Создаем невозможный треугольник. Невозможный треугольник Как делать невозможный треугольник

Главная / Бывшие

Придумано несколько невозможных фигур — лестница, треугольник и х-зубец. Эти фигуры на самом деле в объемном изображении вполне реальны. Но когда художник проектирует объем на бумагу, объекты кажутся невозможными. Треугольник, который еще носит название "трибар", стал замечательным примером того, как невозможное становится возможным, когда прикладываешь усилия.

Все эти фигуры — прекрасные иллюзии. Достижения человеческого гения используют художники, которые рисуют в стиле имп-арт.

Нет ничего невозможного. Так можно сказать про треугольник Пенроуза. Это геометрически невозможная фигура, элементы которой не могут быть соединены. Все-таки невозможный треугольник стал возможным. Шведский живописец Оскар Реутерсвард в 1934 г. представил миру невозможный треугольник из кубиков. О. Реутерсвард считается первооткрывателем этой зрительной иллюзии. В честь этого события на почтовой марке Швеции напечатали позже этот рисунок.

А в 1958 г. математиком Роджером Пенроузом была напечатана публикация в английском журнале о невозможных фигурах. Именно он создал научную модель иллюзии. Роджер Пенроуз был невероятным ученым. Он проводил исследования в области теории относительности, а также увлекательной квантовой теории. Его наградили премией Вольфа совместно с С. Хокингом.

Известно, что художник Мауриц Эшер, находясь под впечатлением этой статьи, нарисовал свою изумительную работу — литографию «Водопад». Но возможно ли сделать треугольник Пенроуза? Как сделать, если это возможно?

Трибар и реальность

Хоть и фигура считается невозможной, сделать треугольник Пенроуза своими руками — легче простого. Его можно сделать из бумаги. Любители оригами просто не могли обойти стороной трибар и нашли все же способ создать и подержать в руках вещь, которая казалась ранее запредельной фантазией ученого.

Однако нас обманывают собственные глаза, когда мы смотрим на проекцию трехмерного объекта из трех перпендикулярных линий. Наблюдателю кажется, что он видит треугольник, хотя на самом деле это не так.

Геометрия поделки

Треугольник трибар, как сказано, на самом деле треугольником не является. Треугольник Пенроуза — иллюзия. Лишь под определенным углом объект выглядит как равносторонний треугольник. Однако объект в натуральном виде - это 3 грани куба. На такой изометрической проекции совпадают на плоскости 2 угла: ближний от зрителя и дальний.

Оптический обман, конечно, быстро раскрывается, лишь только взять этот объект в руки. А еще раскрывает иллюзию тень, так как тень трибара ясно показывает, что углы не совпадают в реальности.

Трибар из бумаги. Схемы

Как сделать треугольник Пенроуза своими руками из бумаги? Есть ли схемы этой модели? На сегодня изобретены 2 разверстки для того, чтоб сложить такой невозможный треугольник. Основы геометрии подсказывают, как именно складывать объект.

Чтобы сложить треугольник Пенроуза своими руками, понадобится выделить всего 10-20 минут. Нужно подготовить клей, ножницы для нескольких разрезов и бумагу, на которой печатается схема.

Из такой заготовки получается самый популярный невозможный треугольник. Поделка-оригами не слишком сложна в изготовлении. Поэтому получится обязательно с первого раза, причем даже у школьника, только начавшего изучать геометрию.

Как видим, получается очень симпатичная поделка. Вторая заготовка выглядит иначе и складывается по-другому, но сам треугольник Пенроуза в итоге выглядит так же.

Этапы создания треугольника Пенроуза из бумаги.

Выберите одну из 2 удобных для вас заготовок, скопируйте файл и распечатайте. Приведем здесь пример и второй модели разверстки, которая выполняется немного проще.

Сама заготовка для оригами «Трибар» уже содержит все необходимые подсказки. По сути, инструкция к схеме не требуется. Достаточно только скачать на плотный бумажный носитель, иначе работать будет неудобно и фигура не получится. Если нельзя сразу распечатать на картоне, то требуется приложить эскиз к новому материалу и по контуру вырезать чертеж. Для удобства можно скрепить скрепками.

Что делать затем? Как сложить треугольник Пенроуза своими руками поэтапно? Нужно следовать такому плану действий:

Наводим обратной стороной ножниц те линии, где нужно согнуть, согласно инструкции. Сгибаем все линии
Там, где нужно, делаем разрезы.
Склеиваем с помощью ПВА те лоскутки, что предназначены для скрепления детали в единое целое.

