ระดับแรก

การแปลงนิพจน์ ทฤษฎีรายละเอียด (2019)

การแปลงนิพจน์

เรามักได้ยินวลีที่ไม่น่าพอใจนี้: "ลดความซับซ้อนของนิพจน์" โดยปกติ ในกรณีนี้ เรามีพวกปิศาจประเภทหนึ่งดังนี้:

“ง่ายกว่ามาก” เราพูด แต่คำตอบนี้มักจะใช้ไม่ได้ผล

ตอนนี้ฉันจะสอนให้คุณไม่ต้องกลัวงานดังกล่าว ยิ่งกว่านั้น ในตอนท้ายของบทเรียน คุณเองจะทำให้ตัวอย่างนี้ง่ายขึ้นเป็น (แค่!) ตัวเลขธรรมดา (ใช่ ลงนรกด้วยตัวอักษรเหล่านี้)

แต่ก่อนที่คุณจะเริ่มบทเรียนนี้ คุณต้องสามารถจัดการกับเศษส่วนและพหุนามตัวประกอบได้ ดังนั้นก่อนอื่น หากคุณยังไม่เคยทำมาก่อน ให้แน่ใจว่าได้เชี่ยวชาญหัวข้อ "" และ ""

ได้อ่านมั้ย? ถ้าอย่างนั้นตอนนี้คุณก็พร้อมแล้ว

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน

ตอนนี้ มาดูเทคนิคพื้นฐานที่ใช้เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์

ที่ง่ายที่สุดคือ

1. นำสิ่งที่คล้ายกัน

อะไรที่คล้ายคลึงกัน? คุณสอบผ่านในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ทันทีที่ตัวอักษรแทนตัวเลขปรากฏขึ้นเป็นครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์ คล้ายคลึงกัน - เหล่านี้เป็นคำ (monomials) ที่มีส่วนของตัวอักษรเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ในผลรวม เงื่อนไขดังกล่าวคือ และ

จำได้ไหม

เพื่อนำความหมายที่คล้ายกันมาเพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกันหลายคำเข้าด้วยกันและรับหนึ่งเทอม

แต่เราจะรวมตัวอักษรเข้าด้วยกันได้อย่างไร? - คุณถาม.

นี้จะเข้าใจได้ง่ายมากถ้าคุณคิดว่าตัวอักษรเป็นวัตถุบางประเภท ตัวอย่างเช่น จดหมายคือเก้าอี้ แล้วนิพจน์คืออะไร? เก้าอี้สองตัวบวกสามตัวจะราคาเท่าไหร่? ใช่แล้ว เก้าอี้:.

ตอนนี้ลองใช้นิพจน์นี้:.

เพื่อไม่ให้สับสน ให้ตัวอักษรต่างๆ แทนวัตถุต่างๆ ตัวอย่างเช่น เป็น (ตามปกติ) เก้าอี้ และเป็นโต๊ะ แล้ว:

เก้าอี้ โต๊ะ เก้าอี้ โต๊ะ เก้าอี้ เก้าอี้ โต๊ะ

ตัวเลขที่ตัวคูณในเงื่อนไขดังกล่าวเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์... ตัวอย่างเช่น ในโมโนเมียล สัมประสิทธิ์คือ และในนั้นก็เท่าเทียมกัน

ดังนั้นกฎของการหล่อเช่นนี้:

ตัวอย่าง:

ให้สิ่งที่คล้ายกัน:

คำตอบ:

2. (และคล้ายกัน เนื่องจากคำเหล่านี้มีส่วนที่เป็นตัวอักษรเหมือนกัน)

2. แฟคตอริ่ง

ซึ่งมักจะเป็นส่วนที่สำคัญที่สุดในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ หลังจากที่คุณได้ให้สิ่งที่คล้ายกัน นิพจน์ผลลัพธ์ส่วนใหญ่มักจะต้องแยกตัวประกอบ กล่าวคือ นำเสนอในรูปแบบของผลิตภัณฑ์ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งในเศษส่วน: เพื่อที่จะลดเศษส่วน ตัวเศษและตัวส่วนจะต้องแสดงเป็นผลคูณ

คุณได้อ่านวิธีการโดยละเอียดของการแยกตัวประกอบในหัวข้อ "" ดังนั้นที่นี่คุณแค่ต้องจำสิ่งที่คุณได้เรียนรู้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ แก้สองสาม ตัวอย่าง(จำเป็นต้องแยกตัวประกอบ):

โซลูชั่น:

3. การลดเศษส่วน

อะไรจะดีไปกว่าการเอาเศษส่วนของตัวเศษและตัวส่วนออก แล้วโยนมันออกไปจากชีวิตคุณ?

นั่นคือความงามของการหดตัว

มันง่าย:

หากตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเหมือนกัน พวกมันสามารถลดลงได้ กล่าวคือ ลบออกจากเศษส่วน

กฎนี้ตามมาจากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

นั่นคือสาระสำคัญของการดำเนินการลดคือ ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนหารด้วยจำนวนเดียวกัน (หรือด้วยนิพจน์เดียวกัน)

เพื่อลดเศษส่วนคุณต้อง:

1) ตัวเศษและตัวส่วน ปัจจัย

2) ถ้าตัวเศษและตัวส่วนมี ปัจจัยร่วมพวกเขาสามารถลบได้

ฉันคิดว่าหลักการนั้นชัดเจน?

ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อผิดพลาดทั่วไปของการหดตัว ถึงแม้หัวข้อนี้จะเรียบง่าย แต่หลายคนทำผิดโดยไม่รู้ตัว ตัด- นี่หมายถึง แบ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นตัวเลขเดียวกัน

ไม่มีตัวย่อถ้าตัวเศษหรือส่วนเป็นผลรวม

ตัวอย่างเช่น คุณต้องทำให้ง่ายขึ้น

บางคนทำสิ่งนี้: ซึ่งผิดอย่างยิ่ง

อีกตัวอย่างหนึ่ง: ตัด

"ฉลาดที่สุด" จะทำสิ่งนี้:.

บอกฉันว่ามีอะไรผิดปกติที่นี่? ดูเหมือนว่า: - นี่คือตัวคูณดังนั้นคุณสามารถลดได้

แต่ไม่ใช่: - นี่เป็นตัวประกอบของเทอมเดียวในตัวเศษ แต่ตัวเศษโดยรวมไม่ได้แยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบ

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง:.

นิพจน์นี้ถูกแบ่งออกเป็นปัจจัย ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถลด นั่นคือ แบ่งตัวเศษและส่วนด้วย แล้วโดย:

คุณสามารถแบ่งออกเป็น:

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดดังกล่าว โปรดจำวิธีง่ายๆ ในการพิจารณาว่านิพจน์แยกตัวประกอบหรือไม่:

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการล่าสุดเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์คือ "หลัก" นั่นคือ ถ้าคุณแทนที่ตัวเลขใดๆ (ใดๆ) แทนตัวอักษร และพยายามคำนวณค่าของนิพจน์ ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการคูณ เราก็ได้ผลลัพธ์ (นิพจน์จะถูกแยกตัวประกอบ) ถ้าการกระทำสุดท้ายเป็นการบวกหรือการลบ แสดงว่านิพจน์ไม่ได้รับการแยกตัวประกอบ (ดังนั้นจึงไม่สามารถยกเลิกได้)

หากต้องการแก้ไข ให้ตัดสินใจด้วยตัวเองสักสองสามข้อ ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. ฉันหวังว่าคุณจะไม่รีบตัดและ? ยังไม่เพียงพอที่จะ "ตัด" หน่วยเช่นนี้:

ขั้นตอนแรกคือการแยกตัวประกอบ:

4. การบวกและการลบเศษส่วน การนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม.

