كيفية إيجاد قاسم التقدم الهندسي. المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسيةلا تقل أهمية في الرياضيات عن الحساب. التقدم الهندسي هو سلسلة من الأرقام b1 ، b2 ، ... ، b [n] ، كل حد تالي يتم الحصول عليه بضرب السابق في رقم ثابت. يسمى هذا الرقم ، الذي يميز أيضًا معدل زيادة أو نقصان التقدم مقام التقدم الهندسيوالدلالة

من أجل التخصيص الكامل للتقدم الهندسي ، بالإضافة إلى المقام ، من الضروري معرفة أو تحديد مصطلحه الأول. للحصول على قيمة موجبة للمقام ، يكون التقدم عبارة عن تسلسل رتيب ، وإذا كان هذا التسلسل من الأرقام يتناقص بشكل رتيب ويتزايد بشكل رتيب. لا يتم النظر في الحالة التي يكون فيها المقام مساويًا لواحد من الناحية العملية ، نظرًا لأن لدينا سلسلة من الأرقام المتطابقة ، وجمعها ليس ذا فائدة عملية.

مصطلح عام للتقدم الهندسيمحسوبة بالصيغة

مجموع أول n من الحدود للتقدم الهندسيتحددها الصيغة

ضع في اعتبارك حلول للمشكلات الكلاسيكية في التقدم الهندسي. لنبدأ بأبسطها للفهم.

مثال 1. الحد الأول للتقدم الهندسي هو 27 ، ومقامه 1/3. أوجد أول ستة حدود للتقدم الهندسي.

الحل: لنكتب حالة المشكلة بالصيغة

بالنسبة للحسابات ، نستخدم صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي

على أساسه ، نجد الأعضاء المجهولين في التقدم

كما ترى ، فإن حساب شروط التقدم الهندسي ليس بالأمر الصعب. سيبدو التقدم نفسه هكذا

مثال 2. تم إعطاء المصطلحات الثلاثة الأولى للتقدم الهندسي: 6؛ -12 ؛ 24. أوجد المقام والحد السابع.

الحل: احسب مقام التقدم الجيوميتري بناءً على تعريفه

حصلنا على تقدم هندسي متناوب ، مقامه هو -2. يتم حساب الحد السابع بواسطة الصيغة

هذا قد حل المشكلة.

مثال 3. يتم إعطاء تقدم هندسي من قبل اثنين من أعضائها ... أوجد الحد العاشر في التقدم.

حل:

دعنا نكتب القيم المعطاة من خلال الصيغ

وفقًا للقواعد ، سيكون من الضروري إيجاد المقام ، ثم البحث عن القيمة المرغوبة ، ولكن بالنسبة للحد العاشر لدينا

يمكن الحصول على نفس الصيغة بناءً على معالجات بسيطة مع بيانات الإدخال. نقسم الحد السادس من المتسلسلة على آخر ، ونتيجة لذلك نحصل على

إذا تم ضرب القيمة الناتجة في الحد السادس ، نحصل على العاشرة

وبالتالي ، لمثل هذه المهام ، باستخدام تحويلات بسيطة بطريقة سريعة ، يمكنك العثور على الحل الصحيح.

مثال 4. يتم إعطاء التقدم الهندسي بواسطة الصيغ المتكررة

أوجد مقام التقدم الهندسي ومجموع أول ستة حدود.

حل:

دعونا نكتب البيانات المعطاة في شكل نظام معادلات

عبر عن المقام بقسمة المعادلة الثانية على الأولى

أوجد الحد الأول من التقدم من المعادلة الأولى

دعونا نحسب الحدود الخمسة التالية لإيجاد مجموع التقدم الهندسي

لنفكر في بعض السلاسل.

7 28 112 448 1792...

من الواضح تمامًا أن قيمة أي عنصر من عناصره أكبر أربع مرات من القيمة السابقة. هذا يعني أن هذه السلسلة هي تقدم.

التقدم الهندسي هو سلسلة لا نهائية من الأرقام ، السمة الرئيسية لها هي الحصول على الرقم التالي من الرقم السابق بضربه في رقم معين. يتم التعبير عن هذا بالصيغة التالية.

a z +1 = a z q ، حيث z هو رقم العنصر المحدد.

