ลูกเต๋าออนไลน์ เครื่องกำเนิดลูกเต๋าที่สะดวก

ข้อดีของเครื่องกำเนิดลูกเต๋าออนไลน์เหนือลูกเต๋าธรรมดานั้นชัดเจน - มันจะไม่หลงทาง! คิวบ์เสมือนจริงจะรับมือกับหน้าที่ของมันได้ดีกว่าคิวบ์จริงมาก - การบิดเบือนผลลัพธ์นั้นถูกละเว้นอย่างสมบูรณ์และมีเพียงความหวังสำหรับโอกาสของพระองค์เท่านั้น ลูกเต๋าออนไลน์เป็นความบันเทิงที่ยอดเยี่ยมในเวลาว่างของคุณ การสร้างผลลัพธ์ใช้เวลาสามวินาที กระตุ้นความตื่นเต้นและความสนใจของผู้เล่น ในการจำลองการทอยลูกเต๋า คุณเพียงแค่กดปุ่ม "1" บนแป้นพิมพ์ ซึ่งจะช่วยให้คุณไม่วอกแวก เช่น จากเกมกระดานที่น่าตื่นเต้น

จำนวนลูกเต๋า:

โปรดช่วยบริการด้วยคลิกเดียว:บอกเพื่อนของคุณเกี่ยวกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า!

เมื่อเราได้ยินวลีเช่น "ลูกเต๋า" สมาคมคาสิโนก็มาถึงทันที ซึ่งพวกเขาทำไม่ได้หากไม่มีพวกเขา เริ่มต้นด้วย ให้จำไว้ว่าวัตถุนี้คืออะไร

ลูกเต๋าเป็นลูกบาศก์ในแต่ละขอบซึ่งมีจุดแทนตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 เมื่อเราโยนมันออกไปเรามีความหวังว่ามันจะเป็นตัวเลขที่เราคิดและปรารถนาเสมอ แต่มีบางครั้งที่ลูกบาศก์ตกขอบไม่แสดงตัวเลข ซึ่งหมายความว่าคนที่โยนเพื่อเลือกใครก็ได้

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่ลูกบาศก์สามารถม้วนอยู่ใต้เตียงหรือตู้เสื้อผ้า และเมื่อนำออกจากที่นั่น จำนวนจะเปลี่ยนไปตามนั้น ในกรณีนี้กระดูกจะถูกโยนอีกครั้งเพื่อให้ทุกคนเห็นตัวเลขได้ชัดเจน

ทอยลูกเต๋าออนไลน์ใน 1 คลิก

ในเกมที่มีลูกเต๋าธรรมดามันง่ายมากที่จะโกง เพื่อให้ได้ตัวเลขที่ต้องการ คุณต้องวางลูกบาศก์ด้านนี้ไว้ด้านบนแล้วบิดให้เหมือนเดิม (เฉพาะส่วนด้านข้างเท่านั้นที่หมุน) นี่คือการรับประกันที่ไม่สมบูรณ์ แต่เปอร์เซ็นต์ที่ชนะจะเป็น 75 เปอร์เซ็นต์

หากคุณใช้ลูกเต๋าสองลูก โอกาสจะลดลงเหลือสามสิบ แต่นี่ไม่ใช่เปอร์เซ็นต์เล็กน้อย เนื่องจากการฉ้อโกง แคมเปญผู้เล่นจำนวนมากไม่ชอบใช้ลูกเต๋า

อันที่จริง บริการที่ยอดเยี่ยมของเราทำงานเพื่อหลีกเลี่ยงสถานการณ์ดังกล่าว เป็นไปไม่ได้ที่จะโกงกับเราเนื่องจากการทอยลูกเต๋าออนไลน์ไม่สามารถปลอมแปลงได้ ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 จะปรากฏบนหน้าในลักษณะสุ่มโดยสมบูรณ์และควบคุมไม่ได้

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าที่สะดวก

ข้อได้เปรียบที่ใหญ่มากคือเครื่องกำเนิดลูกเต๋าออนไลน์ไม่สามารถสูญหายได้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากสามารถคั่นหน้าได้) และลูกเต๋าเล็ก ๆ ธรรมดาสามารถหายไปที่ไหนสักแห่งได้อย่างง่ายดาย นอกจากนี้ข้อดีอย่างมากก็คือความจริงที่ว่าการจัดการผลลัพธ์นั้นไม่ได้รับการยกเว้นอย่างสมบูรณ์ เครื่องกำเนิดมีฟังก์ชั่นที่ให้คุณเลือกลูกเต๋าหนึ่งถึงสามตัวที่จะทอยในเวลาเดียวกัน

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าออนไลน์เป็นความบันเทิงที่น่าสนใจมาก ซึ่งเป็นหนึ่งในวิธีในการพัฒนาสัญชาตญาณ ใช้บริการของเราและรับผลลัพธ์ที่รวดเร็วและเชื่อถือได้

รูปแบบที่พบบ่อยที่สุดอยู่ในรูปของลูกบาศก์ซึ่งแต่ละด้านจะแสดงตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงหก ผู้เล่นที่ขว้างมันลงบนพื้นราบเห็นผลที่ขอบด้านบน กระดูกเป็นกระบอกเสียงจริงสำหรับโอกาส โชคดี หรือโชคร้าย

ความบังเอิญ
ก้อน (กระดูก) มีมาเป็นเวลานาน แต่พวกมันได้รูปลักษณ์ดั้งเดิมที่มีหกด้านประมาณ 2600 ปีก่อนคริสตกาล อี ชาวกรีกโบราณชอบเล่นลูกเต๋า และในตำนานของพวกเขา วีรบุรุษ Palamed ซึ่งถูกกล่าวหาว่าทรยศโดย Odysseus อย่างไม่ยุติธรรมนั้นถูกเรียกว่าเป็นผู้ประดิษฐ์ ตามตำนานเล่าขาน เขาคิดค้นเกมนี้เพื่อสร้างความบันเทิงให้กับทหารที่ล้อมเมืองทรอย โดยถูกม้าไม้ตัวใหญ่จับตัวไป ชาวโรมันในช่วงเวลาของ Julius Caesar ยังสนุกสนานกับเกมลูกเต๋าที่หลากหลาย ในภาษาละติน ลูกบาศก์ถูกเรียกว่า datum ซึ่งแปลว่า "ให้"

ข้อห้าม
ในยุคกลาง ราวศตวรรษที่ 12 เกมลูกเต๋าได้รับความนิยมอย่างมากในยุโรป: ลูกบาศก์ซึ่งสามารถนำติดตัวไปได้ทุกที่ เป็นที่นิยมของทั้งนักรบและชาวนา ว่ากันว่ามีมากกว่าหกร้อยเกมที่แตกต่างกัน! การผลิตลูกเต๋ากลายเป็นอาชีพที่แยกจากกัน พระเจ้าหลุยส์ที่ 9 (ค.ศ. 1214-1270) เสด็จกลับจากสงครามครูเสด ไม่เห็นด้วยกับการพนัน และสั่งห้ามการผลิตลูกเต๋าทั่วทั้งราชอาณาจักร มากกว่าตัวเกมเอง เจ้าหน้าที่ไม่พอใจกับการจลาจลที่เกี่ยวข้อง - จากนั้นพวกเขาเล่นเป็นหลักในโรงเตี๊ยม และฝ่ายต่างๆ มักจะจบลงด้วยการต่อสู้และการแทง แต่ไม่มีข้อห้ามใดที่ขัดขวางไม่ให้ลูกเต๋ารอดชีวิตมาได้จนถึงทุกวันนี้

กระดูกที่มี "ประจุ"!
ผลลัพธ์ของการทอยลูกเต๋ามักจะสุ่มเสมอ แต่คนขี้โกงบางคนพยายามเปลี่ยนสิ่งนั้น โดยการเจาะรูในลูกบาศก์แล้วเทตะกั่วหรือปรอทลงไป คุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกันทุกครั้งที่โยน ลูกบาศก์ดังกล่าวเรียกว่า "ชาร์จ" ที่ทำจากวัสดุต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น ทอง หิน คริสตัล กระดูก ลูกเต๋า ก็สามารถมีรูปร่างต่างกันได้ ลูกเต๋าขนาดเล็กที่มีรูปร่างเป็นปิรามิด (จัตุรมุข) ถูกพบในสุสานของฟาโรห์อียิปต์ที่สร้างปิรามิดขนาดใหญ่! หลายครั้ง กระดูกถูกสร้างขึ้นด้วย 8, 10, 12, 20 และ 100 ด้าน โดยปกติแล้วจะใช้ตัวเลขกับพวกเขา แต่ตัวอักษรหรือรูปภาพอาจปรากฏขึ้นแทนทำให้มีที่ว่างสำหรับจินตนาการ

วิธีการทอยลูกเต๋า.
ลูกเต๋าไม่เพียงแต่มีรูปร่างที่แตกต่างกันเท่านั้น แต่ยังมีวิธีการเล่นที่แตกต่างกันอีกด้วย บางเกมต้องการให้คุณทอยในลักษณะที่แน่นอน ปกติเพื่อหลีกเลี่ยงการทอยที่คำนวณได้ หรือเพื่อป้องกันไม่ให้ดายหยุดในท่าเอียง บางครั้งมีแก้วพิเศษติดอยู่เพื่อหลีกเลี่ยงการถูกโกงหรือตกจากโต๊ะ ในเกมเครปภาษาอังกฤษ ลูกเต๋าทั้งสามลูกต้องตีโต๊ะเกมหรือกำแพงเพื่อป้องกันไม่ให้คนขี้โกงแกล้งโยนโดยเพียงแค่ขยับลูกเต๋าแต่ไม่หมุนลูกเต๋า

ความสุ่มและความน่าจะเป็น
การตายจะให้ผลลัพธ์แบบสุ่มที่ไม่สามารถคาดเดาได้เสมอ ด้วยการตายครั้งเดียว ผู้เล่นมีโอกาสหมุน 1 เท่ากันกับที่เขาทำ 6 - ทุกอย่างถูกกำหนดโดยบังเอิญ ในทางตรงกันข้ามกับลูกเต๋าสองลูก ระดับของการสุ่มจะลดลง เนื่องจากผู้เล่นมีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลลัพธ์: ตัวอย่างเช่น ลูกเต๋าสองลูก สามารถรับหมายเลข 7 ได้หลายวิธี - โดยการโยน 1 และ 6, 5 และ 2 หรือ 4 และ 3 ... แต่โอกาสที่จะได้หมายเลข 2 มีเพียงหนึ่งเดียว: หมุนสองครั้ง 1 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ 7 นั้นสูงกว่าการได้ 2! นี่เรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น หลายเกมเกี่ยวข้องกับหลักการนี้ โดยเฉพาะเกมเงินสด

เกี่ยวกับการใช้ลูกเต๋า
ลูกเต๋าสามารถเป็นเกมที่เป็นอิสระโดยไม่มีองค์ประกอบอื่น สิ่งเดียวที่แทบไม่มีอยู่จริงคือเกมสำหรับคิวบ์เดียว กฎเกณฑ์ต้องมีอย่างน้อยสองข้อ (เช่น เครป) ในการเล่นลูกเต๋าโป๊กเกอร์ คุณต้องมีลูกเต๋า 5 ลูก ปากกา และกระดาษ เป้าหมายคือการเติมชุดค่าผสมที่คล้ายกับการรวมกันของเกมไพ่ที่มีชื่อเดียวกันโดยเขียนคะแนนสำหรับพวกเขาลงในตารางพิเศษ นอกจากนี้ คิวบ์ยังเป็นส่วนยอดนิยมสำหรับเกมกระดาน ทำให้คุณสามารถย้ายชิปหรือตัดสินผลลัพธ์ของการต่อสู้ในเกมได้

หล่อตายแล้ว
ใน 49 ปีก่อนคริสตกาล อี Julius Caesar วัยเยาว์เอาชนะกอลและกลับไปที่ปอมเปอี แต่อำนาจของเขาทำให้เกิดความกังวลในหมู่สมาชิกวุฒิสภาที่ตัดสินใจยุบกองทัพก่อนที่เขาจะกลับมา จักรพรรดิในอนาคตเมื่อมาถึงชายแดนของสาธารณรัฐตัดสินใจที่จะฝ่าฝืนคำสั่งโดยข้ามกับกองทัพ ก่อนข้ามแม่น้ำ Rubicon (แม่น้ำที่เป็นพรมแดน) เขาออกเสียงว่า “Alea jacta est” (“ล็อตถูกโยน”) ต่อหน้ากองทหารของเขา ภาษิตนี้กลายเป็นวลีที่จับได้ ความหมายก็คือ ในเกมหลังจากตัดสินใจบางอย่างแล้ว จะไม่สามารถย้อนกลับได้อีกต่อไป

วิธีการแต่งเพลงด้วยข้อความเสียงหลวม เนื่องจากวิธีการแต่งเพลงที่เป็นอิสระได้ก่อตัวขึ้นในศตวรรษที่ XX ก. หมายถึงการปฏิเสธผู้แต่งทั้งหมดหรือบางส่วนจากการควบคุมอย่างเข้มงวดเหนือข้อความดนตรี หรือแม้แต่การกำจัดประเภทผู้แต่ง-ผู้แต่งในความหมายดั้งเดิม นวัตกรรมของ A. อยู่ที่การเชื่อมโยงองค์ประกอบที่มั่นคงของข้อความดนตรีที่มีการสุ่มนำโดยเจตนา การเคลื่อนไหวตามอำเภอใจของเรื่องดนตรี แนวคิดของ ก. สามารถอ้างถึงทั้งการจัดเรียงทั่วไปของส่วนต่าง ๆ ของบทความ (ในรูปแบบ) และโครงสร้างของโครงสร้าง ตามที่อี เดนิซอฟปฏิสัมพันธ์ระหว่างความมั่นคงและการเคลื่อนที่ของเนื้อเยื่อและรูปร่างทำให้เกิดการรวมกัน 4 ประเภทหลัก โดยสามประเภทคือ - ที่ 2, 3 และ 4 - เป็นสัตว์น้ำ: 1. เนื้อเยื่อที่เสถียร - รูปร่างคงที่ (องค์ประกอบดั้งเดิม, บทประพันธ์ perfectum et absolutum; สำหรับ ตัวอย่าง 6 ซิมโฟนีแห่งไชคอฟสกี); 2. ผ้ามีเสถียรภาพ - รูปร่างมือถือ; ตาม V. Lutoslavs “A. แบบฟอร์ม” (P. Boulez, โซนาตาที่ 3 สำหรับเปียโน, 2500); 3. เนื้อผ้าสามารถเคลื่อนย้ายได้ - รูปทรงมั่นคง หรือตาม Lutoslavsky "A. พื้นผิว” (Lutoslawski, String Quartet, 1964, Main Movement); 4. ผ้าเป็นแบบเคลื่อนที่ได้ - แบบเคลื่อนที่ได้ หรือ “ก. กรง "(ด้วยการแสดงด้นสดโดยรวมของนักแสดงหลายคน) นี่คือจุดสำคัญของวิธี A. ซึ่งมีหลายประเภทและกรณีเฉพาะของโครงสร้างที่แตกต่างกันหลายระดับการแช่ใน A.; นอกจากนี้ metabolols ("modulations") ก็เป็นธรรมชาติเช่นกัน - การเปลี่ยนจากประเภทหนึ่งไปเป็นอีกประเภทหนึ่งรวมถึงข้อความที่เสถียรหรือจากมัน

ก. เริ่มแพร่หลายตั้งแต่คริสต์ทศวรรษ 1950 โดยปรากฏตัว (ร่วมกับ เกี่ยวกับเสียง)โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปฏิกิริยาต่อการตกเป็นทาสอย่างรุนแรงของโครงสร้างทางดนตรีในอนุกรมนิยมแบบหลายพารามิเตอร์ (ดู: โดเดคาโฟนี).ในขณะเดียวกัน หลักการของเสรีภาพในโครงสร้างไม่ทางใดก็ทางหนึ่งก็มีรากฐานมาแต่โบราณ โดยพื้นฐานแล้ว ดนตรีพื้นบ้านเป็นกระแสเสียง ไม่ใช่บทประพันธ์ที่มีโครงสร้างเฉพาะตัว ดังนั้นความไม่แน่นอน "ไม่ยอมรับ" ของดนตรีพื้นบ้านความแปรปรวนความแปรปรวนและการด้นสดในนั้น รูปแบบที่ไม่พึงปรารถนาและปรับเปลี่ยนได้เป็นลักษณะเฉพาะของดนตรีพื้นเมืองของอินเดีย ชนชาติตะวันออกไกล แอฟริกา ดังนั้นตัวแทนของ A. จึงต้องพึ่งพาหลักการสำคัญของดนตรีตะวันออกและพื้นบ้านอย่างมีสติ องค์ประกอบของ A. ยังมีอยู่ในดนตรีคลาสสิกของยุโรป ตัวอย่างเช่น ในบรรดาคลาสสิกเวียนนาที่ขจัดหลักการของเบสทั่วไปและทำให้ข้อความดนตรีมีความเสถียรอย่างสมบูรณ์ (ซิมโฟนีและควอเตตโดย I. Haydn) ความแตกต่างที่คมชัดคือ "cadenza" ในรูปแบบของคอนเสิร์ตบรรเลง - อัจฉริยะ โซโลส่วนที่ผู้แต่งไม่ได้แต่ง แต่ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของนักแสดง (องค์ประกอบแบบฟอร์ม A.) วิธีการแต่งเพลง "aleatoric" ที่เป็นที่รู้จักในการเขียนชิ้นง่ายๆ (นาที) โดยการรวมชิ้นส่วนของเพลงบนลูกเต๋า (Würfelspiel) ในสมัยของ Haydn และ Mozart (บทประพันธ์ IF Kirnberger "เมื่อใดก็ได้ นักแต่งเพลง polonaises และ minuets ที่พร้อม" เบอร์ลิน, 1757 ).

ในศตวรรษที่ XX หลักการของ "โครงการส่วนบุคคล" ในรูปแบบเริ่มแนะนำการยอมรับของงานที่เป็นข้อความ (เช่น A.) ในปี พ.ศ. 2450 นักแต่งเพลงชาวอเมริกัน Charles Ives แต่งกลุ่มเปียโน "Hallwe" en (= "All Saints' Eve") ซึ่งข้อความดังกล่าว เมื่อแสดงในคอนเสิร์ต ควรเล่นต่างกันสี่ครั้งติดต่อกัน กรงประพันธ์ขึ้นในปี พ.ศ. 2494 "Music of Changes" สำหรับเปียโนซึ่งเป็นข้อความที่เขาแต่ง "โดยจัดการกับอุบัติเหตุ" (คำพูดของนักแต่งเพลง) โดยใช้ "Book of Changes" ของจีน คลาสสิก-

ตัวอย่างของ A. - "Piano Piece XI" โดย K. สต็อคเฮาเซ่น 2500. บนกระดาษแผ่นหนึ่งประมาณ. 0.5 ตร.ม. ดนตรี 19 ชิ้น เรียงแบบสุ่ม นักเปียโนเริ่มต้นด้วยคนใดคนหนึ่งและเล่นตามลำดับแบบสุ่ม หลังจากการจ้องมองแบบสุ่ม ในตอนท้ายของข้อก่อนหน้านี้จะเขียนด้วยจังหวะใดและระดับเสียงใดที่จะเล่นในตอนต่อไป เมื่อนักเปียโนเห็นว่าเขาได้เล่นชิ้นส่วนทั้งหมดแล้ว พวกเขาควรจะเล่นใหม่อีกครั้งในลำดับแบบสุ่มเดียวกัน แต่ในเสียงที่สว่างกว่า หลังจากรอบที่สอง การเล่นจบลง เพื่อผลลัพธ์ที่ดียิ่งขึ้น ขอแนะนำให้ทำการแสดงซ้ำในคอนเสิร์ตหนึ่ง - ผู้ฟังจะถูกนำเสนอด้วยองค์ประกอบอื่นจากเนื้อหาเดียวกัน วิธี A. ใช้กันอย่างแพร่หลายโดยนักประพันธ์เพลงสมัยใหม่ (บูเลซ, สต็อคเฮาเซ่น,ลูโตสลาฟสกี, เอ. โวลคอนสกี, เดนิซอฟ, Schnittkeและอื่น ๆ.).

