Sa huling video tutorial, nalaman namin na ang antas ng isang tiyak na pundasyon ay isang expression na produkto mismo ng pundasyon, na kinuha sa halagang katumbas ng exponent. Pag-aralan natin ngayon ang ilan sa mga pinakamahalagang katangian at pagpapatakbo ng kuryente.

Halimbawa, paramihin natin ang dalawang magkaibang kapangyarihan na may parehong base:

Inilalahad namin ang gawaing ito nang buo:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Ang pagkakaroon ng pagkalkula ng halaga ng expression na ito, nakuha namin ang numero 32. Sa kabilang banda, tulad ng makikita mula sa parehong halimbawa, 32 ay maaaring kinakatawan bilang produkto ng parehong base (dalawa), kinuha ng 5 beses. At sa katunayan, kung bibilangin natin, kung gayon:

Kaya, maaari nating tapusin nang may kumpiyansa na:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ang isang katulad na panuntunan ay gumagana nang maayos para sa anumang tagapagpahiwatig at anumang dahilan. Ang pag-aari na ito ng pagpaparami ng antas ay sumusunod sa panuntunan ng pangangalaga ng halaga ng mga expression sa panahon ng mga pagbabago sa produkto. Para sa anumang base a, ang produkto ng dalawang expression (a) x at (a) y ay katumbas ng a (x + y). Sa madaling salita, kapag ang anumang mga expression na may parehong base ay ginawa, ang panghuling monomial ay may kabuuang antas na nabuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng antas ng una at pangalawang expression.

Ang ipinakita na panuntunan ay mahusay din kapag nagpaparami ng maraming expression. Ang pangunahing kondisyon ay ang mga batayan para sa lahat ay pareho. Halimbawa:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Imposibleng magdagdag ng mga degree, at sa katunayan ay magsagawa ng anumang degree-law na magkasanib na aksyon na may dalawang elemento ng pagpapahayag, kung ang kanilang mga batayan ay magkaiba.
Tulad ng ipinapakita ng aming video, dahil sa pagkakapareho ng mga proseso ng pagpaparami at paghahati, ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan sa produkto ay perpektong inililipat sa pamamaraan ng paghahati. Isaalang-alang ang halimbawang ito:

Gumawa tayo ng term-by-term na pagbabago ng expression sa buong anyo nito at bawasan ang parehong mga elemento sa dibidendo at divisor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Ang resulta ng halimbawang ito ay hindi masyadong kawili-wili, dahil nasa kurso na ng solusyon nito ay malinaw na ang halaga ng expression ay katumbas ng parisukat ng dalawa. At ito ay ang dalawa na nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng kapangyarihan ng pangalawang pagpapahayag mula sa kapangyarihan ng una.

Upang matukoy ang antas ng kusyente, kinakailangang ibawas ang antas ng divisor mula sa antas ng dibidendo. Ang panuntunan ay gumagana sa parehong base para sa lahat ng mga halaga nito at para sa lahat ng natural na antas. Bilang abstraction, mayroon kaming:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Ang kahulugan para sa zero degree ay sumusunod mula sa panuntunan para sa paghahati ng parehong mga base sa mga degree. Malinaw, ang sumusunod na expression ay:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Sa kabilang banda, kung gagawin natin ang paghahati sa mas visual na paraan, makakakuha tayo ng:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Kapag binabawasan ang lahat ng nakikitang elemento ng fraction, ang expression na 1/1, iyon ay, isa, ay palaging nakuha. Samakatuwid, karaniwang tinatanggap na ang anumang base na itinaas sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Anuman ang halaga ng a.

Gayunpaman, magiging walang katotohanan kung ang 0 (para sa anumang pagpaparami ang nagbibigay ay 0 pa rin) ay kahit papaano ay katumbas ng isa, samakatuwid ang isang pagpapahayag ng anyo (0) 0 (zero sa zero na antas) ay walang katuturan, at sa formula (a) 0 = 1 idagdag ang kundisyon: "kung ang a ay hindi katumbas ng 0".

Solusyonan natin ang ehersisyo. Hanapin natin ang halaga ng expression:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Dahil ang base ay pareho sa lahat ng dako at katumbas ng 34, ang kabuuang halaga ay magkakaroon ng parehong base sa antas (ayon sa mga panuntunan sa itaas):

Sa ibang salita:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Sagot: ang expression ay katumbas ng isa.

Aralin sa paksa: "Ang mga patakaran ng multiplikasyon at paghahati ng mga degree na may pareho at magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Mga halimbawa"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at mga simulator sa Integral online store para sa grade 7
Manwal para sa aklat-aralin Yu.N. Makarycheva Manual para sa aklat-aralin A.G. Mordkovich

Ang layunin ng aralin: matutunan kung paano magsagawa ng mga aksyon na may kapangyarihan ng bilang.

Upang magsimula, tandaan natin ang konsepto ng "degree of number". Ang isang expression tulad ng $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ ay maaaring katawanin bilang $ a ^ n $.

Totoo rin ang kabaligtaran: $ a ^ n = \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na "notation of the degree as a product". Makakatulong ito sa amin na matukoy kung paano mag-multiply at maghati ng mga degree.
Tandaan:
a Ay ang batayan ng antas.
n- exponent.
Kung n = 1, samakatuwid, ang numero a kinuha ng isang beses at naaayon: $a ^ n = 1 $.
Kung n = 0, pagkatapos ay $a ^ 0 = 1 $.

Kung bakit ito nangyayari, maaari nating malaman kapag nakilala natin ang mga patakaran ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan.

