது.

நீங்கள் ஏற்கனவே தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது

பல முக்கியமான உண்மைகள் இல்லை. எங்களுக்கு உண்மையில் நான்கு மட்டுமே தேவை.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள்

ஆமாம், ஆமாம்: பள்ளி கணித பாடத்திட்டம் முழுவதும் அவர்கள் எங்களை வேட்டையாடுவார்கள். மேலும் பல்கலைக்கழகத்திலும். இந்த சூத்திரங்களில் சில உள்ளன, ஆனால் எங்களுக்கு பின்வருபவை மட்டுமே தேவை:

\ (\ தொடங்கு \\ & ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ இடது (a -b \ right) \ இடது (a + b \ right); \\ & ((a) ^ (3)) + (b) ^ (3)) = \ இடது (a + b \ வலது) \ இடது (((a) ^ (2)) - ab + ((b ) ^ (2)) \ வலது); \\ & ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ இடது (ab \ right) \ இடது (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2)) \ வலது). \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

கடைசி இரண்டு சூத்திரங்களுக்கு கவனம் செலுத்துங்கள் - இவை க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு (தொகை அல்லது வேறுபாடு க்யூப் அல்ல!). முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அடையாளம் அசல் வெளிப்பாட்டில் உள்ள அடையாளத்தைப் போலவே இருப்பதை நீங்கள் கவனித்தால் அவற்றை நினைவில் கொள்வது எளிது, இரண்டாவதாக அது அசல் வெளிப்பாட்டில் உள்ள அடையாளத்திற்கு எதிரானது.

நேரியல் சமன்பாடுகள்

இவை $ ax + b = 0 $ வடிவத்தின் எளிய சமன்பாடுகள் ஆகும், அங்கு $ a $ மற்றும் $ b $ ஆகியவை சாதாரண எண்கள், $ a \ ne 0 $. இந்த சமன்பாட்டை எளிமையாக தீர்க்க முடியும்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & ax + b = 0; \\ & ax = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a). \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

குணகம் $ a $ ஆல் வகுக்க எங்களுக்கு உரிமை உண்டு என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் $ a \ ne 0 $. இந்த தேவை மிகவும் தர்க்கரீதியானது, ஏனெனில் $ a = 0 $ க்கு நாங்கள் இதைப் பெறுகிறோம்:

முதலில், இந்த சமன்பாட்டில் $ x $ மாறி இல்லை. பொதுவாகச் சொல்வதானால், இது நம்மை குழப்பக் கூடாது (இது, வடிவியல், மற்றும் அடிக்கடி நடக்கிறது), ஆயினும்கூட, நாம் இனி ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டை எதிர்கொள்ளவில்லை.

இரண்டாவதாக, இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு குணகம் $ b $ ஐ மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. $ B $ பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், எங்கள் சமன்பாடு $ 0 = 0 $ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த சமத்துவம் எப்போதும் உண்மை; எனவே, $ x $ என்பது எந்த எண்ணும் (வழக்கமாக இது இவ்வாறு எழுதப்படும்: $ x \ in \ mathbb (R) $). குணகம் $ b $ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்றால், சமநிலை $ b = 0 $ ஒருபோதும் திருப்தி அடையாது, அதாவது. பதில் இல்லை

இந்த அனைத்து சிக்கல்களையும் தவிர்க்க, நாங்கள் $ a \ ne 0 $ என்று கருதுகிறோம், இது எந்த வகையிலும் எங்கள் மேலும் சிந்தனையை கட்டுப்படுத்தாது.

இருபடி சமன்பாடுகள்

இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்று நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

இங்கே இடதுபுறத்தில் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் மீண்டும் $ a \ n 0 $ (இல்லையெனில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கு பதிலாக, நாம் ஒரு நேரியல் ஒன்றைப் பெறுகிறோம்). பின்வரும் சமன்பாடுகள் பாகுபாடு மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:
1. $ D \ gt 0 $ என்றால், நமக்கு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்கள் கிடைக்கும்;
2. $ D = 0 $ என்றால், ஒரு வேர் இருக்கும், ஆனால் இரண்டாவது பெருக்கத்தின் (அது என்ன வகையான பெருக்கம் மற்றும் அதை எப்படி கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது - இதைப் பற்றி மேலும்). அல்லது சமன்பாடு இரண்டு ஒத்த வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நாம் கூறலாம்;
3. $ D \ lt 0 $ க்கு, வேர்கள் இல்லை ஒரு $. மூலம், இது மிகவும் பயனுள்ள உண்மை, சில காரணங்களால் அவர்கள் இயற்கணித பாடங்களில் பேச மறந்து விடுகிறார்கள்.
நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தின்படி வேர்கள் கருதப்படுகின்றன:

\ [((x) _ (1,2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

எனவே, வழியில், மற்றும் பாகுபாடு உள்ளவர்கள் மீதான கட்டுப்பாடுகள். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்க மூலம் இல்லை. வேர்களைப் பொறுத்தவரை, பல மாணவர்களின் தலையில் ஒரு பயங்கரமான குழப்பம் உள்ளது, எனவே நான் ஒரு முழு பாடத்தையும் சிறப்பாக எழுதினேன்: இயற்கணிதத்தில் ஒரு வேர் என்ன, அதை எப்படி எண்ணுவது - நான் அதைப் படிக்க பரிந்துரைக்கிறேன். :)

பகுத்தறிவு பின்னங்களைக் கொண்ட செயல்கள்

மேலே எழுதப்பட்ட அனைத்தும், நீங்கள் இடைவெளியின் முறையைப் படித்தீர்களா என்பது உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். ஆனால் நாம் இப்போது பகுப்பாய்வு செய்வதற்கு கடந்த காலங்களில் எந்த ஒப்புமைகளும் இல்லை - இது முற்றிலும் புதிய உண்மை.

வரையறை. ஒரு பகுத்தறிவு பின்னம் என்பது ஒரு வெளிப்பாடு

\ [\ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \]

$ P \ left (x \ right) $ மற்றும் $ Q \ left (x \ right) $ ஆகியவை பன்மைச்சொற்கள்.

வெளிப்படையாக, அத்தகைய பின்னத்திலிருந்து ஒரு சமத்துவமின்மையை பெறுவது எளிது - வலப்புறம் "அதிகமாக" அல்லது "குறைவாக" என்ற குறியீட்டை ஒதுக்கினால் போதும். மேலும், இதுபோன்ற சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது மகிழ்ச்சி அளிக்கிறது என்பதை நாங்கள் இன்னும் கொஞ்சம் கண்டுபிடிப்போம், அங்கு எல்லாம் மிகவும் எளிது.

ஒரு வெளிப்பாட்டில் இதுபோன்ற பல பின்னங்கள் இருக்கும்போது பிரச்சினைகள் தொடங்குகின்றன. அவர்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பாக குறைக்கப்பட வேண்டும் - இந்த தருணத்தில்தான் அதிக எண்ணிக்கையிலான தாக்குதல் தவறுகள் செய்யப்படுகின்றன.

எனவே, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, இரண்டு திறன்கள் உறுதியாக தேர்ச்சி பெற வேண்டும்:
1. பல்லுறுப்பு $ P \ இடது (x \ வலது) $ காரணி;
2. உண்மையில், பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பாகக் குறைத்தல்.
ஒரு பல்லுறுப்புக்கோலை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது? மிக எளிய. எங்களிடம் படிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்

நாங்கள் அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம். $ N $ -th பட்டம் சமன்பாட்டை நாங்கள் பெறுகிறோம்:

\ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) (x) ^ (n-1)) + ... + ( a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = 0 \]

இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, வேர்கள் $ ((x) _ (1)), \ ..., \ (x (_) இந்த இரண்டு வேர்களுக்கு மேல் இல்லை) ... இந்த வழக்கில், எங்கள் அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

\ [\ தொடக்கம் (சீரமைத்தல்) & பி \ இடது (x \ வலது) = ((a) _ (n)) (x) ) n (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) \\ & = (a) _ (n)) \ இடது x - (x (_ x) _ வலது (n)) \ வலது) \ end (align) \]

அவ்வளவுதான்! தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: முன்னணி குணகம் $ ((a) _ (n)) $ எங்கும் மறைந்துவிடவில்லை - அது அடைப்புக்குறிக்கு முன் ஒரு தனி பெருக்கமாக இருக்கும், தேவைப்பட்டால், இந்த அடைப்புக்குறிக்குள் ஏதேனும் ஒன்றைச் செருகலாம் (பயிற்சி காட்டுகிறது $ ((a) _ (n)) \ n \ pm 1 $ உடன் எப்போதும் வேர்கள் மத்தியில் பின்னங்கள் இருக்கும்).

