คำแนะนำ

10, 30, 90, 270...

จำเป็นต้องหาตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
การตัดสินใจ:

ตัวเลือกที่ 1. ใช้เงื่อนไขตามอำเภอใจในความคืบหน้า (เช่น 90) และหารด้วยคำก่อนหน้า (30): 90/30 = 3

หากคุณทราบผลรวมของสมาชิกหลายคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือผลรวมของสมาชิกทั้งหมดของการก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลง ในการหาตัวหารของความก้าวหน้า ให้ใช้สูตรที่เหมาะสม:
Sn = b1 * (1-q ^ n) / (1-q) โดยที่ Sn คือผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและ
S = b1 / (1-q) โดยที่ S คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด (ผลรวมของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าที่มีตัวส่วนน้อยกว่าหนึ่ง)
ตัวอย่าง.

เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงเท่ากับหนึ่ง และผลรวมของสมาชิกทั้งหมดเท่ากับสอง

จำเป็นต้องกำหนดตัวหารของความก้าวหน้านี้
การตัดสินใจ:

เสียบข้อมูลจากปัญหาลงในสูตร มันจะกลายเป็น:
2 = 1 / (1-q) ดังนั้น - q = 1/2

ความก้าวหน้าคือลำดับของตัวเลข ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แต่ละเทอมต่อมาได้มาจากการคูณค่าก่อนหน้าด้วยจำนวน q ที่เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้า

คำแนะนำ

หากคุณรู้คำศัพท์ข้างเคียงสองพจน์ของเรขาคณิต b (n + 1) และ b (n) เพื่อให้ได้ตัวส่วน คุณต้องหารตัวเลขด้วยจำนวนที่มากด้วยจำนวนที่อยู่ข้างหน้า: q = b (n + 1) / ข (น). สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของความก้าวหน้าและตัวส่วน เงื่อนไขที่สำคัญคือความไม่เท่าเทียมกันของเทอมแรกและตัวหารของการก้าวหน้าเป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะถือว่าไม่ได้กำหนดไว้

ดังนั้น ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จึงถูกสร้างขึ้นระหว่างสมาชิกของความก้าวหน้า: b2 = b1 q, b3 = b2 q,…, b (n) = b (n-1) q ตามสูตร b (n) = b1 q ^ (n-1) สามารถคำนวณระยะใด ๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งตัวส่วน q และเทอม b1 เป็นที่รู้จัก นอกจากนี้ แต่ละความก้าวหน้าในโมดูลัสยังเท่ากับค่าเฉลี่ยของสมาชิกข้างเคียง: | b (n) | = √ ดังนั้น ความก้าวหน้าจึงมีอยู่ในตัวมันเอง

อะนาล็อกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด y = a ^ x โดยที่ x อยู่ในเลขชี้กำลังและ a คือจำนวนหนึ่ง ในกรณีนี้ ตัวหารของความก้าวหน้าตรงกับเทอมแรกและเท่ากับจำนวน a ค่าของฟังก์ชัน y สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นพจน์ที่ n ของความก้าวหน้า ถ้าอาร์กิวเมนต์ x ถูกใช้เป็นจำนวนธรรมชาติ n (ตัวนับ)

มีอยู่สำหรับผลรวมของเงื่อนไข n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: S (n) = b1 (1-q ^ n) / (1-q) สูตรนี้ใช้ได้กับ q ≠ 1 ถ้า q = 1 ผลรวมของ n เทอมแรกจะถูกคำนวณโดยสูตร S (n) = n b1 อย่างไรก็ตาม ความก้าวหน้าจะถูกเรียกว่าการเพิ่มขึ้นสำหรับ q ที่มากกว่า 1 และบวก b1 หากตัวหารของความก้าวหน้าไม่เกินหนึ่งในค่าสัมบูรณ์ ความก้าวหน้าจะเรียกว่าการลดลง

กรณีพิเศษของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด (b.d.p.) ความจริงก็คือเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงจะลดลงครั้งแล้วครั้งเล่า แต่จะไม่มีวันถึงศูนย์ อย่างไรก็ตาม คุณสามารถหาผลรวมของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าดังกล่าวได้ ถูกกำหนดโดยสูตร S = b1 / (1-q) จำนวนสมาชิกทั้งหมด n เป็นอนันต์

เพื่อให้เห็นภาพว่าคุณสามารถเพิ่มจำนวนอนันต์ได้อย่างไรและไม่ได้รับอนันต์ในเวลาเดียวกัน อบเค้ก ตัดครึ่งของสิ่งนี้ จากนั้นตัด 1/2 จากครึ่งเป็นต้น ชิ้นที่คุณจะได้รับไม่มีอะไรมากไปกว่าสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วยตัวส่วน 1/2 หากคุณเพิ่มชิ้นส่วนเหล่านี้ทั้งหมด คุณจะได้เค้กดั้งเดิม

ปัญหาเรขาคณิตเป็นแบบฝึกหัดพิเศษที่ต้องใช้การคิดเชิงพื้นที่ หากคุณไม่สามารถแก้เรขาคณิตได้ งานให้ลองทำตามกฎด้านล่าง

คำแนะนำ

อ่านคำชี้แจงของปัญหาอย่างระมัดระวัง หากคุณจำอะไรไม่ได้หรือไม่เข้าใจ ให้อ่านใหม่อีกครั้ง

พยายามกำหนดประเภทของปัญหาทางเรขาคณิต เช่น ปัญหาการคำนวณ เมื่อคุณจำเป็นต้องค้นหาค่า ปัญหาที่ต้องใช้เหตุผลเชิงตรรกะ ปัญหาการก่อสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด ปัญหาปะปนกันมากขึ้น เมื่อคุณทราบประเภทของปัญหาแล้ว ให้ลองคิดอย่างมีเหตุมีผล

ใช้ทฤษฎีบทที่จำเป็นสำหรับปัญหานี้ แต่ถ้ามีข้อสงสัยหรือไม่มีตัวเลือกเลย ให้พยายามจำทฤษฎีที่คุณส่งต่อในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

วาดแนวทางแก้ไขปัญหาในรูปแบบร่างด้วย พยายามใช้วิธีการที่รู้จักเพื่อทดสอบความถูกต้องของการตัดสินใจของคุณ

กรอกวิธีแก้ปัญหาให้เรียบร้อยในโน้ตบุ๊กโดยไม่มีจุดและขีดฆ่าและที่สำคัญที่สุด - อาจต้องใช้เวลาและความพยายามในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตแรก อย่างไรก็ตาม ทันทีที่คุณเชี่ยวชาญในขั้นตอนนี้ คุณจะเริ่มคลิกงานต่างๆ อย่างสนุกสนาน!

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลข b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) โดยที่ b2 = b1 * q, b3 = b2 * q, ..., b (n ) = b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละเทอมของความก้าวหน้าได้มาจากระยะก่อนหน้าโดยการคูณด้วยตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์ของความก้าวหน้า q

คำแนะนำ

ปัญหาความก้าวหน้ามักได้รับการแก้ไขโดยการสร้างและติดตามระบบที่เกี่ยวกับระยะแรกของความก้าวหน้า b1 และตัวส่วนของความก้าวหน้า q เป็นประโยชน์ที่จะจำสูตรบางอย่างเมื่อเขียนสมการ

วิธีแสดงระยะที่ n ของความก้าวหน้าในแง่ของระยะแรกของความก้าวหน้าและตัวหารของความก้าวหน้า: b (n) = b1 * q ^ (n-1)

พิจารณาแยกกรณี | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ "ลำดับตัวเลข ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นบทวิจารณ์ความปรารถนา! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

อุปกรณ์ช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ของ Integral สำหรับเกรด 9
องศาและราก ฟังก์ชันและกราฟ

พวกวันนี้เราจะทำความคุ้นเคยกับความก้าวหน้าอีกประเภทหนึ่ง
หัวข้อของบทเรียนวันนี้คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตัวอย่าง. 1,2,4,8,16 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งเทอมแรกมีค่าเท่ากับหนึ่ง และ $ q = 2 $

ตัวอย่าง. 8,8,8,8 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกคือแปด
และ $ q = 1 $

ตัวอย่าง. 3, -3.3, -3.3 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกเท่ากับสาม
และ $ q = -1 $

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีคุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจ
ถ้า $ b_ (1)> 0 $, $ q> 1 $,
จากนั้นลำดับก็ขึ้น
ถ้า $ b_ (1)> 0 $, $ 0 ลำดับมักจะแสดงเป็น: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $

เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้าจำนวนขององค์ประกอบมีจำกัดในการก้าวหน้าทางเรขาคณิต ความก้าวหน้านั้นเรียกว่าการก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีขอบเขต

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $
หมายเหตุ ถ้าลำดับเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับของกำลังสองของสมาชิกก็คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเช่นกัน สำหรับลำดับที่สอง เทอมแรกคือ $ b_ (1) ^ 2 $ และตัวส่วนคือ $ q ^ 2 $

สูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

กลับไปที่ตัวอย่างของเรา

ตัวอย่าง. 1,2,4,8,16 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกเท่ากับหนึ่ง
และ $ q = 2 $
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $

ตัวอย่าง. 16,8,4,2,1,1,1 / 2 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกคือสิบหกและ $ q = \ frac (1) (2) $
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $

ตัวอย่าง. 8,8,8,8 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกคือแปดและ $ q = 1 $
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 $

ตัวอย่าง. 3, -3.3, -3.3 ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเทอมแรกคือสามและ $ q = -1 $
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $

ตัวอย่าง. คุณจะได้รับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $
ก) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า $ b_ (1) = 6, q = 3 $ ค้นหา $ b_ (5) $
b) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า $ b_ (1) = 6, q = 2, b_ (n) = 768 $ ค้นหา น.
c) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า $ q = -2, b_ (6) = 96 $ ค้นหา $ b_ (1) $
d) เป็นที่ทราบกันว่า $ b_ (1) = - 2, b_ (12) = 4096 $ ค้นหา q

การตัดสินใจ
a) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 $
b) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 $
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $ ตั้งแต่ $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7; n = 8 $
c) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $
d) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 $

ตัวอย่าง. ความแตกต่างระหว่างเทอมที่เจ็ดและห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 192 ผลรวมของเทอมที่ห้าและหกของความก้าวหน้าคือ 192 หาเทอมที่สิบของความก้าวหน้านี้

การตัดสินใจ
เรารู้ว่า: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ และ $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $
เรารู้ด้วยว่า: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $
จากนั้น:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 $
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 $
เราได้ระบบสมการ:
$ \ เริ่มต้น (กรณี) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ สิ้นสุด (กรณี) $
เท่ากับสมการของเราเราได้รับ:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $
$ q ^ 2-1 = q + 1 $
$ q ^ 2-q-2 = 0 $
เราได้คำตอบสองข้อ q: $ q_ (1) = 2, q_ (2) = - 1 $
แทนที่ตามลำดับลงในสมการที่สอง:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 $
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ ไม่มีวิธีแก้ไข
เราได้แล้วว่า: $ b_ (1) = 4, q = 2 $
ค้นหาเทอมที่สิบ: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด

ให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $
ให้เราแนะนำสัญกรณ์สำหรับผลรวมของสมาชิก: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $
ในกรณีที่ $q = 1 $ สมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีค่าเท่ากับเทอมแรก จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่า $ S_ (n) = n * b_ (1) $
พิจารณากรณีนี้ $ q ≠ 1 $
คูณผลรวมข้างต้นด้วย q
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $
บันทึก:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $

$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $

$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $

$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $

$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $

เราได้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด

การตัดสินใจ
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 $

ตัวอย่าง.
ค้นหาระยะที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งเป็นที่รู้จัก: $ b_ (1) = - 3 $; $ b_ (n) = - 3072 $; $ S_ (n) = - 4095 $

การตัดสินใจ
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 $
$ q ^ (n-1) = 1024 $
$ q ^ (n) = 1024q $

$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 $
$ -4095 (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) $
$ -4095 (q-1) = - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 = 1024q-1 $
341 ดอลลาร์สหรัฐฯ = 1364 ดอลลาร์
$ q = 4 $
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 $

คุณสมบัติลักษณะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ลำดับตัวเลขคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็ต่อเมื่อกำลังสองของสมาชิกแต่ละตัวเท่ากับผลคูณของสมาชิกที่อยู่ติดกันสองตัวของความก้าวหน้า อย่าลืมว่าเงื่อนไขนี้ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับสมาชิกคนแรกและคนสุดท้าย

โมดูลัสของสมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกับมัน

การตัดสินใจ
ลองใช้คุณสมบัติเฉพาะ:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 = 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $
$ x ^ 2-x-2 = 0 $
$ x_ (1) = 2 $ และ $ x_ (2) = - 1 $
แทนที่ตามลำดับในนิพจน์ดั้งเดิม โซลูชันของเรา:
ด้วย $ x = 2 $ เราได้ลำดับ: 4; 6; 9 - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่ง $ q = 1.5 $
ด้วย $ x = -1 $ เราได้ลำดับ: 1; 0; 0
คำตอบ: $ x = 2. $

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมกับเลขคณิตเป็นชุดตัวเลขที่สำคัญซึ่งศึกษาในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ในบทความนี้ เราจะพิจารณาตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และผลกระทบต่อคุณสมบัติของค่านั้นอย่างไร

คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เริ่มต้นด้วย ให้นิยามของอนุกรมจำนวนนี้ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเรียกว่าชุดของจำนวนตรรกยะ ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณองค์ประกอบแรกตามลำดับด้วยจำนวนคงที่ ซึ่งเรียกว่าตัวส่วน

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขในแถว 3, 6, 12, 24, ... เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพราะถ้าคุณคูณ 3 (องค์ประกอบแรก) ด้วย 2 คุณจะได้ 6 หากคุณคูณ 6 ด้วย 2 คุณจะได้ 12 เป็นต้น.

สมาชิกของลำดับที่อยู่ระหว่างการพิจารณามักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ai โดยที่ i เป็นจำนวนเต็มที่ระบุจำนวนขององค์ประกอบในแถว

คำจำกัดความข้างต้นของความก้าวหน้าสามารถเขียนในภาษาของคณิตศาสตร์ได้ดังนี้: an = bn-1 * a1 โดยที่ b เป็นตัวส่วน ง่ายต่อการตรวจสอบสูตรนี้: ถ้า n = 1 แล้ว b1-1 = 1 และเราจะได้ a1 = a1 ถ้า n = 2 แล้ว a = b * a1 และเรามาถึงคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่พิจารณาอีกครั้ง การให้เหตุผลที่คล้ายกันสามารถดำเนินต่อไปได้สำหรับค่าขนาดใหญ่ของ n

ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

หมายเลข b จะกำหนดอักขระทั้งหมดของชุดตัวเลขทั้งหมด ตัวส่วน b สามารถเป็นค่าบวก ค่าลบ หรือค่ามากกว่าหนึ่งหรือน้อยกว่า ตัวเลือกทั้งหมดเหล่านี้นำไปสู่ลำดับที่แตกต่างกัน:

• b> 1 มีชุดจำนวนตรรกยะเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 8, ... หากองค์ประกอบ a1 เป็นลบ ลำดับทั้งหมดจะเพิ่มขึ้นเฉพาะในค่าสัมบูรณ์ แต่ลดลงโดยคำนึงถึงเครื่องหมายของตัวเลข
• b = 1 กรณีดังกล่าวมักไม่เรียกว่าความก้าวหน้า เนื่องจากมีชุดจำนวนตรรกยะที่เหมือนกันหลายชุด ตัวอย่างเช่น -4, -4, -4

สูตรสำหรับจำนวนเงิน

ก่อนดำเนินการพิจารณาปัญหาเฉพาะโดยใช้ตัวส่วนของประเภทความก้าวหน้าที่พิจารณา ควรกำหนดสูตรที่สำคัญสำหรับผลรวมขององค์ประกอบ n แรก สูตรคือ: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)

คุณสามารถรับนิพจน์นี้ได้ด้วยตนเองหากคุณพิจารณาลำดับแบบเรียกซ้ำของสมาชิกของความก้าวหน้า โปรดทราบด้วยว่าในสูตรข้างต้น การรู้เพียงองค์ประกอบแรกและตัวส่วนก็เพียงพอแล้วที่จะหาผลรวมของจำนวนพจน์ตามอำเภอใจ

ลำดับที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

ด้านบนได้รับคำอธิบายว่ามันคืออะไร ตอนนี้ เมื่อรู้สูตรของ Sn แล้ว นำไปใช้กับอนุกรมตัวเลขนี้ เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่มีโมดูลัสไม่เกิน 1 เมื่อเพิ่มเป็นองศามากมีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นคือ b∞ => 0 ถ้า -1

เนื่องจากความแตกต่าง (1 - b) จะเป็นค่าบวกเสมอ โดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวส่วน เครื่องหมายของผลรวมของความก้าวหน้าที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดของเรขาคณิต S∞ จะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายขององค์ประกอบแรก a1 อย่างไม่ซ้ำกัน

ตอนนี้เราจะพิจารณางานหลายอย่างซึ่งเราจะแสดงวิธีใช้ความรู้ที่ได้รับกับตัวเลขเฉพาะ

ปัญหาหมายเลข 1 การคำนวณองค์ประกอบที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้าและผลรวม

คุณได้รับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวหารของความก้าวหน้าคือ 2 และองค์ประกอบแรกคือ 3 เทอมที่ 7 และ 10 จะเท่ากับอะไร และผลรวมขององค์ประกอบเริ่มต้นทั้งเจ็ดเป็นเท่าใด

เงื่อนไขของปัญหานั้นค่อนข้างเรียบง่ายและสันนิษฐานว่าใช้สูตรข้างต้นโดยตรง ดังนั้น ในการคำนวณองค์ประกอบที่มีตัวเลข n เราใช้นิพจน์ a = bn-1 * a1 สำหรับองค์ประกอบที่ 7 เรามี: a7 = b6 * a1 แทนที่ข้อมูลที่รู้จัก เราได้รับ: a7 = 26 * 3 = 192 เราทำเช่นเดียวกันสำหรับเทอมที่ 10: a10 = 29 * 3 = 1536

ลองใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับผลรวมและกำหนดค่านี้สำหรับองค์ประกอบ 7 แรกของชุดข้อมูล เรามี: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381

ปัญหาหมายเลข 2 การหาผลรวมขององค์ประกอบตามอำเภอใจของความก้าวหน้า

ให้ -2 เป็นตัวหารของความก้าวหน้าแบบเลขชี้กำลัง bn-1 * 4 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม จำเป็นต้องกำหนดจำนวนเงินตั้งแต่องค์ประกอบที่ 5 ถึงองค์ประกอบที่ 10 ของชุดนี้รวมอยู่ด้วย

ปัญหาที่เกิดขึ้นไม่สามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยใช้สูตรที่รู้จัก สามารถแก้ไขได้ 2 วิธี เพื่อความสมบูรณ์เราขอนำเสนอทั้งสองอย่าง

วิธีที่ 1 แนวคิดนั้นเรียบง่าย: จำเป็นต้องคำนวณผลรวมสองค่าที่สอดคล้องกันของเทอมแรก แล้วลบอีกอันออกจากอันหนึ่ง เราคำนวณจำนวนที่น้อยกว่า: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364 ตอนนี้เราคำนวณผลรวมจำนวนมาก: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20 โปรดทราบว่าในนิพจน์สุดท้าย มีเพียง 4 คำเท่านั้นที่สรุปได้ เนื่องจากข้อที่ 5 รวมอยู่ในผลรวมที่ต้องคำนวณตามเงื่อนไขของปัญหาแล้ว สุดท้าย ใช้ความแตกต่าง: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344

วิธีที่ 2 ก่อนแทนที่ตัวเลขและการนับ คุณสามารถหาสูตรสำหรับผลรวมระหว่างสมาชิก m และ n ของชุดข้อมูลที่ต้องการได้ เราทำเหมือนกับในวิธีที่ 1 ทุกประการ มีเพียงเราเท่านั้นที่ทำงานกับการแสดงสัญลักษณ์ของผลรวม เรามี: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . ในนิพจน์ผลลัพธ์ คุณสามารถแทนที่ตัวเลขที่ทราบและคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344

ปัญหาหมายเลข 3 ตัวส่วนคืออะไร?

ให้ a1 = 2 หาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยที่ผลรวมอนันต์ของมันคือ 3 และเป็นที่ทราบกันว่านี่เป็นชุดตัวเลขที่ลดลง

ตามเงื่อนไขของปัญหา เดาง่าย ๆ ว่าควรใช้สูตรไหนแก้ แน่นอน สำหรับผลรวมความก้าวหน้าจะลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เรามี: S∞ = a1 / (1 - b) จากที่เราแสดงตัวส่วน: b = 1 - a1 / S∞ มันยังคงแทนที่ค่าที่รู้จักและรับจำนวนที่ต้องการ: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 หรือ -0.333 (3) ผลลัพธ์นี้สามารถตรวจสอบในเชิงคุณภาพได้หากเราจำได้ว่าสำหรับลำดับประเภทนี้ โมดูลัส b ไม่ควรเกิน 1 อย่างที่คุณเห็น | -1 / 3 |

ปัญหาหมายเลข 4 การกู้คืนชุดตัวเลข

ให้องค์ประกอบ 2 ของอนุกรมตัวเลขเช่น 5 เท่ากับ 30 และ 10 เท่ากับ 60 จำเป็นต้องสร้างชุดข้อมูลทั้งหมดขึ้นใหม่จากข้อมูลเหล่านี้โดยรู้ว่าเป็นไปตามคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ในการแก้ปัญหา ก่อนอื่นคุณต้องเขียนนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกันสำหรับแต่ละคำศัพท์ที่รู้จัก เรามี: a5 = b4 * a1 และ a10 = b9 * a1 ตอนนี้เราหารนิพจน์ที่สองด้วยนิพจน์แรก เราได้: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 จากที่นี่ เรากำหนดตัวส่วนโดยหารากที่ห้าของอัตราส่วนของเงื่อนไขที่ทราบจากเงื่อนไขของปัญหา b = 1.148698 เราแทนที่จำนวนผลลัพธ์ในนิพจน์หนึ่งสำหรับองค์ประกอบที่รู้จัก เราได้รับ: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966

ดังนั้นเราจึงพบว่าตัวส่วนของความก้าวหน้า bn คืออะไร และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต bn-1 * 17.2304966 = an โดยที่ b = 1.148698

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช้ที่ไหน?

หากไม่มีการประยุกต์ใช้ชุดตัวเลขนี้ในทางปฏิบัติ การศึกษาก็จะลดลงเหลือเพียงความสนใจในเชิงทฤษฎีเท่านั้น แต่มีแอปพลิเคชันดังกล่าว

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุด 3 ตัวอย่าง:

• ความขัดแย้งของ Zeno ซึ่ง Achilles ที่ฉลาดไม่สามารถตามเต่าช้าได้ ได้รับการแก้ไขโดยใช้แนวคิดของลำดับตัวเลขที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
• หากคุณใส่เมล็ดข้าวสาลีลงบนแต่ละตารางของกระดานหมากรุกโดยให้เมล็ดพืช 1 เม็ดวางอยู่ในช่องที่ 1, 2 - ที่ 2, 3 - ที่ 3, และอื่นๆ ดังนั้น 18446744073709551615 เม็ดก็จะต้องเติมลงในช่องสี่เหลี่ยมทั้งหมด คณะกรรมการ!
• ในเกม Tower of Hanoi เพื่อจัดเรียงดิสก์จากคันหนึ่งไปยังอีกคันหนึ่ง คุณต้องดำเนินการ 2n - 1 นั่นคือจำนวนของพวกเขาเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณด้วยจำนวนดิสก์ n ที่ใช้

ระดับแรก

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คู่มือฉบับสมบูรณ์พร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับตัวเลข

มานั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกัน ตัวอย่างเช่น:

คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้และมีจำนวนเท่าใดก็ได้ (ในกรณีของเราคือตัวเลข) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขกี่ตัว เราก็บอกได้เสมอว่าตัวไหนตัวแรก ตัวที่สอง และตัวสุดท้ายต่อไปเรื่อยๆ นั่นคือ เราสามารถนับเลขได้ นี่คือตัวอย่างของลำดับตัวเลข:

ลำดับตัวเลขคือชุดของตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้

ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:

หมายเลขที่กำหนดเป็นหมายเลขเฉพาะในลำดับเดียวเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ ตัวเลขที่สอง (เช่น - ตัวเลข) จะเป็นหนึ่งเสมอ

หมายเลขที่มีตัวเลขเรียกว่าสมาชิกลำดับที่

เรามักจะเรียกตัวอักษรบางตัวในลำดับทั้งหมด (ตัวอย่างเช่น) และสมาชิกแต่ละตัวของลำดับนี้คือตัวอักษรเดียวกันโดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนของสมาชิกนี้:

ในกรณีของเรา:

ประเภทของความก้าวหน้าที่พบบ่อยที่สุดคือเลขคณิตและเรขาคณิต ในกระทู้นี้เราจะพูดถึงประเภทที่สอง - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

ทำไมเราต้องมีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและประวัติความเป็นมาของมัน

แม้แต่ในสมัยโบราณ นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เลโอนาร์โด แห่งปิซา (หรือที่รู้จักกันในนามฟีโบนักชี) ก็มีส่วนร่วมในการแก้ไขความต้องการเชิงปฏิบัติของการค้าขาย พระภิกษุต้องเผชิญกับงานกำหนดด้วยน้ำหนักที่น้อยที่สุดที่สามารถชั่งน้ำหนักสินค้าได้หรือไม่? ในงานเขียนของเขา ฟีโบนักชีพิสูจน์ว่าระบบน้ำหนักดังกล่าวเหมาะสมที่สุด: นี่เป็นหนึ่งในสถานการณ์แรกๆ ที่ผู้คนต้องเผชิญกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งคุณคงเคยได้ยินมาบ้างแล้วและอย่างน้อยก็มีแนวคิดทั่วไป เมื่อคุณเข้าใจหัวข้อนี้แล้ว ลองคิดดูว่าเหตุใดระบบดังกล่าวจึงเหมาะสมที่สุด

ในปัจจุบันในทางปฏิบัติ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตปรากฏขึ้นเมื่อนำเงินไปลงทุนในธนาคาร เมื่อคิดดอกเบี้ยตามจำนวนเงินที่สะสมในบัญชีสำหรับงวดก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณฝากเงินแบบมีกำหนดระยะเวลาในธนาคารออมสิน ในปีหนึ่งเงินฝากจะเพิ่มขึ้นมากกว่าจำนวนเดิม กล่าวคือ จำนวนเงินใหม่จะเท่ากับเงินฝากคูณด้วย ในอีกหนึ่งปี จำนวนเงินนี้จะเพิ่มขึ้น กล่าวคือ จำนวนเงินที่ได้รับในขณะนั้นจะถูกคูณซ้ำไปเรื่อยๆ สถานการณ์ที่คล้ายกันได้อธิบายไว้ในปัญหาในการคำนวณสิ่งที่เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น- เปอร์เซ็นต์จะถูกนำมาจากจำนวนเงินในบัญชีแต่ละครั้งโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยก่อนหน้า เราจะพูดถึงงานเหล่านี้ในภายหลัง

มีหลายกรณีที่ง่ายกว่ามากที่ใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่นการแพร่กระจายของไข้หวัดใหญ่: คนหนึ่งติดเชื้อคน ๆ หนึ่งพวกเขาก็ติดเชื้ออีกคนหนึ่งและด้วยเหตุนี้คลื่นลูกที่สองของการติดเชื้อจึงเป็นบุคคลหนึ่งและพวกเขาก็ติดเชื้ออีกราย ... เป็นต้น .. .