Mga panuntunan sa pagpaparami

Halimbawa.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ang ari-arian na ito ay maginhawang gamitin upang pasimplehin ang trabaho kapag nagtataas ng isang numero sa isang malaking kapangyarihan.
Halimbawa.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Kung ang mga degree ay pinarami sa iba't ibang mga base, ngunit ang parehong exponent.
Sa $a ^ n * b ^ n $, isulat ang mga degree bilang isang produkto: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( m) $.
Kung papalitan natin ang mga salik at bibilangin ang mga resultang pares, makakakuha tayo ng: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Kaya naman, $a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Halimbawa.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Mga panuntunan sa dibisyon

Kaya, ito ay kinakailangan $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, saan n> m.

Isulat natin ang mga kapangyarihan bilang isang fraction:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Ngayon kanselahin natin ang fraction.

Ito ay lumabas na: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
Ibig sabihin, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

Makakatulong ang property na ito na ipaliwanag ang sitwasyon sa pagtaas ng numero sa zero power. Ipagpalagay natin na n = m, pagkatapos ay $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Mga halimbawa.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

b) Ang mga batayan ng antas ay magkakaiba, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho.
Sabihin nating kailangan mo ng $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Isulat natin ang mga kapangyarihan ng mga numero bilang isang fraction:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Halimbawa.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

Magdagdag at magbawas ng mga kapangyarihan

Malinaw, ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring idagdag, tulad ng iba pang dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2.
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds ang parehong antas ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2.

Halata rin na kung kukuha ka ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit ang mga degree iba't ibang variable at iba't ibang antas magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng kanilang pagdaragdag kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3.

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi katumbas ng dalawang beses na parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay isang 3 b n + 3a 5 b 6.

Pagbabawas ang mga degree ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng ibinawas ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Pagpaparami ng digri

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply, tulad ng iba pang mga dami, sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o walang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang ekspresyon ay kukuha ng anyo: a 5 b 5 y 3.

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng ang kabuuan antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m + n.

Para sa isang n, ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan hangga't ang kapangyarihan ng n ay pantay;

At a m, ay kinuha bilang isang kadahilanan bilang maraming beses bilang ang kapangyarihan ng m ay;

Kaya, Ang mga degree na may parehong mga stem ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. At x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay - negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5. Ito ay maaaring isulat bilang (1 / aa).(1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay itinaas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.

Kaya, (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = isang 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = isang 8 - y 8.

Dibisyon ng mga degree

Ang mga numero ng kapangyarihan ay maaaring hatiin, tulad ng iba pang mga numero, sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa fractional form.

Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay katumbas ng 3.

Ang isang 5 na hinati sa isang 3 ay mukhang $ \ frac $. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2. Sa isang serye ng mga numero
isang +4, isang +3, isang +2, isang +1, isang 0, isang -1, isang -2, isang -3, isang -4.
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba exponents ng mga divisible na numero.

Kapag naghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay ibinabawas..

Kaya, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Ibig sabihin, $ \ frac = y $.

At a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Ibig sabihin, $ \ frac = a ^ n $.

O kaya:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Totoo rin ang panuntunan para sa mga numerong may negatibo ang mga halaga ng mga degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2.
Gayundin, $ \ frac: \ frac = \ frac. \ Frac = \ frac = \ frac $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 o $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponent sa $ \ frac $ Sagot: $ \ frac $.

2. Bawasan ang mga exponent sa $ \ frac $. Sagot: $ \ frac $ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin ang mga ito sa common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1, ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 / a -1 at 1 / a -1.

4. Bawasan ang mga exponent 2a 4 / 5a 3 at 2 / a 4 at dalhin ang mga ito sa common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5 / 5a 2.

5. Multiply (a 3 + b) / b 4 sa (a - b) / 3.

6. Multiply (a 5 + 1) / x 2 sa (b 2 - 1) / (x + a).

7. I-multiply ang b 4 / a -2 sa h -3 / x at a n / y -3.

8. Hatiin ang isang 4 / y 3 sa isang 3 / y 2. Sagot: a / y.

Mga katangian ng degree

Ipinapaalala namin sa iyo na nauunawaan ang araling ito mga katangian ng kapangyarihan na may mga natural na tagapagpahiwatig at zero. Sasaklawin sa mga aralin sa ika-8 baitang ang mga rational degree at ang kanilang mga ari-arian.

Ang isang natural na exponent ay may ilang mahahalagang katangian na nagpapadali sa pagkalkula sa mga halimbawa ng exponent.

Numero ng ari-arian 1
Produkto ng mga degree

Kapag nagpaparami ng mga degree na may parehong mga base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay idinagdag.

a m · a n = a m + n, kung saan ang "a" ay anumang numero, at "m", "n" ay anumang natural na mga numero.

Ang pag-aari na ito ng mga degree ay nakakaapekto rin sa produkto ng tatlo o higit pang mga degree.

• Pasimplehin ang expression.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Ipakita bilang isang degree.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Ipakita bilang isang degree.
  (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Pakitandaan na sa tinukoy na ari-arian ito ay tungkol lamang sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.... Hindi ito naaangkop sa kanilang karagdagan.

Hindi mo maaaring palitan ang halaga (3 3 + 3 2) ng 3 5. Ito ay maliwanag kung
bilang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, at 3 5 = 243

Numero ng ari-arian 2
Mga pribadong degree

Kapag hinahati ang mga degree na may parehong mga base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.

• Isulat ang quotient bilang isang degree
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
• Kalkulahin.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Halimbawa. Lutasin ang equation. Ginagamit namin ang pag-aari ng mga pribadong degree.
3 8: t = 3 4

Sagot: t = 3 4 = 81

Gamit ang mga katangian # 1 at # 2, madali mong gawing simple ang mga expression at magsagawa ng mga kalkulasyon.