ข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับ A. ในศตวรรษที่ XX กฎหมายใหม่ปรากฏขึ้น ความสามัคคีและแนวโน้มที่จะแสวงหารูปแบบใหม่ที่สอดคล้องกับสภาพใหม่ของวัสดุทางดนตรีและลักษณะของ เปรี้ยวจี๊ดพื้นผิว Aleatoric นั้นคิดไม่ถึงอย่างสมบูรณ์ก่อนการปลดปล่อย ความไม่ลงรอยกันพัฒนาการของเสียงดนตรี (ดู: โดเดคาโฟนี). A. Lutoslawski ผู้สนับสนุน "จำกัดและควบคุม" มองเห็นคุณค่าที่ไม่ต้องสงสัย: "A. เปิดมุมมองใหม่และไม่คาดฝันให้ฉัน ก่อนอื่นมีจังหวะมากมายที่ไม่สามารถบรรลุได้ด้วยเทคนิคอื่น ๆ " เดนิซอฟให้เหตุผลกับ "การแนะนำองค์ประกอบของการสุ่มเข้าสู่ดนตรี" ยืนยันว่า "ทำให้เรามีอิสระมากขึ้นในการทำงานกับเรื่องดนตรีและช่วยให้เราได้รับเอฟเฟกต์เสียงใหม่<...>แต่แนวคิดเรื่องความคล่องตัวจะให้ผลลัพธ์ที่ดีได้ก็ต่อเมื่อ<... >หากแนวโน้มการทำลายล้างที่ซ่อนอยู่ในการเคลื่อนไหวไม่ทำลายความสร้างสรรค์ที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของรูปแบบศิลปะใด ๆ "

วิธีการและรูปแบบอื่นของดนตรีตัดกับ A. ประการแรก ได้แก่ 1. ด้นสด -การแสดงของชิ้นส่วนที่ประกอบขึ้นในระหว่างเกม 2. เพลงกราฟิค,ซึ่งนักแสดงด้นสดตามภาพที่มองเห็นได้ของภาพวาดที่วางอยู่ข้างหน้าเขา (เช่น I. Brown, Folio ", 1952) แปลเป็นภาพเสียงหรือตามกราฟิกเชิงดนตรีที่สร้างขึ้นโดยผู้แต่งจาก ข้อความดนตรีบนแผ่นกระดาษ (S. Bussotti, Passion for the Garden, 1966); 3. เกิดขึ้น- การกระทำชั่วคราว (ในแง่นี้ aleatoric) (คลังสินค้า)ด้วยการมีส่วนร่วมของดนตรีที่มีพล็อต (กึ่ง) โดยพลการ (ตัวอย่างเช่น "หมายเหตุ" ที่เกิดขึ้นของ A. Volkonsky โดยวงดนตรี "Madrigal" ในฤดูกาล 1970/71); 4. เพลงเปิด - นั่นคือผู้ที่ข้อความไม่คงที่ แต่ทุกครั้งที่ได้รับในกระบวนการของการแสดง เหล่านี้เป็นประเภทขององค์ประกอบที่ไม่ได้อยู่ในหลักการปิดและอนุญาตให้มีความต่อเนื่องไม่สิ้นสุด (เช่น กับการแสดงใหม่แต่ละรายการ) ภาษาอังกฤษ อยู่ในระหว่างดำเนินการ สำหรับ P. Boulez สิ่งจูงใจอย่างหนึ่งที่ทำให้เขากลายเป็นคนเปิดเผยคืองานของ J. จอยซ์("ยูลิสซิส") และ S. Mallarmé ("Le Livre") ตัวอย่างขององค์ประกอบเปิดคือ "Available Forms II" ซึ่งหมายถึง "Potential Forms" โดย Irl Brown สำหรับเครื่องดนตรี 98 ชิ้นและตัวนำสองตัว (1962) บราวน์เองชี้ให้เห็นถึงความเชื่อมโยงระหว่างรูปแบบเปิดของเขากับ "โทรศัพท์มือถือ" ในทัศนศิลป์ (ดู: จลนศาสตร์),โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดย A. Calder ("Calder Piece" สำหรับมือกลอง 4 คนและ Calder's mo-bil, 1965) ในที่สุด การกระทำ "Gesamtkunst" ก็เต็มไปด้วยหลักการเกี่ยวกับสัตว์กินเนื้อ (ดู: เกซามท์คุนสท์เวิร์ค) 5. มัลติมีเดีย ความจำเพาะของการซิงโครไนซ์ การติดตั้งศิลปะหลายอย่าง (เช่น คอนเสิร์ต + นิทรรศการจิตรกรรมและประติมากรรม + กวีนิพนธ์ในยามเย็นที่ผสมผสานศิลปะเข้าด้วยกัน เป็นต้น) ดังนั้น แก่นแท้ของ ก. คือการปรองดองระเบียบทางศิลปะตามประเพณีและเอ็นไซม์อันสดชื่นของความคาดเดาไม่ได้ โอกาส - ลักษณะแนวโน้มของ วัฒนธรรมศิลปะแห่งศตวรรษที่ XXโดยทั่วไปและ สุนทรียศาสตร์ที่ไม่คลาสสิก

Lit.: Denisov E.V.องค์ประกอบที่เสถียรและเคลื่อนที่ได้ของรูปแบบดนตรีและปฏิสัมพันธ์ // ปัญหาเชิงทฤษฎีของรูปแบบและประเภทดนตรี ม., 1971; Kogutek Ts.เทคนิคการแต่งเพลงในศตวรรษที่ 20 ม., 1976; ลูโตสลาฟสกี้ วี.บทความไม่มี

ผมหงอก ความทรงจำ ม., 1995; บูเลซ P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. แอล ไมนซ์ 2501; บูเลซ อาร์ Zu meiner III Sonate // อ้างแล้ว III. 1960; เชฟเฟอร์ บีโนวา มูซีก้า (1958) คราคูฟ, 1969; เชฟเฟอร์ บีมาลี ผู้ให้ข้อมูล muzyki XX wieku (1958). คราคูฟ, 1975; สต็อคเฮาเซ่น เค Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd. L, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. ดาร์มสตัดท์, 1967.

คำกล่าวอ้างของไอน์สไตน์ที่ว่าพระเจ้าไม่เล่นลูกเต๋ากับจักรวาลถูกตีความผิดไป

วลีติดปากของไอน์สไตน์ไม่กี่คำได้รับการยกมาอย่างกว้างขวางพอๆ กับคำพูดของเขาที่ว่าพระเจ้าไม่ได้เล่นลูกเต๋ากับจักรวาล ผู้คนมักใช้คำอธิบายที่เฉียบแหลมของเขาเป็นหลักฐานว่าเขาต่อต้านกลศาสตร์ควอนตัมอย่างมีหลักการ ซึ่งมองว่าการสุ่มเป็นคุณลักษณะเฉพาะของโลกทางกายภาพ เมื่อแกนกลางของธาตุกัมมันตภาพรังสีสลายตัว มันเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ ไม่มีกฎเกณฑ์ใดที่จะบอกคุณได้แน่ชัดว่าจะเกิดขึ้นเมื่อใดหรือทำไม เมื่ออนุภาคของแสงกระทบกระจกกึ่งโปร่งแสง มันสะท้อนจากกระจกหรือทะลุผ่าน ผลลัพธ์สามารถเกิดขึ้นได้จนถึงช่วงเวลาที่เหตุการณ์นี้เกิดขึ้น และคุณไม่จำเป็นต้องไปที่ห้องปฏิบัติการเพื่อดูกระบวนการประเภทนี้ เว็บไซต์อินเทอร์เน็ตหลายแห่งแสดงสตรีมของตัวเลขสุ่มที่สร้างโดยเคาน์เตอร์ไกเกอร์หรือควอนตัมออปติก โดยหลักการแล้วตัวเลขดังกล่าวคาดเดาไม่ได้แม้ในอุดมคติสำหรับการเข้ารหัส สถิติ และการแข่งขันโป๊กเกอร์ออนไลน์

ไอน์สไตน์ ตามตำนานกล่าวไว้ ปฏิเสธที่จะยอมรับความจริงที่ว่าเหตุการณ์บางอย่างไม่ได้ถูกกำหนดโดยธรรมชาติของพวกเขา - พวกเขาเพิ่งเกิดขึ้นและไม่สามารถหาสาเหตุได้ ท่ามกลางความโดดเดี่ยวอันวิจิตรตระการตา ถูกห้อมล้อมด้วยเพื่อนฝูง เขาจับมือทั้งสองข้างกับจักรวาลแห่งกลไกของฟิสิกส์คลาสสิกโดยใช้กลไกจักรกล วัดวินาทีด้วยกลไก ซึ่งแต่ละช่วงเวลาจะกำหนดล่วงหน้าว่าจะเกิดอะไรขึ้นต่อไป เส้นลูกเต๋าบ่งบอกถึงอีกด้านหนึ่งของชีวิตของเขา: โศกนาฏกรรมของนักปฏิวัติที่กลายเป็นปฏิกิริยาที่ปฏิวัติฟิสิกส์ด้วยทฤษฎีสัมพัทธภาพของเขา แต่ - ตามที่ Niels Bohr กล่าวในเชิงการฑูต - เมื่อต้องเผชิญกับทฤษฎีควอนตัม เขา "ไปทานอาหารเย็น" "

อย่างไรก็ตาม ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา นักประวัติศาสตร์ นักปรัชญา และนักฟิสิกส์หลายคนตั้งคำถามกับการตีความเรื่องนี้ เมื่อพวกเขากระโจนลงไปในทะเลของทุกสิ่งที่ไอน์สไตน์พูดจริง ๆ พวกเขาพบว่าการตัดสินของเขาเกี่ยวกับความคาดเดาไม่ได้นั้นรุนแรงกว่าและมีเฉดสีที่กว้างกว่าปกติ Don A. Howard นักประวัติศาสตร์จาก University of Notre Dame กล่าวว่า "การพยายามขุดค้นเรื่องจริงกลายเป็นงานเผยแผ่ศาสนาชนิดหนึ่ง" "มันวิเศษมากเมื่อคุณเจาะลึกเข้าไปในเอกสารสำคัญและเห็นความคลาดเคลื่อนของภูมิปัญญาดั้งเดิม" ตามที่เขาและนักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ได้แสดงให้เห็น Einstein ได้ตระหนักถึงธรรมชาติที่ไม่ถูกกำหนดของกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งไม่น่าแปลกใจเลย เนื่องจากเขาเป็นผู้ค้นพบความไม่แน่นอนของกลศาสตร์ควอนตัม สิ่งที่เขาไม่เคยยอมรับก็คือความไม่แน่นอนเป็นพื้นฐานในธรรมชาติ ทั้งหมดนี้บ่งชี้ว่าปัญหาเกิดขึ้นในระดับความจริงที่ลึกกว่าซึ่งทฤษฎีไม่ได้สะท้อน คำวิจารณ์ของเขาไม่ใช่เรื่องลึกลับ แต่มุ่งเน้นไปที่ปัญหาทางวิทยาศาสตร์เฉพาะที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขมาจนถึงทุกวันนี้

คำถามที่ว่ากลไกจักรกลคือจักรวาลหรือโต๊ะลูกเต๋าทำลายรากฐานของสิ่งที่เราคิดว่าฟิสิกส์คือ: การค้นหากฎง่ายๆ ที่รองรับความหลากหลายอันน่าทึ่งของธรรมชาติ หากมีอะไรเกิดขึ้นโดยไม่มีเหตุผล ก็จะเป็นการยุติการวิจัยที่มีเหตุผล แอนดรูว์ เอส. ฟรีดแมน นักจักรวาลวิทยาจากสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์กล่าวว่า "ความไม่แน่นอนพื้นฐานจะหมายถึงจุดจบของวิทยาศาสตร์ นักปรัชญาตลอดประวัติศาสตร์เชื่อว่าความไม่แน่นอนเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเจตจำนงเสรีของมนุษย์ ไม่ว่าเราจะเป็นเกียร์ของเครื่องจักร ดังนั้นทุกสิ่งที่เราทำจึงถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า หรือเราเป็นผู้กำหนดชะตากรรมของเราเอง ซึ่งในกรณีนี้จักรวาลไม่ควรกำหนด

การแบ่งขั้วนี้มีผลจริงมากซึ่งแสดงออกในลักษณะที่สังคมทำให้ผู้คนรับผิดชอบต่อการกระทำของพวกเขา ระบบกฎหมายของเราตั้งอยู่บนสมมติฐานของเจตจำนงเสรี จำเลยต้องกระทำด้วยเจตนา ศาลมักใช้ความคิดอย่างหนักเกี่ยวกับคำถามนี้: จะเกิดอะไรขึ้นหากบุคคลนั้นไร้เดียงสาเนื่องจากความวิกลจริต ความหุนหันพลันแล่นในวัยเยาว์ หรือสภาพแวดล้อมทางสังคมที่เน่าเฟะ

อย่างไรก็ตาม เมื่อใดก็ตามที่ผู้คนพูดถึงการแบ่งขั้ว พวกเขามักจะพยายามเปิดโปงว่าเป็นความเข้าใจผิด อันที่จริง นักปรัชญาหลายคนเชื่อว่ามันไม่มีความหมายที่จะพูดถึงว่าเอกภพเป็นตัวกำหนดหรือไม่กำหนด อาจเป็นได้ทั้งสองแบบ ขึ้นอยู่กับว่าหัวข้อการวิจัยมีขนาดใหญ่หรือซับซ้อนเพียงใด: อนุภาค อะตอม โมเลกุล เซลล์ สิ่งมีชีวิต จิตใจ ชุมชน Christian List นักปรัชญาจาก London School of Economics and Political Science กล่าวว่า "ความแตกต่างระหว่างการกำหนดและความไม่แน่นอนคือความแตกต่างขึ้นอยู่กับระดับของการศึกษาปัญหา" อะตอมในสมองของเราสามารถทำงานในลักษณะที่กำหนดได้อย่างแน่นอน ในขณะเดียวกันก็ปล่อยให้เรามีอิสระที่จะทำหน้าที่เป็นอะตอมและอวัยวะต่างๆ ที่ทำงานในระดับต่างๆ

ในทำนองเดียวกัน Einstein ได้ค้นหาระดับ subquantum ที่กำหนดขึ้นได้ ในขณะที่ไม่ได้ปฏิเสธว่าระดับควอนตัมนั้นน่าจะเป็นไปได้

สิ่งที่ไอน์สไตน์คัดค้าน

การที่ไอน์สไตน์ได้รับฉายาว่าเป็นปรปักษ์ต่อทฤษฎีควอนตัมนั้นแทบจะเป็นปริศนาที่ยิ่งใหญ่พอๆ กับกลศาสตร์ควอนตัมเอง แนวคิดของควอนตัมซึ่งเป็นหน่วยพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องเป็นผลจากการสะท้อนของเขาในปี ค.ศ. 1905 และเกือบครึ่งทศวรรษที่เขายืนอยู่คนเดียวในการป้องกัน ไอน์สไตน์แนะนำว่า สิ่งที่นักฟิสิกส์ในปัจจุบันมองว่าเป็นคุณสมบัติหลักของฟิสิกส์ควอนตัม เช่น ความสามารถแปลก ๆ ของแสงในการทำหน้าที่เป็นอนุภาคและเป็นคลื่น และจากการสะท้อนของเขาในฟิสิกส์ของคลื่น เออร์วิน ชโรดิงเงอร์ได้พัฒนาสูตรควอนตัมที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางที่สุด ทฤษฎีในปี ค.ศ. 1920 ไอน์สไตน์ไม่ใช่ศัตรูของโอกาสเช่นกัน ในปี 1916 เขาแสดงให้เห็นว่าเมื่ออะตอมปล่อยโฟตอน เวลาและทิศทางของการแผ่รังสีจะเป็นปริมาณแบบสุ่ม

Jan von Plateau จากมหาวิทยาลัยเฮลซิงกิกล่าวว่า "สิ่งนี้ขัดต่อภาพลักษณ์ของ Einstein ที่ได้รับความนิยมในฐานะที่เป็นปฏิปักษ์กับแนวทางความน่าจะเป็น" แต่ไอน์สไตน์และผู้ร่วมสมัยของเขาประสบปัญหาร้ายแรง ปรากฏการณ์ควอนตัมเป็นแบบสุ่ม แต่ทฤษฎีควอนตัมเองไม่ใช่ สมการของชโรดิงเงอร์นั้นกำหนดได้ 100% อธิบายอนุภาคหรือระบบของอนุภาคโดยใช้ฟังก์ชันคลื่นที่เรียกว่า ซึ่งใช้ลักษณะคลื่นของอนุภาคและอธิบายรูปแบบคล้ายคลื่นที่กลุ่มอนุภาคก่อตัวขึ้น สมการทำนายว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับฟังก์ชันคลื่นในเวลาใดก็ตาม ในหลายๆ ด้าน สมการนี้กำหนดได้ดีกว่ากฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน: มันไม่ได้นำไปสู่ความสับสน เช่น ภาวะภาวะเอกฐาน (ซึ่งปริมาณกลายเป็นอนันต์และไม่สามารถอธิบายได้) หรือความโกลาหล (ซึ่งการเคลื่อนที่กลายเป็นสิ่งที่คาดเดาไม่ได้)

สิ่งที่จับได้ก็คือ การกำหนดระดับของสมการชโรดิงเงอร์คือการกำหนดระดับของฟังก์ชันคลื่น และไม่สามารถสังเกตฟังก์ชันคลื่นได้โดยตรง ต่างจากตำแหน่งและความเร็วของอนุภาค แต่ฟังก์ชันคลื่นจะกำหนดปริมาณที่สามารถสังเกตได้และความน่าจะเป็นของแต่ละตัวเลือกที่เป็นไปได้แทน ทฤษฎีนี้เปิดประเด็นคำถามว่าฟังก์ชั่นของคลื่นคืออะไรและควรพิจารณาว่าเป็นคลื่นจริงในโลกวัตถุของเราหรือไม่ ดังนั้น คำถามต่อไปนี้ยังคงเปิดอยู่: การสุ่มที่สังเกตได้นั้นเป็นสมบัติที่แท้จริงของธรรมชาติหรือเป็นเพียงส่วนหน้าเท่านั้น Christian Wuthrich นักปรัชญาจากมหาวิทยาลัยเจนีวาในสวิตเซอร์แลนด์กล่าวว่า "มีการกล่าวอ้างว่ากลศาสตร์ควอนตัมไม่สามารถกำหนดได้ แต่นี่เป็นข้อสรุปที่รีบร้อนเกินไป

เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก ผู้บุกเบิกอีกคนหนึ่งที่วางรากฐานของทฤษฎีควอนตัม จินตนาการว่าฟังก์ชันคลื่นเป็นหมอกควันของการดำรงอยู่ที่อาจเกิดขึ้น หากไม่สามารถระบุตำแหน่งของอนุภาคได้อย่างชัดเจนและไม่น่าสงสัย นั่นเป็นเพราะจริงๆ แล้วไม่พบอนุภาคนั้นในที่ใดที่หนึ่ง เฉพาะเมื่อคุณสังเกตอนุภาคเท่านั้นที่จะเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่งในอวกาศ ฟังก์ชั่นคลื่นอาจเบลอได้ในพื้นที่ขนาดใหญ่ แต่เมื่อทำการสังเกต มันจะยุบตัวทันที หดตัวลงสู่จุดแคบ ๆ ที่ตั้งอยู่ในที่ใดที่หนึ่ง และทันใดนั้นก็มีอนุภาคปรากฏขึ้นที่นั่น แต่ถึงแม้คุณจะมองอนุภาค - ปัง! - จู่ๆ เธอก็หยุดแสดงพฤติกรรมที่แน่วแน่และกระโดดไปสู่สภาวะสุดท้าย ราวกับเด็กคว้าเก้าอี้ในเกม "เก้าอี้ดนตรี" (เกมประกอบด้วยความจริงที่ว่าเด็ก ๆ เต้นรำเป็นวงกลมรอบเก้าอี้ซึ่งมีจำนวนน้อยกว่าจำนวนผู้เล่นหนึ่งคนและพยายามนั่งบนที่นั่งว่างทันทีที่เพลงหยุดลง)

ไม่มีกฎหมายควบคุมการล่มสลายนี้ ไม่มีสมการสำหรับเขา มันเพิ่งเกิดขึ้น - นั่นคือทั้งหมด! การล่มสลายกลายเป็นองค์ประกอบสำคัญของการตีความในโคเปนเฮเกน: มุมมองของกลศาสตร์ควอนตัมที่ตั้งชื่อตามเมืองที่บอร์และสถาบันของเขา ร่วมกับไฮเซนเบิร์ก ทำงานพื้นฐานส่วนใหญ่ (ตรงกันข้าม บอร์เองไม่เคยรับรู้ถึงการล่มสลายของฟังก์ชันคลื่น) โรงเรียนโคเปนเฮเกนถือว่าการสุ่มสังเกตของฟิสิกส์ควอนตัมเป็นลักษณะเฉพาะของมัน ซึ่งขัดต่อคำอธิบายเพิ่มเติม นักฟิสิกส์ส่วนใหญ่เห็นด้วยกับสิ่งนี้ หนึ่งในเหตุผลของสิ่งนี้คือสิ่งที่เรียกว่า เอฟเฟกต์จุดยึด หรือเอฟเฟกต์การยึด ที่ทราบจากจิตวิทยา: นี่เป็นคำอธิบายที่น่าพอใจอย่างยิ่ง และปรากฏเป็นอันดับแรก แม้ว่าไอน์สไตน์ไม่ได้ต่อต้านกลศาสตร์ควอนตัม แต่เขาก็ไม่เห็นด้วยกับการตีความของโคเปนเฮเกนอย่างแน่นอน เขาเริ่มต้นจากแนวคิดที่ว่าการวัดผลทำให้เกิดความแตกแยกในการวิวัฒนาการอย่างต่อเนื่องของระบบทางกายภาพ และในบริบทนี้เองที่เขาเริ่มแสดงความไม่เห็นด้วยกับการขว้างกระดูกศักดิ์สิทธิ์ “นี่คือเหตุผลที่ว่าทำไมไอน์สไตน์ถึงโศกเศร้าในปี 1926 และไม่ใช่เพราะคำกล่าวอ้างเชิงอภิปรัชญาที่ครอบคลุมทั้งหมดเกี่ยวกับการกำหนดระดับเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นอย่างยิ่ง” ฮาวเวิร์ดกล่าว "