பணி வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + x -20) (x -4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x -3) - \ ஃப்ராக் (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]

தீர்வு முதலில், வகுப்புகளைப் பார்ப்போம்: அவை அனைத்தும் நேரியல் இருமொழி, மற்றும் காரணியாக எதுவும் இல்லை. எனவே எண்களைக் கணக்கிடுவோம்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ இடது (x + 5 \ வலது) \ இடது (x-4 \ வலது); \\ & 2 ((x) ^ (2))- 5x + 3 = 2 \ இடது (x- \ frac (3) (2) \ வலது) \ இடது (x-1 \ வலது) = \ இடது (2x- 3 \ வலது) \ இடது (x-1 \ வலது); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) =- 5 \ இடது (x + 2 \ வலது) \ இடது (x- \ frac (2) (5) \ வலது) = \ இடது (x) +2 \ வலது) \ இடது (2-5x \ வலது). \\\ முடிவு (சீரமை) \]

கவனம் செலுத்துங்கள்: இரண்டாவது பல்லுறுப்புக்கோவையில், முன்னணி திட்டக் குணகம் "2", எங்கள் திட்டத்திற்கு இணங்க, முதலில் அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் தோன்றியது, பின் முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் செருகப்பட்டது, ஏனெனில் பின்னம் வெளியேறியது.

மூன்றாவது பல்லுறுப்புக்கோவையிலும் இதேதான் நடந்தது, அங்கு மட்டுமே விதிமுறைகளின் வரிசையும் குழப்பமடைகிறது. இருப்பினும், "−5" என்ற குணகம் இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் முடிந்தது (நினைவில்: நீங்கள் ஒரே ஒரு அடைப்புக்குறிக்குள் காரணி உள்ளிடலாம்!), இது பின்ன வேர்களுடன் தொடர்புடைய சிரமத்திலிருந்து நம்மை காப்பாற்றியது.

முதல் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பொறுத்தவரை, எல்லாமே எளிது: அதன் வேர்கள் தரமான வழியில் பாகுபாடு அல்லது வீட்டாவின் தேற்றத்தால் தேடப்படுகின்றன.

அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு திரும்பி, காரணி எண்களுடன் மீண்டும் எழுதலாம்:

\ [\ தொடக்கம் (அணி x-1 \ வல) \ வலது)-\ இடது (x-1 \ வலது)-\ இடது (2-5x \ வலது) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ முடிவு (அணி) \]

பதில்: $ 5x + $ 4.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சிக்கலான எதுவும் இல்லை. 7-8 ஆம் வகுப்புகளில் கொஞ்சம் கணிதம் - அவ்வளவுதான். அனைத்து மாற்றங்களின் முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், சிக்கலான மற்றும் பயமுறுத்தும் வெளிப்பாட்டிலிருந்து எளிமையான ஒன்றைப் பெறுவது வேலை செய்வது எளிது.

இருப்பினும், இது எப்போதும் அப்படி இருக்காது. எனவே, இப்போது நாம் மிகவும் தீவிரமான பிரச்சினையை கருத்தில் கொள்வோம்.

ஆனால் முதலில், இரண்டு பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு எவ்வாறு கொண்டு வருவது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். வழிமுறை மிகவும் எளிது:
1. காரணி இரண்டு பிரிவுகளும்;
2. முதல் வகுப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, இரண்டாவது வகுப்பில் உள்ள காரணிகளைச் சேர்க்கவும், ஆனால் முதல் பிரிவில் இல்லை. இதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்பு பொதுவான மதிப்பாக இருக்கும்;
3. அசல் பின்னங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் என்ன காரணிகள் இல்லை என்பதைக் கண்டறியவும், இதனால் வகுப்புகள் பொதுக்கு சமமாகின்றன.
ஒருவேளை இந்த வழிமுறை உங்களுக்கு "பல எழுத்துக்கள்" உள்ள ஒரு உரையாகத் தோன்றலாம். எனவே, எல்லாவற்றையும் ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்துடன் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

பணி வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்:

\ [\ இடது (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac ((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) எட்டு) \ frac (2) (2-x) \ வலது) \]

தீர்வு இதுபோன்ற பெரிய பிரச்சினைகளை பகுதிகளாகத் தீர்ப்பது நல்லது. முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளதை எழுதுவோம்:

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) ((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (x -2) \]

முந்தைய சிக்கலைப் போலல்லாமல், இங்கே எல்லாமே வகுப்புகளுடன் அவ்வளவு எளிதல்ல. அவை ஒவ்வொன்றையும் காரணியாகக் கொள்வோம்.

$ ((X) ^ (2)) + 2x + 4 $ சமன்பாடு $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ சமன்பாடு இல்லாததால் (பாகுபாடு எதிர்மறையானது) ) நாங்கள் அதை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம்.

இரண்டாவது வகுத்தல் - க்யூபிக் பல்லுறுப்பு $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - நெருக்கமான பரிசோதனையின் கீழ் க்யூப்ஸ் வேறுபாடு மற்றும் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களின்படி எளிதில் சிதைந்துவிடும்:

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ இடது (x -2 \ வலது) \ இடது (((x)) ^ (2)) + 2x + 4 \ வலது) \]

வேறு எதுவும் காரணியாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் ஒரு நேரியல் இருமொழி உள்ளது, இரண்டாவதாக நமக்கு ஏற்கனவே நன்கு தெரிந்த ஒரு கட்டுமானம் உள்ளது, அதில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

இறுதியாக, மூன்றாவது பிரிவானது ஒரு சிதைக்க முடியாத ஒரு நேரியல் இருமொழி ஆகும். எனவே, எங்கள் சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும்:

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ இடது (x-2 \ வலது) \ இடது ((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ வலது)) - \ frac (1) (x -2) \]

பொதுவான வகுத்தல் சரியாக $ \ இடது (x-2 \ வலது) \ இடது (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ வலது) $, மற்றும் அனைத்து பின்னங்களையும் குறைக்க, நீங்கள் முதல் பகுதியை $ \ இடது (x-2 \ வலது) $ ஆகவும், கடைசியாக $ \ இடது (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ வலது) $ ஆகவும் பெருக்க வேண்டும். பின்னர் அது போன்றவற்றை கொண்டு வர மட்டுமே உள்ளது:

\ [\ தொடக்கம் (அணி வலப்புறம்) + \ frac (1 \ cdot \ இடது (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ வலது)) (\ இடது (x-2 \ வலது) \ இடது ((x) ^ (2)) + 2x +4 \ வலது) ) ^ (2)) + 2x + 4 \ வல) ((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x -4) (\ இடது (x -2 \ வலது)) இடது (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ வலது)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ இடது (x -2) \ இடது (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ வலது)). \\ \ முடிவு (அணி) \]

இரண்டாவது வரியில் கவனம் செலுத்துங்கள்: வகுத்தல் ஏற்கனவே பொதுவானதாக இருக்கும்போது, அதாவது. மூன்று தனி பின்னங்களுக்கு பதிலாக, நாங்கள் ஒரு பெரிய ஒன்றை எழுதினோம், நீங்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து உடனடியாக விடுபடக் கூடாது. ஒரு கூடுதல் வரியை எழுதி, மூன்றாவது பின்னத்திற்கு முன்னால் ஒரு மைனஸ் இருந்தது என்று சொல்வது நல்லது - அது எங்கும் போகாது, ஆனால் அடைப்புக்குறிக்குள் எண்ணில் "தொங்கும்". இது நிறைய தவறுகளைச் சேமிக்கும்.

சரி, கடைசி வரியில், எண்களைக் கணக்கிடுவது பயனுள்ளது. மேலும், இது ஒரு சரியான சதுரமாகும், மேலும் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் மீண்டும் எங்கள் உதவிக்கு வருகின்றன. எங்களிடம் உள்ளது:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ இடது (x -2 \ வலது) \ இடது (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ வலது)) = ஃப்ராக் (((\ இடது (x-2 \ வலது)) ^ (2))) (\ இடது (x-2 \ வலது) \ இடது (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ வலது) ) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

இப்போது இரண்டாவது அடைப்புக்குறியை அதே வழியில் கையாள்வோம். இங்கே நான் சமத்துவத்தின் சங்கிலியை எழுதுகிறேன்:

\ [\ தொடக்கம் (அணி) \ frac (((x) ^ (2))) ((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2 -x) = \ frac ((( x) ^ (2))) (\ இடது (x-2 \ வலது) \ இடது (x + 2 \ வலது))-\ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x)) 2 (2))) (\ இடது (x-2 \ வலது) \ இடது (x + 2 \ வலது)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (\ இடது (x -2) வலது ) \ cdot \ இடது (x + 2 \ வல) \ வலது) \ இடது (x + 2 \ வலது)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ இடது (x-2 \ வலது) \ இடது (x + 2 \ வலது) ) \\ \ முடிவு (அணி) \]

நாங்கள் அசல் சிக்கலுக்குத் திரும்பி தயாரிப்பைப் பார்க்கிறோம்:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ இடது (x-2) \ வலது) \ இடது (x + 2 \ வலது)) = \ frac (1) (x + 2) \]

பதில்: \ [\ frac (1) (x + 2) \].

