تتابع هذه المقالة موضوع معادلة الخط المستقيم على المستوى: فكر في شكل من أشكال المعادلة مثل المعادلة العامة للخط المستقيم. دعونا نحدد نظرية ونقدم برهانها ؛ دعنا نتعرف على المعادلة العامة غير المكتملة للخط المستقيم وكيفية إجراء انتقالات من معادلة عامة إلى أنواع أخرى من المعادلات للخط المستقيم. سنقوم بتوحيد النظرية بأكملها مع الرسوم التوضيحية وحل المشكلات العملية.

Yandex.RTB R-A-339285-1

دع نظام إحداثيات مستطيل O x y يُعطى على المستوى.

نظرية 1

أي معادلة من الدرجة الأولى ، بالصيغة A x + B y + C \u003d 0 ، حيث A ، B ، C هي بعض الأرقام الحقيقية (A و B لا تساوي الصفر في نفس الوقت) تحدد خطًا مستقيمًا في a نظام إحداثيات مستطيل على مستوى. في المقابل ، يتم تحديد أي خط مستقيم في نظام إحداثيات مستطيل على مستوى بواسطة معادلة لها الصيغة أ س + ب ص + ج \u003d 0 لمجموعة معينة من القيم أ ، ب ، ج.

شهادة

تتكون هذه النظرية من نقطتين ، سنثبت كل منهما.

1. دعونا نثبت أن المعادلة أ س + ب ص + ج \u003d 0 تحدد خطًا مستقيمًا على المستوى.

دع هناك نقطة ما М 0 (x 0 ، y 0) ، تتوافق إحداثياتها مع المعادلة A x + B y + C \u003d 0. بالتالي: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. طرح من الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلتين A x + B y + C \u003d 0 الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 ، نحصل على معادلة جديدة بالصيغة A ( س - س 0) + ب (ص - ص 0) \u003d 0. إنه يكافئ A x + B y + C \u003d 0.

المعادلة الناتجة A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 هي شرط ضروري وكافٍ للمتجهات n → \u003d (A، B) و M 0 M → \u003d (x - x 0، y - ص 0). وهكذا ، تحدد مجموعة النقاط M (x ، y) خطًا مستقيمًا في نظام إحداثيات مستطيل عموديًا على اتجاه المتجه n → \u003d (A ، B). يمكننا أن نفترض أن هذا ليس كذلك ، ولكن المتجهات ن → \u003d (أ ، ب) و م 0 م → \u003d (س - س 0 ، ص - ص 0) لن تكون متعامدة ، والمساواة أ (س - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 لن يكون صحيحًا.

لذلك ، فإن المعادلة A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 تحدد بعض الخطوط المستقيمة في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى ، وبالتالي فإن المعادلة المكافئة A x + B y + C \u003d 0 تحدد نفس الخط المستقيم. هذه هي الطريقة التي أثبتنا بها الجزء الأول من النظرية.

1. لنقدم دليلاً على أن أي خط مستقيم في نظام إحداثيات مستطيل على مستوى يمكن تعريفه بمعادلة من الدرجة الأولى A x + B y + C \u003d 0.

دعونا نضع الخط المستقيم أ في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى ؛ النقطة M 0 (x 0 ، y 0) ، والتي يمر من خلالها هذا الخط ، وكذلك المتجه الطبيعي لهذا الخط n → \u003d (A ، B).

يجب أن يكون هناك أيضًا نقطة M (x ، y) - نقطة عائمة لخط مستقيم. في هذه الحالة ، المتجهات n → \u003d (A ، B) و M 0 M → \u003d (x - x 0 ، y - y 0) متعامدة مع بعضها البعض ، وحاصل ضربها القياسي هو صفر:

ن → ، م 0 م → \u003d أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) \u003d 0

أعد كتابة المعادلة A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0 ، حدد C: C \u003d - A x 0 - B y 0 وفي النتيجة النهائية نحصل على المعادلة A x + B y + C \u003d 0 .

وهكذا ، أثبتنا الجزء الثاني من النظرية وأثبتنا النظرية بأكملها ككل.

التعريف 1

معادلة الشكل أ س + ب ص + ج \u003d 0 - هذا هو المعادلة العامة للخط على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل يا س ص.

استنادًا إلى النظرية التي أثبتت جدواها ، يمكننا أن نستنتج أن الخط المستقيم ومعادلته العامة المعطاة على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل ثابت مرتبطان ارتباطًا وثيقًا. بمعنى آخر ، الخط المستقيم الأولي يتوافق مع معادلته العامة ؛ المعادلة العامة للخط المستقيم تقابل خطًا مستقيمًا معينًا.

ويترتب على إثبات النظرية أيضًا أن المعاملين A و B للمتغيرين x و y هما إحداثيات المتجه العادي للخط ، والتي تُعطى بواسطة المعادلة العامة للخط A x + B y + C \u003d 0.

ضع في اعتبارك مثالًا محددًا لمعادلة عامة للخط المستقيم.

