في الهندسة الميكانيكية الحديثة، يتم استخدام الكثير من العناصر وقطع الغيار، التي تحتوي على دوائر خارجية وداخلية في هيكلها. أكثر مثال ساطعيمكن أن تكون بمثابة مساكن تحمل، وأجزاء المحرك، وتجميعات المحور وأكثر من ذلك بكثير. في إنتاجها، لا يتم استخدام الأجهزة عالية التقنية فحسب، بل تستخدم أيضًا المعرفة الهندسية، ولا سيما المعلومات حول دوائر المثلث. سنتعرف على هذه المعرفة بمزيد من التفاصيل أدناه.

في تواصل مع

أي دائرة منقوشة وأيها مقيدة؟

أولًا، تذكر أن الدائرة لا نهاية لها مجموعة من النقاط على مسافات متساوية من المركز. إذا كان من الممكن داخل المضلع إنشاء دائرة لها نقطة تقاطع مشتركة واحدة فقط مع كل ضلع، فسيتم تسميتها منقوشة. دائرة مقيدة (ليست دائرة، إنها مفاهيم مختلفة) هو موضع النقاط مثل الشكل المبني بمضلع معين النقاط المشتركةلن يكون هناك سوى رؤوس المضلع. دعونا نتعرف على هذين المفهومين باستخدام مثال أكثر وضوحا (انظر الشكل 1.).

الشكل 1. دوائر منقوشة ومحدودة للمثلث

تُظهر الصورة شكلين بأقطار كبيرة وصغيرة، ومركزهما G وI قيمة أكبريسمى الحي الموصوف Δ ABC ، ​​والحي الصغير يسمى ، على العكس من ذلك ، مكتوبًا بـ Δ ABC.

من أجل وصف المناطق المحيطة بالمثلث، فهو مطلوب ارسم خطًا عموديًا في منتصف كل جانب(أي بزاوية 90 درجة) هي نقطة التقاطع، فهي تلعب دورًا رئيسيًا. سيكون مركز الدائرة المقيدة. قبل العثور على دائرة، مركزها في المثلث، تحتاج إلى بناء لكل زاوية، ثم تحديد نقطة تقاطع الخطوط. وهو بدوره سيكون مركز الحي المدرج، وسيكون نصف قطره تحت أي ظرف من الظروف عموديًا على أي جانب من الجوانب.

على السؤال: "كم عدد الدوائر المنقوشة التي يمكن أن يوجد لمضلع مكون من ثلاثة؟" دعونا نجيب على الفور أنه يمكن كتابة دائرة في أي مثلث، وواحد فقط. لأنه لا يوجد سوى نقطة واحدة لتقاطع جميع المنصفات ونقطة واحدة لتقاطع المتعامدين الخارجين من منتصف أضلاعه.

خاصية الدائرة التي تنتمي إليها رؤوس المثلث

الدائرة المقيدة، التي تعتمد على أطوال جوانب القاعدة، لها خصائصها الخاصة. دعونا نشير إلى خصائص الدائرة المحيطة:

لكي نفهم بشكل أوضح مبدأ الدائرة المقيدة، دعونا نحل مشكلة بسيطة. لنفترض أن لدينا مثلث Δ ABC أضلاعه 10 و 15 و 8.5 سم ونصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث (FB) 7.9 سم أوجد قياس درجة كل زاوية ومن خلالها مساحة المثلث .

الشكل 2. إيجاد نصف قطر الدائرة باستخدام نسبة الجوانب وجيب الزوايا

الحل: بناءً على نظرية الجيب المذكورة سابقًا، نجد قيمة جيب كل زاوية على حدة. بالشرط، من المعروف أن طول الضلع AB هو 10 سم، فلنحسب قيمة C:

وباستخدام قيم جدول براديس نجد أن درجة قياس الزاوية C هي 39°. وبنفس الطريقة يمكننا إيجاد قياسات الزوايا المتبقية:

كيف نعرف أن CAB = 33°، و ABC = 108°. الآن، بعد أن عرفنا قيم جيب كل زاوية من الزوايا ونصف القطر، فلنوجد المساحة عن طريق التعويض بالقيم التي تم العثور عليها:

الإجابة: مساحة المثلث 40.31 سم²، وزواياه 33°، 108° و39° على التوالي.

