วิธีแก้สมการด้วยลอการิทึมธรรมชาติ วิธีการบางอย่างในการแก้สมการลอการิทึม

สมการลอการิทึมคือสมการที่ไม่ทราบค่า (x) และนิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันลอการิทึม การแก้สมการลอการิทึมจะถือว่าคุณคุ้นเคยกับ และ
จะแก้สมการลอการิทึมได้อย่างไร?

สมการที่ง่ายที่สุดคือ บันทึก a x = bโดยที่ a และ b เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง ส่วน x ไม่ทราบค่า
การแก้สมการลอการิทึมคือ x = a b โดยมีให้: a > 0, a 1

ควรสังเกตว่าถ้า x อยู่ที่ไหนสักแห่งนอกลอการิทึมเช่น log 2 x = x-2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่าผสมแล้วและจำเป็นต้องใช้วิธีพิเศษในการแก้ไข

กรณีในอุดมคติคือเมื่อคุณเจอสมการที่มีเฉพาะตัวเลขเท่านั้นที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม เช่น x+2 = log 2 2 นี่ก็เพียงพอที่จะทราบคุณสมบัติของลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ แต่โชคเช่นนี้ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ดังนั้นเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับสิ่งที่ยากขึ้น

แต่ก่อนอื่น มาเริ่มด้วยสมการง่ายๆ กันก่อน เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ ขอแนะนำให้มีความเข้าใจทั่วไปเกี่ยวกับลอการิทึม

การแก้สมการลอการิทึมอย่างง่าย

ซึ่งรวมถึงสมการประเภท log 2 x = log 2 16 ด้วยตาเปล่าจะเห็นว่าถ้าเราละเครื่องหมายของลอการิทึม เราก็จะได้ x = 16

ในการแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อนมากขึ้น มักจะลดลงเหลือเพียงการแก้สมการพีชคณิตธรรมดา หรือการแก้สมการลอการิทึมอย่างง่าย log a x = b ในสมการที่ง่ายที่สุด สิ่งนี้เกิดขึ้นในการเคลื่อนไหวครั้งเดียว ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกว่าง่ายที่สุด

วิธีการทิ้งลอการิทึมข้างต้นเป็นหนึ่งในวิธีหลักในการแก้สมการลอการิทึมและอสมการ ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการนี้เรียกว่าศักยภาพ มีกฎหรือข้อจำกัดบางประการสำหรับการดำเนินการประเภทนี้:

• ลอการิทึมมีฐานตัวเลขเท่ากัน
• ลอการิทึมทั้งสองข้างของสมการนั้นว่าง กล่าวคือ โดยไม่มีสัมประสิทธิ์หรือสำนวนอื่นใด

สมมติว่าในสมการ บันทึก 2 x = 2log 2 (1 - x) ไม่สามารถใช้ศักยภาพได้ - สัมประสิทธิ์ 2 ทางด้านขวาไม่อนุญาต ในตัวอย่างต่อไปนี้ บันทึก 2 x+log 2 (1 - x) = บันทึก 2 (1+x) ก็ไม่เป็นไปตามข้อจำกัดข้อใดข้อหนึ่งเช่นกัน - มีลอการิทึมสองตัวทางด้านซ้าย หากมีเพียงหนึ่งเดียวก็จะเป็นเรื่องที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!

โดยทั่วไป คุณสามารถลบลอการิทึมได้ก็ต่อเมื่อสมการอยู่ในรูปแบบ:

เข้าสู่ระบบ (...) = เข้าสู่ระบบ (...)

สามารถใส่นิพจน์ใดๆ ไว้ในวงเล็บได้อย่างแน่นอน ซึ่งไม่มีผลกระทบใดๆ ต่อการดำเนินการเสริมศักยภาพเลย และหลังจากกำจัดลอการิทึมแล้ว สมการที่ง่ายกว่าจะยังคงอยู่ - เชิงเส้น กำลังสอง เลขชี้กำลัง ฯลฯ ซึ่งฉันหวังว่าคุณจะรู้วิธีแก้อยู่แล้ว

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง:

บันทึก 3 (2x-5) = บันทึก 3 x

เราใช้ศักยภาพ เราได้รับ:

ล็อก 3 (2x-1) = 2

ตามคำจำกัดความของลอการิทึม กล่าวคือ ลอการิทึมคือตัวเลขที่ต้องยกฐานขึ้นเพื่อให้ได้นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม กล่าวคือ (4x-1) เราได้:

เราได้รับคำตอบที่สวยงามอีกครั้ง ที่นี่เราทำโดยไม่กำจัดลอการิทึม แต่ศักยภาพก็ใช้ได้ที่นี่เช่นกัน เพราะลอการิทึมสามารถสร้างจากตัวเลขใดๆ ก็ได้ และเป็นลอการิทึมที่เราต้องการพอดี วิธีนี้มีประโยชน์มากในการแก้สมการลอการิทึมและโดยเฉพาะอสมการ

ลองแก้สมการลอการิทึมของเราด้วยล็อก 3 (2x-1) = 2 โดยใช้ศักยภาพ:

ลองจินตนาการว่าเลข 2 เป็นลอการิทึม เช่น บันทึกนี้ 3 9 เพราะ 3 2 = 9

จากนั้นลอก 3 (2x-1) = บันทึก 3 9 และอีกครั้งเราจะได้สมการเดียวกัน 2x-1 = 9 ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน

เราจึงดูวิธีแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ซึ่งจริงๆ แล้วสำคัญมาก เพราะว่า การแก้สมการลอการิทึมแม้แต่สิ่งที่เลวร้ายและบิดเบี้ยวที่สุด ท้ายที่สุดแล้วก็ต้องแก้สมการที่ง่ายที่สุดเสมอ

ในทุกสิ่งที่เราทำข้างต้น เรามองไม่เห็นจุดสำคัญจุดหนึ่งซึ่งจะมีบทบาทชี้ขาดในอนาคต ความจริงก็คือคำตอบของสมการลอการิทึมใดๆ แม้แต่สมการเบื้องต้นที่สุดก็ประกอบด้วยสองส่วนที่เท่ากัน อย่างแรกคือการแก้สมการ ส่วนอย่างที่สองทำงานกับช่วงของค่าที่อนุญาต (APV) นี่เป็นส่วนแรกที่เราเชี่ยวชาญ ในตัวอย่างข้างต้น ODZ ไม่มีผลกับคำตอบแต่อย่างใด ดังนั้นเราจึงไม่ได้พิจารณาเรื่องนี้

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

ภายนอกสมการนี้ไม่แตกต่างจากสมการเบื้องต้นซึ่งสามารถแก้ไขได้สำเร็จมาก แต่มันไม่เป็นเช่นนั้น ไม่ แน่นอนว่าเราจะแก้ปัญหานี้ แต่น่าจะไม่ถูกต้อง เนื่องจากมีการซุ่มโจมตีเล็กน้อย ซึ่งทั้งนักเรียนเกรด C และนักเรียนที่เก่งก็ตกอยู่ในนั้นทันที มาดูกันดีกว่า

สมมติว่าคุณจำเป็นต้องค้นหารากของสมการหรือผลรวมของราก หากมีหลายราก:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

เราใช้ศักยภาพก็เป็นที่ยอมรับที่นี่ เป็นผลให้เราได้สมการกำลังสองธรรมดา

ค้นหารากของสมการ:

มันกลับกลายเป็นสองราก

คำตอบ: 3 และ -1

เมื่อมองแวบแรกทุกอย่างถูกต้อง แต่ลองตรวจสอบผลลัพธ์แล้วแทนที่มันลงในสมการดั้งเดิม

เริ่มต้นด้วย x 1 = 3:

บันทึก 3 6 = บันทึก 3 6

การตรวจสอบสำเร็จ ขณะนี้คิวคือ x 2 = -1:

บันทึก 3 (-2) = บันทึก 3 (-2)

โอเค หยุด! ภายนอกทุกอย่างสมบูรณ์แบบ สิ่งหนึ่งที่ไม่มีลอการิทึมจากจำนวนลบ! ซึ่งหมายความว่าราก x = -1 ไม่เหมาะสำหรับการแก้สมการของเรา ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องจะเป็น 3 ไม่ใช่ 2 ตามที่เราเขียนไว้

นี่คือจุดที่ ODZ มีบทบาทร้ายแรงซึ่งเราลืมไปแล้ว

ฉันขอเตือนคุณว่าช่วงของค่าที่ยอมรับได้รวมถึงค่า x ที่อนุญาตหรือสมเหตุสมผลสำหรับตัวอย่างดั้งเดิม

หากไม่มี ODZ วิธีแก้ไขใดๆ แม้แต่วิธีที่ถูกต้องที่สุด ของสมการใดๆ ก็จะกลายเป็นลอตเตอรี - 50/50

เราจะถูกจับได้ว่ากำลังแก้ไขตัวอย่างที่ดูเหมือนเบื้องต้นได้อย่างไร แต่ในช่วงเวลาแห่งพลังอย่างแม่นยำ ลอการิทึมหายไป และด้วยข้อจำกัดทั้งหมด

จะทำอย่างไรในกรณีนี้? ปฏิเสธที่จะกำจัดลอการิทึม? และปฏิเสธที่จะแก้สมการนี้โดยสิ้นเชิง?

