Paano makahanap ng tagahati ng isang pag-unlad na geometriko. Pag-unlad ng geometriko

Pag-unlad ng geometriko hindi gaanong mahalaga sa matematika kaysa sa arithmetic. Ang isang pag-unlad na geometriko ay isang pagkakasunud-sunod ng mga bilang na b1, b2, ..., b [n], bawat susunod na term na kung saan ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng nakaraang isa ng isang pare-pareho na numero. Ang numerong ito, na naglalarawan din sa rate ng pagtaas o pagbaba ng pag-unlad, ay tinawag denominator ng pag-unlad na geometriko at ipahiwatig

Para sa isang kumpletong pagtatalaga ng isang geometric na pag-unlad, bilang karagdagan sa denominator, kinakailangan upang malaman o matukoy ang unang termino nito. Para sa isang positibong halaga ng denominator, ang pag-unlad ay isang monotonic na pagkakasunud-sunod, at kung ang pagkakasunud-sunod ng mga numero ay monotonically bumababa at, para, monotonically pagtaas. Ang kaso kung ang denominator ay katumbas ng isa ay hindi isinasaalang-alang sa pagsasanay, dahil mayroon kaming isang pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero, at ang kanilang kabuuan ay hindi praktikal na interes.

Pangkalahatang termino ng isang pag-unlad na geometriko kinakalkula ng formula

Ang kabuuan ng mga unang n na tuntunin ng isang pag-unlad na geometriko natutukoy ng pormula

Isaalang-alang ang mga solusyon sa mga klasikong problema sa isang pag-unlad na geometriko. Magsimula tayo sa pinakasimpleng mga para sa pag-unawa.

Halimbawa 1. Ang unang termino ng pag-unlad na geometriko ay 27, at ang denominator nito ay 1/3. Hanapin ang unang anim na termino ng isang pag-unlad na geometriko.

Solusyon: Isulat natin ang kondisyon ng problema sa form

Para sa mga kalkulasyon, ginagamit namin ang formula para sa ika-n na term ng pag-unlad na geometriko

Sa batayan nito, nakita namin ang mga hindi kilalang miyembro ng pag-unlad

Tulad ng nakikita mo, ang pagkalkula ng mga tuntunin ng isang pag-unlad na geometriko ay hindi mahirap. Ang pag-unlad mismo ay magiging ganito

Halimbawa 2. Ang unang tatlong mga termino ng pag-unlad na geometriko ay ibinigay: 6; -12; 24. Hanapin ang denominator at ang ikapitong termino nito.

Solusyon: Kalkulahin ang denominator ng pagsulong ng geomitric batay sa kahulugan nito

Nakuha namin ang isang alternating geometric na pag-unlad, ang denominator na kung saan ay -2. Ang ikapitong termino ay kinakalkula ng formula

Nalutas nito ang problema.

Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad na geometriko ay ibinibigay ng dalawa sa mga kasapi nito ... Hanapin ang pang-sampung termino sa pag-unlad.

Desisyon:

Isulat natin ang mga naibigay na halaga sa pamamagitan ng mga formula

Ayon sa mga patakaran, kinakailangan upang hanapin ang denominator, at pagkatapos ay hanapin ang ninanais na halaga, ngunit para sa ikasampung term na mayroon kami

Ang parehong formula ay maaaring makuha batay sa mga simpleng manipulasyon na may input data. Hinahati namin ang pang-anim na termino ng serye ng isa pa, bilang isang resulta na nakuha namin

Kung ang nagresultang halaga ay pinarami ng pang-anim na term, makukuha natin ang ikasampu

Kaya, para sa mga naturang gawain, gamit ang mga simpleng pagbabago sa isang mabilis na paraan, mahahanap mo ang tamang solusyon.

Halimbawa 4. Ang pag-unlad ng geometriko ay ibinibigay ng mga paulit-ulit na pormula

Hanapin ang denominator ng pag-unlad na geometriko at ang kabuuan ng unang anim na termino.

Desisyon:

Isusulat namin ang ibinigay na data sa anyo ng isang sistema ng mga equation

Ipahayag ang denominator sa pamamagitan ng paghati sa pangalawang equation ng una

Hanapin ang unang kataga ng pag-unlad mula sa unang equation

Kalkulahin natin ang susunod na limang mga termino upang makita ang kabuuan ng isang pag-unlad na geometriko

Isaalang-alang natin ang ilang serye.

7 28 112 448 1792...

Ito ay ganap na malinaw na ang halaga ng anuman sa mga elemento nito ay eksaktong apat na beses na mas malaki kaysa sa naunang isa. Nangangahulugan ito na ang seryeng ito ay isang pag-unlad.

Ang isang pag-unlad na geometriko ay isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga numero, ang pangunahing tampok na kung saan ang susunod na numero ay nakuha mula sa naunang isa sa pamamagitan ng pag-multiply ng isang tiyak na numero. Ito ay ipinahayag ng sumusunod na pormula.

isang z +1 \u003d isang z q, kung saan ang z ay ang bilang ng napiling elemento.