ความเป็นจริงมากมายและยัง - โลกเป็นตัวกำหนดหรือไม่? คำตอบสำหรับคำถามนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับกฎการเคลื่อนที่ขั้นพื้นฐานเท่านั้น แต่ยังขึ้นกับระดับที่เราอธิบายเกี่ยวกับระบบด้วย พิจารณาห้าอะตอมในก๊าซที่เคลื่อนที่ตามที่กำหนด (แผนภาพด้านบน) พวกเขาเริ่มต้นการเดินทางจากที่เกือบจะเหมือนกันและค่อยๆ แยกจากกัน อย่างไรก็ตาม ในระดับมหภาค (แผนภาพด้านล่าง) ไม่ใช่อะตอมเดี่ยวที่มองเห็นได้ แต่เป็นการไหลแบบอสัณฐานในแก๊ส หลังจากผ่านไประยะหนึ่ง ก๊าซก็มีแนวโน้มที่จะสุ่มกระจายไปตามลำธารหลายสาย การสุ่มในระดับมหภาคนี้เป็นผลพลอยได้จากการเพิกเฉยต่อกฎระดับจุลภาคของผู้สังเกต ซึ่งเป็นคุณสมบัติเชิงวัตถุของธรรมชาติที่สะท้อนถึงวิธีการที่อะตอมมารวมกัน ในทำนองเดียวกัน ไอน์สไตน์แนะนำว่าโครงสร้างภายในที่กำหนดขึ้นของจักรวาลนำไปสู่ธรรมชาติความน่าจะเป็นของอาณาจักรควอนตัม

การล่มสลายแทบจะเป็นกระบวนการที่แท้จริงไม่ได้ ไอน์สไตน์แย้ง สิ่งนี้จะต้องมีการดำเนินการในทันทีจากระยะไกล ซึ่งเป็นกลไกลึกลับที่กล่าวได้ว่าทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของฟังก์ชันคลื่นจะยุบลงในจุดเล็กๆ เดียวกัน แม้ว่าจะไม่มีแรงที่ตรงกับพฤติกรรมก็ตาม ไม่เพียงแต่ไอน์สไตน์ แต่นักฟิสิกส์ทุกคนในสมัยของเขาเชื่อว่ากระบวนการดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ มันจะต้องเกิดขึ้นเร็วกว่าความเร็วของแสง ซึ่งขัดแย้งอย่างเห็นได้ชัดกับทฤษฎีสัมพัทธภาพอย่างเห็นได้ชัด อันที่จริง กลศาสตร์ควอนตัมไม่เพียงแต่วางลูกเต๋าในมือของคุณ แต่ยังให้ลูกเต๋าคู่หนึ่งที่ตกลงมาในหน้าเดียวกันเสมอ แม้ว่าคุณจะโยนลูกเต๋าในเวกัสและอีกอันในเวก้า สำหรับไอน์สไตน์ เห็นได้ชัดว่าลูกเต๋าต้องโกง ทำให้มีวิธีการซ่อนเร้นที่จะส่งผลต่อผลลัพธ์ของการโยนล่วงหน้า แต่โรงเรียนในโคเปนเฮเกนปฏิเสธความเป็นไปได้ดังกล่าว โดยบอกว่าข้อนิ้วจะส่งผลโดยตรงต่อกันและกันในพื้นที่อันกว้างใหญ่ไพศาล นอกจากนี้ ไอน์สไตน์ยังกังวลเกี่ยวกับพลังที่ชาวโคเปนเฮเกนมาจากการวัดผล ท้ายที่สุดแล้วมิติคืออะไร? เป็นไปได้ไหมที่สิ่งมีชีวิตที่มีความรู้สึก หรือแม้แต่อาจารย์ประจำเท่านั้นที่สามารถทำได้? ไฮเซนเบิร์กและตัวแทนคนอื่นๆ ของโรงเรียนโคเปนเฮเกนไม่เคยระบุแนวคิดนี้ บางคนแนะนำว่าเราสร้างความเป็นจริงโดยรอบในจิตใจของเราในกระบวนการสังเกต ซึ่งเป็นแนวคิดที่ดูเป็นบทกวี หรือแม้แต่เป็นบทกวีที่มากเกินไป ไอน์สไตน์ยังพิจารณาถึงความสูงของความทะลึ่งของโคเปนเฮเกนเพื่ออ้างว่ากลศาสตร์ควอนตัมสมบูรณ์อย่างสมบูรณ์ ว่าเป็นทฤษฎีขั้นสูงสุดที่ไม่มีใครมาแทนที่ได้ เขาถือว่าทฤษฎีทั้งหมดรวมถึงทฤษฎีของเขาเองเป็นสะพานเชื่อมไปสู่บางสิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่านั้น

จริงๆแล้ว. Howard ให้เหตุผลว่า Einstein ยินดีที่จะยอมรับความไม่แน่นอน ถ้าเขาได้รับคำตอบสำหรับปัญหาทั้งหมดที่เขาต้องแก้ไข ตัวอย่างเช่น ถ้ามีคนสามารถระบุได้ชัดเจนว่าการวัดคืออะไร และอนุภาคสามารถซิงโครไนซ์ได้อย่างไรโดยไม่มีการกระทำระยะไกล ข้อบ่งชี้ที่ไอน์สไตน์มองว่าความไม่แน่นอนเป็นปัญหารองคือการที่เขาเรียกร้องและปฏิเสธทางเลือกที่กำหนดขึ้นเองในโรงเรียนโคเปนเฮเกน นักประวัติศาสตร์อีกคนหนึ่งคือ Arthur Fine จากมหาวิทยาลัย Washington เชื่อ ฮาวเวิร์ดกล่าวเกินจริงถึงความอ่อนไหวต่อความไม่ชัดเจนของไอน์สไตน์ แต่เห็นด้วยว่าการตัดสินของเขามีพื้นฐานมาจากรากฐานที่มั่นคงกว่าที่นักฟิสิกส์หลายชั่วอายุคนเชื่อ โดยอิงจากคำพูดของเขาเกี่ยวกับลูกเต๋า

ความคิดสุ่ม

หากคุณชักเย่อที่ด้านข้างของโรงเรียนโคเปนเฮเกน Einstein เชื่อว่าคุณจะพบว่าความผิดปกติของควอนตัมนั้นเหมือนกับความผิดปกติประเภทอื่น ๆ ในวิชาฟิสิกส์: มันเป็นผลิตภัณฑ์ของความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ไอน์สไตน์เชื่อว่าการเต้นของอนุภาคฝุ่นขนาดเล็กในลำแสงเผยให้เห็นการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนของโมเลกุล และการปล่อยโฟตอนหรือการสลายกัมมันตภาพรังสีของนิวเคลียสก็เป็นกระบวนการที่คล้ายกัน ในความเห็นของเขา กลศาสตร์ควอนตัมเป็นทฤษฎีการประเมินที่แสดงถึงพฤติกรรมทั่วไปขององค์ประกอบพื้นฐานของธรรมชาติ แต่ไม่มีความละเอียดเพียงพอที่จะบันทึกรายละเอียดส่วนบุคคล

ทฤษฎีที่ลึกซึ้งและสมบูรณ์ยิ่งขึ้นจะอธิบายการเคลื่อนไหวได้อย่างเต็มที่ - โดยไม่ต้องกระโดดอย่างคลุมเครือ จากมุมมองนี้ ฟังก์ชันคลื่นเป็นคำอธิบายโดยรวม เนื่องจากข้อความที่ว่าการตายที่ถูกต้อง หากถูกโยนซ้ำๆ จะตกลงมาประมาณจำนวนเท่ากันในแต่ละด้าน การล่มสลายของฟังก์ชันคลื่นไม่ใช่กระบวนการทางกายภาพ แต่เป็นการได้มาซึ่งความรู้ ถ้าคุณทอยลูกเต๋าหกด้านแล้วคิดได้ว่า สี่ ช่วงของตัวเลือกตั้งแต่หนึ่งถึงหกจะลดขนาดลง หรือคุณอาจพูดได้ว่ายุบเป็นค่าจริงของสี่ ปีศาจที่เหมือนพระเจ้าที่สามารถติดตามรายละเอียดของโครงสร้างอะตอมที่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของกระดูกที่ตกลงมา (เช่น การวัดว่ามือของคุณผลักและหมุนลูกบาศก์อย่างไรก่อนที่จะวางมันลงบนโต๊ะ) จะไม่พูดถึงการพังทลาย

สัญชาตญาณของไอน์สไตน์ได้รับการเสริมแรงจากงานแรกของเขาเกี่ยวกับผลรวมของการเคลื่อนที่ของโมเลกุล ซึ่งศึกษาในสาขาฟิสิกส์ที่เรียกว่ากลศาสตร์เชิงสถิติ ซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่าฟิสิกส์มีความน่าจะเป็นได้แม้ว่าปรากฏการณ์นั้นจะขึ้นอยู่กับความเป็นจริงที่กำหนดขึ้นเอง ในปี 1935 Einstein เขียนถึงนักปรัชญา Karl Popper ว่า “ฉันไม่คิดว่าคุณคิดถูกในคำกล่าวของคุณที่ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสรุปผลทางสถิติตามทฤษฎีที่กำหนดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น กลศาสตร์ทางสถิติแบบคลาสสิก (ทฤษฎีของก๊าซ หรือ ทฤษฎีการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน)” ความน่าจะเป็นในความเข้าใจของไอน์สไตน์นั้นเป็นจริงเช่นเดียวกับการตีความของโรงเรียนในโคเปนเฮเกน แสดงให้เห็นในกฎพื้นฐานของการเคลื่อนไหว สะท้อนคุณสมบัติอื่น ๆ ของโลกรอบข้าง พวกเขาไม่ได้เป็นเพียงสิ่งประดิษฐ์ของความไม่รู้ของมนุษย์ Einstein แนะนำให้ Popper เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วคงที่ ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในส่วนที่กำหนดของส่วนโค้งวงกลมสะท้อนถึงความสมมาตรของวิถีของมัน ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จะตายลงบนใบหน้าที่กำหนดคือหนึ่งในหก เนื่องจากมีหกด้านเท่ากัน Howard กล่าวว่า "เขาเข้าใจดีกว่าคนส่วนใหญ่ในตอนนั้นว่าองค์ประกอบทางกายภาพที่สำคัญมีอยู่ในรายละเอียดความน่าจะเป็นทางสถิติและทางกล"

บทเรียนอื่นในกลศาสตร์ทางสถิติคือปริมาณที่เราสังเกตไม่จำเป็นต้องมีอยู่ในระดับที่ลึกกว่า ตัวอย่างเช่น แก๊สมีอุณหภูมิ แต่ไม่ควรพูดถึงอุณหภูมิของโมเลกุลของแก๊สเดี่ยวๆ โดยการเปรียบเทียบ Einstein มาถึงความเชื่อมั่นว่าต้องใช้ทฤษฎี subquantum เพื่อแสดงถึงการแตกหักอย่างรุนแรงด้วยกลศาสตร์ควอนตัม ในปี 1936 เขาเขียนว่า: “ไม่ต้องสงสัยเลยว่ากลศาสตร์ควอนตัมได้จับองค์ประกอบที่สวยงามของความจริงไว้<...>อย่างไรก็ตาม ฉันไม่เชื่อว่ากลศาสตร์ควอนตัมจะเป็นจุดเริ่มต้นในการค้นหารากฐานนี้ เช่นเดียวกับในทางกลับกัน เราไม่สามารถเปลี่ยนจากอุณหพลศาสตร์ (ตามลำดับ กลศาสตร์สถิติ) ไปเป็นรากฐานของกลศาสตร์ได้ ” เพื่อเติมเต็มระดับที่ลึกกว่านี้ Einstein ได้ค้นหาทฤษฎีที่รวมเป็นหนึ่งสนามซึ่งอนุภาคเป็นอนุพันธ์ของโครงสร้างที่ไม่เหมือนกับอนุภาคเลย กล่าวโดยย่อ ความเชื่อที่นิยมว่า Einstein ปฏิเสธที่จะรับรู้ถึงความน่าจะเป็นของฟิสิกส์ควอนตัมนั้นผิด เขาพยายามอธิบายการสุ่ม แทนที่จะทำให้ดูเหมือนไม่มีอยู่จริงเลย

ทำให้ระดับของคุณดีที่สุด

แม้ว่าโครงการของไอน์สไตน์ในการสร้างทฤษฎีแบบรวมศูนย์จะล้มเหลว แต่หลักการพื้นฐานของแนวทางสัญชาตญาณในการสุ่มตัวอย่างของเขายังคงเป็นความจริง: ความไม่แน่นอนสามารถเกิดขึ้นได้จากการกำหนด ระดับควอนตัมและซับควอนตัม - หรือระดับคู่อื่นใดในลำดับชั้นของธรรมชาติ - ประกอบด้วยโครงสร้างประเภทต่างๆ ที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงปฏิบัติตามกฎหมายประเภทต่างๆ กฎหมายที่ควบคุมระดับหนึ่งอาจอนุญาตให้มีองค์ประกอบของการสุ่ม แม้ว่ากฎหมายของระดับล่างจะได้รับการควบคุมอย่างเต็มที่ เจเรมี บัตเตอร์ฟิลด์ นักปรัชญาจากมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ กล่าวว่า "จุลฟิสิกส์แบบกำหนดไม่ได้สร้างมาโครฟิสิกส์ที่กำหนดขึ้นได้

ลองนึกภาพคนตายในระดับอะตอม ลูกบาศก์สามารถประกอบด้วยโครงสร้างอะตอมจำนวนมากที่ไม่สามารถจินตนาการได้ ซึ่งไม่สามารถแยกความแตกต่างจากกันและกันด้วยตาเปล่าได้ หากคุณติดตามการกำหนดค่าใด ๆ เหล่านี้ในขณะที่คุณหมุนแม่พิมพ์ มันจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่เฉพาะเจาะจง - ถูกกำหนดอย่างเข้มงวด ในการกำหนดค่าบางอย่าง ดายจะหยุดด้วยจุดหนึ่งจุดที่ขอบด้านบน ในส่วนอื่นๆ จะหยุดด้วยสองจุดที่ เป็นต้น ดังนั้น สถานะมหภาคเดียว (หากคุณทำการหมุนลูกบาศก์) สามารถนำไปสู่ผลลัพธ์ระดับมหภาคที่เป็นไปได้หลายประการ (หนึ่งในหกใบหน้าจะอยู่ที่ด้านบนสุด) “ถ้าเราอธิบายลูกเต๋าในระดับมหภาค เราสามารถคิดได้ว่ามันเป็นระบบสุ่มที่อนุญาตให้มีการสุ่มตามวัตถุประสงค์” List ซึ่งกำลังศึกษาการผันคำกริยาระดับกับ Marcus Pivato นักคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Cergy-Pontoise ในฝรั่งเศสกล่าว

แม้ว่าระดับที่สูงกว่าจะสร้างในระดับที่ต่ำกว่า แต่ก็เป็นอิสระ ในการอธิบายลูกเต๋า คุณต้องทำงานในระดับที่ลูกเต๋ามีอยู่นั้น และเมื่อคุณทำเช่นนี้ คุณจะอดไม่ได้ที่จะละเลยอะตอมและไดนามิกของลูกเต๋า หากคุณข้ามระดับหนึ่งไปอีกระดับหนึ่ง คุณกำลังโกงโดยแทนที่หมวดหมู่: มันเหมือนกับถามเกี่ยวกับความสัมพันธ์ทางการเมืองของแซนวิชปลาแซลมอน (เพื่อใช้ตัวอย่างของปราชญ์ David Albert แห่งมหาวิทยาลัยโคลัมเบีย) “เมื่อเรามีปรากฏการณ์ที่สามารถอธิบายได้ในระดับต่าง ๆ เราจะต้องใช้แนวความคิดให้ระมัดระวังไม่ให้ระดับต่างๆ ปะปนกัน” ลิสท์กล่าว ด้วยเหตุนี้ผลของการทอยลูกเต๋าจึงไม่ใช่แค่การสุ่ม มันสุ่มจริงๆ อสูรที่เหมือนพระเจ้าอาจอวดว่าเขารู้ดีว่าอะไรจะเกิดขึ้น แต่เขารู้แค่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับอะตอม เขาไม่สงสัยด้วยซ้ำว่าลูกเต๋าคืออะไร เนื่องจากเป็นข้อมูลในระดับที่สูงกว่า ปีศาจไม่เคยเห็นป่า มีแต่ต้นไม้ เขาเป็นเหมือนตัวเอกของเรื่อง "Memorable Funes" ของนักเขียนชาวอาร์เจนตินา Jorge Luis Borges ซึ่งเป็นชายที่จำทุกอย่างได้ แต่ไม่เข้าใจอะไรเลย "การคิดหมายถึงการลืมความแตกต่าง การสรุป เป็นนามธรรม" Borges เขียน สำหรับปีศาจเพื่อให้เขารู้ว่าลูกเต๋าจะตกด้านใดจึงจำเป็นต้องอธิบายว่าต้องมองหาอะไร "ปีศาจจะสามารถเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในระดับบนสุดได้ก็ต่อเมื่อเขาได้รับคำอธิบายโดยละเอียดว่าเรากำหนดขอบเขตระหว่างระดับอย่างไร" List กล่าว อันที่จริง หลังจากนี้ ปีศาจคงจะหึงว่าเราเป็นมนุษย์ปุถุชน

ตรรกะระดับยังทำงานในทิศทางตรงกันข้าม จุลฟิสิกส์ที่ไม่กำหนดไว้ล่วงหน้าสามารถนำไปสู่มหภาคที่กำหนดขึ้นได้ ลูกเบสบอลสามารถสร้างจากอนุภาคที่มีพฤติกรรมวุ่นวาย แต่สามารถคาดการณ์การบินได้อย่างสมบูรณ์ การสุ่มควอนตัม การหาค่าเฉลี่ย หายไป ในทำนองเดียวกัน ก๊าซประกอบด้วยโมเลกุลที่ทำให้มีการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนอย่างยิ่ง และแทบไม่สามารถกำหนดได้ แต่อุณหภูมิและคุณสมบัติอื่นๆ ของก๊าซนั้นเป็นไปตามกฎที่ง่ายเพียงสองและสอง นักฟิสิกส์บางคน เช่น Robert Laughlin จาก Stanford University ได้แนะนำว่าระดับล่างสุดไม่เกี่ยวข้องเลย โครงสร้างพื้นฐานสามารถเป็นอะไรก็ได้ และพฤติกรรมส่วนรวมของพวกเขาจะยังเหมือนเดิม ท้ายที่สุด ระบบต่างๆ แม้แต่ระบบที่แตกต่างจากโมเลกุลของน้ำ ดวงดาวในดาราจักร และรถยนต์บนทางด่วน ต่างก็ปฏิบัติตามกฎแห่งการไหลของของเหลวเช่นเดียวกัน

ฟรีในที่สุด

เมื่อคุณคิดในแง่ของระดับ ความกังวลว่าความไม่แน่นอนมีแนวโน้มที่จะเป็นจุดสิ้นสุดของวิทยาศาสตร์จะหายไป รอบตัวเราไม่มีกำแพงสูงที่ปกป้องชิ้นส่วนจักรวาลที่ปฏิบัติตามกฎหมายของเราจากเรื่องของอนาธิปไตยและส่วนที่เหลือไม่สามารถเข้าใจได้ อันที่จริง โลกนี้เป็นชั้นเค้กของการกำหนดระดับและความไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ภูมิอากาศของโลกอยู่ภายใต้กฎการเคลื่อนที่ที่กำหนดขึ้นของ Nyoton แต่การพยากรณ์อากาศมีความน่าจะเป็น และในขณะเดียวกัน แนวโน้มสภาพอากาศตามฤดูกาลและระยะยาวก็สามารถคาดการณ์ได้อีกครั้ง ชีววิทยาก็มาจากฟิสิกส์ที่กำหนดขึ้นเองเช่นกัน แต่สิ่งมีชีวิตและระบบนิเวศต้องการวิธีการอธิบายแบบอื่น เช่น วิวัฒนาการของดาร์วิน “ความมุ่งมั่นไม่ได้อธิบายทุกอย่าง” Daniel Dennett นักปรัชญาจาก Tufts University กล่าว

ผู้คนกระจัดกระจายอยู่ภายในพัฟเค้กชิ้นนี้ เรามีเจตจำนงเสรีที่ทรงพลัง เรามักจะทำการตัดสินใจที่คาดเดาไม่ได้และโดยส่วนใหญ่แล้ว เราตระหนักดีว่าเราสามารถทำอย่างอื่นได้ (และมักจะเสียใจที่ไม่ได้ทำอย่างนั้น) เป็นเวลานับพันปีที่เรียกว่าพวกเสรีนิยม ผู้สนับสนุนหลักปรัชญาเกี่ยวกับเจตจำนงเสรี (เพื่อไม่ให้สับสนกับแนวโน้มทางการเมือง!) โต้แย้งว่าเสรีภาพของมนุษย์ต้องการเสรีภาพของอนุภาค บางสิ่งต้องทำลายเส้นทางที่กำหนดของเหตุการณ์ เช่น การสุ่มควอนตัมหรือ "ความเบี่ยงเบน" ซึ่งตามที่นักปรัชญาโบราณบางคนเชื่อว่าอะตอมสามารถสัมผัสได้ในระหว่างการเคลื่อนไหว (แนวคิดของการเบี่ยงเบนโดยไม่ได้ตั้งใจของอะตอมจากวิถีดั้งเดิมถูกนำมาใช้ โดย Lucretius ในปรัชญาโบราณเพื่อปกป้องหลักคำสอนปรมาณูของ Epicurus) ...

