حساب طول القوس الدائري بنصف القطر. هندسة الدائرة

الدائرة وأجزائها وأحجامها وعلاقاتها هي أشياء يواجهها الصائغ باستمرار. الخواتم، والأساور، والطوائف، والأنابيب، والكرات، واللوالب - يجب صنع الكثير من الأشياء المستديرة. كيف يمكنك حساب كل هذا، خاصة إذا كنت محظوظا بما يكفي لتخطي دروس الهندسة في المدرسة؟..

دعونا نلقي نظرة أولاً على أجزاء الدائرة وما يطلق عليها.

• الدائرة هي الخط الذي يحيط بدائرة.
• القوس هو جزء من الدائرة.
• نصف القطر هو القطعة التي تربط مركز الدائرة بأي نقطة في الدائرة.
• الوتر هو القطعة التي تربط نقطتين في الدائرة.
• القطعة هي جزء من دائرة يحدها وتر وقوس.
• القطاع هو جزء من دائرة يحدها نصف قطر وقوس.

الكميات التي نهتم بها وتسمياتها:

الآن دعونا نرى ما هي المشاكل المتعلقة بأجزاء الدائرة التي يجب حلها.

• أوجد طول تطور أي جزء من الخاتم (السوار). بمعرفة القطر والوتر (الخيار: القطر والزاوية المركزية)، أوجد طول القوس.
• يوجد رسم على مستوى، تحتاج إلى معرفة حجمه في الإسقاط بعد ثنيه على شكل قوس. بمعلومية طول القوس وقطره، أوجد طول الوتر.
• اكتشف ارتفاع الجزء الذي تم الحصول عليه عن طريق ثني قطعة العمل المسطحة على شكل قوس. خيارات بيانات المصدر: طول القوس وقطره، وطول القوس والوتر؛ العثور على ارتفاع الجزء.

ستعطيك الحياة أمثلة أخرى، لكنني قدمتها فقط لتوضيح الحاجة إلى تعيين بعض المعلمتين للعثور على جميع المعلمات الأخرى. هذا ما سنفعله وهي أننا سنأخذ خمس معلمات للمقطع: D وL وX وφ وH. ثم، باختيار جميع الأزواج الممكنة منها، سنعتبرها بيانات أولية ونجد الباقي عن طريق العصف الذهني.

لكي لا أثقل كاهل القارئ دون داعٍ، لن أقدم حلولاً مفصلة، ​​بل سأقدم فقط النتائج في شكل صيغ (سأناقش تلك الحالات التي لا يوجد فيها حل رسمي على طول الطريق).

وملاحظة أخرى: حول وحدات القياس. يتم قياس جميع الكميات، باستثناء الزاوية المركزية، بنفس الوحدات المجردة. وهذا يعني أنه إذا قمت، على سبيل المثال، بتحديد قيمة واحدة بالملليمتر، فلا يلزم تحديد القيمة الأخرى بالسنتيمتر، وسيتم قياس القيم الناتجة بنفس المليمترات (والمناطق بالمليمترات المربعة). ويمكن قول الشيء نفسه عن البوصات والأقدام والأميال البحرية.

والزاوية المركزية فقط تقاس في جميع الأحوال بالدرجات ولا شيء غير ذلك. لأنه، كقاعدة عامة، الأشخاص الذين يصممون شيئًا مستديرًا لا يميلون إلى قياس الزوايا بالراديان. إن عبارة "الزاوية pi بأربعة" تربك الكثيرين، في حين أن "الزاوية خمسة وأربعون درجة" مفهومة للجميع، لأنها أعلى من المعتاد بخمس درجات فقط. ومع ذلك، في جميع الصيغ ستكون هناك زاوية أخرى - α - موجودة كقيمة متوسطة. في المعنى، هذه هي نصف الزاوية المركزية، مقاسة بالراديان، لكن لا يمكنك الخوض في هذا المعنى بأمان.

1. بالنظر إلى القطر D وطول القوس L

; طول الوتر ;
ارتفاع الجزء ; الزاوية المركزية .