مهم!عند حل مشاكل من هذا النوع، سيكون من المفيد أن يكون لديك دائمًا جداول Bradis أو تطبيق مناسب على هاتفك الذكي، نظرًا لأن العملية اليدوية قد تستغرق وقتًا طويلاً. منذ وقت طويل. أيضًا، لتوفير المزيد من الوقت، ليس من الضروري إنشاء نقاط المنتصف الثلاثة للعمود المتعامد أو المنصفات الثلاثة. وأي ثلث منهما سيتقاطع دائمًا عند نقطة تقاطع الأولين. وبالنسبة للبناء الأرثوذكسي، عادة ما يتم الانتهاء من الثالث. ربما يكون هذا خطأ عندما يتعلق الأمر بالخوارزمية، ولكن في امتحان الدولة الموحدة أو الاختبارات الأخرى فإنه يوفر الكثير من الوقت.

حساب نصف قطر الدائرة المنقوشة

جميع نقاط الدائرة تقع على مسافة متساوية من مركزها وعلى نفس المسافة. ويسمى طول هذا الجزء (من وإلى) نصف القطر. اعتمادا على نوع البيئة لدينا، هناك نوعان - داخلية وخارجية. يتم حساب كل منها باستخدام صيغتها الخاصة وترتبط بشكل مباشر بحساب المعلمات مثل:

• مربع؛
• قياس درجة كل زاوية؛
• أطوال الجوانب والمحيط.

الشكل 3. موقع الدائرة المنقوشة داخل المثلث

يمكنك حساب طول المسافة من المركز إلى نقطة التلامس على كلا الجانبين بالطرق التالية: ح من خلال الجوانب والجوانب والزوايا(للمثلث متساوي الساقين).

باستخدام نصف محيط

نصف المحيط هو نصف مجموع أطوال جميع الجوانب. تعتبر هذه الطريقة هي الأكثر شعبية وعالمية، لأنه مهما كان نوع المثلث الذي يعطى حسب الحالة فهو مناسب للجميع. إجراء الحساب هو كما يلي:

إذا أعطيت "صحيح"

إحدى المزايا الصغيرة للمثلث "المثالي" هي أنه الدوائر المنقوشة والمحدودة لها مركزها في نفس النقطة. هذا مناسب عند بناء الأشكال. ومع ذلك، في 80٪ من الحالات تكون الإجابة "قبيحة". والمقصود هنا هو أنه نادرًا ما يكون نصف قطر الحي المدرج كاملاً، بل العكس. لإجراء عملية حسابية مبسطة، استخدم صيغة نصف قطر الدائرة المنقوشة في المثلث:

إذا كانت الجوانب متساوية الطول

أحد الأنواع الفرعية لمهام الدولة. ستكون الاختبارات عبارة عن إيجاد نصف قطر الدائرة المنقوشة للمثلث، حيث يكون ضلعاه متساويان والآخر ليس كذلك. في هذه الحالة، نوصي باستخدام هذه الخوارزمية، والتي ستوفر بشكل كبير الوقت في البحث عن قطر المنطقة المنقوشة. يتم حساب نصف قطر الدائرة المنقوشة في مثلث متساوي الأضلاع بالصيغة:

سنوضح تطبيقًا أكثر وضوحًا لهذه الصيغ في المشكلة التالية. دعونا نحصل على مثلث (Δ HJI)، حيث تم تسجيل الحي عند النقطة K. طول الضلع HJ = 16 سم، JI = 9.5 سم والضلع HI هو 19 سم (الشكل 4). أوجد نصف قطر الحي المدرج، مع معرفة الجوانب.