การบวกและการลบเศษส่วนธรรมดาเป็นการดำเนินการที่คุ้นเคย: เรามองหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ จำไว้ว่า:

คำตอบ:

1. ตัวส่วนและเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน นั่นคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ดังนั้น LCM ของตัวเลขเหล่านี้จึงเท่ากับผลคูณของพวกมัน นี่จะเป็นตัวหารร่วม:

2. ตัวส่วนร่วมคือ:

3. ก่อนอื่นเราเปลี่ยนเศษส่วนผสมเป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้องแล้ว - ตามรูปแบบปกติ:

เป็นอีกเรื่องหนึ่งหากเศษส่วนมีตัวอักษร เช่น

มาเริ่มกันเลยง่าย ๆ :

ก) ตัวส่วนไม่มีตัวอักษร

ที่นี่ทุกอย่างเหมือนกับเศษส่วนตัวเลขธรรมดา: หาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ:

ตอนนี้ในตัวเศษ คุณสามารถนำสิ่งที่คล้ายกัน หากมี และแยกออกเป็นปัจจัย:

ลองด้วยตัวคุณเอง:

ข) ตัวส่วนประกอบด้วยตัวอักษร

ให้จำหลักการของการหาตัวส่วนร่วมโดยไม่มีตัวอักษร:

· ก่อนอื่น เรากำหนดปัจจัยร่วม

· จากนั้นเขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดครั้งเดียว

· และคูณด้วยปัจจัยอื่นๆ ที่ไม่ธรรมดา

ในการหาตัวประกอบร่วมของตัวส่วน ขั้นแรกเราจะแยกพวกมันออกเป็นปัจจัยเฉพาะ:

เน้นปัจจัยทั่วไป:

ตอนนี้ ให้เขียนปัจจัยร่วมหนึ่งครั้งและเพิ่มปัจจัยที่ไม่ธรรมดา (ไม่ขีดเส้นใต้) ลงไปทั้งหมด:

นี่คือตัวส่วนร่วม

ลองกลับไปที่ตัวอักษร ตัวส่วนจะแสดงในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

· เราแบ่งตัวส่วนเป็นตัวประกอบ

· เรากำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน)

· เขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดครั้งเดียว;

· เราคูณมันด้วยปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ไม่ใช่เรื่องปกติ

ดังนั้นตามลำดับ:

1) เราแบ่งตัวส่วนเป็นตัวประกอบ:

2) เรากำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน):

3) เราเขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดครั้งเดียวแล้วคูณด้วยปัจจัยอื่นๆ (ที่ไม่เน้น) ทั้งหมด:

ตัวส่วนร่วมอยู่ที่นี่ เศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยส่วนที่สองด้วย:

อย่างไรก็ตาม มีเคล็ดลับหนึ่งข้อ:

ตัวอย่างเช่น: .

เราเห็นปัจจัยเดียวกันในตัวส่วน ทั้งหมดมีตัวบ่งชี้ต่างกันเท่านั้น ตัวหารร่วมจะเป็น:

ถึงขนาด

ถึงขนาด

ถึงขนาด

ในระดับ

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

ทำอย่างไรให้เศษส่วนเป็นตัวส่วนเท่ากัน?

จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

ไม่มีที่ไหนกล่าวไว้ว่าสามารถลบ (หรือบวก) จำนวนเดียวกันออกจากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้ เพราะมันไม่จริง!

ดูตัวคุณเอง: นำเศษส่วนมาบวกเลขตัวเศษและตัวส่วนเป็นต้น ได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

ดังนั้นกฎที่ไม่สั่นคลอนอีกประการหนึ่ง:

เมื่อนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม ให้ใช้การคูณเท่านั้น!

แต่ต้องคูณด้วยอะไรถึงจะได้รับ?

ที่นี่และทวีคูณ และคูณด้วย:

นิพจน์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จะเรียกว่า "ปัจจัยพื้นฐาน" ตัวอย่างเช่น เป็นปัจจัยพื้นฐาน - ด้วย. แต่ - ไม่: เป็นการแยกตัวประกอบ

คุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับการแสดงออก? มันเป็นระดับประถมศึกษา?

ไม่ เนื่องจากสามารถแยกตัวประกอบได้:

(คุณได้อ่านเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบในหัวข้อ "")

ดังนั้น ปัจจัยพื้นฐานที่คุณขยายนิพจน์ด้วยตัวอักษรจึงคล้ายคลึงกับปัจจัยเฉพาะที่คุณใช้ขยายตัวเลข และเราจะจัดการกับพวกเขาในลักษณะเดียวกัน

เราเห็นว่ามีปัจจัยในตัวส่วนทั้งสอง มันจะไปที่ตัวหารร่วมในอำนาจ (จำทำไม?).

ปัจจัยนี้เป็นปัจจัยพื้นฐานและไม่ใช่เรื่องปกติสำหรับพวกเขา ซึ่งหมายความว่าจะต้องคูณเศษส่วนแรกด้วย:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ก่อนที่จะคูณตัวหารเหล่านี้ด้วยความตื่นตระหนก คุณต้องคิดก่อนว่าจะแยกตัวประกอบมันอย่างไร? พวกเขาทั้งสองเป็นตัวแทนของ:

ดี! แล้ว:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ตามปกติ ให้แยกตัวประกอบตัวส่วน ในตัวส่วนแรก เราแค่ใส่ไว้นอกวงเล็บ ในวินาที - ความแตกต่างของกำลังสอง:

ดูเหมือนว่าไม่มีปัจจัยร่วมกัน แต่ถ้าคุณมองอย่างใกล้ชิดพวกเขาก็คล้ายกันมาก ... และความจริง:

ดังนั้นเราจะเขียน:

นั่นคือ มันกลายเป็นแบบนี้: ในวงเล็บ เราสลับเทอม และในขณะเดียวกัน เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนก็เปลี่ยนไปตรงกันข้าม รับทราบ คุณจะต้องทำสิ่งนี้บ่อยๆ

ตอนนี้เรานำมาสู่ตัวส่วนร่วม:

เข้าใจแล้ว? ลองตรวจสอบดูตอนนี้

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

ที่นี่เราต้องจำไว้อีกอย่างหนึ่ง - ความแตกต่างระหว่างลูกบาศก์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนของเศษส่วนที่สองไม่ใช่สูตร "กำลังสองของผลรวม"! กำลังสองของผลรวมจะมีลักษณะดังนี้:.

A คือสิ่งที่เรียกว่ากำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม: เทอมที่สองในนั้นเป็นผลคูณของอันแรกและอันสุดท้าย ไม่ใช่ผลคูณของพวกมัน กำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมเป็นหนึ่งในปัจจัยในการสลายตัวของผลต่างของลูกบาศก์:

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีสามเศษส่วนอยู่แล้ว?

สิ่งเดียวกัน! ก่อนอื่น เราจะทำเพื่อให้จำนวนตัวประกอบสูงสุดในตัวส่วนเท่ากัน:

ให้ความสนใจ: หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายภายในวงเล็บเดียว เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนจะเปลี่ยนไปทางตรงกันข้าม เมื่อเราเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บที่สอง เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษจะกลับด้านอีกครั้ง ส่งผลให้ (เครื่องหมายหน้าเศษส่วน) ไม่เปลี่ยนแปลง

ในตัวส่วนร่วม ให้เขียนตัวส่วนแรกให้ครบถ้วน แล้วบวกตัวประกอบทั้งหมดที่ยังไม่ได้เขียนลงไป ตั้งแต่ตัวที่สองและตัวที่สาม (และอื่นๆ หากมีเศษส่วนมากกว่า) นั่นคือมันกลับกลายเป็นเช่นนี้:

อืม ... มีเศษส่วนชัดเจนว่าต้องทำอย่างไร แต่สิ่งที่เกี่ยวกับผีสาง?