2. نظرا للقطر D وطول الوتر X

; طول القوس
ارتفاع الجزء ; الزاوية المركزية .

وبما أن الوتر يقسم الدائرة إلى جزأين، فإن هذه المشكلة ليس لها حل واحد، بل حلان. للحصول على الثانية، تحتاج إلى استبدال الزاوية α في الصيغ أعلاه بالزاوية .

3. بالنظر إلى القطر D والزاوية المركزية φ

; طول القوس
طول الوتر ; ارتفاع الجزء .

4. بالنظر إلى القطر D وارتفاع القطعة H

; طول القوس
طول الوتر ; الزاوية المركزية .

6. بالنظر إلى طول القوس L والزاوية المركزية φ

; قطر الدائرة ؛
طول الوتر ; ارتفاع الجزء .

8. بالنظر إلى طول الوتر X والزاوية المركزية φ

; طول القوس ;
قطر الدائرة ؛ ارتفاع الجزء .

9. بالنظر إلى طول الوتر X وارتفاع المقطع H

; طول القوس ;
قطر الدائرة ؛ الزاوية المركزية .

10. بالنظر إلى الزاوية المركزية φ وارتفاع الجزء H

; قطر الدائرة ;
طول القوس طول الوتر .

لا يسع القارئ اليقظ إلا أن يلاحظ أنني فاتني خيارين:

5. بالنظر إلى طول القوس L وطول الوتر X

7. بالنظر إلى طول القوس L وارتفاع القطعة H

هاتان الحالتان غير السارتين فقط عندما لا يكون للمشكلة حل يمكن كتابته في شكل صيغة. والمهمة ليست نادرة جدًا. على سبيل المثال، لديك قطعة مسطحة بطول L، وتريد ثنيها بحيث يصبح طولها X (أو يصبح ارتفاعها H). ما القطر الذي يجب أن آخذ فيه الشياق (العارضة)؟

تأتي هذه المشكلة في حل المعادلات:
; - في الخيار 5
; - في الخيار 7
وعلى الرغم من أنه لا يمكن حلها تحليليًا، إلا أنه يمكن حلها بسهولة برمجيًا. وحتى أنني أعرف مكان الحصول على مثل هذا البرنامج: في هذا الموقع بالذات، تحت اسم . كل ما أقوله لك هنا مطولاً، تقوم به في أجزاء من الثانية.

لإكمال الصورة، دعونا نضيف إلى نتائج حساباتنا المحيط وقيم المساحة الثلاثة - الدائرة والقطاع والقطعة. (ستساعدنا المساحات كثيرًا عند حساب كتلة جميع الأجزاء المستديرة ونصف الدائرية، ولكن المزيد عن هذا في مقالة منفصلة.) يتم حساب كل هذه الكميات باستخدام نفس الصيغ:

محيط ؛
مساحة الدائرة ;
منطقة القطاع ;
منطقة الجزء ;

وفي الختام، اسمحوا لي أن أذكرك مرة أخرى بوجود برنامج مجاني تماما يقوم بإجراء جميع الحسابات المذكورة أعلاه، ويحررك من الحاجة إلى تذكر ما هو قوس الظل وأين تبحث عنه.

محيطيسمى منحنى مستوي مغلق، جميع نقاطه تقع في نفس المستوى، وتقع على نفس المسافة من المركز.

نقطة عن هو مركز الدائرة، ر هو نصف قطر الدائرة - المسافة من أي نقطة على الدائرة إلى المركز. بحكم التعريف، كل أنصاف أقطار مغلقة

أرز. 1

المنحنيات لها نفس الطول.

المسافة بين نقطتين على الدائرة تسمى الوتر. الجزء من الدائرة الذي يمر بمركزها ويصل بين نقطتين منها يسمى القطر. نقطة منتصف القطر هي مركز الدائرة. تقسم النقاط الموجودة على الدائرة المنحنى المغلق إلى قسمين، ويسمى كل جزء قوسًا دائريًا. إذا كانت نهايات القوس تنتمي إلى القطر، فإن هذه الدائرة تسمى نصف دائرة، وعادة ما يشار إلى طولها π . قياس درجات دائرتين لهما طرفان مشتركان هو 360 درجة.

