ما هي الطرق التي تعرفها لتحديد الاحتمالات. العمر كمتغير عشوائي

يمكن تقسيم الأحداث التي تحدث بشكل واقعي أو في خيالنا إلى 3 مجموعات. هذه أحداث موثوقة ستحدث بالتأكيد ، أحداث مستحيلة وأحداث عشوائية. تدرس نظرية الاحتمالات الأحداث العشوائية ، أي الأحداث التي قد تحدث أو لا تحدث. سيتم تقديم هذه المقالة في نموذج قصير معادلات نظرية الاحتمالات وأمثلة لحل المشكلات في نظرية الاحتمالات ، والتي ستكون في المهمة الرابعة لامتحان الرياضيات (مستوى الملف الشخصي).

لماذا هناك حاجة إلى نظرية الاحتمال

من الناحية التاريخية ، نشأت الحاجة إلى دراسة هذه المشكلات في القرن السابع عشر فيما يتعلق بتطوير المقامرة وإضفاء الطابع المهني عليها وظهور الكازينوهات. كانت هذه ظاهرة حقيقية تتطلب الدراسة والبحث.

خلقت أوراق اللعب والكرابس والروليت مواقف يمكن فيها حدوث أي عدد محدود من الأحداث الممكنة بنفس القدر. نشأت الحاجة إلى إعطاء تقديرات عددية لإمكانية حدوث حدث معين.

في القرن العشرين ، أصبح من الواضح أن هذا العلم الذي يبدو تافهًا يلعب دورًا مهمًا في فهم العمليات الأساسية التي تحدث في العالم المصغر. تم انشائه النظرية الحديثة الاحتمالات.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات

الهدف من دراسة نظرية الاحتمالات هو الأحداث واحتمالاتها. إذا كان الحدث معقدًا ، فيمكن تقسيمه إلى مكونات بسيطة ، يسهل العثور على احتمالاتها.

مجموع الأحداث A و B يسمى الحدث C ، والذي يتكون من حقيقة أن إما الحدث A ، أو الحدث B ، أو الحدثين A و B حدثا في وقت واحد.

يُطلق على ناتج الحدثين A و B الحدث C ، والذي يتكون من حقيقة أن كلا الحدثين A والحدث B.

يُطلق على الأحداث "أ" و "ب" اسم غير متسقين إذا تعذر حدوثهما في نفس الوقت.

يسمى الحدث أ مستحيل إذا لم يحدث. يتم الإشارة إلى مثل هذا الحدث برمز.

يُطلق على الحدث أ المصداقية إذا كان سيحدث بالضرورة. يتم الإشارة إلى مثل هذا الحدث برمز.

دع كل حدث A يتم تعيين رقم P (A). يسمى هذا الرقم P (A) باحتمالية الحدث A إذا تم استيفاء الشروط التالية لهذه المراسلات.

هناك حالة خاصة مهمة وهي الحالة عندما تكون هناك نتائج أولية قابلة للتجهيز ، وتكون هذه النتائج عشوائية من الأحداث أ. في هذه الحالة ، يمكن إدخال الاحتمال باستخدام الصيغة. الاحتمال المقدم بهذه الطريقة يسمى الاحتمال الكلاسيكي. يمكن إثبات أنه في هذه الحالة يتم استيفاء الخصائص 1-4.

ترتبط مشاكل نظرية الاحتمالات ، التي تتم مواجهتها في امتحان الرياضيات ، بشكل أساسي بالاحتمال الكلاسيكي. يمكن أن تكون هذه المهام بسيطة للغاية. المشاكل في نظرية الاحتمالات بسيطة بشكل خاص في خيارات العرض... من السهل حساب عدد النتائج المواتية ، حيث يتم كتابة عدد جميع النتائج بشكل صحيح في الحالة.

نحصل على الجواب بالصيغة.

مثال على مشكلة من امتحان الرياضيات لتحديد الاحتمالية

هناك 20 فطيرة على المائدة - 5 مع الملفوف ، و 7 مع التفاح و 8 مع الأرز. مارينا تريد أن تأخذ فطيرة. ما هي احتمالية أن تأخذ فطيرة الأرز؟

قرار.

هناك 20 نتيجة أولية قابلة للتجهيز في المجموع ، أي يمكن أن تأخذ مارينا أيًا من 20 فطيرة. لكننا نحتاج إلى تقدير احتمالية أن تأخذ مارينا فطيرة من الأرز ، أي حيث A هو اختيار فطيرة بالأرز. إذن لدينا عدد النتائج المفضلة (اختيارات الفطائر مع الأرز) فقط 8. ثم يتم تحديد الاحتمال من خلال الصيغة:

أحداث مستقلة ومتضادة وتعسفية

ومع ذلك، في فتح البنك بدأت المهام في الاجتماع والمزيد من المهام المعقدة. لذلك دعونا نلفت انتباه القارئ إلى قضايا أخرى تمت دراستها في نظرية الاحتمال.

يُطلق على الحدثين A و B اسم مستقلين إذا كان احتمال كل منهما لا يعتمد على ما إذا كان قد حدث حدث آخر.

الحدث B يعني أن الحدث A لم يحدث ، أي الحدث B هو عكس الحدث A. احتمال الحدث المعاكس يساوي واحدًا مطروحًا منه احتمال الحدث المباشر ، أي ...

نظريات الجمع والضرب للاحتمالات والصيغ

بالنسبة للأحداث التعسفية A و B ، فإن احتمال مجموع هذه الأحداث يساوي مجموع احتمالاتها دون احتمال حدثهما المشترك ، أي ...

بالنسبة للأحداث المستقلة A و B ، فإن احتمال ناتج هذه الأحداث يساوي ناتج احتمالاتها ، أي في هذه الحالة .

يطلق على آخر 2 جمل اسم نظريات الجمع وضرب الاحتمالات.

ليس من السهل دائمًا حساب عدد النتائج. في بعض الحالات ، من الضروري استخدام الصيغ التوافقية. في هذه الحالة ، فإن أهم شيء هو حساب عدد الأحداث التي تستوفي شروطًا معينة. في بعض الأحيان ، يمكن أن يصبح هذا النوع من الحسابات مهامًا مستقلة.

كم عدد طرق جلوس 6 طلاب على 6 مقاعد شاغرة؟ سيأخذ الطالب الأول أيًا من المقاعد الستة. يتوافق كل خيار من هذه الخيارات مع 5 طرق لتحل محل الطالب الثاني. للطالب الثالث هناك 4 أماكن مجانية ، للرابع - 3 ، وللخامس - 2 ، والسادس سيأخذ المكان الوحيد المتبقي. للعثور على عدد جميع الخيارات ، تحتاج إلى العثور على المنتج الذي يشار إليه بالرمز 6! ويقرأ "ستة عاملي".

في الحالة العامة ، يتم إعطاء إجابة هذا السؤال من خلال صيغة عدد التباديل لعناصر n في حالتنا.

لننظر الآن في حالة أخرى مع طلابنا. كم عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها طالبان على 6 مقاعد شاغرة؟ سيأخذ الطالب الأول أيًا من المقاعد الستة. يتوافق كل خيار من هذه الخيارات مع 5 طرق لتحل محل الطالب الثاني. للعثور على عدد جميع الخيارات ، تحتاج إلى العثور على المنتج.

في الحالة العامة ، تُعطى الإجابة على هذا السؤال من خلال صيغة عدد مواضع العناصر n لعناصر k

في حالتنا هذه .

و الحالة الأخيرة من هذه السلسلة. ما عدد الطرق التي يوجد بها ثلاثة طلاب من أصل 6؟ يمكن اختيار الطالب الأول بستة طرق ، والثاني بخمس طرق ، والثالث بأربع طرق. ولكن من بين هذه الخيارات ، تمت مقابلة الطلاب الثلاثة أنفسهم 6 مرات. للعثور على عدد جميع الخيارات ، تحتاج إلى حساب القيمة :. بشكل عام ، يتم إعطاء إجابة هذا السؤال من خلال صيغة عدد مجموعات العناصر حسب العناصر:

في حالتنا هذه .

أمثلة على حل مسائل من امتحان الرياضيات لتحديد الاحتمالات

المشكلة 1. من المجموعة ، أد. ياشينكو.

يوجد 30 فطيرة على الطبق: 3 مع اللحم ، و 18 بالكرنب ، و 9 بالكرز. يختار ساشا فطيرة واحدة عشوائيًا. أوجد احتمال أن ينتهي به الأمر بحصوله على كرز.

.

الجواب: 0.3.

المشكلة 2. من المجموعة ، أد. ياشينكو.

تحتوي كل دفعة من 1000 مصباح على ما معدله 20 لمبة معيبة. أوجد احتمالية عمل مصباح عشوائي من دفعة.

الحل: عدد المصابيح الصالحة للخدمة هو 1000-20 \u003d 980. ومن ثم فإن احتمال أن يكون المصباح المأخوذ عشوائيًا من الدُفعة صالحًا للخدمة:

الجواب: 0.98.

احتمال أن يحل الطالب U بشكل صحيح أكثر من 9 مسائل في اختبار الرياضيات هو 0.67. احتمالية أن تحل شركة U. بشكل صحيح أكثر من 8 مسائل هو 0.73. أوجد احتمال أن U سوف تحل 9 مشاكل بالضبط بشكل صحيح.

إذا تخيلنا خط أعداد ووضعنا علامة على النقطتين 8 و 9 عليه ، فسنرى أن الشرط "Y. سيحل بشكل صحيح 9 مشاكل بالضبط "مضمنة في الشرط" W. سيحل بشكل صحيح أكثر من 8 مشاكل "، لكنه لا ينطبق على الشرط" W. سيحل أكثر من 9 مشاكل بشكل صحيح ".

