ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข NSคือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด NS(NS).

เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความนี้ ให้แทนที่ตัวแปร NSตัวเลขใด ๆ เช่น 3 แล้วลองอ่านอีกครั้ง:

ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข 3 คือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด NS(3 ).

เป็นที่ชัดเจนว่าโมดูลไม่มีอะไรมากไปกว่าระยะทางปกติ ลองดูระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด A ( 3 )

ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด A ( 3 ) เท่ากับ 3 (สามหน่วยหรือสามขั้นตอน)

โมดูลัสของตัวเลขแสดงด้วยเส้นแนวตั้งสองเส้น ตัวอย่างเช่น

โมดูลัสของจำนวน 3 แสดงดังนี้: | 3 |

โมดูลัสของจำนวน 4 แสดงดังนี้: | 4 |

โมดูลัสของจำนวน 5 แสดงดังนี้: | 5 |

เรากำลังมองหาโมดูลัสของเลข 3 และพบว่ามันเท่ากับ 3 เราจึงเขียนว่า

มันอ่านเหมือน: "โมดูลัสของเลขสามคือสาม"

ทีนี้ลองหาโมดูลัสของเลข -3 กัน กลับไปที่คำจำกัดความอีกครั้งและแทนที่ตัวเลข -3 เข้าไป แทนจุดเท่านั้น NSใช้จุดใหม่ NS... จุด NSเราได้ใช้ไปแล้วในตัวอย่างแรก

หมายเลขโมดูล - 3 คือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด NS(—3 ).

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้น โมดูลัสของจำนวนลบใดๆ ซึ่งเป็นระยะทาง จะไม่เป็นค่าลบเช่นกัน โมดูลัสของหมายเลข -3 จะเป็นหมายเลข 3 ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด B (-3) ก็เป็นสามหน่วยเช่นกัน:

มันอ่านเหมือน: "โมดูลัสของจำนวนลบสามเท่ากับสาม"

ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข 0 คือ 0 เนื่องจากจุดที่มีพิกัด 0 ตรงกับจุดกำเนิด กล่าวคือ ระยะทางจากต้นทางไปยังจุด โอ (0)เท่ากับศูนย์:

"โมดูลัสศูนย์เป็นศูนย์"

เราได้ข้อสรุป:

• โมดูลัสของตัวเลขไม่สามารถเป็นค่าลบได้
• สำหรับจำนวนบวกและศูนย์ โมดูลัสจะเท่ากับจำนวนนั้นเอง และสำหรับจำนวนลบ จะเป็นจำนวนตรงข้าม
• ตัวเลขตรงข้ามมีโมดูลเท่ากัน

เลขตรงข้าม

เรียกเลขต่างกันแค่เครื่องหมาย ตรงข้าม... ตัวอย่างเช่น ตัวเลข -2 และ 2 อยู่ตรงข้ามกัน พวกเขาต่างกันในสัญญาณเท่านั้น ตัวเลข −2 มีเครื่องหมายลบ และ 2 มีเครื่องหมายบวก แต่เราไม่เห็นมัน เพราะตามปกติแล้ว เครื่องหมายบวกจะไม่ถูกเขียน

ตัวอย่างเพิ่มเติมของตัวเลขตรงข้าม:

ตัวเลขตรงข้ามมีโมดูลเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ลองหาโมดูลสำหรับ −2 และ 2

จากรูปแสดงว่าระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด ก (−2)และ ข (2)เท่ากับสองขั้นตอนเท่ากัน

คุณชอบบทเรียนไหม
เข้าร่วมกลุ่ม Vkontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

เราไม่เลือกคณิตอาชีพของเธอ และเธอเลือกเรา

นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Yu.I. มานิน

สมการที่มีโมดูลัส

โจทย์คณิตศาสตร์ของโรงเรียนที่ยากที่สุดในการแก้ปัญหาคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส ในการแก้สมการดังกล่าวให้สำเร็จ คุณจำเป็นต้องทราบคำจำกัดความและคุณสมบัติพื้นฐานของโมดูล โดยธรรมชาติแล้ว นักเรียนควรมีทักษะในการแก้สมการประเภทนี้