Halimbawa. Pasimplehin ang expression.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression gamit ang mga katangian ng degree.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Pakitandaan na sa property 2 pinag-uusapan lang namin ang paghahati ng mga degree na may parehong base.

Hindi mo maaaring palitan ang pagkakaiba (4 3 −4 2) ng 4 1. Ito ay mauunawaan kung ating kalkulahin ang (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48, at 4 1 = 4

Numero ng ari-arian 3
Exponentiation

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ng kapangyarihan ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay pinarami.

(a n) m = a n · m, kung saan ang "a" ay anumang numero, at "m", "n" ay anumang natural na mga numero.

Ipinapaalala namin sa iyo na ang quotient ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Samakatuwid, tatalakayin natin ang paksa ng pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan nang mas detalyado sa susunod na pahina.

Paano mag-multiply ng mga degree

Paano mo i-multiply ang mga degree? Aling mga degree ang maaaring i-multiply at alin ang hindi? Paano i-multiply ang isang numero sa isang degree?

Sa algebra, ang produkto ng mga degree ay matatagpuan sa dalawang kaso:

1) kung ang mga degree ay may parehong mga base;

2) kung ang mga degree ay may parehong mga tagapagpahiwatig.

Kapag nagpaparami ng mga degree na may parehong mga base, ang base ay dapat iwanang pareho, at ang mga tagapagpahiwatig ay dapat idagdag:

Kapag nagpaparami ng mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig, ang kabuuang tagapagpahiwatig ay maaaring alisin sa mga bracket:

Tingnan natin kung paano i-multiply ang mga degree gamit ang mga partikular na halimbawa.

Ang yunit sa exponent ay hindi nakasulat, ngunit kapag ang mga degree ay pinarami, isinasaalang-alang nila:

Kapag nagpaparami, ang bilang ng mga degree ay maaaring anuman. Dapat tandaan na hindi mo kailangang isulat ang multiplication sign bago ang titik:

Sa mga expression, ang exponentiation ay unang ginagawa.

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa pamamagitan ng isang kapangyarihan, kailangan mo munang isagawa ang exponentiation, at pagkatapos lamang ang multiplikasyon:

Pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan

Ang video tutorial na ito ay magagamit sa pamamagitan ng subscription

May subscription ka na ba? Pumasok

Sa araling ito, pag-aaralan natin ang multiplikasyon ng mga digri na may parehong mga batayan. Una, alalahanin ang kahulugan ng antas at bumalangkas ng teorama sa bisa ng pagkakapantay-pantay ... Pagkatapos ay nagbibigay kami ng mga halimbawa ng aplikasyon nito sa mga tiyak na numero at patunayan ito. Ilalapat din natin ang theorem upang malutas ang iba't ibang mga problema.

Paksa: Degree sa isang natural na tagapagpahiwatig at mga katangian nito

Aralin: Pagpaparami ng mga degree na may parehong base (formula)

1. Mga pangunahing kahulugan

Mga pangunahing kahulugan:

n- exponent,

— n-ika-kapangyarihan ng isang numero.

2. Pahayag ng Theorem 1

Teorama 1. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa ibang paraan: kung a- kahit anong numero; n at k natural na mga numero, pagkatapos ay:

Kaya ang panuntunan 1:

3. Mga gawaing nagpapaliwanag

Konklusyon: kinumpirma ng mga partikular na kaso ang kawastuhan ng Theorem No. 1. Pinatunayan namin ito sa pangkalahatang kaso, iyon ay, para sa alinman a at anumang natural n at k.

4. Katibayan ng Theorem 1

Binigyan ng numero a- anumang; ang mga numero n at k - natural. Patunayan:

Ang patunay ay batay sa kahulugan ng antas.

5. Solusyon ng mga halimbawa gamit ang Theorem 1

Halimbawa 1: Isipin ito bilang isang degree.

Upang malutas ang mga sumusunod na halimbawa, ginagamit namin ang Theorem 1.

g)

6. Paglalahat ng Theorem 1

Narito ang isang generalization na ginamit:

7. Solusyon ng mga halimbawa gamit ang generalization ng Theorem 1

8. Paglutas ng iba't ibang problema gamit ang Theorem 1

Halimbawa 2: Kalkulahin (maaari mong gamitin ang talahanayan ng mga pangunahing degree).

a) (ayon sa talahanayan)

b)

Halimbawa 3: Isulat ito bilang isang kapangyarihan na may base 2.

a)

Halimbawa 4: Tukuyin ang tanda ng numero:

, isang - negatibo, dahil ang exponent sa -13 ay kakaiba.

Halimbawa 5: Palitan ang () ng kapangyarihan ng isang radix r:

Meron kami, kumbaga.

9. Pagbubuod

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. at iba pa.Algebra 7. Ika-6 na edisyon. M .: Edukasyon. 2010 r.

1. School Assistant (Source).

1. Ipakita bilang isang degree:

a B C D E)

3. Isulat ito bilang isang kapangyarihan na may base 2:

4. Tukuyin ang tanda ng numero:

a)

5. Palitan ang (·) ng kapangyarihan ng isang radix r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) () r 5 = r 6

Pagpaparami at paghahati ng mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig

Sa araling ito, pag-aaralan natin ang multiplikasyon ng mga degree na may parehong exponent. Una, alalahanin natin ang mga pangunahing kahulugan at teorema tungkol sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan at pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan. Pagkatapos ay bumalangkas at nagpapatunay kami ng mga theorems sa multiplikasyon at paghahati ng mga degree na may parehong mga exponent. At pagkatapos, sa kanilang tulong, malulutas namin ang isang bilang ng mga karaniwang problema.

Paalala ng mga pangunahing kahulugan at teorema

Dito a- ang batayan ng antas,

— n-ika-kapangyarihan ng isang numero.

