วิธีหาตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตไม่มีความสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์มากกว่าเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลข b1, b2, ..., b [n] ซึ่งแต่ละเทอมถัดไปได้มาจากการคูณค่าก่อนหน้าด้วยจำนวนคงที่ ตัวเลขนี้ซึ่งแสดงถึงอัตราการเติบโตหรือการลดลงของความก้าวหน้านั้นเรียกว่า ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและแสดงว่า

สำหรับการมอบหมายความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างสมบูรณ์ นอกเหนือจากตัวส่วน จำเป็นต้องรู้หรือกำหนดระยะแรก สำหรับค่าบวกของตัวส่วน ความก้าวหน้าคือลำดับแบบโมโนโทนิก และหากลำดับของตัวเลขนี้ลดลงแบบโมโนโทนและสำหรับ เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก กรณีที่ตัวส่วนเท่ากับหนึ่งนั้นไม่ถือว่าในทางปฏิบัติ เนื่องจากเรามีลำดับของตัวเลขที่เหมือนกัน และการบวกรวมนั้นไม่น่าสนใจในทางปฏิบัติ

ระยะทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร

ผลรวมของเงื่อนไข n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำหนดโดยสูตร

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาแบบคลาสสิกเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดเพื่อความเข้าใจ

ตัวอย่างที่ 1 เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 27 และตัวส่วนคือ 1/3 ค้นหาคำศัพท์หกคำแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

วิธีแก้ไข: ให้เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาในรูปแบบ

สำหรับการคำนวณ เราใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

บนพื้นฐานของมัน เราพบสมาชิกที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้า

อย่างที่คุณเห็น การคำนวณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นไม่ยาก คืบหน้าจะประมาณนี้ค่ะ

ตัวอย่างที่ 2 ให้คำสามคำแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: 6; -12; 24. หาตัวส่วนและเทอมที่เจ็ดของมัน

วิธีแก้ไข: คำนวณตัวหารของความก้าวหน้าทางธรณีตามคำจำกัดความ

เราได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสลับกัน ตัวส่วนคือ -2 เทอมที่เจ็ดคำนวณโดยสูตร

นี้ได้แก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 3 ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกกำหนดโดยสมาชิกสองคน ... ค้นหาเทอมที่สิบในความคืบหน้า

การตัดสินใจ:

มาเขียนค่าที่กำหนดผ่านสูตรกัน

ตามกฎแล้วจำเป็นต้องหาตัวส่วนแล้วหาค่าที่ต้องการ แต่สำหรับเทอมที่สิบเรามี

สูตรเดียวกันสามารถหาได้จากการปรับเปลี่ยนอย่างง่ายด้วยข้อมูลที่ป้อนเข้า เราหารเทอมที่หกของซีรีส์ด้วยอีกเทอมหนึ่ง เราจะได้

ถ้าค่าผลลัพธ์คูณด้วยเทอมที่หก เราจะได้สิบ

ดังนั้น สำหรับงานดังกล่าว โดยใช้การแปลงอย่างง่ายในวิธีที่รวดเร็ว คุณจะพบวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสม

ตัวอย่างที่ 4 ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกกำหนดโดยสูตรที่เกิดซ้ำ

หาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและผลรวมของหกเทอมแรก

การตัดสินใจ:

ให้เราเขียนข้อมูลที่กำหนดให้ในรูปแบบระบบสมการ

แสดงตัวส่วนโดยหารสมการที่สองด้วยตัวแรก

หาเทอมแรกของความก้าวหน้าจากสมการแรก

มาคำนวณคำศัพท์ห้าคำถัดไปเพื่อหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกัน

ลองพิจารณาบางชุด

7 28 112 448 1792...

เป็นที่ชัดเจนว่าคุณค่าขององค์ประกอบใด ๆ ของมันนั้นมากกว่าค่าก่อนหน้าสี่เท่า ซึ่งหมายความว่าซีรีส์นี้เป็นความก้าวหน้า

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นลำดับของตัวเลขที่ไม่สิ้นสุด คุณลักษณะหลักคือได้หมายเลขถัดไปจากจำนวนก่อนหน้าโดยการคูณด้วยจำนวนหนึ่ง ซึ่งแสดงโดยสูตรต่อไปนี้

a z +1 = a z q โดยที่ z คือจำนวนขององค์ประกอบที่เลือก

ดังนั้น z ∈ N.

ช่วงเวลาที่ศึกษาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่โรงเรียนคือชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ตัวอย่างจะช่วยให้คุณเข้าใจแนวคิด:

0.25 0.125 0.0625...

จากสูตรนี้ ตัวหารของความก้าวหน้าสามารถหาได้ดังนี้:

ทั้ง q และ b z ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ นอกจากนี้ แต่ละองค์ประกอบของความก้าวหน้าไม่ควรเป็นศูนย์

ดังนั้น ในการหาตัวเลขถัดไปในอนุกรมนั้น คุณต้องคูณตัวสุดท้ายด้วย q

ในการตั้งค่าความก้าวหน้านี้ คุณต้องระบุองค์ประกอบและตัวส่วนแรก หลังจากนั้นคุณสามารถค้นหาสมาชิกที่ตามมาและผลรวมได้

พันธุ์

ขึ้นอยู่กับ q และ 1 ความก้าวหน้านี้แบ่งออกเป็นหลายประเภท:

• หากทั้ง 1 และ q มีค่ามากกว่าหนึ่ง ลำดับดังกล่าวจะเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เพิ่มขึ้นตามแต่ละองค์ประกอบถัดไป ตัวอย่างดังกล่าวแสดงไว้ด้านล่าง

ตัวอย่าง: a 1 = 3, q ​​​​= 2 - พารามิเตอร์ทั้งสองมีค่ามากกว่าหนึ่ง

จากนั้นลำดับตัวเลขสามารถเขียนได้ดังนี้:

3 6 12 24 48 ...

