حساب خطأ القياس النسبي. حساب أخطاء القياس

1 المقدمة

غالبًا ما يتضمن عمل الكيميائيين والفيزيائيين وممثلي مهن العلوم الطبيعية الأخرى إجراء قياسات كمية لكميات مختلفة. في هذه الحالة يطرح السؤال حول تحليل موثوقية القيم التي تم الحصول عليها ومعالجة نتائج القياسات المباشرة وتقييم أخطاء الحسابات التي تستخدم قيم الخصائص المقاسة مباشرة (تسمى العملية الأخيرة أيضًا معالجة النتائج غير مباشرقياسات). لعدد من الأسباب الموضوعية، فإن معرفة خريجي كلية الكيمياء بجامعة موسكو الحكومية حول حساب الأخطاء ليست دائما كافية للمعالجة الصحيحة للبيانات المستلمة. ومن هذه الأسباب عدم وجود مقرر في مناهج الكلية حول المعالجة الإحصائية لنتائج القياس.

في هذه المرحلة، تمت بالطبع دراسة مسألة حساب الأخطاء بدقة. هناك عدد كبير من التطورات المنهجية والكتب المدرسية وما إلى ذلك، حيث يمكنك العثور على معلومات حول حساب الأخطاء. لسوء الحظ، فإن معظم هذه الأعمال مثقلة بمعلومات إضافية وليست ضرورية دائمًا. على وجه الخصوص، فإن معظم أعمال ورش عمل الطلاب لا تتطلب إجراءات مثل مقارنة العينات، وتقييم التقارب، وما إلى ذلك. لذلك، يبدو من المناسب إنشاء تطوير موجز يوضح الخوارزميات الخاصة بالحسابات الأكثر استخدامًا، وهو ما يعنيه هذا التطوير مكرس ل.

2. التدوين المعتمد في هذا العمل

القيمة المقاسة - متوسط ​​قيمة القيمة المقاسة - الخطأ المطلق لمتوسط ​​قيمة القيمة المقاسة - الخطأ النسبي لمتوسط ​​قيمة القيمة المقاسة.

3. حساب أخطاء القياسات المباشرة

لذلك، لنفترض أنه تم تنفيذهان قياسات نفس الكمية تحت نفس الظروف. وفي هذه الحالة يمكنك حساب متوسط ​​قيمة هذه القيمة في القياسات المأخوذة:

(1)

كيفية حساب الخطأ؟ وفقا للصيغة التالية:

(2)

تستخدم هذه الصيغة معامل الطالب. يتم تقديم قيمها باحتمالات وقيم ثقة مختلفة.

3.1. مثال لحساب أخطاء القياسات المباشرة:

مهمة.

تم قياس طول الشريط المعدني. تم إجراء 10 قياسات وتم الحصول على القيم التالية: 10 ملم، 11 ملم، 12 ملم، 13 ملم، 10 ملم، 10 ملم، 11 ملم، 10 ملم، 10 ملم، 11 ملم. مطلوب إيجاد القيمة المتوسطة للكمية المقاسة (طول الشريط) وخطأها.

حل.

وباستخدام الصيغة (1) نجد:

مم

الآن، باستخدام الصيغة (2)، نجد الخطأ المطلق للقيمة المتوسطة مع احتمال الثقة وعدد درجات الحرية (نستخدم القيمة = 2.262، مأخوذة من):

دعنا نكتب النتيجة:

10.8 ± 0.7 0.95 مم

4. حساب أخطاء القياسات غير المباشرة

لنفترض أنه خلال التجربة تم قياس الكميات ، وثمج باستخدام القيم التي تم الحصول عليها، يتم حساب القيمة باستخدام الصيغة . وفي هذه الحالة، يتم حساب أخطاء الكميات المقاسة مباشرة كما هو موضح في الفقرة 3.

يتم حساب القيمة المتوسطة للكمية وفقًا للاعتماد باستخدام متوسط ​​قيم الوسيطات.

يتم حساب قيمة الخطأ باستخدام الصيغة التالية:

,(3)

حيث عدد الوسائط، هو المشتق الجزئي للدالة فيما يتعلق بالوسائط، هو الخطأ المطلق لمتوسط ​​قيمة الوسيطة.