ومع ذلك ، فإن الشرط "W. سوف يحل بشكل صحيح أكثر من 9 مشاكل "الواردة في الشرط" W. سوف يحل أكثر من 8 مشاكل بشكل صحيح ". وبالتالي ، إذا حددنا الأحداث: "W. سيحل 9 مشاكل بشكل صحيح "- من خلال A ،" Y. سيحل بشكل صحيح أكثر من 8 مشاكل "- من خلال B ،" U. سيحل أكثر من 9 مشاكل بشكل صحيح "من خلال ج. سيبدو هذا الحل كما يلي:

الجواب: 0.06.

في امتحان الهندسة ، يجيب الطالب على سؤال واحد من قائمة أسئلة الاختبار. احتمال أن يكون هذا السؤال في علم المثلثات هو 0.2. احتمال أن يكون هذا سؤالًا من زاوية خارجية هو 0.15. لا توجد أسئلة تتعلق في نفس الوقت بهذين الموضوعين. ابحث عن احتمال حصول الطالب على سؤال حول أحد هذين الموضوعين في الاختبار.

دعونا نفكر في أي نوع من الأحداث لدينا. لقد حصلنا على حدثين غير متوافقين. بمعنى ، إما أن السؤال سيتعلق بموضوع "علم المثلثات" ، أو بموضوع "الزوايا الخارجية". وفقًا لنظرية الاحتمالات ، فإن احتمالية الأحداث غير المتسقة تساوي مجموع احتمالات كل حدث ، يجب أن نجد مجموع احتمالات هذه الأحداث ، أي:

الجواب: 0.35.

الغرفة مضاءة بفانوس بثلاثة مصابيح. احتمال احتراق مصباح واحد في السنة هو 0.29. أوجد احتمالية عدم احتراق مصباح واحد على الأقل خلال عام.

دعونا ننظر في الأحداث المحتملة. لدينا ثلاث لمبات ، كل منها قد تحترق أو لا تحترق بشكل مستقل عن أي لمبة أخرى. هذه أحداث مستقلة.

ثم سنشير إلى الخيارات المتاحة لمثل هذه الأحداث. لنأخذ الرمز: - الضوء مضاء ، - الضوء مطفأ. وبجانبه مباشرة نحسب احتمال وقوع الحدث. على سبيل المثال ، حدث احتمال حدوث ثلاثة أحداث مستقلة "المصباح الكهربائي محترق" ، "المصباح قيد التشغيل" ، "المصباح قيد التشغيل": ...

لاحظ أن هناك فقط 7 أحداث غير متسقة مواتية لنا ، واحتمال وقوع مثل هذه الأحداث يساوي مجموع احتمالات كل حدث من الأحداث :.

الجواب: 0.975608.

يمكنك رؤية مشكلة أخرى في الصورة:

وهكذا ، فهمت أنت وأنا ماهية نظرية الاحتمالات الخاصة بالصيغة وأمثلة لحل المشكلات التي يمكنك الالتقاء بها في إصدار الامتحان.

من غير المحتمل أن يفكر الكثير من الناس فيما إذا كان من الممكن حساب الأحداث العشوائية إلى حد ما. أعربت بكلمات بسيطة، هل من الواقعي معرفة أي جانب من النرد سيتم دحرجته في المرة القادمة. كان هذا هو السؤال الذي طرحه عالمان عظيمان أرسيا الأساس لعلم مثل نظرية الاحتمال ، واحتمال وقوع حدث يتم دراسته على نطاق واسع.

بداية

إذا حاولت تعريف مفهوم مثل نظرية الاحتمال ، تحصل على ما يلي: هذا أحد فروع الرياضيات التي تتعامل مع دراسة ثبات الأحداث العشوائية. بالتاكيد، هذا المفهوم لا يكشف حقيقة الأمر برمته ، لذلك من الضروري النظر فيه بمزيد من التفصيل.

أود أن أبدأ مع مبتكري النظرية. كما ذكرنا أعلاه ، كان هناك اثنان منهم ، وكانوا من أوائل الذين حاولوا حساب نتيجة حدث ما باستخدام الصيغ والحسابات الرياضية. على العموم ، ظهرت أساسيات هذا العلم في العصور الوسطى. في ذلك الوقت ، حاول العديد من المفكرين والعلماء التحليل القمار، مثل شريط القياس ، والنرد ، وما إلى ذلك ، وبالتالي تحديد نمط ونسبة حدوث رقم معين. تم وضع الأساس في القرن السابع عشر من قبل العلماء المذكورين أعلاه.

في البداية ، لا يمكن أن تُعزى أعمالهم إلى الإنجازات العظيمة في هذا المجال ، لأن كل ما فعلوه كان مجرد حقائق تجريبية ، وتم إعداد التجارب بصريًا ، دون استخدام الصيغ. مع مرور الوقت ، اتضح أنها تحقق نتائج رائعة ظهرت نتيجة مراقبة رمي العظام. كانت هذه الأداة هي التي ساعدت في اشتقاق أول الصيغ الواضحة.

الناس مثل التفكير

لا يسع المرء إلا أن يذكر شخصًا مثل كريستيان هويجنز في عملية دراسة موضوع يسمى "نظرية الاحتمالات" (يتم تغطية احتمال وقوع حدث في هذا العلم بالذات). هذا الشخص ممتع جدا لقد حاول ، مثل العلماء المذكورين أعلاه ، استنتاج انتظام الأحداث العشوائية في شكل صيغ رياضية. يشار إلى أنه لم يفعل ذلك مع باسكال وفيرمات ، أي أن كل أعماله لم تتقاطع مع هذه العقول. جلبت Huygens

حقيقة مثيرة للاهتمام هي أن عمله ظهر قبل وقت طويل من نتائج أعمال المكتشفين ، أو بالأحرى قبل عشرين عامًا. من بين المفاهيم المحددة ، أشهرها:

• مفهوم الاحتمالية كضخامة الفرصة ؛
• التوقع الرياضي للحالات المنفصلة ؛
• نظريات الضرب وجمع الاحتمالات.

من المستحيل أيضًا عدم تذكر من ساهم أيضًا بشكل كبير في دراسة المشكلة. من خلال إجراء اختباراته الخاصة المستقلة ، كان قادرًا على تقديم دليل على القانون أعداد كبيرة... في المقابل ، تمكن العالمان بواسون ولابلاس ، اللذان عملا في أوائل القرن التاسع عشر ، من إثبات النظريات الأصلية. منذ هذه اللحظة بدأ استخدام نظرية الاحتمال لتحليل الأخطاء في سياق الملاحظات. العلماء الروس ، أو بالأحرى ماركوف وتشيبيشيف وديابونوف ، لم يتمكنوا من الالتفاف على هذا العلم أيضًا. لقد قاموا ، بناءً على العمل الذي قام به عباقرة عظماء ، بتوحيد هذا الموضوع كفرع من الرياضيات. كانت هذه الشخصيات تعمل بالفعل في نهاية القرن التاسع عشر ، وبفضل مساهمتها ، تم إثبات هذه الظواهر على النحو التالي:

• قانون الأعداد الكبيرة
• نظرية سلاسل ماركوف.
• نظرية الحد المركزي.

لذلك ، مع تاريخ ولادة العلم والأشخاص الرئيسيين الذين أثروا فيه ، كل شيء واضح إلى حد ما. حان الوقت الآن لتجسيد كل الحقائق.

مفاهيم أساسية

قبل التطرق إلى القوانين والنظريات ، يجدر بنا دراسة المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. يأخذ الحدث الدور الرائد فيه. هذا الموضوع ضخم جدًا ، لكن بدونه لن يكون من الممكن فهم كل شيء آخر.

الحدث في نظرية الاحتمالات هو أي مجموعة من نتائج التجربة. ليس هناك عدد قليل من المفاهيم لهذه الظاهرة. لذلك ، قال العالم لوتمان ، العامل في هذا المجال ، في هذه الحالة يأتي حول ما "حدث ، رغم أنه ربما لم يحدث".

أحداث عشوائية (تعطيها نظرية الاحتمالات انتباه خاص) هو مفهوم يشير إلى أي ظاهرة لها القدرة على الحدوث. أو ، على العكس من ذلك ، قد لا يحدث هذا السيناريو إذا تم استيفاء العديد من الشروط. من الجدير أيضًا معرفة أن الأحداث العشوائية هي التي تلتقط الحجم الكامل للظواهر التي حدثت. تشير نظرية الاحتمالات إلى أنه يمكن تكرار جميع الشروط طوال الوقت. كان تنفيذها هو ما يسمى "التجربة" أو "الاختبار".

الحدث الموثوق به هو الحدث الذي سيحدث مائة بالمائة في اختبار معين. وبناءً عليه ، فإن الحدث المستحيل هو الذي لن يحدث.

الجمع بين زوج من الإجراءات (الحالة المشروطة A والحالة B) هو ظاهرة تحدث في وقت واحد. يشار إليها باسم AB.

مجموع أزواج الأحداث A و B هو C ، بمعنى آخر ، إذا حدث أحدهما على الأقل (A أو B) ، فسيظهر C. معادلة الظاهرة الموصوفة مكتوبة على النحو التالي: C \u003d A + ب.

تشير الأحداث غير المتسقة في نظرية الاحتمالات إلى أن حالتين متنافيتان. لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت. الأحداث المشتركة في نظرية الاحتمالية هي نقيضها. هذا يعني أنه إذا حدث A ، فإنه لا يتعارض مع B.