ไม่ เราเหมือนกับฮีโร่ตัวจริงจากเพลงดังเพลงหนึ่ง ที่จะเลี่ยง!

ก่อนที่เราจะเริ่มแก้สมการลอการิทึมใดๆ เราจะเขียน ODZ ก่อน แต่หลังจากนั้นคุณสามารถทำอะไรก็ได้ตามใจปรารถนาด้วยสมการของเรา เมื่อได้รับคำตอบแล้ว เราก็เพียงโยนรากที่ไม่รวมอยู่ใน ODZ ของเราออกแล้วจดเวอร์ชันสุดท้ายลงไป

ตอนนี้เรามาตัดสินใจว่าจะบันทึก ODZ อย่างไร ในการทำเช่นนี้ เราจะตรวจสอบสมการดั้งเดิมอย่างรอบคอบ และมองหาตำแหน่งที่น่าสงสัยในสมการนั้น เช่น การหารด้วย x หรือรากคู่ เป็นต้น จนกว่าเราจะแก้สมการได้ เราไม่รู้ว่า x เท่ากับอะไร แต่เรารู้แน่ว่า x เหล่านั้นที่เมื่อแทนค่าแล้วให้หารด้วย 0 หรือหารากที่สองของจำนวนลบ นั้นเห็นได้ชัดว่าไม่เหมาะที่จะเป็น คำตอบ. ดังนั้นค่า x ดังกล่าวจึงไม่สามารถยอมรับได้ ในขณะที่ส่วนที่เหลือจะประกอบเป็น ODZ

ลองใช้สมการเดียวกันอีกครั้ง:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีการหารด้วย 0 และไม่มีการรากที่สองด้วย แต่มีนิพจน์ที่มี x อยู่ในเนื้อหาของลอการิทึม ขอให้เราจำไว้ทันทีว่านิพจน์ภายในลอการิทึมจะต้องเป็น >0 เสมอ เราเขียนเงื่อนไขนี้ในรูปแบบของ ODZ:

เหล่านั้น. เรายังไม่ได้แก้ไขอะไรเลย แต่เราได้เขียนเงื่อนไขบังคับสำหรับนิพจน์ย่อยลอการิทึมทั้งหมดแล้ว วงเล็บปีกกาหมายความว่าเงื่อนไขเหล่านี้จะต้องเป็นจริงพร้อมกัน

ODZ ถูกเขียนไว้แล้ว แต่ยังจำเป็นต้องแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมกันซึ่งเป็นสิ่งที่เราจะทำ เราได้คำตอบ x > v3 ตอนนี้เรารู้แล้วว่า x ตัวไหนไม่เหมาะกับเรา แล้วเราก็เริ่มแก้สมการลอการิทึมเอง ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำข้างต้น

เมื่อได้รับคำตอบแล้ว x 1 = 3 และ x 2 = -1 จะเห็นว่ามีเพียง x1 = 3 เท่านั้นที่เหมาะกับเรา และเราจะจดไว้เป็นคำตอบสุดท้าย

สำหรับอนาคต สิ่งสำคัญมากที่ต้องจดจำสิ่งต่อไปนี้: เราแก้สมการลอการิทึมใน 2 ขั้นตอน อย่างแรกคือการแก้สมการเอง อย่างที่สองคือการแก้เงื่อนไข ODZ ทั้งสองขั้นตอนดำเนินการอย่างเป็นอิสระจากกันและเปรียบเทียบเฉพาะเมื่อเขียนคำตอบเท่านั้นเช่น ทิ้งทุกสิ่งที่ไม่จำเป็นและจดคำตอบที่ถูกต้อง

เพื่อเสริมความแข็งแกร่งของวัสดุ เราขอแนะนำอย่างยิ่งให้ดูวิดีโอ:

วิดีโอนี้แสดงตัวอย่างอื่นๆ ของการแก้ปัญหาบันทึก สมการและการหาวิธีช่วงในทางปฏิบัติ

สำหรับคำถามนี้ วิธีแก้สมการลอการิทึมนั่นคือทั้งหมดที่สำหรับตอนนี้. หากบางสิ่งบางอย่างถูกตัดสินใจโดยบันทึก สมการยังไม่ชัดเจนหรือไม่สามารถเข้าใจได้ เขียนคำถามของคุณในความคิดเห็น

หมายเหตุ: Academy of Social Education (ASE) พร้อมเปิดรับนักศึกษาใหม่แล้ว

การเตรียมตัวสำหรับการทดสอบครั้งสุดท้ายทางคณิตศาสตร์มีส่วนสำคัญ - "ลอการิทึม" งานจากหัวข้อนี้จำเป็นต้องมีอยู่ในการตรวจสอบ Unified State ประสบการณ์จากหลายปีที่ผ่านมาแสดงให้เห็นว่าสมการลอการิทึมทำให้เด็กนักเรียนหลายคนลำบาก ดังนั้นนักเรียนที่มีระดับการฝึกอบรมต่างกันจึงต้องเข้าใจวิธีการหาคำตอบที่ถูกต้องและรับมือกับพวกเขาได้อย่างรวดเร็ว

ผ่านการทดสอบการรับรองสำเร็จโดยใช้พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo!

เมื่อเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลายต้องการแหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้ซึ่งให้ข้อมูลที่ครบถ้วนและถูกต้องที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาการทดสอบได้สำเร็จ อย่างไรก็ตาม หนังสือเรียนไม่ได้อยู่ในมือเสมอไป และการค้นหากฎและสูตรที่จำเป็นบนอินเทอร์เน็ตมักต้องใช้เวลา

พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo ช่วยให้คุณเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State ได้ทุกที่ทุกเวลา เว็บไซต์ของเราเสนอแนวทางที่สะดวกที่สุดในการทำซ้ำและดูดซับข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับลอการิทึม เช่นเดียวกับข้อมูลที่ไม่ทราบหนึ่งหรือหลายรายการ เริ่มต้นด้วยสมการง่ายๆ หากคุณรับมือกับพวกมันได้โดยไม่ยาก ให้ไปยังสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้ หากคุณประสบปัญหาในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน คุณสามารถเพิ่มลงในรายการโปรดเพื่อกลับมาดูในภายหลังได้

คุณสามารถค้นหาสูตรที่จำเป็นในการทำงานให้เสร็จสิ้น ทำซ้ำกรณีพิเศษและวิธีการคำนวณรากของสมการลอการิทึมมาตรฐานโดยดูที่ส่วน "ความช่วยเหลือทางทฤษฎี" ครูของ Shkolkovo รวบรวมจัดระบบและนำเสนอสื่อการสอนทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการส่งผ่านที่ประสบความสำเร็จในรูปแบบที่ง่ายที่สุดและเข้าใจได้มากที่สุด

เพื่อให้สามารถรับมือกับงานที่ซับซ้อนได้อย่างง่ายดาย บนพอร์ทัลของเรา คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับคำตอบของสมการลอการิทึมมาตรฐานบางรายการได้ โดยไปที่ส่วน "แคตตาล็อก" เรามีตัวอย่างจำนวนมาก รวมถึงสมการที่มีระดับโปรไฟล์ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์

นักเรียนจากโรงเรียนทั่วรัสเซียสามารถใช้พอร์ทัลของเราได้ หากต้องการเริ่มชั้นเรียน เพียงลงทะเบียนในระบบและเริ่มแก้สมการ เพื่อรวบรวมผลลัพธ์ เราขอแนะนำให้คุณกลับไปที่เว็บไซต์ Shkolkovo ทุกวัน

ในวิดีโอนี้ ฉันจะเริ่มบทเรียนยาวๆ เกี่ยวกับสมการลอการิทึม ตอนนี้คุณมีสามตัวอย่างต่อหน้าคุณโดยเราจะเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งเรียกว่า - โปรโตซัว.

บันทึก 0.5 (3x - 1) = −3

บันทึก (x + 3) = 3 + 2 บันทึก 5

ฉันขอเตือนคุณว่าสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = b

ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องมีตัวแปร x อยู่ภายในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น กล่าวคือ เฉพาะในฟังก์ชัน f (x) และตัวเลข a และ b เป็นเพียงตัวเลข และไม่ว่าในกรณีใด จะเป็นฟังก์ชันที่มีตัวแปร x

วิธีการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน

มีหลายวิธีในการแก้ไขโครงสร้างดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ครูส่วนใหญ่ที่โรงเรียนเสนอวิธีนี้: แสดงฟังก์ชัน f (x) ทันทีโดยใช้สูตร ฉ ( x ) = ข นั่นคือเมื่อคุณเจอการก่อสร้างที่ง่ายที่สุดคุณสามารถไปยังวิธีแก้ปัญหาได้ทันทีโดยไม่ต้องดำเนินการหรือก่อสร้างเพิ่มเติม

ใช่แน่นอนว่าการตัดสินใจจะต้องถูกต้อง แต่ปัญหาของสูตรนี้คือนักเรียนส่วนใหญ่ ไม่เข้าใจมันมาจากไหน และทำไมเราถึงยกตัวอักษร a ขึ้นเป็นตัวอักษร b

ด้วยเหตุนี้ ฉันมักจะเห็นข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญมาก เช่น เมื่อมีการสลับตัวอักษรเหล่านี้ ต้องเข้าใจสูตรนี้หรือยัดเยียดให้ และวิธีที่สองนำไปสู่ข้อผิดพลาดในช่วงเวลาที่ไม่เหมาะสมและสำคัญที่สุด: ระหว่างการสอบ การทดสอบ ฯลฯ

นั่นคือเหตุผลที่ฉันแนะนำให้นักเรียนทุกคนละทิ้งสูตรมาตรฐานของโรงเรียนและใช้วิธีที่สองในการแก้สมการลอการิทึมซึ่งตามที่คุณคงเดาได้จากชื่อนั้นเรียกว่า รูปแบบบัญญัติ.

