funksiyanın ekstremumu. Funksiyanın ekstremumları nədir: maksimum və minimumun kritik nöqtələri funksiyanın maksimum və minimum ekstremalları

Funksiyanın ekstremum nöqtəsi funksiyanın dəyərinin minimum və ya maksimum qiymət aldığı funksiyanın oblastındakı nöqtədir. Bu nöqtələrdəki funksiya qiymətləri funksiyanın ekstremumu (minimum və maksimum) adlanır.

Tərif. Nöqtə x1 funksiyanın əhatə dairəsi f(x) adlanır funksiyanın maksimum nöqtəsi , bu nöqtədə funksiyanın dəyəri ona kifayət qədər yaxın olan, onun sağında və solunda yerləşən nöqtələrdəki dəyərlərindən böyükdürsə (yəni bərabərsizlik f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Tərif. Nöqtə x2 funksiyanın əhatə dairəsi f(x) adlanır funksiyanın minimum nöqtəsi, bu nöqtədə funksiyanın dəyəri ona kifayət qədər yaxın olan, onun sağında və solunda yerləşən nöqtələrdəki dəyərlərindən azdırsa (yəni bərabərsizlik f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Bu halda funksiyanın nöqtədə olduğu deyilir x2 minimum.

Nümunəni deyək x1 - funksiyanın maksimum nöqtəsi f(x) . Sonra qədər intervalda x1 funksiyası artır, buna görə də funksiyanın törəməsi sıfırdan böyükdür ( f "(x) > 0 ) və sonrakı intervalda x1 funksiyası azalır, deməli funksiya törəməsi sıfırdan az ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Fərz edək ki, məqamı da x2 - funksiyanın minimum nöqtəsi f(x) . Sonra qədər intervalda x2 funksiya azalır və funksiyanın törəməsi sıfırdan kiçikdir ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funksiya artır və funksiyanın törəməsi sıfırdan böyükdür ( f "(x) > 0). Bu vəziyyətdə də nöqtədə x2 funksiyanın törəməsi sıfırdır və ya mövcud deyil.

Fermat teoremi (funksiyanın ekstremumunun mövcudluğu üçün zəruri meyar). Əgər nöqtə x0 - funksiyanın ekstremum nöqtəsi f(x), onda bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfıra bərabərdir ( f "(x) = 0 ) və ya yoxdur.

Tərif. Funksiyanın törəməsinin sıfıra bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələr deyilir kritik nöqtələr .

Misal 1 Bir funksiyanı nəzərdən keçirək.

nöqtədə x= 0 funksiyasının törəməsi sıfıra bərabərdir, buna görə də nöqtə x= 0 kritik nöqtədir. Bununla belə, funksiyanın qrafikindən göründüyü kimi, bütün tərif sahəsində artır, buna görə də nöqtə x= 0 bu funksiyanın ekstremum nöqtəsi deyil.

Beləliklə, bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin sıfıra bərabər olması və ya mövcud olmaması şərtləri ekstremum üçün zəruri şərtlərdir, lakin kifayət deyil, çünki bu şərtlərin ödənildiyi funksiyaların başqa nümunələri verilə bilər, lakin funksiya müvafiq nöqtədə ekstremum yoxdur. Buna görə də kifayət qədər göstəricilərə malik olmalıdır, bu, müəyyən bir kritik nöqtədə bir ekstremumun olub olmadığını və hansının - maksimum və ya minimum olduğunu mühakimə etməyə imkan verir.

Teorem (funksiyanın ekstremumunun mövcudluğu üçün ilk kifayət meyar). Kritik nöqtə x0 f(x) , əgər funksiyanın törəməsi bu nöqtədən keçərkən işarəni dəyişirsə və işarə “artı”dan “mənfi”yə dəyişirsə, maksimum nöqtə, “mənfi”dən “plus”a keçərsə, minimum nöqtə .

Əgər nöqtəyə yaxındırsa x0 , onun solunda və sağında törəmə işarəsini saxlayır, bu o deməkdir ki, funksiya ya yalnız azalır, ya da yalnız nöqtənin bəzi qonşuluğunda artır. x0 . Bu vəziyyətdə, nöqtədə x0 ekstremum yoxdur.

Belə ki, funksiyanın ekstremum nöqtələrini təyin etmək üçün aşağıdakıları etmək lazımdır :

1. Funksiyanın törəməsini tapın.
2. Törəməni sıfıra bərabərləşdirin və kritik nöqtələri təyin edin.
3. Zehni və ya kağız üzərində kritik nöqtələri ədədi oxda qeyd edin və nəticədə yaranan intervallarda funksiyanın törəməsinin əlamətlərini təyin edin. Əgər törəmənin işarəsi "artı"dan "mənfi"yə dəyişirsə, o zaman kritik nöqtə maksimum nöqtə, "mənfi"dən "plus"a keçərsə, kritik nöqtə minimum nöqtədir.
4. Ekstremum nöqtələrində funksiyanın qiymətini hesablayın.