Alinsunod dito, z ∈ N.

Ang panahon kung kailan pinag-aaralan ang pag-unlad na geometriko sa paaralan ay grade 9. Tutulungan ka ng mga halimbawa na maunawaan ang konsepto:

0.25 0.125 0.0625...

Batay sa pormulang ito, ang denominator ng pag-unlad ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Ni ang q o b z ay maaaring maging zero. Gayundin, ang bawat isa sa mga elemento ng pag-unlad ay hindi dapat maging zero.

Alinsunod dito, upang malaman ang susunod na numero sa serye, kailangan mong i-multiply ang huling ng q.

Upang maitakda ang pag-unlad na ito, dapat mong tukuyin ang unang elemento at denominator nito. Pagkatapos nito, posible na makahanap ng alinman sa mga kasunod na miyembro at kanilang kabuuan.

Mga pagkakaiba-iba

Nakasalalay sa q at isang 1, ang pag-unlad na ito ay nahahati sa maraming uri:

• Kung ang parehong isang 1 at q ay mas malaki sa isa, kung gayon ang nasabing pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na geometriko na nagdaragdag sa bawat susunod na elemento. Ang isang halimbawa ng tulad ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: isang 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - ang parehong mga parameter ay mas malaki sa isa.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng bilang ay maaaring nakasulat tulad nito:

3 6 12 24 48 ...

• Kung | q | mas mababa sa isa, iyon ay, pagpaparami sa pamamagitan nito ay katumbas ng paghahati, pagkatapos ang isang pag-unlad na may katulad na mga kondisyon ay isang bumababang pag-unlad na geometriko. Ang isang halimbawa ng tulad ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: ang 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - ang 1 ay higit sa isa, mas mababa ang q.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng bilang ay maaaring nakasulat tulad ng sumusunod:

6 2 2/3 ... - ang anumang elemento ay 3 beses na mas malaki kaysa sa sumusunod na elemento.

• Kahaliling tanda. Kung q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Halimbawa: isang 1 \u003d -3, q \u003d -2 - ang parehong mga parameter ay mas mababa sa zero.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng bilang ay maaaring nakasulat tulad ng sumusunod:

3, 6, -12, 24,...

Mga pormula

Maraming mga formula para sa maginhawang paggamit ng mga pag-unlad na geometriko:

• Formula ng myembro ng ika-ika-apat. Pinapayagan kang kalkulahin ang item sa ilalim ng isang tukoy na numero nang hindi kinakalkula ang mga nakaraang numero.

Halimbawa:q = 3, a 1 \u003d 4. Kinakailangan upang makalkula ang ika-apat na elemento ng pag-unlad.

Desisyon:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Ang kabuuan ng mga unang elemento na ang bilang ay z... Kinakalkula ang kabuuan ng lahat ng mga elemento ng isang pagkakasunud-sunod hanggang saisang z kasama

Dahil (1-q) ay nasa denominator, pagkatapos (1 - q)≠ 0, samakatuwid ang q ay hindi katumbas ng 1.

Tandaan: kung q \u003d 1, kung gayon ang pag-unlad ay isang serye ng mga walang katapusang paulit-ulit na mga numero.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad na geometriko, mga halimbawa:a 1 = 2, q \u003d -2. Kalkulahin ang S 5.

Desisyon:S 5 = 22 - pagkalkula ng formula

• Ang dami kung |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Halimbawa:a 1 = 2 , q \u003d 0.5. Hanapin ang halaga.

Desisyon:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ang ilang mga pag-aari:

• Katangian na pag-aari. Kung ang sumusunod na kondisyon ginanap para sa anumangz, pagkatapos ang ibinigay na serye ng numero ay isang pag-unlad na geometriko:

isang z 2 = isang z -1 · a z + 1

• Gayundin, ang parisukat ng anumang bilang ng isang pag-unlad na geometriko ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga parisukat ng anumang iba pang dalawang mga numero sa isang naibigay na hilera, kung ang mga ito ay equidistant mula sa elementong ito.

isang z 2 = isang z - t 2 + isang z + t 2 kung saant - ang distansya sa pagitan ng mga numerong ito.

• Ang mga elemento naiiba sa qoras
• Ang logarithms ng mga elemento ng pag-unlad ay bumubuo rin ng isang pag-unlad, ngunit mayroon nang arithmetic, iyon ay, ang bawat isa sa kanila ay mas malaki kaysa sa naunang isa sa isang tiyak na bilang.

Mga halimbawa ng ilang mga klasikong problema

Upang mas maunawaan kung ano ang isang pag-unlad na geometriko, makakatulong ang mga halimbawa na may solusyon para sa grade 9.

• Mga Kundisyon:a 1 = 3, a 3 \u003d 48. Hanapinq.

Solusyon: ang bawat kasunod na elemento ay mas malaki kaysa sa naunang isa saq orasKinakailangan na ipahayag ang ilang mga elemento sa pamamagitan ng iba gamit ang denominator.