แนวคิดของรูปแบบบัญญัตินั้นเรียบง่าย ลองดูปัญหาของเราอีกครั้ง: ทางด้านซ้ายเรามี log a และโดยตัวอักษร a เราหมายถึงตัวเลข และไม่ว่าในกรณีใดฟังก์ชันจะมีตัวแปร x ดังนั้น จดหมายฉบับนี้จึงอยู่ภายใต้ข้อจำกัดทั้งหมดที่กำหนดไว้บนพื้นฐานของลอการิทึม กล่าวคือ:

1 ≠ ก > 0

ในทางกลับกัน จากสมการเดียวกัน เราจะเห็นว่าลอการิทึมต้องเท่ากับจำนวน b และไม่มีการกำหนดข้อจำกัดใดๆ กับตัวอักษรนี้ เนื่องจากสามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ ทั้งบวกและลบ ทุกอย่างขึ้นอยู่กับค่าที่ฟังก์ชัน f(x) ใช้

และที่นี่ เราจำกฎอันมหัศจรรย์ของเราที่ว่าจำนวน b ใดๆ สามารถแสดงเป็นลอการิทึมของฐาน a ยกกำลังของ b:

b = บันทึก a a b

จะจำสูตรนี้ได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก ลองเขียนโครงสร้างต่อไปนี้:

b = b 1 = b บันทึก a

แน่นอน ในกรณีนี้ ข้อจำกัดทั้งหมดที่เราจดไว้ตอนเริ่มต้นเกิดขึ้น ทีนี้ ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมแล้วแนะนำตัวคูณ b ให้เป็นกำลังของ a เราได้รับ:

b = b 1 = b บันทึก a a = บันทึก a a b

เป็นผลให้สมการเดิมจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b → f (x) = a b

นั่นคือทั้งหมดที่ ฟังก์ชันใหม่ไม่มีลอการิทึมอีกต่อไป และสามารถแก้ไขได้โดยใช้เทคนิคพีชคณิตมาตรฐาน

แน่นอนว่าตอนนี้มีคนจะคัดค้าน: เหตุใดจึงจำเป็นต้องสร้างสูตรมาตรฐานบางประเภทขึ้นมาทำไมต้องดำเนินการเพิ่มเติมอีกสองขั้นตอนที่ไม่จำเป็นหากสามารถย้ายจากการออกแบบดั้งเดิมไปเป็นสูตรสุดท้ายได้ทันที ใช่ ถ้าเพียงเพราะนักเรียนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าสูตรนี้มาจากไหน และเป็นผลให้ทำผิดพลาดเป็นประจำเมื่อนำไปใช้

แต่ลำดับการกระทำนี้ซึ่งประกอบด้วยสามขั้นตอนช่วยให้คุณสามารถแก้สมการลอการิทึมดั้งเดิมได้แม้ว่าคุณจะไม่เข้าใจว่าสูตรสุดท้ายมาจากไหนก็ตาม อย่างไรก็ตาม รายการนี้เรียกว่าสูตรมาตรฐาน:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

ความสะดวกของรูปแบบบัญญัติยังอยู่ที่ว่าสามารถใช้เพื่อแก้สมการลอการิทึมในระดับที่กว้างมาก และไม่ใช่แค่สมการที่ง่ายที่สุดที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในปัจจุบัน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างจริงกัน ดังนั้นเรามาตัดสินใจกัน:

บันทึก 0.5 (3x - 1) = −3

ลองเขียนใหม่แบบนี้:

บันทึก 0.5 (3x − 1) = บันทึก 0.5 0.5 −3

นักเรียนหลายคนรีบเร่งรีบยกเลข 0.5 ขึ้นมาเป็นกำลังที่มาหาเราจากปัญหาเดิมทันที แน่นอน เมื่อคุณได้รับการฝึกฝนมาเป็นอย่างดีในการแก้ปัญหาดังกล่าวแล้ว คุณสามารถดำเนินการขั้นตอนนี้ได้ทันที

อย่างไรก็ตาม หากคุณเพิ่งเริ่มศึกษาหัวข้อนี้ จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่รีบเร่งเพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่น่ารังเกียจ ดังนั้นเราจึงมีรูปแบบบัญญัติ เรามี:

3x - 1 = 0.5 −3

นี่ไม่ใช่สมการลอการิทึมอีกต่อไป แต่เป็นสมการเชิงเส้นเทียบกับตัวแปร x เพื่อแก้ปัญหานี้ ขั้นแรกให้ดูที่เลข 0.5 ยกกำลัง −3 โปรดทราบว่า 0.5 คือ 1/2

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

แปลงเศษส่วนทศนิยมทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนร่วมเมื่อแก้สมการลอการิทึม

เราเขียนใหม่และรับ:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

แค่นั้นแหละ เราก็ได้คำตอบแล้ว ปัญหาแรกได้รับการแก้ไขแล้ว

ภารกิจที่สอง

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ดังที่เราเห็นสมการนี้ไม่ใช่สมการที่ง่ายที่สุดอีกต่อไป หากเพียงเพราะมีความแตกต่างทางด้านซ้ายและไม่ใช่ลอการิทึมเดียวต่อฐานเดียว

ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องกำจัดความแตกต่างนี้ออกไป ในกรณีนี้ทุกอย่างง่ายมาก มาดูฐานให้ละเอียดยิ่งขึ้น ทางด้านซ้ายคือตัวเลขใต้รูท:

คำแนะนำทั่วไป: ในสมการลอการิทึมทั้งหมด พยายามกำจัดราก เช่น จากรายการที่มีรากและไปยังฟังก์ชันกำลัง เพียงเพราะว่าเลขชี้กำลังของกำลังเหล่านี้ถูกนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมอย่างง่ายดาย และท้ายที่สุดก็เป็นเช่นนั้น รายการช่วยลดความยุ่งยากและเพิ่มความเร็วในการคำนวณอย่างมาก ลองเขียนมันลงไปดังนี้:

ตอนนี้ให้เราจำคุณสมบัติอันน่าทึ่งของลอการิทึม: กำลังสามารถได้มาจากอาร์กิวเมนต์เช่นเดียวกับจากฐาน ในกรณีที่มีเหตุ จะเกิดสิ่งต่อไปนี้:

บันทึก a k b = 1/k loga b

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขที่อยู่ในกำลังฐานจะถูกยกไปข้างหน้าและในขณะเดียวกันก็กลับด้าน นั่นคือ มันจะกลายเป็นจำนวนกลับกัน ในกรณีของเรา ระดับฐานคือ 1/2 เราก็เลยเอาออกมาเป็น 2/1 ได้. เราได้รับ:

5 2 บันทึก 5 x − บันทึก 5 x = 18
10 ล็อก 5 x − ล็อก 5 x = 18

โปรดทราบ: คุณไม่ควรกำจัดลอการิทึมในขั้นตอนนี้ไม่ว่าในกรณีใด จำคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4-5 และลำดับการดำเนินการ: การคูณจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงบวกและลบเท่านั้น ในกรณีนี้ เราจะลบหนึ่งในองค์ประกอบเดียวกันออกจาก 10 องค์ประกอบ:

9 บันทึก 5 x = 18
บันทึก 5 x = 2

ตอนนี้สมการของเราดูเท่าที่ควร นี่เป็นโครงสร้างที่ง่ายที่สุด และเราแก้ไขมันโดยใช้รูปแบบมาตรฐาน:

บันทึก 5 x = บันทึก 5 5 2
x = 5 2
x = 25

นั่นคือทั้งหมดที่ ปัญหาที่สองได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่สาม

มาดูงานที่สามกันดีกว่า:

บันทึก (x + 3) = 3 + 2 บันทึก 5

ฉันขอเตือนคุณถึงสูตรต่อไปนี้:

บันทึก b = บันทึก 10 ข

หากด้วยเหตุผลบางอย่างคุณสับสนกับสัญกรณ์ บันทึก b จากนั้นเมื่อทำการคำนวณทั้งหมดคุณก็สามารถเขียนบันทึก 10 ข . คุณสามารถทำงานกับลอการิทึมทศนิยมได้เช่นเดียวกับลอการิทึมอื่น: รับกำลังบวกและแทนตัวเลขใด ๆ ในรูปแบบ lg 10

