สุดขีดของฟังก์ชัน สุดขั้วของฟังก์ชันคืออะไร: จุดวิกฤตของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

จุดสุดขั้วของฟังก์ชันคือจุดในโดเมนของฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันใช้ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด ค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้เรียกว่า extrema (ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชัน).

คำนิยาม. จุด x1 ขอบเขตของฟังก์ชัน ฉ(x) ถูกเรียก จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้มากกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดใกล้เคียงพอ ซึ่งอยู่ทางขวาและซ้ายของมัน (นั่นคือความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x0 ) > ฉ(x 0 + Δ x) x1 ขีดสุด.

คำนิยาม. จุด x2 ขอบเขตของฟังก์ชัน ฉ(x) ถูกเรียก จุดต่ำสุดของฟังก์ชันถ้าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้น้อยกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดใกล้เคียงพอ ซึ่งอยู่ทางขวาและซ้ายของมัน (นั่นคือความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x0 ) < ฉ(x 0 + Δ x) ). ในกรณีนี้ ฟังก์ชันดังกล่าวมีที่จุด x2 ขั้นต่ำ

สมมติว่าประเด็น x1 - จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(x) . จากนั้นในช่วงเวลาถึง x1 ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงมากกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) > 0 ) และในช่วงเวลาหลังจากนั้น x1 ฟังก์ชันลดลงดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันน้อยกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

ให้เราถือว่าประเด็นนั้น x2 - จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ฉ(x) . จากนั้นในช่วงเวลาถึง x2 ฟังก์ชันมีค่าลดลงและอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่ามากกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) > 0 ). ในกรณีนี้ตรงจุดด้วย x2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว). ถ้าจุด x0 - จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(x) จากนั้น ณ จุดนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์ ( ฉ "(x) = 0 ) หรือไม่มีอยู่

คำนิยาม. จุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริงเรียกว่า จุดวิกฤต .

ตัวอย่างที่ 1ลองพิจารณาฟังก์ชัน

ที่จุด x= 0 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จุด x= 0 คือจุดวิกฤต อย่างไรก็ตาม ดังที่เห็นได้จากกราฟของฟังก์ชัน มันเพิ่มขึ้นในโดเมนทั้งหมดของนิยาม ดังนั้นจุด x= 0 ไม่ใช่จุดสูงสุดของฟังก์ชันนี้

ดังนั้น เงื่อนไขที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสุดขั้ว แต่ไม่เพียงพอ เนื่องจากสามารถให้ตัวอย่างฟังก์ชันอื่นๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ได้ แต่ฟังก์ชัน ไม่มีสุดขีดที่จุดที่สอดคล้องกัน นั่นเป็นเหตุผล ต้องมีข้อบ่งชี้เพียงพอซึ่งทำให้สามารถตัดสินได้ว่ามีจุดสูงสุดที่จุดวิกฤติใดจุดหนึ่งหรือไม่ และจุดใด - สูงสุดหรือต่ำสุด

ทฤษฎีบท (เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว)จุดวิกฤต x0 ฉ(x) ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุดนี้ และถ้าเครื่องหมายเปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" ก็จะเป็นจุดสูงสุด และถ้าจาก "ลบ" เป็น "บวก" ก็จะเป็นจุดต่ำสุด .

ถ้าใกล้ถึงจุด x0 , ทางซ้ายและทางขวาของมัน, อนุพันธ์ยังคงมีเครื่องหมายของมัน, ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันอาจลดลงหรือเพิ่มขึ้นเฉพาะในบางพื้นที่ใกล้เคียงของจุดเท่านั้น x0 . ในกรณีนี้ตรงจุด x0 ไม่มีความสุดโต่ง

ดังนั้น, ในการกำหนดจุดสูงสุดของฟังก์ชัน คุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้ :

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. เทียบอนุพันธ์กับศูนย์และกำหนดจุดวิกฤต
3. ในใจหรือบนกระดาษ ทำเครื่องหมายจุดวิกฤตบนแกนตัวเลขและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่ได้รับ หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" จุดวิกฤติคือจุดสูงสุด และถ้าจาก "ลบ" เป็น "บวก" จุดวิกฤติคือจุดต่ำสุด
4. คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุด

ตัวอย่างที่ 2หาค่าสุดขั้วของฟังก์ชัน .

สารละลาย. มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

เทียบค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์เพื่อหาจุดวิกฤต:

.