من السهل فهم الأحداث المعاكسة (تعتبرها نظرية الاحتمال بتفصيل كبير). أفضل طريقة للتعامل معهم هي المقارنة. إنها تشبه إلى حد كبير الأحداث غير المتسقة في نظرية الاحتمالات. لكن الاختلاف بينهما يكمن في حقيقة أن إحدى الظواهر العديدة يجب أن تحدث في أي حال.

الأحداث الممكنة على قدم المساواة هي تلك الإجراءات ، وتكرارها متساوية. لتوضيح الأمر ، يمكنك أن تتخيل رمي عملة معدنية: من المرجح أن يسقط أحد جانبيها الآخر.

من الأسهل رؤية حدث ميمون بمثال. لنفترض أن هناك الحلقة B والحلقة A. الأولى هي رمي النرد مع ظهور رقم فردي ، والثاني هو ظهور الرقم الخامس على النرد. ثم اتضح أن "أ" تفضل "ب".

يتم إسقاط الأحداث المستقلة في نظرية الاحتمال فقط في حالتين أو أكثر وتعني استقلالية إجراء عن آخر. على سبيل المثال ، A هي ذيول عند قلب عملة ، و B هي الحصول على رافعة من سطح السفينة. إنها أحداث مستقلة في نظرية الاحتمال. مع هذه اللحظة أصبح الأمر أكثر وضوحا.

الأحداث التابعة في نظرية الاحتمالات مقبولة أيضًا فقط لمجموعتها. إنها تشير إلى اعتماد أحدهما على الآخر ، أي أن الظاهرة ب لا يمكن أن تحدث إلا إذا حدث بالفعل أو ، على العكس من ذلك ، لم يحدث ، عندما يكون هذا هو الشرط الرئيسي لـ B.

نتيجة تجربة عشوائية ذات مكون واحد هي أحداث أولية. توضح نظرية الاحتمال أن هذه الظاهرة حدثت مرة واحدة فقط.

الصيغ الأساسية

لذلك ، تم النظر في مفاهيم "الحدث" و "نظرية الاحتمالات" أعلاه ، كما تم تقديم تعريف للمصطلحات الأساسية لهذا العلم. حان الوقت الآن للتعرف مباشرة على الصيغ المهمة. تؤكد هذه التعبيرات رياضيا جميع المفاهيم الرئيسية في موضوع معقد مثل نظرية الاحتمال. يلعب احتمال وقوع حدث دورًا كبيرًا هنا أيضًا.

من الأفضل أن تبدأ بالأساسيات وقبل الشروع فيها ، يجدر التفكير في ماهيتها.

التوافقية هي في الأساس فرع من فروع الرياضيات ، فهي تتعامل مع دراسة عدد كبير من الأعداد الصحيحة ، فضلاً عن التباديل المختلفة لكل من الأرقام نفسها وعناصرها ، والبيانات المختلفة ، وما إلى ذلك ، مما يؤدي إلى ظهور عدد من التوليفات. بصرف النظر عن نظرية الاحتمالات ، فإن هذه الصناعة مهمة للإحصاء وعلوم الكمبيوتر والتشفير.

لذا ، يمكنك الآن المتابعة إلى تقديم الصيغ نفسها وتعريفها.

سيكون أولهم التعبير عن عدد التباديل ، يبدو كالتالي:

P_n \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \u003d n!

تنطبق المعادلة فقط إذا كانت العناصر تختلف فقط في ترتيب الترتيب.

الآن سننظر في صيغة التنسيب ، تبدو كما يلي:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) \u003d n! : (ن - م)!

لا ينطبق هذا التعبير على الترتيب الذي يتم فيه وضع العنصر فحسب ، بل ينطبق أيضًا على تكوينه.

تسمى المعادلة الثالثة من التوليفات ، وهي أيضًا الأخيرة ، معادلة عدد التركيبات:

C_n ^ م \u003d ن! : ((ن - م))! : م!

تشير المجموعة إلى التحديدات غير المرتبة ، على التوالي ، وهذه القاعدة تنطبق عليهم.

اتضح أنه من السهل معرفة معادلات التوافقية ، والآن يمكنك الانتقال إلى التعريف الكلاسيكي للاحتمالات. يبدو هذا التعبير كما يلي:

في هذه الصيغة ، m هو عدد الشروط المواتية للحدث A ، و n هو عدد جميع النتائج الأولية الممكنة والمتساوية تمامًا.

موجود عدد كبير من التعبيرات ، لن تنظر المقالة في كل شيء ، ولكن سيتم التطرق إلى أهمها ، على سبيل المثال ، احتمالية مجموع الأحداث:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - هذه النظرية لإضافة الأحداث غير المتوافقة فقط ؛

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB) - وذلك لإضافة المتوافقة فقط.

احتمالية إنتاج الأحداث:

P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B) - هذه النظرية للأحداث المستقلة ؛

(P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B∣A) ؛ P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (A∣B)) - وهذا خاص.

صيغة الحدث ستنهي القائمة. تخبرنا الاحتمالية عن نظرية بايز التي تبدو كالتالي:

الفوسفور (H_m∣A) \u003d (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k \u003d 1) ^ n P (H_k) P (A_H_k)) ، م \u003d 1 ، ... ، ن

في هذه الصيغة ، H 1 ، H 2 ، ... ، H n هي مجموعة كاملة الفرضيات.

أمثلة على

إذا درست أي مجال من مجالات الرياضيات بعناية ، فلن يكتمل بدون تمارين وحلول نموذجية. هكذا هي نظرية الاحتمال: الأحداث ، الأمثلة هنا هي عنصر أساسي يؤكد الحسابات العلمية.

صيغة لعدد التبديلات

لنفترض أن هناك ثلاثين بطاقة في مجموعة أوراق اللعب ، بدءًا من القيمة الاسمية واحدة. السؤال التالي. ما هو عدد الطرق المتاحة لوضع مجموعة ورق بحيث لا تكون البطاقات ذات الفئة الأولى والثانية جنبًا إلى جنب؟

تم تعيين المهمة ، والآن دعنا ننتقل إلى حلها. تحتاج أولاً إلى تحديد عدد التباديل لثلاثين عنصرًا ، ولهذا نأخذ الصيغة أعلاه ، نحصل على P_30 \u003d 30!.

بناءً على هذه القاعدة ، نكتشف عدد الخيارات المتاحة لطي المجموعة بطرق مختلفة ، لكننا نحتاج إلى طرح تلك الخيارات التي تكون فيها البطاقتان الأولى والثانية بجوار بعضهما البعض. للقيام بذلك ، لنبدأ بالخيار عندما يكون الأول فوق الثاني. اتضح أن البطاقة الأولى يمكن أن تأخذ تسعة وعشرين مكانًا - من الأول إلى التاسع والعشرين ، والبطاقة الثانية من الثانية إلى الثلاثين ، تظهر فقط تسعة وعشرين مكانًا لزوج من البطاقات. في المقابل ، يمكن للبقية أن تشغل ثمانية وعشرين مقعدًا ، وبدون ترتيب معين. أي لتبديل ثمانية وعشرين بطاقة ، هناك ثمانية وعشرون خيارًا P_28 \u003d 28!

نتيجة لذلك ، يتبين أننا إذا أخذنا في الاعتبار الحل عندما تكون البطاقة الأولى أعلى من الثانية ، فستكون هناك 29 ⋅ 28 فرصة إضافية! \u003d 29!

باستخدام نفس الطريقة ، تحتاج إلى حساب عدد الخيارات الزائدة عن الحاجة للحالة عندما تكون البطاقة الأولى تحت الثانية. اتضح أيضًا 29 ⋅ 28! \u003d 29!

ويترتب على ذلك أن هناك خيارين إضافيين 29 خيارًا! بينما الطرق الضرورية لبناء سطح السفينة هي 30! - 2 29!. يبقى فقط العد.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

الآن أنت بحاجة إلى ضرب جميع الأرقام من واحد إلى تسعة وعشرين مع بعضها البعض ، ثم في النهاية اضرب كل شيء في 28. الإجابة هي 2.4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

مثال الحل. صيغة رقم التنسيب

في هذه المهمة ، تحتاج إلى معرفة عدد الطرق المتاحة لوضع خمسة عشر مجلدًا على رف واحد ، ولكن بشرط وجود ثلاثين مجلدًا في المجموع.

في هذه المشكلة ، يكون الحل أبسط قليلاً مما كان عليه في السابق. باستخدام الصيغة المعروفة بالفعل ، من الضروري حساب العدد الإجمالي للمواقع من ثلاثين مجلداً من خمسة عشر.

A_30 ^ 15 \u003d 30 29 28⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) \u003d 30 29 28 ⋅ ... 16 \u003d 202843204931727360000

الإجابة على التوالي تساوي 202843204931727360000.

الآن دعنا نأخذ المشكلة قليلاً. من الضروري معرفة عدد الطرق المتاحة لترتيب ثلاثين كتابًا على رفين للكتب ، بشرط أن يكون هناك خمسة عشر مجلدًا فقط على رف واحد.

قبل البدء في الحل ، أود أن أوضح أن بعض المشكلات يتم حلها بعدة طرق ، وفي هذا توجد طريقتان ، ولكن يتم تطبيق نفس الصيغة في كلتا الحالتين

في هذه المشكلة ، يمكنك الحصول على الإجابة من الإجابة السابقة ، لأننا هناك قمنا بحساب عدد المرات التي يمكنك فيها ملء رف لخمسة عشر كتابًا بطرق مختلفة. اتضح أن A_30 ^ 15 \u003d 30 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) \u003d 30 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

نحسب الرف الثاني بصيغة التقليب ، لأنه يمكن وضع خمسة عشر كتابًا فيه ، ويبقى خمسة عشر كتابًا فقط. نستخدم الصيغة P_15 \u003d 15!.