الشكل 4. إيجاد قيمة نصف قطر الدائرة المنقوشة

الحل: لإيجاد نصف قطر البيئة المنقوشة، نجد نصف المحيط:

ومن هنا وبمعرفة آلية الحساب نكتشف القيمة التالية. للقيام بذلك، سوف تحتاج إلى أطوال كل جانب (تعطى وفقا للحالة)، وكذلك نصف المحيط، اتضح:

ويترتب على ذلك أن نصف القطر المطلوب هو 3.63 سم، وحسب الشرط تكون جميع الأضلاع متساوية، فيكون نصف القطر المطلوب مساوياً لـ:

بشرط أن يكون المضلع متساوي الساقين (على سبيل المثال، i = h = 10 cm، j = 8 cm)، فإن قطر الدائرة الداخلية المتمركزة عند النقطة K سيكون مساويًا لـ:

قد تحتوي المسألة على مثلث بزاوية 90 درجة، وفي هذه الحالة ليس هناك حاجة لحفظ الصيغة. سيكون الوتر في المثلث مساوياً للقطر. ويبدو أكثر وضوحا مثل هذا:

مهم!إذا كانت المهمة هي العثور على نصف القطر الداخلي، فإننا لا ننصح بإجراء العمليات الحسابية باستخدام قيم الجيب وجيب التمام للزوايا، التي لا تُعرف قيمتها الجدولية بدقة. إذا كان من المستحيل معرفة الطول بطريقة أخرى، فلا تحاول "سحب" القيمة من تحت الجذر. في 40% من المسائل، تكون القيمة الناتجة متعالية (أي لا نهائية)، وقد لا تحتسب اللجنة الإجابة (حتى لو كانت صحيحة) بسبب عدم دقتها أو ذو شكل غير منتظمالتقديمات. انتباه خاصانتبه إلى كيفية تعديل صيغة محيط المثلث اعتمادًا على البيانات المقترحة. تتيح لك هذه "الفراغات" "رؤية" السيناريو الخاص بحل مشكلة ما مسبقًا واختيار الحل الأكثر اقتصادا.

نصف قطر الدائرة الداخلية ومساحتها

لحساب مساحة المثلث المدرج في دائرة استخدم فقط نصف القطر وأطوال الجوانب للمضلع:

إذا كان بيان المشكلة لا يعطي قيمة نصف القطر بشكل مباشر، بل المساحة فقط، فسيتم تحويل صيغة المنطقة المشار إليها إلى ما يلي:

دعونا نفكر في تأثير الصيغة الأخيرة على المزيد مثال محدد. لنفترض أننا حصلنا على مثلث تم إدراج الحي فيه. مساحة الحي هي 4π، والأضلاع 4 و 5 و 6 سم على التوالي، فلنحسب مساحة مضلع معين عن طريق حساب نصف المحيط.

باستخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه، نحسب مساحة المثلث من خلال نصف قطر الدائرة المنقوشة:

نظرًا لحقيقة أنه يمكن كتابة دائرة في أي مثلث، فإن عدد الاختلافات في العثور على المنطقة يزيد بشكل كبير. أولئك. يتطلب إيجاد مساحة المثلث معرفة طول كل ضلع، وكذلك قيمة نصف القطر.

مثلث منقوش في دائرة الهندسة الصف 7

المثلثات القائمة المدرج في دائرة

خاتمة

من هذه الصيغ، يمكنك التأكد من أن تعقيد أي مشكلة باستخدام الدوائر المنقوشة والمحددة يكمن فقط في الإجراءات الإضافية للعثور على القيم المطلوبة. تتطلب المشاكل من هذا النوع فقط فهمًا شاملاً لجوهر الصيغ، فضلاً عن عقلانية تطبيقها. من ممارسة الحل، نلاحظ أنه في المستقبل سيظهر مركز الدائرة المقيدة في مواضيع هندسية أخرى، لذلك لا ينبغي البدء به. وإلا فإن الحل قد يتأخر باستخدام التحركات غير الضرورية والاستنتاجات المنطقية.

