y sin x funksiyasının qrafiki. Funksiya qrafikləri

>>Riyaziyyat: y = sin x, y = cos x funksiyaları, onların xassələri və qrafikləri

y = sin x, y = cos x funksiyaları, onların xassələri və qrafikləri

Bu bölmədə y = sin x, y = cos x funksiyalarının bəzi xassələrini müzakirə edəcəyik və onların qrafiklərini quracağıq.

1. y = sin X funksiyası.

Yuxarıda, § 20-də biz hər bir t nömrəsini cos t sayı ilə əlaqələndirməyə imkan verən bir qayda tərtib etdik, yəni. y = sin t funksiyasını xarakterizə etmişdir. Onun bəzi xüsusiyyətlərini qeyd edək.

u = sin t funksiyasının xassələri.

Tərif sahəsi real ədədlərin K çoxluğudur.
Buradan belə nəticə çıxır ki, istənilən 2 rəqəmi ədəd çevrəsində dəqiq müəyyən edilmiş ordinata malik olan M(1) nöqtəsinə uyğundur; bu ordinat cos t.

u = sin t tək funksiyadır.

Bu ondan irəli gəlir ki, § 19-da sübut olunduğu kimi, istənilən t üçün bərabərlik
Bu o deməkdir ki, u = sin t funksiyasının qrafiki hər hansı tək funksiyanın qrafiki kimi tOi düzbucaqlı koordinat sistemində başlanğıca görə simmetrikdir.

u = sin t funksiyası intervalda artır
Buradan belə nəticə çıxır ki, nöqtə ədəd çevrəsinin birinci rübü boyunca hərəkət etdikdə ordinat tədricən artır (0-dan 1-ə qədər – şək. 115-ə bax), nöqtə isə ədəd dairəsinin ikinci rübü boyunca hərəkət etdikdə isə ordinat ordinat tədricən azalır (1-dən 0-a - Şəkil 116-a baxın).

u = sint funksiyası həm aşağıda, həm də yuxarıda məhduddur. Bu ondan irəli gəlir ki, § 19-da gördüyümüz kimi, istənilən t üçün bərabərsizlik

(funksiya formanın istənilən nöqtəsində bu dəyərə çatır (funksiya formanın istənilən nöqtəsində bu dəyərə çatır
Alınan xassələrdən istifadə edərək bizi maraqlandıran funksiyanın qrafikini quracağıq. Amma (diqqət!) u - sin t əvəzinə y = sin x yazacağıq (axı biz u = f(t) yox, y = f(x) yazmağa daha çox öyrəşmişik). Bu o deməkdir ki, biz adi xOy koordinat sistemində (tOy deyil) qrafik quracağıq.

y - sin x funksiyasının qiymətlərinin cədvəlini yaradaq:

Şərh.

“Sinus” termininin mənşəyinə dair versiyalardan birini verək. Latın dilində sinus əyilmə (yay ipi) deməkdir.

Qurulmuş qrafik müəyyən dərəcədə bu terminologiyanı əsaslandırır.

y = sin x funksiyasının qrafiki kimi xidmət edən xətt sinus dalğası adlanır. Şəkildə göstərilən sinusoidin həmin hissəsi. 118 və ya 119 sinus dalğası adlanır və sinus dalğasının Şəkil 1-də göstərilən hissəsi. 117, sinus dalğasının yarım dalğası və ya qövsü adlanır.

2. y = cos x funksiyası.

y = cos x funksiyasının tədqiqi təxminən yuxarıda y = sin x funksiyası üçün istifadə edilən eyni sxemə əsasən aparıla bilər. Amma hədəfə aparan yolu daha tez seçəcəyik. Birincisi, biz özlüyündə vacib olan iki düsturu sübut edəcəyik (bunu orta məktəbdə görəcəksiniz), lakin hələlik məqsədlərimiz üçün yalnız köməkçi əhəmiyyətə malikdir.

t-nin istənilən dəyəri üçün aşağıdakı bərabərliklər etibarlıdır:

Sübut. t ədədi n ədədi çevrənin M nöqtəsinə, * + sayı isə P nöqtəsinə uyğun gəlsin (şək. 124; sadəlik üçün birinci rübdə M nöqtəsini götürdük). AM və BP qövsləri bərabərdir, OKM və OLBP sağ üçbucaqları isə müvafiq olaraq bərabərdir. Bu O K = Ob, MK = Pb deməkdir. Bu bərabərliklərdən və OCM və OBP üçbucaqlarının koordinat sistemindəki yerindən iki nəticə çıxarırıq:

1) P nöqtəsinin həm böyüklüyünə, həm də işarəsinə görə ordinatı M nöqtəsinin absisi ilə üst-üstə düşür; o deməkdir ki

2) P nöqtəsinin absisi mütləq qiymətinə görə M nöqtəsinin ordinatına bərabərdir, lakin işarəsinə görə ondan fərqlənir; o deməkdir ki

Təxminən eyni əsaslandırma M nöqtəsinin birinci rübə aid olmadığı hallarda həyata keçirilir.
Düsturdan istifadə edək (bu, yuxarıda sübut edilmiş düsturdur, lakin t dəyişəninin əvəzinə x dəyişənindən istifadə edirik). Bu formula bizə nə verir? Bu funksiyaları təsdiq etməyə imkan verir

eynidir, yəni onların qrafikləri üst-üstə düşür.
Gəlin funksiyanın qrafikini çəkək Bunun üçün başlanğıc nöqtəsi olan köməkçi koordinat sisteminə keçək (nöqtəli xətt şək. 125-də çəkilmişdir). y = sin x funksiyasını yeni koordinat sisteminə bağlayaq - bu funksiyanın qrafiki olacaq. (Şəkil 125), yəni. y - cos x funksiyasının qrafiki. O, y = sin x funksiyasının qrafiki kimi, sinus dalğası adlanır (bu olduqca təbiidir).

y = cos x funksiyasının xassələri.

y = cos x cüt funksiyadır.

Tikinti mərhələləri Şəkildə göstərilmişdir. 126:

1) y = cos x funksiyasının qrafikini qurun (daha dəqiq desək, bir yarımdalğalı);
2) qurulmuş qrafiki x oxundan 0,5 əmsalı ilə uzatmaqla tələb olunan qrafikin bir yarım dalğasını alırıq;
3) yaranan yarımdalğadan istifadə edərək y = 0,5 cos x funksiyasının bütün qrafikini qururuq.

Funksiyay = günahx

Funksiyanın qrafiki sinusoiddir.

Sinus dalğasının tam təkrar olunmayan hissəsinə sinus dalğası deyilir.

Yarım sinus dalğası yarım sinus dalğası (və ya qövs) adlanır.

Funksiya Xüsusiyyətləriy = günahx:

Bir funksiyanın qrafikini çəkmək üçün y= günah x Aşağıdakı tərəzilərdən istifadə etmək rahatdır:

Kvadratlı bir vərəqdə seqment vahidi kimi iki kvadratın uzunluğunu götürürük.

Oxda xπ uzunluğunu ölçək. Eyni zamanda, rahatlıq üçün 3.14-ü 3 şəklində - yəni kəsrsiz təqdim edirik. Sonra bir vərəqdə bir hüceyrədə π 6 hüceyrə (üç dəfə 2 hüceyrə) olacaqdır. Və hər bir hüceyrə öz təbii adını alacaq (birincidən altıncıya qədər): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Bu mənalar x.

Y oxunda iki hüceyrəni ehtiva edən 1-i qeyd edirik.

Dəyərlərimizdən istifadə edərək funksiya dəyərləri cədvəlini yaradaq x:

Sonra bir cədvəl yaradacağıq. Nəticə ən yüksək nöqtəsi (π/2; 1) olan yarım dalğadır. Bu funksiyanın qrafikidir y= günah x seqmentdə. Qurulmuş qrafikə simmetrik yarımdalğa əlavə edək (mənşəyə nisbətən simmetrik, yəni -π seqmentində). Bu yarımdalğanın zirvəsi koordinatları (-1; -1) olan x oxunun altındadır. Nəticə bir dalğa olacaq. Bu funksiyanın qrafikidir y= günah x seqmentdə [-π; π].

Dalğanı [π] seqmentində quraraq davam etdirə bilərsiniz; 3π], [π; 5π], [π; 7π] və s. Bütün bu seqmentlərdə funksiyanın qrafiki seqmentdəki kimi görünəcək [-π; π]. Eyni dalğalarla davamlı dalğalı bir xətt alacaqsınız.

Funksiyay = cosx.

Funksiya qrafiki sinus dalğasıdır (bəzən kosinus dalğası da deyilir).

Funksiya Xüsusiyyətləriy = cosx:

Funksiyay = mf(x).

Əvvəlki funksiyanı götürək y= cos x. Artıq bildiyiniz kimi, onun qrafiki sinus dalğasıdır. Bu funksiyanın kosinusunu müəyyən sayda m-ə vursaq, dalğa oxdan genişlənəcəkdir x(və ya m dəyərindən asılı olaraq daralacaq).
Bu yeni dalğa y = mf(x) funksiyasının qrafiki olacaq, burada m istənilən real ədəddir.