الدوائر متحدة المركز هي دوائر لها مركز مشترك. الدوائر المتعامدة هي دوائر تتقاطع بزاوية 90 درجة.

المستوى المحاط بدائرة يسمى دائرة. أحد أجزاء الدائرة، والذي يقتصر على نصفي قطر وقوس، هو قطاع دائري. قوس القطاع هو القوس الذي يحد القطاع.

أرز. 2

الموضع النسبي للدائرة والخط المستقيم (الشكل 2).

تشترك الدائرة والخط المستقيم في نقطتين إذا كانت المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة أقل من نصف قطر الدائرة. في هذه الحالة، يسمى الخط المستقيم بالنسبة للدائرة قاطعًا.

هناك نقطة مشتركة بين الدائرة والخط المستقيم إذا كانت المسافة من الخط المستقيم إلى مركز الدائرة تساوي نصف قطر الدائرة. في هذه الحالة، يسمى الخط المتعلق بالدائرة مماسًا للدائرة. النقطة المشتركة بينهما تسمى نقطة التماس للدائرة والخط.

صيغ الدائرة الأساسية:

• ج = 2πR ، أين ج - محيط
• ص = С/(2π) = د/2 ، أين ق/(2π) - طول قوس الدائرة
• د = ج/π = 2R ، أين د - قطر الدائرة
• ق = πR2 ، أين س - مساحة الدائرة
• S = ((πR2)/360)α ، أين س - مساحة القطاع الدائري

حصل المحيط والدائرة على اسمهما في اليونان القديمة. بالفعل في العصور القديمة، كان الناس مهتمين بالأجسام المستديرة، لذلك أصبحت الدائرة تاج الكمال. إن حقيقة أن الجسم المستدير يمكن أن يتحرك من تلقاء نفسه كانت الدافع وراء اختراع العجلة. يبدو أن ما هو المميز في هذا الاختراع؟ لكن تخيل لو اختفت العجلات من حياتنا في لحظة. أدى هذا الاختراع لاحقًا إلى ظهور المفهوم الرياضي للدائرة.

تتضمن دورة الفيديو "احصل على A" جميع المواضيع اللازمة لاجتياز اختبار الدولة الموحدة في الرياضيات بنجاح مع 60-65 نقطة. أكمل جميع المهام من 1 إلى 13 من امتحان الحالة الموحدة للملف التعريفي في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والمزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة، مدة كل منها 2.5 ساعة. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.

المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. المسائل اللفظية ونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. النظرية والمواد المرجعية وتحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلاً من الحشر. تفسيرات واضحة للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة.

ما مدى تذكرك لجميع الأسماء المرتبطة بالدائرة؟ فقط في حالة، دعونا نذكرك - انظر إلى الصور - قم بتحديث معلوماتك.

أولاً - مركز الدائرة هو النقطة التي تكون المسافات بينها وبين جميع نقاط الدائرة متساوية.

ثانيًا - نصف القطر - قطعة مستقيمة تصل المركز بنقطة على الدائرة.

هناك الكثير من أنصاف الأقطار (ما يعادل عدد النقاط الموجودة على الدائرة)، ولكن جميع أنصاف الأقطار لها نفس الطول.

في بعض الأحيان للإيجاز نصف القطريسمونه بالضبط طول الجزء"المركز هو نقطة على الدائرة" وليس القطعة نفسها.

وهذا ما يحدث إذا قمت بتوصيل نقطتين على دائرة؟ أيضا شريحة؟

لذلك، يسمى هذا الجزء "وتر".

كما هو الحال في حالة نصف القطر، غالبًا ما يكون القطر هو طول القطعة التي تربط نقطتين على الدائرة وتمر عبر المركز. بالمناسبة، كيف يرتبط القطر ونصف القطر؟ انظر بحذر. بالطبع، نصف القطر يساوي نصف القطر.