تعليمات

إذا أتيحت لك الفرصة لاستخدام المنقلة عند البناء، فابدأ باختيار نقطة تعسفية على الدائرة، والتي يجب أن تصبح أحد رؤوس النقطة الصحيحة. قم بتسميتها، على سبيل المثال، بالحرف A.

ارسم قطعة مساعدة تربط A بمركز الدائرة. قم بإرفاق منقلة بهذا الجزء بحيث يتزامن القسمة الصفرية مع مركز الدائرة، ثم ضع نقطة مساعدة عند علامة 120 درجة. من خلال هذه النقطة، ارسم قطعة مساعدة أخرى تكون بدايتها في وسط الدائرة عند التقاطع مع محيط. قم بتمييز نقطة التقاطع بالحرف B - وهذا هو الرأس الثاني للمنقوش مثلث.

كرر الخطوة السابقة، ولكن طبق المنقلة على الجزء المساعد الثاني، ونقطة التقاطع مع محيطقم بتعيينه بالحرف C. ولن تحتاج بعد الآن إلى منقلة.

إذا لم تكن هناك منقلة، ولكن كانت هناك بوصلة، فابدأ بحساب طول الجانب مثلث. ربما تعلم أنه يمكن التعبير عنه بدلالة نصف قطر الدائرة المقيدة، وذلك بضربه ثلاث مرات للحصول على الجذر التربيعيمن أصل ثلاثة، أي بحوالي 1.732050807568877. قم بتقريب هذا إلى الدقة التي تريدها واضربها في نصف قطر الدائرة.

ضع جانبًا طول الجانب الموجود في الخطوة الخامسة على البوصلة. مثلثودائرة مساعدة مركزها النقطة A. حدد نقاط تقاطع الدائرتين بالحرفين B وC - وهذان هما الرأسان الآخران للدائرة المنتظمة المدرجتين في الدائرة مثلث.

قم بتوصيل النقاط A وB وB وC وC وA وسيتم الانتهاء من البناء.

إذا لامست دائرة الجوانب الثلاثة لمثلث معين وكان مركزها داخل المثلث، فإنها تسمى محفورة في المثلث.

سوف تحتاج

• الحاكم، البوصلة

تعليمات

ترتبط نقطة تقاطع الأقواس على طول المسطرة برأس الزاوية القابلة للقسمة؛

وينطبق الشيء نفسه مع أي زاوية أخرى؛

مصادر:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

صحيح مثلث- حيث تكون جميع أضلاعه متساوية في الطول. وبناء على هذا التعريف، يتم بناء مثل هذا التنوع مثلثولكنها ليست مهمة صعبة.

سوف تحتاج

• مسطرة، ورقة مسطرة، قلم رصاص

تعليمات

ملحوظة

في المثلث المنتظم (متساوي الأضلاع)، قياس جميع الزوايا 60 درجة.

نصائح مفيدة

المثلث متساوي الأضلاع هو أيضًا مثلث متساوي الساقين. إذا كان المثلث متساوي الساقين، فهذا يعني أن 2 من أضلاعه الثلاثة متساوون، والضلع الثالث يعتبر القاعدة. أي مثلث منتظممتساوي الساقين، والعكس غير صحيح.

نصيحة 4: كيفية العثور على مساحة المثلث المدرج في دائرة

يمكن حساب مساحة المثلث بعدة طرق، اعتمادًا على القيمة المعروفة من شروط المشكلة. بمعرفة قاعدة المثلث وارتفاعه، يمكن إيجاد المساحة عن طريق حساب حاصل ضرب نصف القاعدة والارتفاع. وفي الطريقة الثانية يتم حساب المساحة من خلال الدائرة المحيطة بالمثلث.