Misal 2 Funksiyanın ekstremallarını tapın .

Həll. Funksiyanın törəməsini tapaq:

Kritik nöqtələri tapmaq üçün törəməni sıfıra bərabərləşdirin:

.

Hər hansı bir "x" dəyəri üçün məxrəc sıfıra bərabər olmadığından, payı sıfıra bərabərləşdiririk:

Bir kritik nöqtə var x= 3. Törəmə işarəsini bu nöqtə ilə ayrılmış intervallarda təyin edirik:

mənfi sonsuzluqdan 3-ə qədər - mənfi işarəyə qədər, yəni funksiya azalır,

3-dən üstəgəl sonsuzluğa qədər - artı işarəsi, yəni funksiya artır.

Yəni nöqtə x= 3 minimum nöqtədir.

Minimum nöqtədə funksiyanın qiymətini tapın:

Beləliklə, funksiyanın ekstremum nöqtəsi tapılır: (3; 0) və o, minimum nöqtədir.

Teorem (funksiyanın ekstremumunun mövcudluğu üçün ikinci kifayət meyar). Kritik nöqtə x0 funksiyanın ekstremum nöqtəsidir f(x) , əgər bu nöqtədə funksiyanın ikinci törəməsi sıfıra bərabər deyilsə ( f ""(x) ≠ 0 ), üstəlik, əgər ikinci törəmə sıfırdan böyükdürsə ( f ""(x) > 0 ), onda maksimum nöqtə və ikinci törəmə sıfırdan kiçikdirsə ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Qeyd 1. Əgər bir nöqtədə x0 həm birinci, həm də ikinci törəmələr yox olur, onda bu nöqtədə ikinci kifayət işarəsi əsasında ekstremumun varlığını mühakimə etmək mümkün deyil. Bu halda, funksiyanın ekstremumu üçün ilk kifayət qədər meyardan istifadə etməlisiniz.

Qeyd 2. Birinci törəmə stasionar nöqtədə olmadıqda (onda ikinci törəmə də mövcud deyil) funksiyanın ekstremumu üçün ikinci kifayət meyar da tətbiq olunmur. Bu halda, həmçinin funksiyanın ekstremumu üçün birinci kafi meyardan istifadə etmək lazımdır.

Funksiya ekstremumunun yerli təbiəti

Yuxarıdakı təriflərdən belə çıxır ki, funksiyanın ekstremumu lokal xarakter daşıyır - bu, ən yaxın qiymətlərlə müqayisədə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətidir.

Tutaq ki, bir il ərzində qazancınızı nəzərə alırsınız. May ayında 45.000 rubl, apreldə isə 42.000 rubl və iyunda 39.000 rubl qazanmısınızsa, may ayında qazanc ən yaxın dəyərlərlə müqayisədə qazanc funksiyasının maksimumudur. Ancaq oktyabr ayında 71.000 rubl, sentyabrda 75.000 rubl və noyabrda 74.000 rubl qazandınız, buna görə də oktyabr ayı qazancları yaxınlıqdakı dəyərlərlə müqayisədə qazanc funksiyasının minimumudur. Və asanlıqla görə bilərsiniz ki, aprel-may-iyun dəyərləri arasında maksimum sentyabr-oktyabr-noyabr minimumundan azdır.

Ümumiyyətlə, funksiyanın bir intervalda bir neçə ekstremal ola bilər və funksiyanın hər hansı minimumunun istənilən maksimumdan böyük olduğu ortaya çıxa bilər. Beləliklə, yuxarıdakı şəkildə göstərilən funksiya üçün, .

Yəni düşünməmək lazımdır ki, funksiyanın maksimum və minimumu, müvafiq olaraq, nəzərdən keçirilən bütün seqment üzrə onun maksimum və minimum qiymətləridir. Maksimum nöqtədə funksiya yalnız bütün nöqtələrdə maksimum nöqtəyə kifayət qədər yaxın olan dəyərlərlə müqayisədə ən böyük dəyərə, minimum nöqtədə isə yalnız həmin dəyərlərlə müqayisədə ən kiçik dəyərə malikdir. bütün nöqtələrdə minimum nöqtəyə kifayət qədər yaxın olması.

Buna görə də, yuxarıda verilmiş funksiyanın ekstremum nöqtələri anlayışını dəqiqləşdirə və minimum nöqtələri yerli minimum nöqtələr, maksimum nöqtələri isə yerli maksimum nöqtələr adlandıra bilərik.