اتضح أن المجموع سيكون A_30 ^ 15 ⋅ P_15 طريقة ، ولكن بالإضافة إلى ذلك ، يجب ضرب حاصل ضرب جميع الأرقام من ثلاثين إلى ستة عشر في حاصل ضرب الأرقام من واحد إلى خمسة عشر ، ونتيجة لذلك ، حاصل الضرب سيتم الحصول على جميع الأرقام من واحد إلى ثلاثين ، أي الإجابة هي 30!

لكن يمكن حل هذه المشكلة بطريقة مختلفة - أسهل. للقيام بذلك ، يمكنك أن تتخيل أن هناك رفًا واحدًا لثلاثين كتابًا. تم وضعهم جميعًا على هذه الطائرة ، ولكن نظرًا لأن الشرط يتطلب وجود رفين ، فقد قطعنا واحدًا طويلًا واحدًا إلى نصفين ، يتحول من اثنين إلى خمسة عشر. من هذا اتضح أن خيارات التنسيب يمكن أن تكون P_30 \u003d 30!.

مثال الحل. صيغة رقم المجموعة

الآن سننظر في متغير للمشكلة الثالثة من التوافقية. تحتاج إلى معرفة عدد الطرق المتاحة لترتيب خمسة عشر كتابًا ، بشرط أن تختار من بين ثلاثين كتابًا متماثلًا تمامًا.

بالنسبة للحل ، بالطبع ، سيتم تطبيق صيغة عدد المجموعات. من الشرط يتضح أن ترتيب نفس الخمسة عشر كتابًا ليس مهمًا. لذلك ، تحتاج في البداية إلى معرفة العدد الإجمالي للمجموعات المكونة من ثلاثين كتابًا من خمسة عشر.

C_30 ^ 15 \u003d 30! : ((30-15))! : 15 ! \u003d 155117 520

هذا كل شئ. باستخدام هذه الصيغة ، في اقرب وقت تمكنت من حل مثل هذه المشكلة ، الجواب ، على التوالي ، هو 155117 520.

مثال على الحل. التعريف الكلاسيكي للاحتمال

باستخدام الصيغة أعلاه ، يمكنك العثور على الإجابة في مسألة بسيطة. ولكنه سيساعد على رؤية مسار العمل وتتبعه بصريًا.

في المشكلة ، يُعطى أن هناك عشر كرات متطابقة تمامًا في الجرة. أربعة منها صفراء وستة زرقاء. تؤخذ كرة واحدة من الجرة. تحتاج إلى معرفة احتمال حصولك على اللون الأزرق.

لحل المشكلة ، من الضروري تحديد مدى الوصول الكرة الزرقاء الحدث "أ" يمكن أن يكون لهذه التجربة عشر نتائج ، والتي بدورها أولية ومتساوية في الإمكان. في نفس الوقت ، ستة من كل عشرة مفضلة للحدث أ. نقرر وفقًا للصيغة:

الفوسفور (أ) \u003d 6: 10 \u003d 0.6

بتطبيق هذه الصيغة ، علمنا أن القدرة على الوصول إلى الكرة الزرقاء تساوي 0.6.

مثال على الحل. احتمال مجموع الأحداث

الآن سيتم تقديم متغير ، يتم حله باستخدام معادلة احتمالية مجموع الأحداث. إذاً بشرط أن يكون هناك صندوقان ، الأول يحتوي على واحدة رمادية وخمس كرات بيضاء ، والثاني يحتوي على ثماني كرات رمادية وأربع كرات بيضاء. نتيجة لذلك ، تم أخذ واحد منهم من المربع الأول والثاني. أنت بحاجة لمعرفة ما هي فرص أن الكرات التي تحصل عليها ستكون رمادية وبيضاء.

لحل هذه المشكلة ، من الضروري تحديد الأحداث.

• إذن ، A - أخذ الكرة الرمادية من المربع الأول: P (A) \u003d 1/6.
• A '- أخذوا أيضًا كرة بيضاء من الصندوق الأول: P (A ") \u003d 5/6.
• ب- تم إخراج الكرة الرمادية من الصندوق الثاني: ف (ب) \u003d 2/3.
• B '- أخذ كرة رمادية من الصندوق الثاني: P (B ") \u003d 1/3.

حسب حالة المشكلة ، من الضروري أن تحدث إحدى الظواهر: AB 'أو AB. باستخدام الصيغة ، نحصل على: P (AB ") \u003d 1/18 ، P (A" B) \u003d 10/18.

تم الآن استخدام صيغة ضرب الاحتمال. علاوة على ذلك ، لمعرفة الإجابة ، تحتاج إلى تطبيق معادلة إضافتهم:

P \u003d P (AB "+ A" B) \u003d P (AB ") + P (A" B) \u003d 11/18.

هذه هي الطريقة ، باستخدام صيغة ، يمكنك حل مشاكل مماثلة.

حصيلة

قدمت المقالة معلومات حول موضوع "نظرية الاحتمالات" ، واحتمال وقوع حدث يلعب فيه دور حاسم... بالطبع ، لم يتم أخذ كل شيء في الاعتبار ، ولكن بناءً على النص المقدم ، يمكنك نظريًا التعرف على هذا القسم من الرياضيات. يمكن أن يكون العلم المعني مفيدًا ليس فقط في الأعمال المهنية ، ولكن أيضًا في الحياة اليومية... بمساعدتها ، يمكنك حساب أي احتمال لأي حدث.

تطرق النص أيضا تواريخ مهمة في تاريخ تكوين نظرية الاحتمالات كعلم ، وأسماء الأشخاص الذين استثمرت أعمالهم فيها. هذه هي الطريقة التي دفع بها فضول الإنسان الناس إلى تعلم كيفية حساب الأحداث العشوائية. بمجرد أن كانوا مهتمين به ببساطة ، لكن اليوم يعرفه الجميع بالفعل. ولن يقول أحد ما الذي ينتظرنا في المستقبل ، ما هي الاكتشافات الرائعة الأخرى المتعلقة بالنظرية قيد الدراسة. لكن هناك شيء واحد مؤكد - البحث لا يزال قائما!

كثيرون ، عند مواجهة مفهوم "نظرية الاحتمالات" ، يخافون ، معتقدين أن هذا شيء ساحق وصعب للغاية. لكن كل شيء في الواقع ليس مأساويا. سننظر اليوم في المفهوم الأساسي ونتعلم كيفية حل المشكلات باستخدام أمثلة محددة.

العلم

ماذا يدرس فرع الرياضيات مثل "نظرية الاحتمالات"؟ هي تلاحظ الأنماط والكميات. لأول مرة ، أصبح العلماء مهتمين بهذه القضية في القرن الثامن عشر ، عندما درسوا القمار. المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات هو حدث. هذه أي حقيقة يتم التأكد منها بالخبرة أو الملاحظة. لكن ما هي التجربة؟ مفهوم أساسي آخر لنظرية الاحتمال. هذا يعني أن هذه المجموعة من الظروف لم تنشأ عن طريق الصدفة ، ولكن لغرض محدد. أما بالنسبة للملاحظة ، فهنا الباحث نفسه لا يشارك في التجربة ، بل يشهد هذه الأحداث ببساطة ، ولا يؤثر على ما يحدث بأي شكل من الأشكال.

الأحداث

تعلمنا أن المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمال هو حدث ، لكننا لم نفكر في التصنيف. كلهم يقعون في الفئات التالية:

• معقول.
• مستحيل.
• عشوائي.

بغض النظر عن نوع الأحداث التي يتم ملاحظتها أو إنشاؤها في سياق التجربة ، فإنها تخضع جميعها لهذا التصنيف. نقترح التعرف على كل نوع على حدة.

حدث موثوق

هذا هو الظرف الذي اتخذت أمامه مجموعة التدابير اللازمة. من أجل فهم الجوهر بشكل أفضل ، من الأفضل إعطاء بعض الأمثلة. تخضع الفيزياء والكيمياء والاقتصاد والرياضيات العليا لهذا القانون. تتضمن نظرية الاحتمالات مثل مفهوم مهمكحدث موثوق. وهنا بعض الأمثلة:

• نعمل ونتلقى أجرًا على شكل أجور.
• لقد اجتزنا الامتحانات بشكل جيد ، اجتزنا المنافسة ، ولهذا نحصل على مكافأة في شكل قبول مؤسسة تعليمية.
• لقد استثمرنا الأموال في البنك ، إذا لزم الأمر ، سنعيدها.

مثل هذه الأحداث ذات مصداقية. إذا استوفينا جميع الشروط اللازمة ، فسنحصل بالتأكيد على النتيجة المتوقعة.

أحداث مستحيلة

نحن ننظر الآن في عناصر نظرية الاحتمال. نقترح الانتقال إلى شرح للنوع التالي من الأحداث ، أي المستحيل. أولاً ، دعنا نقول أكثر قاعدة مهمة - احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

لا يمكن للمرء أن يحيد عن هذه الصيغة عند حل المشاكل. للتوضيح ، فيما يلي أمثلة على مثل هذه الأحداث:

• تجمد الماء عند درجة حرارة زائد عشرة (هذا مستحيل).
• لا يؤثر نقص الكهرباء على الإنتاج بأي شكل من الأشكال (مستحيل كما في المثال السابق).

لا يستحق إعطاء المزيد من الأمثلة ، لأن الأمثلة المذكورة أعلاه تعكس بوضوح جوهر هذه الفئة. لن يحدث حدث مستحيل أبدًا أثناء تجربة تحت أي ظرف من الظروف.