يتم حساب الخطأ المطلق، كما في حالة القياسات المباشرة، باستخدام الصيغة.

4.1. مثال لحساب أخطاء القياسات المباشرة:

مهمة.

تم إجراء 5 قياسات مباشرة. تم الحصول على القيم التالية للقيمة: 50، 51، 52، 50، 47؛ تم الحصول على القيم التالية للكمية: 500، 510، 476، 354، 520. مطلوب حساب قيمة الكمية التي تحددها الصيغة والعثور على خطأ القيمة التي تم الحصول عليها.

الفيزياء هي علم تجريبي، مما يعني أنه يتم إنشاء القوانين الفيزيائية والتحقق منها من خلال تجميع ومقارنة البيانات التجريبية. الغرض من ورشة الفيزياء هو أن يقوم الطلاب بدراسة الظواهر الفيزيائية الأساسية من خلال التجربة، وتعلم قياس القيم العددية للكميات الفيزيائية بشكل صحيح ومقارنتها بالصيغ النظرية.

يمكن تقسيم جميع القياسات إلى نوعين - مستقيمو غير مباشر.

في مباشروفي القياسات يتم الحصول على قيمة الكمية المطلوبة مباشرة من قراءات جهاز القياس. على سبيل المثال، يتم قياس الطول باستخدام المسطرة، ويتم قياس الوقت بواسطة الساعة، وما إلى ذلك.

إذا كان لا يمكن قياس الكمية الفيزيائية المطلوبة مباشرة بواسطة الجهاز، ولكن يتم التعبير عنها من خلال الكميات المقاسة باستخدام صيغة، فإن هذه القياسات تسمى غير مباشر.

إن قياس أي كمية لا يعطي قيمة دقيقة تمامًا لتلك الكمية. يحتوي كل قياس دائمًا على بعض الأخطاء (الخطأ). الخطأ هو الفرق بين القيمة المقاسة والقيمة الحقيقية.

عادة ما يتم تقسيم الأخطاء إلى منهجيو عشوائي.

منهجييسمى الخطأ الذي يظل ثابتًا طوال سلسلة القياسات بأكملها. تنجم مثل هذه الأخطاء عن خلل في أداة القياس (على سبيل المثال، الإزاحة الصفرية للجهاز) أو طريقة القياس ويمكن، من حيث المبدأ، استبعادها من النتيجة النهائية عن طريق إدخال التصحيح المناسب.

تشمل الأخطاء المنهجية أيضًا خطأ أدوات القياس. دقة أي جهاز محدودة وتتميز بفئة دقتها التي يشار إليها عادة على مقياس القياس.

عشوائييسمى الخطأ الذي يختلف باختلاف التجارب ويمكن أن يكون إيجابيًا أو سلبيًا. تحدث الأخطاء العشوائية لأسباب تعتمد على جهاز القياس (الاحتكاك، والفجوات، وما إلى ذلك) وعلى الظروف الخارجية (الاهتزاز، وتقلبات الجهد في الشبكة، وما إلى ذلك).

لا يمكن استبعاد الأخطاء العشوائية تجريبيا، ولكن يمكن تقليل تأثيرها على النتيجة عن طريق القياسات المتكررة.

حساب الخطأ في القياسات المباشرة - القيمة المتوسطة ومتوسط ​​الخطأ المطلق.

لنفترض أننا نقوم بإجراء سلسلة من قياسات القيمة X. وبسبب وجود أخطاء عشوائية نحصل عليها نمعان مختلفة:

× 1، × 2، × 3… × ن

عادة ما يتم أخذ القيمة المتوسطة كنتيجة للقياس

الفرق بين المتوسط ​​والنتيجة أنا -من القياس سنسمي الخطأ المطلق لهذا القياس

كمقياس لخطأ القيمة المتوسطة، يمكننا أخذ القيمة المتوسطة للخطأ المطلق لقياس فردي

(2)

ضخامة
يسمى الخطأ المتوسط ​​الحسابي (أو المتوسط ​​المطلق).

ثم يجب كتابة نتيجة القياس في النموذج

(3)

لوصف دقة القياسات، يتم استخدام الخطأ النسبي، والذي يتم التعبير عنه عادة كنسبة مئوية

(4)

دع الأخطاء المنهجية في القياسات تكون ضئيلة. دعونا نفكر في الحالة التي يتم فيها إجراء القياس لعدد كبير من المرات (n → ∞).