อย่างไรก็ตาม ปิรามิดทางการเงินซึ่งเป็น MMM เดียวกันนั้นเป็นการคำนวณที่ง่ายและไม่ซับซ้อนโดยพิจารณาจากคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต น่าสนใจ? ลองคิดออก

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลข:

คุณจะตอบทันทีว่านี่เป็นเรื่องง่าย และชื่อของลำดับดังกล่าวเป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่างของสมาชิกในลำดับนั้น เกี่ยวกับเรื่องนี้:

หากคุณลบตัวเลขก่อนหน้าออกจากตัวเลขถัดไป คุณจะเห็นว่าทุกครั้งที่ได้รับส่วนต่างใหม่ (และอื่นๆ) แต่ลำดับนั้นมีอยู่จริง และสังเกตได้ง่าย - แต่ละหมายเลขถัดไปมีขนาดใหญ่กว่าตัวเลขก่อนหน้าหลายเท่า !

ลำดับตัวเลขแบบนี้เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและระบุโดย

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต () เป็นลำดับตัวเลข เทอมแรกไม่ใช่ศูนย์ และแต่ละเทอม เริ่มจากวินาที เท่ากับค่าก่อนหน้า คูณด้วยตัวเลขเดียวกัน ตัวเลขนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ข้อจำกัดที่เทอมแรก () ไม่เท่ากันและไม่สุ่ม สมมุติว่าไม่มีเลย และเทอมแรกยังคงเท่ากัน และ q เท่ากัน อืม .. แล้วปรากฎว่า:

ยอมรับว่าไม่มีความคืบหน้าอีกต่อไป

อย่างที่คุณจินตนาการได้ เราจะได้ผลลัพธ์แบบเดียวกัน ถ้าเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ และ ในกรณีเหล่านี้ จะไม่มีความคืบหน้า เนื่องจากชุดตัวเลขทั้งหมดจะเป็นเลขศูนย์ทั้งหมด หรือตัวเลขเดียว และเลขศูนย์อื่นๆ ทั้งหมด

ทีนี้มาพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต นั่นคือ Fr.

มาทำซ้ำ: เป็นตัวเลข เทอมต่อมาเปลี่ยนกี่ครั้งความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คุณคิดว่ามันจะเป็นอะไร? ถูกต้องทั้งบวกและลบ แต่ไม่ใช่ศูนย์ (เราพูดถึงเรื่องนี้ด้านบน)

สมมุติว่าเรามีข้อดีอย่างหนึ่ง ให้ในกรณีของเราเช่นกัน เทอมที่สองคืออะไรและ? คุณสามารถตอบได้อย่างง่ายดายว่า:

ทุกอย่างถูกต้อง ดังนั้นถ้าสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเหมือนกัน - พวกเขา บวก.

เกิดอะไรขึ้นถ้าเป็นลบ? ตัวอย่างเช่น เทอมที่สองคืออะไรและ?

นี่เป็นเรื่องราวที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง

ลองนับระยะของความก้าวหน้านี้ คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี. ดังนั้น ถ้า แล้วสัญญาณของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสลับกัน นั่นคือถ้าคุณเห็นความก้าวหน้าโดยมีเครื่องหมายสลับกันบนสมาชิก ตัวส่วนจะเป็นลบ ความรู้นี้สามารถช่วยคุณทดสอบตัวเองเมื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

มาฝึกกันสักหน่อย: พยายามกำหนดว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และเลขใดเป็นเลขคณิต:

เข้าใจไหม? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:

• ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - 3, 6
• ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - 2, 4
• ไม่ใช่ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือทางเรขาคณิต - 1, 5, 7

กลับไปที่ความคืบหน้าสุดท้ายของเราแล้วลองหาเทอมในลักษณะเดียวกับเลขคณิต อย่างที่คุณอาจเดาได้ มีสองวิธีในการค้นหา

เราคูณแต่ละเทอมด้วย

ดังนั้น สมาชิกที่ th ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ

อย่างที่คุณอาจเดาได้ ตอนนี้ตัวคุณเองจะได้สูตรที่จะช่วยคุณค้นหาสมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หรือคุณนำมันออกมาเองแล้วอธิบายวิธีการหาสมาชิก th ทีละขั้นตอน? ถ้าเป็นเช่นนั้น ให้ตรวจสอบความถูกต้องของการให้เหตุผลของคุณ

ให้เราอธิบายสิ่งนี้โดยตัวอย่างของการหาสมาชิก th ของความก้าวหน้าที่กำหนด:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

ค้นหาคุณค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดด้วยตัวคุณเอง

เกิดขึ้น? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:

สังเกตว่าคุณได้จำนวนเท่ากันทุกประการกับวิธีการก่อนหน้านี้ เมื่อเราคูณด้วยระยะก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างต่อเนื่อง
มาลอง "ทำให้เป็นส่วนตัว" สูตรนี้กัน - เราจะนำมาในรูปแบบทั่วไปและรับ:

สูตรที่ได้รับนั้นถูกต้องสำหรับค่าทั้งหมด ทั้งค่าบวกและค่าลบ ตรวจสอบด้วยตนเองโดยคำนวณสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยเงื่อนไขต่อไปนี้:

นับไหม? ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ:

เห็นด้วยว่าจะสามารถหาสมาชิกของความก้าวหน้าในลักษณะเดียวกับสมาชิกได้ อย่างไรก็ตาม มีความเป็นไปได้ที่จะนับไม่ถูกต้อง และถ้าเราพบเทอมที่ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว อะไรจะง่ายกว่าการใช้ส่วน "ตัด" ของสูตร

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้พูดคุยเกี่ยวกับความจริงที่ว่ามันสามารถมากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์อย่างไรก็ตามมีค่าพิเศษที่เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด.

ทำไมคุณถึงคิดชื่อดังกล่าว?
เริ่มต้นด้วย ให้เขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยสมาชิก
สมมติว่า a แล้ว:

เราเห็นว่าแต่ละเทอมต่อมามีค่าน้อยกว่าตัวคูณก่อนหน้าทีละตัว แต่จะมีจำนวนหรือไม่? คุณจะตอบทันทีว่าไม่ นั่นคือเหตุผลที่การลดลงอย่างไม่สิ้นสุด - ลดลง ลดลง และไม่เคยกลายเป็นศูนย์

เพื่อให้เข้าใจอย่างชัดเจนว่าหน้าตาเป็นอย่างไร ให้ลองวาดกราฟแสดงความก้าวหน้าของเรา ดังนั้น สำหรับกรณีของเรา สูตรจะมีรูปแบบดังนี้:

เป็นเรื่องปกติที่เราจะสร้างการพึ่งพาแผนภูมิ ดังนั้น:

สาระสำคัญของนิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง: ในบันทึกแรก เราแสดงการพึ่งพาค่าของสมาชิกความก้าวหน้าทางเรขาคณิตบนหมายเลขซีเรียล และในบันทึกที่สอง เราเพียงเอาค่าของสมาชิกความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็น เลขลำดับไม่ได้ระบุเป็น แต่อย่างไร สิ่งที่ต้องทำคือสร้างกราฟ
มาดูกันว่าคุณจะได้อะไร นี่คือกราฟที่ฉันได้รับ:

ดู? ฟังก์ชั่นลดลง มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่ไม่เคยข้ามมัน ดังนั้นมันจึงลดลงอย่างไม่สิ้นสุด มาทำเครื่องหมายจุดของเราบนกราฟและในขณะเดียวกันพิกัดและความหมายคืออะไร:

พยายามวาดแผนผังของกราฟของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเมื่อเทอมแรกมีค่าเท่ากัน วิเคราะห์ ความแตกต่างกับแผนภูมิก่อนหน้าของเราคืออะไร

คุณจัดการ? นี่คือกราฟที่ฉันได้รับ:

ตอนนี้คุณเข้าใจพื้นฐานของชุดรูปแบบของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างสมบูรณ์แล้ว: คุณรู้ว่ามันคืออะไร คุณรู้วิธีค้นหาคำศัพท์และรู้ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคืออะไร มาต่อกันที่คุณสมบัติหลักของมัน

คุณสมบัติความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

จำคุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์? ใช่ใช่จะค้นหามูลค่าของความก้าวหน้าจำนวนหนึ่งได้อย่างไรเมื่อมีค่าก่อนหน้าและที่ตามมาของสมาชิกของความก้าวหน้าที่กำหนด จำได้ไหม นี้:

ตอนนี้เรากำลังเผชิญกับคำถามเดียวกันสำหรับสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพื่อให้ได้สูตรที่คล้ายคลึงกัน เรามาเริ่มวาดและให้เหตุผลกัน คุณจะเห็นว่ามันง่ายมาก และถ้าคุณลืม คุณก็สามารถดึงมันออกมาได้ด้วยตัวเอง

มาดูความก้าวหน้าทางเรขาคณิตง่ายๆ ที่เรารู้จักและกัน จะหาได้อย่างไร? ด้วยความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มันง่ายและไม่ซับซ้อน แต่แล้วที่นี่ล่ะ? ที่จริงแล้ว เรขาคณิตไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน คุณแค่ต้องเขียนแต่ละค่าที่ให้เราโดยใช้สูตร

คุณถามว่าเราควรทำอย่างไรกับสิ่งนี้ตอนนี้? มันง่ายมาก ในการเริ่มต้น เราจะอธิบายสูตรเหล่านี้ในรูป และพยายามทำการปรับแต่งต่างๆ เพื่อให้ได้ค่า

เราสรุปจากตัวเลขที่เราได้รับเราจะเน้นที่การแสดงผ่านสูตรเท่านั้น เราต้องหาค่าที่เน้นเป็นสีส้มโดยรู้ว่าสมาชิกที่อยู่ติดกัน ลองทำการกระทำต่าง ๆ กับพวกเขาซึ่งเราสามารถได้รับ

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.
ลองเพิ่มนิพจน์สองนิพจน์แล้วเราได้รับ:

จากนิพจน์นี้ อย่างที่คุณเห็น เราไม่สามารถแสดงออกในทางใดทางหนึ่ง ดังนั้น เราจะลองใช้ตัวเลือกอื่น - การลบ

การลบ

อย่างที่คุณเห็น เราไม่สามารถแสดงออกจากสิ่งนี้ได้ ดังนั้น เราจะพยายามคูณนิพจน์เหล่านี้เข้าด้วยกัน

การคูณ

ตอนนี้ดูให้ดีว่าเรามีอะไร คูณสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ให้เราเปรียบเทียบกับสิ่งที่ต้องพบ:

คาดเดาสิ่งที่ฉันพูดถึง? ถูกต้อง ในการหา เราจำเป็นต้องหารากที่สองของตัวเลขความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการคูณด้วยกันเอง:

เอาล่ะ. คุณเองได้อนุมานคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว ลองเขียนสูตรนี้ในแง่ทั่วไป เกิดขึ้น?

ลืมเงื่อนไขเพื่อ? ลองคิดดูว่าเหตุใดจึงสำคัญ เช่น ลองคำนวณเอง ถ้า จะเกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้? ถูกต้อง ไร้สาระสมบูรณ์ เนื่องจากสูตรมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นอย่าลืมข้อจำกัดนี้

ทีนี้ลองคำนวณว่ามีค่าเท่ากับ

คำตอบที่ถูกต้อง - ! หากเมื่อคำนวณแล้ว คุณไม่ลืมค่าที่เป็นไปได้ที่สอง แสดงว่าคุณเป็นเพื่อนที่ดี และคุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมได้ทันที และหากคุณลืม ให้อ่านสิ่งที่แยกส่วนเพิ่มเติมและให้ความสนใจว่าทำไมจึงจำเป็นต้องจดทั้งสองไว้ รากในคำตอบ

ลองวาดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตทั้งสองของเรา - อันหนึ่งมีความหมายและอีกอันมีความหมายและตรวจสอบว่าทั้งคู่มีสิทธิ์มีอยู่หรือไม่:

เพื่อตรวจสอบว่ามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตดังกล่าวหรือไม่ จำเป็นต้องดูว่าสมาชิกที่ให้มาทั้งหมดเหมือนกันหรือไม่ คำนวณ q สำหรับกรณีแรกและกรณีที่สอง

ดูว่าทำไมเราต้องเขียนคำตอบสองข้อ? เพราะเครื่องหมายของเงื่อนไขที่กำหนดขึ้นอยู่กับว่ามันเป็นบวกหรือลบ! และเนื่องจากเราไม่รู้ว่าเขาคืออะไร เราจึงต้องเขียนคำตอบทั้งบวกและลบ

ตอนนี้คุณได้เข้าใจประเด็นหลักและได้รับสูตรสำหรับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว ให้ค้นหา รู้ และ

เปรียบเทียบคำตอบที่ได้รับกับคำตอบที่ถูกต้อง:

คุณคิดอย่างไรถ้าเราไม่ได้รับค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการ แต่มีค่าเท่ากัน ตัวอย่างเช่นเราจำเป็นต้องค้นหาและได้รับและ ในกรณีนี้ เราสามารถใช้สูตรที่ได้มาได้หรือไม่? พยายามยืนยันหรือปฏิเสธความเป็นไปได้นี้ในลักษณะเดียวกัน โดยเขียนว่าแต่ละค่าประกอบด้วยอะไรบ้าง อย่างที่คุณทำเมื่อได้สูตรมาในตอนแรก
คุณทำอะไรลงไป?

ตอนนี้มองอย่างใกล้ชิดอีกครั้ง
และในทำนองเดียวกัน:

จากนี้สรุปได้ว่าสูตรได้ผล ไม่ใช่แค่กับเพื่อนบ้านด้วยเงื่อนไขที่จำเป็นของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แต่ยังรวมถึง เท่ากันจากสมาชิกที่ใฝ่ฝัน

ดังนั้นสูตรเริ่มต้นของเราจึงอยู่ในรูปแบบ:

นั่นคือ ถ้าในกรณีแรก เราบอกว่า ตอนนี้ เราบอกว่า มันเท่ากับจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่น้อยกว่าก็ได้ สิ่งสำคัญคือต้องเหมือนกันสำหรับทั้งสองหมายเลข

ฝึกฝนด้วยตัวอย่างเฉพาะ ระวังให้มาก!

1. ,. การค้นหา.
2. ,. การค้นหา.
3. ,. การค้นหา.

ฉันตัดสินใจ? ฉันหวังว่าคุณจะใส่ใจอย่างมากและสังเกตเห็นสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ

เราเปรียบเทียบผลลัพธ์

ในสองกรณีแรก เราใช้สูตรข้างต้นอย่างใจเย็นและรับค่าต่อไปนี้:

กรณีที่สาม เมื่อพิจารณาอย่างถี่ถ้วนเกี่ยวกับเลขลำดับของตัวเลขที่มอบให้เรา เราเข้าใจดีว่ามันไม่เท่ากันจากจำนวนที่เรากำลังมองหา: เป็นตัวเลขก่อนหน้า แต่ถูกลบออกจากตำแหน่ง จึงไม่สามารถทำได้ เพื่อใช้สูตร

เราจะแก้ปัญหาได้อย่างไร? จริง ๆ แล้วมันไม่ยากอย่างที่คิด! ลองเขียนลงไปว่าแต่ละหมายเลขที่ให้ไว้กับเราและจำนวนที่ต้องการประกอบด้วยอะไรบ้าง

ดังนั้นเราจึงมีและ มาดูกันว่าเราจะทำอะไรกับพวกเขาได้บ้าง? ผมเสนอให้แบ่งตาม เราได้รับ:

เราแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตร:

ขั้นตอนต่อไปที่เราสามารถหาได้ - สำหรับสิ่งนี้เราจำเป็นต้องหารากที่สามของจำนวนผลลัพธ์

และตอนนี้เรากลับมาดูสิ่งที่เรามีอีกครั้ง เรามีแล้ว แต่ต้องหาให้เจอ เท่ากับว่า

เราพบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการคำนวณ แทนที่ในสูตร:

คำตอบของเรา: .

ลองแก้ปัญหาอื่นที่คล้ายกันด้วยตัวเอง:
ให้:,
การค้นหา:

คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี - .

อย่างที่คุณเห็นที่จริงแล้วคุณต้องการ you จำได้แค่สูตรเดียว-. คุณสามารถถอนเงินที่เหลือทั้งหมดได้โดยไม่ยากด้วยตัวเองเมื่อใดก็ได้ ในการทำเช่นนี้ เพียงแค่เขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดลงบนกระดาษแล้วเขียนว่าอะไร ตามสูตรข้างต้น ตัวเลขแต่ละตัวมีค่าเท่ากัน

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตอนนี้ให้พิจารณาสูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในช่วงเวลาที่กำหนดได้อย่างรวดเร็ว:

เพื่อให้ได้สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด เราคูณทุกส่วนของสมการที่สูงกว่าด้วย เราได้รับ:

ดูให้ดี: สองสูตรสุดท้ายมีอะไรที่เหมือนกัน? ใช่แล้ว สมาชิกทั่วไป เป็นต้น ยกเว้นสมาชิกคนแรกและคนสุดท้าย ลองลบที่ 1 ออกจากสมการที่ 2 คุณทำอะไรลงไป?

