ผลรวมของไซน์และแทนเจนต์ที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกัน ผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์: ที่มาของสูตรและตัวอย่าง

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์สำหรับสองมุม α และ β ช่วยให้เราสามารถย้ายจากผลรวมของมุมเหล่านี้ไปเป็นผลคูณของมุม α + β 2 และ α - β 2 โปรดทราบทันทีว่าคุณไม่ควรสับสนสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์กับสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของผลรวมและผลต่าง ด้านล่างนี้เราแสดงรายการสูตรเหล่านี้ ระบุที่มา และแสดงตัวอย่างการใช้งานสำหรับปัญหาเฉพาะ

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ลองเขียนลงไปว่าสูตรผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์มีลักษณะอย่างไร

สูตรผลรวมและผลต่างของไซน์

บาป α + บาป β = 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 บาป α - บาป β = 2 บาป α - β 2 cos α + β 2

สูตรผลรวมและผลต่างของโคไซน์

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับมุม α และ β ทุกมุม มุม α + β 2 และ α - β 2 เรียกว่าผลรวมครึ่งและผลต่างครึ่งของมุมอัลฟาและเบตา ตามลำดับ ให้เราให้สูตรสำหรับแต่ละสูตร

คำจำกัดความของสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ผลรวมของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่ง

ผลต่างของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่ง

ผลรวมของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของโคไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้

ผลต่างของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้ โดยมีเครื่องหมายลบ

หาสูตรหาผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ในการหาสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ของสองมุม จะใช้สูตรบวก เราแสดงรายการไว้ด้านล่าง

บาป (α + β) = บาป α · cos β + cos α · บาป β บาป (α - β) = บาป α · cos β - cos α · บาป β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α บาป β cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β

ลองจินตนาการว่ามุมต่างๆ เป็นผลรวมของผลรวมครึ่งหนึ่งและผลต่างครึ่งหนึ่ง

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

เราดำเนินการโดยตรงกับการได้มาของสูตรผลรวมและผลต่างของบาปและคอส

ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของไซน์

ในผลรวม sin α + sin β เราแทนที่ α และ β ด้วยนิพจน์สำหรับมุมเหล่านี้ที่ให้ไว้ข้างต้น เราได้รับ

บาป α + บาป β = บาป α + β 2 + α - β 2 + บาป α + β 2 - α - β 2

ตอนนี้เราใช้สูตรบวกกับนิพจน์แรก และสูตรที่สองคือสูตรสำหรับไซน์ของผลต่างมุม (ดูสูตรด้านบน)

บาป α + β 2 + α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 เปิดวงเล็บ เพิ่มคำที่คล้ายกันและรับสูตรที่ต้องการ

บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 + บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 บาป α + β 2 คอส α - β 2

ขั้นตอนในการรับสูตรที่เหลือจะคล้ายกัน

ที่มาของสูตรผลต่างของไซน์

บาป α - บาป β = บาป α + β 2 + α - β 2 - บาป α + β 2 - α - β 2 บาป α + β 2 + α - β 2 - บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 คอส α + β 2

ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของโคไซน์

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - บาป α + β 2 บาป α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + บาป α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 cos α + β 2 คอส α - β 2

ที่มาของสูตรสำหรับผลต่างของโคไซน์

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - บาป α + β 2 บาป α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + บาป α + β 2 บาป α - β 2 = = - 2 บาป α + β 2 บาป α - β 2

ตัวอย่างการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ขั้นแรก ให้ตรวจสอบสูตรใดสูตรหนึ่งโดยแทนที่ค่ามุมเฉพาะลงไป ให้ α = π 2, β = π 6 ให้เราคำนวณค่าผลรวมของไซน์ของมุมเหล่านี้ อันดับแรก เราจะใช้ตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จากนั้นเราจะใช้สูตรสำหรับผลรวมของไซน์

ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบสูตรหาผลรวมของไซน์ของสองมุม

α = π 2, β = π 6 บาป π 2 + บาป π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 บาป π 2 + บาป π 6 = 2 บาป π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 บาป π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

ให้เราพิจารณากรณีที่ค่ามุมแตกต่างจากค่าพื้นฐานที่แสดงในตาราง ให้ α = 165°, β = 75° ลองคำนวณความแตกต่างระหว่างไซน์ของมุมเหล่านี้กัน

ตัวอย่างที่ 2 การใช้สูตรผลต่างของไซน์

α = 165 °, β = 75 ° บาป α - บาป β = บาป 165 ° - บาป 75 ° บาป 165 - บาป 75 = 2 บาป 165 ° - บาป 75 ° 2 cos 165 ° + บาป 75 ° 2 = = 2 บาป 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

การใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ คุณสามารถย้ายจากผลรวมหรือผลต่างไปเป็นผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ บ่อยครั้งที่สูตรเหล่านี้เรียกว่าสูตรสำหรับการย้ายจากผลรวมไปสู่ผลคูณ สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติและการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

แหล่งข้อมูลอิเล็กทรอนิกส์นี้เป็นสื่อที่ดีเยี่ยมสำหรับการดำเนินการเรียนรู้แบบโต้ตอบในโรงเรียนสมัยใหม่ เขียนถูกต้อง มีโครงสร้างชัดเจน และสอดคล้องกับหลักสูตรของโรงเรียน ด้วยคำอธิบายโดยละเอียด หัวข้อที่นำเสนอในบทเรียนวิดีโอจึงชัดเจนสำหรับนักเรียนในชั้นเรียนมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ครูต้องจำไว้ว่าไม่ใช่นักเรียนทุกคนจะมีระดับการรับรู้ ความเร็วของความเข้าใจ หรือพื้นฐานเท่ากัน สื่อดังกล่าวจะช่วยให้คุณรับมือกับความยากลำบากและตามทันเพื่อน ปรับปรุงผลการเรียนของคุณ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ในสภาพแวดล้อมบ้านที่เงียบสงบ โดยอิสระหรือร่วมกับครูสอนพิเศษ นักเรียนสามารถเข้าใจหัวข้อเฉพาะ ศึกษาทฤษฎี และดูตัวอย่างการประยุกต์ใช้สูตรเฉพาะในทางปฏิบัติ ฯลฯ

บทเรียนวิดีโอนี้เน้นในหัวข้อ “ไซน์และโคไซน์ของความแตกต่างของข้อโต้แย้ง” สันนิษฐานว่านักเรียนได้เรียนรู้พื้นฐานของตรีโกณมิติแล้ว โดยคุ้นเคยกับฟังก์ชันพื้นฐานและคุณสมบัติ สูตรโกสต์ และตารางค่าตรีโกณมิติ

นอกจากนี้ ก่อนที่จะศึกษาหัวข้อนี้ คุณต้องมีความเข้าใจเกี่ยวกับไซน์และโคไซน์ของผลรวมของอาร์กิวเมนต์ รู้สูตรพื้นฐานสองสูตรและสามารถนำมาใช้ได้

ในช่วงเริ่มต้นของบทเรียนวิดีโอ ผู้ประกาศจะเตือนนักเรียนให้นึกถึงสองสูตรนี้ ถัดไปจะแสดงสูตรแรก - ไซน์ของผลต่างของการโต้แย้ง นอกจากวิธีการได้รับสูตรแล้ว ยังแสดงให้เห็นว่าสูตรได้มาจากสูตรอื่นด้วย ดังนั้นผู้เรียนจะไม่ต้องจำสูตรใหม่โดยไม่เข้าใจซึ่งเป็นข้อผิดพลาดทั่วไป นี่เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักเรียนในชั้นเรียนนี้ คุณต้องจำไว้เสมอว่าคุณสามารถเพิ่มเครื่องหมาย + หน้าเครื่องหมายลบได้ และเครื่องหมายลบบนเครื่องหมายบวกจะกลายเป็นเครื่องหมายลบในที่สุด ด้วยขั้นตอนง่ายๆ นี้ คุณสามารถใช้สูตรสำหรับไซน์ของผลรวมและรับสูตรสำหรับไซน์ของผลต่างของอาร์กิวเมนต์ได้

สูตรสำหรับโคไซน์ของผลต่างได้มาจากสูตรโคไซน์ของผลรวมของอาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกัน

ผู้บรรยายอธิบายทุกอย่างทีละขั้นตอน และด้วยเหตุนี้ จึงได้สูตรทั่วไปสำหรับโคไซน์ของผลรวมและผลต่างของอาร์กิวเมนต์และไซน์ในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่างแรกจากภาคปฏิบัติของบทเรียนวิดีโอนี้แนะนำให้ค้นหาโคไซน์ของ Pi/12 ขอเสนอให้นำเสนอค่านี้ในรูปแบบของความแตกต่างที่แน่นอน โดยค่า minuend และ subtrahend จะเป็นค่าแบบตาราง ต่อไป จะใช้สูตรโคไซน์สำหรับผลต่างของอาร์กิวเมนต์ ด้วยการแทนที่นิพจน์ คุณสามารถแทนที่ค่าผลลัพธ์และรับคำตอบได้ ผู้ประกาศอ่านคำตอบซึ่งแสดงไว้ท้ายตัวอย่าง