ตอนนี้เราจะใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการแก้ปัญหาเนื่องจากไม่ใช่คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดที่เราจดไว้ตอนเริ่มต้นบทเรียน

ขั้นแรก โปรดทราบว่าสามารถเพิ่มตัวประกอบ 2 หน้า lg 5 ได้และกลายเป็นกำลังของฐาน 5 นอกจากนี้ เทอมอิสระ 3 ยังสามารถแสดงเป็นลอการิทึมได้ด้วย ซึ่งสังเกตได้ง่ายมากจากสัญกรณ์ของเรา

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: สามารถแสดงตัวเลขใดก็ได้เป็นบันทึกถึงฐาน 10:

3 = บันทึก 10 10 3 = บันทึก 10 3

มาเขียนปัญหาเดิมใหม่โดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงที่ได้รับ:

บันทึก (x − 3) = บันทึก 1,000 + บันทึก 25
บันทึก (x − 3) = บันทึก 1,000 25
บันทึก (x − 3) = บันทึก 25,000

เรามีรูปแบบบัญญัติอยู่ตรงหน้าเราอีกครั้งและได้มาโดยไม่ต้องผ่านขั้นตอนการเปลี่ยนแปลงนั่นคือ สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดไม่ปรากฏที่ใดเลย

นี่คือสิ่งที่ฉันพูดถึงในตอนต้นของบทเรียน รูปแบบ Canonical ช่วยให้คุณแก้ปัญหาในชั้นเรียนได้กว้างกว่าสูตรมาตรฐานของโรงเรียนที่ครูในโรงเรียนส่วนใหญ่บอก

เพียงเท่านี้ เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมทศนิยมออกไป และเราได้โครงสร้างเชิงเส้นอย่างง่าย:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

ทั้งหมด! ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

หมายเหตุเกี่ยวกับขอบเขต

ในที่นี้ ข้าพเจ้าอยากจะกล่าวถึงข้อสังเกตที่สำคัญเกี่ยวกับขอบเขตของคำจำกัดความ แน่นอนว่าตอนนี้จะต้องมีนักเรียนและครูที่จะพูดว่า: “เมื่อเราแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึม เราต้องจำไว้ว่าอาร์กิวเมนต์ f (x) จะต้องมากกว่าศูนย์!” ในเรื่องนี้มีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: เหตุใดเราจึงไม่ต้องการให้ความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้รับความพึงพอใจในปัญหาใด ๆ ที่พิจารณา?

ไม่ต้องกังวล. ในกรณีเหล่านี้ จะไม่มีรากเพิ่มเติมปรากฏขึ้น และนี่ก็เป็นเคล็ดลับดีๆ อีกประการหนึ่งที่ช่วยให้คุณเร่งการแก้ปัญหาได้ แค่รู้ว่าถ้าในปัญหา ตัวแปร x เกิดขึ้นที่เดียวเท่านั้น (หรือในอาร์กิวเมนต์เดียวของลอการิทึมเดียว) และไม่มีที่อื่นในกรณีของเราที่ตัวแปร x ปรากฏ จากนั้นให้เขียนโดเมนของคำจำกัดความ ไม่จำเป็นเพราะมันจะถูกดำเนินการโดยอัตโนมัติ

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในสมการแรกเราได้ 3x − 1 นั่นคือ อาร์กิวเมนต์ควรเท่ากับ 8 ซึ่งหมายความว่า 3x − 1 จะมากกว่าศูนย์โดยอัตโนมัติ

ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราสามารถเขียนได้ว่าในกรณีที่สอง x ควรเท่ากับ 5 2 นั่นคือ มันมากกว่าศูนย์อย่างแน่นอน และในกรณีที่สาม โดยที่ x + 3 = 25,000 กล่าวคือ เห็นได้ชัดว่ามากกว่าศูนย์อีกครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ขอบเขตจะเป็นไปตามอัตโนมัติ แต่เฉพาะเมื่อ x เกิดขึ้นเฉพาะในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเดียวเท่านั้น

นั่นคือทั้งหมดที่คุณต้องรู้เพื่อแก้ไขปัญหาที่ง่ายที่สุด กฎข้อนี้เพียงอย่างเดียว ร่วมกับกฎการเปลี่ยนแปลง จะช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาประเภทต่างๆ ได้กว้างมาก

แต่ขอบอกตามตรงว่าในที่สุดเพื่อที่จะเข้าใจเทคนิคนี้เพื่อเรียนรู้วิธีใช้รูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึมการดูบทเรียนวิดีโอเพียงบทเดียวนั้นไม่เพียงพอ ดังนั้นตอนนี้ ให้ดาวน์โหลดตัวเลือกสำหรับโซลูชันอิสระที่แนบมากับบทเรียนวิดีโอนี้ และเริ่มแก้ไขงานอิสระอย่างน้อยหนึ่งในสองงานนี้

จะใช้เวลาไม่กี่นาทีจริงๆ แต่ผลของการฝึกอบรมดังกล่าวจะสูงกว่าการที่คุณดูบทเรียนวิดีโอนี้มาก

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสมการลอการิทึม ใช้รูปแบบมาตรฐาน ลดความซับซ้อนของนิพจน์โดยใช้กฎสำหรับการทำงานกับลอการิทึม - แล้วคุณจะไม่กลัวปัญหาใดๆ นั่นคือทั้งหมดที่ฉันมีสำหรับวันนี้

โดยคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ

ตอนนี้ เรามาพูดถึงขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันลอการิทึม และสิ่งนี้ส่งผลต่อการแก้สมการลอการิทึมอย่างไร พิจารณาการสร้างแบบฟอร์ม

บันทึก a f (x) = b

นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่านิพจน์ที่ง่ายที่สุด - มีเพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้นและตัวเลข a และ b เป็นเพียงตัวเลขและไม่ว่าในกรณีใดฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x มันสามารถแก้ไขได้ง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตร:

b = บันทึก a a b

สูตรนี้เป็นหนึ่งในคุณสมบัติสำคัญของลอการิทึม และเมื่อนำไปแทนนิพจน์เดิม เราจะได้ดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

ฉ (x) = ข

นี่เป็นสูตรที่คุ้นเคยจากตำราเรียนของโรงเรียน นักเรียนหลายคนอาจจะมีคำถาม: เนื่องจากในนิพจน์ดั้งเดิม ฟังก์ชัน f (x) อยู่ใต้เครื่องหมายบันทึก จึงมีข้อ จำกัด ต่อไปนี้:

ฉ(x) > 0

ข้อจำกัดนี้มีผลเนื่องจากไม่มีลอการิทึมของจำนวนลบ ดังนั้นบางทีจากข้อจำกัดนี้ ควรมีการแนะนำการตรวจสอบคำตอบหรือไม่ บางทีอาจจำเป็นต้องแทรกลงในแหล่งที่มา?

ไม่ ในสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเพิ่มเติม และนั่นคือเหตุผล ดูสูตรสุดท้ายของเรา:

ฉ (x) = ข

ความจริงก็คือตัวเลข a ไม่ว่าในกรณีใดมากกว่า 0 - ข้อกำหนดนี้ถูกกำหนดโดยลอการิทึมด้วย เลข a เป็นฐาน ในกรณีนี้ ไม่มีการกำหนดข้อจำกัดใดๆ กับหมายเลข b แต่นั่นไม่สำคัญ เพราะไม่ว่าเราจะยกกำลังเท่าใด เราก็จะยังคงได้เลขบวกที่เอาท์พุต ดังนั้นข้อกำหนด f (x) > 0 จึงเป็นไปตามข้อกำหนดโดยอัตโนมัติ

สิ่งที่ควรตรวจสอบจริงๆ คือโดเมนของฟังก์ชันใต้เครื่องหมายบันทึก อาจมีโครงสร้างที่ค่อนข้างซับซ้อน และคุณต้องจับตาดูโครงสร้างเหล่านี้อย่างแน่นอนในระหว่างกระบวนการแก้ไขปัญหา มาดูกันดีกว่า

งานแรก:

ขั้นตอนแรก: แปลงเศษส่วนทางขวา เราได้รับ:

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและรับสมการไม่ลงตัวตามปกติ:

จากรากที่ได้รับมีเพียงอันแรกเท่านั้นที่เหมาะกับเราเนื่องจากรูทที่สองมีค่าน้อยกว่าศูนย์ คำตอบเดียวคือหมายเลข 9 เท่านี้ก็หมดปัญหาแล้ว ไม่ต้องตรวจสอบเพิ่มเติมเพื่อให้แน่ใจว่านิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีค่ามากกว่า 0 เพราะไม่ใช่แค่มากกว่า 0 แต่ตามเงื่อนไขของสมการจะเท่ากับ 2 ดังนั้นข้อกำหนด "มากกว่าศูนย์ ” พึงพอใจโดยอัตโนมัติ

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ทุกอย่างเหมือนกันที่นี่ เราเขียนการก่อสร้างใหม่แทนที่สาม:

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและรับสมการไม่ลงตัว:

เราจัดวางทั้งสองด้านโดยคำนึงถึงข้อจำกัดต่างๆ และรับ:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

เราแก้สมการผลลัพธ์ผ่านการจำแนก:

ง = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

แต่ x = −6 ไม่เหมาะกับเรา เพราะหากเราแทนจำนวนนี้เป็นอสมการ เราจะได้:

−6 + 4 = −2 < 0

ในกรณีของเรา จำเป็นต้องมากกว่า 0 หรือเท่ากับในกรณีที่รุนแรง แต่ x = −1 เหมาะกับเรา:

−1 + 4 = 3 > 0

คำตอบเดียวในกรณีของเราคือ x = −1 นั่นคือวิธีแก้ปัญหา กลับไปที่จุดเริ่มต้นของการคำนวณของเรากัน

ประเด็นหลักจากบทเรียนนี้คือ คุณไม่จำเป็นต้องตรวจสอบข้อจำกัดของฟังก์ชันในสมการลอการิทึมอย่างง่าย เนื่องจากในระหว่างกระบวนการแก้ปัญหา ข้อจำกัดทั้งหมดจะเป็นไปตามโดยอัตโนมัติ

อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่ได้หมายความว่าคุณจะลืมการตรวจสอบได้เลย ในกระบวนการทำงานกับสมการลอการิทึม สมการลอการิทึมอาจกลายเป็นสมการที่ไม่ลงตัว ซึ่งจะมีข้อ จำกัด และข้อกำหนดของตัวเองสำหรับด้านขวา ซึ่งเราได้เห็นในวันนี้ในสองตัวอย่างที่แตกต่างกัน

รู้สึกอิสระที่จะแก้ไขปัญหาดังกล่าวและระมัดระวังเป็นพิเศษหากมีต้นเหตุในการโต้แย้ง

สมการลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน

เราศึกษาสมการลอการิทึมต่อไปและดูอีกสองเทคนิคที่น่าสนใจซึ่งเป็นวิธีที่ทันสมัยในการแก้โครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้น แต่ก่อนอื่น เรามาจำไว้ว่าปัญหาที่ง่ายที่สุดจะได้รับการแก้ไขอย่างไร:

บันทึก a f (x) = b

ในรายการนี้ a และ b เป็นตัวเลข และในฟังก์ชัน f (x) ต้องมีตัวแปร x ปรากฏ และมีเพียง x จะต้องอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น เราจะแปลงสมการลอการิทึมดังกล่าวโดยใช้รูปแบบมาตรฐาน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบว่า

b = บันทึก a a b

ยิ่งไปกว่านั้น a b ยังเป็นข้อโต้แย้งอีกด้วย ลองเขียนนิพจน์นี้ใหม่ดังนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

นี่คือสิ่งที่เราพยายามทำให้สำเร็จ เพื่อให้มีลอการิทึมเป็นฐาน a ทั้งทางซ้ายและขวา ในกรณีนี้ เราสามารถขีดฆ่าเครื่องหมายบันทึกในเชิงเปรียบเทียบได้ และจากมุมมองทางคณิตศาสตร์เราสามารถพูดได้ว่าเรากำลังเทียบเคียงข้อโต้แย้ง:

ฉ (x) = ข

เป็นผลให้เราจะได้รับนิพจน์ใหม่ที่จะแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก ลองใช้กฎนี้กับปัญหาของเราวันนี้

ดังนั้นการออกแบบครั้งแรก:

ก่อนอื่น ฉันสังเกตว่าทางขวาเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นลอก เมื่อคุณเห็นสำนวนเช่นนี้ เป็นความคิดที่ดีที่จะจดจำคุณสมบัติอันยอดเยี่ยมของลอการิทึม:

เมื่อแปลเป็นภาษารัสเซีย หมายความว่าลอการิทึมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลหารของลอการิทึมสองตัวที่มีฐาน c ใดๆ ได้ แน่นอน 0< с ≠ 1.

ดังนั้น: สูตรนี้มีกรณีพิเศษที่ยอดเยี่ยมอย่างหนึ่ง เมื่อตัวแปร c เท่ากับตัวแปร ข. ในกรณีนี้เราจะได้โครงสร้างดังนี้:

นี่คือโครงสร้างที่เราเห็นจากเครื่องหมายทางขวามือในสมการของเรา ลองแทนที่โครงสร้างนี้ด้วย log a b เราได้รับ:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อเปรียบเทียบกับงานดั้งเดิม เราได้สลับอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม เราต้องกลับเศษส่วนแทน.

เราจำได้ว่าระดับใดๆ สามารถหาได้จากฐานตามกฎต่อไปนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์ k ซึ่งเป็นกำลังของฐานจะแสดงเป็นเศษส่วนกลับหัว ลองทำให้มันเป็นเศษส่วนกลับด้าน:

ไม่สามารถปล่อยตัวประกอบเศษส่วนไว้ข้างหน้าได้ เพราะในกรณีนี้ เราจะไม่สามารถแสดงสัญกรณ์นี้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้ (ท้ายที่สุดแล้ว ในรูปแบบมาตรฐานนั้นไม่มีปัจจัยเพิ่มเติมก่อนลอการิทึมตัวที่สอง) ดังนั้น เรามาบวกเศษส่วน 1/4 เข้ากับอาร์กิวเมนต์เป็นกำลัง:

ตอนนี้เราถือเอาข้อโต้แย้งที่มีฐานเหมือนกัน (และฐานของเราเหมือนกันจริงๆ) และเขียน:

x + 5 = 1

x = −4

นั่นคือทั้งหมดที่ เราได้คำตอบของสมการลอการิทึมแรกแล้ว โปรดทราบ: ในปัญหาเดิม ตัวแปร x ปรากฏในบันทึกเดียวเท่านั้น และปรากฏในอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องตรวจสอบโดเมน และจำนวน x = −4 ของเราก็คือคำตอบจริงๆ

ตอนนี้เรามาดูนิพจน์ที่สองกัน:

บันทึก 56 = บันทึก 2 บันทึก 2 7 − 3log (x + 4)

ในที่นี้ นอกเหนือจากลอการิทึมปกติแล้ว เราจะต้องทำงานกับบันทึก f (x) ด้วย จะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? สำหรับนักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้ อาจดูเหมือนเป็นงานที่ยาก แต่จริงๆ แล้ว ทุกอย่างสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเบื้องต้น

ลองดูคำว่า lg 2 log 2 7 อย่างใกล้ชิด เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้บ้าง? ฐานและอาร์กิวเมนต์ของ log และ lg เหมือนกัน และควรให้แนวคิดบางประการ จำอีกครั้งว่าพลังถูกนำออกมาจากใต้สัญลักษณ์ลอการิทึมอย่างไร:

บันทึก a bn = nlog a b

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งที่เป็นกำลังของ b ในการโต้แย้งจะกลายเป็นปัจจัยที่อยู่หน้าบันทึกนั่นเอง ลองใช้สูตรนี้กับนิพจน์ lg 2 log 2 7 อย่ากลัว lg 2 - นี่คือนิพจน์ที่พบบ่อยที่สุด คุณสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

กฎทั้งหมดที่ใช้กับลอการิทึมอื่นนั้นถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัจจัยที่อยู่ข้างหน้าสามารถเพิ่มระดับของการโต้แย้งได้ ลองเขียนมันลงไป:

บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่เห็นการกระทำนี้โดยตรง เนื่องจากการป้อนบันทึกรายการหนึ่งภายใต้สัญลักษณ์ของอีกรายการหนึ่งนั้นไม่ดี ในความเป็นจริงไม่มีอะไรที่ผิดกฎหมายเกี่ยวกับเรื่องนี้ ยิ่งไปกว่านั้น เรายังได้รับสูตรที่คำนวณได้ง่ายหากคุณจำกฎสำคัญได้:

สูตรนี้ถือได้ว่าเป็นทั้งคำจำกัดความและเป็นหนึ่งในคุณสมบัติ ไม่ว่าในกรณีใด หากคุณกำลังแปลงสมการลอการิทึม คุณควรรู้สูตรนี้เหมือนกับที่คุณทราบถึงการแสดงบันทึกของตัวเลขใดๆ

กลับมาที่งานของเรากันดีกว่า เราเขียนมันใหม่โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าเทอมแรกทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับจะเท่ากับ lg 7 เรามี:

แอลจี 56 = แอลจี 7 - 3แอลจี (x + 4)

เลื่อน lg 7 ไปทางซ้ายเราจะได้:

แอลจี 56 - แอลจี 7 = −3แอลจี (x + 4)

เราลบนิพจน์ทางด้านซ้ายเนื่องจากมีฐานเท่ากัน:

แอลจี (56/7) = −3แอลจี (x + 4)

ทีนี้ลองมาดูสมการที่เราได้รับกันดีกว่า ในทางปฏิบัติแล้ว มันเป็นรูปแบบมาตรฐาน แต่มีตัวประกอบ −3 ทางด้านขวา มาเพิ่มลงในอาร์กิวเมนต์ lg ที่ถูกต้อง:

บันทึก 8 = บันทึก (x + 4) −3

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึมดังนั้นเราจึงขีดฆ่าเครื่องหมาย lg และถือเอาข้อโต้แย้ง:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