ปัญหาหลักของการให้เหตุผลแนวนี้คือการปลดปล่อยอนุภาค แต่ปล่อยให้เราเป็นทาส ไม่สำคัญว่าการตัดสินใจของคุณถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าระหว่างบิ๊กแบงหรือโดยอนุภาคเล็ก ๆ ก็ยังคงไม่ใช่การตัดสินใจของคุณ เพื่อความเป็นอิสระ เราต้องการความไม่แน่นอนไม่ใช่ที่ระดับอนุภาค แต่ในระดับมนุษย์ และนี่เป็นไปได้เพราะระดับมนุษย์และระดับอนุภาคนั้นเป็นอิสระจากกัน แม้ว่าทุกสิ่งที่คุณทำสามารถย้อนไปถึงขั้นแรกได้ คุณคือผู้ควบคุมการกระทำของคุณ เพราะทั้งคุณและการกระทำของคุณไม่มีอยู่ที่ระดับของสสาร แต่อยู่ที่ระดับจิตสำนึกระดับมหภาคเท่านั้น "มาโครอินดีเทอร์มินิซึมแบบไมโครดีเทอร์มินิมนี้อาจรับประกันเจตจำนงเสรี" บัตเตอร์ฟิลด์กล่าว Macroindeterminism ไม่ใช่เหตุผลสำหรับการตัดสินใจของคุณ นี่คือการตัดสินใจของคุณ

บางคนอาจคัดค้านและบอกคุณว่าคุณยังเป็นตุ๊กตาอยู่ และกฎของธรรมชาติทำหน้าที่เป็นผู้เชิดหุ่น และเสรีภาพของคุณก็ไม่มีอะไรมากไปกว่าภาพลวงตา แต่คำว่า "มายา" นั้นปลุกเร้าในความทรงจำของภาพลวงตาในทะเลทรายและสตรี ซึ่งถูกผ่าครึ่ง สิ่งเหล่านี้ไม่มีอยู่จริง Macroindeterminism ไม่เหมือนกันเลย มันค่อนข้างจริงไม่ใช่พื้นฐาน เปรียบได้กับชีวิต อะตอมแต่ละตัวเป็นสสารที่ไม่มีชีวิต แต่มวลมหาศาลของพวกมันสามารถมีชีวิตอยู่และหายใจได้ “ทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแทน สถานะของความตั้งใจ การตัดสินใจและทางเลือกของพวกเขา ไม่มีสิ่งใดที่เกี่ยวข้องกับชุดเครื่องมือเชิงแนวคิดของฟิสิกส์พื้นฐาน แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าปรากฏการณ์เหล่านี้ไม่มีจริง” Liszt กล่าว . ก็หมายความว่าพวกมันล้วนเป็นปรากฏการณ์ในระดับที่สูงกว่ามาก "

มันจะเป็นความผิดพลาดอย่างเป็นหมวดหมู่ หากไม่เป็นการไม่รู้อย่างสมบูรณ์ ในการอธิบายการตัดสินใจของมนุษย์โดยกลไกการเคลื่อนที่ของอะตอมในหัวของคุณ จำเป็นต้องใช้แนวคิดทั้งหมดของจิตวิทยาแทน: ความปรารถนา, โอกาส, ความตั้งใจ ทำไมฉันดื่มน้ำไม่ดื่มไวน์? เพราะผมต้องการที่จะ. ความปรารถนาของฉันอธิบายการกระทำของฉัน ในกรณีส่วนใหญ่ เมื่อเราถามคำถาม "ทำไม" เรากำลังมองหาแรงจูงใจของแต่ละบุคคล ไม่ใช่ภูมิหลังทางกายภาพของเขา คำอธิบายทางจิตวิทยาทำให้เกิดความไม่แน่นอนบางอย่างที่ List พูดถึง ตัวอย่างเช่น นักทฤษฎีเกมจำลองการตัดสินใจของมนุษย์โดยจัดวางตัวเลือกต่างๆ และอธิบายว่าคุณจะเลือกตัวเลือกใดหากคุณดำเนินการอย่างมีเหตุผล อิสระของคุณในการเลือกตัวเลือกใดตัวเลือกหนึ่งเป็นตัวขับเคลื่อนทางเลือกของคุณ แม้ว่าคุณจะไม่เคยเลือกทางเลือกนั้นเลยก็ตาม

แน่นอน ข้อโต้แย้งของ List ไม่ได้อธิบายเจตจำนงเสรีอย่างเต็มที่ ลำดับชั้นของระดับเปิดพื้นที่สำหรับเจตจำนงเสรี แยกจิตวิทยาออกจากฟิสิกส์ และเปิดโอกาสให้เราทำสิ่งที่ไม่คาดคิด แต่เราต้องใช้โอกาสนี้ ตัวอย่างเช่น หากเราตัดสินใจทั้งหมดโดยการโยนเหรียญ สิ่งนี้จะยังถือว่าเป็นการกำหนดระดับมหภาค แต่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะถือว่ามันเป็นเจตจำนงเสรีในแง่ที่มีความหมาย ในทางกลับกัน การตัดสินใจของบางคนอาจทำให้เหน็ดเหนื่อยจนไม่สามารถพูดได้ว่าจะทำอย่างเสรี

แนวทางการแก้ไขปัญหาการกำหนดนิยามนี้ให้ความหมายและการตีความแก่ทฤษฎีควอนตัม ซึ่งเสนอขึ้นเมื่อไม่กี่ปีหลังจากไอน์สไตน์เสียชีวิตในปี 2498 เรียกว่าการตีความหลายโลก หรือการตีความของเอเวอเร็ตต์ ผู้เสนอให้โต้แย้งว่ากลศาสตร์ควอนตัมอธิบายชุดของจักรวาลคู่ขนาน - ลิขสิทธิ์ที่โดยรวมแล้วมีพฤติกรรมที่กำหนดขึ้นเอง แต่ดูเหมือนว่าเราจะไม่ได้กำหนดขึ้นเอง เนื่องจากเราเห็นได้เพียงจักรวาลเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น อะตอมสามารถปล่อยโฟตอนไปทางขวาหรือทางซ้าย ทฤษฎีควอนตัมปล่อยให้ผลลัพธ์ของเหตุการณ์นี้เปิดออก ตามการตีความของหลายโลก ภาพดังกล่าวถูกสังเกตเนื่องจากสถานการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นในจักรวาลคู่ขนานจำนวนนับไม่ถ้วน: ในบางส่วนของพวกเขาโฟตอนจะบินไปทางซ้ายอย่างเป็นเอกเทศ เราไม่สามารถบอกได้ชัดเจนว่าเราอยู่ในจักรวาลใด เราไม่สามารถคาดเดาสิ่งที่จะเกิดขึ้นได้ ดังนั้นสถานการณ์นี้จึงดูอธิบายไม่ได้จากภายใน Max Tegmark นักจักรวาลวิทยาของ MIT อธิบายว่า "ไม่มีการสุ่มที่แท้จริงในอวกาศ แต่เหตุการณ์ต่างๆ อาจปรากฏขึ้นแบบสุ่มสำหรับผู้สังเกตการณ์" "การสุ่มสะท้อนถึงการที่คุณไม่มีความสามารถในการระบุว่าคุณอยู่ที่ไหน"

มันเหมือนกับการพูดว่า แม่พิมพ์หรือสมองสามารถสร้างขึ้นได้จากโครงสร้างอะตอมใดๆ ก็ตาม การกำหนดค่านี้อาจกำหนดได้เอง แต่เนื่องจากเราไม่สามารถรู้ได้ว่าอันไหนที่สอดคล้องกับความตายหรือสมองของเรา เราจึงถูกบังคับให้สันนิษฐานว่าผลลัพธ์นั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ดังนั้นจักรวาลคู่ขนานจึงไม่ใช่แนวคิดที่แปลกใหม่ในจินตนาการที่ป่วย ร่างกายและสมองของเราเป็นลิขสิทธิ์เล็กๆ น้อยๆ มันเป็นความหลากหลายของความเป็นไปได้ที่ทำให้เรามีอิสระ

เขียนโดยนักออกแบบ Tyler Sigman บน Gamasutra ฉันชอบเรียกมันว่าบทความ "ผมในรูจมูกของออร์ค" แต่มันทำได้ดีทีเดียวในการวางพื้นฐานของความน่าจะเป็นในเกม

หัวข้อสัปดาห์นี้

จนถึงวันนี้ เกือบทุกอย่างที่เราพูดถึงได้ถูกกำหนดไว้แล้ว และเมื่อสัปดาห์ที่แล้วเราได้พิจารณากลไกสกรรมกริยาอย่างละเอียดถี่ถ้วนและแยกแยะรายละเอียดให้มากที่สุดเท่าที่ฉันจะอธิบายได้ แต่จนถึงตอนนี้ เรายังไม่ได้ให้ความสนใจกับแง่มุมใหญ่ๆ ของเกมหลายๆ เกม กล่าวคือ แง่มุมที่ไม่ได้กำหนดขึ้นเอง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ การสุ่ม การทำความเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักออกแบบเกม เนื่องจากเราสร้างระบบที่ส่งผลต่อประสบการณ์ของผู้เล่นในเกมนั้นๆ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องรู้ว่าระบบเหล่านี้ทำงานอย่างไร หากมีการสุ่มในระบบต้องเข้าใจ ธรรมชาติการสุ่มนี้และวิธีเปลี่ยนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ

ลูกเต๋า

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ ก่อน: ทอยลูกเต๋า เมื่อคนส่วนใหญ่นึกถึงลูกเต๋า พวกเขานึกถึงลูกเต๋าหกด้านที่เรียกว่า d6 แต่นักเล่นเกมส่วนใหญ่เคยเห็นลูกเต๋าอื่น ๆ มากมาย: จัตุรมุข (d4), octahedral (d8), สิบสอง (d12), ยี่สิบ (d20) ... และถ้าคุณ ปัจจุบันเกินบรรยาย คุณอาจมีกระดูก 30 ด้านหรือ 100 ด้านอยู่ที่ไหนสักแห่ง หากคุณไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์นี้ ตัว “d” หมายถึงลูกเต๋า และตัวเลขหลังจากนั้น มีกี่หน้า ถ้า ก่อน“D” ย่อมาจากตัวเลข แปลว่า ปริมาณลูกเต๋าเมื่อโยน ตัวอย่างเช่น ในการผูกขาด คุณหมุน 2d6

ดังนั้น ในกรณีนี้ วลี "ลูกเต๋า" เป็นการกำหนดแบบธรรมดา มีตัวสร้างตัวเลขสุ่มอื่นๆ มากมายที่ไม่ได้มีรูปร่างเป็นก้อนพลาสติก แต่ทำหน้าที่เดียวกันในการสร้างตัวเลขสุ่มตั้งแต่ 1 ถึง n เหรียญธรรมดาสามารถคิดได้ว่าเป็นไดฮีดรัล d2 ฉันเห็นรูปแบบลูกเต๋าเจ็ดด้านสองแบบ แบบหนึ่งดูเหมือนลูกเต๋า และอีกแบบดูเหมือนดินสอไม้เจ็ดด้าน จัตุรมุข (หรือเรียกอีกอย่างว่าไทโททัม) มีความคล้ายคลึงกับกระดูกจัตุรมุข สนามเด็กเล่นที่มีลูกศรหมุนในเกม "Chutes & Ladders" ซึ่งผลลัพธ์อาจอยู่ระหว่าง 1 ถึง 6 สอดคล้องกับลูกเต๋าหกเหลี่ยม เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มในคอมพิวเตอร์สามารถสร้างตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 19 หากผู้ออกแบบถามคำสั่งดังกล่าวแม้ว่าคอมพิวเตอร์จะไม่มีลูกเต๋า 19 ด้าน (โดยทั่วไปฉันจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลข บนคอมพิวเตอร์ที่ ต่อไปสัปดาห์). แม้ว่ารายการเหล่านี้ทั้งหมดจะดูแตกต่างกัน แต่จริงๆ แล้วเหมือนกัน: คุณมีโอกาสเท่าเทียมกันที่จะได้รับหนึ่งในหลายผลลัพธ์

ลูกเต๋ามีคุณสมบัติที่น่าสนใจที่เราจำเป็นต้องรู้ ประการแรก ความน่าจะเป็นที่ใบหน้าจะหลุดออกมาจะเท่ากัน (ฉันคิดว่าคุณกำลังหมุนแม่พิมพ์ที่ถูกต้อง ไม่ใช่รูปทรงเรขาคณิตที่ผิดปกติ) ดังนั้น หากท่านต้องการทราบ หมายถึงโยน (หรือที่รู้จักกันในหมู่ผู้ที่ชื่นชอบหัวข้อของความน่าจะเป็นว่า "คาดหวังทางคณิตศาสตร์") รวมค่าของขอบทั้งหมดแล้วหารผลรวมนี้ด้วย ปริมาณใบหน้า ค่าเฉลี่ยของลูกเต๋าฐานสิบหกมาตรฐานคือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 หารด้วยจำนวนขอบ (6) เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ย 21/6 = 3.5 นี่เป็นกรณีพิเศษเพราะเราคิดว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน

เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณมีลูกเต๋าพิเศษ? ตัวอย่างเช่น ฉันเห็นเกมที่มีลูกเต๋าหกเหลี่ยมที่มีสติกเกอร์พิเศษที่ขอบ: 1, 1, 1, 2, 2, 3 มันจึงมีลักษณะเป็นลูกเต๋าสามเหลี่ยมแปลก ๆ ที่มีโอกาสได้หมายเลข 1 มากกว่า 2 และ 2 มากกว่า 3 มูลค่าม้วนเฉลี่ยของแม่พิมพ์นี้คืออะไร? ดังนั้น 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10 หารด้วย 6 เท่ากับ 5/3 หรือประมาณ 1.66 ดังนั้นหากคุณมีลูกเต๋าแบบพิเศษและผู้เล่นจะทอยลูกเต๋าสามลูกแล้วบวกผลลัพธ์ คุณจะรู้ว่าผลรวมโดยประมาณของพวกเขาจะอยู่ที่ประมาณ 5 และคุณสามารถสร้างสมดุลของเกมตามสมมติฐานนี้ได้

ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ

อย่างที่บอก เราเริ่มจากสมมติฐานที่ว่าหน้าแต่ละหน้ามีโอกาสหลุดเท่ากัน ไม่สำคัญว่าคุณจะทอยลูกเต๋ากี่ลูก ทุกทอยลูกเต๋า อะไรก็ได้ซึ่งหมายความว่าการโยนครั้งก่อนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการโยนครั้งต่อๆ ไป ด้วยการทดลองที่เพียงพอ คุณต้อง ประกาศ"อนุกรม" ของตัวเลข เช่น การหลุดจากค่าที่มากกว่าหรือน้อยกว่าเป็นส่วนใหญ่ หรือคุณลักษณะอื่นๆ และเราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าลูกเต๋าจะ "ร้อน" หรือ "เย็น" หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานและเลข 6 ขึ้นมาสองครั้งติดต่อกัน โอกาสที่การม้วนต่อไปจะส่งผลให้ได้เลข 6 ก็คือ 1/6 เช่นกัน ความน่าจะเป็นไม่ได้เพิ่มขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าลูกบาศก์นั้น "อุ่นขึ้น" ความน่าจะเป็นไม่ลดลงเพราะเลข 6 หลุดไปแล้วสองครั้งติดต่อกัน ซึ่งหมายความว่าตอนนี้หน้าอื่นจะหลุดออกมา (แน่นอน ถ้าคุณทอยลูกเต๋า 20 ครั้ง และทุกครั้งที่เลข 6 ขึ้น โอกาสที่ 21 ที่จะได้เลข 6 นั้นค่อนข้างสูง ... เพราะบางทีนั่นอาจหมายความว่าคุณมีลูกเต๋าผิด!) แต่ ถ้าคุณมีลูกเต๋าที่ถูกต้อง ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากแต่ละหน้าจะเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงผลของการทอยครั้งอื่นๆ คุณยังสามารถจินตนาการได้ว่าทุกครั้งที่เราเปลี่ยนลูกเต๋า ดังนั้นหากหมายเลข 6 ปรากฏขึ้นสองครั้งติดต่อกัน ให้นำลูกเต๋าที่ "ร้อน" ออกจากเกมและแทนที่ด้วยลูกเต๋าหกด้านใหม่ ฉันขอโทษถ้าพวกคุณรู้เรื่องนี้แล้ว แต่ฉันจำเป็นต้องชี้แจงเรื่องนี้ก่อนที่จะดำเนินการต่อ

วิธีทำให้ลูกเต๋าตกสุ่มมากหรือน้อย

มาพูดถึงวิธีการรับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันในลูกเต๋าที่ต่างกัน หากคุณทอยลูกเต๋าเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง เกมจะรู้สึกสุ่มมากขึ้นหากลูกเต๋ามีขอบมากกว่า ยิ่งคุณทอยลูกเต๋าหรือทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ ผลลัพธ์ก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากคุณทอย 1d6 + 4 (นั่นคือ ลูกเต๋าฐานสิบหกมาตรฐานหนึ่งครั้งและเพิ่ม 4 ให้กับผลลัพธ์) ค่าเฉลี่ยจะเป็น 5 ถึง 10 หากคุณทอย 5d2 ค่าเฉลี่ยจะเป็น 5 ถึง 10 ด้วย แต่เมื่อ โยนลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5, 8 หรือ 10 เท่ากัน ผลของการโยน 5d2 ส่วนใหญ่จะเป็นตัวเลข 7 และ 8 ซึ่งมักจะน้อยกว่าค่าอื่น ชุดเดียวกันแม้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน (7.5 ในทั้งสองกรณี) แต่ธรรมชาติของการสุ่มแตกต่างกัน

เดี๋ยวก่อน. ฉันไม่ได้บอกว่าลูกเต๋าไม่ร้อนขึ้นหรือเย็นลง? ตอนนี้ฉันกำลังบอกว่าถ้าคุณทอยลูกเต๋าเยอะ การทอยมาใกล้ค่าเฉลี่ยหรือไม่? ทำไม?