ตัวอย่างที่สองคือสมการ ทั้งด้านขวาและด้านซ้าย เราเห็นโคไซน์ของความแตกต่างของข้อโต้แย้ง ผู้พูดมีลักษณะคล้ายกับสูตรการหล่อซึ่งใช้เพื่อแทนที่และทำให้สำนวนเหล่านี้ง่ายขึ้น สูตรเหล่านี้เขียนไว้ทางด้านขวาเพื่อให้นักเรียนเข้าใจว่าการเปลี่ยนแปลงบางอย่างมาจากไหน

อีกตัวอย่างหนึ่ง ตัวอย่างที่สามคือเศษส่วนจำนวนหนึ่ง โดยที่ทั้งตัวเศษและส่วนเรามีนิพจน์ตรีโกณมิติ กล่าวคือ ผลต่างของผลิตภัณฑ์

นอกจากนี้เมื่อแก้โจทย์จะใช้สูตรการลดขนาดด้วย ดังนั้น เด็กนักเรียนจะเห็นว่าหากพลาดหัวข้อหนึ่งในวิชาตรีโกณมิติ ก็จะเข้าใจหัวข้อที่เหลือได้ยากขึ้นเรื่อยๆ

และสุดท้าย ตัวอย่างที่สี่ นี่เป็นสมการที่จำเป็นต้องใช้สูตรที่เรียนรู้ใหม่และเก่าเมื่อทำการแก้ไข

คุณสามารถดูตัวอย่างที่ให้ไว้ในวิดีโอสอนโดยละเอียดและลองแก้ไขด้วยตัวเอง สามารถมอบหมายเป็นการบ้านให้กับเด็กนักเรียนได้

การถอดรหัสข้อความ:

หัวข้อของบทเรียนคือ “ไซน์และโคไซน์ของความแตกต่างของข้อโต้แย้ง”

ในหลักสูตรก่อนหน้านี้ เราได้รู้จักสูตรตรีโกณมิติสองสูตร: ไซน์และโคไซน์ของผลรวมของอาร์กิวเมนต์

บาป(x + y) = บาป x cos y + cos x บาป y

cos (x + y) = cos x cos y - บาป x บาป y

ไซน์ของผลรวมของสองมุมเท่ากับผลรวมระหว่างผลคูณของไซน์ของมุมแรกกับโคไซน์ของมุมที่สองกับผลคูณของโคไซน์ของมุมแรกกับไซน์ของมุมที่สอง

โคไซน์ของผลรวมของมุมทั้งสองเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของโคไซน์ของมุมเหล่านี้กับผลคูณของผลรวมของมุมเหล่านี้

เมื่อใช้สูตรเหล่านี้ เราจะได้สูตรไซน์และโคไซน์ของผลต่างของการโต้แย้ง

ไซน์ของผลต่างของการโต้แย้ง sin(x-y)

สองสูตร (ไซน์ของผลรวมและไซน์ของผลต่าง) สามารถเขียนได้เป็น:

บาป(xy) = บาป x cos yเพราะ x บาป y

ในทำนองเดียวกัน เราได้สูตรสำหรับโคไซน์ของผลต่าง:

ลองเขียนโคไซน์ของผลต่างระหว่างอาร์กิวเมนต์ใหม่เป็นผลรวม และใช้สูตรที่ทราบอยู่แล้วสำหรับโคไซน์ของผลรวม: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny

สำหรับอาร์กิวเมนต์ x และ -y เท่านั้น เมื่อแทนอาร์กิวเมนต์เหล่านี้ลงในสูตร เราจะได้ cosxcos(- y) - sinxsin(- y)

บาป(- y)= - บาป) และเราจะได้นิพจน์สุดท้าย cosxcosy + sinxsiny

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y

ซึ่งหมายความว่า cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y

โคไซน์ของผลต่างของมุมสองมุมเท่ากับผลรวมระหว่างผลคูณของโคไซน์ของมุมเหล่านี้กับผลคูณของไซน์ของมุมเหล่านี้

เราเขียนการรวมสองสูตร (โคไซน์ของผลรวมและโคไซน์ของผลต่าง) เข้าด้วยกัน

คอส(xy) = cosxcos y บาป xsin y

ให้เราจำไว้ว่าสูตรในทางปฏิบัติสามารถใช้ได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1. คำนวณ cos (โคไซน์ของพายหารด้วยสิบสอง)

