Universal trigonometric substitution, derivation ng mga formula, mga halimbawa.

Ang mga ratio sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function - sine, cosine, tangent at cotangent - ay ibinibigay mga formula ng trigonometriko. At dahil napakaraming koneksyon sa pagitan ng mga function ng trigonometriko, ipinapaliwanag din nito ang kasaganaan ng mga formula ng trigonometriko. Ang ilang mga formula ay nagkokonekta sa mga trigonometriko na pag-andar ng parehong anggulo, ang iba - ang mga pag-andar ng isang maramihang anggulo, ang iba pa - nagbibigay-daan sa iyo upang babaan ang antas, ang ikaapat - upang ipahayag ang lahat ng mga pag-andar sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo, atbp.

Sa artikulong ito, inilista namin sa pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga pangunahing trigonometric formula, na sapat upang malutas ang karamihan ng mga problema sa trigonometrya. Para sa kadalian ng pagsasaulo at paggamit, ipapangkat namin ang mga ito ayon sa kanilang layunin, at ilalagay ang mga ito sa mga talahanayan.

Pag-navigate sa pahina.

Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan

Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan itakda ang ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo. Sinusundan nila ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, pati na rin ang konsepto ng unit circle. Pinapayagan ka nitong ipahayag ang isang trigonometric function sa pamamagitan ng anumang iba pa.

Para sa isang detalyadong paglalarawan ng mga formula ng trigonometrya, ang kanilang mga halimbawa ng pinagmulan at aplikasyon, tingnan ang artikulo.

Mga formula ng cast

Mga formula ng cast sundin mula sa mga katangian ng sine, cosine, tangent at cotangent, iyon ay, sinasalamin nila ang pag-aari ng periodicity ng mga function ng trigonometriko, ang ari-arian ng simetrya, at gayundin ang pag-aari ng paglilipat ng isang naibigay na anggulo. Binibigyang-daan ka ng mga trigonometrikong formula na ito na lumipat mula sa pagtatrabaho sa mga di-makatwirang anggulo patungo sa pagtatrabaho sa mga anggulo na mula sa zero hanggang 90 degrees.

Ang katwiran para sa mga formula na ito, isang mnemonic na panuntunan para sa pagsasaulo ng mga ito, at mga halimbawa ng kanilang aplikasyon ay maaaring pag-aralan sa artikulo.

Mga Formula sa Pagdaragdag

Mga formula sa pagdaragdag ng trigonometric ipakita kung paano ang mga trigonometriko function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng mga anggulong ito. Ang mga formula na ito ay nagsisilbing batayan para sa derivation ng mga sumusunod na trigonometric formula.

Mga formula para sa doble, triple, atbp. sulok

Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo (tinatawag din silang mga formula ng maramihang anggulo) ay nagpapakita kung paano gumagana ang trigonometriko ng doble, triple, atbp. ang mga anggulo () ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometric function ng isang solong anggulo. Ang kanilang derivation ay batay sa mga formula ng karagdagan.

Ang mas detalyadong impormasyon ay kinokolekta sa mga formula ng artikulo para sa doble, triple, atbp. anggulo .

Mga Formula sa Half Angle

Mga Formula sa Half Angle ipakita kung paano ang trigonometriko function ng kalahating anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng cosine ng isang integer angle. Ang mga trigonometrikong formula na ito ay sumusunod mula sa mga formula ng dobleng anggulo.

Ang kanilang konklusyon at mga halimbawa ng aplikasyon ay matatagpuan sa artikulo.

Mga formula ng pagbabawas

Mga formula ng trigonometric para sa pagbaba ng mga degree ay idinisenyo upang mapadali ang paglipat mula sa mga natural na kapangyarihan ng trigonometriko function sa mga sine at cosine sa unang antas, ngunit maramihang mga anggulo. Sa madaling salita, pinapayagan nila ang isa na bawasan ang mga kapangyarihan ng trigonometric function sa una.

Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function

Ang pangunahing layunin sum and difference formula para sa trigonometriko function ay binubuo sa paglipat sa produkto ng mga pag-andar, na lubhang kapaki-pakinabang kapag pinapasimple ang mga trigonometrikong expression. Ang mga formula na ito ay malawakang ginagamit din sa paglutas ng mga trigonometrikong equation, dahil pinapayagan nila ang pag-factor ng kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine.

Mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine

Ang paglipat mula sa produkto ng trigonometriko function sa kabuuan o pagkakaiba ay isinasagawa sa pamamagitan ng mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine.

