القيمة المطلقة للرقم أهي المسافة من الأصل إلى النقطة أ(أ).

لفهم هذا التعريف ، استبدل المتغير أأي رقم ، على سبيل المثال 3 وحاول قراءته مرة أخرى:

القيمة المطلقة للرقم 3 هي المسافة من الأصل إلى النقطة أ(3 ).

يصبح من الواضح أن الوحدة ليست أكثر من مسافة عادية. دعنا نحاول معرفة المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة A ( 3 )

المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة أ ( 3 ) يساوي 3 (ثلاث وحدات أو ثلاث خطوات).

يُشار إلى معامل الرقم بخطين عموديين ، على سبيل المثال:

يُشار إلى معامل الرقم 3 على النحو التالي: | 3 |

يُشار إلى معامل الرقم 4 على النحو التالي: | 4 |

يُرمز إلى معامل الرقم 5 على النحو التالي: | 5 |

كنا نبحث عن مقياس العدد 3 ووجدنا أنه يساوي 3. فنكتب:

يقرأ مثل: "معامل الرقم ثلاثة هو ثلاثة"

لنحاول الآن إيجاد مقياس العدد -3. مرة أخرى ، عد إلى التعريف واستبدل الرقم -3 فيه. فقط بدلا من نقطة أاستخدم نقطة جديدة ب... هدف أاستخدمناها بالفعل في المثال الأول.

أرقام مودولو - 3 هي المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة ب(—3 ).

لا يمكن أن تكون المسافة من نقطة إلى أخرى سالبة. لذلك ، فإن مقياس أي عدد سالب ، كونه مسافة ، لن يكون سالبًا أيضًا. سيكون معامل الرقم -3 هو الرقم 3. المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة B (-3) هي أيضًا ثلاث وحدات:

يقرأ مثل: "مقياس العدد ناقص ثلاثة يساوي ثلاثة"

القيمة المطلقة للرقم 0 هي 0 ، لأن النقطة ذات الإحداثي 0 تتطابق مع الأصل ، أي المسافة من نقطة الأصل إلى نقطة يا (0)يساوي الصفر:

"المعامل الصفري يساوي صفر"

نستخلص النتائج:

• لا يمكن أن يكون مقياس العدد سالبًا ؛
• بالنسبة للعدد الموجب والصفر ، فإن المقياس يساوي العدد نفسه ، وللعدد السالب الرقم المقابل ؛
• الأرقام المقابلة لها وحدات متساوية.

أرقام مقابل

يتم استدعاء الأرقام التي تختلف في العلامات فقط ضد... على سبيل المثال ، الرقمان 2 و 2 متعاكسان. هم يختلفون فقط في العلامات. الرقم −2 له علامة ناقص ، و 2 له علامة زائد ، لكننا لا نراه ، لأن الجمع ، كما قلنا سابقًا ، لا يُكتب تقليديًا.

المزيد من الأمثلة على الأرقام المعاكسة:

الأرقام المقابلة لها وحدات متساوية. على سبيل المثال ، دعنا نجد الوحدات النمطية لـ −2 و 2

يوضح الشكل أن المسافة من الأصل إلى النقاط أ (2)و ب (2)يساوي بالتساوي خطوتين.

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة

نحن لا نختار الرياضياتمهنتها واختارتنا.

عالم الرياضيات الروسي Yu.I. مانين

المعادلات ذات المعامل

تعتبر المعادلات التي تحتوي على متغيرات تحت علامة المقياس أصعب حل لمشكلات الرياضيات المدرسية. لحل هذه المعادلات بنجاح ، تحتاج إلى معرفة التعريف والخصائص الأساسية للوحدة. بطبيعة الحال ، يجب أن يتمتع الطلاب بالمهارات اللازمة لحل المعادلات من هذا النوع.