• ถ้า | q | น้อยกว่าหนึ่งนั่นคือการคูณด้วยมันเทียบเท่ากับการหารจากนั้นความก้าวหน้าที่มีเงื่อนไขคล้ายกันคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลง ตัวอย่างดังกล่าวแสดงไว้ด้านล่าง

ตัวอย่าง: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 มีค่ามากกว่าหนึ่ง, q น้อยกว่า

จากนั้น สามารถเขียนลำดับตัวเลขได้ดังนี้:

6 2 2/3 ... - องค์ประกอบใด ๆ ที่ใหญ่กว่าองค์ประกอบที่ตามมา 3 เท่า

• ป้ายสลับ. ถ้า q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ตัวอย่าง: a 1 = -3, q = -2 - พารามิเตอร์ทั้งสองมีค่าน้อยกว่าศูนย์

จากนั้น สามารถเขียนลำดับตัวเลขได้ดังนี้:

3, 6, -12, 24,...

สูตร

มีหลายสูตรสำหรับการใช้งานที่สะดวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

• สูตรของสมาชิก z-th ให้คุณคำนวณรายการตามจำนวนที่ระบุโดยไม่ต้องคำนวณตัวเลขก่อนหน้า

ตัวอย่าง:q = 3, 1 = 4 จำเป็นต้องคำนวณองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า

การตัดสินใจ: 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• ผลรวมขององค์ประกอบแรกที่มีจำนวนเป็น z... คำนวณผลรวมขององค์ประกอบทั้งหมดตามลำดับสูงสุดzรวม

ตั้งแต่ (1-q) อยู่ในตัวส่วน แล้ว (1 - q)≠ 0 ดังนั้น q ไม่เท่ากับ 1

หมายเหตุ: ถ้า q = 1 ความก้าวหน้าจะเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุด

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่าง: 1 = 2, q= -2. คำนวณ S 5

การตัดสินใจ:ส 5 = 22 - คำนวณตามสูตร

• จำนวนเงินถ้า |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ตัวอย่าง: 1 = 2 , q= 0.5. หาจำนวนเงิน

การตัดสินใจ:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

คุณสมบัติบางอย่าง:

• คุณสมบัติเฉพาะ หากเงื่อนไขดังต่อไปนี้ ดำเนินการเพื่อใด ๆzดังนั้นชุดตัวเลขที่กำหนดจึงเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

z 2 = z -1 · z + 1

• นอกจากนี้ การหากำลังสองของจำนวนใด ๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะพบได้โดยการเพิ่มกำลังสองของตัวเลขอีกสองตัวในแถวที่กำหนด หากพวกมันอยู่ห่างจากองค์ประกอบนี้เท่ากัน

z 2 = z - t 2 + z + t 2 ที่ไหนt- ระยะห่างระหว่างตัวเลขเหล่านี้

• องค์ประกอบต่างกันใน qเวลา.
• ลอการิทึมขององค์ประกอบของความก้าวหน้าก็ก่อให้เกิดความก้าวหน้าเช่นกัน แต่เลขคณิตอยู่แล้วนั่นคือแต่ละอันมีขนาดใหญ่กว่าค่าก่อนหน้าด้วยจำนวนที่แน่นอน

ตัวอย่างของปัญหาคลาสสิกบางอย่าง

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคืออะไร ตัวอย่างที่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับเกรด 9 สามารถช่วยได้

• เงื่อนไข: 1 = 3, 3 = 48. ค้นหาq.

วิธีแก้ปัญหา: องค์ประกอบที่ตามมาแต่ละรายการมีขนาดใหญ่กว่าองค์ประกอบก่อนหน้าในq เวลา.จำเป็นต้องแสดงองค์ประกอบบางอย่างผ่านองค์ประกอบอื่นโดยใช้ตัวส่วน

ดังนั้น 3 = q 2 · 1

เมื่อแทนที่q= 4

• เงื่อนไข: 2 = 6, 3 = 12. คำนวณ S 6

การตัดสินใจ:เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะหา q ซึ่งเป็นองค์ประกอบแรกและแทนที่ลงในสูตร

3 = q· 2 , ดังนั้น,q= 2

a 2 = q เอ 1,ดังนั้น 1 = 3

ส 6 = 189

• · 1 = 10, q= -2. ค้นหาองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า

วิธีแก้ปัญหา: สำหรับสิ่งนี้ การแสดงองค์ประกอบที่สี่ผ่านส่วนแรกและตัวส่วนก็เพียงพอแล้ว

a 4 = q 3· 1 = -80

ตัวอย่างการใช้งาน:

• ลูกค้าของธนาคารทำการฝากเงินจำนวน 10,000 รูเบิล ภายใต้เงื่อนไขที่ลูกค้าจะเพิ่ม 6% ของเงินต้นเป็นจำนวนเงินต้นทุกปี บัญชีจะมีเงินเท่าไหร่ใน 4 ปี?