دع المعادلة 2 س + 3 ص - 2 \u003d 0 تُعطى ، والتي تقابل خطًا مستقيمًا في نظام إحداثيات مستطيل معين. المتجه الطبيعي لهذا الخط هو المتجه ن → \u003d (2 ، 3). ارسم خطًا مستقيمًا معينًا في الرسم.

يمكنك أيضًا قول ما يلي: يتم تحديد الخط المستقيم الذي نراه في الرسم بالمعادلة العامة 2 س + 3 ص - 2 \u003d 0 ، لأن إحداثيات جميع النقاط لخط مستقيم معين تتوافق مع هذه المعادلة.

يمكننا الحصول على المعادلة λ · A x + λ · B y + λ · C \u003d 0 بضرب طرفي المعادلة العامة للخط في رقم λ لا يساوي صفرًا. المعادلة الناتجة تعادل المعادلة العامة الأصلية ، لذلك ، ستصف نفس الخط المستقيم على المستوى.

أكمل المعادلة العامة للخط - مثل هذه المعادلة العامة للخط المستقيم A x + B y + C \u003d 0 ، حيث تكون الأرقام A و B و C غير صفرية. خلاف ذلك المعادلة غير مكتمل.

دعونا نفحص جميع الاختلافات في المعادلة العامة غير المكتملة للخط.

1. عندما تكون A \u003d 0 ، B ≠ 0 ، C ≠ 0 ، تصبح المعادلة العامة B y + C \u003d 0. تحدد مثل هذه المعادلة العامة غير المكتملة في نظام إحداثيات مستطيل O x y خطًا مستقيمًا موازٍ لمحور O x ، لأن أي قيمة حقيقية لـ x سيأخذ المتغير y القيمة - ج ب. بمعنى آخر ، المعادلة العامة للخط المستقيم A x + B y + C \u003d 0 ، عندما A \u003d 0 ، B ≠ 0 ، تحدد موضع النقاط (x ، y) ، إحداثياتها تساوي نفس الرقم - ج ب.
2. إذا كانت A \u003d 0 ، B 0 ، C \u003d 0 ، تأخذ المعادلة العامة الصيغة y \u003d 0. تحدد هذه المعادلة غير المكتملة محور الإحداثيات O x.
3. عندما أ ≠ 0 ، ب \u003d 0 ، ج 0 ، نحصل على معادلة عامة غير مكتملة أ س + ج \u003d 0 ، نحدد خطًا مستقيمًا موازٍ للمحور الإحداثي.
4. دع A ≠ 0 ، B \u003d 0 ، C \u003d 0 ، ثم المعادلة العامة غير المكتملة ستأخذ الصورة x \u003d 0 ، وهذه معادلة خط الإحداثيات O y.
5. أخيرًا ، بالنسبة لـ A ≠ 0 ، B ≠ 0 ، C \u003d 0 ، تأخذ المعادلة العامة غير المكتملة الشكل A x + B y \u003d 0. وتصف هذه المعادلة خطًا مستقيمًا يمر من نقطة الأصل. في الواقع ، زوج الأرقام (0 ، 0) يتوافق مع المساواة أ س + ب ص \u003d 0 ، منذ أ · 0 + ب · 0 \u003d 0.

دعونا نوضح بيانيا جميع الأنواع المذكورة أعلاه من المعادلة العامة غير المكتملة للخط المستقيم.

مثال 1

من المعروف أن خطًا مستقيمًا يوازي المحور الإحداثي ويمر بالنقطة ٧ ٢ ، - ١١. من الضروري كتابة المعادلة العامة لخط مستقيم معين.

قرار

يتم إعطاء خط مستقيم موازٍ للمحور الإحداثي بواسطة معادلة بالصيغة A x + C \u003d 0 ، حيث A ≠ 0. أيضًا ، يحدد الشرط إحداثيات النقطة التي يمر من خلالها الخط ، وتفي إحداثيات هذه النقطة بشروط المعادلة العامة غير المكتملة A x + C \u003d 0 ، أي المساواة صحيحة:

أ · 2 7 + ج \u003d 0

من الممكن تحديد C منه بإعطاء A قيمة غير صفرية ، على سبيل المثال ، A \u003d 7. في هذه الحالة نحصل على: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. نعلم كلا المعاملين A و C ، استبدلهما في المعادلة A x + C \u003d 0 ونحصل على المعادلة المطلوبة للخط المستقيم: 7 x - 2 \u003d 0

إجابه: 7 س - 2 \u003d 0

مثال 2

يظهر الرسم خطًا مستقيمًا ، من الضروري كتابة معادلته.

قرار

يسمح لنا الرسم أعلاه بأخذ البيانات الأولية بسهولة لحل المشكلة. نرى في الرسم أن الخط المعطى يوازي المحور O x ويمر بالنقطة (0 ، 3).