بالإضافة إلى الحبال، هناك أيضا قاطعات.

تذكر أبسط شيء؟

الزاوية المركزية هي الزاوية بين نصفي قطرين.

والآن - الزاوية المنقوشة

الزاوية المحيطية - الزاوية المحصورة بين وترين متقاطعين عند نقطة على الدائرة.

في هذه الحالة، يقولون أن الزاوية المحيطية تقع على قوس (أو على وتر).

انظر الى الصورة:

قياسات الأقواس والزوايا.

محيط. يتم قياس الأقواس والزوايا بالدرجات والراديان. أولا، حول الدرجات. لا توجد مشاكل بالنسبة للزوايا - عليك أن تتعلم كيفية قياس القوس بالدرجات.

قياس الدرجة (حجم القوس) هو القيمة (بالدرجات) للزاوية المركزية المقابلة

ما معنى كلمة "مناسب" هنا؟ دعونا ننظر بعناية:

هل ترى قوسين وزاويتين مركزيتين؟ حسنًا، القوس الأكبر يتوافق مع زاوية أكبر (ولا بأس أن تكون أكبر)، والقوس الأصغر يتوافق مع زاوية أصغر.

لذا، فقد اتفقنا على أن القوس يحتوي على نفس عدد درجات الزاوية المركزية المقابلة له.

والآن عن الشيء المخيف - حول الراديان!

أي نوع من الوحش هذا "الراديان"؟

تخيل هذا: الراديان هي وسيلة لقياس الزوايا... بنصف القطر!

زاوية الراديان هي زاوية مركزية طول قوسها يساوي نصف قطر الدائرة.

ثم يطرح السؤال: كم عدد الراديان الموجود في الزاوية المستقيمة؟

بمعنى آخر: كم عدد أنصاف الأقطار "الملائمة" في نصف الدائرة؟ أو بطريقة أخرى: كم مرة يكون طول نصف الدائرة أكبر من نصف القطر؟

طرح العلماء هذا السؤال في اليونان القديمة.

وهكذا، وبعد بحث طويل، اكتشفوا أن نسبة المحيط إلى نصف القطر لا ينبغي التعبير عنها بأرقام "بشرية" مثل، وما إلى ذلك.

وليس من الممكن حتى التعبير عن هذا الموقف من خلال الجذور. أي أنه يتبين أنه من المستحيل القول بأن نصف الدائرة أكبر من نصف القطر مرات أو مرات! هل يمكنك أن تتخيل مدى روعة اكتشاف الناس لهذا الأمر لأول مرة؟! بالنسبة لنسبة طول نصف الدائرة إلى نصف القطر، لم تكن الأرقام "العادية" كافية. كان علي أن أدخل رسالة.

إذن - هذا رقم يعبر عن نسبة طول نصف الدائرة إلى نصف القطر.

الآن يمكننا الإجابة على السؤال: كم عدد الراديان الموجود في الزاوية المستقيمة؟ أنه يحتوي على راديان. على وجه التحديد لأن نصف الدائرة أكبر من نصف القطر مرات.

الناس القدماء (وليسوا القدماء) على مر القرون (!) حاولت حساب هذا الرقم الغامض بشكل أكثر دقة، للتعبير عنه بشكل أفضل (على الأقل تقريبًا) من خلال الأرقام "العادية". والآن نحن كسالى بشكل لا يصدق - علامتان بعد يوم حافل تكفيان لنا، لقد اعتدنا على ذلك

فكر في الأمر، فهذا يعني، على سبيل المثال، أن طول الدائرة التي يبلغ قطرها واحدًا يساوي تقريبًا، ولكن من المستحيل ببساطة تسجيل هذا الطول الدقيق برقم "بشري" - فأنت بحاجة إلى حرف. ومن ثم فإن هذا المحيط سيكون متساويًا. وبالطبع، محيط نصف القطر متساوي.