Dahil dito,a 3 = q 2 · a 1

Kapag pinapalitanq= 4

• Mga Kundisyon:a 2 = 6, a 3 \u003d 12. Kalkulahin ang S 6.

Desisyon:Upang magawa ito, sapat na upang maghanap ng q, ang unang elemento at palitan ito sa pormula.

a 3 = q· a 2 , Dahil dito,q= 2

isang 2 \u003d q Isang 1,kaya isang 1 \u003d 3

S 6 \u003d 189

• · a 1 = 10, q \u003d -2. Hanapin ang ika-apat na elemento ng pag-unlad.

Solusyon: para dito sapat na upang ipahayag ang ika-apat na elemento sa pamamagitan ng una at sa pamamagitan ng denominator.

isang 4 \u003d q 3· isang 1 \u003d -80

Halimbawa ng aplikasyon:

• Ang kliyente ng bangko ay gumawa ng isang deposito sa halagang 10,000 rubles, alinsunod sa mga tuntunin kung saan bawat taon ay idaragdag ng kliyente ang 6% ng punong-guro sa punong-punong halaga. Magkano ang magkakaroon ng account sa 4 na taon?

Solusyon: Ang paunang halaga ay 10 libong rubles. Nangangahulugan ito na isang taon pagkatapos ng pamumuhunan, ang account ay magkakaroon ng halagang katumbas ng 10,000 + 10,000 · 0.06 \u003d 10000 1.06

Alinsunod dito, ang halaga sa account sa isa pang taon ay ipapahayag tulad ng sumusunod:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 \u003d 1.06 1.06 10000

Iyon ay, bawat taon ang halaga ay tataas ng 1.06 beses. Nangangahulugan ito na upang makahanap ng halaga ng mga pondo sa account sa 4 na taon, sapat na upang mahanap ang ika-apat na elemento ng pag-unlad, na ibinibigay ng unang elemento na katumbas ng 10 libo at ang denominator na katumbas ng 1.06

S \u003d 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 \u003d 12625

Mga halimbawa ng mga gawain para sa pagkalkula ng kabuuan:

Ang isang pag-unlad na geometriko ay ginagamit sa iba't ibang mga problema. Ang isang halimbawa para sa paghahanap ng kabuuan ay maaaring ibigay tulad ng sumusunod:

a 1 = 4, q \u003d 2, kalkulahinS 5.

Solusyon: ang lahat ng data na kinakailangan para sa pagkalkula ay kilala, kailangan mo lamang palitan ang mga ito sa formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 \u003d 18. Kalkulahin ang kabuuan ng unang anim na elemento.

Desisyon:

Sa geom. pag-unlad, ang bawat susunod na elemento ay q beses na mas malaki kaysa sa nakaraang isa, iyon ay, upang makalkula ang kabuuan, kailangan mong malaman ang elementoa 1 at ang denominatorq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Katulad nito, kailangan mong hanapina 1 alama 2 atq.

a 1 · q = a 2

isang 1 \u003d2

S 6 = 728.

Kung ang bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , pagkatapos ay sinabi nila na ito ay ibinigay pagkakasunud-sunod ng bilang :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang isang pagkakasunud-sunod ng bilang ay isang pag-andar ng isang natural na argument.

Bilang a 1 ay tinawag ang unang kasapi ng pagkakasunud-sunod , numero a 2 — ang pangalawang termino sa pagkakasunud-sunod , numero a 3 — pangatlo atbp. Bilang isang n ay tinawag ang ika-n na termino ng pagkakasunud-sunod , at ang natural na numero n — ang number niya .

Ng dalawang katabi na myembro isang n at isang n +1 kasunod na kasapi isang n +1 ay tinawag kasunod (patungo sa isang n ), at isang n — dati (patungo sa isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang pagkakasunud-sunod, kailangan mong tukuyin ang isang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang makahanap ng isang miyembro ng pagkakasunud-sunod na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay sa nth term na mga formula , iyon ay, isang pormula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang isang kasapi ng isang pagkakasunud-sunod ayon sa bilang nito.

Halimbawa,

isang pagkakasunud-sunod ng positibong kakaibang mga numero ay maaaring tukuyin ng formula

isang n= 2n -1,

at ang pagkakasunud-sunod ng alternating 1 at -1 - sa pamamagitan ng formula

b n = (-1) n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod recursive formula, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang kasapi ng pagkakasunud-sunod, nagsisimula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pang) mga kasapi.

Halimbawa,

kung ang a 1 = 1 , at isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung ang isang 1= 1, isang 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ang unang pitong mga kasapi ng pagkakasunud-sunod ng bilang ay itinakda tulad ng sumusunod:

isang 1 = 1,

isang 2 = 1,

isang 3 = isang 1 + isang 2 = 1 + 1 = 2,

isang 4 = isang 2 + isang 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = isang 3 + isang 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring panghuli at walang katapusang .