Teorama 1. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Kapag nagpaparami ng mga degree na may parehong mga base, ang mga tagapagpahiwatig ay idinagdag, ang base ay nananatiling hindi nagbabago.

Teorama 2. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k, ganyan n > k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Kapag naghahati ng mga degree na may parehong mga base, ang mga tagapagpahiwatig ay ibinabawas, at ang base ay nananatiling hindi nagbabago.

Teorama 3. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Ang lahat ng mga theorems na nakalista sa itaas ay tungkol sa mga degree na may pareho bakuran, isasaalang-alang ng araling ito ang mga degree na may pareho mga tagapagpahiwatig.

Mga halimbawa para sa pagpaparami ng mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig

Isaalang-alang ang mga sumusunod na halimbawa:

Isulat natin ang mga expression para sa pagtukoy ng antas.

Konklusyon: mula sa mga halimbawa ay makikita mo iyon , ngunit kailangan pa rin itong patunayan. Bumuo tayo ng isang teorama at patunayan ito sa pangkalahatang kaso, iyon ay, para sa alinman a at b at anumang natural n.

Pagbubuo at patunay ng Theorem 4

Para sa anumang mga numero a at b at anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Patunay Teorama 4 .

Sa pamamagitan ng kahulugan ng antas:

Kaya, napatunayan namin iyon .

Upang i-multiply ang mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig, sapat na upang i-multiply ang mga base, at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.

Pagbubuo at patunay ng Theorem 5

Bumuo tayo ng isang teorama para sa paghahati ng mga degree na may parehong mga exponent.

Para sa anumang numero a at b () at anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Patunay Teorama 5 .

Isulat natin at ayon sa kahulugan ng antas:

Pagbubuo ng Theorems sa mga Salita

Kaya, napatunayan namin iyon.

Upang hatiin ang mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig sa bawat isa, sapat na upang hatiin ang isang base sa isa pa, at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.

Paglutas ng mga karaniwang problema gamit ang Theorem 4

Halimbawa 1: Ipakita bilang isang produkto ng mga degree.

Upang malutas ang mga sumusunod na halimbawa, ginagamit namin ang Theorem 4.

Upang malutas ang sumusunod na halimbawa, alalahanin ang mga formula:

Paglalahat ng Theorem 4

Paglalahat ng Theorem 4:

Solusyon ng mga halimbawa gamit ang generalised theorem 4

Pagpapatuloy ng paglutas ng mga karaniwang gawain

Halimbawa 2: Isulat ito bilang antas ng gawain.

Halimbawa 3: Isulat ito bilang isang kapangyarihan na may exponent na 2.

Mga halimbawa ng pagkalkula

Halimbawa 4: Kalkulahin sa pinakanakapangangatwiran na paraan.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7.M .: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.Ye. at iba pa.Algebra 7. M .: Enlightenment. 2006 taon

2. School Assistant (Source).

1. Ipakita bilang isang produkto ng mga degree:

a) ; b); v); G);

2. Isulat sa anyo ng antas ng trabaho:

3. Isulat ito bilang isang kapangyarihan na may exponent na 2:

4. Kalkulahin sa pinakanakapangangatwiran na paraan.

Aralin sa matematika sa paksang "Pagpaparami at paghahati ng mga degree"

Mga Seksyon: Mathematics

Layunin ng pedagogical:

Mga gawain:

Mga yunit ng aktibidad ng pagkatuto: pagpapasiya ng antas na may natural na tagapagpahiwatig; mga bahagi ng degree; kahulugan ng pribado; batas ng kumbinasyon ng multiplikasyon.

I. Organisasyon ng pagpapakita ng mastering ng mga mag-aaral ng umiiral na kaalaman. (hakbang 1)

a) Pag-update ng kaalaman:

2) Bumuo ng kahulugan ng antas na may natural na tagapagpahiwatig.

a n = a a a a ... a (n beses)

b k = b b b b a... b (k beses) Patunayan ang sagot.

II. Organisasyon ng pagtatasa sa sarili ng mag-aaral ayon sa antas ng karunungan ng aktwal na karanasan. (hakbang 2)

Pagsusulit sa sarili: (indibidwal na gawain sa dalawang bersyon.)

A1) Ipakita ang produkto 7 7 7 7 x x x bilang isang kapangyarihan:

A2) Ipakita bilang isang produkto ang degree (-3) 3 x 2

A3) Kalkulahin: -2 3 2 + 4 5 3

Pinipili ko ang bilang ng mga gawain sa pagsusulit alinsunod sa paghahanda ng antas ng klase.

Ibinibigay ko ang susi para sa self-test sa pagsubok. Pamantayan: pagsubok - hindi pagsubok.

III. Pang-edukasyon at praktikal na gawain (hakbang 3) + hakbang 4. (ang mga mag-aaral mismo ang bubuo ng mga katangian)

Sa kurso ng paglutas ng mga problema 1) at 2), ang mga mag-aaral ay nagmumungkahi ng isang solusyon, at ako, bilang isang guro, ay nag-aayos ng klase upang makahanap ng isang paraan upang gawing simple ang mga degree kapag nagpaparami sa parehong mga base.

Guro: Gumawa ng isang paraan upang gawing simple ang mga degree kapag nagpaparami sa parehong mga base.

Ang sumusunod na entry ay lilitaw sa cluster:

Nabuo ang paksa ng aralin. Pagpaparami ng digri.

Guro: Bumuo ng isang panuntunan para sa paghahati ng mga degree na may parehong mga base.

Pangangatwiran: sa pamamagitan ng anong aksyon sinusuri ang dibisyon? isang 5: isang 3 =? anong 2 a 3 = a 5

Bumalik ako sa diagram - isang kumpol at kumpletuhin ang talaan - .. kapag hinahati, binabawasan at idinagdag namin ang paksa ng aralin. ... at paghahati ng mga digri.