تعليمات

في مسائل قياس المخططات، عليك العثور على مساحة المضلع المدرج في دائرة أو المحيط به. ويعتبر المضلع محصوراً حول دائرة إذا كان خارجها وتلامست أضلاعه مع الدائرة. يعتبر المضلع الموجود داخل الدائرة منقوشا فيها إذا كانت دوائرها تقع عليها. إذا كانت المسألة منقوشة، فإن رؤوسها الثلاثة تمس الدائرة. اعتمادا على نوع المثلث الذي يتم النظر فيه، يتم اختيار طريقة المهمة.

أبسط حالة هي عندما يتم إدراج مثلث منتظم. وبما أن هذا المثلث يحتوي على كل شيء، فإن نصف قطر الدائرة يساوي نصف ارتفاعها. لذلك، من المثلث، يمكنك العثور على مساحتها. وفي هذه الحالة يمكنك حساب هذه المساحة بأي من الطرق التالية، على سبيل المثال:
R=abc/4S، حيث S هي مساحة المثلث، a، b، c هي أضلاع المثلث

ينشأ موقف آخر عندما يكون المثلث متساوي الساقين. إذا كانت قاعدة المثلث تتطابق مع خط قطر الدائرة أو كان القطر أيضًا هو ارتفاع المثلث، فيمكن حساب المساحة على النحو التالي:
S=1/2h*AC، حيث AC هي قاعدة المثلث
إذا كان نصف قطر الدائرة وزواياها وكذلك القاعدة المقابلة لقطر الدائرة معروفة، فيمكن إيجاد الارتفاع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس. مساحة المثلث الذي تتطابق قاعدته مع قطر الدائرة هي:
S = ص * ح
وفي حالة أخرى، عندما يكون الارتفاع مساوياً لقطر الدائرة المحيطة بمثلث متساوي الساقين، فإن مساحتها تساوي:
S=R*AC

في عدد من المسائل، يتم إدراج مثلث قائم في دائرة. في هذه الحالة، يقع مركز الدائرة في منتصف الوتر. بمعرفة زوايا المثلث وقاعدته، يمكنك حساب المساحة باستخدام أي من الطرق الموضحة أعلاه.
وفي حالات أخرى، خاصة عندما يكون المثلث حادًا أو منفرجًا، تنطبق الصيغة الأولى فقط من الصيغ المذكورة أعلاه.

المهمة هي أن تتناسب مع دائرة مضلعيمكن أن يربك شخصًا بالغًا في كثير من الأحيان. يجب شرح قرارها لتلميذ المدرسة، لذلك يذهب الآباء لتصفح شبكة الإنترنت العالمية بحثًا عن حل.

تعليمات

يرسم دائرة. ضع إبرة البوصلة على جانب الدائرة، لكن لا تغير نصف القطر. ارسم معبرًا بين قوسين دائرة، تحويل البوصلة إلى اليمين واليسار.

حرك إبرة البوصلة على طول الدائرة إلى النقطة التي يتقاطع فيها القوس. أدر البوصلة مرة أخرى وارسم قوسين آخرين يعبران محيط الدائرة. كرر هذا الإجراء حتى يتقاطع مع النقطة الأولى.

يرسم دائرة. ارسم القطر من خلال مركزه، ويجب أن يكون الخط أفقيًا. قم بإنشاء خط عمودي على مركز الدائرة، واحصل على خط عمودي (CB، على سبيل المثال).

قسّم نصف القطر إلى النصف. ضع علامة على هذه النقطة على خط القطر (ضع علامة عليها A). يبني دائرةمركزها عند النقطة A ونصف قطرها AC. وعندما يتقاطع مع خط أفقي ستحصل على نقطة أخرى (د مثلا). ونتيجة لذلك، سيكون القرص المضغوط هو جانب الشكل الخماسي الذي يجب كتابته.