ให้ฉันอธิบาย ถ้าคุณโยน หนึ่งลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากแต่ละหน้าจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณทอยลูกเต๋าหลายๆ หน้า แต่ละหน้าจะหลุดออกมาประมาณจำนวนเท่ากันเมื่อเวลาผ่านไป ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ ผลสะสมก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ไม่ใช่เพราะเลขหลุด “ทำให้” อีกเลขหนึ่งที่ยังไม่หลุด แต่เพราะว่าชุดเล็ก 6 (หรือ 20 หรือตัวเลขอื่น) จะไม่มีผลอะไรมากในตอนท้าย ถ้าคุณทอยลูกเต๋าอีกหมื่นครั้งและโดยพื้นฐานแล้วค่าเฉลี่ยจะลดลง ... บางทีตอนนี้คุณจะมีตัวเลขไม่กี่ตัว ที่มีมูลค่าสูง แต่บางทีในภายหลัง ตัวเลขสองสามตัวที่มีค่าต่ำและเมื่อเวลาผ่านไป พวกเขาจะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย ไม่ใช่เพราะการทอยครั้งก่อนส่งผลต่อลูกเต๋า (จริงๆ แล้ว ลูกเต๋าทำจาก พลาสติกเธอไม่มีสมองที่จะคิด: “โอ้ ไม่ได้ทอยมานานแล้ว”) แต่เพราะสิ่งนี้มักจะเกิดขึ้นกับการทอยลูกเต๋าจำนวนมาก ตัวเลขที่ซ้ำกันจำนวนน้อยแทบจะมองไม่เห็นในผลลัพธ์จำนวนมาก

ดังนั้น การคำนวณสำหรับการทอยลูกเต๋าแบบสุ่มหนึ่งครั้งจึงค่อนข้างตรงไปตรงมา อย่างน้อยก็เท่ากับการคำนวณมูลค่าการทอยเฉลี่ยที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณว่า "สุ่ม" อะไรเป็นวิธีการบอกว่าผลลัพธ์ของการหมุน 1d6 + 4 จะ "สุ่มมากขึ้น" มากกว่า 5d2 สำหรับ 5d2 การกระจายผลลัพธ์จะเท่ากัน ปกติสำหรับคุณ คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และยิ่งมีค่ามากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น แต่ต้องใช้การคำนวณมากกว่าที่ฉันต้องการให้ในวันนี้ (ฉันจะอธิบายหัวข้อนี้ในภายหลัง) สิ่งเดียวที่ฉันขอให้คุณรู้คือ ตามกฎทั่วไป ยิ่งทอยลูกเต๋าน้อยลง การสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้น และอีกหนึ่งหัวข้อเพิ่มเติม: ยิ่งลูกเต๋ามีขอบมากเท่าไร ก็ยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากคุณมีตัวเลือกมากขึ้น

วิธีคำนวณความน่าจะเป็นโดยการนับ

คุณอาจสงสัยว่าเราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนในการได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนได้อย่างไร นี่เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับเกมหลายๆ เกม เพราะหากคุณทอยลูกเต๋า มีแนวโน้มว่าจะได้ผลดีที่สุดในตอนแรก คำตอบคือ: เราต้องนับสองค่า ขั้นแรก นับจำนวนผลลัพธ์สูงสุดในการทอยลูกเต๋า (ไม่ว่าผลลัพธ์จะเป็นเช่นไร) จากนั้นนับจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ การหารค่าที่สองด้วยค่าแรก คุณจะได้ความน่าจะเป็นที่คุณต้องการ เพื่อให้ได้เปอร์เซ็นต์ ให้คูณผลลัพธ์ของคุณด้วย 100

ตัวอย่าง:

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก คุณต้องการให้เลข 4 ขึ้นไปขึ้นมาและทอยลูกเต๋า 1 ครั้ง จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ในจำนวนนี้ 3 ผลลัพธ์ (4, 5, 6) เป็นที่น่าพอใจ ดังนั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็น ให้หาร 3 ด้วย 6 แล้วได้ 0.5 หรือ 50%

นี่คือตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย คุณต้องการทอยเลขคู่ในการทอย 2d6 จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 36 (6 สำหรับแต่ละลูกเต๋า และเนื่องจากหนึ่งตายไม่มีผลกับอีกคนหนึ่ง เราคูณ 6 ผลลัพธ์ด้วย 6 เพื่อให้ได้ 36) ความยากของคำถามประเภทนี้คือการนับสองครั้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น มีสองตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ของ 3 ในการทอย 2d6: 1 + 2 และ 2 + 1 พวกมันดูเหมือนกัน แต่ความแตกต่างคือหมายเลขใดที่แสดงบนลูกเต๋าตัวแรกและตัวที่สอง คุณสามารถจินตนาการได้ว่าลูกเต๋ามีสีต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ ลูกเต๋าหนึ่งเป็นสีแดงและอีกลูกเต๋าหนึ่งเป็นสีน้ำเงิน จากนั้นนับจำนวนตัวเลือกสำหรับเลขคู่: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3 ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6) ปรากฎว่ามี 18 ตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่น่าพอใจจาก 36 อย่าง เช่นในกรณีก่อนหน้า ความน่าจะเป็นจะเป็น 0.5 หรือ 50% อาจจะคาดไม่ถึงแต่ค่อนข้างแม่นยำ

การจำลองมอนติคาร์โล

เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณมีลูกเต๋ามากเกินไปที่จะนับ? ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จำนวนเงินที่เท่ากับ 15 หรือมากกว่าจะถูกทอยในการทอย 8d6 สำหรับลูกเต๋าแปดลูก มีผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมากมาย และการนับด้วยตนเองจะใช้เวลานานมาก แม้ว่าเราจะสามารถหาทางออกที่ดีในการจัดกลุ่มชุดทอยลูกเต๋าต่างๆ ได้ แต่ก็ยังใช้เวลานานมากในการนับ ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณความน่าจะเป็นไม่ใช่การนับด้วยตนเอง แต่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ มีสองวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นบนคอมพิวเตอร์

วิธีแรกสามารถใช้เพื่อให้ได้คำตอบที่แน่นอน แต่ต้องใช้การเขียนโปรแกรมหรือการเขียนสคริปต์เพียงเล็กน้อย โดยพื้นฐานแล้ว คอมพิวเตอร์จะพิจารณาแต่ละโอกาส ประมาณการและนับจำนวนการทำซ้ำทั้งหมด และจำนวนการทำซ้ำที่ตรงกับผลลัพธ์ที่ต้องการ จากนั้นให้คำตอบ รหัสของคุณอาจมีลักษณะดังนี้:

int wincount = 0, จำนวนทั้งหมด = 0;

สำหรับ (int i = 1; i<=6; i++) {

สำหรับ (int j = 1; j<=6; j++) {

สำหรับ (int k = 1; k<=6; k++) {

… // แทรกลูปเพิ่มเติมที่นี่

ถ้า (i + j + k +…> = 15) (

ความน่าจะเป็นแบบลอย = wincount / totalcount;

ถ้าคุณไม่เก่งในการเขียนโปรแกรมและต้องการแค่คำตอบที่ไม่แม่นยำแต่เป็นคำตอบโดยประมาณ คุณสามารถจำลองสถานการณ์นี้ใน Excel ที่ซึ่งคุณโยน 8d6 หลายพันครั้งแล้วได้คำตอบ ในการส่ง 1d6 ใน Excel ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

ชั้น (RAND () * 6) +1

มีชื่อสถานการณ์ที่คุณไม่รู้คำตอบและลองหลายครั้ง - การจำลองมอนติคาร์โลและนี่เป็นทางออกที่ดีในการถอยกลับเมื่อคุณพยายามคำนวณความน่าจะเป็นและมันยากเกินไป สิ่งที่ยอดเยี่ยมคือ ในกรณีนี้ เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร และเรารู้ว่าคำตอบจะ "ค่อนข้างดี" เพราะอย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่ายิ่งจำนวนการโยนมากเท่าไหร่ก็ยิ่งได้มากเท่านั้น ผลลัพธ์เข้าใกล้ค่าเฉลี่ย

วิธีรวมการทดสอบอิสระ

หากคุณถามเกี่ยวกับการท้าทายซ้ำๆ หลายครั้งแต่เป็นอิสระ ผลลัพธ์ของการทอยจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทอยครั้งอื่นๆ มีคำอธิบายที่ง่ายกว่าสำหรับสถานการณ์นี้

จะแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งที่ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระได้อย่างไร? โดยทั่วไป ถ้าคุณสามารถแยกแยะแต่ละทอยของลูกเต๋า (หรือชุดของทอย) เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกัน มันก็จะเป็นอิสระ ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการทอยลูกเต๋าทั้งหมด 15 ลูกใน 8d6 กรณีนี้ไม่สามารถแบ่งออกเป็นการทอยลูกเต๋าอิสระหลาย ๆ ครั้งได้ เนื่องจากผลลัพธ์ที่คุณนับผลรวมของค่าของลูกเต๋าทั้งหมด ผลลัพธ์ที่ตกบนลูกเต๋าหนึ่งมีผลกับผลลัพธ์ที่ควรตกบนลูกเต๋าอื่น เพราะเพียงเพิ่มค่าทั้งหมด คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ .

นี่คือตัวอย่างของการโยนแบบอิสระ: คุณกำลังเล่นลูกเต๋าและคุณโยนลูกเต๋าหกเหลี่ยมหลายครั้ง หากต้องการอยู่ในเกม ม้วนแรกของคุณจะต้องเป็น 2 หรือสูงกว่า สำหรับม้วนที่สอง 3 หรือสูงกว่า ครั้งที่สามต้องการ 4 หรือสูงกว่า ครั้งที่สี่ต้องการ 5 หรือสูงกว่า และครั้งที่ห้าต้องใช้ 6 หากการทอยทั้งห้าครั้งสำเร็จ คุณจะชนะ ในกรณีนี้ ม้วนทั้งหมดเป็นอิสระ ใช่ ถ้าโยนหนึ่งไม่สำเร็จ มันจะส่งผลต่อผลลัพธ์ของทั้งเกม แต่การโยนหนึ่งครั้งจะไม่ส่งผลต่อการโยนอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น หากการทอยลูกเต๋าครั้งที่สองของคุณประสบความสำเร็จอย่างมาก การดำเนินการนี้จะไม่ส่งผลใดๆ ต่อโอกาสที่การทอยครั้งต่อไปจะประสบความสำเร็จ ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นของแต่ละทอยลูกเต๋าแยกกัน

หากคุณมีความน่าจะเป็นที่แยกจากกันและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ ทุกอย่างเหตุการณ์จะเกิดขึ้น คุณกำหนดความน่าจะเป็นของแต่ละคนและคูณมันอีกวิธีหนึ่ง: หากคุณใช้คำเชื่อม “และ” เพื่ออธิบายเงื่อนไขต่างๆ (เช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้นเป็นเท่าใด และเหตุการณ์สุ่มอิสระอื่น ๆ หรือไม่) นับความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลแล้วคูณด้วย

ไม่สำคัญหรอกว่าคิดยังไง ไม่เคยอย่าบวกความน่าจะเป็นอิสระ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไป เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้ถึงผิด ลองนึกภาพสถานการณ์ที่คุณพลิกเหรียญ 50/50 คุณต้องการรู้ว่าความน่าจะเป็นที่ "หัว" สองครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นของการตีแต่ละด้านคือ 50% ดังนั้น หากคุณบวกความน่าจะเป็นทั้งสองนี้ คุณมีโอกาส 100% ที่จะตีหัว แต่เรารู้ว่านี่ไม่เป็นความจริง เพราะสองครั้งติดต่อกันอาจทำให้ได้หัว หากคุณคูณความน่าจะเป็นทั้งสองนี้แทน คุณจะได้ 50% * 50% = 25% ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะตีหัวสองครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่าง

กลับไปที่เกมกับลูกเต๋าหกด้านซึ่งคุณต้องได้ตัวเลขที่สูงกว่า 2 ก่อนจากนั้นจึงสูงกว่า 3 และอื่น ๆ มากถึง 6. โอกาสที่ในการทอย 5 ครั้งในซีรีย์ที่กำหนดผลลัพธ์ทั้งหมดจะเป็นที่น่าพอใจ?

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น การทดสอบเหล่านี้เป็นการทดสอบอิสระ ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละม้วนแล้วคูณด้วย ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทอยครั้งแรกจะเป็นที่น่าพอใจคือ 5/6 ที่สองคือ 4/6 ที่สามคือ 3/6 ที่สี่ - 2/6, ที่ห้า - 1/6 คูณผลลัพธ์เหล่านี้ทั้งหมดและเราได้ประมาณ 1.5% ... ดังนั้น การชนะในเกมนี้ค่อนข้างหายาก ดังนั้น หากคุณเพิ่มองค์ประกอบนี้ในเกมของคุณ คุณจะต้องมีแจ็คพอตที่ค่อนข้างใหญ่

การปฏิเสธ

เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์อีกข้อ: ในบางครั้ง การคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นทำได้ยาก แต่การระบุโอกาสที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นนั้นทำได้ง่ายกว่า จะไม่มา.

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีอีกเกมหนึ่งและคุณหมุน 6d6 และ if อย่างน้อยหนึ่งครั้ง 6 ถูกทอย คุณชนะ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

ในกรณีนี้มีตัวเลือกมากมายในการคำนวณ เป็นไปได้ว่าเลข 6 ตัวหนึ่งจะหลุดคือ ในลูกเต๋าตัวใดตัวหนึ่ง เลข 6 จะดรอป และอีกตัวจากเลข 1 ถึง 5 และมีตัวเลือก 6 ตัวที่ลูกเต๋าจะเป็นเลข 6 จากนั้นคุณอาจได้เลข 6 จากสองลูกเต๋า สามหรือมากกว่านั้น และทุกครั้งที่เราต้องนับแยกกัน ดังนั้นจึงง่ายที่จะสับสนเกี่ยวกับเรื่องนี้

แต่มีอีกวิธีในการแก้ปัญหานี้ ลองดูจากอีกด้านหนึ่ง คุณ แพ้ถ้า ไม่มีหมายเลข 6 จะไม่หลุดออกจากลูกเต๋า ในกรณีนี้ เรามีการทดลองเล่นอิสระ 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นของแต่ละรายการคือ 5/6 (ตัวเลขอื่นๆ ยกเว้น 6 อาจปรากฏบนลูกเต๋า) คูณพวกมันและคุณจะได้ประมาณ 33% ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือ 1 ใน 3

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% (หรือ 2 ถึง 3)

จากตัวอย่างนี้จะเห็นได้ว่า หากคุณพิจารณาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น คุณต้องลบผลลัพธ์ออกจาก 100%หากความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% ความน่าจะเป็น ที่จะสูญเสีย — 100% ลบ 67% หรือ 33% และในทางกลับกัน. หากคำนวณความน่าจะเป็นได้ยาก แต่คำนวณสิ่งตรงกันข้ามได้ง่าย ให้คำนวณด้านตรงข้ามแล้วลบออกจาก 100%

การรวมเงื่อนไขสำหรับการทดสอบอิสระหนึ่งครั้ง

ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นว่าคุณไม่ควรสรุปความน่าจะเป็นในการทดลองอิสระ มีกรณีใดบ้างที่ สามารถรวมความน่าจะเป็น? - ใช่ ในสถานการณ์พิเศษอย่างหนึ่ง

หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพอใจที่ไม่เกี่ยวข้องหลายรายการในการทดลองเดียวกัน ให้เพิ่มความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพอใจแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลข 4, 5 หรือ 6 ใน 1d6 คือ ผลรวมความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 4 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5 และความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 6 คุณสามารถจินตนาการถึงสถานการณ์นี้ได้ดังนี้ ถ้าคุณใช้ตัวเชื่อม “หรือ” ในคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็น (เช่น , ความน่าจะเป็นที่ หรือผลลัพธ์ที่แตกต่างกันของเหตุการณ์สุ่มหนึ่งเหตุการณ์?) คำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลและสรุป

โปรดทราบว่าเมื่อคุณบวกขึ้น ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกมผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดต้องเท่ากับ 100% หากจำนวนเงินไม่ใช่ 100% แสดงว่าการคำนวณของคุณไม่ถูกต้อง นี่เป็นวิธีที่ดีในการตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น หากคุณวิเคราะห์ความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่โป๊กเกอร์ทั้งหมด หากคุณรวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่คุณได้รับ คุณควรได้ 100% (หรืออย่างน้อยก็มีค่าเกือบ 100% หากคุณใช้เครื่องคิดเลข คุณจะ อาจมีข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อย แต่ถ้าคุณบวกตัวเลขที่แน่นอนด้วยมือ ทุกอย่างน่าจะออกมาดี) หากผลรวมไม่รวมกัน เป็นไปได้มากว่าคุณไม่ได้คำนึงถึงชุดค่าผสมบางชุด หรือคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมบางชุดอย่างไม่ถูกต้อง จากนั้นคุณต้องตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง

ความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน

จนถึงตอนนี้เราได้สันนิษฐานว่าแต่ละหน้าของลูกเต๋าจะหลุดออกมาโดยมีระยะเวลาเท่ากัน เพราะนี่คือวิธีการทำงานของลูกเต๋า แต่บางครั้งคุณต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ที่ต่างกันออกไปก็มี they แตกต่างโอกาสที่จะหลุดออก ตัวอย่างเช่นในหนึ่งในส่วนเสริมของเกมไพ่ "สงครามนิวเคลียร์" มีสนามเด็กเล่นที่มีลูกศรซึ่งผลของการยิงจรวดขึ้นอยู่กับ: โดยพื้นฐานแล้วจะสร้างความเสียหายตามปกติแข็งแกร่งขึ้นหรืออ่อนลง แต่บางครั้งความเสียหายก็เพิ่มขึ้นสองหรือสามครั้ง หรือจรวดระเบิดบนแท่นยิงจรวดและทำให้บาดเจ็บ หรือมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ไม่เหมือนสนามเด็กเล่นที่มีลูกศรใน "Chutes & Ladders" หรือ "A Game of Life" ผลลัพธ์ของสนามเด็กเล่นใน "Nuclear War" นั้นไม่สม่ำเสมอ บางส่วนของสนามเด็กเล่นมีขนาดใหญ่กว่าและลูกศรจะหยุดที่ส่วนนั้นบ่อยกว่า ในขณะที่ส่วนอื่นๆ มีขนาดเล็กมากและลูกศรจะหยุดที่ส่วนเหล่านั้น

เมื่อมองแวบแรก กระดูกจะมีลักษณะดังนี้: 1, 1, 1, 2, 2, 3; เราพูดไปแล้วว่ามันเหมือน 1d3 ที่ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้น เราจำเป็นต้องแบ่งส่วนทั้งหมดเหล่านี้ออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน หาหน่วยวัดที่เล็กที่สุด ซึ่งเป็นผลคูณของทุกอย่าง แล้วแสดงสถานการณ์ในรูปของ d522 (หรืออื่น ๆ ) ซึ่งหลายหน้าของลูกเต๋าจะเป็นตัวแทนของสถานการณ์เดียวกัน แต่มีผลลัพธ์มากกว่า และนี่คือวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหา และเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่มีวิธีที่ง่ายกว่านั้น

กลับไปที่ลูกเต๋าฐานสิบหกมาตรฐานของเรา เราบอกว่าในการคำนวณค่าม้วนเฉลี่ยสำหรับแม่พิมพ์ปกติ คุณต้องรวมค่าบนขอบทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนขอบ แต่อย่างไร อย่างแน่นอนการคำนวณเกิดขึ้น? คุณสามารถใส่มันแตกต่างกัน สำหรับลูกเต๋าหกเหลี่ยม ความน่าจะเป็นของแต่ละหน้าจะตกลงมาเท่ากับ 1/6 ตอนนี้เราคูณ อพยพทุกหน้าบน ความน่าจะเป็นผลลัพธ์นี้ (ในกรณีนี้คือ 1/6 สำหรับแต่ละหน้า) จากนั้นเราจะรวมค่าผลลัพธ์ สรุป (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) เราได้รับผลลัพธ์เดียวกัน (3.5) เช่นเดียวกับในการคำนวณด้านบน อันที่จริง เรานับสิ่งนี้ทุกครั้ง: เราคูณผลลัพธ์แต่ละอย่างด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น

เราสามารถทำการคำนวณแบบเดียวกันสำหรับนักกีฬาในสนามแข่งขันในสงครามนิวเคลียร์ได้หรือไม่? แน่นอนเราทำได้ และถ้าเรารวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่พบ เราจะได้ค่าเฉลี่ย สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์สำหรับลูกศรบนกระดานแล้วคูณด้วยผลลัพธ์

ตัวอย่างอื่น

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยโดยการคูณผลลัพธ์แต่ละผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็นของแต่ละรายการก็เหมาะสมเช่นกันหากผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน แต่มีข้อดีต่างกัน เช่น หากคุณทอยลูกเต๋าและชนะในบางขอบมากกว่าวิธีอื่นๆ ตัวอย่างเช่น เล่นเกมคาสิโน: คุณเดิมพันและหมุน 2d6 หากสามหมายเลขที่มีมูลค่าต่ำสุด (2, 3, 4) หรือสี่หมายเลขที่มีมูลค่าสูงสุด (9, 10, 11, 12) เกิดขึ้น คุณจะชนะเป็นจำนวนเงินเท่ากับเงินเดิมพันของคุณ ตัวเลขที่มีค่าต่ำสุดและสูงสุดเป็นพิเศษ: หากคุณทอย 2 หรือ 12 คุณชนะ สองเท่ากว่าอัตราของคุณ หากหมายเลขอื่นออก (5, 6, 7, 8) คุณจะเสียเดิมพันของคุณ มันเป็นเกมที่ค่อนข้างง่าย แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

เริ่มต้นด้วยการคำนวณจำนวนครั้งที่คุณสามารถชนะ:

• จำนวนผลลัพธ์สูงสุดในการทอย 2d6 คือ 36 ผลลัพธ์ที่ดีมีจำนวนเท่าใด
• มี 1 ตัวเลือกสำหรับสองและ 1 ตัวเลือกสำหรับสิบสอง
• มี 2 ​​ตัวเลือกสำหรับสิ่งที่ออกมาสามและสิบเอ็ด
• มี 3 ตัวเลือกสำหรับสี่และ 3 ตัวเลือกสำหรับสิบ
• มี 4 ตัวเลือกสำหรับเก้า
• เมื่อรวมตัวเลือกทั้งหมดแล้ว เราได้จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ 16 จาก 36

ดังนั้น ภายใต้สภาวะปกติ คุณจะชนะ 16 ครั้งจากทั้งหมด 36 ครั้ง ... ความน่าจะเป็นที่จะชนะน้อยกว่า 50% เล็กน้อย

แต่ในสองกรณีจากทั้งหมด 16 ข้อนี้ คุณจะชนะเป็นสองเท่า กล่าวคือ มันเหมือนชนะสองครั้ง! หากคุณเล่นเกมนี้ 36 ครั้ง เดิมพันครั้งละ 1 ดอลลาร์ และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกิดขึ้นครั้งเดียว คุณจะชนะ 18 ดอลลาร์ (อันที่จริง คุณชนะ 16 ครั้ง แต่สองครั้งจะนับเป็นสองครั้ง) . หากคุณเล่น 36 ครั้งและชนะ 18 ดอลลาร์ หมายความว่ามีโอกาสเท่ากันหรือไม่?