Biz birlikdə funksiyanın ekstremumunu axtarırıq

Misal 3

Həlli.Funksiya tam ədədlər xəttində müəyyən edilmiş və davamlıdır. Onun törəməsi bütün say xəttində də mövcuddur. Buna görə də, bu vəziyyətdə, yalnız kritik nöqtələr kimi xidmət edənlər. , haradan və . Kritik nöqtələr və funksiyanın bütün sahəsini üç monotonluq intervalına bölün: . Onların hər birində bir nəzarət nöqtəsi seçirik və bu nöqtədə törəmənin işarəsini tapırıq.

İnterval üçün istinad nöqtəsi ola bilər: tapırıq. İntervalda bir nöqtə götürsək , alırıq və intervalda bir nöqtə alırıq. Beləliklə, intervallarda və , və intervalda . Ekstremumun birinci kafi işarəsinə görə nöqtədə ekstremum yoxdur (törəmə intervalda işarəsini saxladığından) və funksiya nöqtədə minimuma malikdir (çünki törəmə keçərkən işarəni mənfidən artıya dəyişir) bu nöqtə vasitəsilə). Funksiyanın uyğun qiymətlərini tapın: , və . İntervalda funksiya azalır, çünki bu intervalda , intervalda isə artır, çünki bu intervalda.

Qrafikin qurulmasını aydınlaşdırmaq üçün onun koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapırıq. Kökləri və , yəni funksiya qrafikinin iki nöqtəsi (0; 0) və (4; 0) tapılan bir tənlik əldə etdikdə. Alınan bütün məlumatlardan istifadə edərək bir qrafik qururuq (misalın əvvəlinə baxın).

Hesablamalar zamanı özünü yoxlamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn törəmələrin kalkulyatoru .

Misal 4 Funksiyanın ekstremumunu tapın və onun qrafikini qurun.

Funksiya sahəsi, nöqtə istisna olmaqla, bütün ədəd xəttidir, yəni. .

Tədqiqatı qısaltmaq üçün bu funksiyanın cüt olması faktından istifadə edə bilərik, çünki . Buna görə də onun qrafiki oxuna görə simmetrikdir ay və tədqiqat yalnız interval üçün həyata keçirilə bilər.

Törəmənin tapılması və funksiyanın kritik nöqtələri:

1) ;

2) ,

lakin funksiya bu nöqtədə fasiləyə məruz qalır, ona görə də ekstremum nöqtə ola bilməz.

Beləliklə, verilmiş funksiyanın iki kritik nöqtəsi var: və . Funksiyanın paritetini nəzərə alaraq, yalnız nöqtəni ekstremumun ikinci kifayət işarəsi ilə yoxlayırıq. Bunun üçün ikinci törəməni tapırıq və onun işarəsini təyin edin: alırıq. Çünki və , onda funksiyanın minimum nöqtəsi, while .

Funksiya qrafikinin daha dolğun təsvirini əldə etmək üçün onun tərif sahəsinin hüdudlarında davranışını öyrənək:

(burada simvol arzunu göstərir x sağda sıfıra, və x müsbət qalır; eynilə aspirasiya deməkdir x solda sıfıra, və x mənfi olaraq qalır). Beləliklə, əgər varsa, onda. Sonra, tapırıq

,

olanlar. əgər , onda.

Funksiya qrafikinin oxlarla kəsişmə nöqtələri yoxdur. Şəkil nümunənin əvvəlindədir.

Hesablamalar zamanı özünü yoxlamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn törəmələrin kalkulyatoru .

Biz birlikdə funksiyanın ekstremumlarını axtarmağa davam edirik

Misal 8 Funksiyanın ekstremumunu tapın.

Həll. Funksiya sahəsini tapın. Bərabərsizlik tutmalı olduğundan, -dən alırıq.

Funksiyanın birinci törəməsini tapaq.

Ekstrema tapmaq üçün sadə alqoritm.

• Funksiyanın törəməsinin tapılması
• Bu törəməni sıfıra bərabərləşdirin
• Yaranan ifadənin dəyişəninin dəyərlərini tapırıq (törəmə sıfıra çevrildiyi dəyişənin dəyərləri)
• Koordinat xəttini bu dəyərlərlə intervallara bölürük (eyni zamanda, xəttə tətbiq edilməli olan qırılma nöqtələrini də unutmamalıyıq), bütün bu nöqtələr ekstremum üçün "şübhəli" nöqtələr adlanır.
• Bu intervallardan hansında törəmənin müsbət, hansında isə mənfi olacağını hesablayırıq. Bunu etmək üçün, dəyəri intervaldan törəmə ilə əvəz etməlisiniz.