المفاهيم والخصائص الأساسية

المعامل (القيمة المطلقة) للعدد الحقيقييعني ويتم تعريفه على النحو التالي:

تتضمن الخصائص البسيطة للوحدة النسب التالية:

ملحوظة، أن آخر خاصيتين صالحتين لأي درجة زوجية.

بالإضافة إلى ذلك ، إذا ، أين ، إذن

خصائص وحدة أكثر تعقيدًا, والتي يمكن استخدامها بشكل فعال لحل المعادلات بالوحدات النمطية, تمت صياغتها عن طريق النظريات التالية:

نظرية 1.لأية وظائف تحليليةو عدم المساواة هو الصحيح

نظرية 2.المساواة تعادل عدم المساواة.

نظرية 3.المساواة يعادل عدم المساواة.

لنفكر في الأمثلة النموذجية لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "المعادلات, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة ".

حل المعادلات بالمعامل

الطريقة الأكثر شيوعًا في الرياضيات المدرسية لحل المعادلات باستخدام وحدة هي الطريقة, على أساس توسيع الوحدات. هذه الطريقة متعددة الاستخدامات, ومع ذلك ، بشكل عام ، يمكن أن يؤدي تطبيقه إلى حسابات مرهقة للغاية. في هذا الصدد ، يجب أن يكون الطلاب على دراية بالآخرين, طرق وتقنيات أكثر فاعلية لحل مثل هذه المعادلات. خاصه, تحتاج إلى مهارات في تطبيق النظريات, الواردة في هذه المقالة.

مثال 1.حل المعادلة. (واحد)

المحلول. سيتم حل المعادلة (1) بالطريقة "الكلاسيكية" - طريقة توسيع الوحدات. للقيام بذلك ، قمنا بتقسيم محور الأرقامالنقاط و على فترات والنظر في ثلاث حالات.

1. إذا ، إذن ، ، وتأخذ المعادلة (1) الشكل. ومن ثم يتبع. ومع ذلك ، فإن القيمة التي تم العثور عليها هنا ليست جذر المعادلة (1).

2. إذا ، ثم من المعادلة (1) نحصل عليهاأو .

منذ ذلك الحين جذر المعادلة (1).

3. إذا ، ثم تأخذ المعادلة (1) الشكلأو . لاحظ أن.

إجابه: ، .

عند حل المعادلات اللاحقة بوحدة نمطية ، سنستخدم بنشاط خصائص الوحدات لزيادة كفاءة حل هذه المعادلات.

مثال 2.حل المعادلة.

المحلول.منذ و ثم المعادلة تعني... في هذا الصدد،،، وتأخذ المعادلة الشكل... من هذا نحصل عليه... ولكن ، لذلك ، فإن المعادلة الأصلية ليس لها جذور.

الجواب: لا جذور.

مثال 3.حل المعادلة.

المحلول.منذ ذلك الحين. اذا ثم، وتأخذ المعادلة الشكل.

من هنا وصلنا.

مثال 4.حل المعادلة.

المحلول.نعيد كتابة المعادلة في صورة مكافئة. (2)

المعادلة الناتجة تنتمي إلى معادلات من النوع.

مع الأخذ في الاعتبار النظرية 2 ، يمكن القول بأن المعادلة (2) تعادل متباينة. من هنا وصلنا.

إجابه: .

مثال 5.حل المعادلة.

المحلول. هذه المعادلة لها الشكل... لذا ، وفقًا للنظرية 3, هنا لدينا عدم المساواةأو .

مثال 6.حل المعادلة.

المحلول.لنفترض أن. لأن ، ثم تأخذ المعادلة المعطاة شكل معادلة تربيعية, (3)

أين ... بما أن المعادلة (3) لها جذر موجب واحدوثم ... ومن ثم ، نحصل على جذرين من المعادلة الأصلية:و .

مثال 7. حل المعادلة. (4)

المحلول. منذ المعادلةيعادل مجموعة من معادلتين:و ، ثم ، عند حل المعادلة (4) ، من الضروري النظر في حالتين.