وفقًا لذلك ، z ∈ N.

الفترة التي يتم فيها دراسة التقدم الهندسي في المدرسة هي الصف 9. ستساعدك الأمثلة على فهم المفهوم:

0.25 0.125 0.0625...

بناءً على هذه الصيغة ، يمكن العثور على مقام التقدم على النحو التالي:

لا يمكن أن تساوي q ولا b z صفرًا. أيضًا ، يجب ألا يكون كل عنصر من عناصر التقدم صفرًا.

وفقًا لذلك ، لمعرفة الرقم التالي في السلسلة ، عليك ضرب الأخير في q.

لتعيين هذا التقدم ، يجب عليك تحديد العنصر الأول والمقام. بعد ذلك ، من الممكن العثور على أي من الأعضاء اللاحقين ومجموعهم.

أصناف

اعتمادًا على q و a 1 ، ينقسم هذا التقدم إلى عدة أنواع:

• إذا كان كل من a 1 و q أكبر من واحد ، فإن هذا التسلسل هو تقدم هندسي يتزايد مع كل عنصر تالٍ. ويرد مثال على ذلك أدناه.

مثال: أ 1 = 3 ، ف = 2 - كلا المعلمتين أكبر من واحد.

ثم يمكن كتابة التسلسل العددي على النحو التالي:

3 6 12 24 48 ...

• إذا كان | q | أقل من واحد ، أي أن الضرب بواسطته يعادل القسمة ، فإن التقدم في ظروف مماثلة هو تقدم هندسي متناقص. ويرد مثال على ذلك أدناه.

مثال: a 1 = 6 ، q = 1/3 - a 1 أكثر من واحد ، q أصغر.

ثم يمكن كتابة التسلسل العددي على النحو التالي:

6 2 2/3 ... - أي عنصر أكبر بثلاث مرات من العنصر الذي يليه.

• علامة بالتناوب. إذا كان q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

مثال: أ 1 = -3 ، ف = -2 - كلا المعلمتين أقل من صفر.

ثم يمكن كتابة التسلسل العددي على النحو التالي:

3, 6, -12, 24,...

معادلة

هناك العديد من الصيغ للاستخدام المريح للتعاقب الهندسي:

• صيغة العضو z-th. يسمح لك بحساب العنصر تحت رقم معين دون حساب الأرقام السابقة.

مثال:ف = 3, أ 1 = 4. مطلوب لحساب العنصر الرابع من التقدم.

حل:أ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• مجموع العناصر الأولى التي رقمها ض... تحسب مجموع كل العناصر في تسلسل حتىأ ضشاملة.

منذ (1-ف) في المقام ثم (1 - ف)≠ 0 ، إذن q لا يساوي 1.

ملاحظة: إذا كانت q = 1 ، فسيكون التقدم عبارة عن سلسلة من الأرقام المتكررة بلا حدود.

مجموع التقدم الهندسي ، أمثلة:أ 1 = 2, ف= -2. احسب S 5.

حل:س 5 = 22 - الحساب بالصيغة.

• المبلغ إذا كان |ف| < 1 и если z стремится к бесконечности.

مثال:أ 1 = 2 , ف= 0.5. أوجد المبلغ.

حل:S ض = 2 · = 4

S ض = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

بعض الخصائص:

• خاصية مميزة. إذا كان الشرط التالي أداؤها لأيض، فإن سلسلة الأرقام المعطاة هي تسلسل هندسي:

أ ض 2 = أ ض -1 · أض + 1

• أيضًا ، يمكن العثور على مربع أي رقم من التقدم الهندسي عن طريق إضافة مربعات أي رقمين آخرين في صف معين ، إذا كانا على مسافة متساوية من هذا العنصر.

أ ض 2 = أ ض - ر 2 + أ ض + ر 2 ، أينر- المسافة بين هذه الأرقام.

• العناصرتختلف في فبمجرد.
• تشكل لوغاريتمات عناصر التقدم أيضًا تقدمًا ، ولكن بالفعل حسابيًا ، أي أن كل منها أكبر من سابقتها برقم معين.