ضع نصف دائرة، نصف قطرها يساوي CD، على طول محيط الدائرة. وهكذا الأصل دائرةسيتم تقسيمها إلى خمسة أجزاء متساوية. قم بتوصيل النقاط باستخدام المسطرة. مشكلة تسجيل البنتاغون في دائرةاكتملت أيضا.

يتم وصف ما يلي من خلال المناسب دائرةمربع. ارسم خط القطر. خذ منقلة. ضعه عند النقطة التي يتقاطع فيها القطر مع جانب الدائرة. افتح البوصلة على طول نصف القطر.

ارسم قوسين حتى يتقاطعا دائرةيو، تحويل البوصلة في اتجاه واحد أو آخر. حرك ساق البوصلة إلى النقطة المقابلة وارسم قوسين آخرين بنفس الحل. قم بتوصيل النقاط الناتجة.

قم بتربيع القطر وتقسيمه على اثنين وأخذ الجذر. ونتيجة لذلك، سوف تحصل على جانب من المربع الذي يمكن وضعه بسهولة دائرة. افتح البوصلة لهذا الطول. ضع إبرته دائرةوارسم قوسًا يتقاطع مع أحد جوانب الدائرة. حرك ساق البوصلة إلى النقطة الناتجة. ارسم القوس مرة أخرى.

كرر الإجراء وارسم نقطتين أخريين. قم بتوصيل جميع النقاط الأربع. هذه طريقة أسهل لتناسب المربع دائرة.

النظر في مهمة المناسب دائرة. يرسم دائرة. خذ نقطة بشكل تعسفي على الدائرة - ستكون قمة المثلث. من هذه النقطة، مع الحفاظ على البوصلة، ارسم قوسًا حتى يتقاطع مع دائرةيو. وستكون هذه الذروة الثانية. قم ببناء قمة ثالثة منه بطريقة مماثلة. قم بتوصيل النقاط باستخدام المسطرة. لقد تم العثور على الحل.

فيديو حول الموضوع

كونها واحدة من الأجزاء المتكاملة المنهج المدرسي، المشاكل الهندسية لبناء المضلعات المنتظمة تافهة للغاية. كقاعدة عامة، يتم تنفيذ البناء عن طريق تسجيل مضلع فيه دائرة، والذي يتم رسمه أولاً. ولكن ماذا لو دائرةمعين، ولكن هذا الرقم معقد جدا؟

سوف تحتاج

• - مسطرة؛
• - بوصلة؛
• - قلم؛
• - ورق.

تعليمات

أنشئ قطعة مستقيمة متعامدة مع AB وتقسيمها إلى جزأين متساويين عند نقطة التقاطع. ضع إبرة البوصلة عند النقطة A. ضع الساق مع الرصاص عند النقطة B، أو في أي نقطة على القطعة الأقرب إلى B منها إلى A. ارسم دائرة. دون تغيير زاوية أرجل البوصلة، اضبط إبرتها على النقطة B. ارسم أخرى دائرة.الدوائر المرسومة سوف تتقاطع في قسمين. ارسم خطًا مستقيمًا من خلالهم. قم بتعيين نقطة تقاطع هذا الجزء مع الجزء AB على أنها C. قم بتعيين نقاط تقاطع هذا الجزء مع الجزء الأصلي دائرةأنت تحب D و E.

أنشئ قطعة مستقيمة DE تقسمها إلى نصفين. قم بتنفيذ إجراءات مشابهة لتلك الموضحة في الخطوة السابقة فيما يتعلق بالجزء DE. دع القطعة المرسومة تتقاطع مع DE عند النقطة O. هذه النقطة ستكون مركز الدائرة. ضع علامة أيضًا على نقاط تقاطع العمودي المبني مع النقطة الأصلية دائرةأنت تحب F و G.