Готовую модель можно перекрасить в любой цвет, или заранее взять для работы цветной картон. Но даже если объект будет из белой бумаги, все равно, все, кто входит в вашу гостиную впервые, будут непременно обескуражены такой поделкой.

Рисунок треугольника

Как нарисовать треугольник Пенроуза? Не все любят заниматься оригами, но многие обожают рисовать.

Для начала изображается обычный квадрат любого размера. Затем внутри рисуется треугольник, основой которого является нижняя сторона квадрата. В каждый угол вписывается небольшой прямоугольник, все стороны которого стираются; остаются лишь те стороны, что примыкают к треугольнику. Это необходимо, чтобы линии были ровными. Получается треугольник с усеченными углами.

Следующий этап — изображение второго измерения. От левой части верхнего нижнего угла проводится строго прямая линия. Такая же линия проводится, начиная с нижнего левого угла, и немного не доводится до первой линии 2 измерения. Еще одна линия рисуется с правого угла параллельно нижней стороне основной фигуры.

Заключительный этап — внутри второго измерения рисуется третье с помощью еще трех небольших линий. Маленькие линии начинаются от линий второго измерения и завершают образ трехмерного объема.

Другие фигуры Пенроуза

По такой же аналогии можно нарисовать и иные фигуры — квадрат либо шестиугольник. Иллюзия будет соблюдаться. Но все же эти фигуры уже не так потрясают воображение. Такие многоугольники кажутся просто сильно перекрученными. Современная графика позволяет сделать и более интересные версии знаменитого треугольника.

Кроме треугольника, всемирно известна еще и лестница Пенроуза. Идея состоит в обмане зрения, когда кажется, что человек поднимается непрерывно вверх при движении по часовой стрелке, а если движется против часовой стрелки, то вниз.

Непрерывная лестница известна больше по ассоциации с картиной М. Эшера «Восхождение и спуск». Интересно, что, когда человек проходит все 4 пролета этой иллюзорной лестницы, он неизменно оказывается там, откуда начинал.

Известны и другие объекты, вводящие разум человека в заблуждение, такие как невозможный брусок. Или сделанный по тем же законам иллюзии ящик с пересекающимися гранями. Но все эти объекты уже придуманы на основе статьи замечательного ученого - Роджера Пенроуза.

Невозможный треугольник в Перте

Фигуре, названной в честь математика, оказана честь. Ей установлен памятник. В 1999 году в одном из городов Австралии (Перт) установлен большой треугольник Пенроуза из алюминия, который составляет 13 метров в высоту. Рядом с алюминиевым гигантом с удовольствием фотографируются туристы. Но если выбрать для фотографии другой угол зрения, то обман становится очевидным.

руководитель

учитель математики

1.Введение ………………………………………………….……3

2. Историческая справка………………………………………..…4

3. Основная часть………………………………………………….7

4. Доказательство невозможности треугольника Пенроузов…...9

5. Выводы………………………………………………..…………11

6. Литерарура……………………………………………….…… 12

Актуальность: Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс. Многие ученики считают его сложным, неинтересным и ненужным. Но если заглянуть за страницы учебника, почитать дополнительную литературу, математические софизмы и парадоксы, то изменится представление о математике, появится желание изучать больше, чем изучается в школьном курсе математики.

Цель работы:

показать, что существование невозможных фигур расширят кругозор, развивает пространственное воображение, применяется не только математиками, но и художниками.

Задачи :

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Рассмотреть невозможные фигуры, сделать модель невозможного треугольника, доказать, что невозможный треугольник не существует на плоскости.

3. Сделать развертку невозможного треугольника.

4. Рассмотреть примеры использования невозможного треугольника в изобразительном искусстве.

Введение

Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже использование перспективы. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Несколько значительных фигур в изобразительном искусстве проложили дорогу этим индивидуумам.

Вообще-то не существует каких-либо правил или ограничений на использование различных тем в математическом искусстве, таких как, невозможные фигуры, лента Мебиуса, искажение или необычные системы перспективы, а также фракталы.

История невозможных фигур

Невозможные фигуры - определённый вид математических парадоксов, состоящих из регулярных деталей, соединённых в нерегулярном комплексе. Если попытаться сформулировать определение термина "невозможные объекты" он бы, наверно, звучал примерно так - физически возможные фигуры, собранные в невозможном виде. Но смотреть на них гораздо приятнее, составления определений.

Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд, нарисовавший в 1934г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков.

Треугольник Рейтерсвэрда

Независимо от Рейтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958г. В иллюзии использована «ложная перспектива». Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка «двусмысленна», часто встречался в работах китайских художников.

Водопад Эшера

В 1961г. голландец М. Эшер, вдохновленный невозможным треугольником Пенроуза, создает известную литографию «Водопад». Вода на картине течет бесконечно, после водяного колеса она проходит дальше и попадает обратно в исходную точку. По сути, это изображение вечного двигателя, но любая попытка в реальности построить данную конструкцию обречена на неудачу.

Еще один пример невозможных фигур представлен на рисунке «Москва», на котором изображена не совсем обычная схема московского метрополитена. Сначала мы воспринимаем изображение целиком, но прослеживая взглядом отдельные линии, убеждаемся в невозможности их существования.

« Москва», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г.

Рисунок «Три улитки» продолжает традиции второй знаменитой невозможной фигуры - невозможного куба (ящика).

«Три улитки» Невозможный куб

Сочетание различных объектов можно найти и в не совсем серьезном рисунке «IQ» (коэффициент интеллекта). Интересно, что некоторые люди не воспринимают невозможные объекты из-за того, что их сознание не способно отождествлять плоские картины с трехмерными объектами.

Дональд Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры.

Третьей популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом. Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера «Вверх и вниз» Невероятная лестница Пенроуза

Невозможный трезубец

«Чертова вилка»

Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или «чертова вилка». При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта. Если закрыть рукой верхнюю часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину - три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину - два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.

Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то, что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект – плоские грани верхней части трезубца становятся круглыми в нижней части.

Основная часть.

Треугольник – фигура, состоящая из 3-х примыкающих частей, которая с помощью неприемлемых соединений этих частей создаёт иллюзию с математической точки зрения невозможной структуры. По-другому ещё этот трехбалочник называют угольником Пенроузов

Графический принцип, скрывающийся за этой иллюзией, обязан своей формулировкой психологу и его сыну Роджеру, физику. Угольник Пенрузов состоит из 3-х брусков квадратного сечения, расположенных в 3-х взаимно-перпендикулярных направлениях; каждый соединяется со следующим под прямым углом, всё это помещается в трёхмерном пространстве. Вот простой рецепт, как нарисовать эту изометрическую проекцию угольника Пенрузов:

· Обрежьте углы у равностороннего треугольника по линиям, параллельным сторонам;

· Проведите внутри обрезанного треугольника параллели к сторонам;

· Ещё раз обрежьте углы;

· Ещё раз проведите внутри параллели;

· Представьте себе в одном из углов какой-нибудь из двух возможных кубов;

· Продолжите его L - образной “штукой”;

· Прогоните эту конструкцию по кругу.

· Если бы мы выбрали другой куб, то угольник был бы “закручен” в другую сторону.

Развертка невозможного треугольника.

Линия перегиба

Линия разреза

Из каких элементов строится невозможный треугольник? Точнее, из каких элементов он кажется нам (именно кажется!) построенным? В основе конструкции лежит прямоугольный уголок, который получается соединением под прямым углом двух одинаковых прямоугольных брусков. Таких уголков требуется три штуки, а брусков, стало быть, шесть штук. Эти уголки надо определенным образом зрительно «соединить» один с другим так, чтобы они образовали замкнутую цепь. То, что получится, и есть невозможный треугольник.

Первый уголок поместим в горизонтальной плоскости. К нему присоединим второй уголок, направив одно из его ребер вверх. Наконец, к этому второму уголку пристроим третий уголок так, чтобы его ребро было параллельно исходной горизонтальной плоскости. При этом два ребра первого и третьего уголков будут параллельны и направлены в разные стороны.

А теперь попробуем мылено посмотреть на фигуру из разных точек пространства (или сделайте реальный макет из проволоки). Представьте, как она выглядит из одной точки, из другой, из третьей… При изменении точки наблюдения (или – что то же самое – при повороте конструкции в пространстве) будет казаться, что два «концевых» ребра наших уголков перемещаются относительно друг друга. Нетрудно подобрать такое положение, при котором они соединятся (конечно, при этом ближний уголок будет казаться нам толще, чем более длинный).