แนวคิดและคุณสมบัติพื้นฐาน

โมดูลัส (ค่าสัมบูรณ์) ของจำนวนจริงหมายถึง และกำหนดไว้ดังนี้

คุณสมบัติอย่างง่ายของโมดูลประกอบด้วยอัตราส่วนต่อไปนี้:

บันทึก, ว่าคุณสมบัติสองประการสุดท้ายนั้นใช้ได้สำหรับระดับคู่ใดๆ

นอกจากนี้ถ้าที่ไหนแล้ว

คุณสมบัติโมดูลที่ซับซ้อนมากขึ้น, ซึ่งสามารถนำไปใช้แก้สมการได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยโมดูล, ถูกกำหนดโดยวิธีทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทที่ 1สำหรับฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ใดๆและ ความไม่เท่าเทียมกันเป็นความจริง

ทฤษฎีบท 2ความเท่าเทียมกันเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน

ทฤษฎีบทที่ 3ความเท่าเทียมกัน เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน.

ลองพิจารณาตัวอย่างทั่วไปของการแก้ปัญหาในหัวข้อ "สมการ, มีตัวแปรภายใต้สัญลักษณ์โมดูล "

การแก้สมการด้วยโมดูลัส

วิธีที่พบมากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนสำหรับการแก้สมการด้วยโมดูลคือวิธี, ขึ้นอยู่กับการขยายตัวของโมดูล วิธีนี้ใช้ได้หลากหลาย, อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไป แอปพลิเคชันนี้อาจนำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยากมาก ทั้งนี้ นิสิตควรทราบเรื่องอื่นๆ, วิธีการและเทคนิคที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการแก้สมการดังกล่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, คุณต้องมีทักษะในการใช้ทฤษฎีบท, ระบุไว้ในบทความนี้

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ. (1)

สารละลาย. สมการ (1) จะได้รับการแก้ไขโดยวิธี "คลาสสิก" - วิธีการขยายโมดูล ในการทำเช่นนี้ เราแยกแกนตัวเลขคะแนนและ เป็นระยะและพิจารณาสามกรณี

1. ถ้า จากนั้น และสมการ (1) อยู่ในรูป จึงเป็นไปตามนั้น. อย่างไรก็ตาม ในที่นี้ ค่าที่พบไม่ใช่รากของสมการ (1)

2. ถ้า จากสมการ (1) เราได้รับหรือ .

ตั้งแต่นั้นมา รากของสมการ (1).

3. ถ้า จากนั้นสมการ (1) ใช้รูปแบบหรือ . สังเกตว่า

ตอบ: , .

เมื่อแก้สมการที่ตามมาด้วยโมดูล เราจะใช้คุณสมบัติของโมดูลอย่างจริงจังเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพในการแก้สมการดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ.

สารละลาย.ตั้งแต่และ แล้วสมการก็หมายความว่า... ในการนี้,,, และสมการจะอยู่ในรูป... จากนี้ไปเราจะได้... แต่ , ดังนั้นสมการเดิมจึงไม่มีราก

คำตอบ: ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ.

สารละลาย.ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ถ้าอย่างนั้น และสมการจะอยู่ในรูป.

จากที่นี่เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ.

สารละลาย.เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบที่เทียบเท่า. (2)

สมการผลลัพธ์เป็นของสมการประเภท

เมื่อพิจารณาจากทฤษฎีบท 2 แล้ว ก็สามารถโต้แย้งได้ว่าสมการ (2) เทียบเท่ากับอสมการ จากที่นี่เราได้รับ

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ.

สารละลาย. สมการนี้มีรูปแบบ... นั่นเป็นเหตุผลที่ ตามทฤษฎีบท 3, เรามีความไม่เท่าเทียมกันหรือ .

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ.

สารละลาย.สมมติว่า. เพราะ , จากนั้นสมการที่กำหนดจะอยู่ในรูปของสมการกำลังสอง, (3)

ที่ไหน ... เนื่องจากสมการ (3) มีรูตบวกเพียงตัวเดียวแล้วก็ ... ดังนั้นเราจึงได้รากที่สองของสมการดั้งเดิม:และ .