أمثلة لبعض المشاكل الكلاسيكية

لفهم ماهية التقدم الهندسي بشكل أفضل ، يمكن أن تساعد الأمثلة مع حل للصف 9.

• شروط:أ 1 = 3, أ 3 = 48. بحثف.

الحل: كل عنصر لاحق أكبر من العنصر السابق فيف بمجرد.من الضروري التعبير عن بعض العناصر من خلال البعض الآخر باستخدام المقام.

بالتالي،أ 3 = ف 2 · أ 1

عند الاستبدالف= 4

• شروط:أ 2 = 6, أ 3 = 12. احسب S 6.

حل:للقيام بذلك ، يكفي إيجاد العنصر الأول q واستبداله في الصيغة.

أ 3 = ف· أ 2 ، بالتالي،ف= 2

أ 2 = ف أ 1 ،وبالتالي أ 1 = 3

ق 6 = 189

• · أ 1 = 10, ف= -2. ابحث عن العنصر الرابع للتقدم.

الحل: يكفي لهذا التعبير عن العنصر الرابع من خلال الأول ومن خلال المقام.

أ 4 = ف 3· أ 1 = -80

مثال تطبيقى:

• قام عميل البنك بإيداع مبلغ 10000 روبل ، وفقًا لشروطه ، سيضيف العميل كل عام 6 ٪ من أصل المبلغ إلى المبلغ الأساسي. كم سيحصل الحساب في 4 سنوات؟

الحل: المبلغ الأولي 10 آلاف روبل. هذا يعني أنه بعد عام من الاستثمار ، سيحصل الحساب على مبلغ يساوي 10،000 + 10،000 · 0.06 = 10000 1.06

وفقًا لذلك ، سيتم التعبير عن المبلغ على الحساب في سنة أخرى على النحو التالي:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

أي كل عام يزيد المبلغ بمقدار 1.06 مرة. هذا يعني أنه من أجل العثور على مبلغ الأموال في الحساب في 4 سنوات ، يكفي إيجاد العنصر الرابع من التقدم ، والذي يُعطى بواسطة العنصر الأول الذي يساوي 10 آلاف والمقام يساوي 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

أمثلة على المهام لحساب المجموع:

يستخدم التقدم الهندسي في مشاكل مختلفة. يمكن إعطاء مثال لإيجاد المجموع على النحو التالي:

أ 1 = 4, ف= 2 احسبق 5.

الحل: جميع البيانات اللازمة للحساب معروفة ، ما عليك سوى استبدالها في الصيغة.

س 5 = 124

• أ 2 = 6, أ 3 = 18. احسب مجموع العناصر الستة الأولى.

حل:

في geom. التقدم ، كل عنصر تالي q مرة أكبر من العنصر السابق ، أي لحساب المجموع ، تحتاج إلى معرفة العنصرأ 1 والمقامف.

أ 2 · ف = أ 3

ف = 3

وبالمثل ، عليك أن تجدأ 1 معرفةأ 2 وف.

أ 1 · ف = أ 2

أ 1 =2

س 6 = 728.

إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ، ثم يقولون أنه معطى التسلسل العددي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .

لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة للحجة الطبيعية.

عدد أ 1 وتسمى أول عضو في التسلسل ، عدد أ 2 — الفصل الثاني ، عدد أ 3 — الثالث إلخ. عدد أ وتسمى الحد التاسع من التسلسل والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين أ و أ +1 عضو التسلسل أ +1 وتسمى تالي (من اتجاه أ )، أ أ — السابق (من اتجاه أ +1 ).

لتحديد تسلسل ، تحتاج إلى تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على أحد أعضاء التسلسل بأي رقم.

غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي صيغة تسمح لك بتحديد عضو في تسلسل برقمه.

على سبيل المثال،

يمكن تحديد سلسلة من الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

أ= 2ن - 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - بالصيغة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل صيغة متكررة, أي ، الصيغة التي تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 1 ، أ أ +1 = أ + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

لو أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

أ 2 = 1,

أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون التسلسلات أخير و بلا نهاية .

التسلسل يسمى النهائي إذا كان لديه عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

على سبيل المثال،

تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

أخير.

سلسلة من الأعداد الأولية:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

التسلسل يسمى في ازدياد إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.