นั่นคือทั้งหมด! เราแก้สมการลอการิทึมที่สองแล้ว ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเพิ่มเติม เนื่องจากในปัญหาเดิม x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น

ให้ฉันระบุประเด็นสำคัญของบทเรียนนี้อีกครั้ง

สูตรหลักที่สอนในบทเรียนทั้งหมดในหน้านี้สำหรับการแก้สมการลอการิทึมคือรูปแบบมาตรฐาน และอย่ากลัวความจริงที่ว่าหนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่สอนให้คุณแก้ไขปัญหาดังกล่าวแตกต่างออกไป เครื่องมือนี้ทำงานได้อย่างมีประสิทธิภาพมากและช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาในประเภทที่กว้างกว่าปัญหาที่ง่ายที่สุดที่เราศึกษาตอนเริ่มต้นบทเรียน

นอกจากนี้ ในการแก้สมการลอการิทึม การทราบคุณสมบัติพื้นฐานจะเป็นประโยชน์ กล่าวคือ:

1. สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานเดียวและกรณีพิเศษเมื่อเราย้อนกลับบันทึก (ซึ่งมีประโยชน์มากสำหรับเราในปัญหาแรก)
2. สูตรการบวกและการลบกำลังจากเครื่องหมายลอการิทึม ในกรณีนี้ นักเรียนจำนวนมากติดขัดและไม่เห็นว่าปริญญาที่นำออกและแนะนำอาจมีบันทึก f (x) ในตัวมันเอง ไม่มีอะไรผิดปกติกับที่ เราสามารถแนะนำบันทึกหนึ่งตามสัญลักษณ์ของอีกบันทึกหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมากซึ่งเป็นสิ่งที่เราสังเกตเห็นในกรณีที่สอง

โดยสรุป ฉันต้องการเสริมว่าไม่จำเป็นต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความในแต่ละกรณี เนื่องจากตัวแปร x ปรากฏอยู่ในสัญลักษณ์บันทึกเดียวเท่านั้น และในขณะเดียวกันก็อยู่ในอาร์กิวเมนต์ของมัน ด้วยเหตุนี้ ข้อกำหนดทั้งหมดของขอบเขตจึงได้รับการปฏิบัติตามโดยอัตโนมัติ

ปัญหาเกี่ยวกับฐานตัวแปร

วันนี้เราจะมาดูสมการลอการิทึม ซึ่งสำหรับนักเรียนหลายๆ คนดูเหมือนไม่ได้มาตรฐาน หรือแก้ไม่ได้ทั้งหมด เรากำลังพูดถึงนิพจน์ที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลข แต่เกี่ยวกับตัวแปรและฟังก์ชันคู่ เราจะแก้ไขโครงสร้างดังกล่าวโดยใช้เทคนิคมาตรฐานของเรา นั่นคือผ่านรูปแบบมาตรฐาน

ขั้นแรก โปรดจำไว้ว่าวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดโดยพิจารณาจากตัวเลขธรรมดา ดังนั้นการก่อสร้างที่ง่ายที่สุดจึงเรียกว่า

บันทึก a f (x) = b

เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวเราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

b = บันทึก a a b

เราเขียนนิพจน์ดั้งเดิมของเราใหม่และรับ:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

จากนั้นเราก็ถือเอาข้อโต้แย้งเช่น เราเขียน:

ฉ (x) = ข

ดังนั้นเราจึงกำจัดเครื่องหมายบันทึกและแก้ไขปัญหาตามปกติ ในกรณีนี้ รากที่ได้จากการแก้ปัญหาจะเป็นรากของสมการลอการิทึมดั้งเดิม นอกจากนี้ บันทึกเมื่อทั้งซ้ายและขวาอยู่ในลอการิทึมเดียวกันและมีฐานเดียวกันจะเรียกว่ารูปแบบมาตรฐาน เป็นบันทึกที่เราจะพยายามลดการออกแบบในปัจจุบันลง งั้นไปกัน.

งานแรก:

บันทึก x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

แทนที่ 1 ด้วยบันทึก x − 2 (x − 2) 1 ระดับที่เราสังเกตเห็นในการโต้แย้งคือตัวเลข b ที่อยู่ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ งั้น ลองเขียนพจน์ของเราใหม่. เราได้รับ:

บันทึก x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = บันทึก x − 2 (x − 2)

เราเห็นอะไร? ตรงหน้าเราคือรูปแบบมาตรฐานของสมการลอการิทึม ดังนั้นเราจึงสามารถถือเอาข้อโต้แย้งได้อย่างปลอดภัย เราได้รับ:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

แต่การแก้ปัญหาไม่ได้จบเพียงแค่นั้น เพราะสมการนี้ไม่เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม ท้ายที่สุดแล้ว โครงสร้างผลลัพธ์ประกอบด้วยฟังก์ชันที่กำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด และลอการิทึมดั้งเดิมของเราจะไม่ถูกกำหนดทุกที่และไม่เสมอไป

ดังนั้นเราจึงต้องเขียนโดเมนของคำจำกัดความแยกกัน อย่าแบ่งผมและเขียนข้อกำหนดทั้งหมดก่อน:

ขั้นแรก อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแต่ละตัวต้องมากกว่า 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

ประการที่สอง ฐานต้องไม่เพียงแต่มากกว่า 0 แต่ยังแตกต่างจาก 1 ด้วย:

x - 2 ≠ 1

ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบ:

แต่อย่าตกใจ: เมื่อประมวลผลสมการลอการิทึม ระบบดังกล่าวสามารถทำให้ง่ายขึ้นอย่างมาก

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในด้านหนึ่ง เราจำเป็นต้องให้ฟังก์ชันกำลังสองต้องมากกว่าศูนย์ และในทางกลับกัน ฟังก์ชันกำลังสองนี้ต้องเท่ากับนิพจน์เชิงเส้นบางตัว ซึ่งกำหนดให้ต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

ในกรณีนี้ หากเราต้องการ x − 2 > 0 ก็จะเป็นไปตามข้อกำหนด 2x 2 − 13x + 18 > 0 โดยอัตโนมัติ ดังนั้น เราจึงสามารถขีดฆ่าอสมการที่มีฟังก์ชันกำลังสองได้อย่างปลอดภัย ดังนั้น จำนวนนิพจน์ที่มีอยู่ในระบบของเราจะลดลงเหลือสามรายการ

แน่นอนว่า ด้วยความสำเร็จเดียวกันนี้ เราก็สามารถตัดความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นออกไปได้ กล่าวคือ ขีดฆ่า x − 2 > 0 และกำหนดให้ 2x 2 − 13x + 18 > 0 แต่คุณจะเห็นด้วยว่าการแก้ไขอสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดนั้นเร็วกว่ามาก และง่ายกว่ากำลังสอง แม้จะอยู่ภายใต้เงื่อนไขว่าผลจากการแก้ระบบทั้งหมดนี้ เราได้รากที่เหมือนกัน

โดยทั่วไป พยายามปรับการคำนวณให้เหมาะสมทุกครั้งที่เป็นไปได้ และในกรณีของสมการลอการิทึม ให้ขีดฆ่าอสมการที่ยากที่สุดออก

มาเขียนระบบของเราใหม่:

นี่คือระบบของสามสำนวน ซึ่งอันที่จริงแล้วสองสำนวนเราได้จัดการไปแล้ว ลองเขียนสมการกำลังสองแยกกันแล้วแก้มัน:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

ตรงหน้าเราคือตรีโกณมิติกำลังสองแบบลดรูป ดังนั้น เราจึงใช้สูตรของเวียตาได้ เราได้รับ:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

ตอนนี้เรากลับมาที่ระบบของเราและพบว่า x = 2 ไม่เหมาะกับเรา เพราะเราต้องการให้ x มากกว่า 2 อย่างเคร่งครัด

แต่ x = 5 เหมาะกับเราอย่างยิ่ง เลข 5 มากกว่า 2 และในเวลาเดียวกัน 5 ก็ไม่เท่ากับ 3 ดังนั้น ทางออกเดียวสำหรับระบบนี้คือ x = 5

เพียงเท่านี้ ปัญหาก็ได้รับการแก้ไข รวมถึงคำนึงถึง ODZ ด้วย มาดูสมการที่สองกันดีกว่า การคำนวณที่น่าสนใจและให้ข้อมูลอื่นๆ รอเราอยู่ที่นี่:

ขั้นตอนแรก: เช่นเดียวกับครั้งที่แล้ว เรานำเรื่องทั้งหมดนี้มาอยู่ในรูปแบบบัญญัติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราสามารถเขียนหมายเลข 9 ได้ดังนี้:

คุณไม่จำเป็นต้องแตะฐานด้วยราก แต่เป็นการดีกว่าถ้าเปลี่ยนข้อโต้แย้ง ลองย้ายจากรากไปสู่ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะกัน มาเขียนกัน:

ผมขออย่าเขียนสมการลอการิทึมขนาดใหญ่ทั้งหมดของเราใหม่ แต่ให้ถือเอาข้อโต้แย้งทันที:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