IV. Pakikipag-usap sa mga limitasyon ng kaalaman sa mga mag-aaral (hindi bababa sa at bilang isang maximum).

Guro: ang gawain ng pinakamababa para sa aralin ngayon ay matutunan kung paano ilapat ang mga katangian ng multiplikasyon at paghahati ng mga degree na may parehong mga base, at ang maximum: upang ilapat ang multiplikasyon at paghahati nang magkasama.

Isulat sa pisara : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n

V. Organisasyon ng pag-aaral ng bagong materyal. (hakbang 5)

a) Ayon sa aklat-aralin: Blg. 403 (a, c, e) mga gawain na may iba't ibang salita

Hindi. 404 (a, e, f) independiyenteng trabaho, pagkatapos ay mag-aayos ako ng mutual check, ibigay ang mga susi.

b) Para sa anong halaga ng m totoo ang pagkakapantay-pantay? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Takdang-aralin: makabuo ng mga katulad na halimbawa para sa paghahati.

c) Blg. 417 (a), Blg. 418 (a) Mga bitag ng estudyante: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.

Vi. Paglalahat ng natutunan, pagsasagawa ng diagnostic na gawain (na naghihikayat sa mga mag-aaral, at hindi isang guro, na pag-aralan ang paksang ito) (hakbang 6)

Diagnostic na gawain.

Pagsusulit(ilagay ang mga susi sa likod ng pagsubok).

Mga opsyon para sa mga takdang-aralin: ipakita ang quotient sa anyo ng isang degree x 15: x 3; kumakatawan sa produkto bilang isang kapangyarihan (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; kung saan m ang pagkakapantay-pantay a 16 at m = a 32 ay totoo; hanapin ang halaga ng expression na h 0: h 2 sa h = 0.2; kalkulahin ang halaga ng expression (5 2 5 0): 5 2.

Buod ng aralin. Pagninilay. Hinahati ko ang klase sa dalawang grupo.

Maghanap ng mga argumento na pangkat ko: pabor sa kaalaman sa mga katangian ng antas, at II pangkat - mga argumento na magsasabi na magagawa mo nang walang mga katangian. Nakikinig kami sa lahat ng mga sagot, gumuhit ng mga konklusyon. Sa kasunod na mga aralin, maaari kang mag-alok ng istatistikal na data at tawagan ang pamagat na "Hindi kasya ang aking ulo!"

Vii. Takdang aralin.

Sanggunian sa kasaysayan. Anong mga numero ang tinatawag na mga numero ng Fermat.

A.19. 403, No. 408, No. 417

Mga Gamit na Aklat:

Mga katangian ng mga degree, formulations, proofs, mga halimbawa.

Matapos matukoy ang antas ng numero, lohikal na pag-usapan antas ng mga katangian... Sa artikulong ito, ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng antas ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng antas, at ipapakita din kung paano inilalapat ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga katangian ng mga natural na exponent

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, ang degree a n ay ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Batay sa kahulugan na ito, at gamit din tunay na mga katangian ng pagpaparami, maaari mong makuha at bigyang-katwiran ang mga sumusunod natural exponent grade properties:

Ang konsepto ng isang degree sa matematika ay ipinakilala sa ika-7 baitang sa aralin ng algebra. At sa hinaharap, sa buong kurso ng pag-aaral ng matematika, ang konseptong ito ay aktibong ginagamit sa iba't ibang anyo nito. Ang mga degree ay isang medyo mahirap na paksa, na nangangailangan ng pagsasaulo ng mga kahulugan at kakayahang magbilang nang tama at mabilis. Para sa mas mabilis at mas mahusay na trabaho sa mga degree, naimbento ng mga mathematician ang mga katangian ng degree. Tumutulong sila upang mabawasan ang malalaking pagkalkula, upang mai-convert ang isang malaking halimbawa sa isang numero sa ilang lawak. Walang napakaraming mga pag-aari, at lahat ng mga ito ay madaling matandaan at ilapat sa pagsasanay. Samakatuwid, tinatalakay ng artikulo ang mga pangunahing katangian ng degree, pati na rin kung saan inilalapat ang mga ito.

Mga katangian ng degree

Isasaalang-alang namin ang 12 mga katangian ng isang degree, kabilang ang mga katangian ng mga degree na may parehong mga base, at magbibigay ng isang halimbawa para sa bawat ari-arian. Ang bawat isa sa mga pag-aari na ito ay makakatulong sa iyo na mas mabilis na malutas ang mga takdang-aralin sa degree, pati na rin i-save ka mula sa maraming mga error sa computational.

1st property.

Maraming tao ang madalas na nakakalimutan ang tungkol sa property na ito, nagkakamali, na kumakatawan sa isang numero sa zero degree bilang zero.

2nd property.

3rd property.

Dapat tandaan na ang ari-arian na ito ay maaari lamang mailapat kapag nagpaparami ng mga numero, hindi ito gumagana sa isang kabuuan! At hindi natin dapat kalimutan na ito, at ang susunod, mga katangian ay nalalapat lamang sa mga degree na may parehong mga base.

ika-4 na ari-arian.

Kung ang numero sa denominator ay itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, pagkatapos ay sa panahon ng pagbabawas, ang kapangyarihan ng denominator ay kinuha sa mga panaklong upang palitan nang tama ang tanda sa karagdagang mga kalkulasyon.

Ang ari-arian ay gumagana lamang para sa paghahati, hindi ito nalalapat para sa pagbabawas!

5th property.

ika-6 na ari-arian.