الأحداث العشوائية

عند دراسة عناصر نظرية الاحتمالية ، ينبغي إيلاء اهتمام خاص لهذا النوع المعين من الأحداث. هم الذين يدرس مع العلم... نتيجة للتجربة ، يمكن أن يحدث شيء ما أو لا. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن إجراء الاختبار لعدد غير محدود من المرات. أمثلة ملفتة للنظر يمكن أن تكون:

• رمي العملة هو تجربة ، أو اختبار ، سقوط رأس هو حدث.
• سحب الكرة من الكيس بشكل أعمى هو اختبار ، يتم التقاط كرة حمراء - هذا حدث ، وهكذا.

يمكن أن يكون هناك عدد غير محدود من هذه الأمثلة ، ولكن بشكل عام ، يجب أن يكون الجوهر واضحًا. لتلخيص وتنظيم المعرفة المكتسبة حول الأحداث ، يتم إعطاء جدول. تدرس نظرية الاحتمالية فقط الأنواع الأخيرة من كل الأنواع المعروضة.

القوانين

نظرية الاحتمالية هي علم يدرس إمكانية وقوع حدث ما. مثل الآخرين ، لديها بعض القواعد. يوجد اتباع القوانين نظرية الاحتمالات:

• تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية.
• قانون الأعداد الكبيرة.

عند حساب إمكانية وجود معقد ، يمكنك استخدام مجموعة من الأحداث البسيطة لتحقيق نتيجة بطريقة أسهل وأسرع. لاحظ أن قوانين نظرية الاحتمالات يمكن إثباتها بسهولة باستخدام بعض النظريات. نقترح عليك أولاً التعرف على القانون الأول.

تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية

لاحظ أن هناك عدة أنواع من التقارب:

• تسلسل من المتغيرات العشوائية يتقارب في الاحتمال.
• يكاد يكون من المستحيل.
• تقارب الجذر التربيعي.
• تقارب التوزيع.

لذلك ، أثناء التنقل ، من الصعب جدًا فهم الجوهر. فيما يلي بعض التعريفات التي ستساعدك على فهم هذا الموضوع. بالنسبة للمبتدئين ، الرأي الأول. التسلسل يسمى تتقارب في الاحتمالات، إذا تم استيفاء الشرط التالي: n تميل إلى اللانهاية ، فإن الرقم الذي يميل إليه التسلسل يكون أكبر من الصفر وقريب من واحد.

الانتقال إلى النوع التالي, يكاد يكون مؤكدًا... يقال أن التسلسل يتقارب يكاد يكون مؤكدًا إلى متغير عشوائي حيث تميل n إلى اللانهاية ، و P تميل إلى قيمة قريبة من الوحدة.

النوع التالي هو تقارب جذر متوسط \u200b\u200bالتربيع... عند استخدام SC-convergence ، يتم تقليل دراسة العمليات العشوائية المتجهة إلى دراسة عمليات الإحداثيات العشوائية.

يبقى النوع الأخير ، دعنا نحلله بإيجاز من أجل المضي قدمًا في حل المشكلات. التقارب في التوزيع له اسم آخر - "ضعيف" ، أدناه سنشرح السبب. تقارب ضعيف هو تقارب وظائف التوزيع في جميع نقاط استمرارية دالة التوزيع المحددة.

بالتأكيد سنفي بوعدنا: التقارب الضعيف يختلف عن كل ما سبق في أن المتغير العشوائي غير محدد في مساحة الاحتمال. هذا ممكن لأن الشرط يتكون حصريًا باستخدام وظائف التوزيع.

قانون الأعداد الكبيرة

ستكون نظريات نظرية الاحتمالية أدوات مساعدة ممتازة في إثبات هذا القانون ، مثل:

• عدم المساواة في Chebyshev.
• نظرية تشيبيشيف.
• نظرية تشيبيشيف المعممة.
• نظرية ماركوف.

إذا أخذنا في الاعتبار كل هذه النظريات ، فيمكن أن يستمر هذا السؤال لعدة عشرات من الصفحات. مهمتنا الرئيسية هي تطبيق نظرية الاحتمالية في الممارسة. نحن ندعوك للقيام بذلك الآن. لكن قبل ذلك ، ضع في اعتبارك بديهيات نظرية الاحتمالات ، فستكون المساعد الرئيسي في حل المشكلات.

البديهيات

لقد التقينا بالفعل الأول عندما تحدثنا عن حدث مستحيل. لنتذكر: احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر. قدمنا \u200b\u200bمثالًا حيًا جدًا ولا يُنسى: لقد تساقطت الثلوج عند درجة حرارة هواء تبلغ ثلاثين درجة مئوية.

والثاني هو كما يلي: حدث موثوق به احتمالية تساوي واحدًا. الآن سوف نوضح كيفية كتابة هذا باستخدام اللغة الرياضية: P (B) \u003d 1.

ثالثًا: قد يحدث أو لا يحدث حدث عشوائي ، لكن الاحتمال يختلف دائمًا من صفر إلى واحد. من معنى أقرب لواحد ، كلما زادت الفرص ؛ إذا اقتربت القيمة من الصفر ، يكون الاحتمال صغيرًا جدًا. دعنا نكتبها بلغة رياضية: 0<Р(С)<1.

تأمل في البديهية الرابعة الأخيرة ، والتي تبدو كالتالي: احتمال مجموع حدثين يساوي مجموع احتمالاتهما. نكتب بلغة رياضية: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

مسلمات نظرية الاحتمالات هي أبسط القواعد التي لن يكون من الصعب تذكرها. دعنا نحاول حل بعض المشاكل ، بالاعتماد على المعرفة المكتسبة بالفعل.

بطاقة اليانصيب

لنبدأ بأبسط مثال - اليانصيب. تخيل أنك اشتريت تذكرة يانصيب واحدة لحسن الحظ. ما هو احتمال أن تربح عشرين روبل على الأقل؟ في المجموع ، تشارك ألف تذكرة في السحب ، جائزة واحدة منها بخمسمائة روبل ، وعشرة لمائة روبل ، وخمسون مقابل عشرين روبل ، ومائة مقابل خمسة. تستند مشاكل الاحتمالية إلى إيجاد فرصة للحظ. الآن سنقوم بتحليل حل المهمة المعروضة أعلاه معًا.

إذا أشرنا إلى فوز بخمسمائة روبل بالحرف A ، فإن احتمال الحصول على A سيكون 0.001. كيف حصلنا عليها؟ تحتاج فقط إلى قسمة عدد التذاكر "المحظوظة" على العدد الإجمالي (في هذه الحالة: 1/1000).

B - ربح مائة روبل ، سيكون الاحتمال 0.01. الآن تصرفنا على نفس المبدأ كما في الإجراء السابق (10/1000)

С - المكاسب تساوي عشرين روبل. نوجد الاحتمال ، وهو 0.05.

لا تهمنا بقية التذاكر ، لأن صندوق جائزتها أقل من المبلغ المحدد في الشرط. لنطبق البديهية الرابعة: احتمال الفوز بعشرين روبل على الأقل هو P (A) + P (B) + P (C). يشير الحرف P إلى احتمال حدوث هذا الحدث ، وقد وجدناها بالفعل في الإجراءات السابقة. يبقى فقط لإضافة البيانات الضرورية ، في الإجابة نحصل على 0.061. سيكون هذا الرقم هو إجابة سؤال المهمة.

بطاقة سطح السفينة

يمكن أن تكون مشاكل نظرية الاحتمالات أكثر تعقيدًا ، على سبيل المثال ، لنأخذ المهمة التالية. هنا مجموعة من ستة وثلاثين بطاقة. مهمتك هي رسم ورقتين متتاليتين دون خلط الكومة ، يجب أن تكون البطاقتان الأولى والثانية ارسالا ساحقا ، ولا يهم البدلة.

أولًا ، لنجد احتمال أن تكون البطاقة الأولى آسًا ، لذلك نقسم أربعة على ستة وثلاثين. وضعوها جانبا. نخرج البطاقة الثانية ، ستكون الآس باحتمال ثلاثة على خمسة وثلاثين. يعتمد احتمال حدوث حدث ثانٍ على البطاقة التي نرسمها أولاً ، ونتساءل عما إذا كانت بطاقة آس أم لا. ويترتب على هذا أن الحدث B يعتمد على الحدث A.

الخطوة التالية هي إيجاد احتمالية الحدوث المتزامن ، أي نضرب A و B. حاصل ضربهما على النحو التالي: يتم ضرب احتمال حدث واحد في الاحتمال الشرطي لحدث آخر ، والذي نحسبه ، بافتراض أن الأول حدث حدث ، أي مع البطاقة الأولى رسمنا الآس.

لتوضيح كل شيء ، دعنا نعطي تسمية لعنصر مثل الأحداث. يتم حسابه ، بافتراض وقوع الحدث "أ". محسوبة على النحو التالي: P (B / A).

دعنا نواصل حل مشكلتنا: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) أو P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). الاحتمال هو (4/36) * ((3/35) / (4/36). احسب بالتقريب لأقرب جزء من مائة لدينا: 0.11 * (0.09 / 0.11) \u003d 0.11 * 0 ، 82 \u003d 0.09 الاحتمال أننا سنرسم اثنين من الآس على التوالي يساوي تسعمائة. القيمة صغيرة جدًا ، مما يعني أن احتمال وقوع الحدث ضئيل للغاية.

رقم منسي

نقترح تحليل عدد قليل من الخيارات الإضافية للمهام التي تدرسها نظرية الاحتمالات. لقد رأيت بالفعل أمثلة لحل بعضها في هذا المقال ، فلنحاول حل المشكلة التالية: نسي الصبي الرقم الأخير من رقم هاتف صديقه ، ولكن نظرًا لأن المكالمة كانت مهمة جدًا ، فقد بدأ في الاتصال بكل شيء بدوره. نحتاج إلى حساب احتمال أنه لن يتصل أكثر من ثلاث مرات. يكون حل المشكلة أبسط إذا كانت قواعد وقوانين وبديهيات نظرية الاحتمالات معروفة.