يتم تحديد الخط المستقيم الموازي لعيون الإحداثيات بواسطة المعادلة العامة غير المكتملة B y + C \u003d 0. لنجد قيمتي B و C. إحداثيات النقطة (0 ، 3) ، بما أن خطًا مستقيمًا معينًا يمر عبرها ، سوف تفي بمعادلة الخط المستقيم B y + C \u003d 0 ، ثم تكون المساواة صحيحة: B · 3 + C \u003d 0. لنحدد B بعض القيمة بخلاف الصفر. لنفترض أن B \u003d 1 ، في هذه الحالة ، من المساواة B 3 + C \u003d 0 يمكننا أن نجد C: C \u003d - 3. نستخدم القيم المعروفة لـ B و C ، نحصل على المعادلة المطلوبة للخط: y - 3 \u003d 0.

إجابه: ص - 3 \u003d 0.

معادلة عامة لخط مستقيم يمر عبر نقطة معينة من المستوى

دع الخط المعطى يمر عبر النقطة М 0 (x 0 ، y 0) ، ثم تتوافق إحداثياته \u200b\u200bمع المعادلة العامة للخط ، أي المساواة صحيحة: أ س 0 + ب ص 0 + ج \u003d 0. نطرح الجانبين الأيمن والأيسر من هذه المعادلة من الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة العامة الكاملة للخط. نحصل على: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0 ، هذه المعادلة تعادل العام الأصلي ، تمر عبر النقطة М 0 (x 0 ، y 0) ولها متجه عادي ن → \u003d (أ ، ب).

تتيح النتيجة التي حصلنا عليها تدوين المعادلة العامة لخط مستقيم بالإحداثيات المعروفة للمتجه الطبيعي للخط المستقيم وإحداثيات نقطة معينة من هذا الخط المستقيم.

مثال 3

إعطاء نقطة М 0 (- 3 ، 4) يمر من خلالها خط مستقيم ، ومتجه عادي لهذا الخط المستقيم ن → \u003d (1 ، - 2). من الضروري كتابة معادلة خط مستقيم معين.

قرار

تسمح لنا الشروط الأولية بالحصول على البيانات اللازمة لوضع المعادلة: أ \u003d 1 ، ب \u003d - 2 ، س 0 \u003d - 3 ، ص 0 \u003d 4. ثم:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) \u003d 0 1 (س - (- 3)) - 2 ص (ص - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ س - 2 ص + 22 \u003d 0

كان يمكن حل المشكلة بشكل مختلف. المعادلة العامة للخط هي A x + B y + C \u003d 0. يسمح لك المتجه العادي بالحصول على قيم المعاملين A و B ، ثم:

أ س + ب ص + ج \u003d 0 1 س - 2 ص + ج \u003d 0 س - 2 ص + ج \u003d 0

الآن نجد قيمة C باستخدام النقطة M 0 (- 3 ، 4) المحددة بحالة المشكلة ، والتي يمر من خلالها الخط المستقيم. تتوافق إحداثيات هذه النقطة مع المعادلة x - 2 y + C \u003d 0 ، أي - 3 - 2 4 + ج \u003d 0. ومن ثم C \u003d 11. تأخذ المعادلة المطلوبة للخط المستقيم الشكل: س - 2 ص + 11 \u003d 0.

إجابه: س - 2 ص + 11 \u003d 0.

مثال 4

خط مستقيم 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0 ونقطة М 0 تقع على هذا الخط المستقيم. لا يُعرف سوى حدود هذه النقطة ، وهي تساوي - 3. من الضروري تحديد إحداثيات نقطة معينة.

قرار

لنقم بتعيين إحداثيات النقطة 0 على أنها x 0 و y 0. تشير البيانات الأولية إلى أن x 0 \u003d - 3. بما أن نقطة ما تنتمي إلى خط مستقيم معين ، فإن إحداثياتها تتوافق مع المعادلة العامة لهذا الخط المستقيم. عندها تكون المساواة صحيحة:

٢ ٣ × ٠ - ص ٠ - ١ ٢ \u003d ٠

أوجد y 0: 2 3 (- 3) - y 0-1 2 \u003d 0 - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

إجابه: - 5 2

الانتقال من المعادلة العامة للخط المستقيم إلى أنواع أخرى من المعادلات للخط المستقيم والعكس صحيح

كما نعلم ، هناك عدة أنواع من المعادلات لنفس الخط المستقيم على المستوى. يعتمد اختيار نوع المعادلة على ظروف المشكلة ؛ من الممكن اختيار الشخص الأكثر ملاءمة لحلها. هذا هو المكان الذي تكون فيه مهارة تحويل معادلة من نوع إلى معادلة من نوع آخر مفيدة.

بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك الانتقال من المعادلة العامة للصورة A x + B y + C \u003d 0 إلى المعادلة الأساسية x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y.

إذا كانت А ≠ 0 ، فإننا ننقل المصطلح B y إلى الجانب الأيمن من المعادلة العامة. على الجانب الأيسر ، ضع A خارج الأقواس. نتيجة لذلك ، نحصل على: A x + C A \u003d - B y.

يمكن كتابة هذه المساواة كنسبة: x + C A - B \u003d y A.