Maaaring ilapat ang property na ito sa kabilang direksyon. Ang yunit na hinati sa numero ay sa ilang lawak ang numerong ito sa minus na kapangyarihan.

ika-7 ari-arian.

Hindi maaaring ilapat ang property na ito sa kabuuan at pagkakaiba! Kapag nagtataas ng kabuuan o pagkakaiba sa isang kapangyarihan, mga pinaikling formula ng pagpaparami ang ginagamit, hindi mga katangian ng kapangyarihan.

ika-8 ari-arian.

ika-9 na ari-arian.

Gumagana ang property na ito para sa anumang fractional power na may numerator na katumbas ng isa, ang formula ay magiging pareho, tanging ang kapangyarihan ng ugat ang magbabago depende sa denominator ng power.

Gayundin, ang property na ito ay kadalasang ginagamit sa reverse order. Ang ugat ng anumang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring katawanin bilang ang numero sa kapangyarihan ng isa na hinati sa kapangyarihan ng ugat. Ang property na ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa mga kaso kung saan ang ugat ng isang numero ay hindi maaaring makuha.

ika-10 ari-arian.

Gumagana ang property na ito nang higit pa sa square root at second degree. Kung ang antas ng ugat at ang antas kung saan nakataas ang ugat na ito ay nag-tutugma, kung gayon ang sagot ay magiging isang radikal na pagpapahayag.

ika-11 ari-arian.

Kailangan mong makita ang ari-arian na ito sa oras kapag gumagawa ng desisyon upang mailigtas ang iyong sarili mula sa malalaking kalkulasyon.

ika-12 ari-arian.

Ang bawat isa sa mga katangiang ito ay mahaharap sa iyo nang higit sa isang beses sa mga takdang-aralin, maaari itong ibigay sa dalisay nitong anyo, o maaaring mangailangan ito ng ilang pagbabago at paggamit ng iba pang mga formula. Samakatuwid, para sa tamang solusyon, hindi sapat na malaman lamang ang mga katangian, kailangan mong magsanay at ikonekta ang natitirang kaalaman sa matematika.

Paglalapat ng mga degree at ang kanilang mga katangian

Ang mga ito ay aktibong ginagamit sa algebra at geometry. Ang mga degree sa matematika ay may hiwalay, mahalagang lugar. Sa kanilang tulong, ang mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas, gayundin sa pamamagitan ng mga degree, ang mga equation at mga halimbawa na nauugnay sa iba pang mga sangay ng matematika ay kadalasang kumplikado. Nakakatulong ang mga degree upang maiwasan ang malalaki at mahahabang kalkulasyon, mas madaling paikliin at kalkulahin ang mga degree. Ngunit upang gumana nang may malalaking degree, o may mga kapangyarihan ng malalaking numero, kailangan mong malaman hindi lamang ang mga katangian ng degree, ngunit mahusay din na magtrabaho kasama ang mga base, magagawang mabulok ang mga ito upang mapadali ang iyong gawain. Para sa kaginhawahan, dapat mo ring malaman ang kahulugan ng mga numero na itinaas sa isang kapangyarihan. Ito ay paikliin ang iyong oras ng pagpapasya, na inaalis ang pangangailangan para sa mahabang kalkulasyon.

Ang konsepto ng degree ay gumaganap ng isang espesyal na papel sa logarithms. Dahil ang logarithm, sa esensya, ay ang kapangyarihan ng isang numero.

Ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami ay isa pang halimbawa ng paggamit ng mga kapangyarihan. Ang mga katangian ng mga degree ay hindi maaaring ilapat sa kanila, sila ay nabubulok ayon sa mga espesyal na patakaran, ngunit ang mga degree ay palaging naroroon sa bawat formula para sa pinaikling multiplikasyon.

Aktibong ginagamit din ang mga degree sa physics at computer science. Ang lahat ng mga pagsasalin sa sistema ng SI ay ginawa gamit ang mga degree, at sa hinaharap, kapag nilutas ang mga problema, ang mga katangian ng degree ay inilalapat. Sa computer science, ang mga kapangyarihan ng dalawa ay aktibong ginagamit, para sa kaginhawahan ng pagbibilang at pagpapasimple ng pang-unawa ng mga numero. Ang mga karagdagang kalkulasyon para sa mga conversion ng mga yunit ng pagsukat o pagkalkula ng mga problema, tulad ng sa pisika, ay nagaganap gamit ang mga katangian ng antas.

Ang mga degree ay lubhang kapaki-pakinabang din sa astronomy, kung saan bihira mong makita ang paggamit ng mga katangian ng degree, ngunit ang mga degree mismo ay aktibong ginagamit upang paikliin ang pag-record ng iba't ibang dami at distansya.

Ginagamit din ang mga degree sa pang-araw-araw na buhay, kapag kinakalkula ang mga lugar, volume, distansya.

Sa tulong ng mga degree, napakalaki at napakaliit na halaga ay naitala sa lahat ng mga lugar ng agham.

Exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga katangian ng degree ay sumasakop sa isang espesyal na lugar nang tumpak sa mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga gawaing ito ay karaniwan, kapwa sa kurso sa paaralan at sa mga pagsusulit. Ang lahat ng mga ito ay malulutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga katangian ng antas. Ang hindi alam ay palaging nasa antas mismo, samakatuwid, alam ang lahat ng mga katangian, hindi magiging mahirap na lutasin ang gayong equation o hindi pagkakapantay-pantay.

Unang antas

Ang antas at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan sila magiging kapaki-pakinabang sa iyo? Bakit kailangan mong maglaan ng oras upang pag-aralan ang mga ito?

Upang malaman ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang kaalaman sa mga degree ay maglalapit sa iyo sa matagumpay na pagpasa sa OGE o USE at sa pagpasok sa unibersidad na iyong mga pangarap.