1. إذا ، إذن أو.

من هنا نحصل ، و.

2. إذا ، إذن أو.

منذ ذلك الحين.

إجابه: ، ، ، .

المثال 8.حل المعادلة . (5)

المحلول.منذ ذلك الحين وبعد ذلك. من هذا ومن المعادلة (5) يتبع ذلك ، أي. هنا لدينا نظام المعادلات

ومع ذلك ، فإن نظام المعادلات هذا غير متسق.

الجواب: لا جذور.

المثال 9. حل المعادلة. (6)

المحلول.إذا أشرنا ، إذن ومن المعادلة (6) نحصل عليها

أو . (7)

بما أن المعادلة (7) لها الشكل ، فإن هذه المعادلة تعادل متباينة. من هنا وصلنا. منذ ذلك الحين أو.

إجابه: .

المثال 10.حل المعادلة. (8)

المحلول.وفقًا للنظرية 1 ، يمكننا الكتابة

(9)

مع الأخذ في الاعتبار المعادلة (8) ، نستنتج أن كلا التفاوتات (9) تتحول إلى مساواة ، أي نظام المعادلات يحمل

ومع ذلك ، من خلال النظرية 3 ، فإن نظام المعادلات أعلاه يعادل نظام عدم المساواة

(10)

حل نظام المتباينات (10) نحصل عليها. بما أن نظام المتباينات (10) يعادل المعادلة (8) ، فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد.

إجابه: .

المثال 11. حل المعادلة. (11)

المحلول.دعونا ، ثم المساواة تأتي من المعادلة (11).

ومن ثم يتبع ذلك و. وهكذا ، لدينا هنا نظام من عدم المساواة

الحل لهذا النظام من عدم المساواة هوو .

إجابه: ، .

المثال 12.حل المعادلة. (12)

المحلول. سيتم حل المعادلة (12) بطريقة التمديد التسلسلي للوحدات النمطية. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك عدة حالات.

1. إذا ، إذن.

1.1 إذا ، إذن ، و.

1.2 اذا ثم. ولكن ، لذلك ، في هذه الحالة ، المعادلة (12) ليس لها جذور.

2. إذا ، إذن.

2.1. إذا ، إذن ، و.

2.2. إذا ، ثم و.

إجابه: ، ، ، ، .

المثال 13.حل المعادلة. (13)

المحلول.بما أن الجانب الأيسر من المعادلة (13) غير سالب ، إذن و. وفي هذا الصدد ، والمعادلة (13)

يأخذ الشكل أو.

ومن المعروف أن المعادلة يعادل توليفة من معادلتينو ، تحديد ما نحصل عليهو. لأن ، ثم المعادلة (13) لها جذر واحد.

إجابه: .

المثال 14. حل نظام المعادلات (14)

المحلول.منذ و ، ثم و. لذلك ، من نظام المعادلات (14) نحصل على أربعة أنظمة من المعادلات:

جذور أنظمة المعادلات المذكورة أعلاه هي جذور نظام المعادلات (14).

إجابه: ،، ، ، ، ، ، .

المثال 15. حل نظام المعادلات (15)

المحلول.منذ ذلك الحين. في هذا الصدد ، من نظام المعادلات (15) ، نحصل على نظامين من المعادلات

جذور نظام المعادلات الأول هي و ، ومن نظام المعادلات الثاني نحصل على و.

إجابه: ، ، ، .

المثال 16. حل نظام المعادلات (16)

المحلول.من المعادلة الأولى للنظام (16) يتبع ذلك.

منذ ذلك الحين ... تأمل المعادلة الثانية للنظام. بقدر ما، ومن بعد ، وتأخذ المعادلة الشكل، ، أو .

إذا استبدلت القيمةفي المعادلة الأولى للنظام (16)، ثم ، أو.

إجابه: ، .