إذا ≠ 0 ، نترك فقط المصطلح A x على الجانب الأيسر من المعادلة العامة ، وننقل الآخرين إلى الجانب الأيمن ، نحصل على: A x \u003d - B y - C. نخرج - B خارج الأقواس ، ثم: A x \u003d - B y + C B.

دعنا نعيد كتابة المساواة كنسبة: x - B \u003d y + C B A.

بالطبع ، ليست هناك حاجة لحفظ الصيغ الناتجة. يكفي معرفة خوارزمية الإجراءات في الانتقال من المعادلة العامة إلى المعادلة الأساسية.

مثال 5

المعادلة العامة للخط المستقيم معطاة: 3 ص - 4 \u003d 0. من الضروري تحويلها إلى معادلة أساسية.

قرار

أعد كتابة المعادلة الأصلية بالشكل 3 y - 4 \u003d 0. بعد ذلك ، نتصرف وفقًا للخوارزمية: على الجانب الأيسر يبقى المصطلح 0 x ؛ وعلى الجانب الأيمن نضع - 3 خارج الأقواس ؛ نحصل على: 0 x \u003d - 3 y - 4 3.

لنكتب المساواة الناتجة كنسبة: x - 3 \u003d y - 4 3 0. إذن ، حصلنا على معادلة بالصيغة المتعارف عليها.

الجواب: س - 3 \u003d ص - ٠ ٣ ٤.

لتحويل المعادلة العامة للخط المستقيم إلى معادلات بارامترية ، يقوم المرء أولاً بالانتقال إلى الشكل الكنسي ، ثم الانتقال من المعادلة الأساسية للخط المستقيم إلى المعادلات البارامترية.

مثال 6

الخط المستقيم هو المعادلة 2 س - 5 ص - 1 \u003d 0. اكتب المعادلات البارامترية لهذا الخط المستقيم.

قرار

دعنا ننتقل من المعادلة العامة إلى المعادلة الأساسية:

2 س - 5 ص - 1 \u003d 0 2 س \u003d 5 ص + 1 ⇔ 2 س \u003d 5 ص + 1 5 س 5 \u003d ص + 1 5 2

نأخذ الآن طرفي المعادلة القانونية الناتجة مساويًا لـ λ ، ثم:

س 5 \u003d λ ص + 1 5 2 \u003d λ ⇔ س \u003d 5 λ ص \u003d - 1 5 + 2 λ ، λ ∈ ر

إجابه: س \u003d ٥ ص \u003d - ٥ ١ + ٢ λ ، λ ∈ ر

يمكن تحويل المعادلة العامة إلى معادلة خط مستقيم بميله y \u003d k x + b ، ولكن فقط إذا كانت B 0. بالنسبة للانتقال على اليسار ، نترك المصطلح B y ، والباقي يتم نقله إلى اليمين. نحصل على: B y \u003d - A x - C. اقسم طرفي المساواة الناتجة على B ، مختلفًا عن الصفر: y \u003d - A B x - C B.

مثال 7

المعادلة العامة للخط المستقيم معطاة: 2 س + 7 ص \u003d 0. يجب عليك تحويل هذه المعادلة إلى معادلة ميل.

قرار

لننفذ الإجراءات اللازمة وفقًا للخوارزمية:

2 س + 7 ص \u003d 0 7 ص - 2 س ⇔ ص \u003d - 2 7 س

إجابه: ص \u003d - ٢ ٧ س.

من المعادلة العامة للخط المستقيم ، يكفي ببساطة الحصول على معادلة في أجزاء من الصورة x a + y b \u003d 1. لإجراء مثل هذا الانتقال ، ننقل الرقم C إلى الجانب الأيمن من المساواة ، ونقسم كلا الجانبين من المساواة الناتجة عن طريق - С ، وأخيراً ، ننقل معاملات المتغيرين x و y إلى المقامات:

أ س + ب ص + ج \u003d 0 أ س + ب ص \u003d - ج ⇔ ⇔ أ - ج س + ب - ج ص \u003d 1 س - ج أ + ص - ج ب \u003d 1

المثال 8

من الضروري تحويل المعادلة العامة للخط x - 7 y + 1 2 \u003d 0 إلى معادلة الخط في مقاطع.

قرار

انقل 1 2 إلى الجانب الأيمن: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 x - 7 y \u003d - 1 2.

اقسم طرفي المساواة على -1/2: س - 7 ص \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 س - 7 - 1 2 ص \u003d 1.

إجابه: س - 1 2 + ص 1 14 \u003d 1.

بشكل عام ، الانتقال العكسي سهل أيضًا: من أنواع المعادلات الأخرى إلى المعادلات العامة.