இந்த பணியின் பொருள் முந்தையதைப் போன்றது: நீங்கள் அவற்றின் மாற்றத்தை புத்திசாலித்தனமாக அணுகினால் எவ்வளவு பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்ட.

இப்போது இவை அனைத்தும் உங்களுக்குத் தெரிந்திருப்பதால், இன்றைய பாடத்தின் முக்கிய தலைப்புக்குச் செல்வோம் - பின் -பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது. மேலும், இத்தகைய தயாரிப்பிற்குப் பிறகு, ஏற்றத்தாழ்வுகள் கொட்டைகள் போல விரிசல் அடையும். :)

பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்க முக்கிய வழி

பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க குறைந்தது இரண்டு அணுகுமுறைகள் உள்ளன. இப்போது அவற்றில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் - பள்ளி கணித பாடத்தில் பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட ஒன்று.

ஆனால் முதலில், ஒரு முக்கியமான விவரத்தை கவனிக்கலாம். அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளும் இரண்டு வகைகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன:
1. கண்டிப்பான: $ f \ இடது (x \ வலது) \ gt 0 $ அல்லது $ f \ இடது (x \ வலது) \ lt 0 $;
2. லக்ஸ்: $ f \ இடது (x \ வலது) \ ge 0 $ அல்லது $ f \ இடது (x \ வலது) \ le 0 $.
இரண்டாவது வகையின் ஏற்றத்தாழ்வுகளை முதலாவதாகவும், சமன்பாட்டாகவும் எளிதாகக் குறைக்கலாம்:

இந்த சிறிய "சேர்த்தல்" $ f \ இடது (x \ வலது) = 0 $ நிரப்பப்பட்ட புள்ளிகள் போன்ற ஒரு விரும்பத்தகாத விஷயத்திற்கு வழிவகுக்கிறது - இடைவெளி முறையில் அவற்றை மீண்டும் தெரிந்து கொண்டோம். இல்லையெனில், கடுமையான மற்றும் கண்டிப்பான சமத்துவமின்மைகளுக்கு இடையில் வேறுபாடுகள் இல்லை, எனவே உலகளாவிய வழிமுறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:
1. சமத்துவமின்மை அடையாளத்தின் ஒரு பக்கத்தில் உள்ள அனைத்து அல்லாத உருவங்களையும் சேகரிக்கவும். உதாரணமாக, இடதுபுறத்தில்;
2. அனைத்து பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள் (இதுபோன்ற பல பின்னங்கள் இருந்தால்), ஒத்தவற்றை கொண்டு வாருங்கள். பின்னர், முடிந்தால், அதை எண் மற்றும் வகுப்பில் காரணி. ஒரு வழி அல்லது வேறு, நாம் $ \ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ vee 0 $ என்ற சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம்.
3. எண்ணை பூஜ்ஜியமாக அமைக்கவும்: $ P \ இடது (x \ வலது) = 0 $. நாங்கள் இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, வேர்களைப் பெறுவோம் $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... பிறகு நமக்குத் தேவை வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்று: $ Q \ இடது (x \ வலது) \ n 0 $. நிச்சயமாக, உண்மையில், நாம் சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும் $ Q \ இடது (x \ வலது) = 0 $, மற்றும் நாம் வேர்கள் $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) $, $ x_ (3) ^ (*) $, ... (உண்மையான பிரச்சனைகளில் இதுபோன்ற மூன்று வேர்களுக்கு மேல் இருக்காது).
4. இந்த அனைத்து வேர்களையும் (நட்சத்திரங்களுடன் மற்றும் இல்லாமல்) ஒற்றை எண் கோட்டில் குறிக்கிறோம், மேலும் நட்சத்திரங்கள் இல்லாத வேர்கள் வர்ணம் பூசப்பட்டு, நட்சத்திரங்களால் அவை வெளியேற்றப்படுகின்றன.
5. நாங்கள் பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் அடையாளங்களை வைக்கிறோம், நமக்குத் தேவையான இடைவெளிகளைத் தேர்வு செய்கிறோம். சமத்துவமின்மை $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ போல் இருந்தால், பதில் "பிளஸ்" என்று குறிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளாக இருக்கும். $ F \ இடது (x \ வலது) \ lt 0 $ என்றால், இடைவெளிகளை "கழித்தல்" உடன் பாருங்கள்.
புள்ளிகள் 2 மற்றும் 4 - திறமையான உருமாற்றங்கள் மற்றும் ஏறுவரிசையில் எண்களின் சரியான ஏற்பாடு ஆகியவற்றால் மிகப்பெரிய சிரமங்கள் ஏற்படுகின்றன என்பதை பயிற்சி காட்டுகிறது. சரி, கடைசி கட்டத்தில், மிகவும் கவனமாக இருங்கள்: நாங்கள் எப்போதும் அடையாளங்களை வைக்கிறோம் சமன்பாடுகளுக்குச் செல்வதற்கு முன் எழுதப்பட்ட மிக சமீபத்திய சமத்துவமின்மை... இது இடைவெளி முறையிலிருந்து பெறப்பட்ட உலகளாவிய விதி.

எனவே, திட்டம் உள்ளது. பயிற்சி செய்யலாம்.

பணி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

தீர்வு எங்களிடம் $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $ படிவத்தின் கடுமையான சமத்துவமின்மை உள்ளது. வெளிப்படையாக, எங்கள் திட்டத்திலிருந்து 1 மற்றும் 2 புள்ளிகள் ஏற்கனவே முடிந்துவிட்டன: சமத்துவமின்மையின் அனைத்து கூறுகளும் இடதுபுறத்தில் சேகரிக்கப்படுகின்றன, எதுவும் பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வரப்பட வேண்டியதில்லை. எனவே, நாங்கள் நேரடியாக மூன்றாவது புள்ளிக்கு செல்கிறோம்.

எண்ணை பூஜ்ஜியமாக அமைக்கவும்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ end (align) \]

மற்றும் வகுத்தல்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

இந்த இடத்தில் பலர் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள், ஏனென்றால் கோட்பாட்டில் நீங்கள் $ x + 7 \ n 0 $ எழுத வேண்டும், ODZ க்குத் தேவை (நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது, அவ்வளவுதான்). ஆனால் எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எதிர்காலத்தில் வகுப்பிலிருந்து வந்த புள்ளிகளை நாங்கள் கணக்கிடுவோம், எனவே நீங்கள் உங்கள் கணக்கீடுகளை மீண்டும் சிக்கலாக்க தேவையில்லை - எல்லா இடங்களிலும் சம அடையாளத்தை எழுதி, கவலைப்பட வேண்டாம். இதற்கான புள்ளிகளை யாரும் குறைக்க மாட்டார்கள். :)

நான்காவது புள்ளி. இதன் விளைவாக வரும் வேர்களை எண் கோட்டில் குறிக்கிறோம்:
சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால் அனைத்து புள்ளிகளும் துளையிடப்படுகின்றன
குறிப்பு: அசல் சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால் அனைத்து புள்ளிகளும் துளையிடப்படுகின்றன... இந்த புள்ளிகள் எண்களிலிருந்தோ அல்லது வகுப்பிலிருந்தோ வந்தனவா என்பது முக்கியமல்ல.

சரி, நாங்கள் அறிகுறிகளைப் பார்க்கிறோம். எந்த எண்ணையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. உதாரணமாக, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (ஆனால் நீங்கள் $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ அல்லது $ ((x) _ (0) எடுத்திருக்கலாம் ) = 1 \ 000 \ 000 $). நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, அனைத்து வேர்களின் வலதுபுறத்திலும், எங்களிடம் ஒரு நேர்மறையான பகுதி உள்ளது. ஒவ்வொரு மூலத்தையும் கடந்து செல்லும் போது, அடையாளம் மாறுகிறது (இது எப்போதுமே அப்படி இருக்காது, ஆனால் பின்னர் மேலும்). எனவே, நாங்கள் ஐந்தாவது புள்ளிக்கு செல்கிறோம்: நாங்கள் அறிகுறிகளை ஏற்பாடு செய்து நமக்குத் தேவையானதைத் தேர்வு செய்கிறோம்:

சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கு முன்பு இருந்த கடைசி சமத்துவமின்மைக்கு நாங்கள் திரும்புகிறோம். உண்மையில், இது அசல் ஒன்றோடு ஒத்துப்போகிறது, ஏனென்றால் இந்த பணியில் நாங்கள் எந்த மாற்றங்களையும் செய்யவில்லை.

$ F \ left (x \ right) \ lt 0 $ என்ற படிவத்தின் சமத்துவமின்மையை தீர்க்க வேண்டியிருப்பதால், நான் $ x \ = இடது (-7; 3 \ வலது) $ இடைவெளியை நிழலிட்டேன் - அது ஒன்றே மைனஸ் அடையாளத்துடன் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. இதுதான் பதில்.