ตอนนี้แสดงเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตผ่านสูตรและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ในสูตรสุดท้ายของเรา:

จัดกลุ่มนิพจน์ คุณควรได้รับ:

สิ่งที่คุณต้องทำคือแสดง:

ดังนั้นในกรณีนี้

เกิดอะไรขึ้นถ้า? แล้วใช้สูตรอะไร? ลองนึกภาพความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ เธอชอบอะไรเหรอ? ชุดตัวเลขที่เหมือนกันอย่างถูกต้องตามลำดับ สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

มีตำนานมากมายทั้งความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต หนึ่งในนั้นคือตำนานของ Seth ผู้สร้างหมากรุก

หลายคนรู้ว่าเกมหมากรุกถูกคิดค้นขึ้นในอินเดีย เมื่อกษัตริย์ฮินดูได้พบกับเธอ เขารู้สึกยินดีกับความเฉลียวฉลาดของเธอและตำแหน่งต่างๆ ที่เป็นไปได้ในตัวเธอ เมื่อรู้ว่ามันถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยหนึ่งในอาสาสมัครของเขา กษัตริย์จึงตัดสินใจให้รางวัลแก่เขาเป็นการส่วนตัว เขาเรียกนักประดิษฐ์มาหาเขาและสั่งให้เขาถามเขาในสิ่งที่เขาต้องการโดยสัญญาว่าจะเติมเต็มความปรารถนาที่ชำนาญที่สุด

Seta ขอเวลาคิด และในวันรุ่งขึ้น Seth มาเฝ้ากษัตริย์ เขาทำให้กษัตริย์ประหลาดใจด้วยความสุภาพเรียบร้อยที่หาตัวจับยากในคำขอของเขา เขาขอข้าวสาลีเมล็ดหนึ่งสำหรับช่องแรกของกระดานหมากรุก สำหรับเมล็ดข้าวสาลีที่สอง สำหรับเมล็ดที่สาม สำหรับช่องที่สี่ ฯลฯ

พระราชาทรงกริ้วและทรงขับไล่ Seth ออกไป โดยตรัสว่าคำขอของบ่าวไม่คู่ควรกับความเอื้ออาทรของราชวงศ์ แต่ทรงสัญญาว่าคนใช้จะได้รับธัญพืชของเขาสำหรับห้องขังทั้งหมด

และตอนนี้คำถาม: ใช้สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คำนวณว่า Seta ควรได้รับธัญพืชกี่เม็ด

มาเริ่มให้เหตุผลกัน เนื่องจากตามเงื่อนไข Seta ขอเมล็ดข้าวสาลีสำหรับช่องแรกของกระดานหมากรุก สำหรับช่องที่สอง ช่องที่สาม ช่องที่สี่ ฯลฯ เราจึงเห็นว่าปัญหานี้เกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในกรณีนี้เท่ากับเท่าไหร่?
ขวา.

เซลล์ทั้งหมดของกระดานหมากรุก ตามนี้. เรามีข้อมูลทั้งหมดเหลือเพียงเพื่อแทนที่ลงในสูตรและคำนวณ

เพื่อแสดงอย่างน้อยประมาณ "มาตราส่วน" ของตัวเลขที่กำหนด เราแปลงโดยใช้คุณสมบัติของดีกรี:

แน่นอน ถ้าคุณต้องการ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขและคำนวณว่าคุณจะได้เลขอะไรในตอนท้าย และถ้าไม่ใช่ คุณจะต้องใช้คำของฉันแทน: ค่าสุดท้ายของนิพจน์จะเป็น
กล่าวคือ:

พันล้านล้านล้านล้านล้านล้าน.

Fuh) หากคุณต้องการจินตนาการถึงความใหญ่โตของตัวเลขนี้ ให้ประเมินว่าโรงนาจะต้องใหญ่แค่ไหนจึงจะบรรจุเมล็ดพืชทั้งหมดได้
ด้วยความสูงของโรงนา ม. และความกว้าง ม. ความยาวจะต้องขยายออกไปเป็น กม. กล่าวคือ ไกลจากโลกถึงดวงอาทิตย์สองเท่า

หากซาร์มีความแข็งแกร่งในวิชาคณิตศาสตร์ เขาสามารถแนะนำว่านักวิทยาศาสตร์เองก็นับเมล็ดพืช เพราะในการนับหนึ่งล้านเม็ด พระองค์จะต้องใช้เวลาอย่างน้อยหนึ่งวันในการนับอย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อย และเนื่องจากจำเป็นต้องนับควินิลเลียน ต้องนับไปตลอดชีวิต

ทีนี้ มาแก้ปัญหาง่ายๆ เพื่อหาผลรวมสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกัน
วาสยา นักเรียนชั้น ป.5 เอ เป็นไข้หวัดแต่เรียนต่อ ทุกวัน Vasya แพร่เชื้อคนสองคนซึ่งในทางกลับกันทำให้คนอีกสองคนติดเชื้อเป็นต้น มีคนอยู่ในชั้นเรียน คนทั้งชั้นจะป่วยเป็นไข้หวัดใหญ่ในอีกกี่วัน?

ดังนั้นสมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ Vasya นั่นคือบุคคล สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต นี่คือคนสองคนที่เขาติดเชื้อในวันแรกที่เขามาถึง จำนวนสมาชิกในความก้าวหน้าทั้งหมดเท่ากับจำนวนนักเรียน 5A ดังนั้น เรากำลังพูดถึงความก้าวหน้าที่:

เรามาแทนที่ข้อมูลของเราในสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ทั้งชั้นเรียนจะป่วยในไม่กี่วัน คุณไม่เชื่อในสูตรและตัวเลขเหรอ? พยายามวาดภาพ "การติดเชื้อ" ของนักเรียนด้วยตัวเอง เกิดขึ้น? ดูว่ามันมีลักษณะอย่างไรสำหรับฉัน:

คำนวณด้วยตัวเองว่านักเรียนต้องใช้เวลากี่วันในการเป็นไข้หวัดใหญ่ หากแต่ละคนติดเชื้อในคน และมีคนอยู่ในชั้นเรียน

คุณได้รับค่าอะไร ปรากฎว่าทุกคนเริ่มป่วยหลังจากผ่านไปหนึ่งวัน

อย่างที่คุณเห็นงานและการวาดภาพนั้นคล้ายกับปิรามิดซึ่งแต่ละคน "นำ" คนใหม่เข้ามา อย่างไรก็ตาม ไม่ช้าก็เร็วครู่หนึ่งก็มาถึงเมื่อคนหลังไม่สามารถดึงดูดใครได้ ในกรณีของเรา หากเราจินตนาการว่าคลาสถูกแยกออกไป บุคคลนั้นจะปิดเชน () ดังนั้น หากบุคคลใดเกี่ยวข้องกับปิรามิดทางการเงินซึ่งเงินที่ได้รับในกรณีที่คุณนำผู้เข้าร่วมอีกสองคนมาด้วย บุคคลนั้น (หรือในกรณีทั่วไป) จะไม่นำใครมาตามลำดับ พวกเขาจะสูญเสียทุกอย่างที่ตนมี ลงทุนในการหลอกลวงทางการเงินนี้

ทุกสิ่งที่คุณกล่าวข้างต้นหมายถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงหรือเพิ่มขึ้น แต่อย่างที่คุณจำได้ เรามีรูปแบบพิเศษ - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด จะคำนวณผลรวมของสมาชิกได้อย่างไร? และเหตุใดความก้าวหน้าประเภทนี้จึงมีคุณสมบัติบางอย่าง? มาจัดการมันด้วยกัน

อย่างแรก มาดูอีกครั้งที่ตัวเลขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดจากตัวอย่างของเรา:

ตอนนี้ มาดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ที่ได้รับก่อนหน้านี้เล็กน้อย:
หรือ

เรากำลังดิ้นรนเพื่ออะไร? ถูกต้อง กราฟแสดงว่ามีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นคือเมื่อมันจะเกือบเท่ากันตามลำดับเมื่อคำนวณนิพจน์เราได้เกือบ ในเรื่องนี้ เราเชื่อว่าเมื่อคำนวณผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด วงเล็บนี้สามารถละเลยได้ เนื่องจากจะเท่ากัน

- สูตรคือผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขระบุไว้อย่างชัดเจนว่าเราจำเป็นต้องหาผลรวม ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนสมาชิก

หากระบุจำนวนเฉพาะ n เราจะใช้สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอม แม้ว่าหรือ

ทีนี้มาฝึกกัน

1. หาผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย และ
2. หาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วย และ

ฉันหวังว่าคุณจะใส่ใจอย่างมาก ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:

ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว และได้เวลาเปลี่ยนจากทฤษฎีไปสู่การปฏิบัติ ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่พบบ่อยที่สุดในข้อสอบคือปัญหาดอกเบี้ยทบต้น เกี่ยวกับพวกเขาที่เราจะพูดคุย

งานสำหรับการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น

คุณอาจเคยได้ยินเกี่ยวกับสูตรดอกเบี้ยทบต้นที่เรียกว่า คุณเข้าใจสิ่งที่เธอหมายถึง? ถ้าไม่ ลองคิดดู เพราะเมื่อเข้าใจกระบวนการแล้ว คุณจะเข้าใจทันที และนี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เราทุกคนไปที่ธนาคารและรู้ว่ามีเงื่อนไขการฝากที่แตกต่างกัน: นี่คือเงื่อนไขและบริการเพิ่มเติม และดอกเบี้ยด้วยสองวิธีในการคำนวณที่แตกต่างกัน - ง่ายและซับซ้อน

จาก ดอกเบี้ยง่ายทุกอย่างชัดเจนมากหรือน้อย: ดอกเบี้ยจะถูกคิดหนึ่งครั้งเมื่อสิ้นสุดระยะเวลาการฝาก นั่นคือถ้าเราบอกว่าเราใส่ 100 rubles เป็นเวลาหนึ่งปีมันจะให้เครดิตเมื่อสิ้นปีเท่านั้น ดังนั้นเมื่อสิ้นสุดการฝากเงิน เราจะได้รับรูเบิล

ดอกเบี้ยทบต้น- นี่คือตัวเลือกที่มี ตัวพิมพ์ใหญ่ของดอกเบี้ยกล่าวคือ นอกเหนือจากจำนวนเงินฝากและการคำนวณรายได้ที่ตามมาไม่ใช่จากเริ่มต้น แต่จากจำนวนเงินฝากสะสม การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ไม่ได้เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง แต่มีความถี่บ้าง ตามกฎแล้ว ช่วงเวลาดังกล่าวจะเท่ากัน และธนาคารส่วนใหญ่มักใช้เดือน ไตรมาส หรือปี

สมมติว่าเราใส่รูเบิลเดียวกันทั้งหมดในอัตรารายปี แต่ด้วยมูลค่าเงินฝากเป็นรายเดือน เราจะได้อะไร?

คุณเข้าใจทุกอย่างที่นี่หรือไม่? ถ้าไม่ ลองคิดออกเป็นขั้นตอน

เรานำรูเบิลไปที่ธนาคาร ภายในสิ้นเดือน บัญชีของเราควรมีจำนวนเงินที่ประกอบด้วยรูเบิลของเราพร้อมดอกเบี้ย นั่นคือ:

ฉันเห็นด้วย?

เราสามารถใส่มันนอกวงเล็บแล้วเราได้รับ:

เห็นด้วย สูตรนี้คล้ายกับที่เราเขียนไว้ตอนต้นอยู่แล้ว มันยังคงจัดการกับดอกเบี้ย

ในคำชี้แจงปัญหาเราจะบอกเกี่ยวกับประจำปี อย่างที่คุณทราบ เราไม่คูณด้วย - เราแปลงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วนทศนิยม นั่นคือ:

ขวา? ถามว่าได้เลขมาจากไหน? ง่ายมาก!
ฉันพูดซ้ำ: คำแถลงปัญหาพูดถึง ประจำปีดอกเบี้ยค้างรับ รายเดือน... ดังที่คุณทราบ ในหนึ่งปีของเดือน ตามลำดับ ธนาคารจะคิดดอกเบี้ยรายปีให้เราส่วนหนึ่งต่อเดือน:

ตระหนัก? ทีนี้ลองเขียนว่าส่วนนี้ของสูตรจะเป็นอย่างไรถ้าฉันบอกว่าดอกเบี้ยคำนวณทุกวัน
คุณจัดการ? ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

ทำได้ดี! กลับไปที่ปัญหาของเรา: จดจำนวนเงินที่จะเข้าบัญชีของเราในเดือนที่สอง โดยคำนึงถึงดอกเบี้ยที่เรียกเก็บจากจำนวนเงินฝากสะสม
นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง:

ฉันคิดว่าคุณสังเกตเห็นรูปแบบแล้วและเห็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในทั้งหมดนี้ เขียนว่าสมาชิกจะเท่ากับเท่าใด หรืออีกนัยหนึ่งคือ เราจะได้รับเงินเท่าไรเมื่อสิ้นเดือน
เสร็จแล้ว? กำลังตรวจสอบ!

อย่างที่คุณเห็น หากคุณนำเงินเข้าธนาคารเป็นเวลาหนึ่งปีด้วยดอกเบี้ยง่ายๆ คุณจะได้รับรูเบิล และหากในอัตราที่ซับซ้อน - รูเบิล ผลประโยชน์มีน้อย แต่จะเกิดขึ้นเฉพาะในปีที่ 5 แต่สำหรับระยะเวลาที่นานขึ้น การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่จะทำกำไรได้มากกว่า

ลองพิจารณาปัญหาประเภทอื่นที่มีดอกเบี้ยทบต้น หลังจากสิ่งที่คุณคิดออก มันจะเป็นระดับพื้นฐานสำหรับคุณ ดังนั้นงาน:

บริษัท Zvezda เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2543 โดยมีทุนเป็นดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2544 เธอมีกำไรซึ่งมาจากเมืองหลวงของปีที่แล้ว บริษัท Zvezda จะได้รับกำไรเท่าใดเมื่อสิ้นปี 2546 หากกำไรยังไม่ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน

เมืองหลวงของ บริษัท "Zvezda" ในปี 2543
- เมืองหลวงของ บริษัท "Zvezda" ในปี 2544
- เมืองหลวงของ บริษัท "Zvezda" ในปี 2545
- เมืองหลวงของ บริษัท "Zvezda" ในปี 2546

หรือเขียนสั้นๆ ได้ว่า

สำหรับกรณีของเรา:

2543, 2544, 2545 และ 2546

ตามลำดับ:
รูเบิล
โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่มีการหารด้วยหรือโดย เนื่องจากเปอร์เซ็นต์จะได้รับทุกปีและจะคำนวณเป็นรายปี นั่นคือเมื่ออ่านปัญหาสำหรับดอกเบี้ยทบต้นให้ใส่ใจกับเปอร์เซ็นต์ที่ได้รับและจะเรียกเก็บเงินในช่วงเวลาใดจากนั้นดำเนินการคำนวณเท่านั้น
ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว

ออกกำลังกาย.

1. หาพจน์เลขชี้กำลังถ้าทราบแล้ว
2. จงหาผลรวมของพจน์แรกของการก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าทราบแล้ว
3. MDM Capital เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมในปี 2546 โดยมีทุนเป็นดอลลาร์ ทุกปี เริ่มตั้งแต่ปี 2547 เธอมีกำไรซึ่งมาจากเมืองหลวงของปีที่แล้ว บริษัท "MSK Cash Flows" เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมในปี 2548 จำนวน 10,000 ดอลลาร์เริ่มทำกำไรในปี 2549 จำนวน ทุนของบริษัทหนึ่งมีมูลค่ามากกว่าบริษัทอื่น ณ สิ้นปี 2550 กี่เหรียญ หากกำไรยังไม่ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน

คำตอบ:

1. เนื่องจากข้อความแจ้งปัญหาไม่ได้ระบุว่ามีความก้าวหน้าเป็นอนันต์และจำเป็นต้องหาผลรวมของจำนวนเฉพาะของสมาชิก การคำนวณจึงดำเนินการตามสูตร:
2. 
   ทุน MDM:

   2546, 2547, 2548, 2549, 2550
   - เพิ่มขึ้น 100% นั่นคือ 2 เท่า
   ตามลำดับ:
   รูเบิล
   MSK กระแสเงินสด:

   2548, 2549, 2550.
   - เพิ่มขึ้นนั่นคือครั้ง
   ตามลำดับ:
   รูเบิล
   รูเบิล

มาสรุปกัน

1) ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต () เป็นลำดับตัวเลข เทอมแรกไม่ใช่ศูนย์ และแต่ละเทอม เริ่มจากวินาที เท่ากับค่าก่อนหน้า คูณด้วยตัวเลขเดียวกัน ตัวเลขนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

2) สมการของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต -.

3) รับค่าอะไรก็ได้ ยกเว้น และ

• ถ้าสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีสัญญาณเหมือนกัน - พวกเขา บวก;
• ถ้าแล้วสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้า สัญญาณทางเลือก;
• ที่ - ความก้าวหน้าเรียกว่าการลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

4) เป็นคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (คำที่อยู่ติดกัน)

หรือ
, ที่ (เงื่อนไขเท่ากัน)

เมื่อเจออย่าลืมว่า น่าจะมี 2 คำตอบ.

ตัวอย่างเช่น,

5) ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ

หากความก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด:
หรือ

สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขระบุไว้อย่างชัดแจ้งว่าจำเป็นต้องหาผลรวมของเงื่อนไขจำนวนอนันต์

6) ปัญหาสำหรับดอกเบี้ยทบต้นยังคำนวณตามสูตรของระยะที่ -th ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เงินจะไม่ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน:

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต() เป็นลำดับตัวเลข เทอมแรกไม่ใช่ศูนย์ และแต่ละเทอม เริ่มจากวินาทีที่เท่ากับค่าก่อนหน้า คูณด้วยจำนวนเดียวกัน เบอร์นี้เรียกว่า ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถรับค่าใดก็ได้ยกเว้นและ

• หากสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีสัญญาณเหมือนกัน - พวกมันเป็นบวก
• ถ้าแล้วสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้าสัญญาณทางเลือก;
• ที่ - ความก้าวหน้าเรียกว่าการลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

สมการของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - .

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ

>> คณิตศาสตร์: ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เพื่อความสะดวกของผู้อ่าน ส่วนนี้เป็นไปตามแผนเดียวกับที่เราทำตามในส่วนก่อนหน้าทุกประการ

1. แนวคิดพื้นฐาน

คำจำกัดความลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกทั้งหมดต่างจาก 0 และแต่ละเทอมซึ่งเริ่มต้นจากเทอมที่สองได้มาจากเทอมก่อนหน้าโดยการคูณด้วยตัวเลขเดียวกันเรียกว่า ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในกรณีนี้ เรียกเลข 5 ว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ดังนั้น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจึงเป็นลำดับตัวเลข (b n) ที่กำหนดซ้ำโดยความสัมพันธ์

เป็นไปได้ไหมโดยดูจากลำดับตัวเลขเพื่อระบุว่าเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือไม่? สามารถ. หากคุณมั่นใจว่าอัตราส่วนของสมาชิกในลำดับใดๆ ต่อสมาชิกก่อนหน้านั้นคงที่ แสดงว่าคุณมีความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ตัวอย่างที่ 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
B 1 = 1, q = 3

ตัวอย่างที่ 2

นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่
ตัวอย่างที่ 3

นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่
ตัวอย่างที่ 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มี b 1 - 8, q = 1

โปรดทราบว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วย (ดูตัวอย่างที่ 3 ใน § 15)

ตัวอย่างที่ 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ b 1 = 2, q = -1

เห็นได้ชัดว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นหาก b 1> 0, q> 1 (ดูตัวอย่างที่ 1) และลดลงหาก b 1> 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

เพื่อระบุว่าลำดับ (b n) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต บางครั้งสัญกรณ์ต่อไปนี้ก็สะดวก:

ไอคอนจะแทนที่วลี "ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"
ขอให้เราสังเกตสิ่งหนึ่งที่อยากรู้อยากเห็นและในขณะเดียวกันก็มีคุณสมบัติที่ชัดเจนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
ถ้าลำดับ เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จากนั้นเป็นลำดับของกำลังสอง กล่าวคือ เป็นความก้าวหน้าแบบทวีคูณ
ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่สอง เทอมแรกเท่ากับ a เท่ากับ q 2
หากเราละทิ้งเงื่อนไขทั้งหมดที่ตามหลัง b n แบบทวีคูณ เราจะได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่แน่นอน
ในย่อหน้าถัดไปของส่วนนี้ เราจะพิจารณาคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

2. สูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

พิจารณาความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วน q เรามี:

เดาได้ไม่ยากว่าสำหรับจำนวนใด ๆ n ความเท่าเทียมกัน

นี่คือสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความคิดเห็น

หากคุณได้อ่านข้อสังเกตที่สำคัญจากย่อหน้าที่แล้วและเข้าใจแล้ว ให้ลองพิสูจน์สูตร (1) โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ คล้ายกับวิธีการทำสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลองเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกัน

และแนะนำสัญกรณ์: เราได้ y = mq 2 หรือในรายละเอียดเพิ่มเติม
อาร์กิวเมนต์ x มีอยู่ในเลขชี้กำลัง ดังนั้น นี่จึงเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งหมายความว่าสามารถมองความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่กำหนดไว้ในชุด N ของจำนวนธรรมชาติ ในรูป 96a แสดงกราฟของฟังก์ชัน รูปที่ 966 - กราฟฟังก์ชัน ในทั้งสองกรณี เรามีจุดที่แยกได้ (โดยมี abscissas x = 1, x = 2, x = 3 เป็นต้น) ที่วางอยู่บนเส้นโค้งบางเส้น (ตัวเลขทั้งสองแสดงเส้นโค้งเดียวกัน มีเพียงตำแหน่งที่แตกต่างกันและแสดงให้เห็นในมาตราส่วนต่างๆ เส้นโค้งนี้เรียกว่าเลขชี้กำลัง ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังและกราฟจะกล่าวถึงในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 11

กลับไปที่ตัวอย่าง 1-5 จากย่อหน้าที่แล้ว

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยที่ b 1 = 1, q = 3 มาเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n กัน
2) นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่ง มาเขียนสูตรของเทอมที่ n กัน

นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ มาเขียนสูตรเทอมที่ n กัน
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยที่ b 1 = 8, q = 1 มาเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n กัน
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ b 1 = 2, q = -1 มาเขียนสูตรเทอมที่ n กัน

ตัวอย่างที่ 6

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะได้รับ

ในทุกกรณี การแก้ปัญหาจะขึ้นอยู่กับสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

a) ใส่เทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต n = 6 ในสูตร เราได้ we

ข) เรามี

เนื่องจาก 512 = 2 9 เราจึงได้ n - 1 = 9, n = 10

ง) เรามี

ตัวอย่างที่ 7

ความแตกต่างระหว่างเทอมที่เจ็ดและห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 48 ผลรวมของเทอมที่ห้าและหกของความก้าวหน้าคือ 48 เช่นกัน ค้นหาเทอมที่สิบสองของความก้าวหน้า

ขั้นตอนแรกการวาดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

เงื่อนไขของปัญหาสามารถเขียนสั้น ๆ ได้ดังนี้:

โดยใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราได้:
จากนั้นเงื่อนไขที่สองของปัญหา (b 7 - b 5 = 48) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

เงื่อนไขที่สามของปัญหา (b 5 + b 6 = 48) สามารถเขียนเป็น

เป็นผลให้เราได้รับระบบสองสมการที่มีสองตัวแปร b 1 และ q:

ซึ่งเมื่อรวมกับเงื่อนไขที่ 1) ที่เขียนไว้ข้างต้นจะเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา

ระยะที่สอง.

การทำงานกับโมเดลที่คอมไพล์ เท่ากับด้านซ้ายมือของสมการทั้งสองของระบบ เราจะได้:

(เราแบ่งสมการทั้งสองข้างออกเป็นนิพจน์ที่ไม่ใช่ศูนย์ b 1 q 4)

จากสมการ q 2 - q - 2 = 0 เราพบว่า q 1 = 2, q 2 = -1 แทนค่า q = 2 ลงในสมการที่สองของระบบ เราจะได้
แทนค่า q = -1 ในสมการที่สองของระบบ เราจะได้ b 1 1 0 = 48; สมการนี้ไม่มีคำตอบ

ดังนั้น b 1 = 1, q = 2 - คู่นี้เป็นคำตอบของระบบสมการที่ประกอบขึ้น

ตอนนี้เราสามารถเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อ้างถึงในปัญหา: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

ขั้นตอนที่สาม

คำตอบสำหรับคำถามของปัญหา จำเป็นต้องคำนวณ b 12 เรามี

คำตอบ: ข 12 = 2048

3. สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด

ให้มีการก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างจำกัด

เราแสดงด้วย S n ผลรวมของเงื่อนไขเช่น

เรามาลองหาสูตรการหาจำนวนเงินนี้กัน

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน เมื่อ q = 1 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b 1, b 2, b 3, ..., bn ประกอบด้วยตัวเลข n เท่ากับ b 1 นั่นคือ ความก้าวหน้ามีรูปแบบ b 1, b 2, b 3, ..., b 4 ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้คือ nb 1

ให้ตอนนี้ q = 1 เพื่อหา S n เราใช้วิธีการประดิษฐ์: เราทำการแปลงนิพจน์ S n q เรามี:

เราทำการแปลงก่อนอื่นเราใช้คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตามที่ (ดูบรรทัดที่สามของการให้เหตุผล); ประการที่สองพวกเขาเพิ่มและลบว่าทำไมความหมายของนิพจน์จึงไม่เปลี่ยนแปลง (ดูบรรทัดที่สี่ของการให้เหตุผล); ประการที่สาม เราใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

จากสูตร (1) เราพบว่า:

นี่คือสูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (สำหรับกรณีที่ q = 1)

ตัวอย่างที่ 8

มีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ จำกัด

ก) ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้า; b) ผลรวมของกำลังสองของสมาชิก

b) ด้านบน (ดูหน้า 132) เราได้ตั้งข้อสังเกตแล้วว่าหากเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกยกกำลังสอง เราก็จะได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยเทอมแรก b 2 และตัวส่วน q 2 จากนั้นผลรวมของหกสมาชิกของความก้าวหน้าใหม่จะถูกคำนวณโดย

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาเทอมที่ 8 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย

อันที่จริง เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้แล้ว

ลำดับตัวเลขคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็ต่อเมื่อกำลังสองของสมาชิกแต่ละตัว ยกเว้นทฤษฎีบทแรก (และอันสุดท้าย ในกรณีของลำดับจำกัด) เท่ากับผลคูณของพจน์ก่อนหน้าและเทอมต่อมา ( คุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)