دعنا نعود إلى الراديان.

لقد اكتشفنا بالفعل أن الزاوية المستقيمة تحتوي على راديان.

ما لدينا:

لذا، سعيد، أي سعيد. بنفس الطريقة، يتم الحصول على لوحة ذات الزوايا الأكثر شعبية.

العلاقة بين قيم الزوايا المحيطية والمركزية.

هناك حقيقة مذهلة:

الزاوية المحيطية هي نصف حجم الزاوية المركزية المقابلة لها.

انظر كيف يبدو هذا البيان في الصورة. الزاوية المركزية "المقابلة" هي التي يتطابق طرفاها مع طرفي الزاوية المحيطية ويكون رأسها في المركز. وفي الوقت نفسه، يجب أن "تنظر" الزاوية المركزية "المقابلة" إلى نفس الوتر () مثل الزاوية المنقوشة.

لماذا هو كذلك؟ دعونا ننظر إلى حالة بسيطة أولا. دع أحد الحبال يمر عبر المركز. يحدث مثل هذا في بعض الأحيان، أليس كذلك؟

ماذا يحدث هنا؟ دعونا نفكر. إنه متساوي الساقين - بعد كل شيء، و- نصف القطر. لذلك (وصفتهم).

الآن دعونا ننظر. هذه هي الزاوية الخارجية ل! ونتذكر أن الزاوية الخارجية تساوي مجموع زاويتين داخليتين غير مجاورتين لها، ونكتب:

إنه! تأثير غير متوقع. ولكن هناك أيضًا زاوية مركزية للنقش.

وهذا يعني أنهم في هذه الحالة أثبتوا أن الزاوية المركزية هي ضعف الزاوية المحيطية. لكنها حالة خاصة مؤلمة: أليس صحيحا أن الوتر لا يمر دائما مباشرة عبر المركز؟ لكن لا بأس، الآن هذه الحالة تحديدًا ستساعدنا كثيرًا. انظر: الحالة الثانية: دع المركز يكمن في الداخل.

دعونا نفعل هذا: ارسم القطر. وبعد ذلك... نرى صورتين تم تحليلهما بالفعل في الحالة الأولى. لذلك لدينا ذلك بالفعل

وهذا يعني (في الرسم، أ)

حسنًا، هذا يترك الحالة الأخيرة: المركز خارج الزاوية.

نحن نفعل الشيء نفسه: ارسم القطر من خلال النقطة. كل شيء هو نفسه، ولكن بدلا من المبلغ هناك فرق.

هذا كل شئ!

لنستنتج الآن نتيجتين رئيسيتين وهامتين للغاية من عبارة أن الزاوية المحيطية هي نصف الزاوية المركزية.

النتيجة الطبيعية 1

جميع الزوايا المحيطية المبنية على قوس واحد متساوية مع بعضها البعض.

نوضح:

هناك عدد لا يحصى من الزوايا المحيطية المبنية على نفس القوس (لدينا هذا القوس)، قد تبدو مختلفة تمامًا، لكنها جميعها لها نفس الزاوية المركزية ()، مما يعني أن كل هذه الزوايا المحيطية متساوية فيما بينها.

النتيجة الطبيعية 2

الزاوية المقابلة للقطر هي زاوية قائمة.

انظر: ما هي الزاوية المركزية؟

بالتأكيد، . لكنه متساو! حسنًا، إذن (بالإضافة إلى العديد من الزوايا المنقوشة التي ترتكز عليها) فهي متساوية.

الزاوية بين وترين وقاطعين

ولكن ماذا لو كانت الزاوية التي نهتم بها ليست منقوشة وليست مركزية، ولكن على سبيل المثال، على النحو التالي:

او مثل هذا؟

هل من الممكن التعبير عنها بطريقة ما من خلال بعض الزوايا المركزية؟ اتضح أن هذا ممكن. انظر: نحن مهتمون.

أ) (كركن خارجي ل). لكن - منقوش، يرتكز على القوس -. - منقوشة ترتكز على القوس - .