ตรงหน้าเราคือตรีโกณมิติกำลังสองที่ลดลงใหม่ ลองใช้สูตรของ Vieta แล้วเขียนว่า:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

เราได้รากแล้ว แต่ไม่มีใครรับประกันว่ามันจะเข้ากับสมการลอการิทึมดั้งเดิม ท้ายที่สุดแล้ว สัญญาณบันทึกกำหนดข้อ จำกัด เพิ่มเติม (ที่นี่เราควรเขียนระบบ แต่เนื่องจากลักษณะที่ยุ่งยากของโครงสร้างทั้งหมด ฉันจึงตัดสินใจคำนวณโดเมนของคำจำกัดความแยกกัน)

ก่อนอื่น โปรดจำไว้ว่าอาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่า 0 กล่าวคือ:

เหล่านี้เป็นข้อกำหนดที่กำหนดโดยขอบเขตของคำจำกัดความ

ให้เราทราบทันทีว่าเนื่องจากเราเปรียบสองนิพจน์แรกของระบบให้เท่ากัน เราจึงสามารถขีดฆ่านิพจน์ใดๆ ออกไปได้ ขีดฆ่าอันแรกออกไปเพราะมันดูคุกคามมากกว่าอันที่สอง

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าการแก้อสมการที่สองและสามจะเป็นชุดเดียวกัน (ลูกบาศก์ของจำนวนบางตัวมากกว่าศูนย์หากจำนวนนี้มากกว่าศูนย์ ในทำนองเดียวกันด้วยรากของระดับที่สาม - ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ มีความคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง เราจึงสามารถขีดฆ่ามันได้)

แต่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันประการที่สาม สิ่งนี้จะไม่ได้ผล กำจัดเครื่องหมายกรณฑ์ทางซ้ายโดยยกทั้งสองส่วนเป็นลูกบาศก์ เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงได้รับข้อกำหนดดังต่อไปนี้:

− 2 ≠ x > −3

ค่ารากใดของเรา: x 1 = −3 หรือ x 2 = −1 ตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้ แน่นอนว่ามีเพียง x = −1 เท่านั้น เนื่องจาก x = −3 ไม่เป็นไปตามอสมการแรก (เนื่องจากอสมการของเราเข้มงวด) กลับมาที่ปัญหาของเรา เราได้หนึ่งราก: x = −1 แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ประเด็นสำคัญของงานนี้อีกครั้ง:

1. คุณสามารถประยุกต์และแก้สมการลอการิทึมโดยใช้รูปแบบมาตรฐานได้ตามต้องการ นักเรียนที่ทำสัญลักษณ์ดังกล่าว แทนที่จะย้ายจากปัญหาเดิมโดยตรงไปยังโครงสร้างเช่น log a f (x) = b กลับสร้างข้อผิดพลาดน้อยกว่านักเรียนที่เร่งรีบไปที่ไหนสักแห่ง โดยข้ามขั้นตอนการคำนวณขั้นกลางไป
2. ทันทีที่ฐานตัวแปรปรากฏในลอการิทึม ปัญหาจะยุติลงอย่างง่ายที่สุด ดังนั้น เมื่อแก้ไข จำเป็นต้องคำนึงถึงโดเมนของคำจำกัดความ: อาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่าศูนย์ และฐานต้องไม่เพียงแต่มากกว่า 0 เท่านั้น แต่ต้องไม่เท่ากับ 1 ด้วย

ข้อกำหนดขั้นสุดท้ายสามารถนำไปใช้กับคำตอบสุดท้ายได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแก้ปัญหาทั้งระบบที่มีข้อกำหนดทั้งหมดสำหรับโดเมนของคำจำกัดความ ในทางกลับกัน คุณสามารถแก้ปัญหาได้ด้วยตัวเองก่อน จากนั้นจึงจำขอบเขตของคำจำกัดความ แยกงานออกในรูปแบบของระบบและนำไปใช้กับรากที่ได้รับ

วิธีการเลือกเมื่อแก้สมการลอการิทึมนั้นขึ้นอยู่กับคุณ ยังไงซะคำตอบก็จะเหมือนเดิม

ลองพิจารณาสมการลอการิทึมบางประเภทซึ่งไม่ค่อยมีการกล่าวถึงในบทเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน แต่มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการเตรียมงานแข่งขันรวมถึงการสอบ Unified State

1. สมการแก้ได้โดยวิธีลอการิทึม

เมื่อแก้สมการที่มีตัวแปรทั้งในฐานและเลขชี้กำลัง จะใช้วิธีลอการิทึม ในเวลาเดียวกัน ถ้าเลขยกกำลังมีลอการิทึม ทั้งสองข้างของสมการจะต้องเป็นลอการิทึมเป็นฐานของลอการิทึมนี้

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: x log 2 x+2 = 8

สารละลาย.

ลองนำลอการิทึมของด้านซ้ายและขวาของสมการไปที่ฐาน 2 กัน เราได้

บันทึก 2 (x บันทึก 2 x + 2) = บันทึก 2 8,

(บันทึก 2 x + 2) บันทึก 2 x = 3

ให้ลอก 2 x = t

จากนั้น (t + 2)t = 3

เสื้อ 2 + 2t – 3 = 0.

ง = 16. เสื้อ 1 = 1; เสื้อ 2 = -3.

ดังนั้น บันทึก 2 x = 1 และ x 1 = 2 หรือบันทึก 2 x = -3 และ x 2 =1/8

คำตอบ: 1/8; 2.

2. สมการลอการิทึมที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ บันทึก 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) บันทึก 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

สารละลาย.

โดเมนของสมการ

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0 → x > -5

บันทึก 3 (x + 5) = 0 ที่ x = -4 เมื่อตรวจสอบแล้ว เราจะพบว่าค่า x นี้ไม่ใช่ เป็นรากของสมการเดิม ดังนั้นเราจึงสามารถหารทั้งสองข้างของสมการได้ด้วยล็อก 2 3 (x + 5)

เราได้บันทึก 2 3 (x 2 – 3x + 4) / บันทึก 2 3 (x + 5) – 3 บันทึก 3 (x 2 – 3x + 4) / บันทึก 3 (x + 5) + 2 = 0

ให้บันทึก 3 (x 2 – 3x + 4) / บันทึก 3 (x + 5) = t จากนั้น t 2 – 3 t + 2 = 0 รากของสมการนี้คือ 1; 2. เมื่อกลับไปที่ตัวแปรเดิม เราจะได้ชุดสมการสองชุด

แต่เมื่อคำนึงถึงการมีอยู่ของลอการิทึมเราต้องพิจารณาเฉพาะค่า (0; 9) ซึ่งหมายความว่านิพจน์ทางด้านซ้ายจะมีค่ามากที่สุด 2 ที่ x = 1 ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชัน y = 2 x-1 + 2 1-x หากเราหา t = 2 x -1 มันจะอยู่ในรูปแบบ y = t + 1/t โดยที่ t > 0 ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว จะมีจุดวิกฤติจุดเดียว t = 1 นี่คือจุดต่ำสุด Y vin = 2 และถึงจุด x = 1

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่ากราฟของฟังก์ชันที่พิจารณาสามารถตัดกันที่จุด (1; 2) ได้เพียงครั้งเดียว ปรากฎว่า x = 1 เป็นรากเดียวของสมการที่กำลังแก้อยู่

คำตอบ: x = 1

ตัวอย่างที่ 5 แก้สมการบันทึก 2 2 x + (x – 1) บันทึก 2 x = 6 – 2x

สารละลาย.

ลองแก้สมการนี้เพื่อหาล็อก 2 x กัน ให้ลอก 2 x = t จากนั้น t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0

ง = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. เสื้อ 1 = -2; เสื้อ 2 = 3 – x.

เราได้รับบันทึกสมการ 2 x = -2 หรือบันทึก 2 x = 3 – x

รากของสมการแรกคือ x 1 = 1/4

เราจะหารากของบันทึกสมการ 2 x = 3 – x โดยการเลือก นี่คือหมายเลข 2 รูทนี้ไม่ซ้ำกัน เนื่องจากฟังก์ชัน y = log 2 x เพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ และฟังก์ชัน y = 3 – x กำลังลดลง

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าตัวเลขทั้งสองเป็นรากของสมการ

คำตอบ:1/4; 2.