เนื่องจากสำหรับค่าใด ๆ ของ "x" ตัวส่วนจะไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงจัดตัวเศษให้เป็นศูนย์:

มีจุดสำคัญจุดหนึ่ง x= 3 . เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาที่คั่นด้วยจุดนี้:

ในช่วงจากอินฟินิตี้ลบถึง 3 - เครื่องหมายลบนั่นคือฟังก์ชันลดลง

ในช่วงตั้งแต่ 3 ถึงบวกอนันต์ - เครื่องหมายบวกนั่นคือฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

นั่นคือจุด x= 3 เป็นจุดต่ำสุด

ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด:

ดังนั้นจึงพบจุดสูงสุดของฟังก์ชัน: (3; 0) และเป็นจุดต่ำสุด

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ที่สองเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว)จุดวิกฤต x0 เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(x) ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ไม่เท่ากับศูนย์ ( ฉ ""(x) ≠ 0 ) นอกจากนี้ หากอนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่าศูนย์ ( ฉ ""(x) > 0 ) จากนั้นจุดสูงสุด และถ้าอนุพันธ์อันดับสองน้อยกว่าศูนย์ ( ฉ ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

หมายเหตุ 1. หากถึงจุดหนึ่ง x0 ทั้งอนุพันธ์ที่หนึ่งและสองหายไป ณ จุดนี้มันเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินการมีอยู่ของสุดขั้วบนพื้นฐานของสัญญาณเพียงพอที่สอง ในกรณีนี้ คุณต้องใช้เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

หมายเหตุ 2. เกณฑ์ที่สองที่เพียงพอสำหรับค่าสุดขั้วของฟังก์ชันจะใช้ไม่ได้เช่นกันเมื่ออนุพันธ์อันดับที่หนึ่งไม่มีอยู่ที่จุดหยุดนิ่ง (จากนั้นอนุพันธ์อันดับสองก็ไม่มีเช่นกัน) ในกรณีนี้ ยังจำเป็นต้องใช้เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

ลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันสุดขั้ว

จากคำจำกัดความข้างต้นเป็นไปตามที่ขอบเขตของฟังก์ชันมีลักษณะเฉพาะ - นี่คือค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันเมื่อเทียบกับค่าที่ใกล้ที่สุด

สมมติว่าคุณพิจารณารายได้ของคุณในช่วงเวลาหนึ่งปี หากในเดือนพฤษภาคม คุณได้รับ 45,000 รูเบิล และในเดือนเมษายน 42,000 รูเบิล และในเดือนมิถุนายน 39,000 รูเบิล รายได้ในเดือนพฤษภาคมจะเป็นฟังก์ชันรายได้สูงสุดเมื่อเทียบกับค่าที่ใกล้ที่สุด แต่ในเดือนตุลาคม คุณได้รับ 71,000 รูเบิล ในเดือนกันยายน 75,000 รูเบิล และในเดือนพฤศจิกายน 74,000 รูเบิล ดังนั้นรายได้ในเดือนตุลาคมจึงเป็นฟังก์ชันรายได้ขั้นต่ำเมื่อเทียบกับค่าใกล้เคียง และคุณสามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าค่าสูงสุดของเดือนเมษายน-พฤษภาคม-มิถุนายนนั้นน้อยกว่าค่าต่ำสุดของเดือนกันยายน-ตุลาคม-พฤศจิกายน

โดยทั่วไป ฟังก์ชันอาจมีค่ามากสุดหลายค่าในช่วงเวลาหนึ่ง และอาจกลายเป็นว่าค่าต่ำสุดใดๆ ของฟังก์ชันมีค่ามากกว่าค่าสูงสุดใดๆ ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันที่แสดงในรูปด้านบน

นั่นคือเราไม่ควรคิดว่าค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันคือค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดตามลำดับสำหรับทั้งเซ็กเมนต์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ที่จุดสูงสุด ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดเมื่อเปรียบเทียบกับค่าเหล่านั้นที่มีทุกจุดใกล้กับจุดสูงสุดพอสมควร และที่จุดต่ำสุด ค่าที่น้อยที่สุดเท่านั้นเมื่อเปรียบเทียบกับค่าเหล่านั้น ที่มีทุกจุดใกล้เคียงกับจุดต่ำสุดพอสมควร

ดังนั้นเราจึงสามารถปรับแต่งแนวคิดข้างต้นของจุดสูงสุดของฟังก์ชันและเรียกจุดต่ำสุดจุดต่ำสุดในพื้นที่และจุดสูงสุด - จุดสูงสุดในพื้นที่

เรากำลังมองหาจุดสุดยอดของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 3

เฉลย ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องในบรรทัดจำนวนเต็ม อนุพันธ์ของมัน ยังมีอยู่ในเส้นจำนวนทั้งหมด ดังนั้น ในกรณีนี้ เฉพาะจุดที่ ทำหน้าที่เป็นจุดวิกฤตเท่านั้น , จากไหน และ . จุดวิกฤติและแบ่งโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันออกเป็นสามช่วงของความเป็นโมโนโทนิก: เราเลือกจุดควบคุมหนึ่งจุดในแต่ละจุดและค้นหาเครื่องหมายของอนุพันธ์ ณ จุดนี้