Ekstremumdan şübhələnən nöqtələrdən dəqiq tapmaq lazımdır. Bunun üçün koordinat xəttindəki boşluqlarımıza baxırıq. Əgər hansısa nöqtədən keçərkən törəmənin işarəsi artıdan mənfiyə dəyişirsə, onda bu nöqtə olacaq. maksimum, və əgər mənfidən artıya qədər, onda minimum.

Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapmaq üçün seqmentin uclarında və ekstremum nöqtələrində funksiyanın qiymətini hesablamaq lazımdır. Sonra ən böyük və ən kiçik dəyəri seçin.

Məsələni nəzərdən keçirək
Törəmə tapırıq və onu sıfıra bərabərləşdiririk:

Dəyişənlərin əldə edilmiş dəyərlərini koordinat xəttinə tətbiq edirik və intervalların hər birində törəmənin işarəsini hesablayırıq. Yaxşı, məsələn, ilk qəbul üçün-2 , onda törəmə olacaq-0,24 , ikinci qəbul üçün0 , onda törəmə olacaq2 , və üçüncü üçün alırıq2 , onda törəmə olacaq-0,24. Biz müvafiq işarələri qoyuruq.

Görürük ki, -1 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəni mənfidən artıya dəyişir, yəni minimum nöqtə olacaq, 1-dən artıdan mənfiyə keçəndə isə müvafiq olaraq bu maksimum nöqtədir.

Funksiya və onun xüsusiyyətlərinin öyrənilməsi müasir riyaziyyatın əsas fəsillərindən birini tutur. Hər hansı bir funksiyanın əsas komponenti təkcə onun xassələrini deyil, həm də bu funksiyanın törəməsinin parametrlərini əks etdirən qrafiklərdir. Gəlin bu çətin mövzuya nəzər salaq. Beləliklə, funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrini tapmağın ən yaxşı yolu nədir?

Funksiya: tərif

Başqa bir kəmiyyətin dəyərlərindən müəyyən şəkildə asılı olan hər hansı bir dəyişən funksiya adlandırıla bilər. Məsələn, f(x 2) funksiyası kvadratdır və bütün x dəstinin dəyərlərini təyin edir. Tutaq ki, x = 9, onda funksiyamızın qiyməti 9 2 = 81-ə bərabər olacaqdır.

Funksiyalar müxtəlif növlərdə olur: məntiqi, vektor, loqarifmik, triqonometrik, ədədi və s. Onların tədqiqi ilə Lakroix, Laqranj, Leybniz və Bernulli kimi görkəmli ağıllar məşğul olurdu. Onların yazıları funksiyaların öyrənilməsinin müasir üsullarında dayaq rolunu oynayır. Minimum nöqtələri tapmazdan əvvəl funksiyanın və onun törəməsinin mənasını başa düşmək çox vacibdir.

Törəmə və onun rolu

Bütün funksiyalar dəyişənlərindən asılıdır, yəni onlar istənilən vaxt öz dəyərini dəyişə bilərlər. Qrafikdə bu, y oxu boyunca enən və ya yüksələn əyri kimi təsvir olunacaq (bu, qrafikin şaquli boyunca “y” ədədlərinin bütün dəstidir). Beləliklə, funksiyanın maksimum və minimum nöqtəsinin tərifi məhz bu “rəylənmələrlə” bağlıdır. Bu əlaqənin nə olduğunu izah edək.

İstənilən funksiyanın törəməsi onun əsas xarakteristikalarını öyrənmək və funksiyanın nə qədər tez dəyişdiyini (yəni “x” dəyişənindən asılı olaraq qiymətini dəyişməsini) hesablamaq üçün qrafik üzərində çəkilir. Funksiya artdığı anda onun törəməsinin qrafiki də artacaq, lakin istənilən saniyə funksiya azalmağa başlaya bilər, sonra isə törəmənin qrafiki azalacaq. Törəmənin mənfidən artıya keçdiyi nöqtələrə minimum nöqtələr deyilir. Minimum xalları necə tapacağınızı bilmək üçün daha yaxşı başa düşməlisiniz

Törəməni necə hesablamaq olar?

Tərif və funksiyalar bir neçə anlayışı nəzərdə tutur Ümumiyyətlə, törəmənin tərifini belə ifadə etmək olar: bu, funksiyanın dəyişmə sürətini göstərən dəyərdir.