التسلسل يسمى إنقاص، تقليل إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أقل من السابق.

على سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . - زيادة التسلسل

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . - تسلسل متناقص. ◄

يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الرتيبة ، على وجه الخصوص ، هي تسلسلات تصاعدية وتنازلية.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

أ +1 = أ + د,

أين د - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين في تقدم حسابي معين دائمًا ما يكون ثابتًا:

أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.

عدد د وتسمى فرق التقدم الحسابي.

لضبط التقدم الحسابي ، يكفي الإشارة إلى حده الأول والفرق.

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على الأعضاء الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

أ 1 =3,

أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والفرق د لها ن

أ = أ 1 + (ن- 1)د.

على سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،

أ= أ 1 + (ن- 1)د،

أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التدرجات الحسابية إذا وفقط إذا كان أحدها مساويًا للمتوسط ​​الحسابي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.

دعنا نستخدم البيان أعلاه. نملك:

أ = 2ن- 7,

أ ن -1 = 2(ن - 1) - 7 = 2ن- 9,

أ ن + 1 = 2(ن + 1) - 7 = 2ن- 5.

بالتالي،

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على المصطلح الثالث للتقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك

أ = أ ك + (ن- ك)د.

على سبيل المثال،

ل أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

أ 5 = أ 1 + 4د,

أ 5 = أ 2 + 3د,

أ 5 = أ 3 + 2د,

أ 5 = أ 4 + د. ◄

أ = أ ن ك + دينار كويتي,

أ = أ ن + ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثانية ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:

أ م + أ ن = أ ك + أ ل,

م + ن = ك + ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ؛

3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. ... ...+ أ,

الأول ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:

ومن ثم ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك أنه إذا كان من الضروري جمع الشروط

أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم القيم أ 1 , أ, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاث من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• لو د > 0 ثم يتزايد.
• لو د < 0 ثم يتناقص.
• لو د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · ف,

أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن نسبة العضو التالي في تقدم هندسي معين إلى العنصر السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.

عدد ف وتسمى مقام التقدم الهندسي.

لضبط التقدم الهندسي ، يكفي الإشارة إلى حده الأول ومقامه.

على سبيل المثال،

لو ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على الأعضاء الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والمقام ف لها ن يمكن العثور على المصطلح من خلال الصيغة:

ب ن = ب 1 · ف ن -1 .

على سبيل المثال،

أوجد الحد السابع من التقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, ف = 2,

ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 = 64. ◄

ب ن -1 = ب 1 · ف ن -2 ,

ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · ف ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي الوسط الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.

نظرًا لأن العبارة العكسية صحيحة أيضًا ، فإن العبارة التالية صحيحة:

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدهما مساويًا لمنتج الرقمين الآخرين ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط ​​الهندسي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم أسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. نملك:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

بالتالي،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

الذي يثبت البيان المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على المصطلح الثالث للتقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ولكن أيضًا أي فترة سابقة ب ك ، وهو ما يكفي لاستخدام الصيغة

ب ن = ب ك · ف ن - ك.

على سبيل المثال،

ل ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · ف 4 ,

ب 5 = ب 2 · ف 3,

ب 5 = ب 3 · ف 2,

ب 5 = ب 4 · ف. ◄

ب ن = ب ك · ف ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · ف ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

الأول ن أعضاء متتالية هندسية مع المقام ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:

وعندما ف = 1 - حسب الصيغة

S n= ملحوظة 1

لاحظ أنه إذا كنت بحاجة إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تقدم هندسي ، ثم القيم ب 1 , ب ن, ف, نو S n مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف الأتى خصائص الرتابة :

• التقدم تصاعدي إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و ف> 1;

ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;

ب 1 < 0 و ف> 1.

لو ف< 0 ، فإن التقدم الهندسي يكون بالتناوب: أعضائه الفرديين لهم نفس علامة الحد الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

عمل الأول ن يمكن حساب أعضاء التقدم الهندسي بالصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

على سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود يسمى التقدم الهندسي اللانهائي ، ومعامل قاسمه أقل 1 ، هذا هو

|ف| < 1 .

لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً متناقصًا. هذا يناسب القضية

1 < ف< 0 .

مع هذا المقام ، فإن التسلسل يتناوب. على سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي هو الرقم الذي يصل إليه مجموع الأول ن أعضاء التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن ... هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

على سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية

يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنلق نظرة على مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، من ثم

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

على سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - التدرج الهندسي مع المقام 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - التدرج الهندسي مع المقام ف ، من ثم

تسجيل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .

على سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . - التدرج الهندسي مع المقام 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄

درس وعرض حول موضوع: "التسلسل الرقمي. التقدم الهندسي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وآرائكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في متجر متكامل على الإنترنت للصف التاسع
الدرجات والجذور الوظائف والرسوم البيانية

يا رفاق ، اليوم سنتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.

المتوالية الهندسية

مثال. 1،2،4،8،16 ... التقدم الهندسي ، حيث يكون المصطلح الأول مساوياً لواحد ، و $ q = 2 $.

مثال. 8،8،8،8 ... تسلسل هندسي ، فيه الحد الأول يساوي ثمانية ،
و $ q = 1 دولار.

مثال. 3 ، -3.3 ، -3.3 ... تسلسل هندسي ، فيه الحد الأول يساوي ثلاثة ،
و $ q = -1 دولار.

التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $ b_ (1)> 0 $ ، $ q> 1 $ ،
ثم التسلسل تصاعدي.
إذا كان $ b_ (1)> 0 $ ، 0 $ يُشار إلى التسلسل عادةً على النحو التالي: $ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n) ، ... $.

كما هو الحال في التقدم الحسابي ، إذا كان عدد العناصر محدودًا في التقدم الهندسي ، فإن التقدم يسمى التقدم الهندسي المحدود.

$ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n-2) ، b_ (n-1) ، b_ (n) $.
لاحظ ، إذا كان التسلسل تقدمًا هندسيًا ، فإن تسلسل مربعات الأعضاء هو أيضًا تقدم هندسي. بالنسبة للتسلسل الثاني ، الحد الأول هو $ b_ (1) ^ 2 $ ، والمقام هو $ q ^ 2 $.

صيغة المصطلح n من التقدم الهندسي

دعنا نعود إلى الأمثلة لدينا.

مثال. 1،2،4،8،16 ... التدرج الهندسي ، الذي فيه المصطلح الأول يساوي واحدًا ،
و $ q = 2 دولار.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.

مثال. 16،8،4،2،1،1 / 2 ... تقدم هندسي يكون فيه المصطلح الأول ستة عشر و $ q = \ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

مثال. 8،8،8،8 ... تقدم هندسي يكون فيه الحد الأول ثمانية و $ q = 1 $.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 دولارات.

مثال. 3، -3.3، -3.3 ... تقدم هندسي يكون فيه الحد الأول ثلاثة و $ q = -1 $.
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

مثال. يتم منحك تقدمًا هندسيًا $ b_ (1) ، b_ (2) ، ... ، b_ (n) ، ... $.
أ) من المعروف أن $ b_ (1) = 6 ، q = 3 $. ابحث عن $ b_ (5) $.
ب) من المعروف أن $ b_ (1) = 6، q = 2، b_ (n) = 768 $. تجد n.
ج) من المعروف أن $ q = -2، b_ (6) = 96 $. ابحث عن $ b_ (1) $.
د) من المعروف أن $ b_ (1) = - 2، b_ (12) = 4096 $. ابحث عن q.

حل.
أ) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 دولار.
ب) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 دولار.
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $ منذ $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7 ؛ ن = 8 دولارات.
ج) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 دولار.
د) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 دولار.

مثال. الفرق بين الحد السابع والخامس للتقدم الهندسي هو 192 ، ومجموع الحد الخامس والسادس من التقدم هو 192. أوجد الحد العاشر من هذا التقدم.

حل.
نعلم أن: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ و $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $.
نعلم أيضًا: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $ ؛ $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $ ؛ $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
ثم:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 دولار.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 دولار.
لدينا نظام معادلات:
$ \ start (الحالات) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ end (الحالات) $.
معادلة معادلاتنا ، نحصل على:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 دولار.
حصلنا على حلين q: $ q_ (1) = 2، q_ (2) = - 1 $.
عوض بالتسلسل في المعادلة الثانية:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 دولارات.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $ b_ (1) = 4 ، q = 2 $.
أوجد الحد العاشر: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.