วิธีแก้ปัญหา: จำนวนเงินเริ่มต้นคือ 10,000 รูเบิล ซึ่งหมายความว่าหนึ่งปีหลังจากการลงทุน บัญชีจะมีจำนวนเงินเท่ากับ 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

ดังนั้นจำนวนเงินในบัญชีในอีกหนึ่งปีจะแสดงดังนี้:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

นั่นคือทุกปีจำนวนเพิ่มขึ้น 1.06 เท่า ซึ่งหมายความว่าเพื่อหาจำนวนเงินในบัญชีใน 4 ปี ก็เพียงพอที่จะหาองค์ประกอบที่สี่ของความคืบหน้าซึ่งได้รับจากองค์ประกอบแรกเท่ากับ 10,000 และตัวส่วนเท่ากับ 1.06

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

ตัวอย่างงานสำหรับการคำนวณผลรวม:

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช้ในปัญหาต่างๆ สามารถยกตัวอย่างการหาผลรวมได้ดังนี้

1 = 4, q= 2 คำนวณS 5.

วิธีแก้ไข: ทราบข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการคำนวณแล้ว คุณเพียงแค่ต้องแทนที่ข้อมูลเหล่านั้นลงในสูตร

ส 5 = 124

• 2 = 6, 3 = 18. คำนวณผลรวมขององค์ประกอบหกตัวแรก

การตัดสินใจ:

ใน geom. ความคืบหน้าแต่ละองค์ประกอบถัดไปมีขนาดใหญ่กว่าองค์ประกอบก่อนหน้า q นั่นคือในการคำนวณผลรวมคุณต้องรู้องค์ประกอบ 1 และตัวส่วนq.

2 · q = 3

q = 3

ในทำนองเดียวกันคุณต้องหา 1 รู้ 2 และq.

1 · q = 2

1 =2

ส 6 = 728.

ถ้าทุกจำนวนธรรมชาติ น จับคู่จำนวนจริง น แล้วบอกว่าได้รับแล้ว ลำดับตัวเลข :

1 , 2 , 3 , . . . , น , . . . .

ดังนั้น ลำดับตัวเลขจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติ

จำนวน 1 เรียกว่า สมาชิกคนแรกของซีเควนซ์ , หมายเลข 2 — เทอมที่สอง , หมายเลข 3 — ที่สาม เป็นต้น จำนวน น เรียกว่า เทอมที่ n ของลำดับ , และจำนวนธรรมชาติ น — หมายเลขของเขา his .

ของสมาชิกเพื่อนบ้านสองคน น และ น +1 สมาชิกลำดับ น +1 เรียกว่า ภายหลัง (ไปทาง น ) แต่ น — ก่อนหน้า (ไปทาง น +1 ).

ในการระบุลำดับ คุณต้องระบุวิธีการที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกของลำดับด้วยตัวเลขใดๆ

มักจะให้ลำดับกับ สูตรเทอมที่ n นั่นคือสูตรที่ให้คุณกำหนดสมาชิกของลำดับตามจำนวน

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของเลขคี่บวกสามารถระบุได้โดยสูตร

น= 2น - 1,

และลำดับของการสลับกัน 1 และ -1 - โดยสูตร

ขน = (-1)น +1 . ◄

ลำดับสามารถกำหนดได้ สูตรแบบเรียกซ้ำ, นั่นคือ สูตรที่แสดงสมาชิกใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากบางส่วน ผ่านสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งตัวหรือมากกว่า)

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า 1 = 1 , แต่ น +1 = น + 5

1 = 1,

2 = 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

3 = 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

4 = 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

5 = 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ถ้า 1= 1, 2 = 1, น +2 = น + น +1 , จากนั้นสมาชิกเจ็ดคนแรกของลำดับตัวเลขจะถูกตั้งค่าดังนี้:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

6 = 4 + 5 = 3 + 5 = 8,

7 = 5 + 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ลำดับสามารถ สุดท้าย และ ไม่มีที่สิ้นสุด .

ลำดับนี้เรียกว่า ที่สุด หากมีสมาชิกจำนวนจำกัด ลำดับนี้เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด หากมีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของตัวเลขธรรมชาติสองหลัก:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

สุดท้าย.

ลำดับของจำนวนเฉพาะ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ไม่มีที่สิ้นสุด ◄

ลำดับนี้เรียกว่า เพิ่มขึ้น ถ้าสมาชิกแต่ละคน เริ่มจากวินาที มากกว่าก่อนหน้า

ลำดับนี้เรียกว่า กำลังลดลง ถ้าสมาชิกแต่ละคน เริ่มจากที่สอง น้อยกว่าก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น,

2, 4, 6, 8, . . . , 2น, . . . - ลำดับที่เพิ่มขึ้น;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /น, . . . - ลำดับที่ลดลง ◄

ลำดับที่องค์ประกอบไม่ลดลงตามจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือในทางกลับกันไม่เพิ่มขึ้นเรียกว่า ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ .

โดยเฉพาะลำดับแบบโมโนโทนิกคือลำดับจากน้อยไปมากและลำดับจากมากไปน้อย

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีการเรียกลำดับซึ่งสมาชิกแต่ละคนซึ่งเริ่มต้นด้วยลำดับที่สองมีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้าซึ่งมีการเพิ่มหมายเลขเดียวกัน

1 , 2 , 3 , . . . , น, . . .

เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ น ตรงตามเงื่อนไข:

น +1 = น + d,

ที่ไหน d - ตัวเลขบางส่วน

ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างสมาชิกถัดไปและสมาชิกก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจะคงที่เสมอ:

2 - 1 = 3 - 2 = . . . = น +1 - น = d.

จำนวน d เรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

ในการกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การระบุเทอมแรกและผลต่างก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า 1 = 3, d = 4 จากนั้นจะพบสมาชิกห้าคนแรกของลำดับดังนี้:

1 =3,

2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + d= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + d= 11 + 4 = 15,

5 = 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับเทอมแรก 1 และความแตกต่าง d เธอ น

น = 1 + (น- 1)ง.

ตัวอย่างเช่น,

หาเทอมที่สามสิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)ง = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (น- 2)ง,

น= 1 + (น- 1)ง,

น +1 = 1 + nd,

เห็นได้ชัดว่า

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าเลขคณิต เริ่มตั้งแต่วินาที เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและต่อมา

ตัวเลข a, b และ c เป็นสมาชิกที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่างก็ต่อเมื่อหนึ่งในนั้นเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

น = 2น- 7 เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลองใช้คำสั่งข้างต้น เรามี:

น = 2น- 7,

n-1 = 2(น - 1) - 7 = 2น- 9,

n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2น- 5.

ดังนั้น

◄

สังเกตว่า น - ระยะที่หนึ่งของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ไม่เพียงผ่าน 1 , แต่ยังก่อนหน้าใด ๆ ก

น = ก + (น- k)d.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ 5 เขียนได้

5 = 1 + 4d,

5 = 2 + 3d,

5 = 3 + 2d,

5 = 4 + d. ◄

น = n-k + kd,

น = n + k - kd,

เห็นได้ชัดว่า

สมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เริ่มจากวินาที เท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่งของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้โดยเว้นระยะเท่ากันจากมัน

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ ความเสมอภาคจะเป็นจริง:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + ล.

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) 10 = 28 = (25 + 31)/2 = ( 9 + 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, เช่น

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ส น= 1 + 2 + 3 + ... ...+ น,

คนแรก น สมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเทอมสุดขั้วตามจำนวนเทอม:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าจำเป็นต้องรวมเงื่อนไข

ก, ก +1 , . . . , น,

จากนั้นสูตรก่อนหน้าจะคงโครงสร้างไว้:

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ส 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ส 10 - ส 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

หากได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ค่า 1 , น, d, นและส น เชื่อมโยงด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากให้ค่าสามของปริมาณเหล่านี้ ค่าที่สอดคล้องกันของอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้ รวมกันเป็นระบบของสมการสองสมการที่มีสองไม่ทราบค่า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับแบบโมโนโทนิก โดยที่:

• ถ้า d > 0 แล้วมันก็เพิ่มขึ้น;
• ถ้า d < 0 แล้วมันก็ลดลง;
• ถ้า d = 0 จากนั้นลำดับจะอยู่กับที่

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับเรียกว่า สมาชิกแต่ละคน เริ่มจากวินาที เท่ากับลำดับก่อนหน้า คูณด้วยจำนวนเดียวกัน

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . , ข น, . . .

เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ น ตรงตามเงื่อนไข:

ข น +1 = ข น · q,

ที่ไหน q ≠ 0 - ตัวเลขบางส่วน

ดังนั้น อัตราส่วนของสมาชิกถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดกับค่าก่อนหน้าจึงเป็นจำนวนคงที่:

ข 2 / ข 1 = ข 3 / ข 2 = . . . = ข น +1 / ข น = q.

จำนวน q เรียกว่า ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

ในการกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุเทอมแรกและตัวส่วน

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ข 1 = 1, q = -3 จากนั้นจะพบสมาชิกห้าคนแรกของลำดับดังนี้:

ข 1 = 1,

ข2 = ข 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ข 3 = ข2 · q= -3 · (-3) = 9,

ข4 = ข 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ข 5 = ข 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ข 1 และตัวส่วน q เธอ น เทอมที่สามารถพบได้โดยสูตร:

ข น = ข 1 · คิว n -1 .

ตัวอย่างเช่น,

หาระยะที่เจ็ดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .

ข 1 = 1, q = 2,

ข 7 = ข 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

ข n-1 = ข 1 · คิว n -2 ,

ข น = ข 1 · คิว n -1 ,

ข น +1 = ข 1 · คิว n,

เห็นได้ชัดว่า

ข น 2 = ข น -1 · ข น +1 ,

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มตั้งแต่วินาที เท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (สัดส่วน) ของสมาชิกก่อนหน้าและต่อมา

เนื่องจากข้อความ converse เป็นจริง ข้อความต่อไปนี้จึงถือ:

ตัวเลข a, b และ c เป็นสมาชิกต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตบางอย่างก็ต่อเมื่อกำลังสองของหนึ่งในนั้นเท่ากับผลคูณของอีกสองตัว นั่นคือ ตัวเลขตัวหนึ่งเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยสูตร ข น= -3 2 น เป็นความก้าวหน้าแบบทวีคูณ ลองใช้คำสั่งข้างต้น เรามี:

ข น= -3 2 น,

ข น -1 = -3 2 น -1 ,

ข น +1 = -3 2 น +1 .