Copyright ng matatalinong estudyante

Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng www.site, kabilang ang mga panloob na materyales at panlabas na disenyo, ang maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.

Karamihan sa mga madalas itanong

Posible bang gumawa ng selyo sa isang dokumento ayon sa ibinigay na sample? Sagot Oo, posible. Magpadala ng na-scan na kopya o isang magandang kalidad na larawan sa aming email address, at gagawin namin ang kinakailangang duplicate.

Anong mga uri ng pagbabayad ang tinatanggap mo? Sagot Maaari kang magbayad para sa dokumento sa oras ng pagtanggap ng courier, pagkatapos mong suriin ang kawastuhan ng pagpuno at ang kalidad ng diploma. Maaari rin itong gawin sa opisina ng mga kumpanyang pangkoreo na nag-aalok ng cash on delivery services.
Ang lahat ng mga tuntunin ng paghahatid at pagbabayad ng mga dokumento ay inilarawan sa seksyong "Pagbabayad at Paghahatid". Handa rin kaming makinig sa iyong mga mungkahi sa mga tuntunin ng paghahatid at pagbabayad para sa dokumento.

Maaari ba akong makasigurado na pagkatapos mong mag-order ay hindi ka mawawala kasama ng aking pera? Sagot Mayroon kaming medyo mahabang karanasan sa larangan ng paggawa ng diploma. Mayroon kaming ilang mga site na patuloy na ina-update. Ang aming mga espesyalista ay nagtatrabaho sa iba't ibang bahagi ng bansa, na gumagawa ng higit sa 10 mga dokumento sa isang araw. Sa paglipas ng mga taon, ang aming mga dokumento ay nakatulong sa maraming tao na malutas ang mga problema sa trabaho o lumipat sa mas mataas na suweldong trabaho. Nagkamit kami ng tiwala at pagkilala sa mga customer, kaya talagang walang dahilan para gawin namin ito. Bukod dito, imposibleng gawin ito nang pisikal: babayaran mo ang iyong order sa oras na matanggap mo ito sa iyong mga kamay, walang prepayment.

Maaari ba akong mag-order ng diploma mula sa anumang unibersidad? Sagot Sa pangkalahatan, oo. Halos 12 taon na kaming nagtatrabaho sa lugar na ito. Sa panahong ito, nabuo ang halos kumpletong database ng mga dokumentong inisyu ng halos lahat ng unibersidad sa bansa at para sa iba't ibang taon ng isyu. Ang kailangan mo lang ay pumili ng unibersidad, espesyalidad, dokumento, at punan ang isang order form.

Ano ang dapat kong gawin kung makakita ako ng mga typo at error sa isang dokumento? Sagot Kapag tumatanggap ng dokumento mula sa aming courier o kumpanya ng koreo, inirerekomenda namin na maingat mong suriin ang lahat ng mga detalye. Kung may nakitang typo, error o kamalian, may karapatan kang hindi kunin ang diploma, at dapat mong ipahiwatig ang mga pagkukulang na natagpuan nang personal sa courier o sa pamamagitan ng pagsulat sa pamamagitan ng pagpapadala ng e-mail.
Sa lalong madaling panahon, itatama namin ang dokumento at muling ipapadala ito sa tinukoy na address. Siyempre, ang pagpapadala ay babayaran ng aming kumpanya.
Upang maiwasan ang mga hindi pagkakaunawaan, bago punan ang orihinal na form, nagpapadala kami ng layout ng hinaharap na dokumento sa mail ng customer para sa pag-verify at pag-apruba ng huling bersyon. Bago ipadala ang dokumento sa pamamagitan ng courier o mail, kumukuha din kami ng karagdagang larawan at video (kabilang ang ultraviolet light) upang magkaroon ka ng visual na ideya kung ano ang makukuha mo sa huli.

Ano ang kailangan mong gawin para mag-order ng diploma mula sa iyong kumpanya? Sagot Upang mag-order ng isang dokumento (sertipiko, diploma, akademikong sertipiko, atbp.), kailangan mong punan ang isang online na form ng order sa aming website o ibigay ang iyong e-mail upang magpadala kami sa iyo ng form ng palatanungan, na kailangan mong punan at ipadala pabalik sa amin.
Kung hindi mo alam kung ano ang ipahiwatig sa anumang field ng order form/kwestyoner, iwanang blangko ang mga ito. Samakatuwid, lilinawin namin ang lahat ng nawawalang impormasyon sa telepono.