Bir çox tələbələr üçün onu müəyyən etməyin riyazi yolu mürəkkəb görünür, amma əslində hər şey daha sadədir. İstənilən funksiyanın törəməsini tapmaq üçün yalnız standart plana əməl etmək lazımdır. Aşağıda diferensiallaşdırma qaydalarını tətbiq etmədən və törəmələr cədvəlini əzbərləmədən funksiyanın minimum nöqtəsini necə tapmaq olar.

1. Qrafikdən istifadə edərək funksiyanın törəməsini hesablaya bilərsiniz. Bunu etmək üçün funksiyanın özünü təsvir etməli, sonra onun üzərində bir nöqtə götürməlisiniz (şəkildə A nöqtəsi), absis oxuna şaquli olaraq bir xətt çəkin (x 0 nöqtəsi) və A nöqtəsində bir tangens çəkin. funksiyasının qrafiki. Absis oxu və tangens a bucağı əmələ gətirir. Funksiyanın nə qədər sürətlə artdığının dəyərini hesablamaq üçün bu bucağın tangensini hesablamaq lazımdır a.
2. Məlum olur ki, x oxunun tangensi ilə istiqaməti arasındakı bucağın tangensi funksiyanın A nöqtəsi olan kiçik sahədə törəməsidir. Bu üsul törəməni təyin etmək üçün həndəsi üsul hesab olunur.

Funksiyanın tədqiqi üsulları

Məktəbin riyaziyyat kurikulumunda funksiyanın minimum nöqtəsini iki yolla tapmaq mümkündür. Biz artıq qrafikdən istifadə edərək birinci metodu təhlil etdik, lakin törəmənin ədədi qiymətini necə təyin etmək olar? Bunu etmək üçün siz törəmənin xassələrini təsvir edən və "x" kimi dəyişənləri rəqəmlərə çevirməyə kömək edən bir neçə düstur öyrənməli olacaqsınız. Aşağıdakı üsul universaldır, ona görə də demək olar ki, bütün növ funksiyalara (həm həndəsi, həm də loqarifmik) tətbiq oluna bilər.

1. Funksiyanı törəmə funksiyaya bərabərləşdirmək, sonra isə diferensiasiya qaydalarından istifadə etməklə ifadəni sadələşdirmək lazımdır.
2. Bəzi hallarda, "x" dəyişəninin bölən olduğu bir funksiya verildikdə, ondan "0" nöqtəsini çıxarmaqla məqbul dəyərlər diapazonunu təyin etmək lazımdır (sadə bir səbəbdən riyaziyyatda heç vaxt sıfıra bölmək olmaz).
3. Bundan sonra, funksiyanın orijinal forması bütün ifadəni sıfıra bərabərləşdirərək sadə bir tənliyə çevrilməlidir. Məsələn, funksiya belə görünürdüsə: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, onda diferensiasiya qaydalarına görə, onun törəməsi f "(x) \u003d 3x 2 + 1-ə bərabərdir. Sonra bunu çeviririk. ifadəsini aşağıdakı formanın tənliyinə çevirin: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. Tənliyi həll etdikdən və "x" nöqtələrini tapdıqdan sonra onları x oxunda təsvir etməli və qeyd olunan nöqtələr arasında bu sahələrdə törəmənin müsbət və ya mənfi olduğunu müəyyən etməlisiniz. Təyin edildikdən sonra funksiyanın hansı nöqtədə azalmağa başladığı, yəni işarəni mənfidən əksinə dəyişdirdiyi aydın olacaq. Məhz bu şəkildə həm minimum, həm də maksimum xalları tapa bilərsiniz.

Fərqləndirmə qaydaları

Funksiya və onun törəməsinin öyrənilməsində ən əsas komponent diferensiallaşdırma qaydalarını bilməkdir. Yalnız onların köməyi ilə çətin ifadələri və böyük mürəkkəb funksiyaları çevirmək mümkündür. Gəlin onlarla tanış olaq, onların sayı çoxdur, lakin həm güc, həm də loqarifmik funksiyaların nizamlı xassələrinə görə hamısı çox sadədir.

1. İstənilən sabitin törəməsi sıfırdır (f(x) = 0). Yəni f (x) \u003d x 5 + x - 160 törəməsi aşağıdakı formanı alacaq: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. İki şərtin cəminin törəməsi: (f+w)" = f"w + fw".
3. Loqarifmik funksiyanın törəməsi: (log a d)" = d/ln a*d. Bu düstur bütün növ loqarifmalara aiddir.
4. Güc törəməsi: (x n)"= n*x n-1. Məsələn, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Sinusoidal funksiyanın törəməsi: (sin a)" = cos a. Əgər a bucağının sinəsi 0,5-dirsə, onun törəməsi √3/2-dir.

ekstremal nöqtələr

Minimum nöqtələrin necə tapılacağını artıq müzakirə etdik, lakin funksiyanın maksimum nöqtələri anlayışı var. Minimum funksiyanın mənfidən artıya keçdiyi nöqtələri ifadə edirsə, maksimum nöqtələr x oxundakı funksiyanın törəməsinin artıdan əksinə - mənfiyə dəyişdiyi nöqtələrdir.