Beləliklə, y = mf(x) funksiyası tanış olan y = f(x) funksiyasının m-ə vurulmasıdır.

Əgərm< 1, то синусоида сжимается к оси xəmsalı iləm. Əgərm > 1, onda sinusoid oxdan uzanırxəmsalı iləm.

Dartma və ya sıxılma zamanı siz əvvəlcə sinus dalğasının yalnız bir yarım dalğasını çəkə, sonra isə bütün qrafiki tamamlaya bilərsiniz.

Funksiyay = f(kx).

Əgər funksiyası y =mf(x) sinusoidin oxdan uzanmasına gətirib çıxarır x və ya oxa doğru sıxılma x, onda y = f(kx) funksiyası oxdan uzanmağa gətirib çıxarır y və ya oxa doğru sıxılma y.

Bundan əlavə, k istənilən həqiqi ədəddir.

0-da< k< 1 синусоида растягивается от оси yəmsalı ilək. Əgərk > 1, onda sinusoid oxa doğru sıxılıryəmsalı ilək.

Bu funksiyanın qrafikini çəkərkən əvvəlcə sinus dalğasının bir yarım dalğasını qura və sonra bütün qrafiki tamamlamaq üçün ondan istifadə edə bilərsiniz.

Funksiyay = tgx.

Funksiya qrafiki y= tq x tangensdir.

Qrafikin bir hissəsini 0-dan π/2 intervalında qurmaq kifayətdir və sonra onu 0-dan 3π/2-ə qədər olan intervalda simmetrik şəkildə davam etdirmək olar.

Funksiya Xüsusiyyətləriy = tgx:

Funksiyay = ctgx

Funksiya qrafiki y=ctg x həm də tangentoiddir (onu bəzən kotangentoid də adlandırırlar).

Funksiya Xüsusiyyətləriy = ctgx:

Geri irəli

Diqqət! Slayd önizləmələri yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın bütün xüsusiyyətlərini əks etdirməyə bilər. Bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Dəmir heç bir fayda tapmadan paslanır,
dayanan su soyuqda çürüyür və ya donur,
və insanın zehni özünə heç bir fayda tapa bilməyib zəifləyir.
Leonardo da Vinçi

İstifadə olunan texnologiyalar: problem əsaslı öyrənmə, tənqidi düşüncə, kommunikativ ünsiyyət.

Məqsədlər:

• Öyrənməyə bilişsel marağın inkişafı.
• y = sin x funksiyasının xassələrinin öyrənilməsi.
• Öyrənilmiş nəzəri material əsasında y = sin x funksiyasının qrafikinin qurulması üzrə praktiki bacarıqların formalaşdırılması.

Tapşırıqlar:

1. y = sin x funksiyasının xassələri haqqında mövcud bilik potensialından konkret situasiyalarda istifadə edin.

2. y = sin x funksiyasının analitik və həndəsi modelləri arasında əlaqənin şüurlu qurulmasını tətbiq edin.

Təşəbbüs, müəyyən bir istək və həll tapmağa maraq inkişaf etdirmək; qərar qəbul etmək, orada dayanmamaq və öz nöqteyi-nəzərini müdafiə etmək bacarığı.

Şagirdlərdə idrak fəaliyyətini, məsuliyyət hissini, bir-birinə hörmət, qarşılıqlı anlaşma, qarşılıqlı dəstək və özünə inamı inkişaf etdirmək; ünsiyyət mədəniyyəti.

Dərslər zamanı

Mərhələ 1. Əsas bilikləri yeniləmək, yeni materialı öyrənməyə həvəsləndirmək

"Dərsə girmək."

Lövhədə 3 ifadə yazılmışdır:

1. sin t = a triqonometrik tənliyinin həmişə həlli var.
2. Tək funksiyanın qrafiki Oy oxu ətrafında simmetriya çevrilməsindən istifadə etməklə qurula bilər.
3. Bir əsas yarım dalğadan istifadə edərək triqonometrik funksiyanın qrafiki çəkilə bilər.

Şagirdlər cüt-cüt müzakirə edirlər: ifadələr doğrudurmu? (1 dəqiqə). İlkin müzakirənin nəticələri (bəli, yox) daha sonra "Əvvəl" sütununda cədvələ daxil edilir.

Müəllim dərsin məqsəd və vəzifələrini müəyyən edir.

2. Biliklərin yenilənməsi (triqonometrik dairənin modelində cəbhədən).

Biz artıq s = sin t funksiyası ilə tanış olmuşuq.

1) Dəyişən t hansı dəyərləri qəbul edə bilər. Bu funksiyanın əhatə dairəsi nədir?