Pinakahuling Pagsusuri

Alexei:

Kailangan kong kumuha ng diploma para makakuha ng trabaho bilang manager. At higit sa lahat, mayroon akong parehong karanasan at kakayahan, ngunit kung walang dokumento ay hindi ko magagawa, makakakuha ako ng trabaho kahit saan. Sa sandaling nasa iyong site, nagpasya pa rin akong bumili ng diploma. Natapos ang diploma sa loob ng 2 araw! Ngayon may trabaho na ako na hindi ko pinangarap dati!! Salamat!

Sinimulan namin ang aming pag-aaral ng trigonometry na may tamang tatsulok. Tukuyin natin kung ano ang sine at cosine, pati na rin ang tangent at cotangent ng isang matinding anggulo. Ito ang mga pangunahing kaalaman sa trigonometrya.

Tandaan mo yan tamang anggulo ay isang anggulo na katumbas ng 90 degrees. Sa madaling salita, kalahati ng nakabukang sulok.

Matalim na sulok- mas mababa sa 90 degrees.

Madilim na anggulo- higit sa 90 degrees. Kaugnay ng ganoong anggulo, ang "blunt" ay hindi isang insulto, ngunit isang mathematical term :-)

Gumuhit tayo ng tamang tatsulok. Ang isang tamang anggulo ay karaniwang tinutukoy. Tandaan na ang gilid sa tapat ng sulok ay tinutukoy ng parehong titik, maliit lamang. Kaya, ang panig na nakahiga sa tapat ng anggulo A ay tinutukoy.

Ang isang anggulo ay tinutukoy ng katumbas na titik ng Griyego.

Hypotenuse Ang tamang tatsulok ay ang gilid sa tapat ng tamang anggulo.

Mga binti- mga gilid sa tapat ng matutulis na sulok.

Ang binti sa tapat ng sulok ay tinatawag kabaligtaran(kamag-anak sa anggulo). Ang kabilang binti, na nakahiga sa isang gilid ng sulok, ay tinatawag katabi.

Sinus Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse:

Cosine talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:

Padaplis talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi:

Isa pang (katumbas) na kahulugan: ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng sine ng isang anggulo sa cosine nito:

Cotangent talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran (o, katumbas nito, ang ratio ng cosine sa sine):

Bigyang-pansin ang mga pangunahing ratio para sa sine, cosine, tangent at cotangent, na ibinigay sa ibaba. Sila ay magiging kapaki-pakinabang sa atin sa paglutas ng mga problema.

Patunayan natin ang ilan sa kanila.

Okay, nagbigay kami ng mga kahulugan at nakasulat na mga formula. Ngunit bakit kailangan natin ng sine, cosine, tangent at cotangent?

Alam natin yan ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay.

Alam namin ang relasyon sa pagitan mga partido kanang tatsulok. Ito ang Pythagorean theorem: .

Ito ay lumiliko na ang pag-alam ng dalawang anggulo sa isang tatsulok, maaari mong mahanap ang pangatlo. Ang pag-alam ng dalawang panig sa isang tamang tatsulok, maaari mong mahanap ang pangatlo. Kaya, para sa mga anggulo - ang kanilang ratio, para sa mga panig - ang kanilang sarili. Ngunit ano ang gagawin kung sa isang tamang tatsulok ang isang anggulo (maliban sa isang kanan) at isang panig ay kilala, ngunit kailangan mong maghanap ng iba pang mga panig?

Ito ang hinarap ng mga tao noon, paggawa ng mga mapa ng lugar at ng mabituing kalangitan. Pagkatapos ng lahat, hindi laging posible na direktang sukatin ang lahat ng panig ng isang tatsulok.

Sine, cosine at tangent - tinatawag din sila trigonometriko function ng anggulo- ibigay ang ratio sa pagitan mga partido at mga sulok tatsulok. Alam ang anggulo, mahahanap mo ang lahat ng trigonometriko na pag-andar nito gamit ang mga espesyal na talahanayan. At ang pag-alam sa mga sine, cosine at tangent ng mga anggulo ng isang tatsulok at isa sa mga gilid nito, mahahanap mo ang natitira.

Gumuhit din kami ng isang talahanayan ng mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa "magandang" anggulo mula hanggang.

Pansinin ang dalawang pulang gitling sa mesa. Para sa kaukulang mga halaga ng mga anggulo, ang tangent at cotangent ay hindi umiiral.

Suriin natin ang ilang mga problema sa trigonometrya mula sa mga gawain ng Bank of FIPI.

1. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay , . Hanapin ang .

Ang problema ay malulutas sa loob ng apat na segundo.

Sa abot ng , .

2. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay , , . Hanapin ang .

Hanapin natin sa pamamagitan ng Pythagorean theorem.