وكما تبين التجربة، فإن انحراف نتائج القياس عن متوسط ​​قيمتها لأعلى أو لأسفل هو نفسه. تتم ملاحظة نتائج القياس ذات الانحرافات الصغيرة عن القيمة المتوسطة في كثير من الأحيان مقارنة بالانحرافات الكبيرة.

دعونا نرتب جميع القيم العددية لنتائج القياس في سلسلة ترتيباً تصاعدياً ونقسم هذه السلسلة إلى فترات متساوية
. يترك - عدد القياسات التي تقع نتائجها ضمن الفاصل الزمني [
]. ضخامة
هناك احتمال ΔP i (x) للحصول على نتيجة ذات قيمة في الفاصل الزمني [
].

دعونا نعرضها بيانيا
المقابلة لكل فاصل زمني [
] (رسم بياني 1). يسمى المنحنى المتدرج الموضح في الشكل 1 بالرسم البياني. لنفترض أن جهاز القياس يتمتع بحساسية عالية للغاية. ثم يمكن جعل عرض الفاصل الزمني متناهيًا في الصغر dx. يتم استبدال المنحنى المتدرج في هذه الحالة بمنحنى يمثله الدالة φ(x) (الشكل 2). تسمى الدالة φ(x) عادةً بوظيفة كثافة التوزيع. معناها هو أن المنتج φ(x)dx هو احتمال dP(x) للحصول على نتائج بقيمة تتراوح من x إلى x+dx. بيانياً، يتم تمثيل قيمة الاحتمال بمساحة المستطيل المظلل. ومن الناحية التحليلية، تتم كتابة دالة كثافة التوزيع على النحو التالي:

. (5)

تسمى الدالة φ(x) المقدمة بالشكل (5) بالدالة الغوسية، والتوزيع المقابل لنتائج القياس هو غاوسي أو عادي.

خيارات
وσ لها المعنى التالي (الشكل 2).

- متوسط ​​قيمة نتائج القياس. في
=
تصل الدالة الغوسية إلى قيمتها القصوى. إذا كان عدد الأبعاد كبيرًا بلا حدود، إذن
مساوية للقيمة الحقيقية للكمية المقاسة.

σ - يميز درجة تشتت نتائج القياس من متوسط ​​قيمتها. يتم حساب المعلمة σ باستخدام الصيغة:

. (6)

تمثل هذه المعلمة جذر متوسط ​​مربع الخطأ. الكمية σ 2 في نظرية الاحتمالات تسمى تشتت الدالة φ(x).

كلما زادت دقة القياس، كلما كانت نتائج القياس أقرب إلى القيمة الحقيقية للكمية المقاسة، وبالتالي أصغر σ.

من الواضح أن شكل الدالة φ(x) لا يعتمد على عدد الأبعاد.

توضح نظرية الاحتمالية أن 68% من جميع القياسات ستعطي نتيجة موجودة في الفترة، و95% في الفترة، و99.7% في الفترة.

وبالتالي، مع احتمال (موثوقية) قدره 68%، فإن انحراف نتيجة القياس عن القيمة المتوسطة يقع في الفترة [
]، مع احتمال (موثوقية) 95% – في الفترة [
] وباحتمال (موثوقية) 99.7% – في الفترة [
].

يُطلق على الفاصل الزمني المقابل لاحتمال معين للانحراف عن القيمة المتوسطة اسم الثقة.

في التجارب الحقيقية، من الواضح أن عدد الأبعاد لا يمكن أن يكون كبيرًا بلا حدود، لذلك فمن غير المرجح أن يحدث ذلك
تزامنت مع القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة
. وفي هذا الصدد، من المهم، بناءً على نظرية الاحتمالات، تقدير حجم الانحراف المحتمل
من
.

تظهر الحسابات أنه عندما يكون عدد القياسات أكثر من 20، مع احتمال 68٪
يقع ضمن فترة الثقة [
]، مع احتمال 95% – في الفترة الفاصلة[
]، مع احتمال 99.7% – في الفترة [
].