مجموع التقدم الهندسي المحدود

لنفترض تقدمًا هندسيًا محدودًا: $ b_ (1)، b_ (2)، ...، b_ (n-1)، b_ (n) $.
دعونا نقدم تدوين مجموع أعضائها: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
في الحالة التي يكون فيها $ q = 1 $. جميع أعضاء التقدم الهندسي متساوون مع المصطلح الأول ، ومن ثم فمن الواضح أن $ S_ (n) = n * b_ (1) $.
ضع في اعتبارك الآن الحالة $ q ≠ 1 $.
اضرب المجموع أعلاه في q.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
ملحوظة:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.

حل.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 دولار.

مثال.
أوجد الحد الخامس للتقدم الهندسي المعروف: $ b_ (1) = - 3 $؛ $ b_ (n) = - 3072 $ ؛ $ S_ (ن) = - 4095 دولار.

حل.
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 دولار.
$ q ^ (n-1) = 1024 دولار.
$ q ^ (n) = 1024q دولار.

$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 دولار.
-4095 دولارًا (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) دولار.
-4095 دولار (q-1) = - 3 * (1024q-1) دولار.
1365 ك -1365 دولارًا = 1024 ك -1 دولار.
341Q = 1364 دولارًا أمريكيًا.
q دولار = 4 دولارات.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 دولار.

خاصية مميزة للتقدم الهندسي

التسلسل العددي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل من أعضائه مساويًا لمنتج عضوين متجاورين من التقدم. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود ، لا يتم استيفاء هذا الشرط للأعضاء الأول والأخير.

يساوي مقياس أي عضو في التقدم الهندسي المتوسط ​​الهندسي لعضوين متجاورين.

حل.
دعنا نستخدم الخاصية المميزة:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
4 س ^ 2 + 8 س + 4 = 3 س ^ 2 + 3 س + 6 س + 6 دولار.
$ x ^ 2-x-2 = 0 دولار.
$ x_ (1) = 2 $ و $ x_ (2) = - 1 $.
الاستعاضة بالتسلسل عن التعبير الأصلي ، حلولنا:
مع $ x = 2 $ ، حصلنا على التسلسل: 4 ؛ 6 ؛ 9 - تقدم هندسي ، حيث $ q = 1.5 $.
مع $ x = -1 $ ، حصلنا على التسلسل: 1 ؛ 0 ؛ 0.
الإجابة: $ x = 2. $

مهام الحل المستقل

يعد التقدم الهندسي ، جنبًا إلى جنب مع الحساب ، سلسلة أرقام مهمة ، يتم دراستها في مقرر الجبر المدرسي في الصف التاسع. في هذه المقالة ، سننظر في مقام التقدم الهندسي وكيف تؤثر قيمته على خصائصه.

تعريف التقدم الهندسي

بادئ ذي بدء ، لنقدم تعريفًا لسلسلة الأرقام هذه. التقدم الهندسي عبارة عن سلسلة من الأعداد المنطقية التي تتكون عن طريق الضرب المتسلسل لعنصرها الأول في رقم ثابت يسمى المقام.

على سبيل المثال ، الأرقام في الصف 3 ، 6 ، 12 ، 24 ، ... هي تسلسل هندسي ، لأنك إذا ضربت 3 (العنصر الأول) في 2 ، فستحصل على 6. إذا ضربت 6 في 2 ، فستحصل 12 ، وهلم جرا.

عادةً ما يُشار إلى أعضاء التسلسل قيد النظر بالرمز ai ، حيث يمثل i عددًا صحيحًا يشير إلى رقم عنصر في الصف.

يمكن كتابة التعريف أعلاه للتقدم بلغة الرياضيات على النحو التالي: a = bn-1 * a1 ، حيث b هو المقام. من السهل التحقق من هذه الصيغة: إذا كان n = 1 ، إذن b1-1 = 1 ، ونحصل على a1 = a1. إذا كان n = 2 ، فعندئذٍ = b * a1 ، ونتوصل مرة أخرى إلى تعريف سلسلة الأرقام المدروسة. يمكن الاستمرار في التفكير المماثل لقيم n الكبيرة.