ตัวอย่างที่ 7 แก้สมการ. (4)

สารละลาย. เนื่องจากสมการเทียบเท่ากับการรวมกันของสองสมการ:และ , ดังนั้นเมื่อแก้สมการ (4) จำเป็นต้องพิจารณาสองกรณี

1. ถ้า แล้ว หรือ

จากที่นี่เราได้รับและ

2. ถ้าแล้วหรือ

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ตอบ: , , , .

ตัวอย่างที่ 8แก้สมการ . (5)

สารละลาย.นับแต่นั้นเป็นต้นมา จากนี้และจากสมการ (5) เป็นไปตามนั้นและนั่นคือ เรามีระบบสมการ

อย่างไรก็ตาม ระบบสมการนี้ไม่สอดคล้องกัน

คำตอบ: ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 9 แก้สมการ. (6)

สารละลาย.ถ้าเราแสดงว่า แล้ว และจากสมการ (6) เราได้รับ

หรือ . (7)

เนื่องจากสมการ (7) มีรูปแบบ สมการนี้จึงเทียบเท่ากับอสมการ จากที่นี่เราได้รับ ตั้งแต่นั้นมาหรือ.

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 10.แก้สมการ. (8)

สารละลาย.ตามทฤษฎีบท 1 เราสามารถเขียน

(9)

โดยคำนึงถึงสมการ (8) เราสรุปได้ว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งสอง (9) กลายเป็นความเท่าเทียมกันนั่นคือ ระบบสมการถือ

อย่างไรก็ตาม ตามทฤษฎีบทที่ 3 ระบบสมการข้างต้นเทียบเท่ากับระบบอสมการ

(10)

การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน (10) เราได้รับ เนื่องจากระบบอสมการ (10) เทียบเท่ากับสมการ (8) สมการดั้งเดิมจึงมีรากเดียว

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 11 แก้สมการ. (11)

สารละลาย.อนุญาต และจากนั้น ความเสมอภาคจะตามมาจากสมการ (11)

จึงเป็นไปตามนั้นแล. ดังนั้น ที่นี่ เรามีระบบความไม่เท่าเทียมกัน

วิธีแก้ปัญหาของระบบอสมการนี้คือและ .

ตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 12แก้สมการ. (12)

สารละลาย. สมการ (12) จะได้รับการแก้ไขโดยวิธีการขยายโมดูลตามลำดับ ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาหลายกรณี

1. ถ้าอย่างนั้น

1.1. ถ้าแล้วและ,.

1.2. ถ้าอย่างนั้น. แต่ , ดังนั้น ในกรณีนี้ สมการ (12) ไม่มีราก

2. ถ้าอย่างนั้น

2.1. ถ้าแล้วและ,.

2.2. ถ้าแล้วและ.

ตอบ: , , , , .

ตัวอย่างที่ 13แก้สมการ. (13)

สารละลาย.เนื่องจากทางซ้ายของสมการ (13) ไม่เป็นลบ ดังนั้น และ ในเรื่องนี้และสมการ (13)

ใช้แบบฟอร์มหรือ.

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าสมการ เทียบเท่ากับการรวมกันของสองสมการและ , ตัดสินใจว่าเราจะได้อะไร,. เพราะ , จากนั้นสมการ (13) จะมีหนึ่งรูต.

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 14 แก้ระบบสมการ (14)

สารละลาย.ตั้งแต่และจากนั้นและ ดังนั้น จากระบบสมการ (14) เราได้ระบบสมการสี่ระบบ:

รากของระบบสมการข้างต้นคือรากของระบบสมการ (14)

ตอบ: ,, , , , , , .

ตัวอย่างที่ 15 แก้ระบบสมการ (15)

สารละลาย.ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ในเรื่องนี้จากระบบสมการ (15) เราได้สมการสองระบบ

รากของระบบสมการที่หนึ่งคือและ และจากระบบสมการที่สองที่เราได้รับและ

ตอบ: , , , .