Let "s go... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL + F5 (sa Windows) o Cmd + R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao gamit ang napakasimpleng mga halimbawa. Bigyang-pansin. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipinapaliwanag nila ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang dapat ipaliwanag. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa ng cola ay maaaring isulat sa ibang paraan:. Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang mabilis na "mabilang" ang mga ito. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakabuo sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon... Maaari mong, siyempre, gawin ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

Anong iba pang matalinong trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang degree ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang mga ulo - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Ang kailangan mo lang gawin ay tandaan kung ano ang naka-highlight sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero... Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo - kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Napakagandang tanong iyan. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa ng buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang square meter-by-meter pool. Ang pool ay nasa iyong country house. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Maaari mo lamang bilangin, na tinutusok ang iyong daliri, na ang ilalim ng pool ay binubuo ng metro bawat metrong cube. Kung mayroon kang tile meter sa pamamagitan ng metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang ... Ngunit saan ka nakakita ng gayong mga tile? Ang tile ay mas malamang na cm sa cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka ng "bilang ng daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. Pag-multiply sa, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero sa aming sarili upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Kapag na-multiply na ang parehong numero, magagamit natin ang "exponentiation" technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, paramihin mo pa rin ang mga ito o itataas ang mga ito sa isang kapangyarihan. Ngunit kung marami ka sa kanila, kung gayon ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay mas madali at mas kaunti rin ang mga error sa pagkalkula. Para sa pagsusulit, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu sa ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. Sa kabaligtaran, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay LAGING pangalawang kapangyarihan ng isang numero. Ang parisukat ay isang representasyon ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang banda, masyadong. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo o ... kung mapapansin mo na ang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Makakakuha ka ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa ng buhay blg

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa pamamagitan ng paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Nakakagulat, tama?) Gumuhit ng isang pool: ang ilalim ay isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming kubiko metro bawat metro ang papasok sa iyong pool.

Ituro ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat ... dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo ... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Ang mga ito ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, tama?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung pinasimple rin nila ito. Binawasan nila ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito ... Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong samantalahin ang degree. Kaya, kung ano ang minsan mong binilang gamit ang iyong daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:.

Ito ay nananatili lamang tandaan ang talahanayan ng mga degree... Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari kang magpatuloy sa pagbibilang gamit ang iyong daliri.

Kaya, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga tamad at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa ng buhay bilang 4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon mula sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat milyon mo sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri," kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - ang nangyari ay dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay na-multiply sa sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang milyun-milyong iyon ay matatanggap ng isa na mas mabilis na nagkalkula ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay blg. 5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Mahusay, hindi ba? Bawat milyong triple. Magkano ang pera mo sa mga taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - i-multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay nakababagot, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlong beses ay pinarami ng kanyang sarili. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay katumbas ng isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, lubos mong mapadali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit naiintindihan at madaling tandaan ...

Well, at the same time that naturang degree na batayan? Kahit na mas simple - ito ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang guhit upang makatiyak.

Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang mas ma-generalize at matandaan ... Ang isang degree na may base na "" at isang indicator "" ay binabasa bilang "sa degree" at nakasulat tulad ng sumusunod:

Degree ng numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na ngayon: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga bagay: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang tayo ng mga bagay, hindi natin sinasabi: "minus five", "minus six", "minus seven". Hindi rin namin sinasabi: "one third", o "zero point, five tenths." Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa tingin mo ang mga ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga buong numero ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha na may minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. Ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang ipahiwatig ang mga utang: kung mayroon kang rubles sa iyong telepono, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang anumang mga fraction ay mga rational na numero. Paano sa palagay mo nangyari ang mga ito? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na kulang sila ng mga natural na numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero... Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwirang numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng isang degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, isang integer at positibo).

1. Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
2. Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
3. Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Ang pagpapataas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng kapangyarihan

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin: ano ang at ?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Ilang mga kadahilanan ang mayroon sa kabuuan?

Napakasimple nito: nagdagdag kami ng mga multiplier sa mga multiplier, at ang kabuuan ay mga multiplier.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay ang antas ng isang numero na may isang exponent, iyon ay, bilang kinakailangan upang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat may parehong mga batayan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lang sa produkto ng degrees!

Sa anumang kaso maaari mong isulat iyon.

2.iyon ay -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumiliko na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo dapat gawin ito sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat?

Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang natin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging pundasyon?

Sa mga degree na may natural na rate maaaring maging batayan kahit anong numero... Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga kapangyarihan ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? A? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus sa pamamagitan ng minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung tayo ay dumami, ito ay gumagana.

Magpasya sa iyong sarili kung aling tanda ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang pundasyon, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na ganoon kadali!

6 na mga halimbawa upang sanayin

Pag-parse ng solusyon 6 na mga halimbawa

Kung papansinin natin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Naaalala namin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Tingnan natin ang denominator. Mukha itong isa sa mga multiplier sa numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung ibabalik ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay naging napakadali: dito ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa atin.

Ang mga tuntunin ay mahiwagang baligtad. Ang "phenomenon" na ito ay naaangkop sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo tinatawag namin ang mga natural na numero sa tapat ng mga ito (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, ngunit hindi ito naiiba sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang ilang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, itanong natin sa ating sarili ang tanong: bakit ganito?