يمكن بسهولة تحويل معادلة الخط المستقيم المقسم إلى شرائح والمعادلة ذات معامل الميل إلى معادلة عامة ، وذلك ببساطة عن طريق جمع جميع المصطلحات الموجودة على الجانب الأيسر من المساواة:

س أ + ص ب ⇔ 1 أ س + 1 ب ص - 1 \u003d 0 ⇔ أ س + ب ص + ج \u003d 0 ص \u003d ك س + ب ⇔ ص - ك س - ب \u003d 0 أ س + ب ص + ج \u003d 0

تتحول المعادلة الأساسية إلى المعادلة العامة على النحو التالي:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) \u003d ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

للانتقال من البارامترية ، أولاً ، يتم الانتقال إلى المتعارف عليه ، ثم إلى العام:

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ λ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C \u003d 0

المثال 9

المعادلات البارامترية للخط المستقيم x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 معطاة. من الضروري كتابة المعادلة العامة لهذا الخط المستقيم.

قرار

لنقم بالانتقال من المعادلات البارامترية إلى المعادلات الأساسية:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

دعنا ننتقل من الأساسي إلى العام:

س + 1 2 \u003d ص - 4 0 ⇔ 0 (س + 1) \u003d 2 (ص - 4) ⇔ ص - 4 \u003d 0

إجابه: ص - 4 \u003d 0

المثال 10

يتم إعطاء معادلة الخط المستقيم في الأجزاء x 3 + y 1 2 \u003d 1. من الضروري الانتقال إلى الشكل العام للمعادلة.

قرار:

دعنا فقط نعيد كتابة المعادلة حسب الحاجة:

س 3 + ص 1 2 \u003d 1 1 3 س + 2 ص - 1 \u003d 0

إجابه: 1 3 س + 2 ص - 1 \u003d 0.

رسم المعادلة العامة للخط المستقيم

أعلاه ، قلنا أنه يمكن كتابة المعادلة العامة بالإحداثيات المعروفة للمتجه الطبيعي وإحداثيات النقطة التي يمر من خلالها الخط المستقيم. يتم تحديد هذا الخط المستقيم بواسطة المعادلة أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) \u003d 0. قمنا أيضًا بتحليل المثال المقابل هناك.

الآن سننظر في أمثلة أكثر تعقيدًا ، حيث من الضروري أولاً تحديد إحداثيات المتجه الطبيعي.

المثال 11

خط مستقيم يوازي الخط المستقيم 2 س - 3 ص + 3 3 \u003d 0. المعروف أيضًا هو النقطة M 0 (4 ، 1) ، والتي يمر من خلالها الخط المحدد. من الضروري كتابة معادلة خط مستقيم معين.

قرار

تخبرنا الشروط الأولية أن الخطوط المستقيمة متوازية ، إذن ، كمتجه طبيعي للخط المستقيم ، يجب كتابة معادلته ، نأخذ متجه التوجيه للخط المستقيم n → \u003d (2 ، - 3) : 2 س - 3 ص + 3 3 \u003d 0. الآن نحن نعرف جميع البيانات اللازمة لتكوين المعادلة العامة للخط:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) \u003d 0 2 (س - 4) - 3 (ص - 1) \u003d 0 2 س - 3 ص - 5 \u003d 0

إجابه: 2 س - 3 ص - 5 \u003d 0.

المثال 12

يمر الخط المحدد عبر نقطة الأصل بشكل عمودي على الخط x - 2 3 \u003d y + 4 5. من الضروري وضع معادلة عامة لخط مستقيم معين.

قرار

سيكون المتجه الطبيعي للخط المعطى هو متجه الاتجاه للخط x - 2 3 \u003d y + 4 5.

ثم n → \u003d (3 ، 5). يمر الخط المستقيم من خلال الأصل ، أي من خلال النقطة O (0 ، 0). لنؤلف المعادلة العامة لخط مستقيم معين:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) \u003d 0 3 (س - 0) + 5 (ص - 0) \u003d 0 ⇔ 3 س + 5 ص \u003d 0

إجابه: 3 س + 5 ص \u003d 0.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

الخط المستقيم المار بالنقطة K (x 0 ؛ y 0) والمتوازي مع الخط المستقيم y \u003d kx + a تم إيجاده في الصيغة:

ص - ص 0 \u003d ك (س - س 0) (1)

حيث k هو ميل الخط المستقيم.

صيغة بديلة:
الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1 ؛ y 1) والمتوازي مع الخط المستقيم Ax + By + C \u003d 0 تمثله المعادلة

أ (س 1) + ب (ص ص 1) \u003d 0. (2)

المثال رقم 2. اكتب معادلة الخط المستقيم الموازي للخط المستقيم 2x + 5y \u003d 0 وشكل مع محاور الإحداثيات مثلثًا مساحته 5.
قرار ... بما أن الخطوط المستقيمة متوازية ، فإن معادلة الخط المستقيم المطلوب هي 2x + 5y + C \u003d 0. مساحة المثلث قائم الزاوية ، حيث a و b هي رجليه. ابحث عن نقاط التقاطع للخط المستقيم المطلوب مع محاور الإحداثيات:
;
.
لذا أ (-C / 2.0) ، ب (0 ، -C / 5). لنعوض في صيغة المساحة: ... نحصل على حلين: 2x + 5y + 10 \u003d 0 و 2x + 5y - 10 \u003d 0.