ดังนั้น

ข น 2 = (-3 2 น) 2 = (-3 2 น -1 ) (-3 2 น +1 ) = ข น -1 · ข น +1 ,

ซึ่งพิสูจน์ข้อความที่ต้องการ ◄

สังเกตว่า น -ระยะที่หนึ่งของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้ไม่เพียงแค่ผ่าน ข 1 , แต่ยังรวมถึงคำก่อนหน้าใด ๆ b k ซึ่งก็เพียงพอแล้วที่จะใช้สูตร

ข น = b k · คิว n - k.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ข 5 เขียนได้

ข 5 = ข 1 · q 4 ,

ข 5 = ข2 · คิว 3,

ข 5 = ข 3 · คิว 2,

ข 5 = ข4 · q. ◄

ข น = b k · คิว n - k,

ข น = ข น - k · q k,

เห็นได้ชัดว่า

ข น 2 = ข น - k· ข น + k

กำลังสองของสมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มจากวินาที เท่ากับผลคูณของสมาชิกของความก้าวหน้านี้เท่ากันจากมัน

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใด ๆ ความเท่าเทียมกันก็เป็นจริง:

ข m· ข น= b k· ข ล,

ม+ น= k+ l.

ตัวอย่างเช่น,

อย่างทวีคูณ

1) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ข 5 · ข 7 ;

2) 1024 = ข 11 = ข 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ข 4 · ข 8 ;

4) ข 2 · ข 7 = ข 4 · ข 5 , เช่น

ข 2 · ข 7 = 2 · 64 = 128,

ข 4 · ข 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ส น= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . + ข น

คนแรก น สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับตัวส่วน q ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:

และเมื่อ q = 1 - ตามสูตร

ส น= nb 1

โปรดทราบว่าหากคุณต้องการรวมเงื่อนไข

b k, b k +1 , . . . , ข น,

จากนั้นใช้สูตร:

ตัวอย่างเช่น,

อย่างทวีคูณ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ส 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ส 10 - ส 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

หากได้รับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ค่า ข 1 , ข น, q, นและ ส น เชื่อมโยงด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากค่าของสามปริมาณเหล่านี้ได้รับ ค่าที่สอดคล้องกันของอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้ รวมกันเป็นระบบของสมการสองสมการที่มีสองไม่ทราบค่า

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยเทอมแรก ข 1 และตัวส่วน q ต่อไปนี้ คุณสมบัติโมโนโทนิก :

• ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ q> 1;

ข 1 < 0 และ 0 < q< 1;

• ความก้าวหน้าจะลดลงหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ 0 < q< 1;

ข 1 < 0 และ q> 1.

ถ้า q< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะสลับกัน: สมาชิกเลขคี่มีเครื่องหมายเดียวกันกับเทอมแรก และพจน์ที่เป็นเลขคู่มีเครื่องหมายตรงข้าม เป็นที่ชัดเจนว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับกันนั้นไม่ซ้ำซากจำเจ

ผลงานชิ้นแรก น สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยสูตร:

พีน= ข 1 · ข2 · ข 3 · . . . · ข น = (ข 1 · ข น) น / 2 .

ตัวอย่างเช่น,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ โมดูลัสของตัวส่วนมีค่าน้อยกว่า 1 , เช่น

|q| < 1 .

โปรดทราบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอาจไม่ใช่ลำดับที่ลดลง นี้เหมาะกับกรณี

1 < q< 0 .

ด้วยตัวส่วนดังกล่าว ลำดับจะสลับกัน ตัวอย่างเช่น,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด คือจำนวนที่ผลรวมของตัวแรก น สมาชิกของความก้าวหน้าด้วยการเพิ่มจำนวนไม่ จำกัด น ... ตัวเลขนี้จำกัดเสมอและแสดงโดยสูตร

ตัวอย่างเช่น,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ความสัมพันธ์ระหว่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ลองดูเพียงสองตัวอย่าง

1 , 2 , 3 , . . . d แล้ว

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . b d .

ตัวอย่างเช่น,

1, 3, 5, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง 2 และ

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 7 2 . ◄

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน q แล้ว

ล็อก a b 1, ล็อก a b2, ล็อก a b 3, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง บันทึก aq .

ตัวอย่างเช่น,

2, 12, 72, . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 6 และ

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง lg 6 . ◄

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ "ลำดับตัวเลข ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นบทวิจารณ์ความปรารถนา! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

อุปกรณ์ช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ของ Integral สำหรับเกรด 9
องศาและราก ฟังก์ชันและกราฟ

พวกวันนี้เราจะทำความคุ้นเคยกับความก้าวหน้าอีกประเภทหนึ่ง
หัวข้อของบทเรียนวันนี้คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตัวอย่าง. 1,2,4,8,16 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งเทอมแรกมีค่าเท่ากับหนึ่ง และ $ q = 2 $

ตัวอย่าง. 8,8,8,8 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกคือแปด
และ $ q = 1 $

ตัวอย่าง. 3, -3.3, -3.3 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกเท่ากับสาม
และ $ q = -1 $