ง่ายมาก: คุณบวกเศษส่วนได้ใช่ไหม ซึ่งหมายความว่าเราต้องทำให้ผีกลายเป็นเศษส่วน! ข้อควรจำ: เศษส่วนเป็นการหาร (ตัวเศษหารด้วยตัวส่วน เผื่อว่าจู่ๆ คุณลืมไป) และไม่มีอะไรง่ายไปกว่าการหารตัวเลขด้วย ในกรณีนี้ ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะกลายเป็นเศษส่วน:

ตรงตามความต้องการ!

5. การคูณและการหารเศษส่วน

ตอนนี้ส่วนที่ยากที่สุดจบลงแล้ว และข้างหน้าของเรานั้นง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันสิ่งที่สำคัญที่สุดคือ:

ขั้นตอน

ขั้นตอนในการคำนวณนิพจน์ตัวเลขมีอะไรบ้าง? จำโดยการนับความหมายของนิพจน์ดังกล่าว:

นับมั้ย?

มันควรจะทำงาน

ดังนั้นให้ฉันเตือนคุณ

ขั้นตอนแรกคือการคำนวณระดับ

ประการที่สองคือการคูณและการหาร หากมีการคูณและการหารหลายอย่างพร้อมกัน คุณสามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้

และสุดท้าย เราก็ทำการบวกลบ อีกครั้งในลำดับใด

แต่: นิพจน์ในวงเล็บประเมินไม่เป็นระเบียบ!

หากวงเล็บหลายตัวคูณหรือหารกัน ขั้นแรกเราจะคำนวณนิพจน์ในแต่ละวงเล็บ จากนั้นเราจะคูณหรือหารพวกมัน

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีวงเล็บเพิ่มเติมในวงเล็บ ลองคิดดู: มีบางนิพจน์เขียนอยู่ในวงเล็บ และเมื่อประเมินนิพจน์ สิ่งแรกที่ต้องทำคืออะไร? ถูกแล้ว คำนวณวงเล็บ เราคิดออกแล้ว: ก่อนอื่นเราคำนวณวงเล็บด้านใน จากนั้นทุกอย่างที่เหลือ

ดังนั้น ขั้นตอนสำหรับนิพจน์ด้านบนจึงเป็นดังนี้ (การดำเนินการปัจจุบันถูกเน้นด้วยสีแดง นั่นคือ การดำเนินการที่ฉันทำอยู่ตอนนี้):

โอเค ทุกอย่างเรียบง่าย

แต่นี่ไม่เหมือนกับนิพจน์ที่มีตัวอักษร?

ไม่ มันเหมือนกัน! แทนที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์ คุณต้องทำพีชคณิต นั่นคือการดำเนินการที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า: นำมาซึ่งความคล้ายคลึงกัน, การบวกเศษส่วน, การลดเศษส่วน และอื่นๆ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือผลของพหุนามแฟคตอริ่ง (เรามักใช้เมื่อทำงานกับเศษส่วน) ส่วนใหญ่แล้ว สำหรับการแฟคตอริ่ง คุณต้องใช้ i หรือใส่ตัวประกอบร่วมนอกวงเล็บ

โดยปกติเป้าหมายของเราคือการนำเสนอการแสดงออกในรูปแบบของงานหรือเฉพาะ

ตัวอย่างเช่น:

เรามาลดความซับซ้อนของนิพจน์กัน

1) วิธีแรกคือการทำให้นิพจน์ในวงเล็บง่ายขึ้น เรามีความแตกต่างของเศษส่วน และเป้าหมายของเราคือนำเสนอเป็นผลคูณหรือผลหาร ดังนั้นเราจึงนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมและบวก:

เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นอีกต่อไป ปัจจัยทั้งหมดนี้เป็นพื้นฐาน (คุณยังจำความหมายนี้ได้หรือไม่)

2) เราได้รับ:

การคูณเศษส่วน: อะไรจะง่ายกว่ากัน

3) ตอนนี้คุณสามารถย่อ:

นั่นคือทั้งหมด ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม

ตัวอย่างอื่น:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ขั้นแรกให้พยายามแก้ปัญหาด้วยตัวเอง แล้วจึงค่อยดูวิธีแก้ปัญหา

ก่อนอื่น มากำหนดลำดับของการกระทำกัน ขั้นแรก เราบวกเศษส่วนในวงเล็บ เราได้หนึ่งแทนที่จะเป็นสองเศษส่วน จากนั้นเราจะแบ่งเศษส่วน บวกผลลัพธ์ด้วยเศษส่วนสุดท้าย ฉันจะกำหนดจำนวนขั้นตอนตามแผนผัง:

ตอนนี้ฉันจะแสดงกระบวนการทั้งหมดโดยระบายสีการกระทำปัจจุบันเป็นสีแดง:

สุดท้ายนี้ ฉันจะให้เคล็ดลับที่มีประโยชน์สองข้อแก่คุณ:

1. หากมีที่คล้ายคลึงกันต้องนำมาทันที เมื่อใดก็ตามที่เรามีสิ่งที่คล้ายคลึงกันขอแนะนำให้นำมาทันที

2. เช่นเดียวกับการลดเศษส่วน: ทันทีที่มีโอกาสที่จะลดก็ต้องใช้ ข้อยกเว้นคือเศษส่วนที่คุณบวกหรือลบ: หากตอนนี้พวกมันมีตัวส่วนเหมือนกัน การลดลงควรจะเหลือไว้ใช้ในภายหลัง

นี่คืองานบางส่วนสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง:

และสัญญาไว้ตั้งแต่แรกว่า

วิธีแก้ปัญหา (กระชับ):

หากคุณได้รับมือกับตัวอย่างสามตัวอย่างแรกเป็นอย่างน้อย แสดงว่าคุณเข้าใจหัวข้อนี้แล้ว

ตอนนี้ไปข้างหน้าเพื่อเรียนรู้!

การเปลี่ยนแปลงการแสดงออก สรุปและสูตรพื้นฐาน

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน:

• นำมาซึ่งความคล้ายคลึงกัน: ในการเพิ่ม (นำ) คำดังกล่าว คุณต้องเพิ่มสัมประสิทธิ์และกำหนดส่วนของตัวอักษร
• การแยกตัวประกอบ:แยกปัจจัยร่วม การใช้งาน ฯลฯ
• การลดเศษส่วน: ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกันได้ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนค่าของเศษส่วน
  1) ตัวเศษและตัวส่วน ปัจจัย
  2) หากมีตัวประกอบร่วมกันในตัวเศษและส่วน ก็สามารถขีดฆ่าได้

  สำคัญ: ตัวคูณเท่านั้นที่สามารถลดลงได้!