பதில்: $ x \ in \ இடது (-7; 3 \ வலது) $

அவ்வளவுதான்! இது கடினமா? இல்லை, கடினம் அல்ல. உண்மை, பணி எளிதானது. இப்போது பணியை சிறிது சிக்கலாக்கி மேலும் "ஆடம்பரமான" சமத்துவமின்மையை கருத்தில் கொள்வோம். அதை தீர்க்கும் போது, நான் இனி இதுபோன்ற விரிவான கணக்கீடுகளை கொடுக்க மாட்டேன் - நான் முக்கிய புள்ளிகளை கோடிட்டுக் காட்டுகிறேன். பொதுவாக, இது ஒரு சுயாதீனமான வேலை அல்லது தேர்வில் செய்யப்படும் அதே வழியில் நாங்கள் ஏற்பாடு செய்வோம். :)

பணி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\ [\ frac (\ இடது (7x + 1 \ வலது) \ இடது (11x + 2 \ வலது)) (13x-4) \ ge 0 \]

தீர்வு இது $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ படிவத்தின் தளர்வான சமத்துவமின்மை. அனைத்து நொன்ஜெரோ கூறுகளும் இடதுபுறத்தில் சேகரிக்கப்படுகின்றன, வேறுபட்ட வகுப்புகள் இல்லை. சமன்பாடுகளுக்கு செல்லலாம்.

எண்

\ [\ தொடங்கு ஃப்ராக் (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ வலதுபுறம் ((x) _ (2)) = - \ frac (2) (11). \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

வகுக்கும்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

இந்த பிரச்சனையை எந்த வகையான வக்கிரம் செய்தது என்று எனக்குத் தெரியாது, ஆனால் வேர்கள் நன்றாக வேலை செய்யவில்லை: அவற்றை எண் வரிசையில் வைப்பது கடினம். $ ((X) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக இருந்தால் (இது ஒரே நேர்மறை எண் - வலதுபுறத்தில் இருக்கும்), பின்னர் $ ((x) _ (1)) = - (1) / (7) \; $ மற்றும் $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவை: எது பெரியதா?

உதாரணமாக, இதைப் போல நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம்:

\ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2 )) \]

நான் ஏன் எண் பின்னம் $ - (2) / (14) \ \ gt - (2) / (11) \; $? தேவைப்பட்டால், பின்னங்களுடன் செயல்களை எவ்வாறு செய்வது என்பதை நினைவில் கொள்ள பரிந்துரைக்கிறேன்.

மேலும் மூன்று வேர்களையும் எண் கோட்டில் குறிக்கிறோம்:
எண்களிலிருந்து புள்ளிகள் நிரப்பப்படுகின்றன, வகுப்பிலிருந்து - gouged
நாங்கள் அடையாளங்களை வைக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் $ ((x) _ (0)) = 1 $ எடுத்து இந்த இடத்தில் அடையாளத்தைக் கண்டறியலாம்:

\ [\ தொடக்கம் (சீரமை) & f \ இடது (x \ வலது) = \ frac (\ இடது (7x + 1 \ வலது) \ இடது (11x + 2 \ வலது)) (13x-4); \\ & f \ இடது (1 \ வலது) = \ frac (\ left (7 \ cdot 1 + 1 \ right) \ left (11 \ cdot 1 + 2 \ right)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ end (align) \]

சமன்பாடுகளுக்கு முந்தைய கடைசி சமத்துவமின்மை $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $, எனவே நாங்கள் கூட்டல் குறியீட்டில் ஆர்வமாக உள்ளோம்.

எங்களுக்கு இரண்டு தொகுப்புகள் கிடைத்தன: ஒன்று சாதாரண பிரிவு, மற்றொன்று எண் கோட்டில் திறந்த கதிர்.

பதில்: $ x \ இல் \ இடது ) $

சரியான இடைவெளியில் அடையாளத்தைக் கண்டுபிடிக்க நாம் மாற்றும் எண்களைப் பற்றிய ஒரு முக்கியமான குறிப்பு. சரியான மூலத்திற்கு அருகில் உள்ள எண்ணை மாற்றுவது அவசியமில்லை. நீங்கள் பில்லியன்கள் அல்லது "பிளஸ் -முடிவிலி" யை கூட எடுக்கலாம் - இந்த வழக்கில், அடைப்புக்குறிக்குள், எண் அல்லது வகுப்பில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோட்டின் அடையாளம் முன்னணி குணகத்தின் அடையாளத்தால் பிரத்தியேகமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

கடைசி சமத்துவமின்மையிலிருந்து $ f \ left (x \ right) $ செயல்பாட்டை இன்னொரு முறை பார்ப்போம்:

அவரது பதிவில் மூன்று பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & ((பி) _ (1)) \ இடது (x \ வலது) = 7x + 1; \\ & ((பி) _ (2)) \ இடது (x \ வலது) = 11x + 2; \\ & Q \ இடது (x \ வலது) = 13x-4. \ end (align) \]

அவை அனைத்தும் நேரியல் இருமொழி ஆகும், மேலும் அனைத்து முன்னணி குணகங்களும் (எண்கள் 7, 11 மற்றும் 13) நேர்மறையானவை. எனவே, மிகப் பெரிய எண்களை மாற்றும்போது, பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் நேர்மறையாக இருக்கும். :)

இந்த விதி மிகவும் சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம், ஆனால் முதலில், நாம் மிகவும் எளிதான பணிகளை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது மட்டுமே. தீவிரமான ஏற்றத்தாழ்வுகளில், பிளஸ்-முடிவிலி மாற்றீடு நிலையான $ ((x) _ (0)) = 100 $ ஐ விட மிக வேகமாக அறிகுறிகளைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும்.

இதுபோன்ற சவால்களை நாம் விரைவில் சந்திப்போம். ஆனால் முதலில், பின்-பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க ஒரு மாற்று வழியைப் பார்ப்போம்.

மாற்று வழி

இந்த நுட்பத்தை என் மாணவர் ஒருவர் எனக்கு பரிந்துரைத்தார். நானே அதை ஒருபோதும் பயன்படுத்தவில்லை, ஆனால் பல மாணவர்கள் இந்த வழியில் சமத்துவமின்மையை தீர்க்க மிகவும் வசதியானவர்கள் என்பதை நடைமுறையில் காட்டியுள்ளது.

எனவே, ஆரம்ப தரவு ஒன்றே. பின்-பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையை தீர்க்க வேண்டியது அவசியம்:

\ [\ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ gt 0 \]

நாம் சிந்திக்கலாம்: பல்லுறுப்பு $ Q \ இடது (x \ வலது) $ "பன்மை" $ P \ left (x \ right) $ ஐ விட எப்படி மோசமானது? நாம் ஏன் தனித்தனி வேர்களைக் கொண்ட குழுக்களை (நட்சத்திரத்துடன் மற்றும் இல்லாமல்), பஞ்சர் புள்ளிகளைப் பற்றி சிந்திக்க வேண்டும்? இது எளிது: ஒரு பின்னத்திற்கு வரையறை களம் உள்ளது, அதன் மெய் அதன் பிரிவினை நோன்ஸெரோவாக இருக்கும்போது மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

இல்லையெனில், எண் மற்றும் வகுப்பிற்கு இடையில் எந்த வேறுபாடுகளையும் கண்டுபிடிக்க முடியாது: நாங்கள் அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம், வேர்களைத் தேடுகிறோம், பின்னர் அவற்றை எண் கோட்டில் குறிக்கவும். பின்னப் பட்டையை (உண்மையில், பிரிவு அடையாளம்) வழக்கமான பெருக்கத்துடன் ஏன் மாற்றக்கூடாது, மேலும் DHS இன் அனைத்து தேவைகளையும் தனி சமத்துவமின்மை வடிவத்தில் ஏன் எழுதக்கூடாது? உதாரணமாக, இது போன்ற:

( \ இடது (x \ வலது) \ gt 0, \\ & Q \ left (x \ right) \ ne 0. \\ \ end (align) \ right. \]

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இந்த அணுகுமுறை இடைவெளியின் முறைக்கு சிக்கலைக் குறைக்கும், ஆனால் அதே நேரத்தில் அது தீர்வை சிக்கலாக்காது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நாம் இன்னும் பல்லுறுப்பு $ Q \ இடது (x \ வலது) $ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.

நிஜ உலக பிரச்சனைகளில் இது எப்படி வேலை செய்கிறது என்று பார்ப்போம்.

பணி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

தீர்வு எனவே இடைவெளி முறைக்கு செல்லலாம்:

= , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ end (align) \ right. \]

முதல் சமத்துவமின்மை தீர்க்க எளிதானது. நாம் ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & x + 8 = 0 \ வலதுபுறம் ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ வலதுபுறம் ((x) _ (2)) = 11. \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

இரண்டாவது சமத்துவமின்மையும் எளிது:

எண் வரிசையில் $ ((x) _ (1)) $ மற்றும் $ ((x) _ (2)) $ புள்ளிகளைக் குறிக்கிறோம். சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால் அவை அனைத்தும் வெளியேற்றப்படுகின்றன:
சரியான புள்ளி இரண்டு முறை துளையிடப்பட்டது. இது நன்று.
புள்ளியை கவனியுங்கள் $ x = 11 $. இது "இருமுறை துளையிடப்பட்டது" என்று மாறிவிடும்: ஒருபுறம், சமத்துவமின்மையின் தீவிரத்தினால், மறுபுறம், DHS இன் கூடுதல் தேவை காரணமாக நாங்கள் அதை வெளியேற்றுகிறோம்.