ไม่ต้องรีบ. หากคุณนับจำนวนครั้งที่แพ้ คุณจะได้ 20 ไม่ใช่ 18 หากคุณเล่น 36 ครั้ง เดิมพันครั้งละ 1 ดอลลาร์ คุณจะชนะทั้งหมด 18 ดอลลาร์จากผลลัพธ์ที่ดีทั้งหมด ... แต่คุณจะแพ้ รวมเป็นจำนวนเงิน $ 20 หากผลลัพธ์ที่ไม่พึงประสงค์ทั้ง 20 รายการหลุดออกมา! เป็นผลให้คุณจะล่าช้าเล็กน้อย: คุณสูญเสียโดยเฉลี่ย 2 ดอลลาร์สุทธิสำหรับทุก ๆ 36 เกม (คุณสามารถพูดได้ว่าคุณสูญเสียโดยเฉลี่ย 1/18 ดอลลาร์ต่อวัน) ตอนนี้คุณสามารถดูว่ามันง่ายเพียงใดในกรณีนี้ที่จะทำผิดพลาดและคำนวณความน่าจะเป็นอย่างไม่ถูกต้อง!

การเปลี่ยนแปลง

จนถึงขณะนี้เราได้สันนิษฐานว่าลำดับของตัวเลขเมื่อโยนลูกเต๋าไม่สำคัญ ม้วน 2 + 4 เท่ากับม้วน 4 + 2 ในกรณีส่วนใหญ่ เราคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจด้วยตนเอง แต่บางครั้งวิธีนี้ใช้ไม่ได้และควรใช้สูตรทางคณิตศาสตร์จะดีกว่า

ตัวอย่างสถานการณ์นี้มาจากเกมที่มีลูกเต๋า Farkle ในแต่ละรอบใหม่ คุณจะทอย 6d6 หากคุณโชคดีและผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 1-2-3-4-5-6 (“ตรง”) คุณจะได้รับโบนัสก้อนโต ความน่าจะเป็นที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นคืออะไร? ในกรณีนี้ มีตัวเลือกมากมายสำหรับชุดค่าผสมนี้!

วิธีแก้ปัญหามีลักษณะดังนี้: ลูกเต๋าตัวหนึ่ง (และตัวเดียวเท่านั้น) ควรมีหมายเลข 1! มีหมายเลข 1 กี่ตัวที่ตกลงมาบนแม่พิมพ์เดียว? หก เนื่องจากมีลูกเต๋า 6 ลูก และตัวใดตัวหนึ่งสามารถมีเลข 1 ได้ ดังนั้น ให้นำลูกเต๋าหนึ่งลูกมาวางไว้ ตอนนี้หนึ่งในลูกเต๋าที่เหลือควรมีหมายเลข 2 มีห้าตัวเลือกสำหรับสิ่งนี้ นำลูกเต๋าอีกลูกแล้วพักไว้ ต่อจากนั้นในลูกเต๋าสี่ลูกที่เหลือ หมายเลข 3 สามารถหลุดออกมาได้ ในลูกเต๋าสามลูกที่เหลือ หมายเลข 4 สามารถหลุดออกมาได้ สอง - หมายเลข 5 และด้วยเหตุนี้คุณจึงมีลูกเต๋าหนึ่งลูกที่หมายเลข 6 ควร ตก (ในกรณีหลังตายเป็นหนึ่งและไม่มีทางเลือก) ในการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจสำหรับชุดค่าผสม "ตรง" เราคูณตัวเลือกอิสระที่แตกต่างกันทั้งหมด: 6x5x4x3x2x1 = 720 - ดูเหมือนว่ามีตัวเลือกจำนวนมากสำหรับสิ่งที่ชุดค่าผสมนี้จะเกิดขึ้น

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ตรง เราต้องหาร 720 ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการทอย 6d6 จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นเท่าใด แต่ละลูกเต๋าสามารถมีได้ 6 หน้า ดังนั้นเราจึงคูณ 6x6x6x6x6x6 = 46656 (จำนวนที่มากกว่านั้นมาก!) เราหาร 720/46656 และเราได้รับความน่าจะเป็นประมาณ 1.5% หากคุณกำลังออกแบบเกมนี้ จะเป็นประโยชน์สำหรับคุณที่จะรู้ว่าเพื่อสร้างระบบการให้คะแนนที่เหมาะสม ตอนนี้เราเข้าใจแล้วว่าทำไมในเกม "Farkle" คุณจะได้รับโบนัสก้อนโตหากคุณได้รับชุดค่าผสม "ตรง" เพราะสถานการณ์นี้ค่อนข้างหายาก!

ผลลัพธ์ก็น่าสนใจด้วยเหตุผลอื่น ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าในช่วงเวลาสั้น ๆ ที่ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นนั้นไม่ค่อยเกิดขึ้น แน่นอนว่าถ้าเราจะโยนลูกเต๋าหลาย ๆ อัน หน้าต่าง ๆ ของลูกเต๋าจะหลุดออกมาค่อนข้างบ่อย แต่เมื่อเราทอยลูกเต๋าเพียงหกลูก เกือบ ไม่เคยไม่ได้ตกหน้าใครทั้งนั้น! จากนี้ไปก็เห็นชัดว่าโง่ที่คาดว่าตอนนี้หน้าอีกใบจะหลุดออกมาซึ่งยังไม่หลุดออกมา “เพราะเราไม่มีเลข 6 มาตั้งนาน แปลว่าเดี๋ยวจะหลุด” .

ฟังนะ เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย ...

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความเข้าใจผิดทั่วไปเกี่ยวกับความน่าจะเป็น: การสันนิษฐานว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีความถี่เท่ากัน ในช่วงเวลาสั้นๆซึ่งไม่เป็นเช่นนั้นจริงๆ หากเราทอยลูกเต๋าหลายๆ ครั้ง ความถี่ของแต่ละขอบจะไม่เท่ากัน

หากคุณเคยทำงานในเกมออนไลน์ที่มีโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มมาก่อน คุณมักจะเจอสถานการณ์ที่ผู้เล่นเขียนถึงฝ่ายสนับสนุนด้านเทคนิคเพื่อบอกว่าโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มของคุณเสียและไม่แสดงตัวเลขสุ่ม และ เขามาถึงข้อสรุปนี้เพราะเขาเพิ่งฆ่าสัตว์ประหลาด 4 ตัวติดต่อกันและได้รับรางวัลเหมือนกัน 4 รางวัลและรางวัลเหล่านี้ควรตกเพียง 10% ของกรณีเท่านั้นดังนั้นนี่ แทบจะไม่เคยไม่ควร แทนที่ซึ่งหมายความว่ามัน ชัดเจนว่าเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย

คุณกำลังคำนวณทางคณิตศาสตร์ 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 เท่ากับ 1 ใน 10,000 ซึ่งหมายความว่าเป็นกรณีที่ค่อนข้างหายาก และนั่นคือสิ่งที่ผู้เล่นพยายามจะบอกคุณ มีปัญหาในกรณีนี้หรือไม่?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ตอนนี้มีผู้เล่นกี่คนบนเซิร์ฟเวอร์ของคุณ? สมมติว่าคุณมีเกมที่ได้รับความนิยมและมีผู้เล่น 100,000 คนทุกวัน มีผู้เล่นกี่คนที่จะฆ่ามอนสเตอร์สี่ตัวติดต่อกัน? ทุกสิ่งเป็นไปได้หลายครั้งต่อวัน แต่สมมติว่าครึ่งหนึ่งเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนไอเท็มต่างๆ ในการประมูลหรือเขียนใหม่บนเซิร์ฟเวอร์ RP หรือดำเนินการเกมอื่น ๆ ดังนั้นอันที่จริงมีเพียงครึ่งหนึ่งเท่านั้นที่ล่ามอนสเตอร์ ความน่าจะเป็นที่ ถึงบางคนรางวัลเดียวกันจะดรอปหรือไม่? ในสถานการณ์เช่นนี้ คุณสามารถคาดหวังได้ว่ารางวัลเดียวกันจะหลุดออกมาหลายครั้งต่อวันเป็นอย่างน้อย!

โดยวิธีการที่ดูเหมือนว่าทุกสองสามสัปดาห์อย่างน้อย ใครบางคนถูกลอตเตอรีถึงแม้คนนั้น ไม่เคยไม่ใช่คุณหรือเพื่อนของคุณ ถ้าคนเล่นเพียงพอทุกสัปดาห์ โอกาสมีอย่างน้อย หนึ่งโชคดี ... แต่ถ้า คุณเล่นลอตเตอรีคุณมีโอกาสน้อยที่จะชนะงานที่ Infinity Ward

แผนที่และการเสพติด

เราได้พูดคุยกันเกี่ยวกับกิจกรรมอิสระ เช่น การทอยลูกเต๋า และตอนนี้เรารู้เครื่องมือที่มีประสิทธิภาพมากมายสำหรับการวิเคราะห์การสุ่มในเกมต่างๆ การคำนวณความน่าจะเป็นนั้นยากกว่าเล็กน้อยเมื่อต้องนำไพ่ออกจากสำรับ เพราะไพ่ทุกใบที่เรานำออกจะส่งผลต่อไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับ หากคุณมีสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบแล้วจั่ว เช่น หัวใจ 10 ใบ และต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบต่อไปจะเป็นไพ่ชุดเดียวกัน ความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปเพราะคุณได้นำไพ่ชุดหัวใจไปแล้วหนึ่งใบ จากดาดฟ้า การ์ดแต่ละใบที่คุณนำออกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นของไพ่ใบถัดไปในสำรับ เนื่องจากในกรณีนี้ เหตุการณ์ก่อนหน้ามีผลกระทบต่อเหตุการณ์ถัดไป เราเรียกความน่าจะเป็นนี้ว่า ขึ้นอยู่กับ.

โปรดทราบว่าเมื่อฉันพูดไพ่ ฉันหมายถึง ใดๆกลไกของเกมซึ่งมีชุดของวัตถุและคุณลบหนึ่งในวัตถุโดยไม่ต้องเปลี่ยน "สำรับไพ่" ในกรณีนี้คล้ายกับถุงโทเค็นที่คุณนำโทเค็นออกหนึ่งอันและไม่ต้องเปลี่ยน หรือโกศที่คุณเอาลูกบอลสีออกมา (อันที่จริงฉันไม่เคยเห็นเกมที่มีโกศที่จะเอาลูกบอลสีออกมา แต่ดูเหมือนว่าครูของทฤษฎีความน่าจะเป็นจะชอบตัวอย่างนี้ เหตุผลบางอย่าง).

คุณสมบัติการพึ่งพา

ฉันต้องการชี้แจงว่าเมื่อพูดถึงไพ่ ฉันคิดว่าคุณจั่วไพ่ ดูมัน และนำออกจากสำรับ การกระทำแต่ละอย่างเหล่านี้เป็นทรัพย์สินที่สำคัญ

ถ้าฉันมีสำรับ เช่น ไพ่หกใบที่มีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 และฉันสับไพ่แล้วหยิบไพ่หนึ่งใบออกมาแล้วสับไพ่ทั้งหกใบอีกครั้ง มันจะเหมือนกับการโยนลูกเต๋าหกด้าน ผลลัพธ์หนึ่งรายการไม่มีผลกับสิ่งต่อไปนี้ เฉพาะในกรณีที่ฉันจั่วไพ่และไม่แทนที่ผลจากการที่ฉันจั่วไพ่ที่มีหมายเลข 1 จะเพิ่มโอกาสที่ครั้งต่อไปที่ฉันจั่วไพ่ที่มีหมายเลข 6 (ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นจนกว่าฉันจะรับในที่สุด ออกไพ่ใบนี้หรือจนกว่าฉันจะสับไพ่)

ความจริงที่ว่าเรา พวกเรามองบนการ์ดก็มีความสำคัญเช่นกัน ถ้าฉันหยิบไพ่ออกจากสำรับแล้วไม่ดู ฉันไม่มีข้อมูลเพิ่มเติม และความจริงแล้วความน่าจะเป็นไม่เปลี่ยนแปลง นี่อาจฟังดูขัดกับสัญชาตญาณ การพลิกไพ่อย่างง่ายจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นได้อย่างไร? แต่นี่เป็นไปได้เพราะคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับวัตถุที่ไม่รู้จักตามข้อเท็จจริงที่ว่าคุณ คุณรู้... ตัวอย่างเช่น หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐาน เปิดไพ่ 51 ใบ และไม่มีไพ่ใบใดที่เป็นราชินีแห่งไม้กอล์ฟ คุณจะรู้ได้อย่างมั่นใจ 100% ว่าไพ่ที่เหลืออยู่คือราชินีแห่งไม้กอล์ฟ หากคุณสับไพ่มาตรฐานและจั่วไพ่ 51 ใบ ทั้งๆ ที่กับพวกเขาแล้ว ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่เหลืออยู่เป็นราชินีแห่งไม้กระบองจะยังคงเป็น 1/52 เมื่อเปิดการ์ดแต่ละใบ คุณจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติม

การคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นต่อกันเป็นไปตามหลักการเดียวกันกับเหตุการณ์อิสระ ยกเว้นว่ามันยากขึ้นเล็กน้อย เนื่องจากความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปเมื่อคุณเปิดไพ่ ดังนั้น คุณต้องคูณค่าต่าง ๆ มากมาย แทนที่จะคูณค่าเดียวกัน อันที่จริง นี่หมายความว่าเราจำเป็นต้องรวมการคำนวณทั้งหมดที่เราทำเป็นชุดเดียว

ตัวอย่าง

คุณสับสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบและจั่วไพ่สองใบ โอกาสที่คุณจะออกคู่คืออะไร? มีหลายวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นนี้ แต่บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดคือ: ความน่าจะเป็นที่เมื่อคุณนำไพ่ออกหนึ่งใบ คุณจะไม่สามารถดึงไพ่ออกมาเป็นคู่ได้เป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ ดังนั้นไม่ว่าคุณจะจั่วไพ่ใบแรกใบไหน ตราบใดที่มันตรงกับไพ่ใบที่สอง ไม่สำคัญว่าเราหยิบไพ่ใบไหนออกก่อน เรายังมีโอกาสออกไพ่คู่ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เราจะหยิบไพ่คู่ออกมาหลังจากหยิบไพ่ใบแรกออกมาได้คือ 100%

โอกาสที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับไพ่ใบแรกเป็นเท่าใด? มีไพ่เหลืออยู่ในสำรับ 51 ใบ และไพ่ 3 ใบตรงกับไพ่ใบแรก (จริงๆ แล้วจะมี 4 ใบจาก 52 ใบ แต่คุณถอดไพ่ที่ตรงกันออกหนึ่งใบเมื่อคุณหยิบไพ่ใบแรกออกมา!) ดังนั้นความน่าจะเป็น คือ 1/17 (ดังนั้นครั้งต่อไปที่ผู้ชายที่อยู่บนโต๊ะจากคุณที่เล่น Texas Hold'em จะพูดว่า “เจ๋งไปอีกคู่ ฉันโชคดีในคืนนี้” คุณจะรู้ว่ามีโอกาสค่อนข้างสูงที่เขาจะบลัฟ)

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเพิ่มโจ๊กเกอร์สองคนและตอนนี้เรามีไพ่ 54 ใบในสำรับ และเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะออกไพ่คู่หนึ่งเป็นเท่าไหร่? ไพ่ใบแรกอาจเป็นโจ๊กเกอร์ แล้วสำรับจะมีเพียง คนเดียวการ์ดไม่ใช่สามซึ่งจะตรงกัน คุณจะหาความน่าจะเป็นในกรณีนี้ได้อย่างไร? เราจะแยกความน่าจะเป็นและคูณความเป็นไปได้แต่ละอย่าง

ไพ่ใบแรกของเราอาจเป็นโจ๊กเกอร์หรือไพ่อื่นๆ ความน่าจะเป็นที่จะจั่วโจ๊กเกอร์คือ 2/54 ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ใบอื่นคือ 52/54

หากไพ่ใบแรกเป็นโจ๊กเกอร์ (2/54) ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองตรงกับไพ่ใบแรกคือ 1/53 คูณค่า (เราสามารถคูณมันได้เพราะสิ่งเหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันและเราต้องการ ทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้น) และเราได้ 1/1431 - น้อยกว่าหนึ่งในสิบของเปอร์เซ็นต์

หากคุณจั่วไพ่ใบอื่นก่อน (52/54) ความน่าจะเป็นที่จะบังเอิญกับไพ่ใบที่สองคือ 3/53 คูณค่าและรับ 78/1431 (มากกว่า 5.5%) เล็กน้อย

เราจะทำอย่างไรกับผลลัพธ์ทั้งสองนี้ พวกมันไม่ตัดกันและเราอยากรู้ความน่าจะเป็น ของแต่ละคนของเราจึงสรุปค่า! เราได้ผลลัพธ์สุดท้าย 79/1431 (ยังคงประมาณ 5.5%)

หากเราต้องการแน่ใจในความถูกต้องของคำตอบ เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้อื่น ๆ ทั้งหมด: นำโจ๊กเกอร์ออกและทำให้ไพ่ใบที่สองไม่ตรงกัน หรือดึงไพ่ใบอื่นออกมาแล้วจับคู่ไพ่ใบที่สองไม่ตรงกัน แล้วรวมทั้งหมดเข้าด้วยกัน ขึ้นกับความน่าจะเป็นที่จะชนะได้อย่างแน่นอน 100% ฉันจะไม่ให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่นี่ แต่คุณสามารถลองคำนวณเพื่อตรวจสอบอีกครั้ง

มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่รู้จักกันดีซึ่งมักจะสร้างความสับสนให้กับหลาย ๆ คน - ความขัดแย้งของมอนตี้ฮอลล์ ความขัดแย้งได้รับการตั้งชื่อตาม “Let's Make a Deal” โฮสต์ Monty Hall หากคุณไม่เคยดูรายการนี้มาก่อน รายการนี้จะตรงข้ามกับรายการโทรทัศน์ The Price Is Right ใน “The Price Is Right” ผู้ดำเนินรายการ (เดิมคือ Bob Barker ตอนนี้… Drew Carey? อย่างไรก็ตาม…) คือเพื่อนของคุณ มัน ต้องการเพื่อให้คุณสามารถชนะเงินหรือรางวัลใหญ่ เขาพยายามมอบทุกโอกาสให้คุณชนะ โดยคุณสามารถเดาได้ว่าสิ่งของที่ผู้สนับสนุนซื้อนั้นมีราคาเท่าใด

มอนตี้ ฮอลล์ทำตัวแตกต่างออกไป เขาเป็นเหมือนฝาแฝดที่ชั่วร้ายของ Bob Barker เป้าหมายของเขาคือการทำให้คุณดูเหมือนคนงี่เง่าในโทรทัศน์แห่งชาติ หากคุณอยู่ในรายการ เขาเป็นคู่ต่อสู้ของคุณ คุณกำลังเล่นกับเขา และโอกาสชนะก็อยู่ในความโปรดปรานของเขา ฉันอาจจะรุนแรงเกินไป แต่เมื่อโอกาสที่จะได้รับเลือกเป็นคู่แข่งดูเหมือนจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการที่คุณใส่สูทที่ไร้สาระหรือไม่ ฉันก็ได้ข้อสรุปแบบนั้น

แต่มีมที่โด่งดังที่สุดอย่างหนึ่งของรายการคือ มีสามประตูอยู่ข้างหน้าคุณ และพวกเขาถูกเรียกว่าประตูหมายเลข 1 ประตูหมายเลข 2 และประตูหมายเลข 3 คุณสามารถเลือกประตูใดก็ได้ ... ฟรี! หลังประตูบานหนึ่งมีรางวัลใหญ่ เช่น รถยนต์นั่งคันใหม่ ประตูอื่นไม่มีรางวัล ประตูสองบานนี้ไม่มีค่า จุดประสงค์ของพวกเขาคือทำให้คุณอับอาย ดังนั้นจึงไม่ใช่ว่าไม่มีอะไรอยู่เบื้องหลังพวกเขา มีบางอย่างที่ดูโง่อยู่ข้างหลังพวกเขา ตัวอย่างเช่น ข้างหลังพวกเขาคือแพะหรือยาสีฟันหลอดใหญ่ หรือบางอย่าง ... อะไรนะ อะไรนะ เป็น exactly ไม่รถโดยสารใหม่

คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง และมอนตี้กำลังจะเปิดประตูเพื่อที่คุณจะได้รู้ว่าคุณชนะหรือไม่ ... แต่เดี๋ยวก่อน ก่อนที่เราจะรู้ว่าลองมาดูที่หนึ่งใน one เหล่านั้นประตูคุณ ไม่ได้เลือก... เนื่องจากมอนตี้รู้ว่าประตูไหนของรางวัลอยู่ด้านหลัง และมีเพียงรางวัลเดียวและ สองประตูที่คุณไม่ได้เลือกไม่ว่าอย่างไรก็ตามเขาสามารถเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลได้เสมอ “คุณเลือกประตูหมายเลข 3 หรือไม่? จากนั้นมาเปิดประตู 1 เพื่อแสดงว่ามันไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง” และตอนนี้ ด้วยความเอื้ออาทร เขาเสนอโอกาสให้คุณแลกประตูหมายเลข 3 ที่เลือกไว้กับประตูที่ 2 อยู่หลังประตูที่ 2 ในเวลานี้เองที่คำถามของความน่าจะเป็นเกิดขึ้น: ความเป็นไปได้ในการเลือกประตูอื่นเพิ่มโอกาสของคุณหรือไม่ ชนะหรือต่ำกว่านั้นหรือยังคงเหมือนเดิม? คุณคิดอย่างไร?