Tinawag ang pagkakasunud-sunod ang panghuli kung mayroon itong may hangganan na bilang ng mga kasapi. Tinawag ang pagkakasunud-sunod walang katapusang kung mayroon itong maraming mga miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

panghuli

Isang pagkakasunud-sunod ng mga prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusang ◄

Tinawag ang pagkakasunud-sunod dumarami kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Tinawag ang pagkakasunud-sunod nababawasan kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - pagtaas ng pagkakasunud-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n, . . . - isang pababang pagkakasunud-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa sa pagtaas ng bilang, o, sa kabaligtaran, hindi tumaas, ay tinawag monotonous na pagkakasunud-sunod .

Ang mga monotonic na pagkakasunud-sunod, lalo na, ay pataas na mga pagkakasunud-sunod at pababang mga pagkakasunud-sunod.

Pag-unlad ng Arithmetic

Pag-unlad ng Arithmetic ang isang pagkakasunud-sunod ay tinawag, ang bawat miyembro na kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, kung saan idinagdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang pag-unlad na aritmetika kung para sa anumang natural na numero n ang kondisyon ay natutugunan:

isang n +1 = isang n + d,

kung saan d - ilang numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng susunod at ng nakaraang mga kasapi ng isang naibigay na pag-unlad na aritmetika ay laging pare-pareho:

isang 2 - a 1 = isang 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Bilang d ay tinawag pagkakaiba-iba ng pag-unlad ng arithmetic.

Upang magtakda ng isang pag-unlad na aritmetika, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at ang pagkakaiba.

Halimbawa,

kung ang a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ang unang limang miyembro ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

isang 1 =3,

isang 2 = isang 1 + d = 3 + 4 = 7,

isang 3 = isang 2 + d= 7 + 4 = 11,

isang 4 = isang 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa pag-unlad ng arithmetic sa unang term a 1 at ang pagkakaiba d siya n

isang n = isang 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang tatlumpung termino ng pagsulong ng arithmetic

1, 4, 7, 10, . . .

isang 1 =1, d = 3,

isang 30 = isang 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = isang 1 + (n- 2)d,

isang n= isang 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

pagkatapos ay malinaw naman

ang bawat miyembro ng pag-unlad ng arithmetic, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng ibig sabihin ng arithmetic ng naunang at kasunod na mga miyembro.

ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na mga miyembro ng ilang arithmetic na pag-unlad kung at kung ang isa lamang sa kanila ay katumbas ng arithmetic na kahulugan ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang pag-unlad na aritmetika.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

isang n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

Dahil dito,

◄

Tandaan na n -th term ng pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit din ang anumang nauna a k

isang n = a k + (n- k)d.

Halimbawa,

para sa a 5 maaaring maisulat

isang 5 = isang 1 + 4d,

isang 5 = isang 2 + 3d,

isang 5 = isang 3 + 2d,

isang 5 = isang 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = a n + k - kd,

pagkatapos ay malinaw naman

ang sinumang miyembro ng isang pag-unlad na aritmetika, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahating kabuuan ng mga kasapi ng pag-unlad na ito ng aritmetika na pantay na spaced mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng arithmetic, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

isang m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Halimbawa,

sa pagsulong ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = isang 3 + 7d\u003d 7 + 7 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + a 13)/2;

4) isang 2 + a 12 \u003d isang 5 + a 9, kasi

isang 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= isang 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ isang n,

una n ang mga kasapi ng isang pag-unlad na aritmetika ay katumbas ng produkto ng kalahating kabuuan ng matinding mga termino ayon sa bilang ng mga termino:

Samakatuwid, sa partikular, sumusunod ito kung kinakailangan na ibilang ang mga term

a k, a k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay ang dating formula ay nagpapanatili ng istraktura nito:

Halimbawa,

sa pagsulong ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad na aritmetika ay ibinigay, pagkatapos ang mga halaga a 1 , isang n, d, n atS n naka-link sa pamamagitan ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay natutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang mga equation na may dalawang hindi alam.

Ang isang pag-unlad na aritmetika ay isang monotonic na pagkakasunud-sunod. Kung saan:

• kung ang d > 0 , kung gayon ito ay dumarami;
• kung ang d < 0 , kung gayon ito ay bumababa;
• kung ang d = 0 , pagkatapos ay ang pagkakasunud-sunod ay nakatigil.

Pag-unlad ng geometriko

Pag-unlad ng geometriko ang isang pagkakasunud-sunod ay tinawag, ang bawat miyembro na kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang pag-unlad na geometriko kung para sa anumang natural na numero n ang kondisyon ay natutugunan:

b n +1 = b n · q,

kung saan q ≠ 0 - ilang numero.

Kaya, ang ratio ng susunod na miyembro ng isang naibigay na pag-unlad na geometriko sa nakaraang isa ay isang pare-pareho na numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Bilang q ay tinawag denominator ng pag-unlad na geometriko.

Upang magtakda ng isang pag-unlad na geometriko, sapat na upang ipahiwatig ang unang term at denominator nito.