எப்படியிருந்தாலும், அது ஒரு துளையிடும் புள்ளியாக இருக்கும். எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான அறிகுறிகளை நாங்கள் $ \ இடது (x + 8 \ வலது) \ இடது (x -11 \ வலது) \ gt 0 $ - சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன் கடைசியாகப் பார்த்தோம்:

நேர்மறையான பகுதிகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம், ஏனெனில் படிவத்தின் சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்க்கிறோம் $ f \ இடது (x \ வலது) \ gt 0 $ - மற்றும் அவற்றை நிழலிடுங்கள். பதிலை எழுத மட்டுமே உள்ளது.

பதில் $ x \ in \ left ( - \ infty; -8 \ right) \ bigcup \ left (11; + \ infty \ right) $

இந்த தீர்வை ஒரு உதாரணமாகப் பயன்படுத்தி, புதிய மாணவர்களிடையே ஒரு பொதுவான தவறுக்கு எதிராக நான் உங்களுக்கு எச்சரிக்க விரும்புகிறேன். அதாவது: ஏற்றத்தாழ்வுகளில் அடைப்புக்குறிப்புகளை ஒருபோதும் விரிவாக்குவதில்லை! மாறாக, எல்லாவற்றையும் காரணி செய்ய முயற்சி செய்யுங்கள் - இது தீர்வை எளிதாக்கும் மற்றும் நிறைய பிரச்சனைகளிலிருந்து உங்களைக் காப்பாற்றும்.

இப்போது கொஞ்சம் கடினமான ஒன்றை முயற்சிப்போம்.

பணி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\ [\ frac (\ இடது (2x-13 \ வலது) \ இடது (12x-9 \ வலது)) (15x + 33) \ le 0 \]

தீர்வு இது $ f \ left (x \ right) \ le 0 $ படிவத்தின் தளர்வான சமத்துவமின்மை ஆகும், எனவே இங்கு நிரப்பப்பட்ட புள்ளிகளுக்கு நீங்கள் அதிக கவனம் செலுத்த வேண்டும்.

இடைவெளி முறைக்குச் செல்லுங்கள்:

\ [\ இடது \ (\ தொடக்கம் (சீரமை) & \ இடது (2x-13 \ வலது) \ இடது (12x-9 \ வலது) \ இடது (15x + 33 \ வலது) \ le 0, \\ & 15x + 33 நே 0. \\ \ முடிவு (சீரமை) \ வலது. \]

சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம்:

\ [\ தொடங்கு ) _ (1)) = 6.5; \\ & 12x-9 = 0 \ வலதுபுறம் ((x) _ (2)) = 0.75; \\ & 15x + 33 = 0 \ வலதுபுறம் ((x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

கூடுதல் தேவையை நாங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

பெறப்பட்ட அனைத்து வேர்களையும் எண் கோட்டில் குறிக்கிறோம்:
ஒரு புள்ளி ஒரே நேரத்தில் துளையிடப்பட்டு நிழலாடப்பட்டால், அது துளையிடப்பட்ட புள்ளியாகக் கருதப்படுகிறது.
மீண்டும், இரண்டு புள்ளிகள் ஒருவருக்கொருவர் "ஒன்றுடன் ஒன்று" - இது சாதாரணமானது, அது எப்போதும் அப்படியே இருக்கும். துளையிடப்பட்ட மற்றும் நிரப்பப்பட்ட இரண்டையும் குறிக்கும் ஒரு புள்ளி உண்மையில் துளையிடப்பட்டது என்பதை புரிந்து கொள்வது மட்டுமே முக்கியம். அந்த. "ஓவியம்" என்பதை விட "கூகிங்" ஒரு வலுவான செயல்.

இது முற்றிலும் தர்க்கரீதியானது, ஏனென்றால் அளவிடுவதன் மூலம், செயல்பாட்டின் அடையாளத்தை பாதிக்கும் புள்ளிகளை நாங்கள் குறிக்கிறோம், ஆனால் அவர்கள் பதிலில் பங்கேற்கவில்லை ஒரு கட்டத்தில் அந்த எண் நமக்குப் பொருந்தாமல் போய்விட்டால் (உதாரணமாக, அது ODZ- க்குள் வராது), பிரச்சனையின் இறுதி வரை அதை பரிசீலனையில் இருந்து நீக்குகிறோம்.

பொதுவாக, தத்துவத்தை நிறுத்துங்கள். மைனஸ் அடையாளத்தால் குறிக்கப்பட்ட அந்த இடைவெளிகளில் நாங்கள் அடையாளங்களை வைத்து வண்ணம் தீட்டுகிறோம்:

பதில் $ x \ in \ left ( - \ infty; -2.2 \ right) \ bigcup \ left [0.75; 6.5 \ right] $.

இந்த சமன்பாட்டிற்கு மீண்டும் நான் உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன்:

\ [\ இடது (2x-13 \ வலது) \ இடது (12x-9 \ வலது) \ இடது (15x + 33 \ வலது) = 0 \]

மீண்டும் ஒருமுறை: இது போன்ற சமன்பாடுகளில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்காதீர்கள்! நீங்கள் உங்கள் பணியை சிக்கலாக்குவீர்கள். நினைவில் கொள்ளுங்கள்: குறைந்தபட்சம் ஒரு காரணி பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். இதன் விளைவாக, இந்த சமன்பாடு வெறுமனே "சிறியதாக" விழுகிறது, அதை முந்தைய பிரச்சனையில் நாங்கள் தீர்த்தோம்.

வேர்களின் பெருக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

முந்தைய பணிகளிலிருந்து, லேசான ஏற்றத்தாழ்வுகள் மிகவும் கடினமானவை என்பதை எளிதாகக் காணலாம், ஏனென்றால் அவற்றில் நீங்கள் நிரப்பப்பட்ட புள்ளிகளைக் கண்காணிக்க வேண்டும்.

ஆனால் உலகில் இன்னும் பெரிய தீமை உள்ளது - இவை ஏற்றத்தாழ்வுகளில் பல வேர்கள். இங்கே நீங்கள் ஏற்கனவே சில நிரப்பப்பட்ட புள்ளிகளைப் பின்பற்றக்கூடாது - இங்கே அதே புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் போது சமத்துவமின்மை அடையாளம் திடீரென மாறாமல் போகலாம்.

இந்த பாடத்தில் இது போன்ற எதையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்ளவில்லை (இடைவெளி முறையில் இதே போன்ற பிரச்சனை அடிக்கடி சந்தித்தாலும்). எனவே, நாங்கள் ஒரு புதிய வரையறையை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

வரையறை. சமன்பாட்டின் ரூட் $ ((\ left (x-a \ right)) ^ (n)) = 0 $ $ x = a $ க்கு சமம் மற்றும் $ n $ th பெருக்கத்தின் வேர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உண்மையில், பெருக்கத்தின் சரியான மதிப்பில் நாங்கள் குறிப்பாக ஆர்வம் காட்டவில்லை. ஒரே முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், இந்த எண் $ n $ சமமானதா அல்லது ஒற்றைப்படை. ஏனெனில்:
1. $ X = a $ என்பது பன்மடங்கின் வேர் என்றால், அதன் வழியாக செல்லும் போது செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாறாது;
2. இதற்கு நேர்மாறாக, $ x = a $ ஒற்றைப்படை பெருக்கத்தின் வேர் என்றால், செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாறும்.
இந்த பாடத்தில் விவாதிக்கப்பட்ட அனைத்து முந்தைய பிரச்சனைகளும் ஒற்றைப்படை பெருக்கத்தின் வேரின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு: எல்லா இடங்களிலும் பெருக்கல் ஒன்றுக்கு சமம்.

மேலும். நாங்கள் பிரச்சினைகளைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன், ஒரு அனுபவமிக்க மாணவிக்கு வெளிப்படையாகத் தோன்றும் ஒரு நுணுக்கத்திற்கு உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன், ஆனால் பல தொடக்கக்காரர்களை ஒரு முட்டாள்தனமாக ஆக்குகிறது. அதாவது:

முழு வெளிப்பாடும் இந்த சக்திக்கு உயர்த்தப்படும்போது மட்டுமே $ n $ பெருக்கத்தின் வேர் எழுகிறது: $ ((\ இடது (xa \ வலது)) ^ (n)) $, மற்றும் $ \ இடது (((x) ^ (n) அல்ல )) - ஒரு \ வலது) $.