قبل النظر إلى الحل ، حاول حله بنفسك. نعلم أن الرقم الأخير يمكن أن يكون من صفر إلى تسعة ، أي عشر قيم فقط. احتمال الحصول على المطلوب هو 1/10.

بعد ذلك ، نحتاج إلى النظر في الخيارات الخاصة بأصل الحدث ، لنفترض أن الصبي قد خمّن بشكل صحيح وقام على الفور بكتابة الحدث المطلوب ، واحتمال حدوث مثل هذا الحدث هو 1/10. الخيار الثاني: المكالمة الأولى خاطئة ، والثانية على الهدف. دعونا نحسب احتمال حدوث مثل هذا الحدث: اضرب 9/10 في 1/9 ، وفي النهاية نحصل أيضًا على 1/10. الخيار الثالث: الاتصال الأول والثاني كانا في العنوان الخطأ ، فقط من الثالث وصل الصبي حيث يريد. نحسب احتمال حدوث مثل هذا الحدث: اضرب 9/10 في 8/9 وفي 1/8 نحصل على 1/10 نتيجة لذلك. لسنا مهتمين بالخيارات الأخرى حسب حالة المشكلة ، لذلك يبقى لنا أن نضيف النتائج التي تم الحصول عليها ، في النهاية لدينا 3/10. الجواب: احتمال ألا يتصل الصبي بأكثر من ثلاث مرات هو 0.3.

عدد البطاقات

أمامك تسع بطاقات ، كل منها بها رقم من واحد إلى تسعة مكتوب ، والأرقام غير مكررة. تم وضعهم في صندوق وخلطهم جيدًا. تحتاج إلى حساب احتمال ذلك

• سيتم إسقاط رقم زوجي ؛
• رقمين.

قبل الشروع في الحل ، دعنا نشترط أن m هو عدد الحالات الناجحة ، و n هو العدد الإجمالي للخيارات. أوجد احتمال أن يكون الرقم زوجيًا. لن يكون من الصعب حساب أن هناك أربعة أعداد زوجية ، وهذا سيكون م لدينا ، تسعة خيارات فقط ممكنة ، أي م \u003d 9. ثم يكون الاحتمال 0.44 أو 4/9.

تأمل الحالة الثانية: عدد الخيارات تسعة ، لكن لا يمكن أن تكون هناك نتائج ناجحة على الإطلاق ، أي أن م يساوي صفرًا. احتمال احتواء البطاقة المسحوبة على رقم مكون من رقمين هو صفر أيضًا.

في الأصل مجرد مجموعة من المعلومات والملاحظة التجريبية للنرد ، أصبحت نظرية الاحتمالية علمًا قويًا. أول من أعطاها إطارًا رياضيًا كان فيرما وباسكال.

من التفكير في النظرية الأبدية إلى نظرية الاحتمالات

يُعرف شخصان تدين لهما نظرية الاحتمالية بالعديد من صيغها الأساسية ، وهما بليز باسكال وتوماس بايز ، بالناس المتدينين بشدة ، والأخير هو كاهن مشيخي. على ما يبدو ، فإن رغبة هذين العالمين في إثبات مغالطة الرأي حول ثروة معينة ، ومنح الحظ السعيد لحيواناتهم الأليفة ، أعطت قوة دافعة للبحث في هذا المجال. في الواقع ، فإن أي لعبة قمار بمكاسبها وخسائرها هي مجرد سيمفونية من المبادئ الرياضية.

بفضل إثارة الفارس دي مير ، الذي كان بنفس القدر لاعبًا وشخصًا غير مبالٍ بالعلم ، اضطر باسكال إلى إيجاد طريقة لحساب الاحتمال. كان De Mere مهتمًا بالسؤال التالي: "كم مرة تحتاج إلى رمي نردتين في أزواج حتى يتجاوز احتمال الحصول على 12 نقطة 50٪؟" السؤال الثاني الذي أثار اهتمام الرجل المحترم: "كيف تقسم الرهان بين المشاركين في اللعبة غير المنتهية؟" وبطبيعة الحال ، نجح باسكال في الإجابة على كلا السؤالين من قبل دي مير ، الذي أصبح الرائد عن غير قصد في تطوير نظرية الاحتمال. من المثير للاهتمام أن شخصية دي مير ظلت مشهورة في هذا المجال ، وليس في الأدب.

في السابق ، لم يحاول أي عالم رياضيات حساب احتمالات الأحداث ، حيث كان يُعتقد أن هذا كان مجرد حل للتخمين. قدم بليز باسكال أول تعريف لاحتمال وقوع حدث وأظهر أن هذا رقم محدد يمكن إثباته رياضياً. أصبحت نظرية الاحتمالية أساس الإحصاء وتستخدم على نطاق واسع في العلوم الحديثة.

ما هي العشوائية

إذا أخذنا في الاعتبار اختبارًا يمكن تكراره لعدد لا نهائي من المرات ، فيمكننا تحديد حدث عشوائي. هذه إحدى النتائج المحتملة للتجربة.

الخبرة هي تنفيذ إجراءات محددة في ظل ظروف ثابتة.

لتكون قادرًا على العمل مع نتائج التجربة ، يتم تحديد الأحداث عادةً بواسطة الأحرف A ، B ، C ، D ، E ...

احتمال وقوع حدث عشوائي

لكي تكون قادرًا على بدء الجزء الرياضي من الاحتمال ، من الضروري تحديد جميع مكوناته.

احتمال وقوع حدث هو مقياس رقمي لإمكانية وقوع حدث (أ أو ب) نتيجة للتجربة. يتم تعيين الاحتمال على أنه P (A) أو P (B).

تتميز نظرية الاحتمالات بما يلي:

• موثوق بها الحدث مضمون حدوثه نتيجة للتجربة P (Ω) \u003d 1 ؛
• مستحيل لا يمكن أن يحدث الحدث أبدًا Р (Ø) \u003d 0 ؛
• عرضي يقع الحدث بين مؤكد ومستحيل ، أي أن احتمال حدوثه ممكن ، لكنه غير مضمون (احتمال وقوع حدث عشوائي يكون دائمًا ضمن حدود 0≤P (A) ≤ 1).

العلاقات بين الأحداث

ضع في اعتبارك واحدًا ومجموع الأحداث A + B ، عندما يتم حساب الحدث عند تنفيذ أحد المكونات على الأقل ، A أو B ، أو كلاهما A و B.

فيما يتعلق ببعضها البعض ، يمكن أن تكون الأحداث:

• ممكن بنفس القدر.
• متناسق.
• غير متوافق.
• العكس (يستبعد أحدهما الآخر).
• مدمن.

إذا كان من الممكن حدوث حدثين باحتمالية متساوية ، فعندئذٍ ممكن بالتساوي.

إذا لم يقلل وقوع الحدث A من احتمال حدوث الحدث B إلى الصفر ، فعندئذٍ هم متناسق.

إذا لم يحدث الحدثان A و B في نفس الوقت في نفس التجربة ، فسيتم استدعاؤهما غير متوافق... يعد إلقاء عملة معدنية مثالاً جيدًا: فالذيول ليست وجهًا تلقائيًا.

يتكون احتمال مجموع هذه الأحداث غير المتوافقة من مجموع احتمالات كل حدث من الأحداث:

ل (أ + ب) \u003d ف (أ) + ف (ب)

إذا كان بدء حدث ما يجعل ظهور حدث آخر مستحيلًا ، فيُدعى العكس. ثم يتم تحديد أحدهما على أنه A ، والآخر - Ā (يُقرأ على أنه "ليس A"). وقوع الحدث أ يعني أن Ā لم يحدث. يشكل هذان الحدثان مجموعة كاملة مع مجموع الاحتمالات يساوي 1.

الأحداث التابعة لها تأثير متبادل ، مما يقلل أو يزيد من احتمالية حدوث بعضهما البعض.

العلاقات بين الأحداث. أمثلة على

باستخدام الأمثلة ، من الأسهل بكثير فهم مبادئ نظرية الاحتمالية ومجموعة الأحداث.

تتمثل التجربة التي سيتم تنفيذها في إخراج الكرات من الصندوق ، وتكون نتيجة كل تجربة نتيجة أولية.

الحدث هو أحد النتائج المحتملة للتجربة - كرة حمراء ، كرة زرقاء ، كرة رقم ستة ، إلخ.

اختبار رقم 1. تشارك 6 كرات ، ثلاث منها ملونة بالأزرق بأرقام فردية ، وثلاث أخرى باللون الأحمر بأرقام زوجية.

رقم الاختبار 2. تشارك 6 كرات زرقاء بأرقام من واحد إلى ستة.