لدراسة أعمق لطرق حل المشكلات, المتعلقة بحل المعادلات, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة, يمكنك التوصية بالبرامج التعليمية من قائمة القراءة الموصى بها.

1. مجموعة مشاكل في الرياضيات للمتقدمين للكليات التقنية / إد. م. سكانافي. - م: السلام والتعليم، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: مشاكل متزايدة التعقيد. - M: KD "Librokom" / URSS، 2017. - 200 ص.

3. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: طرق غير قياسية لحل المشكلات. - M: KD "Librokom" / URSS، 2017. - 296 ص.

لا يزال لديك أسئلة؟

للحصول على مساعدة من مدرس - سجل.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

يعد حل المعادلات التي تحتوي على متغير تحت علامة المعامل من أصعب الموضوعات بالنسبة للطلاب. دعونا نفهم ذلك كبداية ، ما الذي يرتبط به هذا؟ لماذا ، على سبيل المثال ، المعادلات التربيعية ينقر معظم الأطفال مثل المكسرات ، وبهذا المفهوم بعيدًا عن التعقيد كوحدة نمطية ، فإنه يحتوي على العديد من المشكلات؟

في رأيي ، ترتبط كل هذه الصعوبات بعدم وجود قواعد مصاغة بوضوح لحل المعادلات بمعامل. لذلك ، عند حل معادلة تربيعية ، يعرف الطالب بالتأكيد أنه يحتاج أولاً إلى تطبيق الصيغة التمييزية ، ثم صيغة جذور المعادلة التربيعية. ولكن ماذا لو كانت هناك وحدة نمطية في المعادلة؟ سنحاول أن نصف بوضوح خطة العمل اللازمة للحالة عندما تحتوي المعادلة على مجهول تحت علامة المعامل. فيما يلي بعض الأمثلة لكل حالة.

لكن أولاً ، دعنا نتذكر تعريف الوحدة... إذن ، مقياس العدد أهذا الرقم نفسه يسمى if أغير سلبي و -أإذا كان الرقم أأقل من الصفر. يمكنك كتابتها على هذا النحو:

| أ | = أ إذا كانت a 0 و | أ | = -a إذا أ< 0

عند الحديث عن المعنى الهندسي للوحدة ، يجب أن نتذكر أن كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة معينة على المحور العددي - ك تنسيق. إذن ، المعامل أو القيمة المطلقة لرقم هو المسافة من هذه النقطة إلى أصل المحور العددي. يتم تحديد المسافة دائمًا كرقم موجب. وبالتالي ، فإن القيمة المطلقة لأي رقم سالب هي رقم موجب. بالمناسبة ، حتى في هذه المرحلة ، يبدأ العديد من الطلاب بالارتباك. يمكن أن يكون أي رقم في الوحدة النمطية ، لكن نتيجة تطبيق الوحدة تكون دائمًا رقمًا موجبًا.

الآن دعنا ننتقل مباشرة إلى حل المعادلات.

1. ضع في اعتبارك معادلة بالصيغة | x | = c ، حيث c هو رقم حقيقي. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام تعريف المقياس.

نقسم جميع الأعداد الحقيقية إلى ثلاث مجموعات: تلك التي تكون أكبر من الصفر ، وتلك الأقل من الصفر ، والمجموعة الثالثة هي الرقم 0. لنكتب الحل في شكل رسم بياني:

(± c إذا كانت c> 0

إذا كان | x | = c ، إذن x = (0 ، إذا كانت c = 0

(لا جذور إذا كان مع< 0

1) | x | = 5 لأن 5> 0 ، ثم x = ± 5 ؛

2) | x | = -5 ، لأن -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | = 0 ، ثم x = 0.