สารละลาย. ลองเขียนว่าพายหารด้วยสิบสองเป็นผลต่างของพายด้วยสามและพายหารด้วยสี่: = -

ลองแทนค่าลงในสูตรโคไซน์ส่วนต่าง: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny ดังนั้น cos = cos (-) = cos cos + sin sin

เรารู้ว่า cos = , cos = sin= , sin = แสดงตารางค่า

เราแทนที่ค่าไซน์และโคไซน์ด้วยค่าตัวเลขและรับ ∙ + ∙ เมื่อคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนเราจะคูณตัวเศษและตัวส่วนเราจะได้

cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =

คำตอบ: cos =.

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (โคไซน์ของ 2 ไพ ลบ 5 x เท่ากับโคไซน์ของ pi คูณ 2 ลบ 5 x)

สารละลาย. ทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ เราใช้สูตรการลดขนาด cos(2π - cos (โคไซน์ของ 2 pi ลบ alpha เท่ากับโคไซน์ของ alpha) และ cos(- = sin (โคไซน์ของ pi คูณ 2 ลบ alpha เท่ากับ ไซน์ของอัลฟ่า) เราได้ cos 5x = sin 5x เราให้มันเป็นรูปแบบของสมการเอกพันธ์ของดีกรีแรกและเราได้ cos 5x - sin 5x = 0 นี่คือสมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก ให้เรา หารทั้งสองข้างของเทอมสมการด้วย cos 5x เรามี:

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0 เพราะ cos 5x: cos 5x = 1 และ sin 5x: cos 5x = tan 5x แล้วเราจะได้:

เนื่องจากเรารู้แล้วว่าสมการ tgt = a มีคำตอบ t = arctga + πn และเนื่องจากเรามี t = 5x, a = 1 เราจึงได้

5x = อาร์คแทน 1 + πn,

และค่าของ arctg คือ 1 ดังนั้น tg 1= แสดงตาราง

แทนค่าลงในสมการแล้วแก้:

คำตอบ: x = +

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาค่าของเศษส่วน (ในตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของโคไซน์ของเจ็ดสิบห้าองศากับหกสิบห้าองศากับผลคูณของไซน์ของเจ็ดสิบห้าองศากับหกสิบห้าองศา และในตัวส่วนคือผลต่างของผลคูณของไซน์ ของแปดสิบห้าองศาและโคไซน์ของสามสิบห้าองศา และผลิตภัณฑ์ของโคไซน์ของแปดสิบห้าองศาและไซน์ของสามสิบห้าองศา)

สารละลาย. ในตัวเศษของเศษส่วนนี้ ผลต่างสามารถ "ยุบ" เป็นโคไซน์ของผลรวมของข้อโต้แย้ง 75° และ 65° และในตัวส่วน ผลต่างสามารถ "ยุบ" เป็นไซน์ของผลต่างระหว่างข้อโต้แย้งได้ 85° และ 35° เราได้รับ

คำตอบ: - 1.

ตัวอย่าง 4. แก้สมการ: cos(-x) + sin(-x) = 1(โคไซน์ของผลต่างของพายคูณสี่และ x บวกไซน์ของผลต่างของพายคูณสี่และ x เท่ากับหนึ่ง)

สารละลาย. ลองใช้สูตรผลต่างโคไซน์และผลต่างไซน์กัน

แสดงสูตรผลต่างโคไซน์ทั่วไป

จากนั้น cos (-x) = cos cos x + sinsinх

แสดงสูตรทั่วไปสำหรับผลต่างไซน์

และบาป (-х)= บาป cosх - cos sinх

แทนนิพจน์เหล่านี้ลงในสมการ cos(-x) + sin(-x) = 1 แล้วได้:

cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,

เนื่องจาก cos= และ sin= แสดงตารางความหมายของไซน์และโคไซน์

เราได้ ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,

พจน์ที่ 2 และ 4 ตรงกันข้าม จึงหักล้างกัน เหลือไว้ดังนี้

∙ cos + ∙ cos = 1,

ลองแก้สมการนี้แล้วได้มันมา

2∙ ∙ cos x= 1,

เนื่องจากเรารู้อยู่แล้วว่าสมการ cos = a มีคำตอบ ที = อาร์คอสก+ 2πเคและเนื่องจากเรามี t=x, a = เราจึงได้

x = ส่วนโค้ง + 2πn,

และเนื่องจากค่าคือ arccos ดังนั้น cos =