Но если расстояние между ребрами намного меньше расстояния от уголков до точки, из которой мы рассматриваем нашу конструкцию, то оба ребра будут иметь для нас одинаковую толщину, и возникнет представление о том, что эти два ребра – на самом деле продолжение один другого.

Кстати, если мы одновременно посмотрим на отображение конструкции в зеркале, то там замкнутой цепи не увидим.

А из выбранной точки наблюдения мы собственными глазами видим свершившееся чудо: имеется замкнутая цепь из трех уголков. Только не меняйте точку наблюдения, чтобы эта иллюзия (на самом деле именно иллюзия!) не разрушилась. Теперь можно нарисовать видимый вам объект или поместить в найденную точку объектив фотоаппарата и получить фотографию невозможного объекта.

Первыми этим явлением заинтересовались Пенроузы. Они использовали возможности, которые возникают при отображении трехмерного пространства и трехмерных объектов на двумерную плоскость (то есть при проектировании) и обратили внимание на некоторую неопределенность проектирования – незамкнутая конструкция из трех уголков может восприниматься как замкнутая цепь.

Как уже говорилось, из проволоки можно легко изготовить простейшую модель, в принципе поясняющую наблюдаемый эффект. Возьмите прямолинейный кусок проволоки и разделите его на три равные части. Затем согните крайние части так, чтобы они образовали прямой угол со средней частью, и поверните друг относительно друга на 900 . Теперь поворачивайте эту фигурку и наблюдайте за ней одним глазом. При некотором ее положении будет казаться, что она образована из замкнутого куска проволоки. Включив настольную лампу, можно понаблюдать за тенью, падающей на стол, которая также при определенном расположении фигуры в пространстве превращается в треугольник.

Впрочем, эту особенность проектирования можно наблюдать и в другой ситуации. Если сделать кольцо из проволоки, а затем его развести в разные стороны, то получится один виток цилиндрической спирали. Этот виток, разумеется, разомкнут. Но при проектировании его на плоскость можно получить замкнутую линию.

Мы еще раз убедились, что по проекции на плоскость, по рисунку трехмерная фигура восстанавливается неоднозначно. То есть в проекции заключена некоторая двусмысленность, недосказанность, которые и порождают «невозможный треугольник».

И можно сказать, что «невозможный треугольник» Пенроузов, как многие другие оптические иллюзии, стоит в одном ряду с логическими парадоксами и каламбурами.

Доказательство невозможности треугольника Пенроузов

Анализируя особенности двумерного изображения трехмерных объектов на плоскости, мы поняли, как особенности этого отображения приводят к невозможному треугольнику.

Доказать, что невозможный треугольник не существует, крайне легко, ведь каждый его угол прямой, а их сумма равна 2700 вместо «положенных» 1800.

Более того, даже если мы будем рассматривать невозможный треугольник, склеенный из уголков, меньших 900, то и в этом случае можно доказать, что невозможный треугольник не существует.

Рассмотрим ещё один треугольник, который состоит из нескольких частей. Если части, из которого он состоит, расположить по другому, то получится точно такой же треугольник, но с одним маленьким изъяном. Не будет хватать одного квадрата. Как такое возможно? Или все-таки это иллюзия.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Невозможный треугольник" width="298" height="161">

Использование феномена восприятия

Можно ли как-нибудь усилить эффект невозможности? "Невозможнее" ли одни объекты, чем другие? И тут на помощь приходят особенности человеческого восприятия. Психологами установлено, что глаз начинает осмотр объекта (картины) с левого нижнего угла, затем взгляд скользит направо к центру и опускается в правый нижний угол картины. Такая траектория, возможно, связана с тем, что наши предки при встрече с противником сначала смотрели на самую опасную правую руку, а затем взгляд перемещался влево, на лицо и фигуру. Таким образом, художественное восприятие будет существенно зависеть от того, как строится композиция картины. Эта особенность в Средние века ярко проявилась при изготовлении гобеленов: их рисунок был зеркальным отражением оригинала, и впечатление, которое производят гобелены и оригиналы, различается.

Данное свойство можно с успехом использовать при создании творений с невозможными объектами, увеличивая или уменьшая "степень невозможности". Открывается также перспектива получать интересные композиции с использованием компьютерных технологий либо из нескольких картин, повернутых (может быть, с использованием различного вида симметрий) одна относительно другой, создающих у зрителей различное впечатление от объекта и более глубокое понимание сущности замысла, либо из одной, поворачивающейся (постоянно или рывками) при помощи нехитрого механизма на некоторые углы.