மீண்டும்: அடைப்புக்குறி $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $ நமக்கு ரூட் $ x = a $ பெருக்கல் $ n $, ஆனால் அடைப்புக்குறி $ \ இடது (((x) ^ ( $ , $ n $ க்கு சமமாக இருந்தாலும் சரி.

ஒப்பிடு:

\ [((\ இடது (x-3 \ வலது)) ^ (5)) = 0 \ வலதுபுறம் x = 3 \ இடது (5k \ வலது) \]

இங்கே எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது: முழு அடைப்புக்குறி ஐந்தாவது சக்தியாக உயர்த்தப்பட்டது, எனவே வெளியீட்டில் ஐந்தாவது சக்தியின் வேர் கிடைத்தது. மற்றும் இப்போது:

\ [\ இடது (((x) ^ (2)) - 4 \ வலது) = 0 \ வலதுபுறம் ((x) ^ (2)) = 4 \ வலதுபுறம் x = \ pm 2 \]

எங்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் கிடைத்தன, ஆனால் அவை இரண்டும் முதல் பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன. அல்லது இங்கே இன்னொன்று:

\ [\ இடது (((x) ^ (10)) - 1024 \ வலது) = 0 \ வலதுபுறம் ((x) ^ (10)) = 1024 \ வலதுபுறம் x = \ pm 2 \]

மற்றும் பத்தாவது பட்டம் மூலம் குழப்பமடைய வேண்டாம். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், 10 என்பது ஒரு சம எண், எனவே வெளியீட்டில் நமக்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன, மேலும் அவை இரண்டும் மீண்டும் முதல் பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன.

பொதுவாக, கவனமாக இருங்கள்: பெருக்கல் ஏற்படும் போது மட்டுமே பட்டம் முழு அடைப்புக்குறிப்பைக் குறிக்கிறது, மாறி மட்டும் அல்ல.

பணி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) ((\ இடது (6-x \ வலது)) ^ (3)) \ இடது (x + 4 \ வலது)) ( \ வலது)) ^ (5))) \ ge 0 \]

தீர்வு ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் வேலைக்கு மாறுவதன் மூலம் - அதை மாற்று வழியில் தீர்க்க முயற்சிப்போம்:

\ [\ இடது \ (\ தொடக்கம் (சீரமை) & ((x) ^ (2)) ((\ இடது (6-x \ வலது)) ^ (3)) \ இடது (x + 4 \ வலது) \ cdot ( (\ இடது (x + 7 \ வலது)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ இடது (x + 7 \ வலது)) ^ (5)) \ n 0. \\ \ முடிவு (சீரமை ) \ வலது. \]

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி முதல் சமத்துவமின்மையை நாங்கள் சமாளிக்கிறோம்:

\ (\ தொடங்கு x + 7 \ வலது)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ வலதுபுறம் x = 0 \ இடது (2k \ வலது); \\ & ((\ இடது (6-x \ வலது)) ^ (3)) = 0 \ வலதுபுறம் x = 6 \ இடது (3k \ வலது); \\ & x + 4 = 0 \ வலதுபுறம் x = -4; \\ & ((\ இடது (x + 7 \ வலது)) ^ (5)) = 0 \ வலதுபுறம் x = -7 \ இடது (5k \ வலது). \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

கூடுதலாக, நாங்கள் இரண்டாவது சமத்துவமின்மையை தீர்க்கிறோம். உண்மையில், நாங்கள் அதை ஏற்கனவே தீர்த்துவிட்டோம், ஆனால் விமர்சகர்கள் தீர்வில் தவறு காணாதபடி, அதை மீண்டும் தீர்ப்பது நல்லது:

\ [((\ இடது (x + 7 \ வலது)) ^ (5)) \ n 0 \ வலதுபுறம் x \ ne -7 \]

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: கடைசி சமத்துவமின்மையில் எந்தப் பெருக்கமும் இல்லை. உண்மையில்: எண் வரிசையில் $ x = -7 $ புள்ளியை எத்தனை முறை கடக்க என்ன வித்தியாசம்? ஒரு முறையாவது, குறைந்தது ஐந்து - முடிவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்: ஒரு துளையிடப்பட்ட புள்ளி.

நாம் பெற்ற அனைத்தையும் எண் வரிசையில் குறிக்கலாம்:

நான் சொன்னது போல், புள்ளி $ x = -7 $ இறுதியில் துளையிடப்படும். இடைவெளிகளின் முறையின் மூலம் சமத்துவமின்மை தீர்வின் அடிப்படையில் பெருக்கங்கள் ஏற்பாடு செய்யப்பட்டுள்ளன.

அறிகுறிகளை வைக்க இது உள்ளது:

புள்ளி $ x = 0 $ என்பது பன்மடங்கின் வேர் என்பதால், அதன் வழியாக செல்லும் போது அடையாளம் மாறாது. மீதமுள்ள புள்ளிகள் ஒற்றைப்படை பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றுடன் எல்லாம் எளிமையானது.

பதில் $ x \ in \ left (-\ infty; -7 \ right) \ bigcup \ left [-4; 6 \ right] $

மீண்டும் கவனிக்கவும் $ x = 0 $. சமமான பன்முகத்தன்மை காரணமாக, ஒரு சுவாரஸ்யமான விளைவு எழுகிறது: அதன் இடதுபுறம், எல்லாம் வலதுபுறம், மேலும், வர்ணம் பூசப்பட்டது, மேலும் புள்ளி தானே முழுமையாக வரையப்பட்டுள்ளது.

இதன் விளைவாக, பதிலை பதிவு செய்யும் போது அதை தனிமைப்படுத்த தேவையில்லை. அந்த. $ x \ in \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ left [0; 6 \ right] $ போன்ற ஒன்றை எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை (இருப்பினும் முறையாக இந்த பதிலும் சரியாக இருக்கும்). அதற்கு பதிலாக, நாங்கள் உடனடியாக $ x \ in \ left [-4; 6 \ right] $ என்று எழுதுகிறோம்.

இத்தகைய விளைவுகள் பன்மடங்கு வேர்களுக்கு மட்டுமே சாத்தியமாகும். அடுத்த வேலையில் இந்த விளைவின் எதிர் "வெளிப்பாட்டை" எதிர்கொள்வோம். தயாரா?
பணி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\ [\ ஃப்ராக் (((\ இடது (x-3 \ வலது)) ^ (4)) \ இடது (x-4 \ வலது) \ இடது (7x -10 - ((x) ^ (2)) \ வலது)) \ ge 0 \]

தீர்வு இந்த முறை நாங்கள் நிலையான திட்டத்தின் படி செல்வோம். எண்ணை பூஜ்ஜியமாக அமைக்கவும்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & ((\ இடது (x-3 \ வலது)) ^ (4)) \ இடது (x-4 \ வலது) = 0; \\ & ((\ இடது (x-3 \ வலது)) ^ (4)) = 0 \ வலதுபுறம் ((x) _ (1)) = 3 \ இடது (4k \ வலது); \\ & x-4 = 0 \ வலதுபுறம் ((x) _ (2)) = 4. \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

மற்றும் வகுத்தல்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & ((\ இடது (x-1 \ வலது)) ^ (2)) \ இடது (7x-10-((x) ^ (2)) \ வலது) = 0; \\ & ((\ இடது (x-1 \ வலது)) ^ (2)) = 0 \ வலதுபுறம் x_ (1) ^ (*) = 1 \ இடது (2k \ வலது); \\ & 7x -10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ வலதுபுறம் x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

$ F \ left (x \ right) \ ge 0 $ படிவத்தின் பலவீனமான சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்த்துக் கொண்டிருப்பதால், வகுப்பிலிருந்து வரும் வேர்கள் (நட்சத்திரங்களுடன்) துளையிடப்படும், மேலும் அவை எண்ணிலிருந்து நிரப்பப்படும்.

நாங்கள் "பிளஸ்" குறிக்கப்பட்ட அடையாளங்கள் மற்றும் குஞ்சு பொரிக்கும் இடங்களை வைக்கிறோம்:
புள்ளி $ x = 3 $ தனிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இது பதிலின் ஒரு பகுதி
இறுதி பதிலை எழுதுவதற்கு முன், படத்தை உற்றுப் பாருங்கள்:
1. புள்ளி $ x = 1 $ இன்னும் பன்மடங்கு உள்ளது, ஆனால் அது துளைக்கப்படுகிறது. எனவே, இது பதிலில் தனிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும்: நீங்கள் $ x \ in \ left (- \ infty; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $ என்று எழுத வேண்டும், $ x \ in அல்ல \ இடது (- \ infty; 2 \ வலது) $.
2. புள்ளி $ x = 3 $ கூட ஒரு பன்முகத்தன்மை கொண்டது மற்றும் அதே நேரத்தில் நிரப்பப்படுகிறது. அறிகுறிகளின் ஏற்பாடு, புள்ளி தானே நமக்குப் பொருந்துகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது, ஆனால் ஒரு படி இடது மற்றும் வலது - மற்றும் நாம் கண்டிப்பாக நமக்குப் பொருந்தாத ஒரு பகுதியில் இருப்பதைக் காண்கிறோம். இத்தகைய புள்ளிகள் தனிமைப்படுத்தப்பட்டவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை $ x \ in \ left \ (3 \ right \) $ என எழுதப்பட்டுள்ளன.
இதன் விளைவாக வரும் அனைத்து பகுதிகளையும் ஒரு பொதுவான தொகுப்பாக இணைத்து, பதிலை எழுதுவோம்.