Halimbawa,

kung ang b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ang unang limang miyembro ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at ang denominator q siya n Ang term na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:

b n = b 1 · q n -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong term ng pag-unlad na geometriko 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

pagkatapos ay malinaw naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ang bawat miyembro ng isang pag-unlad na geometriko, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kahulugan ng geometriko (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang pahayag na pinag-uusapan ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay humahawak:

ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na mga miyembro ng ilang pag-unlad na geometriko kung at kung ang parisukat ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na kahulugan ng iba pang dalawa.

Halimbawa,

patunayan natin na ang pagkakasunud-sunod na ibinigay ng formula b n \u003d -3 2 n , ay isang exponential na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n \u003d -3 2 n,

b n -1 \u003d -3 2 n -1 ,

b n +1 \u003d -3 2 n +1 .

Dahil dito,

b n 2 \u003d (-3 2 n) 2 \u003d (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay ng kinakailangang pahayag. ◄

Tandaan na n -th term ng pag-unlad na geometriko ay maaaring matagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit din ang anumang nakaraang term b k , kung saan sapat na ito upang magamit ang formula

b n = b k · q n - k.

Halimbawa,

para sa b 5 maaaring maisulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

pagkatapos ay malinaw naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng sinumang miyembro ng isang pag-unlad na geometriko, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga kasapi ng paglalakbay na ito na equidistant mula rito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad na geometriko, totoo ang pagkakapantay-pantay:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

exponentially

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga kasapi ng isang pag-unlad na geometriko sa denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa pormula

S n= nb 1

Tandaan na kung kailangan mong kabuuan ang mga term

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ang formula ay ginamit:

Halimbawa,

exponentially 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang pag-unlad na geometriko ay ibinigay, pagkatapos ang mga halaga b 1 , b n, q, n at S n naka-link sa pamamagitan ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng anumang tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay natutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang mga equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang pag-unlad na geometriko sa unang term b 1 at ang denominator q ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

• ang pag-unlad ay pataas kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at q> 1;

b 1 < 0 at 0 < q< 1;

• ang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at 0 < q< 1;

b 1 < 0 at q> 1.

Kung ang q< 0 , pagkatapos ay ang pag-unlad na geometriko ay pumapalit-palitan: ang mga kakaibang bilang ng mga kasapi nito ay may parehong palatandaan bilang unang termino nito, at ang pantay na may bilang na mga termino ay may kabaligtaran na palatandaan. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric na pag-unlad ay hindi monotonic.

Ang gawa ng nauna n ang mga miyembro ng isang pag-unlad na geometriko ay maaaring kalkulahin ng pormula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko

Walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko ay tinatawag na isang walang katapusang pag-unlad na geometriko, ang modulus ng denominator kung saan mas mababa 1 , ibig sabihin

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko ay maaaring hindi isang pagbawas ng pagkakasunud-sunod. Tama ito sa kaso

1 < q< 0 .

Sa tulad ng isang denominator, ang pagkakasunud-sunod ay alternating. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad na geometriko ay ang bilang kung saan ang kabuuan ng una n mga kasapi ng pag-unlad na may isang walang limitasyong pagtaas sa bilang n ... Ang numerong ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng pormula

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Pakikipag-ugnay sa pagitan ng pag-unlad ng arithmetic at geometric

Ang pag-unlad ng arithmetic at geometric ay malapit na nauugnay. Tingnan natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d tapos

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . - pag-unlad ng arithmetic na may pagkakaiba 2 at

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometric na pag-unlad na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometric na pag-unlad na may denominator q tapos

mag-log a b 1, mag-log a b 2, mag-log a b 3, . . . - pag-unlad ng arithmetic na may pagkakaiba mag-log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . - geometric na pag-unlad na may denominator 6 at

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - pag-unlad ng arithmetic na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Aralin at pagtatanghal sa paksa: "Mga pagkakasunud-sunod ng bilang. Pag-unlad na geometriko"

Karagdagang mga materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, repasuhin, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyal ay nasuri ng isang programa ng antivirus.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa Integral online store para sa grade 9
Mga degree at ugat Mga pag-andar at grap

Mga lalaki, ngayon ay makikilala natin ang isa pang uri ng pag-unlad.
Ang paksa ng aralin ngayon ay pag-unlad na geometriko.

Pag-unlad ng geometriko

Halimbawa. 1,2,4,8,16 ... Pag-unlad ng geometriko, kung saan ang unang termino ay katumbas ng isa, at $ q \u003d 2 $.

Halimbawa. 8,8,8,8 ... Isang pag-unlad na geometriko, kung saan ang unang termino ay katumbas ng walong,
at $ q \u003d 1 $.

Halimbawa. 3, -3.3, -3.3 ... Pag-unlad ng geometriko, kung saan ang unang termino ay katumbas ng tatlo,
at $ q \u003d -1 $.