2. معادلة بالصيغة | f (x) | = ب ، حيث ب> 0. لحل هذه المعادلة ، من الضروري التخلص من المقياس. نقوم بذلك على النحو التالي: f (x) = b أو f (x) = -b. الآن من الضروري حل كل من المعادلات التي تم الحصول عليها بشكل منفصل. إذا كان في المعادلة الأصلية ب< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4 لأن 4> 0 ، إذن

س + 2 = 4 أو س + 2 = -4

2) | × 2-5 | = 11 لأن 11> 0 ، إذن

س 2-5 = 11 أو س 2-5 = -11

× 2 = 16 × 2 = -6

س = ± 4 لا جذور

3) | × 2 - 5 × | = -8 ، لأن -ثمانية< 0, то уравнение не имеет корней.

3. معادلة بالصيغة | f (x) | = ز (س). بالمعنى المقصود في الوحدة النمطية ، سيكون لمثل هذه المعادلة حلول إذا كان جانبها الأيمن أكبر من أو يساوي الصفر ، أي g (x) ≥ 0. ثم لدينا:

و (س) = ز (س)أو و (س) = -ج (س).

1) | 2x - 1 | = 5x - 10. هذه المعادلة لها جذور إذا كانت 5x - 10 ≥ 0. ومن هنا يبدأ حل هذه المعادلات.

1.O.D.Z. 5 س - 10 0

2. الحل:

2 س - 1 = 5 س - 10 أو 2 س - 1 = - (5 س - 10)

3. نحن نوحد ODZ. والحل نحصل عليه:

لا يتناسب الجذر x = 11/7 وفقًا لـ O.D.Z. ، فهو أقل من 2 ، و x = 3 يفي بهذا الشرط.

الجواب: س = 3

2) | س - 1 | = 1 - × 2.

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. نحل هذه المتباينة بطريقة الفواصل:

(1 - س) (1 + س) ≥ 0

2. الحل:

س - 1 = 1 - س 2 أو س - 1 = - (1 - × 2)

س 2 + س - 2 = 0 س 2 - س = 0

س = -2 أو س = 1 س = 0 أو س = 1

3. نحن نجمع بين الحل و ODZ:

فقط الجذور x = 1 و x = 0 مناسبة.

الجواب: س = 0 ، س = 1.

4. معادلة بالصيغة | f (x) | = | ك (س) |. هذه المعادلة تعادل المعادلتين التاليتين f (x) = g (x) أو f (x) = -g (x).

1) | × 2 - 5 × + 7 | = | 2x - 5 |. هذه المعادلة تعادل المعادلتين التاليتين:

x 2-5x + 7 = 2x - 5 أو x 2-5x +7 = -2x + 5

س 2 - 7 س + 12 = 0 س 2 - 3 س + 2 = 0

س = 3 أو س = 4 س = 2 أو س = 1

الإجابة: س = 1 ، س = 2 ، س = 3 ، س = 4.

5. حل المعادلات بطريقة الاستبدال (تغيير متغير). طريقة الحل هذه أسهل في الشرح بمثال محدد. لذلك ، دعنا نعطي معادلة تربيعية بمعامل:

× 2 - 6 | × | + 5 = 0. بواسطة خاصية الوحدة النمطية x 2 = | x | 2 ، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

| x | 2-6 | س | + 5 = 0. فلنستبدل | x | = t ≥ 0 ، إذن سيكون لدينا:

t 2 - 6t + 5 = 0. لحل هذه المعادلة ، نجد أن t = 1 أو t = 5. لنعد إلى البديل:

| x | = 1 أو | x | = 5

س = ± 1 س = ± 5

الإجابة: س = -5 ، س = -1 ، س = 1 ، س = 5.

لنأخذ مثالًا آخر:

× 2 + | س | - 2 = 0. بواسطة خاصية الوحدة النمطية x 2 = | x | 2 ، لذلك

| x | 2 + | س | - 2 = 0. فلنستبدل | x | = t ≥ 0 ، ثم:

t 2 + t - 2 = 0. لحل هذه المعادلة ، نحصل على t = -2 أو t = 1. لنعد إلى البديل:

| x | = -2 أو | x | = 1

لا جذور س = ± 1

الإجابة: س = -1 ، س = 1.