للجمال يقولون:

الزاوية بين الأوتار تساوي نصف مجموع القيم الزاوية للأقواس المحاطة بهذه الزاوية.

لقد كتبوا هذا للإيجاز، ولكن بالطبع، عند استخدام هذه الصيغة، عليك أن تضع في اعتبارك الزوايا المركزية

ب) والآن - "في الخارج"! كيف تكون؟ نعم، نفس الشيء تقريبا! الآن فقط (مرة أخرى نطبق خاصية الزاوية الخارجية لـ). هذا هو الآن.

وهذا يعني... دعونا نضفي الجمال والإيجاز على الملاحظات والصياغة:

الزاوية بين القاطعات تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية للأقواس المحيطة بهذه الزاوية.

حسنًا، أنت الآن مسلح بكل المعرفة الأساسية حول الزوايا المتعلقة بالدائرة. المضي قدما، واتخاذ التحديات!

دائرة وزاوية داخلية. مستوى متوسط

حتى الطفل البالغ من العمر خمس سنوات يعرف ما هي الدائرة، أليس كذلك؟ علماء الرياضيات، كما هو الحال دائما، لديهم تعريف غامض حول هذا الموضوع، لكننا لن نعطيه (انظر)، بل دعونا نتذكر ما تسمى النقاط والخطوط والزوايا المرتبطة بالدائرة.

شروط هامة

أولاً:

ثانيًا:

هناك تعبير آخر مقبول: "الوتر يتعاقد مع القوس". هنا في الشكل، على سبيل المثال، يقابل الوتر القوس. وإذا مر الوتر فجأة عبر المركز، فإنه يكون له اسم خاص: "القطر".

بالمناسبة، كيف يرتبط القطر ونصف القطر؟ انظر بحذر. بالطبع،

والآن - أسماء الزوايا.

طبيعي، أليس كذلك؟ وتمتد أضلاع الزاوية من المركز - مما يعني أن الزاوية مركزية.

هذا هو المكان الذي تنشأ فيه الصعوبات في بعض الأحيان. انتبه - لا يتم إدراج أي زاوية داخل الدائرة،ولكن فقط الشخص الذي "يقع" رأسه على الدائرة نفسها.

دعونا نرى الفرق في الصور:

ويقولون بطريقة أخرى:

هناك نقطة واحدة صعبة هنا. ما هي الزاوية المركزية "المقابلة" أو "الخاصة"؟ مجرد زاوية رأسها في مركز الدائرة وطرفاها عند طرفي القوس؟ ليس بالتأكيد بهذه الطريقة. انظر إلى الرسم.

ومع ذلك، فإن إحداها لا تبدو وكأنها زاوية، بل إنها أكبر. لكن المثلث لا يمكن أن يحتوي على زوايا أكثر، لكن الدائرة قد تكون كذلك! لذلك: القوس الأصغر AB يتوافق مع زاوية أصغر (برتقالية)، والقوس الأكبر يتوافق مع زاوية أكبر. تماما مثل ذلك، أليس كذلك؟

العلاقة بين قياسات الزوايا المحيطية والمركزية

وتذكر هذا البيان المهم جدا:

في الكتب المدرسية يحبون كتابة هذه الحقيقة نفسها مثل هذا:

أليس صحيحًا أن الصيغة أبسط مع الزاوية المركزية؟

ولكن مع ذلك، دعونا نجد التطابق بين الصيغتين، وفي الوقت نفسه نتعلم كيف نجد في الرسومات الزاوية المركزية "المقابلة" والقوس الذي "ترتكز عليه" الزاوية المنقوشة.

انظر: هذه دائرة وزاوية محيطية:

أين تقع الزاوية المركزية "المقابلة" لها؟

دعونا ننظر مرة أخرى:

ما هي القاعدة؟

لكن! في هذه الحالة، من المهم أن "تنظر" الزوايا المنقوشة والمركزية إلى القوس من جانب واحد. على سبيل المثال:

ومن الغريب أنه أزرق! لأن القوس طويل، أطول من نصف الدائرة! لذلك لا تخلط أبدا!