Nalutas ang problema.

Kadalasan sa mga problema ay may mga tatsulok na may mga anggulo at o may mga anggulo at . Isaulo ang mga pangunahing ratio para sa kanila sa pamamagitan ng puso!

Para sa isang tatsulok na may mga anggulo at ang binti sa tapat ng anggulo sa ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Isang tatsulok na may mga anggulo at isosceles. Sa loob nito, ang hypotenuse ay beses na mas malaki kaysa sa binti.

Isinaalang-alang namin ang mga problema para sa paglutas ng mga tamang tatsulok - iyon ay, para sa paghahanap ng mga hindi kilalang panig o anggulo. Ngunit hindi lang iyon! Sa mga variant ng pagsusulit sa matematika, maraming mga gawain kung saan lumilitaw ang sine, cosine, tangent o cotangent ng panlabas na anggulo ng tatsulok. Higit pa tungkol dito sa susunod na artikulo.

Sa artikulong ito, titingnan natin ang isang komprehensibong pagtingin sa . Ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, at nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang alinman sa mga trigonometric na function na ito sa pamamagitan ng isang kilalang iba.

Agad naming inilista ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, na aming susuriin sa artikulong ito. Isinulat namin ang mga ito sa isang talahanayan, at sa ibaba ay ibibigay namin ang derivation ng mga formula na ito at nagbibigay ng mga kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Relasyon sa pagitan ng sine at cosine ng isang anggulo

Minsan hindi nila pinag-uusapan ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan na nakalista sa talahanayan sa itaas, ngunit tungkol sa isang solong pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan mabait . Ang paliwanag para sa katotohanang ito ay medyo simple: ang mga pagkakapantay-pantay ay nakuha mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan pagkatapos na hatiin ang parehong mga bahagi nito ayon sa at ayon sa pagkakabanggit, at ang mga pagkakapantay-pantay. at sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent. Tatalakayin natin ito nang mas detalyado sa mga sumusunod na talata.

Iyon ay, ito ay ang pagkakapantay-pantay na partikular na interes, na binigyan ng pangalan ng pangunahing trigonometric identity.

Bago patunayan ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, ibinibigay namin ang pagbabalangkas nito: ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay magkaparehong katumbas ng isa. Ngayon patunayan natin.

Ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay madalas na ginagamit sa pagbabago ng trigonometriko expression. Pinapayagan nito ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo na mapalitan ng isa. Hindi mas madalas, ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay ginagamit sa reverse order: ang yunit ay pinalitan ng kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng anumang anggulo.

Tangent at cotangent sa pamamagitan ng sine at cosine

Mga pagkakakilanlan na nag-uugnay sa tangent at cotangent sa sine at cosine ng isang anggulo ng anyo at agad na sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ay ang ordinate ng y, ang cosine ay ang abscissa ng x, ang tangent ay ang ratio ng ordinate sa abscissa, iyon ay, , at ang cotangent ay ang ratio ng abscissa sa ordinate, iyon ay, .

Dahil sa halatang ito ng mga pagkakakilanlan at kadalasan ang mga kahulugan ng tangent at cotangent ay ibinibigay hindi sa pamamagitan ng ratio ng abscissa at ordinate, ngunit sa pamamagitan ng ratio ng sine at cosine. Kaya ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng sine sa cosine ng anggulong ito, at ang cotangent ay ang ratio ng cosine sa sine.

Upang tapusin ang seksyong ito, dapat tandaan na ang mga pagkakakilanlan at hold para sa lahat ng mga anggulo na kung saan ang trigonometric function sa kanila ay may katuturan. Kaya't ang formula ay wasto para sa anumang iba sa (kung hindi, ang denominator ay magiging zero, at hindi namin tinukoy ang paghahati sa pamamagitan ng zero), at ang formula - para sa lahat, naiiba mula sa, kung saan ang z ay anuman.

Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent

Ang isang mas malinaw na trigonometric na pagkakakilanlan kaysa sa dalawang nauna ay ang pagkakakilanlan na nag-uugnay sa tangent at cotangent ng isang anggulo ng form . Ito ay malinaw na ito ay nagaganap para sa anumang mga anggulo maliban sa , kung hindi man ang tangent o ang cotangent ay hindi tinukoy.

Katibayan ng formula napakasimple. Sa pamamagitan ng kahulugan at mula saan . Ang patunay ay maaaring naisagawa sa isang bahagyang naiibang paraan. Simula at , pagkatapos .

Kaya, ang tangent at cotangent ng isang anggulo, kung saan sila ay may katuturan, ay.