• การบวกและการลบเศษส่วน:
  ;
• การคูณและการหารเศษส่วน:
  ;

เครื่องคิดเลขออนไลน์
การประเมินนิพจน์ด้วยเศษส่วนตัวเลข
การคูณ การลบ การหาร การบวก และการลดลงของเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ด้วยเครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ คุณสามารถ คูณ ลบ หาร บวก และยกเลิกเศษส่วนตัวเลขที่มีตัวส่วนต่างกัน

โปรแกรมทำงานกับเศษส่วนที่ถูก ผิด และคละ

โปรแกรมนี้ (เครื่องคิดเลขออนไลน์) สามารถ:
- ทำการบวกเศษส่วนผสมกับตัวส่วนต่างกัน
- ทำการลบเศษส่วนคละที่มีตัวส่วนต่างกัน
- ทำการหารเศษส่วนผสมกับตัวส่วนต่างกัน
- ทำการคูณเศษส่วนคละกับตัวส่วนต่างกัน
- ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม
- แปลงเศษส่วนคละให้เป็นเศษไม่ปกติ
- ลดเศษส่วน

คุณยังสามารถป้อนนิพจน์ที่ไม่ใช่เศษส่วน แต่เป็นเศษส่วนเดียวได้
ในกรณีนี้ เศษส่วนจะลดลงและส่วนทั้งหมดจะถูกดึงออกจากผลลัพธ์

เครื่องคิดเลขออนไลน์สำหรับการคำนวณนิพจน์ที่มีเศษส่วนตัวเลขไม่เพียงให้คำตอบของปัญหาเท่านั้น แต่ยังให้คำตอบโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย เช่น แสดงขั้นตอนการหาทางแก้ไข

โปรแกรมนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายในการเตรียมตัวสำหรับการทดสอบและการสอบ เมื่อตรวจสอบความรู้ก่อนสอบ เพื่อให้ผู้ปกครองควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างติวเตอร์หรือซื้อหนังสือเรียนเล่มใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้คุณสามารถดำเนินการสอนและ / หรือการสอนของน้อง ๆ ของคุณเองได้ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านปัญหาที่กำลังแก้ไขเพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการป้อนนิพจน์ที่มีเศษส่วนตัวเลข เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านี้

กฎสำหรับการป้อนนิพจน์ด้วยเศษส่วนตัวเลข

เฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถใช้เป็นตัวเศษ ตัวส่วน และเศษส่วนของเศษส่วนทั้งหมดได้

ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้

เมื่อป้อนเศษส่วนตัวเลข ตัวเศษจะถูกแยกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
อินพุต: -2/3 + 7/5
ผลลัพธ์: \ (- \ frac (2) (3) + \ frac (7) (5) \)

ส่วนทั้งหมดแยกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมาย: &
อินพุต: -1 & 2/3 * 5 & 8/3
ผลลัพธ์: \ (- 1 \ frac (2) (3) \ cdot 5 \ frac (8) (3) \)

การหารเศษส่วนป้อนด้วยเครื่องหมายทวิภาค::
อินพุต: -9 & 37/12: -3 & 5/14
ผลลัพธ์: \ (- 9 \ frac (37) (12): \ ซ้าย (-3 \ frac (5) (14) \ ขวา) \)
จำไว้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้!

คุณสามารถใช้วงเล็บเมื่อป้อนนิพจน์ที่มีเศษส่วนตัวเลข
ป้อนข้อมูล: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
ผลลัพธ์: \ (- \ frac (2) (3) \ cdot \ left (6 \ frac (1) (2) - \ frac (5) (9) \ right): 2 \ frac (1) (4) + \ frac (1) (3) \)

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
บางทีคุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชหน้า

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาที วิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
กรุณารอ วินาที ...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการตัดสินใจจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับสิ่งนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจและอะไร เข้าทุ่ง.

เกม, ปริศนา, อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

เศษส่วนสามัญ หารด้วยเศษ

หากเราต้องหาร 497 ด้วย 4 เมื่อหารแล้ว เราจะเห็นว่า 497 หารด้วย 4 ไม่ลงตัวทั้งหมด นั่นคือ ส่วนที่เหลือของแผนก ในกรณีเช่นนี้ ว่ากันว่า เศษที่เหลือและวิธีแก้ปัญหาเขียนดังนี้:
497: 4 = 124 (1 ส่วนที่เหลือ)

องค์ประกอบการหารทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันเรียกว่าเช่นเดียวกับการหารที่ไม่มีเศษ: 497 - เงินปันผล, 4 - ตัวแบ่ง... ผลของการหารเมื่อหารด้วยเศษเรียกว่า ส่วนตัวไม่สมบูรณ์... ในกรณีของเรา ตัวเลขนี้คือ 124 และสุดท้าย ส่วนประกอบสุดท้าย ซึ่งไม่อยู่ในการหารปกติ - ส่วนที่เหลือ... ในกรณีที่ไม่มีเศษเหลือก็บอกว่าเลขหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่ง ไร้ร่องรอยหรือทั้งหมด... ส่วนที่เหลือถือเป็นศูนย์ในส่วนนี้ ในกรณีของเรา เศษที่เหลือคือ 1

ส่วนที่เหลือจะน้อยกว่าตัวหารเสมอ

การตรวจหารทำได้โดยการคูณ ตัวอย่างเช่น หากมีความเท่าเทียมกัน 64: 32 = 2 การตรวจสอบสามารถทำได้ดังนี้: 64 = 32 * 2

บ่อยครั้งในกรณีที่ทำการหารด้วยเศษจะสะดวกที่จะใช้ความเท่าเทียมกัน
a = b * n + r,
โดยที่ a คือเงินปันผล b คือตัวหาร n คือผลหารที่ไม่สมบูรณ์ r คือเศษที่เหลือ

ผลหารของการหารจำนวนธรรมชาติสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้

ตัวเศษของเศษส่วนเป็นตัวหาร และตัวส่วนเป็นตัวหาร

เนื่องจากตัวเศษของเศษส่วนเป็นตัวหารและตัวส่วนเป็นตัวหาร เชื่อว่าการเฉือนเศษส่วนหมายถึงการหาร... บางครั้ง การเขียนการหารเป็นเศษส่วนจะสะดวกโดยไม่ต้องใช้เครื่องหมาย ":"

ผลหารของการหารจำนวนธรรมชาติ m และ n สามารถเขียนเป็นเศษส่วน \ (\ frac (m) (n) \) โดยที่ตัวเศษ m เป็นตัวหาร และตัวส่วน n เป็นตัวหาร:
\ (ม.: n = \ frac (ม.) (n) \)

กฎต่อไปนี้เป็นจริง:

เพื่อให้ได้เศษส่วน \ (\ frac (m) (n) \) คุณต้องแบ่งหน่วยออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กัน (เศษส่วน) และนำ m ส่วนดังกล่าว

เพื่อให้ได้เศษส่วน \ (\ frac (m) (n) \) คุณต้องหารตัวเลข m ด้วยตัวเลข n

ในการหาส่วนของจำนวนเต็ม คุณต้องหารจำนวนที่ตรงกับจำนวนเต็มด้วยตัวส่วนและคูณผลลัพธ์ด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่แสดงส่วนนี้

ในการหาจำนวนเต็มจากส่วนของมัน คุณต้องหารจำนวนที่ตรงกับส่วนนี้ด้วยตัวเศษ แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่แสดงส่วนนี้

หากทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณด้วยจำนวนเดียวกัน (ยกเว้นศูนย์) ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง:
\ (\ ใหญ่ \ frac (a) (b) = \ frac (a \ cdot n) (b \ cdot n) \)

หากทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนหารด้วยตัวเลขเดียวกัน (ยกเว้นศูนย์) ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง:
\ (\ ใหญ่ \ frac (a) (b) = \ frac (a: m) (b: m) \)
คุณสมบัตินี้เรียกว่า คุณสมบัติหลักของเศษส่วน.

การเปลี่ยนแปลงสองครั้งสุดท้ายเรียกว่า การลดเศษส่วน.

หากจำเป็นต้องแสดงเศษส่วนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน การกระทำนี้จะเรียกว่า การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม.