Ang pag-unlad ng geometriko ay may mga katangian ng monotony.
Kung $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 $,
pagkatapos ay ang pagkakasunud-sunod ay pataas.
Kung $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Ang pagkakasunud-sunod ay karaniwang itinutukoy bilang: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Pati na rin sa isang pag-unlad na aritmetika, kung ang bilang ng mga elemento ay may hangganan sa isang pag-unlad na geometriko, kung gayon ang pag-unlad ay tinatawag na isang may hangganang pag-unlad na geometriko.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Tandaan, kung ang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na geometriko, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng mga parisukat ng mga miyembro ay isang pag-unlad din ng geometriko. Para sa ikalawang pagkakasunud-sunod, ang unang termino ay $ b_ (1) ^ 2 $, at ang denominator ay $ q ^ 2 $.

Formula ng n-th na term ng isang pag-unlad na geometriko

Balikan natin ang ating mga halimbawa.

Halimbawa. 1,2,4,8,16 ... Pag-unlad ng geometriko, kung saan ang unang termino ay katumbas ng isa,
at $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

Halimbawa. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Isang pag-unlad na geometriko kung saan ang unang termino ay labing-anim at $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

Halimbawa. 8,8,8,8 ... Isang pag-unlad na geometriko kung saan ang unang termino ay walo at $ q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

Halimbawa. 3, -3.3, -3.3 ... Isang pag-unlad na geometriko kung saan ang unang termino ay tatlo at $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

Halimbawa. Bibigyan ka ng isang geometric na pag-unlad $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
a) Alam na $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 $. Maghanap ng $ b_ (5) $.
b) Alam na $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 $. Hanapin n.
c) Alam na $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 $. Maghanap ng $ b_ (1) $.
d) Alam na $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $. Hanapin ang q.

Desisyon.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ mula noong $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Halimbawa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng ikapito at ikalimang termino ng pag-unlad na geometriko ay 192, ang kabuuan ng ikalima at ikaanim na termino ng pag-unlad ay 192. Hanapin ang ikasampung term ng pag-unlad na ito.

Desisyon.
Alam namin na: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ at $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Alam din natin: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Pagkatapos:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Nakakuha kami ng isang sistema ng mga equation:
$ \\ start (mga kaso) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ end (mga kaso) $.
Pagkakatulad, nakukuha ng aming mga equation:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
Nakuha namin ang dalawang solusyon q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Pagpalit ng sunud-sunod sa pangalawang equation:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ walang mga solusyon.
Nakuha namin iyon: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
Hanapin ang ikasampung term: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

Kabuuan ng isang may hangganang pag-unlad na geometriko

Hayaang ibigay ang isang may hangganang pag-unlad na geometriko: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
Ipaalam sa amin ipakilala ang notasyon para sa kabuuan ng mga kasapi nito: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Sa kaso kapag $ q \u003d 1 $. Ang lahat ng mga kasapi ng pag-unlad na geometriko ay katumbas ng unang term, pagkatapos ay halata na $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Isaalang-alang ngayon ang kaso na $ q ≠ 1 $.
I-multiply ang sa itaas na kabuuan ng q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Tandaan:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Nakuha namin ang formula para sa kabuuan ng isang may hangganang pag-unlad na geometriko.

Desisyon.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

Halimbawa.
Hanapin ang ikalimang term ng pag-unlad na geometriko, na kilala: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.

Desisyon.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
$ 341q \u003d $ 1364.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Katangian na pag-aari ng isang pag-unlad na geometriko

Ang isang pagkakasunud-sunod ng bilang ay isang pag-unlad na geometriko lamang kapag ang parisukat ng bawat miyembro nito ay katumbas ng produkto ng dalawang katabing miyembro ng pag-unlad. Huwag kalimutan na para sa isang may wakas na pag-unlad, ang kondisyong ito ay hindi natutugunan para sa una at huling mga miyembro.

Ang modulus ng sinumang miyembro ng isang pag-unlad na geometriko ay katumbas ng kahulugan ng geometriko ng dalawang miyembro na katabi nito.

Desisyon.
Gamitin natin ang katangian ng pag-aari:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ at $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Sumusunod nang sunud-sunod sa orihinal na expression, ang aming mga solusyon:
Sa $ x \u003d 2 $, nakuha namin ang pagkakasunud-sunod: 4; 6; 9 - isang pag-unlad na geometriko, kung saan ang $ q \u003d 1.5 $.
Sa $ x \u003d -1 $, nakuha namin ang pagkakasunud-sunod: 1; 0; 0.
Sagot: $ x \u003d 2. $

Mga gawain para sa malayang solusyon

Ang pag-unlad ng geometriko, kasama ang aritmetika, ay isang mahalagang serye ng bilang, na pinag-aaralan sa kurso na algebra ng paaralan sa ika-9 na baitang. Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin ang denominator ng isang geometric na pag-unlad, at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa mga pag-aari nito.

Pagtukoy ng isang pag-unlad na geometriko

Upang magsimula, bigyan natin ang kahulugan ng seryeng numero na ito. Ang pag-unlad na geometriko ay isang serye ng mga nakapangangatwiran na mga numero na nabuo sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpaparami ng unang elemento nito sa pamamagitan ng isang pare-pareho na bilang na tinawag na denominator.