بناءً على هذا المثال ، يمكنك تسمية المجموعات:

• حدث موثوق. في ISP. رقم 2 ، حدث "الحصول على الكرة الزرقاء" يمكن الاعتماد عليه ، لأن احتمال حدوثه هو 1 ، نظرًا لأن جميع الكرات زرقاء ولا يمكن تفويتها. في حين أن حدث "الحصول على الكرة بالرقم 1" يكون عشوائيًا.
• حدث مستحيل. في ISP. رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء ، فإن حدث "الحصول على الكرة الأرجواني" مستحيل ، لأن احتمال حدوثه هو صفر.
• الأحداث الممكنة على قدم المساواة. في ISP. رقم 1 من الأحداث "الحصول على الكرة بالرقم 2" و "الحصول على الكرة بالرقم 3" ممكنان بشكل متساوٍ ، والأحداث "الحصول على الكرة برقم زوجي" و "الحصول على الكرة بالرقم 2 "لها احتمالات مختلفة.
• أحداث متوافقة. الحصول على ستة على التوالي مرتين على التوالي أحداث متوافقة.
• أحداث غير متوافقة. في نفس ISP. رقم 1 ، لا يمكن الجمع بين الحدثين "الحصول على كرة حمراء" و "الحصول على كرة برقم فردي" في نفس التجربة.
• الأحداث المعاكسة. ولعل أبرز مثال على ذلك هو رمي العملة حيث يكون رسم الرؤوس مساويًا لعدم رسم ذيول ، ومجموع احتمالاتها دائمًا 1 (مجموعة كاملة).
• الأحداث التابعة... لذلك ، باللغة الإسبانية. # 1 ، يمكنك تحديد هدف لاستخراج الكرة الحمراء مرتين على التوالي. يتم استرجاعها أو عدم استرجاعها في المرة الأولى التي تؤثر على احتمالية استرجاعها مرة ثانية.

يمكن ملاحظة أن الحدث الأول يؤثر بشكل كبير على احتمالية الثانية (40٪ و 60٪).

صيغة احتمالية الحدث

يحدث الانتقال من أفكار الكهانة إلى البيانات الدقيقة عن طريق ترجمة الموضوع إلى مستوى رياضي. أي أن الأحكام المتعلقة بحدث عشوائي مثل "الاحتمالية العالية" أو "الحد الأدنى من الاحتمال" يمكن ترجمتها إلى بيانات عددية محددة. هذه المواد مسموح بها بالفعل للتقييم والمقارنة والدخول في حسابات أكثر تعقيدًا.

من وجهة نظر الحساب ، تعريف احتمالية حدث ما هو نسبة عدد النتائج الإيجابية الأولية إلى عدد جميع النتائج المحتملة للتجربة فيما يتعلق بحدث معين. يُشار إلى الاحتمالية من خلال P (A) ، حيث تعني P كلمة "probabilite" ، والتي تُترجم من الفرنسية على أنها "probabilite".

إذن ، معادلة احتمالية وقوع حدث ما:

حيث m هو عدد النتائج الإيجابية للحدث A ، n هو مجموع كل النتائج الممكنة لهذه التجربة. في هذه الحالة ، يقع احتمال وقوع حدث دائمًا بين 0 و 1:

0 ≤ الفوسفور (أ) ≤ 1.

حساب احتمال وقوع حدث. مثال

لنأخذ الإسبانية. بالون رقم 1 كما هو موضح سابقًا: 3 بالونات زرقاء بأرقام 1/3/5 و 3 بالونات حمراء بأرقام 2/4/6.

يمكن اعتبار عدة مهام مختلفة بناءً على هذا الاختبار:

• أ- سقوط الكرة الحمراء. هناك ثلاث كرات حمراء ، وهناك 6 متغيرات في المجموع ، وهذا هو أبسط مثال ، حيث يكون احتمال وقوع حدث هو P (A) \u003d 3/6 \u003d 0.5.
• ب - رقم زوجي مسقط. هناك 3 (2،4،6) أرقام زوجية في المجموع ، والعدد الإجمالي للمتغيرات العددية المحتملة هو 6. احتمال هذا الحدث هو P (B) \u003d 3/6 \u003d 0.5.
• C - السقوط من رقم أكبر من 2. هناك 4 مثل هذه الخيارات (3،4،5،6) من العدد الإجمالي للنتائج المحتملة 6. احتمال الحدث C هو P (C) \u003d 4/6 \u003d 0.67.

كما يتضح من الحسابات ، فإن للحدث C احتمالية عالية ، حيث أن عدد النتائج الإيجابية المحتملة أعلى من A و B.

أحداث غير متوافقة

لا يمكن أن تظهر مثل هذه الأحداث في نفس الوقت في نفس التجربة. مثل كلمة ISP. رقم 1 من المستحيل الوصول إلى الكرة الزرقاء والحمراء في نفس الوقت. أي يمكنك الحصول على كرة زرقاء أو حمراء. وبالمثل ، لا يمكن أن يظهر الرقم الفردي والزوجي على القالب في نفس الوقت.

يعتبر احتمال حدثين بمثابة احتمال لمجموعهما أو حاصل ضربهما. يعتبر مجموع هذه الأحداث A + B حدثًا يتكون من ظهور حدث A أو B ، ومنتجهما AB في مظهر كليهما. على سبيل المثال ، ظهور اثنين من الستات مرة واحدة على حواف نردتين في لفة واحدة.

مجموع الأحداث المتعددة هو حدث يفترض ظهور واحد منها على الأقل. إنتاج العديد من الأحداث هو المظهر المشترك لكل منهم.

في نظرية الاحتمال ، كقاعدة عامة ، يشير استخدام الاتحاد "و" إلى المجموع ، الاتحاد "أو" - الضرب. سوف تساعدك الصيغ مع الأمثلة على فهم منطق الجمع والضرب في نظرية الاحتمالات.

احتمال مجموع الأحداث غير المتسقة

إذا تم النظر في احتمال وقوع أحداث غير متسقة ، فإن احتمال مجموع الأحداث يساوي إضافة احتمالاتها:

ل (أ + ب) \u003d ف (أ) + ف (ب)

على سبيل المثال: احسب الاحتمال في isp. رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء سوف يسقط رقمًا بين 1 و 4. لنحسب ليس في إجراء واحد ، ولكن مجموع احتمالات المكونات الأولية. لذلك ، في مثل هذه التجربة لا يوجد سوى 6 كرات أو 6 من جميع النتائج الممكنة. الأرقام التي تحقق الشرط هي 2 و 3. احتمال الحصول على الرقم 2 هو 1/6 ، واحتمال الرقم 3 هو أيضًا 1/6. احتمال إسقاط رقم بين 1 و 4 هو:

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة للمجموعة الكاملة هو 1.

لذا ، إذا جمعت احتمالات السقوط من بين جميع الأرقام في التجربة باستخدام المكعب ، فستكون النتيجة واحدة.

ينطبق هذا أيضًا على الأحداث المعاكسة ، على سبيل المثال ، في تجربة عملة معدنية ، حيث يكون أحد جوانبها هو الحدث A ، والآخر هو الحدث المعاكس Ā ، كما تعلم ،

الفوسفور (أ) + الفوسفور (Ā) \u003d 1

احتمالية إنتاج أحداث غير متسقة

يتم استخدام الضرب الاحتمالي عند النظر في ظهور حدثين غير متوافقين أو أكثر في ملاحظة واحدة. احتمال ظهور الحدثين A و B فيه في وقت واحد يساوي ناتج احتمالاتهما ، أو:

الفوسفور (أ * ب) \u003d ف (أ) * ف (ب)

على سبيل المثال ، احتمالية ذلك باللغة الإسبانية. №1 نتيجة محاولتين ، ستظهر كرة زرقاء مرتين ، متساوية

أي أن احتمال وقوع حدث عندما يتم سحب الكرات الزرقاء فقط نتيجة محاولتين لاستخراج الكرات هو 25٪. من السهل جدًا إجراء تجارب عملية على هذه المهمة ومعرفة ما إذا كان هذا هو الحال بالفعل.

الأحداث المشتركة

تعتبر الأحداث مشتركة عندما يتزامن ظهور أحدها مع ظهور آخر. على الرغم من أنها مشتركة ، يتم النظر في احتمال وقوع أحداث مستقلة. على سبيل المثال ، يمكن أن يعطي رمي نردتين نتيجة عندما يحصل كلاهما على الرقم 6. على الرغم من أن الأحداث تزامنت وظهرت في وقت واحد ، إلا أنها مستقلة عن بعضها البعض - يمكن أن تسقط ستة واحدة فقط ، بينما لا يكون للنرد الثاني أي تأثير عليها.

يعتبر احتمال الأحداث المشتركة بمثابة احتمال لمجموعها.

احتمال مجموع الأحداث المشتركة. مثال

إن احتمال مجموع الأحداث A و B ، المشتركين فيما يتعلق ببعضهما البعض ، يساوي مجموع احتمالات الحدث مطروحًا منه احتمال منتجهم (أي التنفيذ المشترك):

مفصل R (أ + ب) \u003d ف (أ) + ف (ب) - ف (أب)

لنفترض أن احتمال إصابة هدف برصاصة واحدة هو 0.4. ثم حدث أ - إصابة الهدف في المحاولة الأولى ، ب - في المحاولة الثانية. هذه الأحداث مشتركة ، لأنه من الممكن إصابة الهدف من كلتا الطلقات الأولى والثانية. لكن الأحداث لا تعتمد. ما هو احتمال إصابة هدف بقطعتين (واحدة على الأقل)؟ حسب الصيغة:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

والجواب على السؤال: "احتمال إصابة الهدف بضربتين 64٪".

يمكن أيضًا تطبيق هذه الصيغة الخاصة باحتمالية وقوع حدث ما على الأحداث غير المتسقة ، حيث يكون احتمال الحدوث المشترك لحدث P (AB) \u003d 0. وهذا يعني أن احتمال مجموع الأحداث غير المتسقة يمكن اعتباره حالة خاصة من الصيغة المقترحة.

هندسة الاحتمالية من أجل الوضوح

ومن المثير للاهتمام أن احتمال مجموع الأحداث المشتركة يمكن تمثيله كمنطقتين أ و ب ، اللتين تتقاطعان مع بعضهما البعض. كما ترى من الصورة ، فإن مساحة اتحادهم تساوي المساحة الكلية مطروحًا منها مساحة تقاطعهم. هذه التفسيرات الهندسية تجعل الصيغة أوضح للوهلة الأولى ، غير منطقية. لاحظ أن الحلول الهندسية ليست غير شائعة في نظرية الاحتمالات.