ตัวอย่างที่ 16 แก้ระบบสมการ (16)

สารละลาย.จากสมการแรกของระบบ (16) จะได้ว่า

ตั้งแต่นั้นมา ... พิจารณาสมการที่สองของระบบ ตราบเท่าที่, แล้ว , และสมการจะอยู่ในรูป, , หรือ .

ถ้าคุณแทนค่าเข้าสู่สมการแรกของระบบ (16)จากนั้นหรือ.

ตอบ: , .

เพื่อศึกษาวิธีการแก้ปัญหาอย่างลึกซึ้ง, เกี่ยวข้องกับการแก้สมการ, มีตัวแปรภายใต้สัญลักษณ์โมดูล, คุณสามารถแนะนำบทช่วยสอนจากรายการการอ่านที่แนะนำ

1. รวบรวมโจทย์คณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้าวิทยาลัยเทคนิค / อ.อ. เอ็มไอ สกานาวี - ม.: สันติภาพและการศึกษา, 2556 .-- 608 น.

2. สุพรรณ ว. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย : ปัญหาความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น - ม.: KD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 200 น.

3. สุพรรณ ว. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: วิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน - ม.: KD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 296 น.

ยังมีคำถาม?

หากต้องการความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

หนึ่งในหัวข้อที่ยากที่สุดสำหรับนักเรียนคือการแก้สมการที่มีตัวแปรภายใต้เครื่องหมายโมดูลัส ลองคิดดูก่อนว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับอะไร? ตัวอย่างเช่น เหตุใด สมการกำลังสองจึงให้เด็กส่วนใหญ่คลิกเหมือนถั่ว และด้วยแนวคิดที่ห่างไกลจากแนวคิดที่ซับซ้อนเช่นโมดูล มันจึงมีปัญหามากมาย

ในความคิดของฉัน ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการขาดกฎเกณฑ์ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนสำหรับการแก้สมการด้วยโมดูลัส ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสอง นักเรียนรู้แน่ชัดว่าเขาต้องการใช้สูตรจำแนกแยกแยะก่อน แล้วตามด้วยสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง แต่ถ้ามีโมดูลในสมการล่ะ? เราจะพยายามอธิบายแผนปฏิบัติการที่จำเป็นสำหรับกรณีนี้อย่างชัดเจนเมื่อสมการมีค่าที่ไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายโมดูลัส นี่คือตัวอย่างบางส่วนสำหรับแต่ละกรณี

แต่ก่อนอื่นมาจำไว้ คำจำกัดความของโมดูล... ดังนั้น โมดูลัสของจำนวน NSหมายเลขนี้เรียกว่า if NSไม่เป็นลบและ -NSถ้าตัวเลข NSน้อยกว่าศูนย์ คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

| ก | = a ถ้า a ≥ 0 และ | a | = -a ถ้า a< 0

เมื่อพูดถึงความรู้สึกทางเรขาคณิตของโมดูล ควรจำไว้ว่าแต่ละจำนวนจริงสอดคล้องกับจุดหนึ่งบนแกนตัวเลข - k ของมัน ประสานงาน. ดังนั้น โมดูลัสหรือค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขคือระยะห่างจากจุดนี้ไปยังจุดกำเนิดของแกนตัวเลข ระยะทางจะถูกระบุเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนลบใดๆ จึงเป็นจำนวนบวก อย่างไรก็ตาม แม้ในขั้นตอนนี้ นักเรียนหลายคนเริ่มสับสน ตัวเลขใดๆ สามารถอยู่ในโมดูลได้ แต่ผลลัพธ์ของการใช้โมดูลจะเป็นจำนวนบวกเสมอ

ทีนี้มาดูการแก้สมการกัน

1. พิจารณาสมการของรูปแบบ | x | = c โดยที่ c เป็นจำนวนจริง สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้นิยามโมดูลัส

เราแบ่งจำนวนจริงทั้งหมดออกเป็นสามกลุ่ม: จำนวนที่มากกว่าศูนย์ จำนวนที่น้อยกว่าศูนย์ และกลุ่มที่สามคือจำนวน 0 มาเขียนคำตอบในรูปแบบของไดอะแกรมกัน:

(± c ถ้า c> 0

ถ้า | x | = c แล้ว x = (0 ถ้า c = 0

(ไม่มีรากถ้ามี< 0

1) | x | = 5 เพราะ 5> 0 จากนั้น x = ± 5;

2) | x | = -5, เพราะ -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | = 0 จากนั้น x = 0

2. สมการของรูปแบบ | f (x) | = b โดยที่ b> 0 ในการแก้สมการนี้ จำเป็นต้องกำจัดโมดูลัส เราทำแบบนี้: f (x) = b หรือ f (x) = -b ตอนนี้จำเป็นต้องแก้สมการที่ได้รับแต่ละสมการแยกกัน ถ้าอยู่ในสมการเดิม b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4 เพราะ 4> 0 แล้วก็

x + 2 = 4 หรือ x + 2 = -4

2) | x 2 - 5 | = 11 เพราะ 11> 0 แล้วก็

x 2 - 5 = 11 หรือ x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ไม่มีราก

3) | x 2 - 5x | = -8, เพราะ -แปด< 0, то уравнение не имеет корней.

3. สมการของรูปแบบ | f (x) | = ก. (x) ภายในความหมายของโมดูล สมการดังกล่าวจะมีคำตอบหากด้านขวามือมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ g (x) ≥ 0 จากนั้นเราจะได้:

ฉ (x) = ก. (x)หรือ ฉ (x) = -g (x).

1) | 2x - 1 | = 5x - 10. สมการนี้จะมีรากถ้า 5x - 10 ≥ 0 จากนี้เองที่การแก้สมการดังกล่าวเริ่มต้นขึ้น

1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. วิธีแก้ปัญหา:

2x - 1 = 5x - 10 หรือ 2x - 1 = - (5x - 10)

3. เรารวม ODZ และวิธีแก้ปัญหา เราได้รับ:

ราก x = 11/7 ไม่พอดีตาม O.D.Z. มันน้อยกว่า 2 และ x = 3 ตรงตามเงื่อนไขนี้

คำตอบ: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - x 2

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0 เราแก้อสมการนี้โดยวิธีช่วงเวลา:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. วิธีแก้ปัญหา:

x - 1 = 1 - x 2 หรือ x - 1 = - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 หรือ x = 1 x = 0 หรือ x = 1

3. เรารวมโซลูชันและ ODZ:

เฉพาะราก x = 1 และ x = 0 เท่านั้นที่เหมาะสม

คำตอบ: x = 0, x = 1

4. สมการของรูปแบบ | f (x) | = | ก. (x) |. สมการนี้เทียบเท่ากับสมการสองสมการต่อไปนี้ f (x) = g (x) หรือ f (x) = -g (x)

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. สมการนี้เทียบเท่ากับสองต่อไปนี้:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 หรือ x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 หรือ x = 4 x = 2 หรือ x = 1

คำตอบ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4

5. สมการที่แก้โดยวิธีการแทนค่า (Variable Change) วิธีการแก้ปัญหานี้ง่ายที่สุดที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างเฉพาะ ดังนั้น ให้สมการกำลังสองที่มีโมดูลัส:

x 2 - 6 | x | + 5 = 0 โดยคุณสมบัติของโมดูล x 2 = | x | 2 จึงสามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้

| x | 2 - 6 | x | + 5 = 0 ให้เราแทนที่ | x | = t ≥ 0 จากนั้นเราจะได้:

t 2 - 6t + 5 = 0 การแก้สมการนี้ จะได้ว่า t = 1 หรือ t = 5 กลับไปที่การแทนที่:

| x | = 1 หรือ | x | = 5

x = ± 1 x = ± 5

คำตอบ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง:

x 2 + | x | - 2 = 0 โดยคุณสมบัติของโมดูล x 2 = | x | 2 ดังนั้น

| x | 2 + | x | - 2 = 0 ให้เราแทนที่ | x | = t ≥ 0 แล้ว:

เสื้อ 2 + เสื้อ - 2 = 0 การแก้สมการนี้ เราได้ t = -2 หรือ t = 1 กลับไปที่การแทนที่:

| x | = -2 หรือ | x | = 1

ไม่มีราก x = ± 1

คำตอบ: x = -1, x = 1

6. สมการอีกประเภทหนึ่งคือสมการที่มีโมดูลัส "ซับซ้อน" สมการเหล่านี้รวมถึงสมการที่มี "โมดูลในโมดูล" สมการประเภทนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติของโมดูล

1) | 3 - | x || = 4 เราจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับสมการประเภทที่สอง เพราะ 4> 0 แล้วเราจะได้สองสมการ:

3 - | x | = 4 หรือ 3 - | x | = -4.

ตอนนี้เราแสดงโมดูลัส x ในแต่ละสมการแล้ว | x | = -1 หรือ | x | = 7

เราแก้สมการที่ได้รับแต่ละสมการ ไม่มีรากในสมการแรกเพราะ -1< 0, а во втором x = ±7.

คำตอบคือ x = -7, x = 7

2) | 3 + | x + 1 || = 5. เราแก้สมการนี้ด้วยวิธีเดียวกัน:

3 + | x + 1 | = 5 หรือ 3 + | x + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 หรือ x + 1 = -2 ไม่มีราก

คำตอบ: x = -3, x = 1

นอกจากนี้ยังมีวิธีสากลในการแก้สมการด้วยโมดูลัส นี่คือวิธีการเว้นวรรค แต่เราจะพิจารณาในภายหลัง

ไซต์ blog. ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

เครื่องคำนวณคณิตศาสตร์ออนไลน์นี้จะช่วยคุณ แก้สมการหรืออสมการด้วยมอดูลิ... โปรแกรมสำหรับ คำตอบของสมการและอสมการด้วยมอดูลิไม่ได้ให้เพียงคำตอบของปัญหา แต่ยังให้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย, เช่น. แสดงขั้นตอนการรับผล

โปรแกรมนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายในการเตรียมตัวสำหรับการทดสอบและการสอบ เมื่อตรวจสอบความรู้ก่อนสอบ เพื่อให้ผู้ปกครองควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างติวเตอร์หรือซื้อหนังสือเรียนเล่มใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้คุณสามารถดำเนินการสอนและ / หรือการสอนของน้อง ๆ ของคุณเองได้ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านปัญหาที่กำลังแก้ไขเพิ่มขึ้น

ป้อนสมการหรืออสมการด้วยโมดูล

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
บางทีคุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชหน้า

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาที วิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
กรุณารอ วินาที ...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการตัดสินใจจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับสิ่งนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจและอะไร เข้าทุ่ง.

เกม, ปริศนา, อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

สมการและอสมการกับโมดูล

ในหลักสูตรพีชคณิตในโรงเรียนขั้นพื้นฐาน คุณอาจพบสมการและความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุดกับโมดูล ในการแก้ปัญหา คุณสามารถใช้วิธีทางเรขาคณิตโดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่า \ (| xa | \) คือระยะห่างบนเส้นจำนวนระหว่างจุด x และ a: \ (| xa | = \ rho (x; \; a ) \) ตัวอย่างเช่น ในการแก้สมการ \ (| x-3 | = 2 \) คุณต้องหาจุดบนเส้นจำนวนที่อยู่ห่างจากจุดที่ 3 เท่ากับ 2 โดยมีสองจุดดังกล่าว: \ (x_1 = 1 \) และ \ (x_2 = 5 \) ...