Halimbawa, ang mga numero sa hilera 3, 6, 12, 24, ... ay isang geometric na pag-unlad, dahil kung pinarami mo ang 3 (ang unang elemento) ng 2, makakakuha ka ng 6. Kung magpaparami ka ng 6 sa 2, makakakuha ka ng 12, at iba pa.

Ang mga kasapi ng pagkakasunud-sunod na isinasaalang-alang ay karaniwang ipinapahiwatig ng simbolong ai, kung saan ako ay isang integer na nagpapahiwatig ng bilang ng isang elemento sa hilera.

Ang kahulugan sa itaas ng isang pag-unlad ay maaaring nakasulat sa wika ng matematika tulad ng sumusunod: an \u003d bn-1 * a1, kung saan ang b ay ang denominator. Madaling suriin ang formula na ito: kung n \u003d 1, pagkatapos ay b1-1 \u003d 1, at nakukuha namin ang a1 \u003d a1. Kung n \u003d 2, kung gayon ang isang \u003d b * a1, at muli naming nakarating sa kahulugan ng serye ng mga numero na isinasaalang-alang. Ang magkatulad na pangangatuwiran ay maaaring ipagpatuloy para sa malaking halaga ng n.

Tagatukoy ng pag-unlad na geometriko

Ganap na tinutukoy ng numero b kung anong character ang magkakaroon ng buong serye ng bilang. Ang denominator b ay maaaring positibo, negatibo, o mas malaki sa isa o mas kaunti. Ang lahat ng mga pagpipiliang ito ay humantong sa iba't ibang mga pagkakasunud-sunod:

• b\u003e 1. Mayroong isang pagtaas ng serye ng mga makatuwiran na numero. Halimbawa, 1, 2, 4, 8, ... Kung ang elemento ng a1 ay negatibo, pagkatapos ang buong pagkakasunud-sunod ay tataas lamang sa ganap na halaga, ngunit bawasan ang isinasaalang-alang ang pag-sign ng mga numero.
• b \u003d 1. Ang ganitong kaso ay madalas na hindi tinatawag na isang pag-unlad, dahil mayroong isang ordinaryong serye ng magkaparehong mga makatuwirang numero. Halimbawa, -4, -4, -4.

Formula para sa halaga

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng mga tiyak na problema gamit ang denominator ng isinasaalang-alang na uri ng pag-unlad, isang mahalagang pormula ang dapat ibigay para sa kabuuan ng mga unang n elemento. Ang pormula ay: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Maaari mong makuha ang expression na ito sa iyong sarili kung isinasaalang-alang mo ang isang recursive na pagkakasunud-sunod ng mga miyembro ng pag-unlad. Tandaan din na sa pormula sa itaas, sapat na malaman lamang ang unang elemento at ang denominator upang mahanap ang kabuuan ng isang di-makatwirang bilang ng mga term.

Walang katapusang pagbawas ng pagkakasunud-sunod

Sa itaas ay binigyan ng paliwanag kung ano ito. Ngayon, alam ang formula para sa Sn, ilapat ito sa serye ng numero na ito. Dahil ang anumang bilang na ang modulus ay hindi lalampas sa 1, kapag itinaas sa malalaking degree ay may gawi sa zero, iyon ay, b∞ \u003d\u003e 0, kung -1

Dahil ang pagkakaiba (1 - b) ay palaging magiging positibo, anuman ang halaga ng denominator, ang tanda ng kabuuan ng pagbawas ng walang katapusang pag-unlad ng geometric S∞ ay natatanging natukoy ng tanda ng unang elemento na a1.

Ngayon isasaalang-alang namin ang maraming mga gawain, kung saan ipapakita namin kung paano ilapat ang kaalamang nakuha sa mga tukoy na numero.

Numero ng problema 1. Pagkalkula ng mga hindi kilalang elemento ng pag-unlad at kabuuan

Bibigyan ka ng isang pag-unlad na geometriko, ang denominator ng pag-unlad ay 2, at ang unang elemento nito ay 3. Ano ang katumbas ng ika-7 at ika-10 na termino, at ano ang kabuuan ng pitong paunang elemento nito?

Ang kundisyon ng problema ay binubuo nang simple at ipinapalagay ang direktang paggamit ng mga pormula sa itaas. Kaya, upang makalkula ang sangkap na may numero n, ginagamit namin ang expression na an \u003d bn-1 * a1. Para sa ika-7 elemento na mayroon kami: a7 \u003d b6 * a1, na pinapalitan ang alam na data, nakukuha namin ang: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Ginagawa namin ang pareho para sa ika-10 na term: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Gamitin natin ang kilalang pormula para sa kabuuan at tukuyin ang halagang ito para sa unang 7 elemento ng serye. Mayroon kaming: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Numero ng problema 2. Pagtukoy ng kabuuan ng di-makatwirang mga elemento ng pag-unlad

Hayaan -2 ang denominator ng exponential progression bn-1 * 4, kung saan ang n ay isang integer. Kinakailangan upang matukoy ang halaga mula ika-5 hanggang ika-10 elemento ng seryeng ito, kasama.