Bunu yuxarıda təsvir olunan metoddan istifadə edərək tapa bilərsiniz, yalnız nəzərə alınmalıdır ki, onlar funksiyanın azalmağa başladığı sahələri ifadə edirlər, yəni törəmə sıfırdan az olacaq.

Riyaziyyatda hər iki anlayışı ümumiləşdirmək, onları "ekstremal nöqtələr" ifadəsi ilə əvəz etmək adətdir. Tapşırıq bu nöqtələri müəyyən etməyi tələb etdikdə, bu o deməkdir ki, bu funksiyanın törəməsini hesablamaq və minimum və maksimum nöqtələri tapmaq lazımdır.

(a, b) intervalında nəzərə alınan y = f(x) funksiyasını nəzərdən keçirək.

Əgər bütün x (x1, b) üçün f(x1) > f(x) bərabərsizliyi ödənilsin ki, (a, b) intervalına aid olan x1 nöqtəsinin belə b-qonşuluğunu təyin etmək mümkün olarsa, y1 = f1(x1) adlanır maksimum funksiya y = f(x) şəklə baxın.

y = f(x) funksiyasının maksimumu max f(x) ilə işarələnir. (a, b) intervalına aid olan x2 nöqtəsinin 6 qonşuluğunu müəyyən etmək mümkün olarsa, bütün x üçün O(x2, 6)-a aid olsun, x x2-ə bərabər olmasın, bərabərsizlik. f(x2)< f(x) , onda y2= f(x2) y-f(x) funksiyasının minimumu adlanır (şək. bax).

Maksimum tapma nümunəsi, aşağıdakı videoya baxın

Xüsusiyyət Minimum

y = f(x) funksiyasının minimumu min f(x) ilə işarələnir. Başqa sözlə, funksiyanın maksimum və ya minimumu y = f(x) çağırdı onun dəyəri, verilənə kifayət qədər yaxın olan və ondan fərqli olan bütün digər dəyərlərdən daha böyük (az).

Qeyd 1. Maksimum funksiya, bərabərsizliyi ilə təyin olunana sərt maksimum deyilir; qeyri-ciddi maksimum f(x1) > = f(x2) bərabərsizliyi ilə müəyyən edilir.

Qeyd 2. yerli xarakterə malikdir (bunlar müvafiq nöqtənin kifayət qədər kiçik bir qonşuluğunda funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləridir); bəzi funksiyaların fərdi minimumları eyni funksiyanın maksimumlarından böyük ola bilər

Nəticədə funksiyanın maksimumu (minimumu) çağırılır yerli maksimum(yerli minimum) mütləq maksimumdan (minimum) fərqli olaraq - funksiyanın sahəsində ən böyük (ən kiçik) qiymət.

Funksiyanın maksimum və minimumu ekstremum adlanır. . Funksiyaların planlaşdırılması üçün tapmaqda ifrat hədlər

latın ekstremum "ifrat" deməkdir məna. Ekstremuma çatan x arqumentinin dəyəri ekstremum nöqtəsi adlanır. Ekstremum üçün zəruri şərt aşağıdakı teoremlə ifadə edilir.

Teorem. Diferensiallanan funksiyanın ekstremum nöqtəsində və onun törəməsi sıfıra bərabərdir.

Teorem sadə həndəsi mənaya malikdir: müvafiq nöqtədə diferensiallanan funksiyanın qrafikinə toxunan x oxuna paraleldir.

1°. Funksiyanın ekstremumunun müəyyən edilməsi.

İki dəyişənli funksiyanın maksimum, minimum, ekstremum anlayışı bir müstəqil dəyişənin funksiyasının müvafiq anlayışlarına bənzəyir.

Qoy funksiya olsun z=f(x; y) müəyyən sahədə müəyyən edilmişdir D, nöqtə N(x 0;y0) D.

Nöqtə (x 0;y0) nöqtə adlanır maksimum funksiyaları z= f(x;y ),əgər nöqtənin belə  qonşuluğu varsa (x 0;y 0), ki, hər bir nöqtə üçün (x; y),-dən fərqlidir (x 0;y0) bu məhəllə bərabərsizliyi ödəyir f(x;y )< f(x 0;y0).Şəkil 12: N 1 - maksimum nöqtə, a N 2 - funksiyanın minimum nöqtəsi z=f(x;y).