يعد تحديد احتمال مجموع مجموعة (أكثر من اثنين) من الأحداث المشتركة أمرًا مرهقًا إلى حد ما. لحسابها ، تحتاج إلى استخدام الصيغ المتوفرة لهذه الحالات.

الأحداث التابعة

يتم استدعاء الأحداث التابعة إذا كان حدوث أحدها (أ) يؤثر على احتمال حدوث أخرى (ب). علاوة على ذلك ، يؤخذ في الاعتبار تأثير ظهور الحدث A وعدم ظهوره. على الرغم من أن الأحداث تسمى تابعة حسب التعريف ، إلا أن واحدًا منها فقط يعتمد على (B). تم الإشارة إلى الاحتمال المعتاد على أنه P (B) أو احتمال وقوع أحداث مستقلة. في حالة التابع ، يتم تقديم مفهوم جديد - الاحتمال الشرطي P A (B) ، وهو احتمال الحدث التابع B في ظل حالة الحدث A (الفرضية) ، التي تعتمد عليها.

لكن الحدث A عشوائي أيضًا ، وبالتالي فإن له أيضًا احتمالًا يجب ويمكن أخذه في الاعتبار في الحسابات. سيوضح المثال التالي كيفية التعامل مع الأحداث التابعة والفرضية.

مثال على حساب احتمالية الأحداث التابعة

من الأمثلة الجيدة لحساب الأحداث التابعة مجموعة أوراق اللعب القياسية.

باستخدام مجموعة من 36 بطاقة كمثال ، ضع في اعتبارك الأحداث التابعة. من الضروري تحديد احتمال أن تكون البطاقة الثانية المسحوبة من سطح السفينة من الماس ، إذا تم سحب البطاقة الأولى:

1. الماس.
2. حلة أخرى.

من الواضح أن احتمال الحدث الثاني B يعتمد على الأول A. لذا ، إذا كان الخيار الأول صحيحًا ، فهناك بطاقة واحدة (35) في المجموعة ودف واحد (8) أقل ، فإن احتمال الحدث B:

الفوسفور أ (ب) \u003d 8/35 \u003d 0.23

إذا كان الخيار الثاني صحيحًا ، فهناك 35 بطاقة في المجموعة ، ولا يزال العدد الكامل من الدفوف (9) محفوظًا ، ثم احتمال الحدث التالي ب:

ف أ (ب) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

يمكن ملاحظة أنه إذا تم الاتفاق على الحدث A على أن البطاقة الأولى هي الدف ، فإن احتمال الحدث B يتناقص والعكس صحيح.

مضاعفة الأحداث التابعة

بناءً على الفصل السابق ، نأخذ الحدث الأول (أ) كحقيقة ، لكنه في جوهره عشوائي. احتمال هذا الحدث ، أي استخراج الدف من مجموعة أوراق اللعب ، يساوي:

الفوسفور (أ) \u003d 9/36 \u003d 1/4

نظرًا لأن النظرية لا توجد في حد ذاتها ، ولكن يُقصد منها أن تخدم لأغراض عملية ، فمن الإنصاف القول إنه غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى احتمال إنتاج أحداث تابعة.

وفقًا للنظرية حول ناتج احتمالات الأحداث التابعة ، فإن احتمال حدوث أحداث مرتبطة بشكل مشترك A و B يساوي احتمال حدث واحد A ، مضروبًا في الاحتمال الشرطي للحدث B (يعتمد على A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

ثم ، في المثال الذي يحتوي على سطح السفينة ، فإن احتمال سحب ورقتين ببدلة الدف هو:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571 أو 5.7٪

واحتمال استخراج الدفوف في البداية ثم الدفوف يساوي:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19 أو 19٪

يمكن ملاحظة أن احتمالية وقوع الحدث B أكبر ، بشرط أن تكون البطاقة الأولى مأخوذة من بدلة غير الدف. هذه النتيجة منطقية ومفهومة تمامًا.

إجمالي احتمال وقوع الحدث

عندما تصبح مشكلة الاحتمالات الشرطية متعددة الأوجه ، لا يمكن حسابها باستخدام الطرق التقليدية. عندما يكون هناك أكثر من فرضيتين ، وهما A1 ، A2 ، ... ، و n ، .. تشكل مجموعة كاملة من الأحداث تحت الشرط:

• P (A i)\u003e 0 ، i \u003d 1،2 ، ...
• A i ∩ A j \u003d Ø، i ≠ j.
• Σ ل أ ل \u003d Ω.

إذن ، فإن معادلة الاحتمال الإجمالي للحدث B بمجموعة كاملة من الأحداث العشوائية A1 ، A2 ، ... ، و n تساوي:

نظرة إلى المستقبل

يعد احتمال وقوع حدث عشوائي أمرًا ضروريًا للغاية في العديد من مجالات العلوم: الاقتصاد القياسي والإحصاء والفيزياء وما إلى ذلك ، نظرًا لأن بعض العمليات لا يمكن وصفها بشكل حتمي ، نظرًا لأن لها هي نفسها طبيعة احتمالية ، هناك حاجة إلى طرق عمل خاصة. يمكن استخدام نظرية الاحتمالية في أي مجال تقني كطريقة لتحديد احتمال حدوث خطأ أو عطل.

يمكننا القول أننا ، مع إدراك الاحتمال ، نقوم بطريقة ما بخطوة نظرية في المستقبل ، بالنظر إليه من خلال منظور الصيغ.

• الاحتمال هو درجة (قياس نسبي ، تقييم كمي) لإمكانية وقوع حدث معين. عندما تفوق أسباب حدوث بعض الأحداث المحتملة فعليًا الأسباب المعاكسة ، يُطلق على الحدث اسم محتمل ، وإلا فهو غير محتمل أو غير محتمل. يمكن أن تكون غلبة الأسباب الإيجابية على الأسباب السلبية ، والعكس بالعكس ، بدرجات متفاوتة ، ونتيجة لذلك يكون الاحتمال (وعدم الاحتمالية) أكبر أو أقل. لذلك ، غالبًا ما يتم تقييم الاحتمالية على مستوى نوعي ، خاصة في الحالات التي يكون فيها التقييم الكمي الدقيق إلى حد ما مستحيلًا أو صعبًا للغاية. التدرجات المختلفة "لمستويات" الاحتمال ممكنة.

  تعتبر دراسة الاحتمالات من وجهة نظر رياضية تخصصًا خاصًا - نظرية الاحتمال. في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي ، يتم إضفاء الطابع الرسمي على مفهوم الاحتمال كسمة عددية لحدث - مقياس احتمالي (أو قيمته) - مقياس على مجموعة من الأحداث (مجموعات فرعية من مجموعة من الأحداث الأولية) ، مع أخذ القيم من

  (displaystyle 0)

  (displaystyle 1)

  قيمة

  (displaystyle 1)

  يتوافق مع حدث صالح. حدث مستحيل له احتمال 0 (العكس ليس صحيحًا دائمًا). إذا كان احتمال وقوع حدث

  (displaystyle p)

  ثم احتمال عدم حدوثه

  (displaystyle 1-p)

  على وجه الخصوص ، الاحتمال

  (displaystyle 1/2)

  يعني الاحتمال المتساوي لوقوع الحدث وعدم حدوثه.

  يعتمد التعريف الكلاسيكي للاحتمال على فكرة الاحتمال المتساوي للنتائج. نسبة عدد النتائج المواتية لحدث معين إلى العدد الإجمالي للنتائج الممكنة المتساوية تعمل كاحتمال. على سبيل المثال ، احتمال الحصول على "صورة" أو "ذيول" في رمي عشوائي هو 1/2 إذا افترض وجود هذين الاحتمالين فقط وهما ممكنان بشكل متساوٍ. يمكن تعميم "التعريف" الكلاسيكي للاحتمالية على حالة عدد لا حصر له من القيم المحتملة - على سبيل المثال ، إذا كان من الممكن حدوث حدث ما باحتمالية متساوية في أي نقطة (عدد النقاط غير محدود) في منطقة محدودة معينة من الفضاء (المستوى) ، فإن احتمال حدوثه في جزء معين من هذه المنطقة المسموح بها يساوي نسبة حجم (مساحة) هذا الجزء إلى حجم (مساحة) مساحة الكل النقاط المحتملة.

  يرتبط "التعريف" التجريبي للاحتمال بتكرار حدوث الحدث على أساس أنه مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من الاختبارات ، يجب أن يميل التكرار إلى الدرجة الموضوعية لإمكانية حدوث هذا الحدث. في العرض الحديث لنظرية الاحتمال ، يتم تعريف الاحتمال بشكل بديهي ، كحالة خاصة للنظرية المجردة لقياس مجموعة. ومع ذلك ، فإن الرابط بين المقياس المجرد والاحتمال ، الذي يعبر عن درجة احتمال وقوع حدث ما ، هو على وجه التحديد تواتر ملاحظته.

  أصبح الوصف الاحتمالي لظواهر معينة واسع الانتشار في العلوم الحديثة ، ولا سيما في الاقتصاد القياسي ، والفيزياء الإحصائية للأنظمة العيانية (الديناميكية الحرارية) ، حيث حتى في حالة الوصف الحتمي الكلاسيكي لحركة الجسيمات ، وصف حتمي لنظام كامل من لا تبدو الجسيمات ممكنة ومناسبة عمليًا. في فيزياء الكم ، العمليات الموصوفة نفسها ذات طبيعة احتمالية.