เศษส่วนที่ถูกและผิด ตัวเลขผสม

คุณรู้อยู่แล้วว่าสามารถหาเศษส่วนได้โดยหารทั้งหมดออกเป็นส่วนเท่าๆ กันและนำส่วนดังกล่าวหลายๆ ส่วนมาหาร ตัวอย่างเช่น เศษส่วน \ (\ frac (3) (4) \) หมายถึงสามในสี่ของหนึ่ง ในปัญหาต่างๆ ในส่วนที่แล้ว เศษส่วนธรรมดาถูกใช้เพื่อแสดงส่วนหนึ่งของทั้งหมด สามัญสำนึกกำหนดว่าส่วนนั้นควรน้อยกว่าทั้งหมดเสมอ แต่เศษส่วนเช่น \ (\ frac (5) (5) \) หรือ \ (\ frac (8) (5) \) ล่ะ? เป็นที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของหน่วยอีกต่อไป นี่อาจเป็นสาเหตุที่เรียกเศษส่วนที่ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน เศษส่วนผิด... เศษส่วนที่เหลือ คือ เศษส่วนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน เรียกว่า เศษส่วนที่ถูกต้อง.

ดังที่คุณทราบ เศษส่วนร่วมใดๆ ทั้งถูกและผิด ถือได้ว่าเป็นผลจากการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งแตกต่างจากภาษาทั่วไป คำว่า "เศษส่วนเกิน" ไม่ได้หมายความว่าเราทำอะไรผิด แต่มีเพียงเศษส่วนนี้เท่านั้นที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน

ถ้าจำนวนประกอบด้วยส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วน เช่นนั้น เศษส่วนเรียกว่าผสม.

ตัวอย่างเช่น:
\ (5: 3 = 1 \ frac (2) (3) \): 1 คือส่วนจำนวนเต็ม และ \ (\ frac (2) (3) \) เป็นส่วนเศษส่วน

หากตัวเศษของเศษส่วน \ (\ frac (a) (b) \) หารด้วยจำนวนธรรมชาติ n ลงตัวแล้ว ในการหารเศษส่วนนี้ด้วย n ตัวเศษจะต้องหารด้วยตัวเลขนี้:
\ (\ ใหญ่ \ frac (a) (b): n = \ frac (a: n) (b) \)

หากตัวเศษของเศษส่วน \ (\ frac (a) (b) \) ไม่สามารถหารด้วยจำนวนธรรมชาติ n ได้ ดังนั้นหากต้องการหารเศษส่วนนี้ด้วย n คุณต้องคูณตัวส่วนด้วยตัวเลขนี้:
\ (\ ใหญ่ \ frac (a) (b): n = \ frac (a) (bn) \)

โปรดทราบว่ากฎข้อที่สองเป็นจริงเช่นกันเมื่อตัวเศษหารด้วย n ลงตัว ดังนั้นเราจึงสามารถใช้ได้เมื่อมองแวบแรกยากว่าตัวเศษของเศษส่วนหารด้วย n ลงตัวหรือไม่

การกระทำที่มีเศษส่วน การบวกของเศษส่วน.

เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ คุณสามารถคำนวณด้วยตัวเลขที่เป็นเศษส่วนได้ ลองพิจารณาการบวกเศษส่วนกันก่อน มันง่ายที่จะบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ลองหาผลรวมของ \ (\ frac (2) (7) \) และ \ (\ frac (3) (7) \) ง่ายที่จะเห็นว่า \ (\ frac (2) (7) + \ frac (2) (7) = \ frac (5) (7) \)

ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ให้เพิ่มตัวเศษแล้วปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน

การใช้ตัวอักษร กฎสำหรับการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันสามารถเขียนได้ดังนี้:
\ (\ ใหญ่ \ frac (a) (c) + \ frac (b) (c) = \ frac (a + b) (c) \)

หากคุณต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ให้นำเศษส่วนนั้นมาหารด้วยตัวส่วนร่วมก่อน ตัวอย่างเช่น:
\ (\ ใหญ่ \ frac (2) (3) + \ frac (4) (5) = \ frac (2 \ cdot 5) (3 \ cdot 5) + \ frac (4 \ cdot 3) (5 \ cdot 3 ) = \ frac (10) (15) + \ frac (12) (15) = \ frac (10 + 12) (15) = \ frac (22) (15) \)

สำหรับเศษส่วน เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ คุณสมบัติการกระจัดและการรวมกันของการบวกนั้นใช้ได้

การบวกเศษส่วนผสม

บันทึกเช่น \ (2 \ frac (2) (3) \) เรียกว่า เศษส่วนผสม... ในกรณีนี้เรียกเลข 2 ว่า ทั้งส่วนเศษส่วนผสมและจำนวน \ (\ frac (2) (3) \) คือ เศษส่วน... สัญกรณ์ \ (2 \ frac (2) (3) \) อ่านดังนี้: "สองและสองในสาม"

เมื่อหาร 8 ด้วย 3 คุณจะได้สองคำตอบ: \ (\ frac (8) (3) \) และ \ (2 \ frac (2) (3) \) พวกเขาแสดงจำนวนเศษส่วนเดียวกันเช่น \ (\ frac (8) (3) = 2 \ frac (2) (3) \)

ดังนั้นเศษที่ไม่เหมาะสม \ (\ frac (8) (3) \) จึงแสดงเป็นเศษส่วนผสม \ (2 \ frac (2) (3) \) ในกรณีเช่นนี้พวกเขากล่าวว่าจากเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จัดสรรให้ทั้งส่วน.

การลบเศษส่วน (ตัวเลขเศษส่วน)

การลบจำนวนเศษส่วน เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ ถูกกำหนดบนพื้นฐานของการบวก: การลบอีกจำนวนหนึ่งออกจากตัวเลขหนึ่งหมายถึงการค้นหาตัวเลขที่เมื่อบวกเข้ากับตัวที่สอง จะให้ตัวแรก ตัวอย่างเช่น:
\ (\ frac (8) (9) - \ frac (1) (9) = \ frac (7) (9) \) ตั้งแต่ \ (\ frac (7) (9) + \ frac (1) (9 ) = \ frac (8) (9) \)

กฎการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันจะคล้ายกับกฎสำหรับการบวกเศษส่วนดังกล่าว:
ในการหาผลต่างของเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องลบตัวเศษของวินาทีออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน

ใช้ตัวอักษรกฎนี้เขียนดังนี้:
\ (\ ใหญ่ \ frac (a) (c) - \ frac (b) (c) = \ frac (a-b) (c) \)

การคูณเศษส่วน

ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วน แล้วเขียนผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และตัวที่สองเป็นตัวส่วน

การใช้ตัวอักษร กฎการคูณเศษส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้:
\ (\ ใหญ่ \ frac (a) (b) \ cdot \ frac (c) (d) = \ frac (a \ cdot c) (b \ cdot d) \)

ด้วยการใช้กฎที่กำหนด เป็นไปได้ที่จะคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ เศษส่วนคละ และเศษส่วนคละได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเขียนจำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 1 และเศษส่วนคละเป็นเศษเกิน

ผลลัพธ์ของการคูณควรทำให้ง่ายขึ้น (ถ้าเป็นไปได้) โดยการยกเลิกเศษส่วนและเน้นทั้งส่วนของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

สำหรับเศษส่วน เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ คุณสมบัติการกระจัดและการรวมกันของการคูณนั้นใช้ได้ เช่นเดียวกับคุณสมบัติการกระจายของการคูณด้วยการบวก

การหารเศษส่วน

ใช้เศษส่วน \ (\ frac (2) (3) \) และ "พลิก" โดยสลับตัวเศษและตัวส่วน เราได้เศษส่วน \ (\ frac (3) (2) \) เศษส่วนนี้เรียกว่า ย้อนกลับเศษส่วน \ (\ frac (2) (3) \)

หากตอนนี้เรา "พลิก" เศษส่วน \ (\ frac (3) (2) \) เราก็จะได้เศษส่วนดั้งเดิม \ (\ frac (2) (3) \) ดังนั้นเศษส่วนเช่น \ (\ frac (2) (3) \) และ \ (\ frac (3) (2) \) เรียกว่า ผกผันกัน.