Isaalang-alang ang isang degree na may batayan. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. At anong numero ang dapat mong i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mo sa iyong sarili, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya alin dito ang totoo? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itataas din ito sa isang zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, nabibilang ang mga negatibong numero sa mga integer. Upang maunawaan kung ano ang negatibong kapangyarihan, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: i-multiply ang ilang normal na numero sa parehong negatibong kapangyarihan:

Mula dito madali nang ipahayag ang iyong hinahanap:

Ngayon ay palawigin natin ang resultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, gumawa tayo ng isang panuntunan:

Ang isang numero sa negatibong kapangyarihan ay kabaligtaran sa parehong numero sa positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras ang base ay hindi maaaring null:(dahil hindi mo mahati sa).

Ibuod natin:

I. Hindi tinukoy ang pagpapahayag sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa:.

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero ay nasa negatibong kapangyarihan na kabaligtaran sa parehong numero sa isang positibong kapangyarihan:.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, at, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay kakila-kilabot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa para sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo malutas at matututunan mo kung paano madaling makayanan ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang bilog ng mga numero na "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang Fractional degree, isaalang-alang ang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa kapangyarihan:

Ngayon tandaan natin ang tuntunin tungkol sa "Degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ika-ugat.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas ng.

Iyon ay, ang ugat ng ika kapangyarihan ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation:.

Lumalabas na. Malinaw, ang partikular na kaso na ito ay maaaring pahabain:.

Ngayon idagdag namin ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang degree-to-degree na panuntunan:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, hindi mo maaaring kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano naman ang expression?

Ngunit dito lumalabas ang problema.

Ang numero ay maaaring katawanin bilang iba, mga nakanselang fraction, halimbawa, o.

At lumalabas na ito ay umiiral, ngunit wala, ngunit ang mga ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari kang magsulat. Ngunit kung isusulat natin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, at muli ay nakakakuha tayo ng istorbo: (iyon ay, nakakuha tayo ng ganap na naiibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang namin positive radix lang na may fractional exponent.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• - isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga rational exponents ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pag-convert ng mga rooted na expression, halimbawa:

5 mga halimbawa upang sanayin

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

At ngayon ang pinakamahirap na bahagi. Ngayon ay susuriin natin di-makatuwirang antas.

Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga buong numero (iyon ay, ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, buo at makatwirang tagapagpahiwatig, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang uri ng "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...zero-degree na numero- ito ay, tulad nito, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsimulang dumami, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang uri lamang ng "blangko na numero ", ibig sabihin ang numero;

...integer negatibong exponent- parang ilang uri ng "reverse process" ang naganap, ibig sabihin, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham, ang isang degree na may isang kumplikadong tagapagpahiwatig ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang tagapagpahiwatig ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa gayong mga paghihirap, magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan:

Ngayon tingnan ang tagapagpahiwatig. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal, o parehong ordinaryo. Kunin natin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Pagpapasiya ng antas

Ang isang degree ay isang pagpapahayag ng anyo:, kung saan:

• — base ng degree;
• - exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3, ...)

Ang pagtaas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong beses:

Integer degree (0, ± 1, ± 2, ...)

Kung ang exponent ay buong positibo numero:

Paninigas sa zero degree:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas - ito, at sa kabilang banda - anumang numero sa ika-degree - ito.

Kung ang exponent ay buong negatibo numero:

(dahil hindi mo mahati sa).

Muli tungkol sa mga zero: ang expression ay hindi natukoy kung sakali. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Rational grade

• - natural na numero;
• - isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng kapangyarihan

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, nakukuha namin ang sumusunod na produkto:

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay ang antas ng isang numero na may isang exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat magkaroon ng parehong mga batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito ay - para sa produkto ng mga degree lamang!

Hinding hindi ko dapat isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ang pirasong ito tulad nito:

Ito ay lumiliko na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo dapat gawin ito sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat? Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Isang degree na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung paano ito dapat tagapagpahiwatig degree. Ngunit ano ang dapat na maging pundasyon? Sa mga degree na may natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga kapangyarihan ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? A? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus sa pamamagitan ng minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng -.

At iba pa hanggang sa kawalang-hanggan: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Maaari kang magbalangkas ng mga simpleng patakaran:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
4. Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Magpasya sa iyong sarili kung aling tanda ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang pundasyon, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung naaalala mo iyon, nagiging malinaw iyon, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at, hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago suriin ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang mga halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Kung papansinin natin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Naaalala namin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Tingnan natin ang denominator. Mukha itong isa sa mga multiplier sa numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang Rule 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay naging napakadali: dito ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa atin.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay lumalabas ang sumusunod:

Ang mga tuntunin ay mahiwagang baligtad. Ang "phenomenon" na ito ay naaangkop sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang kawalan na hindi natin gusto!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling tuntunin:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi isang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: mayroon lamang multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang antas ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Hindi makatwiran na grado

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa intermediate na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang exponent. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga buong numero (na ay, ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, buo at makatwirang tagapagpahiwatig, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang uri ng "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang uri lamang ng "blangko na numero", katulad ng numero; ang isang degree na may negatibong integer exponent ay parang isang uri ng "reverse process" na naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham, ang isang degree na may isang kumplikadong tagapagpahiwatig ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang tagapagpahiwatig ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa gayong mga paghihirap, magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kapag nakakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin nang buong lakas para maalis ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Mga sagot:

1. Naaalala namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat. Sagot: .
2. Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal na lugar, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa:.
3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng degree:

BUOD NG SEKSYON AT MGA BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo:, kung saan:

Integer degree

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. buo at positibo).

Rational grade

degree, ang exponent nito ay negatibo at fractional na mga numero.

Hindi makatwiran na grado

degree, ang exponent nito ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng kapangyarihan

Mga tampok ng degree.

• Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
• Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
• Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng.

NGAYON ANG IYONG SALITA...

Paano mo gusto ang artikulo? Isulat sa mga komento tulad ng kung gusto mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng degree.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!