مقام التقدم الهندسي

يحدد الرقم b تمامًا الحرف الذي ستتضمنه سلسلة الأرقام بأكملها. يمكن أن يكون المقام b موجبًا أو سالبًا أو أكبر من واحد أو أقل. كل هذه الخيارات تؤدي إلى تسلسلات مختلفة:

• ب> 1. هناك سلسلة متزايدة من الأرقام المنطقية. على سبيل المثال ، 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، ... إذا كان العنصر a1 سالبًا ، فإن التسلسل الكامل سيزداد فقط في القيمة المطلقة ، ولكنه ينخفض ​​مع مراعاة علامة الأرقام.
• ب = 1. غالبًا لا تسمى مثل هذه الحالة تقدمًا ، نظرًا لوجود سلسلة عادية من الأرقام المنطقية المتطابقة. على سبيل المثال ، -4 ، -4 ، -4.

صيغة للمبلغ

قبل الشروع في النظر في مشاكل محددة باستخدام مقام النوع المدروس من التقدم ، يجب إعطاء صيغة مهمة لمجموع عناصرها الأولى n. الصيغة هي: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

يمكنك الحصول على هذا التعبير بنفسك إذا كنت تفكر في تسلسل متكرر لأعضاء التقدم. لاحظ أيضًا أنه في الصيغة أعلاه ، يكفي معرفة العنصر الأول والمقام فقط للعثور على مجموع عدد تعسفي من المصطلحات.

التسلسل المتناقص بلا حدود

أعطي شرحا لما هو عليه. الآن ، بعد معرفة صيغة Sn ، قم بتطبيقها على سلسلة الأرقام هذه. نظرًا لأن أي عدد لا يتجاوز معامله 1 ، عند رفعه إلى درجات كبيرة يميل إلى الصفر ، أي ب∞ => 0 ، إذا -1

نظرًا لأن الفرق (1 - ب) سيكون دائمًا موجبًا ، بغض النظر عن قيمة المقام ، فإن علامة مجموع التدرج اللانهائي المتناقص لـ S∞ الهندسي يتم تحديدها بشكل فريد من خلال علامة العنصر الأول لها a1.

الآن سننظر في العديد من المهام ، حيث سنعرض كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة على أرقام محددة.

المشكلة رقم 1. حساب العناصر المجهولة للتقدم و المجموع

لقد أعطيت تقدمًا هندسيًا ، ومقام التقدم هو 2 ، والعنصر الأول هو 3. ما الذي سيساوي حده السابع والعاشر ، وما مجموع عناصره السبعة الأولية؟

تتكون حالة المشكلة بكل بساطة وتفترض مسبقًا الاستخدام المباشر للصيغ المذكورة أعلاه. لذلك ، لحساب العنصر بالرقم n ، نستخدم التعبير an = bn-1 * a1. بالنسبة للعنصر السابع ، لدينا: a7 = b6 * a1 ، مع استبدال البيانات المعروفة ، نحصل على: a7 = 26 * 3 = 192. ونفعل الشيء نفسه بالنسبة للحد العاشر: a10 = 29 * 3 = 1536.

دعنا نستخدم الصيغة المعروفة للمجموع ونحدد هذه القيمة للعناصر السبعة الأولى من السلسلة. لدينا: S7 = (27-1) * 3 / (2-1) = 381.

المشكلة رقم 2. تحديد مجموع العناصر التعسفية للتقدم

لنفترض أن -2 هو مقام التقدم الأسي bn-1 * 4 ، حيث n عدد صحيح. من الضروري تحديد المبلغ من العنصر الخامس إلى العنصر العاشر من هذه السلسلة ، ضمناً.

لا يمكن حل المشكلة المطروحة مباشرة باستخدام الصيغ المعروفة. يمكن حلها بطريقتين مختلفتين. من أجل الاكتمال ، نقدم كلاهما.