اضبط فتحة أرجل البوصلة بحيث تكون المسافة بين طرفيها نصف قطر الدائرة الأصلية. للقيام بذلك، ضع إبرة البوصلة عند إحدى النقاط A أو B أو D أو E أو F أو G. ضع نهاية الساق مع الرصاص عند النقطة O.

بناء مسدس منتظم. ضع إبرة البوصلة في أي نقطة على خط الدائرة. قم بتسمية هذه النقطة بـ H. في اتجاه عقارب الساعة، اصنع شقًا مقوسًا بالبوصلة بحيث يتقاطع مع خط الدائرة. قم بتسمية هذه النقطة I. حرك إبرة البوصلة إلى النقطة I. قم بعمل شق على الدائرة مرة أخرى وقم بتسمية النقطة الناتجة J. وبالمثل، قم ببناء النقاط K، L، M. قم بتوصيل النقاط H، I، J، K، L، باستمرار M، H في أزواج. تلقى

يمكن حساب مساحة المثلث بعدة طرق، اعتمادًا على القيمة المعروفة من شروط المشكلة. بمعرفة قاعدة المثلث وارتفاعه، يمكن إيجاد المساحة عن طريق حساب حاصل ضرب نصف القاعدة والارتفاع. وفي الطريقة الثانية يتم حساب المساحة من خلال الدائرة المحيطة بالمثلث.

تعليمات

• في مسائل قياس المخططات، عليك العثور على مساحة المضلع المدرج في دائرة أو المحيط به. ويعتبر المضلع محصوراً حول دائرة إذا كان خارجها وتلامست أضلاعه مع الدائرة. يعتبر المضلع الموجود داخل الدائرة منقوشًا إذا كانت رؤوسه تقع على محيط الدائرة. إذا أعطيت المسألة مثلثًا محصورًا في دائرة، فإن رؤوسه الثلاثة تلامس الدائرة. اعتمادا على نوع المثلث الذي يتم النظر فيه، يتم اختيار طريقة حل المشكلة.
• أبسط حالة تحدث عندما يتم إدراج مثلث منتظم في دائرة. وبما أن جميع أضلاع هذا المثلث متساوية، فإن نصف قطر الدائرة يساوي نصف ارتفاعها. لذلك، بمعرفة أضلاع المثلث، يمكنك العثور على مساحته. وفي هذه الحالة يمكنك حساب هذه المساحة بأي من الطرق التالية، على سبيل المثال:
  R=abc/4S، حيث S هي مساحة المثلث، a، b، c هي أضلاع المثلث S=0.25(R/abc)
• ينشأ موقف آخر عندما يكون المثلث متساوي الساقين. إذا كانت قاعدة المثلث تتطابق مع خط قطر الدائرة أو كان القطر أيضًا هو ارتفاع المثلث، فيمكن حساب المساحة على النحو التالي:
  S=1/2h*AC، حيث AC هي قاعدة المثلث
  إذا كان نصف قطر دائرة مثلث متساوي الساقين معروفًا وزواياه وكذلك القاعدة المقابلة لقطر الدائرة، فيمكن إيجاد الارتفاع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس. مساحة المثلث الذي تتطابق قاعدته مع قطر الدائرة هي:
  S = ص * ح
  وفي حالة أخرى، عندما يكون الارتفاع مساوياً لقطر الدائرة المحيطة بمثلث متساوي الساقين، فإن مساحتها تساوي:
  S=R*AC
• في عدد من المسائل، يتم إدراج مثلث قائم في دائرة. في هذه الحالة، يقع مركز الدائرة في منتصف الوتر. بمعرفة الزوايا وإيجاد قاعدة المثلث، يمكنك حساب المساحة باستخدام أي من الطرق الموضحة أعلاه.
  وفي حالات أخرى، خاصة عندما يكون المثلث حادًا أو منفرجًا، تنطبق الصيغة الأولى فقط من الصيغ المذكورة أعلاه.