6. نوع آخر من المعادلات هو المعادلات ذات المعامل "المركب". تتضمن هذه المعادلات المعادلات التي تحتوي على "وحدات في وحدة نمطية". يمكن حل المعادلات من هذا النوع باستخدام خصائص الوحدة.

1) | 3 - | x || = 4. سنتابع بنفس الطريقة المتبعة في المعادلات من النوع الثاني. لأن 4> 0 ، ثم نحصل على معادلتين:

3 - | x | = 4 أو 3 - | x | = -4.

الآن نعبر في كل معادلة عن المقياس x ، ثم | x | = -1 أو | x | = 7.

نحل كل من المعادلات التي تم الحصول عليها. لا توجد جذور في المعادلة الأولى لأن -واحد< 0, а во втором x = ±7.

الإجابة هي x = -7، x = 7.

2) | 3 + | س + 1 || = 5. نحل هذه المعادلة بنفس الطريقة:

3 + | س + 1 | = 5 أو 3 + | س + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | س + 1 | = -8

س + 1 = 2 أو س + 1 = -2. لا جذور.

الإجابة: س = -3 ، س = 1.

هناك أيضًا طريقة عالمية لحل المعادلات بمعامل. هذه هي طريقة التباعد. لكننا سننظر في الأمر لاحقًا.

blog. site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط للمصدر.

ستساعدك هذه الآلة الحاسبة للرياضيات على الإنترنت حل المعادلة أو عدم المساواة باستخدام المعادلات... برنامج ل حلول المعادلات والمتباينات مع المتغيراتلا يعطي فقط إجابة على المشكلة ، بل يعطيها حل مفصل مع تفسيرات، بمعنى آخر. يعرض عملية الحصول على النتيجة.

يمكن أن يكون هذا البرنامج مفيدًا للطلاب الكبار في المدارس الثانوية استعدادًا للاختبارات والامتحانات ، عند التحقق من المعرفة قبل الامتحان ، للآباء للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أو هل تريد فقط إنهاء واجباتك في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

بهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريسك و / أو تدريس إخوتك الصغار ، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال المشكلات التي يتم حلها.

أدخل المعادلة أو عدم المساواة مع الوحدات

تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، طلبك موجود في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
أرجو الإنتظار ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في القرار، ثم يمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر وماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

المعادلات وعدم المساواة مع الوحدات

في دورة الجبر في المدرسة الأساسية ، قد تواجه أبسط المعادلات وعدم المساواة مع الوحدات. لحلها ، يمكنك تطبيق طريقة هندسية بناءً على حقيقة أن \ (| xa | \) هي المسافة على خط الأعداد بين النقطتين x و a: \ (| xa | = \ rho (x؛ \؛ a ) \). على سبيل المثال ، لحل المعادلة \ (| x-3 | = 2 \) ، تحتاج إلى إيجاد نقاط على خط الأعداد على مسافة 2 من النقطة 3. هناك نقطتان من هذا القبيل: \ (x_1 = 1 \) و \ (x_2 = 5 \) ...

حل المتباينة \ (| 2x + 7 |

لكن الطريقة الرئيسية لحل المعادلات وعدم المساواة مع الوحدات ترتبط بما يسمى "توسيع الوحدة بحكم التعريف":
إذا \ (a \ geq 0 \) ، ثم \ (| a | = a \) ؛
إذا \ (أ كقاعدة عامة ، يتم اختزال المعادلة (عدم المساواة) ذات المقاييس إلى مجموعة من المعادلات (المتباينات) التي لا تحتوي على علامة المقياس.