Cosine ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang anggulo

Sa seksyong ito, ang sumusunod na dalawang formula ay mapapatunayan:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Ang cosine ng kabuuan (pagkakaiba) ng dalawang anggulo ay katumbas ng produkto ng mga cosine ng mga anggulong ito na minus (plus) ang produkto ng mga sine ng mga anggulong ito.

Magiging mas maginhawa para sa amin na magsimula sa patunay ng formula (2). Para sa pagiging simple, ipagpalagay muna natin na ang mga anggulo α at β matugunan ang mga sumusunod na kondisyon:

1) bawat isa sa mga anggulong ito ay hindi negatibo at mas mababa sa 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Hayaang ang positibong bahagi ng 0x axis ay ang karaniwang panimulang bahagi ng mga anggulo α at β .

Tukuyin natin ang mga dulong gilid ng mga anggulong ito bilang 0A at 0B, ayon sa pagkakabanggit. Halatang anggulo α - β ay maaaring ituring bilang anggulo kung saan kinakailangan upang paikutin ang beam 0B sa paligid ng point 0 counterclockwise upang ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng beam 0A.

Sa mga sinag na 0A at 0B, minarkahan namin ang mga puntos na M at N, na nasa layo na 1 mula sa pinagmulan ng mga coordinate 0, upang ang 0M = 0N = 1.

Sa x0y coordinate system, ang point M ay may mga coordinate ( cosα, sinα), at point N - mga coordinate ( cos β , sin β). Kaya ang parisukat ng distansya sa pagitan nila ay:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Sa mga kalkulasyon, ginamit namin ang pagkakakilanlan

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Ngayon isaalang-alang ang isa pang coordinate system na B0C, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga axes 0x at 0y sa paligid ng point 0 counterclockwise sa pamamagitan ng isang anggulo β .

Sa coordinate system na ito, ang point M ay may mga coordinate (cos ( α - β ), kasalanan ( α - β )), at ang punto ay N-coordinate (1,0). Kaya ang parisukat ng distansya sa pagitan nila ay:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ kasalanan 2 (α - β) \u003d 2.

Ngunit ang distansya sa pagitan ng mga puntong M at N ay hindi nakasalalay sa kung aling sistema ng coordinate ang aming isasaalang-alang sa mga puntong ito. Kaya

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Dito sumusunod ang formula (2).

Ngayon ay dapat nating alalahanin ang dalawang paghihigpit na ipinataw natin para sa pagiging simple ng pagtatanghal sa mga sulok α at β .

Ang pangangailangan na ang bawat isa sa mga sulok α at β ay hindi negatibo, hindi talaga makabuluhan. Pagkatapos ng lahat, ang isang anggulo na isang multiple ng 2n ay maaaring idagdag sa alinman sa mga anggulong ito, na hindi makakaapekto sa bisa ng formula (2) sa anumang paraan. Katulad nito, mula sa bawat isa sa mga ibinigay na anggulo, maaari mong ibawas ang isang anggulo na maramihang ng 2π. Samakatuwid, maaari itong isaalang-alang na 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Ang kundisyon α > β . Sa katunayan, kung α < β , pagkatapos β >α ; samakatuwid, isinasaalang-alang ang kapantayan ng pag-andar cos X , nakukuha natin:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

na mahalagang tumutugma sa formula (2). Kaya ang formula

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

totoo para sa lahat ng anggulo α at β . Sa partikular, sa pamamagitan ng pagpapalit β sa - β at ibinigay na ang function cosX ay pantay, at ang pag-andar kasalananX kakaiba, nakukuha natin:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

na nagpapatunay ng formula (1).

Kaya, ang mga formula (1) at (2) ay napatunayan.

Mga halimbawa.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Mga ehersisyo

1 . Kalkulahin nang hindi gumagamit ng mga trigonometrikong talahanayan:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Pasimplehin ang mga expression:

a). cos ( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + kasalanan (36° + α ) kasalanan ( α - 24°).

sa). kasalanan (π / 4 - α ) kasalanan (π / 4 + α ) - cos(π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α +tg α kasalanan 2 α .

3 . Kalkulahin :

a) cos (α - β), kung

cosα = - 2 / 5 , kasalananβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos( α + π / 6) kung cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . Hanapin cos(α + β) at cos (α - β) , kung ito ay kilala na kasalanan α = 7 / 25 cos β = - 5 / 13 at parehong anggulo ( α at β ) magtatapos sa parehong quarter.

5 .Kalkulahin:

a). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

sa). cos [arctg 1 / 2 + arccos (- 2)]