2) sin t ifadəsinin qiymətləri hansı intervaldadır? s = sin t funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın.

3) sin t = 0 tənliyini həll edin.

4) Birinci rüb boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı ilə nə baş verir? (ordinata artır). İkinci rüb boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı ilə nə baş verir? (ordinata tədricən azalır). Bunun funksiyanın monotonluğu ilə necə əlaqəsi var? (s = sin t funksiyası seqmentdə artır və seqmentdə azalır).

5) s = sin t funksiyasını bizə tanış olan y = sin x şəklində yazaq (onu adi xOy koordinat sistemində quracağıq) və bu funksiyanın qiymətlərinin cədvəlini tərtib edək.

Mərhələ 2. Qavrama, anlama, ilkin konsolidasiya, qeyri-ixtiyari yadda saxlama

Mərhələ 4. Biliklərin və fəaliyyət metodlarının ilkin sistemləşdirilməsi, onların köçürülməsi və yeni situasiyalarda tətbiqi

6. № 10.18 (b,c)

Mərhələ 5. Yekun nəzarət, düzəliş, qiymətləndirmə və özünüqiymətləndirmə

7. İfadələrə qayıdırıq (dərsin əvvəli), y = sin x triqonometrik funksiyasının xassələrindən istifadə edərək müzakirə edirik və cədvəldə “Sonra” sütununu doldururuq.

8. D/z: bənd 10, № 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Təqdimat önizləmələrindən istifadə etmək üçün Google hesabı yaradın və ona daxil olun: https://accounts.google.com

Slayd başlıqları:

Funksiyalar y = sin x və y = cos x və onların qrafikləri (dərs üçün müşayiət olunan təqdimat) KORPUSOVA TATYANA SERGEEVNA riyaziyyat müəllimi MBOU LSOSH No 2 adına. N.F.Struchenkova Bryansk bölgəsi.

TƏRİF y = sin x və y = cos x düsturları ilə təyin olunan ədədi funksiyalar müvafiq olaraq sinus və kosinus adlanır. 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

y=sin x funksiyası, qrafiki və xassələri. 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Sinus dalğası 1 - π/2 π 2 π 3 π x -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

y = sin(x+a) NÜMUNƏ y 1 -1 π 2 π - π 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y = sin x + a 1) y = sin x + 1; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Qrafiklərin tərtibi y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y = cos x funksiyası, onun xassələri və qrafiki. 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

y = cos x y 1 - π/2 π 2 π 3 π x - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 sinusoidi sola sürüşdürməklə y= cos x funksiyasının qrafiki alınmışdır. π/2 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Qrafiklərin çəkilməsi y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 11/10/2013 KORPUSOVA T.S.

Qrafiklərin çəkilməsi y=k · sin x y 2,5 1 x -1 -2,5 10/11/2013 KORPUSOVA T.S.

Triqonometrik funksiyaların dövrünün tapılması Əgər y=f(x) dövridirsə və ən kiçik müsbət dövrü T₁ olarsa, y=A· f(kx+b) funksiyası, burada A, k və b sabitdir və k ≠ 0 , dövri də dövridir Nümunələr : 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. 1) y=sin 6 x +2, Т₁=2 π T₁=2 π

Dövri funksiyaların qrafiklərinin çəkilməsi 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 y= f(x) funksiyası verilmişdir. Əgər dövr məlumdursa, onun qrafikini qurun. y x 1 1 3)T= 3

Funksiyasının qrafikini çəkin: y=2cos(2x- π/3)-0.5 və funksiyanın tərif sahəsini və qiymət diapazonunu tapın 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π

"Y=sin(x) funksiyası. Təriflər və xassələr" mövzusunda dərs və təqdimat.

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.

1C-dən 10-cu sinif üçün Integral onlayn mağazasında dərsliklər və simulyatorlar
Həndəsə məsələləri həll edirik. 7-10-cu siniflər üçün interaktiv tikinti tapşırıqları
Proqram mühiti "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Nə öyrənəcəyik:

• Y=sin(X) funksiyasının xassələri.
• Funksiya qrafiki.
• Qrafik və onun miqyasını necə qurmaq olar.
• Nümunələr.

Sinusun xüsusiyyətləri. Y=günah(X)

Uşaqlar, biz artıq ədədi arqumentin triqonometrik funksiyaları ilə tanış olmuşuq. Onları xatırlayırsan?

Y=sin(X) funksiyasına daha yaxından nəzər salaq.