เศษส่วน \ (\ frac (6) (5) \) และ \ (\ frac (5) (6) \), \ (\ frac (7) (18) \) และ \ (\ frac (18) (7 ) \)

การใช้ตัวอักษร เศษส่วนผกผันกันสามารถเขียนได้ดังนี้ \ (\ frac (a) (b) \) และ \ (\ frac (b) (a) \)

เป็นที่ชัดเจนว่า ผลคูณของเศษส่วนกลับกันคือ 1... ตัวอย่างเช่น: \ (\ frac (2) (3) \ cdot \ frac (3) (2) = 1 \)

การใช้เศษส่วนกลับกัน คุณสามารถลดการหารเศษส่วนเป็นการคูณได้

กฎการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน:
ในการหารเศษส่วนด้วยอีกเศษหนึ่ง คุณต้องคูณเงินปันผลด้วยตัวผกผันของตัวหาร

ในบทความเราจะแสดง วิธีแก้เศษส่วนในตัวอย่างที่เข้าใจง่าย ลองหาว่าเศษส่วนคืออะไรแล้วพิจารณา การแก้ปัญหาของเศษส่วน!

แนวคิด เศษส่วนถูกนำเข้าสู่หลักสูตรคณิตศาสตร์ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนมัธยม

เศษส่วนอยู่ในรูปแบบ: ± X / Y โดยที่ Y เป็นตัวส่วน มันบอกว่าส่วนทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นกี่ส่วน และ X เป็นตัวเศษ มันบอกว่าส่วนนั้นถูกถ่ายไปกี่ส่วน เพื่อความชัดเจน ลองมาดูตัวอย่างกับเค้กกัน:

ในกรณีแรก ตัดเค้กเท่าๆ กันและตัดไปครึ่งหนึ่ง กล่าวคือ 1/2. ในกรณีที่สอง เค้กถูกตัดเป็น 7 ชิ้น โดยแบ่งเป็น 4 ชิ้นคือ 4/7.

ถ้าส่วนที่เกิดจากการหารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม ให้เขียนเป็นเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 4: 2 = 2 ให้จำนวนเต็ม แต่ 4: 7 หารไม่ลงตัว ดังนั้นนิพจน์นี้จึงเขียนเป็นเศษส่วน 4/7

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เศษส่วนเป็นนิพจน์ที่แสดงถึงการหารของตัวเลขหรือนิพจน์สองตัว และเขียนโดยใช้แถบเศษส่วน

ถ้าตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน แสดงว่าเศษส่วนนั้นถูกต้อง ในทางกลับกัน เศษนั้นไม่ถูกต้อง เศษส่วนสามารถรวมจำนวนเต็มได้

เช่น 5 คือ 3/4

รายการนี้หมายความว่าเพื่อให้ได้ทั้ง 6 ส่วนที่ขาดหายไปหนึ่งในสี่

ถ้าคุณต้องการที่จะจำ วิธีแก้เศษส่วนสำหรับเกรด 6, คุณต้องเข้าใจว่า การแก้ปัญหาของเศษส่วนโดยพื้นฐานแล้วต้องทำความเข้าใจกับสิ่งง่ายๆ สองสามอย่าง

• เศษส่วนก็คือการแสดงออกของเศษส่วน นั่นคือ นิพจน์ที่เป็นตัวเลขว่าค่าที่กำหนดนั้นมาจากจำนวนเต็มจำนวนเท่าใด ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 3/5 แสดงว่าถ้าเราแบ่งสิ่งทั้งหมดออกเป็น 5 ส่วน และจำนวนส่วนหรือส่วนของทั้งหมดนี้เป็นสาม
• เศษส่วนสามารถมีค่าน้อยกว่า 1 เช่น 1/2 (หรือครึ่งหนึ่ง) จากนั้นจึงถูกต้อง หากเศษส่วนมากกว่า 1 เช่น 3/2 (สามส่วนหรือครึ่งหนึ่ง) แสดงว่าไม่ถูกต้องและเพื่อทำให้คำตอบง่ายขึ้น เราควรเลือกทั้งส่วน 3/2 = 1 ทั้ง 1/2 .
• เศษส่วนเป็นตัวเลขเดียวกับ 1, 3, 10 และแม้แต่ 100 เฉพาะตัวเลขเท่านั้นที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่เป็นเศษส่วน คุณสามารถดำเนินการเดียวกันกับพวกเขาได้เช่นเดียวกับตัวเลข การนับเศษส่วนไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป และเราจะแสดงสิ่งนี้เพิ่มเติมพร้อมตัวอย่างเฉพาะ

วิธีแก้เศษส่วน. ตัวอย่าง.

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายใช้ได้กับเศษส่วน

การนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการเปรียบเทียบเศษส่วน 3/4 และ 4/5

ในการแก้ปัญหา ก่อนอื่น เราต้องหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด นั่นคือ จำนวนที่น้อยที่สุดที่ตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละตัวหารลงตัว

ตัวส่วนร่วมต่ำสุด (4.5) = 20

จากนั้นตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองจะลดลงเหลือตัวส่วนร่วมต่ำสุด

คำตอบ: 15/20

การบวกและการลบเศษส่วน

หากจำเป็นต้องคำนวณผลรวมของเศษส่วนสองส่วน ให้นำเศษส่วนนั้นมาเป็นตัวส่วนร่วมก่อน จากนั้นตัวเศษจะถูกเพิ่มเข้าไป ในขณะที่ตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ความแตกต่างระหว่างเศษส่วนคำนวณในลักษณะเดียวกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือตัวเศษถูกลบออก

ตัวอย่างเช่น คุณต้องหาผลรวมของเศษส่วน 1/2 และ 1/3

หาผลต่างระหว่างเศษส่วน 1/2 และ 1/4

การคูณและการหารเศษส่วน

คำตอบของเศษส่วนนั้นง่าย ทุกอย่างค่อนข้างง่ายที่นี่:

• การคูณ - ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนจะคูณกันเอง
• การหาร - ก่อนอื่นเราได้ค่าผกผันของเศษส่วนที่สองนั่นคือ เราสลับตัวเศษและตัวส่วน หลังจากนั้นเราคูณเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์

ตัวอย่างเช่น:

เกี่ยวกับเรื่องนี้ วิธีแก้เศษส่วน, ทั้งหมด. หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับ การแก้เศษส่วนหากมีสิ่งใดไม่ชัดเจนให้เขียนความคิดเห็นแล้วเราจะตอบคุณอย่างแน่นอน

หากคุณเป็นครู คุณสามารถดาวน์โหลดงานนำเสนอสำหรับโรงเรียนประถมศึกษาได้ (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) จะมีประโยชน์สำหรับคุณ

ที่คำว่า "เศษส่วน" ขนลุกสำหรับหลาย ๆ คน เพราะฉันจำโรงเรียนและงานที่ได้รับการแก้ไขในวิชาคณิตศาสตร์ นี่เป็นหน้าที่ที่ต้องทำให้สำเร็จ แต่ถ้าเราปฏิบัติต่องานด้วยเศษส่วนที่ถูกและผิดเหมือนปริศนาล่ะ? ท้ายที่สุด ผู้ใหญ่หลายคนก็ไขปริศนาอักษรไขว้ดิจิทัลและภาษาญี่ปุ่น คิดออกกฎนั่นคือทั้งหมดที่ มันเหมือนกันที่นี่ ต้องเจาะลึกทฤษฎีเท่านั้น - และทุกอย่างจะเข้าที่ และตัวอย่างจะกลายเป็นวิธีฝึกสมองของคุณ

เศษส่วนมีกี่ประเภท?