بالإضافة إلى التعريف المحدد ، يتم استخدام العبارات التالية:
1) إذا \ (c> 0 \) ، فإن المعادلة \ (| f (x) | = c \) تعادل مجموعة من المعادلات: \ (\ left [\ start (array) (l) f (x ) = c \\ f (x) = - c \ end (array) \ right. \)
2) إذا \ (c> 0 \) ، فإن المتباينة \ (| f (x) | 3) إذا \ (c \ geq 0 \) ، فإن المتباينة \ (| f (x) |> c \) هي مكافئ لمجموعة المتباينات: \ (\ left [\ start (array) (l) f (x) c \ end (array) \ right. \)
4) إذا كان كلا طرفي المتباينة \ (f (x) مثال 1. حل المعادلة \ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 = 0 \).

إذا \ (x-1 \ geq 0 \) ، إذن \ (| x-1 | = x-1 \) وتأخذ المعادلة المعطاة الشكل
\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 = 0 \ Rightarrow x ^ 2 + 2x -8 = 0 \).
إذا \ (x-1 \ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 = 0 \ Rightarrow x ^ 2 -2x -4 = 0 \).
وبالتالي ، يجب النظر في المعادلة المحددة بشكل منفصل في كل من الحالتين المشار إليهما.
1) دع \ (x-1 \ geq 0 \) ، أي \ (س \ جيك 1 \). من المعادلة \ (x ^ 2 + 2x -8 = 0 \) نجد \ (x_1 = 2، \؛ x_2 = -4 \). يتم استيفاء الشرط \ (x \ geq 1 \) فقط بالقيمة \ (x_1 = 2 \).
2) اسمحوا \ (س -1 الإجابة: \ (2 ؛ \ ؛ \ ؛ 1- \ الجذر التربيعي (5) \)

مثال 2. حل المعادلة \ (| x ^ 2-6x + 7 | = \ frac (5x-9) (3) \).

الطريقة الأولى(توسيع الوحدة حسب التعريف).
بالمجادلة كما في المثال 1 ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أنه يجب النظر إلى المعادلة المعطاة بشكل منفصل إذا تم استيفاء شرطين: \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) أو \ (x ^ 2-6x + 7

1) إذا \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) ، إذن \ (| x ^ 2-6x + 7 | = x ^ 2-6x + 7 \) وتأخذ المعادلة المعطاة الشكل \ (x ^ 2 -6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \ Rightarrow 3x ^ 2-23x + 30 = 0 \). بعد حل هذه المعادلة التربيعية ، نحصل على: \ (x_1 = 6، \؛ x_2 = \ frac (5) (3) \).
لنكتشف ما إذا كانت القيمة \ (x_1 = 6 \) تفي بالشرط \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \). للقيام بذلك ، نعوض بالقيمة المحددة في متباينة التربيع. نحصل على: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \) ، أي \ (7 \ geq 0 \) هو عدم مساواة حقيقية. ومن ثم ، فإن \ (x_1 = 6 \) هو جذر المعادلة المعطاة.
لنكتشف ما إذا كانت القيمة \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) تفي بالشرط \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \). للقيام بذلك ، نعوض بالقيمة المحددة في متباينة التربيع. نحصل على: \ (\ left (\ frac (5) (3) \ right) ^ 2 - \ frac (5) (3) \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \) ، أي \ (\ frac (25) (9) -3 \ geq 0 \) - عدم مساواة غير صحيحة. ومن ثم ، فإن \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) ليس جذرًا للمعادلة المحددة.

2) إذا كان \ (x ^ 2-6x + 7 Value \ (x_3 = 3 \) يفي بالشرط \ (x ^ 2-6x + 7 Value \ (x_4 = \ frac (4) (3) \) غير مُرضٍ الشرط \ (س ^ 2-6x + 7 لذلك ، فإن المعادلة المعطاة لها جذرين: \ (س = 6 ، \ ؛ س = 3 \).