المثال رقم 3. اجعل معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (-2 ؛ 5) وموازاة للخط المستقيم 5x-7y-4 \u003d 0.
قرار. يمكن تمثيل هذا الخط المستقيم بالمعادلة y \u003d 5/7 x - 4/7 (هنا أ \u003d 5/7). معادلة الخط المستقيم المطلوب هي y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)) ، أي 7 (ص -5) \u003d 5 (س + 2) أو 5 س -7 ص + 45 \u003d 0.

مثال رقم 4. حل المثال 3 (أ \u003d 5 ، ب \u003d -7) باستخدام الصيغة (2) ، نجد 5 (س + 2) -7 (ص -5) \u003d 0.

مثال رقم 5. اجعل معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (-2 ؛ 5) وموازاة للخط المستقيم 7 س + 10 \u003d 0.
قرار. هنا أ \u003d 7 ، ب \u003d 0. الصيغة (2) تعطي 7 (x + 2) \u003d 0 ، أي س + 2 \u003d 0. الصيغة (1) غير قابلة للتطبيق ، حيث لا يمكن حل هذه المعادلة فيما يتعلق بـ y (هذا الخط موازٍ للمحور الإحداثي).

درس من سلسلة "الخوارزميات الهندسية"

مرحبا عزيزي القارئ!

سنبدأ اليوم في استكشاف الخوارزميات المتعلقة بالهندسة. الحقيقة هي أن هناك الكثير من مشاكل الأولمبياد في علوم الكمبيوتر المتعلقة بالهندسة الحسابية ، وغالبًا ما يسبب حل هذه المشكلات صعوبات.

في بضع دروس ، سننظر في عدد من المشكلات الفرعية الأولية ، والتي تعد أساس حل معظم المشكلات في الهندسة الحسابية.

في هذا الدرس ، سننشئ برنامجًا لـ إيجاد معادلة الخط المستقيميمر من خلال معين نقطتان... لحل المشكلات الهندسية ، سنحتاج إلى بعض المعرفة بالهندسة الحسابية. سنخصص جزءًا من الدرس للتعرف عليهم.

معلومات الهندسة الحسابية

الهندسة الحسابية هي فرع من فروع علوم الكمبيوتر يدرس الخوارزميات لحل المشكلات الهندسية.

يمكن أن تكون البيانات الأولية لمثل هذه المهام عبارة عن مجموعة من النقاط على مستوى ، أو مجموعة من المقاطع ، أو مضلع (محدد ، على سبيل المثال ، بقائمة رؤوسه بترتيب في اتجاه عقارب الساعة) ، إلخ.

يمكن أن تكون النتيجة إما إجابة لسؤال (مثل ما إذا كانت نقطة تنتمي إلى مقطع ما ، أو ما إذا كان يتقاطع قسمان ، ...) ، أو بعض العناصر الهندسية (على سبيل المثال ، أصغر مضلع محدب يربط بين نقاط معينة ، مساحة مضلع ، إلخ) ...

سننظر في مشاكل الهندسة الحسابية فقط على المستوى وفي نظام الإحداثيات الديكارتية فقط.

المتجهات والإحداثيات

لتطبيق طرق الهندسة الحسابية ، يجب ترجمة الصور الهندسية إلى لغة الأرقام. سنفترض أنه تم تحديد نظام إحداثيات ديكارتي على المستوى ، حيث يُطلق على اتجاه الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة اسم موجب.

يتم الآن التعبير عن الكائنات الهندسية بشكل تحليلي. لذلك ، لتحديد نقطة ، يكفي الإشارة إلى إحداثياتها: زوج من الأرقام (س ؛ ص). يمكن تحديد مقطع عن طريق تحديد إحداثيات نهاياته ، ويمكن تحديد خط مستقيم عن طريق تحديد إحداثيات زوج من نقاطه.

لكن الأداة الرئيسية لحل المشكلات ستكون المتجهات. لذلك ، سوف أذكرك ببعض المعلومات عنها.

الجزء AB، في أي نقطة و تعتبر البداية (نقطة التطبيق) ، والنقطة في - النهاية ، تسمى ناقل AB ويشير إلى أي حرف صغير أو غامق ، على سبيل المثال و .

للإشارة إلى طول المتجه (أي طول المقطع المقابل) ، سنستخدم رمز المعامل (على سبيل المثال ،).

سيكون للمتجه التعسفي إحداثيات تساوي الفرق بين الإحداثيات المقابلة لنهايته وبدايته:

,

يشير هنا أ و ب إحداثيات على التوالى.

للحسابات ، سوف نستخدم المفهوم زاوية موجهة، أي الزاوية التي تأخذ في الاعتبار الوضع النسبي للمتجهات.

زاوية موجهة بين المتجهات أ و ب موجب إذا كان الدوران بعيدًا عن المتجه أ إلى ناقلات ب يتم في الاتجاه الإيجابي (عكس اتجاه عقارب الساعة) والسالب خلاف ذلك. انظر الشكل 1 أ ، الشكل 1 ب. يقولون أيضًا أن زوجًا من النواقل أ و ب موجها إيجابيا (سلبا).