การแก้ความไม่เท่าเทียมกัน \ (| 2x + 7 |

แต่วิธีหลักในการแก้สมการและความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลนั้นเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่า "การขยายโมดูลตามคำจำกัดความ":
ถ้า \ (a \ geq 0 \) แล้ว \ (| a | = a \);
ถ้า \ (a ตามกฎแล้ว สมการ (อสมการ) กับโมดูลัสจะลดลงเป็นชุดของสมการ (อสมการ) ที่ไม่มีเครื่องหมายโมดูลัส

นอกเหนือจากคำจำกัดความที่ระบุแล้ว ยังมีการใช้คำสั่งต่อไปนี้:
1) ถ้า \ (c> 0 \) แสดงว่าสมการ \ (| f (x) | = c \) เท่ากับชุดของสมการ: \ (\ left [\ start (array) (l) f (x ) = c \\ f (x) = - c \ end (array) \ right. \)
2) ถ้า \ (c> 0 \) ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกัน \ (| f (x) | 3) ถ้า \ (c \ geq 0 \) ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกัน \ (| f (x) |> c \) คือ เทียบเท่ากับเซตของอสมการ : \ (\ left [\ start (array) (l) f (x) c \ end (array) \ right. \)
4) ถ้าทั้งสองข้างของอสมการ \ (f (x) ตัวอย่าง 1. แก้สมการ \ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 = 0 \)

ถ้า \ (x-1 \ geq 0 \) แล้ว \ (| x-1 | = x-1 \) และสมการที่กำหนดจะใช้รูปแบบ
\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 = 0 \ ลูกศรขวา x ^ 2 + 2x -8 = 0 \)
ถ้า \ (x-1 \ (x ^ 2 -2 -2 (x-1) -6 = 0 \ ลูกศรขวา x ^ 2 -2x -4 = 0 \)
ดังนั้น ควรพิจารณาสมการที่กำหนดแยกกันในแต่ละกรณีที่ระบุไว้
1) ให้ \ (x-1 \ geq 0 \) เช่น \ (x \ geq 1 \) จากสมการ \ (x ^ 2 + 2x -8 = 0 \) เราพบ \ (x_1 = 2, \; x_2 = -4 \) เงื่อนไข \ (x \ geq 1 \) เป็นไปตามค่า \ (x_1 = 2 \) เท่านั้น
2) ให้ \ (x-1 คำตอบ: \ (2; \; \; 1- \ sqrt (5) \)

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ \ (| x ^ 2-6x + 7 | = \ frac (5x-9) (3) \)

วิธีแรก(การขยายโมดูลตามคำจำกัดความ)
การโต้เถียงในตัวอย่างที่ 1 เราได้ข้อสรุปว่าต้องพิจารณาสมการที่กำหนดแยกกันหากตรงตามเงื่อนไขสองประการ: \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) หรือ \ (x ^ 2-6x + 7

1) ถ้า \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) แล้ว \ (| x ^ 2-6x + 7 | = x ^ 2-6x + 7 \) และสมการที่กำหนดอยู่ในรูปแบบ \ (x ^ 2 -6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \ ลูกศรขวา 3x ^ 2-23x + 30 = 0 \) เมื่อแก้สมการกำลังสองนี้แล้ว เราจะได้: \ (x_1 = 6, \; x_2 = \ frac (5) (3) \)
ให้เราหาว่าค่า \ (x_1 = 6 \) เป็นไปตามเงื่อนไข \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) หรือไม่ ในการทำเช่นนี้ เราแทนที่ค่าที่ระบุในอสมการกำลังสอง เราได้รับ: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \) เช่น \ (7 \ geq 0 \) เป็นอสมการที่แท้จริง ดังนั้น \ (x_1 = 6 \) จึงเป็นรากของสมการที่กำหนด
ให้เราค้นหาว่าค่า \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) เป็นไปตามเงื่อนไข \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) หรือไม่ ในการทำเช่นนี้ เราแทนที่ค่าที่ระบุในอสมการกำลังสอง เราได้รับ: \ (\ left (\ frac (5) (3) \ right) ^ 2 - \ frac (5) (3) \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \) เช่น \ (\ frac (25) (9) -3 \ geq 0 \) - อสมการที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้น \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) ไม่ใช่รากของสมการที่กำหนด

2) ถ้า \ (x ^ 2-6x + 7 ค่า \ (x_3 = 3 \) เป็นไปตามเงื่อนไข \ (x ^ 2-6x + 7 ค่า \ (x_4 = \ frac (4) (3) \) ไม่เป็นไปตาม เงื่อนไข \ (x ^ 2-6x + 7 ดังนั้น สมการที่กำหนดมีสองราก: \ (x = 6, \; x = 3 \)