คำตอบที่ถูกต้อง: ความสามารถในการเลือกประตูที่แตกต่างกัน เพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นที่จะชนะจาก 1/3 ถึง 2/3 สิ่งนี้ไม่สมเหตุสมผล หากคุณไม่เคยพบกับความขัดแย้งนี้มาก่อน เป็นไปได้มากว่าคุณกำลังคิดว่า: เดี๋ยวก่อน เราเปลี่ยนความน่าจะเป็นอย่างอัศจรรย์ด้วยการเปิดประตูบานหนึ่ง? แต่ดังที่เราได้เห็นในตัวอย่างกับแผนที่ด้านบนแล้ว นี่คือ อย่างแน่นอนจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติม เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะในครั้งแรกที่คุณเลือกคือ 1/3 และฉันคิดว่าทุกคนจะเห็นด้วยกับสิ่งนั้น เมื่อประตูบานหนึ่งเปิดออก จะไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นที่จะชนะสำหรับตัวเลือกแรกเลย แต่ก็ยังมีความน่าจะเป็นที่ 1/3 แต่นี่หมายความว่าความน่าจะเป็นที่ อื่น ๆประตูที่ถูกต้องตอนนี้คือ 2/3

ลองดูตัวอย่างนี้จากมุมมองที่ต่างออกไป คุณเลือกประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 แนะนำให้เปลี่ยน สองประตูอื่นๆ ซึ่งมอนตี้ ฮอลล์ เสนอให้ทำจริงๆ แน่นอน เขาเปิดประตูบานหนึ่งเพื่อแสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง แต่เขา เสมอสามารถทำได้ ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรจริงๆ แน่นอน คุณจะต้องเลือกประตูอื่น!

หากคุณยังไม่ค่อยเข้าใจในคำถามนี้ และต้องการคำอธิบายที่น่าเชื่อถือมากขึ้น ให้คลิกที่ลิงก์นี้เพื่อไปยังแอปพลิเคชัน Flash เล็กๆ ที่ยอดเยี่ยม ซึ่งจะช่วยให้คุณศึกษาความขัดแย้งนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม คุณสามารถเล่นได้ตั้งแต่ 10 ประตูแล้วค่อยย้ายไปเกมที่มีสามประตู นอกจากนี้ยังมีโปรแกรมจำลองที่คุณสามารถเลือกประตูจำนวนเท่าใดก็ได้ตั้งแต่ 3 ถึง 50 และเล่นหรือเรียกใช้การจำลองหลายพันครั้ง และดูว่าคุณชนะกี่ครั้งหากคุณเล่น

ข้อสังเกตจากครูคณิตศาสตร์ชั้นสูงและผู้เชี่ยวชาญด้านความสมดุลของเกม Maxim Soldatov ซึ่งแน่นอนว่า Schreiber ไม่มี แต่ถ้าไม่มีก็ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจการเปลี่ยนแปลงมหัศจรรย์นี้:

เลือกประตู หนึ่งในสาม ความน่าจะเป็นที่จะ "ชนะ" คือ 1/3 ตอนนี้คุณมี 2 กลยุทธ์: เปลี่ยนทางเลือกหลังจากเปิดประตูผิดหรือไม่ หากคุณไม่เปลี่ยนตัวเลือก ความน่าจะเป็นจะยังคงอยู่ที่ 1/3 เนื่องจากตัวเลือกนั้นอยู่ในขั้นแรกเท่านั้น และคุณต้องเดาทันที หากคุณเปลี่ยน คุณจะชนะได้หากคุณเลือกประตูผิดก่อน (แล้วเขาเปิดผิดอีกจะยังซื่อสัตย์เปลี่ยนใจก็รับไป)
ความน่าจะเป็นที่จะเลือกประตูผิดในตอนเริ่มต้นคือ 2/3 ดังนั้น การเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณทำให้ความน่าจะเป็นในการชนะสูงขึ้น 2 เท่า

และอีกครั้งเกี่ยวกับ Monty Hall Paradox

สำหรับการแสดงนั้น มอนตี้ ฮอลล์ รู้เรื่องนี้เพราะแม้ว่าคู่แข่งของเขาจะไม่เก่งคณิตศาสตร์ เขาคือเข้าใจมันดี นี่คือสิ่งที่เขาทำเพื่อเปลี่ยนเกมเล็กน้อย หากคุณเลือกประตูด้านหลังซึ่งเป็นที่ตั้งของรางวัล ความน่าจะเป็นคือ 1/3 นั้น เสมอเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่น ท้ายที่สุด คุณเลือกรถยนต์นั่งแล้วเปลี่ยนให้เป็นแพะ แล้วคุณจะดูงี่เง่า ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาต้องการจริงๆ เพราะเขาเป็นคนประเภทที่ชั่วร้าย แต่ถ้าคุณเลือกประตูข้างหลังซึ่ง จะไม่มีรางวัล, เท่านั้น ครึ่งในกรณีเช่นนี้ เขาจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่น และในกรณีอื่นๆ เขาจะแสดงแพะตัวใหม่ให้คุณดู และคุณจะออกจากเวที มาวิเคราะห์เกมใหม่ที่มอนตี้ฮอลล์ทำได้ เลือกให้คุณมีโอกาสเลือกประตูอื่นหรือไม่

สมมติว่าเขาทำตามอัลกอริธึมนี้ หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัล เขาจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ มิฉะนั้น ความน่าจะเป็นที่เขาจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นหรือให้แพะคือ 50/50 ความน่าจะเป็นในการชนะของคุณเป็นเท่าไหร่?

ในหนึ่งในสามตัวเลือกนี้ คุณจะเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังของรางวัลทันที และโฮสต์จะเชิญให้คุณเลือกประตูอื่น

จากสองตัวเลือกที่เหลือจากทั้งหมดสามตัวเลือก (ในตอนแรก คุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล) ในครึ่งกรณี เจ้าบ้านจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่น และในอีกครึ่งกรณีไม่ใช่ ครึ่งหนึ่งของ 2/3 เท่ากับ 1/3 นั่นคือ ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะได้แพะ ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะเลือกประตูผิดและเจ้าบ้านจะเสนอให้คุณเลือกอีกตัวหนึ่ง และในกรณีหนึ่งจากสามตัวคุณจะเลือก ประตูขวาและเขาจะขอให้คุณเลือกประตูอื่น

หากผู้นำเสนอให้เลือกประตูอื่น เรารู้อยู่แล้วว่ากรณีหนึ่งในสาม เมื่อเขาให้แพะแก่เราและเราจากไป ไม่ได้เกิดขึ้น นี่เป็นข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพราะหมายความว่าโอกาสในการชนะของเราเปลี่ยนไป ในสองกรณีในสามเมื่อเรามีโอกาสเลือก คดีหนึ่งหมายความว่าเราเดาถูก และอีกกรณีหนึ่งเราเดาผิด ดังนั้นหากเราเสนอโอกาสในการเลือกเลยก็หมายความว่า ความน่าจะเป็นของการชนะของเราคือ 50 / 50 และไม่มี คณิตศาสตร์ผลประโยชน์อยู่กับทางเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น

เช่นเดียวกับโป๊กเกอร์ ตอนนี้มันเป็นเกมทางจิตวิทยา ไม่ใช่เกมทางคณิตศาสตร์ มอนตี้เสนอทางเลือกให้คุณเพราะเขาคิดว่าคุณเป็นคนธรรมดาที่ไม่ทราบว่าการเลือกประตูอื่นเป็นการตัดสินใจที่ "ถูกต้อง" และคุณจะยึดมั่นในทางเลือกของคุณอย่างดื้อรั้นเพราะสถานการณ์ทางจิตวิทยาเมื่อคุณเลือกรถ แล้วแพ้หนักกว่า? หรือเขาคิดว่าคุณฉลาดและเลือกประตูอื่นและเขาเสนอโอกาสนี้ให้คุณเพราะเขารู้ว่าคุณเดาถูกในตอนแรกและคุณจะติดและติดกับดัก? หรือบางทีเขาอาจจะใจดีกับตัวเองผิดปรกติและผลักดันให้คุณทำอะไรบางอย่างเพื่อผลประโยชน์ส่วนตัวของคุณ เพราะเขาไม่ได้ให้รถมาเป็นเวลานานแล้ว และผู้ผลิตของเขาบอกเขาว่าคนดูเริ่มเบื่อและจะดีกว่าถ้าเขาให้ รางวัลใหญ่เร็ว ๆ นี้เพื่อให้เรตติ้งไม่ตก?

ดังนั้น มอนตี้จึงสามารถเสนอทางเลือกได้ (บางครั้ง) และความน่าจะเป็นที่จะชนะโดยรวมยังคงเท่ากับ 1/3 จำไว้ว่ามีโอกาส 1/3 ที่คุณจะเสียทันที ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รับทันทีคือ 1/3 และใน 50% ของกรณีเหล่านี้ คุณจะชนะ (1/3 x 1/2 = 1/6) ความน่าจะเป็นที่คุณจะเดาผิดในตอนแรก แต่หลังจากนั้นคุณจะมีโอกาสเลือกประตูอื่นคือ 1/3 และใน 50% ของกรณีเหล่านี้คุณจะชนะ (เช่น 1/6) เพิ่มโอกาสในการชนะอิสระสองครั้ง และคุณจะได้รับความน่าจะเป็นเท่ากับ 1/3 ดังนั้น ไม่สำคัญว่าคุณจะอยู่กับทางเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น ความน่าจะเป็นโดยรวมของการชนะของคุณตลอดทั้งเกมคือ 1/3 ... ความน่าจะเป็นไม่ได้มากกว่าในสถานการณ์ที่คุณเดาได้ประตูและผู้นำเสนอจะแสดงให้คุณเห็นสิ่งที่อยู่หลังประตูนี้โดยไม่ต้องเลือกประตูอื่น! ประเด็นของการเสนอโอกาสในการเลือกประตูอื่นไม่ใช่เพื่อเปลี่ยนโอกาส แต่เพื่อให้กระบวนการตัดสินใจสนุกยิ่งขึ้นสำหรับการดูทีวี

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้โป๊กเกอร์มีความน่าสนใจ: ในรูปแบบส่วนใหญ่ระหว่างรอบ เมื่อมีการวางเดิมพัน (เช่น ฟล็อป เทิร์น และแม่น้ำในเท็กซัส โฮลเด็ม) การ์ดจะค่อยๆ เปิดเผย และหากในตอนเริ่มเกมคุณมีความเป็นไปได้ที่จะชนะหนึ่งครั้ง หลังจากการเดิมพันแต่ละรอบ เมื่อเปิดไพ่มากขึ้น ความน่าจะเป็นนี้จะเปลี่ยนไป

เด็กชายและเด็กหญิง Paradox

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่รู้จักกันดีซึ่งตามกฎแล้วทุกคนจะไขปริศนา - ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง สิ่งเดียวที่ฉันกำลังเขียนเกี่ยวกับวันนี้ซึ่งไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเกม (แม้ว่าฉันคิดว่านี่หมายความว่าฉันควรสะกิดคุณให้สร้างกลไกของเกมที่เหมาะสม) นี่เป็นปริศนามากกว่า แต่น่าสนใจ และเพื่อที่จะแก้ปัญหานั้น คุณต้องเข้าใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เราพูดถึงข้างต้น

ความท้าทาย: ฉันมีเพื่อนที่มีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งเด็กเป็นเด็กผู้หญิง โอกาสที่ลูกคนที่สองจะเป็นเท่าไหร่ ยังสาว? สมมติว่าในทุกครอบครัว โอกาสที่จะมีผู้หญิงหรือผู้ชายคือ 50/50 และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเด็กทุกคน (อันที่จริง ผู้ชายบางคนมีสเปิร์มมากกว่าด้วยโครโมโซม X หรือโครโมโซม Y ดังนั้นความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไปเล็กน้อยหากคุณ รู้ว่าเด็กคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกสาวนั้นสูงขึ้นเล็กน้อย นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขอื่น ๆ เช่นกระเทย แต่สำหรับการแก้ปัญหานี้เราจะไม่คำนึงถึงเรื่องนี้และถือว่าการกำเนิดของ เด็กเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระและความน่าจะเป็นที่เด็กผู้ชายจะเกิดหรือเด็กหญิงก็เหมือนกัน)

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงโอกาส 1/2 โดยสัญชาตญาณ เราคาดว่าคำตอบน่าจะเป็น 1/2 หรือ 1/4 หรือตัวเลขปัดเศษอื่นๆ ที่เป็นผลคูณของสอง แต่คำตอบคือ: 1/3 ... รอทำไม?

ความยากในกรณีนี้คือข้อมูลที่เรามีลดจำนวนความเป็นไปได้ สมมติว่าพ่อแม่เป็นแฟนของ Sesame Street และไม่ว่าเด็กชายหรือเด็กหญิงจะเกิดมาหรือไม่ พวกเขาตั้งชื่อลูกว่า A และ B ภายใต้สภาวะปกติ มีความเป็นไปได้ที่น่าจะเท่าเทียมกันสี่ประการ: A และ B เป็นเด็กชายสองคน A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคน A เป็นเด็กผู้ชายและ B เป็นเด็กผู้หญิง A เป็นเด็กผู้หญิงและ B เป็นเด็กผู้ชาย เพราะเรารู้ว่า know อย่างน้อยหนึ่งเด็กเป็นเด็กผู้หญิง เราสามารถแยกความเป็นไปได้ที่ A และ B เป็นเด็กชายสองคน ดังนั้นเราจึงเหลือความเป็นไปได้สามอย่าง (ยังน่าจะเท่าๆ กัน) หากความเป็นไปได้ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากันและมีสามทาง เรารู้ว่าความน่าจะเป็นของแต่ละความเป็นไปได้คือ 1/3 ในหนึ่งในสามตัวเลือกนี้ เด็กทั้งคู่เป็นผู้หญิงสองคน ดังนั้นคำตอบคือ 1/3

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

การแก้ปัญหาจะยิ่งไร้เหตุผลมากขึ้นไปอีก ลองนึกภาพถ้าฉันบอกคุณว่าเพื่อนของฉันมีลูกสองคนและลูกหนึ่งคน - สาวที่เกิดวันอังคาร... สมมติว่าภายใต้สภาวะปกติ ความน่าจะเป็นที่จะมีลูกในวันใดวันหนึ่งในเจ็ดวันของสัปดาห์จะเท่ากัน โอกาสที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิงด้วยเป็นอย่างไร? คุณอาจคิดว่าคำตอบยังคงเป็น 1/3; วันอังคารหมายถึงอะไร แต่ในกรณีนี้ สัญชาตญาณทำให้เราล้มเหลว ตอบ: 13/27 ซึ่งไม่ได้เป็นเพียงสัญชาตญาณเท่านั้น มันแปลกมาก เกิดอะไรขึ้น ในกรณีนี้?

อันที่จริง วันอังคารเปลี่ยนความน่าจะเป็นเพราะเราไม่รู้ อันไหนเด็กเกิดในวันอังคารหรืออาจจะ ลูกสองคนเกิดวันอังคาร ในกรณีนี้ เราใช้ตรรกะเดียวกับข้างต้น เรานับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ สมมติว่าเด็กชื่อ A และ B ชุดค่าผสมมีดังนี้:

• ก - เด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร ข - เด็กผู้ชาย (ในสถานการณ์นี้มีความเป็นไปได้ 7 อย่าง หนึ่งอันสำหรับแต่ละวันในสัปดาห์ที่เด็กชายสามารถเกิดได้)
• B - เด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร, A - เด็กผู้ชาย (มีความเป็นไปได้ 7 อย่างเช่นกัน)
• A - ผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร B - ผู้หญิงที่เกิดเมื่อ อื่นๆวันในสัปดาห์ (6 ความเป็นไปได้)
• B - ผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร, A - ผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร (มีโอกาส 6 เช่นกัน)
• A และ B - เด็กผู้หญิงสองคนที่เกิดในวันอังคาร (มีความเป็นไปได้ 1 อย่างคุณต้องใส่ใจเพื่อไม่ให้นับสองครั้ง)

เราสรุปและรับ 27 ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้เท่า ๆ กันของการเกิดของเด็กและวัน โดยมีความเป็นไปได้อย่างน้อยหนึ่งอย่างที่จะได้ลูกสาวในวันอังคาร ในจำนวนนี้มี 13 โอกาสที่ผู้หญิงสองคนจะเกิดมา มันยังดูไร้เหตุผลโดยสิ้นเชิง และดูเหมือนว่างานนี้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อทำให้ปวดหัวเท่านั้น หากคุณยังงงกับตัวอย่างนี้ Jesper Yule นักทฤษฎีเกมมีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้ในเว็บไซต์ของเขา

หากคุณกำลังทำงานเกี่ยวกับเกม ...

หากมีการสุ่มในเกมที่คุณกำลังออกแบบ นี่เป็นโอกาสที่ดีในการวิเคราะห์ เลือกองค์ประกอบที่คุณต้องการวิเคราะห์ ขั้นแรก ถามตัวเองว่าคุณคาดหวังความน่าจะเป็นสำหรับองค์ประกอบใด คุณคิดว่าควรเป็นอย่างไรในบริบทของเกม ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังสร้างเกมสวมบทบาทและกำลังสงสัยว่าผู้เล่นจะสามารถเอาชนะสัตว์ประหลาดในการต่อสู้ได้ขนาดไหน ให้ถามตัวเองว่าเปอร์เซ็นต์ของเงินรางวัลที่คุณคิดว่าเหมาะกับคุณนั้นมีกี่เปอร์เซ็นต์ โดยปกติเมื่อเล่น console RPGs ผู้เล่นจะหงุดหงิดมากเมื่อแพ้ ดังนั้นจึงดีกว่าที่พวกเขาจะไม่แพ้บ่อยๆ ... อาจจะ 10% ของเวลาหรือน้อยกว่านั้น? หากคุณเป็นนักออกแบบเกม RPG คุณอาจจะรู้ดีกว่าฉัน แต่คุณต้องมีแนวคิดพื้นฐานว่าความน่าจะเป็นควรเป็นอย่างไร

แล้วถามตัวเองว่านี่คืออะไร ติดยาเสพติด(เช่นการ์ด) หรือ อิสระ(เหมือนลูกเต๋า) วิเคราะห์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็น 100% สุดท้าย เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่คุณได้รับกับความคาดหวังของคุณ ไม่ว่าคุณจะโยนลูกเต๋าหรือจั่วไพ่ในแบบที่คุณต้องการ หรือคุณเห็นว่าคุณจำเป็นต้องปรับค่า และแน่นอน ถ้าคุณ หาอะไรที่ต้องปรับ คุณสามารถใช้การคำนวณแบบเดียวกันเพื่อกำหนดว่าต้องปรับอะไรมากน้อยแค่ไหน!