สำหรับช่วงเวลา จุดอ้างอิงสามารถเป็น : เราพบ . หาจุดในช่วงเวลา เราได้ และรับจุดในช่วงเวลา เราได้ ดังนั้น ในช่วงเวลา และ และ ในช่วงเวลา ตามเครื่องหมายแรกสุดของค่าสุดขั้ว ไม่มีค่าสุดขั้วที่จุด (เนื่องจากอนุพันธ์ยังคงเครื่องหมายอยู่ในช่วง ) และฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดที่จุด (เนื่องจากอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่าน ผ่านจุดนี้ไป) ค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน: , และ . ในช่วงเวลา ฟังก์ชันจะลดลงเนื่องจากในช่วงเวลานี้ และในช่วงเวลานั้นจะเพิ่มขึ้น เนื่องจากในช่วงเวลานี้

เพื่อชี้แจงการสร้างกราฟ เราจะหาจุดตัดกับแกนพิกัด เมื่อเราได้รับสมการที่มีรากและ เช่น พบจุดสองจุด (0; 0) และ (4; 0) ของกราฟของฟังก์ชัน เราสร้างกราฟโดยใช้ข้อมูลทั้งหมดที่ได้รับ (ดูที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่าง)

สำหรับการตรวจสอบตัวเองระหว่างการคำนวณ คุณสามารถใช้ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์ .

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาสุดขั้วของฟังก์ชันและสร้างกราฟ

โดเมนของฟังก์ชันคือเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุด เช่น .

เพื่อให้การศึกษาสั้นลง เราสามารถใช้ความจริงที่ว่าฟังก์ชันนี้เป็นเลขคู่ เนื่องจาก . ดังนั้นกราฟจึงสมมาตรรอบแกน โอ๊ยและทำการศึกษาได้เฉพาะช่วงเวลาเท่านั้น

การหาอนุพันธ์ และจุดวิกฤตของฟังก์ชัน:

1) ;

2) ,

แต่ฟังก์ชันจะหยุดทำงาน ณ จุดนี้ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสูงสุดได้

ดังนั้น ฟังก์ชันที่กำหนดจึงมีจุดวิกฤตสองจุด: และ โดยคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน เราจะตรวจสอบเฉพาะจุดด้วยเครื่องหมายที่สองที่เพียงพอของค่าสุดขั้ว ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์อันดับสอง และกำหนดสัญลักษณ์ของมันที่ : เราได้รับ . ตั้งแต่ และ แล้ว เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ในขณะที่ .

เพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นของกราฟของฟังก์ชัน ลองหาพฤติกรรมของมันบนขอบเขตของโดเมนของนิยาม:

(ที่นี่สัญลักษณ์บ่งบอกถึงความปรารถนา xเป็นศูนย์ทางด้านขวา และ xยังคงเป็นบวก ในทำนองเดียวกันหมายถึงความทะเยอทะยาน xเป็นศูนย์ทางด้านซ้ายและ xยังคงเป็นลบ) ดังนั้น ถ้า แล้ว . ต่อไปเราจะพบ

,

เหล่านั้น. ถ้า แล้ว .

กราฟของฟังก์ชันไม่มีจุดตัดกับแกน รูปภาพอยู่ที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่าง

สำหรับการตรวจสอบตัวเองระหว่างการคำนวณ คุณสามารถใช้ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์ .

เรายังคงค้นหาสุดขั้วของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 8ค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน

สารละลาย. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันจะต้องคงอยู่ เราจึงได้มาจาก

ลองหาอนุพันธ์อันดับ 1 ของฟังก์ชันกัน

อัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับการค้นหา extrema..

• การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
• เทียบอนุพันธ์นี้เป็นศูนย์
• เราค้นหาค่าของตัวแปรของนิพจน์ผลลัพธ์ (ค่าของตัวแปรที่อนุพันธ์ถูกแปลงเป็นศูนย์)
• เราแบ่งเส้นพิกัดออกเป็นช่วง ๆ ด้วยค่าเหล่านี้ (ในเวลาเดียวกันเราไม่ควรลืมจุดพักซึ่งจำเป็นต้องใช้กับเส้นด้วย) จุดทั้งหมดเหล่านี้เรียกว่าจุด "น่าสงสัย" สำหรับจุดสูงสุด
• เราคำนวณว่าช่วงใดของอนุพันธ์จะเป็นค่าบวกและค่าใดจะเป็นค่าลบ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนค่าจากช่วงเวลาลงในอนุพันธ์

จากจุดที่สงสัยว่าสุดขั้วนั้นจำเป็นต้องค้นหาอย่างแน่นอน . ในการทำเช่นนี้ เราดูที่ช่องว่างของเราบนเส้นพิกัด หากเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ จุดนี้จะเป็น ขีดสุดและถ้าจากลบไปบวกแล้ว ขั้นต่ำ.

ในการหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดสูงสุด จากนั้นเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด

พิจารณาตัวอย่าง
เราหาอนุพันธ์และเทียบเป็นศูนย์:

เราใช้ค่าที่ได้รับของตัวแปรกับเส้นพิกัดและคำนวณเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา ตัวอย่างเช่นสำหรับการถ่ายครั้งแรก-2 แล้วจะได้อนุพันธ์-0,24 สำหรับครั้งที่สอง0 แล้วจะได้อนุพันธ์2 และสำหรับที่สามเราใช้2 แล้วจะได้อนุพันธ์-0.24 เราวางสัญญาณที่เหมาะสม

เราเห็นว่าเมื่อผ่านจุด -1 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก นั่นคือมันจะเป็นจุดต่ำสุด และเมื่อผ่าน 1 จากบวกเป็นลบ ตามลำดับ นี่คือจุดสูงสุด

ฟังก์ชันและการศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันถือเป็นบทสำคัญบทหนึ่งในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ องค์ประกอบหลักของฟังก์ชันใด ๆ คือกราฟที่ไม่เพียงแสดงคุณสมบัติของมันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงพารามิเตอร์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ด้วย ลองดูหัวข้อที่ยุ่งยากนี้ วิธีที่ดีที่สุดในการหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันคืออะไร

ฟังก์ชัน: คำจำกัดความ

ตัวแปรใด ๆ ที่ขึ้นอยู่กับค่าของปริมาณอื่นสามารถเรียกว่าฟังก์ชันได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f(x 2) เป็นกำลังสองและกำหนดค่าสำหรับ x ทั้งชุด สมมุติว่า x = 9 ค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับ 9 2 = 81

ฟังก์ชันมีหลายประเภท: ตรรกะ เวกเตอร์ ลอการิทึม ตรีโกณมิติ ตัวเลข และอื่นๆ ผู้ที่มีจิตใจโดดเด่นเช่น Lacroix, Lagrange, Leibniz และ Bernoulli ได้มีส่วนร่วมในการศึกษาของพวกเขา งานเขียนของพวกเขาทำหน้าที่เป็นป้อมปราการในการศึกษาฟังก์ชั่นสมัยใหม่ ก่อนที่จะหาจุดต่ำสุด สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความหมายของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์และบทบาทของมัน

ฟังก์ชันทั้งหมดขึ้นอยู่กับตัวแปร ซึ่งหมายความว่าสามารถเปลี่ยนแปลงค่าได้ตลอดเวลา บนกราฟ จะแสดงเป็นเส้นโค้งที่ขึ้นหรือลงตามแกน y (นี่คือชุดตัวเลข "y" ทั้งชุดในแนวตั้งของกราฟ) ดังนั้นนิยามของจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันจึงเชื่อมโยงกับ "การแกว่ง" เหล่านี้ ให้เราอธิบายว่าความสัมพันธ์นี้คืออะไร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ จะถูกวาดบนกราฟเพื่อศึกษาลักษณะสำคัญของฟังก์ชันและคำนวณว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใด (เช่น การเปลี่ยนแปลงค่าขึ้นอยู่กับตัวแปร "x") ในขณะที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น กราฟของอนุพันธ์จะเพิ่มขึ้นด้วย แต่ในทุกวินาที ฟังก์ชันอาจเริ่มลดลง จากนั้นกราฟของอนุพันธ์จะลดลง จุดที่อนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวกเรียกว่าจุดต่ำสุด เพื่อให้ทราบวิธีการหาคะแนนขั้นต่ำคุณควรเข้าใจให้ดียิ่งขึ้น

จะคำนวณอนุพันธ์ได้อย่างไร?

นิยามและฟังก์ชันแสดงถึงแนวคิดหลายประการ โดยทั่วไป คำจำกัดความของอนุพันธ์สามารถแสดงได้ดังนี้: นี่คือค่าที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

วิธีการทางคณิตศาสตร์ในการนิยามสำหรับนักเรียนหลายคนนั้นดูซับซ้อน แต่ที่จริงแล้วทุกอย่างง่ายกว่ามาก จำเป็นเท่านั้นที่จะต้องปฏิบัติตามแผนมาตรฐานในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ต่อไปนี้จะอธิบายวิธีหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันโดยไม่ต้องใช้กฎความแตกต่างและไม่ต้องจำตารางอนุพันธ์

1. คุณสามารถคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้โดยใช้กราฟ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องอธิบายฟังก์ชันเอง จากนั้นใช้จุดหนึ่งจุด (จุด A ในรูป) ลากเส้นในแนวตั้งลงไปที่แกน abscissa (จุด x 0) และที่จุด A วาดเส้นสัมผัสกับ กราฟของฟังก์ชัน แกนแอบสซิสซาและเส้นสัมผัสประกอบกันเป็นมุม a ในการคำนวณค่าของการเพิ่มความเร็วของฟังก์ชัน คุณต้องคำนวณแทนเจนต์ของมุมนี้ a
2. ปรากฎว่าเส้นสัมผัสของมุมระหว่างเส้นสัมผัสและทิศทางของแกน x เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันในพื้นที่ขนาดเล็กที่มีจุด A วิธีนี้ถือเป็นวิธีทางเรขาคณิตในการหาอนุพันธ์