الطريقة الأولى: فكرتها بسيطة: من الضروري حساب الجمعين المتناظرين للمصطلحين الأول ، ثم طرح الآخر من أحدهما. نحسب المبلغ الأصغر: S10 = ((-2) 10-1) * 4 / (-2-1) = -1364. الآن نحسب المبلغ الكبير: S4 = ((-2) 4-1) * 4 / (-2-1) = -20. لاحظ أنه في التعبير الأخير ، تم تلخيص 4 مصطلحات فقط ، حيث تم تضمين المصطلح الخامس بالفعل في المجموع الذي يجب حسابه وفقًا لحالة المشكلة. أخيرًا ، خذ الفرق: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

الطريقة الثانية: قبل استبدال الأرقام والحساب ، يمكنك الحصول على صيغة للمجموع بين العضوين m و n للسلسلة المعنية. نفعل نفس الشيء تمامًا كما في الطريقة 1 ، فقط نعمل أولاً مع التمثيل الرمزي للمجموع. لدينا: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1-1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . في التعبير الناتج ، يمكنك استبدال الأرقام المعروفة وحساب النتيجة النهائية: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2-1) = -1344.

رقم المشكلة 3. ما المقام؟

لنفترض أن a1 = 2 ، أوجد مقام التقدم الهندسي ، بشرط أن يكون مجموعها اللامتناهي 3 ، ومن المعروف أن هذه سلسلة متناقصة من الأرقام.

حسب حالة المشكلة ، من السهل تخمين الصيغة التي يجب استخدامها لحلها. بالطبع ، لمجموع التقدم يتناقص بشكل لا نهائي. لدينا: S∞ = a1 / (1 - ب). من حيث نعبر عن المقام: b = 1 - a1 / S∞. يبقى استبدال القيم المعروفة والحصول على الرقم المطلوب: ب = 1 - 2/3 = -1 / 3 أو -0.333 (3). يمكن التحقق من هذه النتيجة نوعياً إذا تذكرنا أنه بالنسبة لهذا النوع من التسلسل ، يجب ألا يتجاوز المعامل b 1. كما ترى ، | -1 / 3 |

المشكلة رقم 4. استعادة سلسلة من الأرقام

دعونا نعطي عنصرين من سلسلة عددية ، على سبيل المثال ، الخامس يساوي 30 والعاشر يساوي 60. من الضروري إعادة بناء السلسلة بأكملها من هذه البيانات ، مع العلم أنها تفي بخصائص التقدم الهندسي.

لحل المشكلة ، يجب عليك أولاً كتابة التعبير المقابل لكل مصطلح معروف. لدينا: a5 = b4 * a1 and a10 = b9 * a1. الآن نقسم التعبير الثاني على الأول ، نحصل على: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. من هنا نحدد المقام بأخذ الجذر الخامس لنسبة المصطلحات المعروفة من حالة المشكلة ، ب = 1.148698. نستبدل الرقم الناتج بأحد تعبيرات العنصر المعروف ، نحصل على: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.

وهكذا ، وجدنا ما هو مقام التقدم bn ، والتقدم الهندسي bn-1 * 17.2304966 = an ، حيث b = 1.148698.

أين يتم استخدام التعاقب الهندسي؟

إذا لم يكن هناك تطبيق لسلسلة الأرقام هذه في الممارسة العملية ، فسيتم تقليل دراستها إلى مصلحة نظرية بحتة. ولكن هناك مثل هذا التطبيق.

فيما يلي أشهر 3 أمثلة:

• تم حل مفارقة زينو ، حيث لا يستطيع أخيل الذكي اللحاق بالسلحفاة البطيئة ، باستخدام مفهوم تسلسل الأرقام المتناقص بلا حدود.
• إذا وضعت حبات القمح على كل مربع من رقعة الشطرنج بحيث يتم وضع حبة واحدة في المربع الأول ، و 2 - في الثاني ، و 3 - في الثالث ، وما إلى ذلك ، فستكون هناك حاجة إلى 18446744073709551615 حبة لملء جميع المربعات في المربع الأول. مجلس!
• في لعبة Tower of Hanoi ، من أجل إعادة ترتيب الأقراص من قضيب إلى آخر ، من الضروري إجراء عمليات 2n - 1 ، أي أن عددهم ينمو أضعافًا مضاعفة مع عدد الأقراص n المستخدمة.