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีคุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจ
ถ้า $ b_ (1)> 0 $, $ q> 1 $,
จากนั้นลำดับก็ขึ้น
ถ้า $ b_ (1)> 0 $, $ 0 ลำดับมักจะแสดงเป็น: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $

เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้าจำนวนขององค์ประกอบมีจำกัดในการก้าวหน้าทางเรขาคณิต ความก้าวหน้านั้นเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีขอบเขต

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $
หมายเหตุ ถ้าลำดับเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับของกำลังสองของสมาชิกก็คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเช่นกัน สำหรับลำดับที่สอง เทอมแรกคือ $ b_ (1) ^ 2 $ และตัวส่วนคือ $ q ^ 2 $

สูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

กลับไปที่ตัวอย่างของเรา

ตัวอย่าง. 1,2,4,8,16 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกเท่ากับหนึ่ง
และ $ q = 2 $
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $

ตัวอย่าง. 16,8,4,2,1,1,1 / 2 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกคือสิบหกและ $ q = \ frac (1) (2) $
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $

ตัวอย่าง. 8,8,8,8 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกคือแปดและ $ q = 1 $
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 $

ตัวอย่าง. 3, -3.3, -3.3 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกคือสามและ $ q = -1 $
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $

ตัวอย่าง. คุณจะได้รับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $
ก) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า $ b_ (1) = 6, q = 3 $ ค้นหา $ b_ (5) $
b) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า $ b_ (1) = 6, q = 2, b_ (n) = 768 $ ค้นหา น.
c) เป็นที่ทราบกันว่า $ q = -2, b_ (6) = 96 $ ค้นหา $ b_ (1) $
d) เป็นที่ทราบกันว่า $ b_ (1) = - 2, b_ (12) = 4096 $ ค้นหา q

การตัดสินใจ
a) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 $
b) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 $
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $ ตั้งแต่ $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7; n = 8 $
c) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $
d) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 $

ตัวอย่าง. ความแตกต่างระหว่างเทอมที่เจ็ดและห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 192 ผลรวมของเทอมที่ห้าและหกของความก้าวหน้าคือ 192 หาเทอมที่สิบของความก้าวหน้านี้

การตัดสินใจ
เรารู้ว่า: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ และ $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $
เรารู้ด้วยว่า: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $
จากนั้น:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 $
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 $
เราได้ระบบสมการ:
$ \ เริ่มต้น (กรณี) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ สิ้นสุด (กรณี) $
สมการของเราเท่ากันจะได้:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $
$ q ^ 2-1 = q + 1 $
$ q ^ 2-q-2 = 0 $
เราได้คำตอบสองข้อ q: $ q_ (1) = 2, q_ (2) = - 1 $
แทนที่ตามลำดับลงในสมการที่สอง:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 $
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ ไม่มีวิธีแก้ไข
เราได้แล้วว่า: $ b_ (1) = 4, q = 2 $
ค้นหาเทอมที่สิบ: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด

ให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $
ให้เราแนะนำสัญกรณ์สำหรับผลรวมของสมาชิก: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $
ในกรณีที่ $q = 1 $ สมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีค่าเท่ากับเทอมแรก จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่า $ S_ (n) = n * b_ (1) $
พิจารณากรณีนี้ $ q ≠ 1 $
คูณผลรวมข้างต้นด้วย q
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $
บันทึก:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $

$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $

$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $

$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $

$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $

เราได้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด

การตัดสินใจ
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 $

ตัวอย่าง.
ค้นหาระยะที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเป็นที่รู้จัก: $ b_ (1) = - 3 $; $ b_ (n) = - 3072 $; $ S_ (n) = - 4095 $

การตัดสินใจ
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 $
$ q ^ (n-1) = 1024 $
$ q ^ (n) = 1024q $

$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 $
$ -4095 (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) $
$ -4095 (q-1) = - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 = 1024q-1 $
341 ดอลลาร์สหรัฐฯ = 1364 ดอลลาร์
$ q = 4 $
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 $

คุณสมบัติลักษณะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ลำดับตัวเลขคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็ต่อเมื่อกำลังสองของสมาชิกแต่ละตัวเท่ากับผลคูณของสมาชิกที่อยู่ติดกันสองตัวของความก้าวหน้า อย่าลืมว่าเงื่อนไขนี้ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับสมาชิกคนแรกและคนสุดท้าย

โมดูลัสของสมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกัน

การตัดสินใจ
ลองใช้คุณสมบัติเฉพาะ:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 = 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $
$ x ^ 2-x-2 = 0 $
$ x_ (1) = 2 $ และ $ x_ (2) = - 1 $
แทนที่ตามลำดับในนิพจน์ดั้งเดิม โซลูชันของเรา:
ด้วย $ x = 2 $ เราได้ลำดับ: 4; 6; 9 - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่ง $ q = 1.5 $
ด้วย $ x = -1 $ เราได้ลำดับ: 1; 0; 0
คำตอบ: $ x = 2. $

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตควบคู่กับเลขคณิตเป็นชุดตัวเลขสำคัญที่เรียนในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ในบทความนี้ เราจะพิจารณาตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และผลกระทบต่อคุณสมบัติของค่านั้นอย่างไร

คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เริ่มต้นด้วย ให้นิยามของอนุกรมจำนวนนี้ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเรียกว่าชุดของจำนวนตรรกยะ ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณองค์ประกอบแรกตามลำดับด้วยจำนวนคงที่ ซึ่งเรียกว่าตัวส่วน

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขในแถว 3, 6, 12, 24, ... เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพราะถ้าคุณคูณ 3 (องค์ประกอบแรก) ด้วย 2 คุณจะได้ 6 หากคุณคูณ 6 ด้วย 2 คุณจะได้ 12 เป็นต้น.