วิธีการตรวจสอบฟังก์ชัน

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน คุณสามารถหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชันได้สองวิธี เราได้วิเคราะห์วิธีแรกโดยใช้กราฟแล้ว แต่จะกำหนดค่าตัวเลขของอนุพันธ์ได้อย่างไร ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องเรียนรู้สูตรต่างๆ ที่อธิบายคุณสมบัติของอนุพันธ์และช่วยแปลงตัวแปรเช่น "x" เป็นตัวเลข วิธีการต่อไปนี้เป็นวิธีสากล ดังนั้นจึงใช้ได้กับฟังก์ชันเกือบทุกชนิด (ทั้งเรขาคณิตและลอการิทึม)

1. จำเป็นต้องเทียบฟังก์ชันกับฟังก์ชันอนุพันธ์ แล้วทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นโดยใช้กฎของความแตกต่าง
2. ในบางกรณี เมื่อให้ฟังก์ชันโดยมีตัวแปร "x" เป็นตัวหาร จำเป็นต้องกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้โดยการยกเว้นจุด "0" ออกจากค่านั้น (ด้วยเหตุผลง่ายๆ ที่ในทางคณิตศาสตร์คุณ ไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)
3. หลังจากนั้น ควรแปลงรูปแบบดั้งเดิมของฟังก์ชันเป็นสมการอย่างง่าย โดยกำหนดให้นิพจน์ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น หากฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้: f (x) \u003d 2x 3 + 38x จากนั้นตามกฎของความแตกต่าง อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับ f "(x) \u003d 3x 2 + 1 จากนั้นเราจะแปลงค่านี้ แสดงออกเป็นสมการในรูปแบบต่อไปนี้: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. หลังจากแก้สมการและหาจุด "x" แล้ว คุณควรแสดงจุดเหล่านั้นบนแกน x และพิจารณาว่าอนุพันธ์ในพื้นที่เหล่านี้ระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายเป็นบวกหรือลบ หลังจากการระบุจะชัดเจนว่าฟังก์ชันใดเริ่มลดลงนั่นคือเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นตรงกันข้าม ด้วยวิธีนี้คุณจะพบทั้งจุดต่ำสุดและจุดสูงสุด

กฎความแตกต่าง

องค์ประกอบพื้นฐานที่สุดในการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือความรู้เกี่ยวกับกฎของความแตกต่าง ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเท่านั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแปลงนิพจน์ที่ยุ่งยากและฟังก์ชันที่ซับซ้อนขนาดใหญ่ มาทำความรู้จักกับพวกมันกันดีกว่า มีมากมาย แต่พวกมันทั้งหมดนั้นง่ายมากเนื่องจากคุณสมบัติปกติของทั้งกำลังและฟังก์ชันลอการิทึม

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ใดๆ คือศูนย์ (f(x) = 0) นั่นคืออนุพันธ์ f (x) \u003d x 5 + x - 160 จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: f "(x) \u003d 5x 4 +1
2. อนุพันธ์ของผลรวมของสองพจน์: (f+w)" = f"w + fw"
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม: (log a d)" = d/ln a*d สูตรนี้ใช้กับลอการิทึมทุกชนิด
4. อนุพันธ์กำลัง: (x n)"= n*x n-1 ตัวอย่างเช่น (9x 2)" = 9*2x = 18x
5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์: (sin a)" = cos a ถ้าไซน์ของมุม a เท่ากับ 0.5 อนุพันธ์ของมันคือ √3/2

จุดสูงสุด

เราได้กล่าวถึงวิธีการหาจุดต่ำสุดแล้ว อย่างไรก็ตาม มีแนวคิดเกี่ยวกับจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้าค่าต่ำสุดแสดงจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนจากลบเป็นบวก ดังนั้นจุดสูงสุดคือจุดเหล่านั้นบนแกน x ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ

คุณสามารถค้นหาได้โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่ควรคำนึงถึงว่าพวกเขาหมายถึงพื้นที่ที่ฟังก์ชันเริ่มลดลงนั่นคืออนุพันธ์จะน้อยกว่าศูนย์

ในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะสรุปแนวคิดทั้งสองโดยแทนที่ด้วยวลี "points of extrema" เมื่องานขอให้ระบุจุดเหล่านี้ หมายความว่าจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้และค้นหาจุดต่ำสุดและจุดสูงสุด

พิจารณาฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งพิจารณาจากช่วงเวลา (a, b)