Ang problemang nailahad ay hindi malulutas nang direkta gamit ang mga kilalang pormula. Maaari itong malutas ng 2 magkakaibang pamamaraan. Para sa pagkakumpleto, ipinakita namin ang pareho.

Paraan 1. Ang ideya nito ay simple: kinakailangan upang kalkulahin ang dalawang kaukulang kabuuan ng mga unang termino, at pagkatapos ay ibawas ang isa pa mula sa isa. Kinakalkula namin ang mas maliit na halaga: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Kinakalkula namin ang malaking halaga: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Tandaan na sa huling expression, 4 na term lamang ang na-buod, dahil ang ika-5 ay kasama na sa kabuuan na kailangang kalkulahin alinsunod sa kalagayan ng problema. Sa wakas, gawin ang pagkakaiba: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Paraan 2. Bago ang pagpapalit ng mga numero at pagbibilang, maaari kang makakuha ng isang pormula para sa kabuuan sa pagitan ng mga kasapi m at n ng seryeng pinag-uusapan. Ginagawa namin ang eksaktong kapareho ng sa pamamaraan 1, kami lamang muna ang nagtatrabaho kasama ang makasagisag na representasyon ng kabuuan. Mayroon kaming: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Sa nagresultang ekspresyon, maaari mong palitan ang mga kilalang numero at kalkulahin ang pangwakas na resulta: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Numero ng problema 3. Ano ang denominator?

Hayaan ang a1 \u003d 2, hanapin ang denominator ng pag-unlad na geometriko, sa kondisyon na ang walang katapusang kabuuan nito ay 3, at alam na ito ay isang bumababang serye ng mga numero.

Sa kundisyon ng problema, madaling hulaan kung aling formula ang dapat gamitin upang malutas ito. Siyempre, para sa kabuuan ng pag-unlad ay walang hanggan na bumababa. Mayroon kaming: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Mula sa kung saan ipinahahayag namin ang denominator: b \u003d 1 - a1 / S∞. Ito ay mananatiling kapalit ng mga kilalang halaga at makuha ang kinakailangang numero: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 o -0.333 (3). Ang resulta na ito ay maaaring masuri nang husay kung maaalala namin na para sa ganitong uri ng pagkakasunud-sunod ang modulus b ay hindi dapat lumagpas sa 1. Tulad ng nakikita mo, | -1 / 3 |

Numero ng problema 4. Pagkuha ng isang serye ng mga numero

Hayaan ang 2 mga elemento ng isang serye na may bilang na ibigay, halimbawa, ang ika-5 ay katumbas ng 30 at ang ika-10 ay katumbas ng 60. Kinakailangan na muling buuin ang buong serye mula sa mga datos na ito, alam na natutugunan nito ang mga katangian ng isang pag-unlad na geometriko.

Upang malutas ang problema, kailangan mo munang isulat ang kaukulang ekspresyon para sa bawat kilalang term. Mayroon kaming: a5 \u003d b4 * a1 at a10 \u003d b9 * a1. Ngayon hinati namin ang pangalawang ekspresyon ng una, nakukuha namin ang: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Mula dito, natutukoy namin ang denominator sa pamamagitan ng pagkuha ng ikalimang ugat ng ratio ng mga term na kilala mula sa kondisyon ng problema, b \u003d 1.148698. Pinalitan namin ang nagresultang numero sa isa sa mga expression para sa kilalang elemento, nakukuha namin ang: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

Sa gayon, nahanap namin kung ano ang denominator ng pagsulong bn, at ang geometric na pag-unlad na bn-1 * 17.2304966 \u003d an, kung saan b \u003d 1.148698.

Saan ginagamit ang mga pag-unlad na geometriko?

Kung walang aplikasyon ng serye ng bilang na ito sa pagsasanay, kung gayon ang pag-aaral nito ay mababawasan sa isang pulos na teoretikal na interes. Ngunit mayroong isang application.

Nasa ibaba ang 3 pinakatanyag na halimbawa:

• Ang kabalintunaan ni Zeno, kung saan ang matalino na Achilles ay hindi makahabol sa mabagal na pagong, ay nalulutas gamit ang konsepto ng isang walang katapusang pagbawas ng pagkakasunud-sunod ng mga numero.
• Kung maglalagay ka ng mga butil ng trigo sa bawat parisukat ng chessboard upang ang 1 butil ay inilalagay sa ika-1 parisukat, 2 - sa ika-2, 3 - sa ika-3, at iba pa, pagkatapos ay kailangan ng 18446744073709551615 na mga butil upang punan ang lahat ng mga parisukat ng sumakay!
• Sa laro ng Tower of Hanoi, upang muling ayusin ang mga disk mula sa isang pamalo papunta sa isa pa, kailangan mong magsagawa ng 2n - 1 na operasyon, samakatuwid nga, ang kanilang bilang ay lumalaki nang mabilis sa bilang ng mga disk na ginamit.