สมาชิกของลำดับที่อยู่ระหว่างการพิจารณามักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ai โดยที่ i เป็นจำนวนเต็มที่ระบุจำนวนขององค์ประกอบในแถว

คำจำกัดความข้างต้นของความก้าวหน้าสามารถเขียนในภาษาของคณิตศาสตร์ได้ดังนี้: an = bn-1 * a1 โดยที่ b เป็นตัวส่วน ง่ายต่อการตรวจสอบสูตรนี้: ถ้า n = 1 แล้ว b1-1 = 1 และเราจะได้ a1 = a1 ถ้า n = 2 แล้ว a = b * a1 และเรามาถึงคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่พิจารณาอีกครั้ง การให้เหตุผลที่คล้ายกันสามารถดำเนินต่อไปได้สำหรับค่าขนาดใหญ่ของ n

ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

หมายเลข b จะกำหนดอักขระทั้งหมดของชุดตัวเลขทั้งหมด ตัวส่วน b สามารถเป็นค่าบวก ค่าลบ หรือค่ามากกว่าหนึ่งหรือน้อยกว่า ตัวเลือกทั้งหมดเหล่านี้นำไปสู่ลำดับที่แตกต่างกัน:

• b> 1. มีชุดจำนวนตรรกยะเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 8, ... หากองค์ประกอบ a1 เป็นลบ ลำดับทั้งหมดจะเพิ่มขึ้นในค่าสัมบูรณ์เท่านั้น แต่ลดลงโดยคำนึงถึงเครื่องหมายของตัวเลข
• b = 1 กรณีดังกล่าวมักไม่เรียกว่าความก้าวหน้า เนื่องจากมีชุดจำนวนตรรกยะที่เหมือนกันหลายชุด ตัวอย่างเช่น -4, -4, -4

สูตรสำหรับจำนวนเงิน

ก่อนดำเนินการพิจารณาปัญหาเฉพาะโดยใช้ตัวส่วนของประเภทความก้าวหน้าที่พิจารณา ควรกำหนดสูตรที่สำคัญสำหรับผลรวมขององค์ประกอบ n แรก สูตรคือ: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)

คุณสามารถรับนิพจน์นี้ได้ด้วยตัวเองหากคุณพิจารณาลำดับแบบเรียกซ้ำของสมาชิกของความก้าวหน้า นอกจากนี้ โปรดทราบด้วยว่าในสูตรข้างต้น การรู้เพียงองค์ประกอบแรกและตัวส่วนก็เพียงพอแล้วที่จะหาผลรวมของจำนวนพจน์ตามอำเภอใจ

ลำดับที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

ด้านบนได้รับคำอธิบายว่ามันคืออะไร ตอนนี้ เมื่อรู้สูตรของ Sn แล้ว นำไปใช้กับอนุกรมตัวเลขนี้ เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่มีโมดูลัสไม่เกิน 1 เมื่อเพิ่มเป็นองศามากมีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นคือ b∞ => 0 ถ้า -1

เนื่องจากความแตกต่าง (1 - b) จะเป็นค่าบวกเสมอ โดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวส่วน เครื่องหมายของผลรวมของความก้าวหน้าที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดของเรขาคณิต S∞ จะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายขององค์ประกอบแรก a1 อย่างไม่ซ้ำกัน

ตอนนี้เราจะพิจารณางานหลายอย่างซึ่งเราจะแสดงวิธีใช้ความรู้ที่ได้รับกับตัวเลขเฉพาะ

ปัญหาหมายเลข 1 การคำนวณองค์ประกอบที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้าและผลรวม

คุณจะได้รับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวหารของความก้าวหน้าคือ 2 และองค์ประกอบแรกคือ 3 เทอมที่ 7 และ 10 จะเท่ากับอะไร และผลรวมขององค์ประกอบเริ่มต้นทั้งเจ็ดเป็นเท่าใด

เงื่อนไขของปัญหานั้นค่อนข้างเรียบง่ายและถือว่าใช้สูตรข้างต้นโดยตรง ดังนั้น ในการคำนวณองค์ประกอบที่มีตัวเลข n เราใช้นิพจน์ a = bn-1 * a1 สำหรับองค์ประกอบที่ 7 เรามี: a7 = b6 * a1 แทนที่ข้อมูลที่รู้จัก เราได้รับ: a7 = 26 * 3 = 192 เราทำเช่นเดียวกันสำหรับเทอมที่ 10: a10 = 29 * 3 = 1536

ลองใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับผลรวมและกำหนดค่านี้สำหรับองค์ประกอบ 7 แรกของชุดข้อมูล เรามี: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381

ปัญหาหมายเลข 2 การหาผลรวมขององค์ประกอบตามอำเภอใจของความก้าวหน้า

ให้ -2 เป็นตัวหารของความก้าวหน้าแบบเลขชี้กำลัง bn-1 * 4 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม จำเป็นต้องกำหนดจำนวนเงินตั้งแต่องค์ประกอบที่ 5 ถึงองค์ประกอบที่ 10 ของชุดนี้รวมอยู่ด้วย