ถ้าเป็นไปได้ที่จะระบุย่าน b ของจุด x1 ที่เป็นของช่วงเวลา (a, b) ซึ่งสำหรับ x (x1, b) ทั้งหมดนั้นสมการอสมการ f(x1) > f(x) แล้ว y1 = เรียกว่า f1(x1) ฟังก์ชั่นสูงสุด y = f(x) ดูรูปที่

ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน y = f(x) แสดงด้วยค่าสูงสุด f(x) ถ้าระบุย่าน 6 ของจุด x2 ของช่วง (a, b) ให้เป็นของช่วง (a, b) ได้ โดยที่สำหรับ x ทั้งหมดเป็นของ O(x2, 6) x ไม่เท่ากับ x2 แสดงว่าอสมการ ฉ(x2)< f(x) แล้ว y2= f(x2) เรียกว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน y-f(x) (ดูรูปที่)

ตัวอย่างการหาค่าสูงสุด ดูวิดีโอต่อไปนี้

คุณลักษณะขั้นต่ำ

ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน y = f(x) แสดงโดย min f(x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน y = ฉ(x) เรียกว่าค่าของมันซึ่งมากกว่า (น้อยกว่า) ค่าอื่น ๆ ทั้งหมดในจุดที่ใกล้เคียงกับค่าที่กำหนดและแตกต่างจากค่านั้น

หมายเหตุ 1. คุณลักษณะสูงสุดกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกันเรียกว่าค่าสูงสุดที่เข้มงวด ค่าสูงสุดแบบไม่เข้มงวดกำหนดโดยอสมการ f(x1) > = f(x2)

หมายเหตุ 2. มีอักขระท้องถิ่น (นี่คือค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในย่านที่เล็กพอของจุดที่สอดคล้องกัน) ค่าต่ำสุดของแต่ละฟังก์ชันอาจมากกว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันเดียวกัน

เป็นผลให้ค่าสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชันถูกเรียกใช้ สูงสุดในท้องถิ่น(ค่าต่ำสุดในพื้นที่) ตรงกันข้ามกับค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (ค่าต่ำสุด) - ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ในโดเมนของฟังก์ชัน

ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่าค่าสูงสุด . สุดขีดในการค้นหาฟังก์ชันการลงจุด

ละติน extremum หมายถึง "สุดขีด" ความหมาย. ค่าของอาร์กิวเมนต์ x ซึ่งถึงจุดสูงสุดเรียกว่าจุดสูงสุด เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ extremum แสดงโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. ที่จุดสุดขั้วของฟังก์ชันอนุพันธ์และอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทมีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่าย: เส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันอนุพันธ์ที่จุดที่สอดคล้องกันนั้นขนานกับแกน x

1°. การหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

แนวคิดของฟังก์ชันสูงสุด ต่ำสุด สุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะคล้ายกับแนวคิดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันของตัวแปรอิสระหนึ่งตัว

ให้ฟังก์ชั่น z=ฉ(x; ย)กำหนดไว้ในบางพื้นที่ ง,จุด ยังไม่มีข้อความ(x 0 ;y0) ง.

จุด (x 0 ;y0)เรียกว่าจุด ขีดสุดฟังก์ชั่น ซี= ฉ(x;ย ),ถ้ามี -neighborhood ของจุดนั้นอยู่ (x 0 ;y 0),นั้นสำหรับแต่ละจุด (x; y),แตกต่างจาก (x 0 ;y0)ละแวกนี้ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x;ย )< ฉ(x 0 ;y0).รูปที่ 12: ยังไม่มีข้อความ 1 -จุดสูงสุด ก ยังไม่มีข้อความ 2 -จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน z=ฉ(x;ย ).

จุด ขั้นต่ำฟังก์ชั่น: สำหรับทุกจุด (x 0 ;y 0),นอกเหนือจากนี้ (x 0 ;y 0),จากพื้นที่ใกล้เคียง d ของจุด (x 0 ;y0)ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือ: ฉ(x 0 ;y 0) >ฉ(x 0 ;y0).

ในทำนองเดียวกัน ค่าสุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่สามตัวขึ้นไปจะถูกกำหนด

ค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุด (ต่ำสุด) เรียกว่า สูงสุด (ต่ำสุด)ฟังก์ชั่น.

เรียกค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน สุดขีด

โปรดทราบว่าตามนิยามแล้ว จุดสูงสุดของฟังก์ชันจะอยู่ภายในโดเมนของฟังก์ชัน สูงสุดและต่ำสุดคือ ท้องถิ่น(ท้องถิ่น) อักขระ: ค่าของฟังก์ชันที่จุด (x 0 ;y0)จะถูกเปรียบเทียบกับค่าของมันที่จุดที่ใกล้เคียงพอสมควร (x 0 ;y0).ในพื้นที่ งฟังก์ชันอาจมีหลายค่ามากหรือไม่มีก็ได้

2°. เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขีด

พิจารณาเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชัน

เท่ากันทางเรขาคณิต ฉ"วาย (x 0 ;y0)= 0 และ ฉ"วาย (x 0 ;y 0) = 0 หมายความว่า ณ จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ซี = ฉ(x; ย)ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่แสดงฟังก์ชัน ฉ(x; ย),ขนานกับระนาบ โอ้ ฮูเนื่องจากสมการระนาบสัมผัสคือ z=z0.