Bu funksiyanın bəzi xüsusiyyətlərini yazaq:
1) Tərif sahəsi həqiqi ədədlər toplusudur.
2) Funksiya təkdir. Tək funksiyanın tərifini xatırlayaq. Bərabərlik yerinə yetirildikdə funksiya tək adlanır: y(-x)=-y(x). Xəyal düsturlarından xatırladığımız kimi: sin(-x)=-sin(x). Tərif yerinə yetirildi, yəni Y=sin(X) tək funksiyadır.
3) Y=sin(X) funksiyası seqmentdə artır, seqmentdə isə azalır [π/2; π]. Birinci rüb boyunca (saat əqrəbinin əksinə) hərəkət etdikdə ordinat artır, ikinci rübdən keçəndə isə azalır.

4) Y=sin(X) funksiyası aşağıdan və yuxarıdan məhduddur. Bu əmlak ondan irəli gəlir ki
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Funksiyanın ən kiçik qiyməti -1-dir (x = - π/2+ πk-da). Funksiyanın ən böyük qiyməti 1-dir (x = π/2+ πk-da).

Y=sin(X) funksiyasının qrafikini çəkmək üçün 1-5 xassələrindən istifadə edək. Xassələrimizi tətbiq edərək qrafikimizi ardıcıl olaraq quracağıq. Seqmentdə qrafik qurmağa başlayaq.

Ölçəyə xüsusi diqqət yetirilməlidir. Ordinat oxunda 2 xanaya bərabər vahid seqment, absis oxunda isə π/3-ə bərabər vahid seqment (iki xana) götürmək daha rahatdır (şəklə bax).

X, y=sin(x) sinus funksiyasının qrafiki

Seqmentimizdə funksiyanın dəyərlərini hesablayaq:

Üçüncü xüsusiyyəti nəzərə alaraq nöqtələrimizdən istifadə edərək bir qrafik quraq.

Xəyal düsturları üçün çevrilmə cədvəli

İkinci xassədən istifadə edək ki, funksiyamız təkdir, yəni mənşəyə görə simmetrik şəkildə əks oluna bilər:

Biz bilirik ki, sin(x+ 2π) = sin(x). Bu o deməkdir ki, [- π intervalında; π] qrafik [π] seqmentindəki kimi görünür; 3π] və ya [-3π; - π] və s. Etməli olduğumuz tək şey əvvəlki şəkildəki qrafiki bütün x oxu boyunca diqqətlə yenidən çəkməkdir.

Y=sin(X) funksiyasının qrafiki sinusoid adlanır.

Qurulmuş qrafikə uyğun olaraq daha bir neçə xassə yazaq:
6) Y=sin(X) funksiyası formanın istənilən seqmentində artır: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k tam ədəddir və formanın istənilən seqmentində azalır: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – tam ədəd.
7) Y=sin(X) funksiyası fasiləsiz funksiyadır. Gəlin funksiyanın qrafikinə baxaq və əmin edək ki, funksiyamızda fasilə yoxdur, bu, davamlılıq deməkdir.
8) Qiymətlər diapazonu: seqment [- 1; 1]. Bu funksiyanın qrafikindən də aydın görünür.
9) Y=sin(X) funksiyası - dövri funksiya. Qrafikə yenidən baxaq və görək ki, funksiya müəyyən intervallarda eyni dəyərləri alır.

Sinus ilə bağlı problemlərə nümunələr

1. sin(x)= x-π tənliyini həll edin

Həlli: Funksiyanın 2 qrafikini quraq: y=sin(x) və y=x-π (şəklə bax).
Qrafiklərimiz bir A(π;0) nöqtəsində kəsişir, cavab budur: x = π

2. y=sin(π/6+x)-1 funksiyasının qrafikini çəkin

Həlli: y=sin(x) π/6 funksiyasının qrafikini sola və 1 vahid aşağıya köçürməklə istənilən qrafik alınacaq.

Həlli: Gəlin funksiyanın qrafikini çəkək və seqmentimizi nəzərdən keçirək [π/2; 5π/4].
Funksiya qrafiki göstərir ki, ən böyük və ən kiçik qiymətlər seqmentin uclarında müvafiq olaraq π/2 və 5π/4 nöqtələrində əldə edilir.
Cavab: sin(π/2) = 1 – ən böyük dəyər, sin(5π/4) = ən kiçik qiymət.

Müstəqil həll üçün sinus problemləri

• Tənliyi həll edin: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• y=sin(π/3+x)-2 funksiyasının qrafikini çəkin
• y=sin(-2π/3+x)+1 funksiyasının qrafikini çəkin
• y=sin(x) funksiyasının seqmentdə ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın
• [- π/3 intervalında y=sin(x) funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın; 5π/6]