Такое направление можно назвать полигональным (многоугольным). На иллюстрациях представлены изображения, повернутые одно относительно другого. Композиция создавалась следующим образом: рисунок на бумаге, выполненный тушью и карандашом, сканировался, переводился в цифровую форму и обрабатывался в графическом редакторе. Можно отметить закономерность - повернутая картинка обладает большей "степенью невозможности", чем исходная. Это легко объяснимо: художник в процессе работы подсознательно стремится создать "правильное" изображение.

Заключение

Использование различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая все приведенные фигуры, можно обнаружить и другие, не упомянутые в данной статье, геометрические тела или визуальную интерпретацию математических законов.

Математические изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники, невозможные фигуры, ленты Мебиуса, искаженные системы перспективы и фракталы.

Выводы:

1. Итак, рассмотрение невозможных фигур развивают наше пространственное воображение, помогают «выйти» из плоскости в трехмерное пространство, что поможет при изучении стереометрии.

2. Модели невозможных фигур помогают рассматривать проекции на плоскости.

3. Рассмотрение математических софизмов и парадоксов прививают интерес к математике.

При выполнении данной работы

1. Я узнал - как, когда, где и кем была впервые рассмотрены невозможные фигуры, что таких фигур много, эти фигуры постоянно пытаются изображать художники.

2. Я, вместе с папой сделал модель невозможного треугольника, рассмотрел её проекции на плоскость, увидел парадокс данной фигуры.

3. Рассмотрел репродукции художников, на которых изображены данные фигуры

4. Мои исследования заинтересовали одноклассников.

В дальнейшем полученные знания я буду использовать на уроках математики и меня заинтересовали, а существуют ли другие парадоксы?

ЛИТЕРАТУРА

1. Кандидат технических наук Д. РАКОВ История невозможных фигур

2. Рутесвард О. Невозможные фигуры. - М.: Стройиздат, 1990.

3. Сайт В. Алексеева Иллюзии · 7 Comments

4. Дж. Тимоти Анрах. – Удивительные фигуры.
(ООО "Издательство АСТ", ООО "Издательство Астрель", 2002, 168 с.)

5. . – Графика.
(Арт-Родник, 2001)

6. Даглас Хофштадтер. – Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. (Издательский дом "Бахрах-М", 2001)

7. А. Коненко – Тайны невозможных фигур
(Омск:Левша, 199)

Сегодняшнего дня я открываю новую рубрику под названием “Раскрой”, где буду выкладывать чертежи, шаблоны, а также выкройку оптических иллюзий. Сегодня мы с вами будем делать невозможный треугольник с бумаги. Так как, мы не можем создать невозможный треугольник, то будем создавать модель, которую будем рассматривать под определенным углом.

Скачайте и распечатайте
Следуйте инструкцией на картинке

Как правильно рассматривать невозможный треугольник?

Так, как иллюзия основана на неоднозначном рисунке куба в изометрической проекции. То в этой ориентации совпадут углы, ближний к зрителю и дальний угол от зрителя. Это означает, что при прохождении вниз по ближайшему ребру куба, и двух нижних ребер, мы возвращаемся к отправной точке, где на самом деле путь заканчивается в дальнем углу.

Этот невозможный треугольник Пенроуза

В такой сфере живописного искусства, как роспись кожи человека, новейшим трендом сегодня являются фигуры оптических иллюзий, в частности треугольник Пенроуза, или трибар, который еще называют невозможным. Впервые данная форма была открыта, или придумана, шведским живописцем Оскаром Реутерсвардом, который представил ее миру в виде набора из кубиков на рубеже 1935 г. Позднее, уже в 80-х годах нашего века, рисунок трибара был напечатан в Швеции на почтовой марке.

Однако широчайшую известность образ невозможного треугольника Пенроуза, принадлежащего к категории оптических иллюзий, приобрел в 1958 году, после выхода в свет публикации английского математика Роджера Пенроуза о невозможных фигурах, напечатанной в Британском журнале психологии. Вдохновленный этой публикацией, известный живописец из Голландии Мауриц Эшер сотворил в 1961 г. одну из самых популярных своих работ «Водопад».