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ดังที่คุณทราบ เมื่อคูณนิพจน์ด้วยกำลัง เลขยกกำลังจะรวมกันเสมอ (a b *a c = a b+c) กฎทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับมาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วีราเซนได้สร้างตารางเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ทำหน้าที่ในการค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชันนี้สามารถพบได้เกือบทุกที่ที่คุณต้องการลดความซับซ้อนของการคูณที่ยุ่งยากด้วยการบวกง่ายๆ หากคุณใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านบทความนี้ เราจะอธิบายว่าลอการิทึมคืออะไรและจะทำงานร่วมกับลอการิทึมได้อย่างไร ในภาษาที่ง่ายและเข้าถึงได้

ความหมายในวิชาคณิตศาสตร์

ลอการิทึมคือนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือลอการิทึมของจำนวนที่ไม่เป็นลบ (นั่นคือบวกใดๆ) “b” ไปยังฐาน “a” ถือเป็นกำลัง “c ” ซึ่งต้องยกฐาน “a” ขึ้นเพื่อให้ได้ค่า “b” ในท้ายที่สุด ลองวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่างสมมติว่ามีบันทึกนิพจน์ 2 8 จะหาคำตอบได้อย่างไร? ง่ายมาก คุณต้องค้นหากำลังโดยตั้งแต่ 2 ถึงกำลังที่ต้องการ คุณจะได้ 8 หลังจากคำนวณในหัวแล้ว เราก็จะได้เลข 3! และนั่นก็จริง เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้คำตอบเป็น 8

ประเภทของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคนหัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่จริงๆ แล้วลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือการเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎบางอย่าง นิพจน์ลอการิทึมมีสามประเภทแยกกัน:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
2. ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
3. ลอการิทึมของจำนวนใดๆ b ถึงฐาน a>1

แต่ละรายการได้รับการแก้ไขด้วยวิธีมาตรฐาน รวมถึงการทำให้ง่ายขึ้น การลดลง และการลดลงตามมาเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องคุณควรจำคุณสมบัติของลอการิทึมและลำดับของการกระทำเมื่อทำการแก้ไข

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในทางคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายประการที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเกณฑ์เหล่านั้นไม่อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากคู่ของจำนวนลบด้วย ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเอง ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้การทำงานได้อย่างง่ายดาย แม้จะมีนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและมีความจุมาก:

• ฐาน "a" จะต้องมากกว่าศูนย์เสมอและไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้นนิพจน์จะสูญเสียความหมายเนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใดก็ตามจะเท่ากับค่าของพวกเขาเสมอ
• ถ้า a > 0 แล้วก็ b >0 ปรากฎว่า “c” ต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

วิธีการแก้ลอการิทึม?

ตัวอย่างเช่น มอบหมายงานให้ค้นหาคำตอบของสมการ 10 x = 100 ซึ่งง่ายมาก คุณต้องเลือกยกกำลังโดยการเพิ่มหมายเลข 10 ซึ่งเราได้ 100 แน่นอนว่านี่คือ 10 2 = 100.

ทีนี้ลองแสดงนิพจน์นี้ในรูปแบบลอการิทึม เราได้บันทึก 10 100 = 2 เมื่อแก้ลอการิทึม การกระทำทั้งหมดจะมาบรรจบกันจริงเพื่อค้นหาพลังที่จำเป็นในการเข้าสู่ฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

ในการกำหนดค่าของระดับที่ไม่รู้จักอย่างแม่นยำ คุณต้องเรียนรู้วิธีทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่านี้:

อย่างที่คุณเห็น เลขยกกำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสังหรณ์ใจ หากคุณมีความคิดทางเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ อย่างไรก็ตามสำหรับค่าที่มากขึ้นคุณจะต้องมีตารางกำลัง สามารถใช้งานได้แม้กับผู้ที่ไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนเลย คอลัมน์ด้านซ้ายมีตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดของตัวเลขคือค่ายกกำลัง c ที่ทำให้ตัวเลข a เพิ่มขึ้น ที่ทางแยก เซลล์จะมีค่าตัวเลขที่เป็นคำตอบ (ac =b) ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเซลล์แรกสุดที่มีหมายเลข 10 แล้วยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุไว้ที่จุดตัดของทั้งสองเซลล์ของเรา ทุกอย่างเรียบง่ายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ จึงสามารถเขียนเป็นความเท่าเทียมกันของลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น 3 4 =81 สามารถเขียนเป็นลอการิทึมฐาน 3 ของ 81 เท่ากับสี่ (บันทึก 3 81 = 4) สำหรับกำลังลบ กฎจะเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนมันเป็นลอการิทึม เราจะได้บันทึก 2 (1/32) = -5 ส่วนที่น่าสนใจที่สุดส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์คือหัวข้อ "ลอการิทึม" เราจะดูตัวอย่างและคำตอบของสมการด้านล่างทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของพวกมัน ตอนนี้เรามาดูกันว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกแยะพวกมันออกจากสมการได้อย่างไร

ได้รับนิพจน์ต่อไปนี้: log 2 (x-1) > 3 - เป็นอสมการลอการิทึมเนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม และในนิพจน์จะมีการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการถึงฐานสองมากกว่าจำนวนสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมและอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (เช่นลอการิทึม 2 x = √9) แสดงถึงค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าขึ้นไปในคำตอบในขณะที่แก้อสมการทั้งช่วงที่ยอมรับได้ ค่าและจุดถูกกำหนดโดยทำลายฟังก์ชันนี้ ด้วยเหตุนี้ คำตอบจึงไม่ใช่ชุดตัวเลขธรรมดาๆ ดังเช่นในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ไขงานดั้งเดิมในการค้นหาค่าลอการิทึมอาจไม่ทราบคุณสมบัติของมัน อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ ก่อนอื่น จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึม เราจะดูตัวอย่างสมการในภายหลัง ก่อนอื่นมาดูรายละเอียดคุณสมบัติแต่ละอย่างกันก่อน

1. ข้อมูลประจำตัวหลักมีลักษณะดังนี้: a logaB =B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับ 1 และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้เงื่อนไขบังคับคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ก≠1. คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ได้ ให้บันทึก a s 1 = f 1 และบันทึก a s 2 = f 2 จากนั้น a f1 = s 1, a f2 = s 2 เราจะได้ว่า s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติของ องศา ) จากนั้นตามคำจำกัดความ: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b

สูตรนี้เรียกว่า “คุณสมบัติของระดับลอการิทึม” มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาธรรมดา และไม่น่าแปลกใจเลย เพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากสมมุติฐานตามธรรมชาติ มาดูหลักฐานกัน

ให้บันทึก a b = t จะได้ว่า t =b ถ้าเรายกกำลังทั้งสองส่วน m: a tn = bn ;

แต่เนื่องจาก a tn = (a q) nt/q = bn ดังนั้น ให้บันทึก a q bn = (n*t)/t จากนั้นให้บันทึก a q bn = n/q log a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาและความไม่เท่าเทียมกัน

ประเภทปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในลอการิทึมคือตัวอย่างของสมการและอสมการ มีอยู่ในหนังสือปัญหาเกือบทุกเล่ม และยังเป็นส่วนบังคับของการสอบคณิตศาสตร์ด้วย หากต้องการเข้ามหาวิทยาลัยหรือสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่ไม่มีแผนหรือแผนงานเดียวในการแก้ไขและกำหนดค่าลอการิทึมที่ไม่ทราบ แต่กฎบางอย่างสามารถนำไปใช้กับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมแต่ละรายการได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์นั้นสามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือลดลงเป็นรูปแบบทั่วไปได้หรือไม่ คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้หากคุณใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขาได้อย่างรวดเร็ว

เมื่อแก้สมการลอการิทึม เราต้องพิจารณาว่าเรามีลอการิทึมประเภทใด: นิพจน์ตัวอย่างอาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 วิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาจำเป็นต้องกำหนดกำลังที่ฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1,026 ตามลำดับ ในการแก้ลอการิทึมธรรมชาติ คุณต้องใช้อัตลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกมัน ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ไข

ลองมาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถนำไปใช้ในงานที่จำเป็นต้องแยกค่า b จำนวนมากให้เป็นปัจจัยที่ง่ายกว่า เช่น log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512 คำตอบคือ 9
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็น การใช้คุณสมบัติที่สี่ของกำลังลอการิทึม เราจัดการเพื่อแก้นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนและแก้ไม่ได้ คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วนำค่าเลขชี้กำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

งานที่ได้รับมอบหมายจากการสอบ Unified State

ลอการิทึมมักพบในการสอบเข้า โดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมหลายอย่างในการสอบ Unified State (การสอบของรัฐสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาในโรงเรียนทุกคน) โดยทั่วไปแล้ว งานเหล่านี้ไม่เพียงมีอยู่ในส่วน A (ส่วนทดสอบที่ง่ายที่สุดของการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C ด้วย (งานที่ซับซ้อนและใหญ่โตที่สุด) การสอบต้องใช้ความรู้ที่ถูกต้องและครบถ้วนในหัวข้อ “ลอการิทึมธรรมชาติ”

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหานำมาจากการสอบ Unified State เวอร์ชันอย่างเป็นทางการ เรามาดูกันว่างานดังกล่าวจะแก้ไขอย่างไร

ให้บันทึก 2 (2x-1) = 4 วิธีแก้ไข:
ลองเขียนนิพจน์ใหม่ โดยลดความซับซ้อนของล็อก 2 (2x-1) = 2 2 โดยนิยามของลอการิทึม เราจะได้ 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5

• วิธีที่ดีที่สุดคือลดลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐานเดียวกันเพื่อไม่ให้โจทย์ยุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะแสดงเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อเลขชี้กำลังของนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและเมื่อฐานถูกนำออกมาเป็นตัวคูณ นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมจะต้องเป็นค่าบวก