วิธีที่สองหากให้สมการ \ (| f (x) | = h (x) \) ดังนั้นสำหรับ \ (h (x) \ (\ left [\ start (array) (l) x ^ 2-6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \\ x ^ 2-6x + 7 = - \ frac (5x-9) (3) \ end (array) \ right. \)
สมการทั้งสองนี้ได้รับการแก้ไขแล้วข้างต้น (ในวิธีแรกในการแก้สมการที่กำหนด) รากของสมการมีดังนี้: \ (6, \; \ frac (5) (3), \; 3, \; \ frac (4 ) (3) \) เงื่อนไข \ (\ frac (5x-9) (3) \ geq 0 \) ของค่าสี่ค่านี้มีเพียงสองค่าเท่านั้น: 6 และ 3 ดังนั้นสมการที่กำหนดมีสองราก: \ (x = 6, \; x = 3 \ )

วิธีที่สาม(กราฟิก).
1) ลองพล็อตฟังก์ชัน \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \) ขั้นแรก สร้างพาราโบลา \ (y = x ^ 2-6x + 7 \) เรามี \ (x ^ 2-6x + 7 = (x-3) ^ 2-2 \) กราฟของฟังก์ชัน \ (y = (x-3) ^ 2-2 \) สามารถรับได้จากกราฟของฟังก์ชัน \ (y = x ^ 2 \) โดยเลื่อนไปทางขวา 3 หน่วยมาตราส่วน แกน x) และลดลง 2 หน่วย (บนแกน y) เส้นตรง x = 3 คือแกนของพาราโบลาที่เราสนใจ สะดวกในการใช้จุด (3; -2) - จุดยอดของพาราโบลา จุด (0; 7) และจุด (6; 7) ที่สมมาตรเมื่อเทียบกับแกนพาราโบลาเป็นจุดควบคุม เพื่อการพล็อตที่แม่นยำยิ่งขึ้น กราฟ
ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชัน \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \) คุณต้องไม่เปลี่ยนแปลงส่วนต่างๆ ของพาราโบลาที่สร้างขึ้นซึ่งไม่ได้อยู่ใต้แกน x และสะท้อนส่วนของ พาราโบลาที่อยู่ใต้แกน x รอบแกน x
2) มาสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น \ (y = \ frac (5x-9) (3) \) สะดวกในการใช้จุด (0; –3) และ (3; 2) เป็นจุดควบคุม

จุด x = 1.8 จุดตัดของเส้นตรงที่มีแกน abscissa จะต้องอยู่ทางด้านขวาของจุดด้านซ้ายของจุดตัดของพาราโบลาที่มีแกน abscissa - นี่คือจุด \ (x = 3- \ sqrt ( 2) \) (ตั้งแต่ \ (3- \ sqrt (2 ) 3) ตัดสินโดยการวาดภาพ กราฟตัดกันที่จุดสองจุด - A (3; 2) และ B (6; 7) แทนที่จุดตัดของจุดเหล่านี้ x = 3 และ x = 6 ในสมการที่กำหนด เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าสำหรับค่าอื่นทั้งสองให้ค่าความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราได้รับการยืนยันแล้ว - สมการมีสองราก: x = 3 และ x = 6 คำตอบ: 3; 6.

ความคิดเห็น... วิธีการแบบกราฟิกสำหรับความสง่างามทั้งหมดนั้นไม่น่าเชื่อถือมาก ในตัวอย่างข้างต้น วิธีนี้ใช้ได้เพราะว่ารากของสมการเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ \ (| 2x-4 | + | x + 3 | = 8 \)

วิธีแรก
นิพจน์ 2x – 4 คือ 0 ที่ x = 2 และนิพจน์ x + 3 อยู่ที่ x = –3 จุดสองจุดนี้แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามช่วง: \ (x

พิจารณาช่วงแรก: \ ((- \ infty; \; -3) \)
ถ้า x พิจารณาช่วงที่สอง: \ ([- 3; \; 2) \)
ถ้า \ (- 3 \ leq x พิจารณาช่วงที่สาม: \ ()