สำหรับการเริ่มต้นเกี่ยวกับสิ่งที่เป็น เศษส่วนคือตัวเลขที่มีเศษส่วนเป็นหนึ่ง สามารถเขียนได้สองรูปแบบ อย่างแรกเรียกว่าธรรมดา นั่นคือเส้นที่มีเส้นแนวนอนหรือเฉียง เท่ากับเครื่องหมายหาร

ในบันทึกดังกล่าว ตัวเลขที่อยู่เหนือขีดกลางเรียกว่าตัวเศษ และด้านล่างคือตัวส่วน

ในบรรดาเศษส่วนธรรมดา เศษส่วนที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องจะแยกความแตกต่าง สำหรับประการแรก ตัวเศษแบบโมดูโลจะน้อยกว่าตัวส่วนเสมอ ที่เรียกผิดก็เพราะว่าตรงกันข้าม เศษส่วนตามกฎหมายจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ แม้ว่าเลขผิดจะมากกว่าจำนวนนี้เสมอ

นอกจากนี้ยังมีจำนวนคละ นั่นคือจำนวนที่มีส่วนทั้งหมดและเศษส่วน

สัญกรณ์ประเภทที่สองคือเศษส่วนทศนิยม เป็นการสนทนาแยกต่างหากเกี่ยวกับเธอ

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมแตกต่างจากจำนวนคละอย่างไร

ที่แกนกลางของมันไม่มีอะไร พวกเขาเป็นเพียงรายการที่แตกต่างกันสำหรับหมายเลขเดียวกัน เศษส่วนไม่ปกติจะกลายเป็นจำนวนคละหลังจากการกระทำง่ายๆ และในทางกลับกัน.

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์เฉพาะ บางครั้งในงานจะสะดวกกว่าถ้าใช้เศษส่วนผิด และบางครั้งจำเป็นต้องแปลเป็นจำนวนคละ จากนั้นตัวอย่างจะแก้ไขได้ง่ายมาก ดังนั้นจะใช้อะไรดี: เศษส่วนไม่ถูกต้อง จำนวนคละ ขึ้นอยู่กับความช่างสังเกตของนักแก้ปัญหา

จำนวนคละจะถูกนำมาเปรียบเทียบกับผลรวมของส่วนจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วนด้วย ยิ่งกว่านั้นวินาทีจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ

ฉันจะแสดงจำนวนคละเป็นเศษเกินได้อย่างไร

หากคุณต้องการดำเนินการใดๆ ที่มีตัวเลขหลายตัวที่เขียนในรูปแบบต่างๆ กัน คุณจะต้องทำให้เหมือนกัน วิธีหนึ่งคือการแสดงตัวเลขเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

เพื่อจุดประสงค์นี้ คุณจะต้องดำเนินการตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

• คูณตัวส่วนด้วยส่วนจำนวนเต็ม
• เพิ่มตัวเศษให้กับผลลัพธ์
• เขียนคำตอบเหนือบรรทัด
• ปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน

ต่อไปนี้คือตัวอย่างวิธีการเขียนเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมจากจำนวนคละ:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1): 2 = 79/2

ฉันจะเขียนเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเป็นจำนวนคละได้อย่างไร

เทคนิคถัดไปเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับที่กล่าวไว้ข้างต้น นั่นคือเมื่อจำนวนคละทั้งหมดถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม อัลกอริทึมของการกระทำจะเป็นดังนี้:

• หารตัวเศษด้วยตัวส่วนเพื่อให้ได้เศษ;
• เขียนผลหารแทนส่วนของส่วนผสมทั้งหมด
• ส่วนที่เหลือควรอยู่เหนือเส้น
• ตัวหารจะเป็นตัวส่วน

ตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว:

76/14; 76:14 = 5 เหลือ 6; คำตอบคือ 5 จำนวนเต็มและ 6/14; เศษส่วนในตัวอย่างนี้ต้องลดลง 2 กลายเป็น 3/7; คำตอบสุดท้ายคือ 5 จุด 3/7

108/54; หลังจากการหาร ผลหาร 2 จะได้มาโดยไม่มีเศษเหลือ นี่หมายความว่าเศษส่วนที่ไม่ปกติทั้งหมดไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนคละได้ คำตอบคือทั้งหมด - 2

วิธีการแปลงจำนวนเต็มเป็นเศษเกิน?

มีบางสถานการณ์ที่จำเป็นต้องดำเนินการดังกล่าวด้วย เพื่อให้ได้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมด้วยตัวหารที่รู้จัก คุณจะต้องใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

• คูณจำนวนเต็มด้วยตัวส่วนที่ต้องการ
• เขียนค่านี้เหนือเส้น
• วางตัวส่วนไว้ข้างใต้

ตัวเลือกที่ง่ายที่สุดคือเมื่อตัวส่วนเป็นหนึ่ง จากนั้นคุณไม่จำเป็นต้องคูณอะไรเลย แค่เขียนจำนวนเต็มตามตัวอย่างแล้ววางหน่วยไว้ใต้เส้นตรงก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างทำ 5 เป็นเศษเกินด้วยตัวส่วน 3 หลังจากคูณ 5 ด้วย 3 คุณจะได้ 15 ตัวเลขนี้จะเป็นตัวส่วน คำตอบของปัญหาคือเศษส่วน: 15/3

สองแนวทางในการแก้ปัญหาด้วยตัวเลขที่ต่างกัน

ในตัวอย่าง คุณต้องคำนวณผลรวมและส่วนต่าง รวมทั้งผลคูณและความฉลาดของตัวเลขสองตัว: 2 จำนวนเต็ม 3/5 และ 14/11

ในแนวทางแรกจำนวนคละจะแสดงเป็นเศษเกิน

หลังจากทำตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว คุณจะได้รับค่าต่อไปนี้: 13/5

ในการหาจำนวนเงิน คุณต้องนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนเดียวกัน 13/5 คูณด้วย 11 กลายเป็น 143/55 และ 14/11 หลังจากคูณด้วย 5 จะได้รูปแบบ: 70/55 ในการคำนวณหาผลรวม คุณเพียงแค่บวกตัวเศษ: 143 และ 70 แล้วจดคำตอบด้วยตัวส่วนเดียว 213/55 เป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง คำตอบของปัญหา

เมื่อหาผลต่าง ตัวเลขเดียวกันจะถูกลบออก: 143 - 70 = 73 คำตอบจะเป็นเศษส่วน: 73/55

เมื่อคูณ 13/5 กับ 14/11 คุณไม่จำเป็นต้องหาตัวส่วนร่วม การคูณทั้งเศษและส่วนเป็นคู่ก็เพียงพอแล้ว คำตอบคือ 182/55

มันเหมือนกันกับการแบ่ง สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง คุณต้องแทนที่การหารด้วยการคูณแล้วพลิกตัวหาร: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70

ในแนวทางที่สองเศษเกินจะกลายเป็นจำนวนคละ

หลังจากทำตามขั้นตอนของอัลกอริทึมเสร็จแล้ว 14/11 จะกลายเป็นจำนวนคละที่มีจำนวนเต็มส่วนที่ 1 และเศษส่วน 3/11

เมื่อคำนวณผลรวม คุณต้องบวกส่วนทั้งหมดและเศษส่วนแยกกัน 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55 คำตอบสุดท้ายคือ 3 จุด 48/55 รอบแรก 213/55 คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องได้โดยแปลงเป็นจำนวนคละ หลังจากหาร 213 ด้วย 55 คุณจะได้ผลหาร 3 และเศษเหลือ 48 จะเห็นได้ง่ายว่าคำตอบนั้นถูกต้อง