ضخامة الذي يحدد حدود فترة الثقة، يسمى الانحراف المعياري أو ببساطة المعيار.

معيار تحسب بواسطة الصيغة:

. (7)

ومع مراعاة الصيغة (6) يأخذ التعبير (7) الصيغة التالية:

. (8)

كلما زاد عدد الأبعاد n، كلما اقتربت X من
. إذا لم يكن عدد القياسات كبيرًا، أقل من 15، فبدلاً من التوزيع الغوسي، يتم استخدام توزيع الطالب، مما يؤدي إلى زيادة عرض فاصل الثقة للانحراف المحتمل لـ X عن
كثافة العمليات ن، ص مرات.

العامل t n, p يسمى معامل الطالب. يشير المؤشران P وn إلى مدى الموثوقية وعدد القياسات التي يتوافق معها معامل الطالب. يتم تحديد قيمة معامل الطالب لعدد معين من القياسات وموثوقية معينة وفقًا للجدول 1.

الجدول 1

معامل الطالب.

على سبيل المثال، مع موثوقية معينة تبلغ 95% وعدد القياسات n = 20، معامل الطالب t 20.95 = 2.1 (فاصل الثقة
) مع عدد القياساتn=4, t 4.95=3.2 (فاصل الثقة
). أي أنه مع زيادة عدد القياسات من 4 إلى 20 يكون هناك انحراف محتمل
يتناقص fromX بمقدار 1.524 مرة.

فيما يلي مثال لحساب الخطأ العشوائي المطلق

باستخدام الصيغة (2) نجد القيمة المتوسطة للقيمة المقاسة
(دون الإشارة إلى البعد للكمية الفيزيائية)

.

باستخدام الصيغة (8) نحسب الانحراف المعياري

.

تم تحديد معامل الطالب لـ n=6، وP=95%، t 6.95 =2.6 النتيجة النهائية:

X = 20.1 ± 2.6 · 0.121 = 20.1 ± 0.315 (مع P = 95٪).

نحسب الخطأ النسبي:

.

عند تسجيل نتيجة القياس النهائية، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الخطأ يجب أن يحتوي على رقم مهم واحد فقط (بخلاف الصفر). يتم تسجيل رقمين مهمين في الخطأ فقط إذا كان الرقم قبل الأخير هو 1. ومن غير المجدي تسجيل عدد أكبر من الأرقام المهمة، لأنها لن تكون موثوقة. في تسجيل القيمة المتوسطة للقيمة المقاسة، يجب أن ينتمي الرقم الأخير إلى نفس الرقم الذي ينتمي إليه الرقم الأخير في تسجيل الخطأ.

X=(243±5)·10 2;

س = 232.567 ± 0.003.

أخذ عدة قياسات قد يؤدي إلى نفس النتيجة. وهذا ممكن إذا كانت حساسية جهاز القياس منخفضة. عندما يتم القياس باستخدام جهاز ذو حساسية منخفضة، فإن إجراء قياس واحد يكفي. ليس من المنطقي، على سبيل المثال، قياس طول الطاولة بشكل متكرر باستخدام شريط قياس بتقسيمات السنتيمتر. ستكون نتيجة القياس في هذه الحالة هي نفسها. يتم تحديد الخطأ أثناء القياس الواحد بقيمة أصغر قسم للجهاز. ويسمى خطأ في الأداة. معناها
تحسب باستخدام الصيغة التالية:

, (10)

حيث γ هو سعر تقسيم الجهاز؛

t ∞, p – معامل الطالب المطابق لعدد كبير لا نهائي من القياسات.

مع الأخذ بعين الاعتبار خطأ الأداة، يتم تحديد الخطأ المطلق بموثوقية معينة بواسطة الصيغة:

, (11)

أين
.

مع الأخذ في الاعتبار الصيغتين (8) و (10)، يتم كتابة (11) على النحو التالي:

. (12)

في الأدبيات، لتقصير السجل، في بعض الأحيان لا يتم الإشارة إلى حجم الخطأ. من المفترض أن يكون حجم الخطأ نصف واحد من آخر رقم مهم. على سبيل المثال، قيمة نصف قطر الأرض مكتوبة بالصورة
م وهذا يعني أن الخطأ يجب أن يؤخذ كقيمة تساوي ±
م.