Nöqtə minimum funksiyalar: bütün nöqtələr üçün (x 0;y 0), başqa (x 0;y 0), nöqtənin d-qonşuluğundan (x 0;y0) aşağıdakı bərabərsizlik var: f(x 0;y 0) >f(x 0;y0).

Eynilə, üç və ya daha çox dəyişənli funksiyanın ekstremumu müəyyən edilir.

Funksiyanın maksimum (minimum) nöqtəsindəki qiyməti çağırılır maksimum (minimum) funksiyaları.

Funksiyanın maksimum və minimumu deyilir ekstremal.

Qeyd edək ki, tərifə görə funksiyanın ekstremum nöqtəsi funksiyanın oblastı daxilində yerləşir; maksimum və minimumdur yerli(yerli) simvol: bir nöqtədə funksiyanın qiyməti (x 0;y0) kifayət qədər yaxın nöqtələrdəki dəyərləri ilə müqayisə edilir (x 0;y0).Ərazidə D Funksiya bir neçə ekstremal ola bilər və ya heç biri ola bilməz.

2°. Ekstremum üçün zəruri şərtlər.

Funksiyanın ekstremumunun mövcudluğu şərtlərini nəzərdən keçirək.

Həndəsi cəhətdən bərabərdir f"y (x 0;y0)= 0 və f"y (x 0;y 0) = 0 funksiyanın ekstremum nöqtəsində olması deməkdir z = f(x; y) funksiyanı təsvir edən səthə toxunan müstəvi f(x; y), təyyarəyə paralel Oh huçünki tangens müstəvi tənliyidir z=z0.

Şərh. Qismən törəmələrdən ən azı birinin mövcud olmadığı nöqtələrdə funksiyanın ekstremumu ola bilər. Məsələn, funksiya nöqtəsində maksimuma malikdir HAQQINDA(0;0), lakin bu nöqtədə qismən törəmələri yoxdur.

Bir funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələrinin olduğu nöqtə z = f(x;y ) sıfıra bərabərdir, yəni. f"x = 0, f" y= 0, çağırılır stasionar nöqtə funksiyaları z.

Stasionar nöqtələr və ən azı bir qismən törəmənin olmadığı nöqtələr deyilir kritik nöqtələr.

Kritik nöqtələrdə funksiyanın ekstremumu ola bilər və ya olmaya da bilər. Qismən törəmələrin sıfıra bərabərliyi ekstremumun mövcudluğu üçün zəruri, lakin kafi şərt deyil. Məsələn, funksiyanı nəzərdən keçirək z = hu. Bunun üçün 0(0; 0) nöqtəsi kritikdir (onlar orada yox olur). Bununla belə, ekstremum onun içindədir z = xy yoxdur, çünki O(0;0) nöqtəsinin kifayət qədər kiçik qonşuluğunda onun üçün nöqtələr var z > 0 (bənd I və III rüblər) və z< 0 (II və IV rüblər).

Beləliklə, verilmiş regionda funksiyanın ekstremumunu tapmaq üçün funksiyanın hər bir kritik nöqtəsini əlavə tədqiqata cəlb etmək lazımdır.

Stasionar nöqtələr tənliklər sisteminin həlli yolu ilə tapılır

(ekstremum üçün zəruri şərtlər).

Sistem (1) bir tənliyə ekvivalentdir df(x, y)=0.Ümumiyyətlə, ekstremal nöqtədə P(a, b) funksiyaları f(x, y) və ya df(x, y)=0, və ya df(a, b) mövcud deyil.

3°. Ekstremum üçün kifayət qədər şərait. Qoy P(a; b)- funksiyanın stasionar nöqtəsi f(x, y), yəni. . df(а, b) = 0. Sonra:

və əgər d2f (a, b)< 0 da, sonra f(a, b) var maksimum funksiyaları f (x, y);

b) əgər d2f (а, b) > 0 da, sonra f(a, b)Var minimum funksiyaları f (x,y);

c) əgər d2f (a, b) sonra işarəni dəyişir f (a, b) funksiyanın ekstremumu deyil f (x, y).

Yuxarıdakı şərtlər aşağıdakılara bərabərdir: icazə verin Və . Gəlin bəstələyək diskriminant ∆=AC-B2.

1) Δ > 0 olarsa, onda funksiyanın nöqtədə ekstremumu var P (a; b) yəni maksimum əgər A<0 (və ya İLƏ<0 ), minimum isə əgər A>0(və ya С>0);

2) əgər Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) Yox;

3) əgər Δ = 0 olarsa, onda bir nöqtədə funksiyanın ekstremumunun olması məsələsi P(a; b) açıq qalır (əlavə tədqiqat tələb edir).