Обман зрения

Оптические иллюзии в живописи — это зрительный обман восприятия реальной картины, создаваемый художником определенным расположением линий на плоскости. При этом зрителем неверно оценивается величина углов фигуры или длина ее сторон, что служит предметом изучения таких подразделов психологии, как, например, гештальтотерапия. Созданием оптических иллюзий увлекался, помимо Эшера, еще один великий художник — всемирно известный Сальвадор Дали. Яркой иллюстрацией его увлечения является, например, картина «Лебеди, отражающиеся в слонах».

Вышеупомянутый треугольник тоже относится к оптическим иллюзиям, точнее к той их части, которая называется невозможные фигуры. Их именуют так из-за ощущения, которое возникает при взгляде на подобную форму, что ее существование в реальном мире просто невозможно.

Применение иллюзий

Благодаря своей уникальной форме иллюзорные объекты служат предметом пристального внимания не только художников и мастеров тату — треугольник, сделанный своими руками или с помощью профессионалов, может выступать также в качестве логотипа компании. Замечательными примерами такого применения иллюзорных форм считаются: логотип музыкальной психоделической группы, играющей фолк-музыку, Conundum in Deed, представляющий собой невозможный куб, или марка компании-производителя микросхем Digilent Inc, являющаяся классическим треугольным образом Пенроуза.

Сделать свой логотип можно и самому, не обращаясь к профессионалам. Для этого достаточно следовать инструкции, придерживаясь которой можно выполнить как простой рисунок на бумаге или в планшете, так и смастерить объемную фигуру. Ее можно будет поместить в качестве вывески или наружной рекламы своего магазина.

Как сделать самому

Пошаговая инструкция, как нарисовать трибар, используя Adobe Illustrator:

Вначале нужно сделать 3 квадратика с помощью Rectangle tool. Для этого предварительно требуется зайти в меню View и включить Smart Guides.
Теперь нужно выделить все и перейти в меню Object, затем — в Transform и открыть Transform each, где в окне Scale нужно проставить значение Vertical Scale = 86,6% и нажать OK.
Теперь нужно задать каждой грани свой угол поворота, а для этого войти в Window открыть Transform. Там сначала проставить значение для скоса (Shear), а потом для поворота (Rotate): верхняя поверхность куба — Shear +30°, Rotate -30°; правая поверхность — Shear +30°, Rotate +30°; левая поверхность — Shear -30°, Rotate -30°.
Теперь с помощью линий Smart Guides нужно состыковать все части куба между собой: для этого следует зацепить мышкой угол одной из сторон и подтянуть его к другой, совместив их.
На этом этапе нужно повернуть куб на 30°: для этого зайти в Object, выбрать Transform и Rotate, там проставить значение угла 30° и нажать OK.
Поскольку для получения трибара понадобится 6 кубиков, следует выделить куб, нажать Alt и Shift и потянуть мышкой выделенный объект в сторону, растягивая его в горизонтальном направлении. Не снимая выделения 6 раз нажать CMD + D. Получили 6 кубов.
Оставив выделение на последнем кубе, нажать Enter и в окне Move изменить значение угла на 240°, после чего нажать Copy. Далее снова нажимать CMD + D до получения 6 копий.
Теперь все повторить: опять нажать Enter, выделить последний кубик, только угол назначить 120° и копий сделать всего 5.
С помощью Selection Tool нужно выделить верхнюю поверхность фигуры (можно ее перекрасить, чтобы было нагляднее), открыть меню Object — Arrange — Send to back. Теперь выбрать окрашенную поверхность верхнего куба, зайти в Object — Arrange — Bring to Front.

Иллюзия Пенроуза готова. Ее можно разместить на своей страничке в соцсетях или блоге или использовать для бизнеса.

Невозможное все-таки возможно. И яркое подтверждение тому - невозможный треугольник Пенроуза. Открытый еще в прошлом веке, он до настоящего время часто встречается в научной литературе. И как бы это удивительно ни звучало, но его можно изготовить даже самостоятельно. И сделать это совсем несложно. Многие любители рисовать или собирать оригами уже давно смогли это сделать.

Значение треугольника Пенроуза

Существует несколько названий данной фигуры. Одни называют ее невозможным треугольником, другие - просто трибаром. Но чаще всего можно встретить определение именно «треугольник Пенроуза».