وبالتالي ، فإن قيمة الزاوية الموجهة تعتمد على الترتيب الذي يتم به سرد المتجهات ويمكن أن تأخذ قيمًا في النطاق.

تستخدم العديد من مشاكل الهندسة الحسابية مفهوم نواتج المتجهات (الانحراف أو المقياس الكاذب).

حاصل الضرب المتجه للمتجهين a و b هو حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات بواسطة جيب الزاوية بينهما:

.

حاصل ضرب المتجهات في الإحداثيات:

التعبير الموجود على اليمين محدد من الدرجة الثانية:

على عكس التعريف الوارد في الهندسة التحليلية ، فهو مقياس عددي.

تحدد علامة الضرب المتقاطع موضع المتجهات بالنسبة لبعضها البعض:

أ و ب موجّه بشكل إيجابي.

إذا كانت قيمة ، ثم زوج من المتجهات أ و ب سلبي المنحى.

حاصل الضرب المتجه للمتجهات غير الصفرية يساوي الصفر إذا وفقط إذا كانت متداخلة ( ). هذا يعني أنها تقع على خط مستقيم واحد أو على خطوط متوازية.

لنفكر في بعض أبسط المهام اللازمة لحل المهام الأكثر تعقيدًا.

دعونا نحدد معادلة الخط المستقيم بإحداثيات نقطتين.

معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين مختلفتين حسب إحداثياتهما.

يجب أن يكون هناك نقطتان غير متطابقتين على خط مستقيم: بالإحداثيات (x1 ؛ y1) والإحداثيات (x2 ؛ y2). وفقًا لذلك ، يكون للمتجه الذي يبدأ عند نقطة ونهاية عند نقطة إحداثيات (x2-x1، y2-y1). إذا كانت P (x، y) نقطة عشوائية على خطنا ، فإن إحداثيات المتجه هي (x-x1، y - y1).

باستخدام منتج المتجه ، حالة العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات ويمكن كتابتها على النحو التالي:

أولئك. (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) \u003d 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0

نعيد كتابة المعادلة الأخيرة على النحو التالي:

الفأس + ب + ج \u003d 0 ، (1)

ج \u003d x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

لذلك ، يمكن تعيين خط مستقيم بواسطة معادلة بالصيغة (1).

المهمة 1. يتم إعطاء إحداثيات نقطتين. أوجد تمثيلها على أنها ax + by + c \u003d 0.

في هذا الدرس ، تعلمنا بعض المعلومات الهندسية الحسابية. لقد حللنا مشكلة إيجاد معادلة الخط بإحداثيات نقطتين.

في الدرس التالي ، سننشئ برنامجًا لإيجاد نقطة التقاطع بين خطين وفقًا لمعادلاتنا.

دعونا نعطي نقطتين م(X1 ,لديك1) و ن(X2, ذ2). دعونا نجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط.

لأن هذا الخط يمر بالنقطة م، ثم وفقًا للصيغة (1.13) يكون لمعادلتها الشكل

لديك – ص1 = ك(X - x1),

أين ك - منحدر غير معروف.

يتم تحديد قيمة هذا المعامل من الحالة التي يمر بها الخط المطلوب عبر النقطة ن، وبالتالي ، فإن إحداثياتها تفي بالمعادلة (1.13)

ص2 – ص1 = ك(X2 – X1),

من هنا يمكنك إيجاد ميل هذا الخط المستقيم:

,

أو بعد التحويل

(1.14)

الصيغة (1.14) تحدد معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين م(X1, ص1) و ن(X2, ص2).

في حالة خاصة عندما تكون النقاط م(أ, 0), ن(0, ب), و ¹ 0, ب ¹ 0 ، تقع على محاور الإحداثيات ، تأخذ المعادلة (1.14) شكلاً أبسط

المعادلة (1.15) مسمى بواسطة معادلة الخط المستقيم في مقاطع، هنا و و ب تشير إلى الأجزاء المقطوعة بخط مستقيم على المحاور (الشكل 1.6).

الشكل 1.6

المثال 1.10. يساوي خطًا مستقيمًا عبر النقاط م(1 ، 2) و ب(3, –1).

. وفقًا لـ (1.14) ، فإن معادلة الخط المطلوب لها الشكل

2(ص – 2) = -3(X – 1).

نقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر ، نحصل أخيرًا على المعادلة المطلوبة

3X + 2ص – 7 = 0.

المثال 1.11. يساوي خطًا مستقيمًا يمر بنقطة م(2 ، 1) ونقطة تقاطع الخطوط X+ نعم -1 = 0, X - ذ+ 2 = 0.