ความคิดเห็นฟังก์ชันสามารถมีค่าสุดขั้ว ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน มีสูงสุดที่จุด เกี่ยวกับ(0;0) แต่ไม่มีอนุพันธ์บางส่วน ณ จุดนี้

จุดที่อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของฟังก์ชัน ซี = ฉ(x;ย )มีค่าเท่ากับศูนย์เช่น ฉ"x = 0, ฉ" y= 0 โทร จุดที่นิ่งฟังก์ชั่น ซี

จุดที่อยู่กับที่และจุดที่ไม่มีอนุพันธ์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งตัวเรียกว่า จุดวิกฤต

ที่จุดวิกฤต ฟังก์ชันอาจมีหรือไม่มีสุดขั้วก็ได้ การเท่ากับศูนย์ของอนุพันธ์ย่อยเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของอนุพันธ์ย่อย พิจารณา ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน ซี = ฮ.สำหรับมัน จุด 0(0; 0) นั้นสำคัญ (มันหายไปตรงนั้น) อย่างไรก็ตามฟังก์ชันสุดขีดในนั้น z = xyไม่มี เพราะในพื้นที่ใกล้เคียงที่เล็กพอของจุด O(0;0) มีจุดที่ z > 0 (คะแนน I และ III ควอเตอร์) และ ซี< 0 (คะแนน II และ IV ควอเตอร์)

ดังนั้น เพื่อหาค่าสุดขั้วของฟังก์ชันในพื้นที่ที่กำหนด จึงจำเป็นต้องศึกษาจุดวิกฤตแต่ละจุดของฟังก์ชันเพิ่มเติม

หาจุดคงที่ได้โดยการแก้ระบบสมการ

(เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขีด).

ระบบ (1) เทียบเท่ากับหนึ่งสมการ df(x, y)=0.โดยทั่วไปที่จุดสูงสุด พี(ก, ข)ฟังก์ชั่น ฉ(x, y)หรือ df(x, y)=0, หรือ df(ก ข) ไม่ได้อยู่.

3°. สภาวะที่เพียงพอสำหรับความสุดโต่ง. อนุญาต พี(ก; ข)- จุดยืนของฟังก์ชัน ฉ(x, y),เช่น. . df(а, ข) = 0. แล้ว:

และถ้า d2f (ก, ข)< 0 ที่ แล้ว ฉ(ก ข) มี ขีดสุดฟังก์ชั่น ฉ (x, ย);

ข) ถ้า d2f (а, b) > 0ที่ แล้ว ฉ(ก ข) มี ขั้นต่ำฟังก์ชั่น ฉ (x,ย);

ค) ถ้า d2f (ก, ข)เปลี่ยนเครื่องหมายแล้ว ฉ (ก ข) ไม่ใช่ส่วนสุดของฟังก์ชัน ฉ (x, y).

เงื่อนไขข้างต้นเทียบเท่ากับต่อไปนี้: และ . มาแต่งกันเถอะ เลือกปฏิบัติ ∆=AC-บี2.

1) ถ้า Δ > 0 ฟังก์ชันจะมีจุดสูงสุด พี (a; b)คือสูงสุดถ้า ก<0 (หรือ กับ<0 ) และขั้นต่ำถ้า ก>0(หรือ С>0);

2) ถ้า Δ< 0, то экстремума в точке พี(ก; ข)เลขที่;

3) ถ้า Δ = 0 คำถามของการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว ณ จุดหนึ่ง พี(ก; ข)ยังคงเปิดอยู่ (ต้องมีการศึกษาเพิ่มเติม)

4°. กรณีของฟังก์ชันที่มีตัวแปรหลายตัว. สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่สามตัวขึ้นไป เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของค่าสุดขั้วจะคล้ายกับเงื่อนไข (1) และเงื่อนไขที่เพียงพอจะคล้ายกับเงื่อนไข a), b), c) 3°

ตัวอย่าง. ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อหาค่าสูงสุด z=x³+3xy²-15x-12y.