การบ้าน

“การบ้าน” ของคุณในสัปดาห์นี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะที่เป็นไปได้ ต่อไปนี้คือเกมลูกเต๋าสองเกมและเกมไพ่ 1 เกมที่คุณจะวิเคราะห์โดยใช้ความน่าจะเป็น รวมถึงกลไกเกมแปลก ๆ ที่ฉันเคยพัฒนาซึ่งคุณสามารถใช้ทดสอบวิธี Monte Carlo ได้

เกมที่ 1 - กระดูกมังกร

เกมนี้เป็นเกมลูกเต๋าที่เราเคยคิดค้นร่วมกับเพื่อนร่วมงาน (ขอบคุณ Jeb Havens และ Jesse King!) และเกมที่ดึงเอาสมองของผู้คนด้วยความน่าจะเป็นออกมาโดยเจตนา เกมนี้เป็นเกมคาสิโนง่าย ๆ ที่เรียกว่า "กระดูกมังกร" และเป็นการแข่งขันลูกเต๋าการพนันระหว่างผู้เล่นและเจ้ามือ คุณได้รับ 1d6 ตามปกติ เป้าหมายของเกมคือการโยนตัวเลขที่สูงกว่าบ้าน ทอมได้รับ 1d6 ที่ไม่ได้มาตรฐาน - เหมือนกับของคุณ แต่แทนที่จะเป็นตัวต่อตัว - ภาพของมังกร (ดังนั้นคาสิโนจึงมีลูกบาศก์ Dragon-2-3-4-5-6) ถ้าบ้านได้มังกรก็จะชนะโดยอัตโนมัติและคุณแพ้ หากคุณทั้งคู่ได้เลขเท่ากัน แสดงว่าเสมอและคุณทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ผู้ที่โยนตัวเลขสูงสุดจะเป็นผู้ชนะ

แน่นอนว่าทุกอย่างไม่ได้ไปเพื่อผู้เล่นทั้งหมดเพราะคาสิโนมีความได้เปรียบในรูปแบบของ Dragon's Edge แต่มันเป็นเช่นนั้นจริงหรือ? คุณต้องคิดออก แต่ก่อนหน้านั้น ให้ตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณ สมมุติว่าเงินรางวัลเป็น 2 ต่อ 1 ดังนั้นหากคุณชนะ คุณคงเงินเดิมพันไว้และเพิ่มเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์และชนะ คุณจะเก็บดอลลาร์นั้นไว้และได้เพิ่มอีก 2 ดอลลาร์รวมเป็น 3 ดอลลาร์ หากคุณแพ้ คุณจะเสียเดิมพันของคุณเท่านั้น คุณจะเล่นไหม คุณรู้สึกโดยสัญชาตญาณหรือไม่ว่าความน่าจะเป็นมากกว่า 2 ต่อ 1 หรือคุณยังคิดว่ามันน้อยกว่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยเฉลี่ยแล้วใน 3 เกม คุณคาดหวังว่าจะชนะมากกว่าหนึ่งครั้งหรือน้อยกว่า หรือหนึ่งครั้งหรือไม่?

เมื่อสัญชาตญาณของคุณแยกออกแล้ว ให้ใช้คณิตศาสตร์ ลูกเต๋าทั้งสองมีตำแหน่งที่เป็นไปได้เพียง 36 ตำแหน่ง ดังนั้นคุณจึงสามารถคำนวณได้ทั้งหมดโดยไม่มีปัญหาใดๆ หากคุณไม่แน่ใจเกี่ยวกับประโยค 2 ต่อ 1 นี้ ลองคิดดู: สมมติว่าคุณเล่นเกม 36 ครั้ง (เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง) สำหรับทุก ๆ ชัยชนะ คุณจะได้รับ 2 ดอลลาร์ สำหรับทุกการสูญเสีย คุณจะสูญเสีย 1 ดอลลาร์ และการเสมอกันจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไร คำนวณการชนะและการสูญเสียที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคุณและตัดสินใจว่าคุณจะเสียเงินจำนวนหนึ่งหรือได้รับ แล้วถามตัวเองว่าสัญชาตญาณของคุณถูกต้องแค่ไหน และจากนั้น - ตระหนักว่าฉันเป็นคนร้าย

และใช่ ถ้าคุณคิดเกี่ยวกับคำถามนี้แล้ว - ฉันจงใจทำให้คุณสับสนโดยบิดเบือนกลไกที่แท้จริงของเกมลูกเต๋า แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถเอาชนะอุปสรรคนี้ได้ด้วยความคิดที่ดี พยายามแก้ปัญหานี้ด้วยตัวเอง ฉันจะโพสต์คำตอบทั้งหมดที่นี่ในสัปดาห์หน้า

เกม # 2 - โยนโชค

นี่คือเกมลูกเต๋าแห่งโอกาสที่เรียกว่า Lucky Roll (เช่น Birdcage เพราะบางครั้งลูกเต๋าจะไม่ถูกโยน แต่วางไว้ในกรงลวดขนาดใหญ่ซึ่งชวนให้นึกถึงกรงจาก Bingo) เป็นเกมง่ายๆ ที่สรุปได้ดังนี้: เดิมพัน พูดว่า 1 ดอลลาร์สำหรับตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 6 จากนั้นคุณหมุน 3d6 สำหรับแต่ละลูกเต๋าที่ตีหมายเลขของคุณ คุณจะได้รับ 1 ดอลลาร์ (และเก็บเดิมพันเดิมของคุณ) หากหมายเลขของคุณไม่ปรากฏบนลูกเต๋าใด ๆ คาสิโนจะได้รับเงินดอลลาร์ของคุณและคุณจะไม่เป็นอะไร ดังนั้น หากคุณเดิมพันที่ 1 และได้ 1 ที่ขอบสามครั้ง คุณจะได้ 3 ดอลลาร์

ตามสัญชาตญาณ เกมนี้ดูเหมือนจะมีโอกาสเท่าเทียมกัน ลูกเต๋าแต่ละลูกมีโอกาสชนะ 1 ใน 6 ของตัว ดังนั้นผลรวมของโอกาสชนะทั้งสามของคุณคือ 3 ถึง 6 อย่างไรก็ตาม จำไว้ว่าคุณกำลังเพิ่มลูกเต๋าสามลูกแยกกัน และคุณได้รับอนุญาตให้เพิ่มได้ก็ต่อเมื่อ เรากำลังพูดถึงการผสมที่ชนะแยกกันของลูกเต๋าเดียวกัน สิ่งที่คุณจะต้องทวีคูณ

เมื่อคุณทราบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว (ใน Excel อาจทำได้ง่ายกว่าการใช้มือ เนื่องจากมี 216 ผลลัพธ์) เกมยังคงดูแปลกและแม้ในแวบแรก แต่ที่จริงแล้วคาสิโนยังมีโอกาสชนะมากกว่า - อีกเท่าไหร่? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณคาดว่าจะเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าไหร่ในแต่ละรอบของเกม? สิ่งที่คุณต้องทำคือรวมการชนะและการสูญเสียของผลลัพธ์ทั้งหมด 216 รายการแล้วหารด้วย 216 ซึ่งน่าจะค่อนข้างง่าย ... แต่อย่างที่คุณเห็น มีข้อผิดพลาดหลายอย่างที่คุณสามารถตกได้ นั่นคือเหตุผลที่ฉัน' มกำลังบอกคุณว่า: ถ้าคุณคิดว่ามีโอกาสชนะเท่ากันในเกมนี้ แสดงว่าคุณคิดผิดทั้งหมด

เกม # 3 - 5 Card Stud Poker

หากคุณอุ่นเครื่องในเกมที่แล้ว มาเช็คกันว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขกับเกมไพ่ใบนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลองนึกภาพโป๊กเกอร์ที่มีสำรับไพ่ 52 ใบ ลองนึกภาพสตั๊ดการ์ด 5 ใบ โดยที่ผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับการ์ดเพียง 5 ใบเท่านั้น คุณไม่สามารถทิ้งการ์ดได้ คุณไม่สามารถจั่วการ์ดใหม่ได้ ไม่มีเด็คทั่วไป คุณได้รับเพียง 5 ใบเท่านั้น

รอยัลฟลัชคือ 10-J-Q-K-A ในมือเดียว มีทั้งหมดสี่วิธี จึงมีสี่วิธีที่เป็นไปได้ในการรับรอยัลฟลัช คำนวณความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รับชุดค่าผสมดังกล่าว

ฉันต้องเตือนคุณอย่างหนึ่ง: จำไว้ว่าคุณสามารถจั่วไพ่ห้าใบนี้ในลำดับใดก็ได้ นั่นคือในตอนแรกคุณสามารถวาดเอซหรือสิบก็ไม่สำคัญ ดังนั้นในขณะที่คำนวณสิ่งนี้ โปรดจำไว้ว่าจริงๆ แล้วมีมากกว่าสี่วิธีในการรับ Royal Flush สมมติว่าไพ่ถูกแจกตามลำดับ!

เกม # 4 - ลอตเตอรี IMF

ปัญหาที่สี่จะไม่สามารถแก้ไขได้ง่ายๆ ด้วยวิธีการที่เราได้พูดถึงในวันนี้ แต่คุณสามารถจำลองสถานการณ์โดยใช้โปรแกรมหรือ Excel ได้อย่างง่ายดาย เป็นตัวอย่างของปัญหานี้ที่คุณสามารถใช้วิธีมอนติคาร์โลได้

ฉันพูดถึงเกม "Chron X" ก่อนหน้านี้ซึ่งฉันทำงานและมีการ์ดที่น่าสนใจมากใบหนึ่ง - ลอตเตอรี IMF นี่คือวิธีการทำงาน: คุณใช้ในเกม หลังจากจบรอบ การ์ดจะถูกแจกจ่ายซ้ำ และมีความเป็นไปได้ 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม และผู้เล่นสุ่มจะได้รับทรัพยากร 5 ยูนิตจากแต่ละประเภทที่มีโทเค็นอยู่บนการ์ดนี้ การ์ดถูกนำไปเล่นโดยไม่มีโทเค็นเดียว แต่ทุกครั้งที่มันยังคงอยู่ในเกมที่จุดเริ่มต้นของรอบถัดไป การ์ดจะได้รับหนึ่งโทเค็น ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่คุณจะพาเธอเข้ามาเล่น รอบจะจบลง การ์ดจะออกจากเกม และไม่มีใครได้อะไรเลย หากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น (ด้วยความน่าจะเป็น 90%) มีโอกาส 10% (จริง ๆ แล้ว 9% เนื่องจากนี่คือ 10% จาก 90%) ในรอบถัดไปเธอจะออกจากเกมและบางคนจะได้รับ 5 หน่วยของทรัพยากร หากการ์ดออกจากเกมหลังจากรอบหนึ่ง (10% ของ 81% ที่มีอยู่ ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 8.1%) ใครบางคนจะได้รับ 10 หน่วย หลังจากรอบอื่น - 15 อีก 20 ต่อ คำถาม: มูลค่าที่คาดหวังโดยทั่วไปของจำนวนทรัพยากรที่คุณจะได้รับจากการ์ดใบนี้เมื่อออกจากเกมในที่สุดคืออะไร?

โดยปกติ เราจะพยายามแก้ปัญหานี้โดยค้นหาความเป็นไปได้ของแต่ละผลลัพธ์และคูณด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่คุณจะได้รับ 0 (0.1 * 0 = 0) 9% ที่คุณจะได้รับ 5 หน่วยของทรัพยากร (9% * 5 = 0.45 ทรัพยากร) 8.1% ของสิ่งที่คุณได้รับ 10 (8.1% * 10 = 0.81 ทรัพยากรทั้งหมด มูลค่าที่คาดไว้) เป็นต้น แล้วเราจะรวมทั้งหมดขึ้น

และตอนนี้ปัญหาก็ชัดเจนสำหรับคุณ: มีโอกาสเสมอที่การ์ด ไม่จะออกจากเกมเพื่อที่เธอจะได้อยู่ในเกม ตลอดไปและตลอดไป, สำหรับจำนวนรอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อให้โอกาสในการคำนวณ ทุกโอกาสไม่ได้อยู่. วิธีการที่เราเรียนรู้ในวันนี้ไม่ได้ให้ความสามารถในการคำนวณการเรียกซ้ำแบบไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นเราจะต้องสร้างมันขึ้นมาเทียม

หากคุณเก่งพอในการเขียนโปรแกรม ให้เขียนโปรแกรมที่จำลองการ์ดใบนี้ คุณควรมีไทม์ลูปที่นำตัวแปรกลับมาที่ตำแหน่งศูนย์เดิม แสดงตัวเลขสุ่ม และด้วยความน่าจะเป็น 10% ตัวแปรจะออกจากลูป มิฉะนั้นจะเพิ่ม 5 ให้กับตัวแปรและวนซ้ำ เมื่อมันหลุดออกมาจากลูป ให้เพิ่มจำนวนการทดลองใช้ทั้งหมด 1 ครั้งและจำนวนทรัพยากรทั้งหมด (จำนวนขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรเหลืออยู่ตรงไหน) จากนั้นรีเซ็ตตัวแปรและเริ่มต้นใหม่ เรียกใช้โปรแกรมหลายพันครั้ง สุดท้าย แบ่งทรัพยากรทั้งหมดด้วยการวิ่งทั้งหมด - นี่จะเป็นค่า Monte Carlo ที่คุณคาดหวัง เรียกใช้โปรแกรมหลาย ๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นใกล้เคียงกัน หากสเปรดยังมีขนาดใหญ่ ให้เพิ่มจำนวนการทำซ้ำในลูปด้านนอกจนกว่าคุณจะเริ่มจับคู่ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าตัวเลขใด ๆ ที่คุณลงเอยจะถูกต้องโดยประมาณ

หากคุณไม่คุ้นเคยกับการเขียนโปรแกรม (หรือแม้แต่ตัวคุณเอง) ต่อไปนี้คือแบบฝึกหัดเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณในการวอร์มทักษะ Excel ของคุณ หากคุณเป็นนักออกแบบเกม ทักษะของ Excel จะไม่ฟุ่มเฟือย

สำหรับตอนนี้ ฟังก์ชัน IF และ RAND จะมีประโยชน์ RAND ไม่ต้องการค่าใด ๆ มันแค่ส่งออกตัวเลขทศนิยมสุ่มระหว่าง 0 ถึง 1 โดยปกติเราจะรวมเข้ากับ FLOOR และข้อดีและข้อเสียเพื่อจำลองการหมุนของแม่พิมพ์ ซึ่งฉันได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราเหลือโอกาสเพียง 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม ดังนั้นเราสามารถตรวจสอบว่าค่า RAND น้อยกว่า 0.1 หรือไม่ และไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป

IF มีสามความหมาย ตามลำดับ เงื่อนไขที่เป็นจริงหรือไม่ จากนั้นเป็นค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นจริง และค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขไม่เป็นความจริง ดังนั้นฟังก์ชันต่อไปนี้จะคืนค่า 5% ของเวลา และ 0 ที่เหลืออีก 90% ของเวลา:
= IF (แรนด์ ()<0.1,5,0)

มีหลายวิธีในการตั้งค่าคำสั่งนี้ แต่ฉันจะใช้สูตรเช่นนี้สำหรับเซลล์ที่แสดงรอบแรก สมมติว่าเป็นเซลล์ A1:

ไอเอฟ (RAND ()<0.1,0,-1)

ฉันใช้ตัวแปรเชิงลบเพื่อหมายถึง "การ์ดใบนี้ยังไม่ออกจากเกมและยังไม่ได้บริจาคทรัพยากรใดๆ" ดังนั้นถ้ารอบแรกจบลงและไพ่หมด A1 จะเป็น 0; มิฉะนั้นจะเป็น -1

สำหรับเซลล์ถัดไปที่แสดงถึงรอบที่สอง:

IF (A1> -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1))

ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและการ์ดออกจากเกมทันที A1 จะเป็น 0 (จำนวนทรัพยากร) และเซลล์นี้จะคัดลอกค่านั้น ในกรณีตรงข้าม A1 คือ -1 (การ์ดยังไม่ออกจากเกม) และเซลล์นี้ยังคงสุ่มย้ายต่อไป: 10% ของเวลาที่จะคืนทรัพยากร 5 หน่วย เวลาที่เหลือจะยังคงมีมูลค่า เป็น -1 หากเราใช้สูตรนี้กับเซลล์เพิ่มเติม เราจะได้รอบเพิ่มเติม และไม่ว่าเซลล์ใดจะตกอยู่ที่คุณในตอนท้าย คุณจะได้รับผลสุดท้าย (หรือ -1 หากการ์ดไม่ออกจากเกมหลังจากเล่นครบทุกรอบ) .

นำแถวของเซลล์นี้ ซึ่งเป็นแถวเดียวที่มีการ์ดใบนี้ แล้วคัดลอกและวางแถวหลายร้อย (หรือหลายพัน) แถว เราอาจทำไม่ได้ ไม่มีที่สิ้นสุดทดสอบ Excel (มีจำนวนเซลล์ในตารางที่จำกัด) แต่อย่างน้อย เราก็สามารถครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ได้ จากนั้นเลือกหนึ่งเซลล์ที่คุณจะวางค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ของทุกรอบ (Excel กรุณาให้ฟังก์ชัน AVERAGE () สำหรับสิ่งนี้)

บน Windows อย่างน้อยคุณสามารถกด F9 เพื่อนับสุ่มตัวเลขทั้งหมด เช่นเคย ทำเช่นนี้หลายครั้งและดูว่าค่าที่คุณได้รับเหมือนกันหรือไม่ หากสเปรดกว้างเกินไป ให้เพิ่มจำนวนการวิ่งเป็นสองเท่าแล้วลองอีกครั้ง

งานที่ยังไม่ได้แก้ไข

หากคุณมีปริญญาด้านความน่าจะเป็นและปัญหาข้างต้นดูเหมือนง่ายเกินไปสำหรับคุณ นี่คือปัญหาสองข้อที่ฉันสงสัยมาหลายปีแล้ว แต่อนิจจา ฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์ที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ หากคุณรู้วิธีแก้ปัญหาโดยฉับพลันโปรดโพสต์ที่นี่ในความคิดเห็นฉันจะอ่านด้วยความยินดี

ปัญหาหมายเลข 1: ลอตเตอรีกองทุนการเงินระหว่างประเทศ

ปัญหาแรกที่แก้ไม่ได้คือการบ้านครั้งก่อน ฉันสามารถใช้วิธี Monte Carlo ได้อย่างง่ายดาย (โดยใช้ C ++ หรือ Excel) และฉันจะมั่นใจในคำตอบของคำถาม "ผู้เล่นจะได้รับทรัพยากรเท่าใด" แต่ฉันไม่รู้ว่าจะให้การพิสูจน์ที่แน่นอนได้อย่างไร ตอบทางคณิตศาสตร์ (นี่คือชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ) หากคุณรู้คำตอบก็โพสต์ที่นี่ ... หลังจากตรวจสอบกับ Monte Carlo แล้วแน่นอน

ปัญหาที่แก้ไขไม่ได้ # 2: ลำดับของรูปร่าง

ปัญหานี้ (และอีกครั้งที่มันไปไกลกว่างานแก้ไขในบล็อกนี้) ถูกส่งมาให้ฉันโดยนักเล่นเกมที่คุ้นเคยเมื่อกว่า 10 ปีที่แล้ว เขาสังเกตเห็นคุณลักษณะหนึ่งที่น่าสนใจเมื่อเล่นแบล็คแจ็คในเวกัส: เมื่อเขาหยิบไพ่จากรองเท้าของเขาเป็น 8 สำรับ เขาเห็น สิบตัวเลขในแถว (ตัวเลขหรือไพ่ที่คิด - 10, Joker, King หรือ Queen ดังนั้นจึงมี 16 ตัวในสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบดังนั้นจึงมี 128 ในรองเท้าไพ่ 416 ใบ) ความน่าจะเป็นที่รองเท้าคู่นี้ อย่างน้อยหนึ่งลำดับ ten หรือมากกว่าตัวเลข? สมมติว่าพวกเขาสับเปลี่ยนกันอย่างตรงไปตรงมาในลำดับแบบสุ่ม (หรือถ้าชอบมากกว่า ความน่าจะเป็นที่ ไม่พบที่ไหนเลยลำดับของรูปร่างตั้งแต่สิบรูปขึ้นไป?)

เราสามารถลดความซับซ้อนของงาน นี่คือลำดับ 416 ส่วน แต่ละชิ้นคือ 0 หรือ 1 มี 128 ตัวและศูนย์ 288 ตัวที่สุ่มกระจัดกระจายไปทั่วลำดับ มีกี่วิธีในการสุ่มแยก 128 ตัวกับ 288 ศูนย์ และวิธีการเหล่านี้มีอย่างน้อยหนึ่งกลุ่มตั้งแต่สิบตัวขึ้นไป

ทุกครั้งที่ฉันเริ่มแก้ปัญหานี้ ดูเหมือนจะง่ายและชัดเจนสำหรับฉัน แต่ทันทีที่ฉันเจาะลึกรายละเอียด มันก็พังทลายลงทันที และดูเหมือนว่าฉันจะเป็นไปไม่ได้เลย ดังนั้นอย่ารีบเร่งที่จะโพล่งคำตอบ: นั่งลง คิดให้รอบคอบ ศึกษาเงื่อนไขของปัญหา พยายามแทนที่ตัวเลขจริง เพราะทุกคนที่ฉันพูดถึงปัญหานี้ด้วย (รวมถึงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาหลายคนที่ทำงานในสาขานี้) ตอบสนองประมาณเดียวกัน "มันค่อนข้างชัดเจน ... โอ้ ไม่ เดี๋ยวก่อน มันไม่ชัดเลย" นี่เป็นกรณีที่ฉันไม่มีวิธีคำนวณตัวเลือกทั้งหมด ฉันสามารถบังคับปัญหาด้วยอัลกอริธึมของคอมพิวเตอร์ได้อย่างแน่นอน แต่การรู้วิธีทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหานี้จะยิ่งอยากรู้มากขึ้น

การแปล - Y. Tkachenko, I. Mikheeva