பதில்: $ x \ in \ left (- \ infty; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4; 5 \ right) $
வரையறை. சமத்துவமின்மையை தீர்ப்பது என்பது பொருள் அவருடைய அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டுபிடிக்கவும், அல்லது இந்த தொகுப்பு காலியாக உள்ளது என்பதை நிரூபிக்கவும்.

இது போல் தோன்றுகிறது: இங்கே புரிந்துகொள்ள முடியாதது என்ன? ஆம், விஷயங்களின் உண்மை என்னவென்றால், செட்களை வெவ்வேறு வழிகளில் குறிப்பிடலாம். கடைசி சிக்கலுக்கான பதிலை மீண்டும் எழுதுவோம்:

எழுதப்பட்டதை நாம் உண்மையில் வாசிக்கிறோம். "X" மாறி ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பைச் சேர்ந்தது, இது (U "சின்னம்) நான்கு தனித்தனி தொகுப்புகளை இணைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது:
- $ \ இடது (- \ infty; 1 \ வலது) $ இடைவெளி, அதாவது "எல்லா எண்களும் ஒன்றுக்கு குறைவானது, ஆனால் ஒரு எண் அல்ல";
- $ \ இடது (1; 2 \ வலது) $ இடைவெளி, அதாவது. "1 முதல் 2 வரையிலான அனைத்து எண்களும், ஆனால் 1 மற்றும் 2 எண்கள் அல்ல";
- தொகுப்பு $ \ இடது \ (3 \ வலது \) $, ஒற்றை எண் - மூன்று;
- $ \ இடது [4; 5 \ வலது) $ இடைவெளியில், 4 மற்றும் 5 க்கு இடையில் உள்ள அனைத்து எண்களும், அதே போல் நான்கும் உள்ளன, ஆனால் ஐந்து இல்லை.
மூன்றாவது புள்ளி இங்கே ஆர்வமாக உள்ளது. எல்லையற்ற எண்களின் தொகுப்புகளைக் குறிப்பிடும் மற்றும் இந்த தொகுப்புகளின் எல்லைகளை மட்டுமே குறிக்கும் இடைவெளிகளைப் போலல்லாமல், $ \ இடது \ (3 \ வலது \) $ தொகுப்பு சரியாக ஒரு எண்ணைக் கணக்கிடுகிறது.

தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட எண்களை நாங்கள் பட்டியலிடுகிறோம் என்பதை புரிந்து கொள்ள (மற்றும் எல்லைகளை அல்லது வேறு எதையும் அமைக்கவில்லை), சுருள் பிரேஸ்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, $ \ இடது \ (1; 2 \ வலது \) $ என்ற குறியீடானது சரியாக "இரண்டு எண்களைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு: 1 மற்றும் 2" என்று பொருள், ஆனால் 1 முதல் 2 வரையிலான பிரிவு அல்ல. எந்த சூழ்நிலையிலும் நீங்கள் இந்தக் கருத்துகளை குழப்பக்கூடாது .

பெருக்கங்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதி

சரி, இன்றைய பாடத்தின் முடிவில், பாவெல் பெர்டோவின் ஒரு சிறிய தகரம். :)

கவனமுள்ள மாணவர்கள் அநேகமாக ஏற்கனவே கேள்வியைக் கேட்டிருக்கலாம்: அதே வேர்கள் எண் மற்றும் வகுப்பில் காணப்பட்டால் என்ன நடக்கும்? எனவே, பின்வரும் விதி வேலை செய்கிறது:

அதே வேர்களின் பெருக்கங்கள் சேர்க்கப்படுகின்றன. எப்போதும் இந்த வேர் எண் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டிலும் ஏற்பட்டாலும்.

சில நேரங்களில் பேசுவதை விட முடிவெடுப்பது நல்லது. எனவே, நாங்கள் பின்வரும் சிக்கலை தீர்க்கிறோம்:

பணி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ இடது ((x) ^ (2)) - 16 \ வலது) \ இடது (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ வலது)) \ ge 0 \]

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

இன்னும் சிறப்பு எதுவும் இல்லை. வகுப்பை பூஜ்ஜியமாக அமைக்கவும்:

\ [\ தொடங்கு (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ வலதுபுறம் x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ வலதுபுறம் x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

இரண்டு ஒத்த வேர்களைக் கண்டறிந்தது: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ மற்றும் $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. இரண்டும் முதல் மடங்கு. எனவே, நாங்கள் அவற்றை ஒரு ரூட் $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $ உடன் மாற்றுகிறோம், ஆனால் ஏற்கனவே 1 + 1 = 2 பெருக்கத்துடன்.

கூடுதலாக, ஒரே மாதிரியான வேர்களும் உள்ளன: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ மற்றும் $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. அவை முதல் பெருக்கத்தில் உள்ளன, எனவே $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ பெருக்கல் 1 + 1 = 2 மட்டுமே உள்ளது.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், நாங்கள் சரியாக "பஞ்சர் செய்யப்பட்ட" ரூட்டை விட்டுவிட்டோம், மேலும் "வர்ணம் பூசப்பட்டது" கருத்தில் கொள்ளப்படாமல் வீசப்பட்டது. ஏனென்றால் பாடத்தின் தொடக்கத்தில் கூட நாங்கள் ஒப்புக்கொண்டோம்: ஒரு புள்ளி துளையிடப்பட்டு வர்ணம் பூசப்பட்டிருந்தால், அது இன்னும் துளையிடப்பட்டதாக நாங்கள் கருதுகிறோம்.

இதன் விளைவாக, எங்களிடம் நான்கு வேர்கள் உள்ளன, அனைத்தும் வெளியேற்றப்பட்டன:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ இடது (2k \ வலது); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ இடது (2k \ வலது). \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

பெருக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அவற்றை எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம்:

எங்களுக்கு விருப்பமான பகுதிகளில் அடையாளங்களையும் வண்ணப்பூச்சுகளையும் வைக்கிறோம்:

எல்லாம். தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகள் மற்றும் பிற வக்கிரங்கள் இல்லை. நீங்கள் பதிலை எழுதலாம்.

பதில் $ x \ in \ left ( - \ infty; -7 \ right) \ bigcup \ left (4; + \ infty \ right) $.

பெருக்கல் விதி

சில நேரங்களில் இன்னும் விரும்பத்தகாத சூழ்நிலை ஏற்படுகிறது: பல வேர்களைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட சக்திக்கு உயர்த்தப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், அனைத்து அசல் வேர்களின் பெருக்கங்களும் மாறுகின்றன.

இது அரிது, எனவே பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு இதுபோன்ற பிரச்சினைகளை தீர்ப்பதில் அனுபவம் இல்லை. மற்றும் இங்கே விதி பின்வருமாறு:

சமன்பாடு $ n $ சக்திக்கு உயர்த்தப்படும் போது, அதன் அனைத்து வேர்களின் பெருக்கமும் $ n $ மடங்கு அதிகரிக்கும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அதிவேகத்தன்மை ஒரே சக்தியால் பெருக்கப்படுவதற்கு வழிவகுக்கிறது. இந்த விதியை ஒரு உதாரணத்துடன் கருத்தில் கொள்வோம்:

பணி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\ [\ ஃப்ராக் (x ((\ இடது (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ வலது)) ^ (2) ) ((\ \ இடது (2-x \ வலது)) ^ (3)) (\ \ இடது (x-1 \ வலது)) ^ (2))) \ le 0 \]

தீர்வு எண்ணை பூஜ்ஜியமாக அமைக்கவும்:

குறைந்த பட்சம் காரணிகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். முதல் காரணி மூலம், எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது: $ x = 0 $. ஆனால் பின்னர் பிரச்சினைகள் தொடங்குகின்றன:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & ((\ இடது (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ வலது)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ இடது (2k \ வலது); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ இடது (2k \ வலது) \ இடது (2k \ வலது) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ இடது (4k \ வலது) \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சமன்பாடு $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ இரண்டாவது பெருக்கத்தின் ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது: $ x = 3 $. பின்னர் முழு சமன்பாடும் சதுரமாக இருக்கும். எனவே, ரூட்டின் பெருக்கம் $ 2 \ cdot 2 = 4 $ ஆக இருக்கும், நாங்கள் இறுதியாக எழுதினோம்.