ما هي النتيجة التي يمكن استخلاصها من "نصف" الزاوية المحيطية؟

لكن على سبيل المثال:

الزاوية المقابلة للقطر

هل لاحظت بالفعل أن علماء الرياضيات يحبون التحدث عن نفس الشيء بكلمات مختلفة؟ لماذا يحتاجون هذا؟ كما ترون، لغة الرياضيات، على الرغم من أنها رسمية، إلا أنها حية، وبالتالي، كما هو الحال في اللغة العادية، في كل مرة تريد أن تقولها بطريقة أكثر ملاءمة. حسنًا، لقد رأينا بالفعل ما تعنيه عبارة "الزاوية التي تقع على قوس". وتخيل أن نفس الصورة تسمى "الزاوية ترتكز على وتر". على ماذا؟ نعم بالطبع لمن يشد هذا القوس!

متى يكون الاعتماد على الوتر أكثر ملاءمة من الاعتماد على القوس؟

حسنًا، على وجه الخصوص، عندما يكون هذا الوتر عبارة عن قطر.

هناك عبارة بسيطة وجميلة ومفيدة بشكل مدهش لمثل هذه الحالة!

انظر: هذه هي الدائرة والقطر والزاوية التي تقع عليها.

دائرة وزاوية داخلية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

1. المفاهيم الأساسية.

3. قياسات الأقواس والزوايا.

زاوية الراديان هي زاوية مركزية طول قوسها يساوي نصف قطر الدائرة.

هذا رقم يعبر عن نسبة طول نصف الدائرة إلى نصف قطرها.

محيط نصف القطر يساوي.

4. العلاقة بين قيم الزوايا المحيطية والمركزية.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 899 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

المشكلة 10 (OGE - 2015)

على دائرة مركزها O، تم تحديد النقطتين A وB بحيث تكون ∠ AOB = 18°. طول القوس الأصغر AB هو 5. أوجد طول القوس الأكبر للدائرة.

حل

∠ AOB = 18°. الدائرة بأكملها 360 درجة. لذلك ∠ AOB هو 18/360 = 1/20 من الدائرة.

وهذا يعني أن القوس الأصغر AB هو 1/20 من الدائرة بأكملها، وبالتالي فإن القوس الأكبر هو الباقي، أي. محيط 19/20.

1/20 من الدائرة يقابل طول قوس 5. إذن طول القوس الأكبر هو 5 * 19 = 95.

المشكلة 10 (OGE - 2015)

على دائرة مركزها O، تم تحديد النقطتين A وB بحيث تكون ∠ AOB = 40°. طول القوس الأصغر AB هو 50. أوجد طول القوس الأكبر للدائرة.

حل

∠ AOB = 40°. الدائرة بأكملها 360 درجة. لذلك ∠ AOB هو 40/360 = 1/9 من الدائرة.

وهذا يعني أن القوس الأصغر AB هو 1/9 من الدائرة بأكملها، وبالتالي فإن القوس الأكبر هو الباقي، أي. دائرة 8/9.

1/9 من الدائرة يقابل طول قوس 50. إذن طول القوس الأكبر هو 50*8 = 400.

الجواب: 400.

المهمة 10 (GIA - 2014)

طول وتر الدائرة هو 72، والمسافة من مركز الدائرة إلى هذا الوتر هي 27. أوجد قطر الدائرة.

حل

باستخدام نظرية فيثاغورس، من المثلث القائم AOB نحصل على:

آو 2 = أوب 2 + أ ب 2،

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025،

إذن القطر 2R = 2*45 = 90.

المهمة 10 (GIA - 2014)

النقطة O هي مركز الدائرة التي تقع عليها النقاط A وB وC ومن المعروف أن ∠ABC = 134° و∠OAB = 75°. أوجد الزاوية BCOاكتب إجابتك بالدرجات.