ปัญหาที่เกิดขึ้นไม่สามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยใช้สูตรที่รู้จัก สามารถแก้ไขได้ 2 วิธี เพื่อความสมบูรณ์เราขอนำเสนอทั้งสองอย่าง

วิธีที่ 1 แนวคิดนั้นเรียบง่าย: จำเป็นต้องคำนวณผลรวมสองค่าที่สอดคล้องกันของเทอมแรก แล้วลบอีกอันออกจากอันหนึ่ง เราคำนวณจำนวนที่น้อยกว่า: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364 ตอนนี้เราคำนวณผลรวมจำนวนมาก: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20 โปรดทราบว่าในนิพจน์สุดท้าย มีเพียง 4 คำเท่านั้นที่สรุปได้ เนื่องจากข้อที่ 5 รวมอยู่ในผลรวมที่ต้องคำนวณตามเงื่อนไขของปัญหาแล้ว สุดท้าย ใช้ความแตกต่าง: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344

วิธีที่ 2 ก่อนแทนที่ตัวเลขและการนับ คุณสามารถหาสูตรสำหรับผลรวมระหว่างสมาชิก m และ n ของชุดข้อมูลที่ต้องการได้ เราทำเหมือนกับในวิธีที่ 1 ทุกประการ มีเพียงเราเท่านั้นที่ทำงานกับการแสดงสัญลักษณ์ของผลรวมก่อน เรามี: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . ในนิพจน์ผลลัพธ์ คุณสามารถแทนที่ตัวเลขที่รู้จักและคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344

ปัญหาหมายเลข 3 ตัวส่วนคืออะไร?

ให้ a1 = 2 หาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยที่ผลรวมอนันต์ของมันคือ 3 และเป็นที่ทราบกันว่านี่เป็นชุดตัวเลขที่ลดลง

ตามเงื่อนไขของปัญหา เดาง่าย ๆ ว่าควรใช้สูตรไหนแก้ แน่นอน สำหรับผลรวมความก้าวหน้าจะลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เรามี: S∞ = a1 / (1 - b) จากที่เราแสดงตัวส่วน: b = 1 - a1 / S∞ มันยังคงแทนที่ค่าที่รู้จักและรับจำนวนที่ต้องการ: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 หรือ -0.333 (3) ผลลัพธ์นี้สามารถตรวจสอบได้ในเชิงคุณภาพหากเราจำได้ว่าสำหรับลำดับประเภทนี้ โมดูลัส b ไม่ควรเกิน 1 อย่างที่คุณเห็น | -1 / 3 |

ปัญหาหมายเลข 4 การกู้คืนชุดตัวเลข

ให้องค์ประกอบ 2 ของอนุกรมตัวเลขเช่น 5 เท่ากับ 30 และ 10 เท่ากับ 60 จำเป็นต้องสร้างชุดข้อมูลทั้งหมดขึ้นใหม่จากข้อมูลเหล่านี้โดยรู้ว่าเป็นไปตามคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ในการแก้ปัญหา ก่อนอื่นคุณต้องเขียนนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกันสำหรับแต่ละคำศัพท์ที่รู้จัก เรามี: a5 = b4 * a1 และ a10 = b9 * a1 ตอนนี้เราหารนิพจน์ที่สองด้วยนิพจน์แรก เราได้: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 จากที่นี่ เรากำหนดตัวส่วนโดยหารากที่ห้าของอัตราส่วนของเงื่อนไขที่ทราบจากเงื่อนไขของปัญหา b = 1.148698 เราแทนที่จำนวนผลลัพธ์ในนิพจน์หนึ่งสำหรับองค์ประกอบที่รู้จัก เราได้รับ: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966

ดังนั้นเราจึงพบว่าตัวส่วนของความก้าวหน้า bn คืออะไร และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต bn-1 * 17.2304966 = an โดยที่ b = 1.148698

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช้ที่ไหน?

หากไม่มีการประยุกต์ใช้ชุดตัวเลขนี้ในทางปฏิบัติ การศึกษาก็จะลดลงเหลือเพียงความสนใจในเชิงทฤษฎีเท่านั้น แต่มีแอปพลิเคชันดังกล่าว

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุด 3 ตัวอย่าง:

• ความขัดแย้งของ Zeno ซึ่ง Achilles ที่ฉลาดไม่สามารถตามเต่าช้าได้ ได้รับการแก้ไขโดยใช้แนวคิดของลำดับตัวเลขที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
• หากคุณใส่เมล็ดข้าวสาลีลงบนแต่ละตารางของกระดานหมากรุกโดยให้เมล็ดพืช 1 เม็ดวางอยู่ในช่องที่ 1, 2 - ที่ 2, 3 - ที่ 3 เป็นต้น ดังนั้น 18446744073709551615 เม็ดก็จะต้องเติมลงในช่องสี่เหลี่ยมทั้งหมด คณะกรรมการ!
• ในเกม Tower of Hanoi ในการจัดเรียงดิสก์จากคันหนึ่งไปยังอีกคันหนึ่ง คุณต้องดำเนินการ 2n - 1 นั่นคือจำนวนของพวกเขาเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณด้วยจำนวนดิสก์ n ที่ใช้