Понимают под данными определениями одну из основных невозможных фигур. Если судить по названию, то получить подобную фигуру в реальности невозможно. Но на практике было доказано, что сделать это все-таки можно. Вот только форму будет принимать, если смотреть на нее с определенной точки под нужным углом. Со всех остальных сторон фигура вполне реальная. Она представляет собой три ребра куба. И изготовить подобную конструкцию легко.

История открытия

Треугольник Пенроуза был открыт в далеком 1934 году художником из Швеции Оскаром Реутерсвардом. Фигура была представлена в виде собранных вместе кубиков. В дальнейшем художника стали называть «отцом невозможных фигур».

Возможно, рисунок Реутерсварда так и остался бы малоизвестным. Но в 1954 году шведский математик Роджер Пенроуз написал статью о невозможных фигурах. Это стало вторым рождением треугольника. Правда, ученый представил его в более привычном виде. Он использовал не кубики, а балки. Три балки соединялись между собой под углом в 90 градусов. Отличие также было в том, что Реутерсвард использовал параллельную перспективу во время рисования. А Пенроуз применил перспективу линейного характера, что придало рисунку еще больше невозможности. Такой треугольник был опубликован в 1958 году в одном из британских журналов о психологии.

В 1961 году художник Мауриц Эшер (Голландия) создал одну из своих наиболее популярных литографий «Водопад». Создана она была под впечатлением, которое было вызвано статьей о невозможных фигурах.

В восьмидесятых годах прошлого столетия трибар и другие невозможные фигуры изображались на государственных почтовых марках Швеции. Продолжалось это на протяжении нескольких лет.

В конце прошлого века (а точнее в 1999 году) в Австралии была создана скульптура из алюминия, изображавшая невозможный треугольник Пенроуза. Она достигала в высоту 13 метров. Подобные скульптуры, только меньшие по размерам, встречаются и в других странах.

Невозможное в реальности

Как можно было уже догадаться, треугольник Пенроуза на самом деле не является треугольником в обычном понимании. Он представляет собой три грани куба. Но если смотреть с определенного угла, получается иллюзия треугольника за счет того, что на плоскости полностью совпадают 2 угла. Зрительно совмещается ближний от смотрящего и дальний углы.

Если быть внимательным, то можно догадаться, что трибар является не чем иным, как иллюзией. Реальный вид фигуры может выдать тень от нее. По ней видно, что на самом деле углы не соединяются. Ну и, конечно же, все становится понятно, если фигуру взять в руки.

Изготовление фигуры своими руками

Треугольник Пенроуза можно собрать самостоятельно. К примеру, из бумаги или картона. И помогут в этом схемы. Их нужно всего лишь распечатать и склеить. В Интернете представлено две схемы. Одна из них немного легче, другая - посложнее, но более популярная. Обе представлены на рисунках.

Треугольник Пенроуза станет интересным изделием, которое обязательно понравится гостям. Он точно не останется незамеченным. Первым этапом для его создания является подготовка схемы. Она переносится на бумагу (картон) с помощью принтера. А далее все еще проще. Ее нужно просто вырезать по периметру. На схеме уже имеются все необходимые линии. Удобнее будет работать с более плотной бумагой. Если схема распечатана на тонкой бумаге, а хочется чего-то поплотнее, заготовка просто прикладывается на выбранный материал и вырезается по контуру. Чтобы схема не сдвигалась, ее можно прикрепить скрепками.

Далее нужно определить те линии, по которым заготовка будет сгибаться. Как правило, на схеме она представлена Сгибаем деталь. Далее определяем места, которые подлежат склеиванию. Они промазываются клеем ПВА. Деталь соединяется в единую фигуру.

Деталь можно раскрасить. А можно изначально использовать цветной картон.

Рисуем невозможную фигуру

Треугольник Пенроуза можно также нарисовать. Для начала на листе рисуется простой квадрат. Размер его не имеет значения. С основанием на нижнюю сторону квадрата, рисуется треугольник. В его углах внутри рисуются небольшие прямоугольники. Их стороны нужно будет стереть, оставив лишь те, что являются общими с треугольником. В результате должен получиться треугольник с усеченными углами.

С левой части верхнего нижнего угла проводится прямая линия. Такая же линия, но немного короче, рисуется из левого нижнего угла. Параллельно основанию треугольника проводится линия, выходящая из правого угла. Получается второе измерение.

По принципу второго рисуется третье измерение. Только в данном случае все прямые основываются на углы фигуры не первого, а второго измерения.