การลบแทนที่เครื่องหมาย + ด้วย - 2 - 1 = 1.33/55 - 15/55 = 18/55 ในการทดสอบคำตอบจากวิธีก่อนหน้า คุณต้องแปลเป็นจำนวนคละ: 73 หารด้วย 55 และผลหารคือ 1 และส่วนที่เหลือคือ 18

ไม่สะดวกที่จะใช้จำนวนคละในการหางานและความฉลาด ขอแนะนำให้ใช้เศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง

โอ้เศษส่วนเหล่านั้น! ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย ในบทเรียนคณิตศาสตร์ มันคือการดำเนินการเลขคณิตกับเศษส่วนและปัญหาที่ตัวเลขที่มีตัวเศษและตัวส่วนกะพริบภายใต้เงื่อนไขที่กลายเป็นอุปสรรคที่เด็กนักเรียนจำนวนมากเอาชนะด้วยความยากลำบาก การท่องจำและการใช้กฎที่ค่อนข้างง่ายซึ่งเชื่อฟังการกระทำที่มีเศษส่วน สำหรับนักเรียนบางคน กลายเป็นอุปสรรคต่อผลการเรียนที่ดีทางคณิตศาสตร์ที่ผ่านไม่ได้ แล้วจะแก้ปัญหาเศษส่วนได้อย่างไร? เป็นไปได้ถ้าคุณเข้าใจถูกต้องว่าเศษส่วนคืออะไร

ลองใช้เค้กธรรมดาเป็นตัวอย่าง คุณคาดหวังแขกเจ็ดคนสำหรับวันหยุด คุณมีเค้กหนึ่งชิ้น จึงต้องแบ่งเป็นแปดคน (แขกบวกชายเกิด) คุณได้ตัดเค้กเป็นชิ้นเท่า ๆ กัน แต่ละส่วนเหล่านี้มีเพียง 1/8 ของวงกลมทั้งหมด เศษส่วนธรรมชาติอย่างง่ายออกมา โดยที่ 1 เป็นตัวเศษและ 8 เป็นตัวส่วน แขกบางคนปฏิเสธพาย และคุณตัดสินใจเอาอีกชิ้น ตอนนี้ออกมา 2 ชิ้นจากแปดชิ้นของพายหรือ 2/8

จะเป็นอย่างไรถ้าแขกของคุณทานอาหาร ลดน้ำหนัก และไม่ต้องการกินเค้ก จากนั้นคุณจะได้แปดชิ้นจากแปด (8/8) นั่นคือเค้กทั้งหมด!

เศษส่วนที่ตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วนเรียกว่าถูกต้อง และตัวเศษที่ใหญ่กว่านั้นไม่ถูกต้อง

ปัญหาเศษส่วนธรรมชาติ
ปัญหาเรื่องเศษส่วนธรรมชาติมักเกี่ยวข้องกับการกระทำกับเศษส่วนนั้น รูปแบบที่ง่ายที่สุดของปัญหาดังกล่าวคือการหาเศษส่วนของตัวเลขที่แสดงเป็นเศษส่วน คุณได้รับแอปเปิ้ล 6 กิโลกรัม คุณควรปล่อยให้ 2/3 ของพวกเขาเตรียมไส้พาย คูณ 6 ด้วย 2 แล้วหารด้วย 3 ดังนั้นเราจึงมี 4 กิโลกรัมที่จำเป็นสำหรับการบรรจุ

หากคุณมีงานที่ยากในการหาตัวเลขจากส่วนนั้น ให้คูณส่วนของตัวเลขด้วยเศษส่วน สลับตำแหน่งของตัวเศษและตัวส่วน นี่คือแอปเปิ้ล 6 กิโลกรัม นี่คือ 3/5 ของแอปเปิ้ลทั้งหมดที่เก็บเกี่ยวจากต้นแอปเปิ้ลของคุณ เราคูณ 6 อย่างรวดเร็วด้วย 5 และหารด้วย 3 ได้ 10 กิโลกรัม

เศษส่วนหารและคูณอย่างไร? กฎมีความเรียบง่ายที่นี่ การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน เราดำเนินการกับตัวเศษและตัวส่วน สมมุติว่าคุณต้องคูณ 2/3 ด้วย 5/6 จำนวน 2 คูณด้วย 5 และ 3 คูณด้วย 6 ผลลัพธ์: 10/18 หากคุณต้องการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม ก็แค่คูณตัวเลขกับตัวเศษของเศษส่วนนั้น ดังนั้น 3 * 4/7 = 12/7 เราแปลงเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนที่ถูกต้อง: 12/7 = 1 และ 5/7

เราสามารถแทนที่การหารเศษส่วนได้ง่ายๆ ด้วยการคูณ ต้องการหาร 5/6 ด้วย 2/3 หรือไม่? ดังนั้น เราปล่อยให้เศษส่วนแรก 5/6 ไม่เปลี่ยนแปลง ในวินาทีที่เราเปลี่ยนตำแหน่งของตัวเศษและตัวส่วน 5/6: 2/3 = 5/6 * 3/2 = 15/12. กฎดังกล่าวยังมีอยู่สำหรับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วน 2: 4/7 = 2 * 7/4 = 14/4 ถ้าเราหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ เราก็คูณตัวส่วนกับจำนวนนั้นเอง 4/7: 2 = 4/14.

การลบและบวกด้วยเศษส่วนที่ตัวส่วนต่างกันทำได้ยากกว่า หากคุณต้องการเพิ่ม 2/8 ถึง 3/8 การทำเช่นนี้จะง่ายกว่า บวกตัวเศษ โดยปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ออกมาแล้ว 5/8 เมื่อลบแล้ว ทุกอย่างจะเหมือนเดิม โดยที่ตัวที่เล็กกว่าจะถูกลบออกจากตัวเศษที่มากกว่า

แต่จะแก้ปัญหาเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันได้อย่างไร? แน่นอนก่อนอื่นให้นำมารวมกัน ตัวอย่างเช่น คุณต้องบวก 5/8 และ 2/3 เรากำลังมองหาวิธีการเลือกจำนวนที่หารด้วย 8 และ 3 ลงตัว ตัวเลขนี้คือ 24 ในการหารเศษส่วนด้วยตัวส่วนของ 24 จาก 5/8 ให้หาร 24 ด้วย 8 ผลลัพธ์ที่ได้คือเลข 3 คูณตัวเศษด้วย 3 เป็นผลให้ 5/8 เท่ากับ 15/24 เราทำเช่นเดียวกันกับ 2/3 ได้ 16/24 ถัดไป คุณสามารถเพิ่มและลบตัวส่วนได้

ได้รับเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง 31/24 24/24 เป็นจำนวนเต็มหนึ่งจำนวน ลบตัวส่วนออกจากตัวเศษ มันกลายเป็น 1 ทั้งหมดและ 7/24

จะทำอย่างไรเมื่อคุณต้องการลบส่วนหนึ่งจากจำนวนเต็ม? คุณมีเค้กสามชิ้นที่คุณต้องหั่นเป็นชิ้นๆ ละ 5 ชิ้น และมอบ 2/5 ให้กับคนที่คุณรู้จัก 3 ได้ 15 หารด้วยห้า คุณมีเค้ก 15/5 ลบ 2 จาก 15, กลายเป็นว่าคุณเหลือ 13/5 ของเค้ก, หรือ 2 ทั้งหมดและ 3/5.

นี่คือวิธีการแก้ปัญหาเรื่องเศษส่วน ที่สำคัญที่สุด จำไว้ว่าคุณไม่สามารถลบสิ่งที่มากกว่าออกจากตัวเศษที่เล็กกว่าได้!