สารละลาย. ให้เราหาอนุพันธ์ย่อยและสร้างระบบสมการ (1):

การแก้ระบบ เราได้จุดคงที่สี่จุด:

มาหาอนุพันธ์ของอันดับ 2 กัน

และทำให้ผู้ถูกเลือกปฏิบัติ ∆=ไฟฟ้ากระแสสลับ - B²สำหรับแต่ละจุดที่อยู่นิ่ง

1) สำหรับจุด: , ∆=AC-B²=36-144<0 . ดังนั้นจึงไม่มีจุดสูงสุด

2) สำหรับจุด P2: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. ที่จุด P2 ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด ค่าต่ำสุดนี้เท่ากับค่าของฟังก์ชันที่ x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) สำหรับจุด: A=-6, B=-12, C=-6; Δ = 36-144<0 . ไม่มีความสุดโต่ง

4) สำหรับจุด P 4: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. ที่จุด P4 ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดเท่ากับ Zสูงสุด=-8-6+30+12=28.

5°. เงื่อนไขสุดขั้ว. ในกรณีที่ง่ายที่สุด สุดขั้วตามเงื่อนไขฟังก์ชั่น ฉ(x,ย) คือค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ เข้าถึงได้ภายใต้เงื่อนไขที่อาร์กิวเมนต์เกี่ยวข้องกันด้วยสมการ φ(x,y)=0 (สมการการเชื่อมต่อ). การหาค่าสุดขั้วตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน ฉ(x, ย) ต่อหน้าความสัมพันธ์ φ(x, y) = 0ประกอบขึ้นเป็นที่เรียกว่า ฟังก์ชันลากรองจ์

ฉ(x ,ย )=ฉ(x ,ย )+λφ (x ,ย ),

โดยที่ λ เป็นตัวประกอบคงที่ไม่แน่นอน และมองหาค่าสูงสุดปกติของฟังก์ชันเสริมนี้ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้วจะลดลงเป็นระบบสามสมการ

กับสามสิ่งที่ไม่รู้จัก x, y, λซึ่งโดยทั่วไปสามารถระบุสิ่งที่ไม่รู้จักเหล่านี้ได้

คำถามของการมีอยู่และธรรมชาติของเงื่อนไขสุดโต่งได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของการศึกษาสัญญาณของส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์

สำหรับการทดสอบระบบค่า x, y, λได้จาก (2) โดยมีเงื่อนไขว่า ดีเอ็กซ์และ ดู่สัมพันธ์กันด้วยสมการ

.

กล่าวคือฟังก์ชัน ฉ(x,ย) มีเงื่อนไขสูงสุดถ้า d²F< 0 และขั้นต่ำแบบมีเงื่อนไข if d²F>0. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าจำแนก Δ สำหรับฟังก์ชัน ฉ(x, y)ที่จุดหยุดนิ่งเป็นค่าบวก ณ จุดนี้จะมีฟังก์ชันสูงสุดแบบมีเงื่อนไข ฉ(x, ย), ถ้า ก< 0 (หรือ กับ< 0) และขั้นต่ำแบบมีเงื่อนไข if เอ > โอ(หรือ С>0).

ในทำนองเดียวกัน สุดขั้วตามเงื่อนไขของฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่สามตัวขึ้นไปจะพบได้เมื่อมีสมการเชื่อมต่อหนึ่งสมการหรือมากกว่า (อย่างไรก็ตาม จำนวนของตัวแปรต้องน้อยกว่าจำนวนของตัวแปร) ในที่นี้จำเป็นต้องใส่ปัจจัยที่ไม่ทราบแน่ชัดจำนวนมากเข้าในฟังก์ชันลากรองจ์ เนื่องจากมีสมการที่เชื่อมโยงกัน

ตัวอย่าง. หาค่าสุดขั้วของฟังก์ชัน z=6-4x-3ยโดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปร เอ็กซ์และ ที่ตอบสนองสมการ x²+y²=1.

สารละลาย. ทางเรขาคณิต ปัญหาจะลดลงเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของแอปพลิเคชัน ซีเครื่องบิน z=6 - 4x - ซูสำหรับจุดตัดกับทรงกระบอก x2+y2=1

เขียนฟังก์ชันลากรองจ์ F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

เรามี . เงื่อนไขที่จำเป็นให้ระบบสมการ

การแก้ปัญหาที่เราพบ:

.

,

d²ฉ=2λ (dx²+dy²).

ถ้าแล้ว d²ฉ >0ดังนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจึงมีเงื่อนไขขั้นต่ำ ถ้า และจากนั้น d²ฉ<0, ดังนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจึงมีเงื่อนไขสูงสุด

ดังนั้น,

6°. ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ให้ฟังก์ชั่น z=ฉ(x; ย)กำหนดและต่อเนื่องในโดเมนปิดที่มีขอบเขต . แล้วมาถึงบางจุด ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเขา มและอย่างน้อยที่สุด ตค่า (เรียกว่า. สุดโต่งระดับโลก).ฟังก์ชันเข้าถึงค่าเหล่านี้ ณ จุดที่อยู่ภายในภูมิภาค , หรือตามจุดต่าง ๆ ที่อยู่บริเวณแนวเขต