\ [((\ இடது (x-4 \ வலது)) ^ (5)) = 0 \ வலதுபுறம் x = 4 \ இடது (5k \ வலது) \]

வகுப்பிலும் எந்தப் பிரச்சினையும் இல்லை:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & ((\ இடது (2-x \ வலது)) ^ (3)) ((\ இடது (x-1 \ வலது)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ இடது (2-x \ வலது)) ^ (3)) = 0 \ வலதுபுறம் x_ (1) ^ (*) = 2 \ இடது (3k \ வலது); \\ & ((\ இடது (x-1 \ வலது)) ^ (2)) = 0 \ வலதுபுறம் x_ (2) ^ (*) = 1 \ இடது (2k \ வலது). \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

மொத்தத்தில், எங்களுக்கு ஐந்து புள்ளிகள் கிடைத்தன: இரண்டு பஞ்சர் மற்றும் மூன்று நிரப்பப்பட்டன. எண் மற்றும் வகுப்பில் தற்செயலான வேர்கள் இல்லை, எனவே அவற்றை எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம்:

பலகீதங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நமக்கு விருப்பமான இடைவெளியில் பெயிண்ட் அடித்து அடையாளங்களை ஏற்பாடு செய்கிறோம்:
மீண்டும், ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளி மற்றும் ஒரு துளையிடப்பட்டது
பெருக்கத்தின் வேர்கள் காரணமாக, நாங்கள் மீண்டும் இரண்டு "தரமற்ற" கூறுகளைப் பெற்றோம். இது $ x \ in \ left [0; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $, $ x \ in \ left [0; 2 \ right) $, மற்றும் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளி $ x \ in \ left \ (3 \ right \) $.

பதில்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் மிகவும் கடினம் அல்ல. முக்கிய விஷயம் கவனிப்பு. இந்த பாடத்தின் கடைசி பகுதி மாற்றங்களில் கவனம் செலுத்துகிறது - ஆரம்பத்தில் நாங்கள் விவாதித்தவை.

முன் கட்டமைப்புகள்

இந்த பிரிவில் நாம் விவாதிக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் சிக்கலானவை அல்ல. இருப்பினும், முந்தைய பணிகளைப் போலன்றி, இங்கே நீங்கள் பகுத்தறிவு பின்னங்களின் கோட்பாட்டிலிருந்து திறன்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும் - காரணிமயமாக்கல் மற்றும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைத்தல்.

இன்றைய பாடத்தின் ஆரம்பத்திலேயே இந்த விஷயத்தை விரிவாக விவாதித்தோம். அது என்னவென்று உங்களுக்குப் புரியும் என்று உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், நீங்கள் திரும்பிச் சென்று மீண்டும் செய்யுமாறு நான் கடுமையாக பரிந்துரைக்கிறேன். பின்னங்களை மாற்றுவதில் நீங்கள் "மிதக்கிறீர்கள்" என்றால், ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை.

வீட்டுப்பாடங்களில், இதே போன்ற பல பணிகளும் இருக்கும். அவை தனி துணைப்பிரிவில் வைக்கப்பட்டுள்ளன. மற்றும் நீங்கள் மிகவும் அற்பமான உதாரணங்களைக் காணலாம். ஆனால் அது வீட்டுப்பாடத்தில் இருக்கும், இப்போது இதுபோன்ற இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

பணி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]

தீர்வு எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும்:

\ [\ frac (x) (x-1)-\ frac (x-2) (x) \ le 0 \]

நாங்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம், எண்களில் ஒத்த சொற்களைக் கொடுக்கிறோம்:

\ [\ தொடங்கு வலது)) (x \ cdot \ left (x-1 \ right)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ இடது (((x) ^ (2)) - 2x -x + 2 \ வலது)) (x \ இடது (x -1 \ வலது)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2))-((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ இடது (x-1 \ வலது)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ left (x-1 \ right)) \ le 0. \\\ end (align) \]

இப்போது எங்களிடம் ஒரு கிளாசிக்கல் பின்ன-பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை உள்ளது, இதன் தீர்வு இனி கடினமாக இருக்காது. ஒரு மாற்று முறையுடன் - இடைவெளிகளின் முறை மூலம் தீர்க்க நான் முன்மொழிகிறேன்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & \ இடது (3x-2 \ வலது) \ cdot x \ cdot \ left (x-1 \ right) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ frac (2) (3); \ ((x) _ (2)) = 0; \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

வகுப்பிலிருந்து வந்த தடையை மறந்துவிடாதீர்கள்:

எண் வரிசையில் அனைத்து எண்களையும் கட்டுப்பாடுகளையும் நாங்கள் குறிக்கிறோம்:

அனைத்து வேர்களும் முதல் பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன. எந்த பிரச்சினையும் இல்லை. நமக்குத் தேவையான இடங்களில் அடையாளங்களையும் வண்ணப்பூச்சுகளையும் வைக்கிறோம்:

அது எல்லாம். நீங்கள் பதிலை எழுதலாம்.

பதில் $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) \ bigcup \ left [(2) / (3) \ ;; 1 \ right) $.

நிச்சயமாக, இது ஒரு உதாரணம் மட்டுமே. எனவே, இப்போது நாம் சிக்கலை மிகவும் தீவிரமாக கருதுவோம். மேலும், இந்த பணியின் நிலை தரம் 8 இல் இந்த தலைப்பில் சுயாதீனமான மற்றும் கட்டுப்பாட்டு வேலைகளுடன் மிகவும் ஒத்துப்போகிறது.

பணி சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x -9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

தீர்வு எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும்:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x -9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

இரண்டு பின்னங்களையும் பொதுவான வகுப்பாகக் குறைப்பதற்கு முன், இந்த வகுப்புகளைக் காரணியாக்குகிறோம். அதே அடைப்புக்குறிகள் வெளியே வந்தால் என்ன செய்வது? முதல் வகுப்பைக் கொண்டு, இது எளிதானது:

\ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ இடது (x-1 \ வலது) \ இடது (x + 9 \ வலது) \]

இரண்டாவது கொஞ்சம் கடினமானது. பின்னம் தோன்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் ஒரு நிலையான பெருக்கி வைக்க தயங்க. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அசல் பல்லுறுப்புக்கோல் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டிருந்தது, எனவே காரணிமயமாக்கல் முழு குணகங்களைக் கொண்டிருக்கும் அதிக நிகழ்தகவு உள்ளது (உண்மையில், பாகுபாடு பகுத்தறிவற்றதாக இருக்கும்போது தவிர, அது எப்போதும் இருக்கும்).

\ [\ தொடங்கு \\ & = \ இடது (x-1 \ வலது) \ இடது (3x-2 \ வலது) \ end (align) \]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு பொதுவான அடைப்புக்குறி உள்ளது: $ \ இடது (x-1 \ வலது) $. நாங்கள் சமத்துவமின்மைக்குத் திரும்புகிறோம் மற்றும் இரண்டு பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

\ [\ தொடங்கு இடது (3x-2 \ வலது)) \ g 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ left (3x-2 \ right) -1 \ cdot \ left (x + 9 \ വല) ) \ இடது (3x-2 \ வலது)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ இடது (x-1 \ வலது) \ இடது (x + 9 \ வலது) \ இடது (3x-2 \ வலது)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (\ இடது (x-1 \ வலது) \ இடது (x + 9 \ வலது) \ இடது (3x-2 \ வலது)) \ ge 0; \\ \ முடிவு (சீரமை) \]

வகுப்பை பூஜ்ஜியமாக அமைக்கவும்:

\ [\ தொடங்கு (சீரமை) & \ இடது (x-1 \ வலது) \ இடது (x + 9 \ வலது) \ இடது (3x-2 \ வலது) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ end ( சீரமைக்கவும்) \]

பெருக்கங்கள் அல்லது தற்செயலான வேர்கள் இல்லை. நான்கு எண்களை ஒரு நேர்கோட்டில் குறிக்கிறோம்:

நாங்கள் அடையாளங்களை வைக்கிறோம்:

நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம்.

பதில்: $ x \ in \ left ( - \ infty; -9 \ right) \ bigcup \ left ((2) / (3) \ ;; 1 \ right) \ bigcup \ left [5,5; + \ infty \ வலது) $.

பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை அமைப்புகள்

பாடம் உரை

சுருக்கம் [Bezdenezhnykh L.V.]

பாடங்களின் சுருக்கம் 2-4 [Zvereva L.P.]

பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்றால் என்ன?

முழு சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பது

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு

ரயிலைத் தவறவிடாதீர்கள்

ஆய வரிசையில் எண் இடைவெளிகள்

நீங்கள் ஏற்கனவே தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள்

நேரியல் சமன்பாடுகள்

இருபடி சமன்பாடுகள்

பகுத்தறிவு பின்னங்களைக் கொண்ட செயல்கள்

பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்க முக்கிய வழி

மாற்று வழி

வேர்களின் பெருக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

பெருக்கங்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதி

பெருக்கல் விதி

முன் கட்டமைப்புகள்

எடிட்டரின் தேர்வு