الطريقة الثانية.إذا تم إعطاء المعادلة \ (| f (x) | = h (x) \) ، إذن لـ \ (h (x) \ (\ left [\ begin (array) (l) x ^ 2-6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \\ x ^ 2-6x + 7 = - \ frac (5x-9) (3) \ end (array) \ right. \)
تم حل كلا المعادلتين أعلاه (بالطريقة الأولى لحل المعادلة المعطاة) ، وجذورها كما يلي: \ (6، \؛ \ frac (5) (3)، \؛ 3، \؛ \ frac (4) ) (3) \). يتم استيفاء الشرط \ (\ frac (5x-9) (3) \ geq 0 \) لهذه القيم الأربع فقط من خلال اثنين: 6 و 3. ومن ثم ، فإن المعادلة المعطاة لها جذران: \ (x = 6 ، \ ؛ س = 3 \).

الطريق الثالث(رسم).
1) لنرسم الدالة \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \). أولاً ، قم ببناء القطع المكافئ \ (y = x ^ 2-6x + 7 \). لدينا \ (x ^ 2-6x + 7 = (x-3) ^ 2-2 \). يمكن الحصول على الرسم البياني للدالة \ (y = (x-3) ^ 2-2 \) من الرسم البياني للدالة \ (y = x ^ 2 \) عن طريق إزاحتها بمقدار 3 وحدات مقياس إلى اليمين (على طول المحور س) ووحدتي مقياس لأسفل (على المحور ص). الخط المستقيم x = 3 هو محور القطع المكافئ الذي نهتم به. كنقاط تحكم للحصول على رسم أكثر دقة ، من الملائم أخذ النقطة (3 ؛ -2) - رأس القطع المكافئ ، النقطة (0 ؛ 7) والنقطة (6 ؛ 7) متناظرة معها بالنسبة لمحور القطع المكافئ .
الآن لرسم الرسم البياني للدالة \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \) ، عليك ترك الأجزاء المكافئة التي لا تقع أسفل المحور x دون تغيير ، وعكس جزء من القطع المكافئ الذي يقع أسفل المحور x حول المحور x.
2) لنقم ببناء رسم بياني للدالة الخطية \ (y = \ frac (5x-9) (3) \). من الملائم أن تأخذ النقاط (0 ؛ -3) و (3 ؛ 2) كنقاط تحكم.

من الضروري أن تكون النقطة x = 1.8 تقاطع الخط المستقيم مع محور الإحداثي تقع على يمين النقطة اليسرى لتقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثية - هذه هي النقطة \ (x = 3- \ sqrt ( 2) \) (منذ \ (3- \ sqrt (2) 3) إذا حكمنا من خلال الرسم ، تتقاطع الرسوم البيانية عند نقطتين - A (3 ؛ 2) و B (6 ؛ 7) استبدال الأحرف الفاصلة لهذه النقاط x = 3 و x = 6 في المعادلة المعطاة ، نتأكد من أن لكل من القيمتين الأخريين المساواة العددية الصحيحة ، مما يعني أنه تم تأكيد فرضيتنا - للمعادلة جذران: x = 3 و x = 6. الإجابة: 3 ؛ 6.

تعليق... الطريقة الرسومية ، بكل أناقتها ، ليست موثوقة للغاية. في المثال أعلاه ، نجحت فقط لأن جذور المعادلة هي أعداد صحيحة.

مثال 3. حل المعادلة \ (| 2x-4 | + | x + 3 | = 8 \)

الطريقة الأولى
التعبير 2x - 4 يساوي 0 عند x = 2 ، والتعبير x + 3 يكون عند x = –3. هاتان النقطتان تقسمان خط الأعداد إلى ثلاث فترات: \ (x

ضع في اعتبارك الامتداد الأول: \ ((- \ infty ؛ \ ؛ -3) \).
إذا كان x يعتبر الفاصل الزمني الثاني: \ ([- 3 ؛ \ ؛ 2) \).
إذا \ (- 3 \ leq x ضع في الاعتبار الفاصل الزمني الثالث: \ ()