4°. Çox dəyişənli funksiya halı. Üç və ya daha çox dəyişənli funksiya üçün ekstremumun mövcudluğu üçün zəruri şərtlər (1) şərtlərinə, kifayət qədər şərtlər isə a), b), c) 3° şərtlərinə bənzəyir.

Misal. Ekstremum üçün funksiyanı araşdırın z=x³+3xy²-15x-12y.

Həll. Gəlin qismən törəmələri tapaq və (1) tənliklər sistemini tərtib edək:

Sistemi həll edərək, dörd stasionar nöqtəni əldə edirik:

2-ci dərəcəli törəmələri tapaq

və diskriminant edin ∆=AC - B² hər stasionar nöqtə üçün.

1) Nöqtə üçün: , ∆=AC-B²=36-144<0 . Beləliklə, nöqtədə heç bir ekstremum yoxdur.

2) P2 nöqtəsi üçün: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. P2 nöqtəsində funksiya minimuma malikdir. Bu minimum funksiyanın dəyərinə bərabərdir x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Nöqtə üçün: A=-6, B=-12, C=-6; Δ = 36-144<0 . Ekstremal yoxdur.

4) P 4 nöqtəsi üçün: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. P4 nöqtəsində funksiyanın maksimumu bərabərdir Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Şərti ekstremum. Ən sadə halda şərti ekstremum funksiyaları f(x,y) bu funksiyanın arqumentlərinin tənliklə əlaqəli olması şərti ilə əldə edilən maksimum və ya minimumdur. φ(x,y)=0 (əlaqə tənliyi). Funksiyanın şərti ekstremumunu tapmaq f(x, y) əlaqənin mövcudluğunda φ(x, y) = 0, sözdə meydana gətirir Laqranj funksiyası

F(x ,y )=f(x ,y )+λφ (x ,y ),

burada λ qeyri-müəyyən sabit amildir və bu köməkçi funksiyanın adi ekstremumunu axtarın. Ekstremum üçün zəruri şərtlər üç tənlik sisteminə endirilir

üç naməlum ilə x, y, λ, bunlardan, ümumiyyətlə, bu bilinməyənləri müəyyən etmək olar.

Şərti ekstremumun mövcudluğu və təbiəti məsələsi Laqranj funksiyasının ikinci diferensialının işarəsinin öyrənilməsi əsasında həll edilir.

sınaqdan keçirilmiş dəyərlər sistemi üçün x, y, λ(2)-dən əldə etmək şərti ilə dx Və du tənliyi ilə əlaqələndirilir

.

Yəni funksiya f(x,y) şərti maksimuma malikdir, əgər d²F< 0, şərti minimum isə əgər d²F>0. Xüsusilə, funksiya üçün diskriminant Δ olarsa F(x, y) stasionar nöqtədə müsbətdir, onda bu nöqtədə funksiyanın şərti maksimumu olur f(x, y), Əgər A< 0 (və ya İLƏ< 0) və şərti minimum əgər A > O(və ya С>0).

Eynilə, üç və ya daha çox dəyişənli funksiyanın şərti ekstremumu bir və ya daha çox əlaqə tənliyinin mövcudluğunda tapılır (bunların sayı, lakin dəyişənlərin sayından az olmalıdır). Burada əlaqə tənlikləri olduğu qədər qeyri-müəyyən amilləri Laqranj funksiyasına daxil etmək lazımdır.

Misal. Funksiyanın ekstremumunu tapın z=6-4x-3y bir şərtlə ki, dəyişənlər X Və saat tənliyini təmin edin x²+y²=1.

Həll. Həndəsi cəhətdən problem tətbiqin ən böyük və ən kiçik dəyərlərini tapmağa qədər azalır z təyyarə z=6 - 4x - Zu silindrlə kəsişmə nöqtələri üçün x2+y2=1.

Laqranj funksiyasını tərtib edin F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

bizdə var . Lazımi şərtlər tənliklər sistemini verir

tapdığımız həll:

.

,

d²F=2λ (dx²+dy²).

Əgər və sonra d²F >0, və deməli, bu nöqtədə funksiyanın şərti minimumu var. Əgər daha sonra d²F<0, və buna görə də bu nöqtədə funksiya şərti maksimuma malikdir.

Beləliklə,

6°. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləri.

Qoy funksiya olsun z=f(x; y) məhdud qapalı domendə müəyyən edilmiş və davamlıdır . Sonra bəzi nöqtələrə çatır onun ən böyük M və ən azı T dəyərlər (sözdə. qlobal ekstremal). Bu dəyərlərə bölgə daxilində yerləşən nöqtələrdə funksiya çatır , və ya bölgənin sərhədində yerləşən nöqtələrdə.