. نحسب إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط المستقيمة عن طريق حل المعادلات الآتية معًا

إذا أضفنا هذه المعادلات مصطلحًا تلو الآخر ، فسنحصل على 2 X + 1 \u003d 0 ، من أين. بالتعويض عن القيمة التي تم العثور عليها في أي معادلة ، نجد قيمة الإحداثي لديك:

نكتب الآن معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (2 ، 1) و:

أو .

ومن ثم ، أو –5 ( ص – 1) = X – 2.

أخيرًا ، نحصل على معادلة الخط المستقيم المطلوب في النموذج X + 5ص – 7 = 0.

المثال 1.12. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقاط م(2،1) و ن(2,3).

باستخدام الصيغة (1.14) نحصل على المعادلة

لا معنى له لأن المقام الثاني هو صفر. يمكن أن نرى من بيان المشكلة أن الأحجام لكلتا النقطتين لها نفس القيمة. ومن ثم ، فإن الخط المطلوب موازٍ للمحور OY ومعادلتها هي: x = 2.

تعليق . إذا تبين ، عند كتابة معادلة خط مستقيم وفقًا للصيغة (1.14) ، أن أحد المقامات يساوي صفرًا ، فيمكن الحصول على المعادلة المرغوبة عن طريق معادلة البسط المقابل بالصفر.

ضع في اعتبارك طرقًا أخرى لتحديد خط مستقيم على مستوى.

1. دع المتجه غير الصفري يكون عموديًا على الخط المحدد إلو نقطة م0(X0, ص0) على هذا الخط المستقيم (الشكل 1.7).

الشكل 1.7

نشير م(X, ص) نقطة اعتباطية على الخط إل... ناقلات و متعامد. باستخدام شروط التعامد لهذه النواقل ، نحصل على إما و(X – X0) + ب(ص – ص0) = 0.

حصلنا على معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة م0 عمودي على المتجه. هذا المتجه يسمى المتجه الطبيعي على التوالي إل... يمكن إعادة كتابة المعادلة الناتجة كـ

أوه + وو + من \u003d 0 ، أين من = –(وX0 + بواسطة0), (1.16),

أين و و في- إحداثيات المتجه الطبيعي.

نحصل على المعادلة العامة للخط المستقيم في الصورة البارامترية.

2. يمكن تحديد خط مستقيم على مستوى على النحو التالي: دع متجهًا غير صفري موازيًا لخط مستقيم معين إل و نقطة م0(X0, ص0) على هذا الخط المستقيم. لنأخذ نقطة اعتباطية مرة أخرى م(X، y) على خط مستقيم (الشكل 1.8).

الشكل 1.8

ناقلات و علاقة خطية متداخلة.

دعونا نكتب حالة العلاقة الخطية المتداخلة لهذه المتجهات: ، أين تي - رقم تعسفي يسمى المعلمة. لنكتب هذه المساواة في الإحداثيات:

تسمى هذه المعادلات المعادلات البارامترية مستقيم... نستبعد من هذه المعادلات المعلمة تي:

يمكن كتابة هذه المعادلات بطريقة أخرى

. (1.18)

يتم استدعاء المعادلة الناتجة المعادلة الأساسية للخط المستقيم... المتجه يسمى متجه الاتجاه للخط المستقيم .

تعليق . من السهل أن نرى ما إذا كان المتجه الطبيعي للخط إل، ثم يمكن أن يكون متجه اتجاهه متجهًا ، نظرًا لأن ، أي

المثال 1.13. اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة م0 (1، 1) موازية للخط المستقيم 3 X + 2لديك– 8 = 0.

قرار . المتجه هو المتجه الطبيعي للخطوط المستقيمة المحددة والمطلوبة. سنستخدم معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة م0 مع متجه عادي معين 3 ( X –1) + 2(لديك - 1) \u003d 0 أو 3 X + 2 س - 5 \u003d 0. استلمت معادلة الخط المستقيم المطلوب.

معادلة خط مستقيم يمر عبر نقطة معينة في اتجاه معين. معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين معينتين. الزاوية بين خطين مستقيمين. حالة التوازي والعمودي لخطين. تحديد نقطة التقاطع لخطين

1. معادلة خط مستقيم يمر بنقطة معينة أ(x 1 , ذ 1) في اتجاه معين يحدده المنحدر ك,

ذ - ذ 1 = ك(x - x 1). (1)

تحدد هذه المعادلة حزمة من الخطوط المستقيمة التي تمر عبر النقطة أ(x 1 , ذ 1) ، وهو ما يسمى بمركز الحزمة.

2. معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين: أ(x 1 , ذ 1) و ب(x 2 , ذ 2) يكتب على النحو التالي:

تحدد الصيغة ميل الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطتين

3. الزاوية بين الخطوط المستقيمة أ و ب تسمى الزاوية التي تحتاج إلى تحويل الأول إلى مستقيم أ حول نقطة تقاطع هذه الخطوط عكس اتجاه عقارب الساعة حتى يتزامن مع الخط الثاني ب... إذا تم إعطاء خطين مستقيمين بواسطة معادلات ذات ميل

ذ = ك 1 x + ب 1 ,